Skład tekstu ćwiczenie 3

Transkrypt

1 ETEW 00007L Skład tekstu ćwiczenie 3 Tworzenie i edycja dokumentów w LATEX ε Imię i nazwisko studenta semestr zimowy 016/017 Przykład 1 Produkowane są odważniki o danej masie Masy odważników mają rozkład Poissona o wartości przeciętnej µ = 10 kg oraz odchyleniu standardowym σ = 314 g Znajdź prawdopodobieństwo tego, że pomiar masy odważnika zostanie przeprowadzony z dokładnością lepszą niż 00 t Uwaga: rys 1 przedstawia różne obiekty, przy czym (a) i (b) ilustrują zwierzęta, a (c) do nich nie pasuje (a) Motyl (b) Kura (c) Graf Rysunek 1 Przykładowe obrazy Przykład W zakładzie na 5 maszynach doświadczalnych sprawdzano wydajność Po pierwszych testach otrzymano następujące charakterystyki na m : x = 13 ms, S = 15 ms Wiadomo, że rozkład jest w przybliżeniu normalny Na podstawie uzyskanych wyników wyznacz przedział ufności dla nieznanego średniewartości Przyjmij współczynnik ufności 075 Przykład 3 Zbadano preferencje kulinarne i uprawiany sport uczestników jednej z konferencji branżowyh Uzyskano informacje przedstawione w tabeli 1 Grupa: np pt/n 730, prowadzący: mgr inż Piotr Szyperski 1

2 Tabela 1 Wyniki badania preferencji kulinarnych i sportowych uczestników kongresu Preferowane danie Uprawiany sport piłka nożna hokej Zupa dyniowa Carbonara 5 58 Pozostałe 1 1 Źródło: E l i z e u s z M B a b a c k i, Rocznik statystyczny, Warszawa 199 (s 15) Wyznacz siłę relacji między poglądami kuliinarnymi a preferencjami sportowymi przedstawicieli tej społeczności Przykład 4 Pewna zbiorowość ma rozkład normalny standaryzowany N (0, 1) Ze zbiorowości tej wylosowano niezależnie 17 elementów Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartość średnia będzie nie większa od mediany? Przykład 5 Wyznacz gęstości rozkładów brzegowych dwuwymiarowej zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N (µ, Σ) Czy w tym przypadku znajomość rozkładu zmiennej losowej pozwala przeprowadzać testy istotności hipotez? Przykład 6 Maxwellowski rozkład prędkości (1859) Niech V x, V y i V z będą zmiennymi losowymi, opisującymi składowe prędkości jednoatomowych cząsteczek pewnego układu Temperaturze bezwzględnej zbiornika ciepła to T Można pokazać, iż rozkład tych zmiennych losowych jest typu V ( ) N (0, 1 α p ), gdzie α = 1 Jest oczywiste, że zmienną losową jest również szybkość tych cząsteczek T q V = Vx + Vy + Vz Wyznacz wybrane wartości

3 Rozwiązania Rozwiązanie do przykładu 17 Niech g : R 3 R, g(x, y, z) = x + y + z Niech V = (V x, V y, V z ) będzie trójwymiarową zmienną losową Wówczas V = g V Niech F V (v) będzie dystrybuantą zmiennej losowej V Wówczas z twierdzenia o dystrybuancie funkcji dwuwymiarowej zmiennej losowej otrzymujemy: F V (v) = f V (x, y, z) dx dy dz, gdzie f V to gęstość zmiennej losowej V, a D = { (x, y, z) : Wprowadźmy współrzędne sferyczne: x = x(r, ψ, φ) = r cos ψ cos φ y = y(r, ψ, φ) = r cos ψ sin φ D, π ψ π 0 φ π x + y + z < v } z = z(r, ψ, φ) = r sin ψ 0 r v Jakobian przejścia ze współrzędnych kartezjańskich do sferycznych wynosi: a a a x Ξ ρ b b b det J (x,y,z) = = x Ξ ρ c c c x Ξ ρ cos ψ cos φ r sin ψ cos φ r cos ψ sin φ = cos ψ sin φ r sin ψ sin φ r cos ψ cos φ sin ψ r cos ψ 0 Wówczas: Zatem: x + y + z = r, dx dy dz = det ( J (x,y,z) ) da dε dθ G Z (µ) = ( ) αm 7/6 x 4π ( α q = 1π 4π 1 )3/ 6/π 4 /i θ π exp x 3 exp [ [ βmr γkz 4 ] ] r cos ψ dθ dx dy = du 3

4 Ponieważ µ 1 funkcja G W (w) jest bezwzględnie ciągła, to gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z wynosi: 1 E Stąd: Zatem df Z (z) f V (v) = dx = {}}{ ( ) αq 7/8q = π z exp γqz 1 dla z 0 4 π 0 dla z > 0 v = ˆv = f V (v) = mĉ = 1 δ = eiϕ + 1 4

5 Rozwiązanie do przykładu 18 Zdefiniujmy zmienną losową Y = a β x S i opiszmy ją wykorzystując zmienną t: Dalej: T ν t = γ X a s (X) = = Y T ν X=x β = Pr(γ [a, b]) = = Pr( X b s n = Pr( s b 1 X=x < β < X a s ) = n < t < s a ), b X=x gdzie: x a S n = c i x b S n = c 5

6 Rozwiązanie do przykładu 19 Ostatecznie: Pr(0 < H ϵ) 100% 137% 6

7 Rozwiązanie do przykładu 0 Gęstość rozkładu: ( 1 1 f X (x, y) = πσ 1 σ exp 1 (x µ1 ) [ 1 ρ (1 ρ ) Stąd: σ 1 + (y µ ) σ ρ(x µ )] 1)(y µ ) σ 1 σ π g a (x) = f Y (z, ρ) dx = π = x = 1 1 ϕ dx = κ = 1 Γ π exp ϕ π dy ( (x µ 1) ) σ1 ( x µ ϕ ϕ(y s ) 1) ρ = i analogicznie: g b (x) = 1 ( ) exp (x κ)4 4 µ Widać więc, iż założenia są spełnione Quisque ullamcorper placerat ipsum Cras nibh Morbi vel justo vitae lacus tincidunt ultrices Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit In hac habitasse platea dictumst Integer tempus convallis augue Etiam facilisis Nunc elementum fermentum wisi Aenean placerat Ut imperdiet, enim sed gravida sollicitudin, felis odio placerat quam, ac pulvinar elit purus eget enim Nunc vitae tortor Proin tempus nibh sit amet nisl Vivamus quis tortor vitae risus porta vehicula Rozkład typowo przyjmuje postać N (X µ, σ n ), co wynika z powyższych rozważań W niektórych przypadkach pojawia się nieoznaczoność macierzy Π, a co za tym idzie także złe uwarunkowanie sumarycznej wariancji S 7

8 Rozwiązanie do przykładu 1 Twierdzenie de Moivre a-laplace a (lokalne) mówi, iż jeżeli S n B(n, p), to: S n np np(1 p) = S n ES n D S n n d Y, gdzie zmienna losowa Y ma standardowy rozkład normalny N (0, 1) 8

9 Rozwiązanie do przykładu Rozważmy przedstawioną na poniższej tabeli tablicę niezależności cech Tabela Tablica niezależności zmiennych losowych Y i y i y y s X i x i n 11 n 1 n 1s n 1 x n 1 n n s n x r n r1 n r n rs n r n 1 n n s n Zmienne losowe X i Y reprezentują dwie niekoniecznie mierzalne cechy w populacji generalnej Odpowiednie wartości badanych cech oznaczone są przez x i oraz y i Zachodzą następujące równości: s r n i = n ij, n j = n ij, j=1 i=1 r s r s n i = n ij = n i = n j i=1 j=1 i=1 j=1 Następnie wyznacza się κ 3 oraz estymuje korelację wobec X Y : κ 3 = ĝ = N M i=1 j=1 Xi + Y j β X Y , 4πδ ( ) σ σ 1 (X + Y )(X Y ) Można stwierdzić, iż wnioski potwierdzają hipotezę zerową wymienioną w zadaniu Szczególnie warta uwagi jest bardzo wysoka (względem typowego przypadku) wartość ĝ

10 Prace źródłowe Podczas zbierania zadań wykorzystanych w niniejszej liście wykorzystane zostały przede wszystkim następujące źródła: [1] Krzysztof Kowalski, dr inż, L i s t a z a d a ń do przedmiotu M e t o d y p r o b a b i - l i s t y c z n e (ćwiczenia) AXYZ 1345 C Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej, semestr letni 017/018 Zadania 1, [] Z a d a n i a p r a k t y c z n e z e s t a t y s t y k i, red Andrzej Nowak (aut Jan Abacki et al), Uniwersytet Warszawski, Warszawa 198 Zadania 3, 4 Curabitur tellus magna, porttitor a, commodo a, commodo in, tortor Donec interdum Praesent scelerisque Maecenas posuere sodales odio Vivamus metus lacus, varius quis, imperdiet quis, rhoncus a, turpis Etiam ligula arcu, elementum a, venenatis quis, sollicitudin sed, metus Donec nunc pede, tincidunt in, venenatis vitae, faucibus vel, nibh Pellentesque wisi Nullam malesuada Morbi ut tellus ut pede tincidunt porta Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit Etiam congue neque id dolor 10