I. Cel ćwiczenia: wyznaczanie prędkości rozchodzenia się fali w napiętej nici oraz związku

Transkrypt

1 Ćwiczenie M-4 BADANIE A STOJĄCYCH I. Ce ćwiczenia: wyznaczanie prędkości rozchodzenia się fai w napiętej nici oraz związku dyspersyjnego da fa stojących. II. Przyrządy: III. iteratura: IV. Wprowadzenie generator funkcyjny KZ-405 ub generator mocy, częstościomierz cyfrowy, głośnik dynamiczny, waga anaityczna... C. Crawford, "ae".. S. Szczeniowski, "izyka doświadczana" t. I. Mechanika. 3. T. Karman, M. A. Biot, "Metody matematyczne w technice". IV.. ae stojące - ujęcie matematyczne Doskonae giętka i sprężysta struna, napięta w stanie równowagi siłą znajduje się w ośrodku, który nie stawia oporu jej drganiom. Jeżei spowodujemy krótkotrwałe, bardzo małe odchyenie fragmentu tej struny od stanu równowagi, to składowa y siły wypadkowej, dążącej do przywrócenia stanu równowagi będzie równa (zgodnie z oznaczeniami i orientacją osi, przyjętymi na rys.) : y y y sinα sinα () Jeżei wychyenie z położenia równowagi jest b. małe, to możemy przyjąć, iż oraz co pociąga za sobą sin α tgα i sin α tgα y ( tgα tgα ) () Ponieważ α i α są kątami nachyenia stycznych do struny wzgędem osi OX w punktach o współrzędnych x i x + x, to y tgα i x x tgα y x (3) W związkach tych ceowo użyto symboi pochodnych cząstkowych, gdyż wychyenie struny z położenia równowagi jest funkcją nie tyko współrzędnej x ae i czasu t: y y(x,t) x+ x Podstawiając ( 3 ) do ( ) otrzymamy y y y x x+ x x x [ f ( x + x,t) f ( x,t) ] (4)

2 Ćwiczenie M-4 Y x α m y x y α 0 x x x + x X Rys Rozwijając funkcję f (x + x, t) zawartą w nawiasie kwadratowym w szereg Tayora f (x,t) f (x,t) f (x + x,t) f (x,t) + x + x +K i odrzucając wyrażenia wyższych rzędów (zgodnie z przyjętym założeniem b. małych odchyeń od stanu równowagi) dochodzimy do zaeżności: f (x,t) y(x,t) x x. (5) x y W momencie zaniku sił powodujących wychyenie z położenia równowagi eement struny zacznie się poruszać z przyspieszeniem o składowej pionowej y ay t y i zgodnie z II zasadą dynamiki y m ay m. Po uwzgędnieniu równania (5) mamy t y(x,t) y(x,t) x m, (6) x t gdzie m ρ x jest masą eementu zaś ρ - masą jednostki długości struny czyi tzw. gęstością iniową. Otrzymujemy stąd równanie da fa poprzecznych w strunie y(x,t) t ρ y(x,t), (7) x w którym to równaniu wiekość /ρ jest równa kwadratowi prędkości fai v. A zatem y(x,t) t y(x,t) x v (8)

3 Ćwiczenie M-4 i v (9) ρ Ograniczmy nasze rozważania do fa będących drganiami harmonicznymi. W takim przypadku jedną z funkcji spełniających równanie (7) powinna być funkcja postaci y(x, t) A(x)sinωt (0) gdzie A(x) oznacza ampitudę drgań, natomiast ω π/t jest częstością kołową, a T okresem drgań. Jak wynika z (0) założyiśmy wstępnie, że ampituda zaeży od współrzędnej x eementu struny. Różniczkując dwukrotnie (0) odpowiednio wzgędem t i x otrzymamy po podstawieniu wyników do równania (7) nowe równanie różniczkowe: d którego ogónym rozwiązaniem jest funkcja postaci A(x) ρ + ω A(x) 0, () dx ρ + ρ A(x) C cos ω x Csin ω x () gdzie C i C są stałymi wyznaczanymi z warunków brzegowych. Ponieważ struna umocowana jest z obu stron do sztywnych eementów, to ampituda drgań musi przyjmować wartości zerowe da początku struny x 0 i da jej końca x. W takim razie co pociąga za sobą równość C 0 ρ + ρ A(x 0 ) C cos ω 0 Csin ω 0 a po uwzgędnieniu warunku A(x ) 0 także zaeżność co prowadzi do wzoru: ρ C sin ω 0 ρ ω nππ n,, 3,... (3) Ze wzoru tego wynika, iż zamocowana obustronnie w sposób sztywny ideana struna o długości, napięta w stanie równowagi siłą może wykonywać drgania poprzeczne o postaci niezaeżnej od czasu i o częstościach kołowych spełniających równość nπ ω n n,,... (4) ρ i ampitudzie będącej funkcją współrzędnej x, okreśonej wzorem gdzie c n jest pewną stałą. x A(x) cn sin nπ n,,.. (5) 3

4 Ćwiczenie M-4 Taki rodzaj drgań nazywamy faami stojącymi ub drganiami normanymi układu. Punkty, w których ampituda drgań jest stae równa zeru nazywamy węzłami, zaś punkty, w których ampituda drgań przyjmuje koejno wartości maksymane i minimane strzałkami. Każdy punkt struny oscyuje z taką samą częstością f ω/π i z taką samą fazą. Częstości drgań normanych tworzą ciąg tzw. harmonicznych. Harmoniczną posiadającą najniższą częstość i najdłuższą faę nazywamy podstawową. W omawianym przypadku częstość i długość fai podstawowej harmonicznej okreśają wzory: ω (6) π ρ f λ (7) Związek między częstością drgań, a ich długością fai nazywamy związkiem dyspersyjnym: f ub ω k (8) ρ λ ρ gdzie k π/λ jest tzw. kątową iczbą faową. O faach, które spełniają związek dyspersyjny typu ω/k constans mówimy, iż nie uegają dyspersji. IV.. ae stojące ujęcie fenomenoogiczne Przypuśćmy, iż na początek struny umocowanej jednostronnie działamy siłą powodującą powstawanie fai drgań harmonicznych, biegnącej w kierunku swobodnego końca struny. Biegnąca w strunie faa dostarcza w sposób ciągły energię do eementu stanowiącego koniec struny. W eemencie tym energia nie może gromadzić się w sposób nieograniczony - iość energii dopływającej musi być równa energii odpływającej. Odpływ energii jest możiwy dzięki powstawaniu fa odbitych, biegnących w kierunku odwrotnym do fa wytwarzanych przez pierwotne źródło fa. Długość, częstość i ampituda fai są w tym przypadku takie same, jak da fai padającej - mówimy, iż faa podczas odbicia nie zmienia swojej fazy. Nieco inaczej odbija się faa biegnąca w strunie zamocowanej sztywno z obu końców - ampituda fai odbitej posiada tą samą wartość bezwzgędną, co ampituda fai padającej ae jest przeciwnego znaku - mówimy, iż w wyniku odbicia faa zmienia fazę na przeciwną ( ϕ π). Wynika to bezpośrednio z faktu, iż ampituda wypadkowego drgania musi być równa zeru w punkcie sztywnego zamocowania struny. aa padająca i odbita interferują ze sobą wytwarzając da ściśe okreśonych częstości drgania o postaci niezaeżnej od czasu czyi fae stojące. Warunkiem wytwarzania fai stojącej jest powstanie strzałki na swobodnym końcu struny, węzła w punkcie umocowania i "zmieszczenia się" całkowitej iczby "połówek" długości fai na całej długości struny umocowanej obustronnie ub nieparzystej iczby "ćwiartek" długości fai da struny umocowanej jednostronnie. enomenoogia metoda badań fiozoficznych poegająca na opisie i ogądzie tego, co bezpośrednio dane. Świadomość ma traktować świat wyłącznie jako fenomeny, zjawiska bez domysłów, teorii, spekuacji. 4

5 Ćwiczenie M-4 ¼λ 4, ρ f 4 λ ½λ 4 3 f, λ 3 f λ f, λ 5 f3 3 Rys. Postacie fa stojących da struny zamocowanej jednostronnie., ρ f λ f, λ f 3 f, λ 3 f3 3 Rys.3 Postacie fa stojących da struny zamocowanej obustronnie. V. Pomiary. ae stojące w napiętej nici Nić, której jeden koniec umocowany jest sztywno, a drugi obciążony znaną masą m powinna opierać się w jednym punkcie o górną krawędź tekturowego waca głośnika dynamicznego. Uzwojenie głośnika łączymy bezpośrednio z wyjściem napięcia zmiennego sinusoidanie generatora funkcyjnego o impedancji wyjściowej 50 Ω. Gniazdo impusów synchronizacji (wyzwaania), usytuowane na tynej ściance generatora funkcyjnego łączymy z wejściem częstościomierza cyfrowego (np. P 30), który służyć nam będzie do dokładnego pomiaru częstości napięcia podawanego na głośnik. Ampitudę i częstość tego napięcia dobieramy tak, aby wytworzyć w nici faę stojącą o wyraźnie wyodrębnionych węzłach i strzałkach. Schemat układu pomiarowego pokazuje rys.4. 5

6 Ćwiczenie M-4 Rys.4 Układ do badania fa stojących w napiętej nici. Pomiary przeprowadzić wg następującego schematu:. Wyznaczyć masę m o szaki przywiązanej do końca nici.. Korzystając z wagi anaitycznej wyznaczyć masę m próbki nici używanej w doświadczeniu oraz jej długość. 3. Obciążyć szakę masą m, umieszczając na niej odważnik o znanej masie. 4. Ustawić głośnik z membraną tak, by sztywna jej krawędź mogła w trakcie drgań pobudzać nić do drgań. Zmierzyć długość nici od końca jej sztywnego zamocowania do punktu oparcia o górną krawędź tekturowego waca głośnika dynamicznego. 5. Zmieniając częstotiwość f napięcia generatora (służy do tego odpowiednie pokrętło na płycie czołowej generatora) uzyskać koejne fae stojące zawierające n,, 3, połówek fa na długości nici. ae stojące powstaną tyko da pewnych częstotiwości drgań membrany (generatora). Im ta częstotiwość będzie większa, tym mniejsza będzie obserwowana ampituda drgań. Datego przy większej częstotiwości drgań naeży zwiększać, w razie potrzeby, ampitudę napięcia wyjściowego generatora. 6. Pomiary z punktu 5 przeprowadzić da dwóch innych wartości mas m obciążających szakę (dwóch innych sił napinających nić). 7. Da największej z tych sił napinających wyznaczyć dodatkowo zaeżność długości fai stojącej od częstotiwości napięcia zasiającego głośnik faą prostokątną. Sprawdzić szczegónie dokładnie, czy fae stojące powstają również przy częstotiwościach kikakrotnie mniejszych od częstotiwości podstawowej (da danej siły) drgań nici. Wszystkie wyniki można zebrać w tabeach 3 VI. Opracowanie wyników. Da każdej z wartości siły napinającej wykreśić zaeżność częstości kołowej ω od kątowej iczby faowej k. Zgodnie ze wzorem (8) powinna to być zaeżność iniowa typu y ax + b (y ω, x k). Obiczyć metodą najmniejszych kwadratów współczynnik kierunkowy a prostej oraz jego niepewność a. Wartość prędkości fai v jest równa temu współczynnikowi: v a.. Znając wartość siły napinającej i iniową gęstość ρ nitki, w oparciu o wzór (9) obiczyć prędkość fai v: 6

7 Ćwiczenie M-4 v ρ Niepewność v prędkości fai w tej metodzie jest równa: m o m m v m + m m + m m o o gdzie m o niepewność wyznaczenie masy szaki, m niepewność wyznaczenia masy m położonej na szace, m niepewność pomiaru masy m próbki nici, niepewność pomiaru długości próbki nici Porównać wartości prędkości otrzymane tymi dwoma metodami. 3. Zinterpretować wyniki doświadczenia z głośnikiem zasianym prostokątną faą napięcia. 4. Zamieścić w sprawozdaniu dyskusję uzyskanych wyników. ' 7

8 Ćwiczenie M-4 Tabea masa szaki m o [kg] masa próbki nici m [kg] długość próbki nici [m] gęstość iniowa nici ρ m / masa odważników położonych na szace m [kg] m [kg] m 3 [kg] częstotiwość f [Hz] siła napinająca nić (m + m o )g [N] : długość nici [m] : częstość kołowa ω πf [/s] iczba połówek fa na długości n długość fai λ n Tabea iczba faowa k π λ siła napinająca nić (m + m o )g [N] : długość nici [m] : siła napinająca nić 3 (m 3 + m o )g [N] : długość nici [m] : siła napinająca nić 3 (m 3 + m o )g [N] : długość nici [m] : częstotiwość fai prostokątnej f [Hz] iczba połówek fa na długości n Tabea 3 długość fai λ n 8

9 Ćwiczenie M-4 VII. ae stojące w iniach przesyłowych (rozszerzenie mechanicznej części ćwiczenia M-4. Aby wykonać również tę część ćwiczenia trzeba dysponować dodatkowym czasem na jego reaizację. Do uzgodnienia z prowadzącym zajęcia). VII. przyrządy: generator napięcia sinusoidanego o częstotiwości do 800 khz, wotomierz cyfrowy, oscyoskop, opornik dekadowy, inia długa z odczepami. VII. iteratura: jak w pierwszej części ćwiczenia, rozdział III. VII.3 Wprowadzenie ae stojące mogą powstawać nie tyko w eementach sprężystych i ograniczonych słupach gazów, ae i w eektrycznych iniach przesyłowych: przewodach dwużyłowych i współosiowych (koncentrycznych), a także w iniach łańcuchowych utworzonych z wieu sprzężonych ze sobą układów C. Schemat takiej inii łańcuchowej jest przedstawiony na rys.5. Prędkość rozchodzenia się fai w takiej inii opisana jest wzorem v (9) C gdzie i C oznaczają odpowiednio indukcyjność i pojemność przypadającą na m długości inii (wymiar: H/m i /m). Wiekości, C oraz, C pozostają ze sobą w reacji: x, C C x. ae o częstościach kołowych mniejszych od częstości granicznej ω gr ω gr (0) C przechodzą przez inię złożoną z ideanych indukcyjności i pojemności bez strat energii czyi bez zmiany ampitudy. a) a Wejście b C C C C C C x c Wyjście d c b) C C C R o Rys.5 Schemat inii łańcuchowej rozwartej na końcu (a) i "zamkniętej" rzeczywistą opornością obciążenia R o (b). Da fa o częstościach znacznie mniejszych od granicznej stosunek napięcia U do natężenia prądu I fai nie zaeży od częstości i wynosi d 9

10 Ćwiczenie M-4 Z o () C C Z o nazywamy opornością faową abo impedancją charakterystyczną. Da fa sprężystych w strunie oporność faowa opisana jest wzorem Z ρ ρ v () o Można udowodnić [], iż faa odbita powstaje wówczas, gdy faa rozchodząca się w ośrodku o oporności faowej Z o natrafi na granicę drugiego ośrodka, charakteryzującego się opornością faową Z o różną od Z o. Ampituda fai odbitej A o równa się ioczynowi ampitudy fai padającej przez tzw. współczynnik odbicia p: p Z Z o o (3) o + Z Z o aa odbita ma fazę zgodną z faą padającą, jeśi p > 0 i przeciwną, gdy p < 0. Jeżei do wejścia inii przesyłowej dołączymy źródło fa, a do wyjścia opornik o oporności równej impedancji charakterystycznej, to zgodnie ze wzorem (3) współczynnik odbicia da wyjścia inii przyjmie wartość równą zeru i nie zaobserwujemy powstania fai odbitej. Rys.6 Podstawowe postacie fa stojących w strunie i inii łańcuchowej oraz postać drgań w strunie zakończonej ideanym amortyzatorem oraz w inii "zamkniętej" opornością faową. Na wykresach przedstawiono zaeżność napięcia skutecznego (ub ampitudy) od odegłości od wejścia inii. "Zamykając" inię b. małą opornością, czyi np. zwykłym przewodem aboratoryjnym stwarzamy warunek konieczny do wytworzenia w niej fai stojącej o węźe napięcia na końcu inii, podczas gdy warunkiem koniecznym do wytworzenia fai stojącej o strzałce napięcia na końcu 0

11 Ćwiczenie M-4 inii jest jej "rozwarcie" (rys.5). Ponieważ faa stojąca nie przenosi energii w kierunku prostopadłym do drgań, a układy rzeczywiste charakteryzuje rozpraszanie energii, to warunkiem dostatecznym wytwarzania fai stojącej w takim układzie jest ciągłe pobudzanie go do drgań z częstością spełniającą odpowiedni da danego układu związek dyspersyjny. VII.4 Pomiary i opracowanie Wejście inii przesyłowej o oporności faowej około Ω łączymy z wyjściem napięcia sinusoidanie zmiennego generatora funkcyjnego o impedancji wyjściowej 50 Ω ub z wyjściem generatora sygnałowego. Schemat inii przedstawiony jest na rys.7, a dokładny jej opis w instrukcji do ćwiczenia E-34. Do wyjścia inii dołączamy sondę wotomierza ampowego ub oscyoskopu. Oporność wejściowa tych przyrządów wynosi co najmniej MΩ, a więc mamy prawo twierdzić, iż mimo "zamknięcia" końca inii opornością wejściową przyrządu pomiarowego pozostaje ona rozwartą. Zmieniając częstość napięcia od 50 khz do ok. 800 khz szukamy takich częstości, da których napięcie mierzone na końcu inii osiąga maksimum. Da każdej z tych częstości wyznaczamy rozkład napięcia wzdłuż inii i okreśamy postać powstałej fai stojącej. Sprawdzamy, czy dołączenie do wyjścia inii opornika dekadowego o oporności rzędu Ω powoduje zanik fai stojącej..wykreśić zaeżność częstości kołowej ω od wartości stosunku długości fai stojącej λ do długości badanej inii przesyłowej. Rys.7 Układ do badania fa stojących w inii przesyłowej.

12 Ćwiczenie M-4 VIII. Uzupełnienie.Zgodnie z twierdzeniem ouriera dowona funkcja okresowa zmiennej rzeczywistej t o okresie T może być przedstawiona w postaci skończonego ub nieskończonego szeregu sinusów i cosinusów o okresach T, ½T, ⅓T,... W szczegóności faa prostokątna o ampitudzie U o i okresie T przyjmuje postać: 4Uo π t f(t) sin k 0,,,... π k 0 k + k + T Zagadnienie to jest szerzej omówione w opisie ćwiczenia E-3..Schemat przedstawiony na rys.5 jest także eektrycznym schematem zastępczym zarówno dowonej inii przesyłowej utworzonej przez dwa równoegłe do siebie przewody jak i dowonego przewodu współosiowego (koncentrycznego). Prędkość rozchodzenia się fai w takim przewodzie okreśona jest wzorem v C natomiast oporność faową opisuje zaeżność Z o C gdzie i C oznaczają odpowiednio indukcyjność i pojemność odcinka przewodu o długości m. Do przekazywania sygnałów między profesjonanymi urządzeniami eektronicznymi stosuje się powszechnie przewody współosiowe o oporności faowej 50 Ω i prędkości rozchodzenia się fai rzędu m/s. Typowa wartość oporności faowej płaskiego przewodu antenowego teewizora czarno-białego wynosi ok. 300 Ω, natomiast koncentryczny przewód antenowy posiada impedancję charakterystyczną 75 Ω. W ceu zapewnienia poprawnego odbioru programu TV oporność faowa toru sygnałowego od anteny począwszy a na układach wejściowych odbiornika skończywszy, powinna być jednakowa w ceu uniknięcia odbić i powodowanych przez nie zniekształceń obrazu. Rys. 8 Sposób na uniknięcie odbić zniekształcających obraz badanej fai