Podstawy informatyki kwantowej. Jerzy KLAMKA

Transkrypt

1 Podstawy formatyk kwatowej Jerzy KLAMKA. Wprowadzee. Qubty.. Qubty w zapse wektorowym.. Notaja Draa.3. Maerze gęstoś.4. Stay kwatowe splątae.5. Obserwable 3. Bramk kwatowe 3.. Bramk -qubtowe 3.. Bramk -qubtowe 4. Perspektywzy uwersaly komputer kwatowy 5. Algorytmy kwatowe 5.. Algorytm poszukwań Grovera 5.. Algorytm faktoryzaj Shora

2 . Wprowadzee. Qubty.. Qubty w zapse wektorowym W klasyzej formatye pojedyzy bt może przyjmować tylko dwe ustaloe wartoś logze to zazy lub. Natomast elemetarą jedostką kwatowej formatyk jest kwatowy bt zway qubtem oraz ozazoy symbolem. W opse matematyzym pojedyzy qubt jest dwuwymarowym zormalzowaym (o długoś ), wektorem o współzykah zespoloyh, a wę jest elemetem -wymarowej zespoloej przestrze C. Dwa ortogoale stay dla pojedyzego qubtu są posta {,} tworzą oe bazę ortogoalą, w -wymarowej zespoloej przestrze C. W zapse tym wektory bazowe C C reprezetują odpowedo wartoś logze oraz klasyzego btu algebry Boole'a.

3 Dowoly qubt C może być przedstawoy w posta lowej kombaj wektorów bazowyh, gdze lzby zespoloe oraz azywae są ampltudam prawdopodobeństwa, atomast wektor jest wektorem zormalzowaym o długoś to zazy [], [3], [8]. Ozaza to, że qubt C przyjmuje wartość logzą z prawdopodobeństwem oraz wartość logzą z prawdopodobeństwem.

4 Przestrzeą staów kwatowyh dla qubtów jest lozy tesorowy (ozazoy symbolem ) przestrze staów kwatowyh dla pojedyzyh qubtów. W przypadku qubtów jest to 4- wymarowa przestrzeń zespoloa C 4 =C C. Przykładowo, lozy tesorowy dwóh dowolyh qubtów posta =+= C oraz =+= C, będąy wektorem w 4-wymarowej zespoloej przestrze C 4 jest day astępująym wzorem: = = ++ = = = = = = = = = = 4 C

5 Ilozy tesorowy wektorów jest dzałaem łązym ale e jest przemey to zazy Ogóle, układ kwatowy złożoy z qubtów moża rozpatrywać jako wektor w -wymarowej zespoloej przestrze C, która jest lozyem tesorowym -wymarowyh przestrze zespoloyh C, zyl C C C... C razy która zawera wzajeme ortogoalyh staów posta {,,...,,..., -}, gdze jest lzbą aturalą przedstawoą za pomoą -btowego kodu barego, =,,,..., -. W tym przypadku stosuje sę róweż rówoważy zaps wykorzystująy bezpośredo wagowy kod bary lzby aturalej to zazy k a k k k, =a - a -...a k...a a gdze a k, k=,,,...,(-) przyjmująe wartoś lub są współzykam odpowadająym wagom k, k=,,,...,(-).

6 Zatem, wektor C posada a (+) pozyj a zera a wszystkh pozostałyh. Wykorzystują lozy tesorowy wektor moża przedstawć w astępująej posta a a a a a a a k k a a a Poadto, -wymarowe wektory posta [,,...,,,,,,,...,,] C razy ( ) razy T tworzą bazę ortogoalą w zespoloej przestrze C. Układ kwatowy qubtów jest zormalzowaym wektorem C w przestrze, który może być przedstawoy w posta lowej kombaj wzajeme ortogoalyh wektorów bazowyh,,,...,,..., -. Stąd: gdze

7 Przykładowo, dla układu kwatowego złożoego z qubtów 4 wektory bazowe wzajeme ortogoale {,,,3}={,,,} w 4-wymarowej zespoloej przestrze C 4 są posta astępująej: C C C 3 C Rejestr kwatowy jest zbudoway z qubtów z wykorzystaem superpozyj staów kwatowyh oraz operaj lozyu tesorowego. Neh k C, k=,,..,-, będze daym zborem qubtów. Rejestr kwatowy jest lozyem tesorowym qubtów posta k

8 .. Notaja Draa. Symbol C, =,,..., ozaza -wymarowy wektor kolumowy o elemetah zespoloyh, atomast symbol, C, =,,..., ozaza -wymarowy wektor werszowy o sprzężoyh elemetah zespoloyh. Elemety zespoloyh wektorów zormalzowayh o długoś spełają rówość

9 Ilozy skalary -wymarowyh wektorów oraz day jest wzorem d d d d d Stąd Neh w przestrze C będze daa baza ortoormala złożoa z wektorów jedostkowyh {e,e,,e, e }. Wówzas e e e e e e e e e Ilozy jest wymarową maerzą o elemetah zespoloyh, której rząd wyos.

10 .3. Maerze gęstoś. Maerz -wymarowa azywa sę maerzą gęstoś jeżel jest maerzą dodato określoą o śladze rówym. Szzególym przypadkem maerzy gęstoś jest maerz rzutowaa a day wektor q ozazoa symbolem P q, której rząd jest rówy. Maerze gęstoś e będąe maerzam rzutowaa mają zawsze rząd wększy od. Każdemu wektorow qc moża przyporządkować w sposób jedozazy operator rzutowaa P q, który rzutuje dowoly wektor wc a -wymarową podprzestrzeń lową geerowaą przez day wektor q. P q w q w q Operator rzutowaa reprezetoway jest x-wymarową hermtowską (symetryzą) maerzą P q q q jak łatwo moża sprawdzć speła waruek rzutowaa P q P q =P q. Przestrzeą staów jest -wymarowa przestrzeń C C C C... C

11 W przestrze C zyste stay kwatowe są reprezetowae zormalzowaym wektoram o długoś. Neh symbol B, ozaza zbór dwuelemetowy oraz B, zbór będąy lozyem kartezjańskm zborów B,. Poadto, eh x B dla =,,...,. Wówzas -wymarowe zormalzowae wektory posta x, x,..., x,..., x x x... x... x tworzą bazę ortoormalą w zespoloej przestrze kwatowyh C. staów Zatem dowoly sta kwatowy qc układu kwatowego złożoego z qubtów moża przedstawć w posta kombaj lowej staów bazowyh q ( x, x x, x,..., x,..., x,...,,..., x,..., x ) B x, x,..., x x gdze zespoloe współzyk x, x,..., x,..., x spełają rówość ( x, x,..., x,..., x ) B x, x,..., x,..., x Zespoloe współzyk x, x,..., x,..., x oszą azwę ampltud prawdopodobeństwa względem bazy ortoormalej

12 Współzyk x, x,..., x,..., x kwadraty h modułów mają terpretaję fzyzą, a maowe x, x,..., x,..., x reprezetują prawdopodobeństwa zalezea sę układu kwatowego w stae bazowym x, x,..., x,..., x C. W przypadku, gdy układ kwatowy składa sę z dwóh podukładów k m kwatowyh odpowedo o przestrzeah staów C oraz C, wówzas jego -wymarowa, (=k+m) przestrzeń staów C jest lozyem tesorowym C k m C C. Wykorzystują postać wektora q, moża zdefować odpowadająy mu operator rzutowaa reprezetoway astępująą -wymarową, hermtowską (symetryzą), dodato określoą, maerzą rzutowaa P q q q Poadto ślad maerzy rzutowaa Tr(P q )=. Maerz rzutowaa P q reprezetuje operator rzutowaa a jedowymarową podprzestrzeń geerowaą przez wektor q. Zatem steje wzajema odpowedość pomędzy daym qubtem q w posta -wymarowego wektora, a dopowadająym mu operatorem gęstoś P q w posta maerzy rzutowaa (gęstoś).

13 W mehae kwatowej występują: stay kwatowe zyste reprezetowae wektoram lub maerzam rzutowaa, oraz stay kwatowe meszae będąe wypukłym kombajam lowym staów zystyh reprezetowae maerzam gęstoś. Dowoly samosprzężoy, dodato określoy operator : C C, reprezetoway -wymarową maerzą gęstoś, której ślad tr =, azywa sę staem układu kwatowego złożoego z qubtów. Maerzy gęstoś jest -wymarową maerzą hermtowską (symetryzą), dodato określoą, posadająą rzezywstyh pojedyzyh lub welokrotyh wartoś własyh s, s,..., s,..., s, którym odpowadają rzezywste -wymarowe wektory włase, w,..., w w, a jej ślad w,..., ( ) Tr P q s Wykorzystują wartoś włase s, =,,..., oraz odpowadająe m wektory włase w, =,,...,, maerz gęstoś moża przedstawć w posta lowej kombaj maerzy rzutowaa a wektorów własyh s w w Należy jedak zazazyć, że powyższe przedstawee maerzy gęstoś jest jedozaze jedye w przypadku pojedyzyh wartoś własyh.

14 W tym przypadku wartoś włase s, =,,..., reprezetują prawdopodobeństwa zalezea sę układu kwatowego w stae kwatowym odpowadająym wektorow własemu w, =,,..., lub rówoważe maerzy rzutowaa w w, =,,...,. W przypadku, gdy Tr( ) Tr z z z z maerz gęstoś jest jedoześe maerzą rzutowaa =P q a wektor q oraz odpowadająy tej maerzy sta kwatowy azywa sę zystym staem kwatowym. Natomast w pozostałyh przypadkah maerz gęstoś reprezetuje tak zway meszay sta kwatowy. Rozróżae staów kwatowyh zystyh meszayh jest możlwe poprzez badae śladu kwadratu maerzy gęstoś. Dla zystyh staów kwatowyh mamy: Tr( ) Tr( ) Tr( P ) Tr q q q q q o wyka z ormalzaj wektora q, którego długość wyos Zatem w tym przypadku =P q =. W przypadku meszayh staów kwatowyh, odpowadająe m wektory zespoloe q zajdują sę wewątrz kul jedostkowej w przestrze C, a zatem h długość jest zawsze mejsza od. W tym przypadku ślad kwadratu maerzy gęstoś reprezetująy kwadrat długoś wektora q jest mejszy od jedoś wyos Tr( ) Tr q q z z

15 .4. Stay kwatowe splątae. Neh oraz j będą bazam ortoormalym odpowedo A B dla -wymarowego układu kwatowego A oraz m-wymarowego układu kwatowego B. Zatem dla staów kwatowyh oraz A B mamy A A j m B j a oraz b Stąd lozy tesorowy tyh staów kwatowyh jest posta j j B A B jm j a b j A j B jm j j A j B gdze j = a b j, =,,,, j=,,,m są dowolym współzykam zespoloym. W ogólym przypadku faktoryzaja ta e jest możlwa wówzas sta kwatowy reprezetoway wektorem m-wymarowym w przestrze C m e posadająy tej faktoryzaj azywa sę staem splątaym. Przykładowo sta kwatowy A B A B jest staem kwatowym splątaym. Splątae ozaza zatem, że day sta kwatowy C e może być przedstawoy jedozaze w posta lozyu tesorowego staów kwatowyh C, =,,...,. Ozaza to, że mędzy poszzególym staam kwatowym steją wzajeme korelaje.

16 Przykładowo, eh 4 C Wektor te reprezetuje sta kwatowy będąy wykem splątaa, gdyż e moża zaleźć dwóh staów kwatowyh C oraz C takh, że =. Pojęe splątaa wąże sę bezpośredo z tak zwaą bazą ortogoalą Bella, którą w zespoloej przestrze C 4 tworzą astępująe 4 wzajeme ortogoale wektory bazowe: +C 4, -C 4, +C 4, -C 4.

17 .5. Obserwable. Neh Q będze -wymarową, maerzą hermtowską, to zazy Q = Q*, reprezetująą obserwablę Q. Wówzas wartość lzbowa obserwabl ozazoa symbolem Q dla qubtu qc jest posta: Q q Q q Z drugej stroy wykorzystują zae z algebry pojęe śladu maerzy otrzymuje sę rówość Tr( QPq ) Tr Q q Zatem po wykoau odpowedh przekształeń maerzowyh wartość lzbową obserwabl Q moża wyrazć wzorem: q Q q Q q Tr( QP ) q gdze P q jest maerzą rzutowaa a -wymarowy wektor q. W szzególym przypadku, gdy wektor q jest wektorem własym obserwabl Q, wówzas wartoś lzbowa obserwabl jest wartośą własą odpowadająa wektorow własemu q. W szzególym przypadku obserwabla może być reprezetowaa operatorem rzutowaa lub kombają lową operatorów rzutowaa. Q z P gdze P q jest maerzą rzutowaa a -wymarowy wektor q. q z

18 3. Bramk kwatowe 3.. Bramk -qubtowe. Kwatowym bramkam logzym są wszystke operaje kwatowe wykoywae w przestrze staów kwatowyh. Podstawowe operaje kwatowe wykoywae a pojedyzym qube azywae jedo-qubtowym kwatowym bramkam logzym reprezetowae są -wymarowym maerzam utarym U będąym lowym wzajeme odwraalym odwzorowaam w zespoloej przestrze C. Maerze utare spełają astępująą podstawową rówość: U - = U *, gdze U - jest maerzą odwrotą, atomast w przypadku rzezywstyh maerzy utaryh U - = U T, gdze U T jest maerzą traspoowaą. Maerze utare reprezetują w zespoloej przestrze C obroty o pewe kąt wokół pozątku układu współrzędyh, które e zmeają długoś poszzególyh wektorów. Poeważ steje eskońzee wele -wymarowyh maerzy utaryh, zatem dla pojedyzego qubtu teoretyze steje eskońzee wele różyh kwatowyh bramek logzyh, odpowadająyh poszzególym maerzom utarym U, oraz realzująyh zadaą kwatową operaję matematyzą [], [4], [8]. Należy zazazyć, że w przypadku klasyzej dwustaowej algebry Boole a w odeseu do jedego btu steją tylko dwe operaje logze, to zazy detyzość ozazoa symbolem I, oraz egaja ozazoa symbolem NOT. W układah kwatowyh operaje te są reprezetowae odpowedo astępująym maerzam utarym U I = U NOT = dla operaj detyzoś I, oraz dla operaj egaj NOT.

19 Przykładowo, dzałae bramk NOT dla ortogoalyh wektorów bazowyh C oraz C moża przedstawć astępująo:, oraz, gdze symbol ozaza trasformaję wektora. U NOT U NOT Borą pod uwagę postać maerzy utarej U NOT reprezetująej kwatową operaję egaj oraz stosują stadardowy zaps wektorowy otrzymuje sę astępująą zależość: U NOT U ) U NOT ( NOT ( ) ( ( ) ) Zatem, dzałae kwatowej bramk NOT dla dowolego zormalzowaego stau kwatowego =+C reprezetowaego wektorem o współzykah zespoloyh,, moża przedstawć astępująo: = + + = gdze symbol ozaza egaję w zapse kwatowym, to zazy zamaę współzyków oraz..

20 Bramka kwatowa Hadamarda H jest reprezetowaa astępująą -wymarową maerzą utarą H Dzałae bramk Hadamarda H dla ortogoalyh wektorów bazowyh C oraz C moża przedstawć astępująo: (+)C, oraz (-)C. Dzałae bramk Hadamarda H dla dowolego stau kwatowego =+C reprezetowaego wektorem o współzykah zespoloyh,, moża przedstawć astępująo: = + ( + ) + ( - ) Istotą rolę w oblzeah kwatowyh odgrywają - wymarowe hermtowske utare maerze Paulego posta

21 Ogóle lzby zespoloe u j,,j=, tworzą -wymarową maerz utarą U u u u u Przykładowo, mogą to być maerze posta: / 4 / 4 e os( / 8) e s( / 8) F / 4 / 4 e s( / 8) e os( / 8) os( / 8) s( / 8) G s( / 8) os( / 8) e H / 4 / 4 e J e / 4 V (, ) os( / ) e s( / ) e s( / ) os( / )

22 3.. Bramk -qubtowe. W przypadku układu kwatowego złożoego z dwóh qubtów podstawowe operaje kwatowe reprezetowae są 44- wymarowym maerzam utarym dzałająym w przestrze C 4. Szzególe zazee ma operaja, której dzałae moża przedstawć za pomoą astępująej 44-wymarowej utarej maerzy: U D u u u u gdze D u u u u jest dowolą operają kwatową a pojedyzym qube, reprezetowaą -wymarową utarą maerzą D. Operaja ta os azwę sterowaej bramk D, gdyż operaja wykoywaa a drugm qube reprezetowaa maerzą D zależy od tego zy perwszy qubt jest w stae kwatowym C zy też w stae kwatowym C. W przypadku, gdy perwszy qubt jest w stae kwatowym C, wówzas drug qubt pozostaje bez zma, atomast gdy perwszy qubt jest w stae kwatowym C, wówzas a drugm qube wykoywaa jest operaja kwatowa reprezetowaa -wymarową maerzą utarą D.

23 W szzególym przypadku gdy maerz utara D jest maerzą odpowadająą operaj egaj NOT, to zazy D=U NOT uzyskuje sę bramkę kwatową o azwe "sterowaa egaja" ozazaej symbolem CNOT (ag. otrolled NOT), której odpowada 44-wymarowa utara maerz U CNOT. U CNOT Dzałae -qubtowej bramk kwatowej CNOT dla ztereh ortoormalyh wektorów bazowyh jest astępująe: =C 4, =C 4, =C 4, 3 =C 4 moża przedstawć astępująo: ==, ==, == 3, 3 ==. Zatem dzałae -qubtowej bramk CNOT dla dowolego stau kwatowego = C 4 reprezetowaego wektorem odpowedo o współzykah zespoloyh,,,, moża przedstawć astępująo: =

24 4. Perspektywzy uwersaly komputer kwatowy Formale kwatowy komputer jest układem qubtów, a któryh moża przeprowadzać odpowede operaje kwatowe reprezetowae bramkam kwatowym zyl maerzam utarym odpowedh wymarów. Bez utraty ogóloś moża założyć, że pozątkowy sta kwatowy -elemetowego układu qubtów odpowada wektorow bazowemu,,,..., C, który astępe jest sekweyje przetwarzay przez dowoly ąg bramek kwatowyh. W wyku dzałaa ągu odpowedo dobrayh kwatowyh bramek logzyh a pozątkowy sta kwatowy otrzymuje sę w efeke -qubtowy końowy sta kwatowy W, który jest wektorem o długoś w -wymarowej zespoloej przestrze pomar wektora W daje am formaje probablstyze. C. Końowy

25 5. Algorytmy kwatowe Do ajważejszyh algorytmów kwatowyh ależą:. algorytm poszukwań opraoway przez Grovera w 997 roku,. algorytm faktoryzaj lzb aturalyh zapropooway w 993 roku przez Shora,

26 5.. Algorytm poszukwań Grovera W 997 roku Grover zapropoował [5], [6] kwatowy algorytm wyszukwaa formaj w dużyh zborah dayh. Problem polega a wyszukau w euporządkowaym zborze dayh {d, =,,3,...,N} zawerająym N elemetów określoego elemetu d j =y. Klasyze algorytmy poszukwań potrzebują średo N / kroków a wyszukae daej formaj w zborze dayh zawerająym N elemetów. Algorytm kwatowy poszukwań Grovera zaze bardzej efektywy potrzebuje średo jedye N kroków. Przykładowo dla N= 6 euporządkowayh elemetów. klasyzy komputer wykoałby taką zyość w zase około klkuset lat. Natomast komputer kwatowy wykorzystująy algorytm poszukwań Grovera wyzazyłby poszukway elemet zboru w ągu około klku mut.

27 5.. Algorytm faktoryzaj Shora W 993 roku Shore zapropoował [7] efektywy kwatowy algorytm umożlwąjay faktoryzaję lzb aturalyh to zazy zajdowae jej podzelków. Algorytm te posada welomaową złożoość oblzeową. Należy zaazyć, że jest to ajważejszy opraoway do tej pory algorytm kwatowej formatyk umożlwająy zaze przyspeszee welu stotyh proesów oblzeowyh, wystepujayh główe w kryptograf. Moża wykazać, że przewaga algorytmu kwatowego ad algorytmem klasyzym wzrasta wraz ze wzrostem lzby aturalej N, która podlega faktoryzaj.

28 Lteratura. Bareo A., A uversal two-bt gate for quatum omputato, Proeedgs of the Royal Soety of Lodo, vol.449, 995, pp Deutsh D., Quatum omputatoal etworks, Proeedgs of the Royal Soety of Lodo, vol.45, 989, pp Bugajsk S., Klamka J., Węgrzy S., Foudatos of quatum omputg. Part I, Arhwum Iformatyk Teoretyzej Stosowaej, vol.3, o,, str Bugajsk S., Klamka J., Węgrzy S., Foudatos of quatum omputg. Part II, Arhwum Iformatyk Teoretyzej Stosowaej, vol.3, o,, str Grover L.K., A fast quatum mehaal algorthm for database searh, Proeedgs of the 8th ACM Symposum o Theory of Computatos, 996, pp Klamka J., Quatum searh algorthm, Studa Iformata, vol.3, o,, str Shore P., Polyomal-tme algorthms for prme fatorzato ad dsrete logarthms o a quatum omputer, Proeedgs of the 35th Aual Symposum o Foudatos of Computer See. Sata Fe, pp Węgrzy S., Klamka J., Kwatowe systemy formatyk, Istytut Iformatyk Teoretyzej Stosowaej PAN, Glwe,. 9. Węgrzy S., Klamka J., Kwatowe systemy formatyk, Studa Iformata, vol., o.,, str Węgrzy S., Kwatowe systemy formatyk, Nauka,, o.3, str.7-8,. Węgrzy S., Klamka J., Quatum omputg, Arhwum Iformatyk Teoretyzej Stosowaej, tom, zeszyt 3,, pp Węgrzy S., Iformatyka kwatowa jej mejse w formatye jako dysyple aukowej, Studa Iformata, vol., o., pp.-7.