Wykorzystanie metody zmiennych stanu w analizie rozkładu przebiegów nieustalonych dla zwarcia w wielofazowej linii długiej

Transkrypt

1 Jk RZMR, Adm SKOPC, Czsłw SC Polithnik Wrołwsk, Wydził lktryzny, Ktdr Podstw lktrothniki i lktrothnologii doi:.599/ Wykorzystni mtody zminnyh stnu w nlizi rozkłdu przigów niustlonyh dl zwri w wilofzowj linii długij Strszzni: W rtykul przdstwiono strukturę modlu łńuhowgo, orz mtodę olizń stnu niustlongo inijowngo zwrim zloklizownym w wyrnym mijsu linii długij jdnofzowj lu trójfzowj. Wrunki pozątkow wyznzn są z istnijągo stnu ustlongo w strukturz łńuh przd zwrim. Astrt: h rtil prsnts th strutur of th modl hin, nd th mthod of lultion of th trnsint short-iruit inititd lotd t th dsird lotion long lin singl-phs or thr-phs. Initil onditions r dtrmind from th xisting stdy stt within th hin strutur ginst short iruits. (Applition of stt vrils in th nlysis of th distriution of trnsints for th lol short-iruit in th multiphs trnsmission lin). Słow kluzow: lini przsyłow, mtod zminnyh stnu, stny niustlon Ky words: trnsmission lins, mthod of stt vrils, trnsints stt Wstęp Podstwy tortyzn nlizy linii długih (torów lktryznyh) zostły sformułown w drugij połowi XIX wiku w związku z udową podmorskih kli tlgrfiznyh łąząyh Anglię z Dnią w 855 r. orz uropę i Amrykę w 885 r. Z pirwszyh i klsyznyh twórów torii i sformułowni podstwowyh równń ( równń tlgrfistów ) uwżni są Wilim homson (lord Klvin) orz Olivir Hvisid. Do zsów współzsnyh ndl osrwuj się nizwykl intrsująy rozwój mtod nlizy i opisu zhodząyh zjwisk w różnyh spkth plikyjnyh szzgólni z uwzględninim przsyłni sygnłów w tlinformty lu w nrgty [4,7,]. Klsyfikyjni lini dług nlży do owodów o prmtrh rozłożonyh, któryh nliz wymg zstosowni równń flowyh. Przntown w litrturz [6,8,9] z tj prolmtyki wyrn mtody olizniow w ujęiu flowym dotyzą zsdnizo nlizy tylko przigów ziskowyh wjśi-wyjśi dl linii jko łośi. Ni jst możliw zstosowni i doptowni tyh mtod do dni zkłóń loklnyh w linih wilotorowyh (w tym trójfzowyh) z uwzględninim sprzężń indukyjnyh i pojmnośiowyh. Przdmiotm ninijszgo oprowni jst przdstwini modlu i mtody nlizy orz wyznzni przigów hwilowyh prądów i npięć gnrownyh w stnh wryjnyh przz zwri lokln w jdno i trójfzowj linii długij wysokih npięć prądu przminngo (HVAC). Sformułowni tortyzn modlu i równń stnu dl toru jdnofzowgo i trójfzowgo x Rys.. Shmt linii długij jdnofzowj x mijs zwri Głównym złożnim wstępnym jst przdstwini linii jdnofzowj jko łńuh (k=,2,...n) zwórników (rys.) złożonyh z lmntów skupionyh R,L,G,C. Nlży n podkrślić, ż tk sformułowny modl mimo, ż jst oprty n lmnth skupionyh, w zlżnośi od lizy uwzględnionyh zwórników dj tkż możliwośi przyliżongo opisu flowgo. Opisny modl pozwl n sformułowni fktywnyh lgorytmów olizń zwrć loklnyh w dowolnym punki wwnętrznym linii. Opis modlu dotyzy wpirw linii jdnofzowj, nstępni trójfzowj z uwzględninim sprzężń pojmnośiowyh i indukyjnyh. Ziski wyjśiow loklngo zwórnik w mijsu zwri oznzono jko k z = [nx/l], gdzi k z oznz indks zisków wyjśiowyh zwórnik w mijsu zwri, l - długość linii, x - odlgłość mijs zwri od pozątku linii, n - ilość łkowitą ogniw łńuh orz oznzni oprji zęśi łkowitj ułmk ntir=[ ]. i u u 2 k n u 2 u k- u k u n- u n n Rys.2. Łńuh n zwórników modlująyh linię długą u k- i i 2 i k- i k i n- i n i k- G Rys.3. lmnty RLGojdynzgo zwórnik typu C R Dl toru jdnofzowgo podstwow równni prądow i npięiow (Kirhhoff) poszzgólnyh zwórników ( k=,2,...n) mją znną postć : zwórnik: () i i du C Gu (2) u u di L Ri zwórnik: k (3) duk ik ik C Guk (4) dik u k u k L Rik zwórnik: n i k L u k 268 PRZGLĄD LKROCHNICZNY, ISSN , R. 93 NR 2/27

2 (5) dun in in C Gun (6) din u n u n L Rin Z kżdgo równni (k=,..n) wyznz się pohodną prądu i npięi (7) dik L Rik uk uk (8) duk C ik Guk ik ustwiją n przmin koljn wilkośi prądów i npięć w posti mirzy kolumnowworząj zminn stnu (9) w,,,,...,,,..., i u i u i u i 2 2 k k n 2n Pozostwiją pirwsz () równni poz mirzą, z pozostłyh tworzy się zpis mirzowy w posti kolumny pohodnyh (7) i (8) prądów i npięć powiąznyh z kolumną w jk przdstwiono niżj L i C u L d i k C uk C u n L in R i G u R i2 R ik G uk G u n R in n W równniu powyższym pojwił się mirz kwdrtow digonln związn z prmtrmi L, C orz mirz trójdigonln o rozmirz (2n-)x(2n-) związn z prmtrmi R, G. W lu uproszzni zpisu powyższgo równni, wprowdzono skróon oznzni dl występująyh w nim mirzy () d D w H w gdzi oznzono koljno digonlną i trójdigonlną mirz D, H () Ddig ( LC, ), Hdig, R, G, 2n 3 2n Po pomnożniu stronmi równni () przz D - uzyskuj się równni różnizkow mirzow w formi knoniznj dl zminnyh stnu w posti (2) d w M wv gdzi wprowdzono oznzni nowyh mirzy (3), M D H vd (),,...,, t () n t 2n Podoni jk dl toru jdnofzowgo rozptrzony ędzi tor trójfzowy (rys.4) A (t) B t) C (t) Rys.4. Lini dług HVAC trójfzow z zznznim zwri loklngo w fzi Wstępnym złożnim jst przdstwini linii jko połązni łńuhowgo ośmioigunników zstępzyh dowolngo odink x linii trójfzowj jko przkroju dwu ośmioigunników o prmtrh skupionyh R p,, G p, orz sprzężń, (rys.5 orz rys.6). k - k - k - k - A B C Z i k- i k- i k- i zk- k ośmioigunnik l z Rys.5. Oznzni prądów i npięć w łńuhu dwu ośmioigunników (jko przkroju) i k- i k- i zk- G R G R Rys.6. Prmtry odink linii, lmntu łńuh jko ośmioigunnik, RLGC orz sprzężń, Przyjęto oznzni dl wilkośi związnyh z poszzgólnymi fzmi linii dodtkowym indksm (,, ), i numrm odink (k). Równni Kirhhoff prądow i npięiow dl koljnyh przkrojów to: fz () (4) duk duk duk i k i k Gu k (5) dik dik dik uk uk R ik Lp Lm Lm fz () (6) du du du i k i k Gu k (7) dik dik dik uk uk R ik Lp Lm Lm k k k k z i k i k i k i zk l R k+ ośmioigunnik i k i k i k i zk i k+ i k+ i k+ i zk+ k k k Al (t) Bl t) Cl (t) k + k + k + k + PRZGLĄD LKROCHNICZNY, ISSN , R. 93 NR 2/27 269

3 fz () (8) duk duk duk i k i k Gu k (9) dik dik dik u k u k R i k Lp Lm Lm W lu uformowni ukłdu równń różnizkowyh, wyznz się pohodn prądów i npięć koljnyh przkrojów. Uwzględniją pono, ż w kżdym przkroju spłnion jst równni prądow otrzymuj się nstępują zlżnośi: fz () (2) dik dik dik Lp Lm Lm Rik uk uk (2) duk duk duk C C C Gu i i fz () (22) dik dik dik Lp Lm Lm Rik uk uk (23) duk duk duk C C C Gu i i fz () (24) dik dik dik Lp Lm Lm Rik uk uk (25) duk duk duk Guk ik ik p m m k k k p m m k k k Pozostwiją równni (4), (6), (8) dl k= poz mirzą, z pozostłyh wyirją n przmin wilkośi prądów i npięć możn utworzyć mirz digonln. W lu skróni zpisu oznzmy przz w, w, w kolumny (wktory) jko zminn stnu n przmin prądów i npięć koljnyh ośmioigunników fz (,, ) w =[ i, u, i, u,... u, i ] n w =[ i, u, i, u,... u, i ] n (26) 2 2 n- n 2 (27) 2 2 n- n 2 w =[ i, u, i, u,... u, i ] (28) 2 2 n- n 2n Zpisn wyżj oddziln równni dl kżdgo zwórnik, w lu ih dlszj nlizy mogą yć zstwion jko równni mirzow posti (29) (3) (3) D d w D d w D d w H w D d p w D d m w d Dm w H w D d p w D d m w d Dm w Hw p m m gdzi oznzon mirz okrślon są prz prmtry włsn i prmtry sprzężń nstępująymi wzormi: jko mirz digonln D dig ( L, C ), D m dig ( Lm, Cm) 2n p p p 2n jko mirz trójdigonln H dig 3(, R, G, ) 2n H dig 3(, R, G, ) 2n H dig 3(, R, G, ) 2n jko mirz kolumnow [,,..., n] 2 n [,,..., ] 2 n n [,,..., ] n 2n Clow jst zwinięi trzh równń mirzowyh (,2,3) dl oddzilnyh dl fz (,, ) jdnym równnim, mirzowym posti (32) Dp Dm Dm w H w d m p m D D D w H w D m Dm Dp w H z Hw Powyższ równni pozwl n skróony zpis w posti (33) d D w Hw gdzi wprowdzono oznzni Dp Dm Dm w, D Dm Dp Dm w w Dm Dm Dp w H, H H H nstępni mnożą stronmi przz D - otrzymuj się równni (34) d w M w v przy zym M D H, v D. Otrzymn równni (34) dl toru trójfzowgo jst idntyzn jk (2) dl toru jdnofzowgo. Różni występuj tylko w rozmirz mirzy, który dl ukłdu jdnofzowgo równy jst 2n-, dl trójfzowgo 6n-3. Idntyzn form równń pozwl n zstosowni jdnkowyh mtod ih rozwiązni. Mtod rozwiązni równń Zgodni z ogólną torią przdstwioną w [4], rozwiązni mirzowgo równni różnizkowgo (2) i (34), przdstwion jst przz mirzową funkję wykłdnizą i łkę splotową w posti (35) tt t ( ) t w() t xp M tt w xp[ M( t )] v ( ) d Przy zym w (t=t) oznz zdną wrtość pozątkową rozwiązni. Rozwiązni przdstwion wzorm (35) dotyzy dowolngo wymuszni v(t), wię przy dowolnyh przigh npięć zsiljąyh,,. W lu uniknięi olizni łki splotowj (35) w przypdku wymuszni stłgo lu sinusoidlngo jst możliw zstosowni mtody stnu przjśiowgo i ustlongo. Jko wyjśiow złożni przyjmuj się sinusoidln symtryzn ukłdy npięć zsiljąyh n pozątku linii () t 2sint ( t) 2sint2 /3 () t 2sin t 4 /3 Możliwość zminy oiążni linii rlizown jst przz zminę prmtrów osttnigo zwórnik (k=n) np. dl oiążni rzystnyjngo, przz dodni do rzystnji linii rzystnji dodtkowj R p +R (o). W zpisi zspolonym npięi zsilją wyrżon są wzormi 27 PRZGLĄD LKROCHNICZNY, ISSN , R. 93 NR 2/27

4 jt j j( 2 /3) j4 /3 () t Im (), t () t 2, () t Im (), t () t 2, () t Im (), t () t 2, Rozwiązni w stni ustlonym równni (34) poszukiwn ędzi w posti W (36) w W v D W gdzi [,...] 2n [,...] 2n [,...] 2n Przy uwzględniniu, ż w stni ustlonym lw stron w równniu (34) moż yć wyrżon wzorm d jt jt Wu j IW u po podstwiniu do (34) i wykonniu oprji różnizkowni orz przksztłniu uzyskuj się rozwiązni ustlon dl wrtośi zspolonyh w posti W (37) Wu j W IMtt D W gdzi: I oznz mirz jdnostkową, indksy t<t orz u oznzją, ż mirz M utworzon jst dl prmtrów linii przd zwrim. Przigi hwilow ustlon przd zwrim okrślon są wzorm (38) wu( t) Im 2W u Dl wyznzongo wyżj stnu ustlongo przd zwrim orz dl wyrnj hwili t wrunki pozątkow wyznz się z zlżnośi (39) wu ( t) Im 2W u Podoni wyznz się stn ustlony po zwriu z wzoru W (4) Wu2 j W IMtt D W gdzi indks t>t oznz mirz M utworzoną dl prmtrów linii po zwriu. Końow rozwiązni przigu hwilowgo po zwriu moż yć przdstwion wzorm (4) w xp M tt [ w u( t) w u2( t)] Im 2 W u2 Z mirzy kolumnowj w przz dkompozyję uzyskuj się rozwiązni dl wszystkih zisków łńuh dl fz (,, ) (k=,2,.,.n) wyirją n przmin wilkośi prądów i npięć. Ozywiśi jko njrdzij intrsują są przigi prądów i npięć n pozątku linii (k=), n końu linii (k=n) i w mijsu zwri (k=k z ). Loklizji zwri odpowid k z =ntir[x/l n]. Poz przdstwionym wyżj sposom uzyskni rozwiązni równni dl linii jdnofzowj (2), lu trójfzowj (34), istnij możliwość zpośrdnigo zstosowni mtody łkowni yfrowgo (Ordinry Diffrntil qution Rung-Kuty) z proksymją np. rzędu od23 lu od45. Zstosowni W lu sprwdzni fktywnośi dziłni progrmu sformułowno progrm olizń n pltformi MALAB i wykonno olizni tstują. Wyrno dw przykłdy intrsują z względu n wyniki: Lini o długośi : l = km; i prmtrh jdnostkowyh: R =,2 Ω/km L =,5-3 H/km C = 8n F/km G =,5-8 S/km =,5 L =,25 C R o = [5,5,5] Ω Przy pry symtryznj dl dnyh: (i) = = ==2kV, n = n = n =, Rzystnj oiążni R n =R n =R n =5 konduktnj zwri symtryzngo G zw =G zw =G zw =S, ziski zwri k z =2, liz ogniw łńuh n=5 (rys.7) (ii) konduktnj zwri jdnofzowgo w fzi () i fzh (, ) znjdująym się w stni zwryjnym G zw =S, G zw =G zw =, ziski zwri k z =2, liz ogniw łńuh n=5 (rys.8) W złązniu przdstwiono wykrsy przigów prądów i npięć dl ou przykłdów n pozątku i końu linii. I [A] U [V] Rys.7. Przigi prądów n pozątku (A) i końu linii (B) orz npięć n pozątku (C) i końu (D) linii przy zwriu trzh fz do zimi dl n=5, k z =2, G zw =G zw =G zw =S, przypdk (i) I [A] U [V] Rys.8. Przigi prądów n pozątku (A) i końu linii (B) orz npięć n pozątku (C) i końu (D) linii przy zwriu fzy do zimi dl n=5, k z =2, G zw =S, G zw =G zw =, przypdk (ii) Uwgi i wnioski Przdstwiony w oprowniu modl, mtod nlizy, orz lgorytm możn onić jko fktywn nrzędzi In [A] Un [V] In [A] Un [V] PRZGLĄD LKROCHNICZNY, ISSN , R. 93 NR 2/27 27

5 olizniow. Umożliwi wyznzni przigów npięć i prądów dl zwrć loklnyh w dowolnym mijsu linii trójfzowj. Pono przdstwion mtod huj się pwną uniwrslnośią pozwljąą n łtwą zminę prmtrów smj linii w tym nijdnorodnj, to jst o prmtrh jdnostkowyh zlżnyh od zminnj przstrznnj x, równiż dj możliwość uwzględnini połązni lini npowitrzn-kl, możliwość wyoru mijs i rzystnji zwri orz prmtrów oiążni. W przdstwionj mtodzi możn tkż uwzględnić dwustronn zsilni linii x -3 t [s] t 2t 2t Rys.9. Przigi prądów n pozątku linii przy zwriu trzh fz do zimi dl G zw =G zw =G zw =S, n=2, k z =7 Otrzymn przigi prądów i npięć świdzą o zhodząyh podzs zwrć w linii zjwiskh flowyh. N rysunku 9 pokzno przigi prądów fzowyh rjstrownyh n pozątku linii o długośi l= km podzs zwri trójfzowgo oddlongo o x=35km od jj pozątku. Zwri nstąpiło w hwili t=. Czs dotri pirwszj fli zwriowj do pozątku linii t orz zsy dotri koljnyh fl odityh punki zwri wynikją z zlżnośi uwzględnijąj prędkość propgji fli orz dystns jki przył fl. Prędkość propgji fli w linii zlży od jj prmtrów jdnostkowyh uwzględniją sprzężni indukyjn i pojmnośiow. Modl zrówno jkośiowo jk i ilośiowo poprwni opisuj zjwisko fl wędrująyh. Fizyzn zjwisko prznoszni zurzni spowodowngo jkimkolwik zkłónim, w tym przypdku wywołn przz zwri w dowolnym mijsu linii, rlizown jst przz wzjmn koljn wymuszni npięiowo-prądow sąsidnih ogniw n ih ziskh wzdłuż łgo łńuh. Przy złożniu, ż zwri wystąpiło w hwili t=, w sposó widozny n rysunku zznzony jst wpływ odlgłośi zwri od pozątku linii, wyrżony przz zs opóźnini występowni wzrostu hwilowgo prądu n ziskh pirwszgo ogniw. wrtośi k z =,2,3,4 o odpowid przy długośi linii l=km, mijsu loklngo zwri x z =2, 4, 6, 8km Cłoksztłt powyższyh rozwżń dotyzył przdstwini mtody nlizy toru jdnofzowgo orz jgo rozszrzni dl linii trójfzowj, z uwzględninim sprzężń indukyjnyh i pojmnośiowyh midzy fzmi. Przdstwion przykłdy olizniow dotyzą linii długih o silnyh sprzężnih indukyjnyh i pojmnośiowyh, w rzzywistyh ukłdh wysokonpięiowyh sprzężni t są znzni mnijsz. Modl moż stnowić uzupłnini orz nrzędzi porównwz dl innyh mtod nlizy i stnowić podstwę dlszgo ih doskonlni. Anlogizny modl moż yć stosowny dl linii prądu stłgo. Autorzy: Dr h. inż. Jk Rzmr, Polithnik Wrołwsk, Wydził lktryzny, Ktdr Podstw lktrothniki i lktrothnologii, Wyrzż Wyspińskigo 27, Wrołw, - mil: jk.rzmr@pwr.du.pl; Dr h. inż. Adm Skop, mrytowny prof. P. Wr. Polithnik Wrołwsk, Wydził lktryzny, Ktdr Podstw lktrothniki i lktrothnologii, Wyrzż Wyspińskigo 27, Wrołw; Dr inż. Czsłw St, Polithnik Wrołwsk, Wydził lktryzny, Ktdr Podstw lktrothniki i lktrothnologii, Wyrzż Wyspińskigo 27, Wrołw, -mil: zslw.st@gmil.om LIRAURA [] Cholwiki.: lktryzn lini długi i ukłdy drinkow, PWN, 974, Wrszw [2] Gntmhr F. R.: ori mirzy, Wydwnitwo Nuk (j. ros.), 967 Moskw [3] Hrt H. W.: nginring ltromgntis, MGrw-Hill, 974, Nw York-oronto [4] Gustvsn B.: Modl domin-sd modling of prlll trnsmission lins with mphsis on urt rprsnttion of mutul oupling ffts, I rns. Powr Dlivry, Vol.27, Nr.4, grudziń 22, s [5] Konorski B.: Podstwy lktrothniki, tom.-4, PWN, 97, Wrszw [6] Lwinsztjn M. Ł.: Zstosowni rhunku oprtorowgo do olizni stnów niustlonyh w owodh trójfzowyh, WN, 967, Wrszw [7] dtoshi Skin, Hidki Asi: Blok-ltny insrtion mthod (Blok-LIM) for fst trnsint simultion of tightly oupld trnsmission lins, I rnstions On ltromgnti Comptiility, Vol. 53, Nr., luty 2, s [8] Vr J.-P.: lktronik impulsow. Stny niustlon w linih sprzężonyh, WN, 976, Wrszw [9] Węgrzyn S.: Przigi niustlon w lktryznyh linih i ukłdh łńuhowyh, PWN, 958, Wrszw [] Vn hiln B., Vndnosh G.: Fst trnsmission lin oupling lultion using onvolution thniqu, I rns. on ltromgnti Comptiility, Vol. 43, Nr., luty 2, s.-7 I [A] Rys.. Przigi prądu fzy n pozątku linii przy zwriu trzh fz do zimi dl G zw =G zw =G zw =S, n=5 orz różnyh 272 PRZGLĄD LKROCHNICZNY, ISSN , R. 93 NR 2/27