Anna Lemańska "Razwitije priedstawlienij o nadiożnosti matiematiczeskogo dokazatielstwa", W. J. Pierminow, Moskwa 1986 : [recenzja]

Transkrypt

1 Anna Lemańska "Razwitije priedstawlienij o nadiożnosti matiematiczeskogo dokazatielstwa", W. J. Pierminow, Moskwa 1986 : [recenzja] Studia Philosophiae Christianae 24/1,

2 RECENZJE W. J. Pierm inow, R azw itije priedstaw lienij o nadiożnosti m atiem aticzieskogo dokazatielstw a, Izd. M oskowskogo U niw ersitieta 1986, ss Na przełom ie X IX i XX w. odkrycie antynom ii w teorii mnogości spowodowało rew izję głoszonych przedtem poglądów na n atu rę m atem atyki, a w szczególności podważyło w iarę w pewność i ścisłość bej dyscypliny naukow ej. Trzy program y: logicyzmu, intuicjonizm u i fo r m alizmu, których zasady zostały określone na początku XX w., miały za zadanie znalezienie podstaw, dzięki którym m atem atyka mogłaby być znowu uw ażana za ideał ścisłości. A rgum enty przeciw ników poszczególnych kierunków, a także w yniki uzyskane w badaniach nad podstaw am i m atem atyki w ykazały niemożliwość pełnej realizacji każdego z wym ienionych program ów. Obecnie powszechnie znane są tezy zarówno zw olenników jak i przeciw ników logicyzmu, form alizm u bądź intuicjonizm u i w zasadzie można uznać, iż dyskusja nad tym i kierunkam i stanow i już pew ien zam knięty etap w historii filozofii m atem atyki. Obok usiłowań oparcia m atem atyki n a niepodważalnych podstaw ach bez w ykraczania poza tę dyscyplinę, czynione były również próby określenia istoty m atem atyki przy pomocy ogólnych zasad m etafizycznych lub teoriopoznawczych (np. koncepcja m arksistow ska), czy też dotyczących nauki jako całości (np. poglądy I. Lakatosa). W wymienionych, a także w innego typu poglądach nastąpiło zanegowanie trw ającego ponad dw a tysiące lat Ideału m atem atyki jako wiedzy ścisłej, niepodw ażalnej, k tó ra może służyć za wzór do naśladow ania dla innych dyscyplin naukow ych. Obecnie w filozoficznej refleksji nad m atem atyką brakuje w zasadzie rozw iązań pozytywnych. Głoszone są poglądy bądź negujące możliwość osiągnięcia w m atem atyce ścisłości i niepodważalności rezultatów, bądź też trak tu je się m atem atykę tylko jako wygodny język, czy narzędzie m ające zastosowanie w naukach przyrodniczych. W tym kontekście praca W. J. Pierm inow a, w k tó rej znalazły się rozw iązania pozytywne, zasługuje na uwagę. A utor próbuje wykazać, opierając się na faktach z historii m atem atyki, a także na aktualnym obrazie tej dyscypliny, że dowód można uważać za ścisły, a tw ierdzenia m atem atyczne za pewne i niepodw ażalne. P unktem w yjścia dla rozw ażań P ierm inow a jest uznanie m atem atyki za funkcjonalnie podległy podsystem w system ie całej wiedzy naukow ej (s. 12). Z takiej funkcjonalno-system ow ej perspektyw y A utor bada problem ścisłości w m atem atyce. W arto w tym m iejscu zwrócić uwagę, iż m atem atyka jest rozpatyw ana zarówno w ścisłym powiązaniu z innym i naukam i, jak i w swoim historycznym rozwoju. A spekt historyczny jest bardzo ważny, gdyż A utor miał możliwość dzięki niem u przebadania, jak zm ieniały się poglądy na interesujące go problemy, w szczególności ukazuje funkcjonow anie różnych norm i k ry te riów ścisłości. Dla całości pracy podstawowe znaczenie m a rozdział I (Hermetyczność i wiarygodność dowodu G ierm ieticznost i dostow iernost dokazatielstwa), w którym Pierm inow w prow adza określenia i rozróżnienia, w y korzystyw ane w całej książce. D efiniuje pojęcie herm etyczności dowodu m atem atycznego oraz dzieli dowody na dwa typy: dowody treściow e

3 (sodierżatielnyje dokazatielstw a) i dowody form alne. W edług niego dowód treściow y opiera się na pew nych oczywistych własnościach badanych obiektów, k tóre nie są w jaw ny sposób uwzględniane w założeniach. Dowód taki nie jest więc herm etyczny. T endencja do jawnego precyzow ania w szystkich przyjm ow anych założeń oraz w ykorzystyw anych środków logicznych doprowadziła do form alizacji teorii m atem atycznych. Sform alizow anie argum entów stanow i dopiero gw arancję pełnej herm e tyczności dowodu. Istotne w poglądach Pierm inow a jest stw ierdzenie, że pomim o form alizacji żadne rozum ow anie człowieka nie jest w olne od elem entów treściow ych oraz intuicji (ss ). W dalszym ciągu tego rozdziału A utor w yróżnia dw a poziomy dowodu: intuicyjny i lingw istyczny oraz stw ierdza, iż tylko na poziomie lingw istycznym można utw o rzyć procedurę, k tó ra zapew ni nam pełną herm etyczność dowodu. W rozdziale II (Niezawodność norm logicznych Nadieżnost logiczieskich norm) bada, w jaki sposób jest w ykorzystyw ana logika w dowodach m atem atycznych. Zasadniczą tezą tego rozdziału jest to, iż logika klasyczna stanow i realną podstw ę dla rozumowań. Z tego względu system y logik odm iennych od klasycznej nie wnoszą niczego nowego w próby w yjaśnienia, jak przebiegają nasze rozum ow ania; nie dają bowiem adekw atnego obrazu tego, jak w rzeczyw istości m yślimy. Rozdział III (Jednoznaczność dowodu w system ie przesłanek Odnoznacznost dokazitielstw a w sistiem ie posyłok) jest poświęcony zagadnieniu niesprzeczności system ów dedukcyjnych oraz w nioskom w y pływ ającym z tw ierdzeń Gödla. Zdaniem Pierm inow a tw ierdzenia Godła nie w ykluczają możliwości istnienia logicznego uzasadnienia niesprzeczności m atem atyki, gdyż pojęcia finityzm u i w iarygodności nie pokryw ają się (ss ). Tym sam ym nasz A utor uznaje, iż pew ne dowody niesprzeczności m atem atyki takiego typu, jak przeprow adził G. Gentzen, mogą stanowić uw iarygodnienie m atem atyki. Pogląd taki jest odrzucany przez większość badaczy podstaw m atem atyki, tym niem niej argum enty, które przytacza Pierm inow na poparcie swego stanow iska, zasługują na uwagę. W rozdziale IV (Tautologiczność dowodów Tawtołogicznost' dokazatielstw ) natom iast Pierm inow bada, czy dowód tw ierdzenia m atem a tycznego jest tautologiczny tzn., czy zaw iera w ięcej inform acji, niż mieści się jej w założeniach. A utor uważa, iż dowód nie jest pozbawiony elem entów treściowych, a w sam ym tw ierdzeniu jest więcej inform acji niż w aksjom atach. Dzieje się tak dlatego, że w dowodzie opieram y się z reguły nie tylko na sam ych aksjom atach teorii, lecz również n a przyjętych określeniach, które, zdaniem Pierm inow a, konkretyzują św iat re lacji zadany przy pomocy aksjom atów (s. 194). Poza tym z psychologicznego p u nktu w idzenia tw ierdzenie jest czymś nowym, gdyż ukazuje niedostrzegane poprzednio pow iązania m iędzy badanym i obiektam i. Należy też odnotować, iż Pierm inow ustosunkow uje się do poglądów tych autorów, którzy w ypow iadali się na tem aty przez niego poruszone. Obszernie om awia koncepcje I. Lakaitosa (4 paragraf I rozdziału), I. K anta, J. S. Milla, E. H usserla, J. P iageta (2 paragraf II rozdziału), intuicjonistów (4 paragraf II rozdziału) oraz J. H intikki (3 p aragraf IV rozdziału). Z tego krótkiego przeglądu treści poszczególnych rozdziałów pracy P ierm inow a widać, jak wiele różnych problem ów zostało w niej po ruszonych. Główny cel książki stanow i próba w ykazania, iż dowód w m a

4 tem atyce jest ścisły, że w yniki uzyskane zgodnie z w ym ogam i m etodologicznymi staw ianym i dowodom są pewne, a w iara m atem atyków w jednoznaczność dowodu m a w pełni obiektywne podstaw y (s. 177). Zdaniem Pierm inow a pewność i ścisłość m atem atyki jest zw iązana z istnieniem intuicyjnie oczywistych założeń, na których opierają się teorie m atem atyczne. Elem enty intu icy jn e i treściow e obecne w każdym dowodzie w spółistnieją z pełną herm etycznością i wiarogodnością dowodu. Aby to w ykazać, A utor analizuje cztery typy intuicji, które, jego zdaniem, odgryw ają rolę w tw orzeniu w iedzy m atem atycznej. Są to intuicje: em piryczna, prakseologiczna, k ategorialna i konceptualna. N ajprostszym typem intuicji jest intuicja em piryczna, k tó ra w ykształca się w czasie długiego obcow ania z zadanego typu obiektam i. P rzejaw ia się w tym, że m atem atyk niejako wyczuw a, czy dany problem jest możliwy do rozwiązania, jakie m etody można będzie zastosować itp. (ss ). Z logicznego p u n k tu w idzenia intu icja em piryczna sta now i niejaw ną form ę rozum ow ania przez analogię (s. 29). Podobną rolę w tw orzeniu m atem atyki jak in tu icja em piryczna odgryw a intuicja konceptualna. Ten rodzaj intuicji w ytw arza się w czasie badania obiektów pew nej teorii m atem atycznej i dotyczy wyłącznie tych przedm iotów. Możliwość pow stania intuicji konceptualnej widzi P ierm inow w tym, że każda teoria w ytw arza swoje w ew nętrzne intuicyjne tło w tórną intuicję zw iązaną tylko z obiektam i danej teorii. In tuicje em piryczna i konceptualna nie stanow ią oparcia dla pewności tw ierdzeń m atem atycznych. Taką podstaw ę natom iast dają intuicje prakseologiczna i kategorialna. Intuicja prakseologiczna przejaw ia się w bezpośrednim w idzeniu św iata przedmiotowego. O piera się n a zdolności człowieka do rozróżniania i utożsam iania przedm iotów i ich prostych kom binacji (s. 30). Intuicja prakseologiczna w yraża się w szczególności w zdolności do bezpośredniego ustalania możliwości lub n iemożliwości istnienia określonych kom binacji przedm iotów (s. 31). P ierm inow uw aża, iż znaczna część tw ierdzeń m atem atycznych zawdzięcza sw oją w iarogodność w łaśnie tego ty p u intuicji, gdyż treść tych stw ierdzeń odw ołuje się (czasami pośrednio) do konstatacji dotyczących ilości bądź uporządkow ania pew nych elem entów. W prawdzie określony człowiek może pomylić się przy liczeniu lub stw ierdzaniu uporządkowania, to jest jednak mało prawdopodobne, by duża grupa ludzi popełniła ten sam błąd. Z tego względu intuicja prakseologiczna może stanow ić swoistego rodzaju kryterium prawdziwości tw ierdzeń m atem atycznych (s. 48). P raw dy m atem atyczne oparte na tego typu intuicji Pierm inow nazyw a w iarogodnym i z dokładnością do społeczno-praktycznej konstatacji lub granicznie uzasadnionym i (priedielno óbosnowannym i). Teoretycznie nie można oczywiście wykluczyć błędów, to jednak praktycznie pom yłka jest niemożliwa, gdy odwołam y się do doświadczenia całego społeczeństw a (s. 31). Na poparcie tej tezy Pierm inow przytacza przykłady z historii m atem atyki, stosunkowo szybkiego elim inow ania przez społeczność m atem atyków błędów popełnionych przez indyw idualnego badacza. Pierm inow stw ierdza, iż człowiek posiada zdolności do ujm ow ania pewnych ogólnych w łasności bytów czyli kategorii. Intuicja kategorialna stanow i zatem jedną ze stron procesu bezpośredniego poznaw ania św iata. D ruga strona tego procesu jest związana z intuicją prakseologiczną, k tóra odnosi się do poszczególnych przedm iotów i ich kom binacji. N atom iast dzięki intuicji kategorialnej poznajem y pew ne ogólne własności bytów takie ja k nieskończoność, ciągłość itp.

5 W m atem atyce, zwłaszcza w geom etrii euklidesowej, m am y również do czynienia ze stw ierdzeniam i, których wiarogodność m ożna uznać poprzez odwołanie się do intuicji kategorialnej. Pierm inow uważa, iż praw dy m atem atyczne poznane przez in tu icję prakseologiczną bądź k a- tegorialną nie podlegają logicznym korekturom, są niejako ponad logiką i żadne praw a logiczne nie mogą spowodować ich zmiany. Z daniem P ierm inow a dzięki tym typom in tu icji można uznać tw ierdzenia m atem atyczne za pew ne a dowody za ścisłe. Szczególną rolę w tym zakresie odgrywa in tu icja prakseologiczna, k tó ra stanow i podstaw ę również dla uznania pewności dowodów sform alizowanych. Takie dowody są w praw dzie w olne od elem entów treściowych, to jednak sam a idea dowodu sform alizow anego zn ajd uje sw oje źródło i podstaw ę w in tu icji prakseologicznej (s. 40). Zaufanie do intuicji, uznanie wiedzy intuicyjnie oczywistej za punkt oparcia dla pewności i w iarogodności tw ierdzeń nie są czymś oryginalnym i nowym w m yśli filozoficznej. W ystarczy wspom nieć koncepcje K artezjusza, fenomenologów, Bergsona, w których w praw dzie różnie pojm uje się i tłum aczy możliwość intuicji, tym niem niej uznaje się istnienie praw d poznaw anych przez nią. Pierm inow nie tylko uważa, iż intuicja daje poznanie granicznie uzasadnione, lecz próbuje także dać odpowiedź, dlaczego jest to możliwe. W jego rozw iązaniu tego problem u w idać w yraźny w pływ idei m aterializm u dialektycznego. P ie r minow bowiem uważa, iż podstaw ą dla uznania szczególnej roli intuicji prakseologicznej w uzasadnianiu pewności tw ierdzeń m atem atycznych jest p rak ty k a społeczno-historyczna społeczeństwa. Należy jednak zw rócić uwagę, iż Pierm inow inaczej w ykorzystuje kategorię p rak ty k i społecznej, niż się ta czyni pow szechnie w tilozofii m a tem a tyki n urtu m a rk sistowskiego. Zwolennicy diam atu uw ażają bowiem, że p rak ty k a społeczna służy jako kryterium potw ierdzające prawdziwość całej wiedzy m atem atycznej, bądź jej poszczególnych teorii ale jako k ry teriu m pośrednie. Potw ierdza się bowiem teorie m atem atyczne jako części teorii przyrodniczych. Pierm inow zaś odw ołuje się do praktyki społeczno- -historycznej przy uzasadnianiu pew ności i oczywistości p raw d ujm o w anych intuicyjnie. Powołanie się na kategorię prak ty k i społeczno-historycznej przy uzasadnianiu nieom ylności in tu icji może budzić różnego rodzaju zastrzeżenia. W arto więc odnotować, iż można szukać upraw om ocnienia dla intuicji bez odwoływania się do kategorii praktyki społeczno-historycznej. W ystarczy wspom nieć o dwóch takich rozw iązaniach. M ianowicie J. Piaget uważa, iż przyczyna tego, że ludzie m yślą w zasadzie jednakow o i uznają za intuicyjnie oczywiste pewne praw dy, leży w takich sam ych etapach rozw oju stru k tu r poznawczych stym ulow anych dośw iadczeniem fizycznym i logiczm o-matematycznym podm iotu. Zwolennicy ew olucyjnej teorii poznania jeszcze inaczej tłum aczą w ystępow anie intuicyjnie oczywistych praw d. Odwołują się do wrodzonych, nabytych na drodze ew olucji kategorii poznaw ania, ujm ow ania rzeczywistości fizycznej, które jako swoistego rodzaju form y przystosow a nia organizm u do środowiska inform ują o tym otoczeniu i jednocześnie stanow ią podstaw ę do takiego samego w idzenia świata. W ydaje się więc konieczne rozpatryw anie roli intuicji w tw orzeniu m atem atyki w znacznie szerszym kontekście, niż uczynił to Pierm inow. Stworzyłoby to bow iem możliwości dla głębszego i wieloaspektow ego ujęcia problemu. Tym niem niej cenne w poglądach P ierm inow a jest dow artościo

6 w anie roli intuicji w procesie tw orzenia m atem aty k i i ukazanie n a możliwość uzasadniania pewności wiedzy m atem atycznej poprzez odwołanie się do intuicji prakseologicznej. A nna Lem ańska Prob lem a poiska żizni too W sjeletmoj, T rudy tallinskogo simpoziuma, M oskwa 1986, 256 stron. M amy przed sobą m ateriały z sym pozjum odbytego w T allinie w1 dniach od 7 do 11 grudnia 1981 roku, poświęconego problem ow i istnienia oraz poszukiw ania życia we Wszechświecie. Sym pozjum to zgromadziło liczną grupę uczonych z ZSSR, nadto 8 osób ze Stanów Zjednoczonych i po jednym uczestniku z F rancji, Japonii, K anady, Bułgarii, Polski i W ęgier. Recenzow any tom zaw iera ogółem 39 prac, które zostały zgrupow a ne w trzech działach: 1. Ogólne zagadnienia zw iązane z pow staniem i rozw ojem życia we W szechświecie (19 prac), 2. M ateriały i w yniki poszukiw ania życia rozumnego we W szechświecie (9 prac), 3. P ersp ek tyw y i program y (11 prac). P rezen tu ją one szeroki w achlarz hipotez i stanow isk tyczących się tem atyki sympozjum. A więc np. I. S. Szkłowski opowiada się za hipotezą głoszącą, że życie rozum ne na Ziemi jest czymś unikalnym w Kosmosie. Inaczej widzi to zagadnienie N. S. Kardaszew, który jest zdania, iż w śród obserwowanych przez nas obiektów astronom icznych w inny występować takie, które będą świadczyć o działalności na nich istot rozum nych. K. K. R ebane rozważa problem łączności z cyw ilizacjam i pozaziemskimi z pu n k tu w idzenia pierw szej i drugiej zasady term odynam iki. W skazuje n a możliwe drogi znalezienia sygnałów od cyw ilizacji pozaziem skich. Z w raca rów nież uw agę n a w artość tego rodzaju badań dla ludzkości. B. N. Panow kin krytycznie ustosunkow uje się do tradycyjnego podejścia do zagadnienia pow stania życia poza Ziemią, które polega n a ekstrapolow aniu m odelu pow stania życia na Ziemi. P roponuje podejście alternatyw ne w oparciu o cybernetykę charakteryzujące się uw zględnianiem ogólnych praw idłow ości tyczących się system ów sam oorganizujących się. Jest zdania, że przystosow anie się sam oorganizujących się system ów do otoczenia powoduje w ytw orzenie specyficznego środowiska. K onsekw entnie istnieje podstawa, aby przypuszczać, że ziem ska form a życia rozumnego jest unikalna we Wszechświecie. L. W. Leskow w skazuje na znaczenie podejścia system owego do zagadnienia poszukiw ania pozaziemskich cywilizacji. Istota jego polega tu ta j na możliwości badania najbardziej ogólnych praw idłow ości ew olucji cywilizacji kosm icznych niezależnie od tego jak liczny jest ich zbiór. M. Subotowicz i Z. P apro tn yj podają krytyczny przegląd m etod poszukiw ania cyw ilizacji pozaziemskich. W yróżniają cztery ich rodzaje: 1) W y syłanie i odbieranie fal i cząstek, 2) M etody artefak ta, 3) M etody astro fizyczne, 4) M etody biologiczne. J. T arte r daje przegląd przeprow adzonych badań doświadczalnych m ających na celu poszukiw anie sygnałów od cywilizacji pozaziemskich. Przegląd ten zaczyna się od roku R edaktorzy uzupełnili go do czerw ca Z aw iera on ponad 40 program ów badaw czych. D aje dobry obraz w ysiłków włożonych celem otrzy-