POJĘCIE EFEKTYWNOŚĆ W METODACH ANALIZY GRANICZNEJ

Transkrypt

1 STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 1 MAGDALENA KISIELEWSKA POJĘCIE EFEKTYWNOŚĆ W METODACH ANALIZY GRANICZNEJ Wprowadzenie RozwaŜania ekonomistów na temat efektywności naczęście sprowadzaą się do efektywności skali i zakresu (ang. scale and scope economies), które dotyczą albo wyboru efektów działania firmy (przy danych nakładach), albo efektywności typu X (ang. X-efficiency), odnoszące się do stopnia wykorzystania nakładów (dla osiągnięcia danych efektów). Wybitni ekonomiści P.A. Samuelson i W.D. Nordhaus głoszą nawet pogląd, Ŝe efektywność est być moŝe głównym przedmiotem ekonomii i naogólnie rzecz umuąc est ona brakiem marnotrawstwa. Według tych autorów, gospodarka funkconue efektywnie, eśli nie moŝna zwiększyć produkci ednego dobra bez zmnieszania produkci innego, co est ednoznaczne z osiągnięciem krawędzi moŝliwości produkcynych 1. W artykule przedstawiono wymienione kategorie efektywności wykorzystywane w metodach analizy graniczne. Omówiono takŝe podstawy matematyczne pomiaru efektywności przy wykorzystaniu napopularniesze z tych metod Data Envelopment Analysis (DEA). 1 P.A. Samuelson, W.D. Nordhaus: Ekonomia. T. 1. PWN, Warszawa 1995, s. 185.

2 190 Magdalena Kisielewska 1. Ekonomia skali i zakresu Przymue się, Ŝe firma osiąga korzyści skali (ang. scale economies), eśli wzrostowi efektów e działania towarzyszy proporconalnie niŝszy przyrost nakładów (kosztów), co oznacza, Ŝe firma moŝe działać efektywnie przez zwiększanie poziomu produkci (skali). Za firmę działaącą w obszarze dyzekonomii skali (ang. scale diseconomies) uwaŝa się taką, w które obniŝenie produkci (efektów) powodue wyŝsze niŝ proporconalne obniŝenie kosztów, a więc firma ta moŝe być bardzie efektywna, eśli ograniczy skalę działania. Efektywność zakresu (ang. scope efficiency) dotyczy takich przypadków, gdy firma produkue nabardzie efektywny pod względem kosztów zestaw (mix) produktów. Dla danego poziomu efektów ednostkowy koszt produkci moŝe być niŝszy, eśli firma produkue cały zakres (asortyment) produktów, niŝ eśli specalizowałaby się w kilku z nich, albo odwrotnie moŝe się okazać, Ŝe koszty będą ednak niŝsze w przypadku specalizaci. W pierwszym przypadku mówimy o ekonomii zakresu (ang. scope economies), w drugim o dyzekonomii zakresu (ang. scope diseconomies) 2. Ekonomia skali i zakresu są wzaemnie powiązane fakt, Ŝe firma produkue wyroby lub świadczy róŝnego typu usługi (szeroki zakres produkci) pozwala e na zwiększenie skali działania. Oczywiście, przekroczenie określonego zakresu działania zwiększy koszty ednostkowe. 2. Efektywność typu X Efektywność typu X bada, czy firma wykorzystue zasoby (nakłady) pozostaące do e dyspozyci, takie ak praca, ziemia, kapitał, w nabardzie efektywny pod względem kosztów sposób to znaczy, czy dany poziom i zestaw efektów est wytwarzany w moŝliwie natańszy sposób 3. Jeśli nie, to firma albo nie wykorzystue części swoich zasobów, albo stosue nieodpowiednią ich 2 L.J. Mester: How Efficient are Third District Banks. Business Review. Federal Reserve Bank of Philadelphia, January 1994, s Por. formułę oszczędnościową zasady raconalnego gospodarowania O. Langego: Ekonomia polityczna. T. I, II. PWN, Warszawa 1980, s. 147; T. Kotarbiński: Traktat o dobre robocie. Ossolineum, Łódź 1955, s. 117.

3 Poęcie efektywność w metodach analizy graniczne 191 kombinacę do wytwarzania danego poziomu efektów. MoŜna wyróŝnić kolene dwie kategorie efektywności, związane z efektywnością typu X, a mianowicie: a) nieefektywność techniczną, określaną takŝe mianem czyste nieefektywności techniczne (ang. technical albo technological inefficiency, albo ratio inefficiency, albo purely technical inefficiency 4 ); b) nieefektywność alokacyną (ang. allocative inefficiency albo mix inefficiency). Nieefektywność techniczna sprowadza się do wykorzystywania zbyt wielu nakładów do wytworzenia danych efektów i oznacza po prostu marnotrawstwo. W mikroekonomiczne teorii firmy przedsiębiorstwo nieefektywne z technicznego punktu widzenia produkue poniŝe granicy moŝliwości produkcynych. Marnotrawstwo zasobów nie est ednak edynym przeawem nieefektywności typu X. Je drugim rodzaem est nieefektywność alokacyna, występuąca wtedy, gdy nakłady na wytworzenie danego poziomu (skala) i zestawu (zakres) efektów są uŝyte przez firmę w niewłaściwych proporcach 5. Firma nieefektywna alokacynie znadue się na granicy moŝliwości produkcynych, to znaczy dla wybranych nakładów maksymalizue osiągane efekty, ale mogłaby obniŝyć koszty działania przez wybranie innych proporci zuŝywanych nakładów. Oczywiście, firma moŝe być zarówno nieefektywna technicznie (technologicznie) ak i alokacynie. Jednoczesne występowanie efektywności techniczne i alokacyne oznacza, Ŝe firma est efektywna w pełnym tego słowa znaczeniu, co est nazywane efektywnością ogólną lub całkowitą w sensie efektywności Pareto-Koopmansa (ang. overall lub total efficiency), utoŝsamianą z efektywnością ekonomiczną 6. Pomiar poszczególnych kategorii efektywności mikroekonomiczne odbywa się za pomocą sformalizowanych modeli matematycznych bądź ekonometrycznych, odnoszących się odpowiednio do następuących funkci celu: kosztów, przychodów i zysków. Wymienionym funkcom celu odpowiadaą następuące kategorie efektywności mikroekonomiczne: efektywność kosztowa 4 Ta kategoria efektywności zwana est takŝe słabą efektywnością (ang. weak efficiency) albo efektywnością Farrella (ang. Farrell s efficiency). Por. punkt 3. 5 Makroefektywność alokacyna (gospodarki) oznacza, Ŝe przy danych zasobach i technice gospodarka dostarcza konsumentom moŝliwie nawiększy zestaw dóbr. 6 KaŜda z kategorii efektywności mikroekonomiczne odnosi się do efektywności całkowite i ednocześnie kaŝdą z nich moŝna rozłoŝyć na składowe efektywności całkowite, t. efektywność techniczną i alokacyną. Por. S. Grosskopf: Some Remarks on Productivity and Its Decompositions. Journal of Productivity Analysis 2003, No 20, s

4 192 Magdalena Kisielewska (ang. cost efficiency), efektywność przychodowa (ang. revenue efficiency) i efektywność zysku (ang. profit efficiency). Po oszacowaniu dane funkci graniczne pomiar poziomu efektywności badane firmy (obiektu) odbywa się przez porównanie e z firmą (obiektem) uznaną za efektywną i będącą wzorcem efektywności. Modele matematyczne wykorzystuą nieparametryczne metody analizy graniczne: Data Envelopment Analysis (DEA) oraz Free Disposal Hull (FDH), natomiast modele ekonometryczne są podstawą parametrycznych metod pomiaru efektywności, do których zalicza się: Stochastic Frontier Approach (SFA), Distribution Free Approach (DFA), Thick Frontier Approach (TFA). Napopularniesza est metoda DEA 7. Je załoŝenia przedstawiono poniŝe. 3. ZałoŜenia metody DEA DEA est metodą deterministyczną opartą na programowaniu liniowym. PoniewaŜ moŝe być stosowana do szacowania efektywności róŝnych podmiotów od firm komercynych, po instytuce non-profit czy gospodarki państw i regionów, podmioty poddane analizie powszechnie nazywa się ednostkami decyzynymi (ang. Decision Making Units DMUs). Efektywność obiektu (DMU) est mierzona w stosunku do innych obiektów z badane grupy, uznanych za efektywne, a zatem tworzących granicę efektywności. DEA opiera się na koncepci produktywności opracowane przez G. Debreu 8 i M.J. Farrella 9, którzy produktywność zdefiniowali ako stosunek poedynczego wyniku do poedynczego nakładu: efekt nakład (1) 7 Przeprowadzone przez A.N. Bergera i D.B. Humphrey a badania wykorzystania metod analizy graniczne do pomiaru efektywności instytuci finansowych wykazały, Ŝe naczęście stosowana est DEA (69 na 129 przeanalizowanych przez nich badań). Zob. A.N. Berger, D.B. Humphrey: Efficiency of Financial Institutions: International Survey and Directions for Future Research. European Journal of Operational Research 1997, No 98, s DEA est równieŝ napopularniesza w Polsce (6 na 8 badań). Zob. M. Kisielewska: Charakterystyka wybranych metod pomiaru efektywności bazuących na krzywych efektywności. Prace Naukowe Akademii Ekonomiczne, Wrocław 2005, s G. Debreu: The Coefficient of Recourse Utilisation. Econometrica 1951, No 19 (3), July, s M.J. Farrell: The Measurement of Productive Efficiency. Journal of the Royal Statistical Society, Series A 1957, No 120(III), s

5 Poęcie efektywność w metodach analizy graniczne 193 Uęcie to zostało rozszerzone przez A. Charnesa, W.W. Coopera i E. Rhodesa na sytuacę wielowymiarową, w które występue wiele efektów i wiele nakładów. NaleŜy podkreślić, Ŝe miara efektywności zaproponowana przez M.J. Farrella odnosi się edynie do czyste efektywności techniczne, czyli wskazue, czy badany obiekt znadue się na krzywe moŝliwości produkcynych, czy nie. Nie mierzy natomiast efektywności alokacyne, czyli nie określa, czy obiekt znaduący się na granicy moŝliwości produkcynych stosue nakłady we właściwych proporcach do wytworzenia danego poziomu i zestawu efektów. Miara ta zwana est takŝe słabą efektywnością (ang. weak efficiency) 10. J.M. Farrell był świadomy tego ograniczenia i podemował próby ego przezwycięŝenia, ale ostatecznie nie podał formuły matematyczne. Udało się to dopiero A. Charnesowi, W.W. Cooperowi i E. Rhodesowi. Zaproponowane przez nich formuły matematyczne mierzą takŝe efektywność alokacyną, pozwalaąc tym samym na określenie efektywności całkowite 11. Efektywność całkowita est odnoszona do efektywności Pareta- -Koopmansa 12. Przypuśćmy, Ŝe w dane branŝy działa K firm zuŝywaących N M R nakładów na produkcę R wyników. Technologia produkci, x + y + która transformue nakłady na wyniki, moŝe być określona przez zbiór moŝliwości produkcynych: ( x) { y : y moŝe być produkowane przez x}. P = (2) 10 Zob. W.W. Cooper, L.M. Seiford, K. Tone: Data Envelopment Analysis. A Comprehensive Text with Models, Applications, Reference and DEA Solver Software. Kluwer Academic Publishers, Nowell, Massachusetts 2000, s Więce na temat podstaw DEA zob. m.in. w A. Charnes, W.W. Cooper: Preface to Topics in Data Envelopment Analysis. Annals of Operations Research 1985, 2, s ; T. Coelli, D.S.P. Rao, G.E. Battese: An Introduction to Efficiency and Productivity Analysis. Kluwer Academic Publishers, Boston 1998; G. Hanoch, M. Rothschild: Testing the Assumptions of Production Theory. A Nonparametric Approach. Journal of Political Economy 1972, No 80(2), s Zob. Handbook on Data Envelopment Analysis. Red. W.W. Cooper, L.M. Seiford, J. Zhu. Kluwer Academic Publishers, Boston Dordrecht London 2004, s. 3 4; T.C. Koopmans: Activity Analysis of Production and Allocation. Wiley, New York 1957.

6 194 Magdalena Kisielewska Przy danych empirycznych punktach (x, y ), = 1, 2, 3, K, x 0 i y 0, empiryczny zbiór moŝliwości produkcynych zdefiniowany est ako wypukła otoczka tych punktów 13 : P ( x) = ( X Y ) K K K, : X = x µ, Y = y µ, µ 0, µ = 1 (3) = 1 = 1 gdzie: K liczba firm, y wektor (1 m) wyników -e firmy, x wektor (1 n) nakładów -e firmy, Y macierz (M K) wyników, X macierz (N K) nakładów. Zgodnie z definicą efektywności Pareto-Koopmansa, dla skończonego empirycznego zbioru moŝliwości produkcynych efektywny est punkt (x i, y i ), taki Ŝe nie ma innego punktu (x, y ) w tym zbiorze, takiego Ŝe y y i oraz x x i dla kaŝdego i, = 1, 2,, K, z zachodzącą przynamnie edną ostrą nierównością. Innymi słowy, oznacza to, Ŝe produkca dane ednostki est efektywna, eŝeli nie ma w danym sektorze inne ednostki, która produkue tyle samo lub więce i zuŝywa mnie nakładów. Po wyodrębnieniu punktów efektywności Pareto ze zbioru K punktów empirycznych moŝna zdefiniować empiryczną funkcę produkci ako krawędź (ang. frontier) zbioru moŝliwości produkcynych 14. Naturalną miarą nieefektywności dane firmy est zatem e odległość między punktem empirycznym charakteryzuącym technologię firmy (x, y ) a empiryczną funkcą produkci (krawędzią zbioru moŝliwości produkcynych). Miarę taką zaproponował R.W. Shepard 15. Jego funkca odległości ma następuącą postać: 13 Przedstawiona definica empirycznego zbioru moŝliwości produkcynych est edną z wielu moŝliwych. Inne definice moŝliwości produkcynych przedstawili A. Charnes, W.W. Cooper, B. Golany, L. Seiford, J. Stutz: Foundations of Data Envelopment Analysis for Pareto- -Koopmans Efficient Empirical Production Functions. Journal of Econometrics 1985, No 30(1/2), s Ibidem. R.W. Shepard: Cost and Production Functions. Princeton University Press, Princeton 1953; R. Färe, S. Grosskopf, C.A.K. Lovell: Production Frontiers. Cambridge University Press, Cambridge 1994.

7 Poęcie efektywność w metodach analizy graniczne 195 gdzie: D y x D y θ (4) θ ( x, y ) = min : y P( x), funkca odległości między punktem empirycznym charakteryzuącym technologię firmy (x, y ) a empiryczną funkcą produkci (krawędzią zbioru moŝliwości produkcynych), wektor (1 m) wyników -e firmy, wektor (1 n) nakładów -e firmy, współczynnik efektywności obiektu, θ P(x) zbiór moŝliwości produkcynych. Funkca ta est kompletną skalarną charakterystyką technologii dane firmy. Wartość funkci odległości zawiera się w przedziale zero eden, eŝeli tylko analizowany punkt naleŝy do zbioru moŝliwości produkcynych P(x). Wartość funkci równa eden wskazue na efektywność firmy, a mniesza niŝ eden oznacza e nieefektywność. R. Fare, S. Grasskopf, K. Lovell 16 udowodnili, Ŝe funkca odległości Sheparda est odwrotnością miary efektywności techniczne zaproponowane przez J.M. Farrella F(x, y ), określone przez rozwiązanie zadania programowania liniowego modelu Data Envelopment Analysis postaci: 1 [ D ( x, y )] = F( x, y ) = max{ : θy, y P( x) } θ (5) Wartość miary efektywności techniczne Farrella pokazue, o ile trzeba średnio zwiększyć produkcę firmy, aby była ona efektywna przy te same wielkości uŝytych nakładów. Jak wspomniano, efektywność Farrella to tak zwana słaba efektywność, która nie umue pomiaru efektywności alokacyne. Pomiar ten umoŝliwili A. Charnes, W.W. Cooper i E. Rhodes przez dualne zagadnienie programowania liniowego (ang. dual linnear programming DLP), które moŝna przedstawić następuąco 17 : Ibidem. I.A. Ali: Computational Aspects of DEA. W: Data Envelopment Analysis. Theory, Methodology and Applications. Red. A. Charnes, W.W. Cooper, A.Y. Lewin, L.M. Seiford. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1995, cyt. za Analiza i ocena banków oraz ich oddziałów. Red. A. Gospodarowicz. Wyd. Akademii Ekonomiczne we Wrocławiu, Wrocław 2002, s Por. W.W. Cooper, L.M. Seiford, K. Tone: op.cit., s , 53 58; Handbook on Data, s

8 196 Magdalena Kisielewska min Θ, λ, +, s s r r= 1 m i i= 1 + z0 = Θ ε s ε s (6) przy ograniczeniach: n λ = 1 Y = s + Y0, n 0 s = = 1 Θ X λ Y λ, s + r, s i 0. 0, Tak sformułowane zadanie programowania liniowego naleŝy rozwiązać względem wszystkich n obiektów. W zagadnieniu tym rozwiązywanym względem obiektu 0 0 : X 0 est wektorem nakładów danego obiektu (o wymiarach [1 x m]), X est macierzą nakładów wszystkich obiektów (o wymiarach [n x m]), Y 0 est wektorem efektów danego obiektu (o wymiarach [1 x s]), Y est macierzą efektów wszystkich obiektów (o wymiarach [n x s]), λ i,, λ s są współczynnikami kombinaci liniowe, θ est współczynnikiem efektywności obiektu, s + oraz s określaą wartość tak zwanych luzów, powstałych w trakcie optymalizaci funkci celu, stała ε oznacza nieskończenie małą liczbę (w pierwotnym sformułowaniu rozwiązywanego problemu odgrywa ona rolę dolnego ograniczenia wag określaących wartość poszczególnych efektów i nakładów, tak by zapobiec przymowaniu przez nie zerowych wartości). Przedstawiony model est w literaturze określany mianem zorientowanego na nakłady (ang. input oriented) modelu CCR 18, w którym funkcą celu est minimalizaca nakładów na uzyskanie niezmienione wartości efektów. Drugą 18 Skrót od nazwisk autorów modelu: Charnesa, Coopera i Rhodesa.

9 Poęcie efektywność w metodach analizy graniczne 197 grupę tworzą modele zorientowane na efekty (ang. output-oriented), w których przy danych nakładach maksymalizowane są efekty 19. W modelu dualnym DEA występuą dodatkowe parametry s + oraz s, które określaą wartość luzów powstaących w trakcie optymalizaci funkci celu 20. Model DEA est bowiem rozwiązywany w dwóch etapach 21 w pierwszym dokonue się minimalizaci wartości θ, a w drugim minimalizaci wartości luzów (s + oraz s ) przy stałe wartości θ, obliczone w pierwszym kroku. Łącząc przedstawione równanie dualnego programowania liniowego (DLP) z przywołaną definicą efektywności Pareto-Koopmansa, moŝna powiedzieć, Ŝe obiekt (DMU) est w pełni efektywny wtedy i tylko wtedy, gdy 22 θ = 1 oraz s + i = s r = 0. W praktyce szacowania efektywności DEA z reguły wykorzystue się specalistyczne oprogramowanie rozwiązuące poszczególne zagadnienia programowania liniowego i szacowanie parametrów luzów (s + oraz s ) nie est istotne z punktu widzenia uŝytkownika 23. Podsumowuąc, dany obiekt (DMU) est uznany za w pełni efektywny (ang. fully efficient) w sensie Pareto-Koopmansa, eśli: a) znadue się na granicy moŝliwości produkcynych i współczynnik ego efektywności θ = 1 (100%), a zatem dany obiekt est efektywny technicznie, oraz b) uŝywa właściwych proporci nakładów i efektów (s + i = s r = 0), a zatem dany obiekt est efektywny alokacynie. Obiekty (DMU), dla których współczynnik efektywności wynosi 1 (t. 100%), leŝą na krzywe efektywności i tworzą granicę efektywności 24, natomiast ednostki leŝące poniŝe krzywe określane ako nieefektywne będą miały współczynnik efektywności mnieszy od edności Por. zasadę raconalnego gospodarowania. Zob. Analiza i ocena banków, s. 59. Stąd określenie model dualny. Handbook on Data, s. 11. Opis i podstawy matematyczne programowania liniowego (LP) moŝna znaleźć w bogate literaturze przedmiotu. Zob. m.in. W.W. Cooper, L.M. Seiford, K. Tone: op.cit.; Handbook on Data, I. Nykowski: Programowanie liniowe. PWE, Warszawa W niektórych sytuacach obiekt leŝący na krzywe efektywności moŝe mimo wszystko być określony ako nieefektywny. Na te podstawie powstało poęcie tzw. obiekt graniczny. Zob. A. Charnes, W.W. Cooper, Z.M. Huang, D.B. Sun: Polyhedral Cone-Ratio DEA Models. Journal of Econometrics 1990, No 46, s ; L.M. Seiford, R.M. Thrall: Recent Developments in DEA. The Mathematical Programming Approach to Frontier Analysis. Journal of Econometrics 1990, No 46, s

10 198 Magdalena Kisielewska Zakończenie W artykule nie wyczerpano złoŝonych zagadnień związanych z definiowaniem i pomiarem efektywności. Przedstawiono edynie coraz popularniesze podeście do pomiaru efektywności, akim est analiza graniczna i wykorzystywane w nie kategorie efektywności. W metodach analizy graniczne pomiar efektywności odbywa się za pomocą sformalizowanych modeli matematycznych lub ekonometrycznych. Pierwsze z nich wykorzystuą metody nieparametryczne: Data Envelopment Analysis (DEA) oraz Free Disposal Hull (FDH), drugie metody parametryczne: Stochastic Frontier Approach (SFA), Distribution Free Approach (DFA), Thick Frontier Approach (TFA). Naczęście stosowana est metoda DEA, które załoŝenia przedstawiono w artykule. EFFICIENCY CONCEPT IN FRONTIER ANALYSIS Summary The paper provides basics of the efficiency concepts employed in frontier analyses. These analyses are being conducted by researchers and practitioners by the means of two approaches: nonparametric using Data Envelopment Analysis (DEA) and Free Disposal Hull (FDH) and parametric: Stochastic Frontier Approach (SFA), Distribution Free Approach (DFA) and Thick Frontier Approach (TFA). Fundamentals of most commonly used method DEA are also given. Translated by Magdalena Kisielewska