EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom podstawowy ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom podstawowy ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli Centralna Komisja Egzaminacyjna 05

2 Publikacja opracowana przez zespół koordynowany przez Renatę Świrko działający w ramach projektu Budowa banków zadań realizowanego przez Centralną Komisję Egzaminacyjną pod kierunkiem Janiny Grzegorek Autorzy Barbara Andrzejewska (kierownik zespołu przedmiotowego) Agnieszka Borowska dr Wiktor Bartol (kierownik zespołu przedmiotowego) Henryk Dąbrowski dr Jacek Dymel Anna Kleinschmidt Marzena Mazur Teresa Pypeć Leszek Sochański dr Edward Stachowski Komentatorzy dr Waldemar Pałuba Andrzej Daszke Hanna Schulte-Noelle Opracowanie redakcyjne Jakub Pochrybniak Redaktor naczelny Julia Konkołowicz-Pniewska Zbiory zadań opracowano w ramach projektu Budowa banków zadań Działanie Rozwój systemu egzaminów zewnętrznych Priorytet III Wysoka jakość systemu oświaty Program Operacyjny Kapitał Ludzki

3 Spis treści Wprowadzenie 4 Zadania 5 Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności 5 Funkcje Ciągi 6 4 Geometria 9 5 Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 5 Komentarze do zadań 4 Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności 4 Funkcje 46 Ciągi 5 4 Geometria 54 5 Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 65 Rozwiązania 69 Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności 69 Funkcje 77 Ciągi 88 4 Geometria 94 5 Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 8 4 Wykaz umiejętności ogólnych i szczegółowych sprawdzanych zadaniami 4 4 Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności 4 4 Funkcje 8 4 Ciągi 4 44 Geometria Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 5

4 Wprowadzenie Prezentowany zbiór zadań jest przeznaczony przede wszystkim dla osób zamierzających zdawać egzamin maturalny z matematyki w formule obowiązującej od 05 roku Zbiór ten może być również wykorzystywany przez nauczycieli matematyki w procesie dydaktycznym jako materiał uzupełniający ponieważ zawiera wiele zadań w nowym stylu o interesującej zmuszającej do myślenia treści; także takie których nauczyciele nie znajdą w obecnych na rynku publikacjach W zbiorze zamieszczono 4 zadania które mogą wspomóc uczniów w trakcie przygotowań do zdawania obowiązkowego egzaminu maturalnego na poziomie podstawowym Zadania zostały pogrupowane tematycznie zgodnie z następującą klasyfikacją: Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności; Funkcje; Ciągi; 4 Geometria (planimetria stereometria geometria analityczna płaszczyzny trygonometria); 5 Prawdopodobieństwo i kombinatoryka (wraz z elementami statystyki) Zgodnie z wymaganiami maturalnymi w zbiorze znajdują się zarówno zadania zamknięte w których tylko jedna z podanych odpowiedzi jest prawdziwa jak i zadania otwarte wymagające przedstawienia pełnego rozwiązania w tym zadania na dowodzenie Uczeń samodzielnie przygotowujący się do egzaminu maturalnego który nie będzie miał pomysłu na rozwiązanie zadania może liczyć na pomoc w postaci wskazówek oraz komentarzy towarzyszących każdemu zadaniu podpowiadających kolejne etapy rozwiązania i uzasadniających przyjętą strategię Do wszystkich zadań zamkniętych podano prawidłowe odpowiedzi co pozwoli uczniowi sprawdzić poprawność ich rozwiązania Do zadań otwartych przedstawiono pełne rozwiązania niekiedy na kilka sposobów Tym samym uczeń bez pomocy nauczyciela podążając za wskazówkami i śledząc poszczególne etapy rozwiązania będzie w stanie pokonać zasadnicze trudności zadania lub w pełni je rozwiązać Ponadto do każdego zadania podano wymagania egzaminacyjne ogólne i szczegółowe z obecnie obowiązującej Podstawy programowej dla III (gimnazjum) i IV (szkoła ponadgimnazjalna) etapu kształcenia Mamy nadzieję że proponowany zbiór zadań będzie pomocny uczniom w przygotowaniu się do egzaminu maturalnego z matematyki a nauczycielom pozwoli wzbogacić proces nauczania o ciekawe zadania i ułatwi im realizację najważniejszego celu kształcenia matematycznego: uczeń kończący kolejny etap edukacyjny będzie znał i rozumiał pojęcia matematyczne ale przede wszystkim będzie umiał stosować wiedzę teoretyczną w rozwiązywaniu problemów również w zagadnieniach osadzonych w kontekście praktycznym Autorzy

5 Zadania 5 Zadania Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności Zadanie Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów O ile procent zmieniła się liczba mężczyzn na koniec roku w stosunku do liczby mężczyzn na początku roku? Komentarz do zadania x 04x x Najpierw musisz ustalić jakim procentem (bądź ułamkiem) liczby wszystkich studentów przyjętych na początku roku jest liczba mężczyzn na koniec roku Jeśli liczba studentów na początku roku wynosi i wśród nich jest 40% mężczyzn to liczba mężczyzn w zależności od wynosi Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmniejszyła się o 0% Zatem ile wyniosła w zależności od x? Mężczyźni stanowili wtedy % tej liczby studentów czyli ile w zależności od x? Następnie musisz policzyć jakim procentem (bądź ułamkiem) liczby mężczyzn na początku roku (00%) jest liczba mężczyzn na koniec roku Teraz już można odpowiedzieć na pytanie o ile procent zmieniła się liczba mężczyzn na koniec roku w stosunku do liczby mężczyzn na początku roku Rozwiązanie Przeprowadzamy analizę zadania Początek roku Koniec roku Liczba studentów x 09x Liczba mężczyzn 04x 9 % 09x x 0 x 0 Ustalamy jakim procentem liczby mężczyzn na początku roku jest liczba mężczyzn na koniec roku: 04 x 00% 0 x p% Zatem p 75% Liczba mężczyzn na koniec roku zmalała o % 5 w stosunku do liczby mężczyzn na początku roku

6 6 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie Funkcja jest przedział f jest funkcją kwadratową Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5 Rozwiąż nierówność f( x) 0 f 0 x Komentarz do zadania Czy wiesz jak może wyglądać wykres funkcji kwadratowej której zbiorem rozwiązań nierówności? f( x) 0 są liczby rzeczywiste z przedziału Aby rozwiązać zadanie naszkicuj wykres funkcji 5 y f ( x ) f 5 x Z podanego wzoru wynika że należy wykres funkcji f przesunąć w lewo wzdłuż osi Ox o trzy jednostki Miejscami zerowymi będą odpowiednio liczby x i x Drugą czynnością będzie przekształcenie wykresu funkcji przez symetrię względem osi Ox Zauważ że to przekształcenie zmienia kierunek ramion paraboli ale nie zmienia punktów leżących na osi Ox więc liczby są miejscami zerowymi funkcji y f ( x ) x i y x f ( x ) Zadanie Wartość wyrażenia A B jest równa C D Zadanie 4 Odwrotnością liczby 8 4 jest liczba A B Zadanie 5 Liczba A B C D jest równa 4 C D

7 Zadania 7 Zadanie 6 Dane są liczby a i b a log b log Wyznacz logarytm dziesiętny z liczby 7 za pomocą Zadanie 7 Liczba o większa od liczby log5 4 jest równa A log5 6 B log58 C log5 9 D log5 00 Zadanie 8 Na lokacie złożono 000 zł przy rocznej stopie procentowej p% (procent składany) Odsetki naliczane są co kwartał Po upływie roku wielkość kapitału na lokacie będzie równa A 4 p B p C p D p Zadanie 9 Dany jest trójkąt o bokach długości a b c Stosunek jest fałszywe? A Liczba c jest o 5% mniejsza od liczby a b B Liczba a stanowi 0% liczby a b c C Liczba a stanowi 5% liczby b c D Liczba b to 60% liczby c Zadanie 0 a: b: c jest równy :5: 7 Które zdanie Nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi % w stosunku rocznym (bez uwzględnienia podatku) Odsetki kapitalizowane są na koniec każdego kolejnego okresu czteromiesięcznego Oblicz jaką kwotę wpłacono na tę lokatę jeśli na koniec ośmiu miesięcy oszczędzania na rachunku lokaty było o 9656 zł więcej niż przy jej otwarciu Zadanie W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na koniec roku była o 0% mniejsza niż na początku W drugim roku wzrosła i ukończyło go 0% więcej uczniów niż pierwszy O ile procent w stosunku do liczby uczniów kończących drugi rok zmniejszyła się ich liczba w następnym roku jeśli na koniec trzeciego roku było tyle samo uczniów co na początku pierwszego? Wynik zaokrąglij do 0% Zadanie Autobus nazywamy przepełnionym jeżeli w pewnym momencie znajduje się w nim co najmniej 50 pasażerów Dwóch inspektorów monitoruje liczbę pasażerów w tych samych dziesięciu autobusach Jeden z nich obliczył jaki procent wszystkich autobusów stanowią autobusy przepełnione a drugi jaki procent wszystkich pasażerów w 0 autobusach stanowili pasażerowie podróżujący przepełnionymi pojazdami Wiadomo że liczba autobusów przepełnionych należy do zbioru 9 Który z inspektorów otrzymał większą liczbę?

8 8 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie Dane są liczby Wykaż że ab 0 a log log 6 b log6 log8 Zadanie 4 Uzasadnij że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x różnych od wartość wyrażenia x x x log log 9 x jest większa od Zadanie 5 Na rysunku przedstawiono wykresy trzech parami przecinających się prostych Te proste to A x y x y x 8y 7 B x y x y x 8y 7 C x y x y x 8y 7 D x y x y x 8y 7

9 Zadania 9 Zadanie 6 Dany jest trójkąt ABC którego boki zawierają się w prostych o równaniach: y7 x oraz y 0 Oblicz pole trójkąta ABC y x Zadanie 7 Wyznacz takie liczby a i b dla których układ równań układ równań 4x y 0 b x y a 0 4x y 0 ax y b ma nieskończenie wiele rozwiązań 0 jest sprzeczny zaś Zadanie 8 Rozwiązaniem układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para różnych dodatnich liczb całkowitych Jednym z równań tego układu jest 6 Wyznacz drugie równanie układu wiedząc że jest to równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych Zadanie 9 xy Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę której zbiorem rozwiązań jest przedział A xx B xx 4 C x x D x x Zadanie 0 W tabelce podano wartości funkcji kwadratowej argumentów f ( x) ax bx c dla wybranych trzech x 0 6 f(x) 0 Rozwiąż nierówność f( x) 0 Zadanie Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od 4 w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o 5 Oblicz długość dłuższego boku prostokąta jeśli jest ona liczbą całkowitą parzystą

10 0 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie Równanie x 4x A 6 x 4x nie ma takiego samego rozwiązania jak równanie B C D 6 x 4 x x x x x Zadanie Do wyrażenia x określonego dla otrzymana suma jest równa x dodano jego odwrotność Oblicz x dla którego Zadanie 4 Do napełniania basenu służą dwie pompy Pierwsza z nich ma wydajność o 0% większą niż druga Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o godzinę i 40 minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy Oblicz jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy pracując jednocześnie Zadanie 5 Na rysunku obok jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej f Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x Rozwiązaniem nierówności f x 0 jest zbiór y f A B 0 x C 6 D 9 Zadanie 6 Funkcja W jest określona wzorem 4 Równość A W W 0 a B W x x bx a dla wszystkich liczb rzeczywistych zachodzi gdy a C a D a

11 Zadania Zadanie 7 Na tablicy zapisano następujące potęgi: Ile różnych liczb reprezentują te zapisy? A 4 B C D Funkcje Zadanie 8 Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej wiedząc że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział a wartość Komentarz do zadania 5 osiąga ona dla dwóch argumentów: i 0 Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej która spełnia warunki podane w zadaniu Zbiór wartości tej funkcji to przedział zatem ramiona paraboli skierowane są w dół Wiesz że wykres tej funkcji przechodzi przez punkty 5 i 0 5 Zauważ że punkty te leżą symetrycznie względem pewnej prostej osi symetrii paraboli Wierzchołek paraboli leży na tej prostej Dzięki temu możesz już podać pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli Drugą odczytasz ze zbioru wartości funkcji Chociaż twoim zadaniem jest napisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej to jednak na początku bardziej pomocna będzie postać kanoniczna Napisz tę postać wstawiając odpowiednio wyznaczone wcześniej współrzędne wierzchołka paraboli Do obliczenia pozostał jeszcze współczynnik a Czy wiesz jak go wyliczyć? Jeśli nie to skorzystaj z faktu że do paraboli należy np punkt 5 Po wyliczeniu a pozostaje jeszcze doprowadzić wzór do postaci ogólnej f Rozwiązanie Wykorzystujemy własność paraboli dotyczącą symetrii względem prostej 0 p 6 Zatem wierzchołek paraboli ma współrzędne W 6 Wzór funkcji możemy przedstawić w postaci f ( x) a( x 6) Wykorzystujemy fakt że do wykresu funkcji należy punkt 5: f ( x) ( x 6) 4 5 a ( 6) a 4 ; x 4 x 0 x p gdzie

12 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 9 Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych f i g Funkcja f jest określona wzorem a mniejsze z jej miejsc zerowych jest jednocześnie f x x 6x 5 miejscem zerowym funkcji g Wierzchołek W paraboli która jest wykresem funkcji f leży na y y = g (x) W 0 x Z y = f (x) wykresie funkcji g a wierzchołek Z paraboli będącej wykresem funkcji g leży na osi Oy układu współrzędnych Wyznacz wzór funkcji g Komentarz do zadania Wykorzystaj podany wzór funkcji f i oblicz miejsca zerowe (możesz wykorzystać wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego) Otrzymasz w ten sposób jedno z miejsc zerowych funkcji g Wyznacz współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji f Wykorzystaj teraz informację że punkt W leży na wykresie funkcji g Co wynika z faktu że wierzchołek Z paraboli będącej wykresem funkcji g leży na osi Oy układu współrzędnych? Zadanie 0 Różnica największej i najmniejszej wartości jakie funkcja kwadratowa przyjmuje w przedziale k dla f x x x 6 k 0 jest równa 4 Oblicz k Komentarz do zadania Zauważ że ramiona paraboli będącej wykresem funkcji f x x x 6 są skierowane w dół Największą wartością tej funkcji rozpatrywanej w zbiorze liczb rzeczywistych jest pq są współrzędnymi wierzchołka paraboli q f p gdzie Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli i sprawdź czy należy do przedziału k a następnie oblicz największą wartość jaką przyjmuje ta funkcja

13 Zadania Najmniejszą wartość funkcji obliczysz wykorzystując daną w zadaniu różnicę między największą i najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale k Teraz oblicz argument dla którego funkcja f przyjmuje wartość najmniejszą równą Ułóż i rozwiąż równanie oraz wybierz odpowiedź spełniającą warunki zadania Zadanie Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f a na rysunku wykres funkcji g 4 y 4 y y = f (x) y = g (x) y = g (x) x x Rys Rys Funkcja g jest określona wzorem A g x f x B g x f x C 4 g x f x D 4 g x f x Zadanie Wyznacz wartość największą funkcji w przedziale Zadanie Funkcja f której dziedziną jest zbiór 5 Wyznacz zbiór wszystkich wartości funkcji f jest określona wzorem f x x 6x 5 Zadanie 4 Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Ox w punktach x oraz przez punkt 0 Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej g x f x p Wierzchołek funkcji g leży na osi Oy Wyznacz wzór funkcji g x i przechodzi

14 4 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 5 Parabola która jest wykresem funkcji kwadratowej f x ax bx c przechodzi przez punkt 0 oraz układu współrzędnych Zadanie 6 f f Dana jest funkcja kwadratowa 0 Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku f x ax 4x Wierzchołek paraboli która jest wykresem tej funkcji leży na prostej o równaniu y 5 Oblicz współrzędne tego wierzchołka Zadanie 7 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej współczynnik c jest równy A B 4 f x x x c C 7 jest przedział D 0 7 Zatem Zadanie 8 Największa wartość funkcji kwadratowej domkniętym 4 4 f x a x 4 gdzie a 0 w przedziale jest równa Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale Zadanie 9 i 4 dla argumentu przyjmu- Funkcja kwadratowa f której miejscami zerowymi są liczby je wartość Uzasadnij że wykres funkcji f ma dwa punkty wspólne z prostą y Zadanie 40 Wierzchołki trójkąta ABC leżą na paraboli która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek) Pole trójkąta jest równe 8 punkt C 4 jest wierzchołkiem paraboli a punkty A i B leżą na osi Ox Wyznacz wzór funkcji f

15 Zadania 5 Zadanie 4 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy łamane Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty: A 00 A4 A 0 A5 A A6 i tak dalej Na rysunku obok jest przedstawiona łamana składająca się z dziesięciu odcinków której ostatnim A wierzchołkiem jest punkt Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n długość łamanej złożonej z n odcinków czyli takiej której początkowym wierzchołkiem jest punkt n Zadanie 4 A a końcowym An Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych i w którym A cos Zadanie 4 Dana jest liczba B 6 cos C a sin7 Zapisz liczbę A 8 A 4 Wyznacz wzór funkcji f oraz oblicz jej wartość dla sin 6 tg D tg +tg 7 w zależności od a y A 9 A 0 A A 0 x A Wtedy 6 A 6 A 7 A Zadanie 44 Oblicz wartość wyrażenia tg sin cos cos 5sin jeśli wiadomo że jest kątem ostrym oraz Zadanie 45 Kąty i są kątami ostrymi w trójkącie prostokątnym i cos Oblicz 5 tgsin Zadanie 46 Dla pewnego kąta ostrego funkcje trygonometryczne sinus i cosinus mają wartości 4 7 sin a cos a Uzasadnij że tg 4 4

16 6 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 47 Kąt jest kątem ostrym oraz b oraz Zadanie 48 c tg jest równa cos 5 6 Wykaż że średnia arytmetyczna liczb: a sin Wykaż że jeżeli i są kątami ostrymi takimi że Zadanie 49 sin 5 6 oraz tg 5 to Funkcja wymierna f jest dana wzorem f x x x Wyznacz wszystkie wartości argumentu dla których funkcja f przyjmuje wartość x x6 Zadanie 50 Najmniejszą wartością jaką funkcja kwadratowa f dana wzorem przyjmuje w przedziale 04 jest f Uzasadnij że a 0 i b 0 f x ax bx c Zadanie 5 Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale Uzasadnij że w przedziale i największą wartość dla argumentów 0 i funkcja f przyjmuje największą wartość dla argumentów Ciągi Zadanie 5 Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 000 i niepodzielnych przez Komentarz do zadania Możesz obliczyć sumę wszystkich liczb całkowitych parzystych nie większych od 000 i odjąć od niej sumę liczb parzystych podzielnych przez Ile jest liczb całkowitych dodatnich parzystych nie większych od 000? Jaki ciąg tworzą te liczby? Oblicz jego sumę Ile jest liczb całkowitych dodatnich parzystych podzielnych przez (czyli podzielnych przez 6)? Zauważ że największą liczbą parzystą podzielną przez i nie większą od 000 jest 996 Skoro liczb od do 996 jest 996 z czego co szósta będzie podzielna przez 6 to takich liczb jest 996 : 6 = 66 Oblicz sumę Teraz możesz już obliczyć sumę wskazanych liczb

17 Zadania 7 Rozwiązanie Liczb całkowitych dodatnich parzystych nie większych od 000 jest 500 Obliczamy sumę wszystkich liczb naturalnych parzystych nie większych od 000 korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: Liczby całkowite dodatnie parzyste podzielne przez zapisujemy w postaci: gdzie x jest liczbą całkowitą dodatnią Największą liczbą parzystą podzielną przez i nie większą od 000 jest 996 zatem liczb całkowitych dodatnich podzielnych przez 6 jest 66 (liczb od do 996 jest 996 z czego co szósta będzie podzielna przez 6 stąd 996 : 6 = 66) Obliczamy sumę wszystkich liczb naturalnych parzystych podzielnych przez 6 korzystając ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: Obliczamy sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 000 i niepodzielnych przez : Odpowiedź: Suma wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 000 i niepodzielnych przez jest równa 674 Zadanie 5 W pewnym ciągu geometrycznym a n wyraz a 4 6x jest osiem razy większy od wyrazu Drugi wyraz tego ciągu jest równy 6 Znajdź najmniejszą liczbę naturalną k taką że Komentarz do zadania a a 00 Każdy z wyrazów ciągu geometrycznego można przedstawić za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu Zapisując w ten sposób wyraz a 4 oraz podaną w zadaniu zależność między nim a pierwszym wyrazem możesz obliczyć nieznany iloraz ciągu (czy w danym ciągu pierwszy wyraz lub iloraz może być równy 0?) Znając iloraz i drugi wyraz ciągu możesz obliczyć pierwszy wyraz i zapisać wzór ogólny ciągu a potem zbadać (choćby sprawdzając kolejne wyrazy) kiedy wyraz ciągu jest większy od 00 k Zadanie 54 Trójwyrazowy ciąg x x x jest arytmetyczny dla A x B x C 0 x D x Zadanie 55 n W ciągu arytmetycznym a dla n a 8 oraz a a a Wtedy suma a4a5 a6 jest równa A 44 B 60 C 69 D 9

18 8 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 56 Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego gdzie n Różnica ciągu arytmetycznego b n a n jest równa dana jest wzorem równy 8 Wyznacz sumę 7 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego c c b a gdzie n n n 8 S n n 5n 4 oraz jego piąty wyraz jest n wiedząc że Zadanie 57 Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego dla n jest równa 564 Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów a i a a n Zadanie 58 n Dany jest ciąg arytmetyczny a określony dla n wzorem ogólnym Zadanie 59 b a 4a n n n4 n Wykaż że ciąg jest arytmetyczny b n określony dla Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi Uzasadnij że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy tych wyrazów Zadanie 60 W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy 6 a siódmy wyraz jest równy Kwadrat czwartego wyrazu jest równy 4 A B 4 C Zadanie 6 W ciągu geometrycznym a n 6 8 D w którym a znane są wartości dwóch wyrazów: i ak gdzie k jest pewną liczbą całkowitą dodatnią Wyznacz wyraz a 0 Zadanie a 6 Kacper przez 5 dni zapisywał swoje wydatki Zauważył że każdego dnia wydatki były niższe o 0% w stosunku do wydatków poprzedniego dnia Oblicz kwotę jaką Kacper wydał w tym czasie jeśli piątego dnia wydał 048 zł Zadanie 6 W ciągu geometrycznym a n o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy większa niż różnica między wyrazami czwartym i trzecim Oblicz iloraz ciągu a n k

19 Zadania 9 Zadanie 64 n Dany jest ciąg geometryczny a o wszystkich wyrazach różnych od zera określony dla n Wykaż że ciąg b n określony dla geometryczny n wzorem ogólnym bn an an jest Zadanie 65 Dana jest funkcja wykładnicza n Wykaż że ciąg dla a n f x x oraz ciąg o wyrazie ogólnym jest geometryczny i oblicz iloraz tego ciągu a f n n Zadanie 66 Skończony ciąg jest geometryczny Uzasadnij że mając dany tylko wyraz środkowy a a a a a4 a5 można obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu 4 Geometria Zadanie 67 Trójkąt ostrokątny ABC jest wpisany w okrąg o środku O i promieniu 4 Kąt CAB jest równy kątowi OCB oraz kąt CBA jest równy kątowi OCA Oblicz długość wysokości CD opuszczonej z wierzchołka C na bok AB Komentarz do zadania Korzystając z zależności między kątami wpisanym i środkowym opartymi na tym samym łuku ustal związek między kątami CAB i BOC Dzięki temu wszystkie kąty trójkąta BOC uzależnisz tylko od kąta CAB co pozwoli go wyznaczyć Podobnie możesz wyznaczyć miarę kąta CBA korzystając z zależności między kątami CBA i AOC W ten sposób otrzymasz istotną informację na temat typu trójkąta ABC która pozwoli na podanie długości wysokości CD (w jakim trójkącie promień okręgu opisanego jest równy jednej z wysokości?) Rozwiązanie Oznaczmy kąty: CAB ABC Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku otrzymujemy że COB Ponieważ Analogicznie dowodzimy że OCB OBC otrzymujemy czyli 45 Wobec tego trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym co oznacza że wysokość CD ma długość równą promieniowi czyli CD 4

20 0 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 68 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb o boku długości Krawędź boczna DS ma długość 4 i jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa Długości pozostałych trzech krawędzi bocznych są równe (zobacz rysunek) S A D C B Oblicz objętość tego ostrosłupa Komentarz do zadania Zwróć uwagę że wszystkie trzy trójkąty ADS BDS i CDS są prostokątne mają wspólną przyprostokątną DS a krawędzie boczne AS BS i CS są przeciwprostokątnymi tych trójkątów Jakie więc to są trójkąty? Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa i oblicz długości wszystkich boków każdego z tych trójkątów Zwróć uwagę na przyprostokątną BD trójkąta BDS która jest jednocześnie przekątną podstawy ostrosłupa Jak ma się długość tej przekątnej do długości boku podstawy ostrosłupa? Rozwiązanie I sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S b 4 b b A D B C Objętość tego ostrosłupa jest równa

21 Zadania Zadanie sprowadza się więc do obliczenia pola rombu ABCD Ponieważ krawędź DS jest wysokością ostrosłupa to trójkąty ADS BDS i CDS są prostokątne a DS jest wspólną przyprostokątną każdego z nich Ponieważ krawędzie boczne AS BS i CS mają tę samą długość to trójkąty ADS BDS i CDS mają równe przeciwprostokątne Zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika że równe są też przyprostokątne AD BD i CD To oznacza że przekątna BD rombu ABCD ma taką samą długość jak bok tego rombu więc trójkąty ABD i BCD są równoboczne Pole rombu jest więc równe Objętość ostrosłupa jest zatem równa Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa II sposób 4 V PABCD 4 P Poprowadźmy wysokość SE ściany bocznej ABS i przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku ABCD 9 PABCD V P ABCD 6 S 6 b 4 b b A E D m B C Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADS otrzymujemy Ponieważ trójkąt ABS jest równoramienny gdyż środkiem podstawy AB tego trójkąta Zatem trójkąta AES otrzymujemy AS AD DS b 4 b 5 b 5 AS BS to spodek E tej wysokości jest AE Z twierdzenia Pitagorasa dla

22 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Trójkąt EDS jest prostokątny gdyż krawędź DS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy ostrosłupa Z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta otrzymujemy Zauważmy że odcinek DE jest wysokością rombu ABCD opuszczoną z wierzchołka D na bok AB gdyż Zatem pole rombu ABCD jest równe Objętość ostrosłupa jest zatem równa AS AE ES Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa 5 9 h 4 h ES ED DS h m 4 9 m m 4 m 9 7 AE ED 9 AD PABCD V P ABCD 6 6

23 Zadania Zadanie 69 Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną AC rombu ABCD oraz wierzchołki i tego rombu A C 45 7 y C A x Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną BD tego rombu A y x B y x 4 C y x 4 D 9 y x Komentarz do zadania Z pewnością wiesz że przekątne rombu są prostopadłe Aby wyznaczyć równanie prostej zawierającej przekątną BD możesz najpierw obliczyć współczynnik kierunkowy prostej zawierającej przekątną AC Jak to zrobić? Jaki jest współczynnik kierunkowy prostej BD? Przyjrzyj się teraz odpowiedziom do zadania Na pewno zauważysz że poprawna może być tylko odpowiedź B albo D Przekątne rombu dzielą się wzajemnie na połowy więc prosta BD przechodzi przez środek odcinka AC Jak obliczyć współrzędne środka odcinka AC? Czy znając współczynnik kierunkowy prostej oraz współrzędne punktu przez który ona przechodzi potrafisz wyznaczyć równanie prostej? Zadanie 70 Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku w punkcie O i promieniu r (zobacz rysunek) A Cięciwa AC ma długość r więc O A AOC 0 B ABC 90 C BOC 60 B C D BAC 45 Zadanie 7 Punkty A B C D E są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek) Odcinki BD i AC są średnicami tego okręgu oraz BEC 60 Oblicz miarę kątacbd

24 4 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 7 Punkty A B C D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek) Odcinek DB jest średnicą tego okręgu i Wykaż że BAC CBD 90 Zadanie 7 Parami różne punkty A B C D E leżą na okręgu Odcinki DE i AC są równoległe zaś odcinek BD jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek) Wykaż że prosta BE zawiera wysokość trójkąta ABC opuszczoną na bok AC Zadanie 74 Końce odcinka AB o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek)

25 Zadania 5 Punkt C leży na odcinku AB i jest środkiem takiego okręgu o promieniu większym od 6 że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne Promień okręgu o środku C ma długość A 65 B 75 C 85 D 95 Zadanie 75 Dwa okręgi o promieniach r i R są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach A i B (zobacz rysunek) Oblicz wartość iloczynu rr jeżeli wiadomo że odcinek AB ma długość 5 A B Zadanie 76 Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg O o środku S i promieniu równym 6 oraz okrąg o środku T i promieniu długości Z punktu S poprowadzono półproste styczne do okręgu O O w punktach K i L Oblicz pole czworokąta SKTL

26 6 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 77 Pole trójkąta ABC równe jest S Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku x : y : x gdzie x i y są pewnymi liczbami dodatnimi Wyznacz pole sześciokąta którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek) C L M K N Zadanie 78 Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie C W trójkątach ABC i CDE zachodzą związki: (zobacz rysunek) Wykaż że trójkąty ABC CAB i CDE CED A AC 5 P BC CE 0 są podobne Oblicz długość boku CD O B Zadanie 79 Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym przyprostokątna AC ma długość Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AB spodek D wysokości CD leży między punktami A i E a odległość między punktami D i E jest równa (zobacz rysunek) C A D E B Oblicz obwód tego trójkąta

27 Zadania 7 Zadanie 80 Na rysunku przedstawiono trapez ABCD oraz zaznaczono wysokości DE i CF tego trapezu Punkt F jest środkiem podstawy a punkt dzieli tę podstawę w stosunku Wykaż że punkt przecięcia wysokości CF z przekątną DB dzieli tę przekątną w stosunku licząc od wierzchołka D : 7 AB E :5 Zadanie 8 W trójkącie ABC o bokach długości AC b BC a i kącie między nimi 60 poprowadzono dwusieczną kąta ACB która przecięła bok AB w punkcie D Zapisz długość odcinka CD w zależności od a i b Zadanie 8 Dany jest trapez prostokątny ABCD taki że kąty przy wierzchołkach i D są proste oraz DC a przekątna AC jest dwa razy dłuższa od ramienia DA Na podstawie AB 0 6 AB obrano taki punkt X że CX CB (zobacz rysunek) Oblicz sinus kąta XCB A Zadanie 8 Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu a punkt jest jego wierzchołkiem Rozważ wszystkie przypadki yx A 5

28 8 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 84 Dwa boki trójkąta prostokątnego ABC są zawarte w prostych o równaniach 5 y x 4 4 Wyznacz równanie prostej która przechodzi przez punkt trzeci bok trójkąta ABC Rozważ wszystkie możliwości Zadanie 85 K yx 4 oraz i zawiera Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników Uzasadnij że te proste są prostopadłe albo równoległe Zadanie 86 Punkty A należą do wykresu funkcji Oblicz współrzędne punktu C wiedząc że punkt B jest środkiem odcinka AC Zadanie 87 i B których pierwsze współrzędne są równe odpowiednio 8 f( x) x Prosta l przecina okrąg o środku S w punktach i A 8 leży na prostej l Sprawdź czy punkt S leży na prostej k o równaniu i B 8 x4y0 Punkt S Zadanie 88 Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF którego środkiem symetrii jest punkt a wierzchołek A ma współrzędne A Wiadomo że punkt P O 4 środkiem odcinka BO Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego sześciokąta jest Zadanie 89 Punkt M jest środkiem boku AB a punkt ABCD Oblicz długość boku kwadratu ABCD N 8 to środek boku BC kwadratu Zadanie 90 Trójkąt o wierzchołkach A B i C 8 środkową względem początku układu współrzędnych i otrzymano trójkąt przekształcono przez symetrię A BC Oblicz sumę kątów wewnętrznych wielokąta który jest częścią wspólną trójkąta ABC i jego obrazu tj trójkąta A BC Zadanie 9 Prosta y 0 jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach i y p x q y q 5 x p Wyznacz p i q Narysuj te proste w układzie współrzędnych

29 Zadania 9 Zadanie 9 Dany jest trapez równoramienny oraz A 97 B ABCD D 0 niebędący równoległobokiem w którym Trapez jest obrazem trapezu A B C D AB CD ABCD w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych Wyznacz współrzędne wierzchołków trapezu oraz równanie osi symetrii tego trapezu Zadanie 9 A B C D Punkt P leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach przez P AC A 60 B 04 i C obraz punktu P w symetrii osiowej względem prostej AC a przez P w symetrii osiowej względem prostej BC Uzasadnij że punkty prostej Zadanie 94 P AC C i 00 P BC P BC Oznaczmy obraz punktu leżą na jednej Przedstawiona na rysunku bryła składa się z walca i półkuli Wysokość walca jest taka jak promień jego podstawy i jest równa R R R R Objętość tej bryły jest równa A R Zadanie 95 B 5 R C R D R Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego ABCDEFGH jest kwadrat ABCD (zobacz rysunek) H G E F D C A B Kąt AHC między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych ma 50º Kąt DBG między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej jest równy A 60º B 65º C 75º D 80º

30 0 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 96 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi Punkty G E i F są odpowiednio środkami odcinków AD BC i CS (zobacz rysunek) S F D C G E A B Kątem między przeciwległymi ścianami bocznymi jest kąt A DFE B GES C ESG D ASC Zadanie 97 E Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ABCDEF (zobacz rysunek) jest równa 8 a tangens kąta między wysokością trójkąta ABF poprowadzoną z wierzchołka F i płaszczyzną podstawy ABC tego graniastosłupa jest równy 4 Oblicz pole trójkąta ABF F D B C Zadanie 98 Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego w którym krawędź podstawy ma długość 4 jest równa 6 6 (zobacz rysunek) A Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej

31 Zadania Zadanie 99 W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β takim że tworzy dłuższa przekątna tej bryły z płaszczyzną podstawy sin 7 Oblicz miarę kąta α jaki K J L I G H E D F C A B Zadanie 00 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości 6 oraz krawędzi bocznej długości Wyznacz miarę kąta między ścianami bocznymi tego ostrosłupa Wynik podaj z dokładnością do Zadanie 0 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy Zadanie 0 0 W stożku stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy Oblicz sinus kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka

32 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 0 W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AB oraz CD CB przedłużono tak że CB BE Wykaż że AC DE C (zobacz rysunek) Bok CB A D B E Zadanie 04 Tworząca stożka o kącie rozwarcia ma długość 8 Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe 48 Oblicz objętość stożka oraz miarę kąta Zadanie 05 Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości oraz krawędzi bocznej równej 8 Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AD i DC oraz przez wierzchołek H (zobacz rysunek) Oblicz pole otrzymanego przekroju 4

33 Zadania Zadanie 06 W sześcianie ABCDA BC D są odpowiednio środkami krawędzi przekątna DD i AC tworzy z płaszczyzną ABCD kąt BB oraz LAJ Punkty L i J Uzasadnij że cos tg Zadanie 07 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy jest razy dłuższa od wysokości ostrosłupa poprowadzonej na tę podstawę Wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy Zadanie 08 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny którego wysokość ma długość H oraz kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest równy 60 Wyznacz wzór na pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa w zależności od wysokości H Zadanie 09 W stożku różnica długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 6 Cosinus kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy bocznej tego stożka Zadanie 0 5 Oblicz pole powierzchni Graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości 5 oraz krawędzi bocznej długości 5 6 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek A oraz punkty L oraz J leżące na przeciwległych krawędziach bocznych w równych odległościach od dolnej podstawy Otrzymany przekrój jest czworokątem AJKL którego przekątna AK tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α (zobacz rysunek) Zapisz pole tego przekroju w zależności od kąta α Jakie wartości przyjmuje α? H G E F K L D J C A α B

34 4 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie Dana jest prosta o równaniu y x b gdzie b 0 przecina oś Oy w punkcie A zaś oś Ox w punkcie B (zobacz rysunek) Pole trójkąta AOB wyznaczonego przez tę prostą i osie układu współrzędnych jest równe 6 Oblicz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie AOB y A y x b O B x Zadanie Punkty A 76 i B opisanego na tym trójkącie jest równy są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC Promień koła A 5 6 B 5 C 0 6 D 0 Zadanie Trójkąt T w skali jest podobny do trójkąta k Pole trójkąta T T w skali k 6 jest równe 4 Trójkąt a trójkąt T jest podobny do trójkąta T T ma pole równe A B 48 C 7 D 96 Zadanie 4 Punkt A 7 jest wierzchołkiem kwadratu ABCD a punkt opisanego na tym kwadracie Bok tego kwadratu ma długość S 65 jest środkiem okręgu A 0 B 0 C 0 D 0 Zadanie 5 W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty oraz sin ABC Ob- licz tg ABC

35 Zadania 5 Zadanie 6 Do okręgu o środku O poprowadzono z zewnętrznego punktu P dwie styczne przecinające się w P pod kątem 50 (zobacz rysunek) Punktami styczności są odpowiednio punkty A i B A 50 o P O B Kąt AOB ma miarę A 90 B 0 C 0 D 50 Zadanie 7 Na płaszczyźnie dane są trzy punkty: A B 5 Wyznacz równanie środkowej poprowadzonej do boku AB w trójkącie ABC oraz C Zadanie 8 Wykres funkcji kwadratowej f danej wzorem x oraz o równaniach z wykresem funkcji f x f x x 5x przecięto prostymi Oblicz odległość między punktami przecięcia tych prostych Zadanie 9 Niech prosta k będzie dana równaniem Uzasadnij że jej obrazem w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta do niej równoległa yx 5 Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zadanie 0 W pojemniku jest 0 kul w tym b kul białych i 0 b kul czarnych gdzie b 5 Z tego pojemnika losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem Wykaż że prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym że otrzymamy dwie kule tego samego koloru jest większe od Komentarz do zadania Losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem czyli losujemy pierwszą kulę z 0 i drugą też z 0 Ile będzie wszystkich możliwych par kul w takim losowaniu? Zastosuj regułę mnożenia Obliczysz w ten sposób moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych Niech zdarzenie A polega na tym że otrzymamy kule tego samego koloru Na ile sposobów można wylosować dwie kule białe jeśli w pojemniku jest b kul białych? (losujemy najpierw jedną z b kul potem drugą również z b kul) Na ile sposobów można wylosować dwie kule

36 6 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań czarne jeśli w pojemniku jest 0 b koloru? W ten sposób wyznaczysz moc zdarzenia A kul czarnych? Ile razem będzie par kul tego samego Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A Twoim zadaniem jest wykazanie że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest większe od Zapisz odpowiednią nierówność i przekształć ją do postaci w której po jednej stronie będzie liczba 0 Przyjrzyj się drugiej stronie tej nierówności; czy dostrzegasz wzór skróconego mnożenia? Zastosuj go i wykaż że nierówność jest prawdziwa Rozwiązanie jest zbiorem wszystkich par o wartościach w zbiorze 0-elementowym Jest to model klasyczny Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na otrzymaniu kul tego samego koloru Mamy dwa rozłączne przypadki: Stąd oraz 0 00 xy otrzymamy dwa razy kulę białą otrzymamy dwa razy kulę czarną Mamy wykazać że b Przekształcamy nierówność równoważnie: A b 0 b b 0b 00 b 0b 00 b 0b 50 PA ( ) b50 50 b 0b b 5 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa bo z założenia b 5 b 0 b Uwaga: Można też obliczyć PA ( ) i wykazać że 00 b 0b50 50 b 0b00 50 b b 5 0

37 Zadania 7 Zadanie Wykonano pomiary wysokości czterech krzeseł i każde dwa rezultaty były różne Adam zapisał wyniki w metrach i odchylenie standardowe jego danych było równe Bogdan zapisał te wyniki w centymetrach i odchylenie standardowe jego danych było równe stąd że A 0 A Komentarz do zadania B B 00 A B C 0 A B A D 00 A B B Wynika Wzór za pomocą którego możesz obliczyć odchylenie standardowe danych możesz znaleźć w zestawie Wybrane wzory matematyczne Zauważ że jeżeli przez oznaczymy kolejne wyniki zapisane przez Adama w metrach a przez y k 00x dla k y y y y k 4 4 x x x x 4 kolejne wyniki zapisane przez Bogdana w centymetrach to Sprawdź że y00 x Zapisz wzór na odchylenie standardowe danych Bogdana: B y y y y y y y4 y 4 Skorzystaj z zależności y k 00x k dla k 4 oraz y00 x Zadanie Dany jest zbiór A nn gdzie n złożony z n kolejnych liczb naturalnych Wykaż że liczba wszystkich par ( ) takich że a A b A i a b oraz suma a b jest nieparzysta jest większa od liczby par których suma jest parzysta ab Komentarz do zadania Tworzymy wszystkie pary liczb ab takie że a b oraz ab należą do zbioru A { nn } Ile w podanym zbiorze jest liczb parzystych a ile nieparzystych skoro wszystkich liczb jest n i ostatnia jest liczbą nieparzystą? Zastanów się kiedy suma dwóch liczb naturalnych jest parzysta Podpowiem że obie muszą być parzyste albo obie nieparzyste Oblicz ile jest takich par różnych liczb należących do zbioru A których suma jest parzysta Skorzystaj z reguły mnożenia Zastanów się kiedy suma dwóch liczb naturalnych jest nieparzysta Podpowiem że jedna musi być parzysta a druga nieparzysta Oblicz ile jest takich par liczb należących do zbioru A których suma jest nieparzysta Pamiętaj o tym że tworzymy pary uporządkowane czyli para (parzysta nieparzysta) jest inna niż para (nieparzysta parzysta) Skorzystaj z reguły mnożenia Teraz po przeprowadzeniu tych obliczeń uzasadnij tezę

38 8 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie Rzucono 00 razy sześcienną kostką do gry Średnia arytmetyczna liczb oczek w pierwszych 40 rzutach była równa 75 a średnia arytmetyczna liczb oczek w kolejnych 60 rzutach była równa 45 Średnia arytmetyczna liczb oczek w 00 rzutach jest A mniejsza od 4 B równa 4 C równa 405 D większa od 405 Zadanie 4 Zestaw danych: x x x xn Wykaż że zestaw danych: Zadanie 5 ma średnią arytmetyczną a i odchylenie standardowe s xa x a x a xn a s s s s ma średnią arytmetyczną 0 Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: Oblicz jaką ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest równe 6 Zadanie 6 Wszystkich par a b ( ab ) takich że jest podzielna przez jest A mniej niż a 4567 i b oraz suma B dokładnie C dokładnie D więcej niż Zadanie 7 Liczb ze zbioru Z 6 których nie można uzyskać jako iloczynu dwóch niekoniecznie różnych liczb ze zbioru 6 jest A 8 B 6 C 8 D 9

39 Zadania 9 Zadanie 8 Liczb naturalnych trzycyfrowych w zapisie których każda cyfra występuje co najwyżej raz oraz suma cyfry setek i cyfry jedności jest równa 4 jest A mniej niż 4 B dokładnie 4 C dokładnie D więcej niż Zadanie 9 Ile jest wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych w zapisie których każda cyfra jest inna żadna nie jest zerem oraz jedną z cyfr jest dziewiątka? A 56 B 68 C 6 D 504 Zadanie 0 Dana jest tabela złożona z sześciu wierszy i dziewięciu kolumn (zobacz rysunek) Oblicz ile w tej tabeli można narysować zgodnie z zaznaczonymi liniami prostokątnych tabel o czterech wierszach i czterech kolumnach Zadanie Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru 0000 do numeru Te losy którym nadano numery o sumie cyfr równej trzy są wygrywające pozostałe losy są przegrywające Na tej loterii będziemy losować jeden los Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu przegrywającego Wynik przedstaw w postaci ułamka dziesiętnego w przybliżeniu do czwartego miejsca po przecinku

40 40 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie Na rysunku jest przedstawiony trzynastokąt wypukły o kolejnych wierzchołkach od A oraz przekątna AA 8 tego wielokąta A 0 A 9 A 8 A do A A 7 A A 6 A A 5 A A 4 A A Spośród wszystkich 65 przekątnych tego wielokąta losujemy jedną Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym że wylosowana przekątna będzie przecinała się z przekątną w punkcie leżącym wewnątrz trzynastokąta Wynik zapisz w postaci ułamka nie- AA 8 skracalnego Zadanie Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy losowo dwa różne wierzchołki Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołków które są końcami tej samej przekątnej ściany sześcianu Zadanie 4 Ze zbioru wszystkich krawędzi (krawędzi bocznych i krawędzi podstawy) ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego losujemy jedną krawędź a następnie z pozostałych krawędzi losujemy drugą Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym że wylosowane krawędzie będą miały wspólny wierzchołek

41 Komentarze do zadań 4 Komentarze do zadań Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności Zadanie W liczniku ułamka występuje iloczyn pierwiastków tego samego stopnia Zapisz ten iloczyn w postaci jednego pierwiastka Otrzymany wynik zapisz w postaci potęgi o podstawie Zadanie 4 Ponieważ wszystkie zaproponowane odpowiedzi są potęgami o podstawie zapisz podaną liczbę w postaci potęgi liczby Wykorzystując znane wzory dotyczące potęg otrzymasz: 8 4 liczba odwrotna do ( x 0 ) jest liczba x 4 4 x Liczbą odwrotną do np czyli Następnie zastanów się czy wiesz jaką liczbą jest 4 jest liczba x Zatem odwrotnością liczby 4 a odwrotnością liczby jest liczba x Zadanie 5 Mnożenie potęg jest możliwe wtedy gdy potęgi mają takie same podstawy lub takie same wykładniki Zapisz wszystkie czynniki w postaci potęgi o tej samej podstawie a następnie zastosuj prawa działań na potęgach Po wykonaniu działań na potęgach otrzymasz odpowiedź D Zadanie 6 Możesz zapisać liczbę 7 w postaci iloczynu potęg liczb i oraz skorzystać z twierdzenia o logarytmie iloczynu i logarytmie potęgi

42 4 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Zadanie 7 Możesz skorzystać z tego że log 5 teraz wzór na logarytm potęgi to otrzymasz: log 5 4 to inaczej otrzymasz ostatecznie odpowiedź to D Zadanie 8 log 5 4 czyli 5 Oznacza to że log 5 4 log 5 5 log 5 5 log 5 5 log Jeżeli zastosujesz Liczba o większa od Stosując wzór na logarytm iloczynu log 4 log 4 log 5 log 45 log 00 Zatem poprawna W zadaniu podana jest roczna stopa procentowa Najpierw trzeba więc ustalić w jakiej wysokości naliczane są odsetki co kwartał W roku mamy cztery kwartały więc oprocentowanie w tym okresie wyniesie lokaty wyniesie wyniesie Zadanie 9 p% p p p Zatem po upływie pierwszego takiego okresu wartość Po upływie roku (czyli czterech takich okresów) wartość ta co można otrzymać korzystając np ze wzoru na procent składany Wykorzystując podany stosunek boków możesz uzależnić długość każdego z nich od jednej zmiennej np Otrzymasz stąd że a x b 5x c 7x Aby ustalić które zdanie jest fałszywe musisz kolejno obliczyć jakim procentem (bądź ułamkiem) sumy liczb a i b jest liczba c jakim procentem (bądź ułamkiem) sumy liczb a b c jest liczba a jakim procentem (bądź ułamkiem) sumy liczb b i c jest liczba a oraz jakim procentem (bądź ułamkiem) liczby c jest liczba b x Obliczając kolejne stosunki otrzymasz: c 7x 7 875% a b x 5x 8 00% 875% 5% prawda a x 0% a b c x 5x 7x 5 5 a x 5% b c 5x 7x 4 prawda b 5x 5 7 % c 7x 7 7 Zatem odpowiedź D jest fałszywa Zadanie 0 prawda nieprawdą jest że liczba b to 60% liczby c Ponieważ oprocentowanie jest podane w skali roku (tj trzy razy cztery miesiące) najpierw musisz ustalić jakie będzie oprocentowanie w okresie czterech miesięcy (wystarczy oprocentowanie roczne podzielić przez trzy) Stosując np wzór na procent składany możesz ustalić wartość lokaty po upływie 8 miesięcy tj po dwóch czteromiesięcznych okresach Niewiadomą w uzyskanym wyrażeniu będzie wartość kwoty wpłaconej na początku Wyrażenie to przyrównaj do wartości lokaty wraz z odsetkami i stąd wylicz kwotę którą wpłacono na początku

43 Komentarze do zadań 4 Zadanie x Jeśli oznacza liczbę uczniów w szkole na początku pierwszego roku to jak zapisać liczbę uczniów na końcu pierwszego roku? Zauważ że zmniejszyła się ona o (wygodniej ci będzie zapisywać procenty w postaci ułamków) 0x Jak zapisać liczbę uczniów na koniec drugiego roku? Jak się ta liczba ma do x? Jeśli w trzecim roku liczba uczniów zmalała o na końcu drugiego roku? y% to jak się ona ma do liczby uczniów Liczba uczniów na początku pierwszego roku i na końcu trzeciego roku jest taka sama Ułóż odpowiednie równanie Zadanie Ponumeruj autobusy kolejnymi liczbami 0 według liczby pasażerów nimi podróżujących i oznacz liczbę pasażerów w i-tym pojeździe przez więc p p pk > pk+ gdzie k to liczba autobusów przepełnionych 50 p p Zapisz w postaci ułamka procent przepełnionych autobusów oraz procent pasażerów podróżujących w przepełnionych autobusach Następnie zbadaj znak różnicy tych ułamków Zwróć uwagę na to że możesz zapisać szacowania: ( 0 k)( p p pk ) 50(0 k) k p i 9 0 Podaj odpowiedź! k pk p ) 50k(0 ( 0 k ) Zadanie Korzystając ze wzorów na logarytm iloczynu logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym zapisz liczby a i b w postaci jednego logarytmu Następnie oblicz a b korzystając z działań na logarytmach Zadanie 4 Czy możesz sumę logarytmów o tej samej podstawie zapisać w innej postaci? Zauważ że Jaka jest wartość wyrażenia log x log x 9x log x x Zadanie 5 x x? B Korzystając ze wzoru na prostą przechodząca przez dwa punkty wyznacz równania prostych przechodzących przez każdą parę punktów Odczytaj współrzędne punktów podanych na rysunku: A 5 4 Prosta AC ma równanie: y ( x ) czyli x y 4 Prosta AB ma równanie: y ( x ) czyli x y 5 C

44 44 Egzamin maturalny Matematyka Poziom podstawowy Zbiór zadań Prosta BC ma równanie: 4 y ( x ) 5 czyli x 8y 7 Ponieważ żadna z tych prostych nie jest równoległa do osi Oy to możesz również skorzystać z postaci kierunkowej prostej i po podstawieniu dwóch punktów wyznaczyć jej równanie Np prosta AC ma równanie Podstawiasz współrzędne obu punktów: i a b czyli Stąd x y a b y ax b Zatem równanie przybiera postać y x a b stąd yx Mając wszystkie trzy proste sprawdź który z podanych w odpowiedzi układów zawiera te równania Jest nim układ A Zadanie 6 Zacznij od wyznaczenia A i C punktów przecięcia odpowiednio prostych: y x i z osią Ox (czyli prostą ) oraz punktu wspólnego tych dwóch prostych (oznaczmy go B) W ten sposób otrzymasz współrzędne wierzchołków trójkąta ABC Punkty A i C leżą na osi Ox Jaka jest odległość między nimi? y 7 x y 0 Punkt B znajdzie się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych więc wysokość trójkąta poprowadzona z tego wierzchołka będzie równa drugiej współrzędnej tego punktu Teraz wystarczy już tylko zastosować wzór na pole trójkąta Możesz również skorzystać ze wzoru na pole trójkąta podstawiając do niego współrzędne wierzchołków: Zadanie = = Przekształć równania (podane w układach równań) do postaci kierunkowej i wykorzystaj związki między współczynnikami kierunkowymi różnych prostych równoległych (układ sprzeczny) i pokrywających się (nieskończenie wiele rozwiązań) Otrzymasz w ten sposób warunki jakie muszą spełniać a i b Wybierz te wartości a i b dla których warunki obu układów są spełnione jednocześnie Zadanie 8 Zauważ że skoro rozwiązaniem układu jest para liczb całkowitych dodatnich to odpowiadający jej punkt musi należeć do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych Podana prosta w tej ćwiartce przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych całkowitych i tylko jeden z nich ma różne współrzędne Informacje te pozwalają dokładnie ustalić jak wygląda rozwiązanie układu Musisz teraz wykorzystać to rozwiązanie do wyznaczenia drugiego równania układu wiedząc że opisuje ono prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych i znaleziony wcześniej punkt Zadanie 9 Podany przedział jest rozwiązaniem takiej nierówności w której występuje funkcja kwadratowa zerująca się w końcach tego przedziału Jej wzór możesz napisać korzystając z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej Ponieważ końcami przedziału są liczby x i x to