9. Metrické prostory I 9.1. Základní pojmy Definice. Metrickým prostorem budeme rozumět dvojici (P, ϱ), kde P je množina bodů a ϱ : P P
|
|
- Włodzimierz Janik
- 2 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 9. Metrické prostory I 9.1. Základní pojmy Definice. Metrickým prostorem budeme rozumět dvojici (P, ϱ), kde P je množina bodů a ϱ : P P R splňuje (i) x, y P : ϱ(x, y) = x = y, Funkci ϱ nazýváme metrika. (ii) x, y P : ϱ(x, y) = ϱ(y, x), (symetrie) (iii) x, y, z P : ϱ(x, z) ϱ(x, y) + ϱ(y, z). ( -nerovnost) Příklady: 1) Euklidovská metrika na R n. Pro x, y R n definujeme ϱ e (x, y) = n (x i y i ) 2. 2) Maximová metrika na R n. Definujeme ϱ (x, y) = max...n x i y i. 3) Součtová metrika na R n. Definujeme ϱ 1 (x, y) = n x i y i. 4) Diskrétní metrika na libovolné množině P je definována jako ϱ(x, x) = pro všechna x P a ϱ(x, y) = 1 pro všechna x y. 5) Supremová metrika na C([, 1]) je definována ϱ(f, g) = sup x [,1] f(x) g(x). 6) Metrika na L 2 ([, 2π]) = {f : [, 2π] R : f(x) 2 dx < } je definována 2π ϱ(f, g) = f(x) g(x) 2 dx. 2π 7) Definujme prostor obrázků Obr = {x R : x i [, 1]} s metrikou x y = ϱ e (x, y). Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor, x P, r >. Otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nazveme B(x, r) := {y P : ϱ(x, y) < r}. Uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r nazveme B(x, r) := {y P : ϱ(x, y) r}. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že množina G P je otevřená (v (P, ϱ)), jestliže pro každý bod x G existuje r >, že B(x, r) G. Řekneme, že množina F P je uzavřená (v (P, ϱ)), pokud je P \ F otevřená. Příklady: 1. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak B(x, r) je otevřená množina a B(x, r) je uzavřená množina. 2. Je [, 1] otevřená množina v R s diskrétní metrikou? Věta L 9.1 (vlastnosti otevřených množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak (i) a P jsou otevřené. (ii) Jsou-li G 1,..., G n otevřené, pak n G i je otevřená. (iii) Necht A je libovolná (i nekonečná) indexová množina. Jsou-li G α, α A otevřené, pak G α je otevřená. Věta L 9.2 (vlastnosti uzavřených množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak (i) a P jsou uzavřené. (ii) Jsou-li F 1,..., F n uzavřené, pak (iii) Jsou-li F α, α A uzavřené, pak Příklad: ( 1 i, 1 i ) = {} není otevřená v R. [ 1 i, 1 1 i ] = (, 1) není uzavřená v R. α A n F i je uzavřená. F α je uzavřená. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor, A P a x P. Řekneme, že x je vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje r > tak, že B(x, r) A. Množinu všech vnitřních bodů A nazýváme vnitřkem A a značíme int A. α A Příklad: Co je vnitřek [, 1) v (R,. ), Q(, 1) v (R 2,. ) a Q v (R,. )? 1
2 2 Věta L 9.3 (charakterizace vnitřku). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Potom int A je největší (vzhledem k množinové inkluzi) otevřená množina obsažená v A. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor, M P a x P. množiny M, jestliže pro každé r > platí M B(x, r) a (P \ M) B(x, r). Množinu všech hraničních bodů M nazýváme hranicí M a značíme ji M. Uzávěr množiny M je definován jako M = M M. Příklad: Co je hranice a uzávěr [, 1) v (R,. ), Q(, 1) v (R 2,. ) a Q v (R,. )? Řekneme, že x je hraničním bodem Věta L 9.4 (uzávěr a uzavřené množiny). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Pak A je uzavřená v P A = A. Věta L 9.5 (vlastnosti uzávěru). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Potom platí (i) A B A B, (ii) necht A, pak A = {x P : ϱ(x, A) = }, (iii) A = A, tedy A je uzavřená množina. Začátek 2. ročníku 9.2. Konvergence a spojitá zobrazení v metrických prostorech Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a {x n } n=1 je posloupnost prvků P a x P. Řekneme, že {x n } n=1 konverguje k x (v (P, ϱ)), pokud lim n ϱ(x n, x) =. Značíme lim n x n = x, nebo x n ϱ x. Poznámka: Pro (R, ) je tento pojem konvergence shodný s dříve zavedeným. Věta L 9.6 (vlastnosti konvergence). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak platí (i) Necht pro posloupnost {x n } n=1 z P existuje n N a x P tak, že pro všechna n n platí x n = x. Pak lim x n = x. n (ii) lim x n = x a lim x n = y x = y. (Jednoznačnost limity) n n (iii) Necht {x nk } k=1 je vybraná posloupnost z {x n } n=1 a necht lim x n = x. Pak n lim x n k = x. k Definice. Necht (P, ϱ) a (Q, σ) jsou metrické prostory. Necht M P, f : M Q a x M. Řekneme, že f je spojitá v bodě x (vzhledem k M), jestliže ε > δ > x B ϱ (x, δ) M : f(x) B σ (f(x ), ε). Řekneme, že f je spojitá na M (vzhledem k M), jestliže je spojitá v každém bodě M (vzhledem k M). Necht pro každé δ > platí B ϱ (x, δ) M \ {x }. Řekneme, že f má v bodě x limitu (vzhledem k M) rovnou y Q, jestliže ε > δ > x B ϱ (x, δ) M \ {x } : f(x) B σ (y, ε). Poznámky: 1. Pojem konvergence a spojitosti v (R n,. ) je shodný s dříve zavedeným pojmem. 2. Definice spojitosti lze zapsat jako ε > δ > : f(b ϱ (x, δ)) B σ (f(x ), ε). Příklady (viz 2. semestr): 1. Necht h(x), g(y) jsou spojité z R do R. Pak f(x, y) = h(x) a f(x, y) = g(y) jsou spojité z R 2 do R. 2. Necht f 1 (x), f 2 (x) jsou spojité z R n do R. Pak f(x) = f 1 (x) f 2 (x) a f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) jsou spojité z R n do R. Specielně například polynomy funkcí více proměnných jsou spojité funkce. Věta L 9.7 (charakterizace spojitosti). Necht (P, ϱ) a (Q, σ) jsou metrické prostory a f : P Q. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) f je spojitá na P, (ii) G Q otevřenou, je f 1 (G) otevřená, (iii) F Q uzavřenou, je f 1 (F ) uzavřená.
3 3 Příklady: 1. Množina {[x, y] R 2 : x 2 + y 2 < 1} je otevřená. 2. Množina {[x, y, z] R 3 : x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 1} je uzavřená. Věta L 9.8 (spojitost složeného zobrazení). Necht (P, ϱ), (Q, σ) a (Z, τ) jsou metrické prostory. Necht f : P Q je spojité zobrazení a g : Q Z je spojité zobrazení. Pak g f : P Z je spojité zobrazení. Příklad: Funkce f(x, y) = x 2 + y 2 je spojitá z R 2 do R. Konec 1. přednášky Věta L 9.9 (Heine). Necht (P, ϱ) a (Q, σ) jsou metrické prostory. Necht M P, x M a f : M Q. Pak je ekvivalentní: (i) lim f(x) = f(x ), neboli f je spojitá v x, x x, x M (ii) pro každou posloupnost {x n } n=1 splňující x n M a lim x n = x platí n lim f(x n) = f(x ). n Důsledek: Jako speciální případ dostáváme Heineho Větu 3.1 ze ZS Kompaktní množiny Věta L 9.1 (charakterizace uzavřených množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a F P. Pak F je uzavřená ( x n ϱ x a xn F x F ). Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P. Řekneme, že K je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti prvků K lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou v K. Příklady: 1. [, 1] je kompaktní v R. 2. [, 1) není kompaktní v R. 3. Konečná množina v (P, ϱ) je kompaktní. Věta L 9.11 (vlastnosti kompaktních množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P je kompaktní. Pak platí (i) K je uzavřená, (ii) Je-li F K uzavřená, pak je F kompaktní, (iii) K je omezená (tedy x P, r >, že K B(x, r)). Věta T 9.12 (charakterizace kompaktních množin R n ). Množina K R n je kompaktní, právě když je omezená a uzavřená. Příklady: 1. B(, 1) je kompaktní v R n. 2. B(, 1) není kompaktní v C([, 1]). Věta L 9.13 (nabývání extrémů na kompaktu). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P je kompaktní. Necht f : K R je spojitá. Pak f nabývá na K svého maxima i minima. Specielně je tedy f na K omezená. Konec 2. přednášky 3.9. Věta L 9.14 (spojitý obraz kompaktu). Necht (P, ϱ), (Q, τ) jsou metrické prostory a necht f : P Q je spojité zobrazení. Necht K P je kompaktní množina, pak f(k) Q je kompaktní množina. Definice. Necht (P, ϱ), (Q, τ) jsou metrické prostory, K P a f : K Q. Řekneme, že f je stejnoměrně spojitá na K, jestliže [ ] ε > δ > x, y K : ϱ(x, y) < δ τ(f(x), f(y)) < ε. Věta T 9.15 (o vztahu spojitosti a stejnoměrné spojitosti na metrickém prostoru). Necht (P, ϱ), (Q, τ) jsou metrické prostory, K P je kompaktní a necht f : K Q je spojité zobrazení. Pak f je stejnoměrné spojitá na K Úplné metrické prostory Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a {x n } n=1 je posloupnost bodů z P. splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku (případně, že je cauchyovská), jestliže platí ε > n N m, n N, m, n n : ϱ(x n, x m ) < ε. Řekneme, že x n
4 4 Poznámka: Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Definice. Řekneme, že metrický prostor (P, ϱ) je úplný, jestliže každá cauchyovská posloupnost bodů z P je konvergentní. Příklady: 1. (R,. ) je úplný (viz Věta 2.14). 2. ((, 1),. ) není úplný. 3. (Q,. ) není úplný. 4. (R n,. ) je úplný. Věta L 9.16 (vztah kompaktnosti a úplnosti). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a P je kompaktní. Pak P je úplný metrický prostor. Věta T 9.17 (úplnost a prostor spojitých funkcí). Metrický prostor C([, 1]) se supremovou metrikou je úplný. Příklad: Metrický prostor C([, 1]) s metrikou ϱ(f, g) = 1 f(x) g(x) dx není úplný. Konec 3. přednášky 6.1. Věta T 9.18 (Banachova věta o kontrakci). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor a T : P P je kontrakce, tedy γ [, 1) x, y P : ϱ(t (x), T (y)) γϱ(x, y). Pak existuje právě jedno x P tak, že T (x) = x. Aplikace: 1. Předchozí věta nám ukáže, že každá hezká diferenciální rovnice má řešení. 2. Fractal compression Věta L 9.19 (o převedení na integrální tvar). Necht I R je otevřený interval, x I, f : I R R spojitá a y : I R je spojitá. Pak y je řešení ODR právě tehdy, když y (x) = f(x, y(x)) na I splňující počáteční podmínku y(x ) = y x y(x) = y + f(s, y(s)) ds pro všechna x I. x Věta T 9.2 (Picard). Necht I R 2 je otevřený interval a [x, y ] I. Necht f : I R je spojitá a lokálně lipschitzovská vůči y. Pak existuje (x δ, x + δ) okolí x a funkce y(x) definovaná na (x δ, x + δ) tak, že y(x) splňuje ODR y (x) = f(x, y(x)) pro x (x δ, x + δ) s počáteční podmínkou y(x ) = y. Navíc y je jediné řešení na (x δ, x + δ). NA PROSEMINARI DEJ UDELAT ARZELA-ASCOLI A PEANO Konec 4. přednášky Funkce více proměnných 1.1. Úvodní definice a spojitost Většina definic zde je jen opakování již známého z LS, nebo z definic spojitých funkcí na metrickém prostoru. Definice. Necht M R n. Funkcí více reálných proměnných rozumíme zobrazení f : M R. Vektorovou funkcí více reálných proměnných rozumíme zobrazení f : M R m, kde m N. Definice. Vzdálenost dvou bodů x = [x 1, x 2,..., x n ], y = [y 1, y 2,..., y n ] R n je x y = n (x i y i ) 2. Necht c R n a r >. Otevřená koule se středem v c o poloměru r je množina B(c, r) := {x R n : x c < r}. Prstencová okolí c je definováno jako P (c, r) := B(c, r) \ {c}. Příklad: Trojúhelníková nerovnost. Pro libovolné x, y, z R n platí x z x y + y z.
5 Definice. Necht f : G R, kde G R n je otevřená. Řekneme, že f má v bodě a G limitu rovnou A R, jestliže platí ε > δ > x P (a, δ) : f(x) B(A, ε). Značíme lim x a f(x) = A. Řekneme, že funkce f je bodě a G spojitá, jestliže lim x a f(x) = f(a). Limitu (a spojitost) vektorové funkce f = [f 1, f 2,..., f m ] : G R m definujeme po složkách. Tedy lim f(x) = [ lim f 1(x), lim f 2 (x),..., lim f m (x)]. x a x a x a x a Zřejmě platí aritmetika limit, věta o dvou policajtech i věta o spojitosti složené funkce (viz Věta 9.8), a proto je budeme používat na cvičení. Příklad: Funkce je spojitá na R 2. f(x, y) = { xy x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] Definice. Mějme posloupnost bodů x j R n pro j N. Řekneme, že limita posloupnosti x j je rovna a R n, pokud ε > j N j j : x j a < ε. Poznámka: Konvergence posloupnosti bodů x j = [(x j ) 1, (x j ) 2,..., (x j ) n ] R n pro j N je ekvivalentní konvergenci po složkách, tedy lim x j = [ lim (x j) 1, lim (x j) 2,..., lim (x ] j) n. j j j j Příklad: lim j [ 1 j, 3j2 +1 j 2 +j ] = [, 3]. Následující věta lze dokázat analogicky důkazu Věty 9.9. Věta BD 1.1 (Heine). Necht G R n, a G, A R a f : G R. Pak je ekvivalentní: Příklad: Funkce (i) lim x a f(x) = A, (ii) pro každou posloupnost {x j } j=1 splňující x j G \ {a} a f(x, y) = lim x j = a platí j { xy x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] lim f(x j) = A. j není spojitá v bodě [, ] Parciální derivace a totální diferenciál Definice. Necht G R n je otevřená, i {1,..., n}, f : G R a x G. Parciální derivací funkce f v bodě x podle i-té proměnné nazveme f f(x 1,..., x i + t,..., x n ) f(x 1,..., x i,..., x n ) f(x + te i ) f(x) (x) = lim = lim, t t t t pokud limita existuje. Příklad: Spočtěte parciální derivace funce f(x, y) = xe x2 +y 2 na R 2. Definice. Necht M R n, f : M R a x M. Řekneme, že f nabýva v bodě x svého minima (lokálního minima) vzhledem k M, pokud pro všechna x M platí f(x) f(x ) ( existuje δ >, že pro všechna x M B(x, δ) platí f(x) f(x ) ). Analogicky definujeme maximum (lokální maximum). Konec 5. přednášky Věta L 1.2 (nutná podmínka existence extrému). Necht G R n je otevřená, i {1,..., n}, a G f a f : G R. Má-li f v bodě a lokální minimum (maximum) a existuje-li (a), pak f (a) =. 5
6 6 Příklady: 1. Nalezněte maximum a minimum funkce f(x, y) = x 2 xy + y 2 na množině M := {[x, y] R 2 : x 2 + y 2 1}. 2. Metoda nejmenších čtverců (Lineární regrese): Mějme zadány body [x i, y i ] R 2, i = 1,..., n. Chceme nalézt a, b R, abychom měli co nejmenší n ( yi (ax i + b) ) 2. Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R, x G a v R n. Derivací funkce f v bodě x G ve směru v nazveme f f(x + tv) f(x) (x) = lim, v t t pokud limita existuje. Příklady: 1. Z existence f (x) neplyne existence f v (x). Stačí mít f(x, y) = 1 na osách a jinde. 2. Z existence všech f (x) neplyne spojitost v x. Položme f = 1 na {[x, y] : x, y = x 2 } a jinde. Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R a a G. Řekneme, že lineární zobrazení L : R n R je totální diferenciál funkce f v bodě a, jestliže f(a + h) f(a) L(h) lim =. h h Značíme Df(a) a hodnotu v bodě h R n značíme Df(a)(h). Poznámka: 1. Lineární zobrazení L : R n R lze reprezentovat jako L(h) = A 1 h 1 + A 2 h A n h n. f(x) f(a) L(x a) 2. Ekvivalentně lze definovat jako lim x a x a =. 3. Geometricky význam je, že lineární funkce f(a) + L(x a) je velmi blízko původní funkce f(x) f(a) + L(x a). Věta L 1.3 (o tvaru totálního diferenciálu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht existuje totální diferenciál f v bodě a, pak existují parciální derivace f (a) a pro všechna h R n platí Df(a)(h) = f (a)h f (a)h n. x 1 x n Navíc pro v R n platí Konec 6. přednášky Příklady: 1. Funkce nemá totální diferenciál v [, ]. 2. Funkce má totální diferenciál v [, ]. f(x, y) = g(x, y) = f (a) = Df(a)(v). v { x 2 y x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] { x 2 y 2 x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R a a G. Necht f má v bodě a totální diferenciál. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor [ f f(a) = (a), f (a),..., f ] (a). x 1 Můžeme tedy psát Df(a)(h) = f(a), h. Věta L 1.4 (geometrický význam gradientu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht existuje totální diferenciál f v bodě a, pak max{ f (a) : v = 1} = f(a). v Poznámka: 1) Necht existuje totální diferenciál f v a. Pak Df(a)(h) = f(a), h f(a) h. 2) metoda největšího spádu.
7 7 Věta L 1.5 (o vztahu spojitosti a totálního diferenciálu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht existuje totální diferenciál f v bodě a, pak je f v bodě a spojitá. Věta T 1.6 (postačující podmínka pro existenci totálního diferenciálu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht f má v bodě a R n spojité parciální derivace, tedy funkce jsou spojité v a. Pak Df(a) existuje. x f x j (x), j = 1,..., n Věta L 1.7 (o aritmetice totálního diferenciálu - důkaz jen (iii)). Necht a R n, f, g : R n R a Df(a), Dg(a) existují. Pak existují i D(f + g)(a), D(cf)(a) (c R), D(fg)(a), a pokud g(a) pak i D(f/g)(a) a platí (i) D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a), (ii) D(cf)(a) = cd(f)(a), (iii) D(fg)(a) = f(a)dg(a) + Df(a)g(a), (iv) D(f/g)(a) = Df(a)g(a) f(a)dg(a) g(a) 2. Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R k a a G. Řekneme, že lineární zobrazení L : R n R k je derivací funkce f v bodě a, jestliže f(a + h) f(a) L(h) lim =. h h Značíme Df(a) a hodnotu v bodě h R n značíme Df(a)(h). Poznámka: Necht L : R n R k je lineární zobrazení. Potom existuje právě jedna n k matice A tak, že L(h) = Ah. Konec 7. přednášky 2.1. Věta L 1.8 (reprezentace derivace maticí). Necht G R n je otevřená a f = [f 1, f 2,..., f k ] : G R k má derivaci v bodě a G. Pak Df(a) je reprezentováno maticí f 1(a) f x (a) x n f k (a) x 1... f k (a) x n Poznámky: 1. Má-li f derivaci v a, pak f je v okolí a velmi blízko lineární funkci f(a)+df(a)(x a). 2. Matice Df(a) se nazývá Jakobiho matice. Pokud k = n tak se determinant této matice nazývá Jakobián a značí se J f (a). 3. Derivace Df(a) existuje právě tehdy, když existují totální diferenciály Df 1 (a),..., Df k (a). 4. Z 3. bodu a Věty 1.6 dostáváme, že jsou-li všechny parciální derivace f spojité v bodě a, pak existuje derivace Df(a). Poznámka: Necht L = Ah : R n R k je lineární zobrazení reprezentované maticí A. Pak existuje C > tak, že Ah C h. Lemma Necht f : R n R k má derivaci v bodě a R n. Pak existuje δ > a C R tak, že f(a + h) f(a) C h pro všechna h B(, δ ). Věta T 1.9 (derivace složeného zobrazení). Necht f : R n R k, g : R k R s, f má derivaci v a R n a g má derivaci v b = f(a) R k. Pak existuje derivace Dg f(a) a platí Dg f(a) = Dg(b) Df(a) = Dg(f(a)) Df(a). Příklad: Necht F = (F 1, F 2 ) : R 2 R 2 je zobrazení definováné {[(x 2 + y 2 )(e x x 1), 2 x F (x, y) = 2 +y ] pro [x, y] [, ], 2 [, ] pro [x, y] [, ], a G : R 2 R 3 je zobrazení definované G(s, t) = [st, s 2, t 2 ]. Spočtěte D(G F )(1, ).
8 8 Věta L 1.1 (řetízkové pravidlo). Necht f : R n R k má derivaci v a R n a g : R k R má totální diferenciál v bodě b = f(a) = [f 1 (a),..., f k (a)]. Pak funkce má totální diferenciál v a a platí Konec 8. přednášky h(x) = g(f 1 (x),..., f k (x)) h (a) = k j=1 g y j (b) f j (a). Věta L 1.11 (o přírůstku funkce). Necht G R n je otevřená a f : G R má totální diferenciál v každém bodě G. Necht a, b G a necht úsečka L spojující a, b je obsažena v G, tj. L = {(1 t)a + tb : t [, 1]} G. Pak existuje ξ L takové, že f(b) f(a) = Df(ξ)(b a) Parciální derivace vyšších řádů Definice. Necht f má na otevřené množině G R n parciální derivaci definujeme pro a G a j {1,..., n} druhou parciální derivaci 2 f (a) = ( f ) (a) pro i j a 2 f (a) = x j x j Analogicky definujeme parciální derivace vyšších řádů. Přiklad: Spočtěte všechny derivace až do řadu 3 od f(x, y) = x 2 e x+y. x 2 i f, i {1,..., n}. ( f ) (a). Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R. Řekneme, že f C1 (G), pokud existují parciální derivace f, i = 1,..., n, na G a jsou to spojité funkce na G. Řekneme, že f Ck (G), k N, pokud existují všechny parciální derivace f až do řadu k včetně a jsou to spojité funkce na G. Důsledek: Necht G R n je otevřená. Z Věty 1.6 dostáváme, že je-li f C 1 (G), pak existuje totální diferenciál f ve všech bodech G. Věta T 1.12 (záměnnost parciálních derivací). Necht G R n je otevřená, a G a f C 2 (G, R). Pak 2 f (a) = 2 f (a). x j x j Příklad: Necht Pak f(x, y) = { xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 pro [x, y] [, ], pro [x, y] = [, ]. 2 f x y (, ) 2 f (, ). y x Definice. Necht G R n je otevřená a a G. Necht f C 2 (G). Definujeme Hessovu matici f jako 2 f (a)... 2 f x 2 1 x 1 x n (a) D 2 f(a) = f x n x 1 (a)... 2 f x (a) 2 n Podle předchozí věty je tato matice symetrická, a proto můžeme pracovat s následující kvadratickou formou D 2 f(a)(u, v) = u T D 2 f(a)v pro každé u, v R n. Definice. Necht G R n je otevřená a a G. Necht f C 2 (G). Pak definujeme Taylorův polynom f druhého řádu jako T f,a 2 (x) := f(a) + Df(a)(x a) D2 f(a)(x a, x a). Věta L 1.13 (Taylorova věta pro druhý řád - bez důkazu). Necht f : R n R je třídy C 2 na nějakém okolí bodu a R n. Pak f(x) T f,a 2 (x) lim x a x a 2 =. Poznámka: Lze definovat i Taylorovy polynomy řádu k pomocí k-tých parciálních derivací a pro f C k dobře aproximují f. Pak
9 9 Věta L 1.14 (o pozitivně definitní kvadratické formě). Necht Q : R n R je pozitivně definitní kvadratická forma. Potom ε > h R n : Q(h, h) ε h 2. Věta T 1.15 (postačující podmínky pro lokální extrém). Necht G R n je otevřená množina, a G a necht f C 2 (G). Necht Df(a) = (tedy a je bod podezřelý na lokální extrém). (i) Je-li D 2 f(a) pozitivně definitní, pak a je bod lokálního minima. (ii) Je-li D 2 f(a) negativně definitní, pak a je bod lokálního maxima. (iii) Je-li D 2 f(a) indefinitní, pak v a není extrém. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 4 + y 4 x 2 2xy y 2 na R Implicitní funkce a vázané extrémy Věta T 1.16 (o implicitní funkci). Necht p N, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, ( x, ỹ) G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F ( x, ỹ) =, (iii) F ( x, ỹ). y Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ tak, že pro každé x U existuje právě jedno y V s vlastností F (x, y) =. Píšeme-li y = ϕ(x), pak ϕ C p (U) a platí Příklad: Necht F ϕ x (x) = j (x, ϕ(x)) pro všechna x U a j = 1,..., n. x F j y (x, ϕ(x)) M := { [x, y] R 2 : x 3 + y 3 2xy = }. Ukažte, že na jistém okolí [1, 1] lze M napsat jako graf ϕ(x). Spočtěte ϕ (1) a ϕ (1). Poznámka: Navíc platí, že je-li F C k, pak ϕ C k a derivace ϕ lze spočítat derivováním vztahu F (x, ϕ(x)) =. Konec 3. přednášky Věta T 1.17 (o implicitních funkcích). Necht n, m N, p N, G R n+m je otevřená množina, F j : G R, j = 1,..., m, x R n, ỹ R m, ( x, ỹ) G a necht platí: (i) F j C p (G) pro j = 1,..., m, (ii) F j ( x, ỹ) =, tedy F j ( x 1,..., x n, ỹ 1,..., ỹ m ) = pro j = 1,..., m, (iii) determinant m m matice parciálních derivací F j je nenulový, tedy F 1 F y 1 ( x, ỹ)... 1 y m ( x, ỹ) F m F y 1 ( x, ỹ)... m y m ( x, ỹ) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu ỹ tak, že pro každé x U existuje právě jedno y V s vlastností F j (x, y) = pro každé j = 1,..., m. Píšeme-li y j = ϕ j (x), pak ϕ j C p (U) pro j = 1..., m. Příklad: Dokažte, že existují funkce z(x, y), t(x, y), které jsou třídy C 2 na nějakém okolí bodu [1, 1] splňující z(1, 1) = 2, t(1, 1) = a Spočtěte druhé derivace z a t. x 2 + y z2 t 3 =, x + y + z t 2 =. Věta T 1.18 (Lagrangeova věta o vázaných extrémech). Necht G R n m < n,f, g 1,..., g m C 1 (G) a mějme množinu je otevřená množina, M = { z R n : g 1 (z) =... = g s (z) = }.
10 1 Je-li a M bodem lokálního extrému f vzhledem k M a vektory ( g1 g 1 (a), (a),..., g ) 1 (a) z 1 z 2 z n ( gm z 1 (a),. g m (a),..., g ) m (a) z 2 z n jsou lineárně nezávislé, pak existují čísla λ 1,..., λ m tak, že neboli Df(a) + λ 1 Dg 1 (a) λ m Dg m (a) = f z 1 (a) + λ 1 g 1 z 1 (a) λ m g m z 1 (a) =,. f z n (a) + λ 1 g 1 z n (a) λ m g m z n (a) =. Přiklad: 1. f(x, y) = x 2 + y 2 xy na M := {x 2 + y 2 1}. 2. Sněhulák. Poznámka: Předchozí věta nám říká, že pokud extrém existuje, tak ho umíme najít z nějaké rovnice. Věta ale nezaručuje existenci extrému! Připomeň: 1. Necht K R n. Pak K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na K svého maxima a minima. 3. Necht G R n je otevřená, f : G R má v a G extrém a existuje parciální derivace f (a). Pak f (a) = Regulární zobrazení Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R n. Řekneme, že f je difeomorfismus na G, jestliže je f prostá na G, U = f(g) je otevřená množina v R n, f C 1 (G) a f 1 C 1 (U). Věta T 1.19 (o lokálním difeomorfismu). Necht G R n je otevřená a f : G R n je třídy C 1. Necht pro a G platí J f (a). Pak existuje U G okolí a takové, že f U je difeomorfismus na U. Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R n. Řekneme, že f je regulární zobrazení, jestliže f C 1 (G) a pro každé a G platí J f (a). 11. Metrické prostory II Více o kompaktních a úplných prostorech Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P. Řekneme, že K je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti prvků K lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou v K. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Necht ε > a H P. Řekneme, že H je ε-sít prostoru P, pokud P B(x, ε). x H Řekneme, že P je totálně omezený, pokud pro každé ε > existuje konečná ε-sít prostoru P. Příklady: 1. ([, 1],. ) a ((, 1),. ) jsou totálně omezené. 2. ([, 1] 2,. ) je totálně omezená. Věta L 11.1 (omezenost a totální omezenost). Necht (P, ϱ) je totálně omezený metrický prostor. Potom je P omezený. Konec 13. přednášky Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. kompaktní množina v (P, ϱ). Řekneme, že P je kompaktní metrický prostor, je-li P Věta L 11.2 (kompaktnost a totální omezenost). Necht (P, ϱ) je kompaktní metrický prostor. Potom je P totálně omezený.
11 11 Věta T 11.3 (kompaktnost a otevřené pokrytí). Metrický prostor (P, ϱ) je kompaktní právě tehdy, když z každého otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí. Tedy platí P G α pro libovolnou indexovou množinu A, G α otevřené α A existuje konečná A A tak, že P α A G α. Důsledek (Borel): Necht a, b R, a < b, a {I α } α A je systém otevřených intervalů. Pak [a, b] I α existuje konečná A A tak, že [a, b] I α. α A α A Důsledek: Lokálně stejnoměrnou konvergenci f n loc f na (a, b) můžeme ekvivaletně definovat jako x (a, b) r > tak, že f n f na [x r, x + r]. Důsledek: Každá spojitá funkce na [a, b] je stejnoměrně spojitá. Konec 14. přednášky Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a {x n } n=1 je posloupnost bodů z P. splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku (případně, že je cauchyovská), jestliže platí ε > n N m, n N, m, n n : ϱ(x n, x m ) < ε. Poznámka: Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Řekneme, že x n Definice. Řekneme, že metrický prostor (P, ϱ) je úplný, jestliže každá cauchyovská posloupnost bodů z P je konvergentní. Příklad: Metrický prostor l 2 := { {a n } n=1 : a n R, n=1 a2 n < } s metrikou ϱ({a n } n=1, {b n } n=1) = (a n b n ) 2 je úplný. Věta L 11.4 (Cantorova věta o vnořených množinách). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor a F n je posloupnost neprázdných uzavřených množin v P takových, že F n+1 F n a lim n diam F n =. Pak n=1 F n je jednobodová množina. Dotazy: Platí tato věta bez předpokladu a) úplnosti P, b) uzavřenosti F n, c) podmínky lim n diam F n =? Věta T 11.5 (o totální omezenosti a úplnosti). Metrický prostor (P, ϱ) je kompaktní právě tehdy, když je totálně omezený a úplný. Věta L 11.6 (o zúplnění metrického prostoru). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak existuje úplný metrický prostor ( P, ϱ) tak, že P P a pro všechna x, y P platí ϱ(x, y) = ϱ(x, y). Konec 15. přednášky n= Husté a řídké množiny Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je hustá, pokud A = P. Příklady: 1) Q je hustá v R. 2) Q 2 je hustá v R 2. 3) polynomy jsou husté v C([, 1]). 4) Může být průnik dvou hustých množin prázdná množina? Věta L 11.7 (charakterizace hustých množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Potom je A P je hustá právě tehdy, když pro každou otevřenou neprázdnou množinu G P platí G A. Důsledek: Necht G 1, G 2 P jsou otevřené a husté v (P, ϱ). Pak G 1 G 2 je otevřená a hustá v P. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je řídká, jestliže P \ A je hustá. Příklady: 1) N je řídká v R. 2) Q není řídká v R. 3) R {} je řídká v R 2 4) Cantorovo diskontinuum je řídké v [, 1].
12 12 Věta L 11.8 (vlastnosti řídkých množin). Nech (P, ϱ) je metrický prostor a necht A, B P. Potom (a) Je-li A řídká v P a B A, pak je také B řídká v P, (b) Jsou-li A a B řídké v P, pak A B je řídká v P (c) A je řídká v P právě tehdy, když A je řídká v P. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je 1. kategorie, jestliže existují řídké množiny A n tak, že A = n=1 A n. Řekneme, že C P je 2. kategorie, jestliže C není první kategorie v P. Příklady: 1) Q je 1. kategorie v R. 2) Q R je 1. kategorie v R 2. 3) R \ Q je 2. kategorie v R. Konec 16. přednášky Věta T 11.9 (Baire). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor. Necht G n, n N, jsou otevřené a husté v (P, ϱ). Pak n=1 G n je hustá v (P, ϱ). Důsledek: Úplný metrický prostore není první kategorie sám v sobě. Příklad: Existují A N = [, 1] tak, že A je 1. kategorie a N má nulovou míru? Věta T 11.1 (o nediferencovatelné funkci). Existuje spojitá funkce f : [, 1] R, která nemá derivaci v žádném bodě z (, 1) Prostory L p Věta L (Jensenova nerovnost). Necht (, A, µ) je pravděpodobnostní prostor, f L 1 (µ), a, b [, ] a f : (a, b). Je-li ϕ : (a, b) R konvexní funkce, pak ( ) ϕ f dµ (ϕ f) dµ. Příklad: Důkaz AG nerovnosti. Definice. Necht 1 < p <, pak číslo q splňující 1 p + 1 q = 1 nazveme sdružený exponent. Pro p = 1 definujeme q = a pro p = definujeme q = 1. Věta T (Hölderova a Minkovského nerovnost). Necht (, A, µ) je prostor s mírou, 1 < p <, q je sdružený exponent k p a f, g : [, ] jsou měřitelné funkce. Potom platí Hölderova nerovnost ( ) 1 ( ) 1 fg dµ f p p dµ g q q dµ a Minkowského nerovnost ( Konec 14. přednášky (f + g) p dµ ) 1 p ( ) 1 ( f p p dµ + g p dµ Definice. Necht (, A, µ) je prostor s mírou a 1 p <. Definujeme prostor L p jako kde L p (, µ) := {f : R : f L p < }, ( f L p = f p dµ Definice. Necht g : [, ] je měřitelná. Esenciální supremum g definujeme jako Prostor L (, µ) definujeme jako ) 1 p esssup g := inf { α : µ(g > α) = }.. ) 1 p L (, µ) := {f : R : f L := esssup f < }. Věta L (Trojúhelníková nerovnost v L p ). Necht 1 p. Pak pro f, g L p (, µ) platí f + g L p f L p + g L p. Poznámka: Víme, že L p je lineární vektorový prostor (f, g L p a α R, pak f + g L p a αf L p ). Místo funkcí z L p budeme uvažovat třídy ekvivalence vzhledem k rovnosti skoro všude. Na tomto prostoru (na třídách ekvivalence) je f L p norma. Takto chápaný L p je metrický prostor s metrikou ϱ(f, g) = f g L p..
13 13 Věta T (Úplnost Lp prostorů). Necht 1 p. Pak prostor L p (, µ) je úplný. Poznámka: Z důkazu předchozí věty plyne, že pokud f k k v L p, 1 p <, pak existuje podposloupnost f kj tak, že f kj (x) f(x) pro skoro všechna x Námět na proseminář - Důkaz Peanovy věty Věta T (Arzela-Ascoli). Necht A C([, 1]). Pak A je kompaktní právě tehdy, když jsou funkce z A stejně omezené a stejně stejnoměrně spojité. Tedy pokud existuje K > tak, že a f A, x [, 1] : f(x) K ε >, δ >, x, y [, 1], f A : x y < δ f(x) f(y) < ε. Poznámka: Platí i obrácená implikace. Necht A C([, 1]) splňuje, že A je kompaktní. Pak A je stejně omezená a stejně stejnoměrně spojitá. Konec 25. přednášky Věta T (Peano). Necht Ω R 2 je otevřená, f : Ω R je spojitá a (x, y ) Ω. Pak existuje U(x ) okolí x a funkce y(x) definovaná na U(x ) tak, že y(x) splňuje ODR a počáteční podmínku y(x ) = y. y (x) = f(x, y(x)) x U(x ) 12. Hilbertovy prostory MISTO HILBERTAKU LZE DELAT METRICKE PROSTORY 3, AT JE VSE U SEBE - UVIDIME, KOLIK BUDE CASU. Poznámka: Většina vět této sekce i s důkazy se dá najít v knize W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru Základní definice Definice. Necht H je reálný vektorový prostor. Řekneme, že H je prostor se skalárním součinem, jestliže existuje zobrazení, : H 2 R takové, že (i) x, y = y, x pro všechna x, y H, (ii) x + y, z = x, z + y, z pro všechna x, y, z H, (iii) αx, y = α x, y pro všechna x, y H a α R, (iv) x, x pro všechna x, y H, (v) x, x = jenom tehdy, když x =. Definujme x = x, x. Řekneme, že prvek x H je ortogonální k y H, pokud x, y =. Věta L 12.1 (Schwarzova nerovnost). Pro každé x, y H platí x, y x y. Věta L 12.2 (trojúhelníková nerovnost). Pro každé x, y H platí x + y x + y. Specielně (H, ) tvoří metrický prostor (ϱ(x, y) = x y ). Definice. Necht H prostor se skalárním součinem. metrický prostor (H, ) úplný. Příklady: (1) (R n, ϱ e ) je Hilbertův prostor (2) l 2 := { {a n } n=1 : a n R, n=1 a2 n < } se skalárním součinem {a n } n=1, {b n } n=1 = a n b n Řekneme, že H je Hilbertův prostor, pokud je je Hilbertův prostor. (3) L 2 (, 1) := {f : (, 1) R : (L) 1 f(x) 2 dx < } se skalárním součinem je Hilbertův prostor. Konec 5. přednášky f(x), g(x) = 1 n=1 f(x)g(x) dx
14 14 Věta L 12.3 (spojitost skalárního součinu). Necht H je Hilbertův prostor, potom jsou zobrazení x x, y, x y, x, x x spojitá na H. Definice. Necht H je Hilbertův prostor a E H. Řekneme, že E je konvexní, jestliže pro všechna x, y E a t [, 1] platí tx + (1 t)y E. Věta L 12.4 (o existenci prvku z nejmenší normou). Necht H je Hilbertův prostor a E H je konvexní a uzavřená. Potom existuje právě jeden prvek v E s nejmenší normou. Definice. Necht M H je lineární podprostor Hilbertova prostoru H. podprostor M = {y H : x, y = pro všechna x M}. Definujeme ortogonální Věta T 12.5 (o projekci na podprostor). Necht M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H. (i) Každý prvek x H má jednoznačný rozklad x = P (x) + Q(x) tak, že P (x) M a Q(x) M. (ii) P (x) je bod z M nejbližší k x, Q(x) je bod z M nejbližší k x. (iii) Zobrazení P : H M a Q : H M jsou lineární. (iv) x 2 = P (x) 2 + Q(x) 2. Důsledek: Necht M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a M H. Pak existuje y M, y. Příklad: Metoda nejmenších čtverců. Konec 6. přednášky Příklad: 1) Necht M je konečnědimenzionální podprostor Hilbertova prostoru H. Pak M je uzavřený. 2) Spojité funkce C([, 1]) tvoří lineární podprostor L 2 (, 1), který není uzavřený. 3) A = { (q 1, q 2,..., q k,,,...) : k N, q i Q pro i = 1,..., k } je lineární podprostor l 2, který není uzavřený. Věta L 12.6 (o reprezentaci lineárního funkcionálu). Necht H je Hilbertův prostor L : H R je spojité lineární zobrazení. Pak existuje právě jedno y H tak, že L(x) = x, y Rozklad do Schauderovy báze Definice. Necht H je Hilbertův prostor a A je indexová množina. α A, se nazývá ortogonální, pokud u α, u β = pro všechna α, β A. Množina prvků u α H, kde Ortogonální množina {u α } α A se nazývá ortonormální, pokud navíc u α = 1 pro všechna α A. Jestliže {u α } α A je ortonormální množina, pak pro každé x H definujeme Fourierovy koeficienty x vzhledem k u α jako ˆx(α) = x, u α. Věta L 12.7 (o konečné ortonormální množině). Necht H je Hilbertův prostor, {u α } α A je ortonormální množina a F A je konečná množina. Označme M F lineární obal {u α : α F }. (i) Necht ϕ : A R je mimo F. Pro vektor y = α F ϕ(α)u α platí ŷ(α) = ϕ(α) pro každé α A a y 2 = α F ϕ(α) 2. (ii) Je-li x H a s F (x) = ˆx(α)u α, pak s F (x) = P (x), kde P je projekce na M F. α F Navíc platí ˆx(α) 2 x 2. α F Definice. Necht (, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A je hustá, pokud A =. Příklady: 1) Q je hustá v R. 2) Q 2 je hustá v R 2. 3) A = { (q 1, q 2,..., q k,,,...) : k N, q i Q pro i = 1,..., k } je hustá v l 2. 4) Jsou spojité funkce C([, 1]) husté v L 2 (, 1)? Konec 7. přednášky
15 15 Lemma Necht, Y jsou metrické prostory, je úplný a f : Y je spojité. Necht je hustá podmnožina, na které je f izometrie, a necht f( ) je hustá podmnožina Y. Potom f je izometrie na Y. Věta L 12.9 (Riesz-Fischerova věta). Necht H je Hilbertův prostor a {u i } je ortonormální množina. Necht P je prostor všech konečných lineárních kombinací vektorů u i. Potom pro každé x H platí nerovnost ˆx i 2 x 2. Zobrazení x ˆx je spojité lineární zobrazení H na l 2, jehož restrikce na uzávěr P je izometrie P na l 2. Důsledek: L 2 (, 1) je izometricky izomorfní l 2. Definice. Necht H je Hilbertův prostor a h i H, i N. Řekneme, že řada h i konverguje k s H, pokud n lim s h i =. n Věta T 12.1 (o maximální ortonormální množině). Necht H je Hilbertův prostor a {u i } je ortonormální množina. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) {u i } je maximální ortonormální množina v H. (ii) Množina P všech konečných lineárních kombinací prvků z {u i } je hustá v H. (iii) Pro každé x H platí x 2 = ˆx i 2. (iv) Je-li x, y H, potom x, y = (v) Pro každé x H platí x = ˆx i ŷ i. ˆx i u i. Poznámka: Analogie této věty platí i pro Hilbertův prostor s nespočetnou bází. Jen je potřeba správně zadefinovat výrazy jako α A ˆx(α) 2 a α A ˆx(α) u α. Konec 8. přednášky Definice. Necht f L 2 (, 2π). Potom čísla a k = 1 π b k = 1 π Trigonometrické řady 2π 2π f(x) cos(kx) dx pro k N a f(x) sin(kx) dx pro k N. nazýváme Fourierovy koeficienty funkce f. Trigonometrickou řadu nazýváme Fourierovou řadou funkce f. F f (x) = a 2 + (a k cos kx + b k sin kx) Věta L (o ortogonalitě trigonometrických funkcí). Necht n, m N, pak { 2π pro m n sin(nx) sin(mx) dx = π pro m = n 2π k=1 cos(nx) cos(mx) dx = 2π { pro m n π pro m = n sin(nx) cos(mx) dx =.
16 16 Věta T (o maximalitě trigonometrických funkcí). Systém trigonometrických funkcí { 1 } { 1 } 1 π sin(nx), π cos(nx) a n=1 n=1 2π tvoří maximální ortonormální množinu v L 2 (, 2π). Tedy jediné f L 2 (, 2π) takové, že 2π je identicky nulová funkce. f(x) sin(nx) dx = n N a 2π f(x) cos(nx) dx = n N Z Věty 12.1 dostáváme: Důsledek: Pro každé f L 2 (, 2π) a a k, b k jsou Fourierovy koeficienty f. Pak platí f(x) = F f (x) = a 2 + (a k cos kx + b k sin kx) ve smyslu rovnosti rovnosti L 2 funkcí. Tedy v příslušném metrickém prostoru platí f(x) = a n 2 + lim (a k cos kx + b k sin kx). n Navíc platí Parsevalova rovnost 2π k=1 k=1 f(x) 2 dx = π a2 2 + π (a 2 k + b 2 k). Specielně tedy dostáváme, že trigonometrické polynomy jsou husté v L 2, a tedy spojité funkce C([, 2π]) jsou husté v L 2 (, 2π). Aplikace: 1) mp3 2) jpeg 3) Existují i jiné báze vhodnější pro práci s obrázky - například Rademacherova báze k=1
(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f
Připomeň: 1. Necht K R n. Pak 1. Funkce více proměnných II 1.1. Parciální derivace vyšších řádů K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na
Bardziej szczegółowoNecht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky
Monotónie a extrémy funkce Diferenciální počet - průběh funkce Věta o střední hodnotě (Lagrange) Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f (ξ)
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18
Komplexní analýza Mocninné řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18 Posloupnosti komplexních čísel opakování
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATIKA 3 Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Osnova: Komplexní funkce - definice, posloupnosti, řady Vybrané komplexní funkce
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2
(3) Průběh funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (3) Průběh funkce 1 / 26 Monotonie (x 2 ) = 2x (sin x) = cos x Jak souvisí derivace funkce a fakt, zda je funkce rostoucí nebo klesající?
Bardziej szczegółowoFunkce zadané implicitně. 4. března 2019
Funkce zadané implicitně 4. března 2019 Parciální derivace druhého řádu Parciální derivace druhého řádu funkce z = f (x, y) jsou definovány: Parciální derivace 2 f 2 = ( ) f 2 f 2 = ( ) f 2 f a 2 f 2 f
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19
(6) Určitý integrál Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (6) Určitý integrál 1 / 28 Newtonův integrál Zdroj: https://kwcalculus.wikispaces.com/integral+applications Kristýna Kuncová (6)
Bardziej szczegółowoCo nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018
Co nám prozradí derivace? Seminář sedmý 21. listopadu 2018 Derivace základních funkcí Tečna a normála Tečna ke grafu funkce f v bodě dotyku T = [x 0, f (x 0 )]: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Normála: y
Bardziej szczegółowo(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35
(1) Derivace Kristýna Kuncová Matematika B2 17/18 Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35 Růst populací Zdroj : https://www.tes.com/lessons/ yjzt-cmnwtvsq/noah-s-ark Kristýna Kuncová (1) Derivace 2 / 35 Růst
Bardziej szczegółowoEdita Pelantová, katedra matematiky / 16
Edita Pelantová, katedra matematiky seminář současné matematiky, září 2010 Axiomy reálných čísel Axiomy tělesa Axiom 1. x + y = y + x a xy = yx (komutativní zákon). Axiom 2. x + (y + z) = (x + y) + z a
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B3
(10) Vícerozměrný integrál II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (10) Vícerozměrný integrál II 1 / 30 Transformace Otázka Jaký obrázek znázorňuje čtverec vpravo po transformaci u = x + y a
Bardziej szczegółowoKomplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32
Komplexní analýza Úvod Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32 Základní informace Stránky předmětu: http://math.feld.cvut.cz/bohata/kan.html
Bardziej szczegółowo1 Definice. A B A B vlastní podmnožina. 4. Relace R mezi množinami A a B libovolná R A B. Je-li A = B relace na A
1 Definice 1. Množiny: podmnožina: A B x(x A x B) průnik: A B = {x A x B} sjednocení: A B = {x x A x B} rozdíl: A B = {x A x B} A B A B vlastní podmnožina 2. uspořádaná dvojice: (x, y) = {{x}, {x, y}}
Bardziej szczegółowoÚvodní informace. 18. února 2019
Úvodní informace Funkce více proměnných Cvičení první 18. února 2019 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Úvodní informace. Komunikace: e-mail: olga@majling.eu nebo olga.majlingova@fs.cvut.cz
Bardziej szczegółowo(13) Fourierovy řady
(13) Fourierovy řady Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (13) Fourierovy řady 1 / 22 O sinech a kosinech Lemma (O sinech a kosinech) Pro m, n N 0 : 2π 0 2π 0 2π 0 sin nx dx = sin nx cos mx
Bardziej szczegółowoLinea rnı (ne)za vislost
[1] Lineární (ne)závislost Skupiny, resp. množiny, vektorů mohou být lineárně závislé nebo lineárně nezávislé... a) zavislost, 3, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010,
Bardziej szczegółowoEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU
Bardziej szczegółowoKristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36
(1) Vzorové otázky Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36 Limity - úlohy Otázka Určete lim x 0 f (x) A -3 B 0 C 5 D 7 E D Zdroj: Calculus: Single and Multivariable,
Bardziej szczegółowoMatematická analýza 2. Kubr Milan
Matematická analýza. Kubr Milan. února 008 Obsah Vektorové funkce jedné reálné proměnné. 3. Základní pojmy...................................... 3. Křivky v R n........................................
Bardziej szczegółowoObsah. Limita posloupnosti a funkce. Petr Hasil. Limita posloupnosti. Pro a R definujeme: Je-li a < 0, pak a =, a ( ) =. vlastní body.
Obsah a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I Úvod 2 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza / 90 c Petr Hasil (MUNI) a funkce Matematická analýza 2 / 90 Úvod Úvod Pro a R definujeme:
Bardziej szczegółowoPrůvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více
5 Diferenciální počet funkcí více proměnných Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více proměnných, především budeme pracovat s funkcemi dvou proměnných Ukážeme
Bardziej szczegółowo(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25
(2) Funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25 Sudá a lichá funkce Určete, které funkce jsou sudé a které liché: liché: A, D, E sudé: B Kristýna Kuncová (2) Funkce 2 / 25
Bardziej szczegółowo5. a 12. prosince 2018
Integrální počet Neurčitý integrál Seminář 9, 0 5. a. prosince 08 Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovaná na intervalu I. Funkce F (x) se nazývá primitivní k funkci f (x) na I, jestliže
Bardziej szczegółowoNumerické metody minimalizace
Numerické metody minimalizace Než vám klesnou víčka - Stříbrnice 2011 12.2. 16.2.2011 Emu (Brkos 2011) Numerické metody minimalizace 12.2. 16.2.2011 1 / 19 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Princip minimalizace
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, derivace
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, derivace Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 9. 2014 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Zobrazení a funkce více
Bardziej szczegółowo1 Soustava lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Soustava lineárních rovnic 2 Řešitelnost soustavy lineárních rovnic 3 Gaussova eliminační metoda 4 Jordanova eliminační
Bardziej szczegółowoFunkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál
Matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: limita, spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 9. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura
Bardziej szczegółowoStochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS
Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě Stochastické modelování v ekonomii a financích 7. 12. 2009 Obsah Whitův pro heteroskedasticitě pro heteroskedasticitě 1 Whitův 2 pro 3 heteroskedasticitě
Bardziej szczegółowoZobecněné metriky Různé poznámky 12. METRIZACE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 12. Poznámky
12. METRIZACE Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2009 Jak bylo zmíněno v úvodních kapitolách tohoto textu, axiómy metrik (nebo pseudometrik) se často oslabují, aby bylo možné popsat další
Bardziej szczegółowofakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
Bardziej szczegółowoSb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 0 Diferenciální rovnice. řádu 0. Separace proměnných Příklad : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y.
Bardziej szczegółowoVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2018-2019 Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 1 / 11 Křivkový integrál Vybrané kapitoly z matematiky 2018-2019 2 / 11 Parametricky zadaná křivka v R 3 :
Bardziej szczegółowoMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam (smysl) koeficientů lineární
Bardziej szczegółowoPetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Bardziej szczegółowo(A B) ij = k. (A) ik (B) jk.
Příklady z lineární algebry Michael Krbek 1 Opakování 1.1 Matice, determinanty 1. Je dána matice 1 2 0 M = 3 0 1. 1 0 1 Určete M 2, MM T, M T M a vyjádřete M jako součet symetrické a antisymetrické matice!
Bardziej szczegółowoDiferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se
Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se separovanými proměnnými. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské
Bardziej szczegółowopodle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010
Jak souvisí plochá dráha a konečná geometrie? L ubomíra Balková podle přednášky doc. Eduarda Fuchse Trendy současné matematiky 16. prosince 2010 (FJFI ČVUT v Praze) Konečná geometrie 16. prosince 2010
Bardziej szczegółowoMendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik
INŽNÝRSKÁ MATMATIKA Robert Mařík Mendelova univerzita v Brně marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik ABSTRAKT. Učební text k mým přednáškám z předmětu Inženýrská matematika. Text je poměrně hutný a není
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text
Bardziej szczegółowoNumerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze
Obyčejné diferenciální rovnice Numerické metody 8. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Základní metody Pokročilejší metody Soustava Vyšší řád Program 1 Úvod Úvod - Úloha Základní úloha, kterou řešíme
Bardziej szczegółowoElementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze
Elementární funkce Edita Pelantová FJFI, ČVUT v Praze Seminář současné matematiky katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze únor 2013 c Edita Pelantová (FJFI) Elementární funkce únor 2013 1 / 19 Polynomiální
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita arlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAALÁŘSÁ PRÁCE Matěj Novotný Operátory skládání na prostorech funkcí atedra matematické analýzy Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Jiří Spurný
Bardziej szczegółowoKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava
Lineární algebra 8. přednáška: Kvadratické formy Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la Text byl vytvořen
Bardziej szczegółowoUrčitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018
Určitý (Riemnnův) integrál plikce. Nevlstní integrál Seminář 9. prosince 28 Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv
Bardziej szczegółowox y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].
II.4. Totální diferenciál a tečná rovina Značení pro funkci z = f,: totální diferenciál funkce f v bodě A = 0, 0 ]: dfa = A 0+ A 0 Označme d = 0, d = 0. Pak dfa = A d+ A d Příklad91.Je dána funkce f, =.
Bardziej szczegółowoGEM a soustavy lineárních rovnic, část 2
GEM a soustavy lineárních rovnic, část Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B0LAG 8.3.09: GEM a soustavy, část / Minulá přednáška Gaussova
Bardziej szczegółowoMATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.
MATEMATIKA ALEŠ NEKVINDA DIFERENCIÁLNÍ POČET Přednáška Označíme jako na střední škole N, Z, Q, R a C postupně množinu přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel R = R { } { } Platí:
Bardziej szczegółowoAproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.
Příklad Známe následující hodnoty funkce Φ: u Φ(u) 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885 Odhadněte přibližně hodnoty Φ(1,02) a Φ(1,16). Možnosti: Vezmeme hodnotu v nejbližším bodě. Body proložíme lomenou čarou.
Bardziej szczegółowox2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.
Příklady k 1 zápočtové písemce Definiční obor funkce Určete definiční obor funkce: x + x 15 1 f(x x + x 1 ( x + x 1 f(x log x + x 15 x + x 1 3 f(x x 3 + 3x 10x ( x 3 + 3x 10x f(x log x + x 1 x3 + 5x 5
Bardziej szczegółowoTeorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.
8. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje h 0 fa + h) fa), h pak tuto itu nazýváme derivací funkce f v bodě
Bardziej szczegółowoKapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1 řádu Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter
Bardziej szczegółowoOdpřednesenou látku naleznete v kapitolách skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Lineární prostor Lineární kombinace Lineární prostory nad R Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 1.1 1.4 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 01A-2018: Lineární
Bardziej szczegółowoInverzní Z-transformace
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 9. přednáška 11MSP úterý 16. dubna 2019 verze: 2019-04-15 12:25
Bardziej szczegółowoKarel Vostruha. evolučních rovnic hyperbolického typu
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Diplomová práce Karel Vostruha Asymptotické chování nelineárních evolučních rovnic hyperbolického typu Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové
Bardziej szczegółowo7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace 7A. Taylorův polynom 7. Aplikace derivace Verze 20. července 207 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické prae i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce,
Bardziej szczegółowoObsah. Petr Hasil. (konjunkce) (disjunkce) A B (implikace) A je dostačující podmínka pro B; B je nutná podmínka pro A A B: (A B) (B A) A (negace)
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce Matematická analýza / 5 Obsah Množinové operace Operace s funkcemi Definice
Bardziej szczegółowoMatematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi)
Matematická analýza pro učitele (text je v pracovní verzi) Martina Šimůnková 6. června 208 2 Obsah Úvod 7. Co je to funkce.......................... 7.2 Co budeme na funkcích zkoumat................. 9.2.
Bardziej szczegółowoMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 24. z aˇr ı 2013 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 24. z aˇr ı / 52
í150doc-start í251doc-start Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Matematika 1 Jiří Fišer 24. září 2013 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 24. září 2013 1 / 52 Zimní semestr
Bardziej szczegółowoNekomutativní Gröbnerovy báze
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Zuzana Požárková Nekomutativní Gröbnerovy báze Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: RNDr. Jan Št ovíček, Ph.D. Studijní
Bardziej szczegółowoMatematika 2, vzorová písemka 1
Matematika 2, vzorová písemka Pavel Kreml 9.5.20 Přesun mezi obrazovkami Další snímek: nebo Enter. Zpět: nebo Shift + Enter 2 3 4 Doporučení Pokuste se vyřešit zadané úlohy samostatně. Pokud nebudete vědět
Bardziej szczegółowoMatematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Stručné poznámky z MA4 LS 2011/2012 Proseminář z matematické analýzy Zapisovatelé: Zúčastnění posluchači Přednášející: Mgr. Robert Šámal, Ph.D.
Bardziej szczegółowoDefinice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;
Deterministické zásobníkové automaty Definice 3.72. Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je deterministický (DPDA), jestliže jsou splněny tyto podmínky: 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z),
Bardziej szczegółowoCauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici
Řešení ODR v MATLABu Přednáška 3 15. října 2018 Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Víme, že v intervalu a, b existuje jediné řešení. (f (x, y) a f y jsou spojité
Bardziej szczegółowoPojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je. Nejprve shrneme pojmy a fakta, které znáte ze střední školy.
1 Kapitola 1 Množiny 1.1 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky. Pro známé množiny
Bardziej szczegółowoOperace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)
KAPITOLA : Funkce - úvod [MA-8:P.] reálná funkce (jedné) reálné proměnné... f : A R...... zobrazení množin A R do množin reálných čísel R funkční hodnota... = f() ( argument) ( tj. reálná funkce f : A
Bardziej szczegółowoKapitola 2. Nelineární rovnice
Kapitola. Nelineární rovnice Formulace: Je dána funkce f : R! R definovaná na intervalu ha; bi. Hledáme x ha; bi tak, aby f(x) = 0. (x... kořen rovnice) Poznámka: Najít přesné řešení analyticky je možné
Bardziej szczegółowoÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
Bardziej szczegółowoMatematika prˇedna sˇka Lenka Prˇibylova 7. u nora 2007 c Lenka Prˇibylova, 200 7
Matematika přednáška Lenka Přibylová 7. února 2007 Obsah Základy matematické logiky 9 Základní množinové pojmy 13 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 18 Složená funkce 20 Vlastnosti funkcí
Bardziej szczegółowoalgebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy
1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat
Bardziej szczegółowoStavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006
Modelování systémů a procesů (K611MSAP) Přednáška 4 Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT Pravidelná přednáška K611MSAP čtvrtek 20. dubna 2006 Obsah 1 Laplaceova transformace Přenosová funkce
Bardziej szczegółowoLogika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika V. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Bardziej szczegółowoMatematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz
Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza II pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/
Bardziej szczegółowoDFT. verze:
Výpočet spektra signálu pomocí DFT kacmarp@fel.cvut.cz verze: 009093 Úvod Signály můžeme rozdělit na signály spojité v čase nebo diskrétní v čase. Další možné dělení je na signály periodické nebo signály
Bardziej szczegółowoAlgebra I Cvičení. Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se
Algebra I Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých
Bardziej szczegółowo6 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá lineární algebra 3. série 6 Dedekindovy řezy (3 bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval Dedekind
Bardziej szczegółowo1 Dedekindovy řezy (30 bodů)
Pokročilá matematická analýza úlohy pro zimní semestr Dedekindovy řezy ( bodů) V této úloze se pokusíme seznámit s Dedekindovými řezy, pomocí nichž zavedeme reálná čísla. Tuto konstrukci vymyslel a publikoval
Bardziej szczegółowoDavid Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE David Nádhera Kontinuace implicitně zadané křivky Katedra numerické matematiky Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský
Bardziej szczegółowo02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací
02GR - Odmaturuj z Grup a Reprezentací podle přednášky doc. Ing. Goce Chadzitaskose, CSc 27. června 2019 Obsah 1 Grupy 4 1.1 Algebraický koncept................................ 4 1.2 Vlastnosti grup...................................
Bardziej szczegółowoZáklady obecné algebry
. Základy obecné algebry Ústav matematiky, Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně, 2013 Obsah 1 Algebraické struktury 3 1.1 Operace a zákony................................. 3 1.2 Některé důležité typy
Bardziej szczegółowoKompaktnost v neklasických logikách
Univerzita Karlova v Praze Filozofická fakulta Katedra logiky Diplomová práce Petra Ivaničová Kompaktnost v neklasických logikách Compactness in non-classical logics Praha, 2010 Vedoucí práce: Prof. RNDr.
Bardziej szczegółowoMatematika II. Ing. Radek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum. verze: 25. října 2019
Mtemtik II Ing. Rdek Fučík, Ph.D. WikiSkriptum verze: 25. říjn 209 Obsh Integrce rcionálních funkcí 4 2 Zobecněný Riemnnův integrál 5 2. Definice........................................ 5 2.2 Kritéri konvergence.................................
Bardziej szczegółowoUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Lukáš Perůtka Hledání optimálních strategií číselného síta Katedra algebry Vedoucí diplomové práce: Prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc.,
Bardziej szczegółowoKvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Diplomová práce Kvalitativní analýza nelineárních rovnic typu reakce-difuze Plzeň, 2018 Bc. Martin Kaisler cistylist listzadani1
Bardziej szczegółowokontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)
TÉMA 7: Pružný poloprostor, modely podloží pružný poloprostor základní předpoklady pružný poloprostor Boussinesqueovo řešení kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův) 1 Pružný poloprostor (1) vychází z
Bardziej szczegółowoLineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D.
Lineární algebra II, přednáška Mgr. Milana Hladíka, Ph.D. Poznámky sepsal Robert Husák Letní semestr 29/21 Obsah 1 Permutace 1 2 Determinant 3 3 Polynomy 7 4 Vlastní čísla 9 5 Positivně definitní matice
Bardziej szczegółowoVŠB-Technická univerzita Ostrava
VŠB-Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Využití metod nehladké optimalizace v tvarové optimalizaci Ing. Petr Beremlijski Obor: Informatika a
Bardziej szczegółowoMetody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou
2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické,
Bardziej szczegółowoOkrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být
Obyčejné diferenciální rovnice 1 Úvod Obyčejnou diferenciální rovnici N-tého řádu f ( x,y,y,y,...,y (N)) = g(x) převádíme na soustavu N diferenciálních rovnic 1. řádu. Provedeme substituce y z 1 y z 2...
Bardziej szczegółowoMatematika III Stechiometrie stručný
Matematika III Stechiometrie stručný matematický úvod Miroslava Dubcová, Drahoslava Janovská, Daniel Turzík Ústav matematiky Přednášky LS 2015-2016 Obsah 1 Zápis chemické reakce 2 umožňuje jednotný přístup
Bardziej szczegółowoHana Marková Pseudospektrum matice
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Hana Marková Pseudospektrum matice Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Vladimír Janovský, DrSc. Studijní
Bardziej szczegółowoObsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30
Určitý integrál Robert Mřík 6. září 8 Obsh 1 Konstrukce (definice) Riemnnov integrálu. Výpočet Newtonov Leibnizov vět. 18 3 Numerický odhd Lichoběžníkové prvidlo 19 4 Aplikce výpočet objemů obshů 3 c Robert
Bardziej szczegółowoFAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II STUDIJNÍ MATERIÁL Tento studijní materiál byl zpracován s podporou projektu OPVK ESF Rozvoj a modernizace doktorského studijního
Bardziej szczegółowoPetr Beremlijski, Marie Sadowská
Počítačová cvičení Petr Beremlijski, Marie Sadowská Katedra aplikované matematiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB - Technická univerzita Ostrava Cvičení : Matlab nástroj pro matematické modelování
Bardziej szczegółowoLineární algebra - iterační metody
Lineární algebra - iterační metody Numerické metody 7. dubna 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Rozdělení Metody Zastavení SOR Programy 1 Úvod Úvod - LAR Mějme základní úlohu A x = b, (1) kde A R n,n je
Bardziej szczegółowo1 Derivace funkce a monotonie
MA 10. cvičení intervaly monotonie a lokální extrémy Lukáš Pospíšil,2012 1 Derivace funkce a monotonie Jelikož derivace funkce v daném bodě je de-facto směrnice tečny (tangens úhlu, který svírá tečna s
Bardziej szczegółowoObsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β
Sbírka úloh z matematické analýzy. Čížek Jiří Kubr Milan. prosince 006 Obsah Neurčitý integrál.. Základní integrály...................................... Integrály typu ) R, s α+β γ+δ d...........................
Bardziej szczegółowoObsah. Aplikovaná matematika I. Vlivem meze Vlivem funkce Bernhard Riemann. Mendelu Brno. 3 Vlastnosti určitého integrálu
Určitý integrál Aplikovná mtemtik I Dn Říhová Mendelu Brno Obsh Zákldní úloh integrálního počtu Definice určitého integrálu 3 Vlstnosti určitého integrálu 4 Výpočet určitého integrálu 5 Geometrické plikce
Bardziej szczegółowoLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP 219 verze: 219-3-17
Bardziej szczegółowoPoznámky z matematiky
Poznámky z matematiky Verze: 6. října 04 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu
Bardziej szczegółowoSpeciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace
1 Speciální funkce, Fourierovy řady a Fourierova transformace Při studiu mnoha přírodních jevů se setkáváme s veličinami, které jsou všude nulové s výjimkou malého časového intervalu I, ale jejich celková
Bardziej szczegółowo