», ² ª ²»µ ² ± ²¼ µ ª- ² «³¾¹ ± ± ±². Œ ±² ²¼ ±, ±ª «¼ª ³ ª ±² ª. «, ² «- ±² ª³ ² ª, ²» ² ² ± ²³ ª ² - ( ±. 14.1), ² ª ª ³ ² ³² ªµ ±³ ±«² «¼ ±²¼

Transkrypt

1 ª 14 ˆˆ Ž Š Ž. Ž Ÿ ˆ Š ˆŸ Š ª ±², ³ µ ±ª µ ± ±²» - ±³²±² ³¾² ²», ª ²» ± ² ¾²± ±² -», ² ª ²»µ ² ± ²¼ µ ª- ² «³¾¹ ± ± ±². Œ ±² ²¼ ±, ² ± ±² ª«¾» ¹ ª, ª ² ²± - ±ª «¼ª ³ ª ±² ª. «, ² «- ³ ª «¾ ²± ³ ª,, ±ª ª «, ³ µ ±. ± «±² ª³ ² ª, ²» ² ² ± ²³ ª ² - ( ±. 14.1), ² ª ª ³ ² ³² ªµ ±³ ±«² «¼ ±²¼ ± Š ² ¾ ± µ ª µ ±³ ³ ª ±»², ± ±² ¹ µ ª ±² µ - ª² «¾? Ž ½² ±«² «¼ ±² - ³ ª ² ²¼ ª ª ± µ ª µ ±³. ½² ³ ²±, ² ²± ± ² «¼ ± -, «¾¹ µ± «±»±«±«²», ² ª ² «µ ª«±± ª ³ «²± -. Ž ¹, ² ²» ³ ª² ±±« µ ª µ ±³ ±«³ «².. ³, ³- «ª ±² ²± ± ², ª ª - ª ² ²³ ³«² ±²¼ ³ «±««¼ ±, ± ³ «¾¹ ² ±ª µ µ. «± «³ ³ ± ¾, ² ² ² ³±² - ±²¼ ² ¾ ª ª «² «¼ ³ ³¹ ¾ ª - ² ±² ², ² ª ± ««³¾¹ ² ± ¾

2 206 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± ¼ ±² ²± ³±²» ² ¾ ª ³¹ ¾ ³ ±² ² ².. ³«¼² ² «¼ ±«³ ª -, ª ²» ± ¾²± ª ±»µ»µ ±² ², µ ¹ µ± «¼»µ ² µ, ª ² ± ±ª ²³ ³«² ±²¼. ± ² ², ² ¼ ² ±ª ²³ ³«² ±², ³ - ² ± ² ±² «¼ ¹ µ ª², ² ±» ± - ² ±² ª ³ ±± ²» ±ª ± ±² - ±»» ±² ±². ±ª «¼ª ±² «²» ª ² ² - ª µ (Hopf, 1948). Ž ««² ª ª - ª ² ³¾ «¼ ³¾ ± ±² ³, ±² ³¾¹³¾ ³±«- ª ³«¼² ² ±«² «¼ ± ±² «¾¹ µ ± ±» ±² ². «70-µ «³»«³² ª ² ª ² ±±«² «ƒ ««½ ¾½««± ª ±. «± µ ³² ¾, ±«-»µ ² µ ( ³ ± ²» ±«²»- µ) ± ±² «¾¹ µ ± ±» ±² ² ² - ª ²¼ ±²» ²² ª², ª ²» µ ª² ³ ²± ³±² - ±²¼¾ «¹ µ ³»µ ² ª² (Ruelle, Takens, 1971; Newhouse, Ruelle, Takens, 1978). ¾½«¾ ª ±³, ±²» ²² ª² ±²¼ ² ² ±ª ²³ ³«². ²³, ª ² ±² «¼ ±«³ - ª ² ²», ², ².. ª² ±ª ². ² «² ²³ ±² ±² ²± ±«± ² À± ¾½«ª ± Á, «¼ ²¼, - ±ª «¼ª³ ± ««± ±«² «¼- ±² ³ ª ³² ² ª ªµ ±³. ² ±² - ² «¼ ±²»«ª? ±«± ³«²¼ ± ³«¼² ² ±ª»ª, ² ± ²± ª ±«³¾¹ ³. ³±²¼» M > 3 ±± ²»µ ± ±², ª ª - ²»µ ±² ³ ² ±ª ² ª «± - ±² ², ± ±² ²» µ ²± «¼»µ ² - µ. ½² ±«³ ± ±², ± ±² «±»µ - ± ±², ³ ² ²¼ ²² ª² M-» ². ² ¼ ± ¼ ³ ± ±². «± ¾½«¾ ª ±³, ±ª «¼ ³ ««± ² ª ²¼ ½² ±, ² «³ ²± ±²» ²² ª², ª ³ ² µ ² - ±ª. ˆ ª «± «¼» ³«¼² ². ±² ± ±² ±² ³ ª, ª ²» ±² ²»µ ±² µ - ±ª µ ³ ± ±²». ² ²±, ² ½² - ±² ±² ±² ² ª, ± ² ²±² ³¾¹ µ µ ² ±ª - ª, «²± ±¾ ³ «²» ±ª «¼ ³ «ª ±² ±² ² ª, ² ¾¹ ²±³²±² ¾ ±.

3 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± 207 «¼ ² ² ²» ¾½«ª ± - ª ² ±ª ±²» ±±«² «± ±² «², ² «² ²¼ ±² ² ± ±² «¾¹ «¾ ± ª- ² ª «± ±²» «± ²¼± - µ ±. Š ª» ± «±¼, «± «ª - «±¼ ª³ «±«² ª. -»µ,» ³ ² «¼»» «±² -»µ ± ±², ª ²»µ, ² «±²¼ ª«¾ ¾½«ª ±, «¾ ¾²± ª ±ª» ± ±«- ±»µ ±² ² «3 (Tavakol, Tworkowski, 1984; Grebogi et al., 1985; C. Baesens et al., 1991). Žª «±¼, ² ±² ² ±«± ± ±² ½² ±¼ ± ±² ± ²³. ² Grebogi et al., 1985»«² ± ½ª± - ² ± «¼ ± ±², ±» ¾¹ ª³ ± ² ± -» ±² ² : n+1 = n + w 1 + kp 1 (n; 'n) mod 2; 'n+1 = 'n + w 2 + kp 2 (n; 'n) mod 2; (14.1)» ' ¾² ±»±«, ±² ² ² ² ³ ±ª ², ² ² ²¼ ¾²±, ± ² ²±², - ² w 1 w 2. ³ ª P 1 (; ') P 2 (; ') ¾² 2 ª ³ ³ ²³ ±² «¾²± ³ ¼.»««¼ ± ± ². ª ½ ² ³ ¼ - ²» w 1 w 2 ±«³», ±±«² «««µ ª² «³¾¹ ± ª ² «³ : 1; 2 < 0 ±ª, 1 =0, 2 < 0 2-x ±² ²» ª ±ª, 2-², 1 =0, 2 =0 3-µ ±² ²» ª ±ª, 3-², 1 > 0 µ ±. ±. 14.2, ± ±² «²± ² ± ² «¼- «±»², ª ²»µ ³ «± ² ² «² - ± Ž² ± ² «¼ «±»², ª ²»µ ³ «± ² ±«³» ² ³ ª «¼ ² - (14.1) (Grebogi et al., 1985). «² k = k c ² ² ²³ ² ² ±² ²

4 208 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±±. «³ ³¹ k ³ ² ² µ ±² ² ª - ±²¼. ±² ³ ³¹ ±² ² «- ±ª µ µ ² ±ª µ. k > k c, k c ² ² ²³ ² ² ±² «¼ ², ² µ ±² ² ª - ±²¼ ±² ²±. ª ³²¼, ² ±ª ² ² ³² ¾ ² -» ¾½«ª ±, ª ª ² ª,, ±ª, ² ² ² ² ±², ª ² ª «±¼ «ª ²». ±² ² «¼, ±¾ ³ «² ±² ± ± ² «¼ ² ² ²«- ³¾ ² ³«³. ½² ³ ±³²±² ±² ±² ± ±² «² ±², ² ¾¹ «¾ µ ±, ¹ ², ² µ ± ³ ² «¾ ²¼± ±»± ª ² ±²¼¾. - ²»µ, ±«³ «ª ²» ³» Œ½ «±ª ³ ± ² ² (Grebogi et al., 1984) ±«³¾- ¹ µ ±±«±² «±, ² ± µ ª µ ±³ ª ±ª» ² ª«¾ ²¼, ª ª ³²» ½², ±²»µ µ ² ±ª µ ²² ª². - ² ² ½ «±ª ³», ² À±²» Á ² ± ²± ª ² ±ª ±² ³ª²³ ²² ª², ª ²» ±² «² ± - ª² «¼» º ª², ² À µ ² ±ª Á ³ª» ² ²±³²±² ³ ±² ² «¼ ± ±² ª ² «¼»µ ³±«: ± «³ ±ª µ ª ² «²² ª² ² «- ² «¼»µ. ³ ±²», ³² ª ² ª «², ² ±«³ ª ³² ªµ ±³ ²»²¼ ±ª», ª «±¼ ±, µ ² «³ ±. ¼ ² µ ª µ ±³ ª ±ª ( ±ª ³¾ ±«² «¼ ±²¼) ³ ª ³. Žª «1976. ª ±ª ª Œ ² «³, ² ±- «±±ª «¼ «², ³ «² «¼»µ ª - ±², ± ¾¹ µ ½² ² ² µ ª µ ±³ (Feigenbaum, 1978, 1979). Ž ² ² ¼ ª ª ± ³, ½² ± ² ²¼ ±«³». ² ³ «²± ²ª» ² «³, ±»µ ³ µ± ±±«² «(May, 1986),» ± «±³¹ ½² ³ ± ¾ ± ±² ³ ± «¼ - ±² ±ª «( ± ² ) ² «µ ² ² - ±ª ±, ± «³¾ ª³ ² - «³» (± ª ¹ ³» «ƒ). ³¹ ±²¼ ª ³ ± «¼ ±² ± ±² ² ², ² - ²± ±² µ ±± ²»µ ± ±² - (ª«±± ³ ± «¼ ±² ), ª ²» ±² - ±² ³¾² ³ ²³ ±«² «¼ ±²¼ ³ ª, «¾² ³ ª µ ± ² ª «- ±²» ª ±² ±ª «± ±³¹ ³ ª«±±³ ³ ± «¼ ±² ± ²»µ ª - ±² ².

5 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± 209 Œ ² ³», ª ³ ± «¼ ±² ±ª «²» ²»µ µ ª ±ª ª Š ² «¼± «³ ««±ª³¾ ¾ ª«²ª³ ½² µ ª. «² - ²³» ¹ ±² ª ª ² ±ª ² ª µ T c ª - «««³ª²³ ±² ² ±² ²± «¼ ± ¾ ± ²» ±±². ª ² «±² ±²»µ ± ² «³ª²³ ±² ²± ± ¹ ² µ ± ² ³ ±² ² «¼» ª ² «²»µ ±², ² ³ ± «¼» ± ±- ²., ½² «² ³ª²» ³»µ µ ± ¹¼¾ «¼»µ ± ±², ³ «¾¹ µ ² ««- ª «¼»µ ±² ± ³ ±² «, ± - µ ¾¹ µ ² ±³¾¹ ² ª ² ±ª. Š ª ª «±¼, µ «² «- ª ±± ² ª µ ±. ±² ± ±ª³¾ ± ±² ³, ª ² µ ² ª ² ª ² ±ª «¾ ²± ª ( ±ª ª ) µ ±. ± «³» ±² - ±ª µ ³ ² ³, ³ ²¼ «- ³ ³ µ ² ±ª, «³¾¹ ± "- ª ±² ±² ² ª µ, ² «¼ª µ «¾ ±² ² «¼ T ("). Ž, "! 0 T (")!1. ³ ±± ² ³¾ ª ±² ±²¼ ª ² ±ª ² ª, ²¼± ², ²» ± ² T (") -» «± ± ±²¼¾, ³ - ³¾¹ ³ µ ± ±²». ² ª ² ±» ³ ª ª ±² ±² ² ª µ, «ª «¼» ² «ª, ª ª ²¼, ±² ²± ±³¹ ±²», ± ±² µ «± ²¼ ³ ± «¼-» µ ª² 1 ). ½² ±«³ ««±ª ± - ª µ ± ±² ³ µ ± ±² ±² ±- «¼ ²¼ «±²» «, «¾¹ ³» ² ª ² ±ª, ².. «¼ ¾¹ ª³ «¼ µ»µ ± ² µ. Ÿ±, ² ª ±² ³ ² ª µ «±«³ ² ±± ² ²¼ ª ª ³»µ ². ª ² ª±² «ª µ ª µ ±³ - ² ³» ± ±² ² ±«³¾¹. «, ²» ± ¹ ² ² ², ±» ¾¹ ½ «¾- ¾ ± ±² ±ª ± ±²» ª ² ² «. ˆ± «¼ ³,» ±² ²¼ ² ½ - «¾ ª ² «¼ ² «. «- 1 ) ² ±±³ ±ª«¾ ² ±²¼ ±³¹ ±²»µ ª«±- ± ³ ± «¼ ±², ² ª ² ª» ª ±² ³²»²¼ ± - «¼ «µ «ª«±±.

6 210 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± ± ±² ± ²»µ»µ» ±² ± ²¼± ², ²»» ² ½ «¾ ±² ± «± ±²». ±«ª ²»µ µ ² ½² ³ ²± ± «²¼, ² ³ ³ ² ²¼ ª ², «³ - ±«² «¼ ±²¼ ² ½ «¾ «± «¼ µ «¼- µ»µ ² «. ³ µ ² ±² - ² ª ³, ³,» ²± ƒ -, ², ª ²» «, - ² ± «ª ² ±ª ² ª. ª ² ±ª ² ª ±² ³ª- ²³ ² ½ «¾ «¼ µ µ ª» ²± ³- ±««ª ª ²» ±µ ² ± ±²», ±² ³ª²³ ƒ. ½² ± ±² ² ³ ± «¼- ±²¼. ±ª «¼ª³ ª ² ±ª ² ª «³» ª ²- ƒ ²» ½ «¾ ª» - ¾²± ª» ± ² ±²¼¾ ± ²» -»µ, ± ±² «±² ²¼ µ µ ³¾ ª³ ± ± ² ²±² ³¾¹ ± ² ± ² - ±ª µ»µ, «± ±² ±ª «.»- µ ² ª ² ±ª ² ª ª ¾¹ ³¹ - ² ½ «¾ ³ ² ² ± ²¼± ² µ ƒ «, ³ ± «¼» -. ³«¼² ² ² ±² ±² ² «ª ² ±ª ² ª ² ª «² ± ±² ³ ± «¼ ±² ±ª «. ² ³ ª «, ² «± ª- µ ± ²± ª ±² ±², ².. ± ²± ª ±«¾»µ ±«² «¼ ±² ³ - ª, ² ª «±²» ± ª². ª ±², «-» ³ ±ª, µ ª² ³» ³ - ± ²»µ ª ±² ²,»««¼ ³» ««² ª ² ±ª, ª ¾¹ µ - ² ±ª «µ ª µ ±³ ³ - (Kuznetsov et al., 1997; Š³., 1997). Š «±²» ª ±² ³ ± «¼» ª ±² ²»» ² ª «µ ± ²³, ² ¾¹ µ µ ³ ªµ ±³ ª - ±ª» (Shenker, 1982; Feigenbaum et al., 1982; Rand et al., 1982), µ ² ½² ±«³ «ª ² ª» ²± ¼ ±«, ± ª²» ±² ¾²± ± µ ª ³» «±¼ ± ¹ ³ ±ª µ ±±«² «ˆ.. Œ ««, ««³ ¾ ³» ± µ ª µ ±³ ±²¼ (Pomeau, Manneville, 1980). ª ±² ² ª» ¾¹ ± ²³ ³«² ±²¼, ª ² µ ±² ±²»µ «±² µ ², µ ª- ², ³¾²± ± «±² ³«, ²³ ³«²

7 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± 211 ². «² ³, ² ²³ ³«²» «±² ¹ - ¾²±, ¾² ³, ª ¾² ± ¾², ¾¹ ± µ ª² ± ² ² ª ± ±²¼ «¾»µ «² - ª± ² ª ±² ±² ( ±. 14.3). Œ ««¼ ³ª «±ª «¼ª»µ ± ²³, ª - ±ª µ ± ±² µ ( ² ±«± ± ² «¼ «¼ ±²¼¾ ±² ±² ) ² ª ³²¼ - ±²¼, ² «ª«±± ª ¾, ±± ² ² ± ¾¹ ± ²³ ³«² ±²¼ ±ª ² ² ±². «¼ ± ±² ² ª - µ»«±± «. ±² ±², «- ±² ² I III»«² ³ «, ² ³ 2 ). ˆ² ª, ² ³ ± µ ±ª µ ± - ±² ª µ ±³ ±««±¼ ±² «² µ ±»µ ± µ, : ª ±ª ³, ±²¼ ª - ±ª». Ž±² ± ±²¼ ª³ ± ³ ² ± ¹ ±± ² ¾ ½² µ ±, ± ² ²±² ³¾¹ µ ± ±² ±«ª µ ± ±² «±² - µ ² ª ªµ ±³. Ž ±³, ³ ²» ª» ¾²± ±«-»» ± ª ª ² ³ ª ³ ³ µ - ²±. «± «, ² ± ±² «³ ²± ±² ³±²» ±ª ª, ².. «¼» ª«. ²» ³ ²¼, ² ± ² ² ², ± «¼ ³ ± ² ± ³ ª. ³±²¼ «±² ²» ª«À ²Á ² µ ±² ±², ² ³ ² ³ ª x 0 = f (x; y); y 0 = g(x; y): (14.2) 2 ) ², ² ± ² µ ª µ ±³ {Œ ««¾ ª ¾¹ ± ²³ ³«² ±² ¹ ±«³ ±² ²± ±», µ ² ½² ² ±» ««¼ ² «ª «² ± ª.

8 212 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± ª, «¼» ª«²»ª ² µ ±²¼ ±, ±²¼ ² ª ½² ² : x 0 = f (x 0 ;y 0 ), y 0 = = g(x 0 ;y 0 ). ˆ±±«³±² ±²¼ ª«¾ ²± ², ²» ±² «(14.2) x = x 0 + ex, y = y 0 + ey, ³ ª, «³ ex 0 = ey ^J ex ey ; (14.3) 0 ^J = fx (x 0 ;y 0 ); f y (x 0 ;y 0 ) g x (x 0 ;y 0 ); g y (x 0 ;y 0 ) ² Ÿª. ±± ² ³ ± ±²» ª²» ± ±²» ½² ²»: exs s = ey ^J exs s ey ; s =1; 2: (14.4) s ±«±² ±«² ² ²» ^J, ± ² ²±², S = f x (x 0 ;y 0 )+g y (x 0 ;y 0 ); (14.5) J = f x (x 0 ;y 0 )g y (x 0 ;y 0 ), f y (x 0 ;y 0 )g x (x 0 ;y 0 ); ² ± ±²» ±««³ ¾²± ª ª ª ª ² ³ -, 2 S + J =0: (14.6) ˆ, S r S 2 1; 2 =, J: (14.7) 2 «¼» ª² ³¹ ±² «²± «- ª ³µ ± ±²»µ ª². ª - µ «¼ ª«³¹, ² ¾¹ ª ³ ± - ±² ³ ª² ³, ³ ²± ± ² ²±² ³¾¹ ± ±² ±«³«¼² «ª ². ½² ³ ª«³±², ±«³«¼² «ª ² ³«¾ ¼», ³±², ±«µ ²» ³«¼² «ª ² ³«¾ «¼». -» ««±² ³±² ±² «±ª ±² (S; J) «³ ²¼ (14.6), «=1 «=,1, ² ², ± ² ²- ±², «4 1, S + J =0 (14.8) 1+S + J =0: (14.9)

9 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± 213 ²¼ «µ ²± ± ² (14.7): ±«ª ª ² ª ±² ² ² ² «¼ ±«, ² - ³«¼ ³«¼² «ª ² ³ ²» J =1: (14.10) Ž «±²¼ ³² ² ³ «¼ ª, «(14.8){ (14.10), ±²¼ «±²¼ ³±² ±². «, ² ± ±² ± ² ² A. Š» ¼ ³ ½² ² ², ³ ³² ²¼± ª ²» - ² ª x 0, y 0,,± ² ²±², ±«² ² ²» Ÿª : S = S(A), J = J(A). ½² «±ª ±² (S; J)» ³ ²¼± «¼ ª ² ª. Ÿ±, ² ² - ± Ž «±²¼ ³±² ±² «¼ ª««±ª ±² ±«{ ² - ² ²» Ÿª» ²¼»µ ² ³ «¼ ª ³±² ±² ³ ±² ( ±. 14.4). «± «, ²»µ ±³¹ ±² «²± «³¾ ³ ² ³ «¼ ª. ² ³±² ±² ³«¼² - «ª ² ³±. ² ², ² ª ² µ ª««³¹ ² ª ( ± ). ²» ² ª² ª ³«±¼, ³ ± ²¼ ¹ µ, ² ª ² ¼ ª ª» ²± «¼, ³ ±µ. ±«±³¹ ± ±² «±²¼ ² ª, ² ³ «- «²³» ³¹ ±µ ² ±² «, ² ³«¼² ² ³ ª ³ ² ª«±, «¼ ±µ. ² ³ ª ³. Ž ¼ - ±² «¼ ² ¼ ±«³¾² ³ ª ² ª». ±«² «¼ ±²¼ ³ ª -»µ ² ª «²± ª «³ «³,

10 214 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± ª ² ±ª ² ª, ª ² «²± «±»±«- µ ±. ² ± µ ª µ ±³ ª ±ª ³ - ª ³ ± ³. Œ ² ±² ² ²¼± ³ ± ²³, ª «±²¼ ± - ± ±² ³ ² ³±ª ¾ ±² ³¹ ³µ ³ ± ±²» ² ±² - ³±² ±ª ²». ½² ±«³, ª ± «ª ª «¼ ³ ª«³ ² ª² ² µ µ ² ³ «¼ ª ³±² ±²» µ ª ² ª ³ ª, ª ±± ² ³ ª«³ - «²± ³±²» ª«³, ª ²» ±«- ²± ± ±µ» ª«² ª ³ ª, ª ª ², - ² ³± ¾ ³±² ±²¼. ±«³ ª «¾ ²± ³µ ««¹ µ ² ª² ² ³±² ª«³ «-» «±² ±² ±². Œ ² ±«³ ²¼±, ² - ª ½² µ ³ µ «±² µ ² ª, ² ª ² ² ª² ¹ ²± ª ±² ±²¼ ³±² - ª«, ² ±² ²± «² ª ², ¼ ³ ², ² ¼ ²± ².. ±«² ª ª- ± ³ ª ³ : ª, «¼,±³ ª ² ±ª ² ª² ª ±² ±²¼ ³±² ª«² ±², ±«ª ³ µ «±² µ ±² ±² µ - ª² ³ ²± «³±² ±² ² ¾ ª ³- ¹ ¾ «¼»µ ³±«, ² ½² ² ª ª ¾ µ - ² ±ª ¾¹ ± ². Œ ««¼ ¾² ª ª ±²¼ ² III. ±± ²» ²» ³ ª «««¾±² ³- ¾²± ± ¹¼¾»µ ² ( ± ). -

11 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± 215 ª ±²¼ ± ± ², ² «³ ² ³±² ±² ± ª ² ±¼ J =0,ª ² ³¾ ² ª² ²¼ ª ª ± ² ²±² ³¾¹³¾ ±«³ ¾»µ ². ± ³ ª ² ±ª ³ ª ³ ³±²¼ ² ¼»µ ² ³ «¼ ª ³±² ±² ±³¹ ±² «- ²± ³¾ ±² ³. ² ³±² ±² ³«¼² «ª ² ¹ ²± «¾± ³. ª ² - µ ª«³¹ ² ª² ²»ª ²± ( ± ). ²»» ± ²¼, ª ª ² ± ³ ²± ª, ª» ²± µ» ² «¼ ³ ²» ²¼ «±²¼. Š» ± ª ² ª ³ ª, ª ³±² ³ «¼ ³ ª«³ «²± ³±²» ª«; ² ª ³ ª ª«±«¾²± ± ¾². ª, ±± ² «±² ±² ±² ¹ ±² ²± ±ª µ ². ± ² ± ²³ ¾ ±± ² ². ( ², ±ª «¼ª³, ª ª» ³¹ ±«³, ±± ² - ±² ² ³ «¼ ª ³±² ±² ± ª ² ±¼ J =0.) ƒ ª ² ³ ª, ² ±«- ª ± «² ³ ª ± - ±² ² ±«±»»µ ² ª. - ± Š ± ² «¼ ³ ª ² ³ ª ª ª ± ²± ±± ª² ±», ² «² ª ± ² «¼ ³ ª. ±«³ ª ±² ± ³»»µ ² ª ±² ²± ³ ª Àª - Á, µ ª ² ¾¹ ² ª ² ³ ² ²

12 216 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± ª «ª± -±»µ ³«¼² «ª ² «¼ ±«², µ ± ª ² ª - ³ ª. ±«µ Àª Á ² ª² ³µ ² ³ «±² ±² ±². ±«ª ½² µ ³ µ «±² µ µ ª² ³ ²± ³±² ±²¼¾ ² - ¾ ª ³¹ ¾ «¼»µ ³±«±«± - ª, ².. ª ² ² ª² ª» ²± ¼ µ Àª Á, ² «¾ ²± µ ª µ ±³ - ±²¼ ² I Œ ««¾. µ Àª Á ² ² ³ ²± ª ª «±² ±±, «³ ³ µ «±² µ ±² ±² ª ª ²³ - ³«² ±². ª, ² ² ²»µ ² ³ «¼ ª ³±² - ±² ² ² ± ¾ µ» J = 1. ½² µ - ² ³¾ ª ³ ±²¼. ³¹ ² ª² - ²± ª ³ ² ¾¹ ³±² ±²¼ «¼ ª«( ± ), ³ «² µ «²± ³ ² ª «ª± ±«. Š ª ± ² (14.7), 1; 2 = S=2 i(1, S 2 =4) 1=2,² ª ² ³ ² ± ² ² ², ª ª ² ª» ± ª ±² ³ ² ³ «¼ ª. ±««(arg )=2» ²± «¼» ±«p=q, ² ³¹ ²»ª ²± ±«q µ. Š ª ±«³ =,1, ³«¼² ² ³ ª «²± ², ± ± ±² ³ ² «±²¼ ±² «³¹ «³± «¾. ±«³ ±µ ² ª ³ ª ², ±«(arg )=2 «¼ ±«, «±ª - ²» ± ª«², ±««¼. Ž «- ±² ±² ¾²»ª, µ ¹ µ ± µ³ ª «J =1, ³²ª µ ³»ª «³¾²± ª - ±ª». ³ ª ² «¼ ª«± ² ³ ª ª. «¼ ½ - «¾ ²² ª² ³ «¾¹ ² ²»²¼ ±«, ¹ ±ª ²¼, ² - «³ ²± ² ± ²³, ª ² ² ª ª µ ªµ ±³ ª ±²¼. ² ±«³, ª «±²¼ ± ± ±² ³ ² ±ª ª - ³¹, ² ² ³µ ³ ² ª² ² ² ³±² ±²¼ «¼ ª«² «±² ±² ±². ±«ª ² µ ² ±ª ±«² ±² ª ± ² ² ª² ª ±² ±²¼ ³±² ª«, ² - «³ ²± ±²¼ ² II Œ ««¾. ² «± ³» ² µ ² - ±².

13 ª 14. µ ª µ ±³. Ž ¹ ±ª³±± 217 ª ± µ ±µ ±² ² ³±² - ±² «¼ ª«±± ³¾¹ µ± ± ± - ª µ ± ²± ± ± ³² ² ³±² ±² «¼ ª«±± - ³¾¹ ± ± ± ª µ ± Žª» ²±, ² «¼ ±² - ±² ±²» «±² ²± ± «, ² ±»±«, ² ²» ³ ³² ² ² «² ³±² ±² «¼ ª«(± µ ³«¼² «ª ² ³, ³± ³, ª «ª± -±»µ ³«¼² «- ª ² ³¾ ª ³ ±²¼) ² ²» ±² «±² ª³ ³¹ «³ ª, ª - ª» ±³ «. ½² ³ ª«±± ª ± µ ª µ ±³ ª» ²± ±¼ ¹. ±«³¾¹ µ «ª- µ» ² ± ª «² «¼ ³ ±± ² ¾ µ ± ª² ª, ± ± ½² ±.