F t+ := s>t. F s = F t.

Save this PDF as:
Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "F t+ := s>t. F s = F t."

Transkrypt

1 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną σ-algebr (F t F, t 0) spełniającą nastepujące własności: (i) Jeśli s, t 0 oraz s < t to F s F t (F nazywamy wtedy filtracją). (ii) Filtracja F = {F t } t 0 jest prawostronnie ciągła tj. F t+ := s>t F s = F t. Rodzinę F o powyższych własnościach nazywamy filtracją prawostronnie ciągłą, a uporządkowana czwórkę (Ω, F, F, P ) nazywamy bazą stochastyczną. W dalszym ciągu o przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P ) oraz o filtracji {F t } t 0 będziemy dodatkowo zakładać: (iii) Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ) jest zupełna. (iv) Każda σ-algebra F t zawiera wszystkie elementy A F, takie że P (A) = 0. Wtedy uporządkowana czwórkę (Ω, F, F, P ) będziemy nazywać zupełną bazą stochastyczną. Można wykazać, że dla danej bazy stochastycznej (Ω, F, F, P ) istnieje zupełna baza stochastyczna (Ω, F, F, P ) taka, że F F, F t F t dla F t F, Ft F, t 0 oraz P F = P. Założenie o zupełności bazy stochastycznej będzie obowiązywać przez cały nasz wykład. Wprowadźmy jeszcze oznaczenie pewnej σ-algebry; F := t 0 F t tzn. F jest najmniejszą σ-algebrą zawierającą wszystkie elementy filtracji F. Będziemy w naszym wykładzie przyjmować F = F. 1.2 Czasy zatrzymania Definicja 1.1 Odwzorowanie T : Ω [0, ] nazywamy czasem zatrzymania (stopu), jeśli dla każdego t 0 zachodzi {T t} F t, gdzie Uwaga. Ponieważ {T t} := {ω Ω : T (ω) t}. (1.1) {T = } = Ω \ B, gdzie B = t 0{T t} = oraz B t 0 F t = F, {T n} n=1

2 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 2 więc {T = } F. Przedstawimy teraz podstawowe własności czasów zatrzymania. Lemat 1.2 Stały czas T t 0, gdzie t 0 [0, ] jest czasem zatrzymania Dowód. Mamy {T t} = { dla t < t0, Ω dla t t 0, dla każdego t 0 oraz, Ω F t. Lemat 1.3 Jeśli T jest czasem zatrzymania to {T > t}, {T < t}, {T = t} F t. Dowód. Własności te wynikają z równości: {T > t} = {T t}, {T < t} = {T r}, r Q + r<t {T = t} = {T t} {T < t}. Lemat 1.4 Odwzorawanie T : Ω [0, ] jest czasem zatrzymania gdy, dla każdego t 0 zachodzi {T < t} F t. Dowód. W jedna stronę implikacja wynika z lematu 1.3. W drugą stronę mamy m 1 {T t} = n=1 { T < t + 1 } = n n=m { T < t + 1 } F n t+ 1 m Stąd i z prawostronnej ciągłości filtracji F dostajemy {T t} m=1 F t+ 1 m = F t+ = F t. Lemat 1.5 Jeśli S i T są czasami zatrzymania to odwzorowania S T, S T, S + T są także czasami zatrzymania.

3 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 3 Dowód. Odwzorowania S T, S T są czasami zatrzymania, ponieważ {S T t} = {S t} {T t}, {S T t} = {S t} {T t}, dla każdego t 0 oraz zbiory te należą do F t jako iloczyn oraz suma (odpowiednio) elementów z F t. W celu wykazania, że S + T jest czasem zatrzymania na mocy lematu 1.4 wystarczy pokazać, że {S + T < t} F t dla każdego t 0. Niech więc t > 0 (dla t = 0 teza jest oczywista). Zauważmy, że (1.2) {S + T < t} = {S < q} {T < r}. q,r Q + r+q<t Rzeczywiście, jest oczywiste, że zbiór po prawej stronie jest zawarty w zbiorze po lewej stronie. W druga stronę. Niech ω {S + T < t}. Oznaczmy δ := t S(ω) T (ω). Z gęstości zbioru liczb wymiernych na prostej wynika, że istnieją dodatnie liczby wymierne q i r takie, że S(ω) < q < S(ω) + δ 2 oraz T (ω) < r < T (ω) + δ 2. Stąd mamy, więc S(ω) < q T (ω) < r q + r < δ + S(ω) + T (ω) = t z definicji δ. Zatem ω należy do zbioru po prawej stronie równania (1.2), co kończy dowód tej równości. Stosując teraz (1.2) od razu uzyskujemy tezę lematu. Lemat 1.6 Jeśli {T n } n N jest ciągiem czasów zatrzymania to odwzorowania sup T n, n 1 inf n 1 T n są też czasami zatrzymania. Dowód. Prawdziwe są równości: { } T n t = n 1{T n t} oraz sup n 1 { } inf T n < t = {T n < t}. n 1 n 1 Stąd i z lematu 1.4 dostajemy tezę. Z powyższego lematu wynika następujący fakt, gdy lim n T n = T, to T też jest czasem zatrzymania, bo np. inf k 1 sup n k T n = lim sup n T n = T.

4 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 4 Definicja 1.7 Niech T będzie czasem zatrzymania względem ustalonej filtracji. Określmy rodzinę zbiorów { F T := A F : A {T t} F t }. t 0 Jest to rodzina zdarzeń losowych, o których możemy powiedzieć (w danej chwili t), że zaszły lub nie o ile nastąpił moment T przed chwilą t. Łatwo zauważyć, że F T jest σ-algebrą. Podamy teraz pewne własności F T. Lemat 1.8 Czas zatrzymania T jest F T -mierzalny. Dowód. Dla t 0 i dla każdego s 0 mamy { {T t} gdy t s, {T t} {T s} = {T s} gdy t s i obu przypadkach zbiór ten należy do F s (W pierwszym przypadku wynika to z zawierania F t F s ). Lemat 1.9 Jeśli t 0 0 i T t 0 to F T = F t0. Dowód. Dla t 0 0 zachodzi równość A {T t} = { A gdy t t0, gdy t < t 0. Stąd A F T wtedy i tylko wtedy gdy, A F t dla t t 0 tj. wtedy i tylko wtedy gdy A F t0. Uwaga. Zauważmy, że jeśli t 0 i T = t 0 to teza lematu 1.9 również zachodzi. Lemat 1.10 Jeśli T jest czasem zatrzymania, S jest F T -mierzalną zmienną losową taką, że S T to S jest czasem zatrzymania. Dowód. Z F T -mierzalności zmiennej losowej S otrzymujemy {S t} {T t} F t dla każdego t 0, a ponieważ T S, więc {S t} {T t}. Zatem {S t} = {S t} {T t} F t.

5 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 5 Lemat 1.11 Jeśli S, T są czasami zatrzymania oraz S T to F S F T. Dowód. Dla każdego t 0 i A F S mamy ( ) A {T t} = A {S t} {T t} F t bo S T i A {S t} F t, {T t} F t. Zatem A F T. Lemat 1.12 Jeśli {T n } n N jest danym ciągiem czasów zatrzymania to dla czasu zatrzymania T = inf n N T n zachodzi równość F T = Dowód. Z lematu 1.11 otrzymujemy inkluzję W drugą stronę. Jeśli A F T F Tn. n=1 F Tn. n=1 F Tn tj. dla każdego n IN i t 0 n=1 (1.3) A {T n t} F t. Z lematu 1.3 wynika, że {T n < t} F t, więc z (1.3) mamy A {T n < t} = {T n < t} ( A {T n t} ) F t. Stąd { } (1.4) A {T < t} = A inf T n < t = A {T n < t} F t. n N Zatem na mocy (1.4) mamy A { T < t + m} 1 Ft+ 1 dla m IN. Stąd dla każdego k IN m mamy Zatem A {T t} = m=1 ( { A T < t + 1 }) = m A {T t} k=1 F t+ 1 k n N m=k ( { A T < t + 1 }) m = F t+ = F t. F t+ 1. k

6 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 6 Lemat 1.13 Jeśli S, T są czasami zatrzymania to następujące zdarzenia losowe {T < S}, {S < T }, {T S}, {S T }, {T = S} należą do F S F T = F S T. Dowód. Wystarczy wykazać, że podane zdarzenia losowe należą do F T i do F S. Dla ustalonego t 0 otrzymujemy {T < S} {T t} = ( ) ( ) {T < r} {r < S} {T = t} {t < S} F t, r<t r Q oraz {T < S} {S t} = r<t r Q ( ) {T < r} {r < S} {S t} F t, więc {T < S} należy do F T i do F S. Oczywiście przez symetrię {S < T } również należy do F T i do F S. Zdarzenie losowe {T S} należy do podanych σ-algebr jako dopełnienie {S < T }. W końcu {T = S} = {T S} {S T } F S F T = F S T. Lemat 1.14 Niech S i T będą czasami zatrzymania. Jeśli A F S to A {S T } F S T oraz A {S < T } F S T. Dowód. Z założenia i z lematu 1.13 mamy A {S T } F S, a ponieważ ( A {S T } ) {S T t} = ( A {S T } ) {S t} Ft dla każdego t 0, zatem A {S T } F S T. Analogicznie dowodzimy drugą część lematu. Uwaga. Z powyższego lematu od razu otrzymujemy: Dla A F S A {S T } F T, A {S < T } F T. Lemat 1.15 Niech X będzie F-mierzalną zmienną losową oraz taką, że E X <. Zachodzi równość (1.5) E[E[X F T ] F S ] = E[X F T S ] dla dowolnych czasów zatrzymania T i S.

7 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 7 Dowód. Ponieważ (F T S F T z lematu 1.11) E[X F T S ] = E[E[X F T ] F T S ] więc wystarczy wykazać lemat dla F T -mierzalnej zmiennej losowej Y (E Y < ). tj. (1.6) E[Y F S ] = E[Y F T S ]. Z własności warunkowej wartości oczekiwanej wynika, że wystarczy wykazać (1.6) dla Y = I A, A F T (I A oznacza indykator zbioru A). Niech więc A F T oraz F F S. Na mocy lematu 1.14 zbiory F {S T } i A {T < S} należą do F S T. Otrzymujemy E[I A F S T ] dp = E[I A F S T ] dp + E[I A F S T ] dp F F {S T } = P (A F {S T }) + F F {S>T } E[I A {S>T } F S T ] dp = P (A F {S T }) + P (A F {S > T }) = P (A F ) = E[I A F S ] dp. Wprowadzimy teraz szczególne podzbiory w [0, ) Ω tzw. przedziały stochastyczne. Niech S i T będą czasami zatrzymania. Wtedy zbiór ]]S, T ]] := {(t, ω) [0, ) Ω : S(ω) < t T (ω)} będziemy nazywać przdziałem stochastycznym lewostronnie otwartym i prawostronnie domkniętym. Podobnie określamy następujące przedziały stochastyczne: ]]S, T [[, [[S, T ]], [[S, T [[. Zauważmy, że [[T ]] := [[T, T ]] = {(t, ω) [0, ) Ω : T (ω) = t} oraz ]]s, t]] :=]s, t] Ω dla s, t IR. Ponadto wszystkie przedziały stochastyczne należą do B([0, )) F. 1.3 Procesy i cadlag procesy Niech (E, A) będzie mierzalna przestrzenią (w naszym wykładzie będziemy rozważać tylko dwa przypadki, kiedy ta przestrzeń jest równa ( IR, B(IR) ) albo ( IR d, B(IR d ) ) ). Przez proces stochastyczny rozumiemy odwzorowanie z [0, ) Ω w E takie, że dla każdego t 0 odwzorowanie F X t ( ) : Ω E Ω ω X t (ω) E jest F-mierzalne tzn. X t jest zmienną losową. Proces ten będziemy oznaczać przez X lub X = {X t } t 0.

8 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 8 Definicja 1.16 Niech X i Y będą procesami stochastycznymi określonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Mówimy, że proces X jest modyfikacją (wersją) procesu Y (lub Y jest modyfikacją (wersją) procesu X) jeśli t 0 P ( {X t Y t } ) = 0. Definicja 1.17 Procesy stochastyczne X i Y nazywamy nierozróżnialnymi jeśli ( ) P (π({x Y })) = P {X t Y t } = 0, gdzie π jest rzutem na Ω. Zauważmy, że powyższa definicja wymaga, aby zbiór t 0 π({x Y }) = t 0{X t Y t } był mierzalny. Jeśli procesy X i Y są nierozróżnialne, to mówimy, że jeden z nich jest realizacją drugiego. Relacja nierozróżnialności procesów jest relacją równoważności i w dalszej części wykładu bedziemy identyfikować procesy nierozróżnialne. Oczywiście jeśli dwa procesy są nierozróżnialne to jeden z nich jest wersją drugiego. Podzbiór A [0, ) Ω nazywamy nieistotnym jeśli proces I A jest nierozróżnialny od procesu zerowego lub równoważnie P (π(a)) = 0. Niech X będzie procesem stochastycznym i ustalmy ω Ω. Odwzorowanie t X t (ω) nazywamy trajektorią procesu X. Wyróżnimy pewne klasy procesów ze względu na własności ich trajektorii. Definicja 1.18 Niech X będzie procesem X jest cag procesem jeśli jego trajektorie są lewostronnie ciągłe. X jest cad procesem jeśli jego trajektorie są prawostronnie ciągłe. X jest cadlag procesem jeśli jego trajektorie są prawostronnie ciągłe i posiadają lewostronne granice. X jest caglad procesem jeśli jego trajektorie są lewostronnie ciągłe i posiadają prawostronne granice. X jest ciągłym procesem jeśli jego trajektorie są ciągłe. Twierdzenie 1.19 Jeśli X i Y są cad lub cag procesami i X jest modyfikacją Y to procesy X i Y są nierozróżnialne.

9 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 9 Dowód. ( Dla każdego r Q + oznaczmy przez A r = {X r Y r }. Z założenia P (A r ) = 0. Stąd P r Q r) + A = 0. Z jednostronnej ciągłości wynika, że A := t 0 A t = r Q + A r. Zatem P (A) = 0 czyli X i Y są nierozróżnialne. Z dowodu powyższego twierdzenia wynika, że stosowanie cad lub cag procesów daje nam możliwość badania ich własności ograniczając się tylko do pewnego przeliczalnego gęstego podzbioru IR + np. zbioru nieujemnych liczb wymiernych Q +. Zajmiemy sie teraz problemem mierzalności procesów stochastycznych. Zaczniemy od definicji. Definicja 1.20 Proces X = {X t } t 0 nazywamy procesem adaptowanym względem filtracji F = {F t } t 0 jeśli dla dowolnego t 0 odwzorowanie ω X t (ω) jest F t -mierzalne. Lemat 1.21 Niech T : Ω [0, ] będzie zmienną losową. T jest czasem zatrzymania gdy, proces I [[0,T [[ jest adaptowany. Dowód. Niech t 0. Zauważmy, że I [[0,T [[ (t, ω) = { 1 gdy T (ω) > t, 0 gdy T (ω) t, = I {T >t} (ω) Stąd wynika, że następujące odwzorowanie I [[0,T [[ (t, ) jest F t -mierzalne wtedy i tylko wtedy gdy, {T t} F t co oznacza, że T jest czasem zatrzymania. Definicja 1.22 Proces X nazywamy mierzalnym jeśli odwzorowanie X : [0, ) Ω E (s, ω) X s (ω) jest mierzalne względem σ-algebry B([0, )) F. Definicja 1.23 Dany proces X nazywamy procesem progresywnie mierzalnym względem filtracji F = {F t } t 0 jeśli dla każdego t 0 odwzorowanie X : [0, t] Ω E (s, ω) X s (ω) jest mierzalne względem σ-algebry B([0, t]) F t.

10 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 10 Fakt. Dana jest przestrzeń mierzalna (Y, A) oraz D A. Rozważmy ponadto funkcję f : Y IR. Wtedy f D : D IR jest A D mierzalna fi D jest A mierzalne. Lemat 1.24 Jeśli X jest procesem progresywnie mierzalnym to jest również procesem mierzalnym i adaptowanym. Dowód. Z definicji X [0,t] Ω : (s, ω) X s (ω) jest B([0, t]) F t -mierzalne. Stąd dla t odwzorowanie jest F t -mierzalne, bo X t : ω X t (ω) ( X 1 (A) ) t = X 1 t (A) dla A B(IR), gdzie dla D B([0, t]) F t, D t := {ω : (t, ω) D} F t. Z założenia X [0,t] Ω jest B([0, t]) F t B([0, t]) F = ( B([0, )) F ) [0,t] Ω mierzalny. Stąd XI [0,t] Ω jest B([0, )) F mierzalny. Przechodząc z t dostajemy mierzalność X (względem B([0, )) F). Twierdzenie odwrotne jest na ogół fałszywe. Przykład 1.25 Niech Ω = [0, ), F = L([0, )) oraz (1.7) P (A) = e x dλ(x), A F. Określmy filtrację nastepująco: A F t = {A F : λ(a) = 0 albo λ(a ) = 0}, t 0. Zdefiniujmy proces X = {X t } t 0 wzorem { 1 gdy ω = t, X t (ω) = 0 gdy ω t. Łatwo zauważyć, że X jest procesem adaptowanym i mierzalnym. Aby udowodnić, że X nie jest procesem progresywnie mierzalnym skorzystamy z następującego twierdzenie, które podamy bez dowodu. Twierdzenie 1.26 Niech (Ω, F, P ) będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną, (K, B) będzie przestrzenią Borela, a π rzutem K Ω na Ω. Jeśli B B(K) F, to π(b) F.

11 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 11 Dadajmy jeszcze, że przestrzeń mierzalną (K, B) nazywamy przestrzenią Borela jeśli istnieje odwzorownie mierzalne z tej przestrzeni, którego odwrotne też jest mierzalne w przestrzeń ([0, 1], B([0, 1]). Można udowdnić, że każdy borelowski podzbiór przestrzeni metrycznej ośrodkowej i zupełnej (tzw. przestrzeni polskiej) jest przestrzenią Borela (oczywiście z σ-algebrą zbiorów borelowskich). Niech t > 0. Zastosujemy powyższe twierdzenie przyjmując K = [0, t]. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, F t, P ), gdzie Ω = [0, ) oraz P dane jest wzorem (1.7) jest zupełna. Zauważmy ponadto, że {(s, ω) : s [0, t], ω Ω, X s (ω) = 1} =, gdzie jest przekątną kwadratu [0, t] 2. Gdyby X był progresywnie mierzalny, to B([0, t]) F t ale wtedy na mocy Twierdzenia 1.26 mamy F t π( ) = [0, t], co jest niemożliwe. Jednak, gdy proces ma jednostronnie ciągłe trajektorie to zachodzi twierdzenie odwrotne do lematu Twierdzenie 1.27 Jeśli proces X jest adaptowany i cad lub cag to jest progresywnie mierzalny. Dowód. Musimy wykazać, że dla każdego t > 0 odwzorowanie X : [0, t] Ω E jest B([0, t]) F t -mierzalne. Ustalmy t > 0. Dla każdego n IN niech k = 1, 2, 3,..., 2 n w przypadku, gdy X jest cad określmy X n : [0, t] Ω E wzorem oraz X n s (ω) = X k2 n t(ω) gdy s [(k 1)2 n t, k2 n t), X n t (ω) = X t (ω). Wtedy X n też jest cad (co w dowodzie tym nie jest istotne). W przypadku, gdy X jest cag procesem określmy oraz X n s (ω) = X (k 1)2 n t(ω) gdy s ((k 1)2 n t, k2 n t], X n 0 (ω) = X 0 (ω). Wtedy X n też jest cag (co w dowodzie tym nie jest istotne). Zauważmy, że dla a IR mamy {(s, ω) : X n s (ω) a} = {t} {X t a} 2 n k=1 [(k 1)2 n t, k2 n t) {ω : X k2 n t(ω) a}

12 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 12 w przypadku, gdy X jest cad procesem, oraz {(s, ω) : X n s (ω) a} = {0} {X 0 a} 2 n k=1 ((k 1)2 n t, k2 n t] {ω : X (k 1)2 n t(ω) a} w przypadku, gdy X jest cag procesem. Zatem X n jest mierzalne wzgledem σ-algebry B([0, t]) F t. Ponieważ lim n Xs n = X s punktowo dla s [0, t] (bo X jest cad lub cag) więc X jest progresywnie mierzalnym procesem. Niech X będzie procesem, a T czasem zatrzymania. Określmy odwzorowanie (proces w chwili zatrzymania T ) X T : Ω E wzorem X T (ω) := X T (ω) (ω). Zauważmy, że gdy T (ω) = + to możemy mieć trudność w określeniu X T dla takich ω. Mamy wtedy dwie możliwości: albo lim t X t istnieje (punktowo) i wtedy określamy X := lim t X t, albo granica ta nie istnieje i wtedy zamiast X T rozważamy X T I {T < }. Twierdzenie 1.28 Niech X będzie procesem progresywnie mierzalnym i niech T będzie czasem zatrzymania. Wtedy: 1. Jeśli T jest skończony to X T jest F T -mierzalne. 2. Jeśli T nie jest skończonym czasem zatrzymania oraz X nie jest określone, to X T I {T < } jest F T -mierzalne. 3. Jeśli T nie jest skończonym czasem zatrzymania oraz X := lim t X t istnieje (punktowo) to X T jest F T -mierzalne. Dowód. Pokażemy najpierw, że X T jest F-mierzalne. Załóżmy, że T < + i zauważmy, że X T jest złożeniem dwóch odwzorowań (Ω, F) f ([0, ) Ω, B([0, )) F) g f g (IR, B(IR)) gdzie f(ω) = (T (ω), ω) oraz g(t, ω) = X t (ω), ω Ω, t 0. Ponieważ odwzorowanie f jest F-mierzalne (z definicji czasu zatrzymania) oraz g jest B([0, )) F-mierzalne, stąd X T = g f jest F-mierzalne.

13 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 13 Jeśli T nie jest skończony to zauważmy, że X T {T < } = g f, gdzie g jest jak powyżej, a f = f {T < }. Mamy zatem diagram ({T < }, F {T < } ) f ([0, ) Ω, B([0, )) F) g f g (IR, B(IR)) Mierzalność f wynika z mierzalności T {T < } względem F {T < }, a mierzalność ta wynika z tego, że {T a} F dla a IR oraz {T {T < } a} = {T a} {T < } F {T < }. Zatem X T {T < } jest F {T < } - mierzalne. Stąd X T I {T < } jest F - mierzalne. Jeśli teraz T + oraz X istnieje, to X jest F-mierzalne oraz {T = } F. Ponieważ X T = X T I {T < } + X I {T = }, i na mocy poprzedniego X T I {T < } jest F-mierzalne, więc X T jest F-mierzalne. Mając teraz na uwadze definicję F T zauważmy, że dla zakończenia dowodu twierdzenia wystarczy wykazać nastepującą zależność: Dla t > 0 (dla t = 0 jest oczywista) i A B(IR) (1.8) {X T A} {T t} F t. Mamy (1.9) {X T A} {T t} = {X S A} {T t}, gdzie S = T t. Zmienna losowa X S jest złożeniem dwóch odwzorowań (Ω, F t ) f ([0, t] Ω, B([0, t]) F t ) g f g (IR, B(IR)) gdzie f (ω) = (S(ω), ω), ω Ω oraz g = g [0,t] Ω Łatwo zauważyć, że f jest F t -mierzalna, a g jest B([0, t]) F t -mierzalna. Ponieważ X S = g f zatem X S jest F t -mierzalna. Stąd i z (1.9) widzimy, że (1.8) zachodzi, co kończy dowód. Twierdzenie 1.29 Niech T będzie danym skończonym czasem zatrzymania, to σ-algebra F T jest najmniejszą σ-algebrą generowana przez zmienne losowe otrzymane z cadlag i adaptowanych procesów w chwili w T tj. F T = σ{x T : X -cadlag adaptowany proces}

14 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 14 Dowód. Niech G = σ{x T : X-cadlag adaptowany proces}. Niech Λ F T wtedy X t = I Λ I {t T } jest cadlag i adaptowanym procesem oraz X T = I Λ. Stąd Λ G. Niech X będzie adaptowanym, cadlag procesem. Wtedy z twierdzenia 1.27 proces X jest progresywnie mierzalny, a z twierdzenia 1.28 zmienna losowa X T jest F T -mierzalna tzn. G F T 1.4 Przykłady czasów zatrzymania Stwierdzenie 1.30 Niech T będzie czasem zatrzymania oraz niech A F T. Określmy T A : Ω [0, ] wzorem { T (ω) dla ω A, (1.10) T A (ω) = + dla ω / A. Wtedy T A jest czasem zatrzymania. Ponadto T A = T A {T < }. Dowód. Łatwo zauważyć, że T A jest czasem zatrzymania, bo dla t 0 mamy {T A t} = A {T t} F t. Stwierdzenie 1.31 Niech X będzie procesem adaptowanym cad lub cag. Jeśli T jest czasem zatrzymania to dla a > 0 zmienna losowa T a określona wzorem (1.11) T a (ω) = inf{t : t > T (ω), X t (ω) X T (ω) > a} (przyjmujemy T a (ω) =, gdy T (ω) = ) jest czasem zatrzymania. Dowód. Zauważmy, że dla t > 0 mamy równość (1.12) {T a < t} = {ω Ω : s > T (ω), X s (ω) X T (ω) (ω) > a}. s Q [0, t) Rzeczywiście, jeśli ω należy do zbioru po prawej stronie równości (1.12), to istnieje s Q [0, t) takie, że T (ω) < s oraz X s (ω) X T (ω) (ω) > a. Stąd T a (ω) s < t, czyli ω {T a < t}. W drugą stronę. Niech ω {T a < t}, to z definicji T a i własności kresu dolnego istnieje t 1 < t takie, że T (ω) < t 1 oraz X t1 (ω) X T (ω) (ω) > a. Korzystając teraz z jednostronnej ciągłości trajektorii X wnosimy, że istnieje s Q takie, że T (ω) < t 1 < s < t w przypadku cad procesu (T (ω) < s < t 1 < t dla cag procesu)

15 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 15 dla którego X s (ω) X T (ω) (ω) > a. Stąd ω należy do zbioru po prawej stronie równości (1.12), co kończy dowód (1.12). Zauważmy ponadto, że (1.12) możmy zapisać w postaci (1.13) {T a < t} = {ω Ω : I {T <s} (ω) X s (ω) X T (ω) (ω) > a}. s Q [0, t) Zmienna losowa I {T <s} X s jest F s -mierzalna (bo T jest czasem zatrzymania, a X jest adaptowany), a zmienna losowa X T I {T <s} jest F T s -mierzalna (twierdzenie 1.27 i 1.28 oraz lemat 1.14). Ponieważ F T s F s, wiec również F s -mierzalna. Stąd i z (1.13) dostajemy tezę stwierdzenia. Twierdzenie 1.32 Niech X będzie adaptowanym cadlag procesem oraz niech A będzie otwartym zbiorem to czas pierwszego dotarcia do zbioru A określony wzorem jest czasem zatrzymania. T (ω) = inf{t > 0 : X t (ω) A} Dowód. (Szkic) Wystarczy pokazać, że {T < t} F t dla t 0. Ale z otwartości A i z tego, że X jest adaptowany i ma prawostronnie ciągłe trajektorie mamy (1.14) {T < t} = {X s A}. Zatem s Q [0,t) {T < t} F t. Powyższe twierdzenie możemy rozszerzyć na dowolne zbiory borelowskie i procesy progresywnie mierzalne. Do tego jednak potrzebne nam będą dodatkowe fakty i definicje. Definicja 1.33 Niech A [0, ) Ω będzie niepustym zbiorem. Funkcję D A (ω) = inf{t 0 : (t, ω) A}, ω Ω nazywamy debiutem zbioru A. Zauważmy, że dla t > 0 mamy (1.15) {D A < t} = π(a [[0, t[[). Rzeczywiście, ω {D A < t} wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 0 t 1 < t taki, że (t 1, ω) A, co z kolei jest równoważne warunkowi (t 1, ω) A [[0, t[[ ω π(a [[0, t[[).

16 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 16 Stwierdzenie 1.34 Jeśli A B([0, ) F, to D A jest zmienną losową. Dowód. Teza stwierdzenia wynika natychmiast z (1.15) oraz z twierdznia Twierdzenie 1.35 Jeśli A [0, ) Ω jest zbiorem progresywnie mierzalnym (tzn. I A jest procesem progresywnie mierzalnym), to D A jest czasem zatrzymania. Dowód. Niech t > 0. Zbiór A jest progresywnie mierzalny, więc A [[0, t]] B([0, t]) F t. Ponadto [[0, t[[ B([0, t]) F t. Zatem A [[0, t[[ B([0, t]) F t. Teraz z lematu 1.4, z równości (1.15) oraz z twierdzenia 1.26 dostajemy tezę. Uwaga. Zauważmy również, że zmienna losowa (1.11) jest debiutem zbioru ]]T, [[ {(t, ω) : X t (ω) X T (ω) (ω) > a} = ]]T, [[ {(t, ω) : X t (ω) X T (ω) (ω)i [[T, [[ (t, ω) > a} Ponieważ procesy: I ]]T, [[, X, X T I [[T, [[ są progresywnie mierzalne, więc z twierdzenia 1.35 dostajemy inny dowód stwierdzenia Twierdzenie 1.36 Jeśli X jest progresywnie mierzalny to dla dowolnego zbioru borelowskiego B odwzorowanie T (ω) = inf{t > 0 : X t (ω) B} jest czasem zatrzymania. Dowód. Oznaczmy A 1 = {(t, ω) [0, ) Ω : X t (ω) B}. Z założenia A 1 jest zbiorem progresywnie mierzalnym. Zauważmy, że również zbiór ]]0, ]] jest progresywnie mierzalny (bo dla każdego t > 0 mamy ]0, t] Ω B([0, t]) F t ). Oznaczmy A = A 1 ]]0, ]]. Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że T = D A i skorzystać z twierdzenia Procesy zatrzymane i lokalizacja Niech T będzie czasem zatrzymania i niech X = {X t } t 0 będzie procesem. Proces X T określamy jako { Xt (ω) dla t < T (ω), Xt T (ω) = X T (ω) (ω) dla t T (ω), i nazywamy go procesem zatrzymanym w czasie T. Możemy również zapisać X T t (ω) = X T (ω) t (ω). Twierdzenie 1.37 Jeśli X jest progresywnie mierzalnym procesem i T jest czasem zatrzymania, to proces X T jest również progresywnie mierzalny.

17 M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 17 Dowód. Możemy przedstawić X T jako sumę dwóch procesów: X T = I [[0,T [[ X + I [[T,+ [[ X T I {T < }. Proces I [[0,T [[ jest cad i adaptowany, więc (z twierdzenia 1.27) jest progresywnie mierzalny. Zatem stąd i z założenia wynika, że I [[0,T [[ X jest też progresywnie mierzalny. Jest oczywiste, że proces I [[T,+ [[ X T I {T < } jest cad. Dowód będzie zakończony jeśli pokażemy, że jest on również adaptowany. Ponieważ z twierdzenia 1.28 zmienna losowa X T I {T < } jest F T - mierzalna wystarczy pokazać, że dla każdego A F T proces I [[T,+ [[ I A jest adaptowany, co jest prawdą, bo {ω Ω : I [[T,+ [[ (t, ω)i A (ω) = 1} = A {T t} F t. Podamy teraz definicję lokalizacji. Rozważmy niemalejący ciąg {T n } czasów zatrzymania, taki że lim n T n = +. W dalszej części wykładu będziemy ten ciąg nazywać ciągiem lokalizacyjnym. Mówimy np., że proces X jest lokalnie ograniczony jeśli istnieje ciąg lokalizacyjny {T n }, taki że dla każdego n IN proces X Tn zatrzymany w czasie T n jest ograniczony. Tę technikę lokalizacji będziemy stosować w wielu sytuacjach.

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki

Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej

Teoria ze Wstępu do analizy stochastycznej eoria ze Wstępu do analizy stochastycznej Marcin Szumski 22 czerwca 21 1 Definicje 1. proces stochastyczny - rodzina zmiennych losowych X = (X t ) t 2. trajektoria - funkcja (losowa) t X t (ω) f : E 3.

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. : Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α

(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną

Bardziej szczegółowo

O geometrii semialgebraicznej

O geometrii semialgebraicznej Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

1 Elementy analizy funkcjonalnej

1 Elementy analizy funkcjonalnej M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAT1332 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017

Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017 Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

Zadania z Procesów Stochastycznych 1

Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo