Elementy równań różniczkowych cząstkowych. Szeregi Fouriera. Magdalena Jakubek marzec 2017

Transkrypt

1 Eementy równń różniczkowyc cząstkowyc. Szeregi Fourier Mgden Jkubek mrzec 17 1

2 Pn wykłdu Podstwowe pojęci- przypomnienie Co to są szeregi Fourier? Sposoby budowni rozwiązń mjącyc postć szeregów Przykłdyjednowymirowe Równniepłyty Iustrcj metody szeregów Fourier n przykłdzie zginnej płyty. 1 Podstwowepojęci Rozwiązni równni Lpce : f= f=, f C 1) nzyw się funkcjmi rmonicznymi. Dził mtemtyki zjmujący się bdniem funkcji rmonicznyc nzyw się teorią potencjłu. Rezutty tej teorii wykorzystuje się w rozwiązywniu szczegónyc typów równń fizyki mtemtycznej. Rozwiązni wieu równń różniczkowyc możn uzyskć jedynie wówczs, gdy rozwiązni będziemy trktowć w sensie uogónionym, czyi jko dystrybucje. δx)= { + x= x δx)dx=1 SymboHx x )oznczfunkcjęheviside : d x<x, Hx x )= 1 d x>x. ) WłściwościdetyDirc: fx)δx x )dx=fx ) 3) δx )δx b)dx=δ b) 4) δx)=δ x), δx)= 1 δx) 5)

3 δx )= 1 [δx )+δx+)] 6) δx x )dx=1, <x <. 7) Definicje: ioczynskrnyfunkcjifx),gx)wprzedzie,b) ozncznyprzezf,g) f,g)= fx)gx)dx funkcjcłkownzkwdrtemfx)wprzedzie,b) funkcj,dktórejistnieje cłk fx) dx przyjmując wrtość skończoną normzfunkcji fx) f = fx) = fx) dx< b f,f)= fx) dx normizcj funkcji fx) fx) ukłdfunkcjiortogonnycϕ i x)wprzedzie,b)tozbiórfunkcji spełnijącyc wrunek ϕ i,ϕ j )= ukłd funkcji ortonormnyc {ϕ 1 x),ϕ x),,ϕ n x), } ϕ i x)ϕ j x)dx=δ ij ϕ i x) dx=δ ij ϕ j x) dx { ϕ1 x) ϕ 1,ϕ x) ϕ,,ϕ nx) ϕ n, } spełni wrunek ϕ i,ϕ j )= ϕ i x)ϕ j x)dx=δ ij

4 SzeregiFourier Szereg, którego eementmi są funkcje nzywmy szeregiem funkcyjnym gdzie: w i x) i= N w i x)= im w i x) N i= i= o ie grnic istnieje. D różnyc wrtości x dostniemy inną wrtość grnicy. Ukłdem trygonometrycznyzywmy zbiór funkcji: {sinkx,coskx} k N ={1,sinx,cosx,sinx,cosx, } 8) Ukłd trygonometryczny spełni wrunki ortogonności coskx)dx= sinkx)dx=, k N 9) sinkx)cosmx)dx=, k,m N 1) jeśi k m sinkx) sinmx) dx = π jeśi k=m jeśi k m coskx) cosmx) dx = π jeśi k=m π jeśi k=m= Szereg Fourier- szczegóny przypdek szeregów funkcyjnyc. D funkcji okresowej o okresie π możemy zdefiniowć szereg, który nzywmy szeregiem Fourier funkcji f: + k coskx)+b k sinkx)), k=1,, 13) gdzie k=1 fx)= + 1cosx)+ cosx)+ + k coskx) +b 1 sinx)+b sinx)+ +b k sinkx) k = 1 π b k = 1 π fx)coskx)dx fx)sinkx)dx 11) 1) 14)

5 .1 Uogónienie szeregów Fourier Szereg Fourier- sposób przedstwieni funkcji w postci nieskończonego szeregu sinusów i cosinusów. fx) jest cłkowną funkcją n przedzie[, ] fx)= + gdzie n ib n zeżąodfunkcjifx). n=1 n cos nπx +b n sin nπx ) 15) Abywyznczyćwspółczynniki n neżypomnożyćobiestronyrównni15)przezcos kπx nstępnie przecłkowć po przedzie[, π]ub ogónie[, ]). Aby wyznczyć współczynnikib n neżypomnożyćtorównnieprzezsin wπx i przecłkowć w tyc smyc grnicc. Niektóre z rozwijnyc w szereg Fourier funkcji mogą być w przedzie[, ] przyste inne nieprzyste, dtego szeregi Fourier mogą mieć tyko wyrzy z sinusmi bądź tyko z cosinusmi. Współczynniki Fourier: n = 1 b n = 1 ) nπx fx)cos dx ) nπx fx)sin dx jeżeifx)jestnieprzystąfunkcjąxto n =,jeżeiprzystątob n =.Współczynniki Fourier są okreśone o ie powyższe cłki są skończonewystrczy złożyć, że f jest cłkown w[,]).. D jkic funkcji szereg Fourier jest zbieżny do niej smej? Twierdzenie Diricet: Jeżei fx) ogrniczon n przedzie[, ] jest: przedziłmi monotoniczn n, ) jest ciągł w, ) z wyjątkiem skończonej iczby punktów nieciągłości, e w tyc punktc musi być spełniony wrunek fx )= 1 fx )+fx+ )) 16) f )=f)= 1 f + )+f )) to fx)= + n cos nπx n=1 +b n sin nπx ) 17) dkżdegox [,]. Dodtkowo jeżei fx) jest okresow i jej okres wynosi to17) obowiązuje d wszystkic xzdziedzinyfunkcjifx).

6 3 Równnie różniczkowe powierzcni ugięci płyty D w=q 1+ν) Dα t T 18) opertor Lpce i bipsjn we współrzędnyc krtezjńskic = x+ 19) y = x 4+ x y+ ) y 4 Sztywność płytow D= E 3 11 ν ) 1) Mcierz sztywności płytowej 1 ν D=Dn gdzie n= ν 1 1 ν ) Mcierze opertorowe d T 1 = [ x y d T = [ x y y x ] ] 3) 4) Mcierz krzywizn k: Wektor momentów M=D k α t T ) = D k= d 1 d w= d 1 d w+α t T [ w ] w w x y x y ) = D w+ν w+1+ν) αt T x y ν w+ w+1+ν) αt T x y 1 ν) w x y 5) 6) Wektor sił poprzecznyc Q= d T 1 [ D d 1 d w+α t T )] +m= D x y ) w+1+ν) αt T ) w+1+ν) αt T + m x m y 7)

7 Równnie różniczkowe cząstkowe czwrtego rzędu18), możn zstpić ukłdem dwóc równń drugiegorzędu.sumujemymomentym x im y M=M x +M y = D1+ν) w+ α ) t T 8) Z8) wynik równnie różniczkowe Poisson w= M D1+ν) α t T 9) Podstwijąc9) do18) otrzymujemy drugie równnie różniczkowe Poisson. M= 1+ν)q 1 ν ) Dα t T 3) 4 Zstosownie szeregów trygonometrycznyc do obiczni płyt prostokątnyc Jedn z njstrszyc metod rozwiązywni zgdnieni zginni płyt poeg n przyjęciu podwójnyc ub pojedynczyc szeregów Fourier. Metod t może być wykorzystn do nizy płyt prostokątnyc o specjnyc wrunkc brzegowyc. Zmknięte rozwizni w teorii płyt możn otrzymć tyko d płyt o okreśonyc ksztłtc, obciążonyc w szczegóny sposób. W innyc przypdkc powierzcnię ugięci płyty możn wyrzić w postci nieskończonyc szeregów funkcyjnyc. W podobny sposób możn wyrzić uogónione siły wewnętrzne towrzyszące ugięciu. Trzy sposoby budowni rozwiązń mjącyc postć szeregów: funkcję wyrżjącą powierzcnię ugięci płyty przedstwi się z pomocą szeregu funkcji, z któryc kżd spełni wszystkie wrunki brzegowe, e żdn nie spełni równni różniczkowego. Współczynniki szeregu sum szeregu spełni równnie różniczkowe zginnej płyty. rozwiąznie buduje się z funkcji, które spełniją równnie różniczkowe zgdnieni e żdn nie spełni wrunków brzegowycprzynjmniej niektóryc). Współczynniki szeregu sum szeregu spełni potrzebne wrunki brzegowe. żden z wyrzów szeregu nie spełni równni różniczkowego i wrunków brzegowyc. Współczynniki szeregu wyzncz się z wrunku, że sum szeregu spełni równnie różniczkowe i dne wrunki brzegowe. Ugięcie płyty wyrżone nieskończonym szeregiem funkcji tworzcyc ukłd zupełny możn uwżć z rozwiąznie ścisłe, jeżei szereg nieskończony spełni równnie różniczkowe i wrunki brzegowe.

8 Szeregi Fourier, z któryc będziemy korzystć, skłdć się będą z funkcji spełnijącyc wrunki brzegowe e nie spełnijącyc równni różniczkowego. Rozwżmy płytę prostokątną, swobodnie podprtą o wymirc b, z dowonie rozłożonym obciążeniem qx, y). y b qx, y) x Obciążenie płyty możn przyjąć w postci podwójnego szeregu sinusowego: qx,y)= q mn sinα m x)sinβ n y), 31) m=1n=1 gdzie: α m = mπ, β n= nπ, m,n=1,,3 3) b Crkterystyczną cecą szeregu31) jest to, że wszystkie jego przyste pocodne będą też szeregmi sinusowymi q x = m αmq mn sinα m x)sinβ n y), 33) n q y = βn q mnsinα m x)sinβ n y) 34) q= αm +β n )q mnsinα m x)sinβ n y) 35) q= αm +β n ) q mn sinα m x)sinβ n y) 36) Współczynnikirozwinięciq mn obiczmy,tkjkwniziermonicznej.mnożymyobustronnierówność31)przezsinα k x)icłkujemywzgędemzmiennejxwprzedzie[,],nstępnie wynikmnożymyprzezsinβ y)iponowniecłkujemywprzedzie[,b]wzgędemzmiennejy. Ze wzgędu n ortogonność funkcji trygonometrycznyc: d k m, sinα k x)sinα m x)dx= d k=m. 37)

9 po wykonniu cłkowni otrzymujemy d n, sinβ y)sinβ n y)dx= b d =n, 38) q mn = 4 b Możnobiczyćq mn dróżnyctypówobciążeniqm,n). qx,y)sinα m x)sinβ n y)dxdy 39) Złóżmy, że funkcj wyrżjąc powierzcnię ugięci rozptrywnej płyty m postć szeregu podwójnego wx,y)= w mn sinα m x)sinβ n y). 4) Kżd z funkcji skłdowyc szeregu4) n wszystkic krwędzic płyty spełni wrunki swobodnego podprci: jeżei swobodnie podprty brzeg płyty jest prostoiniowy, T = to wrunki brzegowe: ws)=, ws)=. 41) Podstwijąc rozwinięte w szereg Fourier qx, y), wx, y), Tx, y) do równni: otrzymujemy: D m D w=q 1+ν) Dα t T. 4) αm+β n) w mn sinα m x)sinβ n y)= q mn sinα m x)sinβ n y)+ n +1+ν) Dα t ) α m +βn Tmn sinα m x)sinβ n y) 43) Aby równość43) był spełnion d kżdej wrtości współrzędnyc x i y, między nieznnymi współczynnikmirozwinięcifunkcjiwyrżjącejpowierzcnięugięciw mn znnymiwspółczynnikmiq mn i T mn rozwinięciwszeregifourierobciążeniiprzyrostutempertury zcodzi związek wktórym w mn = q mn +1+ν) α t mn T mn α m+β n 44) mn =Dα m +β n ) 45) Jeżei znmy powierzcnię ugięci, to ze wzorów6,7) możemy obiczyć uogónione siły wewnętrzne w płycie: M x =D [ α ) m +νβ n wmn 1+ν) α ] t T mn sinα m x)sinβ n y) 46) M y =D m n [ να ) m +β n wmn 1+ν) α ] t T mn sinα m x)sinβ n y) 47)

10 M xy = D1 ν) α m β n w mn cosα m x)cosβ n y) 48) Q x =D [ α ) m +β n wmn 1+ν) α ] t T mn α m cosα m x)sinβ n y) 49) Q y =D [ α ) m +β n wmn 1+ν) α ] t T mn β n sinα m x)cosβ n y) 5) Siły nrożnikowe: Przykłd 1. R,)=D1 ν) α m β n w mn, R,)=D1 ν) 1) m α m β n w mn, R,b)=D1 v) 1) n α m β n w mn, R,b)=D1 ν) 1) m+n α m β n w mn Szukmyprmetruq mn dpłytyobciążonejsiłąp q mn = 4 qx,y)sinα m x)sinβ n y)dydx 5) b Podstwimy: siłę skupioną wyrżoną jko funkcję poprzez detę Dirc. 51) qx,y)=p δx x )δy y ) 53) gdzie = = + fx)δx x )dx= δx x )dx+ fx)δx x )dx+ gx)δx x )dx=gx )=fx ) d x,b) gx)= fx) dx,b) + b δx x )dx= 54) 55) q mn = 4 b P δx x )δy y )sinα m x)sinβ n y)dydx= = 4 b P δx x )sinα m x)dx = 4 b Psinα mx ) sinβ n y ) δy y )sinβ n y)dy= 56)

11 Przykłd.Obciążeniencłejpłycieqx,y)=q q mn = 4 b = 4 b [ q sinα m x)sinβ n y)dydx= )] q sinα m x) b sinβ n y)dy dx = 4 b q sinβ n y)dy sinα m x)dx = 4q 1 ) b cosβ n b) 1 cosα n x) b β n α n = 4q ) 1βn cosβ n b)+ 1βn b ) 1 α m cosα m )+ 1 α m ) 57) skoro: α m = mπ β n = nπ b 58) czyi q mn = 4q b b = 4q b = 4q b b ) nπ nπ cos b b + b nπ ) ) nπ cosnπ)+ b nπ mπ b nπ 1 cosnπ)) mπ 1 cosmπ)) = 4q mnπ 1 cosnπ))1 cosmπ)) m ub n przyste q mn = 16q m i n nieprzyste mnπ ) mπ mπ cos + ) mπ cosmπ)+ )) mπ 59) 6)

12 Litertur 1. Mtemtyk d inzynierów Tdeusz Trjdos-Wróbe. Płyty. Obiczeni sttyczne Zbigniew Kączkowski 3. Fourier Anysis Murry Spiege