ZASTOSOWANIE LINIOWYCH NIERÓWNOŚCI MACIERZOWYCH DO SYNTEZY STEROWANIA POZIOMEM WODY W UKŁADZIE KASKADOWYM DWÓCH ZBIORNIKÓW

Transkrypt

1 Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk Poltechnk Gdańskej Nr 57 XXVII Semnarum ZASOSOWANIE KOMPUERÓW W NAUCE I ECHNICE 7 Oddzał Gdańsk PES ZASOSOWANIE LINIOWYCH NIERÓWNOŚCI MACIERZOWYCH DO SYNEZY SEROWANIA POZIOMEM WODY W UKŁADZIE KASKADOWYM DWÓCH ZBIORNIKÓW Monka RYBCZAK, Mrosław OMERA. Akadema Morska w Gdyn, Wydzał Elektryczny, ul. Morska 83, 8-5 Gdyna tel.: e-mal: m.rybczak@we.am.gdyna.pl. Akadema Morska w Gdyn, Wydzał Elektryczny, ul. Morska 83, 8-5 Gdyna tel.: e-mal: m.tomera@we.am.gdyna.pl Streszczene: Referat zawera metodykę doboru parametrów regulatora stanu z wykorzystanem lnowych nerównośc macerzowych (ang. LMI - Lnear Matrx Inequaltes) metodą lokowana begunów. W pracy zdefnowano warunk rozmeszczena begunów w lewej półpłaszczyźne zmennej zespolonej s wyznaczono obszary dopuszczalnych położeń begunów. Na potrzeby rozważanej, lnowej metody projektowana dokonano lnearyzacj modelu matematycznego obektu w wybranym punkce pracy. Zaprojektowany regulator stanu zastosowany został do sterowana obektem rzeczywstym, którym był układ kaskadowy dwóch zbornków. W referace przedstawone zostały zarówno wynk badań symulacyjnych jak badań eksperymentalnych przeprowadzonych na obekce rzeczywstym. Słowa kluczowe: regulator stanu, lnowe nerównośc macerzowe, metoda lokowana begunów, układ kaskadowy zbornków.. WPROWADZENIE W klasycznej teor sterowana zastosowań dobrze znaną metodologą osągana pewnych, pożądanych własnośc zwązanych z czasem regulacj, maksymalnym przeregulowanem czasem narastana jest metoda lokowana begunów. Kształt odpowedz układu regulacj w stane przejścowym (neustalonym) slne zależy od położeń begunów układu zamknętego na płaszczyźne zmennej zespolonej s. Jeśl tylko obekt jest sterowalny to dokładne położene begunów jest zawsze osągane poprzez zastosowane odpowednego prawa sterowana w sprzężenu od zmennych stanu. ego typu sterowane realzowane jest przez regulator stanu, w którym należy dobrać odpowedne wartośc parametrów. Dobór wartośc parametrów dla regulatora stanu metodą lokowana begunów może zostać zrealzowany z wykorzystanem transmtancj lub w przestrzen stanów, poprzez klasyczne przyporządkowane wartośc własnych opartych na równanu charakterystycznym układu zamknętego. Kedy jednak w układze występują pewne neokreślonośc to metoda dokładnego umejscowena begunów może okazać sę neodpowedna. Z tego powodu zostały rozwnęte metody, które bazują na tym, że beguny lokowane są w pewnym obszarze na płaszczyźne zmennej zespolonej s, który może meć kształt welokąta wypukłego, okręgu lub stożka. Neznaczne przemeszczane sę begunów układu zamknętego w okolcach pożądanych położeń może ne powodować slnych modyfkacj w odpowedz przejścowej układu regulacj w ten sposób może zostać osągnęta pewna krzepkość. akm ogranczonym przestrzenam mogą być obszary stosowane w metodze LMI do przedstawena typowego podobszaru wypukłego symetrycznego względem os lczb rzeczywstych [3]. Stąd, tak krzepk regulator jest łatwo zaprojektować poprzez rozwązane zagadneń defnowanych poprzez LMI []. Początk rozwoju lnowych nerównośc macerzowych swym korzenam sęgają do pracy doktorskej Aleksandra Lapunowa, przedstawonej na Unwersytece w Moskwe w roku 89 []. Jak to zostało szczegółowo przedstawone w pracach [, 5], warunk stablnośc wele wymagań jakoścowych dotyczących układów lnowych może zostać przekształcone na lnowe nerównośc macerzowe obejmujące równeż tzw. macerz Lapunowa. W nnejszej pracy zrealzowano sterowane pozomem wody w dolnym zbornku przy użycu regulatora stanu dla którego wzmocnena doberane były dwoma metodam: klasyczną w przestrzen stanów oraz przy wykorzystanu lnowych nerównośc macerzowych (LMI). Przedstawone zostały zarówno wynk badań symulacyjnych jak badań eksperymentalnych przeprowadzonych na obekce rzeczywstym. Badana symulacyjne przeprowadzono na modelu matematycznym obektu w środowsku oblczenowym MALAB/Smulnk, natomast badana eksperymentalne wykonano w układze rzeczywstym z wykorzystanem programowalnego mkrokontrolera sygnałowego MS3F LINIOWY MODEL MAEMAYCZNY OBIEKU Jako obekt sterowana wybrany został układ kaskadowy dwóch zbornków wyposażony w urządzene wykonawcze, którym była pompa oraz w czujnk służące do pomaru pozomów wody w zbornkach. Na rysunku pokazany został uproszczony schemat przedstawający obekt sterowana wraz z oznaczenam zmennych zastosowanych w modelu matematycznym obektu. Zastosowane metody projektowana operają sę na lnowym modelu matematycznym obektu. Układ kaskadowy dwóch zbornków wraz z pompą jest układem

2 slne nelnowym dlatego też model matematyczny obektu wymagał lnearyzacj. Zadanem układu regulacj będze stablzacja pozomu wody w dolnym zbornku na zadanym pozome r(=h zad. W regulatorze stanu zastosowane zostało dodatkowe wzmocnene dla całk uchybu regulacj u Pom pa h h Q Q Q y y t t x3 ( e( ) d ( x( ) r( )) d () która staje sę dodatkową zmenną stanu. W tym układze sterowana take rozwązane jest koneczne, gdyż zastosowany obekt jest slne nelnowy na każdym pozome stablzacj pozomu wody ma nne wzmocnene. W zapse ogólnym uzyskuje sę następujące równana dynamczne opsujące proces sterowana pokazany na rysunku Rys.. Defncja zmennych w modelu matematycznym obektu, gdze: u napęce sterujące pompą, Q natężene dopływu wody do górnego zbornka, Q, Q natężena swobodnych wypływów wody ze zbornków, h, h pozomy wody w zbornkach, y, y wartośc napęca na wyjścach czujnków. Szczegóły dotyczące wyprowadzena zastosowanego lnowego modelu matematycznego można znaleźć w pracy [4]. Ponżej zawarte zostały najważnejsze równana opsujące uzyskany lnowy model matematyczny, składający sę z następującego zestawu równań stanu d dt x ( x ( ) t x ( k u( x ( gdze: x (= h (, x ( = h ( zmenne stanu, u( sygnał sterujący pompą (wyjśce z regulatora), = [s], = [s] stałe czasowe, k =.474 wzmocnene. 3. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU SEROWANIA Na rysunku zaprezentowany został schemat blokowy układu sterowana z regulatorem stanu, w którym wszystke zmenne występujące w obekce są merzone. Na wyjścach czujnków dodatkowo dołączone zostały blok Skalowane w których znajdują sę odwrotne charakterystyk czujnków. () gdze A x ( Ax( Bu( Er( (3) k B E Głównym celem projektowana jest znalezene wartośc wektora wzmocneń K x( u( Kx ( k k k3 x ( (4) x3( który pozwol na spełnene następujących wymagań projektowych: a) zamknęty układ regulacj będze asymptotyczne stablny; b) maksymalne przeregulowane (M p% ), mnejsze od 5%; c) czas regulacj (t R ), mnejszy od s ( = %). Po podstawenu zależnośc (4) do równana (3) uzyskuje sę nową macerz stanu A c projektowanego układu regulacj x ( ( A BK) x( Er( Ac x( Er( (5) Poddając równane (5) obustronnemu przekształcenu Regulator stanu r e x 3 s k 3 u Pompa Q Zbornk górny Q h Zbornk dolny Q h k k x =h x =h Fltracja skalowane y y Czujnk Czujnk Rys.. Schemat blokowy układu regulacj. Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk PG, ISSN 353-9, Nr 57/7

3 Laplace odpowedno je przekształcając, uzyskuje sę następujące macerzowe równane charakterystyczne s I ( A BK) (6) którego wartośc własne zależą od poszukwanych wzmocneń wektora K (4). 4. DOBÓR PARAMERÓW REGULAORA SANU Ponżej przedstawone zostały dwe metody doboru wartośc wzmocneń regulatora stanu. Perwsza jest metodą klasyczną, natomast druga wykorzystuje lnowe nerównośc macerzowe (LMI). W obydwu przykładach wykorzystana została metoda lokowana begunów. Najperw, na podstawe zadanych wymagań projektowych zwązanych ze stablnoścą, maksymalnym przeregulowanem czasem narastana, na płaszczyźne s wyznaczony został obszar dopuszczalnych położeń begunów, pozwalający na spełnene założonych wymagań projektowych (Rys. 3). W metodze klasycznej z wyznaczonego obszaru dopuszczalnych położeń begunów zostały wybrane trzy beguny wzorcowe () na tej podstawe oblczone zostały wzmocnena regulatora stanu w tak sposób, aby wartośc własne macerzy projektowanego układu (6) znalazły sę dokładne tam gdze założone beguny wzorcowe. Przy wyznaczanu wartośc wzmocneń regulatora stanu wykorzystującego LMI, najperw określony został ogranczony sektor (Rys. 4), a następne przy użycu odpowednego programu optymalzacyjnego zostały wyznaczone wzmocnena regulatora stanu w tak sposób, aby wartośc własne projektowanego układu (6) znalazły sę w tym ogranczonym sektorze. Najperw rozważone zostały wymagana jakoścowe nakładane na projektowany układ, które zostały przelczone na parametry zwązane z płaszczyzną s. Perwsze wymagane (a) zwązane ze stablnoścą zostane spełnone wówczas, jeśl wszystke beguny projektowanego układu regulacj będą znajdowały sę w lewej półpłaszczyźne zmennej zespolonej s. Druge wymagane (b) dotyczy maksymalnego przeregulowana, które dla tzw. prototypowego układu regulacj II rzędu opsane jest następującym wzorem M p % e % (7) Z przekształcena wzoru (7) uzyskuje sę warunek zwązany z mnmalną wartoścą tłumena w układze ln( M p ) =.69 (8) ln ( M p ) 4 t R () gdze jest wartoścą bezwzględną częśc rzeczywstej beguna znajdującego sę w lewej półpłaszczyźne zmennej zespolonej s. Z przekształcena wzoru () uzyskuje sę warunek zwązany z mnmalną odległoścą begunów znajdujących sę w lewej półpłaszczyźne od os lczb urojonych. 4 =. () t R Na rysunku 3 zaznaczone zostały wyznaczone ogranczena pokazany został obszar dopuszczalnych położeń begunów projektowanego układu regulacj, znajdujący sę w lewej półpłaszczyźne pomędzy wyznaczonym ogranczenam. Z rysunku 3 wdać, że część rzeczywsta begunów może przyjmować wartość z zakresu (,, >. Im s Re s Rys. 3. Obszar dopuszczalnych położeń begunów na płaszczyźne zmennej zespolonej s wynkający z nałożonych wymagań projektowych 4.. Metoda klasyczna Przy wyznaczanu wzmocneń metodą klasyczną przyjęte zostały trzy beguny wzorcowe znajdujące sę w wyznaczonym obszarze dopuszczalnych położeń begunów (Rys. 3) s, =. j., s 3 =.5 () Pożądane równane charakterystyczne, wyznaczone w oparcu o przyjęte wartośc begunów (), jest następujące Ze współczynnkem zwązane jest ogranczene, które na płaszczyźne s przedstawa sę przy użycu półprostej o nachylenu arccos = 46.4 o (9) rzece wymagane ( c) zwązane jest czasem regulacj t R, które dla strefy dokładnośc wynoszącej % opsane jest wzorem s) ( s s )( s s )( s ) c ( s3 3 s.5s.5s.5 (3) Po odpowednch podstawenach do równana (6) dalszych przekształcenach uzyskuje sę druge równane charakterystyczne zawerające neznane jeszcze, poszukwane wartośc wzmocneń K regulatora stanu (4) 3 s (.474k.3) s ( 3.7k.7k.) s.7k (4) Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk PG, ISSN 353-9, Nr 57/7

4 Porównując współczynnk równana (3) z odpowadającym m współczynnkam z równana (4) uzyskuje sę następujący układ równań D s C : F ( s) (9) gdze F D jest funkcją charakterystyczną obszaru D D.474k.7k.7k.3.5.7k.5..5 (5) D F ( s) L sm sm () natomast s jest zmenną zespoloną sprzężoną do s. Z rozwązana powyższego układu równań (5) uzyskuje sę poszukwane wartośc wzmocneń regulatora stanu wyznaczone metodą klasyczną K [ k k k3] [ ] (6) 4.. Lnowe nerównośc macerzowe (LMI) Lnowe nerównośc macerzowe należą do zagadneń optymalzacj wypukłej stosowanych mędzy nnym do syntezy regulatora krzepkego (ang. robus. Postać kanonczna lnowych nerównośc macerzowych jest następująca: m F ( x) F Fx (7) gdze: x = [x,x,, x ] ϵ R m wektor zmennej decyzyjnej (newadoma), F, F ϵ R nxn macerze rzeczywste symetryczne. W równanu (7) zaps oznacza, że macerz F(x) jest dodatno określona. Warunk LMI tworzą wypukły zbór ogranczeń, który należy sformułować dla procesu syntezy regulatora stanu. W rozważanym przypadku ogranczena dotyczą obszaru umeszczena begunów w lewej półpłaszczyźne zmennej zespolonej s co ma wpływ na właścwośc dynamczne projektowanego układu regulacj. Synteza zwązana jest z wyznaczenem wartośc macerzy wzmocneń K dla regulatora stanu opsanego wzorem (4). Zaps lnowych nerównośc macerzowych (LMI) ma następującą postać: Y K X (8) Z równana (8) wdać, że do wyznaczena macerzy wzmocneń K koneczna jest znajomość macerzy X Y, które są wyznaczane przy użycu specjalnego programu optymalzacyjnego w oparcu o zdefnowane obszary LMI na płaszczyźne zmennej zespolonej s. W tym celu należy założyć, że macerz X jest macerzą symetryczną dodatno określoną, stąd kolejne założene brzm, że stneje dla nej macerz odwrotna Y, która jest rzeczywsta (dowód w [7]). W celu opsu obszaru na płaszczyźne zmennej zespolonej s, gdze będą umeszczane beguny układu zamknętego, podana zostane następująca defncja, według [4]. We wzorze (9) C oznacza lewą półpłaszczyznę zmennej zespolonej s. Obszar LMI jest wypukły symetryczny względem os lczb rzeczywstych. Dlatego też, w przypadku gdy obszary LMI przecnają sę to pozostają nezmenne. Przecnane sę dwóch obszarów LMI oznaczonych jako D D jest równeż obszarem LMI z funkcją charakterystyczną o postac L M M F D D ( s) s s L M M () W konsekwencj dowolny obszar składający sę z przecęca krzywych stożkowych, pasów ponowych lub pasów pozomych może być rozpatrywany jako obszar LMI. W sposób uproszczony, dla celów syntezy projektowanego sterowana można zapsać następujące twerdzene []. n werdzene. Nech D n L R x D n oraz D n M R x D będą macerzam rzeczywstym symetrycznym. Wówczas macerz A c = ABK ma wszystke wartośc własne w obszarze LMI (8) wtedy tylko wtedy, gdy stneje rzeczywsta, symetryczna dodatno zdefnowana macerz n n X R x m n oraz rzeczywsta macerz Y R x. W takm przypadku spełnony jest warunek LMI R D L X M V M V () gdze jest loczynem Kroneckera, oraz jest wykonalne. V AX BY (3) K Y X (4) W przypadku układu lnowego, cągłego wartośc własne macerzy A c mają ujemne częśc rzeczywste, poneważ lewa półpłaszczyzna jest opsana przez L = M = to werdzene w prosty sposób oznacza, że R D c A X XA (5) Przykłady różnych obszarów LMI ops sposobów w jak są konstruowane można znaleźć w pracach [4, 7, 8, ]. Na podstawe wcześnejszych rozważań dotyczących analzy zadanych wymagań jakoścowych projektowanego układu opsanego równanam (4) (5), zdefnowany został Defncja. Obszar D na płaszczyźne zmennej zespolonej s nazywany jest obszarem LMI wówczas, jeśl stneją n symetryczne macerze D n L R x D n D n M R x D take, że (Defncja 8 wg [6]) Iloczynem Kroneckera A B macerzy mxn pxq A [ aj ] R macerzy B [ bj ] R nazywamy macerz blokową postac: a B an B (werdzene 8.4. wg [6]). Rzeczywsta forma kwadratowa jest A B dodatno określona wtedy tylko wtedy, gdy wszystke wartośc własne jej macerzy współczynnków A są dodatne. anb annb Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk PG, ISSN 353-9, Nr 57/7 c

5 obszar LMI pokazany na rysunku 4. W porównanu z rysunkem 3 wprowadzone zostało dodatkowe ogranczene z lewej strony. Im s Re s Rys.4. Lewa półpłaszczyzna zmennej zespolonej s z zaznaczonym obszarem LMI, gdze θ = 46.4, oraz =. oraz =.. Wypadkowy obszar LMI pokazany na rysunku 4 powstał ze złożena pasa ponowego zawartego pomędzy lnam ponowym, oraz stożka zawartego pomędzy półprostym nachylonym względem ujemnej os lczb rzeczywstych pod kątam,. Pas ponowy zawarty pomędzy dwoma lnam ponowym oraz ma następujący obszar LMI D sc : ( s s) (6) Po odpowednch przekształcenach układu nerównośc (6) funkcja charakterystyczna dla obszaru D przyjmuje postać F D ( s) s s (7) gdze L =, M =. Drug obszar składowy to sektor stożka zawarty pomędzy dwoma półprostym nachylonym względem ujemnej os lczb rzeczywstych o kąt, przy założenu, że Re(s) = x, Im(s) = y to można go opsać następująco: D sc : y x tg (8) Po przeprowadzenu odpowednch przekształceń w układze nerównośc (8) otrzymano postać funkcj charakterystycznej dla sektora stożka zawartego pomędzy dwoma półprostym sn cos sn cos F D ( s) s s (9) cos sn cos sn sn gdze: L = ; M = cos cos sn. Następne, zgodne ze wzorem () należy dokonać złożena funkcj charakterystycznych wyznaczonych we wzorach (7) (9). Poneważ składane są ze sobą dwa obszary to wypadkowe równane charakterystyczne przyjmuje postać opsaną wzorem (), przy czym L Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk PG, ISSN 353-9, Nr 57/7 3 sn cos cos sn M Rozwązane tak zdefnowanego problemu odbywa sę przy pomocy specjalnych programów optymalzacyjnych. W tym przypadku oblczena wykonano w pakece Matlab do którego zostały donstalowane dodatkowe darmowe bblotek SeDuM (z ang. Self - Dual - Mnmzaton) [3] oraz YALMIP [9]. Ze względu na złożoność zagadnena ne odnesono sę do algorytmu optymalzacj, który dokładnej został przedstawony w [4] oraz []. Dla proponowanego obszaru LMI pokazanego na rysunku 4, poszukwana dodatno określona symetryczna macerz X = X przyjmuje następujące wartośc: X (3) Oblczona w programe optymalzacyjnym macerz Y, której wymar jest określony jako wymar macerzy B ma postać: Y [ ] (3) Następne ze wzoru (4) wyznaczona została macerz poszukwanych wartośc wzmocneń K projektowanego regulatora stanu: K [ ] (3) Po podstawenu wyznaczonej macerzy K (3) do wzoru (6), wyznaczone zostały wartośc własne projektowanego układu sterowana, które wynoszą odpowedno: s, =.4 j.84, s 3 =.448 (33) Potwerdzenem, że układ jest stablny jest stnene wartośc własnych układu zamknętego w lewej półpłaszczyźne zmennej zespolonej s. 5. WYNIKI BADAŃ UKŁADÓW SEROWANIA Ocena jakośc pracy układów sterowana pozomem wody w dolnym zbornku, wykorzystujących zaprojektowane regulatory stanu, badana była w środowsku oblczenowym MALAB/Smulnk oraz w badanach eksperymentalnych na obekce rzeczywstym z wykorzystanem programowalnego mkrokontrolera sygnałowego MS3F8335. Wszystke elementy objęte na rysunku lną przerywaną przynależne do Regulatora stanu zostały zapsane w języku programowana C posłużyły do odpowednego zaprogramowana mkrokontrolera sygnałowego. W tym celu w regulatorze stanu zawerającym sterowane całkujące została przeprowadzona dyskretyzacja

6 członu całkującego metodą Eulera x 3( 3 k k) x ( k ) e( ) (34) gdze: =.5 [s] okres próbkowana, x 3 (k), x 3 (k) wartość beżąca poprzedna całk uchybu regulacj, e(k) wartość uchybu regulacj w chwl próbkowana. W bloku oznaczonym jako Fltracja skalowane zrealzowane zostały dwa zadana. Perwsze z nch polegało na fltracj sygnałów napęcowych y y otrzymanych z wyjśca czujnków pozomów wody w zbornkach górnym dolnym, w celu wyelmnowana z nch szumów pomarowych. W każdym torze pomarowym zastosowany został fltr dolnoprzepustowy II rzędu opsany następującym zestawem równań dynamcznych x x f f ( ( x x f f ( u ( f ( (35) x f ( y f ( [ ] (36) x f ( Rys. 5. Wynk sterowana pozomem wody w dolnym zbornku z użycem regulatora stanu projektowanego klasyczną metodą lokowana begunów (PLACE). Rys. 6. Wynk sterowana pozomem wody w dolnym zbornku z użycem regulatora stanu wykorzystującego LMI. 4 Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk PG, ISSN 353-9, Nr 57/7

7 abela. Wskaźnk oceny jakośc sterowana uzyskane z wykresów czasowych pokazanych na rysunkach 5 Metoda Doboru parametrów Odcnek ( s 3 s) Odcnek (3 s 6 s) Odcnek 3 (6 s 9 s) M p t R J M p t R J M p t R J J c [%] [s] [-] [%] [s] [-] [%] [s] [-] [-]. PLACE sym PLACE eksp LMI sym LMI eksp Fltr ten całkowany był w procesorze sygnałowym metodą Rungego-Kutty IV rzędu z krokem całkowana =. s. Druge zadane realzowane z bloku Fltracja skalowane polegało na wyznaczenu pomerzonych wartośc wysokośc słupa wody w zbornkach (h, h ) na podstawe pomerzonych wartośc napęć (y, y ). W tym celu najperw pomerzone zostały charakterystyk czujnków, które zostały aproksymowane przez lnowe zależnośc y ( m h b (37) gdze: m jest współczynnkem nachylena ln prostej, b wartoścą przesunęca względem początku układu współrzędnych, {, } jest numerem zbornka. Następne wyznaczone zostały odwrotne charakterystyk czujnków (38), które posłużyły do wyznaczena - na potrzeby regulatora stanu - poszukwanych, merzonych wartośc wysokośc słupa wody w zbornkach. y b gdze {, } jest numerem zbornka. hˆ ( (38) m W perwszej kolejnośc przeprowadzone zostały badana symulacyjne, które mały równeż na celu sprawdzene poprawnośc przygotowanego kodu programu, służącego do zaprogramowana mkrokontrolera sygnałowego. Następne przeprowadzona została weryfkacja badań symulacyjnych na obekce rzeczywstym. Wynk badań symulacyjnych eksperymentalnych układu sterowana dla którego wzmocnena wyznaczone zostały klasyczną metodą lokowana begunów znajdują sę na rysunku 5, natomast na rysunku 6 znajdują sę wynk prób przeprowadzonych z użycem regulatora stanu wykorzystującego LMI. Dla każdego z rozważanych układów sterowana przeprowadzona została próba składająca sę z trzech odcnków stablzacj pozomu wody w dolnym zbornku, każdy o czase trwana 3 s. W chwl załączena układów regulacj, obydwa zbornk były puste. Na odcnku perwszym zadany pozom wody wynosł 7 cm, na drugm 3 cm, a na trzecm, ostatnm odcnku ponowne 7 cm. Ocena jakośc pracy rozważanych układów regulacj polegała na ocene wskaźnków jakośc defnowanych na podstawe odpowedz skokowej były to: maksymalne przeregulowane M p, czas regulacj t R merzony przy strefe dokładnośc = %. Dodatkowo na każdym odcnku stablzacj pozomu wody, na podstawe pomerzonych wartośc wysokośc słupa wody sygnału sterującego pompą wyznaczany był funkcjonał J N e( k) u( k) Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk PG, ISSN 353-9, Nr 57/7 5 N k (39) gdze: e(k) = h (k)h zad (k) uchyb regulacj, u(k) sygnał sterujący pompą, wyjśce w regulatora Pomar odbywał sę z okresem próbkowana wynoszącym. s, co dawało N = 5 pomerzonych próbek w każdym odcnku stablzacj. Dodatkowo, dla każdej próby wyznaczany został funkcjonał całkowty J c będący sumą funkcjonałów składowych. Wyznaczone wskaźnk jakośc na podstawe przeprowadzonych prób testowych znajdują sę w tabel. Zaprojektowany układ sterowana z wykorzystanem metody LMI był slnej nastrojony, co wdać po położenach wyznaczonych wartośc własnych układu zamknętego, które znajdują sę dalej od os lczb urojonych, anżel wartośc własne układu zaprojektowanego przy użycu klasycznej metody lokowana begunów. W zwązku z tym w układze wykorzystującym LMI uzyskwano krótsze czasy regulacj t R mnejsze wartośc wyznaczanych funkcjonałów J, natomast wększe wartośc zwązane z maksymalnym przeregulowanem M p. 6. WNIOSKI KOŃCOWE W pracy przedstawono metodykę zwązaną z wyznaczanem wartośc wzmocneń regulatora stanu przy wykorzystanu lnowych nerównośc macerzowych (LMI). Przy czym wzęto pod uwagę jedyne perwszy z trzech warunków jake w tym przypadku są rozważane, a manowce obszary LMI umeszczone w lewej półpłaszczyźne zmennej zespolonej s, w których mają znaleźć sę wartośc własne projektowanego układu sterowana. Kolejnym warunkam uwzględnanym w LMI są zapsywane w forme macerzowej normy H oraz H, które ze względu na obszerność zagadnena ne zostały zawarte w tej pracy. Przedstawone wynk przedstawają poprawność zaprojektowanego regulatora stanu. Dodatkowe przedstawene klasycznej metody lokowana begunów, wykorzystanej do wyznaczana wartośc wzmocneń regulatora stanu, mało na celu ułatwene zrozumena wyznaczana perwszego warunku LMI.

8 7. BIBLIOGRAFIA. Boyd S. P., El Ghaou L., Feron E., Balakrshnan V.: Lnear Matrx Inequaltes n System and Control heory. Vol. 5 of Studes n Appled Mathematcs. SIAM, Phladelpha, USA, Chlal M., Gahnet P.: H desgn wth pole placement constrants: An LMI approach, IEEE ransactons on Automatc Control, Vol. 4, No 3, pp , Chlal M., Gahnet P., Apkaran P.: Robust pole placement n LMI regons. IEEE ransactons on Automatc Control, Vol. 44, No, pp. 57-7, Duan G. R., Yu H. H.: LMIs n control systems: analyss, desgn and applcatons. CRC Press, aylor & Francs Group, London, El Ghaou L., Nculescu S. I. (Edtors): Advances n lnear matrx nequalty methods n control. SIAM Studes n Appled Mathematcs, Phladelpha,USA,. 6. Kaczorek., Dzelńsk A., Dąbrowsk W., Łopatka R.: Podstawy teor sterowana. Wydawnctwa Naukowo- echnczne, Warszawa, Kozńsk W.: Projektowane regulatorów: wybrane metody klasyczne optymalzacyjne. Ofcyna Wydawncza Poltechnk Warszawskej, Warszawa, Lu R., Wang M., Ba J., Xue A., Zou H.: Pole placement wth LMI constrant of fuzzy descrptor system. Journal of the Frankln Insttute, Vol. 35, No 7, pp , Lőfberg J.: YALMIP: a toolbox for modelng and optmzaton n MALAB, Proceedngs of the IEEE Internatonal Conference on Robotcs and Automaton, pp , New Orleans, USA, 4.. Mller A., Rybczak M.: Methods of controller synthess usng lnear matrx nequaltes and model predctve control. Scentfc Journals of the Martme Unversty of Szczecn; No 43(5), pp. 8, 5.. Scherer C., Weland S.: Lnear Matrx Inequaltes n Control. Lecture Notes for a course of the Dutch Insttute of Systems and Control, Delft Unversty of echnology, Delft, Netherlands, 5.. Shcherbakov P. S.: Alexander Mkhalovtch Lyapunov: On the centenary of hs doctoral dssertaton on stablty of moton, Automatca, Vol. 8, No. 5, pp , Sturm J. F.: Usng SeDuM., A Matlab toolbox for optmzaton over symmetrc cones. Optmzaton Methods and Software, Vol., No -4, pp , omera M., Kęska J., Kasprowcz A.: Sterowane pozomem wody w kaskadze dwóch zbornków przy użycu mkrokontrolera MS3F8335, Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk Poltechnk Gdańskej, Nr 3, s. 3-3,. DESIGN OF WAER ANK LEVEL CASCADE CONROL SYSEM VIA LMI APPROACH he paper descrbes a state feedback controller desgn by pole placement method usng Lnear Matrx Inequaltes (LMI) approach. Condtons of pole placement constrants n a left half plane of the complex plane s are defned and allowable regon for poles of the closed-loop control system are determned. For the purpose of usng the lnear desgn method, the mathematcal model of controlled plant was lnearzed at a selected operatng pont. he desgned state feedback controller was used for controllng the water level n a two-tank cascade system. he paper presents results of both computer smulatons and real-tme experments. Keywords: state feedback controller, lnear matrx nequaltes, pole placement method, tank cascade system. 6 Zeszyty Naukowe Wydzału Elektrotechnk Automatyk PG, ISSN 353-9, Nr 57/7