Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni

Transkrypt

1 Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni Drogi Czytelniku W tej książce pragnę nauczyć Cię matematyki. W prosty i przyjazny sposób wytłumaczę Ci teorię i przećwiczymy ją na zadaniach omawiając krok po kroku kolejne etapy ich rozwiązywania. Zapraszam Cię na wspólną wędrówkę i mocno trzymam kciuki za Twoje powodzenie. Renata Bednarz

2 Projekt autorski. Treść, opracowanie merytoryczne i graficzne, skład i przygotowanie książki do druku Renata Bednarz Fotografie na okładce z prywatnego albumu autorki: 1. Mt Everest, widok na szczyt podczas trekkingu w Himalajach. 2. Z grupą indyjskich uczniów. Dziękuję moim przyjaciołom za dobre słowo i wsparcie podczas pisania tej książki. Szczególne podziękowanie kieruję do Bartosza Dereszowskiego za techniczną współpracę i jego zaangażowanie. Copyright by Renata Bednarz Wszelkie prawa zastrzeżone. Zamawianie książki drogą internetową: renabed@poczta.fm Druk i oprawa: Drukarnia Kolumb. Wydanie I rok 2010 ISBN

3 Dlaczego powstała ta książka. Napisałam ją, aby służyła Ci jako matematyczny przewodnik i była Twoim przyjacielem od początku do końca; od nauki tabliczki mnożenia aż do całki. Pragnę, aby ta książka prowadziła Cię do ciekawości i satysfakcji kiedy uda Ci się opanować przerabiany materiał, aby kształtowała Twoją wyobraźnię i logiczne myślenie. To wydanie kieruję do uczniów, którzy: - Przygotowują się do bieżących lekcji i do matury, - Chcą mieć całą matematykę w jednym tomie, - Lubią wędrować po pasjonujących matematycznych ścieżkach. Tematy opracowałam według wymagań programowych w szkole. Książka jest prosta w użyciu, wydana na matowym papierze, aby nie męczyła oczu i tak sklejona, że można ją bez obaw przełamywać w dowolnym miejscu. Jeśli będziesz mieć jakieś uwagi, spostrzeżenia czy opinie, ucieszę się, kiedy do mnie napiszesz. Pozdrawiam Cię serdecznie Renata Bednarz

4 SPIS TREŚCI 1. Witaj w świecie liczb rzeczywistych Poznajemy nazwy zbiorów liczb Cyfry arabskie i rzymskie Liczby pierwsze i złożone Wielkie liczby notacja wykładnicza Najmniejsza wspólna wielokrotność - NWW Największy wspólny dzielnik - NWD Cechy podzielności Zamieniamy jednostki długości Zamieniamy jednostki powierzchni Zamieniamy jednostki objętości Zamieniamy jednostki miary gruntu Zamieniamy jednostki masy Zamieniamy jednostki czasu Skala Liczby całkowite Dodawanie i odejmowanie Mnożenie i dzielenie Ułamki zwykłe Miejsce ułamka na osi Dodawanie Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika Odejmowanie Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy Mnożenie Dzielenie Potęgowanie Skracanie ułamków Rozszerzanie ułamków Porównywanie ułamków Ułamki dziesiętne Dodawanie i odejmowanie Mnożenie Dzielenie Potęgowanie... 52

5 8. Przybliżenia dziesiętne Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych Porządkowanie liczb wymiernych Liczby niewymierne Ułamek okresowy jaka to liczba? Kolejność wykonywania działań Zastosowanie kolejności w zadaniach Procenty Zamiana ułamka zwykłego na procent Zamiana procentu na ułamek zwykły lub dziesiętny Obliczanie procentu z danej liczby Obliczanie liczby mając dany jej procent Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba? Obliczanie odsetek od lokaty Kapitalizacja odestek podczas roku kalendarzowego Obniżka i podwyżka procentowa Wyrażenia algebraiczne witamy literki Najważniejsze nazwy wyrażeń algebraicznych Działania na wyrażeniach algebraicznych Dodawanie i odejmowanie Mnożenie Dzielenie Potęgowanie Wzory skróconego mnożenia Doprowadzanie wyrażeń do najprostszej postaci Jak rozwiązywać równania Proporcja w równaniu Proporcja w zadaniu tekstowym Wykres proporcjonalności prostej Proporcjonalność odwrotna Przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych Wykres proporcjonalności odwrotnej Przekształcanie wzorów... 94

6 20. Zadania tekstowe z jedną niewiadomą Zadania różne Zadania o wieku Z miasta A i B wyjeżdżają dwaj motocykliści Roztwory procentowe Przedziały domknięte i otwarte Przedziały z nieskończonością w nawiasie Nierówności z jedną niewiadomą Co oznacza zwrot w nierówności Zmiana zwrotu w nierówności Rozwiązujemy nierówności Pierwiastek kwadratowy Pomocnicza tabelka pierwiastków i kwadratów liczb Obliczanie pierwiastków kwadratowych Działania na pierwiastkach Dodawanie i odejmowanie pierwiastków Mnożenie sum i różnic, które zawierają pierwiastki Skracanie pierwiastków Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka Włączanie liczby pod znak pierwiastka Uwalnianie mianownika od pierwiastka Pierwiastek sześcienny Tabelka pierwiastków i sześcianów liczb Wyłączanie czynnika przed pierwiastek sześcienny Włączanie czynnika pod znak pierwiastka Uwymiernianie mianownika z pierwiastkiem sześciennym Działania na zbiorach A, B Suma, iloczyn i obie różnice Dopełnienie zbioru Działania na przedziałach Logika Alternatywa Koniunkcja Implikacja Równoważność Logiczne tabelki...127

7 27. Układ współrzędnych Symetrie w układzie współrzędnych Funkcja definicja Sposoby prezentowania funkcji Zestaw własności każdej funkcji Dziedzina funkcji Miejsce zerowe funkcji Monotoniczność funkcji Parzystość i nieparzystość funkcji Wartość bezwzględna Wykres wartości bezwzględnej Wykres wartości bezwzględnej przesunięty o wektor Równania i nierówności z wartością bezwzględną Równanie z dwoma wartościami bezwzględnymi Nierówność z dwoma wartościami bezwzględnymi Funkcja liniowa Analiza własności funkcji liniowej Warunek równoległości i prostopadłości prostych Parametr w funkcji liniowej Postać kierunkowa i ogólna prostej Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty Tangens kąta nachylenia prostej do osi x Układ równań z dwiema niewiadomymi Metody rozwiązywania układów równań Porządkowanie układu równań Przykład układu nieoznaczonego Przykład układu sprzecznego Układ równań z trzema niewiadomymi Zadania tekstowe na układ równań Układ nierówności liniowych Wzór funkcji w symetrii i translacji Symetria względem osi x Symetria względem osi y Symetria względem punktu (0,0) Translacja, czyli przesunięcie wykresu o wektor Funkcja kwadratowa Elementarne parabole Własności funkcji kwadratowej

8 Wpływ delty i współczynnika a na wykres paraboli Postać kanoniczna funkcji kwadratowej Postać iloczynowa funkcji kwadratowej Wzory Viete a, czyli minus baca Równania kwadratowe Równania kwadratowe zupełne Równanie kwadratowe niezupełne Równania kwadratowe iloczynowe Równania dwukwadratowe Nierówności kwadratowe Nierówności kwadratowe zupełne Nierówności kwadratowe niezupełne Zadania tekstowe z funkcją kwadratową Parametr w funkcji kwadratowej Założenia do równań z parametrem Założenia do nierówności z parametrem Wielomiany Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie Równość wielomianów Rozkład wielomianu na czynniki Metody rozkładania wielomianu na czynniki Twierdzenie Bezout a Równania wielomianowe Równania rozłożone na czynniki Równania wielomianowe nierozłożone na czynniki Nierówności wielomianowe Wykres fali potrzebny do nierówności Nierówności rozłożone na czynniki Nierówności nierozłożone na czynniki Parametr w wielomianie Funkcja wymierna Własności funkcji Postać kanoniczna funkcji wymiernej Zamiana funkcji homograficznej na postać kanoniczną Działania na wyrażeniach wymiernych...257

9 Skracanie wyrażeń wymiernych Mnożenie i dzielenie Dodawanie i odejmowanie Równania wymierne Różnica między równaniem a nierównością Rozwiązujemy nierówności wymierne Funkcja potęgowa Miliardy wykresów funkcji Twierdzenia o potęgach Pomocny zestaw potęg Funkcja wykładnicza Własności funkcji Przekształcenia funkcji Przesunięcie wykresu o wektor Miejsce zerowe Równania i nierówności wykładnicze Funkcja logarytmiczna Obliczanie logarytmu z liczby Dziedzina logarytmu Twierdzenia o logarytmach Równania logarytmiczne Nierówności logarytmiczne Wykres funkcji logarytmicznej Własności funkcji logarytmicznej Przekształcenia wykresów logarytmicznych Geometria podstawowe pojęcia Wzór na liczbę przekątnych w wielokącie Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym Przekształcenia na płaszczyźnie symetrie i inne Symetria osiowa Symetria środkowa względem punktu Translacja, czyli przesunięcie o wektor Obrót figury o kąt Jednokładność Planimetria pola i obwody figur Jak zapisać równanie w planimetrii Twierdzenie Pitagorasa Obliczanie pól i obwodów z zastosowaniem tw. Pitagorasa

10 Zadania związane z trójkątem równobocznym Twierdzenie Talesa Podział odcinka na nieparzystą ilość równych części Podział odcinka w danym stosunku Podział liczby w danym stosunku Figury podobne Podobieństwo figur w zadaniach tekstowych Funkcje trygonometryczne Definicje sin, cos, tg, ctg Funkcje trygonometryczne na układzie współrzędnych Funkcje dla kątów: Zamiana stopni na radiany Zamiana radianów na stopnie Tabelka wartości funkcji dla Kiedy funkcje, a kiedy twierdzenie Pitagorasa? Obliczanie trzech funkcji mając daną jedną z nich Tożsamości trygonometryczne Redukowanie wielkiego kąta do miary kąta ostrego Wzory redukcyjne dla itp Konstrukcja kąta w oparciu o dany sin, cos, tg lub ctg Twierdzenie cosinusów i sinusów w trójkącie Równania trygonometryczne Tabelka dla kątów: , , Nierówność trygonometryczna Ciągi liczbowe Wzór ciągu i jego zastosowanie Pytania dotyczące wzoru ogólnego Wzór rekurencyjny Wykres ciągu Monotoniczność ciągu Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Połączony ciąg arytmetyczny z geometrycznym Szereg geometryczny Zastosowanie szeregu w ułamku okresowym Indukcja matematyczna...383

11 43. Statystyka Średnia arytmetyczna Mediana Dominanta Średnia ważona Wariancja Odchylenie standardowe Geometria analityczna Wzór na długość odcinka, czyli odległość dwóch punktów Wzór na środek odcinka AB Wektory Prostopadłość i równoległość wektorów Iloczyn skalarny wektorów Równanie prostej Wzór na prostą przechodzącą przez dwa punkty Prosta równoległa Prosta prostopadła Parabola, hiperbola Równanie okręgu Wzajemne położenie dwóch okręgów Odległość punktu od prostej Pole trójkąta Zadania analityczne z zastosowaniem kilku wzorów Stereometria co należy powtórzyć Graniastosłupy Graniastosłup prawidłowy trójkątny Graniastosłup prawidłowy czworokątny Graniastosłup prawidłowy sześciokątny Prostopadłościan Sześcian Obliczanie objętości i powierzchni graniastosłupów Ostrosłupy Ostrosłup prawidłowy trójkątny Czworościan foremny Ostrosłup prawidłowy czworokątny Ostrosłup czworokątny o podstawie prostokąta Ostrosłup prawidłowy sześciokątny Kąty w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym

12 Kąty w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym Obliczanie objętości i powierzchni ostrosłupów Bryły obrotowe Walec Stożek Kula Obliczanie objętości i powierzchni walca Obliczanie objętości i powierzchni stożka Jak omijać sin, cos, tg mając kąt i bok Kula w zadaniach Kombinatoryka Reguła mnożenia Permutacja Skracanie ułamków, w których występuje silnia Zastosowanie permutacji Wariacja z powtórzeniami Wyniki rzutów kostką lub monetą Zadania na wariację z powtórzeniami Wariacja bez powtórzeń Zadania na wariację bez powtórzeń Kombinacja - symbol Newtona Zadania na kombinację Szybkie obliczanie kombinacji bez wzoru Karciane kombinacje Kłopotliwe co najmniej i co najwyżej Kombinatoryka podsumowanie wiadomości Rachunek prawdopodobieństwa Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Obliczanie prawdopodobieństwa z wariacji i reguły mnożenia Obliczanie prawdopodobieństwa z kombinacji Metoda drzewka Wzór na prawdopodobieństwo sumy i iloczynu Prawdopodobieństwo warunkowe Niezależność zdarzeń Prawdopodobieństwo całkowite Schemat Bernoulliego...505

13 51. Granice funkcji Granica na krańcach nieskończoności Granica w punkcie Granica lewostronna i prawostronna Pochodna funkcji Obliczanie pochodnej z wzorów Pochodne z funkcji trygonometrycznych Pochodne z pierwiastków Pochodna z iloczynu dwóch funkcji Pochodna z ilorazu dwóch funkcji Obliczanie pochodnej z definicji Pochodna a monotoniczność funkcji Ekstremum funkcji Styczna do krzywej Pochodna w zadaniu optymalizacyjnym Badanie przebiegu zmienności funkcji Przebieg funkcji wielomianowej Przebieg funkcji wymiernej Asymptoty Asymptota pionowa Asymptota pozioma Asymptota ukośna Całka z funkcji Obliczanie całki z wzorów Całkowanie przez części

14 14 1. WITAJ W ŚWIECIE LICZB RZECZYWISTYCH Na początku matematycznej drogi poznajesz dodatnie całości. Jeszcze nie znasz ich fachowej nazwy, ale już dodajesz je, odejmujesz, itd. Powita Cię także tabliczka mnożenia. Jeśli masz z nią kłopoty, to narysuj sobie tabelkę, która jest poniżej. Potem przepisz ją 8-10 razy. Pozornie wyda Ci się to bez sensu, jednak Twój umysł będzie kodował liczby i ćwiczył pamięć, a o to w nauce chodzi. Zauważ, że w mnożeniu przez 2 liczby maszerują dwójkami: 2, 4, 6, W wierszu 3 maszerują trójkami: 3, 6, 9, 12, 15, 18, W wierszu 6 maszerują szóstkami: 6, 12, 18, 24, 30, 36, W wierszu 7 maszerują siódemkami: 7, 14, 21, 28, 35, 42, Taki logiczny układ jest w całej tabelce: Zauważ, że w wierszu 9 są liczby: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Przy 1 stoi 8, bo 1+8 = 9; przy 2 jest 7, bo 2+7 = 9. Zawsze razem 9. Tylko na 9 tak jest. W wolnym czasie choćby na palcach możesz dodawać czwórki, szóstki, siódemki czy ósemki i oswajać się z tabelkowymi liczbami. Naucz się dobrze tabliczki mnożenia, wtedy zadania rozwiążesz o wiele szybciej i będziesz mieć więcej czasu na swoje pasje i zainteresowania.

15 15 2. POZNAJEMY NAZWY ZBIORÓW LICZB Na początku poznajesz dodatnie całości. To zbiór liczb naturalnych. Do nich należy również zero. N naturalne Naturalne oznaczamy Potem dowiadujesz się o liczbach ujemnych. Odczytujesz je np. z termometru: Ujemne całości to liczby całkowite. To zbiór, do którego należą także dodatnie całości, czyli liczby naturalne. C całkowite N naturalne Liczby naturalne zawierają się w zbiorze liczb całkowitych Zapisujemy to Liczby całkowite to las, w którym znajduje się polana naturalnych. Przyszedł czas na ułamki. Są to liczby wymierne: ; 3 ; 12,97. 1,4 W wymierne C całkowite N naturalne Wymierne to wyspa W, na której znajduje się las a w nim jest polana. zawiera się w zawiera się w zawiera się w Oprócz liczb wymiernych są jeszcze liczby niewymierne. Na kalkulatorze ciągną się one w nieskończoność, np. 4, niewymierne

16 16 Liczby niewymierne nie mają nic wspólnego z wymiernymi, to zupełnie inna bajka. Jednakże niewymierne i wymierne tworzą cały świat liczb rzeczywistych. ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH W 1,72 R C N Nw W O 5 powiesz, że to liczba naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista. O liczbie 3,758 powiesz, że jest wymierna i rzeczywista. O liczbie powiesz: naturalna, całkowita, wymierna, rzeczywista. O liczbie powiesz, że jest niewymierna i rzeczywista. Gdy wpiszesz ją do kalkulatora, to okaże się, że jej rozwinięcie jest nieskończone: Taki zapis przeczytasz: 5 - liczba 5 należy do liczb naturalnych. - ułamek 0,3 nie należy do liczb naturalnych. Znak należy lub nie należy wstawiasz między liczbą i zbiorem.