9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA

Transkrypt

1 9. OBWODY ROZGAŁĘZONE - METODY TWERDZENA Podobnie ak w przypadku obwodów prądu stałego analiza złożonych obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego opiera się o tworzenie ich schematów zastępczych. Zestawiane są one z elementów idealnych opisuących poedyncze zawiska fizyczne występuące w obwodzie, połączonych ze sobą w strukturę odwzorowuącą ich powiązania. Pozwala to na opisanie obwodu za pomocą układu równań akie można otrzymać stosuąc prawa Kirchhoffa i wykorzystuąc zależności pomiędzy wartościami chwilowymi prądów i napięć charakteryzuące poszczególne elementy idealne. Są to równania różniczkowe. ch rozwiązaniami (tzw. całkami) są funkce odwzorowuące przebiegi czasowe prądów i napięć danego obwodu. Wyznaczanie ich z równań różniczkowych est i trudne i pracochłonne, zwłaszcza gdy układ składa się z większe ilości równań. Dla obwodów w stanach ustalonych, w których przebiegi są sinusoidalne przebiegi te można wyznaczyć stosuąc poznaną w poprzednich rozdziałach (por. pkt 6.6. rozdz. 6.) metodę symboliczną. W metodzie te zamiast równań różniczkowych rozwiązue się równania algebraiczne o współczynnikach zespolonych (będące transformatami całkowymi tych równań - będziemy się o nich uczyć w przyszłości). Pierwiastkami tych równań są liczby zespolone. stotę procedury aka tu est stosowana obaśniono w tabeli 9.1. Formalnie polega ona na transformowaniu równań różniczkowych na równania algebraiczne, rozwiązywaniu ich i transformowaniu wyników, którymi są wartości skuteczne zespolone na odpowiadaące im przebiegi. W rzeczywistości równania algebraiczne są układane bezpośrednio na podstawie schematów zastępczych, zaś transformowanie przebiegów czasowych na wartości skuteczne zespolone (i odwrotnie) polega na wzaemnym przyporządkowywaniu sobie funkci sinusoidalnych i wskazów zapisanych ako liczby zespolone. Tabela 9.1 Dziedzina funkci czasu - przebiegi (sinusoidalne) wartości chwilowych, - rezystance, konduktance, indukcyności, poemności, równania różniczkowe - rozwiązywanie równań różniczkowych przebiegi (sinusoidalne) wartości chwilowych Dziedzina liczb zespolonych - wartości skuteczne zespolone, - impedance zespolone, admitance zespolone, równania algebraiczne - rozwiązywanie równań algebraicznych wartości skuteczne zespolone Równania różniczkowe wykorzystywane są do analizowania obwodów w tzw. stanach nieustalonych (prześciowych), to est takich akie występuą wtedy gdy w obwodzie zaistniała akaś nagła zmiana (komutaca), skutkiem czego prądy i napięcia prześciowo nie są sinusoidalne. Równania algebraiczne opisuące obwód z zastosowaniem metody symboliczne maą postać tożsamą z równaniami układanymi dla obwodów prądu stałego. Formalna różnica między nimi polega edynie na tym, że stosowane są inne oznaczenia, a występuące parametry przymuą

2 wartości zespolone. Z uwagi na tę tożsamość, wszystkie metody opracowane dla liniowych obwodów prądu stałego znaduą zastosowanie dla liniowych obwodów prądu sinusoidalnego analizowanych z zastosowaniem metody symboliczne. W metodzie symboliczne przepisy na układanie równań oczkowych i równań węzłowych, na wartości parametrów gałęzi równoważnych, na transfiguracę gwiazda-trókąt (i odwrotnie), są identyczne ak dla prądu stałego, przy czym zamiast rezystanci i konduktanci występuą impedance i admitance zespolone, a zamiast napięć, prądów oraz sił elektromotorycznych i prądomotorycznych - ich wartości skuteczne zespolone. Stąd metody te nie będą uż ponownie wyprowadzane lub uzasadniane, zostaną edynie pokazane w przykładowych zastosowaniach Obliczanie obwodów metodą układania równań z praw Kirchhoffa Zapoznawanie się z metodami analizowania obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego zaczniemy od metody układania równań z praw Kirchhoffa. Jest to metoda podstawowa - o nią oparte są wszystkie inne. Rozważmy obwód przykładowy o schemacie zastępczym przedstawionym na rys Należy dla niego wyznaczyć przebiegi wartości chwilowych wszystkich prądów. Dane nie podane na rysunku: e 1(t) = sin( 500 t )V, e (t) = 8 cos( 500 t )V, e 3(t) = sin( 500 t )V Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego Zastosumy do tego zadania metodę symboliczną. W tym celu wyznaczmy impedance zespolone wszystkich elementów oraz wartości skuteczne zespolone wszystkich występuących w obwodzie sił elektromotorycznych. rad Pulsaca ma wartość: ω = 500 s Stąd wartości impedanci: 1 1 Z C = = = Ω ; Z ω L ,5 Ω ω C L 1 = 1 = =, Z ω L L = = = Ω Wartości skuteczne zespolone SEM: - E e 1 = = ( )V, E = 8 e = 8V, E 3 = e 0 = V Schemat zastępczy obwodu z danymi do stosowania metody symboliczne przedstawia rys. 9.. Przy poszczególnych elementach pasywnych podano wartości ich reaktanci lub rezystanci, a nie impedance zespolone. Można tak zrobić gdyż zastosowane na schemacie symbole ednoznacznie wskazuą, które z tych elementów są idealnymi kondensatorami, które idealnymi induktorami, a które idealnymi rezystorami, zatem określenie wartości ich impedanci zespolonych nie stwarza żadnych trudności. Gdyby w schemacie zastępczym występowało źródło - 5 -

3 prądowe (w obwodzie przykładowym go nie ma) trzeba by było zaznaczyć występuące na nim napięcie - byłoby to potrzebne do układania równań z prawa Kirchhoffa. Na schemacie zastrzałkowano prądy. Oznaczono e wartościami skutecznymi zespolonymi. Nie chcąc nadmiernie zaciemniać schematu nie zastrzałkowano na nim napięć na elementach pasywnych. Uznano, że na tym etapie studiowania teorii obwodów nie powinno to stwarzać studiuącemu problemów (powinien on ednak pamiętać, że takie strzałkowanie warto przeprowadzić - utrudnia to popełnianie błędów przy układaniu równań z prawa Kirchhoffa). Schemat zawiera pięć gałęzi, a zatem występue w nim pięć prądów o nieznanych natężeniach. Należy więc ułożyć pięć równań - dwa równania z prawa Kirchhoffa (tyle ile est węzłów niezależnych - liczba węzłów minus eden) i trzy z prawa Kirchhoffa (tyle ile est oczek niezależnych - liczba gałęzi minus liczba węzłów niezależnych). Mogą występować trzy różne pary równań z prawa Kirchhoffa i aż dziesięć różnych tróek równań z prawa Kirchhoffa. Dae się zatem ułożyć trzydzieści różnych układów równań poprawnie opisuących obwód. Przykładowo mogą to być następuące równania: 1 3 = = 0 ( ) 1 1 ( ) = 0 ( ) 3 ( ) = 0 ( ) = 0 Pierwiastkami tego układu równań są następuące liczby zespolone: - e 1 = = A, e = = A, ( ) e 3 = + = A, e = = A, ( ),7 e 1,107 o,7 e 63,35 5 = + A Zatem prądy maą następuące przebiegi wartości chwilowych: i 1 ( t ) = sin( 500t + ) = cos 500t A i ( t ) = sin500t = sin( 500t + ) A i 3 ( t ) = sin( 500t + ) = sin( 500t + ) A i ( t ) = sin( 500t ) = cos 500t A i ( t ),7 sin( 500t 1,107 ),7 sin( 500t 63,35 o ) A 9.. Metoda przekształcania obwodu Rys. 9.. Schemat zastępczy obwodu przykładowego przekształcony do stosowania w metodzie symboliczne Metoda wykorzystuąca bezpośrednio układanie równań z praw Kirchhoffa wymaga rozwiązywania układów wielu równań o współczynnikach zespolonych. Na ogół prowadzi to do żmudnych obliczeń, w trakcie których łatwo o pomyłki. Można tego uniknąć stosuąc inne,

4 opracowane w tym celu metody obliczeniowe. Jedną z nich est, poznana uż przez nas w wersi dla obwodów prądu stałego, metoda przekształcania obwodu. Nazywana ona bywa też metodą zwiania a także metodą elementów zastępczych (albo gałęzi zastępczych). Je charakterystyczną cechą est to, że bezpośrednio, uż w trakcie obliczeń, dae użyteczne wyniki cząstkowe. Metoda zwiania polega na zastępowaniu - do celów obliczeniowych - poszczególnych części obwodu układami równoważnymi, naczęście gałęziami równoważnymi (nazywanymi też gałęziami zastępczymi). Równoważność polega tu na tym, że parametry układu równoważnego (gałęzi równoważne) są tak dobrane, aby po zastąpieniu nim (nią) dane części obwodu, rozpływ prądów i rozkład napięć w pozostałe części obwodu nie uległ zmianie. Reguły tworzenia gałęzi zastępczych dla szeregowych i równoległych połączeń gałęzi pasywnych i aktywnych są analogiczne do reguł znanych nam z teorii obwodów prądu stałego (por. pkt.. rozdz.. pierwsze części ninieszego skryptu). Różnica polega na tym, że zamiast rezystanci występuą impedance zespolone (niektóre z nich mogą być rezystancami), a zamiast sił elektromotorycznych i prądomotorycznych ich wartości skuteczne zespolone. Zastosumy metodę przekształcania obwodu do wyznaczania prądów płynących w obwodzie przykładowym. Jego schemat zastępczy został przedstawiony na rys. 9.1., a schemat zastępczy z danymi do stosowania metody symboliczne na rys. 9.. Rys. 9.3a. Schemat zastępczy obwodu przykładowego po pierwszym etapie przekształcania Przekształcanie obwodu zaczniemy od zwinięcia elementów połączonych szeregowo. W poszczególnych gałęziach dodaemy do siebie impedance zespolone połączonych szeregowo elementów pasywnych i wartości skuteczne zespolone połączonych szeregowo sił elektromotorycznych: Z 1 = ( ) = (1 1) Ω, Z z 5 = 1 + = ( 1 + ) Ω E 5 = 8 = ( 8 )V W efekcie otrzymuemy schemat, w którym w gałęziach występuą albo poedyncze impedance zespolone, albo idealne źródła napięciowe połączone szeregowo z impedancami zespolonymi. Schemat ten pokazano na rys 9.3a. Ponieważ symbolami elementów pasywnych są tuta prostokąciki (a nie symbole odpowiednich elementów idealnych), więc wartości skuteczne zespolone muszą być zapisane ako liczby zespolone. Teraz możemy zwiać gałęzie połączone ze sobą równolegle. mpedanca gałęzi zastępcze dla równoległego połączenia gałęzi 1- ma wartość: ( 1 1) + e Z 1, = = = = Ω e Wartość skuteczna zespolona SEM gałęzi zastępcze dla równoległego połączenia gałęzi 1- wynosi: ( ) + E 1, = = = V mpedanca zespolona gałęzi zastępcze dla równoległego połączenia gałęzi -5 : (1 + ) ( ) Z 5 = = ( ) Ω

5 Wartość skuteczna zespolona SEM gałęzi zastępcze dla równoległego połączenia gałęzi -5 : ( 8 ) ( ) E, 5 = = ( 16 )V 1 + Doprowadziło to do przekształcenia schematu zastępczego obwodu w schemat obwodu nierozgałęzionego. Pokazano go na rys. 9.3b. Jedyną nieprzekształconą gałęzią est gałę 3. Zatem w przekształconym obwodzie płynie prąd i 3. Jego wartość skuteczna zespolona 3 wynosi: - (-16 - ) 0 + ( ) A e 3 = = = + = A Obliczmy teraz napięcia U AC i U BC : U AC = 3 + E z' = ( + ) + = V U BC = ( ) 3 + E z'' = ( ) ( + ) + ( 16 ) = V Wartości skuteczne zespolone prądów i wyznaczamy z prawa Ohma: U AC A e = = = = A U BC A e = = = = A Dwa pozostałe prądy (ich wartości skuteczne zespolone) wyliczamy z prawa Kirchhoffa: ( ) ( ) A e 1 = 3 + = + + = = A ( ) ( ) ( ) A,7 e 1,107 5 = 3 = + = + A Otrzymane wartości skuteczne zespolone wszystkich prądów są identyczne z wynikami uzyskanymi na drodze układania równań z praw Kirchhoffa. Przebiegi wartości chwilowych są oczywiście również takie same, nie będziemy ich tu więc ponownie wypisywać. Rozpatrywany obwód był racze prosty. Występowały w nim edynie szeregowe i równoległe połączenia gałęzi. Nie było też źródeł prądowych. Rys. 9.3b. Schemat zastępczy obwodu przykładowego po zwinięciu do obwodu nierozgałęzionego Rozważmy teraz eszcze eden obwód, trochę bardzie kłopotliwy do analizowania metodą przekształcania. Takim obwodem est obwód przykładowy o schemacie zastępczym przedstawionym na rys. 9.. Wyznaczymy dla niego metodą przekształcania obwodu przebiegi wartości chwilowych wszystkich prądów oraz przebieg napięcia na sile prądomotoryczne

6 Dane nie podane na rysunku: e 1(t) = 1 cos1000t V, e (t) = sin1000t V, e 3(t) = 8 (t) = cos1000t V sin1000t A Obliczenia zaczniemy od przekształcenia schematu obwodu do postaci, w które występuą dane dla metody symboliczne. Występuące w obwodzie siły elektromotoryczne i siła prądomotoryczna maą następuące wartości skuteczne zespolone: E 1 = 1V, E = V, E 3 = 8V, J = A rad Wartość pulsaci: ω = 1000 s Reaktance maą wartości: X L 1 = = 1Ω, X L = = Ω, 1 X C = = Ω -3 Rys. 9.. Schemat zastępczy obwodu przykładowego Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego przekształcony do stosowania w metodzie symboliczne ,5 10 Schemat zastępczy obwodu przystosowany do stosowania metody symboliczne, na który naniesiono wyznaczone wartości pokazano na rys Przystąpmy teraz do przekształcania obwodu. Zaczniemy od zwinięcia elementów połączonych szeregowo i zwinięcia równoległego połączenia gałęzi 5 i 6 Gałęzią zastępczą dla szeregowego połączenia idealne siły prądomotoryczne i dowolnych innych elementów (poza inną siłą prądomotoryczną - taki układ est niedopuszczalny) est gałąź z idealną siłą prądomotoryczną - siła prądomotoryczna nieako wchłania wszystkie elementy włączone z nią w szereg. Stąd gałąź 1 zwiamy do idealnego źródła J 1 = A. W gałęzi dwie siły elektromotoryczne dodaemy i zastępuemy edną E = ( + 1 ) V. mpedanca zespolona gałęzi zastępcze dla równoległego połączenia gałęzi 5 i 6 wynosi: ( ) e Z e 5,6 = = = = (1 1) Ω e Po tym pierwszym etapie zwiania wyczerpuą się możliwości zastępowania gałęzi szeregowych i równoległych gałęziami równoważnymi. Nowe możliwości przekształcania stwarza występowanie w obwodzie gałęzi osobliwych - napięciowe i prądowe. Pozwalaą na to znane nam z teorii obwodów prądu stałego twierdzenia o dodawaniu do obwodu idealnych SEM i SPM (por. pkt.5 rozdz.. z pierwsze części ninieszego skryptu). Stosuąc e możemy przesunąć do innych gałęzi albo źródło prądowe z gałęzi osobliwe 1 albo źródło napięciowe z gałęzi osobliwe. Skutkiem tego gałąź osobliwa zamienia się w przerwę (gałąź z idealnym

7 źródłem prądowym) lub w zwarcie (gałąź z idealnym źródłem napięciowym), co prowadzi do poawienia się połączeń równoległych i szeregowych. Zastosumy przesuwanie idealnego źródła prądowego. W tym celu równolegle do każde gałęzi konturu zamkniętego zawieraącego gałąź osobliwą z idealną siłą prądomotoryczną dodaemy tak samo skierowane idealne siły prądomotoryczne o wartości skuteczne zespolone J 1 = A. Pokazano to na rysunku 9.06a. W gałęzi 1 prądy znoszą się. Gałęzie 3 i 5,6 staą się rzeczywistymi źródłami prądowymi. Schemat zastępczy obwodu po tym etapie przekształcania pokazano na rys. 9.6b. Gałęzie z rzeczywistymi źródłami prądowymi możemy zamienić na gałęzie z rzeczywistymi źródłami napięciowymi. Po tym przekształceniu impedance zespolone gałęzi pozostaą bez zmian (w rzeczywistych źródłach prądowych powinny to być równoważne admitance zespolone lecz różnica est edynie Rys. 9.6a. Schemat zastępczy obwodu przykładowego po pierwszym etapie przekształcania i dodaniu idealnych SPM Rys. 9.6b. Schemat zastępczy obwodu przykładowego po przesunięciu gałęzi z idealną SPM formalna), zaś wartości skuteczne zespolone zastępczych sił elektromotorycznych wyznaczymy ako: E 3 = = V i E5,6 = (1 1) = ( ) V. Schemat zastępczy obwodu po dokonaniu tych przekształceń pokazano na rys. 9.6c. Gałęzie, i 7 pozostały nieprzeksztacone. Są one więc ową pozostałą częścią obwodu, w które rozpływ prądów i rozkład napięć nie ulega zmianie. Zatem w przekształconym obwodzie Rys. 9.6c. Schemat zastępczy obwodu przykładowego po zamianie źródeł prądowych na napięciowe występuą prądy o wartościach skutecznych, i 7. Kolenym krokiem w przekształcaniu obwodu est zwinięcie połączonych szeregowo elementów impedancynych i sił elektromotorycznych. Zastępcze impedance i zastępcze siły elektromotoryczne maą wartości: Z, 3 = Ω, Z 5,6 7, = (1 1) + = (1 + 1) Ω, E, 3 = ( + 1)- = ( + 8)V, E5,6 7, = ( ) + 8 = ( + 6) V Schemat obwodu po tym etapie zwiania pokazano na rys. 9.6d. Teraz można uż przekształcić obwód w obwód nierozgałęziony zwiaąc gałęzie połączone równolegle. Zróbmy to z gałęziami i

8 mpedancę zespoloną i wartość skuteczną zespoloną siły elektromotoryczne gałęzi równoważne wyliczamy ako: ( + 8 ) E z = = (6 + )V + i Z z = = ( ) Ω Rys. 9.6d. Schemat zastępczy obwodu przykładowego po zamianie źródeł i uporządkowaniu gałęzi szeregowych Schemat zastępczy otrzymanego w ten sposób obwodu nierozgałęzionego pokazue rys. 9.6e. W obwodzie tym płynie edynie prąd i 7. Jego wartość skuteczną zespoloną można wyliczyć układaąc równanie z prawa Kirchhoffa: ( 6 + ) (1 + 1) 7 + ( + 6 ) (1 + 1) 7 = 0 Po uporządkowaniu równania i wyliczeniu z niego wartości skuteczne zespolone prądu otrzymuemy: e 7 = = = = A Wartości skuteczne zespolone prądów i i i wyznaczymy ze schematu z rys. 9.6d. W tym celu układamy dla tego schematu takie równanie z prawa Kirchhoffa, by występowała w nim tylko edna niewiadoma. Przykładowo może nią być wartość skuteczna zespolona prądu (druga możliwość to wartość skuteczna zespolona prądu + ( + 6 ) (1 + 1) 7 = ): 0 Rys. 9.6e. Schemat zastępczy obwodu przykładowego po przekształceniu w obwód nierozgałęziony Stąd: ( + 6 ) (1 + 1) ( 6 ) (1 1) ( ) e = = = + = A e = 7 = = = A Układaąc równania z prawa Kirchhoffa do schematu z rysunku 9.6b. możemy wyznaczyć wartości skuteczne zespolone prądów 3 oraz 5, 6 : e 3 = = = = A 3 ( ) e 5,6 = 7 = = + = A Wartości skuteczne zespolone dwu pozostałych prądów wyznaczamy schematu z rys. 9.6a. układaąc równania z i prawa Kirchhoffa: =

9 Stąd: 8 ( ) e 5 = = = = A ( ) e 6 = 5,6 5 = + = = A Wartość skuteczna zespolona napięcia na sile prądomotoryczne wynosi: U (1 1) 6 6,3e 1,5 J = = + V Znaąc wartości skuteczne zespolone (w postaci wykładnicze) interesuących nas prądów i napięcia wyznaczamych przebiegi czasowe: i 1(t) = (t) = sin1000t A i (t) = sin( 1000t + ) = sin1000t A i 3(t) = sin(1000t + ) = sin1000t A i (t) = sin(1000t + ) = sin(1000t + ) A i 5(t) = sin(1000t + ) = cos1000t A i 6(t) = sin(1000t + ) = sin1000t A i 7(t) = sin(1000t + ) = cos1000t A u J ( t ) 6,3 sin(1000t + 1,5 )V dentyczne wyniki otrzymamy przesuwaąc idealną siłę elektromotoryczną z gałęzi osobliwe z prądem i do gałęzi z prądami i 1 i i 3 (lub i i i 7 ). Wtedy w miesce gałęzi poawi się zwarcie, skutkiem czego gałęzie 3 i będą równoległe co otworzy drogę do dalszych przekształceń. Jeżeli w obwodzie występuą gałęzie połączone w gwiazdę lub w trókąt można takie układy transfigurować stosuąc wzory i procedury analogiczne do znanych nam uż z teorii obwodów prądu stałego (por. pkt.6. rozdz.. części pierwsze ninieszego skryptu). Transfigurace te są szczególnie przydatne i chętnie stosowane przy obliczeniach przeprowadzanych dla obwodów trófazowych Metoda oczkowa dea metody oczkowe, zwane też metodą prądów oczkowych polega na ułożeniu na podstawie schematu zastępczego równań równowagi napięć (z prawa Kirchhoffa), z podstawionymi do nich od razu równaniami równowagi prądów (z prawa Kirchhoffa). Dae to, w porównaniu z metodą bezpośredniego stosowania praw Kirchhoffa, znaczną redukcę układu równań opisuącego obwód. W metodzie wprowadza się umyślone prądy, zwane prądami oczkowymi (stąd nazwa metody) i stosue się swoisty przepis na układanie równań, oparty o wcześnieszą analizę ich struktury. Wartości prądów gałęziowych otrzymue się ako superpozycę wartości odpowiednich prądów oczkowych. Przepis na układanie równań oczkowych dla obwodów prądu zmiennego analizowanych z zastosowaniem metody symboliczne est taki sam ak analogiczny przepis dla obwodów prądu stałego, z tym, że zamiast rezystanci występuą w nim impedance zespolone a zamiast napięć, prądów oraz sił elektromotorycznych i prądomotorycznych - ich wartości skuteczne zespolone

10 Zapoznamy się z zastosowaniem metody oczkowe do obwodów prądu zmiennego wykorzystuąc ą do wyznaczania prądów płynących w obwodzie przykładowym. Schemat obwodu z danymi do stosowania metody symboliczne i z zaznaczonymi prądami gałęziowymi i oczkowymi pokazue rys Przypomnimy sobie przepis na układanie równań oczkowych. 1. Lewa strona każdego z równań est sumą dwu rodzaów składników: a) iloczynu wartości skutecznych zespolonych prądu oczkowego rozpatrywanego oczka i sumy impedanci zespolonych przez które ten prąd płynie (est to tzw. impedanca własna oczka); b) sumy opatrzonych znakiem minus iloczynów wartości skutecznych zespolonych wszystkich innych prądów oczkowych i sumy impedanci zespolonych gałęzi, przez które płyną ednocześnie dany prąd oczkowy oraz prąd oczka, dla którego układane est równanie (są to tzw. impedance wzaemne oczek).. Prawe strony równań tworzą sumy wartości skutecznych zespolonych występuących w danym oczku sił elektromotorycznych oraz wartości skutecznych zespolonych napięć na występuących tam siłach prądomotorycznych, z uwzględnieniem ich zwrotów w stosunku do prądu oczkowego (przy tych samych zwrotach znak plus, przy zwrotach przeciwnych znak minus). Stosuąc te zasady otrzymuemy dla rozpatrywanego obwodu następuące równania oczkowe: a ( ) b c 0 = a + b ( ) c ( ) = 0 a 0 b ( ) + c (1 + ) = 8 Po uporządkowaniu otrzymuemy układ równań, który można zapisać w postaci macierzowe ako: a = b c + 8 Rozwiążmy ten układ stosuąc metodę wyznaczników zazwycza stosowaną do takich obliczeń: W = = 10 +, W a = 0 = W b = 0 = 16 +, W c = 0 = Prądy oczkowe maą następuące wartości skuteczne zespolone: a = = A, ( ) A 10 + b = = +, ( ) A 10 + c = = Wartości skuteczne zespolone prądów gałęziowych wyznaczamy ako superpozycę wartości skutecznych zespolonych odpowiednich prądów oczkowych: Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego z zaznaczonymi prądami gałęziowymi i oczkowymi 1+ 1

11 1 a = A 3 = b = ( + ) A, 5 = c = ( + ) A, = a b = A, = b c = A. Takie same wartości otrzymaliśmy stosuąc metodę praw Kirchhoffa oraz metodę przekształcania obwodu. Również tu nie będziemy ponownie wypisywać odpowiadaących im przebiegów czasowych. Celem ugruntowania umieętności stosowania metody oczkowe wyznaczmy eszcze stosuąc tę metodę, przebiegi wartości skutecznych zespolonych wszystkich prądów oraz wartość skuteczną zespoloną napięcia na sile Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego prądomotoryczne obwodu z zaznaczonymi prądami gałęziowymi i oczkowymi przykładowego (z rys. 9..). Schemat po przekształceniu dla potrzeb metody symboliczne oraz oznaczeniu prądów (oczkowych i gałęziowych) pokazue rys Ułóżmy równania oczkowe. Dla oczka a est to równanie: a ( ) b c ( ) d 0 = U J Jest ono tu ednak niepotrzebne - ze schematu wynika, że wartość skuteczna zespolona i wynosi a =. Równość tę można potraktować ako równanie dla oczka prądu oczkowego a a. Gdyby gałąź osobliwa złożona z idealne siły prądomotoryczne nie była skraną gałęzią schematu (dzięki czemu płynie przez nią tylko eden prąd oczkowy, o wartości równe wartości prądu źródłowego) to warto tak schemat przerysować, by ą taką uczynić. Po wprowadzeniu takiego uproszczenia układ równań oczkowych będzie się składał z następuących równań: a = a + b( + ) c 0 d = 1 a ( ) b 0 + c( ) c = 0 a 0 b 0 + c( ) + d ( + ) = 8 Pomińmy wyznaczanie pierwiastków układu równań oczkowych - wartości skutecznych zespolonych prądów oczkowych. Można e wyliczyć np. metodą wyznaczników, ak w przykładzie poprzednim. Otrzymamy następuące wartości: a = A, b = - A, c = 0 A, d = A Na ich podstawie wyznaczmy wartości skuteczne zespolone prądów gałęziowych: 1 = a = A, = b = A, 3 = b a = = A, = d b = ( + ) A 5 = d c = 0 = A, 6 = c a = 0 = A, 7 = d = A Wartość skuteczną zespoloną napięcia na sile prądomotoryczne wyznaczymy z prawa Kirchhoffa: U J = 1 (1 + 1) 7 ( ) = ( + 6 )V Otrzymane wartości są identyczne z uzyskanymi przez nas w pkcie 9.., gdzie wyliczaliśmy e stosuąc metodę zwiania

12 9.. Metoda węzłowa Metoda węzłowa polega na układaniu, na podstawie schematu zastępczego, równań równowagi prądów (z prawa Kirchhoffa) z podstawionymi do nich równaniami równowagi napięć (z prawa Kirchhoffa), tak sformułowanymi, że występuą w nich nie prądy lecz potencały węzłów obwodu (stąd nazwa metody). Równania te układa się według przepisu opartego o wcześnieszą analizę struktury takich równań. tym razem z metodą zapoznamy się na przykładzie e zastosowania do wyznaczania prądów płynących w przykładowych obwodach. Ponownie zaczniemy od przykładowego obwodu. Schemat po przekształceniu dla potrzeb metody symboliczne pokazue rys Na schemacie tym węzeł C zaopatrzono w symbol uziemienia, co oznacza, że potencałowi tego węzła nadano wartość zerową. Przypomnimy sobie przepis na układanie równania węzłowego dla danego węzła. 1. Lewa strona równania est sumą dwu rodzaów składników: a) iloczynu wartości skuteczne zespolone potencału rozpatrywanego węzła i sumy admitanci zespolonych gałęzi dochodzących do tego węzła (est to tzw. admitanca własna węzła); b) sumy opatrzonych znakiem minus iloczynów wartości skutecznych zespolonych wszystkich innych potencałów węzłowych i sumy admitanci gałęzi łączących dane węzły z rozpatrywanym węzłem. Są to tzw. admitance wzaemne węzłów.. Prawą stronę równania tworzy suma wartości skutecznych zespolonych sił prądomotorycznych występuących w gałęziach dochodzących do rozpatrywanego węzła, z uwzględnieniem ich zwrotów (gdy są do węzła skierowane znak plus, przy zwrotach przeciwnych znak minus). Jeżeli są to gałęzie ze źródłami napięciowymi należy e przekształcić na równoważne gałęzie ze źródłami prądowymi (por. pkt 8.. rozdz. 8.). Dla rozpatrywanego obwodu trzeba ułożyć dwa równania węzłowe: V A ( + + ) V 1 1 B = V B ( + + ) V 1 A = Po uporządkowaniu, w postaci macierzowe przybieraą one postać: 1 0,5 V A 1 1 = 8 V 1 B 0, Rozwiążmy e stosuąc metodę wyznaczników: 1 0,5 1 1 W = = 0,05 + 0,, 1 0,5 1 + Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego w metodzie węzłowe - 6 -

13 1 0,5 W A = = 1,6 0,, W B = = -0, 1, ,5 1 + Potencały węzłów A i B maą następuące wartości skuteczne zespolone: 1,6 0, 0, 1,6 V A = = V, V V 0, B = = 0, Potencał węzła C ma z założenia wartość skuteczną zespoloną: V C = 0 Znaąc te wartości możemy, stosuąc prawo Ohma, wyznaczyć wartości skuteczne prądów: V V 0 A C A e = = = = A V V 0 B A A e = = = = A V V a B + ( ) A e 3 = = = + = A Wartości skuteczne zespolone dwu pozostałych prądów można wyliczyć z prawa Kirchhoffa rozwiązuąc równania: 1 ( 1) 1 + ( + ) 1 1 (V A V C ) = 0 i ( V B V C ) = 0 Jednak znacznie łatwie wyliczyć e z prawa Kirchhoffa ako: ( ) e 1 = + 3 = + + = = A ( ) ( ) ( ),7 e 1,107 5 = 3 = + = + A Takie same wartości otrzymaliśmy stosuąc metodę praw Kirchhoffa oraz metodę przekształcania obwodu. Rozważmy eszcze eden obwód, obwód przykładowy o schemacie z rys. 9.. Jego wersę przekształconą do stosowania w metodzie symboliczne przedstawia rys Symbol uziemienia oznacza, że potencałowi węzła D nadano wartość zerową. Z czterech istnieących w obwodzie węzłów wybrano właśnie ten, gdyż dzięki takiemu wyborowi znane są teraz wartości skuteczne zespolone dwu węzłów - wybranego węzła D ( V D = 0 ) i węzła C połączonego z węzłem D gałęzią osobliwą Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego do metody węzłowe składaącą się wyłącznie z sił elektromotorycznych ( V C = ( + 1 ) V ). Podobny efekt dałoby uziemienie węzła C

14 W rozpatrywanym obwodzie występuą teraz tylko dwa węzły o nieznanych potencałach, trzeba zatem ułożyć dwa równania węzłowe: V A ( ) V ( ) V B + C = V B ( ) V ( ) V 0 A + C = Za trzecie równanie można przyąć równość określaącą wartość skuteczną zespolną potencału węzła C : V C = + 1 Rozwiązuąc ten układ trzech równań (na przykład metodą wyznaczników, ak w przykładzie ) otrzymue się wartości skuteczne zespolone potencałów węzłowych. Wynoszą one: V A = V, V B = 8 V, V C = + 1, V D = 0. Stąd wartości skuteczne zespolone prądów i napięcia na sile prądomotoryczne gałęziowych: 1 = A 0 V 8 B 3 = = = - A Z 3 V V 1 8 C B + = = = ( + ) A Z V V 8 B A 5 = = = A Z 5 V V 8 B A 6 = = = - A Z 6 7 = = + ( ) + = A = = + ( ) = A U J = 1 (1+ 1) + V A = (1+ 1) + = ( + 6 )V Otrzymane wartości są identyczne z uzyskanymi w podrozdziałach 9.. i 9.3, gdzie wyliczono e stosuąc metody zwiania i oczkową Twierdzenie Tellegena Z zasady zachowania energii zastosowane do odosobnionego (autonomicznego) obwodu wynika zależność zwana twierdzeniem Tellegena: λ k u k ( t) i k ( t) = 0 (9.1.) k gdzie: u k (t), i k (t) - przebiegi wartości chwilowych napięcia i prądu k-tego elementu obwodu. 1 - gdy strzałkowanie elementu est źródłowe, λk = - gdy strzałkowanie elementu est odbiornikowe, 1 (można oczywiście przyąć odwrotną konwencę) Dla obwodów sinusoidalnych analizowanych z użyciem metody symboliczne zależność ta przybiera postać:

15 λ U * k k = 0 k k (9..) gdzie: U k, k - wartości skuteczne zespolone napięcia i prądu k-tego elementu idealnego wchodzącego w skład obwodu. Jest to twierdzenie Telegena w wersi dla obwodów prądu sinusoidalnego sformułowane z zastosowaniem metody symboliczne. λ * k U k = λk ( Pk + Qk ) = λk Pk + λkq k k k k k k Stąd zależność (9..) można zapisać w postaci dwu równości: λ k Pk = ( Pźrk Pok ) = 0 P źrk = P ok (9.3a.) k k k k λ k Qk = ( Qźrk Qok ) = 0 Q źrk = Q ok (9.3b.) k k k k gdzie: P źrk, Q źrk - moc czynna i bierna k-tego elementu zastrzałkowanego źródłowo, P ok, Q ok - moc czynna i bierna k-tego elementu zastrzałkowanego odbiornikowo Na ogół właśnie w te postaci twierdzenie Tellegena wykorzystywane est do sporządzania tzw. bilansu mocy. Bilans mocy musi się zgadzać osobno dla mocy czynnych, osobno dla mocy biernych. PRZYKŁAD Sporządźmy bilans mocy dla obwodu przykładowego o schemacie z rys Będziemy się posiłkować rysunkiem 09.. z zaznaczonymi prądami. Wyznaczone w poprzednich podrozdziałach ich wartości skuteczne zespolone wynoszą: 1 = A, = A, 3 = ( + ) A, = A,. 5 = ( + ) A Zwróćmy uwagę na siłę elektromotoryczną E = V (w gałęzi z prądem 5). Jest ona zastrzałkowana odbiornikowo. Będziemy ą zatem traktować ako odbiornik aktywny. Pamiętamy przy tym, że strzałkowaliśmy obwód na chybił trafił więc ze sposobu strzałkowania nie możemy wyciągać żadnych wniosków co do rzeczywistego charakteru tego elementu w tym obwodzie. Moce źródeł obliczymy korzystaąc z wzoru: S = U * : S źr = ( ) ( ) + 8 ( ) = ( ) + ( ) = (8 + 1) VA Sumaryczne moce czynna i bierna elementów zastrzałkowanych żródłowo wynoszą więc: Pźr = Re( S źr ) = 8W, Q źr = m( S źr ) = 1 varind Część rzeczywista mocy pozorne zespolone źródła SEM skuteczne E = ( ) V, a więc e moc czynna okazała się być uemną. Zatem ta siła elektromotoryczna w rzeczywistości est odbiornikiem (aktywnym) mocy czynne - nie e źródłem. Moc odbiornika aktywnego E = V również obliczymy z zależności S = U * : S oe = ( ) = ( 8 )VA Jest więc: P oe = W, Q oe = 8 varpo Moce odbiorników pasywnych nałatwie będzie obliczyć korzystaąc z wzorów 7.5., 7.1a i 7.a: P = R i Q = X

16 P ( ) 1 1 ( or = = + + = + + ) = W Q ol = = ( + ) = = ( + ) = 5 var ind Q oc = = + ( + ) + = = 1 + ( + ) + = 3 var po Po = PoE + PoR = + = 8W Qo = QoE QoL QoC = = 1 varind Zatem: Pźr = Po = 8W Q źr = Qo = 1 varind Bilans mocy się zgadza. Jest to potwierdzenie poprawności obliczenia rozpływu prądów. PRZYKŁAD Sporządzić bilans mocy dla obwodu przykładowego o schemacie z rys Oznaczenia prądów pokazue rys ch wartości skuteczne zespolone wynoszą: 1 = A, = A, 3 = A, = ( + ) A, 5 = A, 6 = A, 7 = A Wartość skuteczna zespolona napięcia na sile prądomptoryczne wynosi : U J = ( + 6 ) V Źródła E 1 = 1V E = V zostały zastrzałkowane odbiornikowo zatem powinniśmy e traktować ako odbiorniki (aktywne), możemy ednak zmienić strzałkowanie zmieniaąc zwrot płynącego przez nie prądu. Jest teraz = A (ze zwrotem odwrotnym niż na rys ), zaś obydwie idealne siły elektromotoryczne są zastrzałkowane źródłowo. S U * źr = k k = ( + 6 ) ( ) = ( )VA k Moce odbiorników pasywnych (teraz innych odbiorników w obwodzie uż nie ma): P 1 1 ( o = = ) = 8W Q ol = = = varind Q oc = 6 = = 8 varpo Q o = QoL QoC = 8 = 36 varind Zatem: Pźr = Po = 8W i Q źr = Qo = 36 varind Bilans mocy się zgadza Twierdzenie Thévenina Twierdzenie Thévenina dla obwodów prądu sinusoidalnego stanowi, że dowolny, liniowy obwód aktywny, rozpatrywany z punktu widzenia wybrane pary zacisków można zastąpić gałęzią aktywną złożoną z idealnego źródła napięciowego, zwanego siłą elektromotoryczną Thévenina ( E T ) połączonego szeregowo z elementem pasywnym o odpowiednio dobrane impedanci zespolone, zwane impedancą Thévenina ( Z T )

17 Siła elektromotoryczna Thévenina E T ma wartość skuteczną zespoloną równą wartości skuteczne zespolone napięcia U abo na zaciskach ab występuące przy rozwarte gałęzi a-b (wartości skuteczne napięcia stanu ałowego gałęzi a-b ). mpedanca Thévenina Z T równa est Rys lustraca twierdzenia Thévenina impedanci zespolone Z abo obwodu pasywnego, utworzonego przez usunięcie wszystkich idealnych SEM i SPM z rozważanego obwodu, widzianego z zacisków ab. U Wartość ta est równa: Z abo T =, gdzie abz est prądem zwarcia, t. prądem aki popłynie abz przez bezimpedancyne połączenie zwieraące zaciski ab. PRZYKŁAD W obwodzie przykładowym o schemacie zastępczym z rys wartość rezystanci rezystora R i reaktanci induktora L są takie, że napięcie na reaktanci X L ma wartość U X L = 10V, zaś przesunięcie fazowe pomiędzy SEM E i prądem ab, płynącym przez rezystor R (i induktor L) wynosi < E, ab = rad. Należy wyznaczyć wartości R i X L. Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego Przekształćmy obwód do postaci obwodu nierozgałęzionego, edną z gałęzi którego est gałąź z rezystorem R, induktorem L i idealnym źródłem napięciowym E. Zastosumy do tego celu twierdzenie Thévenina. Schematy obwodów do wyznaczania impedanci zespolone Thévenina i SEM Thévenina pokazano na rysunkach 09.13a. i 09.13b. Rys. 9.13a. Schemat do wyznaczania impedanci Thévenina mpedanca zastępcza równoległego połączenia cewki rzeczywiste o impedanci zespolone ( ) Ω i kondensatora o reaktanci 10 Ω (rys a.): ( ) ( 10 ) Z z = = (10-10) Ω

18 Stąd impedanca Thévenina: Z T = Z abo = 0 + Z z = ( ) Ω Rys. 9.13a. Schemat do wyznaczania SEM Thévenina SEM Thévenina wyznaczamy zwiaąc gałęzie równoległe (rys. 9.13b.) i dodaąc napięcia na połączonych szeregowo elementach. ET = U ab0 = Z z + 0 = 10 (10 10 ) = ( )V (Prąd ze schematu do wyznaczania SEM Thévenina ma wartość skuteczną zespoloną taką ak prąd źródłowy.) Schemat obwodu po przekształceniu pokazano na rys. 9.1 (można go uzyskać także metodą zwiania). Wartość skuteczną zespoloną prądu ab otrzymamy dzieląc sumę wartości skutecznych zespolonych sił elektromotorycznych przez sumę impedanci zespolonych obwodu (co wynika z prawa Kirchhoffa): ab = = ( R + 30 ) + ( X L 10 ) ( R + 30 ) + ( X L 10 ) SEM E ma wartość skuteczną zespoloną E = 100V, tak więc e początkowy kąt fazowy est równy Ψ E = rad. Prąd ab ma być przesunięty w stosunku do E o kąt < E, ab = rad. Zatem ma on początkowy kąt fazowy równy zero lub, stąd ego wartość skuteczna Rys Schemat obwodu po przekształceniu zespolona ma argument równy zeru, a więc posiada tylko część rzeczywistą: m( ab ) = 0 Aby wykorzystać tę zależność trzeba przekształcić wyrażenie na prąd ab w ten sposób, by oddzielić od siebie ego część rzeczywistą od części uroone. W tym celu licznik i mianownik wyrażenia mnożymy przez liczbę sprzężoną z mianownikiem: 300 [( R + 30 ) ( X L 10 )] ab = = [( R + 30 ) + ( X L 10 )] [( R + 30 ) ( X L 10 )] 300 ( R + 30 ) 300 ( X L 10 ) = ( R + 30 ) + ( X L 10 ) ( R + 30 ) + ( X L 10 ) Można teraz sformułować równanie:

19 300 ( X 10 ) m( ) L ab = = 0 ( R + 30 ) + ( X 10 ) L Rozwiązaniem tego równania est X L = 10 Ω Stąd wartość skuteczna prądu ab wynosi: ab = = ( R + 30 ) + (10 10 ) R + 30 Z warunków zadania wynika, że: U X L = 60V Jest zatem: 300 U X L = ab X L = 10 = 60 R + 30 Pierwiastkiem tego równania est drugi z poszukiwanych parametrów obwodu: R = 0 Ω 9.7. Twierdzenie Nortona Dowolny, liniowy obwód aktywny prądu sinusoidalnego, rozpatrywany z punktu widzenia wybrane pary zacisków ab można zastąpić gałęzią aktywną złożoną z połączonych równolegle: idealnego źródła prądowego o sile prądomotoryczne, zwane siłą prądomotoryczną Nortona ( J N ) i admitanci zespolone, zwane admitancą Nortona ( Y N ). Rys lustraca twierdzenia Nortona Siła prądomotoryczna Nortona ma wartość równą wartości skuteczne zespolone prądu abz płynącego przez bezimpedancyne zwarcie zacisków ab (wartości skuteczne zespolone prądu zwarcia gałęzi a-b ). Admitanca Nortona równa est admitanci Y abo obwodu pasywnego, utworzonego przez usunięcie wszystkich idealnych SEM i SPM z rozważanego obwodu widziane z zacisków ab. Wartość ta est równa: Y abz N =, U ab0 gdzie U abz0 est napięciem biegu ałowego, t. napięciem akie wystąpi na zaciskach ab przy 1 rozwarte gałęzi a-b (est więc: Y N = Z i E J T N = ). T ZT Twierdzenie Nortona est wykorzystywane do wyznaczania parametrów obwodów elektrycznych rzadzie niż twierdzenie Thévenina. Bierze się to stąd, że elektrykom bliższa est intuica źródła rzeczywistego prądowego niż źródła rzeczywistego napięciowego. Z tą pierwszą spotykaą się znacznie częście. PRZYKŁAD Dla obwodu przykładowego V o schemacie zastępczym z rys należy dobrać impedancę elementu pasywnego Z taką, by napięcie na tym elemencie miało przebieg wartości chwilowych u z( t ) = 0 sin( ω t + ) V

20 Przekształćmy obwód wykorzystuąc twierdzenie Nortona. Schemat do wyznaczania admitanci zespolone Nortona pokazano na rys. 9.17a., schemat do wyznaczania SPM Nortona na rys. 9.17b, schemat obwodu po przekształceniu na rys Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego V Admitancę zespolona obliczmy ako admitancę dwu gałęzi połączonych równolegle, a więc ako sumę ich admitanci zespolonych. Y 1 1 N = Y ab 0 = + = = 0, + (01 0,1) = (0,1 + 0,1) S Do wyznaczenia prądu źródłowego Nortona J N = abz wygodnie est wykorzystać superpozycę (rys. 9.17b.). Rys. 9.17a. Schemat do wyznaczania admitanci Nortona Rys. 9.17b. Schemat do wyznaczania SPM Nortona Jest: ' = = A i '' = = A Stąd SPM Nortona ma wartość skuteczną zespoloną: J N = abz = ' + '' = A Zadany est przebieg wartości chwilowych napięcia na impedanci Z: u z( t ) = 0 sin( ω t + )V. Odpowiada to wartości skuteczne zespolone: U 0e Z = = ( )V. Znaąc ą możemy wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną prądu w. Rys Schemat po przekształceniu w = ( ) (0,1 + 0,1) = A Stąd: ab = w = ( ) A Zaś poszukiwana impedanca zespolona ma wartość: - 7 -

21 0 + 0 Z = = 5 Ω 9.8. Dopasowanie energetyczne odbiornika do źródła Dla danego źródła o konkretnych parametrach można wyznaczyć parametry odbiornika pasywnego, który pobiera energię z nawiększą możliwą dla tego źródła mocą czynną. Odbiornik taki nosi nazwę odbiornika dopasowanego energetycznie do źródła. Zbadamy akie to muszą być parametry. Prąd aki płynie w obwodzie ma wartość skuteczną zespoloną: E = ( R w + R o ) + ( X w + X o ) Moduł te wartości, a więc wartość skuteczna wynosi: E = Rys Źródło rzeczywiste napięciowe i odbiornik ( ) ( X ) Rw + Ro + w + Xo Jest ona potrzebna do wyznaczenia mocy czynne odbiornika: E R o Po = Ro = (9..) ( ) ( X ) Rw + Ro + w + Xo Odbiornik charakteryzowany est przez rezystancę i przez reaktancę zatem powyższe wyrażenie trzeba traktować ako funkcę dwu zmiennych. Stąd trzeba stawiać dwa warunki na maksimum mocy czynne: ze względu na rezystancę odbiornika i ze względu na ego reaktancę: P o P = 0 i o = 0 (9.5.) R o X o P o [( R o + R w ) + ( X w + X o ) ] 0 R o ( X w + X ) = E o = X o [( ( X ) ] Ro + Rw ) + w + Xo R o ( X w + X o ) = E = 0 [( ( X ) ] Ro + Rw ) + w + Xo Pierwiastkiem tego równania est: Xo = X w Zatem dla odbiornika dopasowanego energetycznie zależność (9..) przybiera wartość: P o = ( R w E R o + R o ) P o ( R w + R o ) 1 R o ( R w + R ) = E o = R o ( ) Rw + Ro R w + R o R o R w R = E = E o = 0 ( R R ) ( R R ) 3 w + o w + o Dae to wartość rezystanci odbiornika dopasowanego energetycznie ako: R o = Rw. Zatem warunkiem dopasowania energetycznego ze względu na moc czynną est by impedanca odbiornika miała wartość Z X Z * o = R w + w =. w Sprawność takiego układu wynosi zaledwie 50%, stąd dopasowanie energetyczne stosue się tylko do źródeł o małe mocy, gdzie nie chodzi o sprawność lecz o to, by ak nalepie tę małą moc wykorzystać

22 PRZYKŁAD Dla obwodu o schemacie zastępczym pokazanym na rys należy dobrać impedancę odbiornika Z tak, by wydzielaąca się na nie moc czynna była nawiększa możliwa w tym obwodzie a także wyznaczyć tę moc. Skorzystamy z warunku na dopasowanie energetyczne odbiornika: Z o = Z * w. W tym celu przekształcimy obwód V w obwód nierozgałęziony, w którym odbiornik Z o = Z zasilany est przez źródło zastępcze: dwónik aktywny zastępuący resztę obwodu widzianą z ego zacisków. Zastosumy twierdzenie Thévenina (równie dobra byłaby metoda zwiania). Do wyznaczenia Z wystarczyłoby Rys Schemat zastępczy obwodu przykładowego V obliczyć Z T ( Z = Z * T ), ednak mamy również określić moc pobieraną przez odbiornik Z, stąd musimy wyznaczyć zarówno impedancę zespoloną Thévenina ak i SEM Thévenina. Rys Schemat obwodu do wyznaczania impedanci Thévenina W schemacie do wyznaczania Z T trzeba dokonać transfiguraci trókąt-gwiazda. Do wyboru mamy dwa trókąty (można też zamieniać gwiazdę na trókąt, ale prowadzi to do bardzie pracochłonnych obliczeń). Wybierzmy trókąt po prawe stronie schematu (rys. 9.1.). 1 ( ) Z c = = Ω (1 + 1) Z d = = ( 1 + 1) Ω (1 + 1) Z e = = ( ) Ω mpedance szeregowo połączonych elementów w gałęziach bco i bdo maą wartości: Z bco = 1+ = ( 1) Ω Z bdo = = ( 3 + 1) Ω Obliczmy teraz impedancę równoległego połączenia tych gałęzi: ( 1) ( 3 + 1) Z bo = = = (1, 0, ) Ω Stąd impedanca Z T : Z T = Z ab0 = Z bo + Z e + 3 = (1, 0, ) + ( ) + 3 = ( 3, + 0,8 ) Ω - 7 -

23 Zatem w warunkach dopasowania energetycznego impedanca Z ma wartość: Z = Z * T = ( 3, 0,8 ) Ω Schemat do wyznaczania SEM Thévenina przedstawiono na rys. 9.. ET = U ab0 = ( 1) 1 ( ) + ( 3 ) Trzeba zatem wyznaczyć prądy 1 i. Wyznaczmy e metodą oczkową. Prądy 1 i możemy potraktować ako prądy oczkowe: 1 ( + 1 1) ( 1) = ( ) ( 1) 1 = 0 Do rozwiązania tego układu dwu równań wykorzystamy metodę wyznaczników: 1 W = = + 1 = 5, W 1 = = 1 + 9, 0 1 W = = Rys. 9.. Schemat do wyznaczania SEM Thévenina W W = = = (, + 1,8 ) A, + = = = ( 1,8 +, ) A W 5 W 5 SEM Thévenina ma wartość skuteczną zespoloną: E T = U ab 0 = ( 1) (, + 1,8 ) ( ) ( 1,8 +, ) + ( 3 ) = =, 1,8 3,6,8 + 3 = ( 3,6 5, ) V Teraz możemy obliczyć wartość skuteczną zespoloną prądu płynącego przez impedancę Z (rys ): E 3,6 5, T + 0,93 e 0,965 Z = = A Z T + Z 6,8 Moduł te wartości, a zatem wartość skuteczna prądu wynosi: Z 0,93 A Stąd poszukiwana wartość mocy czynne nawiększe możliwe w tym obwodzie dla odbiornika impedancynego włączonego na zaciski ab : P Re( Z ) 0,93 Z = R Z = 3,,9W Z Z