WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH

Transkrypt

1 UNIWERSYTET JAGIELLO SKI WYDZIAŠ MATEMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT MATEMATYKI WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH DOMINIK MIELCZAREK Praca doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr hab. Grzegorza Lewickiego Kraków 2008

2 PODZI KOWANIA Szczególne podzi kowania skªadam mojej»onie Joannie, która podtrzymywaªa mnie na duchu w czasie pisania tej pracy. Jej pomoc duchowa i wiara we mnie przyczyniªa si w znacznym stopniu do napisania tej pracy. Dzi kuj równie» mojemu promotorowi prof. dr hab. Grzegorzowi Lewickiemu za cenne uwagi i zaproponowanie bardzo ciekawych problemów, których rozwi zanie stanowi niniejsza praca. 1

3 Spis tre±ci 1 Wst p 3 2

4 1 Wst p Oznaczmy przez P(X, Y ) zbiór wszystkich liniowych i ci gªych projekcji z przestrzeni unormowanej (X, ) na jej podprzestrze«y tzn. P(X, Y ) = { P B(X, Y ) : P Y = Id Y }, gdzie B(X, Y ) jest przestrzeni odwzorowa«liniowych i ci gªych prowadz - cych z X do Y. Powiemy,»e odwzorowanie P : X Y jest projekcj z X na Y wtedy i tylko wtedy, gdy P P(X, Y ). Aby nie byªo w tpliwo±ci, w caªej tej pracy zakªadamy,»e ka»dy operator jest liniowy. Staª równ λ(x, Y ) = inf { P : P P(X, Y )}, nazywamy relatywn staª projekcji. Projekcj P 0 P(X, Y ) nazywamy minimaln, je±li P 0 = λ(x, Y ). Analogicznie, projekcj P 0 P(X, Y ) nazywamy kominimaln, je±li Id P 0 = inf { Id P : P P(X, Y ) }. Istniej przestrzenie dla których zbiór P(X, Y ) jest zbiorem pustym. Tak jest na przykªad w przypadku, gdy X jest przestrzeni ci gów ograniczonych z norm supremum, natomiast Y to podprzestrze«x zªo»ona z ci gów zbie»nych do zera [42]. Je±li jednak istnieje projekcja z przestrzeni X na Y, to przestrze«y nazywamy uzupeªnialn. Dla pewnych podprzestrzeni wiadomo,»e zbiór P(X, Y ) jest niepusty. Zachodzi bowiem nast puj ce Twierdzenie 1.1 [43]. Niech X b dzie przestrzeni unormowan, a Y jej podprzestrzeni. Je»eli wymiar lub kowymiar przestrzeni Y jest sko«czony, to istnieje projekcja z przestrzeni X na podprzestrze«y. Zachodzi równie» nast puj ce Twierdzenie 1.2 [43]. Niech X b dzie przestrzeni unormowan, a Y jej podprzestrzeni o kowymiarze sko«czonym. Wtedy zachodzi nierówno± λ(x, Y ) codimy

5 W przypadku gdy kowymiar Y jest sko«czony, to wiadomo równie» jaka jest posta dowolnej projekcji ze zbioru P(X, Y ). Twierdzenie 1.3 [43]. Niech Y b dzie podprzestrzeni przestrzeni Banacha X. Ponadto niech kowymiar Y b dzie równy k oraz Y = k i=1 kerf i, gdzie funkcjonaªy f 1,..., f k z X s liniowo niezale»ne. Wtedy operator P jest projekcj z X na Y wtedy i tylko wtedy, gdy istniej y 1,..., y k X speªniaj ce warunki f i (y j ) = δ ij dla i, j = 1,..., k i takie,»e P ( ) = Id( ) k f i ( )y i. Odnotujmy,»e projekcje minimalne s zwi zane w pewnym sensie z twierdzeniem Hahna-Banacha, poniewa» w przypadku projekcji z X na Y szukamy rozszerzenia operatora Id: Y Y na X o mo»liwie najmniejszej normie, a takim rozszerzeniem jest dowolna projekcja minimalna. Minimalno± projekcji jest ±ci±le zwi zana z nast puj c nierówno±ci Lebesgue'a x P x Id P dist(x, Y ) (1 + P )dist(x, Y ), która zachodzi dla dowolnej projekcji P P(X, Y ) i dla dowolnego x X. Nierówno± ta daje oszacowanie aproksymacji dowolnego elementu x X przez element P x Y. Wida,»e ta aproksymacja jest lepsza dla projekcji P o maªej normie. Za pocz tek teorii projekcji minimalnych mo»na uzna twierdzenie o minimalno±ci projekcji Fouriera. Twierdzenie 1.4 [11]. Niech Y n oznacza podprzestrze«wielomianów trygonometrycznych stopnia co najwy»ej n. Wtedy klasyczna projekcja Fouriera z przestrzeni C(2π) na Y n jest minimalna. Bardzo wa»nym poj ciem jest jedyno± projekcji minimalnej. Projekcj minimaln P 0 P(X, Y ) nazywamy jedyn, je±li jest jedyn projekcj minimaln. Przez wiele lat problem czy klasyczna projekcja Fouriera jest jedyna, byª nierozwi zany. Udaªo si go rozwi za dopiero 20 lat po opublikowaniu pracy [11]. Twierdzenie 1.5 [15]. Klasyczna projekcja Fouriera z przestrzeni C(2π) na podprzestrze«y n jest jedyna. 4 i=1

6 Oczywi±cie, projekcja minimalna nie zawsze istnieje. Jednak dla pewnych przestrzeni wiemy,»e projekcje minimalne istniej. Zachodzi bowiem nast puj ce Twierdzenie 1.6 [17]. Niech Y b dzie podprzestrzeni przestrzeni Banacha X. Je±li zbiór P(X, Y ) jest niepusty i przestrze«y jest izomorczna z przestrzeni dualn do pewnej przestrzeni Banacha Z, to istnieje projekcja minimalna z X na Y. Niestety twierdzenie 1.6, a raczej jego dowód, jest zupeªnie niekonstruktywny. W pewnych jednak przypadkach mo»na konstruktywnie wyznaczy projekcj minimaln. Przypomnimy podstawowe poj cia zwi zane z dziaªaniem grupy na zbiorze. Niech X b dzie przestrzeni Banacha, a G zwart grup topologiczn. Powiemy,»e grupa G dziaªa jako grupa operatorów na przestrzeni X, je±li ka»demu elementowi g G odpowiada ci gªy operator A g : X X o wªasno±ciach: A e = Id, A xy = A x A y, dla dowolnych x, y G. Operator A g w skrócie oznaczamy przez g. Dodatkowo zakªadamy,»e dla ustalonego x X funkcja A g (x) jest ci gªa ze wzgl du na zmienn g. Powiemy,»e podprzestrze«y przestrzeni X jest niezmiennicza wzgl dem G je±li A g (Y ) Y, dla dowolnego g G. Mówimy,»e projekcja P P(X, Y ) jest przemienna z grup G wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego g G zachodzi A g P = P A g. Wtedy zachodzi nast puj ce twierdzenie Rudina Twierdzenie 1.7 [37]. Niech zwarta grupa topologiczna G dziaªa jako grupa operatorów na przestrzeni Banacha X. Zaªó»my,»e podprzestrze«y przestrzeni X jest niezmiennicza wzgl dem grupy G. Wtedy, je±li istnieje projekcja z przestrzeni X na Y, to dla ka»dego ε > 0 istnieje projekcja Q, która jest przemienna z grup G i taka,»e Q (λ(x, Y ) + ε) sup g 2. g G 5

7 Dla dowolnej ustalonej projekcji P P(X, Y ) o wªasno±ci P λ(x, Y )+ε szukana projekcja Q jest zdeniowana wzorem Q(x) = G gp g 1 (x)dg, dla x X. Symbol dg oznacza probabilistyczn miar Haara na grupie G. W szczególno±ci, je±li dla ka»dego elementu g G operatory A g s izometriami, wtedy zachodzi nast puj ce Twierdzenie 1.8 Niech zwarta grupa topologiczna G dziaªa jako grupa operatorów na przestrzeni Banacha X. Zaªó»my,»e podprzestrze«y przestrzeni X jest niezmiennicza wzgl dem grupy G. Ponadto niech dla ka»dego g G operator A g b dzie izometri na X. Wtedy, je±li istnieje dokªadnie jedna projekcja P P(X, Y ) przemienna z grup G, to projekcja ta jest minimalna i kominimalna. Powy»sze rozumowanie nie implikuje,»e projekcja ta jest jedyna. Mo»e si bowiem zdarzy,»e istnieje wiele projekcji nieprzemiennych z grup G o minimalnej normie. Twierdzenie 1.8 wyrosªo z dowodu twierdzenia o minimalno±ci projekcji Fouriera, przypadek ten byª jego pierwszym zastosowaniem. Przejd¹my teraz do twierdze«dotycz cych jedyno±ci projekcji. Dla dowolnej przestrzeni unormowanej X przez S(X) oznaczamy sfer jednostkow a przez B(X) domkni t kul jednostkow. Przestrze«unormowan (X, ) nazywamy gªadk wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego punktu x S(X) istnieje dokªadnie jeden funkcjonaª f x S(X ) taki,»e f x (x) = x. Punktem ekstremalnym zbioru K nazywamy ka»dy punkt ze zbioru K, nie b d cy ±rodkiem»adnego odcinka o ko«cach b d cych dwoma ró»nymi punktami zbioru K. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru K oznaczamy przez extk. Zachodzi znane twierdzenie Twierdzenie 1.9 [27]. Niech X b dzie gªadk przestrzeni Banacha a Y dowoln jej podprzestrzeni. Wtedy je±li istnieje projekcja z X na Y o normie równej jeden, to projekcja ta jest jedyna. Podprzestrze«Y przestrzeni unormowanej X nazwiemy sªabo oddzielaj c, je»eli ka»dy punkt ekstremalny sfery jednostkowej S(Y ) ma jedyne rozszerzenie do punktu ze sfery jednostkowej S(X ). 6

8 Twierdzenie 1.10 [12]. Niech Y b dzie sªabo oddzielaj c podprzestrzeni przestrzeni unormowanej X. Wtedy je»eli istnieje projekcja z X na Y o normie równej jeden, to projekcja ta jest jedyna. Inne rezultaty dotycz ce problemów istnienia, jedyno±ci, oszacowania relatywnej staªej projekcji mo»na znale¹ w [1], [2], [4], [5], [8], [9], [13], [16], [18], [19], [21], [20], [22], [33], [35], [38]. Oznaczmy przez z norm B(X) = { T : X X : T jest liniowy i ci gªy }, A = sup Ax, x =1 dla A B(X). Operator A B(X) jest zwarty, je±li domkni cie zbioru A (B (X)) jest zwarte w X. Oznaczmy przez z norm K(X) = { T B(X) : T jest zwarty }, A = sup Ax, x =1 dla A K(X). Przejd¹my teraz do omówienia gªównych wyników pracy. Praca ta skªada si z sze±ciu rozdziaªów. W drugim rozdziale pracy w lemacie?? podana zostaªa ogólna posta projekcji na pewne podprzestrzenie o kowymiarze niesko«czonym. Korzystaj c z lematu?? w podrozdziale drugim zostaªa wyznaczona projekcja minimalna i norma tej projekcji z przestrzeni funkcji ci gªych na odcinku [0, 1] na podprzestrze«y funkcji, które zeruj si na ci gu {x n } n=1 [0, 1] monotonicznie zbie»nym do jedno±ci (twierdzenia??,??,??,??). Gªównymi twierdzeniami w tej pracy s nast puj ce Twierdzenie 1.11 [30]. Niech H b dzie o±rodkow i rzeczywist przestrzeni Hilberta. Wtedy istnieje dokªadnie jedna projekcja P a P (K(H), Y ) o normie równej jeden, gdzie Y = { A K(H) : A = A T }. 7

9 Projekcja ta wyra»a si wzorem P a (A) = A + AT 2 dla dowolnego operatora A ze zbioru K(H), oczywi±cie A T oznacza operator sprz»ony do A. Projekcj P a nazywamy projekcj u±redniania. Dowód tego twierdzenia skªada si z dwóch cz ±ci. Pierwsza cz ± to twierdzenie?? dotycz ce przypadku, gdy H jest niesko«czenie wymiarow, rzeczywist i o±rodkow przestrzeni Hilberta. Druga cz ± to twierdzenie?? dotycz ce przypadku, gdy H jest rzeczywist, sko«czenie wymiarow przestrzeni Hilberta. Twierdzenie 1.12 Niech H b dzie o±rodkow, rzeczywist przestrzeni Hilberta. Niech Q P (U(H), Y 1 ) b dzie dowoln projekcj o normie równej jeden, gdzie U(H) = { A B(H) : A A T jest zwarty }, Wtedy Q wyra»a si wzorem Y 1 = { A B(H) : A = A T }., dla A U(H). Q(A) = A + AT 2, W rozdziale czwartym koncentrujemy si na przestrzeni macierzy kwadratowych z norm generowan przez norm symetryczn. Bardziej szczegóªowo, niech X n = {A: R n R n : A jest liniowe}, Y n = { A X n : A = A T }. Po ustaleniu w przestrzeni R n bazy kanonicznej, ka»dy element z przestrzeni X n jest macierz kwadratow o wymiarze n. Powiemy,»e norma na przestrzeni R n jest symetryczna, je±li speªnia warunek n n a i e i = ε i a σ(i) e i, i=1 8 i=1

10 dla dowolnych a i R, dowolnej permutacji σ zbioru {1,..., n}, dowolnych ε i { 1, 1}. Oczywi±cie, e i, to i-ty wektor bazy kanonicznej w przestrzeni R n. Powiemy,»e norma na przestrzeni X n jest generowana przez norm symetryczn na przestrzeni R n wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje norma 0 symetryczna na przestrzeni R n i taka,»e A = sup Ax 0, x 0 =1 dla dowolnej macierzy A X n. Gªównym rezultatem w rozdziale czwartym jest nast puj ce Twierdzenie 1.13 [31]. Je±li w przestrzeni unormowanej (X n, ) norma macierzy jest generowana przez norm symetryczn na przestrzeni R n, to projekcja u±redniania P a P(X n, Y n ) okre±lona wzorem P a (A) = A + AT 2 dla A X n, jest projekcj minimaln. W rozdziale tym zostaªa wyliczona norma projekcji u±redniania w przypadku normy macierzy generowanej przez normy 1, (twierdzenie??, twierdzenie??). Wykazano równie»,»e je±li norma macierzy nie jest generowana przez norm symetryczn, to projekcja u±redniania nie jest minimalna (twierdzenie??). Wyniki rozdziaªu trzeciego zostaªy opublikowane w [30]. Natomiast wyniki z rozdziaªu czwartego opublikowano w [31]., 9

11 Literatura [1] M. Baronti, P. Papini, Norm one projections onto subspaces of l p, Ann. Mat. Pura Appl. 152 (1988), [2] J. Blatter, E. W. Cheney, Minimal projections onto hyperplanes in sequence spaces, Ann. Mat. Pura Appl. 101 (1974), [3] H. F. Bohnenblust, Subspaces of l p,n -spaces, Amer. J. Math. 63 (1941), [4] B. L. Chalmers, G. Lewicki, Symmetric spaces with maximal projections constants, J. Funct. Anal. 200 (1) (2003), [5] B. L. Chalmers, G. Lewicki, Symmetric subspaces of L 1 with large projections constants, Studia Math. 134 (1999), [6] B. L. Chalmers, D. Mupasiri and M. Prophet, A characterization and equations for shape-preserving projections, Journ. Approx. Th. vol. 138 (2006), [7] B. L. Chalmers, F. T. Metcalf, The determination of minimal projections and extensions in L 1, Trans. Amer. Math. Soc. 329 (1992), [8] E. W. Cheney, P. D. Morris, On the existence and characterization of minimal projections, J. Reine Angew. Math. 270 (1974), [9] E. W. Cheney, W. A. Light, Approximation Theory in Tensor Product Spaces, Lectures Notes in Math. vol 1169, Springer-Verlag, Berlin (1985). [10] E. W. Cheney, C. R. Hobby, P. D. Morris, F. Schurer and D. E. Wulbert, On the minimal property of Fourier projection, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), [11] E. W. Cheney, C. R. Hobby, P. D. Morris, F. Schurer and D. E. Wulbert, On the minimal property of Fourier projection, Trans. Amer. Math. Soc. 143 (1969), [12] E. W. Cheney, K. H. Price, Minimal projections in Approximation Theory, Proc. Symp. Lancaster, July 1969, London (1970), Trans. Amer. Math. Soc. 143 (1969), [13] H. B Cohen, F. E. Sullivan, Projections onto cycles in smooth, reexive Banach spaces, Pac. J. Math. 265 (1981),

12 [14] H. S. Collins, W. Ruess, Weak compactness in spaces of compact operators and of vector-valued functions, Pac. J. Math. 106 (1983), [15] S. D. Fisher, P.D. Morris, D.E. Wulbert, Unique minimality of Fourier projections, Trans. Amer. Math. Soc. 265 (1981), [16] C. Franchetti, Projections onto hyperplanes in Banach spaces, J. Approx. Theory 38 (1983), [17] J. R. Isbell, Z. Semadeni, Projections constants and spaces of continuous functions, Trans. Amer. Math. Soc. 107 no. 1 (1963), [18] J. E. Jamison, A. Kaminska and G. Lewicki, One-complemented subspaces of Musielak-Orlicz sequence spaces, Journ. Approx. Th. vol. 130, (2004), [19] H. Koenig, Spaces with large projections constants, Isreal J. Math. 50 (1985), [20] H. Koenig, N. Tomczak-Jaegermann, Norms of minimal projections, J. Funct. Anal. 119 (1994), [21] H. Koenig, N. Tomczak-Jaegermann, Bounds for projection constants and 1-summing norms, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), [22] G. Lewicki, Best approximation in spaces of bounded linear operators, Dissertations Math. 330 (1994), [23] G. Lewicki, On the unique minimality of the Fourier type-type extensions in L 1 space, in: "Proceedings Fifth Internat. Conf. On Function Spaces, Poznan 1998", Lect. Not. Pure and Applied Math. 213 (1998), [24] G. Lewicki, G. Marino and P. Pietramala, Fourier-type minimal extensions in real L 1 -space, Rocky Mount.J.Math. 30 no.3 (2000), [25] G. Lewicki, M. Prophet, Codimension-one minimal projections onto Haar subspaces, Journ. Approx. Th. vol. 127 (2004), [26] G. Lewicki, M. Prophet, Minimal multi-convex projections, Studia Math. 178 (2007), [27] G. Lewicki, L. Skrzypek, Chalmers-Metcalf operator and uniqueness of minimal projections, Journ. Aprox. Th. 148 (2007), [28] P. V. Lambert, Minimum norm property of the Fourier projection in spaces of continuous function Bull. Soc. Math. Belg. 21 (1969),

13 [29] P. V. Lambert, Minimum norm property of the Fourier projection in spaces of L 1 -spaces Bull. Soc. Math. Belg. 21 (1969), [30] D. Mielczarek, The unique minimality of an averaging projection, Monatsch. Math. 154 (2008), [31] D. Mielczarek, Minimal projections onto spaces of symmetric matrices, Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica 44 (2006), [32] J. Musielak, Wst p do analizy funkcjonalnej, PWN (1989). [33] Wª. Odyniec, G. Lewicki, Minimal projections in Banach Spaces, in: Lectures Notes in Mathematics, Vol. 1449, Springer, Berlin, Heildelberg, New York, [34] R. Phelps, Lectures on Choquet's Theorem, in: D.Van Nistrand Company, Vol. 1449, Springer, New York [35] B. Randriannantoanina, One-complemented subspaces of real sequence spaces, Results Math. (33) (1998), [36] S. Rolewicz, On minimal projections of the spaces L 1 ([0, 1]) on 1- codimensional subspace, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 34 (1996), [37] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN (2002). [38] L. Skrzypek, Uniqueness of minimal projections in smooth matrix spaces, J. Approx. Theory (107) (2000), [39] L. Skrzypek, B. Shekhtman, Uniqueness of minimal projections onto two-dimensional subspaces, Studia Math. (168) (2005), [40] L. Skrzypek, B. Shekhtman, Norming points and unique minimality of orthogonal projections, Abstract and Applied Analysis (2006), [41] L. Skrzypek, On the uniqueness of norm-one projection in James-type spaces generated by lattice norms, East Journal an Approximations (6) (2000), [42] A. Sobczyk, Projections of the space (m) on its subspace c 0, Bull. Amer. Math. Soc. 47 (1941), [43] P. Wojtaszczyk, Banach Spaces For Analysts, Cambridge Univ. Press,