WAI Wykłady 3 i 4. Sieci neuronowe. Uczenie i zastosowania. Wstęp do logiki rozmytej.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WAI Wykłady 3 i 4. Sieci neuronowe. Uczenie i zastosowania. Wstęp do logiki rozmytej."

Transkrypt

1 WAI Wykłady 3 i 4. Sieci neuronowe. Uczenie i zastosowania. Wstęp do logiki rozmytej. Literatura: S. Osowski, Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. WNT, Warszawa 997. D. Rutkowska, M. Piliński i L. Rutkowski, Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte, PWN, Warszawa 997 R. Tadeusiewicz, Sieci neuronowe. Akademicka Oficyna Wydawnicza RM, Warszawa, 993, 999 Żurada Jacek, Barski Mariusz, Jędruch Wojciech, Sztuczne sieci neuronowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 996.

2 Perceptron - przypomnienie x x 2 x n w w 2 w n y = wi xi θ 0 w p. p. y

3 Przypomnienie.Jak opisać perceptron? Co charakteryzuje perceptron? Perceptron jest opisywany jednoznacznie przez zbiór wag w,...,w n R oraz wartość progowa θ R Wartości x,...,x n R to zmienne pojawiające się na wejściu do perceptronu Funkcja aktywacji: wi xi θ y = 0 otherwise

4 Uczenie perceptronu Przykład: rozpoznawanie znaków 36 wejść Wyjście:, jeśli na wejściu pojawia się litera A, zaś 0 w p.p. Siatka 6 6 Zadanie: dobrać wagi wejść i wartość progową tak, by uzyskać zaplanowany efekt Dane testowe Dane treningowe (znane odpowiedzi) Dobór wag (uczenie) Odpowiedź

5 Wejście: Proces uczenia: Inicjujemy wagi losowo Dla każdego przykładu, jeśli Uczenie perceptronu, n=2 Ciąg przykładów uczących ze znanymi odpowiedziami odpowiedź jest nieprawidłowa, to w + = α x w 2 + = α x 2 θ = α w (k+)= w (k) + w +, podobnie dla w 2, θ(k+)= θ(k) θ, k-krok iteracji, epoka [w,w 2 ] gdzie α jest równe różnicy odpowiedzi sieci i prawidłowej odpowiedzi.

6 Uczenie perceptronu Często α mnoży się dodatkowo przez niewielki współczynnik uczenia Po wyczerpaniu przykładów, zaczynamy proces uczenia od początku, dopóki następują jakiekolwiek zmiany wag połączeń Próg θ można traktować jako wagę dodatkowego wejścia o wartości -: (zawsze -) x 2 3 θ = 3 2 (θ = 0) x 2-4 x x 2-4

7 Przykład: Uczenie neuronu Zbiór punktów na wykresie jest liniowo separowalne. Funkcja aktywacji: y = wi xi θ otherwise

8 Niech w =, w 2 =, θ =, wsp. uczenia η= Pierwszy przykład jest dobrze, ale drugi nie, modyfikujemy zatem wagi: w + = (- - ) 9.4 w 2 + = (- - ) 6.4 θ = (- - ) Otrzymamy w = w 2 = θ = 3 Drugi przykład jest dobry, ale trzeci nie

9 Uczenie perceptronu Opisany schemat jest w miarę przejrzysty tylko dla pojedynczych perceptronów, lub niewielkich sieci Ciężko jest stosować reguły tego typu dla skomplikowanych modeli Tymczasem np. do rozpoznawania wszystkich liter potrzeba by sieci złożonej z 26 takich perceptronów

10 Sieci perceptronów Dendrites Nodes Synapses Axon Synapses (weights) Ograniczenia pojedynczych perceptronów spowodowały w latach 80-tych wzrost zainteresowania sieciami wielowarstwowymi i opracowanie algorytmu ich uczenia (propagacja wsteczna)

11 SIECI PERCEPTRONÓW Potrafią reprezentować dowolną funkcję boolowską (opartą na rachunku zdań) p θ = 2-2 θ = p XOR q q

12 SIECI WIELOWARSTWOWE Wyjścia neuronów należących do warstwy niższej połączone są z wejściami neuronów należących do warstwy wyższej np. metodą każdy z każdym Działanie sieci polega na liczeniu odpowiedzi neuronów w kolejnych warstwach Nie jest znana ogólna metoda projektowania optymalnej architektury sieci neuronowej

13 Funkcje aktywacji Progowe,2 f ( s) = s 0 0 s < 0 0,8 0,6 0,4 0, ,2,2 Sigmoidalne 0,8 0,6 0,4 0, f ( s) s = + e

14 FUNKCJE AKTYWACJI (2) Unipolarne,2 f ( s) s = + e 0,8 0,6 0,4 0, ,5 0,5 Bipolarne ,5 - f 2 + e ( s) = s -,5

15 FUNKCJE AKTYWACJI (3),2 0,8 0,6 0,4 0, f α ( s) α s = + e α = 2.0 α =.0 α = 0.5 lim α 0 f α ( s) = 0.5 lim f ( s) α + α = s s s > = < 0 0 0

16 FUNKCJE AKTYWACJI (4) f θ, α + e ( s) = α ( s θ ),2 0,8 0,6 θ = 2 α =.5 0,4 0,

17 FUNKCJE AKTYWACJI (5) Zasady ogólne: Ciągłość (zachowanie stabilności sieci jako modelu rzeczywistego) Różniczkowalność (zastosowanie propagacji wstecznej błędu) Monotoniczność (intuicje związane z aktywacją komórek neuronowych) Nieliniowość (możliwości ekspresji)

18 SIECI NEURONOWE Potrafią modelować (dowolnie dokładnie przybliżać) funkcje rzeczywiste (z tw. Kołmogorowa) n y = f w 0 + w x i i= i Σ f ( s) s = + e funkcja aktywacji

19 Sieć tworzy teksturę SIECI NEURONOWE Σ

20 SIECI NEURONOWE

21 SIECI JAKO FUNKCJE ZŁOŻONE () x v f w x2 v2 v2 v22 f2 w2 g y ( ( ) ( )) y = g w f v x v x w f v x v x y = Network ( ) x, x 2

22 SIECI JAKO FUNKCJE ZŁOŻONE (2) g f2 f x x y ( ) ( ) ( ) ( ) < = x x x x x x x x e e e e y

23 SIECI JAKO FUNKCJE ZŁOŻONE (3) x v f w x2 v2 v2 v22 f2 w2 g y = =Network(x,x2) Jeśli wszystkie poszczególne funkcje aktywacji są liniowe, to funkcja Network jest również liniowa (małe znaczenie w praktyce) Architektura wielowarstwowa daje zatem nowe możliwości tylko w przypadku stosowania funkcji nieliniowych

24 SIECI JAKO FUNKCJE ZŁOŻONE przypadek liniowy x x2 v2 v2 v v22 Niech f i (x,x2) = a i *(x*v i + x2*v i 2) + b i g(z,z2) = a*(z*w + z2*w2) + b Wtedy Network(x,x2) = A*x + A2*x2 + B Np.: A = a*(a*v*w + a2*v2*w2) f f2 w w2 g y

25 PROPAGACJA WSTECZNA BŁĘDU () Chcemy wytrenować wagi połączeń między kolejnymi warstwami neuronów. Jest to tzw. proces adaptacji wag. Jego algorytm odpowiada zadaniu minimalizacji funkcji błędu. Jest to uczenie pod nadzorem, zwane z nauczycielem, gdyż mamy zbiór danych trenujących. Inicjujemy wagi losowo (na małe wartości) Dla danego wektora uczącego obliczamy odpowiedź sieci (warstwa po warstwie) Każdy neuron wyjściowy oblicza swój błąd, odnoszący się do różnicy pomiędzy obliczoną odpowiedzią y oraz poprawną odpowiedzią t. Następnie ten błąd jest rozkładany na poszczególne połaczenia, zaczynając od połączenia wyjściowego.

26 PROPAGACJA WSTECZNA BŁĘDU (2) dane uczące odpowiedź sieci y błąd d właściwa odpowiedź t Błąd sieci definiowany jest zazwyczaj jako d = 2 ( y t) 2

27 PROPAGACJA WSTECZNA BŁĘDU (3) Oznaczmy przez: f: R R funkcję aktywacji w neuronie w,..., w K wagi połączeń wchodzących z,..., z K sygnały napływające do neuronu z poprzedniej warstwy Błąd neuronu traktujemy jako funkcję wag połączeń do niego prowadzących: d( w ) ( ( ) ) 2,..., wk = f w z wk zk t 2

28 PRZYKŁAD () Rozpatrzmy model, w którym: Funkcja aktywacji przyjmuje postać f + e ( s ) = 3 s + Wektor wag połączeń = [;-3;2] ( 2 ) Załóżmy, że dla danego przykładu: Odpowiedź powinna wynosić t = 0.5 Z poprzedniej warstwy dochodzą sygnały [0;;0.3]

29 PRZYKŁAD (2) Liczymy wejściową sumę ważoną: s = w x + w2 x2 + w3x3 = 0 + ( 3) = 2.4 Liczymy odpowiedź neuronu: y Błąd wynosi: ( s) = 2 + e + e = f 3 + d = ( ) = ( )

30 IDEA ROZKŁADU BŁĘDU Musimy rozłożyć otrzymany błąd na połączenia wprowadzające sygnały do danego neuronu Składową błędu dla każdego j-tego połączenia określamy jako pochodną cząstkową funkcji błędu d(x,y,t) względem j-tej wagi Składowych tych będziemy mogli użyć do zmodyfikowania ustawień poszczególnych wag połączeń

31 IDEA ROZKŁADU BŁĘDU (2) Załóżmy, że mamy neuron z wagami w 0 =0, w =2, w 2 =3. Mamy dane wektor wejściowy: [0.3, 0.7], przy czym oczekiwana odpowiedź to t=. Jak należy zmienić wagi, aby błąd był jak najmniejszy? Możemy błąd przedstawić jako funkcję w, w 2 : x w x 2 n y = f w0 + w i x f w 2 ( s) s = + e i= y i błąd -2 0 Wagi powinniśmy zmienić się w kierunku spadku wartości błędu wartość błędu dla wag [2, 3]

32 KIERUNEK ZMIANY WAG Jeśli rozważymy większą liczbę przykładów, funkcja średniego błędu będzie miała bardziej skomplikowany kształt. [0.3, 0.7], t= [0.2, 0.9], t=0. [-0.6, ], t= [0, -0.8], t=0.5 [0.6, ], t= Nachylenie wykresu w danym punkcie (odpowiadającym aktualnym wartościom wag) dane jest przez gradient, czyli wektor pochodnych cząstkowych. Zmiana wag powinna nastąpić w kierunku przeciwnym.

33 ( ) ( ) j z s f t y ' OBLICZANIE POCHODNEJ ( ) = j K w w w d,..., ( ) ( ) K K t z w w z f ( ) ( ) ( ) j K K w z w w z s s f y t y + + = ( ) ( ) j K K w t z w w z f + + =... 2

34 Idea: PROPAGACJA WSTECZNA BŁĘDU Wektor wag połączeń powinniśmy przesunąć w kierunku przeciwnym do wektora gradientu błędu (z pewnym współczynnikiem uczenia η) Możemy to zrobić po każdym przykładzie uczącym, albo sumując zmiany po kilku przykładach. Realizacja: w ( ) ( ) j = η t y f ' s z j Prosty przykład: wagi w =, w 2 =, dane wejściowe: [0.5, 0.5], t =. Funkcja sigmoidalna: f ( s) s = f ( s ) + e więc: s ( + e ) 2 Stąd: s = =, y = 0.73, zmiana w= (- 0.73) * 0.9 * 0.5 = A więc nowe wagi to.026. Ten sam przykład da tym razem odpowiedź y= = e s

35 w PROPAGACJA WSTECZNA BŁĘDU (2) Błędy są następnie propagowane w kierunku poprzednich warstw. Wprowadźmy pomocniczo współczynnik błędu δ zdefiniowany dla ostatniej warstwy jako: błąd δ w 2 błąd δ błąd δ 2 δ = f ( s) δ = ( t y) a dla pozostałych warstw: n f ( s ) δ i= w i czyli neuron w warstwie ukrytej zbiera błąd z neuronów, z którymi jest połączony. Zmiana wag połączeń następuje po fazie propagacji błędu i odbywa się według wzoru: w = η δ Oznaczenia: w - waga wejścia neuronu, z - sygnał wchodzący do neuronu danym wejściem, δ - współczynnik błędu obliczony dla danego neuronu, s - wartość wzbudzenia (suma wartości wejściowych pomnożonych przez wagi) dla danego neuronu. z i

36 Zadania sprawdzające:. Co charakteryzuje prosty perceptron? 2. Podać inną funkcję logiczną niż XOR, której nie potrafi obliczyć sieć neuronowa. 3. Jaką własność posiada każda funkcja aktywacji? 4. Co to jest równanie perceptronowe? Jakie jest jego znaczenie? 5. Co potrafi zrobić pojedyńczy neuron?

37 Co potrafi układ perceptronów? Klasyfikować punkty na płaszczyźnie należące do kilku różnych obszarów Jeśli funkcje decyzyjne neuronów w warstwie wewnętrznej są afiniczne, to rożne obszary są rozdzielane prostymi (ogólnie: hiperpłaszczyznami w przestrzeni n- wymiarowej). Układ perceptronów, który jest już siecią neuronową perceptronową realizuje klasyfikator.

38 ROZPOZNAWANIE WZORCÓW Wzorce: obrazy, nagrania, dane personalne, sposoby prowadzenia pojazdu, etc. Reprezentacja wzorca: Wektor cech (wejść do sieci neuronowej) Klasyfikacja wzorców: Klasyfikacja do jednej z istniejących klas Formowanie klas wzorców, tutaj sieć samoorganizująca się, np.art, Kohonena, uczenie bez nauczyciela Asocjacyjne odtwarzanie wzorców, tutaj sieć Hopfielda: każdy neuron połączony z każdym Odtwarzanie wzorców podobnych Uzupełnianie wzorców Odzyskiwanie (czyszczenie) wzorców

39 Przykład zagadnienia praktycznego Znaleźć, odczytać i zapamiętać numer rejestracyjny samochodu na podstawie zdjęcia:

40 Odczytywanie tablic rejestracyjnych (2) Wyselekcjonowany obszar Lokalizacja znaków Rozpoznawanie znaków: - znajdowanie istotnych cech liczbowych - klasyfikacja na podstawie cech (systemy uczące się)

41 Wykorzystywane technik sztucznej inteligencji i ich narzędzi Sieci neuronowe Wnioskowanie, indukcja reguł Algorytmy ewolucyjne Systemy wieloagentowe (współpraca) Automaty komórkowe Metody przeszukiwania możliwych rozwiązań i ich optymalizacji...

42 PRZYKŁADOWE POLE DO POPISU Analiza dźwięku, obrazu, bądź danych multimedialnych, nie może opierać się ani wyłącznie na sieciach neuronowych, ani na, np., drzewach decyzyjnych czy AG. Konieczne jest połączenie metod numerycznych, naśladujących działanie ludzkich zmysłów, z metodami symbolicznymi, naśladującymi ludzkie rozumowanie.

43 Zbiory rozmyte Sposób formalnego opisu nieprecyzyjności Literatura. Piegat A. Modelowanie i sterowanie rozmyte. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT Warszawa Rutkowska D., Piliński M, Rutkowski L. Sieci neuronowe, algorytmy genetyczne i systemy rozmyte. Wyd. Naukowe PWN Warszawa 997

44 Zbiory rozmyte naśladowanie ludzkiej nieprecyzyjnej oceny otoczenia Ludzie patrzą na świat nieprecyzyjnie: bardzo zimno, szybko, niedaleko Ludzie potrafią radzić sobie mimo nieprecyzyjnej oceny nawet w ekstremalnych sytuacjach : przechodzenie przez jezdnię, sterowanie samolotem

45 Przynależność do zbioru Zbiory klasyczne przynależność całkowita Czy duży stos kamieni przestanie być dużym stosem kamieni, gdy zabierzemy jeden? A jak dwa, a jak 22? Czy po zabraniu części kamienia myślimy o dużym stosie jako o nieco mniejszym? Czy cena za produkt 3,99 jest w codziennym życiu równoważna cenie 4,00? Zbiory rozmyte przynależność częściowa Przestrzeń zbiorów klasycznych jest podzbiorem przestrzeni zbiorów rozmytych, poprzez funkcję charakterystyczną tego zbioru, jako szczególnym przypadkiem funkcji przynależności zbioru rozmytego

46 Zbiór klasyczny jak jednoznacznie opisać? Funkcja charakterystyczna - odpowiednik zbioru klasycznego Funkcja charakterystyczna zbioru A: χ A Presztrzeń X Przedział (zbiór) A X

47 Definicje DEFINICJA Zbiorem rozmytym A na pewnej przestrzeni X, nazywamy zbiór par: A={(x, µ A (x))} x X gdzie: µ A jest funkcją, która przypisuje każdemu elementowi x X (przyjętej przestrzeni rozważań X) jego stopień przynależności do zbioru A, przy czym: µ A : X [0,], zatem µ A (x) [0,]. Można to odebrać jako zdanie w logice wielowartościowej, gdzie 0 fałsz, - prawda.

48 Funkcja µ A nazywana jest funkcją przynależności, zaś jej wartość dla danego argumentu nazywana jest stopniem przynależności x do zbioru rozmytego A. Stopień przynależności określa, w jakim stopniu rozpatrywany argument należy do zbioru rozmytego A. Można zauważyć,że funkcja µ A wraz z dziedziną jednoznacznie wyznaczają zbiór A. Zbiór rozmyty, którego funkcja przynależności osiąga wartość dla co najmniej jednego elementu nazywany jest zbiorem rozmytym normalnym.

49 Dla każdego zbioru rozmytego wyznacza się często jego integralny parametr pomocny przy określaniu i analizie różnych własności - nośnik (ang. support). DEFINICJA Nośnikiem zbioru rozmytego A w X jest zbiór nierozmyty oznaczany jako supp(a) i określony następująco: supp(a)={x: µ A (x) > 0}. Inaczej mówiąc, nośnikiem nazywamy taki podzbiór dziedziny funkcji przynależności, dla którego elementów, wartości funkcji są większe od zera.

50 µ A Przykład zbioru rozmytego () Zbiór rozmyty reprezentujący określenie ciepła pogoda. T[ C]

51 µ A Przykład zbioru rozmytego (2) Zbiór rozmyty reprezentujący określenie ciepła pogoda. T[ C]

52 Przykład zbioru rozmytego (3) 0,8 0,6 0,4 0,2 µ A Zbiór rozmyty (dyskretny) reprezentujący określenie sympatyczne zwierzę. Gatunek zwierząt rekin koń pies kot owca kura mucha

53 Działania na zbiorach rozmytych Istnieją różne sposoby definiowania działań na zbiorach rozmytych. Tutaj zostaną omówione te zaproponowane przez Zadeha w 965r. zwane działaniami mnogościowymi. Sumą zbiorów rozmytych A i B z funkcjami przynależności (odpowiednio µ A i µ B ) określonymi na tym samym zbiorze X nazywamy zbiór C wyznaczony przez funkcję przynależności µ C gdzie x X. µ C (x)= µ A B (x) = max(µ A (x), µ B (x))

54 A B A+B

55 Iloczynem (przecięciem) zbiorów rozmytych A i B z funkcjami przynależności (odpowiednio µ A i µ B ) określonymi na tym samym zbiorze X nazywamy zbiór C wyznaczony przez funkcję przynależności µ C µ C (x)= µ A B (x) = min(µ A (x), µ B (x)) gdzie x X.

56 A B A B

57 Dopełnieniem zbioru A określonego na przestrzeni X jest zbiór rozmyty A wyznaczony przez funkcję przynależności µ A gdzie x X. µ A (x) = - µ A (x)

58 A A

59 Własności działań w klasycznej teorii zbiorów Inwolucja (podwójna negacja) A= ( A) Przemienność A B = B A A B = B A Łączność (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Rozdzielność A (B C) = (A B) (A C) Idempotencja A (B C) = (A B) (A C) A = A A, A = A A Pochłanianie (absorpcja) A (A B) = A A (A B) = A

60 Pochłanianie dopełnienia Pochłanianie przez i U Identyczność Prawo zaprzeczenia Prawo wyłączonego środka A ( A B) = A B A ( A B) = A B A U = U A = A = A A U = A A A = A A = U Prawa de Morgana (A B) = A B (A B) = A B U uniwersum do którego należą rozważane zbiory A, B i C - zbiór pusty, jego funkcja charakterystyczna jest stała i równa zero

61 Własności spełniane przez działania mnogościowe na zbiorach rozmytych Inwolucja Przemienność Łączność Rozdzielność Idempotencja Pochłanianie Pochłanianie dopełnienia Pochłanianie przez i U Identyczność Prawo zaprzeczenia Prawo wyłączonego środka Prawa de Morgana tak tak tak tak tak tak nie tak tak nie nie tak

62 Operatory t-normy i s-normy normy trójkątne Istnieją różne rodzaje działań, które można nazywać sumą lub iloczynem zbiorów. Warunki, które muszą być spełnione, by dane działanie było sumą nazywane są s-normą, iloczynem t-normą. Ogólnie nazywa się je normami trójkątnymi. s-normą nazywa się funkcję S: [0, ] [0, ] [0, ] taką, że dla każdego a, b, c [0, ] spełnione są warunki o łączność S(S(a, b),c) = S(a, S(b, c)) o przemienność S(a, b) = S(b, a) o monotoniczność dla b c zachodzi S(a, b) S(a, c) o warunek brzegowy (element neutralny) S(a, 0) = a

63 t normą nazywa się funkcję T: [0, ] x [0, ] [0, ] niemalejącą (monotoniczną) oraz spełniającą warunki łączności, przemienności (jak w przypadku s-normy), a także warunek brzegowy: T(a,) = a Dla każdej konkretnej normy trójkątnej istnieje norma do niej dualna inaczej nazywana jej ko-normą. Warunkiem tego, by s-norma była dualna do danej t-normy (i na odwrót) jest spełnianie poniższych zależności: S(a,b) = -T(-a,-b) T(a,b) = -S(-a,-b), które można rozpatrywać jak uogólnienie praw de Morgana.

64 Przykładowe często wykorzystywane normy trójkątne: Norma maksyminowa t norma minimum: T(a, b) = a b = min (a, b) s norma maksimum: S(a, b) = a b = max(a, b) Norma Larsena t norma - iloczyn algebraiczny: T(a, b) = a b s norma - iloczyn probablistyczny: S(s, b) = a + b (a b) Mimo, iż normy trójkątne podają ogólne warunki, jakie musi spełniać dane działanie, by można je było nazwać dodawaniem lub mnożeniem, to są wygodnym narzędziem służącym do definiowania działań także na zbiorach rozmytych (zatem także liczbach rozmytych).

65 Przykładowe częściej wykorzystywane normy trójkątne: Norma maksyminowa t norma minimum: T(a, b) = a b = min (a, b) s norma maksimum: S(a, b) = a b = max(a, b) Norma Larsena t norma - iloczyn algebraiczny: T(a, b) = a b s norma - iloczyn probabilistyczny: S(s, b) = a + b (a b) Mimo, iż normy trójkątne podają ogólne warunki, jakie musi spełniać dane działanie, by można je było nazwać dodawaniem lub mnożeniem, to są wygodnym narzędziem służącym do definiowania działań na zbiorach rozmytych (zatem także liczbach rozmytych, które są szczególnym przypadkiem gdy X=R).

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe.

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. zajecia.jakubw.pl/nai Literatura: S. Osowski, Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. WNT, Warszawa 997. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA TECHNICZNE AI

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z inteligentnymi

Bardziej szczegółowo

Metody Sztucznej Inteligencji II

Metody Sztucznej Inteligencji II 17 marca 2013 Neuron biologiczny Neuron Jest podstawowym budulcem układu nerwowego. Jest komórką, która jest w stanie odbierać i przekazywać sygnały elektryczne. Neuron działanie Jeżeli wartość sygnału

Bardziej szczegółowo

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji.

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. 8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. W tym ćwiczeniu zapoznamy się z modelem sztucznego neuronu oraz przykładem jego wykorzystania do rozwiązywanie prostego zadania klasyfikacji. Neuron biologiczny i

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne 1 Nazwa modułu kształcenia Sztuczna inteligencja 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia

Bardziej szczegółowo

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów: Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów

Bardziej szczegółowo

Podstawy sztucznej inteligencji

Podstawy sztucznej inteligencji wykład 5 Sztuczne sieci neuronowe (SSN) 8 grudnia 2011 Plan wykładu 1 Biologiczne wzorce sztucznej sieci neuronowej 2 3 4 Neuron biologiczny Neuron Jest podstawowym budulcem układu nerwowego. Jest komórką,

Bardziej szczegółowo

INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE

INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Temat: Podstawowe pojęcia z logiki rozmytej Instrukcja do ćwiczeń przedmiotu INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Dr inż. Barbara Mrzygłód KISiM, WIMiIP, AGH mrzyglod@ agh.edu.pl 1 Wprowadzenie Sterowanie

Bardziej szczegółowo

Sztuczne Sieci Neuronowe. Wiktor Tracz Katedra Urządzania Lasu, Geomatyki i Ekonomiki Leśnictwa, Wydział Leśny SGGW

Sztuczne Sieci Neuronowe. Wiktor Tracz Katedra Urządzania Lasu, Geomatyki i Ekonomiki Leśnictwa, Wydział Leśny SGGW Sztuczne Sieci Neuronowe Wiktor Tracz Katedra Urządzania Lasu, Geomatyki i Ekonomiki Leśnictwa, Wydział Leśny SGGW SN są częścią dziedziny Sztucznej Inteligencji Sztuczna Inteligencja (SI) zajmuje się

Bardziej szczegółowo

Inteligencja obliczeniowa

Inteligencja obliczeniowa Ćwiczenie nr 1 Zbiory rozmyte logika rozmyta Tworzenie: termów zmiennej lingwistycznej o różnych kształtach, modyfikatorów, zmiennych o wielu termach; operacje przecięcia, połączenia i dopełnienia 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2)

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Ewa Wołoszko Praca pisana pod kierunkiem Pani dr hab. Małgorzaty Doman Plan tego wystąpienia Teoria Narzędzia

Bardziej szczegółowo

Sztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2

Sztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2 Sztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2 Przemysław Juszczuk Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 1 marca 2012 Funkcja trójkątna: Funkcja trójkątna: Funkcja przynależności γ (gamma): Rysunek:

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Wstęp do Techniki Cyfrowej... Algebra Boole a Po co AB? Świetne narzędzie do analitycznego opisu układów logicznych. 1854r. George Boole opisuje swój system dedukcyjny. Ukoronowanie zapoczątkowanych w

Bardziej szczegółowo

Kurs logiki rozmytej - zadania. Wojciech Szybisty

Kurs logiki rozmytej - zadania. Wojciech Szybisty Kurs logiki rozmytej - zadania Wojciech Szybisty 2009 Spis treści 1 Zadania - zbiory rozmyte 3 2 Zadania - relacje rozmyte 6 3 Zadania - logika rozmyta 11 1 Zadania - zbiory rozmyte 3 Przykłady rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Sieci Neuronowe - Rok III - kierunek IS w IFAiIS UJ 2008/2009. Sieci Neuronowe. Wykład 11 Algorytmy genetyczne; Systemy rozmyte

Sieci Neuronowe - Rok III - kierunek IS w IFAiIS UJ 2008/2009. Sieci Neuronowe. Wykład 11 Algorytmy genetyczne; Systemy rozmyte Sieci Neuronowe Wykład 11 Algorytmy genetyczne; Systemy rozmyte wykład przygotowany na podstawie. S. Osowski, Sieci Neuronowe w ujęciu algorytmicznym, Rozdz. 4, PWNT, Warszawa 1996. W. Duch, J. Korbicz,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Logika rozmyta. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Logika rozmyta. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Logika rozmyta dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/ beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1 Wyostrzanie Ostateczna, ostra wartość

Bardziej szczegółowo

Sylabus modułu kształcenia na studiach wyższych. Nazwa Wydziału. Nazwa jednostki prowadzącej moduł Nazwa modułu kształcenia

Sylabus modułu kształcenia na studiach wyższych. Nazwa Wydziału. Nazwa jednostki prowadzącej moduł Nazwa modułu kształcenia Załącznik nr 4 do zarządzenia nr 12 Rektora UJ z 15 lutego 2012 r. Sylabus modułu kształcenia na studiach wyższych Nazwa Wydziału Nazwa jednostki prowadzącej moduł Nazwa modułu kształcenia Wydział Matematyki

Bardziej szczegółowo

Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych

Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Algorytmy decyzyjne będące alternatywą dla sieci neuronowych Piotr Dalka Przykładowe algorytmy decyzyjne Sztuczne sieci neuronowe Algorytm k najbliższych sąsiadów Kaskada klasyfikatorów AdaBoost Naiwny

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: INTELIGENTNE SYSTEMY OBLICZENIOWE Systems Based on Computational Intelligence Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy moduł specjalności informatyka medyczna Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Automatyczna predykcja. Materiały/konsultacje. Co to jest uczenie maszynowe? Przykład 6/10/2013. Google Prediction API, maj 2010

Automatyczna predykcja. Materiały/konsultacje. Co to jest uczenie maszynowe? Przykład 6/10/2013. Google Prediction API, maj 2010 Materiały/konsultacje Automatyczna predykcja http://www.ibp.pwr.wroc.pl/kotulskalab Konsultacje wtorek, piątek 9-11 (uprzedzić) D1-115 malgorzata.kotulska@pwr.wroc.pl Co to jest uczenie maszynowe? Uczenie

Bardziej szczegółowo

Sztuczne siei neuronowe - wprowadzenie

Sztuczne siei neuronowe - wprowadzenie Metody Sztucznej Inteligencji w Sterowaniu Ćwiczenie 2 Sztuczne siei neuronowe - wprowadzenie Przygotował: mgr inż. Marcin Pelic Instytut Technologii Mechanicznej Politechnika Poznańska Poznań, 2 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Sieci neuronowe w Statistica

Sieci neuronowe w Statistica http://usnet.us.edu.pl/uslugi-sieciowe/oprogramowanie-w-usk-usnet/oprogramowaniestatystyczne/ Sieci neuronowe w Statistica Agnieszka Nowak - Brzezińska Podstawowym elementem składowym sztucznej sieci neuronowej

Bardziej szczegółowo

Seminarium magisterskie. Dyskusja nad tematem pracy magisterskiej pisanej pod kierunkiem pani Dr hab. Małgorzaty Doman

Seminarium magisterskie. Dyskusja nad tematem pracy magisterskiej pisanej pod kierunkiem pani Dr hab. Małgorzaty Doman Seminarium magisterskie Dyskusja nad tematem pracy magisterskiej pisanej pod kierunkiem pani Dr hab. Małgorzaty Doman Plan wystąpienia Ogólnie o sztucznych sieciach neuronowych Temat pracy magisterskiej

Bardziej szczegółowo

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS)

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) Wybrane slajdy z prezentacji prof. Tadeusiewicza Wykład Andrzeja Burdy S. Osowski, Sieci Neuronowe w ujęciu algorytmicznym, Rozdz. 5, PWNT, Warszawa 1996. opr. P.Lula,

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

HAŁASU Z UWZGLĘDNIENIEM ZJAWISK O CHARAKTERZE NIELINIOWYM

HAŁASU Z UWZGLĘDNIENIEM ZJAWISK O CHARAKTERZE NIELINIOWYM ZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWYCH W SYSTEMACH AKTYWNEJ REDUKCJI HAŁASU Z UWZGLĘDNIENIEM ZJAWISK O CHARAKTERZE NIELINIOWYM WPROWADZENIE Zwalczanie hałasu przy pomocy metod aktywnych redukcji hałasu polega

Bardziej szczegółowo

Kurs logiki rozmytej. Wojciech Szybisty

Kurs logiki rozmytej. Wojciech Szybisty Kurs logiki rozmytej Wojciech Szybisty 2009 Spis treści 1 Co to jest logika rozmyta 3 1.1 Podstawy teorii zbiorów rozmytych........................ 3 1.2 Historia.......................................

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Rozmyte systemy doradcze

Rozmyte systemy doradcze Systemy ekspertowe Rozmyte systemy doradcze Plan. Co to jest myślenie rozmyte? 2. Teoria zbiorów rozmytych. 3. Zmienne lingwistyczne. 4. Reguły rozmyte. 5. Wnioskowanie rozmyte (systemy doradcze). typu

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe

Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe wykład 1. Właściwości sieci neuronowych Model matematyczny sztucznego neuronu Rodzaje sieci neuronowych Przegląd d głównych g

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Kurs logiki rozmytej - pomoc. Wojciech Szybisty

Kurs logiki rozmytej - pomoc. Wojciech Szybisty Kurs logiki rozmytej - pomoc Wojciech Szybisty 2009 Spis treści 1 Wymagania 3 2 Zawartość strony internetowej 3 3 Obsługa apletów 6 3.1 Aplet Rodzaje funkcji przynależności...................... 6 3.2

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2012/2013 http://www.wilno.uwb.edu.

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2012/2013 http://www.wilno.uwb.edu. SYLLABUS na rok akademicki 01/013 Tryb studiów Studia stacjonarne Kierunek studiów Informatyka Poziom studiów Pierwszego stopnia Rok studiów/ semestr /3 Specjalność Bez specjalności Kod katedry/zakładu

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie kierunku ruchu indeksów giełdowych na podstawie danych historycznych.

Prognozowanie kierunku ruchu indeksów giełdowych na podstawie danych historycznych. Metody Sztucznej Inteligencji 2 Projekt Prognozowanie kierunku ruchu indeksów giełdowych na podstawie danych historycznych. Autorzy: Robert Wojciechowski Michał Denkiewicz Mateusz Gągol Wstęp Celem projektu

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka procesów przemysłowych Kod przedmiotu

Diagnostyka procesów przemysłowych Kod przedmiotu Diagnostyka procesów przemysłowych - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Diagnostyka procesów przemysłowych Kod przedmiotu 06.0-WE-AiRP-DPP Wydział Kierunek Wydział Informatyki, Elektrotechniki

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów Wykład 2

Architektura komputerów Wykład 2 Architektura komputerów Wykład 2 Jan Kazimirski 1 Elementy techniki cyfrowej 2 Plan wykładu Algebra Boole'a Podstawowe układy cyfrowe bramki Układy kombinacyjne Układy sekwencyjne 3 Algebra Boole'a Stosowana

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Co to jest grupowanie

Co to jest grupowanie Grupowanie danych Co to jest grupowanie 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Szukanie grup, obszarów stanowiących lokalne gromady punktów Co to jest grupowanie

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości:

Automatyka Treść wykładów: Literatura. Wstęp. Sygnał analogowy a cyfrowy. Bieżące wiadomości: Treść wykładów: Automatyka dr inż. Szymon Surma szymon.surma@polsl.pl pok. 202, tel. +48 32 603 4136 1. Podstawy automatyki 1. Wstęp, 2. Różnice między sygnałem analogowym a cyfrowym, 3. Podstawowe elementy

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Zasada rozszerzania. A U A jest zbiorem rozmytym, B jest obrazem zbioru A Przeniesienie rozmytości A w odwzorowaniu f na zbiór B. sup.

Zasada rozszerzania. A U A jest zbiorem rozmytym, B jest obrazem zbioru A Przeniesienie rozmytości A w odwzorowaniu f na zbiór B. sup. Zasada rozszerzania f U V U jest zbiorem rozmytym V = f( ), jest obrazem zbioru Przeniesienie rozmytości w odwzorowaniu f na zbiór v) = ( v)? ( f ( ) = sup ( u) gdy ( v) 0 1 = 1 u f ( v) f( ) ( v) 1 0

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty

Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2012-10-03 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału

Bardziej szczegółowo

W narzędziu typu Excel, Calc czy Gnumeric napisz formułę logiczną która wyznaczy wartośd przynależności dla podanej temperatury do zbioru gorąco.

W narzędziu typu Excel, Calc czy Gnumeric napisz formułę logiczną która wyznaczy wartośd przynależności dla podanej temperatury do zbioru gorąco. Zadanie 0 Wyobraźmy sobie, że chcemy oceniad czy dana temperatura świadczy o tym, że jest gorąco czy raczej zimno. A więc znając wartośd liczbową temperatury chcemy oceniad wartośd funkcji przynależności

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne

Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne Wstęp do Techniki Cyfrowej... Układy kombinacyjne Przypomnienie Stan wejść układu kombinacyjnego jednoznacznie określa stan wyjść. Poszczególne wyjścia określane są przez funkcje boolowskie zmiennych wejściowych.

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Elementy Sztucznej Inteligencji. Sztuczne sieci neuronowe cz. 2

Elementy Sztucznej Inteligencji. Sztuczne sieci neuronowe cz. 2 Elementy Sztucznej Inteligencji Sztuczne sieci neuronowe cz. 2 1 Plan wykładu Uczenie bez nauczyciela (nienadzorowane). Sieci Kohonena (konkurencyjna) Sieć ze sprzężeniem zwrotnym Hopfielda. 2 Cechy uczenia

Bardziej szczegółowo

Prof. Stanisław Jankowski

Prof. Stanisław Jankowski Prof. Stanisław Jankowski Zakład Sztucznej Inteligencji Zespół Statystycznych Systemów Uczących się p. 228 sjank@ise.pw.edu.pl Zakres badań: Sztuczne sieci neuronowe Maszyny wektorów nośnych SVM Maszyny

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Minimalizacja form boolowskich

Minimalizacja form boolowskich Sławomir Kulesza Technika cyfrowa Minimalizacja form boolowskich Wykład dla studentów III roku Informatyki Wersja 1.0, 05/10/2010 Minimalizacja form boolowskich Minimalizacja proces przekształcania form

Bardziej szczegółowo

Sieci neuronowe i ich ciekawe zastosowania. Autor: Wojciech Jamrozy III rok SMP / Informatyka

Sieci neuronowe i ich ciekawe zastosowania. Autor: Wojciech Jamrozy III rok SMP / Informatyka Sieci neuronowe i ich ciekawe zastosowania Autor: Wojciech Jamrozy III rok SMP / Informatyka Klasyczna algorytmika Sortowanie ciągu liczb Czy i ile razy dane słowo wystąpiło w tekście Najkrótsza droga

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1 Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

O badaniach nad SZTUCZNĄ INTELIGENCJĄ

O badaniach nad SZTUCZNĄ INTELIGENCJĄ O badaniach nad SZTUCZNĄ INTELIGENCJĄ Jak określa się inteligencję naturalną? Jak określa się inteligencję naturalną? Inteligencja wg psychologów to: Przyrodzona, choć rozwijana w toku dojrzewania i uczenia

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa WZ-ST1-AG--16/17Z-RACH. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 30. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18

Rachunek prawdopodobieństwa WZ-ST1-AG--16/17Z-RACH. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 30. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18 Karta przedmiotu Wydział: Wydział Zarządzania Kierunek: Analityka gospodarcza I. Informacje podstawowe Nazwa przedmiotu Rachunek prawdopodobieństwa Nazwa przedmiotu w j. ang. Język prowadzenia przedmiotu

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: SYSTEMY INFORMATYCZNE WSPOMAGAJĄCE DIAGNOSTYKĘ MEDYCZNĄ Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy moduł specjalności informatyka medyczna Rodzaj zajęć: wykład, projekt

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH. 19. Perspektywy baz danych. 2009/2010 Notatki do wykładu "Podstawy baz danych"

PODSTAWY BAZ DANYCH. 19. Perspektywy baz danych. 2009/2010 Notatki do wykładu Podstawy baz danych PODSTAWY BAZ DANYCH 19. Perspektywy baz danych 1 Perspektywy baz danych Temporalna baza danych Temporalna baza danych - baza danych posiadająca informację o czasie wprowadzenia lub czasie ważności zawartych

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 13 - Układy bramkowe. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 13 - Układy bramkowe Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Układy z elementów logicznych Bramki logiczne Elementami logicznymi (bramkami logicznymi) są urządzenia o dwustanowym sygnale wyjściowym

Bardziej szczegółowo

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji.

Algebra Boole a. Ćwiczenie Sprawdź, czy algebra zbiorów jestrównież algebrą Boole a. Padaj wszystkie elementy takiej realizacji. Algebra Boole a Algebrą Boole a nazywamy zbiór B, wyróżnione jego podzbiory O i I oraz operacje dwuargumentowe +;, które dla dowolnych elementów X, Y, Z zbioru B spełniają następujące aksjomaty: X+Y B;

Bardziej szczegółowo

Piotr Sobolewski Krzysztof Skorupski

Piotr Sobolewski Krzysztof Skorupski Plan prezentacji Logika rodzaje Logika klasyczna Logika wielowartościowa Logika rozmyta Historia powstania Definicje Zbiory rozmyte Relacje rozmyte Systemy rozmyte Modele Zastosowanie w optymalizacji przykłady

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Podstawy sztucznej inteligencji

Podstawy sztucznej inteligencji wykład 4 (Fuzzy logic) 23 listopad 2011 Plan wykładu 1 Systemy wnioskowania z danymi niepewnymi 2 3 Inteligentne systemy z wiedzą Systemy z wiedzą składają się z dwóch części: 1 Baza wiedzy (KB): zbioru

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

Inteligentne systemy informacyjne

Inteligentne systemy informacyjne Inteligentne systemy informacyjne Moduł 10 Mieczysław Muraszkiewicz www.icie.com.pl/lect_pw.htm M. Muraszkiewicz strona 1 Sieci neuronowe szkic Moduł 10 M. Muraszkiewicz strona 2 Dwa nurty M. Muraszkiewicz

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do uczenia maszynowego

Wprowadzenie do uczenia maszynowego Wprowadzenie do uczenia maszynowego Agnieszka Ławrynowicz 12 stycznia 2017 Co to jest uczenie maszynowe? dziedzina nauki, która zajmuje się sprawianiem aby komputery mogły uczyć się bez ich zaprogramowania

Bardziej szczegółowo