Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs)

Transkrypt

1 Rozdziaª Sterowanie ze sprz»eniem od stanu (pjs) Synteza regulatorów dla obiektów SISO Przykªad 2 Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x() () w którym a) A = 6 b) A =, b = ; , B = Posªuguj c si formuª Ackermanna, wyznacz wspóªrz dne wektora k linio-wego sprz»enia zwrotnego od stanu u(t) = k T x(t) (2) dla których macierz stanu zamkni tego ukªadu sterowania posiada warto±ci wªasne: a) {λ i } 2 i= = { 2 ± j2}, b) {λ i} 4 i= = { 6, 6, 4, 4} Rozwi zanie Rozwa»my ogólny przypadek modelu (), w którym x(t) R n, A R n n oraz b R n Zamkni ty ukªad sterowania takim obiektem, uzyskany po zastosowaniu omawianego sprz»enia od stanu (2), opisany jest równaniem ẋ(t) = A c x(t), x() (3)

2 2 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) gdzie A c R n n oznacza macierz stanu tego ukªadu A c = A bk T (4) Formuªa Ackermanna, odniesiona do obiektu o caªkowicie sterowalnej parze macierzy (A, b), pozwala na dowolne uksztaªtowanie wszystkich warto±ci wªasnych macierzy A c Zgodnie z t formuª wektor k R n oblicza si w nast puj cy sposób k = ϕ T A c (A)Mc T e n (5) gdzie M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), ϕ Ac (A) R n n jest warto±ci, jak wielomian charakterystyczny ϕ Ac (λ) macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania przyjmuje dla macierzowego argumentu A, za± e n = T R n jest wektorem jednostkowym Wielomian charakterystyczny ϕ Ac (λ) wyznacza si w oparciu o zbiór {λ i } n i= zadanych warto±ci wªasnych ϕ Ac (λ) = det (λi n A c ) = n i= (λ λ i) Warunkiem stosowalno±ci wzoru (5) jest odwracalno± macierzy M c Ze wzoru tego wynika ponadto,»e dla sterowalnego obiektu o jednym wej±ciu zadanie rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego posiada jednoznaczne rozwi zanie W obu rozpatrywanych przypadkach sterowany obiekt jest obiektem niestabilnym, odpowiednio: spectr A = { 4, 4} oraz spectr A = { 2,,, 2} a) Para (A, b) ma kanoniczn posta sterowaln Jest to zatem para caªkowicie sterowalna, dla której M c = Jak ªatwo sprawdzi : ϕ Ac (λ) = (λ λ )(λ λ 2 ) = 8 + 4λ + λ 2 Zatem, zgodnie ze wzorem (5), otrzymujemy k = = ( = ) T ( ) T

3 STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 3 b) W rozwa»anym przypadku zachodzi: ϕ Ac (λ) = 4 i= (λ λ i) = λ + 48λ 2 + 2λ 3 + λ 4 oraz M c = Poniewa» rank M c = 4, zatem para (A, b) jest caªkowicie sterowalna Ponadto mamy ϕ Ac (A) = Zauwa»my, i» ze wzoru (5) wynika,»e znajomo± macierzy odwrotnej Mc nie jest niezb dna przy wyznaczaniu wektora sprz»enia zwrotnego k: rozwi zuj c ukªad równa«liniowych Mc T a = e n, otrzymuje si pomocniczy wektor a R n, a nast pnie w ªatwy sposób oblicza si k = ϕ T A c (A)a Tak post puj c, uzyskano a = T, a w ±lad za tym k = T Przykªad 22 Obiekt sterowania opisany jest modelem (), w którym A = , b = Posªuguj c si metod transformacji pary (A, b) do podobnej postaci kanonicznej sterowalnej, wyznacz wspóªrz dne wektora k sprz»enia zwrotnego (2), zapewniaj cego macierzy stanu ukªadu zamkni tego (3) zadane warto±ci wªasne {λ i } 4 i= = { 5, 5,, } Rozwi zanie Niech (Â, ˆb) oznacza par macierzy o kanonicznej sterowalnej postaci, w której  Rn n jest macierz Frobeniusa, za± ˆb R n jest 2

4 4 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) wektorem jednostkowym  = a a a 2 a n, ˆb = Wielomian charakterystyczny macierzy  ma posta ϕâ(λ) = det (λi n Â) = n a iλ i, a n = i= Jak ªatwo sprawdzi macierz  c =  ˆbˆk T gdzie ˆk = ˆk ˆk ˆkn T R n oznacza dowolny wektor, jest tak»e macierz Frobeniusa, w której kolejne elementy ostatniego wiersza przyjmuj warto±ci ( a i ˆk i ), i {,, n } Wynika st d,»e w przypadku obiektu dynamicznego opisanego równaniem ˆx(t) = ˆx(t)+ˆbu(t) sterowanie u(t) = ˆk T ˆx(t), oparte o liniowe sprz»enie od stanu ˆx(t) R n, umo»liwia dowolne ksztaªtowanie wielomianu charakterystycznego macierzy stanu odpowiedniego ukªadu zamkni tego ϕâc = det (λi n ( ˆbˆk T )) = n (a i + ˆk i )λ i i= Niech zatem (), gdzie A R n n oraz b R n, b dzie modelem sterowanego obiektu, o którym zakªada si,»e para macierzy (A, b) jest caªkowicie sterowalna Parze tej przyporz dkowa mo»na odpowiedni par podobn (Â, ˆb) = (Tc AT c, Tc b) o kanonicznej sterowalnej postaci, gdzie T c R n n oznacza stosown macierz podobie«stwa Zachodzi przy tym ˆM c = Tc M c, gdzie M c, ˆMc R n n s macierzami sterowalno±ci odpowiednich par: (A, b) oraz (Â, ˆb) Oznaczaj c przez W = ˆM c R n n odwrotno± macierzy sterowalno±ci pary (Â, ˆb), otrzymujemy wzór T c = M c W Jak mo»na pokaza, W jest symetryczn macierz górn antytrójk tn, u- tworzon ze wspóªczynników wielomianu charakterystycznego ϕ A (λ) = det (λi n A) = n i= a iλ i, a n =, macierzy A W = a a n 2 a n a 2 a n a n (6)

5 STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 5 Zakªadaj c,»e dost pne s wszystkie wspóªrz dne wektora stanu x(t) R n, ªatwo jest wyznaczy taki wektor k R n wspóªczynników sprz»enia zwrotnego (2), któremu odpowiada zadany wielomian charakterystyczny ϕ Ac = n i= α iλ i, α n =, macierzy stanu (4) zamkni tego ukªadu sterowania (3) Bior c pod uwag,»e x(t) = T cˆx(t), otrzymujemy poszukiwany wzór k = Tc T ˆk = Mc T ˆM T c ˆk w którym wspóªrz dne wektora ˆk wyznacza si, porównuj c odpowiednie wspóªczynniki rozwa»anych wielomianów charakterystycznych ˆk = α a α a α n a n T Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem stosowalno±ci opisanej metody jest odwracalno± macierzy T c, co sprowadza si do postulatu odwracalno±ci macierzy sterowalno±ci M c Przechodz c do numerycznych danych przykªadu, kolejno obliczamy: M c = ϕ A (λ) = a + a λ + a 2 λ 2 + a 3 λ 3 + λ 4 = 4 + 4λ + 3λ 2 4λ 3 + λ 4 W = ϕ Ac = (λ λ )(λ λ 2 )(λ λ 3 )(λ λ 4 ) = α + α λ + α 2 λ 2 + α 3 λ 3 + λ = λ + 325λ 2 + 3λ 3 + λ 4, T c = oraz ˆk = T Mamy rank M c = 4, co oznacza,»e macierz T c jest macierz nieosobliw Zatem, rozwi zuj c ukªad równa«t T c k = ˆk, wyznaczamy wektor poszukiwanych wspóªczynników sprz»enia zwrotnego k = T

6 6 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Przykªad 23 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) (7) y(t) = c T x(t) (8) w których A R n n, b R n oraz c R n Obiekt ten sterowany jest w ukªadzie zamkni tym przedstawionym na rys 2 Zakªadaj c,»e wszystkie zmienne stanu x(t) s dost pne, w ukªadzie tym zastosowano wewn trzn p tl sprz»enia od stanu oraz zewn trzn p tl sprz»enia od wyj±cia obiektu y(t) (sprz»enie poªo»eniowe) z caªkowaniem uchybu e(t) = r(t) y(t), gdzie r(t) jest wielko±ci zadaj c Rys 2 Przykªad 23: schemat strukturalny ukªadu sterowania Nale»y wyznaczy warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = k k n T R n oraz warto± wspóªczynnika k n+ R w gªównym torze sterowania, które zapewni macierzy stanu rozwa»anego ukªadu zamkni tego zadane warto±ci wªasne {λ i } n+ i= Postawiony problem jest zatem zadaniem ±ledzenia z rozmieszczaniem biegunów odpowiedniej transmitancji ukªadu zamkni tego Rozwa» przypadek: A = oraz {λ i } 3 i= = { 5, 5, 5}, b =, c = Rozwi zanie Niech x(t) = x(t) T x n+ (t) T R n+ b dzie rozszerzonym wektorem stanu ukªadu zamkni tego, gdzie x n+ (t) jest wyj±ciem czªonu caªkuj cego uchyb sterowania (zob rys 2) Na tej podstawie mo»emy zapisa,»e ẋ n+ (t) = e(t) = r(t) cx(t) oraz u(t) = k T x(t) + k n+ x n+ (t) Ukªad zamkni ty jest zatem opisany równaniem ẋ(t) ẋ n+ (t) = Ax(t) + b( k T x(t) + k n+ x n+ (t)) r(t) c T x(t)

7 STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 7 = A bk T k n+ b c T x(t) x n+ (t) n + r(t) Niech k = k T k n+ T R n+ oznacza stosownie rozszerzony wektor nastawialnych parametrów ukªadu sterowania Mamy zatem A bk T k n+ b c T = A n c T b k T Z powy»szego rozumowania wynika,»e postawiony problem sprowadza si do zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy Ā c = Ā b k T (9) gdzie: Ā = A n c T R (n+) (n+) b, b = R n+ Zadanie to mo»na rozwi za znanymi metodami (por przykªad 2 oraz 22) pod warunkiem,»e para (Ā, b) jest caªkowicie sterowalna Zauwa»my przy tym,»e spectr Ā = spectr A {} Jak ªatwo pokaza, macierz sterowalno±ci Mc R (n+) (n+) pary (Ā, b) przyjmuje posta M c = b Ab A n b c T b c T A n b = b A c T n n M c gdzie M c R n n jest macierz sterowalno±ci pary (A, b), wynikaj cej z modelu sterowanego obiektu Rozwa»any rozszerzony obiekt, opisany równaniami: x(t) = Āc x(t) + n y(t) = c T x r(t) jest zatem caªkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy caªkowicie sterowalna jest para (A, b) oraz speªniony jest dodatkowy warunek rank A b c T = n + Dla numerycznych danych rozpatrywanego przykªadu zachodzi: M c = 5, rank M c = 2

8 8 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) A b rank c T = rank = 3 co oznacza,»e postawione zadanie jest wykonalne Wniosek ten potwierdza analiza rz du macierzy sterowalno±ci pary (Ā, b): M c = Wielomian charakterystyczny macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania wynika z zadanych warto±ci wªasnych tej macierzy: ϕ Āc (λ) = (λ + 5) 3 = λ + 5λ 2 + λ 3 Wektor k obliczamy, stosuj c formuª Ackermanna (por przykªad 2) k = M T c ϕ T Ā (Ā) c = Operatorowa transmitancja zamkni tego ukªadu sterowania dana jest wzorem (por rys 22) Y (s) R(s) = c T ( si n+ Āc) n który w rozwa»anym przypadku daje Y (s) R(s) = s + 5s 2 + s 3 Rys22 Przykªad 23: symulacyjny schemat ukªadu sterowania

9 STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 9 Przykªad 24 Obiekt opisany równaniami (7) oraz (8), w których A R n n, b R n oraz c R n, sterowany jest w ukªadzie zamkni tym przedstawionym na rys 23 Zakªadaj c,»e wszystkie wspóªrz dne wektora stanu s dost pne, w ukªadzie tym zastosowano p tl sprz»enia zwrotnego od stanu x(t) oraz gaª ¹ równolegª wiod c do wyj±cia obiektu y(t) Rys23 Przykªad 24: schemat strukturalny ukªadu sterowania Wyznacz takie warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = k k n T R n oraz wspóªrz dnych wektora gaª zi równolegªej m = m m n T R n, które zapewni zadan posta operatorowej transmitancji ukªadu zamkni tego G rc (s) C(s)/R(s) Rozwa» nast puj cy model sterowanego obiektu oraz ukªadu zamkni tego: oraz A = Rozwi zanie Niech C(s) R(s) =, b = + s (4 + s)(5 + s) 2, c = N (s) = c T adj (si n A)b = n i= n is i D (s) = det (si n A) = n 5 5 i= a is i, a n = Zachodzi zatem c T (si n A) b = N (s)/d (s) Z rys 23 wynikaj zale»no±ci: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) u(t) = r(t) k T x(t) y(t) = (c + m) T x(t) X(s) = (si n A) bu(s) U(s) = R(s) k T X(s) Y (s) = (c + m) T X(s)

10 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) z których ªatwo jest wyznaczy stosown transmitancj ukªadu zamkni tego G rc (s) = (c + m)t (si n A) b + k T (si n A) b = N (s) + m T adj (si n A)b D (s) + k T adj (si n A)b = N(s) D(s) Na podstawie powy»szego wzoru wnioskujemy,»e wektor k wpªywa tylko na mianownik D(s) tak zapisanej transmitancji, za± wektor m tylko na jej licznik N(s) daj c dowolnego uksztaªtowania wielomianu D(s), musimy zaªo»y caªkowit sterowalno± pary (A, b) Istnieje zatem taka nieosobliwa macierz T c R n n, dla której para podobna (Â, ˆb) = (Tc AT c, Tc b) przyjmuje posta kanoniczn sterowaln (por przykªad 22) Macierz t obliczamy ze wzoru T c = M c W, w którym M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), za± W R n n jest odwrotno±ci macierzy sterowalno±ci ˆMc R n n pary (Â, ˆb) (por wzór (6)) Wielomiany N(s) oraz D(s) mo»na uzale»ni od elementów pary (Â, ˆb): N(s) = N (s) + ˆm T adj (si n Â)ˆb D(s) = D (s) + k T adj (si n Â)ˆb przy czym ˆk = T T c k oraz ˆm = T T c M Kªad c N(s) = n i= η is i D(s) = n i= α is i, α n = gdzie wspóªczynniki {η i } n i= oraz {α i } i= n wynikaj z wymaga«dotycz - cych po»adanego rozmieszczenia biegunów i zer transmitancji G rc (s) oraz jej statycznego wzmocnienia, otrzymujemy przesªank nast puj cych formuª, pozwalaj cych na wyznaczenie poszukiwanych wektorów k oraz m: oraz k = Tc T ˆk, ˆk = α a α a α n a n T m = Tc T ˆm, ˆm = η n η n η n n n T Przechodz c do numerycznych danych tego przykªadu, otrzymujemy: N (s) = n + n s + n 2 s 2 = 2s 2 D (s) = a + a s + a 2 s 2 + s 3 = 3 5s + s 2 + s 3 N(s) = η + η s + η 2 s 2 = + s + s 2 D(s) = α + α s + α 2 s 2 + s 3 = + 65s + 4s 2 + s 3 M c = 7 5, T c =

11 STEROWANIE OBIEKTAMI SISO Para (A, b) jest caªkowicie sterowalna, rank M c = 3 Na tej podstawie wyznaczamy k = T m = T co jak ªatwo sprawdzi prowadzi do wymaganej transmitancji zamkni tego ukªadu sterowania (c + m) T si 2 (A bk T ) b = + s + 65s + 4s 2 + s 3 Zauwa»my na koniec,»e pary (A, c T ) oraz (A bk T, c + m) w ogólno±ci nie musz by caªkowicie obserwowalne Przykªad 25 Obiekt sterowany o jednym wej±ciu opisany jest modelem (), w którym A R n n oraz b R n Zakªadaj c caªkowit sterowalno± pary (A, b), udowodnij,»e k R n para (A bk T, b), opisuj ca odpowiedni ukªad zamkniety, jest tak»e caªkowicie sterowalna Co mo»na powiedzie o kanonicznej postaci Jordana macierzy stanu A bk T takiego ukªadu? Rozwa» przypadek macierzy o zaªo»onych wielokrotnych warto±ciach wªasnych Rozwi zanie Zaªó»my,»e para (A, b) jest caªkowicie sterowalna, za± para (A bk T, b) nie jest caªkowicie sterowalna Mo»na zatem wskaza tak liczb λ R,»e rank λi n (A bk T ) b < n (por przykªad 7) Na tej podstawie wnioskujemy o istnieniu wektora n v R n, dla którego zachodzi v T λi n (A bk T ) b = (n+) A to oznacza, i» v T (λi n A) = n oraz v T b = W konsekwencji otrzymujemy zaprzeczenie zaªo»enia o caªkowitej sterowalno±ci pary (A, b) Warto±ci wªasne macierzy A bk T mog by dowolnie ksztaªtowane, w szczególno±ci macierz ta mo»e posiada wielokrotne warto±ci wªasne Macierz A bk T musi by macierz prost (cykliczn ), której kanoniczna posta Jordana charakteryzuje si tym,»e ka»dej wielokrotnej warto±ci wªasnej odpowiada tylko jedna klatka Zadanie 2 Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu u(t) opisany jest równaniem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), gdzie x(t) R n oznacza wektor stanu Oblicz warto±ci wªasne spectr A macierzy stanu tego obiektu Nast pnie, zakªadaj c dost pno± wszystkich wspóªrz dnych wektora stanu oraz posªuguj c si dowoln ze znanych metod, wyznacz taki wektor k R n wspóªczynników sprz»enia zwrotnego u(t) = k T x(t), przy którym macierz

12 2 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) stanu zamkni tego ukªadu sterowania rozwa»anym obiektem posiada zadane warto±ci wªasne: spectr (A bk T ) = {λ i } n i= Rozpatrz nast puj ce przypadki: 3 a) A = b) A = 5 c) A = 3 d) A = 2 2 e) A = 3 9 f) A = g) A = 2 h) A = i) A = j) A = k) A = l) A =, b =, b =, b =, b =, b =, b =, b = , b =, {λ i } 2 i= = { 6, 6};, {λ i } 2 i= = { 4, 3};, {λ i } 2 i= = {, 5};, {λ i } 2 i= = { 2, 2};, {λ i } 2 i= = { 8, 8}, { 6, 6};, {λ i } 2 i= = { 5 ± j32};, {λ i } 2 i= = { 3, 2};, b =, b =, b = ,, b = {λ i } 4 i= = { 5, 5, 4, 4},,, {λ i } 3 i= = { 2,, 5}; {λ i } 3 i= = { 8, 8, 8}; {λ i } 3 i= = { 5, 5, 4}; {λ i } 3 i= =, { 5, 4, 3}, {, 8, 6};

13 STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 3 Odpowied¹ We wszystkich rozpatrywanych przypadkach pary (A, b) s caªkowicie sterowalne (w przypadkach h oraz k pary te maj form kanoniczn sterowaln ) Odpowiednie rozwi zania maj posta : a) spectr A = { 3, 2}, k = 23 6 T ; b) spectr A = {, }, k = T ; c) spectr A = { 4, 4}, k = T ; d) spectr A = {, }, k = 6 5 T ; T 43 6, e) spectr A = { 4, 3}, k = T ; f) spectr A = {±j}, k = 9924 T ; g) spectr A = { 2, }, k = 4 4 T ; h) spectr A = {5,, 2}, k = 2 7 T ; i) spectr A = { 4, 2, 4}, k = T ; j) spectr A = { 3, 2, }, k = 8 T ; T , k) spectr A = {, 2, 3}, k = T ; l) spectr A = {,, 2, 2}, k = T Zadanie 22 Obiekt dynamiczny opisany równaniami (7) oraz (8) sterowany jest w ukªadzie zamkni tym pokazanym na rys 2, zachodzi przy tym: A R n n, b R n oraz c R n Oszacuj wspóªrz dne wektora k = k T k n+ T R n+ nastawialnych parametrów, które zapewniaj macierzy stanu tego ukªadu zaªo»one warto±ci wªasne {λ i } n+ i= Wyznacz operatorow transmitancj G ry (s) Y (s)/r(s) tak uzyskanego ukªadu sterowania Zadanie obejmuje nast puj ce przypadki: a) A = , b = {λ i } 3 i= = { 2, 2, 2}; b) A =, b = 3 4 {λ i } 3 i= = { 4, 4, 4}; 3, c = 2, c =,,

14 4 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) c) A = 2 3, b = {λ i } 3 i= = { 3, 3, 3}; 2 d) A =, b = 2 {λ i } 3 i= = { 4, 2, 2}; 2 e) A = 2, b = {λ i } 3 i= = { 6, 6, 4, 4}; 5 5 f) A = 5 5, b = 5 5 {λ i } 3 i= = { 4, 4, 3, 2} 2, c =, c = 3,,, c = 2 2, c = Odpowied¹ Rozwi zania, odpowiadaj ce rozwa»anym przypadkom, maj posta :, 2 2 a) spectr A = { 2, 2}, k = T Y (s) R(s) = 8 8s 8 + 2s + 6s 2 + s 3 ; b) spectr A = { 3, }, k = T Y (s) R(s) = s + 2s 2 + s 3 ; c) spectr A = {, 2}, k = T Y (s) R(s) = 27 45s s + 9s 2 + s 3 ; d) spectr A = { 2, }, k = T Y (s) R(s) = 6 6s 6 + 2s + 8s 2 + s 3 ; e) spectr A = { 2,, } k = T Y (s) R(s) = s 864s s + 48s 2 + 2s 3 + s 4 ; f) spectr A = { 5,, },

15 STEROWANIE OBIEKTAMI SISO 5 k = T Y (s) R(s) = s + 92s s + 62s 2 + 3s 3 + s 4 Zadanie 23 Obiekt dynamiczny opisany równaniami (7) oraz (8) sterowany jest w ukªadzie zamkni tym pokazanym na rys 23 Wyznacz wspóªrz dne wektorów k oraz m, które zapewni temu ukªadowi wymagan posta transmitancji operatorowej G cr (s) C(s)/R(s) Obliczenia przeprowad¹ dla nast puj cych przypadków: a) A = , b = C(s) R(s) = 2( + s) 2 (4 + s)(5 + s)(6 + s) ; b) A =, b = c) A = d) A = C(s) R(s) = 26 (6 + s) 3 ; C(s) R(s) = 4(5 + s) 2 (4 + s) 2 (8 + s) 2 ; 2 3 3, b =, b = C(s) R(s) = 25( + s) 2 (5 + s) 2 ( + s) 2 = 25 (5 + s) 2 Odpowied¹ Rozwi zania dano poni»ej: a) k = , m = , c =, c =, c = ;, c =, 9,,,

16 6 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) b) k = c) k = d) k = , m =, m =, m = ; ; W przypadkach b oraz d para (A, c T ) nie jest caªkowicie obserwowalna, ponadto w przypadku d para (A bk T, (c + m) T ) nie jest tak»e caªkowicie obserwowalna 2 Synteza obserwatorów stanu Przykªad 22 Autonomiczny obiekt dynamiczny o wektorze stanu x(t) R n oraz jednym wyj±ciu y(t) R opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t) Obserwator stanu o peªnym rz dzie (por rys 24) dany jest w tym przypadku równaniem ˆx(t) = Aˆx(t) + le y (t) w którym ˆx(t) R n oznacza oszacowanie stanu, e y (t) = y(t) ŷ(t) jest bª dem oceny wyj±cia obiektu ŷ(t) = c T ˆx(t) R, za± l R n jest wektorem wspóªczynników sprz»enia zwrotnego (wzmocnieniem obserwatora) Obowi zuje zatem wzór ˆx(t) = A oˆx(t) + ly(t) () któremu odpowiada równanie ewolucji bª du oszacowania stanu e x (t) = x(t) ˆx(t) R n ė x (t) = A o e x (t), e x () () gdzie A o R n n oznacza macierz stanu obserwatora, dan wzorem A o = A lc T (2) Kªad c a) A =, c = ;

17 2 OBSERWATORY STANU 7 Rys 24 Przykªad 22: schemat obserwatora stanu autonomicznego obiektu o jednym wyj±ciu b) A = , c = a nast pnie posªuguj c si metod Ackermanna, wyznacz wspóªrz dne wektora l, zapewniaj cego macierzy stanu obserwatora zadane warto±ci wªasne: a) {λ i } 2 i= = {, }, b) {λ i} 4 i= = { 6, 6, 6} Rozwi zanie Metoda Ackermanna, zastosowana do obiektu o caªkowicie obserwowalnej parze macierzy (A, c T ), pozwala na dowolne uksztaªtowanie wszystkich warto±ci wªasnych macierzy stanu obserwatora A o Odpowiednia formuªa gªosi,»e l = ϕ Ao (A)M o e n (3) gdzie M o R n n oznacza macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ), ϕ Ao (A) R n n jest warto±ci przyjmowan przez wielomian charakterystyczny obserwatora dla macierzowego argumentu A, za± e n = T R n jest wektorem jednostkowym Niech {λ i } n i= b dzie zbiorem zadanych warto±ci wªasnych macierzy A o Wielomian charakterystyczny tej macierzy wynika zatem ze wzoru ϕ Ao (λ) = det (λi n A o ) = n i= (λ λ i) Warunkiem stosowalno±ci wzoru (3) jest odwracalno± macierzy M o Zauwa»my,»e rozwi zuj c ukªad równa«liniowych M o a = e n, mo»na wyznaczy pomocniczy wektor a R n, który nast pnie wykorzystuje si zgodnie ze wzorem l = ϕ Ao (A)a Post powanie takie pozwala unikn odwracania macierzy M o

18 8 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Jak ªatwo sprawdzi, w obu rozpatrywanych przypadkach mamy do czynienia z niestabilnym obiektem: w przypadku a zachodzi spectr A = {, }, za± w przypadku b, odpowiednio, spectr A = {, 5, } a) W tym przypadku mamy M o = Para (A, c T ) jest zatem caªkowicie obserwowalna Poniewa» ϕ Ao (λ) = (λ λ )(λ λ 2 ) = + 2λ + λ 2, przeto, korzystaj c ze wzoru (3), otrzymujemy l = = ( = b) Drugi przypadek dotyczy macierzy M o = ) oraz ϕ Ao (λ) = 3 i= (λ λ i) = 26+8λ+8λ 2 +λ 3 Poniewa» rank M o = 3, zatem para (A, c T ) jest caªkowicie obserwowalna Ponadto zachodzi ϕ Ao (A) = Z ukªadu równa«m o a = e n otrzymujemy a = 2 T Wektor wspóªczynników sprz»enia zwrotnego obserwatora ma zatem posta l = T Przykªad 222 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t), gdzie: A = , c = 2 5

19 2 OBSERWATORY STANU 9 Posªuguj c si metod transformacji przyporz dkowuj cej danej parze (A, c T ) par podobn o postaci kanonicznej obserwowalnej, wyznacz wspóªrz dne wektora l sprz»enia zwrotnego, deniuj cego obserwator stanu o peªnym rz dzie, które zapewni macierzy stanu tego obserwatora zadane warto±ci wªasne { 3, 4, 6} Rozwi zanie Zadanie rozwi zuje si w sposób analogiczny do przedstawionego w przykªadzie 22 W tym celu wykorzystuje si macierz T o R n n dan wzorem T o = (W M o ) (4) b d c macierz relacji podobie«stwa, przyporz dkowuj cego danej caªkowicie obserwowalnej parze (A, c T ) par (Â, ĉt ) = (To AT o, c T T o ) o postaci kanonicznej obserwowalnej, w której  jest transponowan macierz Frobeniusa, za± Rn n ĉ = e n R n jest odpowiednim wektorem jednostkowym  = a a a 2 a n, ĉ = Macierz M o R n n, wyst puj ca we wzorze (4), oznacza macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ), a symetryczna macierz górna antytrójk tna W R n n dana wzorem (6) jest odwrotno±ci macierzy obserwowalno±ci pary ˆM o (Â, ), ĉt W = zale»no± : T o = Mo ˆM o Wektor wzmocnie«obserwatora dany jest formuª R n n Obowi zuje zatem nast puj ca u»yteczna l = T oˆl w której wektor ˆl = α a α n a n T R n jest wektorem resztowym, b d cym wynikiem porównania wielomianów charakterystycznych, odpowiednio, macierzy stanu obserwatora ϕ Ao (λ) = det (λi n A o ) = n i= (λ λ i) = n i= α iλ i oraz macierzy stanu obiektu ϕ A (λ) = det (λi n A) = n i= a iλ i, przy czym {λ i } n i= jest zbiorem zadanych warto±ci wªasnych macierzy stanu obserwatora (2) Tak post puj c, po sprawdzeniu obserwowalno±ci pary (A, c T ), uzyskano: T o = oraz l =

20 2 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Przykªad 223 Niech (7) oraz (8), gdzie A R n n, b R n oraz c = T R n, bedzie modelem w przestrzeni stanu pewnego obiektu dynamicznego Jak widzimy, pierwsza wspóªrz dna x (t) R wektora stanu x(t) = x (t) x(t) T T R n tego obiektu jest pomiarowo 'bezpo±rednio' dost pna Podaj równania opisuj ce algorytm obserwatora pozostaªych wspóªrz dnych x(t) R n wektora stanu Wyznacz posta takiego obserwatora o zredukowanym (minimalnym) rz dzie w przypadku, gdy A = 6 6, b =, c = za± wymagane warto±ci wªasne macierzy stanu obserwatora to {λ, λ 2 } = { 2 ± j2 3} Rozwi zanie Kªad c A A A = 2 A 2 A 22 b, b = b gdzie A R, A 2 R (n ), A 2 R n, A 22 R (n ) (n ), b R oraz b R n, otrzymujemy równanie ewolucji wektora x(t) ẋ(t) = A 22 x(t) + (A 2 x (t) + bu(t)) oraz odpowiednie równanie 'obserwacji' tego wektora ẋ (t) A x (t) b u(t) = A 2 x(t) Wynikaj ce st d równanie obserwatora o wzmocnieniu l R n ma posta ˆx(t) = (A 22 la 2 )ˆx(t) + A 2 x (t) + bu(t) + l(ẋ (t) A x (t) b u(t)) gdzie ˆx(t) R n jest oszacowaniem wektora x(t) Jak ªatwo sprawdzi, obowi zuje równo± ˆx(t) lẋ (t) = (A 22 la 2 )(ˆx(t) lx (t)) + ((A 22 la 2 )l + A 2 la )x (t) + (b lb )u(t) Niech zatem z(t) R n b dzie pomocniczym sygnaªem, zdeniowanym jak nast puje z(t) = x(t) lx (t)

21 2 OBSERWATORY STANU 2 Rówanie opisuj ce ewolucj oszacowania ẑ(t) = ˆx(t) lx (t) R n tego sygnaªu dane jest przeto wzorem ẑ(t) = (A 22 la 2 )ẑ(t) + (5) ((A 22 la 2 )l + A 2 la )y(t) + (b lb )u(t) Bª d e x (t) = x(t) ˆx(t) R n oszacowania wektora x(t) wyra»a si jako e x (t) = e z (t) = z(t) ẑ(t) Z faktu,»e ˆx(t) = (A 22 la 2 )ˆx(t) + A 2 y(t) + bu(t) + la 2 x(t), wynika nast puj ce równanie ė z (t) = A o e z (t), e z () charakteryzuj ce zachowanie si tego bª du, gdzie A o R (n ) (n ) jest macierz zdeniowan wzorem A o = A 22 la 2 (6) Jak zatem widzimy, zadanie syntezy obserwatora o zredukowanym rz dzie jest równowa»ne zadaniu 'stabilizacji macierzy' A o, spectr A o C (por (2)) Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem istnienia rozwi zania tego zadania jest przeto sterowalno± (wykrywalno± ) pary (A 22, A 2 ) Bior c pod uwag,»e ˆx(t) = ẑ(t)+ly(t), otrzymujemy poszukiwany wzór na oszacowanie ˆx(t) R n wektora stanu ˆx(t) = (n ) I n ẑ(t) + l y(t) (7) Schemat strukturalny rozwa»anego obserwatora o minimalnym rz dzie pokazano na rys 25, gdzie F z = A o R (n ) (n ) (n ) G xz = R n (n ) I n g zy = A o l + A 2 la R n g zu = b lb R n g xy = R n l W naszym przypadku mamy: A =, A 2 =, A 2 = 6, A 22 = 6

22 22 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Rys 25 Przykªad 223: schemat zredukowanego obserwatora stanu obiektu SISO b =, b = Macierz obserwowalno±ci pary (A 22, A 2 ) przyjmuje tu posta macierzy jednostkowej M o = A 2 A 2 A 22 = z czego wynika, i» para ta jest caªkowicie obserwowalna Wektor wzmocnie«obserwatora l R 2 wyznaczamy zgodnie z formuª Ackermanna (3) l = ϕ Ao (A 22 )M o w której wielomian macierzowy ϕ Ao (A 22 ) odpowiada zaªo»onym warto±ciom wªasnym macierzy stanu tego obserwatora St d ϕ Ao (A 22 ) = 6A A 22 + A 2 22 = l = Stosuj c wzory (5) oraz (7), otrzymujemy poszukiwane równania obserwatora o minimalnym rz dzie ẑ(t) = ẑ(t) y(t) + u(t)

23 2 OBSERWATORY STANU 23 ˆx(t) = ẑ(t) y(t) Wyznaczmy dla rozwa»anego obiektu obserwator o peªnym rz dzie, przyjmuj c jako warto±ci wªasne macierzy stanu A o R n n takiego obserwatora (2) liczby 2 ± j2 3 oraz 5 Jak ªatwo zauwa»y, macierz obserwowalno±ci pary (A, c T ) jest macierz jednostkow I 3 Wektor wzmocnie«obserwatora l R 3 obliczamy tak»e w oparciu o metod Ackermanna, która w tym przypadku daje gdzie l = ϕ Ao (A) ϕ Ao (A) = 8A + 36A + 9A 2 + A 3 = Na tej podstawie otrzymujemy l = co prowadzi do nast puj cego modelu obserwatora o peªnym rz dzie (por wzór () ˆx(t) = ˆx(t) y(t) + u(t) Taki sam wynik uzyskamy, stosuj c 'bezpo±redni ' metod obliczania wspóªrz dnych wektora l = l l 2 l 3 T z równania det(λi 3 (A lc T )) = ϕ Ao (λ) Rozwi zaniem tak uzyskanego ukªadu równa«jest wy»ej podany wektor l l = 3 6l + l 2 = 25 l + 6l 2 + l 3 = 74

24 24 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Na zako«czenie porównajmy wªasno±ci obu rozwa»anych obserwatorów stanu Niech x() = T oraz ˆx() = T, co czyni e x () = T Ker c T oraz e x () = T, gdzie e x (t) = x(t) ˆx(t) oznacza bª d oszacowania stanu Ewolucj tego bª du opisuj wzory (por rys 26): obserwator o peªnym rz dzie e x (t) = exp obserwator o minimalnym rz dzie e x (t) = ( exp t e x () ) t e x () Rys 26 Przykªad 223: ilustracja bª dów estymacji stanu Zadanie 22 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t), w których: A = , c = 2

25 2 OBSERWATORY STANU 25 W oparciu o metod transformacji przyporz dkowuj cej parze (A, c T ) par podobn o postaci kanonicznej obserwowalnej nale»y wyznaczy taki wektor l sprz»enia zwrotnego obserwatora o peªnym rz dzie, który zapewni macierzy stanu tego obserwatora warto±ci wªasne = { 5, 5, 2 ± j2 3} Odpowied¹ Po stwierdzeniu obserwowalno±ci pary (A, c T ), wyznaczono: T o = , l = gdzie T o jest macierz relacji podobie«stwa, przyporz dkowuj cego danej caªkowicie obserwowalnej parze (A, c T ) par o postaci kanonicznej obserwowalnej Zadanie 222 Model obiektu dynamicznego o jednym wyj±ciu y(t) dany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) oraz y(t) = c T x(t), gdzie x(t) R n jest wektorem stanu Obserwator stanu o peªnym rz dzie opisany jest równaniem (), w którym l R n oznacza wektor wspóªczynników odpowiedniego sprz»enia zwrotnego Oblicz warto±ci wªasne macierzy A, a nast pnie posªuguj c si dowoln znan metod wyznacz wspóªrz dne takiego wektora l, którym odpowiada macierz stanu obserwatora A o R n n (zob (2)) o zadanych warto±ciach wªasnych: spectr A o = {λ i } n i= Rozwa» nast puj ce przypadki: 2 a) A = 2 b) A = 5 c) A = 3 2 d) A = 3 9 e) A = f) A = 2, c =, c =, c =, c =, c = , c =, {λ i } 2 i= = { 9, };, {λ i } 2 i= = { 5, 5};, {λ i } 2 i= = {, 5};, {λ i } 2 i= =, {λ i } 2 i= =, {λ i } 2 i= = { 3, 4}, { 6, 8}; { 2, 2}, { 2 ± j2}; { 2, 2}, { 2, 8}, { 8, 8};

26 26 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) g) A = h) A = i) A = j) A = k) A = l) A = , c =, c =,, c =, c =, c = {λ i } 4 i= = { 5, 4, 3, 2} 2 2, {λ i } 3 i= =,, c = {λ i } 3 i= =, {λ i } 3 i= =, {λ i } 3 i= = {λ i } 3 i= = 2, { 4, 4, }, { 4 ± j2, }; { 8, 8, 8}, { 8 ± j3, 8}; { 3, 3, 3}, { 6, 3, 3}, { 6, 6, 3}, { 6, 6, 6}; { 4, 2, }, { 4, 4, 2}, { 4, 4, 4}, { 5, 5, 5}; { 5, 4, 3}, { 5, 2, 9}; Odpowied¹ We wszystkich rozpatrywanych przypadkach pary (A, c T ) s caªkowicie obserwowalne (w przypadkach g oraz k pary te maj posta kanoniczn obserwowaln ) Odpowiednie rozwi zania dane s poni»ej: a) spectr A = {, 2}, l = 2 46 T ; b) spectr A = {, }, l = 2 3 T ; c) spectr A = {4, 4}, l = T ; T, d) spectr A = { 4, 3}, l = T 4 ; e) spectr A = {±j}, l = 22 4 T, 3 2 T ;

27 3 SYNTEZA REGULATORÓW ZE SPRZ ZENIEM OD STANU 27 f) spectr A = { 2, }, l = 75 5 T, T, T ; g) spectr A = {36 ± j2432, 5278}, l = T, T ; h) spectr A = { 4, 2, 4}, l = T, T ; i) spectr A = { 3, 2, }, l = T, 4 T, 35 6 T, T ; j) spectr A = { 4,, 2}, l = T 2, T , T 5, T ; k) spectr A = {, 2, 3}, l = T, T ; l) spectr A = {,, 2, 2} l = T 3 Synteza regulatorów ze sprz zeniem od stanu Przykªad 23 Obiekt opisany równaniami ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) oraz y(t) = Cx(t), gdzie x(t) R n jest wektorem stanu, u(t) R p oznacza sygnaª pobudzaj cy, za± y(t) R q jest wyj±ciem tego obiektu, jest sterowany w ukªadzie zamkni tym pokazanym na rys 27 Ma my tu zatem do czynienia z liniowym (anicznym) sprz»eniem od wyj±cia obiektu za po±rednictwem oszacowania stanu ˆx(t) dostarczanego przez obserwator o peªnym rz dzie Zakªadaj c zerow warto± zmiennej referencyjnej r x (t), wyznacz model w przestrzeni stanu ukªadu zamkni tego dla zmiennych stanu x(t) oraz e x (t) = x(t) ˆx(t) Sformuªuj warunek stabilno±ci tego ukªadu

28 28 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Rys 27 Przykªad 23: schemat ukªadu sterowania ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu poprzez obserwator o peªnym rz dzie Rozwi zanie Kªad c u(t) = K ˆx(t), otrzymujemy ẋ(t) = Ax(t) BK ˆx(t) Bior c pod uwag,»e ˆx(t) = x(t) e x (t), zapisujemy równanie ẋ(t) = (A BK)x(t) + BKe x (t) Na tej podstawie, uwzgl dniaj c stosowne równanie ró»niczkowe opisuj ce ewolucj bª du oszacowania stanu e x (t) (por wzory () oraz (2)), wyznaczamy nast puj cy model rozwa»anego zamkni tego ukªad sterowania ẋ(t) ė x (t) = A BK BK x(t) n n A LC e x (t) y(t) = C q n x(t) e x (t), x() e x () Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem asymptotycznej stabilno±ci tego ukªadu jest speªnienie inkluzji spectr (A BK) spectr (A LC) C Problem syntezy sterowania rozwi zuje si zatem projektuj c w sposób 'autonomiczny' odpowiedni regulator od stanu oraz odpowiedni obserwator stanu Zauwa»my,»e ukªad zamkni ty mo»na opisa podobnym modelem w przestrzeni stanu ẋ(t) ˆx(t) = A BK LC A BK LC y(t) = C q n x(t) ˆx(t) x(t) ˆx(t), x() ˆx(t)

29 3 SYNTEZA REGULATORÓW 29 Relacj podobie«stwa mi dzy podanymi modelami opisuje wzór x(t) e x (t) In = n n I n I n x(t) ˆx(t) Zadanie 23 Obiekt SISO opisany modelem w przestrzeni stanu w postaci równa«(7) oraz (8), gdzie A = 26, b =, c = sterowany jest w ukªadzie zamkni tym o schemacie pokazanym na rys 28 Rys 28 Zadanie 23: schemat ukªadu sterowania obiektem SISO ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu poprzez obserwator o peªnym rz dzie Wyznacz wektor wzmocnienia l R 2 obserwatora stanu o peªnym rz dzie zapewniaj cy spectr (A lc T ) = { 8, 8} oraz wektor liniowego sprz»enia stabilizuj cego k R 2, dla którego spectr (A bk T ) = { 8 ± j24} Poka»,»e rozwa»any ukªad zamkni ty mo»na opisa, przyjmuj c odpowiednie modele wej±ciowo-wyj±ciowe jak na rys 29, gdzie G p (s) oznacza operatorow transmitancj sterowanego obiektu, za± G r (s) jest transmitancj równowa»nego regulatora (korektora szeregowego) Okre±l transmitancj tego regulatora

30 3 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Rys 29 Zadanie 23: schemat ukªadu sterowania z korektorem szeregowym Odpowied¹ Parametry regulatora od stanu oraz obserwatora stanu wynosz, odpowiednio k = T, l = T Tak du»e wzmocnienie l wynika z» danej szybkiej reakcji obserwatora Jak ªatwo zauwa»y, dla oszacowania stanu ˆx(t) obowi zuje równanie ˆx(t) = (A bk T lc T )ˆx(t) + ly(t) Transmitancja równowa»nego korektora szeregowego ma zatem posta G r (s) = k T (si 2 A + bk T + lc T ) l = s s + s 2 W ogólym przypadku ukªadu sterowania ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu za po±rednictwem obserwatora o peªnym rz dzie (rys 27) operatorowy model odpowiedniego korektora szeregowego dany jest wzorem A BK LC L G r (s) = K q p W celu sprawdzenia wykonanych rachunków wyznaczymy jeszcze równanie charakterystyczne ukªadu zamkni tego z rys 28 Jak si okazuje, zgodnie z oczekiwaniem, zachodzi s + 36s s 3 + s 4 = (9 + 36s + s 2 )(64 + 6s + s 2 ) Zadanie 232 Obiekt SISO o modelu w przestrzeni stanu, wyznaczonym przez równania (7) oraz (8), gdzie A R n n, podlega sterowaniu w ukªadzie zamkni tym w oparciu o oszacowanie stanu dostarczane przez obserwator o minimalnym rz dzie (rys 2, oznaczenia zgodne z przykªadem 223) Wyznacz modele w przestrzeni stanu autonomicznego ukªadu zamkni tego (r x (t) ), przyjmuj c jako zmienne stanu par (x(t), e z (t)) oraz par (x(t), ẑ(t)) Nast pnie rozwi» zadanie 23 przy zaªo»eniu sprz»enia zwrotnego, w którym stosuje si zredukowany obserwator stanu o macierzy z warto±ci wªasn λ = 8

31 3 SYNTEZA REGULATORÓW 3 Rys 2 Zadanie 232: schemat ukªadu sterowania obiektem SISO ze sprz»eniem od wyj±cia obiektu poprzez obserwator o o minimalnym rz dzie Odpowied¹ Modele w przestrzeni stanu maj posta oraz ẋ(t) ẑ(t) ẋ(t) ė z (t) przy czym = = A bk T bk T (n ) n F z y(t) = c T n x(t) e z (t) x(t) e z (t) A bk T g xy c T bk T (g zy g zu k T g xy )c T F z g zu k T y(t) = c T n x(t) ẑ(t) k = k k, x(t) ẑ(t) x() e z (), x() ẑ() Relacj podobie«stwa mi dzy tymi modelami charakteryzuje wzór x(t) e z (t) I = n l I n I n n (n ) x(t) ẑ(t) Operatorowy model odpowiedniego korektora szeregowego (rys 29) dany jest wzorem Fz g G r (s) = zu k T g zy g zu (k + k T l) k T k + k T l

32 32 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Poszukiwany obserwator o minimalnym rz dzie charakteryzuje si wzmocnieniem l = 8, za± stosowny korektor szeregowy ma w tym przypadku posta czªonu forsuj cego faz G r (s) = s 6 + s 4 Synteza regulatorów i obserwatorów dla obiektów MIMO Przykªad 24 Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x() (8) b dzie modelem pewnego obiektu dynamicznego, gdzie A R n n, za± B R n p jest macierz o peªnym kolumnowym rz dzie rank B = p, przy czym < p < n Sterowanie tym obiektem w ukªadzie zamkni tym, przy zaªo»eniu peªnej wiedzy o stanie x(t), jest podporz dkowane liniowemu przepisowi u(t) = Kx(t) (9) Nale»y wyznaczy takie elementy macierzy wzmocnie«k R p n zastosowanego regulatora, aby macierz stanu ukªadu zamkni tego A c R n n, dana wzorem A c = A BK (2) posiadaªa zadane warto±ci wªasne spectr A c = {λ i } n i= Dla uproszczenia zakªada si,»e A c jest macierz diagonalizowaln oraz {λ i } n i= Rozwa» nast puj ce przypadki modeli obiektów (8) o dwóch R (p = 2) torach sterowania: a) A = b) A = , B = 2, B =, 2 {λ i } 4 i= = { 5, 2,, } {λ i } 3 i= = { 6, 4, 4};

33 4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 33 Rozwi zanie Macierz B R n p o peªnym kolumnowym rz dzie przedstawiamy jako (2) B = B B I p (n p) p przy czym kolumny pomocniczej podmacierzy B R n (n p) dobieramy w taki sposób, aby rank B B = n, co oznacza,»e Im B Im B = R n Reprezentacja (2) macierzy B nie jest oczywi±cie jednoznaczna Zapiszmy B B = B B (22) gdzie B R p n oraz B R (n p) n Jak zatem ªatwo zauwa»y, Im B Ker B Z kolei, niech a R n b dzie dowolnym wektorem z przestrzeni Ker B Z równo±ci BB + BB = I n wynika,»e BB a = a Zachodzi przeto Ker B Im B Na tej podstawie wnioskujemy,»e Ker B = Im B Wygodnie jest poªo»y co daje (zob dodatek) Im B = Im B = Ker B T B = B + = (B T B) B T, B = B + = ( B T B) BT (23) Omawiana metoda syntezy regulatora opiera si na zaªo»eniu,»e istnieje taka nieosobliwa macierz podobie«stwa (macierz parametrów) P R n n, dla której P A c P = Λ (24) gdzie Λ = diag {λ i } n i= Rn n jest odpowiedni macierz diagonaln Ze wzorów (2), (2) oraz (24) wyznaczamy poszukiwan macierz wzmocnie«regulatora B (A P ΛP ) (25) oraz ukªad równa«na macierz parametrów B (A P ΛP ) = (n p) n (26) Powy»szy wzór mo»na interpretowa jako pewne ograniczenie naªo»one na t macierz Im (A P ΛP ) Im B Podana inkluzja stanowi zatem konieczny warunek istnienia rozwi zania zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych Oczekujemy ponadto, i» rank (A

34 34 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) P ΛP ) p Na podstawie wzoru (25) wnioskujemy,»e standardowy wska¹nik uwarunkowania macierzy κ(p ) = P 2 P 2 = σ max (P )/σ min (P ) mo»e sªu»y jako dogodna miara numerycznej wra»liwo±ci rozwa»anej metody syntezy regulatora Wyró»niaj c w macierzy P kolumny p i R n, P = p p n, wzór (26) zapisujemy jako p i Ker B (A λ i I n ), i {,, n} (27) Jak ªatwo zauwa»y, nierówno± dim Ker B (A λ i I n ) > jest zawsze speªniona, i mamy bowiem (zob dodatek) dim Ker B (A λ i I n ) = p + dim (Im B T Ker (A λ i I n ) T ) = dim Ker (A λ i I n ) + dim (Im B Im (A λ i I n )) Gdy λ i spectr A, wtedy Ker (A λ i I n ) T = { n } oraz Im (A λ i I n ) = R n Oznacza to,»e maksymalna dopuszczalna algebraiczna krotno± takiej zadanej warto±ci wªasnej λ i nie mo»e przekracza liczby wej± steruj cych p Dla warto±ci wªasnej λ i spectr A mo»na» da krotno±ci wi kszej od p tylko wtedy, gdy przekrój Im B T Ker (A λ i I n ) T nie jest trywialn przestrzeni zerow Zbiór wektorów parametrów {p i } n i= musi by zbiorem liniowo niezale»nym Nale»y zatem podkre±li,»e wymaganie liniowej niezale»no±ci podzbioru takich wektorów, które odpowiadaj zadanej wielokrotnej warto±ci wªasnej macierzy stanu ukªadu zamkni tego jest warunkiem koniecznym, lecz nie wystarczaj cym, istnienia rozwi zania rozwa»anego zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych W ogólnym przypadku zadanych warto±ci wªasnych {λ i } n i= koniecznym warunkiem istnienia tego rozwi zania jest zachowanie sterowalno±ci pary (A, B) (patrz wzory (2) oraz (24) a tak»e przykªad xxxx) Przypadek a dotyczy obiektu niestabilnego, w którym spectr A = { 2, 2, 2} Przyst puj c do wyznaczania macierzy wzmocnie«k R 2 3 sprz»enia od stanu, zauwa»my przede wszystkim, i» niezb dne jest u»ycie dwóch (p = 2) dost pnych torów sterowania, gdy» pary (A, B(:, )) oraz (A, B(:, 2)) zwi zane z modelami ukªadów zamkni tych, w których do sterowania wykorzystuje si tylko jeden tor nie s caªkowicie sterowalne Jak ªatwo bowiem sprawdzi, odpowiednie macierze sterowalno±ci maj posta : M c =

35 4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 35 M c = 2 4, M c2 = za± rank M c = 3, rankm c = oraz rankm c2 = 2 Ze wzgl du na prostot macierzy B, ªatwo znajdujemy przykªadow wymagan reprezentacj (2), w której B = T Zgodnie ze wzorem (23) mamy: B = 5 Dla zakªadanych warto±ci wªasnych zachodzi:, B = B (A λ I 3 ) = 8 B (A λ 2 I 3 ) = 6 Przykªadowe liniowo niezale»ne wektory nale» ce do odpowiednich przestrzeni zerowych (por wzór (27)) to: p = 8, p 2 =, p 3 = Warto podkre±li,»e w przypadku podwójnej warto±ci wªasnej λ 2 = λ 3 niezb dne jest wyznaczenie dwóch liniowo niezale»nych wektorów p 2 oraz p 3 z przestrzeni Ker B (A λ 2 I 3 ) Macierz P R 3 3 ma zatem posta P = 8 6 6, κ(p ) = 598 Macierz wzmocnie«regulatora obliczamy ze wzoru (25), otrzymuj c Sprawd¹my powy»szy wynik, obliczaj c P (A BK)P = 6 4 4

36 36 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) W przypadku b tak»e mamy do czynienia z obiektem niestabilnym (spectr A = { 7, 7, 4, 4}) oraz potrzeb u»ycia dwóch torów sterowania Przyjmijmy nast puj c (przykªadow ) posta macierzy B R 4 2, wyst puj c we wzorze (2) B = W konsekwencji, zgodnie ze wzorem (22), mamy B = 2, B = Zauwa»my,»e przy takim wyborze macierzy B nie obowi zuje interpretacja podmacierzy B oraz B dana wzorem (23) Na tej podstawie wyznaczamy potrzebne macierze B (A λ i I 4 ): i = : i = 2 : i = 3, 4 : Przykªadowe bazy przestrzeni Ker B (A λ i I 4 ) maj posta (wybrano reprezentacje caªkowitoliczbowe): i = : span i = 2 : span i = 3, 4 : span,,,

37 4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 37 Odpowiedni macierz parametrów P okre±la zatem wzór P = Wska¹nik uwarunkowania tej macierzy κ(p ) = 34 2 W efekcie, korzystaj c ze wzoru (25), otrzymujemy macierz wzmocnie«regulatora Taki sam wynik uzyskamy, stosuj c przykªadowe, ªatwe do wyznaczenia i lepiej uwarunkowane ('wyskalowane'), macierze parametrów: P = P = , κ(p ) = , κ(p ) = Przykªad 242 Rozwa»aj c standardowy problem rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania liniowym obiektem (8), przyjmujemy warunki podane w przykªadzie 24 W szczególno±ci zakªadamy tu caªkowit sterowalno± pary (A, B) modelu tego obiektu Dla dwóch przypadków (a oraz b) modeli sterowanych obiektów, opisanych w przykªadzie 24, wyznaczymy odpowiednie macierze sprz»enia od stanu, zwracaj c przy tym uwag na numeryczne apekty (wra»liwo± ) syntezy takich regulatorów Rozwi zanie Macierz B R n p o peªnym kolumnowym rz dzie mo»na przedstawi w czynnikowej postaci B = U W (n p) p (28) gdzie U = U U R n n jest macierz ortonormaln o podmacierzach U R n p oraz U R n (n p), za± W R p p jest stosown macierz

38 38 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) nieosobliw Zachodzi przy tym Im U = Im B, przy czym kolumny podmacierzy U tworz ortonormaln baz przestrzeni Im B Powy»sz reprezentacj macierzy B ªatwo jest uzyska w oparciu o rozkªad svd tej macierzy B = U Σ p (n p) p V T w którym V R p p oznacza czynnik ortonormalny, za± Σ p R p p jest nieosobliw macierz diagonaln Tak post puj c, kªadziemy W = Σ p V T Analogicznie jak to uczyniono w przykªadzie 24 zakªadamy,»e istnieje taka nieosobliwa macierz podobie«stwa (macierz parametrów) P R n n, dla której zachodzi równo± P A c P = Λ, gdzie Λ = diag {λ i } n i= Rn n jest odpowiedni macierz diagonaln Na tej podstawie, uwzgl dniaj c wzór (28) oraz fakt,»e U T U = I n, otrzymujemy ukªad równa«w U T (A P ΛP ) (29) U T (A P ΛP ) = (n p) n (3) Ze wzoru (29) wynika formuªa okre±laj ca wzmocnienie regulatora W szczególno±ci mamy W U T (A P ΛP ) (3) V Σ p U T (A P ΛP ) Konieczny warunek istnienia rozwi zania zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych ma posta inkluzji Im (A P ΛP ) Im B Obowi zuje tak»e oczywista nierówno± rank (A P ΛP ) p Zapisuj c macierz P z wyró»- nionymi kolumnami p i R n, P = p p n, wzorowi (3) nadajemy posta p i Ker U T (A λ i I n ), i {,, n} (32) Nierówno± dim Ker U T (A λ i I n ) > jest speªniona i (por przykªad 24) dim Ker U T (A λ i I n ) = p + dim (Im U Ker (A λ i I n ) T ) = dim Ker (A λ i I n ) + dim (Ker U T Im (A λ i I n ))

39 4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 39 Dla zadanej warto±ci wªasnej λ i, dla której λ i spectr A, maksymalna dopuszczalna algebraiczna krotno± λ i nie mo»e przekracza p Dla zadanej warto±ci wªasnej λ i spectr A mo»na» da krotno±ci wi kszej od liczby wej± steruj cych tylko wtedy, gdy Im U Ker (A λ i I n ) T { n } Jak pami tamy (zob przykªad 24), wymaganie liniowej niezale»no±ci podzbioru wektorów parametrów odpowiadaj cych wymaganej wielokrotnej warto±ci wªasnej macierzy stanu ukªadu zamkni tego jest warunkiem koniecznym, lecz nie wystarczaj cym, istnienia rozwi zania zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych da si tu bowiem liniowej niezale»no±ci 'caªego' zbioru wektorów parametrów {p i } n i= Efektywny algorytm wyznaczania kolejnego, (i + )-tego, i {,, n }, wektora p i+ (kolumny macierzy P) polega na wyborze takiego elementu bazy przestrzeni Ker U T (A λ i+ I n ), który byªby liniowo niezale»ny od wszystkich ju» ustalonych wektorów {p j } i j= ( ) p i+ Ker U T (A λ i+ I n ) ( p i+ span {p j } i j=) Numerycznie dogodne kryterium wyboru stosownego wektora z bazy rozwa-»anej przestrzeni zerowej wymaga zatem szacowania k ta α i+ = {Im P i, p i+ } mi dzy 'kandyduj cym' wektorem p i+ a przestrzeni Im P i, gdzie P i = p p i, a nast pnie sprowadza si do doª czenia do kolumn macierzy P i tego wektora bazowego, dla którego ów k t ma najwi ksz warto± (jak wiadomo ortogonalno± wektorów implikuje ich liniow niezale»no± ) Warto przy tym skorzysta ze wzoru cos {Im P i, p i+ } = P Im P i p i+ p i+ w którym P Im Pi = P i P i + oznacza operator rzutowania na przestrze«im P i (por dodatek), za± u»yta norma to norma euklidesowa Dla baz ortonormalnych, wyznaczanych przykªadowo w oparciu o rozkªady svd odpowiednich macierzy, zachodzi oczywi±cie cos {Im P i, p i+ } = P Im Pi p i+ Postulat ortogonalizacji (ortonormalizacji) macierzy P numerycznie wskazany Poprawa uwarunkowania tej macierzy, która jest odwracana we wzorze na K Raz jeszcze podkre±lamy, i» nadrz dn zasad wyboru wektorów bazowych z przestrzeni zerowych kolejnych macierzy U T (A λ i+ I n ) jest d»enie do wyznaczenia zbioru liniowo niezale»nych kolumn macierzy P I ta wªa±nie zasada powinna dominowa nad lokalnie (tylko dla danego i) stosowanym postulatem zapewnienia 'mo»liwie ortogonalnej' postaci macierzy P

40 4 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Zauwa»my wreszcie,»e dodatkowy stopie«swobody w przedstawionym algorytmie syntezy regulatora wyznacza przyj te uporz dkowanie (permutacja) zbioru zadanych warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego W przypadku a ªatwo znajdujemy wymagan posta (28) macierzy B B = U U W 2 = Dla zakªadanych warto±ci wªasnych mamy: U T (A λ I 3 ) = 8 2 U T (A λ 2 I 3 ) = 6 Dla podwójnej warto±ci wªasnej λ 2 = λ 3 niezb dne jest wyznaczenie dwóch liniowo niezale»nych wektorów p 2 oraz p 3 nale» cych do przestrzeni Ker U T (A λ 2 I 2 ) Si gaj c po ortonormalne bazy rozwa»anych przestrzeni zerowych (por wzór (32)), uzyskujemy nast puj c macierz parametrów (zob przykªad 24) P = , κ(p ) = 492 co pozwala, zgodnie ze wzorem (3), na obliczenie macierzy wzmocnie«regulatora W przypadku b, rozwa»aj c rozkªad svd macierzy B, B = UΣV T, otrzymujemy: U = U U = Σ = V = Σ p (n p) p = 22367

41 4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 4 a w konsekwencji mamy W = Na tej podstawie wyznaczamy macierze U T (A λ i I 4 ): i = : i = 2 : i = 3, 4 : Ortonormalne bazy przestrzeni Ker U T (A λ i I 4 ) maj przeto posta : i = : span i = 2 : span i = 3, 4 : span,,, Stosown macierz parametrów P okre±la zatem wzór (por przykªad 24) P = , κ(p ) = Wzmocnienie regulatora obliczone ze wzoru (3) ma warto± W obu przypadkach, a oraz b, taki sam wynik daje zastosowanie MAT- LABowego zlecenia place

42 42 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) Zadanie 24 Obiekt dynamiczny o modelu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdzie A R n n oraz B R n p, jest sterowany w ukªadzie zamkni tym Liniowy algorytm sterowania, oparty na peªnej informacji o wektorze stanu x(t) R n obiektu, ma posta reguªy u(t) = Kx(t) Posªuguj c si metodami syntezy opisanymi w przykªadzie 24 oraz 242, wyznacz elementy macierzy K R p n tego algorytmu (wzmocnienie regulatora), dla których macierz stanu odpowiedniego ukªadu zamkni tego posiada zadane warto±ci wªasne {λ i } n i= Zbadaj mo»liwo± wykorzystania metody Ackermanna w celu doboru nastaw stosownych strukturalnie prostszych regulatorów o pojedynczych torach sterowania Porównaj numeryczne uwarunkowanie wszystkich rozwa»anych metod strojenia regulatorów ze sprz»eniem od stanu Sprawd¹, jaki wynik uzyskasz, posªuguj c si MATLABowym zleceniem place Obliczenia wykonaj dla nast puj cych przypadków danych liczbowych: a) A = , B = {λ i } 3 i= = { 2, 5, }; b) A = c) A = B = , {λ i } 5 i= = { 3, 3, 3,, } {λ i} 4 i= = { 3, 3,, };, B = Odpowied¹ W przypadku a mamy spectr A = { 4, 2, 2} Regulatory 'dwukanaªowe': metoda opisana w przykªadzie 24 dla B = T oraz dla upo-

43 4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 43 rz dkowanej trójki warto±ci wªasnych (λ, λ 2, λ 3 ) P = metoda opisana w przykªadzie 242 synteza dla (λ, λ 2, λ 3 ) P = synteza dla (λ 3, λ 2, λ ) P = synteza dla (λ 2, λ 3, λ ) P = synteza dla (λ 2, λ, λ 3 ) P =, κ(p ) = 87 2 ; , κ(p ) = 3 ;, κ(p ) = 398 ;, κ(p ) = 3 ;, κ(p ) = 3 ;

44 44 ROZDZIAŠ SPRZ ENIE OD STANU (PJS) rozwi zanie proponowane przez zlecenie place Regulator z pojedynczym torem sterowania (M c R 3 3 oznacza tu odpowiedni macierz sterowalno±ci): , κ(m c ) = W przypadku b mamy spectr A = {, 98, 2, 2, 2} Regulatory 'dwukanaªowe': metoda opisana w przykªadzie 24 przy B = I T oraz dla uporz dkowanej czwórki warto±ci wªasnych (λ, λ 2, λ 3, λ 4 ) P = metoda opisana w przykªadzie 242 synteza dla (λ, λ 2, λ 3, λ 4 ) P = synteza dla (λ 3, λ 4, λ, λ 2 ) P = κ(p ) = , κ(p ) = ; ;

45 4 STEROWANIE OBIEKTAMI MIMO 45 κ(p ) = rozwi zanie proponowane przez zlecenie place Regulatory z pojedynczym torem sterowania (M c R 4 4 oznacza odpowiedni macierz sterowalno±ci): κ(m c ) = κ(m c ) = Zwraca uwag zªe uwarunkowanie zada«, w których stosuje si regulator o pojedynczym torze sterowania, strojony zgodnie z metod Ackermanna Niech ε λ = λ λ 2 / λ 2 oznacza wzgl dny bªad rozmieszczenia warto±ci wªasnych {λ i } n i=, gdzie λ = λ λ n T jest wektorem zadanych warto±ci wªasnych, za± λ = λ λn T oznacza wektor 'faktycznie' uzyskanych warto±ci wªasnych macierzy A BK Metoda syntezy regulatora opisana w przykªadzie 24 daje ε λ = , podej±cie MATLABowe zapewnia dokªadno± ε λ = 837 4, za± regulatory 'jednokanaªowe, odpowiednio, ε λ = 777 (!) oraz ε λ = W przypadku c mamy spectr A = { 2, 25, 26, 26, 27} Regulatory 'trójkanaªowe': metoda opisana w przykªadzie 24 dla B = 2 2 I 2 2 T oraz dla uporz dkowanej pi tki warto±ci wªasnych (λ, λ 2, λ 3, λ 4, λ 5 ) P = ;