Problemy z wnioskowaniem opartym na logice

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Problemy z wnioskowaniem opartym na logice"

Transkrypt

1 Problemy z wnioskowaniem opartym na logice Mamy rachunek predykatów pierwszego rzedu do reprezentacji wiedzy. Mamy automatyczne dowodzenie twierdzeń przy użyciu regu ly rezolucji. Mamy również mechanizmy do wnioskowania o zmianach (rachunek sytuacji). Czy to wystarczy do budowy inteligentnych agentów? 1. Problemy z sama logika predykatów: niepe lność jezyka predykatów pierwszego rzedu, nieroztrzygalność procedury dowodowej, bariera kombinatoryczna dowodzenia 2. Problem: wnioskowanie w warunkach niepewności informacji certainty factors systemy ad-hoc logika probabilistyczna logika rozmyta 3. Problem: wnioskowanie przy niepe lnej informacji fakty typowe fakty możliwe fakty prawdopodobne wyjatki od faktów ogólnie s lusznych Systemy logiki niemonotonicznej motywacja 1

2 Frame problem Problem t la (problem 4, frame problem): gdy wnioskujemy o zmianach zachodzacych w świecie, jak efektywnie reprezentować fakty, które sie NIE zmieniaja? Na przyk lad: Stan s0: ma(s0, jas, 23000PLN). ma(s0, jas, przyjaciolke). Akcja: kupno samochodu: s0 s1 ma(s1, jas, 500PLN). ma(s1, jas, daewoo_matiz). Ale czy w stanie s1 Jaś nadal ma przyjació lke? Podobnie jak to widzieliśmy w przyk ladzie z ma lp a i bananami, aby poprawnie rozwiazać ten przyk lad, należa loby zapisać, oprócz aksjomatów dzia lań, również aksjomaty braku dzia lań, oraz aksjomaty niezmienniczości. Systemy logiki niemonotonicznej motywacja 2

3 Frame problem Problem t la (frame problem) w rzeczywistości objawia sie na kilka sposobów, z których wszystkie wp lywaj a na efektywność obliczeniowa wnioskujacego logicznie agenta. Reprezentacyjny frame problem: konieczność zapisania, w jezyku logiki pierwszego rzedu, aksjomatów niezmienności dla wszystkich używanych symboli predykatów. Inferencyjny frame problem: konieczność dowiedzenia, po każdej akcji agenta, prawdziwości wszystkich faktów, nawet tych, które z ta akcja nie mia ly nic wspólnego. Problem kwalifikacji: w świecie rzeczywistym trudno jest efektywnie określić wszystkie warunki poprawności danej operacji. Problem ramifikacji: równie trudno jest efektywnie określić wszystkie pośrednie konsekwencje danej akcji, np. gdy agent sie porusza to wraz z nim porusza sie jego ubranie. Systemy logiki niemonotonicznej motywacja 3

4 Logika zdrowego rozsadku Wniosek: wnioskujacy logicznie agent musi zostać sparaliżowany stuprocentowa poprawnościa swego mechanizmu wnioskowania. W świecie rzeczywistym nigdy nie bedzie w stanie odważyć sie na jakiekolwiek dzia lanie, bo nie bedzie mia l pe lnej informacji o otaczajacym go świecie. Jednak ludzie potrafia sprawnie poruszać sie w świecie pe lnym informacji niepewnej i niepe lnej, faktów domyślnych i wyjatków. Jak to robia? Musimy uznać, że w swoim wnioskowaniu ludzie pos luguja sie nieco inna logika, niż rygorystyczna logika matematyczna. Możnaby ogólnie nazwać ten hipotetyczny mechanizm wnioskowania logika zdrowego rozsadku (common sense reasoning). Systemy logiki niemonotonicznej motywacja 4

5 Systemy logiki niemonotonicznej Cześć winy za problemy z wnioskowaniem przy użyciu logiki klasycznej ponosi jej w lasność określana jako monotoniczność. W logice klasycznej, im wiecej wiemy, tym wiecej możemy wywieść stosujac wnioskowanie. Cz lowiek stosuje inny model wnioskowania, o wiele bardziej elastyczny, wykorzystujacy informacje typowa, domyślna, możliwa, a nawet brak informacji. Ten rodzaj wnioskowania wydaje sie nie mieć w lasności monotoniczności. Na przyk lad, o ile w braku dobrej informacji o sytuacji cz lowiek by lby gotów wyciagn ać pewne wnioski i podejmować decyzje (pochopne), to po zdobyciu pe lniejszej informacji może już nie być w stanie wymyśleć dobrego rozwiazania problemu. 1 Stad różne modele wnioskowania, zmierzajace do pokonania tych problemów, i bardziej zbliżone do elastycznego modelu wnioskowania cz lowieka, określa sie wspólnym mianem logik niemonotonicznych. 1 Rozwi azanie, które wypracowa l wcześniej, w braku informacji, by lo b ledne, ale może by lo lepsze niż brak jakiegokolwiek dzia lania. Chociaż niekoniecznie. Systemy logiki niemonotonicznej wprowadzenie 5

6 Wyzwanie Minsky-ego: opracowanie systemu, który pozwoli lby prawid lowo opisać ogólnie znany fakt, że ptaki potrafia fruwać. x[bird(x) canfly(x)] Aby uwzglednić wyjatki, np. strusie, trzeba każdorazowo modyfikować poprzednia formu le. x[bird(x) ostrich(x) canfly(x)] Wyjatków jest wiecej: ptaki skapane w rozlanej ropie naftowej, ptaki bez skrzyde l, chore ptaki, martwe ptaki, namalowane ptaki, abstrakcyjne ptaki,... Pomys l: wprowadzamy operator modalny M: x[bird(x) M canfly(x) canfly(x)] Teraz wyjatki możemy wprowadzać modularnie: x[ostrich(x) canfly(x)] Systemy logiki niemonotonicznej wprowadzenie 6

7 Dla nastepuj acego zbioru faktów: = {bird(tweety), bird(sam), ostrich(sam)} możemy wywieść: canfly(sam) zatem nie powinno nam sie udać wyprowadzić: M canfly(sam) ani canfly(sam) Jednak przy użyciu normalnych procedur nie możemy udowodnić zdolności do latania Tweety: M canfly(tweety), canfly(tweety) W tym celu niezbedna jest procedura dowodowa zdolna do efektywnego (i automatycznego) dowodzenia twierdzeń w jezyku predykatów rozszerzonym o operator modalny M, zgodna z nastepuj ac a regu l a wnioskowania: Not( p) M p Systemy logiki niemonotonicznej wprowadzenie 7

8 Pomijajac ograniczenia wynikajace z odwo lania do procedury dowodowej w powyższej definicji, taka procedura nie bedzie jednak ani efektywna obliczeniowo, ani rozstrzygalna, ani nawet pó lrozstrzygalna, jak procedury dowodowe dla rachunku predykatów. W przes lance powyższej regu ly wnioskowania mamy bowiem stwierdzenie, że pewnej formu ly nie da sie udowodnić. To po pierwsze może być w ogóle niemożliwe do stwierdzenia. Zaś aby znaleźć pozytywne potwierdzenie tego faktu bedzie na pewno konieczne przeprowadzenie globalnego wnioskowania na ca lej bazie danych, bo jak inaczej moglibyśmy stwierdzić, że czegoś nie da sie udowodnić. Dla odróżnienia, dowody w rachunku predykatów pierwszego rzedu maja charakter lokalny. Jeśli np. szcześliwie wybierzemy od razu w laściwe przes lanki to możemy uzyskać dowód w kilku krokach, nawet jeśli baza danych liczy tysiace faktów. Systemy logiki niemonotonicznej wprowadzenie 8

9 Za lożenie świata zamknietego CWA Zak ladamy że każdy fakt prosty (atomowy), który nie wystepuje w postaci pozytywnej ani negatywnej w zbiorze aksjomatów ( ), ani z tego zbioru nie daje sie wywieść (th( )), jest nieprawdziwy. th( ) : Φ RPPR[Φ th( ) = Φ] zal : P zal P th( ) gdzie P atom podstawiony CWA( ) : Φ[Φ CWA( ) zal = Φ] Typowy przyk lad: systemy baz danych, które posiadaja dla każdej relacji zbiór n-ek spe lniajacych te relacje. Przyjmuje sie tam, że dla wszystkich pozosta lych n-ek relacja nie jest spe lniona. Systemy logiki niemonotonicznej za lożenie CWA 9

10 CWA przyk lad Przyk lad: graniczy(polska,zsrr) graniczy(polska,nrd) graniczy(polska,csfr) Zapytanie: graniczy(polska,usa)? NIE. W przypadku posiadania niepe lnych danych wynik użycia CWA jest b ledny, i zależy np. od doboru konkretnych symboli predykatów. Na przyk lad, przy pos lugiwaniem sie predykatem odlegle (w przybliżeniu zaprzeczenie predykatu graniczy), możemy mieć: odlegle(polska,francja) odlegle(polska,wlochy) odlegle(polska,hiszpania) Zapytanie: odlegle(polska,usa)? NIE. Systemy logiki niemonotonicznej za lożenie CWA 10

11 CWA w lasności CWA nie gwarantuje również otrzymania wyników spójnych z sama zawartościa zbioru, np.: = {P(A) P(B)} a zatem P(A),P(B) th( ) wiec P(A), P(B) CWA( ) ale to w sumie razem daje sprzeczność. W lasność: Jeśli zbiór klauzul jest hornowski i spójny to CWA( ) jest spójny. (Klauzula jest hornowska jeśli zawiera co najwyżej jeden litera l pozytywny.) Systemy logiki niemonotonicznej za lożenie CWA 11

12 CWA modyfikacje W wielu przypadkach CWA jest zbyt silnym za lożeniem. Możemy go os labić przez za lożenie CWA tylko dla określonego zbioru predykatów. Wtedy zbiór zal jest z lożony wy lacznie z różnych instancji predykatów z tego zbioru. Na przyk lad: = { x[q(x) P(x)],Q(A),R(B) P(B)} Zak ladajac CWA ze wzgledu na P możemy wywnioskować P(B) ponieważ = P(B). Możemy zatem wywnioskować R(B). Zauważmy że pe lne CWA zawiera loby R(B) i P(B) co w sumie z stanowi sprzeczność. Systemy logiki niemonotonicznej za lożenie CWA 12

13 Inne za lożenia upraszczajace Nieco podobnymi do CWA za lożeniami upraszczajacymi sa: Za lożenie zamknietości dziedziny (DCA): jedynymi obiektami wystepujacymi w dziedzinie problemowej sa te, które wystepuja z nazwy. Przy braku symboli funkcyjnych moglibyśmy to za lożenie zapisać tak: x x = t 1 x = t 2... x = t n Jeśli wystepuj a symbole funkcyjne to takich formu l możnaby zapisać nieskończenie wiele i nie da sie tego wyrazić formu l a pierwszego rzedu. Za lożenie jednoznaczności nazw (UNA): jeśli dla dwóch podstawionych termów nie można udowodnić, że sa równe, to sa różne. UNA jest równoważne zastosowaniu CWA do predykatu równości. Systemy logiki niemonotonicznej za lożenie CWA 13

14 Przyk ladem zastosowania CWA i UNA jest mechanizm wnioskowania zaimplementowany w Prologu:?- consult(user).?- p(b). p(a). no ^D?- p(f(b)). yes no Systemy logiki niemonotonicznej za lożenie CWA 14

15 Dope lnienie predykatów PC Zak ladamy że jedynymi obiektami, które spe lniaja predykaty sa te, o których można to udowodnić. Rozpatrzmy kilka przypadków: Przyk lad 1. Za lóżmy = {P(A)} P(A) możemy zapisać jako: x[x = A P(x)] wtedy dope lnienie mog loby mieć postać: x[p(x) x = A] Oznaczymy: COMP(,P) def dope lnienie zatem: COMP(,P) = x [P(x) (x = A)] Jak widać w tym przypadku dope lnienie predykatu daje taki sam efekt jak CWA P. Przyk lad 2. W przypadku = {P(A),P(B)} dope lnienie ma postać: x[p(x) (x = A x = B)] Systemy logiki niemonotonicznej dope lnienie predykatów 15

16 Zbiór klauzul nazwiemy solitarnym w P, jeśli w każdej klauzuli zawierajacej pozytywny litera l P, P wystepuje co najwyżej raz (klauzule solitarne w P sa hornowskie w P, ale nie na odwrót). Zdefiniujemy dope lnienie P tylko dla klauzul solitarnych w P. Za lożmy że jest zbiorem klauzul solitarnych w P, wtedy każda klauzula zawierajaca pozytywny litera l P ma postać: y[q 1 Q 2... Q m P(t)] y x[(x = t) Q 1 Q 2...Q m P(x)] x[ y (x = t) Q 1 Q 2...Q m ] P(x) gdzie t =< t 1,...t n >, y inne zmienne, a (x = t) oznacza x 1 = t 1,... W skrócie zapisujemy wszystkie te formu ly jako: czyli: x E 1 P(x) x E 2 P(x)... x E k P(x) x[e 1 E 2...E k P(x)] Systemy logiki niemonotonicznej dope lnienie predykatów 16

17 a wiec przyjmujemy: COMP(,P) def ( xp(x) E 1 E 2...E k ) Przyk lad: teraz dope lniamy bird: x [ostrich(x) bird(x)] bird(tweety) ostrich(sam) x [ostrich(x) (x = Tweety) bird(x)] COMP(,bird) = x[bird(x) ostrich(x) (x = Tweety)] Za lożenie, że musi być solitarnym zbiorem klauzul gwarantuje, że klauzule zawierajace P stanowia poprawne (niecykliczne) definicje P. W niektórych przypadkach dope lnienie można poprawnie obliczyć również dla niesolitarnych klauzul, np. (x = 0) Silnia(x,1) (x 0) Silnia(x 1,y) Silnia(x,x y) Systemy logiki niemonotonicznej dope lnienie predykatów 17

18 Przeprowadzenie tutaj dope lnienia predykatu Silnia daje normalna formu le rekurencyjnej definicji silni: Silnia(x, z) [(x = 0) (z = 1)] y[(x 0) (z = x y) Silnia(x 1,y)] Zatem solitarność klauzul jest wystarczajacym, ale niekoniecznym warunkiem dla sensownego obliczenia dope lnienia predykatu. W lasność: Jeśli jest spójnym (spe lnialnym) zbiorem klauzul solitarnych ze wzgledu na P, to dope lnienie P w jest spójne. Systemy logiki niemonotonicznej dope lnienie predykatów 18

19 Specjalne przypadki dope lnienia predykatów: 1. = { x P(x)}, co możemy zapisać jako: x[true P(x)] W tym przypadku dope lnienie COMP(,P) ma postać x[p(x) TRUE] i jest tautologia, zatem nie wnosi nic nowego. 2. Za lóżmy, że nie ma w ani jednego pozytywnego przypadku P, wtedy możemy zapisać: x[false P(x)], wiec dope lnienie ma postać x[p(x) FALSE], tzn. x P(x) Dope lnienie predykatów dzia la troche podobnie jak CWA, ale w ogólności sa to różne koncepcje. Na przyk lad, jeśli = {P(A)} i istnieje obiekt B, wtedy P(B) CWA P ( ) natomiast dopelnieniem predykatu P jest formu la: x [P(x) (x = A)] Jak widać uzyskujemy różne formu ly, chociaż istnieja pewne zwiazki. Z P(B) oraz za lożenia DCA wynika x[p(x) (x = A)], natomiast formu la x[p(x) (x = A)] oraz za lożenie UNA daje P(B). Systemy logiki niemonotonicznej dope lnienie predykatów 19

20 Systemy logiki niemonotonicznej dope lnienie predykatów 20

21 NML Doyle i McDermott pierwsi opracowali matematyczny system logiki niemonotonicznej, zwany po prostu NML. th( ) def {Φ RPPR Φ} As (S) def {M Φ Φ S}\th( ) NM (S) def th( As (S)) Przekszta lcenie NM wyznacza dla danej teorii zbiór tych formu l, które powinny być niemonotonicznie wywodliwe z teorii. Punkt sta ly przekszta lcenia NM nazywany jest rozszerzeniem teorii. Rozszerzenie wyznacza zbiór tych formu l, które sa niemonotonicznie, lecz konsekwentnie i kompletnie wywodliwe z danej teorii. S = NM (S) Systemy logiki niemonotonicznej NML 21

22 Przyk lady. Teoria = {M p p} ma jedno rozszerzenie, które zawiera M p i p Teoria = {M p p} nie ma w ogóle rozszerzeń (operator NM nie ma punktu sta lego) Istnieja teorie z wieloma (nawet ) rozszerzeniami. Jako zbiór wniosków niemonotonicznych z danej teorii Doyle i McDermott określili przeciecie wszystkich rozszerzeń danej teorii (zamiast dopuścić rozszerzeń jako alternatyw). Doyle i McDermott opracowali procedure dowodowa dla takiego jezyka opartego na rachunku zdań, jak również teorie modeli dla tej logiki i udowodnili, że niemonotoniczna wywodliwość jest równoważna byciu prawdziwym w tej teorii modeli, tzn. teoria modeli jest kompletna i spójna z procedura dowodowa. Systemy logiki niemonotonicznej NML 22

23 Logika domys lów Logika domys lów (domniemań) opracowana przez Reitera prezentuje inne podejście do logiki niemonotonicznej. Pozwala tworzyć specjalne regu ly domys lowe o nastepuj acej postaci (jest to schemat regu ly ukonkretniany zmiennymi x): α(x) : M β(x) γ(x) Sens powyższej regu ly jest taki, że jeśli zachodzi α a β jest spójne (niesprzeczne) z bieżacym stanem bazy danych, to możemy wywnioskować γ. Teoria domys lów nazywamy pare (,D), gdzie jest klasyczna teoria rachunku predykatów, natomiast D jest zbiorem regu l domys lowych. Ponadto wprowadzamy operator Γ dzia lajacy na zbiorach formu l, spe lniajacy nastepuj ace warunki: (1) Γ(S) (2) Γ(S) = th(γ(s)) (3) [ p:mq r D,p Γ(S), q S] r Γ(S) Zbiór S nazywamy rozszerzeniem teorii domys lów (, D) jeśli jest punktem Systemy logiki niemonotonicznej logika domys lów 23

24 sta lym operatora Γ S = Γ(S) Przyk lady. Teoria (,D), gdzie = {},D = { :Mp p }, ma jedno rozszerzenie: S = th({p}) Teoria (,D), gdzie = {},D = { :Mp p, :M p p }, ma dwa rozszerzenia: S 1 = th({p}) oraz S 2 = th({ p}), i te dwa rozszerzenia stanowia alternatywne punkty widzenia na niemonotoniczne wnioskowanie z (albo zwiazane z p albo z p). Istnieja również teorie bez rozszerzeń, np. (,D), gdzie = {},D = { :Mp p } Systemy logiki niemonotonicznej logika domys lów 24

25 Obecnie można poprawnie zapisać przyk lad z fruwaniem ptaków. bird(x):m canfly(x) D = { } canfly(x) = { x[ostrich(x) canfly(x)], bird(tweety), bird(sam), ostrich(sam)} Ta teoria posiada jedno rozszerzenie S = th( { canfly(sam),canfly(tweety)}) Reiter sformu lowa l pojecie dowodu domys lowego, udowodni l, że domys lowa dowodliwość formu ly jest równoważna z należeniem do jakiegoś rozszerzenia teorii, a także przedstawi l procedure, oparta na klasycznej rezolucji, pozwalajacej stwierdzić należenie do rozszerzenia. Należy jednak pamietać, że ogólnie kwestia ta jest nierozstrzygalna. Systemy logiki niemonotonicznej logika domys lów 25

26 Systemy logiki niemonotonicznej logika domys lów 26

27 Circumscription Metoda circumscription Johna McCarthy ego jest przyk ladem logiki drugiego rzedu zdefiniowanej na potrzeby wnioskowania niemonotonicznego. Można ja rozumieć jako formalna i kompletna wersje za lożenia CWA. Pozwala ona wyznaczyć pewne predykaty jako minimalnie prawdziwe, albo fa lszywe wszedzie tam gdzie nie sa prawdziwe. Na przyk lad, chcac wyrazić fakt, że ptaki normalnie fruwaja, moglibyśmy wprowadzić predykat Abnormal 1 (x) i zapisać: Bird(x) Abnormal 1 (x) CanFly(x) Wykonanie circumscription predykatu Abnormal 1 upoważnia maszyne wnioskujac a do przyjecia Abnormal 1 (x) zawsze wtedy, gdy nie da sie udowodnić, że prawda jest Abnormal 1 (x). Systemy logiki niemonotonicznej circumscription 27

28 Systemy logiki niemonotonicznej circumscription 28

29 Systemy zachowania spójności logicznej (TMS) Co ma zrobić system wnioskowania logicznego gdy chcia lby wycofać jakiś fakt P posiadany w swojej bazie danych? Na przyk lad: system rejestruje bieżacy stan rzeczy (nie uwzgledniaj ac up lywu czasu ani historii) i ten stan uleg l zmianie fakt by l wynikiem za lożenia dokonanego ad hoc (być może w wyniku rozumowania niemonotonicznego) i obecnie sa powody przypuszczać, że w istocie jest nieprawdziwy Usuniecie b lednie dokonanego za lożenia lub nieaktualnego faktu nie może polegać na dodaniu faktu P, ponieważ to nie wycofa loby b lednego faktu P, a tylko wprowadzi lo niespójność bazy danych, zawierajacej obecnie zarówno P jak i P. Zamiast tego, należy usunać z bazy danych fakt P, oraz wszystkie inne fakty być może z niego wywiedzione. Na przyk lad, jeśli istnia la implikacja P Q, to system móg l, wierzac w pewnym okresie w prawdziwość P, poprawnie wywnioskować Q. Jednak fakty takie jak Q niekoniecznie musza być nieprawdziwe tylko dlatego, że nieprawdziwe okaza lo sie P. Po jego pierwotnym wywiedzeniu z P system móg l znaleźć inne, niezależne, potwierdzenia Q. Systemy logiki niemonotonicznej systemy TMS 29

30 Systemy zachowania spójności logicznej (truth maintenance systems), wspomagaja proces wnioskowania przez rejestracje takich zależności logicznych. Agent rozwiazuj acy problem aksjomaty za lożenia wnioski zależności zapytania odpowiedzi System TMS Funkcje systemu TMS: 1. przechowywanie faktów i wniosków 2. usuwanie faktów z obs lug a konsekwencji 3. ponowne przywracanie faktów i konsekwencji 4. dostarczanie agentowi uzasadnień faktów 5. wykrywanie niespójności w za lożeniach 6. prowadzenie wnioskowania niemonotonicznego Systemy logiki niemonotonicznej systemy TMS 30

31 W najprostszym przypadku system TMS może realizować swe funkcje przez usuwanie z bazy danych w momencie wycofywania dokonanego wcześniej za lożenia wszystkich wniosków otrzymanych przez system. Jest to metoda prosta i skuteczna, wymaga jednak każdorazowego powtórzenia dowodów wszystkich twierdzeń. Nieco lepsza metoda jest usuwanie tylko wniosków wywiedzionych po wprowadzeniu do bazy danych wycofywanego aktualnie za lożenia. Wymaga to utrzymywania informacji o chronologii wprowadzania i wyprowadzania faktów, i nadal powtórzenia wielu dowodów, z których wiekszość mog la nie mieć nic wspólnego z wycofywanym za lożeniem. Jeszcze lepsza metoda jest rejestrowanie, dla wszystkich wniosków, za lożeń, na których by ly oparte ich wywody, a nastepnie, przy wycofywaniu jakiegoś za lożenia, usuwanie uzasadnień, których niezbedn a cześci a by lo wycofywane za lożenie, a także eliminacja faktów, które straci ly wszystkie swoje uzasadnienia. Systemy logiki niemonotonicznej systemy TMS 31

32 Przyk lad Agent posiada nastepuj ace fakty pewne, oraz, uzyskane w wyniku swojej pracy, za lożenia niemonotoniczne i wnioski na nich oparte: P R { fakt } Q S { fakt } R S { fakt } P { za lożenie } Q { za lożenie } R { wniosek(p) } S { wniosek(p), wniosek(q) } Gdyby nastepnie, w trakcie pracy, agent postanowi l wycofać sie z za lożenia P, i poinformowa l o tym system TMS, to ten skreśli lby fakt R z listy faktów uznawanych za s luszne, oraz skreśli lby jedno z uzasadnień faktu S. Gdyby w dalszym ciagu agent wycofa lby również za lożenie Q, to system TMS musia lby już ostatecznie usunać fakt S. Zauważmy, że gdyby agent nastepnie postanowi l jednak przywrócić za lożenie P, to system TMS nie mia lby sposobu odzyskania usunietych wniosków R i S. Systemy logiki niemonotonicznej systemy TMS 32

33 System JTMS Historycznie najwcześniejszy system TMS Doyle a jest w laśnie oparty na uzasadnieniach (pierwotnie nazwany po prostu TMS, ale później dla odróżnienia od innych systemów nazywany również JTMS). System ten pamieta dla każdego faktu jego uzasadnienie, lub uzasadnienia. System JMS nie usuwa raz utworzonych struktur danych, tylko określa status faktu jako in (fakt, w który wierzymy, bo ma uzasadnienia) albo out (fakt, w który nie wierzymy, bo nie ma uzasadnień). Gdy status jakiegoś faktu zmienia sie na out, wtedy uzasadnienia niektórych innych faktów moga również zmienić status, powodujac propagacje konsekwencji takiej zmiany w strukturach systemu JTMS. Podobnie, gdy pojawia sie jakiś fakt, który mia l już poprzednio status in, i jest cześci a uzasadnień innych faktów, wtedy wystarczy zmienić status wszystkich takich uzasadnień i faktów na in, i udowodnione wcześniej wnioski automatycznie pojawiaja sie znowu (tzw. unouting ). Zatem system JTMS utrzymuje stan swojej bazy danych w postaci jednego spójnego zestawu wierzeń, i o każdym stwierdzeniu możemy powiedzieć, czy aktualnie w nie wierzymy czy nie. Systemy logiki niemonotonicznej systemy TMS 33

34 System ATMS Innego rodzaju system TMS, oparty na za lożeniach i nazwany ATMS, zaproponowa l Johan de Kleer. ATMS nie etykietuje żadnych faktów jako in albo out, a tylko rejestruje wszystkie fakty i za lożenia w postaci wez lów na jednym grafie zależności. System zaznacza, na podstawie informacji od użytkownika, które fakty sa prawdziwe przy których za lożeniach, i nie ma pojecia w co wierzy w danej chwili. Użytkownik zg lasza systemowi wszystkie za lożenia, które go interesuja, niezależnie czy sa one wzajemnie spójne. ATMS aktualizuje graf zależności, gdzie etykiety wez lów zawieraja za lożenia je uzasadniajace, i w każdej chwili jest w stanie odpowiedzieć, przy jakim zestawie za lożeń dany fakt jest prawdziwy. Metoda de Kleer a pokonuje wiekszość problemów zwiazanych z systemami TMS (np. unouting), i nadaje sie szczególnie do implementacji systemów rozważajacych alternatywne warianty, gdzie konieczne jest czeste prze laczanie sie miedzy wzajemnie wykluczajacymi sie punktami widzenia. Jest to jednak metoda typowo dyskretna, dzia lajac a na niezbyt dużej liczbie za lożeń, ponieważ musi uwzgledniać wszystkie możliwe ich kombinacje. Systemy logiki niemonotonicznej systemy TMS 34

35 Generacja wyjaśnień Systemy TMS moga być również postrzegane jako generatory wyjaśnień. Jeśli dla danego faktu, który jest obserwowany, istnieje szereg możliwych uzasadnień, z których żadne nie jest obserwowane ani znane, to agent może analizować te uzasadnienia, i wybierać te, które np. sa minimalne, a przez to najbardziej prawdopodobne, i skoncentrować sie na znalezieniu przyczyny obserwowanej sytuacji. Na przyk lad, jako uzasadnienie faktu, że nie da sie uruchomić silnika samochodu, możemy mieć zapisana niesprawność akumulatora, oraz jeszcze szereg innych możliwych przyczyn. Gdyby agent mia l problemy z samochodem, i chcia l określić jego przyczyny, móg lby zaczać analizować zbiory uzasadnienień takiej awarii, i na tej podstawie próbować wybrnać z sytuacji. Na przyk lad, móg lby uporzadkować te zbiory uzasadnień wed lug liczności, i zaczać od najmniejszych, wychodzac z za lożenia, że najmniejszy zbiór uzasadnień zwiazany jest z najprostsza okolicznościa i przyczyna awarii. Zatem próby wybrniecia z opresji móg lby nasz agent zaczać od sprawdzenia akumulatora, gdyby to on w laśnie stanowi l najprostsze w tym sensie wyjaśnienie awarii. Systemy logiki niemonotonicznej systemy TMS 35

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Postać klauzulowa formu l 2 Regu la rezolucji Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych Regu la rezolucji dla klauzul ustalonych a spe lnialność Ogólna

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Programowanie w logice

Programowanie w logice Programowanie w logice PROLOG cz.1 PROLOG język wysokiego poziomu Powstał w 1972 na Uniwersytecie w Marsylii (Francja) w zespole A.Colmerauer a i F.Roussel a PROgrammation en LOGique, PROgramming in LOGic,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner.

Adam Meissner. Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej

Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej Rozdzia l 8. Pojȩcie liczby porz adkowej 1. Liczby naturalne a liczby porz adkowe Oto cztery pierwsze liczby naturalne zapisane wed lug różnych czterech notacji w porz adku od najmniejszej do najwiȩkszej:,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski Systemy ekspertowe i ich zastosowania Katarzyna Karp Marek Grabowski Plan prezentacji Wstęp Własności systemów ekspertowych Rodzaje baz wiedzy Metody reprezentacji wiedzy Metody wnioskowania Języki do

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

Programowanie w logice Wykład z baz danych dla

Programowanie w logice Wykład z baz danych dla Programowanie w logice Wykład z baz danych dla studentów matematyki 18 maja 2015 Programowanie w logice Programowanie w logice to podejście do programowania, w którym na program patrzymy nie jak na opis

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Wartości logiczne. Za zdanie b. Powiedzenie studenci miewaja

Wartości logiczne. Za zdanie b. Powiedzenie studenci miewaja Wartości logiczne Za zdanie b edziemy uważać dowolne stwierdzenie, o którym można powiedzieć, że jest albo prawdziwe, albo fa lszywe, i które nie może być jednocześnie i prawdziwe, i fa lszywe. Powiedzenie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora

ROZDZIA l 13. Zbiór Cantora ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

Operacje na plikach. Organizacja systemu plików. Typy plików. Struktury plików. Pliki indeksowane. Struktura wewn etrzna

Operacje na plikach. Organizacja systemu plików. Typy plików. Struktury plików. Pliki indeksowane. Struktura wewn etrzna Organizacja systemu plików organizacja logiczna pliku: rekordy o sta lej lub zmiennej d lugości np. w systemie Unix typowo pliki zorganizowane sa jako sekwencje bajtów, zatem sa to rekordy o sta lej d

Bardziej szczegółowo

Motywacja. posiada agent inteligentny jest z konieczności niepe lna i niepewna. Nawet w przypadkach kiedy móg lby on zdobyć wiedz e kompletna

Motywacja. posiada agent inteligentny jest z konieczności niepe lna i niepewna. Nawet w przypadkach kiedy móg lby on zdobyć wiedz e kompletna Motywacja Wiedza o świecie jaka posiada agent inteligentny jest z konieczności niepe lna i niepewna. Nawet w przypadkach kiedy móg lby on zdobyć wiedze kompletna i pewna, może to być niepraktyczne. W sztucznej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa. Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Interpretacja i wartościowanie Dziedzina interpretacji Interpretacja Wartościowanie 2 Wartość formuły Wartość termu Wartość logiczna formuły Własności 3 Logiczna

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne

Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne Rozdzia l 9. Zbiory liczb porz adkowych. Liczby porz adkowe izolowane i graniczne 1. Kresy wzglȩdem dowolnego zbioru liczb porz adkowych Poświȩcimy teraz uwagȩ przede wszystkich kratowym w lasnościom klasy

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP 1 Pojęcie dowodu w KRP Pojęcia: formuły zdaniowej języka Klasycznego Rachunku

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.

T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla

Bardziej szczegółowo

Dedukcyjne bazy danych i rekursja

Dedukcyjne bazy danych i rekursja Dedukcyjne bazy danych i rekursja Wykład z baz danych dla studentów matematyki 23 maja 2015 Bazy danych z perspektywy logiki Spojrzenie na bazy danych oczami logika pozwala jednolicie opisać szereg pojęć.

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Programowanie w logice

Programowanie w logice Wydział Matematyki UŁ 14 marca 2007 Plan prezentacji 1 Składnia Termy Stałe Zmienne Struktury 2 Własny operator Przeciążanie operatorów 3 Arytmetyczne i logiczne predykaty systemowe 4 Do zapamiętania Termy

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania

Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Zastosowanie logiki matematycznej w procesie weryfikacji wymagań oprogramowania Testerzy oprogramowania lub osoby odpowiedzialne za zapewnienie jakości oprogramowania oprócz wykonywania testów mogą zostać

Bardziej szczegółowo

Definicje. Algorytm to:

Definicje. Algorytm to: Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA. Reprezentowanie i przetwarzanie wiedzy o czasie

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA. Reprezentowanie i przetwarzanie wiedzy o czasie 2015 Adam Meissner Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Reprezentowanie

Bardziej szczegółowo

Semiotyka logiczna. Jerzy Pogonowski. Dodatek 4. Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl

Semiotyka logiczna. Jerzy Pogonowski. Dodatek 4. Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semiotyka logiczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Dodatek 4 Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna Dodatek 4 1 / 17 Wprowadzenie Plan na dziś Plan

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 520: Metody interpolacyjne planowania ruchu manipulatorów

Ćwiczenie nr 520: Metody interpolacyjne planowania ruchu manipulatorów Zak lad Podstaw Cybernetyki i Robotyki PWr, Laboratorium Robotyki, C-3, 010 Ćwiczenie nr 520: Metody interpolacyjne planowania ruchu manipulatorów 1 Wst ep Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodami

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 7. Liczby naturalne

Rozdzia l 7. Liczby naturalne Rozdzia l 7. Liczby naturalne 1. Arytmetyka elementarna Arytmetyka elementarna jest najprostsz a z teorii liczb naturalnych. Ujmuje ona liczby naturalne bez uwzglȩdnienia dzia lań dodawania i mnożenia.

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Elementy Teorii Obliczeń

Elementy Teorii Obliczeń Wykład 2 Instytut Matematyki i Informatyki Akademia Jana Długosza w Częstochowie 10 stycznia 2009 Maszyna Turinga uwagi wstępne Maszyna Turinga (1936 r.) to jedno z najpiękniejszych i najbardziej intrygujacych

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Programowanie w Logice

Programowanie w Logice Programowanie w Logice Działanie Prologu Przemysław Kobylański na podstawie [CM2003] Składnia Programy Prologu składają się z termów. Term to stała, zmienna lub struktura (term złożony). Term zapisuje

Bardziej szczegółowo

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym

Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego

Bardziej szczegółowo

Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania

Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania Laboratorium przedmiotu Paradygmaty Programowania Laboratorium 9 Prolog podstawy 1. Podstawy Prologu Programowanie w Prologu polega na deklarowaniu: Faktów dotyczących pewnych obiektów z analizowanego

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne Istnieje wiele systemów aksjomatycznych

Bardziej szczegółowo

Równoleg le sortowanie przez scalanie

Równoleg le sortowanie przez scalanie Równoleg le sortowanie przez scalanie Bartosz Zieliński 1 Zadanie Napisanie programu sortuj acego przez scalanie tablicȩ wygenerowanych losowo liczb typu double w którym każda z procedur scalania odbywa

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Modelowanie rynków finansowych

Modelowanie rynków finansowych Zaj ecia 2 8 października, 2012 Plan zaj eć 1 Czym nie b edziemy si e zajmować - finanse behawioralne 2 Autokorelacja mi edzy stopami zwrotu Efekt kalendarza Efekt wielkości firmy 3 Pu lapka reprezentatywności

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2 Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo