Modelowanie ruchu w sieci ulic. w warunkach ograniczonej

Transkrypt

1 Na prawach rękopisu Do uŝyku słuŝbowego INSTYTUT INśYNIERII LĄDOWEJ POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Modelowanie ruchu w sieci ulic w warunkach ograniconej prepusowości skryŝowań Seria: PRE nr 2/2007 Krysof Gas Praca dokorska Słowa klucowe: prepusowość wloów podporądkowanych, rokład ruchu na sieć ransporową, seregi casowe, modele ARIMA. Promoor: prof. dr hab. inŝ. Anoni Sydło WROCŁAW 2007

2 Serdecne podiękowania Panu prof. dr hab. inŝ. Anoniemu Sydło a kierowanie pracą, opiekę naukową ora cenne uwagi udielone podcas pisania niniejsej pracy.

3 SPIS TREŚCI Onacenia sosowane w pracy WPROWADZENIE TEZY, CEL I ZAKRES PRACY PRZEGLĄD METOD MODELOWANIA RUCHU Modelowanie ruchu miejskiego Rokład ruchu na sieć ransporową Modelowanie ruchu na skryŝowaniach be sygnaliacji świelnej Modele ruchu w arerii Podsumowanie CHARAKTERYSTYKA SZEREGÓW CZASOWYCH I MODELI ARIMA Wprowadenie Definicja seregu casowego Charakerysyka sacjonarnych seregów casowych Operaory sosowane pry analiie seregów casowych Modele auoregresji Modele średniej ruchomej Miesane modele auoregresji i średniej ruchomej Procesy ARIMA Budowanie modeli sochasycnych Prognoowanie warości seregów casowych Podsumowanie BADANIA SYMULACYJNE RUCHU NA SKRZYśOWANIACH Z PIERWSZEŃSTWEM PRZEJAZDU W SYTUACJI ZATŁOCZENIA NA JEZDNI GŁÓWNEJ Wprowadenie

4 5.2. Badanie losowych paramerów ruchu Odsępy casu pomiędy pojadami jadącymi w kolumnie Odsępy casu pomiędy rusającymi pojadami Odsępy casu pomiędy pojadami porusającymi się w kolejce Granicne odsępy casu Odsęp casu f Odsępy casu pomiędy głoseniami piesych do prejścia pre jednię Prędkość piesych na prejściu pre jednię Udielanie pierwseńswa piesym Udielanie pierwseńswa pojadom wloów podporądkowanych Model symulacyjny ruchu na skryŝowaniu pierwseńswem prejadu Opis modelu Generaory licb losowych Paramery modelu Srukura modelu symulacyjnego Wyniki badań symulacyjnych Weryfikacja modelu symulacyjnego Podsumowanie OKREŚLENIE METODY OBLICZANIA PRZEPUSTOWOŚCI RELACJI PODPORZĄDKOWANYCH W SYTUACJI ZATŁOCZENIA NA JEZDNI GŁÓWNEJ Wprowadenie Meoda oblicania prepusowości wloów podporądkowanych Weryfikacja meody Podsumowanie ROZKŁAD RUCHU W OTOCZENIU SKRZYśOWAŃ Z OGRANICZONĄ PRZEPUSTOWOŚCIĄ Wprowadenie Opis i wyniki badań Model rokładu ruchu na sieć ransporową ZaleŜność pomiędy długością kolejki a sraą casu Dobór miennych objaśniających i esymacja aleŝności Zasięg wpływu skryŝowania umoŝliwiającego reygnację ałoconej rasy Wpływ widocności Zmienność udiałów kierowców wybierających alernaywną rasę

5 7.5. Weryfikacja modelu rokładu ruchu na sieć ransporową Podsumowanie MODELOWANIE RUCHU NA SKRZYśOWANIU Z UWZGLĘDNIENIEM ZMIAN W CZASIE Idenyfikacja paramerów modeli ARIMA Opis badań Proces głoseń pojadów podcas sygnału ielonego Proces głoseń pojadów podcas sygnału cerwonego Proces opisujący głosenia pojadów w cyklu Proces opisujący wyjady pojadów e skryŝowania Długość kolejki na wlocie skryŝowania Modelowanie długości kolejki na wloach skryŝowania a pomocą ARIMA Prognoowanie długości kolejki na wlocie skryŝowania Podsumowanie PODSUMOWANIE I WNIOSKI LITERATURA

6 Onacenia sosowane w pracy Do najwaŝniejsych onaceń sosowanych w pracy naleŝą: a B C CL C DP c D d d d 0 prej L rus ε a F F f L f lp składnik losowy seregu casowego, operaor presunięcia wsec, prepusowość relacji lewoskręnej wlou podporądkowanego C [P/h], prepusowość relacji prawoskręnej wlou podporądkowanego D [P/h], licba pojadów w cyklu dołącająca się wloów podporądkowanych do kolejki na jedni głównej [P], sereg casowy opisujący wyjady e skryŝowania sygnaliacją świelną podcas sygnału ielonego, licba róŝnicowań seregu casowego, średnia sraa casu doświadcana pre kierowcę pry długości kolejki K [s/p], licba pojadów, kóra w danym cyklu opuściła skryŝowanie sygnaliacją świelną [P], odsęp casu pomiędy pojadami prekracającymi linię arymania na wlocie skryŝowania sygnaliacją świelną [s], średni cas prejadu pojadów pre prekrój w kolejce [s], średni odsęp pomiędy pojadami rusającymi w kolejce aleŝny od odległości od linii arymania [s], składnik losowy w modelu rokładu ruchu na sieć ransporową, operaor presunięcia napród, sereg casowy opisujący dojad pojadów podcas cyklu, współcynnik uwględniający wpływ pojemności powierchni akumulacji dla relacji lewoskręnej [-], współcynnik uwględniający róŝny rokład piesych na prejściach w obrębie skryŝowania pierwseńswem prejadu [-], ϕ paramer modelu auoregresyjnego [-], ϕ (B) operaor auoregresji, G długość sygnału ielonego [s], G e G długość efekywnego sygnału ielonego [s], sereg casowy opisujący dojad pojadów podcas sygnału ielonego, 6

7 Onacenia sosowane w pracy g K K L L ss l o, l c, l cp l p m licba pojadów, jaka pryjechała na badany wlo w cyklu podcas sygnału ielonego [P], długość kolejki na wlocie skryŝowania sygnaliacją świelną [P], sereg casowy opisujący długość kolejki na pocąku cyklu, odległość prekroju w kolejce pojadów od linii arymania [m], odległość od linii arymania skryŝowania sygnaliacją świelną do skryŝowania pierwseńswem prejadu [m], precięna długość w kolejce samochodu osobowego, cięŝarowego ora cięŝarowego prycepą [m], precięna długość pojadu w kolejce [m], esymaor warości średniej, n licba pojadów kolejki prejeŝdŝających pre skryŝowanie n 0 pierwseńswem prejadu w jednym cyklu [P], licba pojadów opuscających wlo skryŝowania sygnaliacją podcas jednego cyklu jednego pasa ruchu [P], CL n licba pojadów relacji lewoskręnej wlou C dołącających się do kolejki T podcas jednego cyklu [P], DP n licba pojadów relacji prawoskręnej wlou D dołącających się T do kolejki podcas jednego cyklu [P], P ak P w p p poj Q Piesi q pojemność powierchni akumulacji dla relacji lewoskręej [P], długość pasa ruchu walnianego pre pojady opuscające skryŝowanie sygnaliacją podcas jednego cyklu [m], licba paramerów auoregresyjnych modelu ARIMA, prawdopodobieńswo udielenia pierwseńswa pojadom wloów podporądkowanych [-], naęŝenie piesych prechodących pre jednię główną [Ps/h], licba paramerów średniej ruchomej modelu ARIMA, Θ paramer modelu średniej ruchomej [-], Θ (B) R r S operaor średniej ruchomej, sereg casowy opisujący dojad pojadów podcas sygnału cerwonego, licba pojadów, jaka pryjechała na dany wlo w cyklu podcas sygnału cerwonego [P], operaor sumowania, 7

8 Onacenia sosowane w pracy s T al f g esymaor odchylenia sandardowego, długość cyklu [s], cas jady alernaywną rasą [s], odsęp casu pomiędy pojadami wyjeŝdŝającymi kolejki [s], granicny odsęp casu [s], k cas posoju w kolejce sięgającej analiowanego skryŝowania u a (d) u a (K) pierwseńswem prejadu [s], udiał kierowców wybierających alernaywną rasę na danym skryŝowaniu pry średniej sracie casu d [-], udiał kierowców wybierających alernaywną rasę na danym skryŝowaniu pry długości kolejki K [-], u a (K) udiał kierowców wybierających alernaywną rasę na analiowanym skryŝowaniu pry długości kolejki na jedni głównej K dla chwili [-], u o, u c, u cp udiały w ruchu samochodów osobowych, cięŝarowych i cięŝarowych u prycepą [-], licba pojadów w cyklu odłącająca się od kolejki pojadów na jedni głównej [P], ~ odchylenie warości seregu casowego od warości średniej µ, esymaor warości średniej seregu casowego, operaor róŝnicowy wsec. 8

9 1. WPROWADZENIE Badania ruchu prowadone w miasach róŝnej wielkości wskaują na ciągły wros jawiska ałocenia sieci ulicnej (kongesii). U podłoŝa ego jawiska leŝy wiele cynników. MoŜna do nich alicyć [100]: wros ruchliwości mieskańców, wrasający popy na ranspor indywidualny, brak sukcesywnego rowoju sieci ora infrasrukury ulicnej, powolne realiowanie posulaów racjonalnej poliyki ransporowej, oparej o ałoŝenia poliyki równowaŝonego rowoju. Cynniki e będą nasilać się w kolejnych laach, prowadąc do cora więksych problemów ransporowych. W więksych miasach Polski praca ransporowa wykonana pre ruch samochodowy jes juŝ ponad dwukronie więksa od pracy wykonywanej środkami ransporu publicnego [77]. Transporem drogowym prewoŝone jes 80 % owarów ora 56 % pasaŝerów [151]. Obecnie jawisko ałocenia sieci ulicnej moŝna auwaŝyć prede wsyskim podcas okresów scyowych. Nieradko dara się, Ŝe w pewnych obsarach miasa jawisko ałocenia mooryacyjnego wysępuje pre nacny okres doby [70]. W wyniku pogarsających się warunków ruchu moŝe nasępować miana achowań komunikacyjnych. Zmiana a moŝe objawiać się popre mianę wyboru casu podróŝy, reygnację podróŝy lub ogranicenie jej długości, reygnację podróŝy własnym samochodem na rec komunikacji biorowej [100]. Jednak bardo rudnym procesem jes miana nawyków kierowców, własca do reygnacji podróŝy własnym samochodem i wyboru środka komunikacji biorowej. Znacna cęść kierowców jes duŝo bardiej skłonna wybrać inny cas podróŝy, mienić rasę podróŝy lub nawe reygnować podróŝy niŝ presiąść się do komunikacji biorowej. Zjawisko ałocenia sieci ulicnej dodakowo nasila brak dosaecnej sieci drogowej (własca ulic o układie obwodowym), gwałowny wros inwesycji drogowych ora ciągle niski sopień wyposaŝenia ulic w infrasrukurę echnicną [35]. W najwięksych miasach Polski licba skryŝowań sygnaliacją świelną sięga kilkuse [41] (Warsawa 557, Kraków, Wrocław ok. 180, Ponań 238), podcas gdy dla mias achodnich o prybliŝonej wielkości licba skryŝowań wyposaŝonych w sygnaliacje świelne jes więksa od ysiąca. Zjawisko ałocenia mooryacyjnego widocne jes prede wsyskim na pewnych ciągach komunikacyjnych, gdie prepusowość jes nacnie ogranicona. Choć prepusowość ych samych elemenów sopniowo wrasa pre akcepowanie mniejsych odsępów casu [17, 48], o jednak wros naęŝenia ruchu posępuje duŝo sybciej. 9

10 Wprowadenie Są o w. wąskie gardła sysemu. Mogą być rwałe (węŝenie jedni, ogranicenie licby pasów ruchu) lub ymcasowe (wypadek drogowy, roboy w pasie drogowym). Opróc ciągów komunikacyjnych ograniconą prepusowość mogą mieć równieŝ skryŝowania drogowe, własca e wyposaŝone w sygnaliacje świelne. O ograniconej prepusowości skryŝowania moŝemy mówić, gdy jego prepusowość jes nacnie mniejsa od prepusowości ciągów komunikacyjnych doprowadających do ego skryŝowania. Efekem ograniconej prepusowości skryŝowania jes wysępująca kolejka pojadów na wloach ego skryŝowania. Nieradko kolejka a wysępuje pre nacną cęść doby [70]. Zasięg wysępowania kolejki cęso sięga kilkuse merów. PoniewaŜ skryŝowania akie wysępują prede wsyskim w cenralnych obsarach mias, gdie sieć ulicna jes wyjąkowo gęsa, a nie kaŝde skryŝowanie wyposaŝone jes w sygnaliację świelną prowadi o niera do syuacji, Ŝe kolejka pojadów na wlocie skryŝowania sygnaliacją świelną prebiega pre inne skryŝowania, ale be sygnaliacji świelnej. Do akiej kolejki pojadów na jedni głównej na skryŝowaniu pierwseńswem prejadu mogą dołącać się pojady wloów podporądkowanych, kórych dołącanie powoduje dodakowe sray casu dla pojadów w kolejce poa ym skryŝowaniem. Obecnie brak jes meody określania prepusowości wloów podporądkowanych, gdie na drode głównej urymuje się kolejka pojadów. PoniewaŜ skryŝowania o ograniconej prepusowości wysępują prede wsyskim w cenralnych obsarach mias pojawia się dodakowo problem piesych ora wpływu piesych na prepusowość elemenów sieci ransporowej. Prędkości pojadów na ałoconej drode głównej są sosunkowo niskie, więc piesi wykorysują mniejse odsępy casu pomiędy pojadami, aby prejść na drugą sronę jedni. W prypadku niewielkiej prędkości pooku ruchu na jedni głównej równieŝ o wiele cęściej korysają uprejmości kierowców, udielającym im pierwseńswa prejścia. Wpływ ego jawiska nie osał do ej pory badany. RównieŜ w wyniku by duŝych sra casu wiąanych posojem w kolejce cęść kierowców jes skłonna reygnować planowanej rasy prejadu, na kórej wysępuje kolejka pojadów wywołana ograniconą prepusowością skryŝowania sygnaliacją świelną i wybrać alernaywną rasę. Reygnacja nasępuje popre wyłącenie się pooku ruchu na jedni głównej na jednym e skryŝowań, pre kóre prebiega kolejka pojadów. Reygnacji amieronej rasy dokonać moŝna równieŝ na skryŝowaniu, pre kóre akualnie nie prebiega kolejka pojadów, ale na wysokości kórego kolejka pojadów jes dobre widocna. 10

11 Wprowadenie Więksość prac, nie ylko wiąanych inŝynierią ruchu, opisuje jawiska w sposób saycny. W inŝynierii ruchu podaje się warości naęŝeń w godinie scyu. Dla ych warości oblica się średnie sray casu cy długość wysępującej kolejki. W recywisości jednak jawiska wiąane ruchem mieniają się w sposób ciągły i predsawienie ich jako miennych w casie daje lepse odwierciedlenie syuacji recywisej. Predsawienia jawiska miennego w casie moŝna dokonać a pomocą procesów sochasycnych lub seregów casowych. Naomias do opisu aleŝności pomiędy kolejnymi warościami seregu casowego słuŝą modele ARIMA (Auo-Regressive Inegraed Moving Average). W jęyku polskim nawa a łumacona jes jako Scałkowane Procesy Auoregresji i Średniej Ruchomej. Długość kolejki pojadów wysępującej na wlocie skryŝowania moŝe być predsawiona a pomocą seregu casowego. Wykorysanie modelu ARIMA do procesu opisującego długość kolejki powala na krókoerminowe prognoowanie syuacji, jaka będie w rejonie skryŝowania a niewielki odsęp casu. Zagadnienie o jes scególnie isone pry wdraŝaniu sysemów arądania ruchem [41, 43]. Jednym podsysemów ego sysemu jes podsysem dosarcający informację podróŝnym o warunkach ruchu. Podsysem en dosarca podróŝnym informacji o bieŝących warunkach ruchu. Najcęściej jednak dosarca informacji o warunkach ruchu, jakie będą w danym miejscu a pewien cas, kiedy podróŝny najdie się w ym miejscu [43]. Modele ARIMA określające długość kolejki doskonale nadają się do ej roli. 11

12 2. TEZY, CEL I ZAKRES PRACY W świele predsawionych we wsępie jawisk sformułowano nasępujące ey pracy. Ruch piesy precinający jednię główną w obrębie skryŝowania pierwseńswem prejadu, gdie na jedni głównej wysępuje kolejka pojadów, wpływa na więksenie prepusowości wloów podporądkowanych. Rokład ruchu na sieć ransporową w okolicy skryŝowania ograniconą prepusowością moŝna opisać jako proces mienny w casie, aleŝny od długości kolejki na wlocie ego skryŝowania. Elemeny seregu casowego opisującego długość kolejki na wlocie skryŝowania ograniconą prepusowością są wględem siebie skorelowane; moŝna je predsawić a pomocą modelu ARIMA. Celem pracy jes opracowanie modeli ruchu pojadów w warunkach ałocenia sieci ransporowej. W pracy opracowano ry modele. Pierwsy model doycy określenia prepusowości wloów podporądkowanych, gdy na jedni głównej wysępuje kolejka pojadów. Model en uwględnia współisnienie ruchu kołowego ora piesego na skryŝowaniach pierwseńswem prejadu. Drugi model określa jawisko reygnacji rasy, na kórej wysępuje kolejka pojadów i wybór alernaywnej rasy podcas wykonywania podróŝy. Treci model opisuje długość kolejki na wlocie skryŝowania sygnaliacją świelną jako proces mienny w casie. Wykorysuje on seregi casowe ora modele ARIMA. PowyŜse modele opracowano na podsawie wyników badań ruchu preprowadonych we Wrocławiu, Opolu i Krakowie. Weryfikację modeli preprowadono na recywisych obiekach we Wrocławiu, Krakowie i Kaowicach. Praca składa się diewięciu rodiałów. Rodiał pierwsy jes wprowadeniem. Omówiono w nim celowość wyboru emayki badań ora predsawiono prakycne walory pracy. W rodiale drugim predsawiono ey, cel ora określono akres pracy. W rodiale recim apreenowano pregląd meod modelowania ruchu. Predsawiono kompleksowy model ruchu miejskiego e scególnym uwględnieniem rokładu ruchu na sieć ransporową. Dokonano równieŝ preglądu isniejących meod oblicania prepusowości skryŝowań be sygnaliacji świelnej. Zwrócono uwagę na braki w poscególnych modelach. W rodiale cwarym scharakeryowano seregi casowe. Omówiono definicję seregu casowego ora waŝniejse operaory sosowane w analiie seregów casowych. 12

13 Tey, cel i akres pracy Predsawiono róŝne ypy modeli ARIMA, arówno sacjonarnych, jak i niesacjonarnych. Zapreenowano równieŝ meody prognoowania seregów casowych, e scególnym wyróŝnieniem meody wykorysującej modele ARIMA. W rodiale piąym wykonano badania symulacyjne na skryŝowaniu pierwseńswem prejadu, gdie na jedni głównej wysępuje kolejka pojadów wywołana obecnością w pobliŝu skryŝowania sygnaliacją świelną o ograniconej prepusowości. Preprowadono pomiary ruchu określające paramery ruchu pojadów w obrębie wysępowania kolejki pojadów (odsępy casu pomiędy rusającymi pojadami, odsępy casu pomiędy pojadami porusającymi się w kolejce, skłonność kierowców do udielania pierwseńswa piesym na prejściu dla piesych, skłonność kierowców do udielania pierwseńswa pojadom wloów podporądkowanych). Dokonano równieŝ pomiarów paramerów ruchu piesego (odsępy casu pomiędy głoseniami piesych do prejścia dla piesych, licbę osób podcas poscególnych głoseń, prędkość piesego na prejściu pre jednię). PowyŜse pomiary ruchu preprowadono we Wrocławiu, Opolu i Krakowie. Opracowano model symulacyjny ruchu. Model en wykonany osał w programie Visual Basic for Applicaion (VBA). Zbadano wpływ piesych na prepusowość relacji podporądkowanych, wpływ róŝnego rokładu piesych na prejściach ora wpływ pojemności powierchni akumulacji dla relacji lewoskręnej. Model symulacyjny osał wykorysany do wynacenia współcynnika uwględniającego wpływ powierchni akumulacji (f L ) ora wpływ piesych n D piesi w modelu analiycnym. W rodiale sósym predsawiono meodę oblicania prepusowości relacji podporądkowanych dołącających się do kolejki pojadów na jedni głównej. Jes o meoda analiycna. Określono równieŝ dodakowe paramery umoŝliwiające oblicenie prepusowości poosałych relacji na wloach podporądkowanych. Preprowadono weryfikację modelu na recywisych obiekach we Wrocławiu i Kaowicach. W rodiale siódmym określono rokład ruchu pojadów na poscególne rasy w okolicy skryŝowania sygnaliacją świelną o ograniconej prepusowości. Preprowadono pomiary ruchu określające reygnację amieronej rasy prejadu ora wybór alernaywnej rasy na jednym e skryŝowań pierwseńswem prejadu, pre kóre moŝe prebiegać kolejka pojadów pred skryŝowaniem sygnaliacją świelną. Pomiary ruchu ora weryfikację modelu preprowadono na obiekach we Wrocławiu i Krakowie. Sformułowano model regresyjny określający udiał pojadów wybierających alernaywną 13

14 Tey, cel i akres pracy rasę. Dokonano równieŝ analiy wpływu widocności kolejki na wybór alernaywnej rasy prejadu. W rodiale ósmym opisano długości kolejki jako proces mienny w casie a pomocą seregów casowych. Preprowadono idenyfikację procesów opisujących dojad do skryŝowania sygnaliacją świelną, wyjad e skryŝowania sygnaliacją świelną ora długość kolejki na pocąku kaŝdego cyklu. Badania seregów casowych wykonano na kilkudiesięciu wloach skryŝowań we Wrocławiu i Krakowie. Opracowano model opisujący długość kolejki w warunkach ograniconej prepusowości skryŝowania sygnaliacją świelną. Wykonano prykład prognoowania długości kolejki na wlocie skryŝowania pry asosowaniu modeli ARIMA. Rodiał diewiąy sanowi podsumowanie, w kórym awaro najwaŝniejse wnioski preprowadonych badań. 14

15 3. PRZEGLĄD METOD MODELOWANIA RUCHU 3.1. Modelowanie ruchu miejskiego Klasycne modelowanie ruchu miejskiego składa się nasępujących modeli cąskowych [120, 123]: 1. model powsawania ruchu, 2. model rokładu presrennego ruchu, 3. model podiału ruchu na środki ransporu, 4. model podiału ruchu na sieć ransporową. Pierwsym eapem klasycnego modelu ruchu jes modelowanie powsawania ruchu. Na ym eapie osaje określona licba podróŝy, jaka ropocyna się w kaŝdym rejonie komunikacyjnym miasa. Meody modelowania powsawania ruchu moŝna podielić na dwie grupy: modele regresyjne, modele analiy kaegorii osób. Sarse są modele regresyjne. Opisują one a pomocą równań regresji wielkości pooków ruchu powsające w poscególnych rejonach miasa [123]. Drugą grupę sanowią meody analiy kaegorii osób. Polegają one na podiale społeceńswa na odpowiednie kaegorie cechujące się podobnymi achowaniami komunikacyjnymi, a nasępnie wynaceniu dla kaŝdej kaegorii precięnych warości wskaźników ruchliwości [71, 123]. Wyniki uyskane modelu powsawania ruchu są danymi wprowadanymi do drugiego eapu kompleksowego modelu ruchu, jakim jes rokład presrenny ruchu. Na ym eapie określana jes więźba ruchu, cyli pooki ruchu pomiędy poscególnymi rejonami komunikacyjnymi. Modele rokładu presrennego moŝna podielić asadnico na dwie grupy [71]: modele eksrapolacyjne, modele analiycne. Modele eksrapolacyjne wykorysują jako dane pewne nane wceśniej maciere podróŝy ora nowe warości poencjałów pryjadowych i wyjadowych poscególnych rejonów. Wśród ych modeli moŝna wyróŝnić modele opare na wskaźnikach wrosu ora róŝne odmiany modeli Fraara [71]. Modele eksrapolacyjne moŝna sosować wyłącnie w warunkach wględnej sabiliacji [103]. 15

16 Pregląd meod modelowania ruchu Pośród meod analiycnych najwaŝniejse nacenie mają modele proporcjonalny, grawiacyjny ora Lilpopa [103]. Do meod analiycnych rokładu presrennego ruchu naleŝą równieŝ meody pośrednich moŝliwości [3, 87]. Modele e akładają, Ŝe licba podróŝy pomiędy srefą źródłową a srefą docelową jes proporcjonalna do ilości okaji w srefie docelowej i odwronie proporcjonalna do ilości okaji moŝliwych do uyskania pred osiągnięciem srefy docelowej [45, 115, 148, 149]. W pracy [147] do opisu rokładu presrennego osał opracowany model sploowy. Sosowane są równieŝ meody wynacania maciery podróŝy na podsawie najomości naęŝeń ruchu na poscególnych odcinkach międywęłowych badanej sieci ransporowej [83, 84, 111, 112, 113, 114, 144]. Budowa maciery podróŝy na podsawie naęŝeń ruchu asosowana jes równieŝ w programach symulacyjnych: SATURN, VISEM [77]. Orymane maciere rokładu presrennego ruchu rokłada się na środki ransporu. Obecnie najcęściej sosowane do opisu rokładu ruchu na środki ransporu są modele opare na eorii uŝyecności. Funkcję uŝyecności moŝna scharakeryować jako biorce osacowanie ale i wad poscególnych sposobów realiacji podróŝy. Ocena a nie jes w pełni obiekywna, lec cęściowo bauje na subiekywnym wyobraŝeniu [124, 134]. Modele opare na uŝyecności róŝnią się międy sobą ałoŝeniami co do rokładu obiekywnej cęści uŝyecności i składnika losowego, jak i sposobem apisu maemaycnego. Spośród wsyskich modeli oparych na eorii uŝyecności do opisu rokładu ruchu na środki ransporu najcęściej sosowane są modele: logiowy [134], MNL (Mulinomial Logi) [9, 10] ora NL (Nesed Logi) [9]. Scegółowy pregląd meod podiału ruchu na środki ransporu osał predsawiony w [134]. Opis cynników mających wpływ na wybór środka ransporu predsawiono w [127]. Osanim eapem klasycnego modelowania ruchu jes rokład ruchu na sieć ransporową. Eap en osanie scegółowo predsawiony w rodiale 3.2. Do opisu poscególnych modeli cąskowych sosuje się niekiedy nowe echniki, akie jak: eoria gier [5], algorymy geneycne [21, 37, 111], cy sieci neuronowe [44, 53, 96]. Klasycny sposób modelowania ruchu miejskiego jes modelowaniem sekwencyjnym. Kolejno realiowane są poscególne modele cąskowe. Taki sposób modelowania nie uwględnia współaleŝności pomiędy poscególnymi eapami. Pomiędy poscególnymi modelami cąskowymi achodą spręŝenia wrone, kóre w isony sposób mogą decydować o obciąŝeniu poscególnych środków ransporu cy elemenów sieci komunikacyjnej [75]. Dla prewycięŝenia ych niedoskonałości pocyniono próby 16

17 Pregląd meod modelowania ruchu połącenia poscególnych modeli cąskowych w jeden model [4, 19, 38, 52, 92, 95, 109]. W pracy [100] ajęo się problemem modelowania rokładu ruchu e miennym popyem. Opróc łącenia poscególnych modeli cąskowych w jeden model w osanich laach rowinęła się eoria opara na akywności [67, 133, 135, 142]. Model en nie skupia się na pojedyncych podróŝach, jak modele predsawione powyŝej, lec opary jes na dobowym łańcuchu podróŝy wykonywanym pre poscególne osoby, a łącącym wsyskie akywności. Modelowanie ruchu w oparciu o eorię akywności predsawiono w pracach: [7, 8, 11, 46, 47, 143]. Predsawione modele doycą powsawania ruchu, rokładu presrennego ruchu ora rokładu ruchu na sieć ransporową. Nie doycą rokładu ruchu na sieć ransporową, dlaego nie moŝna ich wykorysać w pracy Rokład ruchu na sieć ransporową Rokład ruchu na sieć ransporową jes osanim modelem cąskowym klasycnego modelowania ruchu miejskiego. Polega on na wynaceniu dla kaŝdej pary rejonów jednej lub kilku ras prejadu, a nasępnie wynaceniu dla kaŝdej nich wielkości pooków ruchu na danej rasie. Sukaniu najkrósych ras w sieci ransporowej poświęcone są prace [24, 29, 88]. Pregląd sosowanych funkcji oporu odcinka międywęłowego predsawiono w pracy [65], w pracy [66] określono kosy podróŝy w miejskiej sieci drogowej, naomias w pracy [98] predsawiono funkcje sra na połąceniach sosowane podcas dynamicnej równowagi. Najbardiej naną funkcją sra jes funkcja BPR (Bureau of Public Roads) [65, 107]. Isnieje wiele meod określania rokładu ruchu na sieć ransporową. Meody e określają głównie rokład ruchu indywidualnego (samochodów osobowych) na sieć ransporową, chociaŝ sosowane są równieŝ do określania rokładu ruchu piesego [59, 60], cy środków komunikacji biorowej [79, 80, 99, 129]. W pracy [152] ajęo się problemem rokładu i opymaliacji ruchu wynikającym amknięć ulic. Do najwaŝniejsych modeli rokładu ruchu na sieć ransporową moŝna alicyć nasępujące meody: meodę wsysko albo nic, meodę k najańsych połąceń, meodę rokładu ruchu uwględnieniem prepusowości, meodę kwanową, 17

18 Pregląd meod modelowania ruchu model równowagi, model sochasycnej równowagi, model dynamicnej równowagi. Meoda wsysko albo nic polega na wynaceniu dla kaŝdej relacji rejon źródłowy rejon docelowy najańsej ścieŝki łącącej e rejony, a nasępnie prydielenie na nią całkowiego pooku pomiędy ymi rejonami [71]. Meoda k najańsych połąceń polega na wynaceniu dla kaŝdej pary: źródło cel podróŝy pewnej usalonej licby k najańsych ras. Określenie licby k predsawiono w pracy [146]. Warości pooków ruchu na poscególnych rasach uyskuje się akładając rokład odwronie proporcjonalny do kosów na poscególnych rasach [71]. Meoda rokładu ruchu uwględnieniem prepusowości akłada, Ŝe wsyscy podróŝni sarają się wybierać rasę najańsą, jednak w prypadku, gdy saje się ona preciąŝona wybierają kolejne ścieŝki najańse [71]. W meodie kwanowej macier podróŝy dla scyowego naęŝenia ruchu P ij dielona 1 jes na kilka lub kilkanaście maciery składowych P,..., m ij P ij, kórych kaŝda sanowi cęść (kwan) maciery P ij [71]. Poscególne maciere składowe rokładane są na akualnie najańse rasy prejadu. Rokładu dokonuje się w sposób ieracyjny. Model równowagi jes meodą rokładu ruchu na sieć ransporową, kóra opiera się na drugiej asadie Wardropa [136]: casy podróŝy na wsyskich wykorysywanych drogach są równe lub mniejse od casu podróŝy, jaki uŝyłby pojad pokonując dowolną inną drogę. ZałoŜeniem modeli równowagi jes, Ŝe wsyscy podróŝni posiadają dokładne informacje o kosach podróŝy na poscególnych rasach ora, Ŝe jednakowo posregają kos podróŝy daną rasą [66]. Model sochasycnej równowagi SUE (Sochasic User Equilibrium) [30] akłada, Ŝe Ŝaden podróŝny nie wiery, iŝ moŝe poprawić własny cas prejadu, gdy ylko on dokona miany rasy. W modelach SUE model równowagi jes roserony pre włącenie losowych elemenów do funkcji kosów podróŝy celem róŝnicowania posregania kosów podróŝy pre poscególnych podróŝnych [54, 105]. W aleŝności od rokładu prawdopodobieńswa cynnika losowego moŝna uyskać modele logiowe [86, 89], lub probiowe [28, 90]. Meoda sochasycnej równowagi sosowana jes równieŝ do rokładu ruchu pojadów komunikacji biorowej [79, 80, 99, 129]. Model dynamicnej równowagi opiera się na nasępującej asadie: dla kaŝdej pary źródło cel, w kaŝdej chwili casu, akualne casy podróŝy odcuwane pre podróŝnych 18

19 Pregląd meod modelowania ruchu odjeŝdŝających w ym samym casie są równe i minimalne. Onaca o, Ŝe podróŝni udający się do ego samego celu, a ropocynający swoją podróŝ w ym samym casie, dosięgną swojego celu jednoceśnie [51]. W lieraure isnieje wiele róŝnorodnych podejść do sformułowania i rowiąania modeli dynamicnej równowagi: [1, 6, 13, 20, 34, 39, 61, 64, 85, 125, 132]. W pracy [59] asosowano modele dynamicnej równowagi do opisu rokładu ruchu piesego. Więksość predsawionych powyŝej meod rokładu ruchu na sieć ransporową nie nadaje się do opisu jawiska miennego w casie. Meody posiadają równieŝ wiele wad, kóre w pełni nie odwierciedlają syuacji ruchowej w sieciach o ograniconej prepusowości skryŝowań Modelowanie ruchu na skryŝowaniach be sygnaliacji świelnej Od kilkudiesięciu la skryŝowania pierwseńswem prejadu są obiekem badań. Badane są achowania kierowców (granicne odsępy casu porebne do wykonania odpowiednich manewrów, odsępy pomiędy pojadami wyjeŝdŝającymi wlou podporądkowanego wykorysującymi więkse odsępy casu w pooku nadrędnym) [18, 62, 137]. Określana jes prepusowość wloów podporądkowanych [16, 26, 58, 63, 93, 104]. Badane jes jawisko dławienia ruchu [130]. W pracy [72] amodelowano ruch na skryŝowaniu jako proces sochasycny. W lieraure predmiou nanych jes wiele meod oblicania prepusowości skryŝowań be sygnaliacji świelnej. MoŜna je podielić asadnico na dwie kaegorie: meody empirycne, meody eoreycne. Meody empirycne opierają się na wiąkach pomiędy geomerią skryŝowania, widocnością a prepusowością skryŝowań. Do ej kaegorii moŝna alicyć meodę PICADY [32]. Meody eoreycne baują na eorii akcepacji odsępów casu w pooku nadrędnym. Do najwaŝniejsych ej kaegorii naleŝą modele Tannera, Hardersa, Sieglocha [32]. W meodie HCM [58] prepusowość moŝliwą wlou podporądkowanego moŝna wynacyć na podsawie aleŝności (3.1): 19

20 Pregląd meod modelowania ruchu C m Qn g exp( ) = Q 3600 n, (3.1) Qn f 1 exp( ) 3600 gdie: Q n naęŝenie relacji nadrędnych [P/h], g granicny odsęp casu [s], f odsęp casu pomiędy pojadami wyjeŝdŝającymi kolejki [s]. W meodie omówionej w [93], kóra sanowi meodę oblicania prepusowości skryŝowań be sygnaliacji świelnej, określono prepusowości wyjściowe relacji podporądkowanych wyraŝone a pomocą aleŝności (3.2) ora (3.3): dla relacji lewoskręnej drogi pierwseńswem prejadu: dla dowolnej relacji wlou podporądkowanego: C C 0r 0r 3600 Q n f = exp[ 1,10 ( g )], (3.2) f 3600 Q n f = exp[ 1,07 ( g )]. (3.3) f Onacenia sosowane w aleŝnościach (3.2) i (3.3) są jednakowe jak w meodie HCM. Predsawione powyŝej meody oblicania prepusowości wloów podporądkowanych akładają losowy pook pojadów na jedni głównej. Meody e nie są prydane do określenia prepusowości wloów podporądkowanych, gdy na jedni głównej urymuje się kolejka pojadów. Do obliceń prepusowości skryŝowań podporądkowanych biere się pod uwagę granicny odsęp casu. Wg [58] granicny odsęp casu g jes definiowany jako najmniejsy inerwał casu pomiędy pojadami w pooku głównym, kóry powala na włącenie się do ruchu jednego pojadu podporądkowanego. Granicnego odsępu casu nie da się pomieryć w sposób bepośredni na skryŝowaniu. MoŜna go esymować na podsawie obserwacji najwięksych odrucanych i najmniejsych akcepowanych osępów casu w pooku głównym na danym skryŝowaniu. W pracy [137] dokonano analiy granicnych odsępów casu na skryŝowaniach be sygnaliacji świelnej w miasach niemieckich, naomias w pracy [49] na skryŝowaniu ypu rondo. Isnieje wiele meod esymacji granicnych odsępów casu. MoŜna je podielić na dwie asadnice grupy [56]. Pierwsą nich sanowią meody, kóre na podsawie obserwacji akcepowanych i odrucanych odsępów casu dają jako granicny odsęp casu warość 20

21 Pregląd meod modelowania ruchu deerminisycną, jednakową dla wsyskich kierowców. Jako najwaŝniejse esymaory sosuje się warość średnią i medianę akcepowanych odsępów casu. Bardo popularna jes równieŝ meoda Raffa. Granicny odsęp casu wg ej meody jes o warość, w kórej skumulowane krywe akcepowanych i odrucanych odsępów casu precinają się. Drugą grupę sanowią meody, kóre podają rokład granicnych odsępów casu. Isnieje równieŝ wiele meod esymacji. Scegółowo opisane osały w [18]. Do najpopularniejsych naleŝą: meoda Hardersa ora meoda maksymaliacji funkcji prawdopodobieńswa [27, 49]. W pracach [58, 93] uwględniono równieŝ ruch pojadów na jedni głównej najdujących się w srefie wpływu sąsiednich skryŝowań sygnaliacją świelną. Obecność skryŝowania pierwseńswem prejadu w srefie oddiaływania sąsiednich skryŝowań sygnaliacją świelną powoduje powsawanie cyklicności ruchu deerminowanego pre programy sygnaliacji. Podsawą oblicania prepusowości relacji podporądkowanych jes model akładający, Ŝe prepusowość w dłuŝsym okresie casu jes sumą prepusowości w kolejnych inerwałach charakeryującymi się miennymi, lec cyklicnie powaranymi sanami ruchu. Meody e (opisane w [58, 93]) uwględniają skryŝowania pierwseńswem prejadu będące pod wpływem oddiaływania sąsiednich skryŝowań sygnaliacją świelną. Pomijają całkowicie wpływ oddiaływania ruchu piesego na pooki pojadów. Choć nie uwględniają kolejki pojadów mogącej wysępować na jedni głównej na skryŝowaniu pierwseńswem prejadu, o jednak wskaują na procedurę oblicania prepusowości wloów podporądkowanych, gdy na jedni głównej wysępuje inny pook ruchu niŝ losowy. Meodę ę moŝna wykorysać do określenia prepusowości relacji podporądkowanych na skryŝowaniu będącym pod wpływem oddiaływania skryŝowania sygnaliacją świelną o ograniconej prepusowości Modele ruchu w arerii Kolumna pojadów opuscająca skryŝowanie sygnaliacją świelną w miarę oddalania się od skryŝowania ulega roproseniu (dyspersji) więksają się odsępy międy pojadami, co powoduje wydłuŝenie prejadu całej kolumny. Opracowano licne modele dyspersji. Do najwaŝniejsych nich naleŝą [32, 69, 106]: model opary na eorii fali Lighhilla i Whihama, model akładający normalny rokład casu jady w arerii (Pacey a), 21

22 Pregląd meod modelowania ruchu model akładający geomerycny rokład jady w arerii (Robersona), model akładający jednosajny rokład casu jady w arerii. Meody e akładają róŝne rokłady casu jady pojadów wyjeŝdŝających e skryŝowania sygnaliacją świelną. Tym samym róŝny jes ich apis maemaycny. Porebne są dodakowe paramery, jak na prykład sała dyspersji w modelu akładającym jednosajny rokład casu jady w arerii. MoŜna wykorysać pomierone wceśniej paramery [32], jednak nie dają one obrau losowości odsępów casu międy pojadami w odpowiednich prekrojach a skryŝowaniem sygnaliacją świelną. Predsawionych modeli dyspersji pooku pojadów nie moŝna asosować do badań symulacyjnych, gdyŝ nie predsawiają one losowości odsępów casu pomiędy pojadami jadącymi w kolumnie Podsumowanie Więksość predsawionych modeli rokładu ruchu na sieć ransporową nie nadaje się do opisu jawiska miennego w casie. Meody posiadają równieŝ wiele wad, kóre w pełni nie odwierciedlają syuacji ruchowej w sieciach o ograniconej prepusowości skryŝowań. Zakładają jedną lub usaloną góry licbę ras alernaywnych, jednakowość w posreganiu kosów prejadu, posiadanie dokładnej informacji o warunkach ruchu na rasie prejadu, brak wysępowania kolejek pojadów na poscególnych rasach, wybór konkrenej rasy pred ropocęciem podróŝy i realiowanie podróŝy godnie wceśniejsym wyborem. Dokładniej jawisko rokładu ruchu na sieć ransporową opisane jes modelem sochasycnej równowagi, akładając losowość sposregania kosów prejadu ora brak pełnej informacji o warunkach ruchu w sieci ransporowej. Model en nie uwględnia jednak jawiska rokładu ruchu na sieć ransporową jako jawiska miennego w casie. Spośród meod rokładu ruchu na sieć ransporową ylko meoda dynamicnej równowagi opisuje rokład ruchu w sposób mienny w casie. Jako jedyna mogłaby być asosowana do miennego w casie rokładu ruchu w okolicach skryŝowań ograniconą prepusowością. Jednak łoŝony proces rowiąania modelu dynamicnego, cęso musający do sięgania po badania symulacyjne, pobawia go ale prakycnych. W pracy predsawiono rokład ruchu na sieć ransporową jako jawisko mienne w casie. Wykorysano do ego celu seregi casowe opisujące długość kolejki na wlocie 22

23 Pregląd meod modelowania ruchu skryŝowania ora określono aleŝność pomiędy udiałem kierowców reygnujących ałoconej rasy a długością kolejki na wlocie skryŝowania. Więksość modeli określających prepusowość wloów podporądkowanych akłada losowy pook pojadów na jedni głównej. Meody e najcęściej opare są na eorii akcepacji luk. Sosowane są równieŝ meody [58, 93], kóre uwględniają pook pojadów wypływający e skryŝowania sygnaliacją świelną. Meody e nie uwględniają ruchu piesego prechodącego pre jednię główną. Brakuje jednak meod określających prepusowość wloów podporądkowanych, gdy na jedni głównej urymuje się kolejka wiąana w posojem pred skryŝowaniem sygnaliacją świelną. Aby określić meodę oblicania prepusowości wloów podporądkowanych, gdy na jedni głównej urymuje się kolejka pojadów wykonano pomiary ruchu ora preprowadono badania symulacyjne. Ich celem było badanie wpływu piesych precinających jednię główną na prepusowość relacji podporądkowanych. 23

24 4. CHARAKTERYSTYKA SZEREGÓW CZASOWYCH I MODELI ARIMA 4.1. Wprowadenie Wiele jawisk wysępujących w pryrodie opisywanych jes pre ciągi miennych losowych. W prypadku, gdy pomiary ych miennych dokonywane są w sposób uporądkowany, cyli nasępująco po sobie w casie mamy do cynienia seregami casowymi [68, 101]. Isnieje pewna eoria, kóra akłada, Ŝe skoro ciągi e są uporądkowane, o powinna isnieć aleŝność pomiędy kolejnymi elemenami seregu [15, 23]. Do opisu aleŝności pomiędy kolejnymi elemenami seregu słuŝą modele ARIMA (Auo-Regressive Inegraed Moving Average). W jęyku polskim łumacone jes o jako Scałkowane Procesy Auoregresji i Średniej Ruchomej. W dalsej cęści pracy będie wykorysywany skró nawy modelu. Modele ARIMA akładają, Ŝe elemen seregu casowego moŝna predsawić a pomocą składników poprednich lub/i ich res. Resą jes składnik losowy o rokładie normalnym aburający badane jawisko. Wiele prac wykorysujących modele ARIMA sosowanych jes do agadnień drogownicwa i inŝynierii ruchu. W [102] wykorysano seregi casowe do prognoowania równości poprecnej nawierchni asfalowej. Do agadnień wiąanych inŝynierią ruchu najcęściej wykorysywane są do modelowania i prognoowania wielkości pooków ruchu [50, 116, 117, 131]. UŜywane są równieŝ do prognoowania wypadkowości [153], opisu dojścia piesych do prejść dla piesych [42] ora prędkości pojadów [14]. W niniejsej pracy wykorysano modele ARIMA do opisu długości kolejki na wlocie skryŝowania sygnaliacją świelną ora prognoowania długości kolejki. Wykorysano równieŝ seregi casowe do opisu rokładu ruchu na sieć ransporową miennego w casie Definicja seregu casowego Sereg casowy jes biorem obserwacji nasępujących po sobie w casie [15]. Obserwacje seregu pocynione w chwilach τ 1, τ 2,..., τ N moŝna onacyć jako (τ 1 ), (τ 2 ),..., (τ ),..., (τ N ) lub dla uproscenia apisu jako: w jednakowych odsępach casu [15, 68]. Ogólnie seregi casowe moŝna podielić na dwie grupy: sacjonarne, niesacjonarne.,, ,. Obserwacje e nie musą być wykonane N 24

25 Charakerysyka seregów casowych i modeli ARIMA W prypadku seregów casowych moŝemy mówić, iŝ sereg jes sacjonarny, gdy posiada niemienną w casie średnią i wariancję. W prypadku, gdy średnia lub wariancja ulegają mianom w casie mamy do cynienia seregami niesacjonarnymi [15] Charakerysyka sacjonarnych seregów casowych Sacjonarny sereg casowy posiada sałą średnią [15]: ora sałą wariancję: µ = E ], (4.1) 2 2 σ = E [( µ ) ], (4.2) kóre moŝna aproksymować pre nasępujące esymaory: 1 = N ora: N = 1 [ N = 1, (4.3) N σˆ = ( ). (4.4) Kowariancja pomiędy dwoma warościami seregu casowego oddalonymi o k jednosek casu naywana jes auokowariancją pry odsępie k. Określana jes jako [15]: γ k + k + k = cov[, ] = E[( µ )( µ )]. (4.5) Esymaorem auokowariancji seregu casowego jes nasępująca funkcja: N k 1 ck = ( )( + k ), k = 0,1, 2,..., K. (4.6) N = 1 Podobnie auokorelację pry odsępie k moŝna predsawić a pomocą aleŝności: ρ k = E[( µ )( + k µ )] E[( = 2 2 E[( µ ) ] E[( µ ) ] + k µ )( σ 2 + k µ )]. (4.7) Saysycy sugerowali róŝne esymaory funkcji auokorelacji, jednak najbardiej adawalającym esymaorem auokorelacji jes [15]: gdie c k jes esymaorem auokowariancji pry odsępie k. ck rk =. (4.8) Opróc funkcji auokorelacji isnieje równieŝ funkcja auokorelacji cąskowej ϕ kk. Funkcja a jes funkcją odsępów k spełniającą nasępujący układ równań: ρ j = ϕk1 ρ j ϕk ( k 1) ρ j k ϕkk ρ j k, j = 1,2,..., k (4.9) gdie: ϕ j y współcynnik w procesie auoregresji rędu k. kj c 0 25

26 Charakerysyka seregów casowych i modeli ARIMA 4.4. Operaory sosowane pry analiie seregów casowych Analia seregów casowych wymaga sosowania dodakowych operaorów. Do najwaŝniejsych nich moŝna alicyć [15]: operaor presunięcia wsec B: B, (4.10) = 1 B m =, (4.11) m operaor presunięcia napród F: 1 F = B, (4.12) F, (4.13) = +1 m F + m =, (4.14) operaor róŝnicowy wsec : operaor sumowania S : = B), (4.15) 1 = ( Modele auoregresji 1 2 = = j = = (1 + B + B +. (4.16) j= 0 S...) W modelu auoregresyjnym bieŝąca warość procesu wyraŝona jes jako skońcona kombinacja liniowa poprednich warości procesu i składnika losowego a. MoŜna o apisać a pomocą równania (4.17) [15]: ~ ~ ~ ~ + = ϕ1 1 + ϕ ϕ p p a, (4.17) gdie ~ jes odchyleniem warości seregu od warości średniej µ: ϕ i i-y paramer modelu auoregresyjnego, a składnik losowy. ~ µ, (4.18) = Zakłada się, Ŝe składnik losowy a jes białym sumem, cyli ciągiem niealeŝnych miennych o średniej równej ero i wariancji równej normalny. 2 σ a. Składnik losowy posiada rokład Proces opisany powyŝsym równaniem jes procesem auoregresyjnym rędu p. Onaca się go jako AR(p). MoŜna go opisać w inny sposób uŝywając operaora presunięcia wsec: ( 1 2 p ϕ1 B ϕ2b... ϕ pb ) = a, (4.19) ~ 26

27 Charakerysyka seregów casowych i modeli ARIMA gdie ϕ (B) jes operaorem auoregresji rędu p. ϕ ( B ) ~ = a, (4.20) W prakyce najwiękse asosowanie mają procesy auoregresji rędu pierwsego i drugiego Modele średniej ruchomej W modelu średniej ruchomej warość ~ aleŝy liniowo od skońconej licby q poprednich składników losowych. MoŜna go apisać a pomocą równania (4.21) [15]: ~ = a Θ1 a 1 Θ2a 2... Θqa q, (4.21) gdie: ~ odchylenie warości seregu od warości średniej µ, Θ i paramery modelu średniej ruchomej. Proces średniej ruchomej onaca się jako MA(q). Sosując operaor presunięcia wsec B model en moŝna apisać w posaci: q ( 1 Θ B Θ2B ΘqB ) a ~ 2 = 1..., (4.22) ~ = Θ( B), (4.23) a gdie Q(B) jes operaorem średniej ruchomej rędu q. Spośród procesów średniej ruchomej w prakyce najwiękse asosowanie mają procesy rędu pierwsego i drugiego Miesane modele auoregresji i średniej ruchomej W wielu prypadkach do właściwego opisania seregu casowego koniecne jes włącenie arówno elemenów auoregresji jak i elemenów średniej ruchomej. Proces aki moŝna apisać nasępująco [15]: ~ = ϕ ~ + + ϕ ~ p p + a Θ1a 1... Θqa q, (4.24) lub a pomocą operaora presunięcia wsec B: p q ( 1 ϕ1b... ϕ pb = (1 Θ1B... ΘqB ) ) ~ a, (4.25) ϕ ( B ) ~ = Θ( B). (4.26) a PowyŜsy proces moŝna apisać jako proces ARMA (p, q), gdie odpowiednio p i q są licbami paramerów auoregresyjnych i średniej ruchomej procesu. 27

28 Charakerysyka seregów casowych i modeli ARIMA 4.8. Procesy ARIMA W prypadku procesów niesacjonarnych koniecne jes róŝnicowanie seregu celem uyskania seregu sacjonarnego. RóŜnicowanie polega na odejmowaniu od kaŝdego elemenu seregu elemenu wceśniejsego. Zakłada się, Ŝe kóraś róŝnica seregu doprowadi pierwony niesacjonarny sereg do seregu sacjonarnego. W bardo wielu prypadkach seregów niesacjonarnych wysarcy ylko jednokrone róŝnicowanie [15, 23]. Ogólnie proces ARIMA awierający p paramerów auoregresji, q paramerów średniej ruchomej i wymagający d kronego róŝnicowania moŝna apisać: ϕ ( ~ Θ a, (4.27) d B )(1 B) = ( B) d B ) = ( B) ϕ ( Θ a, (4.28) lub w posaci: ϕ ( B ) = Θ( B) a, (4.29) gdie: ϕ (B) jes niesacjonarnym operaorem auoregresji, akim Ŝe d pierwiasków równania ϕ ( B) = 0 równych jes jedności. Model ARIMA o skońconej licbie paramerów auoregresyjnych i średniej ruchomej moŝna jednoceśnie apisać jako nieskońconą sumę wag ora składników losowych: = a 1 a 1 + ψ 2 a = a + ψ j a j = ψ ( B) j= 1 + ψ a. (4.30) Wejściem do ego modelu jes biały sum lub ciąg nieskorelowanych impulsów a Pry akim opisie proces ARIMA moŝna opisać równaniem (4.31): gdie: ϕ (B) uogólniony operaor auoregresji, ψ (B) operaor wag, Θ (B) operaor średniej ruchomej. ϕ ( B) ψ ( B) = Θ( B), (4.31) Zapis procesu ARIMA jes rójskładnikowy (p, d, q), gdie p jes licbą paramerów auoregresyjnych, q licbą paramerów średniej ruchomej i d jes licbą koniecnych róŝnicowań seregu, by doprowadić go do seregu sacjonarnego. Zapisu ego moŝna uŝywać do opisu modeli AR, MA, ARMA, ym, Ŝe odpowiednie składniki w ym apisie są równe eru. Dla więksości procesów ARIMA opisujących recywise procesy radko kiedy licba paramerów jes więksa od dwóch. 28

29 Charakerysyka seregów casowych i modeli ARIMA 4.9. Budowanie modeli sochasycnych Z adaniem odwronym mamy do cynienia, kiedy posiada się sereg casowy opisujący wybrany proces recywisy. Naomias porebna jes najomość modelu sochasycnego, a pomocą kórego moŝna opisać isniejący sereg casowy. Budowanie modeli sochasycnych składa się rech eapów: idenyfikacji modelu, esymacji paramerów i diagnosycnego sprawdenia modelu. O dobore właściwego modelu ARIMA do orymanego seregu casowego decydują głównie nasępujące elemeny: wykres kolejnych elemenów seregu casowego, wykres seregu róŝnicowanego, funkcja auokorelacji i funkcja auokorelacji cąskowej. Na podsawie wykresu seregu casowego moŝna sprawdić cy sereg jes sacjonarny, cy niesacjonarny, a ym samym cy wymaga róŝnicowania. Na eapie idenyfikacji usala się licbę paramerów w modelu ARIMA. Podsawowym narędiem w ej faie są funkcje auokorelacji i funkcje auokorelacji cąskowej. Zdecydowaną więksość sacjonarnych seregów casowych moŝna opisać pry uŝyciu jednego pięciu podsawowych modeli, w kórych licba paramerów nie prekraca dwóch. Posiadając wybrany model na eapie idenyfikacji kolejnym krokiem jes naleienie efekywnych osacowań paramerów. Podcas esymacji paramerów wykorysywany jes algorym minimaliacji funkcji w celu maksymaliacji orymania właśnie obserwowanego seregu, pry adanych warościach paramerów. Obecnie jednak proces esymacji paramerów wykonywany jes a pomocą programów kompuerowych [119]. Gdy posiada się juŝ pryjęy model do recywisego seregu casowego, kolejnym a araem osanim krokiem jes sprawdenie pryjęego modelu. Sprawdenie modelu opiera się prede wsyskim na analiie res. W poprawnie dobranym modelu resy powinny sanowić biały sum, cyli ciąg niealeŝnych miennych o średniej równej eru ora sałej wariancji 2 σ a. Dodakowo powinny mieć rokład normalny. Dla res nie powinny isnieć funkcje auokorelacji i auokorelacji cąskowej Prognoowanie warości seregów casowych W aawansowanych sysemach serowania ruchem sosuje się prognoy ruchu, aby dać podróŝnym informację o warunkach ruchu, jakie spokają na swojej rasie [107, 128]. Informacja a dosarcana jes w róŝnoraki sposób: a pomocą Inerneu, sieci GSM, radia cy sysemu RDS [43]. W pracy [33] badano skłonność kierowców do płacenia a reelną 29

30 Charakerysyka seregów casowych i modeli ARIMA informację o warunkach ruchu. Najcęściej określa się prognoy wielkości pooków ruchu, jakie pojawią się w danym miejscu sieci komunikacyjnej niewielkim wypredeniem. Ogólnie meody prognoowania moŝna podielić na ry grupy [23]: prognoowanie osądowe (judgemenal forecass), meody jednej miennej (univariae mehods), meody wielu miennych (mulivariae mehods). Prognoowanie osądowe opare jes na subiekywnym sądie, inuicji, posiadanym doświadceniu ora dosępnej informacji. Meody jednej miennej opare są na akualnych ora presłych warościach pojedyncego seregu, kóry ma być prognoowany. W meodach wielu miennych prognoy danej miennej aleŝą prynajmniej cęściowo od warości jednego lub więcej dodakowych miennych seregów casowych, naywanych predykorami lub dodakowymi miennymi. W skład ej grupy wchodą sieci neuronowe. Ich asosowanie w agadnieniach inŝynierii ruchu jes cora popularniejse. W pracy [106] wykorysano sieć neuronową do predykcji jawiska dyspersji, w pracy [44] do prognoowania casu podróŝy, w pracy [14] do prognoowania prędkości jady, naomias w pracy [131] do prognoowania pooków ruchu. Spośród meod oparych o ciąg jednej miennych najprossym sposobem jes wykorysanie modelu ARIMA w posaci równania róŝnicowego [15]: gdie: ϕ ( B) = Θ( B), (4.32) a d ( B) = ϕ( B. (4.33) ϕ ) Obserwację prognoowaną dla wypredenia l +l generowaną pre proces ARIMA opisany równaniem (4.32) moŝna wyraić równieŝ a pomocą równania róŝnicowego: + l = ϕ + l ϕ p+ d + l p d Θ1 a+ l 1... Θq a+ l q + a+ l 1, (4.34) gdie: p licba paramerów auoregresyjnych modelu ARIMA, q licba paramerów średniej ruchomej modelu ARIMA, d licba róŝnicowań seregu. Na podsawie rowaŝań predsawionych w pracy [15] prognoa obserwacji +l moŝe być predsawiona w nasępujący sposób: gdie: ˆ ( l) = + e ( l), (4.35) l + 30

31 Charakerysyka seregów casowych i modeli ARIMA ˆ ( l) = E[ ]. (4.36) + l E[ +l ] jes warunkową warością ocekiwaną +l pry najomości wsyskich warości do momenu. Naomias e (l) jes błędem prognoy ˆ ( l) wypredeniem l. W prypadku prognoy na jeden krok napród warość ego błędu jes równa: e l) = a + l (, (4.37) cyli odpowiada rescie (składnikowi losowemu) procesu ARIMA, kóra generowała en proces. Aby orymać prognoę ˆ ( l) naleŝy prejść w równaniu (4.34) do warunkowych warości ocekiwanych w momencie : E[ + l ] = ˆ ( l) = ϕ1 E[ + l 1] ϕ p+ d E[ + l p d ] Θ1 E[ a+ l 1]... Θ q E[ a + l q ] + E[ a + l ]. (4.38) W prypadku warunkowych warości ocekiwanych, gdy j jes warością całkowią achodą nasępujące aleŝności: E[ E[ E[ a E[ a j + j j + j ] = ] = ˆ ( j), ] = a j j, = j ˆ j 1 (1), ] = 0, j = 1,2,.... j = 0,1,2,... j = 1,2,... (4.39) j = 0,1, 2,... Podsawiając aleŝności (4.39) do równania róŝnicowego (4.38) moŝna orymać prognoę ˆ ( l). Meoda a jes meodą rekurencyjną, oblicającą prognoy dla kolejnych wypredeń l. Aby wynacyć prediały prawdopodobieńswa dla ych progno koniecne jes naleienie wag ψ 1, ψ 2,..., ψ L 1. Wykorysuje się do ego celu równanie (4.40): ϕ ( B) ψ ( B) = Θ( B). (4.40) Aby wynacyć warości poscególnych wag porównuje się współcynniki pry jednakowych poęgach B w równaniu (4.41): (1 ϕ B... ϕ 1 p+ d B p+ d ) (1 + ψ B + ψ B = (1 Θ B Θ B Θ p B p ). (4.41) Znając warości paramerów auoregresyjnych ora średniej ruchomej moŝna wynacyć warości poscególnych wag. Prediały prawdopodobieńswa ( 1 ε ) procenowe: ( ) ora (+) dla obserwacji +l +l prognoowanej + moŝna wyraić a pomocą aleŝności (4.42): l l l ± = l ± u / 2 + ( ) ˆ ( ) ε / 2 [1 ψ j ] sa, (4.42) j= 1 31