RÓWNOWAGA NASHA W GRACH NIE KOOPERACYJNYCH NA RYNKU DNIA NASTĘPNEGO

Transkrypt

1 INSTYTUT AUTOMATYKI SYSTEMÓW ENERGETYCZNYCH RÓWNOWAGA NASHA W GRACH NIE KOOPERACYJNYCH NA RYNKU DNIA NASTĘPNEGO mgr inż. Magdalena Borgosz-Koczwara 1) IASE Wrocław mgr inż. Agnieszka Wyłomańska 2) Politechnika Wrocławska Otwarcie rynku energii stwarza ogromną szansę i wyzwanie dla producentów energii. Doświadczenia rynków europejskich, a w szczególności niemieckiego, przedstawiają różne kierunki przekształceń przedsiębiorstw energetycznych, takie jak połączenia czy przejęcia, mające na celu zwiększenie swojej siły rynku. W pracy [5] przedstawiono analizę strategicznych zachowań przedsiębiorstw dążących do zwiększenia udziału w rynku poprzez maksymalizację swojego zysku. Zamodelowano rynek energii przy wykorzystaniu modelu Cournota Nasha, który opiera się na strategii ilościowej. Założono, że rynek jest w pełni konkurencyjny i każdy z graczy wpływa na wolumen sprzedaży pozostałych graczy. Natomiast w pracy [9] wybrano model monopolistyczny rynku jako bardziej odpowiedni do zaobserwowanego zachowania konkurencyjnego rynku energii w Niemczech. Skoncentrowano się na maksymalizacji funkcji zysków przez gracza, który wyznacza cenę sprzedaży na podstawie rosnącej krzywej kosztów marginalnych. Zauważono zależność pomiędzy funkcją zysków a kosztami marginalnymi, które wynikają z faktu, że przedsiębiorstwa są różnorodne zarówno pod względem wielkości, jak i mocy wytwórczych i kosztów wytwarzania. W przedstawionym artykule wykorzystano doświadczenia zawarte w obu rozważanych pracach i wybrano grę nie kooperacyjną z większą liczbą graczy maksymalizujących zysk w krótkim okresie. Do opisu polskiego rynku energii wykorzystano model oligopolistyczny rynku. Wybrano również strategię cenową oraz uwzględniono różnorodność przedsiębiorstw. W artykule zajęto się równowagą Nasha w grze na Rynku Dnia Następnego. Wybrano RDN gdyż działają tu jasne mechanizmy [4,11], które mogły być zaimplementowane w przedstawionych w tej pracy badaniach. 1) 2) Praca wykonana częściowo w ramach projektu KBN nr 4 T10B Praca wykonana częściowo w ramach projektu KBN nr PBZ 016/P03/1999 1

2 MATEMATYCZNY MODEL GRY PRZEDSIĘBIORSTW Do badania działań producentów na rynku energii postanowiono wykorzystać dziedzinę zwaną teorią gier [3, 8], ponieważ potrafi ona dostarczyć odpowiedź na pytanie: w jaki sposób należy dokonać wyboru optymalnego wariantu postępowania, jeżeli w dążeniu do osiągnięcia własnych celów przedsiębiorstwo styka się z konkurencyjnymi działaniami rywali, którzy starają się osiągnąć własne cele? Aby dokonać wyboru optymalnego wariantu własnego działania, przedsiębiorstwo musi prawidłowo przewidzieć działania i reakcje konkurentów. Zakładamy, że optymalizacja własnych działań polega na zapewnieniu maksymalizacji zysków, przy założeniu, że rywale również kierują się maksymalizacją zysku. Polski rynek energii [10] jest otwarty na konkurencję w ok. 45%. W 2001 r. na Giełdzie Energii zakupiono ok. 1% z wyprodukowanej energii. Obecnie jednak procent ten zwiększa się z roku na rok. W 2002 udział Giełdy wzrósł do 2% a za rok 2003 szacuje się, że będzie on jeszcze większy [2]. Mechanizm wyznaczania ceny na RDN jest szczegółowo opisany w Regulaminie Giełdy [7]. Na rys.1 przedstawiliśmy mechanizm wyznaczania ceny rozliczeniowej dla przykładowej krzywej popytu i podaży. Producentowi, który składa ofertę sprzedaży, zależy aby złożona przez niego cena była jak największa ale jednocześnie mniejsza od giełdowej ceny rozliczeniowej, gdyż wtedy osiąga on dodatni zysk. Sprzedający nie znają ceny podawanej przez swoich konkurentów. Nie mogą oni zmieniać ilości sprzedawanej energii, bo założono, że jest to wartość stała wynikająca z optymalizacji pracy bloków. W przedstawionych badaniach zaproponowano wykorzystanie modelu konkurencji cenowej oraz model gry z niekompletną informacją. Zastosowany tu model został szerzej opisany w [11]. Rys. 1. Mechanizm wyznaczania giełdowej ceny rozliczeniowej. 2

3 Zatem w zamodelowanej grze mamy do czynienia z N liczbą graczy, którymi są producenci energii, grający niezależnie w taki sposób aby maksymalizować swoje zyski, przy założeniu, że pozostali gracze również maksymalizują swoje zyski. Przedstawioną grę nie kooperacyjną opisano przez funkcję zysków: Gi ( pi ) = ( p K) qi I{ p p} A( qi ) C, i gdzie p - jest ceną energii wyznaczoną na podstawie krzywej popytu i podaży K - jest jednostkowym kosztem wytwarzania 1 MWh energii p i - jest proponowaną ceną sprzedaży energii przez i-tego gracza q i - jest ilością energii, które i-ty gracz chce sprzedać na RDN A(q i ) - jest kosztem związanym ze złożeniem zlecenia na sprzedaż energii [7] C - jest stałą opłatą giełdową I {A} - funkcja przyjmująca wartości 1 gdy zachodzi warunek A, a 0 w przeciwnym wypadku. Analizując funkcję zysku widać, że jednostkowe koszty wytwarzania energii odgrywają szczególnie ważna rolę w tworzeniu zysków wytwórcy jak ważną rolę pełnią koszty wytwarzania 1MWh energii w całkowitym zysku przedsiębiorstwa. Techniczne koszty wytwarzania są różne dla każdego producenta (patrz tabela 3) i zależą od szeregu czynników, takich jak: koszt paliwa zużytego do produkcji energii, koszt transportu paliwa, koszt utrzymania dużych ilości mocy w systemie, itp. W wytwarzaniu energii elektrycznej szczególną rolę pełnią koszty stałe, ok. 40% kosztów oraz koszty paliwa zużytego do produkcji energii które zaliczamy do kosztów zmiennych. Dla elektrowni spalających węgiel kamienny położonych z daleka od kopalń istotny jest również koszt transportu paliwa, który w roku 2001 wynosił aż21,41 zł/t [6]. W tabeli 1 przedstawiono produkcję energii w 2001 w rozbiciu na rodzaj wykorzystywanego paliwa a w tabeli 2 przedstawiono ilość paliwa zużytego do produkcji energii elektrycznej. Tabela r. [GWh] Produkcja energii elektrycznej ogółem w tym: elektrownie na węglu brunatnym elektrownie na węglu kamiennym elektrociepłownie Źródło: na podstawie danych ARE. Tabela 2. [tys. t] Zużycie węgla brunatnego na produkcję energii elektrycznej Zużycie węgla kamiennego na produkcję energii elektrycznej Zużycie paliw ciekłych 212 Zużycie paliw gazowych (TJ) Źródło: na podstawie danych ARE. 3

4 Do kosztów wytwarzania zaliczamy oprócz technicznych kosztów również koszty finansowe. Obciążenia finansowe związane przede wszystkim z kredytami długoterminowymi W Polsce to są obecnie koszty związane z obsługą kontraktów długoterminowych w wyniku których zmodernizowano wiele elektrowni w największym stopniu dotyczą elektrowni spalających węgiel kamienny i dlatego w tej grupie są one znacznie większe niż w innych grupach [6]. W tabeli 3 podano jednostkowe techniczne koszty wytwarzania energii elektrycznej i koszty finansowe. Tabela 3. Elektrownie na węglu brunatnym - koszty techniczne 97,09 - koszty finansowe 7,42 Elektrownie na węglu kamiennym - koszty techniczne 128,87 - koszty finansowe 16,24 Elektrociepłownie - koszty techniczne 118,86 - koszty finansowe 7,40 Źródło: na podstawie danych ARE z 2001r. ZYSK W GRZE NIE KOOPERACYJNEJ Rozważono sytuację, w której na rynku energii działa M nabywców energii oznaczanych przez Q i (i=1, 2,...M) oraz N producentów oznaczanych przez R j (j=1,2,...n). Krzywa popytu jest wybierana losowo na podstawie danych historycznych, dla zadanych wartości M. Oznaczono rodzaj elektrowni, tzn. czy jest to elektrownia na węglu kamiennym czy brunatnym, czy elektrociepłownia gdyż od tego uzależniono wielkości kosztów wytwarzania. Założono, że producenci nie znają krzywej popytu. Ponieważ producenci grają niezależnie dlatego pojawia się tu problem nieznajomości poczynań rywali. Został on rozwiązany poprzez założenie, że decyzje rywali (pozostałych graczy) występują z pewnym prawdopodobieństwem. Producenci wybierają takie ceny ofert sprzedaży aby maksymalizować zysk operacyjny pamiętając o ograniczeniu wynikającym z równowagi krzywej popytu i podaży. Czyli problem sprowadza się do maksymalizacji funkcji zysków G i (p i ). Założono, że producenci wybierają ceny z przedziału [80, 142] na podstawie danych historycznych. Tzn. mając dane dotyczące ceny z poprzedniego okresu producenci podają ceny ofert, traktując poprzednie dane jako zmienną losową. Na rys. 2 pokazano histogram godzinowych cen na RDN od stycznia do czerwca 2003r. Na podstawie danych historycznych stworzono rozkład opisany dystrybuantą empiryczną, i na jego podstawie wyznaczono prawdopodobieństwa otrzymania zysku o danej wartości a następnie obliczono wartość oczekiwaną zysku dla każdego z producentów (dla N=3), patrz tabela 4. Tabela 4. R 1 R 2 R 3 Wartość oczekiwana zysku

5 6,00% Styczeń-Czerwiec ,00% 4,00% 3,00% 2,00% 1,00% 0,00% Rys.2. Histogram wyznaczony na postawie danych historycznych. Wybór ceny oferty składanej na RDN nie jest łatwy gdyż nie znamy krzywej popytu ani poczynań rywali. Celem producenta jest wybór takiej ceny oferty aby została ona zaakceptowana do realizacji. Zatem cena musi być równa bądź mniejsza od rozliczeniowej ceny równowagi (rys.1) ale na tyle większa od technicznych kosztów wytwarzania aby osiągnąć zysk. Na podstawie przeprowadzonych analiz otrzymano, że aby gracze mogli osiągnąć dodatnie zyski muszą wybierać ceny ofert z przedziału [80, 105]. W pracy maksymalizowano zysk każdego z producentów na zbiorze T=[80,105] [80,105] [80,105], znając postać funkcji zysku dla każdego z nich, patrz [11]. Autorzy postawili pytanie: jak należy wybierać cenę aby osiągnąć dodatni zysk, oraz jak minimalizować prawdopodobieństwo straty. W pracy przeanalizowano poczynania dwóch graczy w zależności od postępowania gracza trzeciego. Podzielono przedział proponowanej ceny [80, 105] na trzy przedziały i w zależności od tego jaki przedział wybiera gracz R1 pozostali gracze analizują swoje pozycje. Może się tak zdarzyć w przypadku gdy jeden z naszych z konkurentów z pewnych względów będzie wybierał taką a nie inną cenę. 5

6 Jeśli gracz R 1 wybierze cenę z przedziału [80, 90], to ceny, które powinni wybrać pozostali dwaj gracze, aby uzyskać dodatni zysk, tworzą płaszczyznę przedstawioną na rys.3. Rys. 3. Płaszczyzna zysku dwóch graczy dla ceny oferty producenta R1 [80, 90] Jeśli gracz R 1 wybierze cenę z przedziału (90, 100], to ceny, które wybiorą pozostali gracze tworzą płaszczyznę przedstawioną na rys.4. Rys.4. Płaszczyzna zysku dwóch graczy dla ceny oferty producenta R1 (90, 100] Przy cenie oferty producenta R1 z przedziału (100, 105] pozostali gracze muszą wybrać ceny mniejsze bądź równe 105 aby osiągnąć dodatni zysk. Z przeprowadzonych analiz uzyskano następujące prawdopodobieństwa dodatniego zysku oraz straty dla każdego z producentów. Wyniki przedstawiono w tabeli 5. 6

7 Tabela 5. Prawdopodobieństwo dodatniego zysku R 1 R 2 R Prawdopodobieństwo straty ZYSK W GRZE Z RÓWNOWAGĄ NASHA W sytuacjach, w których konkurenci podejmują działania niezależnie od siebie, każdy gracz powinien stosować strategię zapewniającą osiągnięcie równowagi. Strategia zapewniająca równowagę pozwala maksymalizować wielkość wypłaty każdego z graczy w warunkach określonych przez wybór strategii dokonany przez przeciwnika. Stan ten określony jest mianem równowagi Nasha [1, 8]. Zadanie polega na znalezieniu takiego rozkładu prawdopodobieństwa wyboru ceny przez producentów, aby wartość oczekiwana zysku dla poszczególnych graczy była maksymalna. W tym celu wykorzystano metody programowania liniowego, dzięki którym rozwiązano problem maksymalizacji z ograniczeniami. Dla przykładowej krzywej popytu otrzymano, że funkcje zysków osiągają największa wartość w punkcie (105, 105, 105). Jest to punkt równowagi Nasha Otrzymano również rozkłady prawdopodobieństwa, które zapewniają maksymalizację wartości oczekiwanej zysku dla każdego z producentów. Dla tak przyjętego rozkładu prawdopodobieństwa uzyskano następującą wartość oczekiwaną zysku oraz następujące prawdopodobieństwa dodatniego i maksymalnego zysku (Tab.6). Tabela 6. R 1 R 2 R 3 Wartość oczekiwana zysku Prawdopodobieństwo dodatniego zysku Prawdopodobieństwo maksymalnego zysku 0,589 0,946 0,864 0,154 0,187 0,054 PODSUMOWANIE Na podstawie przeprowadzonych analiz porównano wartości oczekiwane zysków operacyjnych dla gry nie kooperacyjnej bez równowagi Nasha oraz z równowagą Nasha. W grze nie kooperacyjnej jest ponad 56% prawdopodobieństwo straty a prawdopodobieństwo dodatniego zysku jest niewielkie, bo waha się od 39 do 43%. Obrazuje to jak trudna jest gra na RDN gdy jedynym wyznacznikiem sukcesu jest wielkość zysku przedsiębiorstwa. Otrzymano znacznie korzystniejsze wyniki dla równowagi Nasha. W tym przypadku prawdopodobieństwo dodatniego zysku jest bardzo duże bo od 58 do 94%. A dodatkowo znacznie większa jest wartość oczekiwana zysku, co wynika z faktu, że wszyscy gracze dążą do osiągnięcia 7

8 punktu równowagi, w którym każdy gracz osiąga maksymalne wartości wypłat, czyli maksymalne wartości zysków. Pokazano, że teorię gier można wykorzystać do wyboru optymalnej ceny w zależności od tego czy chcemy osiągnąć dodatni zysk czy maksymalny zysk. LITERATURA [1] Bensoussan A., et al.: Applied Stochastic Control in Econometrics and Management Science. North-Holland Publishing Company, [2] Biuletyn statystyczny GUS, Warszawa, styczeń [3] Carlton D.W., Perloff J.M.: Modern Industrial Organization. Harper Collins College Publishers [4] [5] Kemfert C.: Modelling an Oligopolistic German Electricity Market Structure. Investigation of a Nash Equilibrium by a Computational Game Theoretic Modelling Tool. Annual European Energy Conference Norway, Bergen [6] Pierzak A., Mikołajuk H.: Sektor elektroenergetyczny - ocena wyników roku IX Konferencja Naumowo-Techniczna REE Kazimierz Dolny [7] Regulamin Giełdy Energii, przyjęty Uchwałą Rady Nadzorczej w dniu 26 września 2002 r. [8] Straffin P.D.: Teoria gier. Wydawnictwo Naukowe SCHOLAR, Warszawa [9] Weber Christoph: A model of monopolistic competition in the electricity market. Annual European Energy Conference Norway, Bergen [10] Weron A., Weron R.: Giełda Energii. Strategie zarządzania ryzykiem. Cire, Wrocław [11] Wyłomańska A., Borgosz-Koczwara M.: Modele gry producentów na Giełdzie Energii. Rynek Terminowy nr 4, październik Równowaga Nasha w grach nie kooperacyjnych na Rynku Dnia Następnego W artykule potraktowano Rynek Dnia Następnego jako grę nie kooperacyjną, w której uczestnikami są producenci energii. Zajęto się problemem optymalnej strategii graczy, kierujących się zasadą maksymalizacji zysku. Do analiz wykorzystano techniki używane w teorii gier, a kluczowym rezultatem pracy było znalezienie punktu równowagi Nasha. Nash Equilibrium within non-cooperative games at Day Ahead Market In this paper we consider Day Ahead Market as a non-cooperative game, in which the power producers are the players. We solve the problem of optimal strategy of the players, which maximize their profit. In our analysis we use the game theory techniques. The main result is the finding the Nash equilibrium strategy for the players. 8