BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA

Transkrypt

1 BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA SPIS TREŚCI Rozdział I O egzamiie... Rozdział II Elemety matematyki fiasowej dr hab. Michał Szurek... 6 Rozdział III Wzory... 9 Rozdział IV Iformacja o zmiaach w iformatorze WSTĘP Numer czwarty Biuletyu maturalego poświęcoy jest egzamiowi maturalemu z matematyki. Rozdział I poświęcoy jest omówieiu struktury i formy egzamiu, zasad tworzeia arkuszy i zadań egzamiacyjych. W Rozdziale II zwracamy uwagę a owe treści z Podstawy programowej oraz publikujemy artykuł auczyciela akademickiego z Uiwersytetu Warszawskiego, doktora habilitowaego Michała Szurka. W Rozdziale III przedstawiamy propozycję zestawu wzorów, z których zdający będzie mógł korzystać w czasie egzamiu. Nauczycieli matematyki bardzo prosimy o wypełieie i przesłaie am akiety zamieszczoej a końcu tego biuletyu. Propozycje Państwa pomogą am ustalić ostateczą wersję zestawu wzorów, który będzie ogłoszoy przez Dyrektora CKE jako obowiązujący a egzamiie maturalym z matematyki od 005 roku. W Rozdziale IV omawiamy błąd, jaki wystąpił w rozwiązaiu zadaia zamieszczoego w Iformatorze maturalym z matematyki od 005 roku. ROZDZIAŁ I O EGZAMINIE Egzami maturaly z matematyki od 005 r. będzie zupełie iy iż obecy. Przede wszystkim ia jest struktura i forma egzamiu. Pisemy egzami z matematyki polega a rozwiązaiu zadań z Arkusza I (poziom podstawowy) lub z Arkusza I i Arkusza II (poziom rozszerzoy). Arkusz I będzie zawierał od dziewięciu do jedeastu zadań. W tym arkuszu zajdą się zadaia różie puktowae: od 3 do 7 puktów. Podobie Arkusz II też będzie zawierał od dziewięciu do jedeastu zadań, ale zadaia mogą być puktowae do 0 puktów. Nowością jest limit czasowy: uczeń a rozwiązaie zadań z Arkusza I ma 0 miut, a a rozwiązaie zadań z Arkusza II 50 miut. Wymaga to specjalego przygotowaia ucziów. W tym celu trzeba przyzwyczaić ucziów do:! dokładej aalizy treści zadaia,! wykoywaia tylko czyości związaych z poleceiem w zadaiu, gdyż objaśieia i kometarze, awet poprawe, ale ie mające związku z poleceiem, ie będą oceiae, 6 styczia 004 r.

2 Biulety Maturaly! przedstawiaia kompletego rozwiązaia poza obliczeiami trzeba pokazać tok rozumowaia. Nowością jest rówież to, że a egzamiie będą sprawdzae prawie wszystkie treści wyikające z Podstawy programowej dla odpowiediego poziomu. Dla auczyciela przygotowującego ucziów do egzamiu maturalego waża jest zajomość zasad kostruowaia arkuszy egzamiacyjych a ową maturę. Każdy auczyciel, który chce doskoalić swój warsztat pracy może wykorzystywać te umiejętości do kostruowaia p. prac klasowych po zakończeiu jakiegoś działu. Kostrukcja arkusza egzamiacyjego Przed przystąpieiem do opracowywaia arkusza egzamiacyjego ależy bardzo dokładie przeaalizować Stadardy wymagań egzamiacyjych. Dokumet te wraz z opisem wymagań egzamiacyjych jest, zarówo dla uczia, jak i auczyciela, ajważiejszym źródłem iformacji o tym, jakie wiadomości i umiejętości uczeń musi opaować, aby wyik egzamiu maturalego był dla iego satysfakcjoujący. Przedstawioa poiżej siatka egzamiu jest pomocą przy opracowywaiu arkusza egzamiacyjego dla poziomu podstawowego. W tabeli tej, w kolumie po lewej stroie wypisae są treści obowiązujące a poziomie podstawowym (Stadard I), a w górym wierszu wypisae są stadardy (zobacz Rozporządzeie Miistra Edukacji Narodowej i Sportu z dia 0 kwietia 003 r. zmieiające rozporządzeie w sprawie stadardów wymagań będących podstawą przeprowadzaia sprawdziaów i egzamiów). Następie ustalamy jaki będzie procetowy udział poszczególych treści (ostatia koluma po prawej stroie) oraz procetowy udział umiejętości (ostati wiersz). Teraz przystępujemy do wypełieia tabeli. Przykład:. Wpisujemy w wierszu: Fukcje wymiere, trygoometrycze, wielomiay i w kolumie: II.. b pukty.. Wpisujemy w wierszu: Rówaia, ierówości, układy i w kolumie II.. b 3 pukty. W te sposób wypełiamy całą tabelkę, pamiętając o przyjętych wcześiej założeiach.. 6 styczia 004 r

3 Treści SIATKA EGZAMINU NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Stadardy *) II. III. I..... a b a b c a b c d a b. Liczby rzeczywiste Procetowy udział materiału I. Liczby, rówaia i fukcje II. Ciągi III. Elemety rachuku prawdopodobieństwa IV. Geometria. Fukcje wymiere, trygoometrycze wielomiay 3. Rówaia, ierówości, układy 3p. Określaie ciągów, własości ciągów. Ciąg arytmetyczy i geometryczy,. Elemety kombiatorki. Prawdopodobieństwo 3. Elemety statystyki. Figury a płaszczyźie i ich własości miarowe. Geometria aalitycza 3. Figury geometrycze w przestrzei p Procetowy udział umiejętości sprawdzaych stadardami *) Stadardy: I. Wiadomości i rozumieie II. Korzystaie z iformacji III. Tworzeie iformacji

4 Biulety Maturaly Po skostruowaiu siatki przystępujemy do układaia zadań. Przykłady dwóch zadań Zadaie. ( pkt) Na rysuku przedstawioy jest szkic fragmetu wykresu fukcji kwadratowej f dla R. Prosta o rówaiu jest osią symetrii wykresu tej fukcji. Podaj zbiór rozwiązań 3 ierówości f ( ) 0. y Aaliza treści zadaia Zdający musi wykorzystać własości wykresu fukcji kwadratowej:. wykres ma oś symetrii,. osią symetrii tego wykresu jest prosta prostopadła do osi OX, do której ależy wierzchołek paraboli, 3. współrzęde drugiego puktu przecięcia wykresu fukcji z osią OX moża obliczzyć wykorzystując os symetrii paraboli. stadard opis wymagań egzamiacyjych Schemat oceiaia odczytuje iformacje ilościowe oraz jakościowe z tabel, diagramów i wykresów zdający potrafi: odczytywać własości fukcji kwadratowej z jej wykresu II.. b III.. d Etapy rozwiązaia zadaia wykorzystaie własości osi symetrii paraboli do wyzaczeia drugiego miejsca zerowego fukcji zapisaie zbioru rozwiązań ierówości Liczba puktów p p 6 styczia 004 r 4

5 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zadaie. (3 pkt) Rówaie moża rozwiązać w astępujący sposób. Wiadomo, że 0 ie jest rozwiązaiem tego rówaia, możemy więc podzielić obie stroy rówaia przez. Otrzymujemy rówaie , które zapisujemy w postaci: Rówaie to rozwiązujemy wykorzystując podstawieie + t. Rozwiązaiem rówaia t + t 5 0 są liczby t 3 oraz t 5. Zatem + 3 lub Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań rówaia jest,,,. Stosując wyżej opisaą metodę postępowaia rozwiąż rówaie stadard opis wymagań egzamiacyjych Schemat oceiaia stosuje przedstawioy algorytm do rozwiązaia problemu praktyczego lub teoretyczego zdający potrafi: rozwiązywać rówaia wielomiaowe II.. b III. 5. d Etapy rozwiązaia zadaia przekształceie rówaia do postaci rówaia Liczba puktów p at bt c rozwiązaie rówaia kwadratowego obliczeie pierwiastków rówaia stopia czwartego i zapisaie odpowiedzi p p 5 6 styczia 004 r

6 Biulety Maturaly ROZDZIAŁ II Aktualie obowiązującym dokumetem jest Rozporządzeie Miistra Edukacji Narodowej i Sportu z dia 6 lutego 00 roku w sprawie podstawy programowej( ) kształceia ogólego w poszczególych typach szkół. Dokumet te zawiera obowiązkowe, a odpowiedim etapie kształceia: cele edukacyje, zadaia szkoły, treści auczaia oraz osiągięcia ucziów kończących day etap edukacyjy. Aaliza Podstawy programowej jest koiecza zarówo przy wyborze programu, według którego będziemy uczyć, jak i przy tworzeiu własego, autorskiego programu. Szczególą uwagę ależy zwrócić a owe treści auczaia. W obowiązującej Podstawie programowej takimi zupełie owymi treściami są między iymi:! pojęcie błędu przybliżeia, szacowaie wartości liczbowych,! procet składay, oprocetowaie lokat i kredytów,! elemety statystyki opisowej: średia arytmetycza, średia ważoa, mediaa, wariacja i odchyleie stadardowe (liczoe z próby). Poiżej publikujemy artykuł doktora hab. Michała Szurka z Wydziału Matematyki Uiwersytetu Warszawskiego Elemety matematyki fiasowej. Będzie o, z pewością, pomocą przy realizowaiu odpowiedich treści auczaia. ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ W GIMNAZJUM I LICEUM Michał Szurek Po wielu latach, a awet dziesięcioleciach, do szkół wraca matematyka fiasowa. W programach i podręczikach jest coraz więcej prostych zadań typu TVM (time-valuemoey). Tak określamy zadaia, w których pamiętamy o podstawowym założeiu matematyki fiasowej: wartość pieiędzy jest zmiea w czasie. Nie tylko przez iflację, ale też a awet przede wszystkim z tego powodu, że posiadaymi środkami fiasowymi ieustaie obracamy. Iwestujemy, gramy a giełdzie, spekulujemy (to ostatie słowo odzyskuje swoje dawe, eutrale zaczeie). Nasze pieiądze pracują. Dotyczy to ie tylko przedsiębiorców, lecz w pewym sesie każdego z as każdego, kto ma rachuek w jakimkolwiek baku. Artykuł te ma formę otatek z wykładu, kokretie z wykładów, jakie miałem a spotkaiach z auczycielami w Bielsku, Łodzi, Sosowcu, Tychach, Warszawie i Żywcu latem i jesieią 003 roku. Nie dzielę zagadień a gimazjale i poadgimazjale. Taki podział jest dość umowy. Poadto prezetoway tu materiał jest zbyt obszery, aby być w całości wykorzystay w szkole. Każdy z elemetów może być za to wykorzystay oddzielie. Taki a ie iy wybór treści przezaczoy jest raczej dla auczyciela, który to truizm ale warto o tym pamiętać, powiie mieć szerszą wiedzę iż uczeń.. Zaczijmy pół żartem, pół serio. Oto sytuacja, jak z życia, tylko ieco przesadzoa i podkoloryzowaa. Mleko kosztowało zł i bułka zł. Po zmiaie ce bułka kosztuje 50 gr a mleko zł. Ogólie: podwyżka to, czy obiżka? 6 styczia 004 r 6

7 Cetrala Komisja Egzamiacyja # Pai Jakowska: wczoraj kupowałam litr mleka i bułkę za zł, dziś muszę wydać zł 50 gr. Podwyżka o 5 %. # Pai Kowalska: Bułkę a litr mleka?? U mie do litra mleka kupuje się 5 bułek. Wczoraj 6 zł, dzisiaj 4 zł 50 gr. Obiżka o 5 %. # Pa Jakowski: rację ma moja żoa. Dzisiejsza cea mleka to 00 % wczorajszej, dzisiejsza cea bułki to 50 % wczorajszej. Średio dzisiaj 5% * wczoraj, czyli podwyżka o 5 %. # Pa Kowalski: rację ma moja żoa. Wczorajsza cea mleka to 50 % dzisiejszej, wczorajsza cea bułki to 00 % dzisiejszej. Czyli wczoraj 5 % * dzisiaj, obiżka o 5 %.. Matura sprzed 3 lat. Warto, aprawdę warto, przyjrzeć się zadaiu, jakie w 88 roku ucziowie klas VIII gimazjów Okręgu Naukowego Warszawskiego rozwiązywali a egzamiie maturalym. Warto zadumać się ad... zmiaą poziomu egzamiu dojrzałości... 0, sumy otrzymaej ze sprzedaży weksla rs. z potrąceiem 8 % za 9 miesięcy przed termiem, użyto a kupo lasu prostokątego o długości 768 sążi, szerokości 75 sążi. Za resztę otrzymaych pieiędzy kupioo dom; dochód z domu za trzy miesiące staowi tyle rubli, ile zapłacoo za dziesięcię lasu. Obliczyć, jaki procet przyosi kapitał użyty a kupo domu. Do zadaia ie było dołączoe iezbęde dziś wyjaśieie, że dziesięcia to 400 sążi kwadratowych. Widoczie wtedy każdy maturzysta w państwie carów musiał to zać. Warto przypomieć, co to jest weksel. Jest to papier wartościowy. Wystawca weksla otrzymuje od kupującego określoą sumę pieiędzy a w termiie ozaczoym a wekslu (termi wykupu) ma zwrócić pieiądze, zwykle więcej iż pożyczył. Przed tym termiem wystawca ie ma obowiązku wykupieia weksla. Dlatego weksel ma wtedy miejszą wartość iż w diu wykupu. Rozwiążmy to zadaie prawie według stadardów matury 005. Będziemy szukać odpowiedzi a koleje aturale pytaia. # Ile otrzymao za weksel? # Odp ,9 330 [rubli srebrem]. Zamieiam teraz 0, a ułamek zwykły, sumując odpowiedi szereg geometryczy. Odpowiedź: 7/5. # Za ile kupioo las? # Odp.: 7/ [rubli srebrem]. # Ile dziesięci miał las? # Odp.: (768 75)/ Ile płacoo za dziesięcię lasu? # Odp.: 5456/ To jest dochód z domu za 3 miesiące. # Obliczam dochód z domu za rok [rubli srebrem]. Za ile kupioo dom? # Odp.: To jaki to procet? # Odp.: 04/7664 /6 6,5 %. Kapitał użyty a kupo domu przyosi dochód 6,5% w skali roczej. 3. Mamy już XXI wiek. Rozwiążmy zadaie maturale z 88 roku iaczej. Jeżeli długość podstawy prostokąta wyraża ilość (wielkość) towaru, który kupujemy, a wysokość jest rówa ceie za jedostkę tego towaru, to pole prostokąta o daych wymiarach jest rówe sumie pieiędzy, jakie wydamy a zakup. Pamiętając o tym, zróbmy taki rysuek. Prostokąt wyobrażający sumę pieiędzy przezaczoą a dom i las dzielimy, zgodie z warukami zadaia, w stosuku 7: styczia 004 r

8 Biulety Maturaly Niezależie od wielkości potrąceia (dyskota), ta proporcja 7:8 jest zachowaa. Zachowuje się też długość obu odcików, ozaczoych a rysuku przez AC. Lewy ma zawsze długość 56 (liczba dziesięci). Zatem prawy ma długość 56 8 / Możemy powiedzieć, że prostokąt przekształca się przez powiowactwo osiowe. Dochód z domu za rok jest rówy 4 AB, zgodie z warukami zadaia. Aby obliczyć, jaka to część kapitału, dzielimy te dochód przez pole prostokąta symbolizującego sumę pieiędzy wydaą a dom. Ale pole prostokąta dzieloe przez jego wysokość to długość podstawy! Zatem kapitał użyty a kupo domu przyosi dochód 4/64 /6, czyli jak poprzedio 6,5%! Odkryliśmy też, że procet te ie zależy od wielkości dyskota. 4. Wycieczka w XIX wiek. Możemy wykorzystać to zadaie do wycieczki w przeszłość. Historyczie sążeń to szerokość rozkrzyżowaych rąk (stąd azwa, od sięgać). Jak zwykle, w dawych czasach iemal każdy powiat miał swoje włase miary. W zaborze rosyjskim a ziemiach polskich dekretem z 849 roku wprowadzoo sążeń rosyjski. W układzie metryczym był o rówy,336 m. Propoowae iżej zadaie przeliczeia dziesięciy a hektary wcale ie będzie łatwe dla ucziów gimazjów, awet jeśli co polecam użyją kalkulatora. 5. Cambio. Zaczeie tego słowa zae jest turystom. To po włosku wymiaa pieiędzy. Zobaczmy, że już 350 lat temu zagadieia matematyki fiasowej były doceiae w auczaiu matematyki. Cytujemy z książki: Krzysztof Schedel, Arytmetyka, to jest auka rachuku, 653. Cambio Commue jest to pospolite zamieieie moety różej jedego miasta. Cambio reale jest zamieieie pieiędzy jedej kraiy do drugiej albo jedego miasta do drugiego; jako to gdyby ja tu w Krakowie jedemu summę wyliczywszy a to, aby mi była taż summa w Weecyjej albo w iszych miastach, przez iego albo przez jego correspodety wyliczoa była. (...). Item kupiec jede w Krakowie bierze cambium do Weecyjej a 3000 złotych polskich po 39 złotych per 00 dukatów correti, których jede ½ aszych złot. czyi: wiele tedy dukatów w cambium położyć mają, które w Weecyjej będzie odebrać powiie? 6 styczia 004 r 8

9 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zachwyćmy się tą składią: będzie odebrać powiie. Ale powtórzmy pytaie: wiele dukatów 03 w cambium położyć mają? Odpowiedź: A prawdziwe zadaie dla Czytelików: przerobić to wszystko a stadardy matury Jeszcze jedo zadaie Schedla, op. cit. Matroa jeda u męża godego 300 grzywie pieiędzy dla zarobku swego Wyprosiła. Kupuje lu dostatkiem za to, Daje prząść, ofiarując zapłacić bogato. 3 sztuki otrzymuje z przędziwa swojego Płóto roboty dobrej gatuku ciekiego. Każda sztuka o 79 3/4 łokciach była, Każdy łokieć po /3 grzywie za pieiądze zbyła. No teraz jest moje pytaie: Co za zarobek wzięła za ie? Odpowiedź: 98 ¾ grzywy. 7. Wiele może mieć małdrów? Pierwszą polską książką matematyczą jest podręczik księdza Tomasza Kłosa Algoritmus to jest auka liczby (538). Pytaie kotrole: z którego roku pochodzi Krótka rozprawa między paem, wójtem i plebaem? Z książki Kłosa dwa takie oto zadaia. Pierwsze jest proste, przepisujemy staraie: Dworzka liczba. Krol asz miłosćiwy Sigmut: odloził zło. a obroę sławego Krolestwa Polskiego za które chce mieć iezdych 3880 A pieszych 750 dawaiąc każdemu iezdemu a miesiąc 4 zło. á pieszym 5 zło. Iest pytaie iako wiele miesięczy może ie trzymać. Oto drugie. Bez kometarza. O zbożu. czwircień w małdr. Iede aloził a zboże 8 mrc. czwiertia po 3 ½ g. Wiele może mieć małdrów? A oto i odpowiedź: 37 małdrów czwircień /9. Prawda, jakie to... musiało być trude? 8. Zostańmy w aszym, jako tako oswojoym świecie XXI stulecia. W szkole omawiamy astępujące typy zadań a procet prosty. Wiele z ich ma aspekt fiasowy: $ wyzaczaie jakim % jedej liczby jest ia, $ wyzaczaie liczby, będącej daym % iej, $ wyzaczaie liczby z jej %, $ obiżki i podwyżki (w tym koleje). Dobrze by było, gdyby ucziowie gimazjum i liceum zrozumieli zaczeie wielu z astępujących termiów: (to zresztą jest miimum wiadomości, jakie każdy z as powiie mieć a temat matematyki spraw fiasowych). wartość przyszła i obeca; stopa % (omiala, efektywa), kapitalizacja, dyskotowaie, zadaia; podatki, płaca brutto i etto; iflacja; saldo, debet, kredyt i sposoby jego spłat; weksle, akcje i obligacje; stopa zwrotu, przychód, dochód, zysk. 9 6 styczia 004 r

10 Biulety Maturaly Dla celów szkolych taka lista jest za długa, wybór zależy od sytuacji w poszczególych szkołach i klasach. Rówież za obszere są przedstawioe iżej propozycje dziesięciu grup tematyczych (zwę je motywami) dotyczące matematyki fiasowej w szkole. Każda ma jedak pewie urok. Tematy iflacja i kredyty są waże a co dzień. Nazwę kapelusz a stole wyjaśiam w odpowiedim miejscu. Stałe płatości to dobre zadaia a szereg geometryczy, a w wyprowadzeiu wzoru a wielkość stałej raty posługujemy się bardzo ciekawa (choć skomplikowaą) idukcją. Wreszcie, w temacie stopa zwrotu dochodzimy do aturalych (a także maturalych) zadań o wielomiaach. Dzięki iterpretacji fiasowej możemy lepiej zrozumieć wprowadzeie liczby e, a także rozwiązać z pozoru trude zadaie o rówaiach kwadratowych. To tylko droby przejaw tego, że prawdziwa matematyka fiasowa sięga do wielu z pozoru odległych dyscypli matematyki współczesej. Grupy tematycze ( motywy ) zadań z matematyki fiasowej w szkole. W każdej z grup omówioo po kilka zadań.. Zmiay ce, I. Obiżki i podwyżki.. Zmiay ce, II. Zmiay ce zestawów. 3. Iflacja. 4. Termiologia. Kapelusz a stole. 5. Stopa omiala i efektywa. 6. Kredyty, odsetki. 7. Skomplikowae rachuki bakowe. 8. Stałe płatości. 9. Stopa zwrotu. 0. Procety i podatki. Motyw. Obiżki i podwyżki Zadaie. Towar taiał o 30%, 5%, 0%, 5%. O ile staiał? Jaka była średia obiżka? 5%? NIE. Rozwiązaie. Oto historia cey początkowej c: c 0,7c 0,85 0,7c 0,9 0,85 0,7c 0,95 0,9 0,85 0,7c 0,50875c 0,5c. Kosztuje zatem 5 procet tego, co dawiej. Zatem staiał o... Tak jest, o 49 procet! Średia obiżka to ie 5 procet! Bo gdyby tak było, to kosztowałby 4 0,85 c 0,50065 c 0,5 c. Prawidłowa odpowiedź: Zadaie. Bilet ze ziżką 49% kosztuje 49 zł. Ile kosztuje bilet ze ziżką 5%? Rozwiązaie (szkic). Peły bilet 49/0,5 96,08 zł. Bilet ze ziżką 5% kosztuje więc 96,08 0,49 47,08 zł. Zadaie 3. Ubezpieczeie samochodu kosztuje 000 zł, ale firma daje rabat 50% za bezszkodowość i 0% za kotyuację. Jak obliczyć składkę? Uwaga. Nie moża oczywiście sumować procetów, ale moża obiżki obliczać w dowolej kolejości. 6 styczia 004 r 0

11 Cetrala Komisja Egzamiacyja Odp.: 450 zł. Zadaie 4. Samochód traci roczie 5% wartości. Ile jest wart po 5 latach samochód, który owy kosztował zł? 5 Odp.: 0, zł 33 zł 6 gr. Po ilu latach wartość spadie poiżej 6000 zł? Odp.: Po 0 latach. Sporządzić wykres spadku wartości samochodu. Motyw. Zmiay ce zestawów Zadaie 5. Zestaw komputer, drukarka i oprogramowaie zmieił ceę. Komputer zdrożał o 0%, drukarka o 5%, a oprogramowaie staiało o 5%. Jak zmieiła się cea zestawu? Uwaga. Tak sformułowae zadaie jest złe! Odpowiedź zależy od proporcji ce między tymi przyrządami. Łatwo to zrozumieć, wyobrażając sobie, że do drogiego komputera dokupujemy bardzo taie oprogramowaie. Wtedy wahaia ce oprogramowaia bardzo iewiele wpływają a łączą ceę zestawu. Przyjmijmy ceę komputera 3000 zł, drukarki 500 zł, oprogramowaia 000 zł. Jeżeli komputer zdrożał o 0 %, drukarka o 5%, to o ile procet trzeba obiżyć ceę oprogramowaia, żeby cea zestawu się ie zmieiła? Zadaie ogóliejsze. Przyjmijmy ceę komputera 3000 zł, drukarki 500 zł, oprogramowaia 000 zł. Jeżeli komputer zdrożał o %, drukarka o q 0%, to o ile procet trzeba obiżyć ceę oprogramowaia, żeby cea zestawu się ie zmieiła? Zrób wykres odpowiediej fukcji. Rozwiązaie: Ozaczmy szukaą wielkość przez y. Zestaw kosztuje teraz (+/00) ( y/00) 000. To ma być rówe 6500 zł. Stąd y (3 + 5)/. Dla daych ogólych mamy (+/00) (+ q/00) + ( y/00) 000. To ma być rówe 6500 zł. Otrzymujemy: y (6 + 3q)/4. Pouczające będzie zilustrowaie tego wykresem. Chodzi o iteligety dobór parametrów rysuku, opisy osi itp. Szkicowy wykres jest jak iżej: 6 styczia 004 r

12 Biulety Maturaly y Motyw 3. Iflacja Zadaie 6. W pierwszym półroczu iflacja wyiosła procet a w drugim procet. Jaka była rocza iflacja? Rozwiązaie. Przypomijmy, jak się oblicza iflację. Dwuprocetowa iflacja w skali półroczej zaczy, że to, co kosztowało złotówkę, po pół roku miało ceę,0 zł, a po astępych sześciu miesiącach,0,0,030. Iflacja wyiosła zatem trochę więcej iż 3 procet. Gdyby pierwsza iflacja była 8 procet, a druga procet, to rocza byłaby rówa procet, a ie 0. Zadaie 7. Ile będzie warte 000 zł złożoe w baku a rok a 4%, jeżeli iflacja rocza jest rówa %? To jest ie zadaie iż poprzedie. Jeszcze raz przypomijmy, że iflacja % zaczy, że to, co kosztowało, kosztuje teraz,0. A co kosztowało 000 zł, będzie 00 zł. Jedocześie w baku 000 zł zostaie skapitalizowae do 040 zł. Ile warte jest 000 złotych po roku? Jeżeli p. coś kosztuje grosz, to za 000 złotych moża kupić sztuk, a po roku za 004 złote moża kupić 004/ Owe 000 złotych po roku będzie warte 00 zł 99 groszy. Rady i uwagi %Iflacja p procet zaczy, że to co kosztowało c, kosztuje teraz o p procet więcej, tj. (+p/00)c. %Dlatego używajmy czyika procetowego r + p/00. W zadaiu powyżej jest o rówy r,0. %Złotówka po roku jest warta /r!!!! To jest dyskotowaie. Bo to, co kosztowało zł, teraz kosztuje r. %Odróżiajmy procet od puktu procetowego! Jeżeli iflacja była rówa procet i spadła do jedego proceta, to spadła o pięćdziesiąt procet, ale o jede pukt procetowy! 6 styczia 004 r

13 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zadaie 8. W warukach pracy mam zagwaratowae, że moja płaca będzie rosła w tempie o jede pukt procetowy poad poziom iflacji. Jak rośie moja siła abywcza? Rozwiązaie. Wyobraźmy sobie towar, który kosztuje złotówkę za sztukę, gdy ja zarabiam c złotych. Iflacja p procet zaczy, że cea towaru się zmiei do + p/00 złotych. Moje zarobki wyiosą wtedy c ( + (p+)/00) złotych i będę mógł za ie kupić c ( + (p+)/00)/(+ p/00) sztuk tego towaru. Moja siła abywcza wzrośie więc p raza. Na przykład, gdy p (iflacja procet), to moja siła abywcza p p 00 wzrasta tylko,0098 raza. W warukach hiperiflacji jest jeszcze gorzej. Dla p 00 (koszty rosą dwukrotie), ja zarabiam efektywie więcej tylko,005 raza. Motyw 4. Termiologia Widzimy obok wzór a procet prosty: i a procet składay. Obydwa mogą być zapamiętae jako kapelusz a stole. Wzór a procet składay w iych ozaczeiach, używaych p. w kalkulatorach: (WP wartość przyszła, WB wartość bieżąca, zwaa też wartością obecą) WPWB r Po agielsku (future value, preset value): FVPV r Kapitalizacja i dyskotowaie to przeliczaie, odpowiedio, wartości obecej a przyszłą i przyszłej a obecą. A zatem dyskotujemy według wzoru s s/ r. Zadaie 9. W 66 roku Holeder Peter Miuet kupił od Idia cały Mahatta za paciorki wartości $4. Ile mieliby Idiaie teraz, gdyby te pieiądze złożyli w baku a p procet? Zadaie to jest proste. Do rozwiązaia potrzeby jest kalkulator, mający potęgowaie. Warto rozwiązać zadaie dla różych stóp procetowych. Osiągamy przy tym astępujące cele: ) pokazujemy ucziom, jak bardzo sta aszego kota przy długotermiowych lokatach zależy od procetu, a jaki składamy pieiądze; ) uczymy posługiwaia się kalkulatorem, 3) omawiamy fukcję wykładiczą (jeżeli chcemy), 4) omawiamy z ucziami, jak ieżyciowa jest opisaa w zadaiu sytuacja i między iymi, że trzymaie pieiędzy w baku jest jedą z ajgorszych form ich użycia. Poiższa tabela podaje sta kota Idia po złożeiu pieiędzy a poday procet. Widzimy, że oprocetowaie 6% przyiosłoby prawie 00 miliardów dolarów. 05, , , , , , styczia 004 r

14 Biulety Maturaly Motyw 5. Stopa omiala i efektywa Zadaie 0. Stopa procetowa dla lokat w SuperBaku wyosi 6% w stosuku roczym. Zatem lokata rocza 000 zł przyosi po roku 60 zł. Zakładamy lokatę kwartalą, odawialą w wysokości 000 zł. Ile mamy po roku? Odp.: Stopa kwartala to,5 %. Zatem po roku mamy 000, ,36 zł. A zatem omiala stopa 6% przy kwartalej kapitalizacji daje stopę efektywą 6,36%. Fiasowe wprowadzeie liczby e. Czyik procetowy: r + p/00. k -> k * r. Pewie bak daje 00 procet odsetek. Złotówka po roku staie się zł. Stopa kwartala 5 %. Złotówka po kwartale ->,5 zł, po roku,5 4 zł 44 gr. Stopa miesięcza 8, %. Złotówka po miesiącu ->, zł, po roku, zł 6 gr. Stopa dziea: 00/365 proceta 0, proceta. Po roku, zł 7 gr. A przy stopie sekudowej? Po roku mamy ( + / ) Po / tej roku złotówka wzrośie do (+/) Zatem e to graica wzrostu, czyli: efektywy czyik procetowy odpowiadający ciągłej kapitalizacji przy omialej stopie 00%. Motyw 6. Kredyty, odsetki Zasada: odsetki obliczamy od iespłacoej części kredytu! Zadaie. Sporządzić pla amortyzacji kredytu 600, wziętego a % a dwa lata ze spłatą kwartalą wg zasady stałych rat kapitałowych. Motyw 7. Skomplikowae rachuki bakowe 6 styczia 004 r 4

15 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zadaie. Ulokowao pewą kwotę w dwóch bakach. Po roku, po uwzględieiu 0% podatku od odsetek, odebrao z obu baków zł. Oblicz kwotę każdej lokaty, jeżeli rocza stopa procetowa w pierwszym baku była rówa 5%, w drugim 4% i jeżeli kwota odsetek w pierwszym baku była dwa razy większa iż kwota odsetek w drugim baku. Rozwiązaie. Najpierw wyliczmy czyik procetowy po uwzględieiu podatku od odsetek: &,05 0,8,04; (stopa 5% -> 4%) &,4 0,8,03; (stopa 4% -> 3,%) & Ozaczmy lokaty przez, y & Teraz mamy układ rówań:,04 +,03 y 6960, 0,05 0,04 y Odp.: 6000 zł, y 0000 zł. Kometarz: Bardzo wielu osobom (ie tylko ucziom) z trudem przychodzi zrozumieie faktu, że odjęcie od liczby jej 0 procet to to samo, co pomożeie jej przez 0,8. Musimy oczywiście o tym pamiętać. Zadaie 3. ODROCZONA PŁATNOŚĆ. Sieć dużych sklepów (zwaych w kiepskiej polszczyźie hipermarketami) oferuje róże formy zapłaty za komputer. Mamy trzy możliwości: ) albo zapłacić teraz 8600 zł gotówką, ) albo płacimy teraz 4600 zł i za rok 4600 zł. 3) albo teraz ie płacimy ic, za rok 590 zł i po dwóch latach 590 zł. Wybierając drugie lub trzecie wyjście, de facto dostajemy więc kredyt. Wyzaczyć jego stopę. Płacąc tak, jak w sposobie r, dostajemy 4000 zł kredytu, który spłacamy kwotą 4600 zł. Zatem stopa procetowa tego kredytu jest rówa ( )/ /4000 5%. Niech r będzie czyikiem procetowym odpowiadającym szukaej stopie procetowej kredytu, który otrzymujemy wybierając trzecią możliwość Dyskotujemy przyszłe płatości. Mamy zależość: / r / r 860 r 59 r Rozwiązujemy: Stąd r,5. Stopa kredytu 5% Obydwa sposoby ratale są według stopy 5%. RENTA ( STAŁA PŁATNOŚĆ) Motyw 8. Stałe płatości W powieściach fracuskich występuje czasami słowo retier. Jest to osoba otrzymująca regulare zyski z pieiędzy ulokowaych w baku. Dlatego regulare wypłaty (w tej samej wysokości i w rówych odstępach czasu) azywamy retą. Nie jest to ajlepszy termi, ale lepszy iż iekiedy używay potworek językowy auita. Dla wpłat używamy zrozumiałego termiu płatość. Matematyczie reta i płatość to to samo. Co bowiem dla jedego jest retą, dla drugiego jest płatością. Rozróżiamy oczywiście płatości z góry (a początku miesiąca czy roku) i z dołu (a końcu). Matematyczie rzecz biorąc, wszelkie stałe przepływy pieięże to reta; w tym i asza pesja za pracę. Zadaie 4. Wpłacamy po 00 zł miesięczie a p % (w skali roczej). Ile mamy po 5 latach? Rozwiązaie. Niech jak zwykle r +p/00. U as: % miesięczie. 5 6 styczia 004 r

16 Biulety Maturaly Dla płatości z góry (a początku miesiąca) mamy szereg 00r r r... u as ,64 zł. Dla płatości z dołu (a końcu miesiąca) mamy szereg 00r q r u as ,97 zł. Zadaie 5. Reta wieczysta: Niech stopa procetowa p. Wyzaczyć wartość bieżącą rety wieczystej 00. Rozwiązaie. Reta wieczysta to stała płatość, bez ozaczoego termiu końca. Wyobraźmy sobie a przykład, że bogaty wujek postaowił wypłacać siostrzeńcowi po 00 euro miesięczie. Jaś chciałby mieć jedak większą sumę od razu. Może ją bowiem zaiwestować w itrate przedsięwzięcie, z którego będzie przez długi czas czerpać zyski większe iż 00 miesięczie. Wbrew pozorom, wartość bieżąca rety wieczystej ie jest ieskończoa i to ie z powodu ograiczoości czasu trwaia życia ludzkiego (a tej Ziemi, ale w iebie/piekle/czyśćcu podobo i tak ie myśli się o pieiądzach). Wartość bieżąca rety wieczystej to bowiem suma szeregu geometryczego ieskończoego o ilorazie /r, gdzie r jest czyikiem procetowym. Na przykład dla p 5% mamy r,05, więc wartość rety wieczystej 00 jest rówa 00/( /r) 00/( /,05) 00/( 00/05) 00/(5/05) SPŁATA KREDYTU METODĄ STAŁYCH RAT r + p/00 to czyik procetowy zatem K -> K(+p/00) Kr Twierdzeie. Jeżeli pożyczamy K a p procet a lat (okresów) i chcemy spłacać po tyle samo, to : wielkość stałej raty jest rówa Kr (r )/(r ) a po k-tym roku (okresie) zostaje do spłaty kapitału. Kr k Kr (r k )/(r ) Dowód: Idukcja względem k. Dla k 0 twierdzeie jest prawdziwe. Krok idukcyjy: dług po k latach Kr k Kr (r k -)/(r -) staie się (Kr k - Kr (r k -)/(r -)) r, a po zapłaceiu raty (Kr k - Kr (r k -)/(r -) ) r - Kr (r-)/(r -)... Kr k+ - Kr (r k+ -)/(r -) Uwaga. Omówioa tu metoda stałych rat (stałych spłat) to ie to samo, co metoda stałych rat kapitałowych, gdzie spłacamy za każdym razem taką samą część kapitału, a coraz miejsze odsetki. Zadaie 6. Wyliczyć wielkość stałej raty miesięczej przy spłacie kredytu złotych wziętego a % w skali roczej a 5 lat. Rozwiązaie. We wzorze z powyższego twierdzeia mamy K 00000, r,0, 60. Wyliczamy stąd, że wielkość raty jest rówa 4 zł 44 grosze. Płacąc tyle przez 5 lat, zaosimy do baku łączie 60 4, zł 40 groszy, czyli spłacamy poad 33% procet więcej (efekt dźwigi). Zadaie 7. (por. z zadaiem.) Obliczyć wielkość stałej raty kredytu 600 zł, wziętego a % a dwa lata ze spłatą kwartalą według zasady spłat w rówej wysokości. 6 styczia 004 r 6

17 Cetrala Komisja Egzamiacyja 8 0,03 Odp.: Jest oa rówa 600,03 7 zł 93 grosze. 8,03 Uwaga. Niekiedy baki stosują ią metodę obliczaia stałej płatości. Rozkładają miaowicie sumę wszystkich odsetek obliczaych według metody stałych rat kapitałowych rówomierie a wszystkie płatości. W sytuacji z zadaia byłoby tak. Suma wszystkich odsetek to złotych, zatem do każdej raty kapitałowej 00 dodajemy 6/8 7 złotych. Zatem stała spłata jest rówa 7 złotych, miej iż w metodzie, która jest bardziej poprawa matematyczie. Dlaczego słowa bardziej poprawa są w cudzysłowie? Dlatego, że sposób aliczaia odsetek jest sprawą umowy między bakiem a klietem. Jeśli kliet podpisze umowę, w której będzie jawie apisae, że przy obliczaiu odsetek bak stosuje regułę dwa razy dwa jest rówe pięć, to... jego strata. Motyw 9. Stopa zwrotu Jeżeli iwestujemy pewą sumę pieiędzy w przedsięwzięcie, z którego po krótkim czasie teoretyczie atychmiast otrzymujemy zysk, to stosuek wielkości tego zysku do zaiwestowaej sumy (wyrażoy w procetach) azywamy stopą zwrotu z przedsięwzięcia. Jeżeli jedak zysk jest odległy w czasie, sprawa obliczeia stopy zwrotu jest bardziej skomplikowae. Musimy pamiętać, że wartość pieiędzy (ekoomiści używają tu liczby pojedyczej: wartość pieiądza, co ie jest poprawie po polsku) jest zmiea w czasie. Nie chodzi tylko o iflację, lecz główie możliwość reiwestowaia otrzymaych dochodów. Zadaie 8. Iwestycja 00 zł przyiosła po roku dochód 80 zł, po drugim roku 48 zł. Wyzaczyć stopę zwrotu. 8 %? Nie!!! Musimy pamiętać, że 48 zł za dwa lata to ie to samo, co teraz. Dyskotowaie to dzieleie przez r. A więc 80 zł za rok to 80/r teraz! Ozaczmy roczy czyik procetowy przez r + p/00. Mamy rówaie 00 80/r + 48/r. Stąd 5r 0 r 0; , stąd r 6/5, bo /5 odrzucamy. Czyli p /5. Odp.: Stopa zwrotu jest rówa 0%. Zadaie 9. Iwestycja 8 przyosi w kolejych latach zyski 9, 7, 4. Wyliczyć stopę zwrotu. Szkic rozwiązaia. Rówaie 8 r3 9 r 7 r 4 0. Dodati pierwiastek r 4/3. Zadaie 0. NIEOCZEKIWANE ZASTOSOWANIE MATEMATYKI FINANSOWEJ. Niech a, b, c będą liczbami dodatimi, takim, że a < b+c. Wykazać, że rówaie a b c 0 ma dwa pierwiastki, z których jede jest ujemy, a drugi większy iż. Rozwiązaie (szkic). Iwestycja a przyiosła dochód b + c, większy iż zaiwestowaa suma. Zatem stopa zwrotu jest dodatia, zadaie rozwiązae. Motyw 0. Procety i podatki 7 6 styczia 004 r

18 Biulety Maturaly W tym pukcie podaję kokretą propozycję lekcji a temat podatków. Rzeczowik lekcji użyty jest tu w liczbie mogiej (dawiej pisao kosekwetie: lekcyj). Poprzedzam to uwagami a temat zadań a procety. Pułapki procetowe. Warto sobie zdać sprawę z błędów przy posługiwaiu się obliczeiami procetowymi. Oto iektóre:. Obliczeń procetowych ie moża stosować dla małych liczb. Jeżeli mam dwie córki i sya, to matematyczie będzie w porządku, jeżeli powiem, że około 66,67 proceta moich dzieci to córki, a 33,3333 to syowie, ale każdy zdaje sobie sprawę z absurdu takiego sformułowaia.. Jeśli a jest o p procet większe od b, to b ie jest o p procet miejsze od a. Zatem obiżka pesji o 0 % a potem podwyżka o 0 % ie wyrówuje am straty. 3. Autetycze! Mieszkam a osiedlu, złożoym z kilkuastu domów. Jest zatem kilku dozorców. Dozorca mojego domu poskarżył mi się: a tablicy wisiała iformacja, że wszyscy dostaiemy takie same premie, po 0 procet, a jak rozmawiałem z tym spod ósemki, to okazało się, że o dostał o 00 złotych więcej. Tak as wszyscy a każdym kroku oszukują! 4. Pukty procetowe a procety. Jeżeli iflacja w kraju była rówa, powiedzmy, 7 procet i zmalała do 6, to ie zmalała o jede procet a o jede pukt procetowy. Jak wiadomo, Stańczyk, błaze Zygmuta Augusta, wykazał, że ajwięcej w Polsce jest lekarzy. Skarżył się każdemu przechodiowi a ból zębów i od prawie każdego otrzymywał ią poradę. Przypomia mi się to, gdy czytam zaleceia, jak uczyć o procetach i obliczeiach procetowych. Niemal każde opracowaie dydaktycze zaleca co iego. Choć w I klasie liceum ucziowie powii takie obliczeia wykoywać, to moża i ależy do tego wrócić. Propouję taki Schemat rozwiązywaia zadań a procety W zdaiu Liczba a jest to p procet liczby b występują aż trzy zmiee: a, b, p. Wszystkie zadaia a procety dzielą się zatem a trzy typy. W każdym z ich chodzi o wyzaczeie trzeciej zmieej, gdy zae są dwie pozostałe. Kokretie: Sformułowaie Przykładowe zadaie Rozwiązaie Jakim procetem liczby b jest Powierzchia Polski wyosi a 86, b 3, zatem liczba a? około 3 tysięcy km. Lasy 86 zajmują 86 tysięcy km. Jaki p 0,76, tz. lasy 3 procet powierzchi Polski zajmują ok. 7,6 proceta zajmują lasy? powierzchi Polski. Daa jest liczba b. Wyzaczyć liczbę a, która staowi p procet liczby b. Powierzchia Polski wyosi około 3 tysięcy km. Lasy zajmują 7,6 procet tej powierzchi. Jaką powierzchię zajmują lasy w Polsce? Mamy obliczyć 7,6 procet liczby 3. W schemacie widoczym w pierwszej kolumie tabeli podstawiamy p 0,76, b 3, zatem a 0, (tysięcy km ) Daa jest liczba a, która staowi p procet iewiadomej liczby b. Wyzaczyć liczbę b. Lasy w Polsce zajmują obszar 86 tysięcy kilometrów kwadratowych i jest to 7,6 proceta powierzchi Polski. Ile kilometrów kwadratowych zajmuje powierzchia Polski? Mamy tutaj a 86, p 0,76, 86 zatem b 3 0,76. 6 styczia 004 r 8

19 Cetrala Komisja Egzamiacyja 5. Dwie firmy farmaceutycze produkują dwa róże leki a tę samą dolegliwość. Wyiki badań statystyczych były astępujące. Leczei Poprawa Skuteczość Kometarz Lek A Mężczyz % Kobiet % Ogółem % Lek B Mężczyz % Skuteczość leku B jest miejsza iż leku A. Kobiet % Skuteczość leku B jest miejsza iż leku A. Ogółem ,7 % Skuteczość leku B jest większa iż leku A. A zatem lek A jest lepszy i dla kobiet i dla mężczyz, ale gorszy w ogóle! Paradoks polega a tym, że procetów ie moża dodawać bezkarie. 6. Tylko 0,0 proceta maryarzy umiera a morzu a zawał serca, a mieszkańcy miast aż 5 procet. Czy to zaczy, że wstąpieie do maryarki powoduje zmiejszeie ryzyka zawału? Oczywiście, że ie, w każdym razie ie aż 500-krotie. Po prostu wśród maryarzy przeważają jedak ludzie zdrowi! 7. Pewie kraj skuteczie walczył z iflacją. W pierwszym kwartale cey wzrosły o 5 %, w drugim o 0 %, w trzecim o 4 %, w czwartym o %. Jaki był średi wzrost ce? Narzucająca się odpowiedź procet jest błęda. Jeżeli bowiem coś 4 kosztowało a początku roku złotówkę, to pod koiec pierwszego kwartału zł 8 gr, pod koiec drugiego,8,0 zł, pod koiec trzeciego,8,0,04 zł a pod koiec czwartego kwartału,8,0,04,0 zł, czyli po zaokrągleiu do pełych groszy zł 49 gr. Natomiast średi wzrost ce o procet kwartalie powoduje, że cey grudiowe wyoszą, 4,5 ce stycziowych. 8. Czy moża obiżyć ceę o poad 00 %? W 00 roku a ulicach Warszawy moża było zaleźć olbrzymie tablice (we współczesej polszczyźie billboardy) z tekstem Obiżka ce a mieszkaie o poad 00 procet. Zaśmiewaliśmy się z tego... do chwili, gdy ktoś uważie przeczytał, o co chodzi. Oferta baku była astępująca: jeśli złożysz u as pieiądze, to oprócz odsetek możesz wygrać za darmo mieszkaie. A więc rzeczywiście była to obiżka cey mieszkaia o poad sto procet. Zadaia a procety z egzamiów wstępych a rozmaite uczelie w kraju w ciągu ostatich kilku lat. Zamieszczoe tu zadaia to dość reprezetatywa próbka.. Jede promil jedego milioa to a) tysiąc, b) 0 tysięcy, c) 00 tysięcy, d) 00.. Aby wykoać parę butów, potrzeba 500 cm skóry. Gdy rozmiar butów powiększymy o 0 %, to potrzeba będzie a) 000 cm skóry. b) 70 cm skóry. c) 600 cm skóry. d) 750 cm skóry. 3. Aby wykoać piłkę, potrzeba m skóry. Jeśli chcielibyśmy, aby piłka miała promień o 0 % większy, musimy zużyć a),0 m skóry. b),0 m skóry. c), m skóry. d),0 m skóry. 4. Liczba dodatia a jest większa od liczby b o 0 %. Wobec tego liczba b jest miejsza od liczby a o a) 0 %. b) 3,3 %. c) 6 %. d) 5 % styczia 004 r

20 Biulety Maturaly 5. Śrubokręt młotek kosztują tyle samo. Jeśli śrubokręt podrożeje o 5 % a młotek o 3 %, to za zestaw 3 śrubokrętów i 3 młotków trzeba będzie zapłacić a) o 4 % więcej. b) o 8 % więcej. c) o 4 % więcej. 6. Jeśli 0, % liczby wyosi 0,03, to liczba jest rówa a) b) 5. c) 6 3 %. 7. Dwie koleje obiżki cey pewego towaru o 0 % i o 5 % są rówoważe jedorazowej obiżce o a) 3 %. b) 3,5 %. c) 35 %. 8. Jeśli towar staiał pięciokrotie o 0 %, to teraz a) rozdaway jest za darmo. b) kosztuje miej iż 3 początkowej cey. c) kosztuje więcej iż początkowej cey W pewej kawiari cey porae są o 0 % miejsze iż popołudiowe. Cey wieczore są o 0 % większe iż popołudiowe. Ile kosztuje wieczorem kawa, która rao kosztuje 4 zł 3 grosze? a) 4 zł 80 gr, b) 4 zł 96 gr, c) 5 zł 6 gr, d) 5 zł 8 gr, e) 5 zł 44 gr. Propozycje trudiejszych zadań a procety. Zadaie. Trasa z miasta A do B ma d kilometrów. Autobus jedzie zwykle z jedostają prędkością v. Pewego dia przez d kilometrów jechał o p procet woliej. O ile procet szybciej iż zwykła prędkość musi jechać a drugim odciku trasy, by przyjechać o wyzaczoej porze? Rozwiązaie. Pierwsze d kilometrów jechał z prędkością ( p/00)v. Czas zużyty a d pokoaie tej drogi był zatem rówy t. Załóżmy, że drugą cześć trasy autobus v( p/00) jedzie o q procet szybciej, to zaczy z prędkością ( + q/00 )v. Wtedy przebywa drogę d d w czasie t. Ale t + t ma być rówe d. Otrzymujemy rówaie v( + q/00) v d + d d v( p/00) v( + q/00) v skąd + p/00 + q/00 Widzimy, że odpowiedź ie zależy od odległości d ai od prędkości v. Po rozwiązaiu rówaia mamy: 50 p q 50 p. A zatem a przykład zmiejszeie prędkości o 0 procet a pierwszym odciku powoduje koieczość jazdy szybszej o,5 procet a drugim. Warto to przedstawić tabelką: Zmiejszeie prędkości a pierwszym odciku, w procetach Koieczość zwiększeia prędkości a drugim odciku, w procetach ,555...,5,4 33, styczia 004 r 0