BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA"

Transkrypt

1 BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA SPIS TREŚCI Rozdział I O egzamiie... Rozdział II Elemety matematyki fiasowej dr hab. Michał Szurek... 6 Rozdział III Wzory... 9 Rozdział IV Iformacja o zmiaach w iformatorze WSTĘP Numer czwarty Biuletyu maturalego poświęcoy jest egzamiowi maturalemu z matematyki. Rozdział I poświęcoy jest omówieiu struktury i formy egzamiu, zasad tworzeia arkuszy i zadań egzamiacyjych. W Rozdziale II zwracamy uwagę a owe treści z Podstawy programowej oraz publikujemy artykuł auczyciela akademickiego z Uiwersytetu Warszawskiego, doktora habilitowaego Michała Szurka. W Rozdziale III przedstawiamy propozycję zestawu wzorów, z których zdający będzie mógł korzystać w czasie egzamiu. Nauczycieli matematyki bardzo prosimy o wypełieie i przesłaie am akiety zamieszczoej a końcu tego biuletyu. Propozycje Państwa pomogą am ustalić ostateczą wersję zestawu wzorów, który będzie ogłoszoy przez Dyrektora CKE jako obowiązujący a egzamiie maturalym z matematyki od 005 roku. W Rozdziale IV omawiamy błąd, jaki wystąpił w rozwiązaiu zadaia zamieszczoego w Iformatorze maturalym z matematyki od 005 roku. ROZDZIAŁ I O EGZAMINIE Egzami maturaly z matematyki od 005 r. będzie zupełie iy iż obecy. Przede wszystkim ia jest struktura i forma egzamiu. Pisemy egzami z matematyki polega a rozwiązaiu zadań z Arkusza I (poziom podstawowy) lub z Arkusza I i Arkusza II (poziom rozszerzoy). Arkusz I będzie zawierał od dziewięciu do jedeastu zadań. W tym arkuszu zajdą się zadaia różie puktowae: od 3 do 7 puktów. Podobie Arkusz II też będzie zawierał od dziewięciu do jedeastu zadań, ale zadaia mogą być puktowae do 0 puktów. Nowością jest limit czasowy: uczeń a rozwiązaie zadań z Arkusza I ma 0 miut, a a rozwiązaie zadań z Arkusza II 50 miut. Wymaga to specjalego przygotowaia ucziów. W tym celu trzeba przyzwyczaić ucziów do:! dokładej aalizy treści zadaia,! wykoywaia tylko czyości związaych z poleceiem w zadaiu, gdyż objaśieia i kometarze, awet poprawe, ale ie mające związku z poleceiem, ie będą oceiae, 6 styczia 004 r.

2 Biulety Maturaly! przedstawiaia kompletego rozwiązaia poza obliczeiami trzeba pokazać tok rozumowaia. Nowością jest rówież to, że a egzamiie będą sprawdzae prawie wszystkie treści wyikające z Podstawy programowej dla odpowiediego poziomu. Dla auczyciela przygotowującego ucziów do egzamiu maturalego waża jest zajomość zasad kostruowaia arkuszy egzamiacyjych a ową maturę. Każdy auczyciel, który chce doskoalić swój warsztat pracy może wykorzystywać te umiejętości do kostruowaia p. prac klasowych po zakończeiu jakiegoś działu. Kostrukcja arkusza egzamiacyjego Przed przystąpieiem do opracowywaia arkusza egzamiacyjego ależy bardzo dokładie przeaalizować Stadardy wymagań egzamiacyjych. Dokumet te wraz z opisem wymagań egzamiacyjych jest, zarówo dla uczia, jak i auczyciela, ajważiejszym źródłem iformacji o tym, jakie wiadomości i umiejętości uczeń musi opaować, aby wyik egzamiu maturalego był dla iego satysfakcjoujący. Przedstawioa poiżej siatka egzamiu jest pomocą przy opracowywaiu arkusza egzamiacyjego dla poziomu podstawowego. W tabeli tej, w kolumie po lewej stroie wypisae są treści obowiązujące a poziomie podstawowym (Stadard I), a w górym wierszu wypisae są stadardy (zobacz Rozporządzeie Miistra Edukacji Narodowej i Sportu z dia 0 kwietia 003 r. zmieiające rozporządzeie w sprawie stadardów wymagań będących podstawą przeprowadzaia sprawdziaów i egzamiów). Następie ustalamy jaki będzie procetowy udział poszczególych treści (ostatia koluma po prawej stroie) oraz procetowy udział umiejętości (ostati wiersz). Teraz przystępujemy do wypełieia tabeli. Przykład:. Wpisujemy w wierszu: Fukcje wymiere, trygoometrycze, wielomiay i w kolumie: II.. b pukty.. Wpisujemy w wierszu: Rówaia, ierówości, układy i w kolumie II.. b 3 pukty. W te sposób wypełiamy całą tabelkę, pamiętając o przyjętych wcześiej założeiach.. 6 styczia 004 r

3 Treści SIATKA EGZAMINU NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Stadardy *) II. III. I..... a b a b c a b c d a b. Liczby rzeczywiste Procetowy udział materiału I. Liczby, rówaia i fukcje II. Ciągi III. Elemety rachuku prawdopodobieństwa IV. Geometria. Fukcje wymiere, trygoometrycze wielomiay 3. Rówaia, ierówości, układy 3p. Określaie ciągów, własości ciągów. Ciąg arytmetyczy i geometryczy,. Elemety kombiatorki. Prawdopodobieństwo 3. Elemety statystyki. Figury a płaszczyźie i ich własości miarowe. Geometria aalitycza 3. Figury geometrycze w przestrzei p Procetowy udział umiejętości sprawdzaych stadardami *) Stadardy: I. Wiadomości i rozumieie II. Korzystaie z iformacji III. Tworzeie iformacji

4 Biulety Maturaly Po skostruowaiu siatki przystępujemy do układaia zadań. Przykłady dwóch zadań Zadaie. ( pkt) Na rysuku przedstawioy jest szkic fragmetu wykresu fukcji kwadratowej f dla R. Prosta o rówaiu jest osią symetrii wykresu tej fukcji. Podaj zbiór rozwiązań 3 ierówości f ( ) 0. y Aaliza treści zadaia Zdający musi wykorzystać własości wykresu fukcji kwadratowej:. wykres ma oś symetrii,. osią symetrii tego wykresu jest prosta prostopadła do osi OX, do której ależy wierzchołek paraboli, 3. współrzęde drugiego puktu przecięcia wykresu fukcji z osią OX moża obliczzyć wykorzystując os symetrii paraboli. stadard opis wymagań egzamiacyjych Schemat oceiaia odczytuje iformacje ilościowe oraz jakościowe z tabel, diagramów i wykresów zdający potrafi: odczytywać własości fukcji kwadratowej z jej wykresu II.. b III.. d Etapy rozwiązaia zadaia wykorzystaie własości osi symetrii paraboli do wyzaczeia drugiego miejsca zerowego fukcji zapisaie zbioru rozwiązań ierówości Liczba puktów p p 6 styczia 004 r 4

5 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zadaie. (3 pkt) Rówaie moża rozwiązać w astępujący sposób. Wiadomo, że 0 ie jest rozwiązaiem tego rówaia, możemy więc podzielić obie stroy rówaia przez. Otrzymujemy rówaie , które zapisujemy w postaci: Rówaie to rozwiązujemy wykorzystując podstawieie + t. Rozwiązaiem rówaia t + t 5 0 są liczby t 3 oraz t 5. Zatem + 3 lub Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań rówaia jest,,,. Stosując wyżej opisaą metodę postępowaia rozwiąż rówaie stadard opis wymagań egzamiacyjych Schemat oceiaia stosuje przedstawioy algorytm do rozwiązaia problemu praktyczego lub teoretyczego zdający potrafi: rozwiązywać rówaia wielomiaowe II.. b III. 5. d Etapy rozwiązaia zadaia przekształceie rówaia do postaci rówaia Liczba puktów p at bt c rozwiązaie rówaia kwadratowego obliczeie pierwiastków rówaia stopia czwartego i zapisaie odpowiedzi p p 5 6 styczia 004 r

6 Biulety Maturaly ROZDZIAŁ II Aktualie obowiązującym dokumetem jest Rozporządzeie Miistra Edukacji Narodowej i Sportu z dia 6 lutego 00 roku w sprawie podstawy programowej( ) kształceia ogólego w poszczególych typach szkół. Dokumet te zawiera obowiązkowe, a odpowiedim etapie kształceia: cele edukacyje, zadaia szkoły, treści auczaia oraz osiągięcia ucziów kończących day etap edukacyjy. Aaliza Podstawy programowej jest koiecza zarówo przy wyborze programu, według którego będziemy uczyć, jak i przy tworzeiu własego, autorskiego programu. Szczególą uwagę ależy zwrócić a owe treści auczaia. W obowiązującej Podstawie programowej takimi zupełie owymi treściami są między iymi:! pojęcie błędu przybliżeia, szacowaie wartości liczbowych,! procet składay, oprocetowaie lokat i kredytów,! elemety statystyki opisowej: średia arytmetycza, średia ważoa, mediaa, wariacja i odchyleie stadardowe (liczoe z próby). Poiżej publikujemy artykuł doktora hab. Michała Szurka z Wydziału Matematyki Uiwersytetu Warszawskiego Elemety matematyki fiasowej. Będzie o, z pewością, pomocą przy realizowaiu odpowiedich treści auczaia. ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ W GIMNAZJUM I LICEUM Michał Szurek Po wielu latach, a awet dziesięcioleciach, do szkół wraca matematyka fiasowa. W programach i podręczikach jest coraz więcej prostych zadań typu TVM (time-valuemoey). Tak określamy zadaia, w których pamiętamy o podstawowym założeiu matematyki fiasowej: wartość pieiędzy jest zmiea w czasie. Nie tylko przez iflację, ale też a awet przede wszystkim z tego powodu, że posiadaymi środkami fiasowymi ieustaie obracamy. Iwestujemy, gramy a giełdzie, spekulujemy (to ostatie słowo odzyskuje swoje dawe, eutrale zaczeie). Nasze pieiądze pracują. Dotyczy to ie tylko przedsiębiorców, lecz w pewym sesie każdego z as każdego, kto ma rachuek w jakimkolwiek baku. Artykuł te ma formę otatek z wykładu, kokretie z wykładów, jakie miałem a spotkaiach z auczycielami w Bielsku, Łodzi, Sosowcu, Tychach, Warszawie i Żywcu latem i jesieią 003 roku. Nie dzielę zagadień a gimazjale i poadgimazjale. Taki podział jest dość umowy. Poadto prezetoway tu materiał jest zbyt obszery, aby być w całości wykorzystay w szkole. Każdy z elemetów może być za to wykorzystay oddzielie. Taki a ie iy wybór treści przezaczoy jest raczej dla auczyciela, który to truizm ale warto o tym pamiętać, powiie mieć szerszą wiedzę iż uczeń.. Zaczijmy pół żartem, pół serio. Oto sytuacja, jak z życia, tylko ieco przesadzoa i podkoloryzowaa. Mleko kosztowało zł i bułka zł. Po zmiaie ce bułka kosztuje 50 gr a mleko zł. Ogólie: podwyżka to, czy obiżka? 6 styczia 004 r 6

7 Cetrala Komisja Egzamiacyja # Pai Jakowska: wczoraj kupowałam litr mleka i bułkę za zł, dziś muszę wydać zł 50 gr. Podwyżka o 5 %. # Pai Kowalska: Bułkę a litr mleka?? U mie do litra mleka kupuje się 5 bułek. Wczoraj 6 zł, dzisiaj 4 zł 50 gr. Obiżka o 5 %. # Pa Jakowski: rację ma moja żoa. Dzisiejsza cea mleka to 00 % wczorajszej, dzisiejsza cea bułki to 50 % wczorajszej. Średio dzisiaj 5% * wczoraj, czyli podwyżka o 5 %. # Pa Kowalski: rację ma moja żoa. Wczorajsza cea mleka to 50 % dzisiejszej, wczorajsza cea bułki to 00 % dzisiejszej. Czyli wczoraj 5 % * dzisiaj, obiżka o 5 %.. Matura sprzed 3 lat. Warto, aprawdę warto, przyjrzeć się zadaiu, jakie w 88 roku ucziowie klas VIII gimazjów Okręgu Naukowego Warszawskiego rozwiązywali a egzamiie maturalym. Warto zadumać się ad... zmiaą poziomu egzamiu dojrzałości... 0, sumy otrzymaej ze sprzedaży weksla rs. z potrąceiem 8 % za 9 miesięcy przed termiem, użyto a kupo lasu prostokątego o długości 768 sążi, szerokości 75 sążi. Za resztę otrzymaych pieiędzy kupioo dom; dochód z domu za trzy miesiące staowi tyle rubli, ile zapłacoo za dziesięcię lasu. Obliczyć, jaki procet przyosi kapitał użyty a kupo domu. Do zadaia ie było dołączoe iezbęde dziś wyjaśieie, że dziesięcia to 400 sążi kwadratowych. Widoczie wtedy każdy maturzysta w państwie carów musiał to zać. Warto przypomieć, co to jest weksel. Jest to papier wartościowy. Wystawca weksla otrzymuje od kupującego określoą sumę pieiędzy a w termiie ozaczoym a wekslu (termi wykupu) ma zwrócić pieiądze, zwykle więcej iż pożyczył. Przed tym termiem wystawca ie ma obowiązku wykupieia weksla. Dlatego weksel ma wtedy miejszą wartość iż w diu wykupu. Rozwiążmy to zadaie prawie według stadardów matury 005. Będziemy szukać odpowiedzi a koleje aturale pytaia. # Ile otrzymao za weksel? # Odp ,9 330 [rubli srebrem]. Zamieiam teraz 0, a ułamek zwykły, sumując odpowiedi szereg geometryczy. Odpowiedź: 7/5. # Za ile kupioo las? # Odp.: 7/ [rubli srebrem]. # Ile dziesięci miał las? # Odp.: (768 75)/ Ile płacoo za dziesięcię lasu? # Odp.: 5456/ To jest dochód z domu za 3 miesiące. # Obliczam dochód z domu za rok [rubli srebrem]. Za ile kupioo dom? # Odp.: To jaki to procet? # Odp.: 04/7664 /6 6,5 %. Kapitał użyty a kupo domu przyosi dochód 6,5% w skali roczej. 3. Mamy już XXI wiek. Rozwiążmy zadaie maturale z 88 roku iaczej. Jeżeli długość podstawy prostokąta wyraża ilość (wielkość) towaru, który kupujemy, a wysokość jest rówa ceie za jedostkę tego towaru, to pole prostokąta o daych wymiarach jest rówe sumie pieiędzy, jakie wydamy a zakup. Pamiętając o tym, zróbmy taki rysuek. Prostokąt wyobrażający sumę pieiędzy przezaczoą a dom i las dzielimy, zgodie z warukami zadaia, w stosuku 7: styczia 004 r

8 Biulety Maturaly Niezależie od wielkości potrąceia (dyskota), ta proporcja 7:8 jest zachowaa. Zachowuje się też długość obu odcików, ozaczoych a rysuku przez AC. Lewy ma zawsze długość 56 (liczba dziesięci). Zatem prawy ma długość 56 8 / Możemy powiedzieć, że prostokąt przekształca się przez powiowactwo osiowe. Dochód z domu za rok jest rówy 4 AB, zgodie z warukami zadaia. Aby obliczyć, jaka to część kapitału, dzielimy te dochód przez pole prostokąta symbolizującego sumę pieiędzy wydaą a dom. Ale pole prostokąta dzieloe przez jego wysokość to długość podstawy! Zatem kapitał użyty a kupo domu przyosi dochód 4/64 /6, czyli jak poprzedio 6,5%! Odkryliśmy też, że procet te ie zależy od wielkości dyskota. 4. Wycieczka w XIX wiek. Możemy wykorzystać to zadaie do wycieczki w przeszłość. Historyczie sążeń to szerokość rozkrzyżowaych rąk (stąd azwa, od sięgać). Jak zwykle, w dawych czasach iemal każdy powiat miał swoje włase miary. W zaborze rosyjskim a ziemiach polskich dekretem z 849 roku wprowadzoo sążeń rosyjski. W układzie metryczym był o rówy,336 m. Propoowae iżej zadaie przeliczeia dziesięciy a hektary wcale ie będzie łatwe dla ucziów gimazjów, awet jeśli co polecam użyją kalkulatora. 5. Cambio. Zaczeie tego słowa zae jest turystom. To po włosku wymiaa pieiędzy. Zobaczmy, że już 350 lat temu zagadieia matematyki fiasowej były doceiae w auczaiu matematyki. Cytujemy z książki: Krzysztof Schedel, Arytmetyka, to jest auka rachuku, 653. Cambio Commue jest to pospolite zamieieie moety różej jedego miasta. Cambio reale jest zamieieie pieiędzy jedej kraiy do drugiej albo jedego miasta do drugiego; jako to gdyby ja tu w Krakowie jedemu summę wyliczywszy a to, aby mi była taż summa w Weecyjej albo w iszych miastach, przez iego albo przez jego correspodety wyliczoa była. (...). Item kupiec jede w Krakowie bierze cambium do Weecyjej a 3000 złotych polskich po 39 złotych per 00 dukatów correti, których jede ½ aszych złot. czyi: wiele tedy dukatów w cambium położyć mają, które w Weecyjej będzie odebrać powiie? 6 styczia 004 r 8

9 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zachwyćmy się tą składią: będzie odebrać powiie. Ale powtórzmy pytaie: wiele dukatów 03 w cambium położyć mają? Odpowiedź: A prawdziwe zadaie dla Czytelików: przerobić to wszystko a stadardy matury Jeszcze jedo zadaie Schedla, op. cit. Matroa jeda u męża godego 300 grzywie pieiędzy dla zarobku swego Wyprosiła. Kupuje lu dostatkiem za to, Daje prząść, ofiarując zapłacić bogato. 3 sztuki otrzymuje z przędziwa swojego Płóto roboty dobrej gatuku ciekiego. Każda sztuka o 79 3/4 łokciach była, Każdy łokieć po /3 grzywie za pieiądze zbyła. No teraz jest moje pytaie: Co za zarobek wzięła za ie? Odpowiedź: 98 ¾ grzywy. 7. Wiele może mieć małdrów? Pierwszą polską książką matematyczą jest podręczik księdza Tomasza Kłosa Algoritmus to jest auka liczby (538). Pytaie kotrole: z którego roku pochodzi Krótka rozprawa między paem, wójtem i plebaem? Z książki Kłosa dwa takie oto zadaia. Pierwsze jest proste, przepisujemy staraie: Dworzka liczba. Krol asz miłosćiwy Sigmut: odloził zło. a obroę sławego Krolestwa Polskiego za które chce mieć iezdych 3880 A pieszych 750 dawaiąc każdemu iezdemu a miesiąc 4 zło. á pieszym 5 zło. Iest pytaie iako wiele miesięczy może ie trzymać. Oto drugie. Bez kometarza. O zbożu. czwircień w małdr. Iede aloził a zboże 8 mrc. czwiertia po 3 ½ g. Wiele może mieć małdrów? A oto i odpowiedź: 37 małdrów czwircień /9. Prawda, jakie to... musiało być trude? 8. Zostańmy w aszym, jako tako oswojoym świecie XXI stulecia. W szkole omawiamy astępujące typy zadań a procet prosty. Wiele z ich ma aspekt fiasowy: $ wyzaczaie jakim % jedej liczby jest ia, $ wyzaczaie liczby, będącej daym % iej, $ wyzaczaie liczby z jej %, $ obiżki i podwyżki (w tym koleje). Dobrze by było, gdyby ucziowie gimazjum i liceum zrozumieli zaczeie wielu z astępujących termiów: (to zresztą jest miimum wiadomości, jakie każdy z as powiie mieć a temat matematyki spraw fiasowych). wartość przyszła i obeca; stopa % (omiala, efektywa), kapitalizacja, dyskotowaie, zadaia; podatki, płaca brutto i etto; iflacja; saldo, debet, kredyt i sposoby jego spłat; weksle, akcje i obligacje; stopa zwrotu, przychód, dochód, zysk. 9 6 styczia 004 r

10 Biulety Maturaly Dla celów szkolych taka lista jest za długa, wybór zależy od sytuacji w poszczególych szkołach i klasach. Rówież za obszere są przedstawioe iżej propozycje dziesięciu grup tematyczych (zwę je motywami) dotyczące matematyki fiasowej w szkole. Każda ma jedak pewie urok. Tematy iflacja i kredyty są waże a co dzień. Nazwę kapelusz a stole wyjaśiam w odpowiedim miejscu. Stałe płatości to dobre zadaia a szereg geometryczy, a w wyprowadzeiu wzoru a wielkość stałej raty posługujemy się bardzo ciekawa (choć skomplikowaą) idukcją. Wreszcie, w temacie stopa zwrotu dochodzimy do aturalych (a także maturalych) zadań o wielomiaach. Dzięki iterpretacji fiasowej możemy lepiej zrozumieć wprowadzeie liczby e, a także rozwiązać z pozoru trude zadaie o rówaiach kwadratowych. To tylko droby przejaw tego, że prawdziwa matematyka fiasowa sięga do wielu z pozoru odległych dyscypli matematyki współczesej. Grupy tematycze ( motywy ) zadań z matematyki fiasowej w szkole. W każdej z grup omówioo po kilka zadań.. Zmiay ce, I. Obiżki i podwyżki.. Zmiay ce, II. Zmiay ce zestawów. 3. Iflacja. 4. Termiologia. Kapelusz a stole. 5. Stopa omiala i efektywa. 6. Kredyty, odsetki. 7. Skomplikowae rachuki bakowe. 8. Stałe płatości. 9. Stopa zwrotu. 0. Procety i podatki. Motyw. Obiżki i podwyżki Zadaie. Towar taiał o 30%, 5%, 0%, 5%. O ile staiał? Jaka była średia obiżka? 5%? NIE. Rozwiązaie. Oto historia cey początkowej c: c 0,7c 0,85 0,7c 0,9 0,85 0,7c 0,95 0,9 0,85 0,7c 0,50875c 0,5c. Kosztuje zatem 5 procet tego, co dawiej. Zatem staiał o... Tak jest, o 49 procet! Średia obiżka to ie 5 procet! Bo gdyby tak było, to kosztowałby 4 0,85 c 0,50065 c 0,5 c. Prawidłowa odpowiedź: Zadaie. Bilet ze ziżką 49% kosztuje 49 zł. Ile kosztuje bilet ze ziżką 5%? Rozwiązaie (szkic). Peły bilet 49/0,5 96,08 zł. Bilet ze ziżką 5% kosztuje więc 96,08 0,49 47,08 zł. Zadaie 3. Ubezpieczeie samochodu kosztuje 000 zł, ale firma daje rabat 50% za bezszkodowość i 0% za kotyuację. Jak obliczyć składkę? Uwaga. Nie moża oczywiście sumować procetów, ale moża obiżki obliczać w dowolej kolejości. 6 styczia 004 r 0

11 Cetrala Komisja Egzamiacyja Odp.: 450 zł. Zadaie 4. Samochód traci roczie 5% wartości. Ile jest wart po 5 latach samochód, który owy kosztował zł? 5 Odp.: 0, zł 33 zł 6 gr. Po ilu latach wartość spadie poiżej 6000 zł? Odp.: Po 0 latach. Sporządzić wykres spadku wartości samochodu. Motyw. Zmiay ce zestawów Zadaie 5. Zestaw komputer, drukarka i oprogramowaie zmieił ceę. Komputer zdrożał o 0%, drukarka o 5%, a oprogramowaie staiało o 5%. Jak zmieiła się cea zestawu? Uwaga. Tak sformułowae zadaie jest złe! Odpowiedź zależy od proporcji ce między tymi przyrządami. Łatwo to zrozumieć, wyobrażając sobie, że do drogiego komputera dokupujemy bardzo taie oprogramowaie. Wtedy wahaia ce oprogramowaia bardzo iewiele wpływają a łączą ceę zestawu. Przyjmijmy ceę komputera 3000 zł, drukarki 500 zł, oprogramowaia 000 zł. Jeżeli komputer zdrożał o 0 %, drukarka o 5%, to o ile procet trzeba obiżyć ceę oprogramowaia, żeby cea zestawu się ie zmieiła? Zadaie ogóliejsze. Przyjmijmy ceę komputera 3000 zł, drukarki 500 zł, oprogramowaia 000 zł. Jeżeli komputer zdrożał o %, drukarka o q 0%, to o ile procet trzeba obiżyć ceę oprogramowaia, żeby cea zestawu się ie zmieiła? Zrób wykres odpowiediej fukcji. Rozwiązaie: Ozaczmy szukaą wielkość przez y. Zestaw kosztuje teraz (+/00) ( y/00) 000. To ma być rówe 6500 zł. Stąd y (3 + 5)/. Dla daych ogólych mamy (+/00) (+ q/00) + ( y/00) 000. To ma być rówe 6500 zł. Otrzymujemy: y (6 + 3q)/4. Pouczające będzie zilustrowaie tego wykresem. Chodzi o iteligety dobór parametrów rysuku, opisy osi itp. Szkicowy wykres jest jak iżej: 6 styczia 004 r

12 Biulety Maturaly y Motyw 3. Iflacja Zadaie 6. W pierwszym półroczu iflacja wyiosła procet a w drugim procet. Jaka była rocza iflacja? Rozwiązaie. Przypomijmy, jak się oblicza iflację. Dwuprocetowa iflacja w skali półroczej zaczy, że to, co kosztowało złotówkę, po pół roku miało ceę,0 zł, a po astępych sześciu miesiącach,0,0,030. Iflacja wyiosła zatem trochę więcej iż 3 procet. Gdyby pierwsza iflacja była 8 procet, a druga procet, to rocza byłaby rówa procet, a ie 0. Zadaie 7. Ile będzie warte 000 zł złożoe w baku a rok a 4%, jeżeli iflacja rocza jest rówa %? To jest ie zadaie iż poprzedie. Jeszcze raz przypomijmy, że iflacja % zaczy, że to, co kosztowało, kosztuje teraz,0. A co kosztowało 000 zł, będzie 00 zł. Jedocześie w baku 000 zł zostaie skapitalizowae do 040 zł. Ile warte jest 000 złotych po roku? Jeżeli p. coś kosztuje grosz, to za 000 złotych moża kupić sztuk, a po roku za 004 złote moża kupić 004/ Owe 000 złotych po roku będzie warte 00 zł 99 groszy. Rady i uwagi %Iflacja p procet zaczy, że to co kosztowało c, kosztuje teraz o p procet więcej, tj. (+p/00)c. %Dlatego używajmy czyika procetowego r + p/00. W zadaiu powyżej jest o rówy r,0. %Złotówka po roku jest warta /r!!!! To jest dyskotowaie. Bo to, co kosztowało zł, teraz kosztuje r. %Odróżiajmy procet od puktu procetowego! Jeżeli iflacja była rówa procet i spadła do jedego proceta, to spadła o pięćdziesiąt procet, ale o jede pukt procetowy! 6 styczia 004 r

13 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zadaie 8. W warukach pracy mam zagwaratowae, że moja płaca będzie rosła w tempie o jede pukt procetowy poad poziom iflacji. Jak rośie moja siła abywcza? Rozwiązaie. Wyobraźmy sobie towar, który kosztuje złotówkę za sztukę, gdy ja zarabiam c złotych. Iflacja p procet zaczy, że cea towaru się zmiei do + p/00 złotych. Moje zarobki wyiosą wtedy c ( + (p+)/00) złotych i będę mógł za ie kupić c ( + (p+)/00)/(+ p/00) sztuk tego towaru. Moja siła abywcza wzrośie więc p raza. Na przykład, gdy p (iflacja procet), to moja siła abywcza p p 00 wzrasta tylko,0098 raza. W warukach hiperiflacji jest jeszcze gorzej. Dla p 00 (koszty rosą dwukrotie), ja zarabiam efektywie więcej tylko,005 raza. Motyw 4. Termiologia Widzimy obok wzór a procet prosty: i a procet składay. Obydwa mogą być zapamiętae jako kapelusz a stole. Wzór a procet składay w iych ozaczeiach, używaych p. w kalkulatorach: (WP wartość przyszła, WB wartość bieżąca, zwaa też wartością obecą) WPWB r Po agielsku (future value, preset value): FVPV r Kapitalizacja i dyskotowaie to przeliczaie, odpowiedio, wartości obecej a przyszłą i przyszłej a obecą. A zatem dyskotujemy według wzoru s s/ r. Zadaie 9. W 66 roku Holeder Peter Miuet kupił od Idia cały Mahatta za paciorki wartości $4. Ile mieliby Idiaie teraz, gdyby te pieiądze złożyli w baku a p procet? Zadaie to jest proste. Do rozwiązaia potrzeby jest kalkulator, mający potęgowaie. Warto rozwiązać zadaie dla różych stóp procetowych. Osiągamy przy tym astępujące cele: ) pokazujemy ucziom, jak bardzo sta aszego kota przy długotermiowych lokatach zależy od procetu, a jaki składamy pieiądze; ) uczymy posługiwaia się kalkulatorem, 3) omawiamy fukcję wykładiczą (jeżeli chcemy), 4) omawiamy z ucziami, jak ieżyciowa jest opisaa w zadaiu sytuacja i między iymi, że trzymaie pieiędzy w baku jest jedą z ajgorszych form ich użycia. Poiższa tabela podaje sta kota Idia po złożeiu pieiędzy a poday procet. Widzimy, że oprocetowaie 6% przyiosłoby prawie 00 miliardów dolarów. 05, , , , , , styczia 004 r

14 Biulety Maturaly Motyw 5. Stopa omiala i efektywa Zadaie 0. Stopa procetowa dla lokat w SuperBaku wyosi 6% w stosuku roczym. Zatem lokata rocza 000 zł przyosi po roku 60 zł. Zakładamy lokatę kwartalą, odawialą w wysokości 000 zł. Ile mamy po roku? Odp.: Stopa kwartala to,5 %. Zatem po roku mamy 000, ,36 zł. A zatem omiala stopa 6% przy kwartalej kapitalizacji daje stopę efektywą 6,36%. Fiasowe wprowadzeie liczby e. Czyik procetowy: r + p/00. k -> k * r. Pewie bak daje 00 procet odsetek. Złotówka po roku staie się zł. Stopa kwartala 5 %. Złotówka po kwartale ->,5 zł, po roku,5 4 zł 44 gr. Stopa miesięcza 8, %. Złotówka po miesiącu ->, zł, po roku, zł 6 gr. Stopa dziea: 00/365 proceta 0, proceta. Po roku, zł 7 gr. A przy stopie sekudowej? Po roku mamy ( + / ) Po / tej roku złotówka wzrośie do (+/) Zatem e to graica wzrostu, czyli: efektywy czyik procetowy odpowiadający ciągłej kapitalizacji przy omialej stopie 00%. Motyw 6. Kredyty, odsetki Zasada: odsetki obliczamy od iespłacoej części kredytu! Zadaie. Sporządzić pla amortyzacji kredytu 600, wziętego a % a dwa lata ze spłatą kwartalą wg zasady stałych rat kapitałowych. Motyw 7. Skomplikowae rachuki bakowe 6 styczia 004 r 4

15 Cetrala Komisja Egzamiacyja Zadaie. Ulokowao pewą kwotę w dwóch bakach. Po roku, po uwzględieiu 0% podatku od odsetek, odebrao z obu baków zł. Oblicz kwotę każdej lokaty, jeżeli rocza stopa procetowa w pierwszym baku była rówa 5%, w drugim 4% i jeżeli kwota odsetek w pierwszym baku była dwa razy większa iż kwota odsetek w drugim baku. Rozwiązaie. Najpierw wyliczmy czyik procetowy po uwzględieiu podatku od odsetek: &,05 0,8,04; (stopa 5% -> 4%) &,4 0,8,03; (stopa 4% -> 3,%) & Ozaczmy lokaty przez, y & Teraz mamy układ rówań:,04 +,03 y 6960, 0,05 0,04 y Odp.: 6000 zł, y 0000 zł. Kometarz: Bardzo wielu osobom (ie tylko ucziom) z trudem przychodzi zrozumieie faktu, że odjęcie od liczby jej 0 procet to to samo, co pomożeie jej przez 0,8. Musimy oczywiście o tym pamiętać. Zadaie 3. ODROCZONA PŁATNOŚĆ. Sieć dużych sklepów (zwaych w kiepskiej polszczyźie hipermarketami) oferuje róże formy zapłaty za komputer. Mamy trzy możliwości: ) albo zapłacić teraz 8600 zł gotówką, ) albo płacimy teraz 4600 zł i za rok 4600 zł. 3) albo teraz ie płacimy ic, za rok 590 zł i po dwóch latach 590 zł. Wybierając drugie lub trzecie wyjście, de facto dostajemy więc kredyt. Wyzaczyć jego stopę. Płacąc tak, jak w sposobie r, dostajemy 4000 zł kredytu, który spłacamy kwotą 4600 zł. Zatem stopa procetowa tego kredytu jest rówa ( )/ /4000 5%. Niech r będzie czyikiem procetowym odpowiadającym szukaej stopie procetowej kredytu, który otrzymujemy wybierając trzecią możliwość Dyskotujemy przyszłe płatości. Mamy zależość: / r / r 860 r 59 r Rozwiązujemy: Stąd r,5. Stopa kredytu 5% Obydwa sposoby ratale są według stopy 5%. RENTA ( STAŁA PŁATNOŚĆ) Motyw 8. Stałe płatości W powieściach fracuskich występuje czasami słowo retier. Jest to osoba otrzymująca regulare zyski z pieiędzy ulokowaych w baku. Dlatego regulare wypłaty (w tej samej wysokości i w rówych odstępach czasu) azywamy retą. Nie jest to ajlepszy termi, ale lepszy iż iekiedy używay potworek językowy auita. Dla wpłat używamy zrozumiałego termiu płatość. Matematyczie reta i płatość to to samo. Co bowiem dla jedego jest retą, dla drugiego jest płatością. Rozróżiamy oczywiście płatości z góry (a początku miesiąca czy roku) i z dołu (a końcu). Matematyczie rzecz biorąc, wszelkie stałe przepływy pieięże to reta; w tym i asza pesja za pracę. Zadaie 4. Wpłacamy po 00 zł miesięczie a p % (w skali roczej). Ile mamy po 5 latach? Rozwiązaie. Niech jak zwykle r +p/00. U as: % miesięczie. 5 6 styczia 004 r

16 Biulety Maturaly Dla płatości z góry (a początku miesiąca) mamy szereg 00r r r... u as ,64 zł. Dla płatości z dołu (a końcu miesiąca) mamy szereg 00r q r u as ,97 zł. Zadaie 5. Reta wieczysta: Niech stopa procetowa p. Wyzaczyć wartość bieżącą rety wieczystej 00. Rozwiązaie. Reta wieczysta to stała płatość, bez ozaczoego termiu końca. Wyobraźmy sobie a przykład, że bogaty wujek postaowił wypłacać siostrzeńcowi po 00 euro miesięczie. Jaś chciałby mieć jedak większą sumę od razu. Może ją bowiem zaiwestować w itrate przedsięwzięcie, z którego będzie przez długi czas czerpać zyski większe iż 00 miesięczie. Wbrew pozorom, wartość bieżąca rety wieczystej ie jest ieskończoa i to ie z powodu ograiczoości czasu trwaia życia ludzkiego (a tej Ziemi, ale w iebie/piekle/czyśćcu podobo i tak ie myśli się o pieiądzach). Wartość bieżąca rety wieczystej to bowiem suma szeregu geometryczego ieskończoego o ilorazie /r, gdzie r jest czyikiem procetowym. Na przykład dla p 5% mamy r,05, więc wartość rety wieczystej 00 jest rówa 00/( /r) 00/( /,05) 00/( 00/05) 00/(5/05) SPŁATA KREDYTU METODĄ STAŁYCH RAT r + p/00 to czyik procetowy zatem K -> K(+p/00) Kr Twierdzeie. Jeżeli pożyczamy K a p procet a lat (okresów) i chcemy spłacać po tyle samo, to : wielkość stałej raty jest rówa Kr (r )/(r ) a po k-tym roku (okresie) zostaje do spłaty kapitału. Kr k Kr (r k )/(r ) Dowód: Idukcja względem k. Dla k 0 twierdzeie jest prawdziwe. Krok idukcyjy: dług po k latach Kr k Kr (r k -)/(r -) staie się (Kr k - Kr (r k -)/(r -)) r, a po zapłaceiu raty (Kr k - Kr (r k -)/(r -) ) r - Kr (r-)/(r -)... Kr k+ - Kr (r k+ -)/(r -) Uwaga. Omówioa tu metoda stałych rat (stałych spłat) to ie to samo, co metoda stałych rat kapitałowych, gdzie spłacamy za każdym razem taką samą część kapitału, a coraz miejsze odsetki. Zadaie 6. Wyliczyć wielkość stałej raty miesięczej przy spłacie kredytu złotych wziętego a % w skali roczej a 5 lat. Rozwiązaie. We wzorze z powyższego twierdzeia mamy K 00000, r,0, 60. Wyliczamy stąd, że wielkość raty jest rówa 4 zł 44 grosze. Płacąc tyle przez 5 lat, zaosimy do baku łączie 60 4, zł 40 groszy, czyli spłacamy poad 33% procet więcej (efekt dźwigi). Zadaie 7. (por. z zadaiem.) Obliczyć wielkość stałej raty kredytu 600 zł, wziętego a % a dwa lata ze spłatą kwartalą według zasady spłat w rówej wysokości. 6 styczia 004 r 6

17 Cetrala Komisja Egzamiacyja 8 0,03 Odp.: Jest oa rówa 600,03 7 zł 93 grosze. 8,03 Uwaga. Niekiedy baki stosują ią metodę obliczaia stałej płatości. Rozkładają miaowicie sumę wszystkich odsetek obliczaych według metody stałych rat kapitałowych rówomierie a wszystkie płatości. W sytuacji z zadaia byłoby tak. Suma wszystkich odsetek to złotych, zatem do każdej raty kapitałowej 00 dodajemy 6/8 7 złotych. Zatem stała spłata jest rówa 7 złotych, miej iż w metodzie, która jest bardziej poprawa matematyczie. Dlaczego słowa bardziej poprawa są w cudzysłowie? Dlatego, że sposób aliczaia odsetek jest sprawą umowy między bakiem a klietem. Jeśli kliet podpisze umowę, w której będzie jawie apisae, że przy obliczaiu odsetek bak stosuje regułę dwa razy dwa jest rówe pięć, to... jego strata. Motyw 9. Stopa zwrotu Jeżeli iwestujemy pewą sumę pieiędzy w przedsięwzięcie, z którego po krótkim czasie teoretyczie atychmiast otrzymujemy zysk, to stosuek wielkości tego zysku do zaiwestowaej sumy (wyrażoy w procetach) azywamy stopą zwrotu z przedsięwzięcia. Jeżeli jedak zysk jest odległy w czasie, sprawa obliczeia stopy zwrotu jest bardziej skomplikowae. Musimy pamiętać, że wartość pieiędzy (ekoomiści używają tu liczby pojedyczej: wartość pieiądza, co ie jest poprawie po polsku) jest zmiea w czasie. Nie chodzi tylko o iflację, lecz główie możliwość reiwestowaia otrzymaych dochodów. Zadaie 8. Iwestycja 00 zł przyiosła po roku dochód 80 zł, po drugim roku 48 zł. Wyzaczyć stopę zwrotu. 8 %? Nie!!! Musimy pamiętać, że 48 zł za dwa lata to ie to samo, co teraz. Dyskotowaie to dzieleie przez r. A więc 80 zł za rok to 80/r teraz! Ozaczmy roczy czyik procetowy przez r + p/00. Mamy rówaie 00 80/r + 48/r. Stąd 5r 0 r 0; , stąd r 6/5, bo /5 odrzucamy. Czyli p /5. Odp.: Stopa zwrotu jest rówa 0%. Zadaie 9. Iwestycja 8 przyosi w kolejych latach zyski 9, 7, 4. Wyliczyć stopę zwrotu. Szkic rozwiązaia. Rówaie 8 r3 9 r 7 r 4 0. Dodati pierwiastek r 4/3. Zadaie 0. NIEOCZEKIWANE ZASTOSOWANIE MATEMATYKI FINANSOWEJ. Niech a, b, c będą liczbami dodatimi, takim, że a < b+c. Wykazać, że rówaie a b c 0 ma dwa pierwiastki, z których jede jest ujemy, a drugi większy iż. Rozwiązaie (szkic). Iwestycja a przyiosła dochód b + c, większy iż zaiwestowaa suma. Zatem stopa zwrotu jest dodatia, zadaie rozwiązae. Motyw 0. Procety i podatki 7 6 styczia 004 r

18 Biulety Maturaly W tym pukcie podaję kokretą propozycję lekcji a temat podatków. Rzeczowik lekcji użyty jest tu w liczbie mogiej (dawiej pisao kosekwetie: lekcyj). Poprzedzam to uwagami a temat zadań a procety. Pułapki procetowe. Warto sobie zdać sprawę z błędów przy posługiwaiu się obliczeiami procetowymi. Oto iektóre:. Obliczeń procetowych ie moża stosować dla małych liczb. Jeżeli mam dwie córki i sya, to matematyczie będzie w porządku, jeżeli powiem, że około 66,67 proceta moich dzieci to córki, a 33,3333 to syowie, ale każdy zdaje sobie sprawę z absurdu takiego sformułowaia.. Jeśli a jest o p procet większe od b, to b ie jest o p procet miejsze od a. Zatem obiżka pesji o 0 % a potem podwyżka o 0 % ie wyrówuje am straty. 3. Autetycze! Mieszkam a osiedlu, złożoym z kilkuastu domów. Jest zatem kilku dozorców. Dozorca mojego domu poskarżył mi się: a tablicy wisiała iformacja, że wszyscy dostaiemy takie same premie, po 0 procet, a jak rozmawiałem z tym spod ósemki, to okazało się, że o dostał o 00 złotych więcej. Tak as wszyscy a każdym kroku oszukują! 4. Pukty procetowe a procety. Jeżeli iflacja w kraju była rówa, powiedzmy, 7 procet i zmalała do 6, to ie zmalała o jede procet a o jede pukt procetowy. Jak wiadomo, Stańczyk, błaze Zygmuta Augusta, wykazał, że ajwięcej w Polsce jest lekarzy. Skarżył się każdemu przechodiowi a ból zębów i od prawie każdego otrzymywał ią poradę. Przypomia mi się to, gdy czytam zaleceia, jak uczyć o procetach i obliczeiach procetowych. Niemal każde opracowaie dydaktycze zaleca co iego. Choć w I klasie liceum ucziowie powii takie obliczeia wykoywać, to moża i ależy do tego wrócić. Propouję taki Schemat rozwiązywaia zadań a procety W zdaiu Liczba a jest to p procet liczby b występują aż trzy zmiee: a, b, p. Wszystkie zadaia a procety dzielą się zatem a trzy typy. W każdym z ich chodzi o wyzaczeie trzeciej zmieej, gdy zae są dwie pozostałe. Kokretie: Sformułowaie Przykładowe zadaie Rozwiązaie Jakim procetem liczby b jest Powierzchia Polski wyosi a 86, b 3, zatem liczba a? około 3 tysięcy km. Lasy 86 zajmują 86 tysięcy km. Jaki p 0,76, tz. lasy 3 procet powierzchi Polski zajmują ok. 7,6 proceta zajmują lasy? powierzchi Polski. Daa jest liczba b. Wyzaczyć liczbę a, która staowi p procet liczby b. Powierzchia Polski wyosi około 3 tysięcy km. Lasy zajmują 7,6 procet tej powierzchi. Jaką powierzchię zajmują lasy w Polsce? Mamy obliczyć 7,6 procet liczby 3. W schemacie widoczym w pierwszej kolumie tabeli podstawiamy p 0,76, b 3, zatem a 0, (tysięcy km ) Daa jest liczba a, która staowi p procet iewiadomej liczby b. Wyzaczyć liczbę b. Lasy w Polsce zajmują obszar 86 tysięcy kilometrów kwadratowych i jest to 7,6 proceta powierzchi Polski. Ile kilometrów kwadratowych zajmuje powierzchia Polski? Mamy tutaj a 86, p 0,76, 86 zatem b 3 0,76. 6 styczia 004 r 8

19 Cetrala Komisja Egzamiacyja 5. Dwie firmy farmaceutycze produkują dwa róże leki a tę samą dolegliwość. Wyiki badań statystyczych były astępujące. Leczei Poprawa Skuteczość Kometarz Lek A Mężczyz % Kobiet % Ogółem % Lek B Mężczyz % Skuteczość leku B jest miejsza iż leku A. Kobiet % Skuteczość leku B jest miejsza iż leku A. Ogółem ,7 % Skuteczość leku B jest większa iż leku A. A zatem lek A jest lepszy i dla kobiet i dla mężczyz, ale gorszy w ogóle! Paradoks polega a tym, że procetów ie moża dodawać bezkarie. 6. Tylko 0,0 proceta maryarzy umiera a morzu a zawał serca, a mieszkańcy miast aż 5 procet. Czy to zaczy, że wstąpieie do maryarki powoduje zmiejszeie ryzyka zawału? Oczywiście, że ie, w każdym razie ie aż 500-krotie. Po prostu wśród maryarzy przeważają jedak ludzie zdrowi! 7. Pewie kraj skuteczie walczył z iflacją. W pierwszym kwartale cey wzrosły o 5 %, w drugim o 0 %, w trzecim o 4 %, w czwartym o %. Jaki był średi wzrost ce? Narzucająca się odpowiedź procet jest błęda. Jeżeli bowiem coś 4 kosztowało a początku roku złotówkę, to pod koiec pierwszego kwartału zł 8 gr, pod koiec drugiego,8,0 zł, pod koiec trzeciego,8,0,04 zł a pod koiec czwartego kwartału,8,0,04,0 zł, czyli po zaokrągleiu do pełych groszy zł 49 gr. Natomiast średi wzrost ce o procet kwartalie powoduje, że cey grudiowe wyoszą, 4,5 ce stycziowych. 8. Czy moża obiżyć ceę o poad 00 %? W 00 roku a ulicach Warszawy moża było zaleźć olbrzymie tablice (we współczesej polszczyźie billboardy) z tekstem Obiżka ce a mieszkaie o poad 00 procet. Zaśmiewaliśmy się z tego... do chwili, gdy ktoś uważie przeczytał, o co chodzi. Oferta baku była astępująca: jeśli złożysz u as pieiądze, to oprócz odsetek możesz wygrać za darmo mieszkaie. A więc rzeczywiście była to obiżka cey mieszkaia o poad sto procet. Zadaia a procety z egzamiów wstępych a rozmaite uczelie w kraju w ciągu ostatich kilku lat. Zamieszczoe tu zadaia to dość reprezetatywa próbka.. Jede promil jedego milioa to a) tysiąc, b) 0 tysięcy, c) 00 tysięcy, d) 00.. Aby wykoać parę butów, potrzeba 500 cm skóry. Gdy rozmiar butów powiększymy o 0 %, to potrzeba będzie a) 000 cm skóry. b) 70 cm skóry. c) 600 cm skóry. d) 750 cm skóry. 3. Aby wykoać piłkę, potrzeba m skóry. Jeśli chcielibyśmy, aby piłka miała promień o 0 % większy, musimy zużyć a),0 m skóry. b),0 m skóry. c), m skóry. d),0 m skóry. 4. Liczba dodatia a jest większa od liczby b o 0 %. Wobec tego liczba b jest miejsza od liczby a o a) 0 %. b) 3,3 %. c) 6 %. d) 5 % styczia 004 r

20 Biulety Maturaly 5. Śrubokręt młotek kosztują tyle samo. Jeśli śrubokręt podrożeje o 5 % a młotek o 3 %, to za zestaw 3 śrubokrętów i 3 młotków trzeba będzie zapłacić a) o 4 % więcej. b) o 8 % więcej. c) o 4 % więcej. 6. Jeśli 0, % liczby wyosi 0,03, to liczba jest rówa a) b) 5. c) 6 3 %. 7. Dwie koleje obiżki cey pewego towaru o 0 % i o 5 % są rówoważe jedorazowej obiżce o a) 3 %. b) 3,5 %. c) 35 %. 8. Jeśli towar staiał pięciokrotie o 0 %, to teraz a) rozdaway jest za darmo. b) kosztuje miej iż 3 początkowej cey. c) kosztuje więcej iż początkowej cey W pewej kawiari cey porae są o 0 % miejsze iż popołudiowe. Cey wieczore są o 0 % większe iż popołudiowe. Ile kosztuje wieczorem kawa, która rao kosztuje 4 zł 3 grosze? a) 4 zł 80 gr, b) 4 zł 96 gr, c) 5 zł 6 gr, d) 5 zł 8 gr, e) 5 zł 44 gr. Propozycje trudiejszych zadań a procety. Zadaie. Trasa z miasta A do B ma d kilometrów. Autobus jedzie zwykle z jedostają prędkością v. Pewego dia przez d kilometrów jechał o p procet woliej. O ile procet szybciej iż zwykła prędkość musi jechać a drugim odciku trasy, by przyjechać o wyzaczoej porze? Rozwiązaie. Pierwsze d kilometrów jechał z prędkością ( p/00)v. Czas zużyty a d pokoaie tej drogi był zatem rówy t. Załóżmy, że drugą cześć trasy autobus v( p/00) jedzie o q procet szybciej, to zaczy z prędkością ( + q/00 )v. Wtedy przebywa drogę d d w czasie t. Ale t + t ma być rówe d. Otrzymujemy rówaie v( + q/00) v d + d d v( p/00) v( + q/00) v skąd + p/00 + q/00 Widzimy, że odpowiedź ie zależy od odległości d ai od prędkości v. Po rozwiązaiu rówaia mamy: 50 p q 50 p. A zatem a przykład zmiejszeie prędkości o 0 procet a pierwszym odciku powoduje koieczość jazdy szybszej o,5 procet a drugim. Warto to przedstawić tabelką: Zmiejszeie prędkości a pierwszym odciku, w procetach Koieczość zwiększeia prędkości a drugim odciku, w procetach ,555...,5,4 33, styczia 004 r 0

BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA

BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA BIULETYN MATURALNY NR 4 CENTRALNEJ KOMISJI EGZAMINACYJNEJ MATEMATYKA SPIS TREŚCI Rozdział I O egzamiie... Rozdział II Elemety matematyki fiasowej dr hab. Michał Szurek... 6 Rozdział III Wzory... 9 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Matematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 6 Matematyka fasowa c.d. Rachuek retowy (autetowy) Maem rachuku retowego określa sę regulare płatośc w stałych odstępach czasu przy założeu stałej stopy procetowej. Przykłady

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) 1 0 8 1 2 11 5 4 Dane są liczby x 5, y 5 2 2 1 5 a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b)

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI

Bardziej szczegółowo

Zacznij oszczędzać na emeryturę

Zacznij oszczędzać na emeryturę Zaczij oszczędzać a emeryturę - to TWOJA sprawa! ZAPEWNIJ SOBIE FINANSOWĄ PRZYSZŁOŚĆ! Kto się będzie Tobą opiekował, gdy przejdziesz a emeryturę? Aktualie państwowa emerytura wyosi EUR 193,30 tygodiowo

Bardziej szczegółowo

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy

Ekonomiczny Uniwersytet Dziecięcy Ekoomiczy Uiwersytet Dziecięcy Dlaczego jede kraje są biede a ie bogate? dr Baha Kaliowska-Sufiowicz Uiwersytet Ekoomiczy w Pozaiu 23 maja 2013 r. EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY WWW.UNIWERSYTET-DZIECIECY.PL

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska

Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

Załącznik 5. do Umowy nr EPS/[ ]/2016 sprzedaży energii elektrycznej na pokrywanie strat powstałych w sieci przesyłowej. zawartej pomiędzy [ ]

Załącznik 5. do Umowy nr EPS/[ ]/2016 sprzedaży energii elektrycznej na pokrywanie strat powstałych w sieci przesyłowej. zawartej pomiędzy [ ] Załączik 5 do Umowy r EPS/[ ]/ sprzedaży eergii elektryczej a pokrywaie strat powstałych w sieci przesyłowej zawartej pomiędzy Polskie Sieci Elektroeergetycze Spółka Akcyja [ ] a WARUNKI ZABEZPIECZENIA

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie

ELEMENTY MATEMATYKI FINANSOWEJ. Wprowadzenie ELEMENTY MATEMATYI FINANSOWEJ Wpowadzeie Pieiądz ma okeśloą watość, któa ulega zmiaie w zależości od czasu, w jakim zostaje o postawioy do aszej dyspozycji. Watość tej samej omialie kwoty będzie ia dziś

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne

Jak skutecznie reklamować towary konsumpcyjne K Stowarzyszeie Kosumetów Polskich Jak skuteczie reklamować towary kosumpcyje HALO, KONSUMENT! Chcesz pozać swoje praw a? Szukasz pomoc y? ZADZWOŃ DO INFOLINII KONSUMENCKIEJ BEZPŁATNY TELEFON 0 800 800

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie finansami

Zarządzanie finansami STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ W POZNANIU Zarządzaie fiasami DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Pieiądze posiadają określoą wartość. Wartość w diu dzisiejszym omialej

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin,

sin sin ε δ Pryzmat Pryzmat Pryzmat Pryzmat Powierzchnia sferyczna Elementy optyczne II sin sin, Wykład XI Elemety optycze II pryzmat kąt ajmiejszego odchyleia powierzchia serycza tworzeie obrazów rówaie soczewka rodzaje rówaia szliierzy i Gaussa kostrukcja obrazów moc optycza korekcja wad wzroku

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2

TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20. 1. Liczby 1-2. 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1-2 TEMAT 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 20 LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. Liczby 1-2 2. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych 3. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników 1 1-2 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Składka ubezpieczeniowa

Składka ubezpieczeniowa Przychody zakładów ubezpieczeń Przychody i wydatki zakładów ubezpieczeń Składka ubezpieczeiowa 60-95 % Przychody z lokat 5-15 % Przychody z reasekuracji 5-30 % Wydatki zakładów ubezpieczeń Odszkodowaia

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

Refinansowanie już od jakiegoś czasu mam kredyt, czy mogę obniżyć jego koszt?

Refinansowanie już od jakiegoś czasu mam kredyt, czy mogę obniżyć jego koszt? Refinansowanie już od jakiegoś czasu mam kredyt, czy mogę obniżyć jego koszt? Poniższy tekst jest przeniesiony z książki TAJNA BROŃ KREDYTOBIORCY praktycznego poradnika dla wszystkich kredytobiorców. Założenie

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych Opracował: Leszek Jug Wydział Ekoomiczy, ALMAMER Szkoła Wyższa Meody ocey efekywości projeków iwesycyjych Niezbędym warukiem urzymywaia się firmy a ryku jes zarówo skuecze bieżące zarządzaie jak i podejmowaie

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. metody elementów skończonych

Wprowadzenie. metody elementów skończonych Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów

Bardziej szczegółowo