1 Teoria popytu Relacjapreferencjikonsumenta Funkcjaużyteczności Interpretacjeekonomiczne Funkcjapopytu...

Transkrypt

1 Zamawianie kształcenia na kierunkach technicznych, matematycznych i przyrodniczych- pilotaż projekt systemowy Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego umowa na realizację zadania nr 22/DSW/4.1.2/2008 z dn r. Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Modele Matematyczne Gospodarki Rynkowej Wykład dla studentów II roku kierunku matematyka specjalność zastosowania matematyki Toruń 2010 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Spis treści 1 Teoria popytu Relacjapreferencjikonsumenta Funkcjaużyteczności Interpretacjeekonomiczne Funkcjapopytu Teoria produkcji Przestrzeńprodukcyjnaifunkcjaprodukcji FunkcjaprodukcjiCobba-Douglasa Producentwwarunkachdoskonałejkonkurencji Modele równowagi rynkowej ModelrynkuArrowa-Hurwicza ModelArrowa-Debreugo-McKenziego... 40

3 1 TEORIA POPYTU 1 1 Teoriapopytu 1.1 Relacja preferencji konsumenta Podstawowym powodem działalności ekonomicznej człowieka lub grup ludzkich jest zaspokajanie potrzeb konsumpcyjnych, w ramach możliwości, które daje rynek towarów konsumpcyjnych. Konsument, czyli albo pojedynczy człowiek albo zorganizowana grupa, dokonuje zakupów towarów, czyli produktów pracy lub usług. Do zakupu towarów konsument przeznacza swój dochód, który na początku naszych rozważań będzie ignorowany. Celem tego wykładu jest zbudowanie modelu matematycznego, który pozwoli w sposób formalny(matematyczny) opisywać zjawiska zachodzące na rynku towarów. Załóżmy,żenarynekoferujekonsumentommróżnychtowarów.Przezx i będziemy oznaczać ilość i-tego towaru mierzoną w odpowiednich jednostkach (kilogramach, litrach, metrach, sztukach itp.). Oznaczenia. Dowolny wektor x=(x 1,...,x m ) R m + =[0, )m będziemy interpretować jako potencjalny koszyk towarów konsumenta. NatomiastprzezX R m +będziemyoznaczaćzbiórwszystkichkoszykówdostępnych na rynku towarów konsumpcyjnych i nazywać przestrzenią towarów. Przykład 1. Załóżmy, że rynek oferuje tylko dwa towary: wódkę i papierosy. Ilość tych dóbr jest ograniczona, mamy 20 litrów wódki i 1000 papierosów. Wówczas zbiór dostępnych koszyków to X={(x 1,x 2 ):x 1 R +,x 2 N,x 1 20,x }. Konsument kieruje się przy wyborze koszyka towarów swoim gustem. Każdy konsument posiada swój indywidualny gust, np. preferencje konsumenta palącego i niepalącego są diametralnie różne. Gusta konsumentów opisuje tzw. relacja preferencji. Definicja. Mówimy, że relacja X X jest relacją słabej preferencji jeśli jest preporządkiem zupełnym, tzn. (i) x,y,z X (x y y z)= x z(tranzytywność); (ii) x,y X x y y x(zupełność). Jeślix ytomówimy,że koszyktowarówxjestsłabopreferowanynad koszyky lub koszyktowarówxjestniegorszyodkoszykay.

4 1 TEORIA POPYTU 2 Uwaga 1.1. Zauważmy, że bezpośrednio z warunku zupełności wynika zwrotnośćrelacjisłabejpreferencji,tzn.x xdladowolnegokoszykax X. Definicja. Polem preferencji konsumenta będziemy nazywać parę(x, ), gdzie X jest przestrzenią towarów dostępnych na rynku towarów oraz X X jest relacją słabej preferencji charakteryzującą gust konsumenta. Definicja.Mówimy,żedwakoszykix,y Xsąindyferentnelubrównoważne jeślix yorazy x.wówczaspiszemyx y. Mówimy,żekoszykx X jestsilniepreferowanynadkoszyky,jeśli (y x).wówczaspiszemyx y. Jeślikoszykxjestsilniepreferowanynady,tooznacza,żexjestlepszy z punktu widzenia konsumenta od koszyka y. Jeśli koszyki są indyferentne, to są one równie dobre dla konsumenta. Ćwiczenie. Relacja indyferencji X X jest relacją równoważności. Ćwiczenie. Relacja silnej preferencji X X spełnia następujące warunki: (i) (x x); (ii)x y (x y) (x y); (iii)x y (x y) (x y); (iv)(x y) (y z)= (x z); (v)(x y) (y x); (vi)(x y) (y x) (x y). Kolejnym aksjomatem teorii preferencji, po aksjomacie zupełnego preporządku relacji słabej preferencji, jest aksjomat ciągłości. Definicja.Mówimy,żerelacjapreferencji X Xjestciągła,gdyzbiór G={(x,y) X X:x y} jestotwartymwmetrycenax Xindukowanejzmetrykiproduktowejna R m R m. Uwaga1.2.Naprzestrzeni R m rozważaćbędziemymetrykępochodzącąod normy x =sup 1 i m x i.jednakwybórtakiejwłaśnienormyniejestzbyt istotny.jakwiadomowszystkienormyna R m sąrównoważne,więcpojęcie zbioru otwartego dla każdej z nich oznacza to samo. Wybór tej właśnie normy podyktowane jest względami estetycznymi. Będziemy jednak korzystać równieżznormyeuklidesowej x E = mi=1 x 2 ioraz x = m i=1 x i.

5 1 TEORIA POPYTU 3 Uwaga 1.3. Ciągłość relacji preferencji oznacza, że dla dowolnej pary nieindyferentnychkoszykówx yistniejeε>0taki,że {(x,y ) X X: (x,y ) (x,y) =sup( x x, y y )<ε} G. Zatemjeśli x i x i <εoraz y i y i <εdla1 i m,tox y. To oznacza, że relacja silnej preferencji jest nieczuła na małe zaburzenia koszyków towarów, co wydaje się być naturalnym założeniem. Twierdzenie1.4.Relacjapreferencji X Xjestciągławtedyitylko wtedy,gdydladowolnycha,b Xzbiory G 1 (a)={y X:a y}orazg 2 (b)={x X:x b} są otwartymi podzbiorami X. Dowód.( ) Załóżmy, że zbiór G jest otwarty. Udowodnimy, że dla dowolnego a XzbiórG 1 (a)jestotwartywx.otwartościzbiorug 2 (b)dowodzisię podobnie, co pominiemy. Niechy G 1 (a),zatema y,czyli(a,y) G.PonieważG X X jestotwarty,więcistniejeε>0takie,żejeślisup( x a, y y )<ε tox y.weźmydowolnyelementy Xtaki,że y y <ε.ponieważ sup( a a, y y )<ε,więca y,astądy G 1 (a).wtensposób pokazaliśmy,żepewneotoczenieywxzawartejestwzbiorzeg 1 (a),azatem G 1 (a)jestotwartywx,cokończydowódwłatwiejsząstronę. ( )Załóżmy,żezbioryG 1 (a),g 2 (b)sąotwartewxdladowolnycha,b X.Niech(a,b)będziedowolnymelementemG,czylia b. Przypadek1.Załóżmy,żeistniejec Xtakie,żea c b.wówczas (a,b) G 2 (c) G 1 (c) G. (1) Rzeczywiście,jeśli(x,y) G 2 (c) G 1 (c),tox corazc y,coztranzytywnościdajex y.zbiórg 2 (c) G 1 (c)jestzbioremotwartymwx X,jako produkt zbiorów otwartych. Zatem punkt(a, b) posiada otoczenie zawarte wg 2 (c) G 1 (c).z(1),otoczenietozawartejestrównieżwg,codowodzi otwartościgwx X. Przypadek2.Załóżmy,żenieistniejec X takie,żea c b. Oznaczmy F 1 (a)={x X:x a}=x\g 1 (a), F 2 (b)={y X:b y}=x\g 2 (b). Jako dopełnienia zbiorów otwartych są one domknięte w X. Zauważmy, że F 1 (a) F 2 (b)= orazg 1 (a) G 2 (b)=.rzeczywiście,jeślic F 1 (a)oraz

6 1 TEORIA POPYTU 4 c F 2 (b),toc aorazb c.ztranzytywnościb acostoiwsprzeczności zzałożeniem,że(a,b) G. Natomiast,jeślic G 1 (a)orazc G 2 (b),toa corazc b,costoiw sprzeczności z głównym założeniem w Przypadku 2. Ponadto, X=X\(G 1 (a) G 2 (b))=(x\g 1 (a)) (X\G 2 (b))=f 1 (a) F 2 (b). StądF 1 (a)=x\f 2 (b)orazf 2 (b)=x\f 1 (a)ijakodopełnieniazbiorów dotkniętych są otwarte. Następnie zauważmy, że (a,b) F 1 (a) F 2 (b) G. (2) Rzeczywiście,jeśli(x,y) F 1 (a) F 2 (b),tox aorazb y.ponieważ a b,ztranzytywnościotrzymujemyx y.zbiórf 1 (a) F 2 (b)jestzbiorem otwartymwx X,jakoproduktzbiorówotwartych.Zatempunkt(a,b) posiadaotoczeniezawartewf 1 (a) F 2 (b).z(2),otoczenietozawartejest również w G. W ten sposób udowodniliśmy otwartość zbioru G, co kończy dowód. Załóżmy teraz, że możliwości budżetowe konsumenta są ograniczone, wtedy nie wszystkie koszyki ze zbioru koszyków towarów X są osiągalne. Oznaczmy przez M X zbiór koszyków osiągalnych przez konsumenta. Definicja. Niech(X, ) będzie polem preferencji konsumenta oraz niech M będzie niepustym podzbiorem przestrzeni towarów X. Mówimy, że element x M jestm-preferowanymkoszykiemjeślix ydlakażdegokoszyka y M. Koszyk M-preferowany możemy zinterpretować jako, w pewnym sensie najlepszy koszyk dla konsumenta, przy jego ograniczeniach budżetowych. Koszyk ten jest nie gorszy od wszystkich osiągalnych koszyków. Przypomnienie. Podzbiór A przestrzni metrycznej(x, ρ) jest zwarty, gdy spełnia jeden z trzech równoważnych warunków (i)dowolnyciągelementówzaposiadapodciągzbieżnydoelementuza; (ii)dladowolnegopokryciazbioruazbioramiotwartymi(u t ) t T (A t TU t )istniejepodpokrycieskończone,tzn.a U t1... U tn ; (iii)dladowolnejrodziny(f t ) t T domkniętychpodzbiorówajeśli t T F t dladowolnegoskończonegopodzbiorut T,to t TF t Twierdzenie 1.5. Załóżmy, że relacja preferencji X X jest ciągła orazzbiórm Xjestniepustyizwarty.Wówczasistniejeconajmniejjeden koszyk M-preferowany oraz zbiór koszyków M-preferowanych jest zwarty.

7 1 TEORIA POPYTU 5 Dowód. Najpierw zauważmy, że zbiór koszyków M-preferowanych jest równy M:= (F 1 (y) M)=M F 1 (y), y M gdzieprzypomnijmyf 1 (y)={x X:x y}.istotniex Mwtedyitylko wtedy,gdyx Morazx F 1 (y)dlakażdegoy M.Tooznacza,żex y dlakażdegoy M,cojestrównoważneztym,żexjestM-preferowany. ZciągłościrelacjipreferencjikażdyzezbiorówF 1 (y),y Mjestdomknięty,azatemF 1 (y) M,y Msązbioraminiepustymiizwartymi. Ponieważ wszystkie te zbiory są podzbiorami zbioru zwartego M, wystarczy pokazać, że przekrój dowolnej skończonej podrodziny jest niepusty, to implikuje niepustość przekroju całej rodziny. RozważmyzatemdowolnątakąskończonąrodzinęF 1 (y i ) M,1 i k, gdziey i Mdla1 i k.ponieważrelacjapreferencjijestzupełnym preporządkiem,wskończonymzbiorze{y i :i=1,...,k}istniejeelementnie gorszyodwszystkichinnychwtymzbiorze,oznaczmytenelementprzezy i0. Wówczas F 1 (y i0 ) F 1 (y i )dlakażdego1 i k. Istotnie,jeślix F 1 (y i0 ),tox y i0,aponieważy i0 y i,więcztranzytywnościx y i,astądx F 1 (y i ).Takwięc y M k F 1 (y i0 ) M= (F 1 (y i ) M). i=1 PonieważzbiórF 1 (y i0 ) Mjestniepusty,toprzekrój k i=1 (F 1 (y i ) M)jest równieżniepusty.zatemzezwartościmzbiór M= y M(F 1 (y) M)jest niepusty i jako przekrój zbiorów zwartych jest też zwarty. Definicja. Mówimy, że pole preferencji(x, ) jest słabo wypukłe, jeśli (i)przestrzeńtowarówx R m + jestpodzbioremwypukłym; (ii)dladowolnegoy XzbiórF 1 (y)={x X:x y}jestwypukły. Uwaga 1.6. Powyższy aksjomat słabej wypukłości oznacza, że dla dowolnego koszykayjeślidwakoszykix 1,x 2 sąsłabopreferowanenady,tokażdykoszyk pośrednipostaciαx 1 +βx 2,gdzieα,β 0orazα+β=1,jestrównieżsłabo preferowany nad koszyk y, co wydaje się naturalnym założeniem. Obecnie sformułujemy aksjomat silnej wypukłości pola preferencji konsumenta. Aksjomat ten pozwoli na udowodnienie jednoznaczności koszyka M-preferowanego.

8 1 TEORIA POPYTU 6 Definicja. Mówimy, że pole preferencji(x, ) jest silnie wypukłe, jeśli (i)przestrzeńtowarówx R m + jestpodzbioremwypukłym; (ii)dladowolnegoy Xjeślix 1 y,x 2 yorazx 1 x 2,todladowolnych α,β>0orazα+β=1mamyαx 1 +βx 2 y. Twierdzenie 1.7. Załóżmy, że pole preferencji konsumenta(x, ) jest słabo wypukłe oraz zbiór M X jest również wypukły. Wówczas zbiór koszyków M-preferowanych jest wypukły. Jeśli dodatkowo pole preferencji jest silnie wypukłe, to istnieje co najwyżej jeden M-preferowany koszyk. Dowód. Przypomnijmy, że zbiór koszyków M-preferowanych jest postaci M= (F 1 (y) M). y M Ponieważ,zzałożenia,zbioryF 1 (y)orazmsąwypukłe,więcichprzekrój jestteżzbioremwypukłym.zatem Mjestwypukły. Załóżmy dodatkowo, że pole preferencji konsumenta jest silnie wypukłe. Przypuśćmy, że zbiór koszyków M-preferowanych zawiera co najmniej dwa różneelementyx 1,x 2 M.Zzupełnościrelacjipreferencjimożemyprzyjąć, żex 1 x 2.Zatemzzałożeniasilnejwypukłościdladowolnychα,β>0 takich,żeα+β =1mamyαx 1 +βx 2 x 2.PonieważM jestzbiorem wypukłym,więcαx 1 +βx 2 M.ZatemistniejeelementzbioruM,który jestsilniejpreferowanyodx 2,czylix 2 niemożebyćm-preferowany.dajeto sprzeczność z założeniem, że zbiór koszyków M-preferowanych ma więcej niż jeden element. Wniosek1.8.Załóżmy,żerelacjapreferencji X Xjestciągłaisłabo wypukła oraz zbiór M X jest niepusty, zwarty oraz wypukły. Wówczas zbiór koszyków M-preferowanych jest niepusty, zwarty i wypukły. Jeśli dodatkowo pole preferencji jest silnie wypukłe, to istnieje dokładnie jeden M-preferowany koszyk. 1.2 Funkcjaużyteczności Znacznie wygodniejszą formą przedstawienia gustu konsumenta jest przedstawienie go w sposób liczbowy przy pomocy tzw. funkcji użyteczności. Jest to funkcja, która każdemu koszykowi z przestrzeni towarów przypisuje wartość liczbową, tak aby bardziej wartościowym koszykom, z punktu widzenia konsumenta, przypisane były większe wartości.

9 1 TEORIA POPYTU 7 Definicja. Niech(X, ) będzie polem preferencji konsumenta. Funkcję u: X R nazywamy funkcją użyteczności, gdy u(x)>u(y) x yorazu(x) u(y) x y. Uwaga1.9.Zdrugiejstronydowolnafunkcjau:X Rwyznaczarelację słabejpreferencjizdefiniowanąnastępująco:x y,gdyu(x) u(y).sprawdzić, że X X jest zupełnym preporządkiem(ćwiczenie). Ćwiczenie.Jeśliu:X Rjestfunkcjąużytecznościdlarelacji,tou(x)= u(y)wtedyitylkowtedy,gdyx y. Ćwiczenie.Jeśliu:X Rjestfunkcjąużytecznościdlarelacji,todla dowolnejfunkcjirosnącejg:r Rfunkcjag u:x Rjestfunkcją użyteczności dla relacji. Uwaga1.10.Niechu:X Rbędziefunkcjąużytecznościdlarelacji. Jeśliujestfunkcjąciągłą,torelacja jestrównieżciągła.abytopokazać wystarczy zauważyć, że zbiory G 1 (a)={y X:a y}={y X:u(a)>u(y)}=u 1 (,u(a)), G 2 (b)={x X:x b}={x X:u(x)>u(b)}=u 1 (u(b),+ ) jako przeciwobrazy zbiorów otwartych są również otwarte. Teraz wystarczy skorzystać z twierdzenia 1.4. Twierdzenie1.11.NiechX R m + będziepodzbioremspójnymoraz X X ciągłą relacją preferencji. Wówczas istnieje funkcja użyteczności u: X Rdlarelacji. Dowód. Patrz[1]. Definicja. Załóżmy, że X jest zbiorem wypukłym. Mówimy, że funkcja u: X R jest quasi-wklęsła, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej r zbiór u 1 ([r,+ ))={x X:u(x) r}jestwypukły. Mówimy,żefunkcjau:X Rjestsilniequasi-wklęsła,gdydlakażdego y X,jeśliu(x 1 ) u(y),u(x 2 ) u(y)dlax 1 x 2 X,tou(αx 1 +βx 2 )> u(y)dladowolnychα,β>0takich,żeα+β=1. Uwaga Korzystając z określenia funkcji użyteczności dla danej relacji preferencji łatwo zauważyć, że (i) funkcja użyteczności u jest quasi-wklęsłą wtedy i tylko wtedy, gdy relacja preferencji jest wypukła;

10 1 TEORIA POPYTU 8 (ii) funkcja użyteczności u jest silnie quasi-wklęsłą wtedy i tylko wtedy, gdy relacja preferencji jest silnie wypukła; Lemat1.13.Załóżmy,żeXjestzbioremwypukłym.Jeśliu:X Rjest wklęsła, to jest quasi-wklęsła oraz jeśli u jest silnie wklęsła, to jest silnie quasi-wklęsła Dowód.Przypomnijmy,żefunkcjau:X Rokreślonanazbiorzewypukłymjestwklęsła,gdydladowolnychx 1,x 2 Xorazα,β 0takich,że α+β=1mamy u(αx 1 +βx 2 ) αu(x 1 )+βu(x 2 ). Wówczasjeśliu(x 1 ) rorazu(x 2 ) r,to u(αx 1 +βx 2 ) αu(x 1 )+βu(x 2 ) αr+βr=r. Zatemzbiór{x X:u(x) r}jestwypukły,awięcujestquasi-wklęsła. Przypomnijmy,żefunkcjau:X Rjestsilniewklęsła,gdydladowolnychx 1 x 2 Xorazα,β>0takich,żeα+β=1mamy u(αx 1 +βx 2 )>αu(x 1 )+βu(x 2 ). Załóżmy,żeu(x 1 ) u(y)orazu(x 2 ) u(y)orazx 1 x 2.Wtedy u(αx 1 +βx 2 )>αu(x 1 )+βu(x 2 ) αu(y)+βu(y)=u(y). Zatem u jest silnie quasi-wklęsła. Następny aksjomat dotyczący relacji preferencji związany jest ze zjawiskiem niedosytu. Oznaczenia.Na R m +będziemyrozpatrywaćnastępującąrelacjęczęściowego porządku R m + Rm + x y 1 i m x i y i. Będziemy również korzystać z następujących dwóch relacji: x y x y x yorazx>y 1 i m x i >y i. Definicja. Mówimy, że w polu preferencji konsumenta(x, ) obserwujemy zjawisko niedosytu, gdy x y x y.

11 1 TEORIA POPYTU 9 Uwaga1.14.Niechu:X Rbędziefunkcjąużytecznościdlarelacji. Wówczas w polu preferencji(x, ) występuje niedosyt wtedy i tylko wtedy, gdyfunkcjau:x Rjestrosnąca,tzn. x y u(x)>u(y). Lemat1.15.Jeślifunkcjaużytecznościu:R m + RjestklasyC1 oraz to jest rosnąca. u (x)>0dlawszystkichx R m +oraz1 i m, Dowód. Załóżmy, że wszystkie pochodne cząstkowe są dodatnie oraz x y. KorzystającztwierdzeniaLagrange adlafunkcjiϕ(t)=u(tx+(1 t)y) istnieje0<θ<1takie,że u(x) u(y)=ϕ(1) ϕ(0)=ϕ (θ)= m i=1 u (θx+(1 θ)y)(x i y i ). Ponieważwszystkiepochodnecząstkowesądodatnie,wszystkieróżnicex i y i są nieujemne i przynajmniej jedna z nich jest dodatnia, więc prawa strona jest dodatnia. Stąd u(x) > u(y). Uwaga1.16.Jeślifunkcjaużytecznościu:R m + RjestklasyC2,wówczas warunek wklęsłości i silnej wklęsłości można sprawdzać korzystając z macierzy drugiej pochodnej(hesjanu) H(x)= 2 u(x) x 2 = 2 u x 1 x 1 (x) 2 u x 2 x 1 (x). 2 u x m x 1 (x) 2 u x 1 x 2 (x) 2 u x 2 x 2 (x). 2 u x m x 2 (x) 2 u x 1 x m (x) 2 u x 2 x m (x).. 2 u x m x m (x) Przypomnijmy, że jeśli H(x) jest niedodatnio określona dla wszystkich x, to ujestwklęsłaorazjeślih(x)jestujemnieokreślonadlawszystkichx,tou jest silnie wklęsła. Podamyterazlistęstandardowychfunkcjiu:R m + R,którespełniają warunki funkcji użyteczności. Przykład 2(Funkcja logarytmiczna). Niech u(x 1,...,x m )=a+α 1 lnx α m lnx m, gdziea>0orazα i >0dla1 i m.wówczas u (x)= α i x i >0oraz hesjan H(x) jest macierzą diagonalną, przy czym na przekątnej znajdują

12 1 TEORIA POPYTU 10 się 2 u(x)= α x 2 i <0dlai=1,...,m.ZatemH(x)jestzawszeujemnie i x 2 i określona. Podsumowując relacja preferencji wyznaczona przez funkcję logarytmiczną jest ciągła, silnie wypukła oraz spełnia warunek niedosytu. Przykład 3(Funkcja multiplikatywna). Niech u(x 1,...,x m )=a x α x αm m, gdziea>0orazα i >0dla1 i m.zauważmy,żefunkcjamultiplikatywna powstajeprzezzłożeniefunkcjilogarytmicznejzfunkcjąwykładnicząx e x, która jest rosnąca. Zatem wyznaczona przez u relacja preferencji ma te same własności co relacja wyznaczona przez funkcję logarytmiczną. Przykład 4(Funkcja addytywna). Niech u(x 1,...,x m )=a(x α x αm m ), gdziea>0oraz0<α i <1dla1 i m.wówczas u (x)=α i x α i 1 i >0 oraz hesjan H(x) jest macierzą diagonalną, przy czym na przekątnej znajdują się 2 u(x)=α x 2 i (α i 1)x α i 2 i <0dlai=1,...,m.ZatemH(x)jestzawsze i ujemnie określona. Przykład 5(Funkcja kwadratowa). Niech m m u(x 1,...,x m )= a i x i + b ij x i x j, i=1 i,j=1 gdziemacierzb=[b ij ] 1 i,j m jestujemnieokreślona.wówczas u (x)= a i + m j=1 b ij x j.zatemabyfunkcjaubyłarosnącamusimydodatkowozałożyć, żea i + m j=1 b ij x j >0dladowolnych1 i morazx R m +.Dlafunkcji kwadratowej hesjan H(x) jest równy macierzy B, co daje ujemną określoność. 1.3 Interpretacjeekonomiczne Definicja.Niechu:X RbędziefunkcjąużytecznościklasyC 1.Pochodną cząstkową u(x) nazywamykrańcowąużytecznościąi-tegotowaruwkoszyku x. Zewzględunazałożenieniedosytu u(x) >0,ponadto, u(x 1,...,x i +1,...,x m ) u(x 1,...,x m ) u(x) >0. Zatem krańcowa użyteczność i-tego towaru mierzy wzrost użyteczności koszykax Xprzyzwiększeniuilościi-tegotowaruwkoszykuojednąjednostkę.

13 1 TEORIA POPYTU 11 Uwaga1.17.Załóżmy,żefunkcjaużytecznościujestklasyC 1 orazsilniewklęsła.wówczasfunkcjajednejzmiennejx u(x 1,...,x i 1,x,x i+1,...,x m ) jestsilniewklęsłaijejpochodnarówna u(x) jestmalejąca.zatemkrańcowa użyteczność i-tego towaru maleje ze wzrostem konsumpcji tego towaru. Własność tę ekonomiści nazywają prawem Gossena(niemiecki ekonomista, ) Uwaga Przypomnijmy, że iloraz różnicowy u(x 1,...,x i + x,...,x m ) u(x 1,...,x m ) x jest stosunkiem bezwzględnego przyrostu użyteczności do przyrostu ilości i- tego towaru, czyli mówi o wzroście zadowolenia przy zwiększeniu ilości towaru o x. Z punktu widzenia ekonomisty bardziej interesująca jest wiedza o procentowym wzroście zadowolenia, czyli o ile procent wzrosło zadowolenie jeśli wiemy o ile procent więcej jest i-tego towaru. Wówczas należy policzyć następujący iloraz u(x 1,...,x i + x,...,x m ) u(x 1,...,x m ) u(x 1,...,x m ) / x = u(x 1,...,x i + x,...,x m ) u(x 1,...,x m ) x x i x i u(x). Przechodząc z przyrostem x do zera, w granicy otrzymamy E xi (u):= u(x) x i u(x). LiczbęE xi (u)nazywamyelastycznościąfunkcjiwzględemi-tejzmiennej. Przykład6.Niechu:R + Rbędziefunkcjąpotęgowąjednejzmiennej u(x)=x α,α 0.Wówczas E x (u)= u (x)x u(x) = αxα 1 x x α =α. Definicja.Niechu:R m + RbędziefunkcjąużytecznościklasyC 1.Dla ustalonego a R rozważmy zbiór {x R m + :u(x)=a}, nazywamy powierzchnią obojętności na poziomie użyteczności a.

14 1 TEORIA POPYTU 12 Powierzchnia obojętności jest zbiorem rozwiązań równania u(x)=u(x 1,...,x m )=a. (3) Załóżmy,że u x j >0dlaj =1,...,m(zjawiskoniedosytu).Ztwierdzenia o funkcji uwikłanej, lokalnie wokół każdego rozwiązania, istnieje funkcja g j klasyc 1 zależącaodx 1,...,x j 1,x j+1,...,x m taka,żeprzyustalonych x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m koszyk x=(x 1,...,x j 1,g j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ),x j+1,...,x m ) leży na powierzchni obojętności oraz jest jedynym takim koszykiem. Definicja. Niech i j. Pochodną cząstkową s ij (x):= g j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ) nazywamy krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszyku x. Natomiast pochodną cząstkową ǫ s ij (x):= g j(x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ) x i g(x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ) nazywamy elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w koszykux. Uwaga1.19.Ponieważdlai j g j (...,x i x i,...) g j (...,x i,...) x i g j (...,x i,...) =x j + x i s ij (x), więc u(x)=u(x 1,...,x i x i,...,x j + x i s ij (x),...,x m ). Zatemkrańcowastopasubstytucjis ij (x)mówi,oilezwiększyćilośćj-tego towaru przy ubytku jednej jednostki i-tego towaru tak, aby użyteczność koszykapozostałatakasama.natomiastelastycznościąsubstytucjiǫ s ij (x)mówi, o ile procent należy zwiększyć ilość j-tego towaru aby zrekompensować jednoprocentowy ubytek i-tego towaru. Obie wielkości można jednak wyznaczyć bez rozwikływania równania(3). Różniczkującstronamiwzględemzmiennejx i wyrażenia u(x 1,...,x j 1,g j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ),x j+1,...,x m )=a,

15 1 TEORIA POPYTU 13 dlai jotrzymujemy u(x) + u(x) g j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m )=0. x j Zatem oraz s ij (x)= u(x) ǫ s ij (x)= u(x) / u(x) x j / u(x) x j xi x j. Przykład7.Dlafunkcjiużytecznościpostacia+ m i=1 α i logx i luba m i=1 x α i i mamy s ij (x)= α ix j oraz ǫ s α j x ij(x)= α i. i α j Dlafunkcjiużytecznościpostacia+ m i=1 x α i i mamy s ij (x)= α ix αi 1 i α j x α j 1 j oraz ǫ s ij (x)=α ix αi i. α j x α j j 1.4 Funkcjapopytu Obecnie zajmiemy się problemem maksymalizowania zadowolenia konsumenta biorąc pod uwagę jego ograniczenia budżetowe. Zakładamy, że konsument dysponuje pewnym dochodem I > 0. Ponadto, zakładamy, że każdy towar ma ustaloną cenę kupna. Ceny towarów będziemy reprezentować w postaci wektora cen towarów p=(p 1,p 2,...,p m )>0, tzn.p i >0jestcenąi-tegotowaru.OznaczmyprzezD(p,I)zbiórkoszyków, któresąosiągalnedlakonsumentdysponującegodochodemi 0,zatem D(p,I)={x R m +: p,x I}. Uwaga Zauważmy, że zbiór D(p, I) jest zwarty i wypukły. Rzeczywiście, jeślix D(p,I),todladowolnego1 i mmamy p i x i p,x Istąd0 x i I/p i. ZatemzbiórD(p,I)jestzawartywkostce m i=1 [0,I/p i ],więcjestograniczony. Ponadto, jest on domknięty ponieważ jest przeciwobrazem poprzez odwzorowanie ciągłe x p, x zbioru domkniętego[0, I].

16 1 TEORIA POPYTU 14 Zauważmyrównież,żejeślix 1,x 2 D(p,I),todladowolnychα,β>0 takich,żeα+β=1mamy p,αx 1 +βx 2 =α p,x 1 +β p,x 2 αi+βi=i. Stądαx 1 +βx 2 D(p,I),codajewypukłośćzbioruD(p,I). Twierdzenie1.21.Jeślifunkcjaużytecznościu:R m + Rjestciągłai silniewklęsła,todladowolnejpary(p,i),p>0,i 0istniejedokładnie jeden koszyk D(p, I)-preferowany. Dowód. Twierdzenie wynika bezpośrednio z wniosku 1.8. Oznaczenia. Jedyny D(p, I)-preferowany koszyk, którego istnienie właśnie dowiedliśmy, będziemy oznaczać przez ϕ(p, I). Jest to najkorzystniejszy dla konsumenta koszyk, który dysponuje dochodem I, przy cenach towarów wyznaczonych przez wektor p. Wyznaczenie koszyka ϕ(p, I) sprowadza się do rozwiązania zadania z programowania wypukłego następującej postaci: wyznaczyćmaksimumu(x)przyograniczeniachx 0, p,x I. (4) Rozważmyfunkcjęϕ:IntR m + R + R m +,którawskazujewjakisposób zmienia się najbardziej wartościowy koszyk przy zmianach cen towarów oraz dochodów konsumenta. W trywialnym przypadku, gdy dochód I = 0 mamy D(p,I)={0},awtedyϕ(p,I)=0. Definicja.Funkcjęϕ:IntR m + R + R m +nazywamyfunkcjąpopytukonsumpcyjnego na towary w zależności od ich cen i dochodu konsumenta. Twierdzenie1.22.Jeślifunkcjaużytecznościu:R m + Rjestciągłai silniewklęsła,tofunkcjapopytuϕ:intr m + R + R m + jestciągła. Dowód.Rozważmyciąg{(p n,i n )}zbieżnywintr n + R +do(p,i)(p>0). Niechx n =ϕ(p n,i n )oraz x=ϕ(p,i).musimyudowodnić,żex n x. Najpierwzauważmy,żeciąg{x n }jestograniczony.wprzeciwnymrazie x kn + wzdłużpewnegopodciągu.ponadto, + = min p ilim 1 i m n m i=1 x kn i min 1 i m pkn i m i=1 x kn i p kn,x kn I kn I, codajesprzeczność.ponieważciąg{x n }jestograniczonywięcwystarczy pokazać,żedowolnyjegopodciągzbieżnymagranicęrówną x. Niech{x kn }będziepodciągiemzbieżnymdowektorax 0.Ponieważx kn D(p kn,i kn ),więc x 0,p =lim x kn,p kn limi kn =I. (5)

17 1 TEORIA POPYTU 15 Stądx 0 D(p,I),zatemu(x 0 ) u( x).jeślii=0,to x=ϕ(p,i)=0oraz znierówności(5)mamy x 0,p =0.Stądx 0 =0= x. Załóżmywięc,żeI>0.Zauważmy,że lim inf n dist( x,d(p kn,i kn ))=0. (6) Wprzeciwnymprzypadkuistniejeε>0orazn 0 takie,że dist( x,d(p kn,i kn ))>ε>0dlan n 0, zatem K( x,ε) R m + R m +\D(p kn,i kn )dlan n 0. Stądwynika,żedladowolnegox K( x,ε) R m + mamy x,p =lim x,p kn limi kn =I. PonieważI>0,więcistnieje0<θ<1takie,żeθ x K( x,ε).wówczas x,p >θ x,p = θ x,p I. Zdrugiejstrony x=ϕ(p,i) D(p,I),więc x,p isprzeczność,codowodzi (6). Napodstawie(6)istniejeciąg{y k ln }taki,że y k ln D(p k ln,i k ln)oraz lim n x y k ln =0. Zatemu(y k ln ) u(x k ln),azciągłościfunkcjiumamy u( x)=lim n u(y k ln ) lim n u(x k ln )=u(x 0 ). Ponieważx 0 D(p,I)(z(5))orazwx 0 funkcjaprzyjmujewartośćniemniejsząodwartościnajwiększejnazbiorzed(p,i),więcx 0 =ϕ(p,i)= x,co kończy dowód twierdzenia. Załóżmy,żeprzestrzeńtowarówX R m + spełniawarunek dladowolnegociągu{x n } n=1wxtakiego,żex n i 0 + dla pewnego1 i 0 m,mamyx n i + dlakażdego1 i m. (7) Wówczasdladowolnegop 0orazI 0zbiór D(p,I)={x X: p,x I}.

18 1 TEORIA POPYTU 16 jest zwarty i wypukły. Domkniętość i wypukłość pokazuje się jak w ogólnym przypadku, pozostaje więc ograniczoność, która jest kłopotliwa, gdy któraś ze współrzędnych wektora cen p jest zerowa. Załóżmy, że zbiór D(p, I) nie jestograniczony.wówczasistniejeciąg{x n } n=1 wxtaki,że sup x n i= x n + gdyn +. 1 i m Przechodzącdopodciąguotrzymujemy,żeistniejewspółrzędna1 i 0 m taka,żex n i 0 +.Zzałożenia(7)mamy x n i + dladowolnego1 i m, astądinf 1 i m x n i +.Ponieważ m i=1 p i >0otrzymujemystąd + m i=1 p i inf 1 i m xn i p,x n I i sprzeczność. Stosując ponownie wniosek 1.8 otrzymujemy, że dla dowolnych p 0, I 0istniejedokładniejedenkoszykD(p,I)-preferowany,którytakjakw poprzednio będziemy oznaczać przez ϕ(p, I). Twierdzenie1.23.Załóżmy,żeprzestrzeńtowarówX R m +spełniawarunek(7)orazfunkcjaużytecznościu:x Rjestciągłaisilniewklęsła. Wówczasfunkcjapopytuϕ:(R m + \{0}) R + Xjestciągła. Dowód. Dowód jest niemal kopią dowodu twierdzenia Jedyna istotnaróżnicawystępujewdowodzieograniczonościciągu{x n },gdziex n = ϕ(p n,i n ).Załóżmy,żeciąg{x n }niejestograniczony.wówczas x kn + wzdłużpewnegopodciągu.korzystajączwarunku(7)mamyinf 1 i m x kn i +. Stąd + = m i=1 p i lim n inf 1 i m xkn i m i=1 p kn i inf 1 i m xkn i p kn,x kn I kn I i sprzeczność. W pozostałą część dowodu pozostawiamy jako ćwiczenie. Wprzypadku,gdyfunkcjaużytecznościjestklasyC 2 narzędziempomocnym do znajdowania rozwiązań problemu(4) jest następujące twierdzenie Kuhna-Tuckera.

19 1 TEORIA POPYTU 17 Twierdzenie1.24.Niechu:R m + RbędziefunkcjąklasyC 2 taką,że 2 u(x)jestujemnieokreślonaoraz u x 2 x (x)>0dlawszystkichx IntRm +. Niech p > 0. Rozważmy stowarzyszoną funkcję Lagrange a L:R m + R + R, L(x,λ)=u(x)+λ(I p,x ). Wówczasx 0 R m +jestrozwiązaniemproblemu(4)wtedyitylkowtedy,gdy istniejeliczbaλ 0 0taka,że Uwaga Ponieważ L x (x0,λ 0 ) 0, L x (x0,λ 0 ),x 0 =0, (8) L λ (x0,λ 0 ) 0, λ 0 L λ (x0,λ 0 )=0. (9) ( ) L u x (x0,λ 0 )= (x 0 ) λ 0 u p 1,..., (x 0 ) λ 0 p m x 1 x m oraz L λ (x0,λ 0 )=I p,x 0, warunek(8) można zapisać równoważnie [ ] u u (x 0 ) λ 0 p i (x 0 )=λ 0 p i x 0 i x =0 i zaś warunek(9) można zapisać równoważnie p,x 0 I [ p,x 0 =I λ 0 =0]. dla1 i n, Uwaga1.26.JeśliI>0,toponieważfunkcjaużytecznościujestrosnąca otrzymujemyx 0 0,azatemistniejeitakie,żex 0 i>0.ponieważp i >0,więc 0< u (x 0 )=λ 0 p i,astądλ 0 >0.Toimplikujeautomatycznie p,x 0 =I. Definicja.Mówimy,żekoszyktowarówx R n + leżynaliniibudżetowej,jeśli p,x =I. Wniosek1.27.Koszykoptymalnyx 0 =ϕ(p,i)leżynaliniibudżetowej. Ponadtojeślix i >0,to u (x 0 )=λ 0 p i. Uwaga1.28.Liczbęλ 0 = u (x 0 )/p i >0możnainterpretowaćekonomicznie jako stosunek krańcowej użyteczności i-tego nabywanego towaru do jego ceny.

20 1 TEORIA POPYTU 18 Stosunek ten nie zależy od towaru. Zatem przy najlepszym wyborze koszyka użyteczność towarów jest proporcjonalna do ich cen. Jeślix i,x j >0,wówczas s ij (x 0 )= u(x0 ) / u(x0 ) x j = λ0 p i λ 0 p j = p i p j, a więc krańcowa stopa substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w najlepszym koszyku jest równa stosunkowi cen tych towarów. Załóżmy, że w najkorzystniejszym dla konsumenta koszyku znajdują się wszystkietowary,tzn.x 0 i >0dla1 i m.jeślitakniejest,topoprostu odrzucamy z naszych rozważań te towary, które nie są nabywane. Wówczas rozwiązanie problemu(4) jest równoważne rozwiązaniu następującego układu równań u (x) λp i =0 dla i=1,...,m, I p,x =0, przyczymszukanajestpara(x,λ) IntR m + IntR +.Innymisłowy,przy ustalonych(p,i) IntR m + IntR + chcemyrozwiązaćrówniepostaci gdzie Niech ψ(x,λ,p,i)=0, ψ:intr m + IntR + IntR m + IntR + R m R, ( ) u ψ(x,λ,p,i)= x (x) λp,i p,x. ψ 1 :IntR m + IntR + IntR m + IntR + R m, ψ 1 (x,λ,p,i)= u x (x) λp, ψ 2 :IntR m + IntR + IntR m + IntR + R, ψ 2 (x,λ,p,i)=i p,x. PonieważuzzałożeniajestfunkcjąklasyC 2,funkcjaψjestklasyC 1 oraz ( ) [ ] [ ] ψ ψ ψ1 ψ ( x, λ) = x, ψ 1 2 u(x) = x λ p = T x 2. (10) λ p 0 ψ 2 x Pokażemy,żemacierztajestnieosobliwa.PonieważH =H(x)= 2 u(x) [ ] x 2 H p T jest ujemnie określona, więc jest nieosobliwa. Macierz jest symetryczna, więc ewentualna macierz odwrotna jest również symetryczna, a p 0 zatemjestpostaci [ ] T A b, b c ψ 2 λ

21 1 TEORIA POPYTU 19 gdzieajestm mmacierzą,b R m orazc R.Ponieważ [ Id 0 T 0 1 ] = [ H p T p 0 ][ A b T b c ] = HA pt b Hb T p T c pa pb T otrzymujemy, że b T =H 1 p T c, 1= pb T = ph 1 p T coraza=h 1 p T b+h 1. Stąd wynika, że c= (ph 1 p T ) 1 >0 oraz b T =ch 1 p T oraza=ch 1 p T ph 1 +H 1. Teraz każdy może sprawdzić, że rzeczywiście [ ] H p T 1 [ H =c 1 p T ph 1 +c 1 H 1 H 1 p T p 0 ph 1 1 ]. (11) Ustalmy(p 0,I 0 ) IntR m + IntR +.Niech(x 0,λ 0 ) IntR m + IntR +będzie rozwiązaniemproblemu(4)lubrównoważnieψ(x 0,λ 0,p 0,I 0 )=0.Wówczasz twierdzeniaofunkcjiuwikłanejwotoczeniu(p 0,I 0 ) IntR m + IntR +istnieją funkcjeϕ(p,i) R m +,ϕ 0(p,I) R + klasyc 1 takie,żejeśli x=ϕ(p,i),λ=ϕ 0 (p,i), toψ(x,λ,p,i)=0.ponieważzdefiniowanalokalniefunkcjaϕpokrywasięw otoczeniupunktu(p 0,I 0 ) IntR m + IntR + zezdefiniowanąwcześniejfunkcją popytuϕ:intr m + IntR + R m +,więcfunkcjapopytujestklasyc1. Twierdzenie 1.29(o braku iluzji pieniądza). Funkcja popytu jest jednorodnastopnia0,tzn.dladowolnychp>0,i>0orazθ>0mamy ϕ(θp,θi)=ϕ(p,i). Dowód. Załóżmy, że para(x, λ) jest rozwiązaniem problemu znajdowania optymalnegokoszykadlapary(p,i).zatem u(x) =λporazi= p,x.stąd x u(x) =λ/θ(θp)orazθi= θp,x,awięc(x,λ/θ)jestrozwiązaniemproblemu x optymalnego koszyka dla pary(θp, θi), co kończy dowód.

22 1 TEORIA POPYTU 20 Lemat Niech Wówczas H=H(p,I)= 2 u x 2(ϕ(p,I))orazδ=δ(p,I)= (ph 1 p T ) 1 >0. ϕ(p, I) p =δϕ 0 (p,i)h 1 p T ph 1 +ϕ 0 (p,i)h 1 +δh 1 p T ϕ(p,i), (12) ϕ 0 (p,i) p ϕ(p, I) I = δh 1 p T, (13) =δϕ 0 (p,i)ph 1 +δϕ(p,i), ϕ 0(p,I) I = δ, Uwaga Wzory(12) oraz(13) wyjaśniają w jaki sposób zmienia się popyt na towary przy zmieniających się cenach oraz zmieniającym się dochodzie konsumenta. Dowód.Niechϕ(p,I)=(ϕ(p,I),ϕ 0 (p,i))=(x,λ).ponieważ ψ(ϕ(p,i),p,i)=0, licząc pochodną względem zmiennych(p, I) otrzymujemy Przypomnijmy, że z(10) mamy jest macierzą odwracalną oraz ψ ϕ (x, λ) (p,i) + ψ =0. (14) (p,i) ψ (x,λ) = [ H p T p 0 ψ p =( λid, x)t oraz ψ I =(0,1)T, gdziex=ϕ(p,i)orazλ=ϕ 0 (p,i).zatemzewzględuna(14)oraz(11) otrzymujemy ( ) 1 [ ] ϕ ψ ψ H p = (p, I) (x, λ) (p,i) = T 1 [ ] T λid 0 p 0 x 1 [ H = δ 1 p T ph 1 +δ 1 H 1 H 1 p T ][ ] T λid 0 ph 1 1 x 1 [ λh = δ 1 p T ph 1 +λδ 1 H 1 +H 1 p T x H 1 p T ] λph 1, +x 1 ]

23 1 TEORIA POPYTU 21 astąd ϕ(p, I) p =δλh 1 p T ph 1 +λh 1 +δh 1 p T x, ϕ 0 (p,i) p =δλph 1 +δx, gdziex=ϕ(p,i)orazλ=ϕ 0 (p,i). ϕ 0 (p,i) I ϕ(p, I) I = δ, = δh 1 p T, Lemat1.32.Jeślim mmacierzajestsymetrycznaiujemnieokreślona, todladowolnegoniezerowegowektorab R m macierza T b T ba (bab T )A jestniedodatniookreślona.ponadto,jeśli0 x R m niejestwspółliniowy zb,to xa T b T bax T (bab T )xax T <0. Dowód.Musimypokazać,żedladowolnegox R m mamy xa T b T bax T (bab T )xax T 0. MacierzAwyznaczailoczynskalarny x,y A = xay T.Zauważmy,że xa T b T =(bax T ) T =bax T = b,x A. Zatem z nierówności Cauchy ego-schwarza mamy xa T b T bax T = b,x 2 A b,b A x,x A =(bab T )xax T. Druga część lematu wynika z fakty, że nierówność Cauchy ego jest ostra dla niewspółliniowych wektorów. Twierdzenie1.33.Dladowolnego1 i mmamy Dowód. Rozważmy macierz ϕ i (p,i) + ϕ i(p,i) ϕ i (p,i)<0. p i I ϕ(p, I) p + ϕ(p,i) ϕ(p,i). (15) I Zewzględuna(12)oraz(13),kładącλ=ϕ 0 (p,i)orazx=ϕ(p,i)otrzymujemy ϕ(p, I) + ϕ(p,i) ϕ(p, I) p I = δλh 1 p T ph 1 +λh 1 +δh 1 p T x δh 1 p T x = δλ ( H 1 p T ph 1 (ph 1 p T )H 1).

24 1 TEORIA POPYTU 22 PonieważmacierzH 1 jestujemnieokreślona,zlematu1.32otrzymujemy, że dla dowolnego wektora e niewspółliniowego z p mamy e ( H 1 p T ph 1 (ph 1 p T )H 1) e T <0. Ponieważ wszystkie współczynniki wektora p są dodatnie, powyższa nierównośćjestspełnionadladowolnegowersorabazowegoe i.stądelementymacierzyh 1 p T ph 1 (ph 1 p T )H 1 leżącenaprzekątnejsąujemne.zatem elementy leżące na przekątnej macierzy(15) są również ujemne, a tymi elementami są właśnie ϕ i (p,i) + ϕ i(p,i) ϕ i (p,i), i=1,...,m. p i I Definicja. Macierz ε c (p,i)= [ ϕi (p,i) p j ] p j ϕ i (p,i) 1 i,j m nazywamy macierzą współczynników elastyczności cenowej. Współczynnik ε c ij(p,i)wskazujejakzachowujesiępopytnai-towarprzyrosnącejcenie j-tego towaru. Liczbę ε d j (p,i)= ϕ j(p,i) I I ϕ j (p,i) nazywamy elastycznością dochodową popytu na j-ty towar. Wskazuje ona w jaki sposób zachowuje się popyt na j-ty towar przy wzroście dochodów. Uwaga1.34.Intuicjamówinam,żezewzrostemcenypopytnatowarpowinienmaleć,tzn.współczynnikelastycznościcenowejε c jj(p,i)j-tegoproduktu powinien być ujemny. Jednak pod koniec XIX w. angielski ekonomista Robert Giffen( ) zaobserwował odwrotne zjawisko. Dla niektórych towarów,takichjakchleb,czyziemniakipopytrósłwrazzichceną.tozjawisko nazwano paradoksem Giffena, zaś towary, których ono dotyczy towarami Giffena,tzn.jeśliε c jj (p,i)>0,toj-tytowarnazywamytowaremgiffena. Jeśliε c jj(p,i)<0,tomówimy,żej-tytowarjestnormalny. Jako konkluzję z twierdzenia 1.33 otrzymujemy następujący rezultat. Wniosek Jeśli j-ty towar jest towarem Giffena, to elastyczność dochodowaε d j (p,i)j-tegotowarujestujemna.zatemzewzrostemdochodów maleje popyt na ten towar.

25 1 TEORIA POPYTU 23 Dowód. Ponieważ ϕ j (p,i) + ϕ j(p,i) ϕ j (p,i)<0, p j I ϕ j (p,i)>0oraz ϕ j(p,i) p j >0(Giffen),więc ϕ j(p,i) musi być liczbą ujemną, I stąd ε d j (p,i)= ϕ j(p,i) I I ϕ j (p,i) <0. Powyższy wniosek wskazuje dobitnie na to, że towary Giffena są towarami zaspokajającymi najbardziej elementarne potrzeby życiowe, tzn. gdy przychodzi bieda popyt na nie wzrasta kosztem towarów normalnych, a w dobrobycie nie są już tak ważne. W przypadku towarów normalnych elastyczność dochodowa może być zarównoujemna,jakidodatnia.jeślijestonaujemna,czylitakjakdlatowarów Giffena popyt maleje ze wzrostem dochodu, mówimy o towarach niższego rzędu. Natomiast, gdy elastyczność dochodowa jest dodatnia, czyli popyt rośnie ze wzrostem dochodu, mówimy o towarach wyższego rzędu. Możemy traktować je jako towary luksusowe. Przykład 8. Wyznaczmy funkcję popytu w przypadku, gdy na rynku są tylko dwa rodzaje towarów oraz funkcja użyteczności jest logarytmiczna u(x 1,x 2 )=alnx 1 +blnx 2,gdziea,b>0. Musimy rozwiązać układ równań 0= u x 1 (x 1,x 2 ) λp 1 = a x 1 λp 1, 0= u x 2 (x 1,x 2 ) λp 2 = b x 2 λp 2, I=p 1 x 1 +p 2 x 2. Zdwupierwszychrównańmamyx 1 = a λp 1 orazx 2 = b λp 2.Wstawiająctoco otrzymaliśmy do trzeciego równania mamy a b I=p 1 x 1 +p 2 x 2 =p 1 +p 2 = a+b λp 1 λp 2 λ, awięcλ= a+b I orazx 1 = a ϕ(p 1,p 2,I)= ( λp 1 = ai,x p 1 (a+b) 2= b ) ai p 1 (a+b), bi p 2 (a+b) Wówczas ϕ 1 a = I p 1 >0oraz ϕ 2 (a+b) czynienia z towarami wyższego rzędu. I = b λp 2 = bi p 2 (a+b).zatem orazϕ 0 (p 1,p 2,I)= a+b. I p 2 (a+b) >0,więcmamytutajdo

26 2 TEORIA PRODUKCJI 24 2 Teoriaprodukcji 2.1 Przestrzeń produkcyjna i funkcja produkcji Dotejporynieinteresowałonasskądtowaryznajdująsięnarynku,czyliwyłączyliśmy producentów towarów z gry ekonomicznej. Obecnie zajmiemy się rynkiem towarów tylko z punktu widzenia producenta, który z towarów, zwanych czasem środkami produkcji, produkuje towary konsumpcyjne. Zwykle w ekonomii nie dokonuje się rozróżnienia pomiędzy środkami produkcji a towarami konsumpcyjnymi ponieważ towar konsumpcyjny może być środkiem produkcji dla innego podmiotu gospodarczego. Przez proces produkcyjny potocznie rozumiemy proces przetwarzania jednych towarów(środki produkcji) w inne towary(konsumpcyjne), przy zastosowaniu pewnych procesów technologicznych, które wiążą się też z pewnymi nakładami(np. na płace). Te dodatkowe nakłady będziemy włączać do środków produkcji i traktować równorzędnie z twardymi towarami produkcyjnymi. Sam proces technologiczny z punktu widzenia ekonomii matematycznej nie jest istotny, interesuje nas tylko ile towaru weszło i ile wyszło w procesie produkcji. Załóżmy, że w gospodarce mamy m towarów. Wówczas działalność produkcyjną możemy scharakteryzować za pomocą wektora (x 1,...,x m,y 1,...,y m ) R m + R m +. Wówczaswektorx=(x 1,...,x m )interpretujemyjakowektornakładów,zaś y=(y 1,...,y m )interpretujemyjakowektorwyników(produkcji).wektor (x,y) R m + R m +nazywamyprocesemprodukcyjnym.innymisłowy,wprocesieprodukcyjnym(x,y)zużytox i 0i-tegotowarudlai=1,...,m,aby wyprodukowaćy j 0j-tegotowarudlaj=1,...,m. Oczywiście dla danego producenta nie wszystkie procesy produkcyjne są osiągalne, ze względu na ograniczenia technologiczne(szewc nie będzie piekł chleba). Dlatego z każdym producentem stowarzysza się zbiór dopuszczalnych procesówprodukcyjnych,któryoznaczmyprzezz R m + R m +.Zbiórten nazywamy przestrzenią produkcyjną. Podamy teraz listę naturalnych założeń, które będą dotyczyć przestrzeni produkcyjnej. (Z1)Proporcjonalnośćnakładówiwyników.Dladowolnegoα 0 mamy αz Z. Założenie to oznacza, że proporcjonalna zmiana nakładów (z x na αx) daje proporcjonalną zmianę wyników. Czasem zamiast warunku(z1) rozważa się inne alternatywne warunki, w zależności od charakterystyki producenta.

27 2 TEORIA PRODUKCJI 25 (Z1 )Założeniemalejącychprzychodów.Dlakażdego0 α<1 mamyαz Zorazistniejeα >1taki,żeα Z Z. (Z1 ) Założenie rosnących przychodów. Dla każdego α > 1 mamy αz Zorazistnieje0 α <1taki,żeα Z Z. (Z2) Addytywność procesów produkcyjnych. (x 1,y 1 ) Z (x 2,y 2 ) Z= (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ) Z, tzn. dodawanie nakładów powoduje dodanie się wyników produkcji. (Z3) Brak rogu obfitości. (0,y) Z y=0, tzn. brak nakładów powoduje brak wyników. (Z4) Możliwość marnotrawstwa(wariant I). (x,y) Z 0 y y (x,y ) Z, tzn. jeśli możliwe jest wyprodukowanie wektora towarów y, to możliwe jest każdego gorszego wektora towarów. (Z5) Możliwość marnotrawstwa(wariant II). (x,y) Z x x (x,y) Z, tzn. jeśli wektor nakładów x wystarczy do wyprodukowania wektora produktów y, to każde większe nakłady również wystarczą. (Z6)Domkniętośćprzestrzeniprodukcyjnej.ZbiórZ R m + R m + jest domknięty, tzn. jeśli dowolnie blisko wektora(x, y) znajdziemy proces dopuszczalny, to(x, y) jest też procesem produkcyjnym dopuszczalnym. (Z7) Nieodwracalność procesów produkcyjnych. (x,y) Z (x y) (y,x)/ Z, tzn. niemożliwe jest odtworzenie wektora nakładów z wektora wyników. Definicja.Jeśli(x,y) Z,towektorq=y xnazywamywektoremczystej produkcji, natomiast zbiór {q=y x:(x,y) Z} nazywamyprzestrzeniąc-produkcyjną.gdyq i >0oznaczatododatniąprodukcjęi-tegotowaru,q i <0oznaczazużyciewprodukcjii-tegotowaru. Definicja. Mówimy, że proces produkcyjny(x, y) Z jest technologicznie efektywny, gdy y y (x,y )/ Z.

28 2 TEORIA PRODUKCJI 26 Definicja.Jeśliistniejefunkcjaf: R m + R m +taka,że y=f(x) (x,y) Ztechnologicznieefektywny, tofunkcjęf: R m + R m +nazywamyfunkcjąprodukcjidlaprzestrzeniprodukcyjnej Z. Załóżmy dla prostoty, że producent wytwarza tylko jeden towar zużywając m różnych rodzajów środków produkcji. Wówczas funkcja produkcji mapostaćf: R m + R +.Zwyklebędziemyzakładać,żefunkcjaprodukcji f: R m + R +jestklasyc 2 orazspełnianastępującewarunki (F1)f(0)=0; (F2) f(x) >0dlawszystkich1 i morazx IntR m + ; (F3)hesjanH(x)= 2 f(x) x 2 jestniedodatniookreślonydlax R m + ; (F4)f(αx)=αf(x)dlawszystkichα 0orazx R m + (fjestjednorodna stopnia1). Lemat2.1.Jeślifunkcjaf: R m + R +spełniawarunki(f1)-(f4),tojest ona nadaddytywna, tzn. f(x 1 +x 2 ) f(x 1 )+f(x 2 )dlax 1,x 2 R m +. Dowód. Z warunku(f3) funkcja f jest wklęsła, więc z jednorodności mamy ( f(x 1+x 2 )=f 2 x ) 2 x 1 2 f(x 1)+ 1 2 f(x 2). Twierdzenie2.2.Niechf: R m + R m +będziefunkcjąklasyc 2,taką,że każdajejfunkcjawspółrzędnaf j : R m + R +,1 j mspełniawarunki (F1)-(F4). Wówczas zbiór Z={(x,y) R m + R m +:0 y f(x)} spełnia własności(z1)-(z6) oraz f jest funkcją produkcji dla Z. Dowód.(Z1).Jeśli(x,y) Z,toy f(x),awięcdladowolnegoα 0,z jednorodności f, mamy αy αf(x)=f(αx).

29 2 TEORIA PRODUKCJI 27 Stądα(x,y) Z. (Z2).Jeśli(x 1,y 1 ) Zoraz(x 2,y 2 ) Z,toy 1 f(x 1 )orazy 2 f(x 2 ). Zatem z lematu 2.1 otrzymujemy y 1 +y 2 f(x 1 )+f(x 2 ) f(x 1 +x 2 ), astąd(x 1 +x 2,y 1 +y 2 ) Z. (Z3).Jeśli(0,y) Z,to0 y f(0)=0,awięcy=0. (Z4).Jeśli(x,y) Zoraz0 y y,to y y f(x), więc(x,y ) Z. (Z5).Załóżmy,że(x,y) Zorazx x.zzałożenia(f2)funkcjafjest rosnąca, więc y f(x) f(x ), astąd(x,y) Z. (Z6). Domkniętość zbioru Z wynika łatwo z ciągłości f. Wróćmy do sytuacji, gdy producent produkuje tylko jeden towar. Definicja.Pochodnącząstkową f(x) nazywamykrańcowąwydajnościąi-tego środka produkcji w wektorze nakładów x. Wielkość ta wskazuje o ile wzrośnie produkcja jeśli zwiększymy nakład i-tego czynnika produkcji o jedną jednostkę. Natomiast ε f i(x)= f(x) x i f(x) >0 nazywamy elastycznością produkcji względem i-tego czynnika produkcji. Wskazuje ona o ile procent wzrośnie produkcja, gdy nakład i-tego czynnika produkcji zwiększymy o 1%. Ustalmywielkośćprodukcjinapoziomiey 0 >0orazrozważmywszystkie możliwe wektory nakładu, które realizują ten poziom produkcji, tzn. G={x R m + :f(x)=y 0}, zbiórtennazywanyjestizokwantąfunkcjiprodukcji.niechx 0 G.Ponieważ f(x0 ) x j >0,więcztwierdzeniaofunkcjiuwikłanejistniejefunkcja G j klasyc 2 zależącaodx 1,...,x j 1,x j+1,...,x m taka,żeprzyustalonych x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m mamy x=(x 1,...,x j 1,G j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ),x j+1,...,x m ) G.

30 2 TEORIA PRODUKCJI 28 Ponieważ f(x 1,...,x j 1,G j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ),x j+1,...,x m )=y 0, więcróżniczkującpowyższewyrażeniepox i (i j)otrzymamy f(x) + f(x) x j G j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ) =0. Definicja. Pochodną cząstkową σ f ij(x):= G j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m )= f(x) / f(x) x j nazywamy krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez j-ty towar w wektorze nakładów x. Natomiast ǫ f ij(x) = G j(x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ) = f(x) / f(x) x i x j x j x i G j (x 1,...,x j 1,x j+1,...,x m ) nazywamy elastycznością substytucji i-tego towaru przez j-ty w wektorze nakładów x. Uwaga2.3.Krańcowąstopąsubstytucjiσ f ij(x)>0wskazujejakąilościąjtego towaru należy zrekompensować jednostkowy spadek ilości i-tego towaru tak,abyniezmienićpoziomuprodukcji.elastycznościąsubstytucjiǫ f ij(x) wskazuje podobną rekompensatę ale w terminach procentowych. 2.2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa Załóżmy, że proces produkcyjny zależy tylko od kapitału k > 0 wniesionego przez producenta w procesie produkcji oraz ilości pracy z > 0 mierzonej np. w roboczogodzinach. Wówczas iloraz u = k/z nazywamy technicznym uzbrojeniem pracy. Załóżmy,żekrańcowastopasubstytucjiσ f zk pracyprzezkapitałjestproporcjonalna do stosunku kapitału do ilości pracy(technicznego uzbrojenia pracy), tzn.istniejeliczbaα>0taka,że f z (k,z)/ f k (k,z)=σf zk (k,z)=αk z. (16) Inaczej mówiąc elastyczność substytucji pracy przez kapitał jest stała ǫ f zk (k,z)= f z (k,z)/ f k (k,z)z k =α.

31 2 TEORIA PRODUKCJI 29 Załóżmy ponadto, że funkcja produkcji spełnia warunki(f1)-(f4). Z jednorodności funkcji f mamy NiechF(u)=f(u,1).Wówczas f(k,z)=zf(k/z,1)=zf(u,1). f(k,z) k =zf (u) 1 z =F (u) oraz f(k,z) =F(u) zf (u) k (u). z z 2=F(u) uf Z(16) otrzymujemy więc F(u) uf (u) F (u) =αu df du = F (1+α)u. Zatem musimy rozwiązać równanie różniczkowe rozdzielonych zmiennych, a więc df ln F = F = du (1+α)u =ln u 1+α +C. stąd lnf(u) lnf(1)= ln u 1+α = F(u)=F(1)uε,gdzieε=1/(1+α). Korzystając jeszcze raz z jednorodności otrzymujemy f(k,z)=zf(u,1)=zf(1,1)u ε =f(1,1)k ε z 1 ε. Funkcjęprodukcjipostacif(k,z)=ak ε z 1 ε,gdziea>0oraz0<ε<1 nazywamy funkcją Cobba-Douglasa. Łatwo sprawdzić, że funkcje Cobba-Douglasa faktycznie spełniają własności(f1)-(f4). Ponadto, stałe ε oraz 1 ε mają swoje interpretacje ekonomiczne, są to elastyczności produkcji odpowiednio względem kapitału i ilości pracy, istotnie E k f(k,z)= f(k,z) k E z f(k,z)= f(k,z) z k f(k,z) =aεkε 1 z 1 ε k ak ε z 1 ε=ε, z f(k,z) =a(1 ε)kε z ε z ak ε z 1 ε=1 ε.

32 2 TEORIA PRODUKCJI 30 Uwaga 2.4. Jeśli założymy, że σ f zk =αuσ,gdzie0<σ 1, to można pokazać(podobnie jak powyżej), że f(k,z)=[ak γ +bz γ ] 1/γ,gdzieγ=σ 1oraza,b>0. Funkcje tego typu nazywa się funkcjami CES, jest to skrót od angielskiej nazwy constant elasticity of substitution. 2.3 Producent w warunkach doskonałej konkurencji Podstawowym celem producenta jest maksymalizowanie dochodów. Będziemy zakładać, że producent produkuje jeden towar zużywając m różnych środków produkcji. Załóżmy, że jego przestrzeń produkcyjna wyznaczona jest przezfunkcjęprodukcjif: R m + R +. Zastanowimy się nad tzw. strategią długookresową producenta. Przy podejściu długookresowym producent ma możliwość wyboru dowolnego wektora nakładów tzn. dostępna jest dowolna ilość każdego czynnika produkcji. Załóżmy,żewektorv=(v 1,...,v m )>0opisujecenyzakupuśrodkówprodukcji, zaśp>0jestceną,którąproducentuzyskazajednąjednostkęwyprodukowanego towaru. Wówczas przy nakładach reprezentowanych przez wektor x=(x 1,...,x m ) R m +,kosztyprodukcjiwynoszą v,x,zaśprzychódwynosi pf(x). Stąd dochód producenta wynosi pf(x) v,x. Zatem zadaniem, które musi rozwiązać producent jest: znaleźćmaksimumpf(x) v,x przyograniczeniux 0. (17) Zauważmy, że jeśli f jest jednorodna stopnia 1, ten problem nie ma rozwiązania. Istotnie, ponieważ pf(θx) v,θx =θ(pf(x) v,x )dladowolnegoθ 0, więcjeśliznajdziemynakładyx,któredajązysk,tzn.pf(x) v,x >0,to lim pf(θx) v,θx =+. θ +

33 2 TEORIA PRODUKCJI 31 Twierdzenie 2.5. Załóżmy, że funkcja produkcji f spełnia własności(f1), (F2)orazjestsilniewklęsła.Ponadtozałóżmy,żecenyvipspełniająwarunek p f x (0)>v>limp f (x). (18) x x Wówczasistniejedokładniejednorozwiązanie0 x R m + problemu(17). Ponadto, warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie rozwiązania x > 0 problemu(17) jest spełnianie równania Dowód. Rozważmy funkcję g: R m + p f x (x)=v. R, g(x)=pf(x) v,x. Ponieważ g x (x)=p f x (x) v,zzałożeniamamy g x (0)>0>lim g x x (x). Zatemistniejer>0taki,żejeśli x rto g x (x)<0.stądfunkcjagna zbiorze{x R m +: x r}jestmalejąca.zdrugiejstronyfunkcjagna zbiorzek r ={x R m + : x r},jakofunkcjaciągłanazbiorzezwartym, przyjmujewartośćnajwiększąwpewnympunkciex 0 K r.ponadto,dla dowolnegoxtakiego,że x >rmamyx>rx/ x K r,astąd g(x)<g(rx/ x ) max K r g=g(x 0 ). Zatemfunkcjag: R m + Rprzyjmujewartośćnajwiększąwpunkciex 0.Ponieważ 2 g = 2 f,więcfunkcjagjestsilniewklęsła,acozatymidzieprzyjmujewartośćnajwiększąwconajwyżejjednympunkcie.ponieważ g (0)>0, x x 2 x 2 więcwotoczeniu0funkcjagjestrosnąca,cooznacza,żeniemożeprzyjmować wartości największej w punkcie 0. Ponadto,zsilnejwklęsłościg:IntR m + Rwarunkiemrównoważnym realizacjiwartościnajwiększejwpunkciex IntR m + jest co kończy dowód twierdzenia. p f x (x) v= g x (x)=0,

34 2 TEORIA PRODUKCJI 32 Rozważmyfunkcjęψ: R m + R + R m + R m +klasyc 1 danąwzorem ψ(x,p,v)=p f x (x) v. Na mocy poprzedniego twierdzenia warunkiem równoważnym istnienia dodatniego rozwiązania problemu(17) jest istnienie rozwiązania równania ψ(x,p,v)=0, gdziedanymisąporazv.zauważmy,że ψ f x (x,p,v)=p 2 x 2(x), a z założenia jest to macierz ujemnie określona, więc nieosobliwa dla p > 0. Zatem na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w otoczeniu dowolnego punktu(p 0,v 0 ),dlaktóregoproblem(17)madodatnierozwiązanieistnieje funkcjaξklasyc 1 takie,że x=ξ(p,v) jest dodatnim rozwiązaniem(17). W istocie dziedzinę funkcji ξ możemy rozszerzyć do zbioru wszystkich par(p, v) spełniających warunek(18). Definicja. Funkcję ξ nazywamy funkcją produkcyjnego popytu na czynniki produkcji. Funkcja ξ wskazuje jaki jest popyt producenta na środki produkcji przy ustalonych cenach towarów zużywanych v oraz cenie produkowanego towaru p. Definicja. Funkcję η(p,v)=f(ξ(p,v)) nazywamy funkcją podaży towaru. Wskazuje ona optymalny poziom produkcji przy ustalonych cenach towarów zużywanych v oraz cenie produkowanego towaru p. Zajmiemy się teraz problemem reakcji producenta na zmiany cen na rynku.zdefinicjifunkcjipopytuξorazfunkcjipodażyη p f x (ξ(p,v))=vorazη(p,v)=f(ξ(p,v)). Różniczkując obie równości względem p oraz v otrzymujemy f T x +ph(ξ) ξ p =0T, η p = f x ξ p, ph(ξ) ξ v =Id, η v = f x ξ v,

35 2 TEORIA PRODUKCJI 33 gdzieh(x)= 2 f (x).pochodnecząstkowe η η oraz x 2 p v i opisujązmianypodaży przy jednostkowych zmianach cen odpowiednio towaru produkowanego porazi-tegoczynnikaprodukcjiv i.natomiastwektory ξ p oraz ξ v i opisują zmiany popytu na towary produkcyjne przy jednostkowych zmianach cen odpowiedniotowaruprodukowanegoporazi-tegoczynnikaprodukcjiv i.pochodnacząstkowa f jestkrańcowąwydajnościąprodukcjidlai-tegośrodka produkcji. Ponieważ macierz H jest odwracalna mamy ξ p = p 1 H(ξ) 1 ft x, η p = f x ξ p = p 1 f x H(ξ) 1 ft x, ξ = p 1 H(ξ) 1, v η = f x ξ v v =p 1 f x H(ξ) 1. Z powyższych wzorów możemy wysnuć pewne ogólne wnioski. Po pierwsze z ujemnejokreślonościh 1 otrzymujemy η p >0, czyli podaż produktu rośnie ze wzrostem jego ceny. Ponadto η v = ξt p = η v i = ξ i p, czyli wzrost ceny produkowanego towaru powoduje wzrost(spadek) popytu na i-ty środek produkcji wtedy i tylko wtedy, gdy zwiększenie ceny i-tego środka produkcji powoduje obniżenie(wzrost) produkcji. PonieważmacierzH 1 jestsymetryczna,więcmacierz ξ/ vteżjest symetryczna, a zatem ξ j = ξ i, v i v j czyli wpływ zmiany ceny i-tego środka produkcji na popyt na j-ty środek produkcji jest taki sam jak wpływ zmiany ceny j-tego środka produkcji na popyt na i-ty środek produkcji. Z założenia wszystkie współczynniki wektora f/ x są dodatnie. Ponadto, f x ξ p = η p >0,

36 2 TEORIA PRODUKCJI 34 więcistnieje1 i mtaka,że ξ i p >0 η v i = ξ i p <0. Zatem wzrost ceny produkowanego towaru spowoduje wzrost popytu na niektóre środki produkcji oraz, że istnieją takie środki produkcji, których wzrost cen spowoduje spadek produkcji. Uwaga 2.6. Przy podejściu krótkoterminowym do planowania produkcji musimy uwzględnić ograniczenia w dostępie do środków produkcji, które nie występowały w podejściu długoterminowym. Wówczas problem planowania produkcji sprowadza się do rozwiązania problemu znaleźćmaksimumpf(x) v,x podwarunkiemh(x)=0,x 0, (19) gdzieh:r m + Rk jestfunkcjąklasyc 2,którawyznaczaograniczenia w nakładach. Do rozwiązania tego zadania stosuje się metodę mnożników Lagrange a, w stylu twierdzenia Kuhna-Tuckera. Aby przekonać się o różnicach pomiędzy podejściem długo i krótkookresowym prześledźmy konkretny przykład Przykład 9(Podejściedługookresowe).Niechf(x 1,x 2 )=x 1/4 1 x 1/4 2.Zatem szukamy maksimum g(x 1,x 2 )=px 1/4 1 x 1/4 2 v 1 x 1 v 2 x 2 dlax 1,x 2 0. Szukamy więc rozwiązania układu równań Stąd 0= g (x 1,x 2 )=p 1 x 1 4 x 3/4 1 x 1/4 2 v 1, 0= g (x 1,x 2 )=p 1 x 2 4 x1/4 1 x 3/4 2 v 2. x 3/4 1 x 1/4 2 = 4v 1 p, x1/4 1 x 3/4 2 = 4v 2 p. Dzielącrównaniastronamiotrzymujemyx 2 /x 1 =v 1 /v 2 ikorzystającztego mamy x 1/2 1 =x 3/4 1 x 1/4 1 = 4v 1v 1/4 2 = 4v3/4 1 v 1/4 2, p v 1/4 p 1 x 1/2 2 =x 3/4 2 x 1/4 2 = 4v 2v 1/4 1 p v 1/4 2 = 4v3/4 2 v 1/4 1 p,