KURS MATLAB II Rok 2005/2006, semestr zimowy Uniwersytet Warszawski Wydzia! Fizyki Ryszard Buczy%ski, Rafa! Kasztelanic

Transkrypt

1 KURS MATLAB II Rok 2005/2006, semestr zimowy Uniwersytet Warszawski Wydzia! Fizyki Ryszard Buczy%ski, Rafa! Kasztelanic 1

2 Spis Tre)ci Fourierowska analiza danych... 4 Przetwarzanie dwików... 6 Przetwarzanie obrazów toolbox Image Processing... 8 Ca!kowanie numeryczne Numeryczne ró$niczkowanie funkcji Równania ró$niczkowe i ca!kowe Obs!uga b!dów Grafika uchwytów Graficzny interfejs u$ytkownika (GUI) Z!o$one struktury danych Programowanie zorientowane obiektowo Obliczenia symboliczne w Matlabie toolbox Symbolic Math Wspó!praca Matlaba z innymi 7rodowiskami programistycznymi

3 KURS MATLAB II Rok 2005/2006 semestr zimowy, wymiar 15h Prowadz-cy: dr Ryszard Buczy:ski, dr Rafa! Kasztelanic, Zak!ad Optyki Informacyjnej, Instytut Geofizyki, Wydz. Fizyki UW Zajcia odbywaj> si w Instytucie Geofizyki, ul. Pasteura 7, V pitro, pok (lub pok. 106) Oprogramowanie: Matlab, The MathWorks, Inc.; wersja 7.0; platforma UNIX/LINUX. Krótki opis kursu: G!ównym celem kursu jest nauka pos!ugiwania si Matlabem jako narzdziem programistycznym na poziomie 7rednio zaawansowanym. Kurs MATLAB II jest kontynuacj> kursu MATLAB I skoncentrowany na zagadnieniach zwi>zanych z programowaniem. W programie kursu przewidziane s> równie$ tematy wymagaj>ce korzystania z dodatkowych modu!ów pakietu Matlab oraz dodatkowych narzdzi programistycznych. Kurs sk!ada si z 15 godzin zajg komputerowych. Ka$dy student pracuje indywidualnie przy osobnym terminalu. Wszystkie spotkania rozpoczynaj> si od wprowadzenia merytorycznego do poruszanych zagadnie:. Dalsza cz7g zajg po7wicona jest na indywidualn> prac z komputerem nad seri> zada:. Kurs odbywag si bdzie zarówno w jzyku polskim jak i angielskim. Forma zaliczenia: Do zaliczenia Kursu na ocen dostateczn> lub zal. wymagane jest zaliczenie wszystkich Gwicze:-laboratoriów. Ocena ko:cowa wystawiana jest przez prowadz>cego na podstawie osi>gnitej sprawno7ci i postpów w pos!ugiwaniu si MATLABem, oraz kreatywno7ci studenta. Obecno7G na wszystkich zajciach jest obowi>zkowa, dopuszczamy jedna nieobecno7g, przy wikszej ilo7ci wymagane jest zwolnienie lekarskie. Nieobecno7G nie zwalnia studenta z zaliczenia poszczególnych zada:. Ostatnia godzina 15-ta jest przeznaczona na wystawianie ocen i ewentualne poprawki. Wymagania: MATLAB I, znajomo7g algebry, analizy matematycznej i programowania. Zagadnienia poruszane w ramach kursu MATLAB II: Kurs MATLAB II bazuje na wiedzy zdobytej w trakcie kursu MATLAB I. DO g!ównych zagadnie: poruszanych w trakcie trwania kursu nale$>: 1. Fourierowska analiza danych 2. Przetwarzanie obrazów toolbox Image Processing 3. Ca!kowanie numeryczne 4. Numeryczne ró$niczkowanie funkcji 5. Równania ró$niczkowe i ca!kowe 6. Obs!uga b!dów 7. Grafika uchwytów 8. Graficzny interfejs u$ytkownika 9. Z!o$one struktury danych 10. Programowanie zorientowane obiektowo 11. Obliczenia symboliczne w Matlabie 12. Wspó!praca Matlaba z innymi 7rodowiskami programistycznymi Literatura: 1. A. Zalewski, R. Cegie!a, Matlab - obliczenia numeryczne i ich zastosowania. 2. B. Mrozek, Z. Mrozek, Matlab 6 - poradnik u$ytkownika. 3. D. Higham, N. Higham: Matlab guide. 4. The MathWorks, Inc: Numerical Computing with MATLAB

4 TEMATY FOURIEROWSKA ANALIZA DANYCH Analiza widma funkcji otrzymywanej za pomoc> transformaty Fouriera stanowi podstawi wikszo7ci algorytmów przetwarzania sygna!ów. Matlab dostarcza wygodnych narzdzi do takiej analizy. Temat 1 Jedno wymiarowa transformata Fouriera Definicja fft(x) gdzie x jest wektorem próbek sygna!u. ifft(x) oznacza odwrotn> transformat Fouriera. Wszystkie pochodne funkcji transformaty Fouriera znajduj> si w grupie datafun. UWAGA: Funkcja fft i jej pochodne najszybciej wykonywana jest dla danych o rozmiarze bd>cym potg> dwójki, np. 16, 32, 64, itd. Troch wolniej trwaj> obliczenia dla danych o rozmiarze bd>cym liczb> pierwsz>. Obliczenia dla danych o innych rozmiarach s> zdecydowanie wolniejsze. Temat 2 Inne pomocne funkcje fftshift real imag conj angle abs conv deconv cov decimate interp unwrap przesunicie odpowiednich elementów sk!adowych sygna!u cz7g rzeczywista liczby zespolonej cz7g urojona liczby zespolonej sprz$enie zespolone cz7g fazowa sygna!u modu! sygna!u splot dwóch wektorów dekonvolucja dwóch wektorów kowariancja przetworzenie wektora rzadsze próbkowanie przetworzenie wektora gstsze próbkowanie Uci>glenie fazy UWAGA: Aby obliczyg warto7g nat$enia sygna!u nale$y skorzystag z nastpuj>cego przekszta!cenia: >> nat = abs(sygnal).^2; 4

5 Temat 3 Dwu wymiarowa transformata Fouriera Transformata Z przypadkiem dwu wymiarowej transformaty Fouriera najcz7ciej mamy do czynienia przy przetwarzaniu zdjg. Dwu wymiarowa transformata Fouriera fft2. Funkcje odwrotne: ifft2, ifftshift. >> s = rand(128); % stworzenie 2 wymiarowego zbioru danych >> fs = fftshift(fft2(s)); % 2 wymiarowa transformata Fouriera wraz z przesuni4ciem danych Temat 4 Wielowymiarowa transformata Fouriera Transformata Matlab oferuje mo$liwo7g obliczenia wielowymiarowej transformaty Fouriera przy wykorzystaniu funkcji fftn. >> s4 = rand(32,32,32,32); % stworzenie 4 wymiarowego zbioru danych >> fs4 = fftshift(fftn(s4)); Temat 5 Filtry analogowe i cyfrowe Signal Processing Toolbox udostpnia wiele funkcji zwi>zanych z przetwarzaniem sygna!ów za pomoc> filtrów. Filtr analogowy, odpowied czstotliwo7ciowa, realizowany jest przy wykorzystaniu funkcji freqs(a, b, w). Gdzie a i b s> wspó!czynnikami wielomianów a w jest wektorem z czsto7ciami, dla których prowadzimy analiz. Filtracj cyfrow>, FIR (sko:czona odpowied impulsowe) lub IIR (niesko:czona odpowied impulsowa), wykonuje si za pomoc> funkcji filter(b, a, x). Gdzie b i a s> wspó!czynnikami odpowiednich wielomianów a w jest wektorem dyskretnych warto7ci sygna!u na wej7ciu filtra. >> data = [1:0.2:4]'; >> filter(ones(1,5)/5,1,data); % filtr cyfrowy tyu FIR (u-redniaj/cy) >> a = [ ]; b = [ ]; w = logspace(-1,1); >> freqs(b,a,w) % filtr analogowy 5

6 PRZETWARZANIE Przyk!adem sygna!u 1 wymiarowego jest sygna! dwikowy. Temat 6 Wczytanie pliku dbwickowego funkcja wavread Do wczytania pliku dwikowego w formacie.wav wykorzystuje si funkcj wavread(). >> y = wavread( plik.wav ); % wczytanie pliku d9wi4kowego >> [y,fs,bits] = wavread( plik.wav ); % zwraca plik d9wi4kowy y, cz4sto-: próbkowania Fs i liczb4 bitów próbkowania UWAGA: Do wczytania ci>gu danych niebd>cych plikiem dwikowym s!u$y funkcja load. Temat 7 Odtworzenie pliku dbwickowego funkcja wavplay Funkcj> wavplay mo$na odtworzyg jako dwik dowoln> zmienn> bd>c> wektorem liczb rzeczywistych. >> wavplay(y); % odtworzenie pliku d9wi4kowego y >> d = rand(1,20000); >> wavplay(d); % odtworzenie wektora losowego >> t = (0:0.001:1)'; >> y = sin(2*pi*50*t) + 2*sin(2*pi*120*t); sygna> o 2 sk>adowych o cz4sto-ciach 50 i 120 Hz >> wavplay(y) % odtworzenie d9wi4ku y Temat 8 Zarejestrowanie dbwicku funkcja wavrecord Do zarejestrowania dwiku wykorzystuje si funkcj wavrecord. Funkcja ta mo$e byg wywo!ywane z kilkoma parametrami: waverecord(liczba próbek, czsto7g próbkowania, próbkowanie); >> Fs = 11025; >> y = wavrecord(5*fs,fs,'int16'); % Nagranie 5 sekund z cz4sto-ci/ Hz i próbkowaniem 16 bitowym 6

7 Temat 9 Zapisanie pliku dbwickowego funkcja wavwrite Do zapisania zarejestrowanego lub zmienionego pliku dwikowego wykorzystuje si funkcj wavwrite(zmienna z danymi, czsto7g próbkowania, nazwa pliku ) >> wavwrite(y,11025, muzyka.wav ); % zapisanie zmiennej y z próbkowaniem Hz w pliku muzyka.wav Temat 10 Generowanie przebiegów czasowych sawtooth square gauspuls chirp przebieg trójk>tny (periodyczny) przebieg prostok>tny (periodyczny) przebieg sinusoidalny modyfikowany Gaussem (nieperiodyczny) Przebieg cosinusoidalny o zmiennym okresie Temat 11 Fourierowska analiza próbek dwikowych funkcja specgram Funkcja specgram udostpniona jest w ramach Signal Processing Toolbox. Zadaniem tej funkcji jest przeprowadzenie analizy czstotliwo7ciowej sygna!u zmiennego w czasie. Wynikiem dzia!ania funkcji jest obraz, na którego osi poziomej mamy informacje o czasie a na osi pionowej informacje o czstotliwo7ciach. >> specgram(y,512,2); % wy-wietla 7

8 PRZETWARZANIE OBRAZÓW Przy przetwarzaniu obrazów wygodnie jest korzystag z Image Processing Toolbox. Temat 12 Wczytanie obrazka funkcja imread Przy wykorzystaniu funkcji imread mo$na wczytag dowolny, rozpoznawalny przez Matlaba (cur, gif, ico, tif, png, hdf), plik graficzny. >> obr = imread('pout.tif ); UWAGA: Wczytany obrazek jest pamitany jako macierz typu uint8 lub uint16. Czasami w celu wykonania ró$nych operacji zachodzi potrzeba zmiany typu macierzy na double: >> obr = double(imread('pout.tif )); Temat 13 Wy)wietlenie obrazka na ekran >> imshow(obr) % wy-wietlenie obrazka >> image(obr) % wy-wietla macierz danych jako obraz Temat 14 Zapisywanie obrazka funkcja imwrite Podstawowe wywo!anie funkcji imwrite sk!ada si z 2 parametrów okre7laj>cych macierz z danymi oraz nazw pliku. Rozszerzenie nazwy pliku determinuje w jakim formacie zapisany jest obraz. W wywo!aniu funkcji mo$e si znaleg te$ wicej parametrów odpowiedzialnych za takie parametry jak palety barw, ilo7g kolorów, przezroczysto7g, kompresje itp. >> imwrite(obr,'obraz.png ); % nagranie macierzy z danymi obr w pliku obrazowym typu png Temat 15 Podstawowe operacje na obrazach imabsdiff imadd imdivide imlincomb immultiply imsubtract ró$nica midzy dwoma obrazami suma 2 obrazów, plus sta!a 7rednia arytmetyczna z 2 obrazów (piksel po pikselu) kombinacja liniowa midzy seri> obrazów iloczyn 2 obrazów odejmowanie dwóch obrazów, minus sta!a UWAGA: W przypadku plików typu uint8 lub uint16, dane po ka$dej cz>stkowej operacji s> ucinane do okre7lonego zakresu. Mo$e to powodowag niezamierzone dzia!ania. 8

9 Temat 16 Metody poprawiania obrazów imadjust fspecial imfill histeq poprawienie kontrastu obrazka ró$nego rodzaju filtry poprawiaj>ce obraz wype!nianie dziur w obrazie poprawienie kontrastu obrazu na podstawie histogramu >> filtr = fspecial('unsharp'); % generacja filtry wyostrzaj/cego kontury >> fobr = imfilter(obr,filtr); % zastosowanie zdefiniowanego filtru do obrazu Obr Temat 17 Przetwarzanie obrazów imcontour edge imfilter deconv* imregionalmax imnoise znajdowanie konturów obiektów w obrazie znajdowanie krawdzi w obrazie splot obrazu z filtrem szereg funkcji przeprowadzaj>cych dekonvolucj szukanie lokalnych maksimów w obrazie dodanie szumu do obrazu >> filtr = ones(3)/9; % generacja filtru u-redniaj/cego 3x3 >> fobr = imfilter(obr,filtr); % zastosowanie filtru do obrazu Temat 18 Morfologia matematyczna w przetwarzaniu obrazów imclose imopen imdilate imerode strel imbothat imtophat bwmorph operacja zamknicia morfologicznego operacja otwarcia morfologicznego operacja delacji morfologicznej operacja erozji morfologicznej tworzenie elementu strukturyzuj>cego operacja morfologiczna dolny-kapelusz operacja morfologiczna górny-kapelusz Operacje morfologiczne na obrazie czarno-bia!ym >> obr = imread('circles.png'); % wczytanie obrazka czarno-bia>ego >> elemstr = strel('disk',5); % definicja elementu strukturyzuj/cego, okr/g o promieniu 5 >> erodeobr = imerode(obr,elemstr); % erozja obrazu elementem strukturyzuj/cym >> obr = bwmorph(bw,'remove') Temat 19 Inne przydatne funkcje do pracy z obrazami imhist improfile impixel bwarea imrotate imresize im2bw histogram obrazu przekrój przez wiersz lub kolumn obrazu kolor lub warto7g piksela liczenie powierzchni obiektu (obraz czarno-bia!y) obrót obrazu o dowolny k>t zmiana rozmiaru obrazka Zamiana obrazka szaroodcieniowego na obraz binarny 9

10 Temat 20 Filmy w Matlabie aviread movie avifile getframe addframe wczytanie pliku filmowego typu avi odtworzenie zmiennej typu avi stworzenie nowego obiektu typu avi pobranie wntrza okna graficznego jako klatki filmu dodanie ramki/obrazka do zmiennej typu avi >> x=1:10; % o- X >> for j=1:10, plot(x,j*x, r ), % w p4tli rysuje kolejne obrazki axis([ ]); % ograniczenie zmienno-ci wy-wietlania osi wykresu F(j)=getframe; % pobieranie kolejnych klatek end >> movie(f,10) % 10 krotne wy-wietlenie animacji Temat 21 Korelacyjne metody rozpoznawania obrazów Korelacja jest miar> podobie:stwa midzy 2 obiektami. Mo$na j> wykorzystag do rozpoznawania obrazów. function [w]=rozp1 % scena do filtru a=double(imread('a.bmp')); % obrazki o rozmiarze 64x64 b=double(imread('b.bmp')); c=double(imread('c.bmp')); d=double(imread('d.bmp')); filtr=zeros(256); % filtr b4dzie wi4kszy 256x256 filtr( : , : )=a; % poszczególne litery w 4 :wiartkach filtr( : , : )=b; filtr( : , : )=c; filtr( : , : )=d; figure, subplot(2,2,1), imshow(filtr) % rysuje co zapami4tane na filtrze % liczenie filtru f=fft2(filtr); filtr=conj(f)./abs(f); % scena wejsciowa we=zeros(256); we(128-32:128+31,128-32:128+31)=a; % litera w -rodku obrazu 256x256 subplot(2,2,2), imshow(we) % rysuje scen4 wej-ciow/ % rozpoznanie korelacja mi4dzy obrazem wej-ciowym a scen/ na filtrze p1=fft2(we); p2=p1.*filtr; p3=fftshift(ifft2(p2)); wy=abs(p3).^2; % nat4lenie w p>aszczy9nie wyj-ciowej subplot(2,2,3), imshow(wy/max(max(wy))) % p>aszczyzna korelacji 2D subplot(2,2,4), mesh(wy) % p>aszczyzna korelacji 3D 10

11 CALKOWANIE NUMERYCZNE Temat 22 Ca!kowanie numeryczne Problem polega na znalezieniu ca!ki oznaczonej funkcji f(x) na przedziale <a,b>. Jest to!atwe, gdy znana jest funkcja pierwotna F(x) taka, $e F(x) =f(x) nie zawsze jest to jednak mo$liwe. Metody ca!kowania numerycznego (kwadratury) polegaj> na przybli$eniu funkcji podca!kowej f na danym przedziale <a,b> lub jego podprzedzia!ach przy pomocy innej funkcji, dla której warto7g ca!ki jest okre7lona analitycznie. Matlab stosuje kwadratury Newtona-Cotesa - quad (interpolacja wielomianem drugiego stopnia) i Simpsona - quadl (interpolacja wielomianowa dobierany stopie: wielomianu). Q=quad(f,a,b,tol,trace); Q=quadl(f,a,b,tol,trace); f!a:cuch zawieraj>cy nazw funkcji, funkcja musi byg umieszczona w odpowiednim skrypcie, musi zwracag wektor warto7ci a jej argumentem jest wektor elementów. a,b przedzia! ca!kowania, tol wymagana tolerancja wzgldna, domy7lnie 10^(-3) trace parametr opcjonalny, pozwala na rysowanie wykresu z wz!ami kwadratury. Przyk!ad 1 function [y] = funkcja_calkowana(x) %% funkcja y=sin(x.*x); %% Koniec %%Wywo>anie funkcji ca>kowania >> q1 = quad( funkcja_calkowana,0,pi,1e-5,1); >> ql = quadl( funkcja_calkowana,0,pi,1e-5,1); Temat 23 Uchwyt do Istnieje kilka sposobów wywo!ywania funkcji ca!kowania. Jedn> z nich, wykorzystywan> tak$e w innych przypadkach, jest metoda oparta na uchwycie funkcji. mo$na wykorzystag do definiowania w!asnych funkcji. >> srednia (x+y)/2; % definicja funkcji >> srednia(5,3) % wywo>anie z linii polecep Malaba Wykorzystanie do ca!kowania funkcji przedstawiono poni$ej. >> fs sin(x); >> ql = quad1(fs,0,pi,1e-5,1); 11

12 Temat 24 Inne funkcje zwi-zane z ca!kowaniem numerycznym funkcji dblquad trapz triplequad obliczanie ca!ek podwójnych ca!kowanie metod> trapezów obliczanie ca!ek potrójnych 12

13 NUMERYCZNE RÓNNICZKOWANIE FUNKCJI Temat 25 Numeryczne róoniczkowanie funkcji Przybli$on> warto7g pochodnej mo$na obliczyg przez obliczenie ró$nic pomidzy warto7ciami tych samych wspó!rzdnych s>siaduj>cych punktów funkcji zadanej numerycznie. Korzysta si tu z definicji pochodnej funkcji: d f ( x) f ( x2 ) f ( x1 ) = dx x2 x1 Do wykonania tej operacji wykorzystuje si funkcj diff(), która oblicza ró$nice pomidzy s>siaduj>cymi elementami wektora. Przyk!ad >> dxdy = diff(y)./diff(x) % y jest wektorem z warto-ciami funkcji w punktach x Temat 26 Inne funkcje zwi-zane z numerycznym obliczaniem pochodnej. gradient del2 Numeryczne obliczenie gradientu funkcji Laplasian funkcji 13

14 RÓWNANIA RÓNNICZKOWE Równania ró$niczkowe, które mamy mo$liwo7g rozwi>zywania w Matlabie mo$na podzielig na trzy grupy: - równania ró$niczkowe zwyczajne gdzie szukamy rozwi>zania równania ró$niczkowego dla zadanego warunku pocz>tkowego. - równania ró$niczkowe zwyczajne gdzie szukamy rozwi>zania równania ró$niczkowego dla zadanych warunków granicznych - równania ró$niczkowe cz>stkowe Temat 27 Równania róoniczkowe zwyczajne pierwszego rzcdu W rozwi>zaniach wielu problemów fizycznych, ekonomicznych wymagana jest znajomo7g funkcji y=y(t) przy znajomo7ci funkcji y'=f(t, y) oraz warunków pocz>tkowych y(a)=y0, gdzie a oraz y0 s> liczbami rzeczywistymi a f funkcj> w postaci jawnej. W takim przypadku mamy do czynienia z równaniem ró$niczkowym zwyczajnym pierwszego rzdu (ordinary differential equations - ODEs). Funkcja ode23 ode45 ode113 ode15s ode23s Opis metody Rozwi>zuje zagadnienie pocz>tkowe dla równa: ró$niczkowych zwyczajnych metod> Runge-Kutta rzdu 2 i 3 Rozwi>zuje zagadnienie pocz>tkowe dla równa: ró$niczkowych zwyczajnych metod> Runge-Kutta rzdu 4 i 5 Rozwi>zuje zagadnienie pocz>tkowe dla równa: ró$niczkowych zwyczajnych metod> Adams-Bashforth-Moulton Metoda oparta na formule numerycznego ró$niczkowania Metoda oparta na zmodyfikowanej formule Rosenbrocka 2 rzdu Podstawowa formu!a rozwiazywania ODE w Matlabie jest nastepujaca: [t, y] = ode23(fun, tspan, y0,options] gdzie: fun zmienna!a:cuchow> bd>ca nazw funkcji zawieraj>c> rozwi>zywane równanie ró$niczkowe tspan warto7ciami czasu, dla którego poszukiwane jest rozwi>zanie, y0 jest wektorem, w którym przechowywane s> warto7ci rozwi>zania uk!adu w chwili pocz>tkowej. Je7li zmienna tspan zawiera wicej ni$ dwa elementy, to metoda zwraca obliczone warto7ci y dla tych elementów. Parametry wyj7ciowe t i y zawieraj> wektory warto7ci do oblicze: t i obliczone dla nich warto7ci y. Warto7ci options s> ustawiane za pomoc> funkcji odeset i pozwalaj> ingerowag w parametry rozwi>zywania równania Analogicznie rozwi>zuje si równania ró$niczkowe dla metody ode45. 14

15 Szukamy rozwi>za: numerycznych y = y(t) dla warto)ci t = 0,.25,.5,.75, 1 dla równania ró$niczkowego y' = -2ty 2, przy warunku pocz>tkowym y(0) = 1. Zastosowane zostan> dwie metody ode23 i ode45. Powy$szy problem ma rozwi>zanie analityczne y(t) = 1/(1 + t2) co pozwoli porównag otrzymane wyniki numeryczne z wynikami analitycznymi. >> %% definicja rozwi/zywanego równania rólniczkowego y' = -2ty^2 function dy = eq1(t,y) dy = -2*t.*y(1).^2; %% rozwi/zanie równania rólniczkowego zwyczajnego >> format long >> tspan = [ ]; y0 = 1; % warto-ci dla których liczymy i warunki pocz/tkowe >> [t1 y1] = ode23('eq1', tspan, y0); % metoda ode23 >> [t2 y2] = ode45('eq1', tspan, y0); % metoda ode45 >> [t1 y1 y2] % porównanie wyników osi/gni4tych obiema metodami W poni$szym przyk!adzie szukamy rozwi>za: numerycznych uk!adu równa: ró$niczkowych pierwszego stopnia: y 1( t) = y1( t) 4y2( t) y2 () t = y1() t + y2() t przy warunkach pocz>tkowych: y1( 0) = 1, y2( 0) = 0. Zastosowana zostanie metoda ode23. Powy$szy problem ma rozwi>zanie analityczne 1 y1 = exp ( ) exp ( 3 ) 2 t + t 1 y2 = exp( 3t) + exp( t) 4 co pozwoli porównag otrzymane wyniki numeryczne z wynikami analitycznymi. %% definicja rozwi/zywanego uk>adu równap rólniczkowych za pomoc/ funkcji inline >> dy = inline('[1 4;-1 1]*y', 't', 'y') >> tspan = [0 1]; % przedzia> dla którego szukamy rozwi/zap >>y0 = [1 0]; % warunki pocz/tkowe >>[t,y] = ode23(dy, tspan, y0); % metoda ode23 >>plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'--'), legend('y1','y2'), xlabel('t'),... ylabel('y(t)'), title('numerical solutions y_1(t) and y_2(t)') % zobrazowanie wyników 15

16 W poni$szym przyk!adzie szukamy rozwi>zania numerycznego uk!adu równa: rózniczkowych dla równania Eulera dla bry!y sztywnej bez si! zewnetrzych: y 1 = y2y3 y2 = y1y3 y = 0,51y y function dydt = f(t,y) %% zapisujemy równia Eulera dydt = [y(2)*y(3); -y(1)*y(3); -0.51*y(1)*y(2)]; >> tspan = [0 12]; % przedzia>, dla którego szukamy rozwi/zap >> y0 = [0; 1; 1]; warunki pocz/tkowe >> ode45(@f,tspan,y0); % metoda ode45 Temat 28 Równania róoniczkowe zwyczajne wyoszego rzcdu Matlab pozwala równie$ na rozwi>zywanie równa: ró$niczkowych wy$szego rzdu. W tym przypadku trzeba jednak zapisag równanie w postaci uk!adu równa: ró$niczkowego pierwszego rzdu. y = f ( t, y) Dowolne równanie ró$niczkowe wy$szego rzdu ( n) ( n 1) y = f t, y, y,..., y ( ) mo$na zapisag jako uk!ad równa: pierwszego rzdu stosuj>c podstawienie ( n 1) y1 = y, y2 = y,..., yn = y Wtedy dostaniemy uk!ad n równani ró$niczkowych pierwszego rzdu: y 1 = y2 y 2 = y3 y n = f ( t, y1, y2,..., yn) 16

17 W poni$szym przyk!adzie szukamy rozwi>zania numerycznego równania ró$niczkowego drugiego stopnia van der Pola 2 yµ 1 y y + y = 0 ( ) Przyjmuj>c podstawienie y 1 = y2 otrzymujemy uk!ad równa: pierwszego stopnia w postaci: y 1 = y2 2 y2 µ ( 1 y1 ) y2 y1 function dydt = f(t,y,mu) % funkcja w której zapisali-my równanie rólniczkowe dydt = [y(2); mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1) ]; >> Mu=100; % przyjmujemy parametr T >> tspan = [0; max(20,3*mu)]; % przedzia>, dla którego szukamy rozwi/zap >> y0 = [2; 0]; %warunki pocz/tkowe >> [t,y] = ode15s(@f,tspan,y0); % metoda ode15s >> plot(t,y(:,1)); % zobrazowanie wyników >> title(['solution of van der Pol Equation, \mu = ' num2str(mu)]); >> xlabel('time t'); >> ylabel('solution y_1'); >> axis([tspan(1) tspan(end) ]); 17

18 OBSLUGA BLADÓW Temat 29 Komunikat b!cdu funkcja error Funkcja error wypisuje komunikat b!du: error( to jest b!>d ) W celu wyprowadzenia na ekran komunikatu o b!dzie w postaci okienka nale$y u$yg funkcji errordlg( errorstrin, dlgname ). >> error( Cos jest nie tak ); >> errordlg( Cos jest nie tak, Komunikat o b>4dzie ); Temat 30 Komunikat ostrzeoenia funkcja warning Wypisuje komunikat ostrze$enia. >> warning( to jest ostrzelenie ); Temat 31 Zmienne standardowe: nargin, nargout Liczba parametrów w definicji funkcji mo$e si ró$nig od liczby parametrów, jak> podaje u$ytkownik. Zmienna standardowa nargin okre7la dla danego wywo!ania funkcji z iloma parametrami funkcja ta zosta!a wywo!ana. Odpowiednio, zmienna nargout okre7la ile parametrów wyj7ciowych zostanie pobranych przez u$ytkownika. function [y1, y2, y3, y4]=funkcja_x(x1, x2, x3, x4) %% [y1, y2, y3, y4]=funkcja_x(x1, x2, x3, x4) % y1...y4 parametry wyj-ciowe funkcji % x1...x4 parametry wej-ciowe funkcji if (nargin<1), % nie ma wprowadzonych parametrów wprowadzamy warto-ci domy-lne x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; % parametry wej-ciowe funkcji elseif(nargin<2) % wprowadzono tylko jeden parametr... % jaka- akcja, np. komunikat b>4du elseif(nargin<3)... % jaka- akcja end % wszystkie warunki wprowadzania zosta>y sprawdzone % testowanie ile parametrów wyj-ciowych chce otrzyma: ulytkownik, jeleli ulytkownik nie chce dodatkowych parametrów wyj-ciowych szkoda czasu na ich obliczanie if(nargout>1) y2 =... y3=... y4=... % koniec funkcji 18

19 Zmienne nargin, nargout mog> byg wykorzystywane do sprawdzania poprawno7ci liczby wprowadzonych lub wyprowadzanych zmiennych z funkcji. function funk(x,y) if nargin ~= 2 error('wrong number of input arguments') end UWAGA: Do wprowadzania i wyprowadzania dowolnej liczby dowolnych elementów do i z funkcji wykorzystuje si odpowiednio funkcj varargin oraz funkcj varargout. Temat 32 Reagowanie na nieprawid!owy argument funkcji Do sprawdzenia czy dana zmienna ma oczekiwan> przez nas postag wykorzystujemy operatory typu is*. ischar isempty isequal isglobal isinteger islogical isnan isnumeric isprime isreal isscalar issorted issparse isvector if ~isreal(arg2), error( Zmienna musi by: liczb/ rzeczywist/ ) end Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> typu char Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> pust> Sprawdza czy dane 2 macierze s> sobie równe Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> globaln> Sprawdza czy wszystkie elementy ziennej s> typu integer Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> logiczn> Znajduje elementy niesko:czone (NaN) Sprawdza czy dana wej7ciowa jest zmienn> numeryczn> Znajduje elementy bd>ce liczbami pierwszymi Sprawdza czy wszystkie elementy zmiennej s> typu real Sprawdza czy dana wej7ciowa jest skalarem Sprawdza czy dana wej7ciowa jest posortowana Sprawdza czy dana wej7ciowa jest macierz> rzadk> Sprawdza czy dana wej7ciowa jest wektorem >> a = 1:20; % zmienna wej-ciowa >> p = isprime(a); % wektor z 1 tam gdzie dana liczba jest pierwsza 19

20 GRAFIKA UCHWYTÓW Temat 33 Uchwyt Ka$dy element graficzny wy7wietlony w oknie wykresu ma swój uchwyt. Wykorzystuj>c uchwyty mo$emy mieg dostp do wszystkich elementów okna graficznego. W celu uzyskania g!ównych uchwytów stosujemy funkcj findobj. >> plot(1:10, o- ) % otworzenie okna graficznego i wyrysowanie linii prostej >> h = findobj; % szukam g>ównych uchwytów % warto-ci zwrócone przez Matlaba h = Aby uzyskag te dane w bardziej zrozumia!ej formie stosujemy nastpuj>c> sk!adni: >> get(h, type ) ans = root figure axes line W tej chwili wywo!anie np. h(4) daje nam uchwyt do obiektu Line. Temat 34 Parametry obiektów graficznych W celu wy7wietlenia listy dostpnych parametrów danego elementu wykresu korzystamy z funkcji set. >> set(h(4)) Aby uzyskag opcje danego sk!adnika pojedynczego elementu graficznego korzystamy z nastpuj>cej sk!adni: >> set(h(4), Marker ) % s>ówko Marker okre-la interesuj/cy nas sk>adnik Lista parametrów dostpna jest w opisie danego elementu graficznego. 20

21 Temat 35 Ustawianie parametrów graficznych funkcja set Maj>c uchwyt do danego elementu graficznego mo$emy zmienig jego parametry. W tym celu korzystamy z funkcji set(uchwyt, parametr, warto,-) >> set(h(4), Marker, s, MarkerSize, 16) % kwadratowy marker ( s ) o wielko-ci 16 Temat 36 Pobieranie bieo-cych parametrów obiektów graficznych funkcja get Maj>c uchwyt do danego elementu graficznego mo$emy sprawdzig jego parametry. W tym celu korzystamy z funkcji get(uchwyt,parametr). >> get(h(4), Marker ); Temat 37 Inne funkcje zwi-zane z grafik- uchwytów reset delete drawnow findobj copyobj Przywraca domy7lne parametry obiektu Usuwa obiekt Wykonuje zaleg!e operacje graficzne Szuka obiektu o zadanych parametrach Tworzy kopi obiektu Temat 38 BieO-ce okno graficzne W przypadku aktywnego okna graficznego Matlab udostpnia 3 predefiniowane uchwyty: gca gcf gco Uchwyt do osi wspó!rzdnych Uchwyt do okna graficznego Uchwyt do bie$>cego obiektu Temat 39 Inne funkcje zwi-zane z obs!ug- okien graficznych figure clf shg close refresh cla Utworzenie nowego okna graficznego Czyszczenie okna graficznego Pokazuje ostatnie okno graficzne Zamyka bie$>ce okno graficzne Od7wie$a zawarto7g bie$>cego okna graficznego Czy7ci zawarto7g uk!adu wspó!rzdnych 21

22 GRAFICZNY INTERFEJS UNYTKOWNIKA Temat 40 Tworzenie graficznego interfejsu uoytkownika funkcja guide Pisz>c aplikacje na w!asny u$ytek czsto zapominamy o przyjaznym interfejsie. Jednak ze wzgldu na funkcjonalno7g,!atwo7g obs!ugi i w przypadku, gdy z naszego programu maj> korzystag tak$e inni u$ytkownicy dobrze jest dodag do aplikacji graficzny interfejs u$ytkownika. Aby rozpocz>g tworzenia takiego interfejsu nale$y wywo!ag funkcj guide. Po otworzeniu si okna dialogowego nale$y wybrag rodzaj tworzonego przez nas okna oraz katalog w którym ma byg ono zapisane. UWAGA: Matlab automatycznie wygeneruje 2 pliki. W jednym *.fig trzymana jest informacja o wygl>dzie interfejsu a w drugim *.m szablon funkcji, któr> bdzie wykonywa! interfejs. Temat 41 Okno edytora graficznego interfejsu uoytkownika. Do g!ównych elementów okna edytora graficznego nale$>: menu, pasek narzdzi, elementy interfejsu oraz obszar roboczy. Do najwa$niejszych elementów paska narzdzi nale$>: ikona M-file editor dostp do kodu tworzonego interfejsu run uruchamianie tworzonego interfejsu Temat 42 Praca nad interfejsem uoytkownika. Prace nad interfejsem u$ytkownika mo$na podzielig na kilka etapów. Do najwa$niejszych nale$>: projektowanie, ustawianie elementów, w!a7ciwo7ci elementów, programowanie, testowanie. Temat 43 DostCpne elementy interfejsu uoytkownika. Matlab oferuje kilka elementów graficznych, które mog> si znaleg w oknie tworzonego interfejsu u$ytkownika. Nale$> do nich: push button slider radio button checkbox edit text static text popup menu list box toggle button axes panel button group activex control przycisk dzia!aj>cy po naci7niciu go myszk> suwak wybór 1 opcji z kilku pole wyboru. Mo$liwy wybór kilku opcji jednocze7nie pole edycji tekst bez mo$liwo7ci jego edycji menu podrczne aktywowane po naci7niciu prawym przyciskiem myszki rozwijana lista wyboru przycisk, który mo$na wcisn>g na sta!e uk!ad wspó!rzdnych obszar do ustawiania pogrupowanych innych elementów obszar do ustawiania grupy przycisków tego samego typu kontrolka activex 22

23 Temat 44 Ustawianie elementów i ich w!a)ciwo)ci. W celu umieszczenia danego elementu interfejsu u$ytkownika na obszarze pola roboczego nale$y wskazag ten element a nastpnie nacisn>g (lub przeci>gn>g) w obrbie pola roboczego. Elementy mo$na przesuwag i wyrównywag z innymi. Dostp do parametrów elementu mo$liwy jest po dwukrotnym klikniciu lub w menu podrcznym danego elementu. Temat 45 W!a)ciwo)X obiektu Tag Jednym z najwa$niejszych w!asno7ci ka$dego elementu interfejsu u$ytkownika jest pole Tag. Warto7G tekstowa wpisana w to pole daje dostp do danego elementu oraz pozwala na reagowanie na wszelkie akcje zwi>zane z tym elementem (funkcja callback). Temat 46 ZapamiCtanie interfejsu uoytkownika Po etapie projektowania interfejsu u$ytkownika wygodnie jest zapamitag rezultaty naszej pracy. Matlab automatycznie wygeneruje 2 pliki. W jednym *.fig trzymana jest informacja o wygl>dzie interfejsu a w drugim *.m szablon funkcji, któr> bdzie wykonywa! interfejs. Temat 47 Reagowanie na akcje uoytkownika funkcja callback Wygenerowane w czasie zapisywania pliki zawieraj> obs!ug wszystkich zdarze: zwi>zanych z wywo!ywaniem naszego interfejsu i wykonywaniem go w 7rodowisku Matlaba. Pozostaje teraz zdefiniowag wszystkie funkcje zwi>zane z interakcj> u$ytkownika z projektowanym interfejsem i programem. W tym celu z cz7ci> elementów wystpuj>c> w oknie interfejsu np. przyciskiem nale$y skojarzyg jak>7 funkcj, która bdzie wykonywana po jego naci7niciu. W tym celu nale$y dla danego elementu zdefiniowag funkcj callback. Mo$na to wykonag albo w oknie Property Inspektor danego elementu lub po naci7niciu danego elementu prawym przyciskiem myszki. Po stworzeniu funkcji callback w kodzie programu pojawi si odpowiadaj>cy jej nag!ówek funkcji. Rol> projektanta interfejsu jest wpisanie w dalszej cz7ci programu instrukcji jakie maj> zostag wykonane. Za!ó$my, $e w interfejsie u$ytkownika mamy zdefiniowane dwa elementy: PushButton (Tag = Przycisk) oraz StaticText (Tag = Tekst). Zadaniem elementu tekstowego jest wy7wietlanie informacji o liczbie naci7nig przycisku. function Przycisk_Callback(hObject, eventdata, handles) % hobject handle to Przycisk (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA) persistent ile % definicja zmiennej w której trzymamy liczb4 naci-ni4: przycisku if isempty(ile) % je-li nie ma Ladnej warto-ci to przypisuj4 warto-: 0 ile=0; end ile = ile + 1; % reakcja na naci-ni4cie. Zwi4kszam licznik o 1 str=['liczba nacisniec: ', Int2Str(ile)]; % tekst do wy-wietlenia set(handles.tekst,'string',str); % przypisanie w>a-ciwo-ci do pola String obiektowi tekst 23