Joanna Dębicka, Agnieszka Marciniuk. Modelowanie małżeńskich rent hipotecznych w stochastycznym otoczeniu ekonomicznym

Transkrypt

1 Joanna Dęicka, Agnieszka Marciniuk Modelowanie małżeńskich rent hipotecznych w stochastycznym otoczeniu ekonomicznym Warszawa,

2 PLAN WYSĄPIENIA I. WPROWADZENIE II. MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ III. MODELOWANIE SOPY PROCENOWEJ IV. PRZYKŁADY NUMERYCZNE V. WNIOSKI

3 WPROWADZENIE RENA HIPOECZNA Renta hipoteczna jest to dożywotnia renta, którą właściciel nieruchomości może otrzymać w zamian za przeniesienie praw własności na spółkę (specjalnie w tym celu stworzony fundusz hipoteczny), gwarantując soie w akcie notarialnym prawo do mieszkania w danym lokalu do śmierci. Przeniesienie praw własności następuje już po podpisaniu aktu notarialnego, przy czym zaezpieczenie wypłacania renty wpisane jest w dziale IV ksiąg wieczystych. Bezpieczeństwo klientów regulowane jest jedynie kodeksem cywilnym, w razie ankructwa spółki pozostaje jedynie dochodzenie praw na drodze sądowej. (Borys 23) 3

4 WPROWADZENIE RENA HIPOECZNA Renta hipoteczna ma charakter sprzedażowy i jest oferowana ludziom starszym. Świadczenie wypłacane jest dożywotnio, a jego wysokość ustalana jest w oparciu o wiek świadczenioiorcy x, wartość nieruchomości W i przeciętne dalsze trwanie życia. Renta jest przynajmniej raz w roku waloryzowana (może yć częściej w zależności od firmy). Renta hipoteczna to nie jest hipoteka odwrócona. Hipoteka odwrócona (kredyt hipoteczny odwrócony) jest to konkurencyjny produkt, nad którego ezpieczeństwem czuwa Komisję Nadzoru Finansowego. Produkt ten nie jest oecnie sprzedawany w Polsce. (Marciniuk 24) 4

5 WPROWADZENIE MAŁŻEŃSKA RENA HIPOECZNA Małżeńska renta hipoteczna (umowa w której właścicielami nieruchomości są małżonkowie) oecnie nie jest oferowana na rynku polskim. Rodzaje małżeńskich rent hipotecznych: renta małżeńska, gdy świadczenie wypłacane jest tylko do śmierci jednego z małżonków (status wspólnego życia) renta małżeńska, gdy świadczenie wypłacane jest do momentu śmierci drugiego małżonka (status ostatniego przeżywającego) 5

6 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ MODEL WIELOSANOWY (S,) (Haerman, Pitacco 999) Przestrzeń stanów S = {,2,, n} ziór ezpośrednich przejść miedzy stanami, (i, j) ezpośrednie przejście ze stanu i do stanu j (, ) PROBABILISYCZNA SRUKURA MODELU - proces stochastyczny przyjmujący wartości ze zioru S. ZAŁOŻENIA : - dyskretny, - łańcuch Markova 6

7 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ MODEL WIELOSANOWY Małżeńska renta hipoteczna (Dicson, Hardy, Waters 29) - ooje współmałżonków żyje 2 - maż nie żyje 3 - żona nie żyje 4 - ooje współmałżonków nie żyje 7

8 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ t+-szy rok okresu uezpieczenia 2 t t + n Składki Świadczenia płatne z góry Świadczenia płatne z dołu Zmodyfikowany model wielostanowy (S*,*) i jego proailistyczna struktura Funkcja dyskontująca Przepływy pieniężne Do wyznaczenia składek i świadczeń uezpieczeniowych niezędna jest znajomość. 8

9 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ MACIERZE Zmodyfikowany model wielostanowy i jego proailistyczna struktura Przepływy pieniężne Funkcja dyskontująca P( k) ( pr ( k), pr ( k),..., pr ( k)) R gdzie 2 pr ( k) ( X ( k) i) i k P ( k) P () Q( t) P P D P t () () R ( n) N( n) N Wektory pomocnicze: S J I N i t,,..., R R R,,...,,,..., R i,,...,,,..., R t N N n Λ kk 2 kk 2 k, k n 2 e R Y ( k ) Y ( k ) 2 n n ( k, k ) dla k k dla k k r( k, k ) dla k k Y(t) - proces akumulacji intensywności oprocentowania (proces stochastyczny o stacjonarnych przyrostach)

10 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ MACIERZ SRUKURY PROBABILISYCZNEJ MODELU zakładamy, że przyszłe czasy trwania życia żony i męża są niezależne długość okresu trwania umowy n max x m ; x ż

11 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE Dla n-letniej małżeńskiej renty hipotecznej (k) j składka jednorazowa płacona w momencie k gdy X *( k) j ( k) j W dla j i poza tym k - procent wartości nieruchomości W którą posiadają małżonkowie (,.5 ) j (k) rata renty płacona w momencie k gdy X *( k) j ( k) j dla j i poza tym k,,..., n

12 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ MACIERZE PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH 2 Dla n-letniej małżeńskiej renty hipotecznej (status wspólnego życia): rata renty w momencie k gdy (ooje żyją) (żona żyje) (mąż żyje) poza tym,,..., i dla ) ( n k j k ) ( * k X ) ( k out in W W C C C

13 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ MACIERZE PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH 3 Dla n-letniej małżeńskiej renty hipotecznej (status ostatniego przeżywającego): rata renty w momencie k gdy (ooje żyją) rata renty w momencie k gdy (żona żyje) rata renty w momencie k gdy (mąż żyje) poza tym,,..., i dla ) ( n k j k ) ( * k X ) ( k poza tym,..., i 2,3 dla ) ( n k j k j j ) ( 2 k ) ( 3 k 2 ) ( * k X 3 ) ( * k X out in W W C C C

14 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ ZAŁOŻENIA Z Zmienne losowe K Xm, K Xż są niezależne Z2 X(t) i Y(t) są niezależne Z3 Momenty funkcji dyskontującej e Y(t) są skończone 4

15 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ wierdzenie 3 Załóżmy, że spełniona jest zasada równoważności oraz Z-Z3. Ponadto dla n-letniej małżeńskiej renty hipotecznej macierz przepływów pieniężnych jest określona dla Funduszu Hipotecznego, gdzie αw jest wartością nieruchomości, dla której określana jest wysokość renty hipotecznej. ) Status wspólnego życia: niech k = dla k, k + ) (k =,,, n ) oznacza rentę płatną z góry, jeżeli ooje współmałżonkowie żyją. Wtedy I Λ I C out J I I I DJ n n 5

16 MACIERZOWA REPREZENACJA ŚWIADCZEŃ wierdzenie 3 Załóżmy, że spełniona jest zasada równoważności oraz Z-Z3. Ponadto dla n-letniej małżeńskiej renty hipotecznej macierz przepływów pieniężnych jest określona dla Funduszu Hipotecznego, gdzie αw jest wartością nieruchomości, dla której określana jest wysokość renty hipotecznej. 2) Status ostatniego przeżywającego: niech = oraz k = 2 k = 3 k = dla k, k + ) (k =,,, n ) oznacza rentę płatną z góry, jeżeli co najmniej jeden ze współmałżonków żyje w momencie k. Wtedy I Λ I I I I I DS J n I n C out J 4 6

17 MODELOWANIE SOPY PROCENOWEJ Dwa sposoy stochastycznego modelowania stopy procentowej, tj. aktuarialny i finansowy, które wyróżnione są ze względu na zastosowany model stopy procentowej. W sposoie aktuarialnym wartość oczekiwana zdyskontowanej wielkości świadczenia renty jest określona w tradycyjny sposó, zaś do oliczeń zastosowana jest techniczna stopa procentowa. W sposoie finansowym świadczenia potraktowane są jako stochastyczny skumulowany przepływ pieniężny, którego zdyskontowana wartość jest wyceniana przy założeniu, że nie jest możliwy aritraż. Do oliczeń zastosowane są modele krótkoterminowej stopy procentowej. (Marciniuk 29) 7

18 MODELOWANIE SOPY PROCENOWEJ MODEL AKUARIALNY echniczna stopa procentowa jest określona następującym równaniem i t,t 2 = K t 2 K t = K t 2 = v K t K t,t 2, t gdzie K t jest to wysokość kapitału w chwili t, a v t,t 2 jest to funkcja dyskontowania z chwili t 2 na chwilę t, t t 2. 8

19 MODELOWANIE SOPY PROCENOWEJ MODEL FINANSOWY Chwilowa stopa terminowa w skrócie stopa forward, jest zdefiniowana następującym wzorem f t, = lnp t,, t. Chwilową stopę natychmiastową oznacza się symolem r t i definiuje następująco r t = f t,t. (Jakuowski i inni 23) 9

20 MODELOWANIE SOPY PROCENOWEJ MODEL FINANSOWY Wycena zdyskontowanych przepływów pieniężnych opiera się na martyngałowej metodzie wyceny instrumentów pochodnych, tzn. znalezieniu sprawiedliwej ceny przy raku aritrażu na rynku finansowym. Założenia: proces stochastyczny krótkoterminowej stopy procentowej r t t jest zdefiniowany na przestrzeni proailistycznej Ω, F, P, P jest to fizyczna miara prawdopodoieństwa na przestrzeni Ω, F z historią F t F dla t. F oznacza ziór wszystkich możliwych zdarzeń, natomiast F t wszystkie zdarzenia do chwili t. proces r t t jest adaptowalny względem filtracji F t r s ds <, t. t istnienie miary proailistycznej Q równoważnej mierze P. (Carriere 24) 2

21 MODELOWANIE SOPY PROCENOWEJ MODEL FINANSOWY Głównym elementem tej wyceny jest znalezienie sprawiedliwej ceny oligacji zerokuponowej. ak jest, gdy zdyskontowany proces ceny zerokuponowej oligacji jest martyngałem względem miary Q równoważnej mierze P. Cena oligacji zerokuponowej jest określona w sposó jednoznaczny następującym wzorem P t, = Ε Q Λ t, F t, t, gdzie Λ t, = exp r s ds t jest to proces dyskontowania. Y t = r s ds t (Rolski i inni 995) 2

22 MODELOWANIE SOPY PROCENOWEJ Λ kk 2 kk 2 k, k n 2 e R Y ( k ) Y ( k ) 2 n n ( k, k ) dla k k dla k k r( k, k ) dla k k Modele aktuarialne stopy procentowej stała stopa procentowa i, Intensywność oprocentowania: proces autoregresji rzędu jeden AR(), proces Wienera. Modele finansowe stopy procentowej model Vasicka, model Coxa-Ingersolla-Rossa (CIR). 22

23 PRZYKŁADY NUMERYCZNE wartość nieruchomości W = zł, α =,5 Polskie alice rwania Życia z 22 r., rozkład śmierci w ciągu roku jest jednostajny, dane symulacyjne wygenerowane z rozkładu D r ti+ r ti ~N μ + r ti μ e α t i+ t i, σ e 2α t i+ t i 2α dla α = 8, μ =,55, σ =,4, r =,5. (Marciniuk 29) Λ przyjęto, że są to tygodniowe dane z 2 lat, stała stopa procentowa 5,4989 % równa długoterminowej stopie procentowej w modelu Vasicka 23

24 PRZYKŁADY NUMERYCZNE Estymowane parametry - proces AR() model aktuarialny dδ t =,5524 +,84598 δ t, ε t, ε t ~N ;,9375, δ =,4845, - proces Wienera model aktuarialny dδ t =,52dB t, δ =,4845, - model Vasicka model finansowy dr t = 8,67 r t,55 dt +,4dB t, - model CIR model finansowy dr t =,628,254r t dt +,32 r t db t. (Marciniuk 29) 24

25 PRZYKŁADY NUMERYCZNE SAUS OSANI PRZEŻYWAJĄCY (model Wiener) (model Vasicek) x_ż x_ż x_m=65 x_m=7 x_m=75 x_m=8 x_m=85 ((model Vasicek)/(model Wiener)-)* 8 7 x_m= x_m=7 4 x_m= x_m= x_m=85 25

26 PRZYKŁADY NUMERYCZNE SAUS WSPÓLNEGO ŻYCIA (model Wiener) (model Vasicek) x_m=65 x_m=7 9 9 x_m= x_m= x_ż x_ż x_m=85 ((model Vasicek)/(model Wiener)-)* 8 7 x_m= x_m=7 4 x_m= x_m= x_m=85 26

27 PRZYKŁADY NUMERYCZNE SAUS WSPÓLNEGO ŻYCIA ((model Vasicek)/(model Wiener)-)* x_m=65 x_m= SAUS OSANI PRZEŻYWAJĄCY (model Vasicka)/(model Wienera)-)* x_m=65 x_m=7 5 4 x_m= x_m= x_m=8 3 2 x_m= x_m= x_m=85 27

28 częstotliwosc raty renty częstotliwosc raty renty częstotliwosc raty renty PRZYKŁADY NUMERYCZNE ŁĄCZNA ROCZNA RAA RENY 2 x_m = 75 lat x_ż = 75 lat stała SAUS OSANI PRZEŻYWAJĄCY Wiener AR() CIR Vasicek x_m = 8 lat x_ż = 75 lat x_m = 75 lat x_ż = 8 lat

29 PRZYKŁADY NUMERYCZNE ŁĄCZNA ROCZNA RAA RENY ((x_m x_ż)/(x_m=75, x_ż=75) - )* (SOP) - Status ostatni przeżywający (SWŻ) - Status wspólnego życia Stała stopa procentowa 5 5 (SOP) x_m=75, x_ż=8 (SOP) x_m=8, x_ż=75 (SWŻ) x_m=75, x_ż= częstotliwość rat renty (miesiące) (SWŻ) x_m=8, x_ż=75 29

30 WNIOSKI Wysokości świadczeń są najwyższe w przypadku modelu Vasicka, nieco niższe świadczenia uzyskuje się dla procesu AR() (dyskretny odpowiednik). Najniższe świadczenie otrzymuje się dla procesu Wienera. Im niższa wartość aktuarialna renty życiowej, tym wyższe świadczenie renty hipotecznej. Wraz ze wzrostem m wzrasta roczna wysokość świadczenia, przy czym świadczenie uzyskane przy stałej stopie procentowej jest podonej wysokości jak w przypadku modelu Vasicka. Ilość wypłat w ciągu roku wpływa na wysokość uzyskiwanych rocznych świadczeń, przy czym wypłaty częstsze niż 2 razy w roku nie poprawiają już znacząco świadczenia. 3

31 WYBRANA LIERAURA BORYS A Odwrócona hipoteka i renta dożywotnia, warto czy nie? [cit ] CARRIERE J.F. 24. Martingale valuation of cash flows for insurance and interest models. North American Actuarial Journal, 24 vol. 8, no. 3, pp. -6. DĘBICKA J. 23 An approach to the study of multistate insurance contracts. Appl. Stochastic Models Bus. Ind., 23, vol. 29, iss.3, pp DICKSON D. C. M., HARDY M. R., WAERS H. R. 29. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Camridge Un. Press, Camridge. HABERMAN S., PIACCO E Actuarial Models for Disaility Insurances. Chappman@Hall/CRS. JAKUBOWSKI J., PALCZEWSKI A., RUKOWSKI M., SANER Ł. 23. Matematyka finansowa. Instrumenty pochodne. WN, Warszawa. MARCINIUK A. 29. Modele stóp procentowych i ich zastosowania w uezpieczeniach praca doktorska, Uniwersytet Ekonomiczny, Wrocław. MARCINIUK A. 24. Renta hipoteczna a odwrócony kredyt hipoteczny na rynku polskim. (w druku). ROLSKI., SCHMIDLI H., SCHMID H., EUGELS J Stochastic processes for insurance and finance. John Willey & Sons, New York. 3

32 Dziękujemy za uwagę Praca finansowana z grantu 23/9/B/HS4/49 Niestandardowe wieloosoowe produkty uezpieczeniowe uwzględniające zależności między uezpieczonymi 32