Lekcja II. Macierze kowariancji i korelacji. Metoda składowych głównych

Transkrypt

1 Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych Lekca II. Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych Cel: Wprowadzenie do metody analizy składowych głównych (PCA). Pokazanie ak wyliczane są macierze kowarianci lub korelaci oraz ak obliczone mogą być wartości własne i udział procentowy w całkowite warianci dla każdego ze składników głównych. Umieętności które zdobędziesz: Po ukończeniu te lekci zrozumiesz podstawę działania PCA. Nauczysz się budować macierze kowarianci i korelaci wykorzystuąc statystyki pochodzące z histogramów i wykresów rozproszenia obliczonych w Bilko. Dowiesz się także ak poprzez wczytanie składowych głównych (PC) obliczyć pasma własne oraz macierz wartości własnych dla konkretne składowe główne. W ten sposób odkryesz ak procent z całkowite warianci z oryginalnych obrazów est wnoszony do każdego z pasm. Sąsiaduące pasma w multispektralnych zdęciach są często skorelowane, co powodue nadmiar danych, ponieważ niektóre informace powtarzaą się w różnych pasmach. Analiza głównych składowych (PCA) określa liczbę wymiarów, które są obecne w zbiorze danych oraz ich główne osie zmienności. Dzięki te metodzie można utworzyć zdęcia głównych. Na przykład sześć pasm (pomiaąc pasmo termiczne 6) ze zdęcia z satelity Landsat TM (Landsat Thematic Mapper), może obąć ponad 95% zmienności w zbiorze danych w pierwszych 3 składowych głównych (PC) zdęć. Kolorowy obraz złożony trzech zdęć PC pozwala na otrzymanie znacznie lepszego obrazu pokrycia terenu niż akakolwiek inna kombinaca trzech oryginalnych pasm. Lekca ta tłumaczy na początku ak otrzymywane są macierze kowarianci i korelaci wykorzystywane w PCA. W dalsze części pokazue, ak korzystać z tych macierzy i tabeli udziałów składowych głównych generowanych przez Bilko do obliczania wartości własnych z każdego pasm PC. Ponadto pokazue ile procent całkowite warianci est wnoszone przez każde z pasm PC. Wymagania wstępne: Ta lekca wymaga stosowania arkuszy kalkulacynych. Należy mieć dostęp do programu Excel lub innego arkusza kalkulacynego, który może odczytywać i pracować z plikami Excel. Wymagane są również podstawowe umieętności związane z obsługą arkusza kalkulacynego. Przed przystąpieniem do te mini-lekci powinieneś rozumieć poęcie wykresów rozrzutu i podstawy analizy składowych głównych. Do zrozumienia wyrażeń stosowanych w te lekci est również niezbędna podstawowa wiedza z zakresu statystyki. Zrozumienie macierzy kowarianci i korelaci PCA może być wykonana przy użyciu macierzy kowarianci lub macierzy korelaci otrzymanych w progrmaie. Bilko. Można e także samodzielnie obliczyć w arkuszu kalkulacynym dla małego zdęcia. Gdy wielkość zdęcia est zbyt duża aby zmieścić się w arkuszu kalkulacynym (np. zdęcie, które ma więce niż 256 kolumn) należy wykorzystać histogramy i wykresy rozproszenia, do wyznaczenia wielkości, które występuą w macierzy 1 z 11

2 Lekca II kowarianci i korelaci. By lepie zrozumieć w aki sposób obliczane są macierze kowarianci i korelaci, zostanie wykorzystany zestaw sześciu pasm ze zdęcia TM Landsat. Przedstawia ono obszar wieski wokół Littleport, niedaleko Ely w Cambridgeshire (Wielka Brytania). Zostaną wyliczone wartości macierzy dla pasm #1, #2 #3. Zrozumienie macierzy kowarianci Zanim przedziemy dale, spórzmy na strukturę macierzy kowarianci. Zobaczmy w aki sposób obliczany est każdy z e elementów. Zdęcie Littleport_TM (Landsat Thematic Mapper) składa się z pasm #1, #2, #3,, #5 i #7. Macierz kowarianci będzie miała sześć rzędów i sześć kolumn (po ednym dla każdego pasma). Jest również symetryczna względem przekątne, na przykład kowarianca pasam #1 i #2 est taka sama ak kowarianca pasm #2 i #1. W tabeli, COV = kowarianca, VAR = warianca Littleport_TM#01.gif Littleport_TM#02.gif Pasmo #1 Pasmo #2 Pasmo #3 Pasmo Pasmo #5 Pasmo #7 VAR pasma #1 #1, #2 #1 i #3 #1 i #1 i #5 #1 i #7 VAR pasma #2 i #1 #2 #2 i #3 #2 i #2 i #5 #2 i #7 Littleport_TM#03.gif #3 i # 1 #3 i #2 VAR pasma #3 #3 i #3 i #5 #3 i #7 Littleport_TM#04.gif i #1 i #2 i #3 VAR pasma i #5 i #7 Littleport_TM#05.gif #5 i #1 #5 i #2 #5 i #3 #5 i VAR pasma #5 #5 i #7 Littleport_TM#07.gif #7 i # 2 # i # 3 #7 i #7 i #5 #7 i #5 VAR pasma #7 Warianca każdego pasma est sumą kwadratów odchyleń wartości każdego piksela od wartości średnie pikseli (suma kwadratów) podzieloną przez liczbę stopni swobody. Dla każdego pasma na zdęciu składaącego się z kolumn n c i wierszy n r, suma kwadratów odchyleń od średnie wartości pikseli pasma może być obliczona w następuący sposób: Suma kwadratów = n c x n r 1 ( ) 2 srednia pasmo pasmo i pasma Warianca est sumą kwadratów podzieloną przez liczbę stopni swobody (całkowita liczba pikseli minus 1): 2 z 11

3 Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych Warianca = i = n x n c 1 r ( pasmo pasmo srednia pasma ) ( n x n ) 1 c i r 2 Na zdęciu TM Littleport liczba kolumn wynosi n c = 512, liczba wierszy n r = 512, oraz może przymować wartości 1, 2, 3, 4, 5 lub 7. Obliczenia warianci pasma byłoby stosunkowo łatwe, gdyby średnia wartość pikseli byłaby znana. Po pierwsze, należy obliczyć kwadrat odchylenia każdego piksela od średnie, po drugie, należy dodać te wszystkie wartości do siebie, a po trzecie podzielić tę sumę przez (= 512 x 512 1). Obliczenia te są wykonywane dla zdęcia o wymiarach 35 x 35 pikseli w arkuszu programu Excel PCA_obliczenie_macierzy.xls. Pierwiastek kwadratowy z warianci est odchyleniem standardowym, a odchylenie standardowe est edną ze statystyk podanych w dokumencie histogramu zdęcia. Naprostszym sposobem, aby dowiedzieć się aka est warianca zdęcia, est wykonanie histogramu w Bilko i podniesienie do kwadratu wartości odchylenia standardowego. Można to łatwo zrobić w arkuszu kalkulacynym lub za pomocą kalkulatora. Przy pomocy statystyk otrzymanych na histogramie, można także otrzymać średnią wartość pikseli zdęcia. Kowarianca każde pary pasm est sumą iloczynów każde wartości piksela podzieloną przez liczbę stopni swobody. Dla każdego piksela odchylenie od średnie w ednym paśmie est pomnożone przez odchylenie od średnie w drugim paśmie (dla każde z par). Dla pary pasm oraz k, na zdęciu z liczbą kolumn n c oraz liczbą wieszy n r, suma iloczynów może być obliczona w na podstawie wyrażenia: i = n x n c Suma iloczynów = 1 r ( pasmo piksel srednia pasma ) x ( pasmo piksel srednia pasma ) i Kowarianca est sumą iloczynów podzieloną przez liczbę stopni swobody (całkowita liczba pikseli minus 1): k i k Kowarianca = n x n c 1 r ( pasmo pasmo srednia pasma ) x ( pasmo piksel srednia pasma ) i ( n x n ) 1 c r k i k Widać, że kowarianca pary pasm est stosunkowo prosta do obliczenia eśli znane są średnie wartości pikseli. Po pierwsze, należy obliczyć iloczyn wektorowy z odchylenia każdego piksela od średnie w każdym przedziale, po drugie, należy zsumować te wszystkie iloczyny, a po trzecie podzielić tę sumę przez (= 512 x 512-1). Obliczenia te są wykonywane dla obrazu 35 x 35 pikseli w arkusz PCA_obliczenie_macierzy.xls programu Excel. 3 z 11

4 Lekca II Kowarianca est edną ze statystyki podanych w dokumencie wykresu rozrzutu pary pasm. Jednym z naprostszych sposobów, aby znaleźć kowariancę pary pasm w Bilko, to połączenie dwóch pasm. Następnie utworzenie wykresu rozrzutu i odczytanie wartość kowarianci. Należy pamiętać, że w statystkach wykresu rozrzutu pokazana est także korelaca momentu pomiędzy parami pasm, które są wartościami tworzącymi macierz korelaci. Zrozumienie macierzy korelaci Sporzymy teraz na strukturę macierzy korelaci i przeanalizuemy, w aki sposób elementy są obliczane. Je struktura est podobna do macierzy kowarianci. Obraz Littleport_TM składa się z pasm #1, #2, #3,, #5 i #7 Landsat Image Mapper. Macierz będzie miała sześć rzędów i sześć kolumn (po ednym dla każdego pasma). Jest również symetryczna po przekątne, na przykład korelaca między pasmem #1 i pasmem #2 est taka sama ak korelaca pomiędzy pasmem #2 i #1. Każde pasmo posiada idealną korelacę z samym sobą, więc wartości na przekątne są równe. Littleport_TM#01.gif Littleport_TM#02.gif Littleport_TM#03.gif Littleport_TM#04.gif Littleport_TM#05.gif Littleport_TM#07.gif Pasmo #1 Pasmo #2 Pasmo #3 Pasmo Pasmo #5 Pasmo #7 pasm #2 i #1 pasm #3 i #1 pasm i #1 pasm #5 i #1 pasm #7 i #1 pasm #1 i #2 pasm #3 i #2 pasm i #2 pasm #5 i #2 pasm #7 i #2 pasm #1 i #3 pasm #2 i #3 pasm i #3 pasm #5 i #3 pasm #7 i #3 pasm #1 i pasm #2 i pasm #3 i pasm #5 i pasm #7 i pasm #1 i #5 pasm #2 i #5 pasm #3 i #5 pasm i #5 pasm #7 i #5 pasm #1 i #7 pasm #2 i #7 pasm #3 i #7 pasm i #7 pasm #5 i #7 Współczynnik korelaci liniowe Pearsona (rk) dla pary pasm, k, można obliczyć (eżeli suma kwadratów w każdym paśmie i suma iloczynów par pasm są znane) korzystaąc ze wzoru: r k = Suma kwadratów dla i k Suma iloczynów dla x Suma iloczynów dla k Można zauważyć, że korelaca między dwoma pasmami może być obliczona w stosunkowo łatwy sposób (patrz PCA_obliczenie_macierzy.xls w arkuszu programu Excel). Nałatwie ednak est ą odczytać wykresu rozrzutu. W tym celu należy połączyć pasma w pary i wyświetlić ich wykresy rozrzutu. 4 z 11

5 Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych Po oberzeniu elementów obliczonych w macierzy kowarianci i korelaci, należy uzupełnić brakuące wartości w arkuszu Excel. Brakue wartości dla pasma #1, #2 #3 zdęcia Littleport w obu macierzach. Otwórz zbiór Littleport_TM.set, w którym est sześć zdęć w poszczególnych pasmach. Uży klawisz <Tab> lub opci (przycisk) Image, Animate, aby przerzeć te sześć pasm (ikonka ). Niektóre zdęcia maą nieco słaby kontrast. Aby go poprawić, napierw należy upewnić się, że pola wyboru: Apply streches to charts, clipboards w Stretch, Options są nie zaznaczone. Następnie uży <Ctrl>+A, aby wybrać wszystkie zdęcia i zastosu wyrównanie (rozciągnięcie) histogramu (Equalize). Przerzy zdęcia. Zauważ, że głównymi elementami zdęcia est Rzeka Ouse po prawe stronie zdęcia płynąca z południa na północ oraz dwie równoległe rzeki Old i New Bedford, płynące w kierunku północno-wschodnim po lewe stronie. Można zauważyć też kilka chmur i ich cienie Otwórz skoroszyt PCA_macierze.xls w Excel i upewni się, że arkusz Macierz Kowarianci est aktywny. Chwilowo, zignoru dolną części arkusza zatytułowaną Współczynniki składowych głównych PC Większość elementów macierzy kowarianci est wypełnione, ale brakue wartości dla pasm od #1 do #3 (zacienione asnoniebieskie komórki pozostały dla was do wypełnienia). Pierwszym zadaniem est znalezienie wartości średnie i odchylenia standardowego dla tych pasm oraz uzupełnienie brakuących wartości w odpowiednich komórkach. Formuły w arkuszu będą korzystać z tych wartości, które wypełnią brakuące wariance dla pasm od #1 do #3. Wartości te mogą być uzyskane z histogramów interesuących nas pasm. Zadanie : Wróć do Bilko i klikni zestaw obrazów Littleport (Littleport_TM.set) i zaznacz całość (<Ctrl> + A). Następnie wybierz File, New, HISTOGRAM Dokument z okna dialogowego New. Spowodue to powstanie szeregu histogramów dla każdego obrazu w zestawie. Histogram na samym wierzchu (kolor czerwony) est dla Littleport_TM#01.gif. Klikni prawym przyciskiem myszy na histogram i wybierz opcę Names. Poawi się okno dialogowe z Names, w którym znaduą się statystyki obrazu pokazane w szarym w polu na dole. Przepisz lub zaznaczaąc lewym klawiszem myszy skopu a następnie wkle wartości do komórek I3 (Mean Value=wartość średnia) oraz J3 (Std. deviation=odchylenie standardowe). WAŻNE: Znakiem separatora est przecinek a nie kropka! Warianca est obliczana automatycznie ako kwadrat odchylenia standardowego (sprawdzić formułę w komórce K3). Wartość ta poawi się w macierzy kowarianci. Wróć do Bilko i wykorzysta klawisz <Tab>, aby prześć do histogramu dla pasma #2. Powtórz tę procedurę, dla pasma #2 dla pasma # 3. 5 z 11

6 Lekca II Checkpoint: Jeżeli wszystko poszło dobrze, powinieneś otrzymać wartości warianci: 74,20; 30,46 i 69,87 ako wariance pasm #1, #2 oraz #3. Zapis macierzy est sumą wartości na diagonali, suma wszystkich wyrazów est wariancą wszystkich 6 obrazów. Pytanie 1: Pytanie 2: Jaki est zapis (trace) macierzy kowarianci (całkowita warianca 6 zdęć)? Jakie pasmo ma nawyższą wariancę i aki procent całkowite warianci ono stanowi? Pytanie 3: Które pasmo ma namnieszą wariancę i aki procent całkowite warianci ono stanowi? Kolenym zadaniem est znalezienie kowarianci pasm #1 i #2, pasm #1 i #3, oraz pasm #2 i #3. Można e odczytać na wykresach rozproszenia. Zadanie : Wróć do Bilko i wybierz Image, Connect aby móc połączyć pasma #1 i #2 ze zdęcia Littleport. Wciśni Ctrl i klikni Littleport #1 a następnie klikni Littleport #2. Jeśli nie udało się połączenie w zestaw tych dwóch obrazów (sprawdź pole wyboru Stacked, zaznacz e), a następnie uży paska narzędzi Selector do zaznaczenia pasma #1 ako obraz 1 (oś- x wykresu rozrzutu) i pasma #2 ako obraz 2 (oś y wykresu rozrzutu). Klikni w utworzony zestaw i naciśni (Ctrl+A),by wybrać wszystkie zdęcia w tym zestawie. Następnie klikni File, New i wybierz SCATTER Dokument w oknie dialogowym New. Oberzy wykres rozrzutu. Należy pamiętać, że pasma #1 i #2, są wysoce skorelowane i wartości zarówno dla kowarianci i korelaci pasm #1 i #2 są wyświetlane. Zadanie : Klikni prawym przyciskiem myszy na wykres rozrzutu i wybierz opcę Names. Poawi się okno dialogowe Names ze statystykami obrazu pokazanymi w kolorze szarym w dolnym polu. Przepisz lub zaznaczaąc lewym klawiszem myszy skopiu a następnie wkle wartość dla do komórki L12 (Kowarianca pasm #1 i #2)[eżeli istnieą problemy z wkleeniem, to prawdopodobnie ze względu na obecność spaci, spróbu skopiować wartości ponownie]. WAŻNE: Znakiem separatora est przecinek a nie kropka! Wartość kowarianci poawi się automatycznie w odpowiednich komórkach macierzy kowarianci. 6 z 11

7 Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych Następnie klikni na arkusz Macierz korelaci i spórz na formuły w asnoniebieskich komórkach, które tworzą współczynniki korelaci. Wróć do Bilko, zaznacz, skopiu a następnie wkle wartość w komórkę L12 wartość współczynnika korelaci w arkuszu Macierz Korelaci. Wartość korelaci poawi się automatycznie w odpowiednich komórkach macierzy korelaci. Zamkni wykres rozrzutu pasm #1 i #2 oraz zestaw dwóch połączonych obrazów. Powtórz tę procedurę, aby uzyskać wartość kowarianci i korelaci dla pasm #1 i #3, a następnie dla pasm #2 i #3, skopiu i wkle (lub przepisz) e do odpowiednich komórek w obu arkuszach. Zamkni wykresy rozrzutu i połączone pary obrazów. Uży macierzy korelaci aby udzielić odpowiedzi na następuące pytania. Pytanie 4: Które pasma są nabardzie skorelowane? Jaki est ich współczynnik korelaci Pytanie 5: Które pasmo est namnie skorelowane ze wszystkich pasm? Praktycznie nie wykorzystuąc Bilko do obliczenia macierzy kowarianci i korelaci, udało się nam e wykonać. Zobaczyłeś ak powstaą i mamy nadzieę, ze są one mnie "taemnicze" niż wcześnie. Teraz wiesz, ak tworzone są macierze, skąd pochodzą poszczególne wartości potrzebne do ich otrzymania oraz ak mogą być obliczone. Interpretaca współczynników PC (Składowych głównych) Obliczanie składowych głównych PC (współczynników lub wag), które są używane do liniowe kombinaci oryginalnych pasm wymaga dość skomplikowane matematyki. Wykracza ona zdecydowanie poza tą lekcę. Bilko umożliwia wykonanie takich obliczeń. Kiedy tworzysz PCA w Bilko generue dwie tabele. Jedna to macierz kowarianci lub korelaci, a druga to tabela współczynników głównych składowych na podstawie wybrane macierzy. Tworzy ona listę wektorów własnych (współczynników lub wag) dla każdego nowego PC Zadanie : Wróć do Bilko i ustaw zbiór pasm Littleport TM ako aktywne okno. Wybierz Image, PCA. Ustaw parametry wyściowe,type: 32-bit floating point, zaznacz Covariance matrix ako typ macierzy. Następnie klikni przycisk OK, aby przeprowadzić operacę PCA. Porówna wartości dla pasm #1 do #3 w tabeli macierzy kowarianci do tych wartości, które wyliczyłeś w arkuszu kalkulacynym PCA_macierze.xls. Powinny być identyczne! Spórz na tabelę współczynników PC. Pokazuę ona listę wag/współczynników dla każdego składnika głównego pasma. Kolumna pc1 est pierwszą wartością własną i mówi akie wagi należy zastosować aby z połączenia sześciu oryginalnych pasm otrzymać pierwsze pasmo składnika głównego. 7 z 11

8 Lekca II Więc: pc1 =-0.169*pasmo# *pasmo# *pasmo# *pasmo *pasmo# *pasmo#7 Dla każdego pasma PC można obliczyć ego wartości własne, co stanowi wartości oryginalne warianci wyliczone dla każdego z nowo powstałych pasm. Suma wartości własnych dla każdego z pasm PC będzie równa zapisowi macierzy kowarianci (= suma warianci oryginalnych pasm). Lub zapisowi macierzy korelaci (gdzie każde pasmo est skutecznie standaryzowane do ednostki warianci tak, aby całkowita warianca w tym przypadku wynosiła 6 = liczba pasm). Zasadniczo PCA przedstawia całkowitą wariancę wśród nowych zdekorelowanych pasm PC. Interpretaca współczynników PC dla macierzy kowarianci W przypadku macierzy kowarianci, aby obliczyć wartości własne pc1 należy pomnożyć współczynniki PC w kolumnie pc1 przez wartości w pierwszym wierszu macierzy kowarianci, zsumować otrzymane wartości, a następnie podzielić przez pc1/pc_band#1 ( pc1/littleport_tm#01), która wynosi -0,169. W celu obliczenia wartości własnych pc2 należy pomnożyć współczynniki PC w kolumnie z wartościami pc2 przez wartości w drugim rzędzie macierzy kowarianci, zsumować otrzymane wartości, a następnie podzielić przez pc2/pc_band#2 ( pc2/littleport_tm#02), która wynosi 0,181 i tak dale. Więc: Wartości własne dla pc1 = (-0.169x x x x x x64.91) / -0,169 Kolenym zadaniem będzie obliczenie wartości własnych dla każdego pasma PC pochodzącego z macierzy kowarianci przy użyciu arkusza PCA_macierze.xls. Dzięki tym wartościom można dowiedzieć się, ile zmienności (odchylenia) w danych zostało skompresowane w każde z grup głównych składników pasm. W Bilko ustaw tabele współczynników głównych składowych ako aktywne okno i klikni Edit, Select All, a następnie przycisk Kopiu (Edit, Copy). Przedź do arkusza Macierz kowarianci ze pliku PCA_macierze.xls, klikni na komórkę A16 i wkle skopiowane dane na asno-niebieskie pole, poniże nagłówka Współczynniki składowych głównych macierzy kowarianci PC. Łatwiesze est mnożenie dwóch wierszy przez siebie aniżeli kolumny przez wiersz. Następnym krokiem będzie przestawienie współczynników PC w dwóch rzędach za pomocą Transpozyci, wykorzystuąc opce Wkle specalnie w programie Excel. 8 z 11

9 Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych W arkuszu Macierz Kowarianci zaznacz komórki B15 do G21. (Powinieneś mieć komórkę "pc1" w lewym górnym rogu, a "0.107" w prawym dolnym rogu ). Klikni przycisk Kopiu, klikni na komórkę A25 w następnym asnoniebieski obszarze poniże, następnie wybierz z menu Edyca, Wkle specalnie. W oknie dialogowym Wkle specalne, zaznacz Transpozyca, a następnie klikni przycisk OK. Każda kolumna współczynników PC zostanie zamieniona w wiersz, a pozostała część arkusza zostanie automatycznie wypełniona, i automatycznie zostaną obliczone wartości własne oraz procent warianci dla każdego z pasm PC. Jeżeli nie zostały wykonane obliczenia winą mogą być kropki. Naciśni Ctrl+F i zmień '.' na ','. Przeanalizu arkusz kalkulacyny i zbada wykorzystywane w nim formuły dzięki, którym powyższe równania zostały wdrożone. Pytanie 6: Jaka est wartość własna dla pierwsze składowe główne (pc1)? Jaki procent całkowite warianci est zawarty w te składowe? Pytanie 7: Ile całkowite warianci z oryginalnych obrazów, est zawartych w pierwszych trzech składowych głównych? Możesz sprawdzić, czy twoe obliczone wartości warianci (i wartości własne) w każdym z pasm PC są poprawne patrząc na histogramy dla PC1, PC2 i PC3, potem wkleić wartości odchyleń standardowych do komórek od M35 do M37, gdzie będą automatycznie podnoszone do kwadratu w celu obliczenia warianci obrazu w komórkach N35 na N37. W Bilko klikni na obraz pc1, który powinien mieć nazwę Littleport_TM pc1. Zaznacz całe zdęcie (np. <Ctrl> +A), a następnie klikni prawym przyciskiem myszy na to zdęcie, wybierz New, HISTOGRAM Dokument i klikni OK aby wyświetlić histogram. Klikni prawym przyciskiem myszy na histogramie i wybierz opcę Names. Poawi się okno dialogowe Names w którym pokazano statystyki obrazu w szarym polu na dole. Przepisz lub przekopiu za pomocą myszy wartości dla odchylenia standardowego (Std. Deviation). Przedź do arkusza Macierz kowarinaci w skoroszycie PCA_macierze.xls i znadź miesca do wkleenia odchylenie standardowego dla pc1, pc2 oraz pc3 (znaduę się ono w prawym dolnym rogu arkusza). Wstaw wartość pc1 w komórkę M35 [eżeli istnieą problemy z wkleeniem, to prawdopodobnie ze względu na obecność spaci, więc spróbu skopiować wartość ponownie]. Warianca est automatycznie obliczana w komórce N35 i powinna być równa wartościom własnym (mogą wystąpić niewielkie różnice wynikaące z zaokrągleń błędów w danych weściowych). 9 z 11

10 Lekca II Powtórz procedurę dla drugie (pc2) i trzecie (pc3) główne składowe pasm. Sprawdź, czy obliczone wartości własne są poprawne. Na koniec lekci zobaczysz wpływ PCA na korelacę między poszczególnymi głównymi składowymi pasm. Wcześnie zostało pokazane, że kilka oryginalnych pasm było ściśle skorelowane i dlatego, było dużo zbędnych informaci (tzw. redundant information). Te informace mogą zostać usunięte właśnie dzięki metodzie głównych składowych (PCA). Główne składowe pasm powinny być całkowicie nieskorelowane. Możemy to sprawdzić, patrząc na wykresy rozrzutu dla PC. Połącz zdęcia pc1 oraz pc2 (zaznacz opcę Stacked), zaznacz całość i wyświetl ich wykres rozrzutu korzystaąc z menu File, New, SCATTER document. Pytanie 8: Jaki est korelaca pomiędzy pasmami pc1 oraz pc2? Możesz też sprawdzić, czy podobny est poziom korelaci między pc1 i pc3, lub pc2 i pc3. Po zakończeniu zamkni (bez zapisywania) wszystkie pasma PC i ich histogramy lub wykresy rozrzutu, zamkni macierze kowarianci i współczynników PC, ale pozostaw otwarty oryginalny zbiór obrazów Littleport TM. Gratulace! Pomyślnie posortowałeś macierze kowarianci i ich współczynniki PC. Na zakończenie lekci będziemy oglądać macierz korelaci i e współczynniki PC. Interpretaca współczynników PC dla macierzy korelaci: Wróć do Bilko i ustaw zbiór pasm Littleport TM ako aktywne okno. Wybierz Image, PCA. Ustaw parametry wyściowe,type: 32-bit floating point, zaznacz Correlation matrix ako typ macierzy. Następnie klikni przycisk OK, aby dokonać analizy głównych składowych (PCA). Przedź do arkusza Macierz Korelaci w skoroszycie PCA_macierze.xls i porówna wartości pasm od #1 do #3 w tabeli Macierz korelaci. Wartości które obliczyłeś powinny być identyczne! Następnie spórzmy na tabelę współczynników PC. Zawiera ona wagi/współczynniki dla każde główne składowe. Kolumna pc1 est pierwszym wektorem i zawiera informacę akie wagi zastosować, aby łącząc sześć oryginalnych pasm otrzymać pierwszą główną składową pasma. Dla macierzy korelaci otrzymuemy: 10 z 11

11 Macierze kowarianci i korelaci. Metoda składowych głównych PC1 = 0.898xpasmo# xpasmo# xpasmo# xpasmo xpasmo# xpasmo#7 Znadowanie wartości własnych est prostsze dla macierzy korelaci niż dla macierzy kowarianci. Jeśli zsumuesz kwadraty współczynników dla każde główne składowe, otrzymasz wartość własną dla te składowe. Procent zmienności dla każdego głównego składnika oblicza się poprzez podzielenie wartości własne przez sumę wartości własnych dla wszystkich sześciu pasm (t ). Można to łatwo zrobić w arkuszu kalkulacynym. W Bilko zaznacz ako aktywną tabelę współczynników PC. Klikni Edit, Select All, a następnie klikni przycisk Kopiu. Przenieś się do arkusza Macierz Korelaci w skoroszycie PCA_macierze.xls. Zaznacz komórkę A16 i wkle skopiowane dane do asnoniebieskiego pola poniże nagłówka Współczynniki składowych głównych macierzy korelaci PC. Wartości współczynników głównych składowych zostały automatycznie podniesione do kwadratu i znaduą się w tabeli Kwadraty współczynników głównych PC dla macierzy korelaci. Właśnie te zsumowane wartości daą wartości własne dla każdego pasma PC. Procent całkowite ustandaryzwane warianci i procent warianci skumulowane są wyświetlone poniże. Przeanalizu użyte formuły aby zrozumieć w aki sposób zostało to policzone. Pytanie 9: Jaki % całkowite warianci est zaliczony do pierwsze główne składowe? Jaki % całkowite warianci zawiera się w nabardzie zmiennym z oryginalnych pasm. Pytanie 10: Ile całkowite zmienności est zawarte w 3 pierwszych składowych głównych pochodzących z macierzy korelaci? Przed zakończeniem lekci należy sporzeć na kompozycę barwną złożoną na podstawie pierwszych 3 głównych składowych. Aby to zrobić, należy połączyć pierwsze trzy PC ako zestaw (Image, Connect) i wyświetlić ako kompozycę barwną, klikaąc prawym klawiszem w zbiór i wybierz opcę Composite (uprzednio wybierz w Selector pasmo 1 ako 1, 2 ako 2 i 3 ako 3). Następnie zaznacz całość (<Ctrl> + A) i wykona wyrównanie histogramu w celu optymalizaci ich wyświetlania. Z ponad 95% całkowite warianci zawarte w 3 głównych składnikach, możesz zobaczyć różne rodzae pól bardzo wyraźnie. Po zakończeniu zamkni wszystkie okna. 11 z 11