Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1
|
|
- Sabina Romanowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Paweª Gªadki Uªamki ªa«cuchowe Wst p W numerze /989 miesi cznika "Mªody Technik"w dziale "ROzmaito±ci MAtematyczne" Michaª Szurek zaprezentowaª nast puj ce zadanie z egzaminów wst pnych do szkóª ±rednich: Która z liczb: i jest wi ksza? Zadanie mo»na rozwi za na wiele sposobów; "fool proof" polega na tym,»eby zamieni powy»sze liczby na "normalne" uªamki 3 8 i 8 i (najlepiej za pomoc kalkulatora...) porówna takie dwie liczby. Mo»na oczywi±cie pro±ciej: postawienie mniejszej liczby w mianowniku zwi ksza uªamek, a poniewa» ka»dy z widocznych uªamków ma 4 pi tra w mianowniku, pocz tkowy zwrot nierówno±ci 2 < 3 zmieni si czterokrotnie... Takie pi trowe uªamki nazywamy ªa«cuchowymi. Uwa»a si,»e pierwszy wprowadziª je matematyk wªoski Rafael Bombelli ( ). Prace nad teori uªamków ªa«cuchowych zapocz tkowaª w XVII w. matematyk wªoski Pietro Antonio Cataldi ( ), a do rozwoju teorii przyczynili si matematycy angielscy John Wallis (66-703) i William Brouckner ( ), matematyk holenderski Christian Huygens ( ), matematyk szwajcarski Leonhard Euler ( ), matematyk niemiecki Johann Heinrich Lambert ( ), matematycy francuscy Joseph Louis de Lagrange (736-83) i Adrien Marie Legendre ( ) oraz matematk holenderski Thomas Joannes Stieltjes ( ). Zajmijmy si niektórymi ich wªasno±ciami. 2 Redukty, twierdzenie o reduktach; liczby k, twierdzenie "o deltach"; rozwijanie liczb wymiernych na uªamki ci gªe normalne. Rozwa»my uªamek: a 0 + a + ; a 0 2 R; a ; : : : ; a n 2 R + (2.) a 2+ + an Referat wygªoszony na spotkaniu Koªa Naukowego Matematyków przy Uniwersytecie l skim w dniu 7.IX.2000r.
2 Definicja 2. Redukt. Liczb : R k = a 0 + a + a2+ + a k ; k 2f;2; : : : ; ng nazywamy reduktem rz du k uªamka (2). Jako redukt rz du 0 uwa»amy liczb R 0 = a 0. Redunkt rz du n nazywamy warto±ci uªamka ªa«cuchowego. o Poªó»my: P 0 = a 0, Q 0 = P = a 0 a +, Q = a P k = P k a k + P k 2, Q k = Q k a k + Q k 2 Twierdzenie 2. (o reduktach) R k = P k Q k, k 2f0;; : : : ; ng D o w ó d :. (pocz tek indukcji): R 0 = a 0 = a0 = Q P0 0, R = a 0 + a = a0a+ a 2. (krok indukcyjny): = P Q 2.. (zaª.) R m = P m Qm 2.2. R m+ = P m+ Q m+ (?) Pm am+pm R m = Q m a m+q m równo± powy»sza pozostaje prawdziwa, gdy zast pimy po obu stronach a m przez a m + a m+, (a m+ > 0) 2.5. R m+ = P m (a m + a m+ )+P m 2 Q m (a m+ a m+ )+Q m 2 = P m+ Q m+ QED Program 2. Obliczanie warto±ci uªamka ªa«cuchowego 0 Obliczanie wartosci ulamka lancuchowego 20 input ''Ile bedzie mianownikow?''; n 30 dim b(n-) 40 for i=0 to n- 50 b(i) = 0 60 next i 70 input ''Czesc calkowita =''; b 80 for i= to n- 90 input ''Podaj kolejny mianownik''; m 00 b(i) = m 0 next i 20 p=; q=0; p2=b; q2=i 2 (Pm am+pm 2)am++Pm (Q m a m+q m 2)a m++q m = Q Pmam++Pm ma m++q m =
3 30 for i=0 to n- 40 p=p2*b(i)+p; q = q2*b(i)+q 50 p=p2; q=q2; p2=0; q2=0 60 next i 70 print ''Wynik:'';p;''/'';q 80 end Definicja 2.2 Liczby k : k = P k Q k Twierdzenie 2.2 (o "deltach") k = ( ) k Q k P k, k 2f;2; : : : ; ng o D o w ó d :. (pocz tek indukcji): = P 0 Q Q 0 P = a 0 a a 0 a = = ( ) 2. (krok indukcyjny): 2.. (zaª.) m = ( ) m 2.2. m+ = ( ) m+ (?) 2.3. k k, k 2f;2; : : : ; ng poniewa»: k = P k (Q k a k + Q k 2 ) Q k (P k a k + P k 2 ) = P k Q k 2 Q k P k 2 = k 2.4. m+ = m = ( ) m = ( ) m+ QED Definicja 2.3 Uªamek ªa«cuchowy arytmetyczny. Uªamek (2), w którym a 0 jest liczb caªkowit, a a ; a 2 ; : : : ; a n s liczbami naturalnymi, nazywamy uªamkiem ªa«cuchowym arytmetycznym. o Twierdzenie 2.3 Je»eli uªamek (2) jest arytmetyczny, to uªamki: P k Q k, k 2f;2; : : : ; ng s uªamkami nieskracalnymi o naturalnych mianownikach. D o w ó d : P k i Q k b d liczbami catymi, co wynika z ich denicji. Z twierdzenia "o deltach" wynika natomiast,»e s wzgl dnie pierwsze. QED Uwaga 2. Rozwa»my uªamek n 0 n. Na podstawie algorytmu Euklidesa: n 0 = q n + n 2 n = q 2 n 2 + n 3. n k 2 = q k n k + n k n k = q k n k Inaczej: n 0 n = q + n n2 n n 2 = q 2 + n2 n3 3
4 ṅ k 2 n k = q k + n k n k Zatem: = q k n k n k n 0 n = q + q 2 + +q k 2 + q k + q k Algorytm Euklidesa przedstawia wi c metod rozwijania liczby wymiernej na uªamek ci gªy. o Przykªad 2. Rozwiniemy na uªamek ci gªy liczb Kolejne dzielenia daj : = = = = = 4 Jest wi c: 3;459 = 3 + o Uwaga 2.2 Šatwo zauwa»y,»e ka»da liczba wymierna daje co najmniej dwa ró»ne rozwini cia na ªa«cuchowy uªamek algebraiczny. Iststnie, niech: w = a 0 + a + a2+ + an b dzie rozwini ciem otrzymanym z algorytmu Euklidesa. Oczywi±cie a n >, zatem a n 2 N. Ponadto: a n = a n + Zatem mamy drugie rozwini cie: w = a 0 + a + a2+ + (an )+ o Definicja 2.4 Rozwini cie normalne. Rozwini cie, w którym ostatni mianownik a n jest wi kszy od jedno±ci, nazywamy rozwini ciem normalnym. o Twierdzenie 2.4 Ka»da liczba wymierna daje dokªadnie jedno rozwini cie normalne na uªamek ªa«cuchowy arytmetyczny. 4
5 D o w ó d :. Ustalmy w = a 0 + a + a2+ + an 2. x k := a k + a k+ + a k an, k 2f0;; : : : ; ng 3. x k > a k, k 2f0;; : : : ; n g, x n = a n 4. x k >, k 2f0;; : : : ; ng 5. x k = a k + x k+, k 2f0;; : : : ; n g 6. a k < x k < a k +, k 2f0;; : : : ; n g 7. a k = [x k ], k 2f0;; : : : ; n 8. x k = [x k ] + x k+, k 2f0;; : : : ; n 9. x k+ = x k [x k ], k 2f0;; : : : ; n g 0. Liczby x k, k 2f;2; : : : ; ng s zatem wyznaczone jednoznacznie przez x 0. QED Program 2.2 Rozkªad liczby wymiernej na uªamek ªa«cuchowy. 20 Rozklad liczby wymiernej na ulamek lancuchowy 220 input ''Licznik='';l 230 input ''Mianownik='';m 240 y= 250 o=int(l/m); r = l-o*m 260 if y= then print ''Czesc calkowita='';o 270 if y=0 then print ''Kolejny mianownik='';o 280 y=o 290 if r=o then print ''koniec''; goto l=m; m=r; goto end Uwaga 2.3 Dowód twierdzenia 2.4. dostarcza inn ni» algorytm Euklidesa metod wyznaczania rozkªadu liczby wymiernej na uªamek ªa«cuchowy. o Przykªad 2.2 (rozwi zywanie równa«nieoznaczonych) Niech: ax + by = ; a; b2znf0g (2.2) Rozwi zanie tego równania sprowadza si do wyznaczenia jednego rozwi zania typu (2.2) (zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Rozwi«my liczb a b na uªamek ªa«cuchowy ( a b jest nieskracalne, co wynika z faktu,»e równanie (2.2) ma by rozwi zane w liczbach caªkowitych). Niech P n Q n oraz P n Q n b d przedostatnim i ostatnim reduktem tego rozwini cia. Jest: 5 g
6 P n Q n = a b Zatem, wobec nieskracalno±ci tych uªamków: Z twierdzenia "o deltach": P n =a, Q n =b P n Q n Q n P n = ( ) n Zatem: ( ) n P n b ( ) n Q n a = St d otrzymujemy rozwi zanie (2.2): x = ( ) n Q n, y = ( ) n P n o Przykªad 2.3 Chcemy rozwi za równanie nieoznaczone: 96x + 65y = Mamy: = = 3 St d: = + Zatem n = 3. Ponadto: P = 3, Q = 2 P 2 = 3, Q 2 = 2 i przeto: Istotnie: x = ( ) 3 Q 2 = 2, y = ( ) 3 P 2 = = o 3 Rozwijanie liczb niewymiernych na uªamek ªa«cuchowy; prawo najlepszego przybli»enia. Zachowujemy wszystkie oznaczenia z poprzedniego paragrafu. 6
7 Uwaga 3. Algorytm poznany w dowodzie twierdzenia 2.4 do rozwijania liczb wymiernych na uªamek ªa«cuchowy, dobry jest te» dla liczb niewymiernych: x 0 w, a 0 = [x 0 ] i je»eli a 0 6= x 0 to wyznaczamu dalej: x = x 0 a 0, a = [x ] i je»eli a 6= x to wyznaczamu dalej: a, a 2 = [x 2 ] i je»eli a 2 6= x 2 to wyznaczamu dalej: x 2 = x. W tym przypadku algorytm staje si niesko«czony. Istotnie, przypu± my, i» istnieje n 2 N takie,»e a n = x n. Wówczas: w = x 0 = a 0 + a + + an zatem w 2 Q wbrew zaªo»eniu. o Twierdzenie 3. Niech w 2 RnQ. Wówczas lim n! R n = x 0. D o w ó d :. x = x 0 a 0, x 2 = x a, : : :, x n = x n a n 2. x 0 = a 0 + x, x = a + x 2, : : :, x n = a n + x n 3. x 0 = a 0 + a + + an + xn 4. x 0 = Pn xn+pn 2 Q n x n+q n 2, R n = 5. x 0 = P nx n+ +P n Q n x n+ +Q n 6. x 0 R n = Pnxn++Pn Q nx n++q n P n, R n = a 0 + a + + an + an Pn an+pn 2 Q n a n+q n 2 Q n = Pn Qn Qn Pn (Q nx n++q n)q n = ( ) n (Q nx n++q n)q n 7. x n+ > a n+ 8. jx 0 R n j < (Q na n++q n)q n = Q n+q n 9. Q k k, k 2 N 9.. (pocz tek indukcji): Q = a 2 N 9.2. (krok indukcyjny): (zaª.) Q n n Q n+ n + (?) Q n+ = Q n a n+ + Q n Q n + n + 0. jx 0 R n j < n(n+) QED Uwaga 3.2 Ka»dy nast pny redukt daje lepsze przybli»enie dla liczby x 0, ni» redukt poprzedzaj cy. D o w ó d : 7
8 . x 0 = P nx n+ +P n Q n x n+ +Q n, R n = P n a n +P n 2 Q n a n +Q n 2 2. x 0 R n = P nx n+ +P n Q n x n+ +Q n P n Q n = P n Q n Q n P n (Q n x n+ +Q n )Q n = ( ) n (Q n x n+ +Q n )Q n 3. a n+ = [x n+ ] > x n+ ) x n+ < a n+ +, 2 a n+2 4. jx 0 R n j > (Q n(a n++)+q n )Q n = (Q n+ +Q n )Q n+ 5. Q n+ = Q n a n+ + Q n Q n 6. jx 0 R n+ j < jx 0 R n j QED (Q n++q n)q n,jx 0 R n+ j < (Q n+a n+2+q n)q n+ Twierdzenie 3.2 (prawo najlepszego przybli»enia) Je»eli liczba wymierna r s, s > 0 przedstawia lepsze przybli»enie liczby x 0 ni» redikt R n, n, to mianownik s tej liczby jest wi kszy od mianownika reduktu R n D o w ó d :. (zaª.) jx 0 r s j <jx 0 R n j 2. (jx 0 R n j) n2n jest ci giem malej cym do zera 3. istnieje k 2 N: jx 0 R k j >jx 0 r s j jx 0 R k+ j 4. ustalmy k n 5. rozwa»my dwa przypadki o k parzyste 5.. x 0 R k > 0, x 0 R k+ < 0 wobec punktu 2. dowodu uwagi x 0 R k >jx 0 r s j R k+ x x 0 R k > x 0 r s (R k+ x 0 ) 5.4. R k < r s R k+ 2 o k nieparzyste 5.. x 0 R k < 0, x 0 R k+ > 0 wobec punktu 2. dowodu uwagi R k x 0 >j r s x 0 j x 0 R k R k x 0 > r s x 0 (x 0 R k+ ) 5.4. R k > r s R k+ 6. j r s R k j jr k R k+ j 7. R k R k+ = P k P k+ Q k Q k+ = P kq k+ Q k P k+ Q k Q k+ = ( Q )k+ k Q k+ 8. j r s R k j Q k Q k+ 9. rq k sp k 2 Znf0g 8
9 9.. (hip.) rq k sq k = r s = P k Q k = R k 9.3. jx 0 R k j = jx 0 r s j - sprzeczno± wobec punktu j r s R k j = j r P k s Q k j = jrq k. Q k Q k+ sq k 2. s Q k+ 3. Q k+ = Q k a k+ + Q k > Q k 4. s > Q k 5. s > Q n wobec punktu 4. QED sp k j sq k sq k Twierdzenie 3.3 Ka»da liczba niewymierna daje jedno i tylko jedno rozwini cie na uªamek ªa«cuchowy niesko«czony. Umowa notacyjna: Niech a 0 ; a ; : : : oznacza ci g niesko«czony, a 0 2 Z, a i 2 N, i. Poªó»my: R n = a 0 + a + +, n2n an Je»eli lim n! R n = x, to piszemy: x = a 0 + a + a2+ o D o w ó d t w i e r d z e n i a 3. 3 :. Wystarczy pokaza,»e je»eli zachodzi rozwini cie (2), to liczby a n mog by wyznaczone wedªug algorytmu z dowodu twierdzenia niech x = a 0 + a + a2+, a 0 2 Z, a i 2 N, i 3. R n = a 0 + a + a2+ + an 4. R n+ = a 0 + R0 n 5. R0 n = R n+ a 0 6. R0 n a + a 2 7. R n+ a 0 + a + a2 8. x a 0 + a + a2 9. x > a 0, R0 n = a + 9 a 2 + a3+ + a n+
10 0. lim n! R n+ = x. lim n!(r n+ a 0 ) = x a 0 2. lim n! R0 n = x = x a 0 3. x = a + a 2 + a3+ 4. rozumuj c analogicznie: x > a 5. x > 6. x a 0 > 7. x < a a 0 < x < a a 0 = [x] 20. Rozumuj c analogicznie znale¹liby±my a = [x ]. Kªad c x 2 = x a b dziemy mieli rozwini cie na uªamek niesko«czony: x 2 = a 2 + a 3 + a4+ oraz znowu a 2 = [x 2 ]. Rozszerzaj c indukcyjnie powy»sze rozumowanie na dowolne n 2 N, kªad c: mamy a n = [x n ]. QED x n = x n a n 4 Niewymierno±ci stopnia 2; twierdzenie Lagrange'a. Zachowujemy wszystkie oznaczenia z poprzednich paragrafów. Definicja 4. Niewymierno± drugiego stopnia. Niewymierno±ci drugiego stopnia nazywamy liczb niewymiern, speªniaj c równanie drugiego stopnia o wspóªczynnikach caªkowitych. o Twierdzenie 4. (Lagrange'a) Ka»da niewymierno± drugiego stopnia rozwija si na uªamek ªa«cuchowy okresowy. D o w ó d :. Niech x oznacza liczb rzeczywist niewymiern, speªniaj c równanie: Ax 2 + Bx + c = 0, A; B; C 2 Z, A 6= 0, B 2 4AC > 0 0
11 2. x = a 0 + a + a2+, R n = P n Q n, x = x a 0, x 2 = x a, : : : Pn xn+pn 2 3. x = Q n x n+q n 2,jx R n j < Q n Q n,jx R n 2 j < Q n 2Q n (porównaj te» dowód twierdzenia 3..) 4. n 2 : j P n Q n xj < Q 2 n, j P n 2 Q n 2 xj < Q n 2 Q n 5. P n Q n x = Q 2 n, P n 2 Q n 2 x = Q n 2 Q n 6. jj <, jj < 7. Zdeniujmy: A n := AP 2 n + BP n Q n + CQ 2 n B n := 2AP n P n 2 + B(P n Q n 2 + Q n P n 2 ) + 2CQ n Q n 2 C n := AP 2 n 2 + BP n 2 Q n 2 + CQ 2 n 2 8. A n x 2 n + B n x n + C n = 0 wobec punktów., 3. i Równo± powy»sza nie jest to»samo±ci x n, gdy» A n 6= 0. Gdyby A n = 0, to wobec punktu 7. (po podzieleniu pierwszej równo±ci przez Q 2 n ) wynikay,»e R n jest wymiernym pierwiastkiem równania z punktu. 0. P n = xq n + Q n wobec punktu 5.. A n = A(xQ n + Q n ) 2 + B(xQ n + Bx + C)Q 2 n + (2Ax + B) + A 2 Q 2 n Q n )Q n + CQ 2 n = (Ax 2 + wobec punktu ja n j < j2axj +jaj +jbj wobec punktów., 6. i faktu,»e Q n 2 N 3. C n = A n, n wobec punktu jc n j < j2axj +jaj = jbj 5. P n = xq n + Q n, P n 2 = xq n 2 + Q n 6. B n = 2A(xQ n + Q n )(xq n 2 + Q n ) + B(xQ n + Q n )Q n 2 + BQ n (xq n 2 + Q n ) + 2CQ n Q n 2 = 2(Ax 2 + Bx + C)Q n Q n 2 + (2Ax + B)( Q n 2 Q n + ) + 2A Q wobec punktu 7. 2 n 7. jb n j < 2(j2Axj+jAj+jBj) wobec punktów., 6. i faktu,»e Q n 2 Q n za± Q n > 8. M := j2axj +jaj +jbj 9. n 2 : ja n j < M, jb n j < 2M, jc n j < M wobec punktów 2., 4. i A n ; B n ; C n 2 Z, zatem ró»nych liczb caªkowitych speªniaj cych powy»sze nierówno±ci jest sko«czona liczba.
12 2. Sko«czona jest te» liczba ró»nych x n, dla których speªniona jest równo± z punktu W ci gu wszystkich (x n ) n2n liczba ró»nych warto±ci x n jest sko«czona. 23. W p;q;q>p : x p = x q 24. a p = a q 25. x p+ = x p a p, x q+ = x q a q zatem x p+ = x q+ 26. s := q p 27. Poprzez indukcj otrzymujemy: a n+s = a n, n p co dowodzi, i» rozwini cie x na uªamek ªa«cuchowy jest okresowe. QED Algorytm 4. Rozwa»my równanie: Ax 2 + 2Bx + C = 0, A; B; C 2 Z, NWD(A; B; C) =, A > 0 Kªadziemy: p H = [ B 2 AC], E 0 =A, F 0 = B obieraj c znak + lub zale»nie od tego, czy rozwijamy wi kszy, czy te» mniejszy pierwiastek uwa»anego równania; dalej wyznaczamy liczby a n, E n, F n kolejno ze wzorów: a n = [ F n +H E n ], F n = a n E n F n, E n = D F n 2 E n gdzie D = B 2 AC. B dzie: x = a 0 + a + a2+ Lemat 4. [ z k] = [ [z] k ], z 2 R, k 2 N D o w ó d :. ( ).. [z] z.2. [z] k < k z.3. [ [z] k ] < [ k] z 2. ( ) 2.. u [u] < 2
13 2.2. [z] k [ [z] k ] < 2.3. [z] < k[ [z] k ] + k 2.4. [z] k[ [z] k ] + k 2.5. z < [z] z < k[ [z] k ] + k 2.7. k z < [[z] k ] [ k] z [ [z] k ] QED D o w ó d p o p r a w n o ± c i a l g o r y t m u :. Rozwa»my Ax 2 + 2Bx + C = 0, A; B; C 2 Z, NWD(A; B; C) =, A > 0 2. x = Bp D A, D = B 2 AC, D > 0 3. x = B+p D A 4. E 0 :=A, F 0 := B, G 0 :=C 5. x = p F 0+ D E 0, E 0 ; F 0 ; G 0 2 Z, E 0 6= 0, F0 2 E 0 G 0 = D > 0 6. a 0 := [x], x : x = a 0 + x 7. x = x a 0 = E 0 p = p E 0(a 0 E 0 F 0 + D) F 0 a 0E 0+ D D (a 0E 0 F 0) 2 8. F := a 0 E 0 F 0, E := D F 2 E 0, G := E 0 9. E 6= 0, bo p D jest niewymierny 0. E = D (a 0E 0 F 0 ) 2 E 0 = D F 2 0 E 0 a 2 0F 0 + 2a 0 F 0 = G 0 a 2 0E 0 + 2a 0 F 0. x = F+p D E, E ; F ; G 2 Z, F 2 E G = D 2. Ogólnie, rozumuj c indukcyjnie, je±li zaªo»ymy,»e przy pewnym n zachodz wzory: Fn 2 E n G n = D, x n = Fn+p D E n, E n ; F n ; G n 2 Z, E n 6= 0 to wyznaczaj c ze wzorów: a n := [x n ], F n+ := a n E n F n, E n+ := D F n+ 2 E n, G n+:= En b dziemy mieli: F 2 n+ E n+ G n+ = D, x n+ = Fn++p D E n+, E n+ ; F n+ ; G n+ 2 Z, E n+ 6= 0 3
14 3. a n = [ F n+ p D E n ] 4. z lematu: p a n = [ Fn+[p D] E n ] 5. H := [ D] 6. a n = [ F n+h E n ] QED Umowa notacyjna: Rozwini cie (2) piszemy: x = (a 0 ; a ; a 2 ; : : : ; a p ; a p ; : : : ; a p+s ) pisz c kresk nad wyrazami tworz cymi okres. o Przykªad p 4. 9x 2 6x = 0 H = [ 8] = 4, E 0 = 9, F 0 = 3 a ] = 0, F = = 3, E = = a 3+4 ] =, F 2 = +3 = 4, E 2 = 8 6 = 2 a , F , E a 3 = [ 4+4 ] = 8, F 4 = 8 4 = 4, E 4 = 8 6 = 2 Jest wi c: x = (0;;4;8) o Twierdzenie 4.2 (odwrotne do twierdzenia Lagrange'a) Ka»dy uªamek ªa«cuchowy mo»e by wyra»ony jako rozwini cie pewnej niewymierno±ci drugiego stopnia. D o w ó d :. (przypadek, kiedy uwa»any uªamek daje okres czysty).. a 0 + a + a2+.2. istnieje s2n : a n+s = a n, n 2f0;;2; : : :g.3. R n := a 0 + a + a2+ + an.4. R n+s := a 0 + a + a2+ +as + Rn Uwaga: Zaªó»my,»e R n! x.5. x := lim n! R n.6. x > 0, bo a 0 = a s 2 N.7. x = lim n! R n = lim n! R n+s = Ps Rn+Ps 2 Q s R n+q s 2.8. x = P s x+p s 2 Q s x+q s 2.9. x jest dodatnim pierwiastkiem równania: Q s x 2 + (Q s 2 P s )x P s 2 = 0 4
15 .0. Drugi pierwiastek x0 jest ujemny, gdy» Qs i P s 2 s przeciwnych znaków. Poka»emy,»e dodatni pierwiastek równania z punktu.9. daje rozwini cie na uªamek ªa«cuchowy z punktu.... x = a 0 + a + = a 0 + a2+ +as + x a + = a2+ +as + a0+ +as a 0 + a + a2+ +a2s + x.2. Ogólnie: x = a 0 + a + a2+ +a ks.3. x = P ks x+p ks 2 Q ks x+q V ks jx R ks j = j P ks x+p ks 2 P ks Q ks x+q ks 2 Q ks 2 j = j.5. jx R ks j < dla dostatecznie du»ych k, powiedzmy k n2nw k2n k > oraz ks > n.7. := a n+ + a n+2 + a n a ks.8. R ks = P n+q n Q n +Q n.9. + x (Q ks x+q ks 2 )Q ks j.20. jr ks R n j = (Q n+q n )Q n < Q 2 n.2. jx R n j jx R ks j +jr ks R s j < Q 2 n + 2. (przypadek, gdy uªamek jest okresowy o okresie nieczystym, rozpoczynaj cym si od a k ) 2.. a 0 + a + a a k + a k+ + a k+2 + ma okres czysty 2.3. R0 n := a k + a k+ + a k an 2.4. := lim n! R0 n 2.5. jest pierwiastkiem dodatnim pewnego równania stopnia 2 o wspóªczynnikach caªkowitych; A 2 + B + C = R n = a 0 + a + a2+ +a k + R0 n k 2.7. R n = P k R 0 n k+p k 2 Q k R0 n k +Q k lim n! R n = x = P k +P k 2 Q k +Q k x
16 2.9. (Q k x 2.0. Q k x P k ) = P k 2 P k 6= 0 Q k 2 x (hip.) Q k x P k = P k 2 Q k 2 x = 0 P k Q k = P k Q k sprzeczno± 2.. = P k 2 Q k 2 x Q k x P k 2.2. A(P k 2 Q k 2 x) 2 +B(P k 2 P k ) 2 = 0 Q k 2 x)(q k x P k )+C(Q k x 2.3. Równanie powy»sze nie jest to»samo±ci x (hip.) wspóªczynnik przy x 2 jest AQ 2 k 2 BQ k Q k 2 + CQ 2 k = 0 - sprzeczno± 2.4. Dowiedli±my wi c,»e liczba x speªnia pewne równanie o wspóªczynnikach caªkowitych, a poniewa» x = lim n!, wi c x jest warto±ci uªamka ªa«cuchowego z punktu 2.. QED Uwaga 4. Punkty dowodu powy»szego twierdzenia daj praktyczn metod wyznaczania warto±ci uªamka ªa«cuchowego o okresie czystym. Przykªadowo chcemy znale¹ warto± uªamka o o rozwini ciu: Mamy: a + b+ a+ b+ s = 2, P s 2 = P 0 = a, Q s 2 = Q 0 =, P s = P = ab +, Q s I otrzymujemy równanie: bx 2 abx a = 0 które posiada pierwiastek dodatni: Na przykªad dla a = 2 i b = mamy: 2 + Sk d w szczególno±ci: x = ab+p a 2 b 2 +4ab 2b p 3 = (;;2) = + p 3 = Q = b 6
17 Bibliograa [] Michaª Szurek, Uªamki ªa«cuchowe, Mªody Technik, /989 [2] Wacªaw Sierpi«ski, Teoria liczb, Wydawnictwo Kasy im. Mianowskiego Instytutu Popierania Polskiej Twórczo±ci Naukowej, Warszawa 925 [3] Wacªaw Sierpi«ski, Arytmetyka teoretyczna, Biblioteka Matematyczna tom 7, PWN, Warszawa 959 [4] Andrzej Grzegorczyk, Zarys arytmetyki teoretycznej, Biblioteka Matematyczna tom 39, PWN, Warszawa 97 7
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoWielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoRównanie Pella Sławomir Cynk
Równanie Pella Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku John Pell ur. 1 marca 1611 w Southwick, Sussex, Anglia zm. 12 grudnia 1685 w Londynie. Matematyk oraz astronom brytyjski, podobno główny (współ-)autor
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoHotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoPrzetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Laboratorium 1 - wst p do C# Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 17 Czego mo»na oczekiwa wzgl dem programowania w C# na tych laboratoriach? Dawid Poªap Przetwarzanie
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoZbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoVincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoCzy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Bardziej szczegółowoWst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Bardziej szczegółowoZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoDokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python
Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python Marcin Ciura Zakªad Oprogramowania 28 marca 2007 Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca 2007 1 / 24
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e ,
Zadanie 1 Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e Eµ A 0, 02, Eµ 2 A 0, 0175, V arµ A 171 10 4, Eµ B 0, 135, Eµ 2 B 0, 02275, V arµ B 181 4 10 4, Eµ A µ B 0,
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoInterpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoMaksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoNiezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej
Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoLiczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoStrategie zabezpieczaj ce
04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech
Bardziej szczegółowoALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów
ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowopunkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:
5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoWielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowo