SYSTEMY HYBRYDOWE INTEGRUJ CE MES I SSN W ANALIZIE WYBRANYCH PROBLEMÓW MECHANIKI KONSTRUKCJI I MATERIA ÓW

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "SYSTEMY HYBRYDOWE INTEGRUJ CE MES I SSN W ANALIZIE WYBRANYCH PROBLEMÓW MECHANIKI KONSTRUKCJI I MATERIA ÓW"

Transkrypt

1 Zam. 25/2009 Nak³ad 180 strona 1 (tytu³owa) POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Koœciuszki EWA PABISEK SYSTEMY HYBRYDOWE INTEGRUJ CE MES I SSN W ANALIZIE WYBRANYCH PROBLEMÓW MECHANIKI KONSTRUKCJI I MATERIA ÓW MONOGRAFIA 369 SERIA IN YNIERIA L DOWA KRAKÓW 2008

2 strona 2 (redakcyjna) PRZEWODNICZ CY KOLEGIUM REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ Jan Kazior PRZEWODNICZ CY KOLEGIUM REDAKCYJNEGO WYDAWNICTW NAUKOWYCH Józef Nizio³ REDAKTOR SERII Marek Piekarczyk REDAKTOR NAUKOWY Zenon Waszczyszyn RECENZENCI Marek Lefik, Leonard Ziemiañski SEKRETARZ SEKCJI i OPRACOWANIE REDAKCYJNE Magdalena Sarkowicz PROJEKT OK ADKI Jadwiga M¹czka Copyright by Politechnika Krakowska, Kraków 2008 Copyright by Ewa Pabisek, Kraków 2008 ISSN X Wydawnictwo PK, ul. Skar yñskiego 1, Kraków; tel./fax: pk.edu.pl Adres do korespondencji: ul. Warszawska 24, Kraków Druk i oprawê wykonano w Dziale Poligrafii Politechniki Krakowskiej. Ark. wyd. 9. Podpisano do druku r. Zam. 25/2009 Nak³ad 180 egz. Cena z³ 25,00

3 Spis treści Rozdział 1. Wstęp Wprowadzenie Cele, ogólne założenia i zarys pracy Treść pracy Przyjęte oznaczenia Rozdział 2. Systemy hybrydowe Wprowadzenie Kategorie integracji systemów hybrydowych Stopień integracji komponentów Struktura technik integracji komponentów Tryb integracji komponentów Poziom integracji komponentów Sposoby integracji komponentów Zastosowanie systemów hybrydowych w technologiach obliczeniowych konstrukcji Rozdział 3. Podstawy sztucznych sieci neuronowych Czym są sztuczne sieci neuronowe? Rys historyczny sieci neuronowych Model sztucznego neuronu Sieci jednokierunkowe ze wsteczną propagacja błędu Uwagi ogólne Uczenie sieci neuronowej typu SWPB Inne metody uczenia Definicje podstawowych błędów Problemy projektowania sieci neuronowych Sieci rekurencyjne Hopfielda Dyskretna sieć Hopfielda

4 Ciągły model Hopfielda-Tanka Rozdział 4. Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji Wprowadzenie Analiza płaskiego stanu naprężenia w zakresie sprężysto-plastycznym Wprowadzenie Równania konstytutywne sprężysto-plastyczne dla płaskiego stanu naprężeń Algorytm całkowania sprężysto-plastycznych związków konstytutywnych Symulacja algorytmu RMA za pomoca SWPB Przygotowanie zbiorów wzorców uczących i testujacych SWPB Formułowanie SWPB na podstawie wzorców obiektywnych Wyniki analizy numerycznej Analiza zginania płyt sprężysto-plastycznych Wprowadzenie Podstawy teorii zginanych płyt w zakresie pozasprężystym Symulacja neuronowa uogólnionego algorytmu RMA Wyniki analizy numerycznej Analiza niezawodności płaskiej ramy stalowej metoda Monte Carlo Wprowadzenie Numeryczna symulacja klasycznej metody Monte Carlo Podstawy teorii nośności granicznej Analiza numeryczna niezawodności płaskiej ramy sprężysto- -plastycznej Podsumowanie Rozdział 5. Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu Wprowadzenie do mechaniki kontaktu Sformułowanie zagadnienia kontaktu z tarciem Zastosowanie AHT do analizy problemów kontaktu Analiza problemów kontaktu z tarciem ciał sprężystych Przykłady numeryczne Analiza problemów kontaktu z tarciem ciał sprężysto-plastycznych Przykłady numeryczne Podsumowanie

5 Spis treści 5 Rozdział 6. Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji za pomoca sieci neuronowych Uwagi ogólne o modelowaniu materiału Zasady opracowywania modeli materiału Zastosowanie sieci neuronowych do modelowania materiałów Algorytmy formułowania neuronowych modeli materiału w trybie on line Identyfikacja materiału w kratownicach płaskich Identyfikacja macierzy konstytutywnej ortotropowego materiału liniowo sprężystego Identyfikacja materiału równoważnego w tarczach sprężysto-plastycznych Płaskie zginanie tarczy wspornikowej Rozciągana tarcza z otworem Płaskie zginanie tarczy z karbem Podsumowanie Rozdział 7. Zakończenie Uwagi ogólne Wnioski końcowe Kierunki dalszych badań Literatura 147 Streszczenia 165

6

7 Rozdział 1 Wstęp 1.1. Wprowadzenie Jednym z podstawowych obiektów inżynierii lądowej jest konstrukcja przenosza- ca obciażenia na podpory. Zasadniczymi czynnikami związanymi ze stanem równowagi konstrukcji są działania (obciażenia) i odpowiedzi (reakcje podpór). Oczywiście taki newtonowski opis można łatwo uogólnić w odniesieniu do układu nośnego, jak też działań i odpowiedzi. Układy nośne są odkształcalnymi ciałami stałymi, stąd istotne znaczenie mają właściwości materiału, z którego są one wykonane. Ze względów poznawczych i aplikacyjnych można formułować różne modele czynników zewnętrznych, układu nośnego, a także materiału. Modele powinny mieć taki poziom złożoności, aby mogły wiarygodnie opisać zjawiska zachodzace w poddanej działaniu konstrukcji i jednocześnie być przydatne w projektowaniu nowych lub analizie istniejacych układów nośnych. Takie wymagania, będące przedmiotem zainteresowania teorii konstrukcji, spełniaja modele układów mechanicznych konstrukcji i materiałów. Są to modele matematyczne, tj. układy równań z warunkami granicznymi i ograniczeniami, których analiza z różnych powodów może być najczęściej prowadzona za pomocą metod numerycznych z wykorzystaniem techniki komputerowej. Dalej takie podejście będzie opierać się na analizie regresji. Regresja należy do kategorii zagadnień, których przedmiotem jest estymacja wartości wyjściowych na podstawie pewnych zmiennych wejściowych. W celu uproszczenia dalszych rozważań przyjęto informatyczny model regresji (por. rys. 1.1a), w którymxjest wektorem wejścia (we = działania), ayjest wektorem wyjścia (wy = odpowiedź). Występujaca w modelu funkcja h(x;m) jest funkcja regresji, której argument M opisuje zbiór parametrów wewnętrznych, modelujacych między innymi materiał konstrukcji. W dalszym ciągu regresja jest rozumiana jako odwzorowanie wartości dyskretnych w ciągłe wyjściewe h wy. Dla skalarnych wartości we i wy

8 8 Rozdział 1 będzie ona realizowana za pomocą funkcjiy=h(x;m), a wyjście w modelu stochastycznym (statystycznym) ma wartość oczekiwanat=y+ε, gdzieεjest błędem obliczeń często trudnym do oszacowania. W modelu deterministycznym przyjmuje sięt y. a) b) x we h(x; M) y=h t Σ wy ε x f(x;m,w) y + Σ e E(e) t Rys Modele regresji: a) model matematyczny, b) model obliczeniowy (SN) Atrybutem modelu obliczeniowego (rys. 1.1b) jest wektor jego parametrów (współczynników) w, definiowany jako macierz jednokolumnowa. Model regresyjny pokazany na rysunku odpowiada modelowi sztucznej sieci neuronowej (SN), w której wagi połączeń synaptycznych są obliczane iteracyjnie, po zastosowaniu paradygmatu minimalizacji funkcji błędue(e), gdzie:e=t y,y=f(x;m,w). Modele regresji pokazane na rys. 1.1, zaczerpniętym z pracy [48], są używane do analizy różnych typów problemów. W tablicy 1.1 przytoczono informatyczne modele regresji, zaproponowane w pracy [142] dla układów mechanicznych (UM), gdzie skróty oznaczaja: dz działanie, od odpowiedź, M parametry UM. Tabela 1.1. Klasyfikacja problemów analizowanych w układach mechanicznych Problemy UM Wejście we Wyjście wy (wektorx) (wektory) 1. Symulacjaod dz od 2. Identyfikacjadz od dz 3. Identyfikacja M dz i od M Problem 1 z tablicy 1.1 należy do zagadnień wprost, w których poszukuje się odpowiedzi modelu na zadane działanie. Problemy 2 i 3 są nazywane odpowiednio problemami identyfikacji brzegowej lub wewnętrznej. Problemy identyfikacji parametrów modelumnależa do zagadnień odwrotnych mechaniki. Parametry M są odtwarzane (rekonstruowane) na podstawie znajomości parametrów opisujacych zarówno działanie, jak i odpowiedź modelu. W pracy posłużono się dwoma modelami obliczeniowymi: 1) MES (metoda elementów skończonych) i 2) SN (sztuczne sieci neuronowe). Metoda elementów skończonych jest metoda dyskretyzacyjna, służac a do rozwiązywania różnorodnych za-

9 Wstęp 9 gadnień mechaniki. Powstała ona w latach pięćdziesiatych ubiegłego wieku i od tego czasu jest powszechnie znaną i używana technika obliczeniowa. Model MES może być stosowany, i jest szczególnie efektywny, w rozwiązywaniu zagadnień wprost, tj. w symulacjach numerycznych. Drugim stosowanym modelem obliczeniowym są sieci neuronowe, które ze względu na swój sposób działania są bardziej efektywne w analizie problemów identyfikacji, por. pracę [182]. Stosowane w pracy przetwarzanie neuronowe jest wykonywane za pomoca dwóch kategorii sieci neuronowych, do których należa: 1) jednokierunkowe sieci warstwowe powszechnie znane jako sieci ze wsteczna propagacja błędu (SWPB) oraz 2) sieci rekurencyjne, których przedstawicielem jest analogowa sieć Hopfielda-Tanka (AHT). Sieci neuronowe typu SWPB charakteryzuja się ściśle jednokierunkowym przepływem sygnałów od wejścia do wyjścia sieci. Można w nich wyróżnić warstwę wejściowa, wyjściowa i warstwy pośrednie (ukryte). Sieci SWPB często są przedstawiane jako uniwersalne aproksymatory zdolne do modelowania przy odpowiedniej liczbie warstw i neuronów funkcji o prawie dowolnej złożoności. Sieci neuronowe wnoszą w modelowaniu nową jakość, wtedy gdy aproksymowana funkcja jest funkcja wielu zmiennych, gdyż w tych przypadkach metody tradycyjne stają się nieefektywne bądź nie mogą być stosowane. Modelowanie za pomoca SWPB polega na poszukiwaniu nieliniowego modelu rozważanego układu za pomoca zadanego zbioru danych bez konieczności wcześniejszego podania założeń dotyczacych struktury modelu. W procesie modelowania korygowana jest siła połączeń (wartości wag sieci neuronowej) między neuronami za pomocą wcześniej wybranych reguł (metod) uczenia. Drugim rodzajem sieci neuronowych, stosowanym w pracy, należacym do klasy sieci rekurencyjnych, jest analogowa sieć Hopfielda-Tanka. Istotna nowościa wnoszona przez sieci rekurencyjne są sprzężenia zwrotne, których sieci SWPB są pozbawione. Na skutek istnienia takich sprzężeń w sieciach rekurencyjnych pojawiaja się nieznane w innych rodzajach sieci przejściowe procesy dynamiczne. Te procesy po pewnym czasie stabilizuja się i sieć osiąga stan równowagi, a sygnały wyjściowe są poszukiwanym rozwiązaniem zadania. Obliczenia wykonywane przez sieci neuronowe należa do grupy obliczeń miękkich, dalej oznaczonych akronimem OM (ang. soft computing). Termin soft computing zaproponował w roku 1991 Zadeh [192], określajac nim wszystkie metody obliczeniowe inspirowane biologicznie. Oprócz sieci neuronowych do grupy OM należa obliczenia wykonywane za pomoca zbiorów i logiki rozmytej, zapoczatkowanej przez Zadeha w roku 1966, a także algorytmy genetyczne i ewolucyjne służace do analizy problemów optymalizacyjnych z bezgradientowymi funkcjami celu. W celu odróżnienia obliczeń miękkich od obliczeń konwencjonalnych Zadeh zaproponował

10 10 Rozdział 1 również termin obliczenia twarde, dalej określane przez OT (ang. hard computing). Metody OT są określane jako niebiologiczne, gdyż wykorzystuja binarna logikę, ostre systemy liczbowe i oparta na nich analizę numeryczna. Klasyczne obliczenia twarde polegaja głównie na wspomaganej komputerowo analizie numerycznej (symulacji), do których należy użyta w pracy metoda elementów skończonych. Charakterystyki technik OT i OM implikuja różną efektywność numeryczna i zastosowanie obu metodologii. Należy jeszcze raz podkreślić, że metody OT (w tym MES) nadaja się szczególnie do symulacji, natomiast metody OM radzą sobie lepiej (niż OT) z problemami identyfikacji czy optymalizacji, por. pracę [169]. Różnice między metodologiami OT i OM zostały zauważone i zastosowane do budowy systemów hybrydowych. Pierwsze prace na temat integracji MES i SN ukazały się w roku 1991, lecz nie znalazły szerszej aprobaty w badaniach naukowych i aplikacjach inżynierskich. Na duże zalety i przyszłość łączenia OT z OM zwracał wielokrotnie uwagę Noor, por. prace [109, 162], wskazujac zastosowania przetwarzania neuronowego oraz systemów hybrydowych do analizy różnych problemów mechaniki konstrukcji i materiałów. Integracja metodologii OT i OM jest wciąż aktualnym problemem badawczym. W ciągu ostatnich kilku lat powstały nowe prace, głównie związane z aktywnościa naukową Ovaski, por. np. pozycję [118], na temat strategii budowania systemów hybrydowych różnorodnie integrujacych komponenty obliczeń miękkich i twardych. W pracach wskazywane są również obszary zastosowania poszczególnych modeli hybrydowych. Należy jednak dodać, że powstajace implementacje wielu struktur hybrydowych dotycza przeważnie aplikacji przemysłowych, por. pracę [119], natomiast formułowane celem symulacji komputerowej systemy hybrydowe integruja ze sobą głównie algorytmy obliczeń twardych. Praca nawiązuje do teorii hybrydowych modeli obliczeniowych, gdyż łączenie metody elementów skończonych i sztucznych sieci neuronowych jest bardzo dobra ilustracja integracji metodologii obliczeń twardych i miękkich. Efektywność zastosowania modelu hybrydowego, charakteryzujacego się bardzo wysokim stopniem integracji komponentów, jest szczególnie widoczna w podejściu on line, użytym do identyfikacji modelu materiału istniejacych konstrukcji. Wydaje się, że przyszłość metod obliczeniowych należy do systemów hybrydowych integrujacych komponenty nie tylko jednej metodologii (np. OT i OT lub OM i OM), ale także do systemów różnorodnie integrujacych komplementarne metody obliczeń twardych i miękkich.

11 Wstęp Cele, ogólne założenia i zarys pracy Celem niniejszej pracy jest opracowanie sformułowań teoretycznych i algorytmów numerycznych pozwalajacych na określenie różnych strategii hybrydowych integrujacych dwie metodologie: metodę elementów skończonych (MES), obliczenia neuronowe (ON) (ang. neuro computing), realizowane za pomoca jednokierunkowych sieci neuronowych oraz sieci rekurencyjnych typu Hopfielda-Tanka oraz ich implementację w jednolitym systemie obliczeniowym zastosowanym do nielinowej analizy konstrukcji. Rozpatrywane w pracy problemy należa do różnych dziedzin mechaniki konstrukcji i materiałów. Analizowane będa następujace zagadnienia: P1 analiza płaskiego stanu naprężenia w zakresie sprężysto-plastycznym, P2 zginanie płyt sprężysto-plastycznych, P3 analiza niezawodności konstrukcji, P4 kontakt ciał odkształcalnych bez uwzględnienia i z uwzględnieniem tarcia, P5 modelowanie materiału ekwiwalentnego, P6 identyfikacja macierzy konstytutywnej materiału ortrotropowego. Stosowanie dwóch różnych metodologii obliczeniowych daje możliwości wyboru odpowiedniej kategorii struktury integracji i co za tym idzie sformułowania najbardziej efektywnego hybrydowego systemu obliczeniowego, dostosowanego do rozpatrywanego zagadnienia. W pracy przyjęto, że rdzeniem opracowywanych systemów hybrydowych będzie system metody elementów skończonych (MES), traktowany jako komponent obliczeń twardych, z którym łączony/integrowany jest jeden z komponentów obliczeń miękkich, tj. obliczenia neuronowe (ON). Integracja MES i ON ma na celu uzupełnienie możliwości obliczeniowych systemu metody elementów skończonych metodologia, która oferuja obliczenia neuronowe realizowane za pomoca różnych typów sieci neuronowych (SN). Formułowane w ten sposób systemy hybrydowe będą charakteryzwać się różnymi stopniami, strukturami, poziomami oraz technikami integracji komponentów obliczeń twardych i miękkich. W dalszej części pracy zostana przedstawione dwie techniki formułowania systemów hybrydowych, a mianowicie technika off line, w której MES i ON są integrowane w fazie projektowania systemu oraz on line, gdzie integracja/dopasowywanie się łączonych komponentów następuje podczas pracy systemu. Każda z wymienionych technik może wpłynąć na stopień oraz strukturę integracji komponentów, a także na zastosowanie opracowanej hybrydy.

12 12 Rozdział 1 Technika off line będa formułowane systemy hybrydowe służace do analizy zagadnień dotyczacych płaskiego stanu naprężenia, zginania płyt, a także niezawodności konstrukcji. Analiza niezawodności konstrukcji wymaga umiarkowanego stopnia integracji komponentów obliczeń twardych i miękkich, a strukturę takich systemów będa stanowić pracujace sekwencyjnie dwie niezależne aplikacje. W pozostałych przypadkach analizy, pomimo stosowania trybu off line, komponent obliczeń neuronowych, który realizuje algorytm ortogonalnego powrotu na aktualna powierzchnię plastyczności, musi zostać wbudowany w system metody elementów skończonych, stanowiac jego nieodłaczn a część. Z tego powodu opracowane systemy hybrydowe cechuja się wysokim stopniem integracji MES z ON, a struktura integracji należy do kategorii MES/ON. Do analizy zagadnienia kontaktu oraz identyfikacji zarówno modelu materiału, jak i stałych materiałowych zostanie użyty system hybrydowy charakteryzujacy się także bardzo wysokim stopniem integracji komponentów. W tym przypadku do sformułowania systemu kategorii MES/ON, w którym obliczenia neuronowe zostana wpełni zintegrowane z obliczeniami twardymi, zostanie zastosowana bardziej skomplikowana technika on line. Ważnym elementem opracowanych algorytmów systemu MES/ON jest algorytm dotyczacy analizy problemu kontaktu. W niniejszej pracy zostanie opracowany własny algorytm, umożliwiajacy analizę zagadnień kontaktowych: między brzegami dwóch ciał odkształcalnych, między brzegami ciała odkształcalnego i sztywnego, bez tarcia oraz uwzględniajacy różne prawa tarcia (w tym również prawo typu zig- -zag). Algorytm ten, zawierajacy wykrywanie strefy kontaktu, a następnie obliczanie sił kontaktu, realizowany za pomoca analogowej sieci Hopfielda-Tanka, stanowia- cej komponent obliczeń neuronowych, będzie wymagał opracowania wielu nowych i oryginalnych rozwiązań wynikajacych z zastosowanej metodologii obliczeń neuronowych. Dynamika sieci AHT jest opisana za pomoca układu równań różniczkowych zwyczajnych odnoszacych się do strefy przewidzianego kontaktu. Z tego powodu system MES/AHT musi zawierać nie tylko sprawną procedurę służac a do formułowania tego układu, ale wymaga również opracowania efektywnego algorytmu rozwiazywania układów równań różniczkowych typu stiff. Kolejne ważne algorytmy zaproponowane w pracy będą związane z formułowaniem neuronowego modelu materiału sprężysto-plastycznego oraz identyfikacja parametrów materiału ortrotropowego. Rozpatrywane zagadnienia wymagają ścisłego powiązania MES i SN. Z tego powodu konieczne jest opracowanie specjalnych algorytmów wielokrotnie sprzęgajacych obydwie zastosowane metodologie. Implementowane zostana istotne i oryginalne algorytmy służace do analizy, wyboru i groma-

13 Wstęp 13 dzenia wzorców stałych i prowizorycznych umożliwiajacych określanie parametrów neuronowego modelu materiału. Zakres niniejszej pracy jest szeroki i obejmuje wiele zagadnień z dziedziny analizy konstrukcji oraz metod obliczeń twardych i miękkich. W związku z tym przeglad literatury dotyczacy analizy kolejnych zagadnień będzie dokonany w dalszych rozdziałach w ramach rozwiązywania rozpatrywanych problemów. Wszystkie niezbędne do analizy algorytmy zostały implementowane we własnym programie rozwijanym przez autorkę od wielu lat. Wersja pilotażowa programu została opracowana w ramach projektu badawczego [2] Treść pracy W rozdziale 1 przedstawiono motywację podjęcia niniejszej pracy badawczej oraz jej cel i zakres. W rozdziale 2 opisano uzasadnienie stosowania systemów hybrydowych, unifikujacych metodologię obliczeń twardych i miękkich. Podano również kryteria decydujace o kategorii rozwiązań hybrydowych oraz szczegółowo omówiono stopnie, poziomy i sposoby integracji oraz struktury poszczególnych technik integracyjnych. Ostatni punkt tego rozdziału został poświęcony omówieniu obliczeniowych systemów hybrydowych jako nowoczesnej techniki analizy konstrukcji. Rozdział 3 podaje podstawowe wiadomości na temat sieci neuronowych. Zawiera także krótki opis historii badań nad sieciami neuronowymi, podaje czym są sieci neuronowe, jak są zbudowane, a także opisuje ich wady i zalety. Ze względu na przydatność w analizie prowadzonej w niniejszej pracy szczególna uwagę skupiono na dwóch rodzajach sieci neuronowych, czyli na sieciach jednokierunkowych warstwowych ze wsteczna propagacja błędu oraz sieciach rekurencyjnych. Omawiany rozdział zawiera także pełną informację na temat architektury oraz sposobów formułowania sieci neuronowych. W rozdziale 4 przedstawiono różnorodne możliwości zastosowania systemów hybrydowych integrowanych za pomoca techniki off line. Stosowane systemy hybrydowe będą charakteryzowały się różnymi stopniami integracji wynikajacymi z ich planowanego zastosowania. Analiza niezawodności ramy płaskiej wymaga najprostszego modelu systemu, tzn. systemu o niezależnych komponentach pracujacych kaskadowo. Natomiast w pozostałych przypadkach analizy sieci neuronowe zostana wbudowane w system MES w celu realizacji algorytmu RMA, co narzuca bardzo wysoki stopień integracji komponentów. Głównym przedmiotem badań prowadzonych w tym rozdziale jest wpływ wzorców subiektywnych lub obiektywnych na efektywność numeryczna opracowanych procedur neuronowych.

14 14 Rozdział 1 Rozdział 5 rozpoczyna część pracy poświęcona zastosowaniu systemów hybrydowych integrowanych technika on line. W tym rozdziale opisano implementowany numeryczny algorytm poszukiwania kontaktu w zintegrowanym systemie metody elementów skończonych i rekurencyjnych sieci neuronowych typu Hopfielda-Tanka. Niezawodność numeryczna i efektywność opracowanego algorytmu wykrywania kontaktu stanowi bardzo ważny aspekt w analizie problemów kontaktu, a szczególnie z uwzględnieniem niemonotonicznego prawa tarcia, np. typu zig-zag. Głównym przedmiotem badań zawartych w rozdziale 6 jest identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji. Ten rodzaj analizy wymaga zaawansowanych metod obliczeniowych, dlatego formułowany również technika on line system hybrydowy wymaga ścisłych powiązań przyjętych metodologii. W rozdziale tym przedstawiono także wszechstronne możliwości rozwiniętego programu komputerowego do symulacji różnych sposobów identyfikacji neuronowego modelu materiału, w tym metody zaproponowanej przez autorkę pracy. Pracę kończy rozdział 7, w którym podano uwagi, wnioski końcowe oraz perspektywy dalszych badań.

15 Wstęp Przyjęte oznaczenia W pracy w zapisie równań zostanie wykorzystana notacja algebraiczna (macierzowa), która jest wygodna do formułowania algorytmów numerycznych. Symbole macierzy i wektorów będą pisane pogrubiona czcionka prosta, np.w,m,e,p,σ. Znaczenie wszystkich używanych symboli jest na ogół wyjaśnione w chwili ich pierwszego wystąpienia w tekście pracy. Może zdarzyć się jednak sytuacja, że niektóre oznaczenia lokalne mają specyficzne znaczenie dla poszczególnych rozdziałów. Sytuacja ta jest spowodowana powszechnie stosowana umową dotyczac a nazw symboli oraz oznaczeniami wprowadzonymi we wcześniejszych pracach. Niżej przedstawiono podstawowa listę symboli i skrótów (akronimów) używanych w pracy: Symbole F(ν) funkcja aktywacji neuronu, H 1,H 2,...HL liczba neuronów w warstwach sieci, L, T zbiory wzorców uczących i testujacych, L,T liczba wzorców w zbiorachl,t, LP S liczba parametrów sieci, M SE, RM SE, r błąd śreniokwadratowy, pierwiastkowy r współczynnik korelacji, w parametry (wagi) sieci neuronowej, x, y wektor wejścia, wyjścia sieci, σ, σ wektor naprężeń, przyrostów naprężeń, ε, ε wektor odkształceń, przyrostów odkształceń, H współczynnik liniowego wzmocnienia izotropowego, ǫ p parametr Odquista, λ, λ mnożnik i przyrost mnożnika plastycznego, E, G, ν moduł Younga, Kirchhoffa, współczynnik Poissona, E,E D ep macierz sprężystości, operator sztywności, I macierz jednostkowa, Λ parametr (mnożnik) obciażenia konfiguracyjnego, κ={κ x,κ y,κ xy } uogólnione odkształcenia krzywizny, m={m x,m y,m xy } uogólnione naprężenia, D ep przekrojowa macierz sztywności, Q, Q, Q wektor przemieszczeń węzłowych układu oraz ich przyrost i podprzyrost, P wektor obciażeń węzłowych, K macierz sztywności układu.

16 16 Rozdział 1 Akronimy ES Element Skończony, OT Obliczenia Twarde (ang. hard computing), AHT Analogowa sieć Hopfielda-Tanka (ang. Hopfield-Tank analog)), LM metoda Levenberga-Marquarta, MES Metoda Elementów Skończonych, ON Obliczenia Neuronowe (ang. neuro computing), NMM Neuronowy Model Materiału, PSN Płaski Stan Naprężenia, PSO Płaski Stan Odkształcenia, RMA Return Mapping Algorithm, Rprop Resilient propagation, OM Obliczenia Miękkie (ang. soft computing), SN Sztuczne Sieci Neuronowe (ang. Artificial Neural Networks) w skrócie Sieci Neuronowe, SWPB Sieć jednokierunkowa warstwowa ze Wsteczna Propagacja Błędu (ang. BPNN Back Propagation Neural Network), WPB Wsteczna Propagacja Błędów.

17 Rozdział 2 Systemy hybrydowe 2.1. Wprowadzenie W ciągu ostatnich kilku lat, na skutek rozwoju technologii cyfrowej, systemy hybrydowe stanowia znaczacy nurt badań i opracowań praktycznych stosowanych w wielu dziedzinach związanych z przetwarzaniem informacji. Prowadzone badania dotycza teoretycznych problemów pojawiajacych sie podczas formułowania takich systemów, a także ich wpływem na aplikacje stosowane w różnych dyscyplinach nauki, w tym także powiązanych z przemysłem. Przez system hybrydowy rozumie się system zdolny do rozwiazywania złożonych problemów, wykorzystujacy w tym celu różne metodologie obliczeniowe, np. obliczenia standardowe/twarde (OT) i obliczenia miękkie (OM) w zakresie reprezentowania i przetwarzania informacji. W modelach hybrydowych konkurujace ze sobą metody są traktowane jako metody wzajemnie uzupełniajace się. Twórca teorii zbiorów rozmytych i logiki rozmytej Zadeh podaje definicję obliczeń miękkich, odróżniajac je od obliczeń konwencjonalnych, por. publikacje [74, 192, 193]. Według Zadeha obliczenia miękkie nie są pojedyncza metodologia, lecz grupa metodologii zawierajacej logikę rozmyta (LR), obliczenia neuronowe (ON) i genetyczne (OG) oraz wnioskowanie probabilistyczne (WP). Warto zauważyć, że OM nie stanowia prostego połączenia LR, ON, OG i WP, lecz zazwyczaj działają synergistycznie (współdziałaja), tzn. nie konkuruja ze sobą, ale wzajemnie się uzupełniaja, co powoduje, że często korzystne jest użycie kombinacji tych metod. Główną zasada obliczeń miękkich jest wykorzystanie tolerancji dla niedokładności, niepewności oraz niekompletności i częściowej prawdy w celu otrzymania prostego, sprawnego i wymagającego małego kosztu rozwiązania. Konwencjonalne obliczenia twarde zostały zdefiniowane jako przeciwieństwo obliczeń miękkich, tzn. jako zbiór różnorodnych tradycyjnych metod obliczeniowych, w których stosowana jest logi-

18 18 Rozdział 2 ka dwuwartościowa (binarna) oraz ostre systemy liczbowe i oparta na nich analiza numeryczna. W większości badań akademickich preferowane jest oddzielne stosowanie metodologii obliczeń standardowych lub obliczeń miękkich, por. pracę [117]. Odmienna sytuacja występuje w przemyśle, gdzie wzajemnie uzupełniajaca się fuzja obliczeń miękkich i standardowych stała się naturalnym sposobem analizy stosowanym przez inżynierów praktyków. Z tego powodu w wielu krajach europejskich, a także w USA i Japonii, metodologia obliczeń miękkich nabrała w ostatnim dziesięcioleciu szczególnego znaczenia, trwale przenikajac do przemysłowych i komercyjnych zastosowań, por. prace [119, 120]. Powszechnie wiadomo, że każdy typ obliczeń (OT, OM) ma swoje silne i słabe strony. W konsekwencji tego faktu pewne złożone problemy mogą być trudne do rozwiazania za pomoca systemu opartego na jednej technice obliczeniowej. W takich sytuacjach, aby przezwyciężyć ograniczenia każdej osobnej metody, tworzone są połączenia dwóch lub więcej komponentów obliczeniowych budujace hybrydę, integrujac a standardowe obliczenia numeryczne z obliczeniami miękkimi. W większości stosowanych aplikacji hybrydowych obliczenia miękkie są ukryte we wnętrzu systemów lub podsystemów obliczeniowych OT i użytkownik nie do końca zdaje sobie sprawę z tego, że obliczenia miękkie są używane w procesie sterowania, rozpoznawania wzorców, przetwarzania sygnałów czy identyfikacji. Są to przypadki, w których blok OM został użyty do uzupełnienia lub nawet do zastapie- nia algorytmów tradycyjnych obliczeń numerycznych w celu wyeliminowania ich ograniczeń. Inna klasa aplikacji integrujacych OM i OT stosuje obliczenia miękkie do tworzenia obliczeniowej inteligencji i formułowania przyjaznych dla użytkownika cech oprogramowania, które nie mogą być zrealizowane wyłącznie przez OT. Do czynników motywujących rozwój rozwiązań hybrydowych można zaliczyć między innymi: wzmocnienie słabych stron danej techniki przez zastosowanie innej techniki, wielość zadań wypełnianych przez system wymagających stosowania różnych technik, potrzeba emulacji różnych technik (podsystemów) obliczeniowych w ramach jednej architektury systemu Kategorie integracji systemów hybrydowych Koncepcja łączenia obliczeń twardych i miękkich znajduje się ciągle w początkowej fazie i brak jej systematycznego ujęcia, por. pracę [117]. Aktualnie integracja metodologii OM z OT odbywa się na podstawie zdefiniowanych kryteriów, ilustru-

19 Systemy hybrydowe 19 jących jej różne aspekty. Wprowadzone kryteria umożliwiaja również dyskusję nad zaletami i wadami poszczególnych technik integracji, pomagając w ten sposób rozwinąć i scharakteryzować nowe kategorie połączeń. O kategorii rozwiązań hybrydowych łączacych obliczenia miękkie ze standardowymi decyduja następujace kryteria: stopień integracji komponentów obliczeń OM i OT (ang. fusion grade), struktura technik integracji (ang. fusion structure), zastosowanie techniki on line lub off line (ang. fusion time), warstwa architektury systemu, w którym występuje połączenie (ang. fusion level) oraz sposoby integracji (ang. fusion incentive). Każde z wymienionych kryteriów wprowadza kilka kategorii, które są stosowane do opisu różnorodnych typów integracji metodologii OM z OT. Kryteria te nie są ortogonalne w tym sensie, że występuja małe lub silne korelacje pomiędzy kategoriami połaczeń należacych do różnych kryteriów Stopień integracji komponentów Elementy składowe systemu hybrydowego mogą być słabiej lub silniej zintegrowane. Miarą stosowana do opisu intensywności połaczenia OM i OT jest tzw. stopień integracji komponentów systemu. Komponentem systemu hybrydowego może być zarówno algorytm, jak i cały system, co oznacza mniej lub bardziej złożona kombinację różnych algorytmów. W tabeli 2.1 przedstawiono cztery poziomy integracji OM z OT wraz z ich krótkim opisem. Tabela 2.1. Kategorie stopni integracji OM i OT według pracy [117] Stopień integracji Definicja Niski OM i OT pracujace równocześnie lub ich inne użycie bez jawnego połaczenia Umiarkowany OM z OT powiązane wyłącznie za pomocą sygnałów (plików) wejścia/wyjścia Wysoki OM lub OT używane do określenia wartości parametrów wewnętrznych Bardzo wysoki OM lub OT używane do określenia struktur wewnętrznych lub wygenerowania danych wewnętrznych

20 20 Rozdział Struktura technik integracji komponentów Kategorie struktur integracji są scharakteryzowane przez przepływ danych i parametrów między komponentami OM i OT oraz przez powiązania komponentów OM i/lub OT ze środowiskiem, w którym są wbudowane. Na podstawie prac [117,118] można wyróżnić dwanaście kategorii integracji, por. tabela 2.2. Wymienione kategorie topologii łączenia należy uważać za podstawowe, co oznacza, że w rzeczywistych systemach hybrydowych możliwe jest występowanie większej ich liczby. Dodatkowo, w podobny sposób, mogą być łączone różne komponenty OT lub różne komponenty OM. Często też połączone systemy mogą być integrowane ponownie z innymi komponentami, tworząc hierarchiczny system hybrydowy. Tabela 2.2. Kategorie struktur integracji OM z OT, por. z publikacją [118] Symboliczne Krótki Stopień oznaczenie opis integracji OM&OT OM i OT jako osobne aplikacje niski OM//OT OM\OT, OT\OM OM-OT, OT-OM OM i OT realizujace obliczenia równolegle OM i OT lub OT i OM realizujace obliczenia równolegle ze sprzężeniem zwrotnym OM i OT lub OT i OM realizujace obliczenia sekwencyjnie (kaskadowe) umiarkowany umiarkowany umiarkowany OM=OT, blok OM lub OT parametryzuje wysoki lub OT=OM odpowiednio blok OT lub OM bardzo wysoki OM+OT, OT+OM OM uzupełniaja OT lub OT uzupełniaja OM bardzo wysoki OM/OT, OM wspomagają OT lub bardzo wysoki OT/OM OT wspomagaja OM Odwzorowania realizowane przez komponenty OT i OM mogą być statyczne lub dynamiczne, liniowe lub nieliniowe, adaptacyjne lub nieadaptacyjne. OM&OT W systemach hybrydowych typu OM&OT, których schemat przedstawiono na rys. 2.1, składniki dotyczace obliczeń miękkich i twardych odgrywaja swoje role niezależnie i nie występuje ich jawne powiązanie. Istotna cecha takiego wariantu

21 Systemy hybrydowe 21 integracji jest brak komunikacji pomiędzy składowymi systemu w procesie rozwiązywania problemu. Choć kategoria OM&OT stanowi antytezę systemu hybrydowego, to w praktyce występuje dość często ze względu na istnienie wielu uzasadnień takiej integracji, por. pracę [95]: 1) istnieje sposobność porównania zdolności rozwiązywania problemów przez obie aplikacje, 2) implementacja jednej techniki po zbudowaniu aplikacji opartej na innej stwarza szansę weryfikacji pierwszej, 3) zastosowanie dwóch modeli równolegle umożliwia wstępna ocenę integracji. x 1 OM y 1 x 2 OT y 2 Rys OM i OT jako osobne aplikacje Do zalet modelu OM&OT należy zaliczyć prostotę i łatwość jego implementacji, która wynika z braku konieczności stosowania specjalnego interfejsu służacego do wymiany informacji pomiędzy poszczególnymi składnikami systemu. Słabościa tego modelu jest to, że uniemożliwia on pełne wykorzystanie wszystkich walorów tkwiących w obu systemach. Z punktu widzenia rozważanej problematyki ważne jest to, że, jak się wydaje, trudno nazwać taką aplikację w pełni hybrydowa, co powoduje, że rozwiazania tego typu nie mieszcza się w głównym nurcie zainteresowań systemami hybrydowymi. Kategoria struktury integracji OM&OT jest kategoria oczywista i została włączona z uwagi na kompletność opisu. Systemy typu OM&OT charakteryzuja się niskim stopniem powiązania komponentów. OM//OT Druga kategoria struktur integracji, OM//OT, oferuje możliwości tworzenia uniwersalnych kombinacji OM z OT. W topologii łączącej równolegle metodologię OM i OT obliczenia miękkie uzupełniaja zachowanie i możliwości systemu opartego na obliczeniach standardowych albo odwrotnie, por. rys Systemy hybrydowe zbudowane z równolegle połączonych obliczeń miękkich i twardych są zazwyczaj znacznie prostsze do projektowania od systemów zawierających wyłącznie obliczenia twarde służace do realizacji tego samego celu. W tej

22 22 Rozdział 2 x 1 OM y x 2 OT Rys OM i OT pracujące równolegle kategorii łączenia metodologii OM i OT, stopień integracji komponentów opartych na obliczeniach miękkich i twardych jest umiarkowany. OM\OT oraz OT\OM Obecnie, w niektórych aplikacjach hybrydowych, stosowane są również równoległe połaczenia komponentów ze sprzężeniem zwrotnym (OM\OT i OT\OM). W tych przypadkach kategorii struktur integracji informacja wyjściowa z algorytmu opisanego przez OT lub OM jest dodawana do wejścia głównych bloków, odpowiednio obliczeń miękkich lub twardych, por. rys OM y OT y x 1 x 1 OT x 2 OM x 2 OM\OT OT\OM Rys OM i OT lub OT i OM pracujące równolegle ze sprzężeniem zwrotnym ( jest opóźnieniem) Podobnie jak w przypadku równoległego połaczenia bez sprzężenia zwrotnego, połaczenia ze sprzężeniem zwrotnym charakteryzuja się również umiarkowanym stopniem integracji. OM-OT oraz OT-OM Systemy hybrydowe zawierajace komponenty obliczeń miękkich i konwencjonalnych mogą być również projektowane sekwencyjnie (kaskadowo). Istnieja dwie

23 Systemy hybrydowe 23 alternatywne możliwości integracji OM z OT, które są zależne od kolejności występowania w systemie hybrydowym poszczególnych bloków OM i OT, por. rys x OM OT y OM-OT x OT OM y OT-OM Rys Bloki OM i OT połączone sekwencyjnie W tej bardzo popularnej konfiguracji pierwszy blok pełni funkcję preprocesora, a drugi postprocesora. Sekwencyjny model hybrydowy jest najłatwiejszy w imlementacji, gdyż umożliwia budowanie aplikacji ze składników będących systemami wytworzonymi przez różnych producentów. Należy jednak zaznaczyć, że wymiana informacji w takich systemach najczęściej odbywa się przez pliki. Ogranicza to zakres ich możliwych zastosowań ze względu na wydłużony czas przekazywania informacji pomiędzy komponentami aplikacji. Dodatkowym czynnikiem obniżajacym walory tego modelu może być wzajemny brak dostępu do informacji przechowywanych przez poszczególne bloki systemu. Jeśli pewna grupa informacji jest wymagana w obu komponentach, w celu rozwiązania określonych problemów, to urzeczywistnienie takiej właściwości może okazać się w pewnych przypadkach niemożliwe. Sekwencyjne kategorie struktur łączenia komponentów OM i OT należa także do konfiguracji o umiarkowanym stopniu integracji. OM=OT i OT=OM Następne dwie kombinacje fuzji OM i OT (OM=OT i OT=OM), pokazane na rys. 2.5, charakteryzuja się wysokim stopniem integracji. Dzieje się tak na skutek tego, że albo system obliczeń miękkich bezpośrednio parametryzuje system obliczeń konwencjonalnych (twardych) lub odwrotnie. W takim modelu integracji główny blok obliczeń, którym może być OM (lub OT), korzysta z dwóch klas argumentów. Do pierwszej klasy należa parametry wewnętrzne bloku głównego, natomiast parametry zewnętrzne dostarczane przez drugi blok systemu stanowia drugą klasę argumentów.

24 24 Rozdział 2 x OM y x OT y OT OM p p OM=OT OT=OM Rys Blok OT steruje blokiem OM lub OM steruje blokiem OT (p jest wektorem parametrów zewnętrznych) OM+OT i OT+OM Dwie następne kategorie struktur systemów hybrydowych, pokazane na rys. 2.6, charakteryzuja się się ścisłym połączeniem komponentów. Oznacza to, że systemy typu OT+OM i OM+OT cechuje bardzo wysoki stopień integracji. W tej kategorii systemów hybrydowych obliczenia miękkie są uzupełniane obliczeniami konwencjonalnymi lub odwrotnie. W pierwszym połaczeniu typu OM+OT moduł OT otrzymuje pewne wewnętrzne dane z bloku OM, a po ich przetworzeniu, sygnały wyjściowe z OT są dodawane do wyjścia podstawowego modułu OM. W drugim przypadku (OT+OM) blok OM przetwarza wstępnie pewne wewnętrzne dane otrzymane z algorytmu OT, a końcowy sygnał jest sumą indywidualnych sygnałów wyjściowych OT i OM. Te kategorie struktur integracji nie są jeszcze powszechnie stosowane mimo, że oferuja wiele potencjalnych możliwości formułowania ścisłych połaczeń metodologii OT i OM. x OM y x OT y p p OT OM OM+OT OT+OM Rys OM rozszerzony przez OT lub OT rozszerzony przez OM (p jest wektorem parametrów wewnętrznych)

25 Systemy hybrydowe 25 OT/OM i OM/OT Obliczenia OT wspomagajace obliczenia OM (OT/OM) lub OM wspomagajace OT (OM/OT) są przykładami struktur systemów hybrydowych o bardzo wysokim stopniu integracji komponentów OM i OT, por. rys Kategorie te opisuja strukturę typu moduł nadrzędny/podrzędny (ang. master/slave). x OM y x OT y p p OT OM OM/OT OT/OM Rys OT wspomaga OM lub OM wspomaga OT (p jest wektorem parametrów wewnętrznych) W takim rodzaju łączenia komponent obliczeń miękkich stanowi integralna część całej procedury obliczeniowej. Systemy hybrydowe OT/OM i OM/OT wymieniaja dane bezpośrednio za pomoca struktur danych przechowywanych w pamięci. Opisane rozwiazanie jest nie tylko eleganckie z informatycznego punktu widzenia, ale zwiększa również możliwości zastosowań w praktyce takiego systemu Tryb integracji komponentów Łączenie komponentów opartych na obliczeniach miękkich i twardych może być dokonywane podczas opracowywania lub stosowania oczekiwanego systemu hybrydowego. Jeżeli komponenty OT i OM są integrowane na etapie projektowania systemu, wówczas łączenie następuje w trybie off line. Taka technika integracji występuje wtedy gdy np. komponent obliczeń OM jest używany do zaprojektowania komponentu OT bądź odwrotnie. Tryb on line występuje wtedy, gdy komponenty OT i OM są integrowane w czasie stosowania danego systemu hybrydowego. W rzeczywistych systemach hybrydowych mogą także występować obydwa tryby integracji komponentów OM z OT Poziom integracji komponentów Większość systemów hybrydowych ma strukturę warstwową, co oznacza, że poszczególne komponenty OM i OT mogą być umieszczane w odpowiedniej warstwie

26 26 Rozdział 2 formułowanego systemu. Architektura takich systemów może składać się z wielu abstrakcyjnych warstw, do których można zaliczyć np. warstwę preprocesingu, warstwę transformacji, warstwę formułowania modelu czy warstwę postprocesingu Sposoby integracji komponentów Można wyróżnić cztery umotywowane sposoby integracji systemów hybrydowych: W systemach hybrydowych zintegrowanych niezależnie bloki obliczeniowe OM i OT wykonuja obliczenia na podstawie całkowicie odmiennych danych wejściowych. Ściśle mówiąc, w systemach tego typu integracja nie występuje i komponenty systemu pracuja (synchronicznie lub asynchronicznie) na różnych częściach zadania, a otrzymane wyniki analizy nie są w jakikolwiek sposób łączone. W systemach hybrydowych zintegrowanych współbieżnie komponenty OM i OT są łączone ze soba równolegle w celu zwiększenia bezpieczeństwa lub polepszenia wyników pracy całego systemu w porównaniu z wynikami otrzymywanymi za pomoca pojedynczego komponentu (zwiększenia mocy obliczeniowej systemu). W systemach hybrydowych zintegrowanych w sposób uzupełniajacy się komponenty OM i OT są łączone w celu osiagnięcia lepszych wyników, np. większej precyzji obliczeń bądź szybszej zbieżności procesu. Takie systemy są formułowane w przypadkach, gdy integracja nie jest konieczna, pomaga jedynie poprawić wyniki działania całego systemu. W systemach hybrydowych, w których występuje wzajemna współpraca modułów, komponenty OM i OT są integrowane w sposób umożliwiajacy otrzymanie wyników niemożliwych bądź niezwykle trudnych do osiagnięcia wyłącznie za pomoca komponentu OM lub komponentu OT Zastosowanie systemów hybrydowych w technologiach obliczeniowych konstrukcji Wiele konstrukcji inżynierskich jest zbudowanych z połączonych ze soba oddzielnych elementów. Złożoność odpowiedzi elementów składowych oraz/lub niekompletna znajomość ich właściwości może powodować, że przewidywanie reakcji całego układu za pomoca tradycyjnych (ilościowych) metodologii jest bardzo trudne bądź niemożliwe. W tych sytuacjach może pomóc metodologia obliczeń miękkich,

27 Systemy hybrydowe 27 umożliwiajaca modelowanie oraz analizę jakościowa, dzięki możliwości budowania modeli, które odzwierciedlaja zjawiska związane z odpowiedziami rzeczywistych konstrukcji. W pracy [109] przedstawiono historię, aktualne osiągnięcia oraz kierunki rozwoju technologii obliczeniowych konstrukcji. Jednym z podejść zdobywajacym dużą popularność w mechanice konstrukcji jest przetwarzanie neuronowe realizowane przez sztuczne sieci neuronowe. Sieci neuronowe traktowane jako narzędzie obliczeniowe mogą być używane do wykonywania wielu operacji, do których należa między innymi: identyfikacja, symulacja, projektowanie czy optymalizacja, por. publikacje [169, 174, 182, 183]. Prowadzone w ostatnich latach badania dotyczyły także rozwijania podejść hybrydowych integrujacych metodologię standardowych obliczeń numerycznych z obliczeniami miękkimi. Zastosowanie technik hybrydowych do rozwiązywania skomplikowanych zagadnień mechaniki konstrukcji może dawać znaczacy wzrost wydajności sformułowanego algorytmu. W pracy [109] zostały wyróżnione cztery grupy technik hybrydowych. Podział ten dokonany w odniesieniu do czterech grup technik obliczeniowych: 1) standardowych numerycznych, 2) eksperymentalnych, 3) analitycznych i 4) neuronowych jest następujacy: 1) hybrydowe analityczne techniki, por. np. [108], 2) hybrydowe analityczno-numeryczne techniki, por. np. [107], 3) hybrydowe numeryczno-eksperymentalne techniki, por. np. [75], 4) hybrydowe numeryczno-neuronowe techniki, por. np. [176]. Wymienione grupy skupiaja się na łączeniu różnych metodologii w celu skonstruowania efektywnych metod obliczeniowych. W szczególności dotyczy to zastosowań systemów hybrydowych opartych na obliczeniach miękkich (sieci neuronowe) i standardowych, służacych do: a) nieliniowej analizy konstrukcji, wrażliwości czy niezawodności, por. publikacje [128, 162, 163]. b) identyfikacji szerokiej klasy materiałów, do których należa kompozyty [88], grunty [35] czy geomateriały [58], c) formułowania neuronowych modeli różnych typów materiałów, np. sprężysto-plastycznego, por. pracę [127] czy ortotropowego [134]. Systemy będące integracj a OT i SN są szczególnie użyteczne w sytuacjach, w których dobre modele analityczne są nieznane lub bardzo złożone. W przypadkach,

28 28 Rozdział 2 w których modele analityczne są nieznane bądź niekompletne, sieci neuronowe mogą być wykorzystywane do estymacji modeli na podstawie danych doświadczalnych. Systemy hybrydowe, zbudowane ze standardowych obliczeń numerycznych i obliczeń neuronowych, mogą charakteryzować się różnymi stopniami integracji zastosowanych metodologii. Wynika to z rodzaju prowadzonej analizy, która wymusza stopień, strukturę oraz technikę powiązania komponentów systemu. Sieci neuronowe mogą być włączane do systemów opartych na obliczeniach twardych, np. MES, w trybie off line lub on line. W podejściu off line sieć neuronowa, tzn. jej architektura oraz wagi połączeń międzyneuronowych, jest formułowana niezależnie od standardowych obliczeń numerycznych. Dopiero po opracowaniu stanowi ona komponent systemu hybrydowego. W takim podejściu struktura integracji OT z SN może być bardzo zróżnicowana, tzn. OT i SN mogą stanowić odrębne aplikacje (typ OM&OT) mogą realizować obliczenia sekwencyjnie (typ OT-OT), ale też OM może wspomagać obliczenia OT (typ OM/OT). W przeciwieństwie do podejścia off line, w podejściu on line, wykorzystywana do analizy sieć neuronowa jest formułowana podczas pracy systemu hybrydowego wewnątrz komponentu realizujacego standardowe obliczenia numeryczne. W tym przypadku stopień integracji OT z OM jest bardzo wysoki, gdyż obliczenia neuronowe wspomagaja obliczenia twarde (OT/OM). Parametry sieci neuronowej, wbudowanej w algorytm obliczeń OT, są obliczane (najczęściej iteracyjnie) za pomoca danych i struktur udostępnianych przez komponent realizujacy obliczenia twarde.

29 Rozdział 3 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 3.1. Czym sa sztuczne sieci neuronowe? Sztuczne sieci neuronowe, nazywane w skrócie Sieciami Neuronowymi (SN), to nazwa matematycznych struktur zbudowanych ze sztucznych neuronów oraz ich software owych i hardware owych implementacji. Ponieważ sztuczne neurony są uproszczonymi odpowiednikami komórek nerwowych, SN odtwarzaja najbardziej podstawowy sposób działania centralnego systemu nerwowego organizmów żywych. Sieci neuronowe wraz z systemami rozmytymi i algorytmami ewolucyjnymi powstały w wyniku badań prowadzonych w dziedzinie sztucznej inteligencji. Szczególne znaczenie miały prace, które dotyczyły naśladowania takich cech charakterystycznych dla biologicznych systemów, które mogą być szczególnie użyteczne technicznie. Do tych cech zalicza się adaptację i optymalizację, zdolność uczenia się oraz odporność systemów biologicznych na uszkodzenia nawet znacznej części ich elementów. Przetwarzanie neuronowe (ON) może być z powodzeniem stosowane do rozwiązywania wielu różnorodnych problemów związanych z nauka, technika, mechaniką konstrukcji czy analiza materiałów, por. np. monografie [27, 48, 164, 171], czyli wszędzie tam, gdzie występuja problemy dotyczace aproksymacji, predykcji, klasyfikacji, identyfikacji czy oceny (związanej m.in. z optymalizacja różnych funkcji lub funkcjonałów). SN stanowia narzędzie do przetwarzania nie tylko ostrej, ale także rozmytej (zaszumionej) bądź niekompletnej informacji. Dzięki swoim zdolnościom uogólniania wiedzy SN mogą być używane zarówno do analizy wprost, jak i odwrotnej problemów, w których występuja pewne prawa możliwe do zapamiętania przez sieć w procesie jej uczenia. SN mogą być ła-

30 30 Rozdział 3 two łączone z różnymi metodami miękkimi optymalizacji i systemami wnioskowania rozmytego, mogą również stanowić uzupełnienie konwencjonalnych metod obliczeniowych, szczególnie Metody Elementów Skończonych (MES), przez co stwarzaja możliwości tworzenia oprogramowania hybrydowego (MES, SN), por. pracę [173]. Sposób połączenia neuronów między sobą i ich wzajemnego współdziałania spowodował powstanie różnych typów sieci. Każdy typ sieci jest z kolei ściśle powiązany z odpowiednia metodą uczenia (doboru wag). Do najczęściej stosowanych SN należa sieci jednokierunkowe warstwowe oraz sieci rekurencyjne. W sieciach jednokierunkowych sygnał wejściowy jest transmitowany w jednym kierunku od wejścia do wyjścia. Warstwowe sieci jednokierunkowe zostały nazwane perceptronami przez Rosenblatta i jego współpracowników, którzy jako pierwsi badali je 30 lat temu. Typowym przykładem sieci jednokierunkowej jest wielowarstwowy perceptron (ang. Multi Layer Perceptron), zbudowany z neuronów ułożonych w kolejnych warstwach. Jeżeli między neuronami sieci występuja połączenia dwukierunkowe lub ze sprzężeniami zwrotnymi, to taka sieć nazywa się rekurencyjna. Przykładem sieci rekurencyjnej jest sformułowana w roku 1982 dyskretna sieć Hopfielda. Wyczerpujac a informację na temat budowy, typów, metod uczenia oraz zastosowań sieci neuronowych można znaleźć w obszernej literaturze, która np. w zakresie podręczników przekroczyła 700 pozycji. Z takiej bardzo bogatej literatury wybrano 12 podręczników: [11,27,48,49,57,78,93,94,116,148,164,172], wyróżniajacych się nie tylko częstymi cytowaniami, ale też obszerna literatura, obejmujac a prace źródłowe Rys historyczny sieci neuronowych Początek rozwoju sieci neuronowych nastąpił 65 lat temu z chwilą zaproponowania przez McCullocha modelu sztucznego neuronu i od tego czasu prawie nieprzerwanie trwają intensywne badania dotyczace rozwoju i nowych możliwości ich zastosowań. W roku 1969 ukazała się monografia Minsky ego i Paperta [97], w której wykazano istotne ograniczenia SN opartych na liniowych funkcjach aktywacji. Ta praca spowodowała wstrzymanie finansowego wsparcia badań nad SN. W latach siedemdziesiatych większą uwagę poświęcono systemom ekspertowym i innym metodom teorii sztucznej inteligencji, ale też był to okres pracy entuzjastów i wielkich pionierów SN (Kohonen, Anderson, Grossberg, Carpenter). Ponowne zainteresowanie sieciami neuronowymi nastąpiło od połowy lat osiemdziesiatych z chwila opublikowania w roku 1986 książki przez Rumelharta i McClellanda, [150], w której podkreślono znaczenie metody wstecznej propagacji błędu (WPB).

31 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 31 Poniżej przedstawiono ważniejsze daty związane z kolejnymi etapami rozwoju SN: 1943 r. W. McCulloch i W. Pitts opracowali pierwszy formalny opis modelu sztucznego neuronu i przetwarzania przez niego danych; 1949 r. D. Hebb odkrył, że informacja może być przechowywana w strukturze połączeń między neuronami (wagach) i zaproponował metodę uczenia sieci polegajac a na zmianie tych wag (reguła Hebba); 1954 r. Minsky buduje pierwsza sieć neuronowa; 1959 r. Rosenblatt i Wightman konstruuja perceptron do rozpoznawania znaków alfanumerycznych; 1960 r. Widrow i Hoff buduja sieć Madaline składajaca się z elementów uczacych nazywanych Adaline, czyli pierwszy komercyjny neurokomputer do adaptacyjnego przetwarzania sygnałów; 1969 r. Minsky i Papert wydanie książki Perceptrons zahamowało na wiele lat rozwój sieci neuronowych ze względu na brak sponsoringu; 1970 r. Grossberg buduje sieć Avalanche służac a do rozpoznawania mowy oraz sterowania ruchami ramienia robota; 1974 r. Bryson i Ho, Werbos, Parker, Rumerumelhart niezależnie opracowali algorytm wstecznej propagacji błędu; 1978 Fukushima zbudował sieć Neocognitron do rozpoznawania znaków pisanych; 1982 r. Hopfield zaproponował sieć ze sprzężeniami zwrotnymi do odtwarzania obrazu z ich fragmentów oraz do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych; 1982 r. Anderson i Kohonen niezależnie opracowali koncepcję samoorganizujacych się sieci do wydobywania cech; 1986 r. McClelland i Rumelhart wydają książkę Parallel Distributed Processing, która zapoczatkowała okres renesansu sieci neuronowych. W roku 1987 odbył się kongres amerykańskiego stowarzyszenia IEEE (Institute of Electric and Electronic Engineers) poświęcony zastosowaniu SN w inżynierii. Pierwsza sesja nt. zastosowań SN w inżynierii lądowej i wodnej została zorganizowana w USA na konferencji ASCE-1989, natomiast w Europie w roku 1993 (przez Toppinga). W 1992 roku Panagiotopoulos rozpoczał realizację projektu STRIDE nt. zastosowania SN w inżynierii i medycynie. W Polsce pionierska rolę odegrał prof. Tadeusiewicz, publikujac w roku 1993 monografię [164]. W zakresie inżynierii lądowej duża rolę odegrała szkoła prof. Waszczyszyna, działajaca od roku 1995 [171].

32 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 32 Rozdział Model sztucznego neuronu Podobnie jak w przypadku biologicznych sieci neuronowych, podstawowymi elementami, z których zbudowane są sieci neuronowe, są sztuczne neurony. Na rysunku 3.1 przedstawiono model sztucznego neuronu (uogólnienie modelu McCullocha i Pittsa opracowanego w 1943 r., por. cyt. [48]). x 1 x j w 1 w j w N ËÆu y ½F = F(v) x N b = θ = w 0 Rys Ogólny model sztucznego neuronu Z rysunku 3.1 wynika, że rozpatrywany model neuronu składa się z dwóch bloków: bloku sumowania i bloku aktywacjif. Potencjał aktywacjivpojedynczego neuronu jest obliczany w bloku sumacyjnym, a następnie przetworzony za pomoca funkcji aktywacjif, tak aby na wyjściu z neuronu pojawiła się tylko jedna wartość skalarna y: N y=f(v), v= w j x j +b, (3.1) gdzie: w ={w 1,...,w N } wektor wag połaczeń synaptycznych, x ={x 1,...,x N } wektor wejścia, b parametr progowy (ang. bias), y wyjście z neuronu, N liczba wejść neuronu. Spośród wielu stosowanych funkcji aktywacji, szczegółowo omawianych w literaturze, np. [48, 78, 94, 116], dwie dalej używane pokazano na rys. 3.2: j=1 a) liniowa: b) bipolarna: F(v)=tgh(σv), F(v)=v (3.2) df dv =F (v)=σ(1 F 2 ) (3.3)

33 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 33 a) F b) F v 1 0 v 0 v v -1 Rys Przykładowe funkcje aktywacji: a) liniowa, b) bipolarna 3.4. Sieci jednokierunkowe ze wsteczna propagacja błędu Uwagi ogólne Deterministyczne sieci jednokierunkowe warstwowe są sieciami najczęściej stosowanymi w różnych zagadnieniach inżynierskich. Istotna cechą tych sieci jest metoda obliczania wartości wag polegajaca na wstecznej propagacji błędu (ang. error back propagation). Z tego powodu opisywana sieć można nazwać krótko SWPB (ang. BPNN Back Propagation Neural Network). Sieci SWPB należa do klasy sieci wielowarstwowych o standardowej strukturze, tzn. są zbudowane z neuronów ułożonych w kolejnych warstwach, przy czym każdy neuron jest połączony ze wszystkimi neuronami warstw sąsiednich, nie jest natomiast połączony z neuronami warstwy, do której należy. Na rysunku 3.3a przedstawiono strukturę trójwarstwowej SWPB, zbudowanej z warstwy wejściowej, dwóch warstw ukrytych oraz warstwy wyjściowej. Warstwa wejściowa sieci służy jedynie do wprowadzania sygnałów, które następnie są podawane na pierwsza warstwę ukryta neuronów, a te z kolei stanowia sygnały źródłowe dla kolejnej warstwy. Neurony warstw ukrytych, o modelu pokazanym na rys. 3.3b, (dla warstwy l), stanowia istotny element sieci, umożliwiajacy uwzględnienie związków między sygnałami, wynikajacymi z zależności statystycznych wyższego rzędu. Parametry sieci, którymi są wartości wagw ij i biasówb i, są obliczane iteracyjnie w procesie uczenia nazywanym uczeniem z nauczycielem. W procesie uczenia wykorzystuje się zbiór wzorców (danych) uczacych L, zawierajacych znane parypwartości wejściowych (ang. inputs) i wyjściowych (ang. targets), tworzące odpowiednio wektory wejściax (p) i wyjściat (p) sieci. Po zakończeniu uczenia, sieć podlega testowaniu za pomocą zbioru wzorców testujacycht.

34 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ µ ÖÙÒ ÔÖÞ Ô ÝÛÙ µ ½ 34 Rozdział 3 Ý Ò Ù x l 1 ÖÙÒ ÔÖÓÔ x y t Ù x l j x l N w l i1 w l ij w l in l i bl i = wl i0 F y i Rys a) struktura trójwarstwowej sieci ze wsteczną propagacją błędu; b) model pojedynczego i-tego neuronu leżącego w warstwie l sieci Zbiory wzorców uczących i testujacych można napisać w następujacej postaci: L={x (p),t (p) } L p=1, T={x (p),t (p) } T p=1, (3.4) gdzie: L, T liczba wzorców odpowiednio uczacych i testujacych. W literaturze przedmiotu stosuje się różne nazwy związane z procesem oceny możliwości obliczeniowych nauczonej sieci. Ocenę można wykonać za pomoca odpowiednich zbiorów wzorców, które mogą wykazać określone właściwości sieci. Oprócz dokładności, mierzonej za pomoca przyjętej miary błędu sieci, np. błędu (3.5), sprawdzane są jej właściwości predykcji i generalizacji. Z tych powodów stosuje się zbiór walidujacy V, który służy do projektowania sieci. W tym sensie należy rozpatrywać łącznie zbiory uczący L i walidujacy V. Celem testowania jest sprawdzenie właściwości predykcji sieci. Do określenia możliwości wykorzystania sieci w szerszym zakresie, obowiązywania reguł badanych problemów, stosowany jest zbiór reguł R lub ogólniej zbiór weryfikujacyw. W pracy, podczas stosowania techniki off line, posłużono się tylko dwoma zbiorami wzorców: uczącym L i testujacymt. W technice on line zastosowano tylko zbiór uczący L. Podczas procesu uczenia wektory wyjściowey (p), obliczane przez sieć, są porównywane z założonymi wektorami wyjściat (p), co pozwala obliczyć skalarna miarę błędu sieci neuronowej, np. w postaci funkcji kwadratowej: E= 1 2 P M (t (p) i y (p) p=1i=1 i ) 2 = 1 2 P M (δ (p) p=1i=1 i ) 2, (3.5)

35 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 35 gdzie: E błąd średniokwadratowy, δ i (p) błądi-tego wyjścia wyznaczony dlap-tego wzorca uczącego, M liczba wyjść (składowych wektoray (p) ) Uczenie sieci neuronowej typu SWPB Standardowa strukturę jednokierunkowej warstwowej sieci neuronowej można zapisać za pomoca wzoru: N H 1 H 2... H HL 1 M, (3.6) gdzie: N liczba wejść sieci, H l liczba neuronów w kolejnych warstwach ukrytych l=1,...,hl -1, M liczba wyjść sieci. Cechą charakterystyczna sieci SWPB jest liczba jej parametrów. Liczba Parametrów Sieci neuronowej (LP S) jest równa całkowitej liczbie jej uogólnionych wag (połaczeń między neuronami oraz biasów): HL LPS=LWS+LBS=N H 1 + (H h 1 H h )+ H h, (3.7) gdzie: HL = M liczba neuronów w warstwie wyjściowej sieci. Dla przykładu, sieć na rys. 3.3a ma strukturę Wynika stądlws= = =27, LBS=3+3+2=8, zatem całkowita liczba parametrów sieci jest równalps = = 35.LPS jest traktowana jako miara określajaca rozmiar SN i dlatego jest wykorzystywana do oszacowania minimalnej liczby wzorców niezbędnych do nauczenia formułowanej sieci. W celu prawidłowego określenia architektury SN powinno się dążyć do spełnienia nierówności: h=2 HL h=1 LPS L M, (3.8) gdzie: L liczba wzorców uczących. Spełnienie warunku (3.8) zmniejsza ryzyko przeuczenia sieci. W czasie procesu uczenia parametry sieci obliczane są iteracyjnie zgodnie ze wzorem: w ij (s+1)=w ij (s)+ w ij (s), (3.9) gdzie: s numer kroku iteracyjnego.

36 36 Rozdział 3 W powyższym wzorze pominięte zostały indeksy określajace numery warstw i wzorców, natomiast biasy potraktowane są jako wagiw i0 =b i odpowiadajace sygnałowi x 0 =1, (rys. 3.3b). Kolejne przyrosty wag w ij (s) są obliczane iteracyjnie za pomoca odpowiednio dobranej metody uczenia (ang. learning method lub learning rule), polegajacej na minimalizacji funkcji błędu, która najczęściej jest suma kwadratów różnic między aktualnymi wartościami wyjściowymi a wartościami zadanymi, por. wzór (3.5). Metoda największego spadku Najprostsza z metod, której celem jest obliczenie w ij, wykorzystuje gradient funkcji błędu (3.5) oraz współczynnik uczeniaηi ma następujac a postać: gdzie: w ij = η E ( 1 = η w ij w ij 2 =η(t i y i ) df dν i w ij ( N k=1 M ( ti F(ν i ) ) 2 ) = i=1 w ik x k +b i )=η(t i y i ) df i dν i x j = =η(δ i F )x j =η δ i x j, (3.10) δ i =t i y i, δi =δ i F, F =df/dν i (3.11) Zasada zmiany współczynników wag, określona wzorem (3.11), zapisana w postaci: w ij =η δ i x j, dla i=1,...,m, oraz j=0,1,...,n (3.12) nazywana jest uogólniona reguła delty [77]. Odpowiada ona metodzie największego spadku w zadaniach programowania matematycznego, a dla w ij 0 sprowadza się do poszukiwania minimalnej wartości funkcji błędu E w przestrzeni parametrów sieciw ij. Najlepiej znana strategię doboru parametrów sieci wielowarstwowej, wykorzystujac a wzór (3.9), zawiera agorytm wstecznej propagacji błędu, który został odkryty niezależnie przez wielu autorów: Brysona i Ho, Werbosa, Parkera, Rumelharta, Hintona i Wiliamsa (por. cyt. [48]). Opis tego algorytmu oraz wielu jego modyfikacji można znaleźć m.in. w pracach [30, 48, 49, 116]. Nazwa algorytmu WPB związana jest ze sposobem przesyłania błędów: z warstwy wyjściowej wstecz poprzez sieć w celu określenia odpowiednich zmian w warstwach wcześniejszych. Na rysunku 3.4 przedstawiono to podejście dla najprostszej sieci jednowarstwowej, składajacej się jedynie z warstwy wejściowej i wyjściowej.

37 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Æ Podstawy sztucznych sieci neuronowych 37 x w y F ÃË t y t w δ E Rys Schemat algorytmu wstecznej propagacji błędu (WPB) (blok KS zawiera kryterium stopu) Sieć, której wagi modyfikowane są według wzoru (3.10), nazwana jest klasyczna siecia SWPB. Jest to najprostsza metoda/sieć i z tego powodu jest obciażona dwiema zasadniczymi usterkami. Gradientowe metody optymalizacji nie mają zdolności wyznaczania minimum globalnego, pozwalaja jedynie na znajdowanie minimów lokalnych, których osiaganie zależy od doboru wag początkowychw ij dla iteracjis=0. Dodatkowo szybkość oraz stabilność procesu uczenia silnie zależy od wyboru wartości parametru uczenia η. Rozwiązanie pierwszego z problemów może być realizowane w różnorodny sposób. Zazwyczaj wartości początkowe wag sieci są losowane z pewnego przedziału [ a, a], gdzie a jest ściśle związane ze struktura sieci. Innym podejściem, często stosowanym przy doborze wag poczatkowych, jest korzystanie z metod miękkich, takich jak symulowane wyżarzanie czy algorytmy genetyczne [94]. Wspomniana wyżej drugą usterkę standardowej sieci WPB, tj. dobór η, można eliminować przez stosowanie bardziej wyrafinowanych metod uczenia. Spośród wielu opracowanych metod [11, 49, 116, 148] pokrótce omówione zostana jedynie najbardziej efektywne i dalej stosowane metody Inne metody uczenia Formułę opisujac a podstawowy algorytm uczenia można zapisać w postaci macierzowej: w=ηd, (3.13) gdzie: w={w 1,...,w LPS } wektor uogólnionych wag sieci, d wektor kierunku poszukiwania rozwiązania. Dla klasycznej sieci ze wsteczna propagacja błędu wektor kierunku poszukiwań przyjmuje wartość d = g, gdzie: g={g 1,...,g LPS } grade={ E/ w i } LPS i=1 (3.14)

38 38 Rozdział 3 Jak wspomniano powyżej, klasyczna sieć WPB cechuje silny wpływ wartości współczynnika uczenia η na stabilność i szybkość procesu uczenia. W przypadku płaskich powierzchni funkcji błędu małe wartości η znaczaco wydłużaja liczbę iteracji, a z kolei dla dużych wartości tego współczynnika algorytm może stać się niestabilny i nie jest w stanie osiagn ać optymalnego punktu w przestrzeni wag, por. pracę [49]. Człon momentum Istnieje wiele sposobów poradzenia sobie z tym problemem; najprostszym z nich jest zastosowanie członu momentum. Zgodnie z tym podejściem zmiana wag wyraża się wzorem: w(s)= ηg(s)+α w(s 1), (3.15) gdzie: α [0,1] dodatnia stała, określajaca wpływ poprzedniej zmiany wag w(s 1) na zmianę dokonywana aktualnie. Drugi człon prawej strony równania (3.15), zwany członem momentum, eliminuje gwałtowne zmiany wartości funkcji błędu w przestrzeni wag. Metoda Levenberga-Marquarta Jednym z najbardziej efektywnych algorytmów uczenia sieci jednokierunkowych jest pseudogaussowska metoda Levenberga-Marquarta (LM), w której kierunek minimalizacji d przyjmuje postać: d= (J T J+µI) 1 g, (3.16) gdzie: J macierz jacobianu, µ 0 parametr regularyzacyjny. Macierz J obliczana jest na podstawie funkcji błędu sieci E(w) w następujacy sposób: E(w)= 1 n ( δi (w) ) 2 1 = 2 2 δt δ, gdzie δ i =t i y(x,w) (3.17a) J(w)= i=1 δ 1 w 1 δ 1 w n.. δ 1 δ w n n w n, g=jt δ, gdzie: δ ={δ 1,...,δ n } wektor wartości błędów obliczonych na wyjściu sieci, n = LP S liczba parametrów sieci. (3.17b)

39 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 39 Metoda Levenberga-Marquarta jest implementacja newtonowskiej strategii optymalizacji. W zapisie formalnym (3.16) różnica między formułą Gaussa-Newtona i Levenberga-Marquarta polega na tym, że w drugiej hesjan jest przybliżany za pomocą pierwszych pochodnych miary błędu i dodawany jest regularyzator µi. Jeśli współczynnikµ zbliża się do zera (µ 0), to wektor wagwobliczony za pomocą metody LM będzie bardzo zbliżony do wartości otrzymanych przy zastosowaniu algorytmu Gaussa-Newtona. Zwiększaniu wartości współczynnika µ towarzyszy wzrost znaczenia kierunkud wyznaczonego za pomocą gradientu funkcji błędu, czyli algorytm staje się metodą największego spadku. W typowych przypadkach algorytm LM jest najszybszym algorytmem uczenia sieci jednokierunkowych. Niestety, w związku z wymaganiami w zakresie pamięci, które są proporcjonalne do(lps) 2, jest on niepraktyczny dla dużej architektury sieci. Metoda Rprop Oprócz metod uczacych stosujacych znane algorytmy optymalizacji funkcji nieliniowych, takich jak metody: zmiennej metryki, gradientów sprzężonych czy omówionej wyżej metody Levenberga-Marquarta, opracowano wiele algorytmów typu heurystycznego, por. np. pracę [148]. Algorytmy te są pewnymi modyfikacjami powszechnie znanych algorytmów optymalizacyjnych (np. metody największego spadku), przyspieszajacymi ich działanie. Nie mają one najczęściej ścisłego uzasadnienia teoretycznego, zwłaszcza przy doborze wartości parametrów sterujacych działaniem poprawki, ale uwzględnione są w nich doświadczenia różnych autorów z zakresu prac nad sieciami neuronowymi. Z szeregu algorytmów heurystycznych bardzo użyteczny jest opracowany przez Riedmillera i Brauna w 1992 r., algorytm Rprop (ang. Resilient propagation). Algorytm odpowiada metodzie lokalnej, gdyż każdej wadzew i przypisuje się oddzielny parametr uczeniaλ i, por. pracę [148]. Istota metody jest uwzględnienie w procesie aktualizacji wag tylko znaku składowej gradientu (jej wartość jest pomijana). W metodzie Rprop stosuje się następujac a formułę uczenia: w i = η i (s) sign(g i (s)), (3.18) gdzie: min ( η + ) η i (s 1),η max dla g i (s)g i (s 1)>0 η i (s)= max((η η i (s 1),η min ) dla g i (s)g i (s 1)<0 η i (s 1) w pozostałych przypadkach (3.19) gdzie: η +,η,η min,η max stałe uczenia.

40 40 Rozdział 3 Algorytm Rprop pozwala znacznie przyspieszyć proces uczenia, dlatego jest on dobrym rozwiązaniem wówczas, gdy niemożliwe jest zastosowanie metody LM. Podczas uczenia sieci prezentowane są kolejno wszystkiep=1,...,l wzorce uczace. Jedna prezentacja zbioru wzorców wraz z odpowiednia korekcja wag jest nazywana epoka. Przy takiej definicji epoka odpowiada jednemu krokowi s we wzorze (3.9). Proces uczenia jest zakończony po spełnieniu tzw. kryterium stopu (blok KS na rys. 3.4). Jednym z bardzo często przyjmowanych kryteriów stopu jest osiągnięcie pewnej liczby epok S odpowiadajacej stabilizacji błędu uczenia. Wartość S szacuje się na podstawie obliczeń wstępnych, wykonywanych w fazie projektowania sieci Definicje podstawowych błędów Do oceny nauczonej sieci można wykorzystywać różne miary błędu. Oprócz błędu średniokwadratowego (3.5), który jest podstawowa miarą błędu w metodach statystycznych, często stosowanymi są inne błędy: średniokwadratowymse (ang. Mean Squared Error) oraz średniokwadratowy pierwiastkowy RM SE (ang. Root Mean Squared Error): MSE= 1 P P M ((p) t i y (p) ) 2, i RMSE= MSE (3.20) p=1i=1 Poważnym problemem związanym z zastosowaniem średniokwadratowej miary błędów jest to, że bardziej podkreśla duże błędy niż małe oraz że nie nadaje błędom wag w zależności od ich znaczenia. Dlatego do oceny predykcji sieci można posługiwać się również innymi miarami błędów, np. średnim błędem bezwzględnym, który w mniejszym stopniu eksponuje duże błędy lub stosowanym przez inżynierów błędem względnym avr ep (ang. Average Absolute Relative Error) lub maksymalnym błędem bezwzględnymmaxep, które dlai-tego wyjścia mają następujac a postać: avrep i = 1 P P p=1 ep i, maxep i =maxep i, gdzie p ep i = 1 y(p) i t (p) 100% i (3.21) W celu oszacowania wyników otrzymanych z symulacji SN bardzo często stosuje się miary statystyczne, np. odchylenie standardowe Stε, które odpowiada błędowi RMSE (jeśli nie stosuje się skalowania zmiennych wyjściowych) oraz wpółczynnik korelacji liniowej: r i = Pp=1 (t (p) i t i )(y i (p) ȳ i ) Pp=1 (t (p) i t i ) 2 P p=1 (y (p) i ȳ i ) 2, (3.22)

41 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 41 gdzie: t i = 1 P P p=1 t (p) i, ȳ i = 1 P P p=1 y (p) i (3.23) są wartościami średnimi zbiorów t i y. W przypadku i = 1 ideks i jest pomijany Problemy projektowania sieci neuronowych Projektowanie sieci jest zadaniem złożonym wymagającym rozważenia wielu zagadnień, dotyczacych m.in.: a) analizy i preprocesingu danych, a następnie wyboru wzorców uczących i testuja- cych sieć; b) doboru architektury sieci (liczby warstw, liczby neuronów w każdej warstwie oraz funkcji aktywacji), metody uczenia sieci oraz kryterium stopu; c) testowania mającego na celu sprawdzenie zdolności generalizacyjnych zaprojektowanej sieci. Istnieje wiele pytań teoretycznych i praktycznych dotyczacych tego, co mogą, a czego nie mogą nauczyć się sieci neuronowe typu WPB, ile warstw oraz ile neuronów w tych warstwach należy przyjać, aby zrealizować dane zadanie, kiedy możemy oczekiwać od zaprojektowanej sieci zdolności generalizacyjnych itp. Pewne pytania pozostaja na razie bez odpowiedzi, na inne z nich można dać odpowiedzi wsparte twierdzeniami. Stosunkowo niedawno, bo w latach , za sprawą autorów takich, jak Cybenko [22] i Hornik ze współpracownikami [54, 55] rozstrzygnięto, wychodzac z teorii Kołmogorowa [47, 76], że przy N neuronach wejściowych wystarczy jedna warstwa ukryta o 2N + 1 neuronach (z różnymi funkcjami aktywacji) do aproksymacji dowolnej funkcji ciągłej z dowolna dokładnościa. W przypadku odwzorowania nieciagłego x y jedna warstwa nie wystarcza i konieczne jest użycie drugiej warstwy neuronów. Dodatkowo sieć o dwóch warstwach ukrytych jest także uniwersalnym aproksymatorem pochodnej funkcji, por. prace [15, 83]. W praktycznych rozwiązaniach, zarówno liczba warstw, jak i neuronów w warstwie może być różna od zaproponowanej w twierdzeniu Kołmogorowa. Zarówno niedomiar, jak i nadmiar neuronów prowadzi do niezadowalajacej jakości odwzorowania, dlatego też wybór architektury sieci jest jednym z podstawowych zagadnień wymagających rozwiązania podczas projektowania sieci. Zbyt mała liczba neuronów pozbawi sieć informacji niezbędnych do prawidłowego rozwiązania problemu. Natomiast zbyt duża ich liczba może, oprócz zdecydowanego wydłużenia czasu uczenia (zwłaszcza dla dużej architektury sieci), spowodować wystąpienie tzw. nadmiernego

42 42 Rozdział 3 dopasowania Ý (ang. over-fitting) sieci. Ze względu na Ýdużą liczbę swobodnych parametrów (wag) sieć będzie się uczyć nieistotnych cech zbioru uczącego. Zjawisko to przedstawione na rys. 3.5 jest nazywane dylematem bias-wariancja, por. pracę [48] lub brzytwa Occhama [11]. a) b) ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ µ µ Ü Ü Þ ÖL Þ ÖL Þ ÖT Þ ÖT Rys a) model dobrze dopasowany, b) model nadmiernie dopasowany Poszukiwania optymalnej liczby neuronów (H opt ) jest czasochłonne, ale zawsze powinno być stosowane, szczególnie w bardziej złożonych zadaniach. Mimo bardzo bogatego zbioru metod automatycznego doboru optymalnej architektury sieci, w dalszym ciągu najczęściej stosowanym podejściem jest przyjęcie na początku obliczeń małej liczby neuronów, która następnie należy zwiększać i powtarzać proces uczenia dotad dopóki błąd uczenia nie stanie się wystarczajaco mały. Nauczona sieć powinna być weryfikowana za pomoca zbioru oceniajacego. Jeśli jakość sieci na zbiorze oceniajacym jest wyraźnie gorsza niż na zbiorze uczącym, to albo zbiór uczący jest wadliwy, albo sieć jest przetrenowana (za dużo neuronów ukrytych) Sieci rekurencyjne Hopfielda W dotychczas opisywanych sieciach SWPB wyjścia neuronów w danej warstwie mogły być połączone jedynie z wejściami neuronów warstwy następnej, co powodowało jednokierunkowy przepływ informacji, tzn. sygnały były przesyłane tylko w jednym kierunku: od warstwy wejściowej, poprzez ewentualne warstwy ukryte, do warstwy wyjściowej. Istnieja również tzw. rekurencyjne sieci neuronowe (ang. recurrent neural networks), w których istnieja sprzężenia zwrotne, tzn. wyjścia neuronów mogą być połączone z wejściami neuronów tej samej warstwy lub warstw pośrednich. Z punktu widzenia teorii systemów sieci rekurencyjne są nieliniowymi układami dynamicznymi, gdyż ich zachowanie się w czasie jest wyznaczone nie tylko przez aktualnie

43 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 43 działajace wejścia, lecz zależy również od wejść, które występowały w przeszłości. Sieci rekurencyjne wykorzystywane są jako pamięci skojarzeniowe lub do rozwiązywania problemów optymalizacyjnych. Jednym z głównych przedstawicieli sieci rekurencyjnych jest sieć (albo model) Hopfielda, która można przedstawić na wiele sposobów, zwykle jednak przyjmuje się w postaci układu z bezpośrednim sprzężeniem zwrotnym wyjścia z wejściem, rys w 11 Σ v 1 (s) F 1 x 1 (s) x 1 (0) 1 w 1N I 1 w 21 Σ v 2 (s) F 2 x 2 (s) x 2 (0) w 2N I 2 w N1 Σ v N (s) F N x N (s) x N (0) w NN I N Rys Ogólny schemat sieci Hopfielda Przy określonym stanie pobudzenia neuronów sieciom Hopfielda można przyporządkować funkcję energetyczna por. prace [48,52,116]. Najważniejsza właściwościa funkcji energetycznej jest to, że zawsze maleje (lub pozostaje stała), w związku z tym zmiana stanu pobudzenia neuronu jest poczatkiem zmiany stanu energetycznego całej sieci aż do osiągnięcia jego minimum. Termin funkcja energetyczna pochodzi od analogii fizycznej do układów magnetycznych. Ale koncepcja ma znacznie szersze zastosowanie, gdyż w wielu dziedzinach istnieje funkcja stanu, która zawsze maleje podczas ewolucji dynamiki lub musi być minimalizowana, aby znaleźć stan stabilny lub optymalny. Najbardziej ogólna nazwa tej funkcji, z teorii układów dynamicznych, to funkcja Lapunowa [20]. Inne nazwy to hamiltonian w mechanice statystycznej, funkcja kosztu lub funkcja celu w teorii optymalizacji lub funkcja przystosowania w biologii ewolucyjnej.

44 44 Rozdział Dyskretna sieć Hopfielda Sieć dyskretna (albo model dyskretny) Hopfielda, zaproponowana w 1982 roku przez Hopfielda w pracy [51], zbudowana była za pomocą dwustanowych neuronów typu McCullocha-Pittsa. Sieć ta należy do rodziny sieci pracujacych jako tzw. pamięci skojarzeniowe (ang. associative memories), w których informacja odtwarzana jest na podstawie postaci sygnału wejściowego, a nie za pomoca fizycznego adresu. Sieć zaproponowana przez Hopfielda składa się z N neuronów, z których w danej chwili wyjście jednegoi-tego z nich jest aktualizowane wg wzoru: 1 dla v i (s)>0 y i (s+1)= y i (s) dla v i (s)=0 0 dla v i (s)<0 (3.24) gdzie: N v i (s)= w ij x j (s)+b i j=1 Zmiany stanu sieci następuja tylko w dyskretnych chwilachs, a sieć pracuje asynchronicznie. W strukturze sieci pomija się samosprzężenie neuronu oraz zakłada się, że macierz wag jest symetryczna, co oznacza, że: w ii =0, w=w T (3.25) W działaniu modelu dyskretnego Hopfielda, podobnie jak w sieciach jednokierunkowych, można wyróżnić dwa etapy: uczenia i rozpoznania. Uczenie sieci może przebiegać według różnych strategii i ma na celu dobór wagw ij na podstawie zadanych wzorców uczacych x. Podczas etapu odtwarzania stan całej sieci zmienia się w sposób zapewniajacy obniżanie wartości funkcji energii wg wzoru (3.27), aż do osiagnięcia stanu stabilnego, w którym zachodzi: y i (s+1)=y i (s) (3.26) Dla sieci dyskretnej funkcję energii najczęściej przyjmuje się w postaci: E(y)= 1 2 yt wy+b T y= 1 2 N N w ij y i y j j i,i j N b i x i (3.27) i Stany stabilne sieci, odpowiadajace minimum funkcji energii, nazywa się atraktorami (ang. attractors). Każdemu z nich można przyporzadkować zbiór warunków

45 Podstawy sztucznych sieci neuronowych 45 poczatkowych (stanów y(0)), które inicjuja ewolucję sieci kończac a się na tym atraktorze. Sieci dyskretne znalazły powszechne zastosowanie jako pamięci autoskojarzeniowe w rozpoznawaniu obrazów. W tym przypadku dynamika sieci odpowiada działaniu filtra, mającego na celu usunięcie zniekształceń obrazu wejściowego Ciagły model Hopfielda-Tanka W roku 1984 Hopfield w pracy [52] zaproponował ciągła (analogowa) wersję swojej sieci. Następna praca z roku 1985, por. [53], przedstawiona przez Hopfielda i Tanka, omawia zastosowanie tego modelu jako uniwersalnego narzędzia do rozwiązywania kombinatorycznych problemów optymalizacyjnych. Następne prace Hopfielda (por. cyt. [49]) omawiają szczegółowo dalsze zastosowania sieci oraz kwestię implementacji elektronicznej modelu. Podstawowa różnica między modelem ciągłym a dyskretnym polega na wprowadzeniu ciągłego zamiast dyskretnego czasu oraz zastosowaniu ciągłej zamiast skoku binarnego funkcji aktywacji, która przybliża sieć Hopfielda do jej biologicznego pierwowzoru. Podobnie, jak to było w przypadku modelu dyskretnego, także z każda siecia analogowa kojarzy się odpowiednia funkcję energii. Najczęściej dobiera się ją analogicznie do wzoru (3.27) w postaci: E(y)= 1 N N N 1 w ij y i y j + 2 R j=1 j=1 i=1 i yi 0 F 1 i (ξ)dξ N b i y i, (3.28) i=1 gdzie: R i są parametrami. Konkretne wartości wagw ij oraz biasówb i dobiera się stosownie do problemu, w którym zamierza się stosować sieć. Algorytm poszukiwania minimum funkcji energiie w analogowej sieci Hopfielda sprowadza się do rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych, por. publikacje [48, 49, 52, 53, 116]: dv i N τ i dt = E = w ij y j v i b i, y i =F(v i (t)) dla i=1,...,n, y i j=1 (3.29) gdzie: τ i stała wartość liczbowa, a jej interpretacja jest analogiczna do stałej czasowej w równaniach opisujacych stan dynamiczny w obwodach RC. Układ równań (3.29) jest odpowiednikiem układu równań (3.24) obowiązujacego

46 46 Rozdział 3 w przypadku sieci dyskretnej. W równaniach (3.29) występuje zmienna pomocniczat, która można interpretować jako czas upływajacy od chwili rozpoczęcia procesu minimalizacji funkcji E(y) aż do ustalenia się wartości wszystkich zmiennych v i (t). Wtedy wartości pochodnychdv i /dt zeruja się, a to zgodnie ze wzorem (3.29), odpowiada zerowaniu się gradientu E(y), czyli osiągnięcia punktu stacjonarnego funkcji energii. Model analogowy jest synchroniczny (wszystkie równania różniczkowe rozwiązywane są równocześnie), ciągły i deterministyczny, co różni go od modelu dyskretnego. Analog Hopfielda-Tanka (AHT) od samego poczatku powstania znalazł wiele zastosowań praktycznych [48, 93, 115]. Przykładem może być sieć realizujaca programowanie kwadratowe z ograniczeniami zastosowane przez Panagiotopoulosa i Mistakidisa do analizy konstrukcji z więzami jednostronnymi [79, 99]. To podejście będzie stosowane dalej do analizy zagadnień kontaktowych również z uwzględnieniem tarcia niemonotonicznego w strefie kontaktu.

47 Rozdział 4 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 4.1. Wprowadzenie Celem niniejszego rozdziału jest przedstawienie zastosowania techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji. Mimo że technika off line jest dużo łatwiejsza do implementacji od techniki on line, to sformułowane w ten sposób programy hybrydowe mogą cechować się różnymi stopniami, strukturami i poziomami integracji użytych komponentów, por. p Podejście off line składa się z dwóch etapów. Etap pierwszy to projektowanie architektury, a także dobór wartości wag połączeń synaptycznych sieci neuronowej za pomoca odpowiednio przygotowanych danych (wzorców) oraz wybranej metody uczenia. W etapie drugim może nastapić stosowna integracja wcześniej przygotowanej sieci z programem metody elementów skończonych (MES). W kolejnych punktach rozdziału pokazano, że procedury neuronowe mogą być użyte na różnym poziomie wykonywanej analizy: a) poziomie punktu P, np. dla płaskiego stanu naprężeń, por. p. 4.2, b) poziomie przekroju S, np. podczas analizy zginania płyt, por. p , c) poziomie układu U, stanowiąc oddzielny komponent obliczeniowy podczas analizy niezawodności wzorcowej ramy płaskiej, por. p Jednym ze sposobów pozwalajacych na utworzenie zbiorów wzorców potrzebnych do opracowania SN są obliczenia numeryczne. Ze względu na decydujacy wpływ wzorców na właściwości, czyli na zakres zastosowania sieci, uwagę należy skupić na doborze odpowiedniego algorytmu generujacego, por. [94]. Za pomoca obliczeń numerycznych można utworzyć dwa rodzaje wzorców:

48 48 Rozdział 4 1) wzorce subiektywne, nazywane również wzorcami problemowo zorientowanymi, 2) wzorce obiektywne, które nie zależa od konfiguracji analizowanego problemu, a generowane są za pomoca równań konstytutywnych. W dalszej części rozdziału zastosowano obydwa typy wzorców w celu porównania możliwościach aproksymacyjnych (predykcyjnych) użytych w analizie sieci neuronowych. Projektowanie i implementacja systemów hybrydowych o wysokim stopniu integracji komponentów polega na modyfikacji i/lub rozszerzaniu programu MES i dlatego wymaga dogłębnej znajomości jego kodu źródłowego. W związku z tym analiza przedstawiona w p. 4.2 i została wykonana za pomoca własnego oprogramowania rozwijanego w ramach projektu badawczego [2]. Obliczenia próbek do symulacji metody Monte Carlo w p. 4.4 wykonano za pomocą programu ELPLAF, opracowanego wspólnie z innymi autorami w ramach projektu badawczego [1] Analiza płaskiego stanu naprężenia w zakresie sprężysto-plastycznym Wprowadzenie W materiałowo nieliniowej analizie (gdy obowiązuja nieliniowe związki fizyczne na poziomie punktup) za pomoca metody elementów skończonych związki między wektorem sił wewnętrznychp wew a wektorem przemieszczeńqna poziomie układuu są nieliniowe. Dodatkowo wektorp wew zależy również od historii obciaże- nia. W związku z tym, żeby określić stan równowagi analizowanego układu, należy zdyskretyzować nie tylko przestrzeń (używajac elementów skończonych (ES)), ale również czas (za pomocą jego przyrostów). Podczas analizy sprężysto-plastycznych zagadnień brzegowych czas nie ma fizycznego znaczenia, dlatego jest nazywany umownym czasem τ, służacym wyłącznie do opisu ciągu zdarzeń, np. kolejnych przyrostów obciażenia czy przemieszczenia. Obliczenia startuja w chwiliτ, gdy jest znany wektor przemieszczeń m Q, a poszukiwany jest kolejnym+1 wektor rozwiązań m+1 Q po zrealizowaniu przyrostu τ umownego czasu. Stan równowagi na końcu każdego przyrostu obciążenia jest osia- gany iteracyjnie za pomoca metody Newtona-Raphsona, w której kolejny podprzyrost przemieszczeń Q (it+1), odpowiadajacy zadanemu przyrostowi obciążeń, jest wyznaczony po rozwiązaniu nieliniowego układu równań algebraicznych: K (it) T Q(it+1) =R (it), Q (it+1) = Q (it) + Q (it+1), (4.1)

49 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 49 gdzie: K (it) T styczna macierz sztywności układu, R (it) wektor sił residualnych wit-ej iteracji. Najistotniejszym punktem algorytmu Newtona-Raphsona jest oszacowanie naprężeń σ (it), spełniajacych nieliniowe prawo materiałowe dla znanej historii odkształceń. Całkowanie równań konstytutywnych dla materiałów sprężysto-plastycznych może być realizowane za pomocą różnych algorytmów opracowanych na przestrzeni ostatnich 20 lat, por. np. prace [82, 113, 114, 156, 184]. Jednym z takich algorytmów, powszechnie stosowanym dla płaskiego stanu naprężeń (PSN) w zadaniach sprężysto-plastycznych, jest Return Mapping Algorithm (RMA), zaproponowany przez Simo i Taylora w 1986 roku, por. pracę [160]. Dalej jest omawiana symulacja RMA za pomocą jednokierunkowej warstwowej sieci neuronowej typu WPB, formułowanej w trybie off line. Po wykonaniu fazy uczenia za pomocą specjalnie przygotowanych wzorców (nazwanych dalej wzorcami obiektywnymi ) sieć jako procedura neuronowa została włączona do programu MES realizujacego analizę sprężysto-plastycznych dwuwymiarowych zagadnień brzegowych. W ten sposób utworzony został hybrydowy program MES/SN obj, łącza- cy obliczenia numeryczne z neuronowymi. Pomysł implementacji procedur neuronowych do programów MES i MRS (Metody Różnic Skończonych) został zaproponowany w pracach [104, 181]. Natomiast zastosowanie sieci neuronowych do symulacji związków fizycznych zostało zaproponowane w pracy [38] do opisu związków między naprężeniami i odkształceniami w betonie. Sieci neuronowe zostały również użyte do odtwarzania relacji moment krzywizna na poziomie przekroju sprężysto-plastycznej belki, por. pracę [56]. W tym przypadku model neuronowy zbudowany został za pomoca danych doświadczalnych. Inne podejście zostało przyjęte w pracy [104], gdzie wzorce uczace wygenerowano za pomoca wzoru analitycznego. Zastosowanie sieci neuronowych do modelowania materialu zostało przedstawione także w wielu innych pracach, np. [32, 34, 66, 87, 128], w których użyto techniki off line, a dane służące do formułowania sieci neuronowych pochodziły z badań doświadczalnych lub też eksperymentów numerycznych Równania konstytutywne sprężysto-plastyczne dla płaskiego stanu naprężeń Podstawowe równania konstytutywne dla płaskiego stanu naprężeń przy założeniu małych (infinitezymalnych) odkształceń, związane z teoria płynięcia plastycznego, opieraja się na następujacych założeniach, por. np. publikacje [24, 59, 157, 200]: 1. Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Henckego (HMH), zależny od drugiego

50 50 Rozdział 4 niezmiennikaj 2σ stanu naprężenia dla wzmocnienia izotropowego: 3 3 F(σ)= 2 J 2σ σ e = 2 σt Pσ σ e =0, (4.2) gdzie: σ wektor naprężenia, P macierz liczbowa, por. praca [147]: 2/3 1/3 0 σ (3 1) ={σ x,σ y,τ xy }, P (3 3) = 1/3 2/3 0 (4.3) Hipoteza liniowego wzmocnienia izotropowego wg koncepcji Odquista: σ e =σ 0 +Hǫ p, (4.4) gdzie: σ 0 naprężenie na granicy plastyczności (ang. yield point) dla jednoosiowego rozciągania, ǫ p efektywne odkształcenia plastyczne, których przyrosty 2 ǫ p = λ 3 σt Pσ (4.5) są obliczane na podstawie przyrostu λ mnożnika plastycznego λ, H parametr liniowego ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ wzmocnienia izotropowego wyznaczany na podstawie testu jednoosiowego rozciagania określajacego charakterystykę materiału o zadanym module wzmocnienia odkształceniowegoe T EÌ, por. rys σ H σ 0 E ε 0 Rys Charakterystyka materiału sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem izotropowym ParametryH ie T są związane ze soba następujac a zależnościa: ε p ε H= EE T E E T (4.6)

51 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji Całkowite odkształcenia (i ich przyrosty) są sumą części sprężystej i plastycznej: ε=ε e + ε p, ε= ε e + ε p, gdzie ε={ ε x, ε y, γ xy } (4.7) 4. Stowarzyszone prawo płynięcia: ε p = λ F σ 5. Prawo Hooke a, opisujace początkowo sprężysty materiał: σ=e ε e, E= E 1 ν 0 1 ν 2 ν gdzie: ν współczynnik Poissona. λpσ (4.8) (1 ν) 2, (4.9) Algorytm całkowania sprężysto-plastycznych zwiazków konstytutywnych W przypadku materiałów sprężysto-plastycznych całkowanie równań konstytutywnych jest wykonywane w każdym punkcie dyskretyzacji (punkt Gaussa elementu) dla wszystkich iteracji(i), realizowanych w ramach zadanego krokumprzyrostu umownego czasu τ. Stan naprężeń, odkształceń oraz parametry opisujace proces na poziomie punktu P, są uaktualniane po osiągnięciu zbieżności na poziomie całego układuu, por. praca [10]. Całkowanie równań konstytutywnych rozpoczyna się, gdy znany jest przyrost wektora przemieszczeń Q obliczony na poziomie układuu. Następnie wektor Q jest przekazany do elementu i dalej do punktu Gaussa, gdzie obliczane są przyrosty odkształceń ε służace do całkowania przyrostowych równań konstytutywnych. Procedura całkowania składa się z dwóch kroków. Krok pierwszy to obliczenie sprężystego predyktora dla założonego linowego materiału. Po czym, jeśli nastapił proces aktywny w przestrzeni naprężeń, następuje ortogonalny powrót na aktualna powierzchnię plastyczności (plastyczny korektor). W ten sposób otrzymujemy wektor naprężeń w tym punkcie. Schemat RMA można przedstawić w przestrzeni naprężeń tak jak pokazano na rys Załóżmy, że punktem startowym jest punktależacy wewnątrz powierzchni plastycznościf(σ, λ) =0, a sprężysty przyrost (predyktor) naprężeń σ e = E ε przecina powierzchnię plastyczności i osiąga punkt oznaczony przez. Główny problem algorytmu RMA polega na wyznaczeniu punktudleżącego na aktualnej powierzchni plastycznościf D F(σ D, λ)=0.

52 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 52 Rozdział 4 σ F(σ D, λ) = 0 A σ A σ D D Rys Schemat algorytmu RMA Szczegółowe operacje zawarte w algorytmie RMA można przedstawić w postaci następujacego ciągu kroków: 1. σ = σ A +E ε 2. F(σ ) 0 NN (i) 3. Rozwiązanie równania F( λ) = 0 w celu obliczenia λ a) I = ( I+ λep ) 1 σ b) σ=i σ c) σ 2 Y = σt Pσ d) F( λ)= 1 2 σ2 Y 1 3 σ2 e( ǫp + λ 4. I D =I( λ) 2 ) 3 σ2 Y =0 λ 5. σ D =I D σ (4.10) 6. A D = 4 ( ) 2H σe /(1 D 2 ) 9 3 H λ 7. E D =I D E, s=pσ D,a=E D s 8. E D ep =ED aa T A D +s T a Powyższy algorytm realizuje odwzorowanie: {σ A, ε} {σ D,E D ep}, (4.11) które umożliwia wyznaczenie wektora aktualnych naprężeń σ D, mnożnika plastycznego λ, a następnie po wykonaniu ciągu operacji arytmetycznych prowadzi do tzw. algorytmicznego (konsystentnego) operatora sztywnoście D ep, por. prace [24, 135,

53 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji ,159]. Obliczony operatore D ep służy do wyznaczenia stycznej macierzy sztywnościk (i) układu globalnego w celu wykonania kolejnego kroku iteracyjnego podczas rozwiazywania układu nieliniowych równań algebraicznych (4.1) Symulacja algorytmu RMA za pomoca SWPB Częścia składowa algorytmu opisujacego sprężysto-plastyczne związki fizyczne jest fragment oznaczony we wzorach (4.10) krokami odadod. Dokładnie ta część algorytmu jest jest związana z tzw. ortogonalnym powrotem na powierzchnię plastyczności. Zasadnicza trudność algorytmu RMA jest związana z koniecznościa rozwiazania silnie nieliniowego równania F( λ) = 0 w celu obliczenia przyrostu mnożnika plastycznego λ, sprzężonego z wyznaczeniem aktualnej powierzchni plastycznościf D =0. W czysto numerycznym postępowaniu przyrost współczynnika λ jest obliczany na drodze postępowania iteracyjnego z zastosowaniem np. metody Newtona [28]. Ten fragment algorytmu poszerzony o dodatkowe punkty (na schemacie punkty 3 5) w hybrydowym programie MES/SN został zastąpiony procedura neuronowa, utworzona na podstawie parametrów sformułowanej w trybie off line sieci SWPB. Przyjęto następujacy wektor wejścia i wyjścia sieci SWPB: x (7 1) ={σ A, ε;χ}, y (4 1) ={ λ, σ D } (4.12) Elementami wektorówx iysą następujace bezwymiarowe wielkości: σ= σ A /σe A, ε=e ε/σa e, χ=h/e, (4.13) gdzie: σe A podstawa skalowania naprężeń. Na rysunku 4.3 przedstawiono schemat zastosowanej sieci realizujacej odwzorowanie x y. Założono, że dalej parametr wzmocnienia odkształceniowego H PSfrag będzie przyjmował stałą wartość, stąd też wektor wejścia sieci x zawiera sześć różnych elementów, natomiast wektor wyjścia y jest czteroelementowy. σ ε χ SWPB λ σ D } E D ep Rys Schemat sieci SWPB

54 54 Rozdział 4 Mimo że z algorytmu RMA wynika zależność wektora naprężeń σ D od przyrostu mnożnika plastycznego λ, zdecydowano, że obydwie wielkości stanowić będą wyjście z sieci. Dzięki takiemu podejściu zmniejszono liczbę elementów wektora wyjścia sieci. Po wykonaniu symulacji neuronowej λ jest wykorzystywane do obliczenia algorytmicznego operatora sztywnoście D ep Przygotowanie zbiorów wzorców uczacych i testujacych SWPB Prawidłowy wybór oraz przygotowanie danych uczących i testujacych jest jednym z podstawowych problemów występujacych podczas formułowania SWPB. Bardzo często dane te są wynikami badań doświadczalnych. Można też, w celu utworzenia potrzebnych zbiorów, wykonać odpowiednie obliczenia numeryczne dla określonych problemów. Wtedy zastosowane podejście nazwane jest podejściem subiektywnym, por. prace [180, 181], a zgromadzone w ten sposób wzorce wzorcami subiektywnymi. Oczywiście właściwości predykcyjne sieci przygotowanej za pomoca takich wzorców są ograniczone i dalsza symulacja neuronowa może być realizowana wyłącznie w zakresie wcześniej analizowanych zagadnień brzegowych. Dalej, w celu poszerzenia zakresu zastosowania formułowanych sieci, został zmieniony sposób przygotowania danych uczacych. Zamiast danych obliczonych podczas analizy wybranych problemów brzegowych (czyli wzorców subiektywnych lub problemowo zorientowanych), w dalszej analizie neuronowej wykorzystane zostały tzw. wzorce obiektywne, por. pozycję [176], które zostały wygenerowane niezależnie od jakiejkolwiek konfiguracji problemu w płaskim stanie naprężenia. Do ich obliczenia wykorzystano jedynie równania konstytutywne. Przyjęto, że wektory naprężeń σ A, stanowiace część wektora wejścia sieci, por. wzór (4.12), są współrzędnymi 360 punktów równomiernie rozłożonych wewnątrz pierwotnej powierzchni plastyczności. Elementy drugiej części wektora wejścia, którymi są składowe wektora przyrostów odkształceń ε={ ε x, ε y, τ xy }, zostały wybrane losowo z przyjętych zakresów ich zmienności. W ten sposób przygotowano około zestawów danych wejściowych. Dane wyjściowe, tzn. przyrost mnożnika plastycznego λ oraz wektor aktualnych naprężeń σ D, zostały obliczone za pomoca algorytmu RMA po przyjęciu stałej wartości bezwymiarowego parametru wzmocnienia izotropowego χ = Oczywiście, dla części przygotowanych danych wejściowych σ A, ε algorytm RMA nie jest wykonywany, gdyżf(σ )<0. Ponieważ celem formułowanej sieci jest symulacja wyżej opisanego algorytmu RMA, dane te nie zostały włączone do zbioru wzorców. Z pozostałych, do uczenia i testowania sieci, wylosowano odpowiedniol=3900 it=9000 wzorców.

55 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji Formułowanie SWPB na podstawie wzorców obiektywnych Dobór architektury SWPB, tzn. liczby warstw ukrytych oraz liczby neuronów w tych warstwach, jest kolejnym po utworzeniu zbiorów wzorców uczących zadaniem, którego rozwiązanie ma wpływ na jakość odwzorowania realizowanego przez sieć. Z doświadczeń wynika, że niekorzystna jest zarówno zbyt duża, jak i zbyt mała liczba neuronów. Dlatego też, mimo że jest to proces długo trwający, odbywajacy się iteracyjnie, zawsze należy dobrać optymalna architekturę sieci. Przebiegajace w dwóch fazach (I dobór architektury, II uczenie i testowanie SN) formułowanie sieci neuronowej zostało zrealizowane za pomoca programu SNNS (Stuttgart Neural Network Simulator) [196]. Przed przystapieniem do analizy dane wejściowe i wyjściowe zostały przeskalowane do przedziału[ 0.9, 0.9]. Po wykonaniu wstępnych obliczeń testowych, do dalszej analizy zaakceptowano trójwarstwowa sieć SWPB o architekturze o bipolarnych funkcjach aktywacji dla neuronów warstw ukrytych oraz liniowych w warstwie wyjściowej. Sformułowana sieć charakteryzuje się stosunkowo duża liczba parametrówlps= = 1124 ze względu na konieczność przewidywania różnych programów i przyrostów obciażenia. Z wielu dostępnych w programie SNNS metod uczenia wybrano metodę Rprop, omówiona w p Do oceny sieci zastosowano standardowa w użytym programie miarę błędu błąd średnokwadratowy (M SE). Proces uczenia i testowania SN został zakończony po S= epokach, po wykonaniu których średniokwadratowe błędy uczenia i testowania wynosiły odpowiedniomsel(s) ,MSET(S) Kolejnym krokiem wykonanym po sformułowaniu SN obj było porównanie opracowanego algorytmu neuronowego ze standardowym algorytmem RMA. Ponieważ obydwa algorytmy wymagają niewielkiej liczby argumentów wejściowych, niemożliwe jest określenie ich złożoności obliczeniowej, która jest funkcja rozmiaru wejścia, por. pracę [140]. W czasie nieliniowej analizy algorytm powrotu na powierzchnię plastyczności wykonywany jest wielokrotnie, dlatego też obydwa algorytmy zostały porównane za pomocą pomiaru rzeczywistego czasu zegarowego potrzebnego do wykonania wielokrotnych ( krotnych) obliczeń wykonanych dla różnych zestawów danych wejściowych{σ A i, ε i} i=1. Okazało się, że do zrealizowania zadania za pomocą procedury neuronowej wystarczy około 40-50% czasu potrzebnego na wykonanie tego samego zadania przez algorytm RMA Wyniki analizy numerycznej Omawiana wyżej sieć SWPB była formułowana w trybie off line, tzn. na zewnątrz programu MES, niezależnie od analizowanego problemu brzegowego. Dalej parametry sieci zostały wykorzystane do zbudowania procedury neuronowej, która

56 ¾¼ÑÑ 56 Rozdział 4 po włączeniu do programu MES zastapiła procedurę RMA. W ten sposób powstał program hybrydowy MES/SN obj łączący obliczenia numeryczne i neuronowe. Program ten został użyty do analizy dwóch problemów brzegowych dotyczacych, por. prace [121, 147]: a) rozciagania tarczy z otworem, b) zginania belki z nacięciem. ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Wyniki analizy programem hybrydowym MES/SN obj, którym były ścieżki stanów równowagi wytyczone w przestrzeni obciażeniowo-przemieszczeniowej oraz mapy naprężeń zastępczych, zostały porównane z analogicznymi wynikami otrzymanymi za pomoca standardowego programu MES. Ê a. Rozciagana tarcza z otworem Zadanie ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ dotyczace jednokierunkowego rozciagania prostokatnej, sprężysto-plastycznej tarczy z otworem było analizowane po raz pierwszy w pracy [199] i od tej pory przez wielu autorów jest traktowane jako wzorcowy test porównawczy (ang. benchmark test) [147, ÑÑ 160]. ¾¼ÑÑ Ê ÑÑ σ y p = Λp E T σ 0 R= 5 mm A x E ε Æ»ÑÑ Æ»ÑÑ Æ»ÑÑ Æ»Ñѵ E = Æ»ÑÑ2 E T = Æ»ÑÑ2 χ = H/E = σ 0 = 243Æ»ÑÑ2 ν = 0.2 p = 121.5Æ»ÑÑ2 Ð Þ Ë ¾ Ð Þ ÛÞ Û ¾ Rys a) geometria i obciążenie, b) charakterystyka materiału, c) siatka skończenieelementowa dla analizowanej ćwiartki tarczy µ µ

57 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 57 Dane dotyczace geometrii, obciażenia i charakterystyki materiału zostały zaczerpnięte z pracy [147], por. rys. 4.4a,b. Dyskretyzacji poddano ćwiartkę tarczy, używajac 8-węzłowych izoparametrycznych elementów skończonych. Za umowny czas przyjęto kinematyczny parametr sterujacyτ =u A =u 181, którym było poziome przemieszczenie węzła 181 zdyskretyzowanej tarczy, punkt A na rys. 4.4c. Założono, że wartość przyrostu parametru sterujacego jest stała τ= u A = const podczas całego procesu deformacji. Aby opisać zachowanie się analizowanej sprężysto-plastycznej tarczy w trakcie procesu obciażania, zostały obliczone w przestrzeni obciażeniowo-przemieszczenio- wej ścieżki stanów równowagi, czyli zależności między parametrem obciażenia Λ a reprezentatywnym przemieszczeniemu A. Ścieżki te zostały wyznaczone za pomocą standardowego programu MES oraz opracowanego programu hybrydowego MES/SN obj. Na rysunku 4.5 liniami ciągłymi przedstawiono ścieżkiλ(u A ) wyznaczone za pomoca programu MES, a liniami przerywanymi programem MES/SN obj. Procedura neuronowa została opracowana dla jednej wartości parametru wzmocnienia izotropowego, przyjęto χ = Mimo tego mogła być ona zastosowana do obliczania ścieżek równowagi dla innych wartości parametru χ. Na rysunku 4.5 pokazano siedem par wybranych ścieżek wyznaczonych dla χ [0.0, 0.07], przyjmujac stałą długość kroku umownego czasu τ= u A =0.02 mm. Na kolejnych rys. 4.6a,b zamieszczono mapy rozkładu naprężeń zastępczychσ z wyznaczoneχ=0.032 iu A =0.55 mm. Rysunek 4.6a przedstawia mapę naprężeń Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò Λ ÑÑ Å Ë»ËÆÓ χ = ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò u A = u Rys Ścieżki równowagiλ(u A ) obliczone za pomocą standardowego programu MES i programu hybrydowego MES/SN obj dla różnych wartości bezwymiarowego parametru wzmocnienia izotropowego χ

58 58 Rozdział 4 a) b) Rys Mapy rozkładu naprężeń zastępczych σ z wyznaczone dla χ = iu A =0.55 mm za pomocą: a) programu MES, b) programu MES/SN obj wyznaczonych za pomocą programu MES, gdzie obliczenia wykonano dla materiału sprężysto-plastycznego. Natomiast na rys. 4.6b pokazany jest rozkład naprężeń, które zostały obliczone systemem hybrydowym MES/SN obj. Z załączonych rysunków (rys. 4.5, 4.6) wynika, że procedura neuronowa SN obj działa poprawnie i z powodzeniem zastępuje algorytm RMA. b. Zginana belka z karbem Kolejny analizowany przykład dotyczył tzw. belki wysokiej (tarczy), której zachowanie się przy danym obciążeniu i warunkach brzegowych można sklasyfikować jako tarczowe płaskie zginanie, odpowiadajace płaskiemu stanowi naprężeń. Przykład ten został zaczerpnięty z publikacji [121], która z kolei była rozwinięciem analizy zamieszczonej w pracy [43]. W publikacji [121] problem zginania belki z nacięciem był rozważany dla płaskiego stanu odkształcenia, przy założeniu wielu modeli sprężysto-plastycznych materiałów oraz różnych typów elementów skończonych. Ze względu na ówczesne braki ogólnego oprogramowania dotyczacego modeli materiałowych czy opisów elementów skończonych, obliczenia wykonywane były za pomoca różnych programów MES.

59 ½¾º ÑÑ º º¾ Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 59 Geometria, warunki brzegowe, obciażenie oraz dane materiałowe analizowanej ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ sprężysto-plastycznej belki z nacięciem pokazane są na rys. 4.7a. Kolejne rysunki µ 4.7b,c przedstawiaja przyjęta dyskretyzację połowy analizowanej belki za pomoca 8-węzłowych izoparametrycznych elementów skończonych, a także numerację węzłów w okolicy karbu. P = ΛP 22.5 o A ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ê ¼º¼¼ ½¾º ÑÑ ½ º¼ B ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ½¾º ÑÑ ½ º¼ E = Æ»ÑÑ2 σ 0 = E/500 = Æ»ÑÑ2 ν = 0.28 º¾ χ = H/E = P = 1.0Æ ½¾º ÑÑ º ½ º¼ Ê ¼º¼¼ º¾ º Ê ¼º¼¼ µ µ 157 Ä Þ Ë Ð Þ ÛÞ Û ½¼ Rys a) geometria, warunki brzegowe oraz obciążenie, b) siatka skończenieelementowa dla połowy analizowanej belki, c) siatka ES z numerami węzłów w okolicy karbu Jako parametr sterujacyτ=v 1 =v A zostało przyjęte pionowe przemieszczenie punktua, który odpowiada węzłowi 1 belki, por. rys. 4.7b. Obliczenia zostały wykonane, podobnie jak dla tarczy, za pomocą dwóch programów: standardowego MES oraz hybrydowego MES/SN obj, przy założeniu w obu przypadkach stałej długości kroku τ= v A = 0.02 mm. Do opisu zachowania się belki wyznaczono dwie zależnościλ(v i ) dlai=1 oraz i = 294, na rys. 4.7b zaznaczone jako punkty A i B. Z postaci ścieżek przedstawionych na rys. 4.8 wynika, że właściwości generalizacyjne procedury neuronowej, która była przygotowywana dla χ = 0.032, są zadowalajace dlaχ [0.0,0.07]. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widoczne różnice występuja dla parametruχ=

60 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 60 Rozdział 4 Ô Ö Ñ ØÖÓ Ò Λ χ = ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ò ÑÑ Å Ë»ËÆÓ χ = χ = v A = v 1 v B = v 294 Rys Ścieżki równowagiλ(u A ) orazλ(u B ) obliczone za pomocą programu MES i MES/SN obj a) b) Rys Mapy rozkładu naprężeń zastępczychσ z wyznaczone dla χ = iu A = 1.0 mm za pomocą a) programu MES, b) programu MES/SN obj

61 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 61 Na rysunku 4.9 przedstawiono mapy rozkładu naprężeń zastępczychσ z wyznaczone dla końcowego stanu obciażenia, tj. dlaτ=v A = 1.0 mm dlaχ= Naprężeniaσ z zostały obliczone za pomoca programu MES i programu MES/SN obj. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że zastosowane podejście formułowania SN obj za pomoca obiektywnych wzorców uczących umożliwia szeroki zakres analizy sprężysto-plastycznych problemów brzegowych w płaskim stanie naprężenia. Dotyczy to zarówno konfiguracji problemów, jak i użytych charakterystyk materiału. Dodatkowo, na podstawie analizy przeprowadzonej w p , można stwierdzić, że obliczenia za pomocą programu hybrydowego mogą być wykonywane szybciej niż przy użyciu standardowego programu MES, por. pracę [176] Analiza zginania płyt sprężysto-plastycznych Wprowadzenie Kolejnym problemem mechaniki konstrukcji, w którym zastosowano program hybrydowy MES/SN, jest analiza zginania cienkich płyt sprężysto-plastycznych zgodnie z teoria Kirchhoffa. Do opisania nieliniowości materiałowej wymagana jest w programach MES odpowiednia procedura opisujaca równania konstytutywne. W punkcie zaproponowano sieć neuronowa, której zadaniem było symulowanie części algorytmu RMA w hybrydowym programie MES/SN obj, służacym do analizy dwóch sprężysto-plastycznych zagadnień brzegowych w płaskim stanie naprężenia (PSN). Rozwiązywanie zagadnienia sprężysto-plastycznego zginania płyt jest problemem bardziej złożonym od zagadnienia PSN. W problemie PSN sieć neuronowa służyła do symulacji związków fizycznych, rozważanych na poziomie punktu P. Natomiast w sprężysto- -plastycznej płycie, w każdym jej przekroju poprzecznym, analizowany jest zbiór punktów leżących na tzw. odcinku prostym Kirchhoffa. W każdym z tych punktów występuje stan wytężenia materiału rządzony nieliniowym prawem fizycznym. Dodatkowo na punkty leżące na odcinku przekroju nałożone są dodatkowe więzy kinematyczne, wynikajace z hipotezy Kirchhoffa o odcinku prostym, nieodkształcalnym i prostopadłym do odkształconej powierzchni środkowej, por. prace [12, 70]. W kolejnych punktach rozdziału przedstawiono zastosowanie sieci SWPB formułowanych w trybie off line do zrealizowania uogólnionego algorytmu RMA, na powierzchni środkowej płyty. Sieci były uczone za pomocą wzorców: a. subiektywnych, b. obiektywnych, a następnie, podobnie jak to opisano wyżej, zostały użyte do sformułowania programu hybrydowego MES/SN sub,obj, zastosowanego do analizy zginania płyt w zakresie sprężysto-plastycznym,

62 62 Rozdział Podstawy teorii zginanych płyt w zakresie pozasprężystym W dalszej analizie wykorzystano wyłącznie cienkie płyty prostokatne o stałej grubości h = const, ograniczajac się do układu współrzędnych kartezjańskich x, y, z, zakładajac żez [h/2,h/2] oraz przyjmujac następujace założenia: 1. Zgodnie z pierwsza hipoteza Kirchhoffa przemieszczenia płaszczyzny równo oddalonej o z od płaszczyzny środkowej wynosza: u= z w x, v= z w y (4.14) 2. Przekrojowe uogólnione odkształcenia (krzywizny) przy założeniu małych obrotów normalnej do powierzchni środkowej wynosza: κ={κ x,κ y,κ xy } (4.15) Druga hipoteza Kirchhoffa zakłada, że w związkach fizycznych nie występuja naprężenia normalne wzdłuż grubości. W związku z tym we wszystkich warstwach płyty obowiązuje płaski stan naprężenia (PSN), opisany równaniami (4.2) (4.9), por. p W każdym punkcie powierzchni środkowej płyty przekrojowe uogólnione naprężenia (momenty) wynoszą: m={m x,m y,m xy }= m= +h/2 h/2 +h/2 h/2 σzdz, σzdz=d ep κ, gdzie: h = const grubość płyty, κ ={ κ x, κ y, κ xy } przyrost krzywizny, D ep przekrojowa macierz sztywności: (4.16) D ep = +h/2 h/2 E ep (z)z 2 dz, (4.17) gdzie: E ep algorytmiczny (konsystentny) operator sztywności. Podczas procesu obciążania sprężysto-plastycznych płyt występuja uplastycznienia zarówno w kierunku grubości płyty, jak też na powierzchniach równo oddalonych od jej powierzchni środkowej. Ze względu na nieliniowy rozkład naprężeń wzdłuż grubości płyty, siły i sztywności przekrojowe wyrażone wzorami (4.16), (4.17) obliczane są numerycznie za pomoca kwadratury Lobatto, por. pracę [145]. Na rysunku 4.10 pokazano położenie J = 7 punktów Lobatto. Podczas analizy czystego

63 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 63 1 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ h 2 J + = x h 2 z j j ζ j 1.0 J = 7 z ζ = 2z h Rys Położenie węzłów Lobatto wzdłuż grubości płyty zginania płyt (ze względu na antysymetryczna funkcję podcałkowa) przyjmuje się J + =(J 1)/2=3 punktów numerycznego całkowania. Zastosowanie kwadratury Lobatto pozwala obliczyć całki (4.16), (4.17) za pomocą wzorów przybliżonych: 1 J J + m= σζdζ W k σ k ζ k =2 W j σ j ζ j, (4.18) 1 k=1 j=1 D ep = 1 1 J + E ep ζ 2 dζ 2 W j (E ep ) j ζj, 2 (4.19) j=1 w których użyto następujacych wielkości bezwymiarowych: m= 4 σ 0 h 2m, D ep= 8 Eh 3D ep, σ j = 1 σ 0 σ j, E ep = 1 E E ep,, ζ j = 2 h z j, (4.20) gdzie: σ 0 naprężenie na granicy plastyczności w jednoosiowym stanie naprężenia, j = 1,..., J numeracja przyjętych węzłów kwadratury Lobatto, J + numer punktujleżącego na powierzchni płyty, W j wagi kwadratury. Podstawowym problemem występujacym podczas analizy sprężysto-plastycznej na poziomie przekrojus, jest przejście od przyrostu krzywizn oraz aktualnego stanu naprężeń w każdym punkcie przekroju poprzecznego do przyrostów momentów oraz przekrojowej sztywności. W przyrostowej analizie sprężysto-plastycznej za pomoca MES powyższe odwzorowanie zapisane w postaci: { } κ,{σ A } {D ep,m} (4.21)

64 64 Rozdział 4 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ jest realizowane w każdym punkcie Gaussa elementu skończonego za pomoca procedury numerycznej. W równaniu (4.21) występuja naprężenia: {σ A }={σ A } J + j=1 = {{σ x,σ y,τ xy } A} J +, (4.22) j=1 gdzie: indeks A określa poprzedni stan równowagi określony dla kolejnych punktów j przekroju płyty. Odwzorowanie (4.21) jest ściśle powiązane z algorytmem RMA, który w przypadku PSN korzysta wyłącznie z równań konstytutywnych. W analizowanym problemie zginania zachodzi sprzężenie stanu naprężeń w węzłach Lobatto, gdyż rozkład naprężeń w przekroju poprzecznym (w punktach numerycznego całkowania) musi odpowiadać kinematycznej hipotezie Kirchhoffa narzucajacej więzy na przemieszczenia i ich gradienty. Powiązanie ze sobą węzłów Lobatto komplikuje postać uogólnionego algorytmu RMA i stwarza znaczne trudności w generowaniu wzorców. Na rysunku 4.11 przedstawiono uplastycznienia kolejnych węzłów Lobatto j = 1, 2, 3. Znakiem jest zaznaczony poprzedni stan równowagia, 2½ natomiast symbolem aktualny stan naprężeń. σ1 σ σ y σ y ¾ y ¾½ σ3 2 D F1 D µ µ µ σ =ÓÒ Ø ¾1 J + = 3 τ xy F 0 F 1 F F 0 F D 1 F 0 F D 3 F D 2 σ x σ x σ x Rys Rozwój uplastycznienia w kolejnych j = 1, 2, 3 węzłach Lobatto przekroju płyty Symulacja neuronowa uogólnionego algorytmu RMA Odwzorowanie zapisane równaniem (4.21) można przedstawić graficznie, por. rys. 4.12a w kontekście odwzorowania realizowanego przez procedurę neuronowa, rys. 4.12b. Z przedstawionych rysunków wynika, że dane wejściowe do obu procedur są takie same. Na podstawie informacji o aktualnym stanie naprężeń σ A oraz znanego

65 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ËÆÏÈ µ ÒÐ ØÝÞÒ ÔÖÓ ÙÖ Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach Ò ÙÖÓÒÓÛ ÔÖÓ ÙÖ analizy konstrukcji 65 κ Dep µ κ D ep { σ A } m { σ A } { λ} { σ} m Rys Schemat odwzorowania realizowanego za pomocą procedur: a) standardowej, numerycznej, b) neuronowej, za pomocą sieci SWPB wektora przyrostów krzywizny κ procedura numeryczna zwraca macierz sztywności przekrojowejd ep oraz wektor momentówm. Wyjściem z procedury neuronowej jest również macierz sztywności przekrojowej, ale zamiast aktualnych momentów wyprowadzona została wartość mnożnika plastycznego λ. Momenty zginajace i skręcajace są obliczane po zakończeniu symulacji neuronowej. Takie podejście pozwoliło zmniejszyć rozmiar wektora wyjścia sieci. Po wstępnej analizie do dalszych obliczeń zastosowano sieć SWPB: o następujacych wektorach wejścia x i wyjścia y sieci: x (3(J+ +1) 1)={ κ (3 1),σ A ((3J + ) 1) }, y ((J+ +6) 1)={ λ (J+ 1),D ep(6 1) } (4.23) Ponieważ całkowanie zostało wykonane za pomoca 5-punktowej kwadratury Lobatto, stądj + =2 i w związku z tym wektory wejścia i wyjścia sieci zawieraja odpowiednio 9 i 8 elementów:x (9 1),y (8 1) Wyniki analizy numerycznej Głównym problemem występujacym podczas formułowania SWPB jest przygotowanie wzorców uczacych i testujacych. Do analizy zginania sprężysto-plastycznych płyt wykorzystano sieci uczone i testowane za pomoca dwóch rodzajów wzorców: a) subiektywnych i b) obiektywnych. Wzorce subiektywne służace do przygotowania procedury SN sub były generowane podczas analizy wybranych schematów płyt z wieloma konfiguracjami obciążenia za pomoca programu MES, por. publikacje [66, 122, 129, 178]. Sieć SN obj została sformułowana za pomocą zbioru wzorców obiektywnych, do przygotowania których wykorzystano wyłącznie związki konstytutywne dla założonych danych materiałowych, por. prace [122, 178], niezależnie od konfiguracji problemu. Proces uczenia i testowania obu typów sieci (SN sub, SN obj ) został wykonany za pomoca SNNS. Funkcje aktywacji neuronów warstw ukrytych i wyjściowej oraz metodę uczenia sieci przyjęto zgodnie z opisem zawartym w p

66 66 Rozdział 4 Zastosowanie procedury SN sub Na rysunku 4.13 przedstawiono dane geometrycze i materiałowe kwadratowej przegubowo podpartej płyty, która została użyta do wygenerowania wzorców subiektywnych. Powierzchnia środkowa płyty została zdyskretyzowana za pomoca 64 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 4-węzłowych prostokatnych elementów płytowych, por. pozycja [175]. Płyta została poddana obciażeniu siłą skupionap 34 przyłożona w węźle 34. E = Æ»Ñ2 l x = l y = 2.0Ñ, h = 0.04Ñ σ 0 = Æ»Ñ2 ν = 0.3, χ = H/E = 0.02 y 34 x Rys Geometria, obciążenie, charakterystyka materiału oraz siatka skończenieelementowa analizowanej płyty Dla8 8 4=256 węzłów Gaussa i 38 jednakowych przyrostów τ = = P otrzymanop=256 38=9728 wzorców. Do dalszej analizy wylosowano L=1900 it=3800 wzorców odpowiednio uczących i testujacych. Po wstępnych obliczeniach zaprojektowano sieć o architekturze SWPB sub : Uczenie w trybie off line sieci SN sub zostało zakończone po wykonaniu S = epok. Wtedy średniokwadratowe błędy uczenia i testowania wynosiły odpowiedniomsel(s)= imset(s)= Przygotowana sieć została włączona do programu MES jako procedura neuronowa, tworząc program MES/SN sub. Program ten następnie został wykorzystany do parametrycznej analizy zginanych płyt w zakresie sprężysto-plastycznym. Na rysunku 4.14 zamieszczono ścieżki równowagip(w 34 ) wyznaczone za pomocą programu MES (linia czerwona) i MES/SN sub (linia niebieska) dla różnych wartości parametrów wzmocnienia izotropowego χ [0.0, 0.05]. Pomimo tego że SN sub była formułowana dla stałej wartościχ=0.02, wyniki analizy bardzo dobrze przylegaja do tych, które otrzymano za pomoca programu MES. Podobne spostrzeżenia można wysnuć z rys. 4.15, gdzie porównane zostały ścieżki równowagi wytyczone dla pojedynczej siły skupionejp i przyłożonej w różnych węzłach siatki MES. Wykonane obliczenia potwierdziły prawidłowe działanie opracowanej procedury neuronowej SN sub również w przypadku analizy płyt prostokatnych o rozmiarach l x l y =[2 1,3 1] [m m], obciażonych siłą skupiona przyłożona w węźle

67 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji χ = 0.0 P [kn] 400 MES MES/SN sub w 34 [m] Rys Ścieżki równowagip(w 34 ;χ;h = 0.04 m) dlaχ [0.0,0.05], obliczone za pomocą programów MES i MES/SN sub i=34 lubi=41. Podobne wyniki otrzymano dla obciażeń dwoma lub czerema siłami skupionymi. Natomiast podczas analizy płyty o różnych schematach podparcia obliczenia zakończyły się niepowodzeniem. W tym przypadku iteracyjny proces Newtona-Raphsona był rozbieżny, gdyż sieć SN sub nie mogła zrealizować prawidłowo uogólnionego algorytmu RMA. Powodem zaistniałej sytuacji były ograniczone zdolności aproksymacyjne zastosowanej procedury neuronowej SN sub, opracowanej za pomocą wzorców subiektywnych, tzn. takich, które odzwierciedlały ściśle określony problem brzegowy dla płyty prostokatnej, przegubowo podpartej. Pi[kN] p MES MES/SN sub i = 33 p w 34 [m] Rys Ścieżki równowagip i (w 34 ;χ = 0.02;h=0.04 m) wyznaczone dlai=23, 25, 32, 33, 41, 43, za pomocą programów MES i MES/SN sub

68 68 Rozdział 4 Zastosowanie procedury SN obj Kolejne przykłady były analizowane za pomoca programu hybrydowego MES/ SN obj, czyli programu, w którym uogólniony algorytm RMA wykonywany był przez procedurę neuronowa sformułowana za pomoca wzorców obiektywnych. W celu przygotowania wzorców obiektywnych było sformułowanie takiej procedury neuronowej, która umożliwiłaby parametryczna analizę zginania płyt dla różnych schematów podparcia i niejednospójnych powierzchni środkowych (np. płyta z otworem). Rozpatrywane zadanie jest bardziej złożone od opisanego w p płaskiego stanu naprężenia z powodu konieczności spełnienia hipotezy Kirchhoffa. W tym przypadku wzorce obiektywne były obliczane za pomocą wzorów analitycznych realizujacych część odwzorowania (4.21), dla stałej wartości bezwymiarowego parametru wzmocnienia izotropowego χ = Jako dane wejściowe przyjęto wstępne naprężenia{σ A } 2 j=1, które zostały potraktowane jako punkty startowe ścieżek obciażenia realizowanych za pomocą przyrostów krzywizny κ={ κ x, κ y, κ xy }. Składowe κ zostały wybrane losowo z założonych zakresów ich zmienności. W ten sposób wygenerowano około danych, z których do uczenia i testowania sieci wylosowano odpowiednio L = 3650 i T = 6650 wzorców. Proces formułowania sieci SWPB obj : został zakończony po S = epokach dla wartościmsel(s) MSET(S) = Nauczona sieć została użyta do zbudowania programu hybrydowego MES/SN obj, który następnie, podobnie jak we wcześniej opisanym punkcie (dotyczacym zastosowania (SN sub ), został zastosowany do parametrycznej analizy zginanych płyt. W celu sprawdzenia zakresu zastosowania opracowanego (w ramach projektu badawczego [2]) programu wykonano wiele obliczeń testujacych, przyjmujac: 1) różne wartości parametru wzmocnienia izotropowego, 2) różne warunki brzegowe, 3) różne sposoby obciażenia zarówno jedna, jak i kilkoma siłami lub obciażenia ciągłego, 4) płyty prostokatne, 5) płyty z otworami. Otrzymane wyniki obliczeń porównano z analogicznymi otrzymanymi za pomocą programu MES. Poniżej przedstawiono wybrane przykłady dotyczace wykonanej analizy. Na rysunkach 4.16 i 4.17 przedstawiono porównanie ścieżek równowagip(w 34 ) dla płyty przegubowo podpartej i utwierdzonej wytyczonych za pomocą programów MES i MES/SN obj dla różnych wartości parametru wzmocnienia izotropowego χ [0.0,0.1]. Jak widać, program hybrydowy MES/SN obj może być użyty do ana-

69 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 69 P [kn] MES MES/SN obj χ = w 34 [m] Rys Ścieżki równowagip(w 34 ;χ;h = 0.04 m) dlaχ [0.0,0.1], obliczone za pomocą programów MES i MES/SN obj lizy w szerszym zakresie niż opracowany wcześniej MES/SN sub. Aktualny program, zawierajacy procedurę neuronowa oparta na wzorcach obiektywnych, umożliwia prawidłowa analizę zginania płyt nie tylko o różnych warunkach brzegowych, ale także dopuszcza stosowanie szerszego zakresu parametru χ (wzorce uczące obliczono dlaχ=0.02). Kolejne dwa przykłady dotyczyły analizy płyty przegubowo podpartej po przyjęciu: a. Obciążenia pojedyncza siłą skupiona, przyłożona w różnych węzłachi=23, 25, 32, 33, 41, 43 siatki skończenieelementowej, por. rys Podobna analiza została wykonana za pomocą programu MES/SN sub, por. rys b. Różnej grubości płyty h =[0.02, 0.04, 0.08], por. rys P [kn] MES MES/SN obj χ = w 34 [m] Rys Ścieżki równowagip(w 34 ;χ;h = 0.04 m) dlaχ [0.0,0.08], obliczone za pomocą programów MES i MES/SN obj

70 70 Rozdział 4 Pi[kN] i =33 p p MES MES/SN obj w 34 [m] Rys Ścieżki równowagip i (w 34 ;χ = 0.02;h=0.04 m) dlai= 23, 25, 32, 33, 41, 43, wyznaczone za pomocą programów MES i MES/SN obj Na rysunku 4.20 przedstawiono porównanie ścieżek równowagi wyznaczonych dla płyty pełnej i z otworem, poddanych równomiernemu obciażeniu p. Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że programem hybrydowym MES/SN obj można wykonywać znacznie szersza analizę parametryczna zginanych płyt sprężysto-plastycznych niż programem MES/SN sub. Dodatkowo wyniki obliczeń prawie nie różnia się od otrzymanych za pomocą standardowego programu MES. Należy jednak zaznaczyć, że obydwie opracowane sieci (SN sub, SN obj ) okazły się mniej efektywne numerycznie od tych, które opracowano dla PSN w p Obecnie rzeczywisty 3000 h = 0.08 P [kn] MES MES/SN obj h = 0.04 h = w 34 [m] Rys Ścieżki równowagip(w 34 ;χ=0.02;h) dlah=0.02, 0.04, 0.08 m, wyznaczone za pomocą programów MES i MES/SN obj

71 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji Obciążenie ciągłe p[kn/m 2 ] MES MES/SN obj w 41, w 42 [m] Rys Ścieżki równowagi obliczone dla równomiernie obciążonych płyt: pełnej p(w 41 ) i z otworemp(w 42 ) czas wykonanych obliczeń za pomocą programu standardowego i hybrydowego był porównywalny. Bardziej efektywne SN zostały przedstawione w pracy [66], gdzie zastosowano sieci o znacznie prostszym schemacie Analiza niezawodności płaskiej ramy stalowej metoda Monte Carlo Wprowadzenie Analiza niezawodności konstrukcji jest zagadnieniem bardzo złożonym, które wymaga wyjścia poza sformułowania deterministyczne. Losowość zmiennych i parametrów analizowanych modeli implikuje posługiwanie się probabilistycznymi metodami analizy. Złożoność analizy problemów niezawodności konstrukcji powoduje, że są one wykonywane głównie numerycznie za pomocą różnych metod symulacyjnych. Podstawową metoda tej grupy jest, oparta na solidnych podstawach matematycznych, metoda symulacji Monte Carlo (MC), por. np. prace [105, 111, 149, 197]. Najprostsza wersja metody MC (metoda klasyczna) polega na generowaniu rozwiazań próbnych tzw. próbek i sprawdzeniu czy spełniaja one przyjęte kryteria niezawodności. W teorii konstrukcji generowanie próbek dla metody MC jest wykonywane zazwyczaj za pomoca programów MES, por. [143]. Wadą klasycznej metody MC jest to, że do otrzymania wiarygodnego wyniku potrzebna jest bardzo duża liczba próbek, co przy bardziej złożonych konstrukcjach sprawia, że metoda oparta na MES staje się numerycznie nieefektywna. Z tego powodu programy MES zastępowane są innymi

72 72 Rozdział 4 narzędziami służącymi do obliczania próbek. Jednym z takich narzędzi są sieci neuronowe zaproponowane przez Papadrakakisa [141] do probabilistycznej analizy niezawodności sprężysto-plastycznych konstrukcji ramowych. W pracach [67, 68, 128] zaproponowano połaczenie MES i sieci neuronowych. W tym podejściu wykorzystano program MES ELPLAF (opracowany w projekcie badawczym [1]), w którym sprężysto-plastyczne elementy konstrukcyjne ramy opisane zostały przez superelementy, por. [179]. Program ELPLAF służył do generowania wzorców uczących sieć neuronowa, która z kolei została zastosowana do generowania próbek użytych podczas symulacji metody MC Numeryczna symulacja klasycznej metody Monte Carlo Dalsze rozważania dotycza analizy niezawodności przeprowadzonych za pomoca najprostszej metody, tzw. klasycznej metody Monte Carlo (KMC). Analizę ograniczono do zagadnień, w których niezawodność konstrukcji dla ustalonego czasu można zdefiniować zależnościa: p r = Prob{G(R,S)>0} Prob{R>S}= f(x)dx, (4.24) G(X)>0 gdzie: p r prawdopodobieństwo niezawodności (indeks r od słowa reliability), G(R, S) funkcja stanów (zapas bezpieczeństwa), R(X R ) losowa nośność konstrukcji, S(X S ) losowe obciażenie, X =[X R,X S ] wektor losowych stanów konstrukcji, f(x) funkcja gęstości prawdopodobieństwa niezawodności. W obliczeniach często wykorzystuje się dopełnieniep r, czyli prawdopodobieństwo zawodności konstrukcjip f =1 p r, por. prace [68,141,143] (indeks f od słowa fault). W numerycznych obliczeniach, służących do analizy niezawodności konstrukcji klasyczna metodą symulacji MC, zamiast wzoru (4.24) wykorzystywany jest wzór przybliżony: p r = 1 NMC I(X i ), (4.25) NMC i=1 gdzie: N M C całkowita liczba wylosowanych próbek, I(X i ) wskaźnik niezawodności: I(X i )= { 1 dla G(Xi )>0 0 dla G(X i ) 0 (4.26)

73 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 73 Metoda KMC (nazywana również metoda orzeł-reszka ) jest łatwa w stosowaniu, jednak w celu uzyskania oszacowań obarczonych małym błędem wymaga bardzo dużej liczby symulacji, por. publikację [197]. Z tego względu bardzo ważne jest zastosowanie efektywnej metody pozwalajacej na sprawne wygenerowanie pseudolosowych próbek w symulacjach MC. W tym zakresie interesujaca jest próba zastosowania SN do obliczania obciażeń granicznych sprężysto-plastycznych ram płaskich, por. prace [13, 128] Podstawy teorii nośności granicznej Analizujac dana konstrukcję, rozważa się też oprócz stanu użytkowania stan nośności granicznej. W tym stanie konstrukcja traci zdolność do przenoszenia przewidywanych obciażeń zewnętrznych, to znaczy przy niezmieniajacej się w dalszym ciągu ich intensywności staje się układem geometrycznie zmiennym, nazywanym zazwyczaj mechanizmem. Analiza stanu granicznego wymaga wyjścia poza zakres sprężystej pracy konstrukcji. Należy bowiem uwzględnić właściwości plastyczne materiału, w szczególności model idealnej plastyczności. Obciążenie graniczne, nazywane także nośnościa graniczna konstrukcji, można określić, stosujac dwa podejścia. Na podstawie teorii nośności granicznej i można analizować wyłącznie stan, w którym konstrukcja przekształca się w mechanizm. W tym ujęciu stosuje się sztywno-plastyczny model materiału. Bardziej czasochłonne jest podejście, w którym symuluje się proces obciażania konstrukcji, rozpoczynajac od stanów liniowo-sprężystych, a następnie wchodzac w zakres pozasprężysty. W tym ujęciu model obliczeniowy musi zawierać nieliniowy, sprężysto-plastyczny opis materiału umożliwiajacy obliczenie stref uplastycznienia wzdłuż osi i wysokości prętów. Dodatkowo zachodzi konieczność uwzględniania w projektowanych konstrukcjach inżynierskich imperfekcji, rozumianych na przykład jako odchyłki od idealnej geometrii konstrukcji. Efekty te wymagają odpowiednich algorytmów obliczeniowych, które często nie są brane pod uwagę w programach obliczeniowych, używanych przez inżynierów. Problem wyznaczania obciążenia granicznego konstrukcji inżynierskich musi być rozwiazywany zgodnie z obowiązujacymi normami. Biorąc pod uwagę na przykład normę EC3 [36], sugerowane jest podejście, w którym rezygnuje się z koncepcji przegubów plastycznych, wprowadzajac tzw. ograniczona plastyczność, z wyznaczaniem rozłożonych stref uplastycznień prętów ram. W tym ujęciu model obliczeniowy uwzględnia zarówno materiałowe, jak i geometryczne nieliniowości. Z tego względu program komputerowy musi realizować obliczenia zgodnie z przyrostowo-iteracyjnym algorytmem metody Newtona-Raphsona. Zakłada się obciażenia jednoparametrowe, proporcjonalne do jednego monotonicznie rosnącego mnożnika obciążeniaλ:

74 74 Rozdział 4 P (F 1) =ΛP (F 1), (4.27) gdzie: Λ=S parametr obciażenia, P (F 1) RF wektor obciażenia konfiguracyjnego, F liczba stopni swobody układu dyskretnego. W wyniku przeprowadzonych obliczeń znajduje się na ścieżkach stanów równowagi, zależnych od parametrów projektowych, w odpowiedniej przestrzeni obciaże- niowo-przemieszczeniowej punkty graniczne, którym odpowiadaja graniczne warto- ści parametru obciażenia Λ (rys.4.21). Λ Λ = 1 Λ ult(x i) Λ(x i) Λ(x j) Rys Ścieżki stanów równowagi z charakterystycznymi punktami granicznymiλ ult Wyczerpanie nośności konstrukcji następuje w chwili osiągnięcia punktu granicznego na ścieżce równowagiλ(u 0 ). Punktowi temu odpowiada maksymalna (graniczna) wartość parametru obciażenia,λ ult (indeks ult od ultimate) Analiza numeryczna niezawodności płaskiej ramy sprężysto-plastycznej Dane dla ramy kalibrujacej FRAMEI Głównym celem analizy było zbadanie wpływu liczby wzorców generowanych za pomoca MES na dokładność predykcji sieci neuronowych, a następnie na postać krzywej prawdopodobieństwa niezawodności konstrukcji. Do analizy przyjęto dwunawową i sześciopiętrowa ramę kalibrujac a FRAMEI, por. [170]. Pręty ramy mają przekroje dwuteowe. Materiał jest idealnie sprężysto- -plastyczny. Podstawowe dane, opisujace geometrię, obciażenia i materiał, pokazano na rys Na schemacie ramy naniesiono także kąt charakteryzujacy wstępny przechył boczny ramy. Rama jest jest obciażona: a) na ryglach obciażeniem równomiernie rozłożonym, b) w lewych węzłach słupów poziomymi siłami skupionymi. u 0

75 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 75 a) H 2 =14.17 kn H 1 =28.30 kn H 1 H 1 H 1 H 1 HEB220 HEB220 HEB220 HEB220 HEB160 HEB160 p 1 =67.99 kn/m p 1 p 1 p 1 p 1 p 2 =43.90 kn/m HEB200 HEB200 HEB240 HEB240 HEB260 HEB260 IPE240 IPE300 IPE300 IPE330 IPE360 E = 205 GPa ψ IPE400 0 ψ 0 ψ m b) x y σ 0 = 300 MPa E p = 0 J = j 12 z 6.00 m 6.00 m Rys Analizowana rama kalibrująca FRAMEI: a) schemat, b) położenie punktów numerycznego całkowaniaj=1,...,45 oraz dane materiałowe Do obliczeń przyjęto inna niż w pracach [170, 179] granicę plastyczności stalir=σ 0 =300 MPa oraz przeskalowano wektor konfiguracyjnego obciażenia P = {p 1,p 2,H 1,H 2 } tak, aby dla materiału idealnie sprężysto-plastycznego oσ 0 =300 MPa i wstępnym przechyleψ 0 =1/450, parametr obciążenia granicznego osiągnał wartośćλ ult =1. Generowanie wzorców Pierwszy etap analizy ramy FRAMEI miał na celu przygotowanie zbiorów danych potrzebnych do sformułowania SN. Elementy tych zbiorów zostały obliczone za pomocą programu ELPLAF. Obliczenia wykonano dla następujacych założeń: 1. Rama jest płaska, złożona z prętów prostoliniowych o przekrojach bisymetrycznych. 2. Obowiązuja hipotezy Bernoulliego-Eulera i jednoosiowy stan naprężenia. 3. Obowiązuje teoria geometrycznie nieliniowa II rzędu. 4. Materiał jest jednorodny o biliniowej, symetrycznej charakterystyce na ściskanie/rozciaganie. W programie wykorzystano koncepcję sprężysto-plastycznego superelementu, rozpiętego pomiędzy węzłami ramy lub punktami przyłożenia obciażeń skupionych, por. [179].

76 76 Rozdział 4 Do obliczeń przyjęto, że granice plastyczności materiału R (słupów i rygli) mogą się zmieniać losowo i niezależnie w przedziale: R [R 4σ R,R+4σ R ] dla R=300 MPa i σ R =30 MPa, (4.28) gdzie: R,σ R wartości oczekiwane i odchylenie standardower. Drugą zmienna losowa założono wstępny przechył ramyψ 0 również o rozkładzie normalnym i wariancjiσ ψ określonej wzorem uzasadnionym w [92]: ψ 0 [ 2σ ψ,2σ ψ ] dla σ ψ = 1 ( ) 1 = (4.29) W związku z powyższymi założeniami rozpatrzono dwa przypadki, różniace się między sobą liczba przyjętych zmiennych losowych, potraktowanych jako elementy wektora wejścia sieci: x (N 1) ={x 1,x 2,...,x N } (4.30) 1. Przyjęto dwie niezależne zmienne losowe (N = 2), odpowiadajace dwóm wejściom do sieci: x (2 1) ={R r,r s }, (4.31) gdzie: R r,r s granice plastyczności odpowiednio rygli i słupów wybrane z przedziałów (4.28) dla ustalonego przechyłu wstępnego ramyψ 0 =1/ Drugi wariant obliczeń zakładał N = 3 zmienne tworzące następujacy wektor wejścia sieci: x (3 1) ={R r,r s,ψ 0 }, (4.32) gdzie: R r,r s jak we wzorze (4.31), ψ 0 przechył wstępny ramy wybrany z przedziału (4.29), tj. dla[ 2σ ψ,2σ ψ ]. W obu analizowanych przypadkach wyjście z sieci było skalarne: y=λ (4.33) i odpowiadało mnożnikowi obciążenia konfiguracyjnego, por. wzór (4.27). Dla tak określonego wejścia i wyjścia można zaprojektować sieć odgrywajac a rolę odwzorowania x y. W dalszym ciągu do obliczeń przyjęto przeskalowane do przedziału [0, 1] dane. W opisywanym zadaniu liczbę wzorców uczacych L określano na podstawie regularnej siatki N-wymiarowego sześcianu, opierajac się na wzorze: L=(n+1) N, (4.34)

77 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 77 gdzie: N = 2, 3 liczba wejść sieci typu WPB, n liczba równych podziałów boków N-wymiarowego sześcianu. Na rysunku 4.23 pokazano położenie L = 27 punktów wygenerowanych w przestrzenin =3 dla zmiennychx 1,x 2,x 3, zakładajac podział boków sześcianu na n=2 równe części. x x x 1 Rys Przykład 3-wymiarowego sześcianu N = 3 z podziałem boku na n = 2 równe części do generowanial = 27 wzorców Liczbę wzorców uczących L określono za pomoca wzoru (4.34), przyjmujac N =2,3orazn=2,4,8,16,32, por. tabl Niezależnie od rozmiaru przestrzeni wejścia N i liczby podziałów n wygenerowano stałą liczbę wzorców testujących T = 2000, T = 2000, które zostały wylosowane dla rozkładu normalnego (gaussowskiego) zmiennych wejściowych z przedziałów (4.28) lub (4.29). Formułowanie sieci neuronowych typu WPB Po obliczeniach wstępnych zdecydowano, aby dalej zastosować dwie rodziny sieci typu WPB, tj. sieci z jedna lub dwiema warstwami ukrytymi i strukturach: N H 1 1 oraz N H 1 H 2 1, (4.35) gdzie: H 1,H 2 liczba neuronów w warstwach ukrytych, por. tab. 4.1, N liczba wejść sieci. Przyjęto bipolarne funkcje aktywacji w neuronach warstw ukrytych i liniową funkcję w neuronie wyjściowym. Formułowanie SN przeprowadzono w trybie off line za pomoca skrzynki narzędziowej (Neural Network Toolbox), pracujacej w środowisku

78 78 Rozdział 4 obliczeniowym MATLAB, [25]. Do uczenia sieci zastosowano metodę Levenberga- -Marquarta, a dane uczace zostały przeskalowane do przedziałów [-1, 1]. Proces formułowania sieci został zakończony po wykonaniu S = 1000 epok. Wtedy średniokwadratowe błędy uczenia i testowania wynosiły:m SEL(S) = =MSET(S) W tablicy 4.1 zestawiono błędy uczenia i testowania obliczone dla wybranych dwu- i trójwarstwowych architektur sieci. W tabeli tej można zauważyć stabilizację błędów testowaniarmse(t) oraz avrep(t) i maxep(t) dlal 81 w przypadku n=2 oraz dlal 125 w przypadkun=3. Zwiększanie liczby wzorców uczacych powoduje zmniejszenie ww. błędów stosunkowo nieznacznie. Tabela 4.1. Błędy neuronowej aproksymacji N n L SWPB RMSE 10 2 avrep[%] maxep[%] L T L T L T Obliczanie krzywych niezawodności Zaprojektowane sieci SWPB zostały następnie użyte do generowania pseudolosowych próbek w symulacjach metody KMC. Funkcję wskaźnikowa występujac a we wzorze (4.25), służącym do obliczenia przybliżonej wartości prawdopodobieństwa niezawodności, można teraz sprowadzić do następujacej postaci: I(Λ i )= { 1 dla Λ i ult >1 0 dla Λ i ult 1, (4.36) gdzie: Λ i ult parametr obciążenia odpowiadajacyi-tej wylosowanej próbce, interpretowanej jako wartość graniczna związana z globalna utrata stateczności rozważanej ramy FRAMEI. Korzystajac z zaprojektowanych sieci obliczenia prawdopodobieństwa niezawodnościp r wykonano dla obu analizowanych przypadków, czyli dlan=2 in=3.

79 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 79 Symulację KMC przeprowadzono dla ustalonych wartości parametru obciążenia Λ, przyjmowanego w przedzialeλ [0.6,1.3] z przyrostem Λ= W ten sposób wyznaczono 57 punktów na krzywej niezawodności. Na poczatku obliczenia wykonano dla dwóch sieci o dużej dokładności predykcji, tj. dla przypadku N = 2 skorzystano z sieci SWPB: nauczonej za pomoca L=1089 wzorców, a dlan=3 wykorzystano sieć SWPB: zaprojektowana za pomoca L = 4913 wzorców. Otrzymane krzywe niezawodności pokazano na rys. 4.24a, na którym dodatkowo zaznaczono wartości parametru obciażenia Λ dla założonego prawdopodobieństwa niezawodności ramy. Na przykład, przyjętej wartościp r =0.99 odpowiada parametrλ=0.788, tj. dla losowych zmian granic plastyczności rygli i słupówr r,r s. Dodatkowe uwzględnienie losowych przechyłów wstępnych ramyψ 0 obniża bezpieczna wartość parametru obciażenia o ok. 2% do wartościλ= Dlap r =0.95 otrzymano odpowiednio wartościλ=0.84 i a) b) prawdopodopodobieństwo niezawodności ramy p r (N=3) (N=2) parametr obciążenia λ prawdopodopodobieństwo niezawodności ramy p r (9) (25) (81) parametr obciążenia λ Rys Krzywe prawdopodobieństwa Q(Λ) obliczone za pomocą SWPB dla: a)n = 2, 3 formułowanych za pomocąl = 1089,4913 wzorców, b)n =2 orazl=9,25,81 wzorców uczących Obliczenia zostały powtórzone dla SWPB przygotowanych za pomocą znacznie mniejszej liczby wzorców. Na rysunku 4.24b pokazano krzywe prawdopodobieństwa niezawodności ramyp r (Λ) wyznaczone dla przypadkun =2 za pomocą trzech SWPB formułowanych za pomoca zbiorów zawierajacychl=9,25 i81 wzorców uczacych orazt=500 wzorców testujacych. Dla sieci SWPB:2 5 1(25) i SWPB:2 6 1(81) dla prawdopodobieństwap r =0.95 otrzymano odpowiednioλ(25)=0.854 orazλ(81)=0.842, a więc parametry obciążenia różniace się o1.4%. Z analizy rysunku 4.24a wynika, że dla przypadku N = 2 prawdopodobieństwu

80 80 Rozdział 4 p r =0.95 odpowiada także wartośćλ=0.841 obliczona za pomocą znacznie większej sieci SWPB: (1089), uczonej na zbiorze L = 1089 wzorców. Wynika stąd wniosek, że wyniki obliczeń wykonanych za pomocą sieci przygotowywanej za pomoca L = 81 wzorców są bardzo zbliżone do wyników obliczeń otrzymanych dla dużo większych zbiorów uczącychl=1089. W przypadkun=3 krzywap r (Λ) wyznaczona za pomoca sieci SWPB: (4913) prawie pokrywa się z krzywa wyznaczona przy użyciu SWPB:3 8 1(125). Analiza czasu obliczeń W celu sprawdzenia efektywności numerycznej zaprojektowanych sieci porównano czas symulacji wybranych dwóch procedur neuronowych (SWPB: , SWPB:2 6 1) dla wylosowanych zestawów argumentów. Wyniki, które otrzymano, potwierdzaja wnioski zawarte w pracach [13, 67, 141], że w tego rodzaju zadaniu rozmiar sieci (mierzony liczba jej parametrówlps) prawie nie ma wpływu na jej efektywność numeryczna. Jeśli przyjać hipotetycznie, że symulacja parametrów obciążenia granicznego byłaby wykonywana wyłącznie za pomoca programu ELPLAF, to czas potrzebny na wykonanie zadania jest o ok. 5 rzędów wyższy od czasu potrzebnego na wylosowanie wzorców, a następnie ich neuronowego przetwarzania. Oczywiście w końcowym bilansie należy uwzględnić czas potrzebny na wygenerowanie programem ELPLAF wzorców uczacych i testujacych oraz dodatkowo czas potrzebny na zbudowanie sieci. W tabeli 4.2 zestawiono oszacowania czasu obliczeń parametrów obciążenia granicznego dla wybranych sieci neuronowych oraz programu ELPLAF. Z przedstawionego w tabeli porównania całkowitego czasu obliczeń wynika, że zastosowane podejście hybrydowe pozwala obniżyć łączny czas o ok. 2 rzędy (w zależności od liczby generowanych wzorców uczących sieć SWPB) w porównaniu z obliczeniami wykonanymi wyłącznie jednorodnym programem MES. Dodatkowo przeprowadzona analiza wskazuje, że możliwe jest dalsze skrócenie czasu obliczeń dzięki wykazanej możliwości zmniejszenia liczby wzorców uczących i testujacych SN. W pracy doktorskiej Kaliszuk [67] omówione podejście hybrydowe MES-SWPB zastosowano też do analizy niezawodności innych typów konstrukcji (blachownice, powłoki mało wyniosłe). Wykazano tam, że podobnie jak w przypadku ramy kalibrującej FRAMEI można obniżyć czas obliczeń krzywych niezawodności o 2-5 rzędów w porównaniu z hipotetycznymi obliczeniami wykonywanymi tylko za pomoca standardowych programów MES.

81 Zastosowanie techniki off line w wybranych zagadnieniach analizy konstrukcji 81 Tabela 4.2. Zestawienie analizy czasu obliczeń Symulacja hybrydowa Symulacja Czas MES-SWPB tylko MES [s] Generowanie Formułowanie Struktura wzorców (uczenie, SWPB programem testowanie) Czas MES w [s] sieci w [h] [s] Średni czas obliczenia 1 próbki Hipotetyczny czas10 5 próbek Podsumowanie Analiza numeryczna przedstawiona w tym rozdziale była wykonana za pomoca dwóch systemów hybrydowych integrujacych MES i SN technika off line. Zastosowane systemy hybrydowe charakteryzowały się różnymi stopniami integracji komponentów. Pierwszy użyty do analizy system hybrydowy cechował się bardzo wysokim stopniem integracji komponentów i należał do kategorii MES/SWPB. Wykonana w punktach 4.2, rozdziału analiza numeryczna wykazała przewagę stosowania wzorców obiektywnych nad subiektywnymi w celu formułowania SN. Okazało się, że wzorce obiektywne pozwoliły na opracowanie sieci neuronowej o znacznie szerszych (niż za pomoca wzorców subiektywnych ) możliwościach aproksymacyjnych (predykcyjnych). W związku z tym implementowana w systemie procedura neuronowa, służaca do symulacji algorytmu RMA, mogła być użyta do analizy różnych konfiguracji problemów brzegowych w płaskim stanie naprężenia. W przypadku analizy zginania płyt sprężysto-plastycznych formułowanie wzorców obiektywnych było znacznie utrudnione ze względu na przyjęcie hipotezy Kirchhoffa. Zastosowany w końcowej części rozdziału system hybrydowy należał do kategorii MES-SWPB i tworzyły go dwie oddzielne aplikacje pracujace sekwencyjnie. Zadanie programu MES polegało na wygenerowaniu zbiorów formułujacych dwie rodziny sieci neuronowych, charakteryzujacych się różną architektura (liczba parametrów wejściowych oraz liczba warstw ukrytych). Sieci te następnie traktowane jako komponenty systemu MES-SWPB użyto do generowania próbek w symulacjach klasycznej metody Monte Carlo w celu wyznaczenia krzywych niezawodności rozważanej w rozdziale ramy wzorcowej FRAMEI.

82 82 Rozdział 4 W niniejszym rozdziale szczególna uwagę zwrócono także na analizę czasu obliczeń, czyli na efektywność numeryczna zastosowanych podejść hybrydowych. Na podstawie wykonanej analizy można stwierdzić, że przyjęta technika integracji spełniła założone zadania i może odgrywać dużą rolę w analizie różnorodnych zagadnień inżynierskich. Wykazano również, że użycie sieci neuronowych pozwala na znaczace skrócenie czasu obliczeń bez utraty dokładności otrzymanych wyników. Obliczenia wykonano za pomoca własnego oprogramowania, a część otrzymanych wyników została opublikowana w pracach [128, 176].

83 Rozdział 5 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 5.1. Wprowadzenie do mechaniki kontaktu Mechanika kontaktu ciał odkształcalnych i nieodkształcalnych od wielu lat odgrywa bardzo ważną rolę w wielu problemach inżynierskich. Z tego względu zagadnienie to było w przeszłości i jest nadal rozwijane przez wielu badaczy. Pierwszą, z matematycznego punktu widzenia, analizę kontaktu przeprowadził w roku 1748 Euler, który udowodnił, że współczynnik tarcia kinetycznego musi być mniejszy od współczynnika statycznego. Obszerne badania doświadczalne dotycza- ce zjawiska tarcia prowadził także Coulomb w roku Wynikiem jego obserwacji jest formuła opisujaca opór tarcia podczas poślizgu ciała. Formuła ta jest używana do tej pory i stanowi podstawę wielu praw charakteryzujacych strefy kontaktu. Istotne znaczenie ma ciągle praca Hertza z roku 1882, w której do opisu kontaktu zastosowano teorię sprężystości. Ogólny opis jednostronnego zagadnienia kontaktowego ciała sprężystego ze sztywnym podłożem sformułował w roku 1933 Signorini. Obszerniejszy przeglad historyczny można znaleźć w pracy [90]. Analityczne rozwiązania problemów kontaktu są na ogół ograniczane do prostych przypadków obciażenia i geometrii. Przegląd takich rozwiazań zawierają podręczniki, np. [61, 69, 168] oraz zamieszczona w nich bibliografia. W przeszłości, w inżynierskiej analizie, warunki kontaktu były modelowane za pomoca prostych warunków brzegowych ze względu na brak rozwiązań analitycznych odpowiednich równań teorii sprężystości. W tych przypadkach poszukiwanie stref kontaktu było traktowane jako problem lokalny, który rozwiązywano na podsta-

84 84 Rozdział 5 wie pól naprężeń i odkształceń wyznaczonych dla całej analizowanej konstrukcji. Rosnaca moc obliczeniowa komputerów spowodowała rozwój metody elementów skończonych, dzięki czemu ogromnie zwiększyły się możliwości analizy zaawansowanych problemów inżynierskich. Dotyczy to również zagadnień kontaktu, także z uwzględnieniem tarcia. Z koncepcyjnego punktu widzenia problem mechaniki kontaktu może być rozważany jako klasyczny problem mechaniczny rozszerzony o dodatkowe (kontaktowe) właściwości wynikajace z nierównościowych ograniczeń. Analiza problemu jest trudna do wykonania, a także czasochłonna ze względu na silne nieliniowości spowodowane wprowadzeniem więzów kontaktowych (warunki Hertza-Signioriniego-Moreau) do opisu zagadnienia. Efektywność oraz poprawność rozwiązania problemu kontaktowego zależy głównie od wyboru algorytmu. Najpopularniejsze, powszechnie stosowane, algorytmy oparte są na metodzie funkcji kary lub mnożników Lagrange a. Bardzo często w kodach MES implementowana jest metoda funkcji kary, która dla właściwie oszacowanych parametrów daje algorytm bardzo sprawny dla wielu zastosowań, por. pracę [110]. Nierówności wariacyjne mogą być także rozwiązywane za pomocą algorytmów opierajacych się na technikach programowania matematycznego, np. na metodach programowania liniowego lub kwadratowego. Każda z tych metod jest znana w teorii optymalizacji, por. np. publikacje [7, 9, 69, 91, 138]. Zastosowanie matematycznego programowania do rozwiązywania problemu kontaktu można znaleźć w wielu pracach, np. [50, 71, 73, 90, 137]. Spośród innych efektywnych metod należy wymienić rozszerzona metodę Lagrange a, która powstała z połączenia dwóch technik: mnożników Lagrange a oraz metody funkcji kary, por. pozycje [85, 158, 194]. Kolejna technika pozwalajac a rozwiązać problem jest metoda sekwencyjnego programowania kwadratowego oraz jej modyfikacje wykorzystujaca metodę Newtona lub metody quasi-newtonowskie do rozwiazania warunków Karusha-Kuhna-Tuckera. Algorytmy oparte na tych technikach nie gwarantuja jednak zbieżności. Analiza problemów kontaktu z uwzględnieniem tarcia jest bardziej złożona gdyż wprowadzenie modelu tarcia powoduje, że równania konstytutywne są różniczkowalne nie we wszystkich punktach. Dlatego problem ten jest rozwiązywany za pomoca algorytmów niestandardowych, do których należa: 1) metoda prób i błędów, 2) algorytmy wywodzące się z metod używanych w teorii plastyczności, 3) algorytmy programowania matematycznego teorii optymalizacji. Mimo że w literaturze można znaleźć wiele zastosowań, pierwsza z wymienionych metod, tj. metoda prób i błędów, nie jest powszechnie stosowana ze względu na otrzymywana niejednoznaczność rozwiązań.

85 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 85 Główny przełom związany z poprawa zbieżności procesu oraz niezawodności algorytmu nastąpił wraz z zastosowaniem znanego w teorii plastyczności schematu RMA (Return Mapping Algorithm), por. [159], gdyż zagadnienie tarcia można sformułować analogicznie do zagadnienia plastyczności z niestowarzyszonym prawem płynięcia [96]. W podejściu tym, dzięki zastosowaniu algorytmicznej macierzy stycznej, otrzymuje się kwadratowa zbieżność w iteracyjnych schematach typu Newtona, por. np. prace [42, 186]. Techniki programowania matematycznego, stosowane w rozszerzonej metodzie mnożników Lagrange a, przedstawiono w wielu pracach, por. np. [4, 72, 85, 158, 195]. W pracach [100, 101] przedstawiono rozwiązania kilku zagadnień kontaktowych z więzami jednostronnymi, zamieniajac niemonotoniczne prawo tarcia ciągiem praw monotonicznych. Innym podejściem, zaproponowanym w pracach [79, 166, 167], jest zastosowanie sieci neuronowych do sformułowania problemu optymalizacyjnego bez ograniczeń i z ograniczeniami. To podejście było rozwijane w wielu pracach, por. np. [23, 98, 99, 124, 136] dla niemonotoniczego prawa tarcia. Zagadnienia kontaktowe są w dalszym ciągu istotnym przedmiotem badań, zarówno w dziedzinie sformułowań teoretycznych, jak i w dziedzinie numerycznych algorytmów. Współczesne ujęcie obliczeniowej mechaniki kontaktu można znaleźć w monografiach [84, 102, 139, 187], a także w wielu materałach konferencyjnych, np. [5,188] oraz rozdziałach książek na temat MES, np. [6,8,21,198]. Celem obecnie prowadzonych prac badawczych nad zagadnieniami kontaktowymi jest formułowanie zarówno dokładniejszych modeli opisujacych zjawisko kontaktu, jak też nowych, bardziej stabilnych algorytmów, w tym również algortmów wykorzystujacych metody miękkie. W dalszej części rozdziału zostanie przedstawione sformułowanie problemu kontaktu również z uwzględnieniem tarcia za pomocą analogu Hopfielda-Tanka oraz jego implementacja w programie komputerowym MES, por. publikacje [124, 132, 133] Sformułowanie zagadnienia kontaktu z tarciem Rozpatrujemy układ składajacy się z dwóch odkształcalnych ciałb α,α=1,2, zajmujacych ograniczony obszarγ α R 3. Zakłada się, że w poczatkowej chwili t=0 ciałab 1 ib 2 są rozłączne. Kontakt zachodzi, gdy te ciała fizycznie oddziałuja na siebie poprzez swoje powierzchnie brzegowe. Oznacza to, że zachodzi: Γ t c=γ (1)t Γ (2)t (5.1) Wspólna część brzegów dwóch ciałγ t c jest nazywana powierzchni a kontaktu, która zazwyczaj nie jest znana a priori i musi być określona w każdej konfiguracji od-

86 86 Rozdział 5 kształconej. W celu badania kontaktu wygodnie jest wprowadzić funkcję penetracji g (ang. gap function), która określa odległość między ciałami mierzona od określonego punktu jednego z ciał. Zakładajac, że warunki kontaktu opisuja problem lokalnie wypukły, każdy punktx (1) naγ (1) można połaczyć z punktem x (2) naγ (2) przez minimalizację odległości między nimi, por. rys. 5.1: g N (x (1) )= min x (2) Γ (2) x (1) x (2) =(x (1) x (2) ) n (2) (5.2) Definicja (5.2) określa, że punkt x (2) jest punktem najbliżej położonym w odniesieniu do przyjętego punktux (1) na powierzchniγ (1)t spośród wszystkich punktów leżacych na powierzchniγ (2)t. Tak zdefiniowana funkcja w przypadku braku penetracji musi być nieujemna: przy czym w strefie kontaktu g N (x (1) ) 0 dla x (1) Γ (1)t, (5.3) g N (x (1) )=0 dla x (1) Γ t c, (5.4) a poza tą strefa: g N (x (1) )>0 dla x (1) Γ (1)t Γ t c (5.5) B (1) Γ (1) B (2) x (1) tt x (2) n (2) x (2) (2) Γ (2) Rys Układ dwóch dwuwymiarowych, potencjalnie kontaktujących się ciał Kontakt występuje, kiedy funkcjag N przyjmuje wartość równą zeru. W tym przypadku, składnik normalnyt (2) N =p N wektora naprężeńt (2) c na powierzchni kontaktuγ t c musi być różny od zera. W związku z tym oddziaływanie jednego ciała na drugie można przedstawić w postaci: t (2) c =t (2) N +t(2) T =p Nn (2) +t (2) T (5.6)

87 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 87 Wektor naprężenia działa na obydwie powierzchnie kontaktujacych się ciał zgodnie z zasada akcji i reakcji, tj.t (2) = t (1) w puncie x (2). W standardowym sformułowaniu zagadnienia kontaktowego, nie uwzględniajacym sił adhezji (lub kohezji), oddziaływanie w kierunku normalnym do powierzchni styku ma charakter nacisku i jest niedodatnie: p N =p (1) N oraz znika poza obszarem kontaktu =p(2) N <0 dla x(1) Γ c (5.7) p N =0 dla x (1) Γ (1) Γ c (5.8) Należy zaznaczyć, że naprężenia stycznet T są równe zeru dla przypadku kontaktu bez tarcia. Warunki dla kontaktu bez tarcia można wyrazić w następujacej postaci: 1) gdy ciała są oddalone, to funkcja penetracjig N >0 i kontaktowa siła normalna znika, tj.p N =0, 2) gdy odległość między ciałami znikag N =0, ciała stykaja się ze soba i wtedy p N <0. Wyżej wymienione warunki jednostronnego kontaktu są znane jako warunki Hertza-Signioriniego-Moreau, por. prace [84, 187]: g N 0, p N 0, p N g N =0 (5.9) Warunki (5.9) stanowia podstawę do rozpatrywania kontaktu bez tarcia jako problemu optymalizacji z ograniczeniami. W teorii optymalizacji warunki (5.9) określa się mianem warunków Karusha-Kuhna-Tuckera (KKT). W kierunku stycznym oddziaływanie w strefie kontaktu składa się z dwóch faz. Podczas pierwszej, tzw. fazy styku (ang. stick), działanie siły F nie powoduje żadnych przemieszczeń względnych kontaktujacych się ciał. W drugiej fazie siłaf powoduje poślizgg T, (ang. slip), por. rys a) b) F F Rys Kontakt z tarciem: a) faza styku, b) faza poślizgu g s T

88 88 Rozdział 5 Klasyczny poślizg opisany jest za pomoca prawa Coulomba. W tym przypadku zagadnienie tarcia można formułować analogicznie do zagadnienia teorii plastyczności z niestowarzyszonym prawem płynięcia, por. prace [84, 85, 96, 187]. Przy założonych prawach tarcia typu Coulomba zagadnienie to można opisać przez wprowadzenie niżej podanych określeń i zależności: 1. Poślizg dzieli się na część sprężystag T e i plastycznags T : g T =g e T +gs T (5.10) Podział ten znajduje swoje uzasadnienie w badaniach eksperymentalnych, a jest możliwy po wykonaniu regularyzacji prawa Coulomba. Część sprężysta mikrosprężystych przemieszczeń stycznychgt e można obliczyć zakładajac, że nierówności występujace w strefie kontaktu zachowuja się sprężyście. Klasyczny model tarcia Coulomba można rozważać jako analogię modelu sztywno-idealnie plastycznego materiału, zaś regularyzowany model można uznać jako analogiczny do sprężysto-plastycznego modelu materiału. Takie podejście pozwala uniknać nieróżniczkowalności prawa Coulomba na poczatku wystąpienia poślizgu, por. rys a) b) F T µ F N µ F N F T g T g T Rys Prawo Coulomba: postać a) standardowa i b) regularyzowana Plastycznym stycznym poślizgiemgt s rządzi ewolucyjne równanie konstytutywne, które jest wyprowadzone z pojęć teorii plastyczności. 2. Funkcja poślizgu wynikajaca z prawa Coulomba: f s (t T )= t T µp N 0, (5.11) gdzie: µ współczynnik tarcia poślizgowego. Współczynnik ten jest stały w klasycznym prawie Coulomba i zależy od materiałów kontaktujacych się ciał. Sformułowania innych kryteriów poślizgu można znaleźć w wielu pracach, np. [103, 185].

89 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu Prawo poślizgu: v S = λ f s(t T ) = λ t T t T t T, (5.12) gdzie λ opisuje ewolucję efektywnego poślizgu. 4. Warunki KKT opisuja poślizg, przyleganie i wzajemnego wykluczanie się przylegania i poślizgu: f s (t T ) 0, λ 0, λf s (t T )=0, (5.13) z których można wyznaczyć parametrλ Zastosowanie AHT do analizy problemów kontaktu Rekurencyjne sieci neuronowe AHT zostały po raz pierwszy zastosowane do analizy problemów optymalizacyjnych w roku 1986 przez Hopfielda i Tanka (wnikliwą dyskusję dotyczac a podstawowych sformułowań można znaleźć w ksiażce [16]). W pracy [165] zaproponowano model ciągły (analogowy) sieci neuronowej jako nieliniowego systemu dynamicznego zbudowanego z neuronów. Końcowe zachowanie takiego systemu określaja atraktory, czyli zbiór możliwych stanów stabilnych, do którego zmierza dynamika układu. Stabilny punkt przyciagania sieci jest traktowany jako optymalne rozwiązanie. Proces ewolucyjny, dzięki któremu sieć neuronowa osiaga stan stabilny dla zadanego stanu poczatkowego, jest procesem poszukiwania optymalnej wartości funkcji celu wewnątrz czynnego obszaru. W pracach [53, 165] Hopfield i Tank udowodnili, że sieć analogowa jest zdolna rozwiazywać problemy programowania liniowego. Następne prace dotyczace tej dziedziny, np. por. [19,189], wykazały, że AHT może być używana do rozwiązywania problemów nieliniowych bez ograniczeń lub z ograniczeniamii, a także do rozwiązywania układów algebraicznych równań liniowych formułowanych w zagadnieniach rozpatrywanych w niniejszej pracy, por. publikacje [17, 18]. Model ciągły sieci Hopfielda (rys. 3.6), złożony z N neuronów (realizowany w postaci układu elektrycznego lub numerycznie), jest opisany następujacym układem równań różniczkowych: dv N i τ i dt = w ij x j v i +b i, x i =F(v i (t)) dla i=1,...,n, (5.14) j=1 gdzie: τ i stała czasowa, x wektor wejścia do sieci, v potencjał, F funkcja aktywacji.

90 90 Rozdział 5 Podstawowym zastosowaniem sieci AHT jest rozwiązywanie zagadnień optymalizacyjnych, w których kluczowym pojęciem jest pojęcie energii sieci. Funkcja energii w modelu ciągłym zbudowanym z N neuronów ma postać: E= 1 N N N N w ij x i x j b i x i + 2 j=1 j=1 i=1 i=1 xi 0 F 1 i (x) dx (5.15) Energia (5.15) jest funkcja Lapunowa dla układu równań różniczkowych (5.14). Z porównania wzorów (5.15) i (5.14) wynika, że: dodatkowo przy niemalejacej funkcji aktywacji zachodzi: dv i dt = E x i (5.16) de dt 0, (5.17) czyli że energia (5.15) jest funkcja nierosnac a w czasie. W konsekwencji układ (5.14) zmniejsza w sposób ciągły funkcję energetyczna dopóty dopóki sieć AHT nie osia- gnie stanu stabilnego odpowiadajacego minimum funkcji (5.15): mine(t)=0 dv =0 (5.18) t dt Każda sieć Hopfielda jest specjalizowana do wykonania określonego zadania. Z tego powodu wagi połaczeń międzyneuronowych są obliczane, a nie otrzymywane w wyniku klasycznego procesu uczenia sieci. Zmiana warunków zadania realizowanego przez sieć AHT wymaga ponownego określenia wag, a nie ich douczenia, jak występowało w sieciach typu SWPB. Jednym z zastosowań sieci AHT w inżynierii jest rozwiązywanie problemów programowania kwadratowego z ograniczeniami nierównościowymi w analizie zagadnień kontaktowych z więzami jednostronnymi, por. prace [79,166]. Na podstawie publikacji [189] podejście to było dalej rozwijane w pracach, w których analizowano zadania kontaktu z uwzględnieniem tarcia w strefie kontaktu ciał sprężystych, por. np. pozycje [23,98,99]. Sieć AHT została zastosowana do rozwiązania programowania kwadratowego z ograniczeniami nierównościowymi: min{ 1 2 QT KQ+P T Q} dla Q 0, (5.19) gdzie: Q,P R N wektor przemieszczeń i obciażeń węzłowych, K macierz sztywności układu.

91 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 91 Problem ten był rozwiązywany przez wprowadzenie dodatkowych zmiennych, dzięki czemu ograniczenia nierównościowe zostały zamienione na ograniczenia równościowe. W ten sposób sieć mogła być łatwo przełączana z jednego typu analizy na drugi. Powyższe sformułowanie jest zgodne z propozycja Panagiotopoulosa zawartą w pracy [79], gdzie więzy jednostronne były opisywane za pomoca biliniowej funkcji aktywacji. W pracach [79, 166] zaproponowano, aby do równań (5.15) opisujacych energię sieci AHT wprowadzić macierze występujace w MES: w ij = { kij dla i j, k ij +1 dla i=j, b i =p i (5.20) x i =q i =F(v i )= { vi dla v i 0 0 dla v i <0 (5.21) gdzie: F(v i ) funkcja aktywacji opisujaca jednostronne więzy, k ij elementy macierz sztywności układu, q i przemieszczeniei-tego węzła. Jeśli przyjać funkcję energetyczna o postaci (5.15) orazτ i =1 dlai=1,...,n, to równanie (5.14) opisujace dynamikę sieci AHT przyjmie następujac a postać macierzowa: dv dt =( kq+p) t r t, (5.22) gdzie: r t =r(t) wektor sił residualnych. Sieć AHT opisana przez układ równań różniczkowych zwyczajnych (5.22) jest globalnie stabilna i odpowiada stanowi równowagi analizowanego układu MES. W dalszej części rozdziału sieć AHT została wykorzystana do zbudowania programu hybrydowego MES/AHT, który służył do rozwiązywania sprężystych i sprężysto-plastycznych zagadnień kontaktowych w płaskim stanie naprężenia z uwzględnieniem tarcia, por. pozycje [124, 125, ]. Takie podejście umożliwiło wprowadzenie niemonotonicznego prawa tarcia w przewidywanej strefie kontaktowej. Opracowany system, integrujacy metodę elementów skończonych i sieci neuronowe, został wykorzystany do analizy następujacych przypadków kontaktu: kontakt między ciałem odkształcalnym i ciałem sztywnym, kontakt między dwoma ciałami odkształcalnymi.

92 92 Rozdział 5 Algorytm kontaktu jest wykonywany przez sieć AHT, która realizuje dwa zadania, do których należy: 1) wykrywanie strefy kontaktu, 2) obliczanie sił kontaktowych. Istnienie kontaktu określa się na podstawie wzajemnej penetracji między kontaktujacymi się ciałami, natomiast warunki kontaktu są badane w poszczególnych węzłach elementów skończonych leżących w założonej strefie kontaktu. Po wykryciu kontaktu obliczane są siły oddziaływania kontaktowego w miejscu styku ciał. Celem niniejszego rozdziału jest przedstawienie możliwości opracowanego systemu MES/AHT, w którym połączono standardowe obliczenia numeryczne z neuronowymi Analiza problemów kontaktu z tarciem ciał sprężystych Układ równań MES opisujacy kontakt ciał sprężystych można zapisać w następujacej postaci macierzowej: KQ=P+R c, (5.23) gdzie: K macierz sztywności układu, Q wektor przemieszczeń węzłowych, P wektor obciążenia węzłowego, R c wektor reakcji w strefie kontaktowej. Wektor przemieszczeń węzłowychq R N można podzielić na dwie części q c R n orazq R N n : Q={q c,q}, (5.24) gdzie: q c wektor zawierajacy przewidywane ograniczenia na brzegu strefy kontaktuγ c. Po wykonaniu prostych przekształceń opisanych w pracy [177] układ równań (5.23), po eliminacji dwustronnych stopni swobody (kondensacji), można przedstawić w następujacej postaci: kq c =p c +r c, (5.25) gdzie wszystkie użyte macierze odpowiadaja wektorowi przemieszczeńq c związanemu z węzłami, w których przewidziano kontakt. W pracach [130, 131] przedstawiono uogólnienie podejścia Panagiotopoulosa. W proponowanym dalej sformułowaniu funkcje aktywacji (5.18) zostały zastapio- ne funkcjami kary służącymi do regularyzacji ograniczeń kontaktowych dla kontaktu

93 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 93 bez tarcia oraz z tarciem. Przyjęto także, że układ równań różniczkowych (5.22), opisujacy dynamikę sieci AHT, odnosi się wyłącznie do strefy przewidzianego kontaktu i ma następujac a postać: dv dt =( k q c +p c +r c ) (5.26) gdzie: k macierz sztywności zawierajaca parametry kary, q c wektor przemieszczeń w strefie kontaktu, p c,r c wektory sił i reakcji w węzłach interfejsu. Sieć AHT opisana układem równań różniczkowych zwyczajnych (5.26) została zastosowana w autorskim programie hybrydowym MES/AHT do analizy problemu kontaktu konstrukcji sprężystych z uwzględnieniem tarcia w strefie kontaktowej Przykłady numeryczne Zaproponowane uogólnienie sformułowania Panagiotopoulosa zostało przetestowane za pomoca dwóch przykładów numerycznych pokazanych na rys a) 2a a 2a b) a 2a a a a P 1 P 1 P 1 P 1 P 2 P 2 a Γ r E, ν P 2 P 2 P 2 a a E, ν E, ν Γ c P 2 Rys Kontakt tarczy z: a) sztywnym podłożem, b) odkształcalną tarczą Obliczenia zostały wykonane za pomoca programu hybrydowego MES/AHT przy założeniu prawa tarcia Coulomba, rys. 5.3a. Problem poczatkowy opisany równaniami (5.23) został rozwiązany za pomocą wielokrokowej niejawnej metody BDF (ang. Backward Differentiation Formula) z adaptacyjnym doborem długości kroku całkowania, por. [144]. W celu zweryfikowania otrzymanych wyników wykonano powtórne obliczenia za pomoca systemu ANSYS. Otrzymane w obydwóch symulacjach numerycznych wyniki (przemieszczenia i reakcje oddziaływania kontaktowego i tarcia) były zgodne, co potwierdziło poprawność zastosowanego rozszerzonego podejścia. Kolejny analizowany przykład został zaczerpnięty z pracy [100] i dotyczył analizy układu przedstawionego na rys. 5.5a Układ ten reprezentuje mechaniczne poła- czenie (złącze) z niemonotonicznym prawem tarcia (typu zig-zag). Γ r

94 94 Rozdział 5 Wszystkie dane dotyczace układu przyjęto na podstawie pracy [100], w której zagadnienie to było analizowane za pomocą programowania kwadratowego, zastępujac niemonotoniczne prawo tarcia ciągiem praw Coulomba. Na rysunku 5.5b przedstawiono charakterystykę prawa tarcia typu zig-zag, na którym zaznaczono: FT =S T /(µ F N ) unormowana siłę oddziaływania tarcia, µ współczynnik tarcia,u T względny poślizg. Dyskretyzację skończenieelementową za pomoca elementów trójkatnych CST oraz obciążenie układu pokazano na rys. 5.5a. Pozostałe dane to: grubość tarczyh= m, moduł YoungaE= kn/m 2, współczynnik Poissonaν=0.16. Obliczenia wykonano dla trzech wartości współczynnika tarcia µ = 0.0, 0.1 oraz 0.2. a) P 1 P 1 0.5P 1 0.5P 1 0.5P 1 0.5P 1 P 1 P 1 P 2 P 2 P 2 P 2 P P 2 kn 2P 2 2P 2 P 2 0.5P 1 P 1 P 1 0.5P 1 0.5P m P 1 P 1 0.5P 1 b) B FT[kN] A C u T [m] Rys a) zagadnienie kontaktowe trzech sprężystych tarcz, b) niemonotoniczne prawo tarcia (typu zig-zag)

95 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 95 W analizowanym układzie tarcz występuja dwie strefy kontaktu położone między odkształcalnymi brzegami tarcz, na których znajduje się 31 par węzłów. Dane dotyczące konfiguracji obciażenia, czyli wartości siłp 1 ip 2, przyłożonych prostopadle i stycznie do kierunku powierzchni kontaktu zamieszczono w tab.5.1. Tabela 5.1. Wartości siłp 1 ip 2 odpowiadające przypadkom obciążenia 1-7 Przypadki obciążenia P P W celu porównania wpływu tarcia na siły oddziaływania kontaktowegof N oraz tarciaf T, a także na przemieszczenia względne węzłów interfejsuu T, na kolejnych a) Siły nacisku FN[kN] Siła P 2 [kn] = Węzły interfejsu i b) Przemieszczenia względne ut[m] Siła P 2 [kn] = Węzły interfejsu i Rys Wykresy: a) sił normalnychf N, b) przemieszczeń względnych w węzłach interfejsu

96 96 Rozdział 5 a) Siły nacisku FN[kN] Siła P 2 [kn] = b) Siły tarcia FT[kN] Węzły interfejsu i Siła P 2 [kn] = c) Przemieszczenia względne ut[m] Węzły interfejsu i Siła P 2 [kn] = Węzły interfejsu i Rys Wykresy: a) sił normalnychf N, b) sił tarciaf T, c) przemieszczeń względnych u T w węzłach interfejsu dlaµ=0.1

97 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 97 a) Siły nacisku FN[kN] Siła P 2 [kn] = b) Siły tarcia FT[kN] Węzły interfejsu i Siła P 2 [kn] = c) Przemieszczenia względne ut[m] Węzły interfejsu i Siła P 2 [kn] = Węzły interfejsu i Rys Wykresy: a) sił normalnychf N, b) sił tarciaf T, c) przemieszczeń względnych u T w węzłach interfejsu dlaµ=0.2

98 98 Rozdział 5 rysunkach (rys. 5.6, 5.7 i 5.8) przedstawiono wyniki obliczeń, które dotyczyły analizy trzech zagadnień brzegowych. Zamieszczone na rysunkach wykresy odpowiadaja kolejnym konfiguracjom obciażenia z tab Na rysunku 5.6 pokazano wyniki analizy hipotetycznego zagadnienia kontaktowego bez tarcia. Na kolejnych dwóch rysunkach przedstawiono wyniki obliczeń zagadnienia kontaktu z uwzględnieniem niemonotonicznego prawa tarcia, por. rys. 5.5b, przy czym rys. 5.7 zawiera wyniki dla µ = 0.1, natomiast rys. 5.7 dla µ = 0.2. Po dokonaniu analizy wszystkich wyników obliczeń okazało się, że rozkład sił normalnych (sił nacisku)f N (i) w węzłach interfejsu analizowanego połączenia ma prawie taki sam charakter we wszystkich analizowanych zagadnieniach, tzn. dla µ = 0.0, 0.1, 0.2, czyli jest niezależny od wartości współczynnika tarcia. Na rysunkach 5.7a i 5.8a pokazano rozkład sił normalnychf N (i) w 31 węzłach należacych do jednego z interfejsów. Wartość współczynnika tarcia ma natomiast znaczny wpływ na rozkład siłf T (i), por. rys. 5.7b, 5.8b. Dla małych wartości sił poziomychp 2 analizowane połaczenie zachowuje się liniowo, ponieważ wszystkie rozwiązania zależa od liniowej części, A B prawa tarcia, por. rys. 5.5b. Ze wzrostem wartości sił poziomychp 2 punkty równowagi przesuwaja się na kolejne gałęzieb C wykresu, aż w końcu poła- czenie zawodzi, np. na rys. 5.8b, dla 5. konfiguracji obciażenia dotyczy to punktów interfejsu o numerach Nagłe zmiany w częścib C wykresu rys. 5.8b można zinterpretować jako punkty, gdzie wytrzymałość połączenia zmienia się nagle i przechodzi z jednej gałęzi wykresu zig-zag na druga, tak więc pokazuje stopniowe uszkodzenie podczas wzrastajacych przemieszczeń stycznych. Jak ważny jest wpływ współczynnika tarcia na wyniki, jest wyraźnie widoczne na kolejnych rys.5.6b, 5.7c, 5.8c, gdzie przedstawiono rozkład przemieszczeń względnychu T (i) węzłów interfejsu dla kolejnych przypadków obciażenia. Wpływ tarcia jest większy, gdy zaczyna się stopniowe uszkodzenie połączenia, a mniejszy w pozostałych przypadkach, czyli gdy mechanizm zachowuje się liniowo lub jest prawie całkowicie zniszczony. Wyniki otrzymane za pomoca programu hybrydowego MES/AHT są całkowicie zgodne z zamieszczonymi w pracy [100]. Jednak porównanie efektywności obydwóch podejść jest niemożliwe, ponieważ czas obliczeń z rys. 15 w pracy [100] jest do tego celu nieprzydatny, gdyż obliczenia wykonano za pomocą komputerów należących do różnych generacji z użyciem różnego oprogramowania Analiza problemów kontaktu z tarciem ciał sprężysto- -plastycznych Analiza problemów spreżysto-plastycznych za pomoca sieci AHT jest bardziej skomplikowana niż w przypadku ciał sprężystych. Parametry sieci odpowiadajace

99 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 99 macierzom MES w równaniu (5.25) zmieniaja się wraz z uplastycznianiem materiału. Z tego powodu kondensacja, która wcześniej wykonywano jednokrotnie, musi być realizowana w każdym kroku iteracyjnym metody Newtona-Raphsona. Do analizy przyjęto równania MES ciał sprężysto-plastycznych o następujacej przyrostowej postaci: K T Q= ΛP R c +R, (5.27) gdzie: K T styczna macierz sztywności układu, Λ przyrost parametru obciażenia, Q wektor przyrostu przemieszczeń węzłowych, P wektor węzłowego obciażenia konfiguracyjnego, R c wektor reakcji na brzegu powierzchni kontaktu, R wektor sił residualnych. Nieliniowy układ równań algebraicznych (5.27) jest rozwiązywany iteracyjnie dla przyjętego przyrostu τ umownego czasu. Jeśli jako umowny czas zostanie przyjęty przyrost mnożnika obciażenia m Λ, to rozwiązanie problemu nieliniowego (5.27) sprowadza się do rozwiazania kolejnej it-ej iteracji układów równań liniowych, por. publikację [175]: mk (it 1) Q=α (it) m ΛP R c +(1 α (it) ) m R (it 1), (5.28) gdzie: mk (it 1) = m K T ( m Q (it 1) ) styczna macierz sztywności układu, mr (it 1) = m R T ( m Q (it 1) ) wektor sił residualnych, które są obliczane dla aktualnego wektora przyrostu przemieszczeń: m Q (it 1) = it 1 k=1 Q (k) (5.29) Parametr α występujacy w równaniu (5.28) przyjmuje następujace wartości: { α (i) 1 dla i=1 = (5.30) 0 dla i>1 Wektor przemieszczeń po zakończeniu iteracji wynosi: mq= m 1 Q+ m Q (5.31) Po wykonaniu kondensacji dwustronnych stopni swobody układ równań różniczkowych (5.22), definiujacych sieć AHT wit-ej iteracji dla kroku obciażenia m, przyjmuje następujac a postać: dv ( dt = mk (it 1) q+α (it) m Λp r c + ( 1 α (it)) mr (it 1)) (5.32)

100 100 Rozdział Przykłady numeryczne W punkcie rozprawy, podobnie jak w pracy [176], przedstawiono zadanie rozciagania sprężysto-plastycznej prostokatnej tarczy, które było stosowane jako test sprawdzajacy, służacy do weryfikacji programu hybrydowego, łączącego metodę elementów skończonych i sieci neuronowe. W programie MES/SN sub zastosowano sieć SWPB sformułowana w trybie off line. Pełne dane dotyczace geometrii, obciaże- nia, charakterystyki materiału oraz dyskretyzacji tarczy przedstawiono na rys. 4.4a,b w p Istotna nowościa jest umieszczenie w tarczy sztywnego sworznia dopasowanego do otworu kołowego w stanie beznaprężeniowym. W dalszej części rozdziału wyżej wymienione zagadnienie brzegowe przyjęto również jako test problemu kontaktu, który występował na brzegu sztywnego sworzniaγ s umieszczonego w otworze odkształcalnej tarczy, rys. 5.9, por. prace [124,125, 130]. Problem ten był analizowany również za pomocą sieci AHT, która została implementowana do programu MES. Wyniki analizy zostały również zweryfikowane za pomoca systemu ANSYS. a) b) y σ 20 mm sztywny sworzeń B R=5 mm A sprężystoplastyczna tarcza p = Λp x σ 0 E E T ε 36 mm E = N/mm 2, E T = N/mm 2, χ = H/E = σ 0 = 243 N/mm 2, ν = 0.2, p = N/mm 2 Rys a) geometria, b) charakterystyka materiału Układ równań różniczkowych (5.32), dotyczacy wyłącznie węzłów leżących na brzegu otworu tarczy, został zbudowany podobnie jak w wyżej analizowanym przykładzie, tzn. po dokonaniu kondensacji dwustronnych stopni swobody układu równań (5.28) MES. Ze względu na krzywoliniowy brzeg kontaktu (por. rys. 5.10) kinematyczne ograniczenia kontaktowe (więzy) odpowiadajace przemieszczeniomu i węzłaina krawędzi sztywnego sworznia mają następujac a postać: { vt dla x u t = t R ū t dla x t <R (5.33)

101 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 101 gdzie: x t =x 0 +u t 1 +v t, ū t = R x t x t x 0 u t 1 (5.34) W równaniach (5.33) i (5.34) pominięto numer węzłaioraz iteracjiit. R i 0 u t 1 v t i t u t y x 0 x t sztywny bolec x Rys Przyrost wektora jednostronnych przemieszczeń w węźleileżącym na brzegu sztywnego sworznia Na rysunku 5.11 przedstawiono ścieżki równowagiλ(u A ), gdzieu A jest poziomym przemieszczeniem punktu A leżącego na osi symetrii tarczy, por. rys Obliczenia wykonano dla 32 kroków obciażenia aż do osiagnięcia wartości mnożnika obciażenia Λ = 2.0. Na rysunku można zauważyć duże różnice między kształtami ścieżek równowagi obliczonych dla tarczy sprężystej (krzywa 0 C) i sprężysto- -plastycznej (krzywe0 D,0 E). Również wartości przemieszczeńu A punktua parametr obciążenia Λ C D E ( ) tarcza sprężysta ( ) ze sworzniem bez sworznia tarcie µ = 0.2 tarcza sprężysto-plastyczna (0.755) przemieszczenia u A [mm] Rys Ścieżki równowagiλ(u A ) obliczone za pomocą programu hybrydowego MES/AHT dla tarczy ze sworzniem oraz bez sworznia dla kontaktu bez tarcia i z uwzględnieniem prawa tarcia Coulomba 0.889

102 102 Rozdział 5 tarczy odpowiadajace parametrowi obciażeniaλ=2.0(u A (Λ=2.0)) są różne dla obu analizowanych problemów brzegowych. Takie samo spostrzeżenie dotyczy zdeformowanych kształtów początkowo okra- głego otworu umieszczonego w środku tarczy, por. rys. 5.12, które narysowano również dlaλ= tarcza sprężysta 0.04 ze sworzniem bez sworznia ( ) tarcie µ = 0.2 tarcza sprężysto-plastyczna Λ = 2 vb[mm] sztywny brzeg ( ) u A [mm] Rys Deformacja otworu tarczy obliczona dla różnych materiałów ze sworzniem oraz bez sworznia dla kontaktu bez tarcia i z uwzględnieniem prawa tarcia Coulomba (0.755) Kolejna wykonana analiza dotyczyła problemu kontaktu z założonym prawem tarcia Coulomba. Założona realistyczna wartość współczynnika tarcia µ = 0.2 prawie nie ma wpływu na wyniki obliczeń, które otrzymano dla kontaktu bez tarcia. Na rysunkach 5.11, 5.12 wartości przemieszczeńu A obliczone dlaµ=0.2 podano w nawiasach. Na kolejnym rys zamieszczono pola przemieszczeń u(x, y) (rys.5.13a,c) oraz mapy rozkładu naprężeń zastępczychσ z (rys. 5.13b,d), wyznaczonych na podstawie hipotezy HMH podczas analizy zadania rozciagania tarczy z otworem oraz zagadnienia kontaktu z tarciem tarczy ze sztywnym sworzniem dla µ = 0.2. Przedstawione wyniki odpowiadaja wartości parametru obciażenia Λ = 2.0. Porównanie rysunków przedstawiajacych zdeformowana tarczę, rys. 5.13a,c wskazuje, że strefa kontaktu tarczy ze sworzniem jest niewielka (obejmuje sześć brzegów elementów skończonych) i nie ma większego wpływu na rozkład naprężeń zastępczych. Odzwierciedleniem takiego stanu deformacji są ścieżki równowagi pokazane na rys. 5.11, gdzie ścieżki równowagi dla tarczy ze sworzniem (krzywa0 D) i bez sworznia (krzywa 0 E) są podobne. Z przeprowadzonej analizy wynika, że rozkłady naprężeń zastępczychσ z (x,y) wyznaczone dla tarczy z bolcem, rys. 5.13d, różnia się niewiele od wyznaczonych

103 Zastosowanie analogowej sieci Hopfielda-Tanka w zagadnieniach kontaktu 103 a) b) c) d) Rys a i c) przemieszczeniau(x,y), b i d) mapy naprężeń zastępczychσ z (x,y) dla tarczy z otworem (a i b) oraz tarczy ze sworzniem (c i d) dlaµ=0.2

104 104 Rozdział 5 w pracy [124], gdzie analizowano problem kontaktu bez tarcia. Należy natomiast zwrócić uwagę na rozkładyσ z (x,y) pokazane na rys. 5.13b i d. W tym przypadku, ze względu na usztywnienie układu kontaktujacych się ciał, maksymalne naprężenia zastępcze są mniejsze dla problemu kontaktu z tarciem, natomiast postacie naprężeń zastępczych obu analizowanych problemów są podobne. Poprawność implementacji procedur neuronowych do programu metody elementów skończonych oraz działania opracowanego systemu MES/AHT została potwierdzona za pomocą systemu MES ANSYS Podsumowanie W tym rozdziale opracowano zintegrowany system metody elementów skończonych i sztucznych sieci neuronowych, który służył do analizy problemów kontaktu oraz kontaktu z uwzględnieniem tarcia. Sformułowany system hybrydowy charakteryzował się wysokim stopniem integracji zastosowanych metodologii obliczeń miękkich i twardych. Algorytm kontaktu, będący ważną częścia systemu MES/AHT, był realizowany za pomocą analogu Hopfielda-Tanka. Pokazane przykłady symulacji prezentuja duże możliwości opracowanego algorytmu analizy zagadnień kontaktowych. Omówione przykłady symulacji zadań kontaktowych wskazuja, że opracowany algorytm może być z powodzeniem wykorzystywany do rozwiązywania problemów kontaktu dla różnych praw tarcia, w tym również złożonych praw typu zig-zag. Na podstawie przeprowadzonych testów można stwierdzić, że opracowany algorytm spełnia podstawowe wymagania stawiane algorytmom analizy zagadnienia kontaktowego, jakimi są niezawodność i numeryczna efektywność. Analiza przykładów testowych pokazała, że opracowany program hybrydowy MES/AHT, charakteryzujący się wysokim stopniem integracji komponentów MES i SN, poprawnie realizuje obliczenia. Otrzymane wyniki są zgodne z wynikami otrzymanymi za pomoca systemu ANSYS lub zamieszczonymi w literaturze, por. np. pracę [100].

105 Rozdział 6 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji za pomoca sieci neuronowych 6.1. Uwagi ogólne o modelowaniu materiału Materiał analizowanej konstrukcji jest zazwyczaj rozważany jako zbiór elementarnych cząstek i celem modelu konstytutywnego jest opis zależności między deformacją tych cząstek a siłami, które są przez nie przenoszone. Ze względu na sposób traktowania struktury materiału modele fizyczne można podzielić na [60]: modele ciągłe (kontinuum), modele dyskretne. W modelu ciągłym zachowanie materiału w dowolnym punkcie ciała jest opisane za pomoca związków funkcyjnych między odkształceniami i naprężeniami. Modele te pomijaja nieciagłości lub pustki występujace w materiale, a także ziarnista i molekularna strukturę materiału, uważajac go za ośrodek ciągły w sensie makroskopowym, również pod działaniem obciażenia. Model matematyczny ośrodka ciągłego jest opisem ciała jako obiektu geometrycznego w przestrzeni euklidesowej, której punkty identyfikuje się z cząsteczkami materialnymi ciała i dla tak wyidealizowanego ciała jest zdefiniowana ciągłość ośrodka w sensie matematycznym [26, 29, 31]. Bardziej złożone modele ciągłe zawieraja rozszerzony opis kontinuum, który umożliwia uwzględnienie nieciagłości przemieszczeń odpowiadajacych zlokalizowanej postaci deformacji, czyli makroskopowym rysom lub wąskim pasom intensywnego ścinania. Modele dyskretne uwzględniaja nieciagłości materiału lub jego rozdrobnienie i mogą być budowane na różnych poziomach obserwacji. Modele te traktuja ma-

106 106 Rozdział 6 teriał jako ośrodek złożony z elementów (czastek) sztywnych oddziałujacych między sobą poprzez siły kontaktu, czyli określaja związki między siłami działajacymi na brzegu obiektów dyskretnych a względnymi przemieszczeniami tych obiektów. Postęp technologiczny sprawił, że badania doświadczalne można prowadzić także w skali mikro, na poziomie cząstek elementarnych. To alternatywne w stosunku do fenomenologicznego podejście nazywane jest podejściem fizycznym. Modelowanie na niższym poziomie pozwala na opracowanie modelu konstytutywnego dla poziomu wyższego. Wykorzystywane jest to w modelowaniu wieloskalowym, w którym opisuje się zachowanie materiałów na różnych poziomach obserwacji, por. publikacje [106, 161, 198]. Właściwości materiałów niejednorodnych mogą być określane różnymi sposobami. Należą do nich zarówno bardzo proste sposoby, wykorzystujace np. estymację wypadkowych właściwości mechanicznych materiału, jak i zaawansowane podejścia, opierajace się na teorii matematycznej homogenizacji. W ostatnich latach została rozwinięta metoda numerycznej homogenizacji [65, 80, 81]. Metoda ta szacuje związek między odkształceniem i naprężeniem w punkcie makroskali na podstawie obliczeń wykonanych dla reprezentatywnego elementu objętościowego. Podstawowym modelem mechaniki, stosowanym w metodzie elementów skończonych, jest model ośrodka ciągłego. Ogólny model ciągły jest zazwyczaj formułowany w przestrzeni trójwymiarowej, a następnie po wprowadzeniu dodatkowych założeń, jest redukowany do modeli formułowanych dla płaskiego stanu odkształcenia, naprężenia, osiowej lub jednoosiowej symetrii itd. Oczywiście, pewne modele stosowane w praktyce są budowane do ściśle określonych zadań i są one formułowane od razu w zredukowanej przestrzeni naprężeń lub odkształceń. Najprostszym przykładem związków typu odkształcenia-naprężenia jest prawo Hooke a dla izotropowej liniowej sprężystości, w którym występuja tylko dwa parametry materiału. Przez zwiększanie liczby stałych sprężystości można tłumaczyć efekty anizotropowe od ortotropii do ogólnej anizotropii, w której występuje 21 niezależnych modułów sprężystości. Nieliniowe modele sprężyste, wyprowadzane z potencjału sprężystego lub hipersprężystości, postuluja związki odkształcenia-naprężenia bezpośrednio w postaci przyrostowej, w których występuje zmienna sztywność styczna lub moduł podatności. Ważne związki fizyczne wywodzą się z teorii płynięcia plastycznego formułowanej w przestrzeni naprężeń. Alternatywne podejścia obejmuja sformułowania w przestrzeni odkształceń, np. dla deformacyjnej teorii plastyczności czy uogólnionej plastyczności. Teorie plastyczności zwykle dokonuja rozkładu odkształceń na część sprężysta i plastyczna oraz zakładaja, że sztywność sprężysta pozostaje stała, natomiast w teorii mechaniki uszkodzeń opis nieodwracalnych procesów prowadzi do stopniowej degradacji modułów sztywności. Oczywiście realistyczne modele złożonych materiałów zawieraja zwykle dwa lub więcej podstawowych sformułowań, np.

107 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji modele konstytutywne dla betonu opieraja się na połączeniu teorii mechaniki uszkodzeń i plastyczności Zasady opracowywania modeli materiału Podstawowym zadaniem modelowania materiałów jest odpowiednie sformułowanie związku konstytutywnego, którego celem jest przewidywanie fizycznego zachowania się materiału. Konstruowanie ogólnych związków konstytutywnych jest zagadnieniem bardzo złożonym. W procesie formułowania nieliniowego modelu materiału można wyróżnić kilka faz, do których należy, por. [89]: 1) opracowanie wstępnej koncepcji modelu, 2) wykonanie testów laboratoryjnych, 3) matematyczne sformułowanie struktury modelu, 4) identyfikacja parametrów modelu, 5) sprawdzenie jakości modelu. Celem koncepcyjnej fazy opracowywania modelu jest zestawienie wszystkich wymagań stawianych modelowi wynikajacych z jego przyszłego zastosowania, np. zakres obciążenia badanego układu, skala obserwacji (mikro lub makro), a także określenie różnych czynników uwzględniajacych zachowanie się materiału, takich jak wzmocnienie izotropowe, efekt Baushingera, pękanie itp. Głównym celem testów laboratoryjnych jest zbadanie zależności między zmiennymi sterujacymi a fizycznie dopuszczalnymi (mierzalnymi) zmiennymi stanu. Model matematyczny materiału jest zbiorem informacji o jego właściwościach fizycznych wyrażony za pomoca sformalizowanego opisu matematycznego. W tworzeniu modeli konstytutywnych w mechanice kontinuum stosuje się podejście fenomenologiczne. Polega ono na sformułowaniu możliwie zwartej formy zapisu zależności zaobserwowanych podczas eksperymentów, prowadzonych w skali makroskopowej. Ujęcie wszystkich aspektów zaobserwowanego zjawiska jest prawie niewykonalne, dlatego związki konstytutywne opisuja zachowanie się teoretycznych materiałów. W podejściu fenomenologicznym przyjmowane są podstawowe prawa fizyczne, które są uzupełniane przez równania fizyczne opisujace związki między naprężeniami i odkształceniami. Ponadto współczesne związki konstytutywne zawieraja równania ewolucyjne dotyczace zmiennych wewnętrznych opisujacych parametry materiału, takie jak: wzmocnienie, osłabienie, efekty zniszczenia itd. W przypadku ogólnym parametry materiału są nieznane i dlatego muszą być określone za pomoca danych otrzymanych z eksperymentu. Identyfikacja parametrów modelu materiału sprowadza się do rozwiązania problemu odwrotnego i może być wykonywana za pomocą np.: 1) metody prób i błędów, 2) metody najmniejszych kwadratów, 3) sieci neuronowych.

108 108 Rozdział 6 Metoda prób i błędów należy do metod najprostszych, gdyż wymaga wyłącznie wielokrotnego rozwiązywania problemu standardowego aż do osiągnięcia założonej dokładności procesu iteracyjnego. Metoda najmniejszych kwadratów traktuje zadanie identyfikacji parametrów modelu jako problem optymalizacyjny, w którym jest minimalizowana funkcja błędu średniokwadratowego, czyli suma kwadratów różnic między wartościami symulowanymi a wartościami pomiarowymi. Do rozwiazywania tego problemu stosuje się szereg różnych algorytmów, które wymagają oszacowania: a) wyłącznie funkcji (metody zerowego rzędu), b) zarówno funkcji, jak i jej gradientu (metody pierwszego rzędu). Stosowane metody można podzielić także na metody deterministyczne i stochastyczne, por. np. prace [26, 91]. Sieci neuronowe umożliwiaja rozwiazywanie różnorodnych problemów odwrotnych, pozwalajac na jednoczesne obliczanie wielu parametrów materiału, por. np. [33, 87, 88, 191]. W tym podejściu wykorzystywane są sieci neuronowe typu WPB przygotowywane w trybie off line za pomoca zbiorów danych branych z doświadczeń laboratoryjnych. Sieci neuronowe umożliwiaja także uwzględnienie wiedzy ekspertów z zakresu modelowania związków konstytutywnych Zastosowanie sieci neuronowych do modelowania materiałów Modele konstytutywne materiałów mogą być również formułowane niejawnie, bez korzystania z podejścia fenomenologicznego, za pomoca sieci neuronowych. Prace zespołu Ghaboussiego [37, 39, 41] pokazuja, że sieci neuronowe, traktowane jako uniwersalne aproksymatory funkcji nieliniowych, mogą być stosowane do opisu równań konstytutywnych materiału. W tym przypadku postać materiałowej macierzy sztywności wynika z neuronowego modelu materiału (NMM), czyli z odwzorowania realizowanego przez sieć neuronowa: y=nmm(x) (6.1) Do formułowania NMM stosuje się sieci jednokierunkowe warstwowe zbudowane z dwóch warstw ukrytych, por. rys Zazwyczaj warstwa wejściowa sieci zawiera elementy znanego wektora odkształceń m+1 ε obliczone wm+1 kroku obciążenia. Może też być rozszerzona o dodatkowe zmienne wynikajace z nieliniowego opisu materiału, np. o dodatkowe wektory naprężenia m σ i odkształcenia m ε związane z historia procesu obciażania. Warstwa wyjściowa sieci dostarcza przewidywany wektor naprężeń m+1 σ.

109 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji A B X Y x w XA ij w AB ki w BY lk y M N H 1 H 2 Rys Architektura neuronowego modelu materiału Wyjściowe sygnały neuronów kolejnych warstw A, B i Y mają następujace wartości: N A i =F( j=1 i=1 w XA ij x j +b A i), dla i=1,2...,h 1, H 1 B k =F( wki AB A i +b B k), dla k=1,2...,h 2, H 2 y l =F( k=1 w BY lk B k +b Y l ), dla l=1,2...,m, (6.2) gdzie: x, y wektory wejścia i wyjścia sieci przeskalowane do przedziału (-1,1), N,M liczba wejść i wyjść sieci, H 1,H 2 liczba neuronów w warstwach ukrytych, F()=tanh() funkcja aktywacji, wij XA,wki AB,wlk BY wagi połaczeń warstw sieci, b A i,bb k,by l biasy neuronów kolejnych warstw sieci. Przy założeniu historii odpowiadajacej jednemu krokowi czasowemu wstecz wektoryx,y przyjmuja następujac a postać: x (9 1) ={ m+1 ε, m ε, m σ}, y (3 1) ={ m+1 σ}, (6.3) gdzie: ε=ε/s ε, σ=σ/s σ przeskalowane odkształcenia i naprężenia, as ε,s σ są czynnikami skalujacymi. W przyrostowych modelach teorii plastyczności równania konstytutywne opisuja związki między nieskończenie małymi (infinitezymalnymi) przyrostami odkształceń

110 110 Rozdział 6 dε i nieskończenie małymi przyrostami naprężeń dσ. Dla takich przyrostów można zdefiniować ciągły operator styczny jako: E c ep = (dσ) (dε) (6.4) ε Dla sprężysto-plastycznych modeli materiału macierz (6.4) jest sprężysto-plastyczna macierza materiałowa, która jest zdefiniowana przez równania konstytutywne. W analizie za pomocą metody elementów skończonych model materiału jest wykorzystywany w każdym punkcie całkowania elementu skończonego do obliczania aktualnego stanu naprężeń, zależnych od historii zmiennych oraz materiałowej macierzy sztywności. Uaktualniony stan naprężeń jest następnie użyty do obliczenia wektora równoważników obciażeń węzłowych, a materiałowa macierz sztywności do obliczenia macierzy sztywności elementu i dalej do zbudowania globalnej macierzy sztywności układu. Nieliniowe równania MES rozwiązywane są iteracyjnie za pomoca metody Newtona-Raphsona, w której dzięki zastosowaniu konsystentnej linearyzacji problemu nieliniowego zapewniona jest kwadratowa zbieżność rozwiązania globalnego. W pracach [151, 152, 160] zaproponowano użycie konsystentnego (algorytmicznego) operatora stycznego wynikajacego z konsystentnej linearyzacji nieliniowych przyrostowych związków konstytutywnych dla danych przyrostów odkształceń w postaci: gdzie: m+1e cons ep = m+1 ( σ) m+1 ( ε), (6.5) ε m+1 σ= m+1 σ m σ oraz m+1 ε= m+1 ε m ε. Koncepcja algorytmicznego operatora stycznego jest powszechnie stosowana w implementacjach numerycznych wielu nieliniowych modeli konstytutywnych, por. prace [24, 157]. W opisie neuronowego modelu materiału nie występuje materiałowa macierz sztywności. Jest to uważane za główną zaletę należacych do tej klasy modeli, ale może też stanowić wadę związana z implementacja w kodzie MES. Istnieja bezpośrednie podejścia pozwalajace obejść brak jawnych wyrażeń służących do obliczania konsystentnej macierzy stycznej. Jedna ze stosowanych do tego celu metod jest np. dyskretna metoda Newtona, która jest szczególnym przypadkiem uogólnionej metody stycznych [112]. W metodzie Newtona operator styczny jest aproksymowany za pomoca ilorazów różnicowych. Dla dostatecznie małych przyrostów obciażeń metoda ta zapewnia prawie kwadratowa zbieżność globalnego rozwiązania.

111 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji Neuronowy model materiału opisuje związki między odkształceniami i naprężeniami (6.2), z których można wydobyć ukryta w opisie materiałowa macierz sztywności. W tym podejściu, zaproponowanym przez Hashasha w pracy [45], algorytmiczny operator stycznye NMM ij, wymagany w przyrostowej analizie MES dlam+1kroku algorytmu Newtona-Raphsona, może być określony w następujacy sposób: m+1e NMM lj = S σ S ε m+1 σ l m+1 ε j = S σ S ε ( m+1 σ l m σ l ) m+1 ε j = S σ S ε m+1 σ l m+1 ε j (6.6) Po wykonaniu różniczkowania równania (6.6) oraz wykorzystaniu związków (6.2) neuronowy operator styczny,eij NMM przyjmuje następujac a postać: gdzie: E NMM lj = S σ S ε ( H 2 H 1 σl k=1 A i = ( 1 A 2 ) i w XA ij, ε j B k = ( 1 B 2 ) k w AB ki, A i B k i=1 ) [ Bk A] i, (6.7) A i ε j σ l = ( 1 σ 2 ) l w BY lk, B k (6.8) gdzie: S σ,s ε czynniki skalujace, A i,b k wyjściowe sygnały neuronów leżacych w warstwach ukrytychaib obliczane według wzorów (6.2). Powyższe wzory wskazuja, że materiałowa macierz sztywności może być wyprowadzona z neuronowego modelu materiału. Neuronowy operator styczny, opisany równaniem (6.7), zależy od aktualnego stanu materiału oraz przyrostów odkształceń i odpowiada macierzy konsystentnej otrzymanej ze zlinearyzowanej odpowiedzi materiału na przyrost odkształceń, zgodnie z definicja podana przez Simo i Taylora w pracy [160]. Równanie (6.7) przedstawia dokładna algorytmiczna linearyzację materiałowej macierzy sztywności, w związku z tym użycie tej macierzy zapewnia efektywna zbieżność algorytmu Newtona-Raphsona. Należy podkreślić, że wartości składowych neuronowego operatora stycznego Elj NMM są w sposób jawny określone przez wartości parametrów sieci oraz znane wartości wejść i wyjść. W tym sensie sieć neuronowa, reprezentujaca neuronowy model materiału, przestaje być czarna skrzynka. Zaproponowane sformułowanie operatora stycznego jest niezależne od szczegółowych właściwości materiału, a także od aktualnej architektury sieci neuronowej reprezentujacej neuronowy model materiału. Wzór (6.7) może być stosowany dla każdego sformułowania NMM opisujacego różnego rodzaju nieliniowości materiałowe. Jest to wyraźna przewaga nad standardowymi sprężysto-plastycznymi modelami,

112 112 Rozdział 6 dla których algorytmiczny operator styczny (6.5) musi być wyprowadzany oddzielnie dla każdego modelu. Neuronowy model materiału oraz wyprowadzony z niego neuronowy operator styczny może być implementowany do kodu metody elementów skończonych i służyć do hybrydowej analizy problemów brzegowych. Neuronowe modele materiału mogą być formułowane za pomoca dwóch technik: off line lub on line. W podejściu off line NMM jest budowany (uczony) za pomocą wcześniej przygotowanych zbiorów danych (wzorców). Zbiory wzorców mogą pochodzić z badań doświadczalnych lub też eksperymentów numerycznych. Wśród wielu prac poświęconych temu podejściu należy wymienić wcześniej wspomniana pracę Ghaboussiego i in. [38], która zapoczatkowała niejawne modelowanie materiału. W publikacji [38] zaproponowano prosty modelu materiału opisujacy beton zwykły. Kolejne prace [34, 63, 190] przedstawiaja zastosowanie sieci neuronowych do niejawnego opisu materiału lepkoplastyczego. Model ten był tworzony za pomoca danych pseudodoświadczalnych generowanych z użyciem modelu materiału Chaboche a. Spośród innych prac, w których formułowano NMM, należy wymienić także pracę [32], w której modelowano równania fizyczne materiału lepkoplastyczego dla stali i innych stopów metali poddanych obciażeniom cyklicznym. Technika off line umożliwia formułowanie neuronowych modeli materiału dla szerokiej klasy materiałów, takich jak grunty [35, 40], geomateriały [58] czy kompozyty [44, 88]. Głównym zadaniem występujacym podczas budowania NMM jest takie sformułowanie sieci neuronowej, aby ona mogła zostać zintegrowana ze systemem metody elementów skończonych. Takie podejście zostało zaproponowane w pracy [176], gdzie sieć opisujaca neuronowy model materiału została użyta do realizowania algorytmu RMA dla płaskiego stanu naprężenia, por. także p niniejszej rozprawy. Podstawowym problemem występujacym podczas formułowania NMM w trybie off line jest konieczność przygotowania odpowiednich zbiorów wzorców uczących. Zbiory te powinny obejmować taki zakres danych, aby nauczona sieć umożliwiała obszerna analizę problemów brzegowych. Problem ten przestaje mieć znaczenie podczas modelowania technika on line. W tym podejściu model materiału jest formułowany podczas analizy problemu brzegowego za pomocą zintegrowanego systemu metody elementów skończonych i sztucznych sieci neuronowych (MES/SN). Budowanie NMM odbywa się w sposób iteracyjny, a zbiory danych uczących tworzone są w trakcie wykonywanej analizy, por. prace [86, 123, 134]. Technika ta jest stosowana w wielu pracach w celu formułowania neuronowych modeli wielu typów nieliniowych materiałów występujacych w geotechnice [46,154, 155] czy też materiałów o zachowaniu zależnym od prędkości odkształceń [62, 63].

113 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji Wyznaczanie parametrów neuronowego modelu materiału, czyli wag sieci neuronowej, może być wykonywane za pomocą: 1) algorytmu autoprogresywnego (samopostępujacego), por. [45], 2) algorytmu kumulacyjnego, por. [153]. W dalszej części rozdziału przedstawiono szczegółowy opis wyżej wymienionych algorytmów na przykładzie identyfikacji neuronowego modelu materiału ramy płaskiej. Następnie został opisany zmodyfikowany algorytm autoprogresywny, por. praca [126], polepszajacy efektywność numeryczna obliczeń. Działanie zmodyfikowanego algorytmu, a także jego zastosowanie do identyfikacji różnych materiałów zastępczych, zostało pokazane dla dwuwymiarowych zagadnień brzegowych, por. pracę [127] Algorytmy formułowania neuronowych modeli materiału w trybie on line Działanie obu zastosowanych algorytmów, tzn. algorytmu autoprogresywnego (algorytm A) i kumulacyjnego (algorytm B), zostanie objaśnione na przykładzie belki w płaskim stanie naprężenia, por. rys W obydwóch algorytmach A i B neuronowy model materiału jest formułowany iteracyjnie podczas przyrostowej analizy metody elementów skończonych, zgodnie z tokiem postępowania przedstawionym na rys Do formułowania NMM wykorzystywane są globalne odpowiedzi (ugięcia) rzeczywistych konstrukcji na przyłożone obciążenie, czyli zależności obciażenie-ugię- cie. Założono, że obciażenie jest jednoparametrowep=λp i parametr obciaże- nia Λ jest mnożnikiem wektora węzłowego obciażenia konfiguracyjnegop. Procesem obciażenia steruje parametrλ, którego wartość jest obliczona na podstawie jego przyrostów c mλ, gdzie:m=1,2,...,lp numer poziomu (kroku) obciążenia, c=1,2,...,lc numer cyklu rozumiany jako kolejne powtórzenie programu obciążenia. Program obciążenia jest powtarzany LC razy aż do osiagnięcia zgodności obliczonych m u j i mierzonych m u z j przemieszczeń w wybranych punktach kontrolnychj, por. rys Przyrosty c mλ są stałe w każdym cyklu obci ażenia. Dla kolejnego kroku obciążenia m wykonywane są dwa etapy obliczeń w algorytmie Newtona-Raphsona. Podczas etapu I obliczeń jest wyznaczane pole przemieszczeń za pomocą MES, za pomocą neuronowego modelu materiału wyznaczonego w poprzednimm 1 kroku obciażenia (algorytm A) lub z poprzedniego c 1 cyklu obciażenia (algorytm B). W etapie II następuje wyrównanie różnicy między mierzonymi i obliczonymi w etapie I przemieszczeniami.

114 114 Rozdział 6 Model MES,wstępny NMM, zbiór wzorców uczących L, cykl obciążenia c = 1 Krok obciążenia m = 1 Etap I: przyrost m Λ Etap II: korekta przem. dla m d j eru adm MES( m 1 NMM lub c 1 NMM) MES( m 1 NMM lub c 1 NMM) I m{(ε, σ) e } c { m u j } J j=1 II m {(ε, σ)e } c Uaktualnienie zbioru L m = m + 1 m > NP Uczenie m NMM w algorytmie A Stop Em erqr adm Uczenie c NMM w algorytmie B c = c + 1 Rys Schemat popstępowania w algorytmach A i B Etap I W obu algorytmach etap I jest częścia analizy, która w pełni odpowiada przyrostowemu algorytmowi Newtona-Raphsona i jest wykonywana za pomocą zintegrowanego systemu MES/ c mnmm. Podczas cykluc, dla każdegomprzyrostu obciążenia m Λ, wit-ej iteracji po rozwiazaniu układu równań (4.1), wyznaczane są całkowite przemieszczenia m u j we wszystkich punktach pomiarowych j-rzeczywistej konstrukcji. Następnie są wyznaczane i zapamiętane zbiory odkształceń i naprężeń{ I ε, I σ} we wszystkich punktach numerycznego całkowania elementów skończonych. W obliczeniach wykonywanych w etapie I stosowany jest aktualny, zgodnie z przyjętym algorytmem A lub B, neuronowy model materiału.

115 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji Etap II Ten etap jest wykonywany, jeśli spełnione jest następujace kryterium: md j m u z j u j /max ( m u ) 100%>eru adm, (6.9) gdzie: mu przemieszczenia wyznaczone dla kroku obciażenia m, mu z j zmierzone przemieszczenia wj=1,2,...j punktach pomiarowych układu, eru adm błąd dopuszczalny. W etapie II wykonywane są dodatkowe obliczenia, w których błąd m d j (6.9) jest wykorzystywany do nałożenia kinematycznych warunków brzegowych w j = =1,...J węzłach zdyskretyzowanego układu. Po iteracyjnym osiagnięciu stanu równowagi układu obliczane są nowe zbiory odkształceń i naprężeń{ II ε, II σ}. W obliczeniach wykonywanych w etapie II stosowany jest model materiału z etapu I. Wzorce prowizoryczne i ustalone Jak wspomniano wyżej, podczas obliczeń wykonywanych w etapie I i II formułowany jest zbiór wzorców uczących: L= {( ε, σ ) p} L p=1 (6.10) zawierajacy odpowiednie pary{ε g, σ g } Ng g=1 wybrane z punktów numerycznego całkowania (punktów Gaussa) g elementów skończonych e, por. rys Zbiór uczący L zawiera dwa typy wzorców: a) ustalone, b) prowizoryczne. Wzorce ustalone budowane są po zakończeniu etapu I identyfikacji neuronowego modelu materiału, wtedy gdy dla pewnegom kroku obciażenia jest spełniony warunek md j < eru adm, czyli nie występuje konieczność wykonania obliczeń etapu II. W tym przypadku obliczone zbiory odkształceń i naprężeń c m {I ε g, I σ g } są traktowane jako wzorce ustalone i są dołaczane do zbioru wzorców uczących (6.10). Zbiór wzorców prowizorycznych lub tymczasowych jest formułowany podczas obliczeń wykonywanych w etapie II, tzn. wtedy gdy spełniony jest warunek (6.9). Zbiór ten zawiera następujace pary c m{ II ε g, I σ g }, por. rys. 6.3c. Zgodnie ze swoją nazwą wzorce prowizoryczne ulegaja ciągłej wymianie podczas formułowania neuronowego modelu materiału i służą do przejściowego uaktualnienia zbioru uczacego sieć NMM. Są one gromadzone podczas realizacji każdego cyklu obciażeniac. Po zakończeniu programu obciążenia wzorce prowizoryczne są systematycznie wymieniane w następnymc+1 cyklu.

116 µ µ ÈÖÞÝÖÓ ØÓ Ò Ø ÔÁ ÃÓÖ Ø ÔÖÞ Ñ ÞÞ Ø ÔÁ 116 Rozdział 6 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ muþj Ø ÔÁÁ mu j mu j mp j mp md j = m uþj u j c m{áε g,áσ g } e c m{ááε g,ááσ g } e µïþóö ÔÖÓÛ ÞÓÖÝÞÒ ÁÁÁ σ np = (n 1P + mλ)p Áσ c m{ááε g,áσ g } ε ÁεÁÁε Rys Odkształcenia i naprężenia podczas etapów I i II oraz przygotowanie wzorców prowizorycznych Wzorce ustalone nie podlegaja wymianie. Ich zbiór ulega stopniowemu rozszerzeniu w kolejnych cyklach analizy, ponieważ stopniowo douczany neuronowy model materiału coraz lepiej oddaje właściwości materiału rzeczywistej konstrukcji. Wszystkie wykonane przez autorkę pracy obliczenia wskazuja, że zarówno liczba par{ε, σ} p, jak i położenie elementu skończonego, z którego one pochodza, decydujaco wpływaja na efektywność numeryczna obu algorytmów. Dotyczy to zarówno liczby cykli obciążenia, które należy wykonać w celu prawidłowego zidentyfikowania NMM, jak też od architektury sieci neuronowej, co z kolei wpływa na czas (liczba wzorców uczacych oraz liczba epok douczajacych) potrzebny do uaktualniania neuronowego modelu materiału.

117 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji Uczenie neuronowego modelu materiału Do formułowania modelu materiału zastosowana została standardowa sieć SWPB o strukturze warstwowej. Zgodnie z algorytmem przedstawionym na rys. 6.2 poszukiwanie modelu materiału wymaga przyjęcia modelu poczatkowego, 0 NMM. Takim modelem jest zazwyczaj trójwarstwowa sieć neuronowa, która opisuje liniowo- -sprężyste zachowanie materiału. Model wstępny 0 NMM można łatwo sformułować off line na podstawie danych pomiarowych lub pseudoeksperymentalnych. W pracy 0 NMM był formułowany za pomoca wzorców wygenerowanych na podstawie liniowych związków konstytutywnych. W dalszej części rozdziału przedstawiono inny pomysł formułowania zbiorów służacych do uczenia początkowego modelu materiału. Zaproponowano, aby sieć neuronowa reprezentujaca model 0 NMM była formułowana na podstawie wzorców wygenerowanych dla materiału sprężystego za pomocą standardowego programu metody elementów skończonych. Obliczenia były realizowane w dwóch etapach dla każdego krokumobciażenia Λ zgodnie z omówionym wcześniej algorytmem A. W ten sposób poczatkowy zbiór wzorców uczących 0 NMM= 0 { II ε, I σ} zawierał odkształcenia i naprężenia obliczone podczas dwuetapowej analizy wybranego problemu brzegowego dla materiału liniowo-sprężystego. Początkowy model materiału był następnie poddany iteracyjnemu douczaniu podczas kolejnych cyklic=1,2,...,lc obciążenia. Proces był kontynuowany aż do spełnienia kryterium m d j eru adm we wszystkich punktach pomiarowychj = =1,2,...,J. Końcowy model LC NMM reprezentuje rzeczywiste zachowanie materiału i może być zastosowany do analizy innych problemów brzegowych przy założeniu takiego samego modelu materiału. Algorytmy A i B Schemat blokowy pokazany na rys. 6.2 przedstawia tok postępowania podczas identyfikacji NMM za pomocą algorytmu autoprogresywnego i kumulacyjnego. W algorytmie autoprogresywnym (algorytm A) generowanie wzorców oraz modyfikacja sieci neuronowej jest wykonywana na każdym poziomie obciążenia m Λ. W pracach [39, 40, 45, 46] podano wiele zaleceń dotyczacych uaktualniania zbioru uczącego, między innymi przewidziano możliwość adaptacyjnej zmiany liczby parametrów sieci LP S podczas jej douczania. Algorytm kumulacyjny (algorytm B) stosuje niezmienny neuronowy model materiału w całym programie obciążenia. W tym algorytmie pary odkształcenia-naprężenia, obliczane dla kolejnych przyrostów c mλ, są gromadzone podczas całego cyklu obciążenia. Douczanie sieci NMM odbywa się jednokrotnie po zakończeniu kolejnego cyklu. W pracach [153,154], przedstawiajacych zastosowanie metody kumulacyjnej,

118 118 Rozdział 6 stosowana jest ustalona architektura sieci, a w czasie uczenia ulegają zmianie jedynie wartości jej parametrów. W analizie przedstawionej w niniejszym rozdziale przyjęto, że architektura sieci neuronowej pozostanie niezmienna, a liczba jej parametrów zostanie określona na podstawie obliczeń wstępnych. Takie podejście polepszyło sprawność systemu hybrydowego MES/NMM. Neuronowy operator styczny Przygotowana, za pomoca algorytmu A lub B, sieć neuronowa NMM można uważać za model materiału, który realizuje odwzorowanie ε σ. W pracach zespołu Ghaboussiego sugeruje się formułowanie neuronowych modeli materiału jako SWPB z dwiema warstwami ukrytymi. Te sugestie zostały potwierdzone przez autorkę niniejszej pracy badaniami prowadzonymi w ramach projektu badawczego [3] na temat identyfikacji neuronowych modeli materiału o nieliniowych właściwościach. Zgodnie ze wzorem (6.7) NMM umożliwia obliczenie neuronowego operatora stycznego, który może być użyty w zintegrowanym systemie metody elementów skończonych i sieci neuronowych jako funkcja zastępujaca obliczeniowy operator styczny Identyfikacja materiału w kratownicach płaskich Porównanie efektywności wyżej omówionych algorytmów identyfikacji modelu materiału wykonane zostało w pracy [39] na przykładzie kratownicy płaskiej, analizowanej również w publikacji [126]. Jest to kratownica o schemacie statycznym pokazanym na rys. 6.4a. W tym zadaniu jednowymiarowy neuronowy model materiału był formułowany za pomoca danych pseudopomiarowych odpowiadajacych ścieżce równowagiλ(u m 2 ), wyznaczonej dla jednego poziomego przemieszczenia węzła w = 2 kratownicy. Ścieżka ta została obliczona za pomoca przyrostowej metody MES dla jednakowych m=1,2,...,35 przyrostów parametru obciażenia m Λ=0.5 oraz obciażenia konfiguracyjnegop =1 kip. Aby umożliwić porównanie otrzymanych wyników z wynikami zamieszczonymi w publikacji [39], w obliczeniach przyjęto angielski system metryczny. Założono, że hipotetyczna rzeczywista kratownica jest wykonana z materiału o modelu Ramberga-Osgooda, opisujacego nieliniowy związek między naprężeniem i odkształceniem blisko punktu uplastycznienia, por. praca [146]. Model ten zakłada, że odkształcenia plastyczne występuja nawet dla niskich poziomów naprężeń, przy czym dla małych naprężeń odkształcenia plastyczne są nieistotne w porównaniu z odkształceniami sprężystymi. Dla dużych naprężeń przekraczających granicę plastycznościσ 0 odkształcenia plastyczne rosną bardziej od odkształ-

119 ܽ¼³ ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ µ µ Identyfikacja P/2 Ô modelu materiału istniejacych konstrukcji ¾ ceń sprężystych. Postać 2 Ò równania Ramberga-Osgooda oraz jego parametry zostały przedstawione na rys. 6.4b. ÖÝ Ð Ð Ñ ÒØ Û Ö ØÓÛÒ Ý ÈÖÞ ÖÓ u Þ ½ Ò ¾ º ÑÑ σ σ P ÙÔ Û A ½¾ Ò2 ½ Ô º Æ 0 E ε ÖÞÝ ÙÐ Û A Ò2 P σ ½ Ò2 ¾º¾ÑÑ2 P ½¼³ β ½º¾ Ò E º ½¼6Ô º È µ 0 ε 0 ½¼º ½¼3Ô ½º ÅÈ µ n Þ = σ + 2βσ 0 ( σ E E σ 0 ) P σ Rys Dane dla kratownicy z [39] Do analizy zastosowano, podobnie jak w pracy [39], sieć neuronowa o dwóch warstwach ukrytych SWPB:1 H 1 H 2 1, z jednym wejściem i jednym wyjściem sieci, odpowiadajacym parom odkształcenie jednoosiowe naprężenie, czyli{ m ε e m σ e } 35 m=1, które zostały wyznaczone w każdym elemencie skończonym e kratownicy. Jednowymiarowy model materiału jest szczególnym przypadkiem modelu opisanego równaniem (6.2), w którym zakłada się skalarne wejście (N = 1) i wyjście (M=1), czyli odpowiednioε e iσ e w każdym elemencie kratowym. W podobny sposób otrzymuje się wzór służacy do obliczania neuronowego operatora stycznego, wynikajacy ze wzorów (6.7) i (6.8): E NMM e = S σ S ε H 2 k=1 { [ 1 ( σ e ) 2] w BY 1k H 1 i=1 [ (1 B 2 k ) w AB ki ( 1 A 2) ] } i w XA i1, (6.11)

120 120 Rozdział 6 gdzie: σ e = tanh (H 2 k=1 w1k BY B k +b Y ) 1, A i = tanh ( wi1 XA ε e +b A ) i, Bk = tanh (H 1 wki AB A i +b B ) k, i=1 dla: i=1,2...,h 1, k=1,2...,h 2, H 1 =H 2 =4, ε e =ε e /S ε ( 1,1), σ e =σ e /S σ ( 1,1) (6.12) Po wykonaniu analizy wstępnej do dalszych obliczeń przyjęto równą liczbę neuronów w warstwach ukrytychh 1 =H 2 =4, czyli sieć SWPB: Założono bipolarne funkcje aktywacji we wszystkich neuronach sieci, a do uczenia zastosowano algorytm Levenberga-Marquardta. Zaproponowana sieć neuronowa była zdefiniowana przez LP S = 33 parametry w przeciwieństwie do sformułowanej w pracy [39], gdzie ostateczny neuronowy model materiału był siecią o dużo większej architekturze SWPB: , której liczba parametrów wynosiłalps=57. Analizę rozpoczęto od opracowania sieci poczatkowej 0 NMM RO dla materiału idealnie sprężystego. Po czym wykonana została identyfikacja neuronowego modelu materiału oddzielnie za pomoca algorytmu A oraz B, wegług schematu na rys Na rysunku 6.5 przedstawiono pseudopomiarowa krzywaλ(u m 2 ) oraz punkty równowagi pokazujace stopniowa, ale ciągła ewolucję ścieżki równowagiλ(u c 2 ) w kolejnych cyklach identyfikacji c NMM RO. Punkty wyznaczajace ścieżki równowagi były obliczane za pomocą NMM RO formułowanych w procesie on line. Na przedstawionym rysunku można zauważyć różnice toku postępowania w zastosowanych algorytmach. Algorytm autoprogresywny A pozawala na zadowalajace przybliżenie krzywej pseudopomiarowej po wykonaniu c = 3 cykli obciążenia. W cyklu pierwszym (c = 1) algorytmu kumulacyjnego B zakłada się materiał liniowo sprężysty. Dlatego wyznaczenie ścieżki równowagiλ(u 2 ) zbliżonej do pseudopomiarowej wymaga większej liczby cykli obciażania, w tym przypadku c = 4 cykle. Na kolejnym rys. 6.6 przedstawiono wzorce służące do modyfikacji neuronowych modeli materiału c NMM RO podczas cyklicznego procesu obciażania. W kolejnych cyklach obciażenia widoczna jest ciągła poprawa jakości sieci NMM RO, czyli neuronowego odwzorowania ε σ. Można zauważyć, że po zakończeniu trzeciego cyklu analizy wygenerowane wzorce znajduja się blisko krzywej Ramberga-Osgooda. Oznacza to, że obydwa sformułowane neuronowe modele materiału NMM A RO i NMM B RO bardzo dobrze odtwarzaja poszukiwany model materiału. Należy zaznaczyć, że pomimo mniejszej architektury zastosowanej sieci neuronowej opracowane modele nie powoduja obniżenia dokładności analizy i są bardziej efektywne numerycznie ze względu na mniejsza liczbę parametrów.

121 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji a) algorytm A Parametr obciążenia Λ 12 6 Λ(u m 2 ) cykl 1 cykl 2 cykl u 2 [in] 18 a) algorytm B Parametr obciążenia Λ 12 6 Λ(u m 2 ) cykl 1 cykl 2 cykl 3 cykl u 2 [in] Rys Krzywa pseudopomiarowaλ(u m 2 ) poziomego przemieszczenia węzłaj=2 kratownicy z rys. 6.4a oraz przemieszczenia tego węzła obliczone algorytmami A i B podczas kolejnych cykli obciążeń Zidentyfikowany neuronowy model NMM RO można zastosować do analizy innych kratownic, wykonanych z tego samego materiału jak analizowana kratownica wzorcowa. Oczywiście, aby wykorzystać model NMM RO, należy założyć jednoosiowy stan naprężenia w prętach kratownicy. W związku z tym zintegrowany system MES/NMM RO może być wykorzystany także do analizy kratownic przestrzennych.

122 122 Rozdział 6 algorytm A algorytm B cykl 1 cykl σ [ksi] 0 σ [ksi] ε [%] cykl ε [%] cykl σ [ksi] 0 σ [ksi] ε [%] cykl ε [%] cykl σ [ksi] 0 σ [ksi] ε [%] ε [%] Rys Zbiory wzorców, tzn. zbiory odkształceń i naprężeń{ε, σ} wygenerowane podczas podczas formułowania NMM RO za pomocą algorytmów A i B Na rysunku 6.7 przedstawiono schemat statycznie niewyznaczalnej kratownicy płaskiej analizowanej również za pomocą systemu MES/NMM RO, w którym wcześniej zidentyfikowany neuronowy model NMM RO opisywał aktualny model materiału, a neuronowy operator stycznye obliczany zgodnie z równaniem (6.12) służył do wyznaczenia macierzy sztywnościk e elementu kratowego.

123 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji m A 1.0 kn 1.5 kn 2.0 m Pręty: wewnętrzne krzyżulce i pionowe pręty: A = m 2, pręty brzegowe i górnego pasa: A = m 2, pręty dolnego pasa: A = m 2 Rys Nowa kratownica Na rysunku 6.8 przedstawiono punkty równowagi wyznaczone za pomoca systemu MES/NMM RO dla dwóch poziomych przemieszczeń (v A,v B ) węzłów (w= =A,B) kratownicy. Obliczenia wykonano za pomocą sieci NMM RO, przygotowanej podczas analizy kratownicy wzorcowej z rys. 6.4a. Zastosowany model materiału NMM RO był trójwarstwowa siecią SWPB: zawierajac a po 4 neurony H 1 =H 2 =4 w warstwach ukrytych i bipolarnych funkcjach aktywacji. Obliczone punkty równowagi są położone dokładnie na ścieżkach równowagi Λ(v A ) orazλ(v B ) wyznaczonych za pomoca standardowego programu MES z użyciem modelu materiału Ramberga-Osgooda. B 400 v A Parametr obciążenia Λ v B MES MES/NMM RO v A,v B [mm] Rys Pseudopomiarowe ścieżki równowagiλ(u A ),Λ(u B ) obliczane za pomocą programu MES oraz punkty stanów równowagi wyznaczone za pomocą programu MES/NMM RO

124 124 Rozdział 6 Głównym celem wykonania powyższego przykładu było wykazanie użyteczności opracowanego modelu NMM RO do analizy innego problemu brzegowego w jednoosiowym stanie naprężenia Identyfikacja macierzy konstytutywnej ortotropowego materiału liniowo sprężystego Najogólniejsza postać związków fizycznych dla ciał sprężystych obciażonych poniżej granicy sprężystości można przedstawić w następujacej postaci: lub σ ij =A ijkm ε km (6.13) ε ij =C ijkm σ km, (6.14) gdzie: C=(C ijkm ) jest tensorem konstytutywnym. MacierzeA iczawieraja po 21 parametrów charakteryzujacych ciało anizotropowe. W dalszym ciągu będzie stosowany rachunek macierzowy i dlatego zależność (6.14) można zapisać w następujacej postaci: ε=bσ, (6.15) gdzie: B (6 6) =[b ij ] macierz podatności, σ={σ x,σ y,σ z,τ xy,τ yz,τ zx } wektor naprężeń, ε={ε x,ε y,ε z,γ xy,γ yz,γ zx } wektor odkształceń. W przypadku materiału ortotropowego macierz podatności B występujaca w równaniu (6.15) jest zależna od dziewięciu stałych materiałowych będacych uogólnieniem modułu Younga i współczynnika Poissona: 1/E 1 ν 21 /E 2 ν 31 /E ν 12 /E 1 1/E 2 ν 32 /E ν 13 /E 1 ν 23 /E 2 1/E B= /G /G /G 31 (6.16)

125 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji Z symetrii macierzybwynikaja zależności: ν 21 E 2 =ν 12 E 1, ν 31 E 3 =ν 13 E 1, ν 32 E 3 =ν 23 E 2. (6.17) Redukuje to liczbę stałych materiałowych do dziewięciu następujacych parametrów: E 1,E 2,E 3,ν 12,ν 13,ν 23,G 12,G 23,G 31 (6.18) Dziewięć stałych materiałowych (6.18) ciała ortotropowego jest wyznaczanych zazwyczaj na podstawie testów laboratoryjnych wykonanych dla sześciu cylindrycznych lub sześciennych próbek wyciętych z badanego materiału, por. praca [64]. Trzy z sześciu próbek są wycinane w taki sposób, aby ich podłużne osie były równoległe do głównych osi ortotropii. Próbki te poddane rozciaganiu służą do wyznaczenia odpowiednich modułów Younga oraz współczynników Poissona. Pozostałe trzy próbki, służace do wyznaczenia modułów Kirchhoffa, są wycinane tak, aby ich podłużne osie leżały na płaszczyznach wyznaczonych przez główne osie ortotropii i były nachylone do jednej z tych osi pod kątem prostym. Te próbki są poddawane niesymetrycznemu osiowemu rozciaganiu, którego kierunek nie pokrywa się z żadna osią ortotropii. Podczas takiego rozciagania wyznaczane są doświadczalnie odpowiednie odkształcenia liniowe, a następnie dla znanych modułów Younga i współczynników Poissona obliczane są moduły Kirchhoffa. W dalszej części rozdziału przedstawiono nową nieniszczaca metodę służac a do określania dziewięciu stałych sprężystości (6.18) materiału ortotropowego. W pierwszym etapie identyfikacji wykorzystywane są zależności przemieszczenie-obciażenie mierzone in situ w wybranych punktach analizowanego ciała. Dane te służa do sformułowania neuronowego modelu materiału ortotropowego. W tym celu można zastosować jeden z opisanych wyżej algorytmów zaimplementowanych w kod metody elementów skończonych. Drugi etap obliczeń wykorzystuje opracowany NMM realizujacy odwzorowanie ε σ do obliczenia poszukiwanych stałych materiałowych. Aby objaśnić zastosowana metodologię, wykonano analizę układu zaproponowanego w pracy [154], tj. trójwymiarowej próbki skały z otworem znajdujacej się w płaskim stanie naprężenia, pokazanej na rys W publikacji [154] do identyfikacji stałych sprężystości zastosowano algorytm kumulacyjny B. Założono również, że próbka (tarcza) wykonana jest z materiału ortotropowego o znanych głównych osiach ortotropii. Na rysunku 6.9 przedstawiono geometrię, warunki brzegowe oraz schemat obcia- żenia analizowanej próbki. Tarcza była ściskana równomiernie rozłożonym ciśnieniem p przyłożonym do jednej z powierzchni wzdłuż osi y. Ze względu na symetrię

126 126 Rozdział 6 p p 100 mm A y 30 mm y 15 mm 85 mm z x Kierunki monitorowanych przemieszczeń Rys Siatka skończenieelementowa oraz punkty pomiarowe przemieszczeń w ściskanej ortotropowej próbce skalnej analizowano ćwiartkę tarczy, która została zdyskretyzowana za pomoca węzłowych izoparametrycznych przestrzennych elementów skończonych z 8 punktami całkowania. Przemieszczenia służace do identyfikacji neuronowego modelu materiału wyznaczono w 40 punktach pomiarowych leżacych na powierzchni modelu dla 5 poziomów obciażenia. Przyjęto następujace wektory wejścia i wyjścia sieci realizującej neuronowy model materiału: x (6 1) ={ε x,ε y,ε z,γ xy,γ yz,γ xz }, y (6 1) ={σ x,σ y,σ z,τ xy,τ yz,τ xz } (6.19) Podczas początkowej analizy założono sprężysty materiał izotropowy o następujących stałych: moduł YoungaE=1.0 GPa oraz współczynnik Poissonaν=0.2. W celu wyznaczenia neuronowego modelu materiału zamiast danych eksperymentalnych przyjęto dane pseudopomiarowe, tzn. symulowane za pomoca MES. Dane te stanowiące punkty ścieżek równowagi zostały wyznaczone dla 40 punktów kontrolnych leżących na powierzchni tarczy za pomocą standardowego programu MES, po przjęciu stałych materiałowych zaproponowanych w pracy [154]. Obliczenia wstępne pozwoliły na sformułowanie poczatkowego modelu o architekturze SWPB: , czyli sieci neuronowej z jedna warstwą ukryta zawierająca

127 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji H 1 =12 sigmoidalnych neuronów. Dla neuronów warstwy wyjściowej przyjęto liniowe funkcje aktywacji. W tablicy 6.1 zestawiono docelowe wartości stałych materiałowychs z i przyjętych w pracy [154]. Tabela 6.1. Stałe materiałowes FEM i użyte do obliczania danych pseudopomiarowych i procentowe błędy ers i identyfikacji stałych ers i [%] Obliczenia Z pracy [154] s z i programem MES/NMM c=1 c=2 c=1 c=2 c=3 E x = 650 MPa 0.61 % 0.13 % 3.40 % 0.06 % 0.24 % E y = 967 MPa 0.19 % 0.08 % % 1.40 % 0.88 % E z = 1735 MPa 0.93 % 0.32 % % % 3.50 % G xy = 582 MPa 0.56 % 0.40 % % % 1.50 % G yz = 204 MPa 0.45 % 0.10 % 8.40 % 6.10 % 0.05 % G xz = 695 MPa 0.43 % 0.47 % % % 2.90 % ν xy = % 0.17 % % 0.37 % 1.50 % ν yz = % 1.60 % % % 0.72 % ν xz = % 1.10 % % % 3.80 % Tabela zawiera również względne procentowe błędy identyfikowanych stałych podczas kolejnych cykli analizy. Identyfikacja stałych była wykonywana za pomoca zintegrowanego systemu MES/NMM, w którym zastosowano algorytm autoprogresywny. Zamieszczone wartości błędów były obliczane według wzoru: ers i = 1 s NMM i /s z i 100% (6.20) jako wartość średnia z 40 punktów kontrolnych. W kolejnych kolumnach przytoczono błędy obliczone w [154], gdzie stosowano algorytm kumulacyjny. Przedstawione wyniki pokazuja przewagę stosowania algorytmu A nad algorytmem B. W pracy [154] stosowano do analizy trójwarstwowa sieć SWPB: olps=312 paramaterach. Mimo tak rozbudowanej architektury sieci należało wykonać c = 4 cykle obciażenia, czyli o dwie iteracje więcej od wykonanych w prezentowanej pracy. Podczas przeprowadzonej w pracy analizy pokazano, że możliwe jest formułowanie neuronowych modeli materiału o architekturze znacznie mniejszej niż te, które są stosowane w literaturze. Zaproponowany NMM był siecia dwuwarstwową o architekturze ilps=162 parametrach, czyli siecia prawie dwukrotnie mniejsza od sformułowanej w pracy [154]. Należy dodatkowo zaznaczyć, że otrzymane przez autorkę pracy wyniki są dokładniejsze od przedstawionych w pracy [154].

128 128 Rozdział 6 Na kolejnym rysunku 6.10 przedstawione zostały punkty równowagi wyznaczone dla punktuapróbki, por. rys. 6.9, który nie był używany w procesie identyfikacji NMM. Punkty zostały obliczone za pomoca programu MES/ c NMM, w którym wykorzystano neuronowy model materiału sformułowany po zakończeniu kolejnych dwóch cyklic=1,2 obciażenia P [kn] P(v A ) Cykl 1 Cykl va m [mm] Rys Krzywa pseudopomiarowap(va m ) pionowego przemieszczenia węzłaatarczy z rys. 6.9 oraz przemieszczenia tego węzła obliczone algorytmem A podczas dwóch cykli obciążenia Z przedstawionego rysunku wynika, że punkty równowagi wyznaczone w pierwszym cyklu obciążenia leżą bardzo blisko ścieżki równowagi obliczonej za pomoca standardowego programu MES dla założonego materiału ortotropowego. Mimo tak dobrej dokładności wykonano jeszcze jeden cykl obliczeń, który pozwolił na dokładniejsza identyfikację stałych materiału ortotropowego Identyfikacja materiału równoważnego w tarczach sprężysto-plastycznych Neuronowe modele materiału były formułowane w wielu pracach, por. np. bibliografie w publikacjach [86, 174, 176]. W pracy [176] sieci neuronowe zastosowano do symulacji algorytmu ortogonalnego powrotu na powierzchnię plastyczności (algorytm RMA). Sieć neuronowa została zbudowana na podstawie wzorców wygenerowanych za pomoca procedur numerycznych opisujacych równania konstytutywne materiału sprężysto-plastycznego. Zbudowany w ten sposób neuronowy model materiału NMM obj okazał się tak ogólny, że mógł służyć do analizy innych problemów brzegowych w płaskim stanie naprężenia dyskutowanych w p

129 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji W dalszej części rozdziału zostana opisane trzy przykłady dotyczace płaskiego zginania tarczy wspornikowej. Jeden z przykładów został zaczerpnięty z pracy [45], a pozostałe dwa dotycza tarczy rozciaganej i belkowo zginanej, które były analizowane w p niniejszej pracy Płaskie zginanie tarczy wspornikowej Kolejny analizowany przykład dotyczył identyfikacji modelu materiału zginanej tarczy wspornikowej poddanej działaniu siły skupionej P. Przykład ten został zaczerpnięty z pracy [45]. Tarczę przedstawiona na rys. 6.11a zdyskretyzowano za pomoca 8-węzłowych izoparametrycznych elementów skończonych z 4 punktami Gaussa. Właściwości materiału sprężysto-plastycznego, z którego wykonano tarczę, zawarto tabeli na rys. 6.11b. a) b) 300 mm P A 100 mm Charakterystyka modelu von Misesa z izotropowym i kinematycznym wzmocnieniem E= GPa, ν=0.3 naprężenia odkształcenia graniczne (MPa) plastyczne Rys Dyskretyzacja skończenieelementowa zginanej tarczy wspornikowej oraz charakterystyka materiału Identyfikacja neuronowego modelu materiału została wykonana na podstawie danych otrzymanych z eksperymentu numerycznego. Pseudopomiarowa ścieżka równowagip(v A ), czyli zależność przemieszczeniav A w punkcieabelki od obciażenia P, została wyznaczona za pomoca przyrostowej metody elementów skończonych dla m=1,2,...,28 poziomów obciażenia. Tarczę poddano dwukrotnej analizie. Pierwsza analiza Obliczenia te miały na celu sprawdzenie poprawności działania oraz porównanie numerycznej efektywności algorytmu autoprogresywnego z kumulacyjnym, a także

130 130 Rozdział 6 porównanie z wynikami zamieszczonymi w pracy [45]. W tym przypadku w celu formułowania sieci opisujacej model NMM HMH przyjęto następujace elementy wektora wejścia i wyjścia sieci: gdzie: x (9 1) ={ m ε, m+1 ε, m σ}, y (3 1) ={ m+1 σ}, (6.21) kε= k {ε x,ε y,γ xy }, kσ= k {σ x,σ y,τ xy } (6.22) są wektorami odkształceń i naprężeń na dwóch poziomach obciażeniak=m,m+1. Jak widać ze wzoru (6.21), do wyznaczenia aktualnego wektora naprężenia m+1 σ przyjęto oprócz wektora odkształcenia m+1 ε obliczonego wm+1 kroku obciażenia również wektor odkształcenia m ε i naprężenia m σ wyznaczony jeden krok wstecz. Podstawowy problem występujacy w implementacjach numerycznych obu algorymów stanowi sposób gromadzenia zbioru wzorców uczących (6.10) sieć neuronową. Zbiór ten musi zawierać taką liczbę elementów, aby nauczona sieć miała dobre właściwości generalizacyjne. Po wykonaniu obliczeń testowych zdecydowano, że NMM HMH będzie modyfikowany (douczany) za pomocą stopniowo wymienianych grup danych. Wymiana wzorców następowała zależnie od stosowanego algorytmu, czyli po zakończeniu kolejnego kroku bądź cyklu obciażenia. Nowe, uzupełniajace, wektory odkształceń i naprężeń (6.21) były wybierane w taki sposób, aby wypełniały cały obszar danych modyfikujacych parametry sieci w celu jej prawidłowego działania w systemie hybrydowym MES/NMM. Początkowy 0 NMM HMH został sformułowany tradycyjnie na podstawie obliczeń wstępnych, w których wykorzystano dane uczace wygenerowane za pomocą liniowych związków konstytutywnych. W dalszej analizie numerycznej zastosowano model SWPB: , czyli sieć neuronowa o dwóch warstwach ukrytych zbudowanych odpowiednio zh 1 =24,H 2 =9 neuronów z bipolarnymi funkcjami aktywacji. Liczebność zbiorów danych ulegała zmianie, zgodnie z adaptacyjnym charakterem metody autoprogresywnej. Warstwa wejściowa i wyjściowa składała się z neuronów reprezentujacych wektor wejścia i wyjścia w postaci (6.21). Na rysunku 6.12a,b przedstawiono pseudopomiarowa ścieżkę równowagi służąca do identyfikacji NMM HMH oraz ewolucję ścieżek równowagip(u c A ) wyznaczanych w kolejnych cyklach procesu identyfikacji neuronowego modelu materiału. Identyfikacja NMM HMH była wykonywana za pomocą zintegrowanego systemu MES/NMM HMH, w którym zaimplementowano obydwa stosowane algorytmy (autoprogresywny i kumulacyjny) identyfikacji modelu materiału. Na rysunku 6.12a pokazano, że w celu prawidłowego sformułowania NMM A HMH za pomocą algorytmu A wystarczy wykonaćc=4 iteracje. Poprawne określenie modelu NMM B HMH, za pomocą algorytmu B, wymaga c = 5 dodatkowej iteracji, czyli c = 5 cykli obciążenia.

131 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji algorytm A 400 P [N] Cykl Cykl 2 Cykl 3 Cykl v A [mm] P(v m A ) 500 algorytm B 400 P [N] Cykl 1 Cykl Cykl 3 Cykl 4 Cykl v A [mm] P(v m A ) Rys Pseudopomiarowa ścieżka równowagip(va m ) punktua tarczy z rys oraz punkty stanów równowagip(v A ) wyznaczone algorytmami A i B podczas kolejnych cykli obciążenia Druga analiza Wszystkie obliczenia testowe wskazywały na przewagę algorytmu A nad algorytmem B. W pracy przyjęto liczbę cykli i iteracji jako kryterium wyboru algorytmu. Z tego powodu w dalszej analizie zastosowano wyłącznie algorytm autoprogesywny,

132 132 Rozdział 6 czyli algorytm A. Druga analiza służaca do identyfikacji modelu NMM HMH została wykonana dla zredukowanej liczby elementów wektora wejścia x. Wektor wyjściaypozostał bez zmian. W tym przypadku zamiast wektorax (9 1) zawierajacego dziewięć elementów zastosowano trzyelementowy wektor wejściowy o następujacej postaci: x (3 1) ={ m+1 ε}, y (3 1) ={ m+1 σ} (6.23) Zgodnie ze wzorem (6.23), w celu obliczenia aktualnego wektora naprężenia m+1σ dla krokum+1 obciażenia, przyjęto wyłącznie aktualny wektor odkształcenia m+1 ε. W ten sposób sieć neuronowa stanowiaca neuronowy model materiału mogła mieć znacznie mniejsza architekturę w porównaniu z proponowana w pracach zespołów Ghaboussiego i Pandego, por. np. prace [45, 154]. Na rysunku 6.13 pokazano punkty równowagi wyznaczajace ścieżki równowagi obliczone w kolejnych programach obciażenia za pomoca opracowanego programu hybrydowego MES/NMM HMH. Podczas drugiej analizy do obliczeń zastosowano sieć o dwóch warstwach ukrytych zawierającychh 1 =H 2 =15 bipolarnych neuronów i architekturze SWPB: Z porównania rys. 6.12a oraz rys wynika, że w podczas drugiej analizy należało wykonać c = 5 iteracji. To znaczy, że w celu poprawnego sformułowania neuronowego modelu materiału należało wykonać dodatkowy cykl obciażenia w porównaniu z poprzednio wykonanymi obliczeniami. Z przeprowadzonej analizy wynika jednak, że mimo zwiększenia liczby globalnych iteracji (cykli), podejście zaproponowane w drugiej analizie polepszyło P [N] P(vA m) Cykl 1 Cykl Cykl 3 Cykl 4 Cykl v A [mm] Rys Pseudopomiarowa ścieżka równowagip(v m A ) punktua tarczy z rys oraz punkty stanów równowagip(v A ) wyznaczone algorytmem A podczas kolejnych cykli obciążenia

133 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji efektywność numeryczna systemu hybrydowego MES/NMM. Było to możliwe dzięki zastosowaniu sieci o mniejszej architekturze, przez co zarówno proces douczania sieci NMM, jak i gromadzenia zbioru wzorców uczących trwał znacznie krócej niż poprzednio Rozciagana tarcza z otworem Następny analizowany problem dowiązuje do p niniejszej pracy, gdzie zaproponowano formułowanie neuronowego modelu materiału za pomoca techniki off line. Na rysunku 6.14 powtórnie pokazano schemat analizowanej rozciaganej tarczy oraz charakterystykę materiału, z którego została wykonana. a) b) y σ 20 mm B R=5 mm A p = Λp x σ 0 E E T ε 36 mm E = N/mm 2, E T = N/mm 2, χ = H/E = σ 0 = 243 N/mm 2, ν = 0.2, p = N/mm 2 Rys Rozciągana tarcza z otworem: a) geometria, b) charakterystyka materiału Podczas przedstawianej tym punkcie analizy neuronowy model materiału został określony w trybie on line za pomoca zintegrowanego systemu MES/NMM, w którym implementowano zmodyfikowany algorytm A. Zaproponowana modyfikacja algorytmu A polegała na zmianie sposobu przygotowania wzorców uczacych początkowy model 0 NMM, czyli na zmianie wstępnej fazy poszukiwania neuronowego modelu materiału. Początkowy model materiału został przygotowany na podstawie wzorców zgromadzonych podczas pierwszego i drugiego etapu obliczeń standardowym programem MES dla liniowo sprężystego materiału po przyjęciue= MPa orazν=0.2. Wstępnym modelem materiału była więc sieć neuronowa, która otrzymuje się po wykonaniu pierwszej iteracji w algorytmie kumulacyjnym z pominięciem fazy formułowania sprężystego modelu materiału. Identyfikacja NMM została wykonana na podstawie jednej ścieżki równowagi Λ(u m A ) wyznaczonej numerycznie dla poziomego przemieszczenia punktuazaznaczonego na schemacie tarczy, por. rys. 6.14a. W obliczeniach MES założono materiał sprężysto-plastyczny ze wzmocnieniem izotropowym, por. rys. 6.14b.

134 134 Rozdział 6 Do poszukiwania neuronowego modelu materiału zastosowano sieć o dwóch warstwach ukrytych zbudowanych zh 1 =H 2 =15 neuronów i architekturze SWPB: Przyjęto bipolarne funkcje aktywacji dla neuronów warstw ukrytych i warstwy wyjściowej. Zaprojektowana podczas obliczeń wstępnych sieć poczatkowa była następnie poprawiana on line w programie hybrydowym MES/NMM do chwili otrzymania zadowalajacego neuronowego modelu materiału. Na rysunku 6.15a,b przedstawiono dwie pseudopomiarowe ścieżki równowagi, z których tylko jedna pokazana na rys. 6.15a była wykorzystywana w procesie modyfikacji modelu NMM HMH. Podczas wykonywania identyfikacji wyznaczono punk- a) 2 parametr obciążenia Λ Λ(u m A ) Cykl 1 Cykl u A [mm] b) parametr obciążenia Λ Λ(v m B ) Cykl 1 Cykl v B [mm] Rys Pseudopomiarowe ścieżki równowagiλ(u m A ),Λ(vm B ) oraz punkty stanów równowagi obliczone dla tarczy z rys. 6.14

135 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji ty równowagi określajace dwie ścieżki równowagiλ(u A ) iλ(v B ), dla poziomego i pionowego przemieszczenia punktów A i B tarczy, por. rys Widać, że stosowanie tylko jednej pseudopomiarowej ścieżkiλ(u A ) pozwoliło również na dokładne odwzorowanie ścieżkiλ(u B ). Na przedstawionych rysunkach widać, że zastosowany zmodyfikowany algorytm autoprogresywny pozwolił znaczaco zmniejszyć liczbę cykli douczajacych sieć neuronowa. Widać również, że stosowanie tylko jednej pseudopomiarowej ścieżkiλ(u A ) pozwoliło również na dokładne odwzorowanie nieużywanej w analizie ścieżki,λ(u B ). W celu zbadania jakości zbudowanego modelu NMM HMH na rys. 6.16a przedstawiono mapy rozkładu naprężeń zastępczychσ z wyznaczone za pomoca programu MES dla tarczy sprężysto-plastycznej. Kolejny rys. 6.16b przedstawia rozkład naprężeń zastępczychσ z wyznaczony za pomocą programu hybrydowego MES/NMM HMH, w którym zastosowano opracowany neuronowy model materiału. Przedstawione wyniki odpowiadaja mnożnikowi obciążenia konfiguracyjnego Λ = 2.0. Rozkłady naprężeń zastępczych pokazane na rys oraz ścieżki równowagi przedstawione na rys są podobne dla obu stosowanych modeli materiału. Na podstawie otrzymanych wyników można stwierdzić, że zdefiniowany w prograa) b) Rys Mapy naprężeń zredukowanychσ z (x,y) dla tarczy z otworem obliczone za pomocą programu: a) MES, b) MES/NMM HMH

136 136 Rozdział 6 mie MES/NMM HMH neuronowy model materiału poprawnie realizuje poszukiwane związki konstytutywne materiału sprężysto-plastycznego Płaskie zginanie tarczy z karbem Kolejny przykład także dowiązuje do obliczeń wykonywanych w p niniejszej pracy, w którym analizowano belkę z karbem w płaskim stanie naprężenia, por. rys Obliczenia były wykonywane za pomocą zintegrowanego systemu metody elementów skończonych i sztucznych sieci neuronowych. Do analizy wykorzystano system hybrydowy MES/SN obj, w którym zastosowano opracowana w roku 1999 sieć SWPB: , nauczona w trybie on line za pomocą obiektywnych wzorców uczacych. Przeprowadzone przez autorkę pracy eksperymenty numeryczne wykazały, że zastosowany sposób przygotowania zbioru uczącego pozwala na sformułowanie takiego neuronowego modelu materiału, który umożliwiał analizę różnych problemów brzegowych. Dotyczyło to zarówno konfiguracji analizowanego problemu brzegowego, jak również różnych charakterystyk materiałowych. P = λp A 22.5 o 12.7 mm B mm Rys Geometria, warunki brzegowe i obciążenie tarczy z karbem W niniejszym punkcie pracy wykonano powtórna analizę belki z karbem, przedstawionej na rys Teraz do obliczeń wykorzystano neuronowy model materiału opracowany podczas analizy opisanej w p W poprzednim punkcie została sformułowana trójwarstwowa sieć neuronowa SWPB: olps=348, której parametry zostały obliczone w trybie on line za pomoca hybrydowego systemu MES/NMM HMH. Oczywiście, taki model materiału nie pozwala na tak obszerna analizę prężysto-plastycznych problemów brzegowych, jaka była możliwa wcześniej tzn. za pomoca programu MES/SNobj. Model NMM HMH był formułowany na podstawie odkształceń i naprężeń ściśle związanych z rozwiazywanym zagadnieniem, to znaczy rozciaganiem tarczy, por. rys Aby sformułowany w trybie on line model materiału mógł służyć do analizy innych zagadnień brzegowych, w tym np. zginania belki z karbem, należało zmody-

137 Identyfikacja modelu materiału istniejacych konstrukcji fikować parametry istniejacego neuronowego modelu NMM HMH. W związku z tym opracowana wcześniej sieć neuronowa została douczona w celu poszerzenia jej właściwości aproksymacyjnych. Douczanie sieci NMM HMH było wykonane technika off line za pomoca dwóch podzbiorów wzorców. Pierwszy z nich zawierał wzorce obliczone podczas analizy tarczy rozciaganej programem MES/NMM HMH, natomiast drugi stanowiły wzorce pierwszego podzbioru z przeciwnymi znakami, tzn. były to także wzorce dla tarczy z rys. 6.14a, ale ściskanej obciążeniemp= Λp. Po zmodyfikowaniu opracowany model NMM ret został włączony do programu metody elementów skończonych, a następnie zastosowany do analizy tarczy z karbem. Na rysunku 6.18 przedstawiono ścieżki równowagiλ(va m),λ(vm B ), wyznaczone za pomocą standardowego programu MES, dla pionowych przemieszczeń punktów A i B zginanej tarczy wykonanej z materiału sprężysto-plastycznego, por. rys. 6.14b. Dodatkowo w celu zweryfikowania jakości opracowanego neuronowego modelu materiału, na omawianym rysunku zaznaczono punkty równowagi wyznaczone za pomocą zintegrowanego systemu MES/NMM ret. Na podstawie przedstawionych wyników można stwierdzić, że opracowany NMM ret poprawnie odtwarza związki konstytutywne materiału sprężysto-plastycznego. 600 MES MES/NMM ret parametr obciążenia Λ v A v B v A,v B [mm] Rys Ścieżki równowagiλ(va m),λ(vm B ) wyznaczone za pomocą programu MES dla pionowych przemieszczeń punktów A i B tarczy oraz punkty stanów równowagi wyznaczone za pomocą programu MES/NMM ret Na kolejnym rys. 6.19a,b przedstawiono mapy naprężeń zredukowanychσ z wyznaczone odpowiednio za pomocą programu MES oraz MES/NMM ret. Jak widać, otrzymane rozkłady naprężeń są podobne, jednocześnie można zauważyć, że podczas analizy wykonanej z zastosowaniem modelu materiału NMM ret wystąpił mniej zaawansowany stan naprężeń.

138 138 Rozdział 6 a) b) Rys Mapy naprężeń zredukowanychσ z (x,y) dla tarczy z karbem obliczone za pomocą programu: a) MES, b) MES/NMM ret 6.7. Podsumowanie Celem analizy przeprowadzonej w niniejszym rozdziale było przedstawienie szerokich możliwości nowej, nieniszczacej metody, pozwalajacej na budowanie modeli materiału dla istniejacych konstrukcji na podstawie zależności{p j q j } J j=1, obliczonych w wybranych punktach j. Modele te, nazywane neuronowymi modelami materiału, były formułowane za pomoca opracowanego przez autorkę pracy hybrydowego systemu MES/NMM integrujacego metodę elementów skończonych z sieciami neuronowymi. Opracowany system MES/NMM umożliwiał identyfikację neuronowego modelu materiału za pomoca trzech algorytmów: autoprogresywnego, kumulacyjnego oraz zmodyfikowanego autoprogresywnego. Na podstawie wielu wykonanych numerycznych testów można stwierdzić, że neuronowe modele materiału mogą mieć znacznie prostsza architekturę od zaproponowanych w literaturze por. np. prace [45, 153]. Dzięki takiemu podejściu zarówno proces gromadzenia zbioru uczącego, jak i douczania sieci neuronowej jest mniej skomplikowany. Dużo łatwiejsze jest również korzystanie z modelu, a także obliczanie neuronowego operatora stycznego. Kolejną ważną zaleta zaproponowanej metody jest skrócenie procesu formułowania sieci neuronowej modelujacej NMM bez utraty jej właściwości aproksymacyjnych.

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

SIECI NEURONOWE Wprowadzenie

SIECI NEURONOWE Wprowadzenie SIECI NEURONOWE Wprowadzenie JOANNA GRABSKA-CHRZĄSTOWSKA Wykłady w dużej mierze przygotowane w oparciu o materiały i pomysły PROF. RYSZARDA TADEUSIEWICZA WYKŁADOWCA JOANNA GRABSKA CHRZĄSTOWSKA KATEDRA

Bardziej szczegółowo

Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn

Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn Uniwersytet Technologiczno Przyrodniczy im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy Wydział Mechaniczny Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn Bogdan ŻÓŁTOWSKI W pracy przedstawiono proces

Bardziej szczegółowo

Algorytmy sztucznej inteligencji

Algorytmy sztucznej inteligencji Algorytmy sztucznej inteligencji Dynamiczne sieci neuronowe 1 Zapis macierzowy sieci neuronowych Poniżej omówione zostaną części składowe sieci neuronowych i metoda ich zapisu za pomocą macierzy. Obliczenia

Bardziej szczegółowo

HAŁASU Z UWZGLĘDNIENIEM ZJAWISK O CHARAKTERZE NIELINIOWYM

HAŁASU Z UWZGLĘDNIENIEM ZJAWISK O CHARAKTERZE NIELINIOWYM ZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWYCH W SYSTEMACH AKTYWNEJ REDUKCJI HAŁASU Z UWZGLĘDNIENIEM ZJAWISK O CHARAKTERZE NIELINIOWYM WPROWADZENIE Zwalczanie hałasu przy pomocy metod aktywnych redukcji hałasu polega

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Efekty kształcenia na kierunku AiR drugiego stopnia - Wiedza Wydziału Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechniki Opolskiej

Efekty kształcenia na kierunku AiR drugiego stopnia - Wiedza Wydziału Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechniki Opolskiej Efekty na kierunku AiR drugiego stopnia - Wiedza K_W01 K_W02 K_W03 K_W04 K_W05 K_W06 K_W07 K_W08 K_W09 K_W10 K_W11 K_W12 K_W13 K_W14 Ma rozszerzoną wiedzę dotyczącą dynamicznych modeli dyskretnych stosowanych

Bardziej szczegółowo

Elementy kognitywistyki III: Modele i architektury poznawcze

Elementy kognitywistyki III: Modele i architektury poznawcze Elementy kognitywistyki III: Modele i architektury poznawcze Wykład III: Psychologiczne modele umysłu Gwoli przypomnienia: Kroki w modelowaniu kognitywnym: teoretyczne ramy pojęciowe (modele pojęciowe)

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z inteligentnymi

Bardziej szczegółowo

Spis treści 377 379 WSTĘP... 9

Spis treści 377 379 WSTĘP... 9 Spis treści 377 379 Spis treści WSTĘP... 9 ZADANIE OPTYMALIZACJI... 9 PRZYKŁAD 1... 9 Założenia... 10 Model matematyczny zadania... 10 PRZYKŁAD 2... 10 PRZYKŁAD 3... 11 OPTYMALIZACJA A POLIOPTYMALIZACJA...

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2)

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Ewa Wołoszko Praca pisana pod kierunkiem Pani dr hab. Małgorzaty Doman Plan tego wystąpienia Teoria Narzędzia

Bardziej szczegółowo

Grupy pytań na egzamin inżynierski na kierunku Informatyka

Grupy pytań na egzamin inżynierski na kierunku Informatyka Grupy pytań na egzamin inżynierski na kierunku Informatyka Dla studentów studiów dziennych Należy wybrać dwie grupy pytań. Na egzaminie zadane zostaną 3 pytania, każde z innego przedmiotu, pochodzącego

Bardziej szczegółowo

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych Wykorzystanie technik komputerowych w projektowaniu elementów z tworzyw sztucznych Tematyka wykładu Techniki komputerowe, Problemy występujące przy konstruowaniu

Bardziej szczegółowo

Sztuczne Sieci Neuronowe. Wiktor Tracz Katedra Urządzania Lasu, Geomatyki i Ekonomiki Leśnictwa, Wydział Leśny SGGW

Sztuczne Sieci Neuronowe. Wiktor Tracz Katedra Urządzania Lasu, Geomatyki i Ekonomiki Leśnictwa, Wydział Leśny SGGW Sztuczne Sieci Neuronowe Wiktor Tracz Katedra Urządzania Lasu, Geomatyki i Ekonomiki Leśnictwa, Wydział Leśny SGGW SN są częścią dziedziny Sztucznej Inteligencji Sztuczna Inteligencja (SI) zajmuje się

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Kierownik Katedry: Prof. dr hab. inż. Tadeusz BURCZYŃSKI

Kierownik Katedry: Prof. dr hab. inż. Tadeusz BURCZYŃSKI Kierownik Katedry: Prof. dr hab. inż. Tadeusz BURCZYŃSKI Zakład Inteligentnych Systemów Obliczeniowych RMT4-3 Kierownik Zakładu: Prof. dr hab. inż. Tadeusz BURCZYŃSKI Zakład Metod Numerycznych w Termomechanice

Bardziej szczegółowo

Projektowanie oprogramowania cd. Projektowanie oprogramowania cd. 1/34

Projektowanie oprogramowania cd. Projektowanie oprogramowania cd. 1/34 Projektowanie oprogramowania cd. Projektowanie oprogramowania cd. 1/34 Projektowanie oprogramowania cd. 2/34 Modelowanie CRC Modelowanie CRC (class-responsibility-collaborator) Metoda identyfikowania poszczególnych

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA Kierunek studiów: INFORMATYKA Stopień studiów: STUDIA II STOPNIA Obszar Wiedzy/Kształcenia: OBSZAR NAUK TECHNICZNYCH Obszar nauki: DZIEDZINA NAUK TECHNICZNYCH Dyscyplina

Bardziej szczegółowo

Metodyka projektowania komputerowych systemów sterowania

Metodyka projektowania komputerowych systemów sterowania Metodyka projektowania komputerowych systemów sterowania Andrzej URBANIAK Metodyka projektowania KSS (1) 1 Projektowanie KSS Analiza wymagań Opracowanie sprzętu Projektowanie systemu Opracowanie oprogramowania

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

DLA SEKTORA INFORMATYCZNEGO W POLSCE

DLA SEKTORA INFORMATYCZNEGO W POLSCE DLA SEKTORA INFORMATYCZNEGO W POLSCE SRK IT obejmuje kompetencje najważniejsze i specyficzne dla samego IT są: programowanie i zarządzanie systemami informatycznymi. Z rozwiązań IT korzysta się w każdej

Bardziej szczegółowo

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Modelowanie biomechaniczne Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Zakres: Definicja modelowania Modele kinematyczne ruch postępowy, obrotowy, przemieszczenie,

Bardziej szczegółowo

Projektowanie Wirtualne bloki tematyczne PW I

Projektowanie Wirtualne bloki tematyczne PW I Podstawowe zagadnienia egzaminacyjne Projektowanie Wirtualne - część teoretyczna Projektowanie Wirtualne bloki tematyczne PW I 1. Projektowanie wirtualne specyfika procesu projektowania wirtualnego, podstawowe

Bardziej szczegółowo

Definicje. Najprostszy schemat blokowy. Schemat dokładniejszy

Definicje. Najprostszy schemat blokowy. Schemat dokładniejszy Definicje owanie i symulacja owanie zastosowanie określonej metodologii do stworzenia i weryfikacji modelu dla danego rzeczywistego Symulacja zastosowanie symulatora, w którym zaimplementowano model, do

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne 1 Nazwa modułu kształcenia Sztuczna inteligencja 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia

Bardziej szczegółowo

Streszczenie pracy doktorskiej Autor: mgr Wojciech Wojaczek Tytuł: Czynniki poznawcze a kryteria oceny przedsiębiorczych szans Wstęp W ciągu

Streszczenie pracy doktorskiej Autor: mgr Wojciech Wojaczek Tytuł: Czynniki poznawcze a kryteria oceny przedsiębiorczych szans Wstęp W ciągu Streszczenie pracy doktorskiej Autor: mgr Wojciech Wojaczek Tytuł: Czynniki poznawcze a kryteria oceny przedsiębiorczych szans Wstęp W ciągu ostatnich kilku dekad diametralnie zmienił się charakter prowadzonej

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2012/2013 http://www.wilno.uwb.edu.

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2012/2013 http://www.wilno.uwb.edu. SYLLABUS na rok akademicki 01/013 Tryb studiów Studia stacjonarne Kierunek studiów Informatyka Poziom studiów Pierwszego stopnia Rok studiów/ semestr /3 Specjalność Bez specjalności Kod katedry/zakładu

Bardziej szczegółowo

Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty

Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty Wstęp do sieci neuronowych laboratorium 01 Organizacja zajęć. Perceptron prosty Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2012-10-03 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału

Bardziej szczegółowo

1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami

1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami EFEKTY KSZTAŁCENIA 1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami Kierunkowy efekt kształcenia - symbol K_W01 K_W02 K_W03 K_W04 K_W05 K_W06 K_W07 K_W08 Kierunkowy efekt

Bardziej szczegółowo

Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie UML Diagram przypadków użycia Diagram klas Podsumowanie Wprowadzenie Języki

Bardziej szczegółowo

Efekty kształcenia wymagane do podjęcia studiów 2 stopnia na kierunku Informatyka

Efekty kształcenia wymagane do podjęcia studiów 2 stopnia na kierunku Informatyka Efekty kształcenia wymagane do podjęcia studiów 2 stopnia na kierunku Informatyka Test kwalifikacyjny obejmuje weryfikację efektów kształcenia oznaczonych kolorem szarym, efektów: K_W4 (!), K_W11-12, K_W15-16,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów Katedra Wytrzymałości Materiałów Instytut Mechaniki Budowli Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Laboratorium Wytrzymałości Materiałów Praca zbiorowa pod redakcją S. Piechnika Skrypt dla studentów

Bardziej szczegółowo

Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego

Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego (na podstawie: Żółtowski B. Podstawy diagnostyki maszyn, 1996) dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Teoria eksperymentu: Teoria eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Obrona rozprawy doktorskiej Neuro-genetyczny system komputerowy do prognozowania zmiany indeksu giełdowego

Obrona rozprawy doktorskiej Neuro-genetyczny system komputerowy do prognozowania zmiany indeksu giełdowego IBS PAN, Warszawa 9 kwietnia 2008 Obrona rozprawy doktorskiej Neuro-genetyczny system komputerowy do prognozowania zmiany indeksu giełdowego mgr inż. Marcin Jaruszewicz promotor: dr hab. inż. Jacek Mańdziuk,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego

Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego Wprowadzenie do Metody Elementu Skończonego Krzysztof Balonek, Sławomir Gozdur Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej, AGH, Kraków, Poland email: kbalonek@g10.pl, slagozd@gmail.com Praca dostępna w internecie:

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Formalne podstawy informatyki Rok akademicki: 2013/2014 Kod: EIB-1-220-s Punkty ECTS: 2 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Inżynieria Biomedyczna

Bardziej szczegółowo

Opracował: Jan Front

Opracował: Jan Front Opracował: Jan Front Sterownik PLC PLC (Programowalny Sterownik Logiczny) (ang. Programmable Logic Controller) mikroprocesorowe urządzenie sterujące układami automatyki. PLC wykonuje w sposób cykliczny

Bardziej szczegółowo

Proces technologiczny. 1. Zastosowanie cech technologicznych w systemach CAPP

Proces technologiczny. 1. Zastosowanie cech technologicznych w systemach CAPP Pobożniak Janusz, Dr inż. Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny e-mail: pobozniak@mech.pk.edu.pl Pozyskiwanie danych niegeometrycznych na użytek projektowania procesów technologicznych obróbki za

Bardziej szczegółowo

T2A_W01 T2A_W01 T2A_W02 3 SI_W03 Posiada szeroką wiedzę w zakresie teorii grafów T2A_W01

T2A_W01 T2A_W01 T2A_W02 3 SI_W03 Posiada szeroką wiedzę w zakresie teorii grafów T2A_W01 Efekty dla studiów drugiego stopnia profil ogólnoakademicki, na kierunku Informatyka w języku polskim, na specjalnościach Metody sztucznej inteligencji oraz Projektowanie systemów CAD/CAM, na Wydziale

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI

ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI Załącznik nr 2 Odniesienie efektów kierunkowych do efektów obszarowych i odwrotnie Załącznik nr 2a - Tabela odniesienia

Bardziej szczegółowo

Sterowniki Programowalne (SP)

Sterowniki Programowalne (SP) Sterowniki Programowalne (SP) Wybrane aspekty procesu tworzenia oprogramowania dla sterownika PLC Podstawy języka funkcjonalnych schematów blokowych (FBD) Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i

Bardziej szczegółowo

Analiza i projektowanie oprogramowania. Analiza i projektowanie oprogramowania 1/32

Analiza i projektowanie oprogramowania. Analiza i projektowanie oprogramowania 1/32 Analiza i projektowanie oprogramowania Analiza i projektowanie oprogramowania 1/32 Analiza i projektowanie oprogramowania 2/32 Cel analizy Celem fazy określania wymagań jest udzielenie odpowiedzi na pytanie:

Bardziej szczegółowo

Lista zagadnień kierunkowych pomocniczych w przygotowaniu do egzaminu dyplomowego magisterskiego Kierunek: Mechatronika

Lista zagadnień kierunkowych pomocniczych w przygotowaniu do egzaminu dyplomowego magisterskiego Kierunek: Mechatronika Lista zagadnień kierunkowych pomocniczych w przygotowaniu do Kierunek: Mechatronika 1. Materiały używane w budowie urządzeń precyzyjnych. 2. Rodzaje stali węglowych i stopowych, 3. Granica sprężystości

Bardziej szczegółowo

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe 1. Wyprowadzenie równania na ugięcie membrany... 13 2. Sformułowanie zagadnień brzegowych we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych... 15 3. Wybrane zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Sztuczne siei neuronowe - wprowadzenie

Sztuczne siei neuronowe - wprowadzenie Metody Sztucznej Inteligencji w Sterowaniu Ćwiczenie 2 Sztuczne siei neuronowe - wprowadzenie Przygotował: mgr inż. Marcin Pelic Instytut Technologii Mechanicznej Politechnika Poznańska Poznań, 2 Wstęp

Bardziej szczegółowo

4.1. Wprowadzenie...70 4.2. Podstawowe definicje...71 4.3. Algorytm określania wartości parametrów w regresji logistycznej...74

4.1. Wprowadzenie...70 4.2. Podstawowe definicje...71 4.3. Algorytm określania wartości parametrów w regresji logistycznej...74 3 Wykaz najważniejszych skrótów...8 Przedmowa... 10 1. Podstawowe pojęcia data mining...11 1.1. Wprowadzenie...12 1.2. Podstawowe zadania eksploracji danych...13 1.3. Główne etapy eksploracji danych...15

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Opinia o pracy doktorskiej pt. Systemy adaptacyjnej absorpcji obciążeń udarowych autorstwa mgr inż. Piotra Krzysztofa Pawłowskiego

Opinia o pracy doktorskiej pt. Systemy adaptacyjnej absorpcji obciążeń udarowych autorstwa mgr inż. Piotra Krzysztofa Pawłowskiego Prof. dr hab. inż. Tadeusz Uhl Katedra Robotyki i Mechatroniki Akademia Górniczo Hutnicza Al. Mickiewicza 30 30-059 Kraków Kraków 01.09.2011 Opinia o pracy doktorskiej pt. Systemy adaptacyjnej absorpcji

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

Definicje. Algorytm to:

Definicje. Algorytm to: Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

Aparaty słuchowe Hi-Fi z Multiphysics Modeling

Aparaty słuchowe Hi-Fi z Multiphysics Modeling Aparaty słuchowe Hi-Fi z Multiphysics Modeling POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika i Budowa Maszyn Technologia Przetwarzania Materiałów Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: MODELOWANIE I SYMULACJA PROCESÓW WYTWARZANIA Modeling and Simulation of Manufacturing Processes Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy specjalności PSM Rodzaj zajęć: wykład,

Bardziej szczegółowo

2.2.P.07: Komputerowe narzędzia inżynierii powierzchni

2.2.P.07: Komputerowe narzędzia inżynierii powierzchni 2nd Workshop on Foresight of surface properties formation leading technologies of engineering materials and biomaterials in Białka Tatrzańska, Poland 29th-30th November 2009 2 Panel nt. Produkt oraz materiał

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Bardziej szczegółowo

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS)

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) Wybrane slajdy z prezentacji prof. Tadeusiewicza Wykład Andrzeja Burdy S. Osowski, Sieci Neuronowe w ujęciu algorytmicznym, Rozdz. 5, PWNT, Warszawa 1996. opr. P.Lula,

Bardziej szczegółowo

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ.

Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Materiały do laboratorium Przygotowanie Nowego Wyrobu dotyczące metody elementów skończonych (MES) Opracowała: dr inŝ. Jolanta Zimmerman 1. Wprowadzenie do metody elementów skończonych Działanie rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Zalew danych skąd się biorą dane? są generowane przez banki, ubezpieczalnie, sieci handlowe, dane eksperymentalne, Web, tekst, e_handel

Zalew danych skąd się biorą dane? są generowane przez banki, ubezpieczalnie, sieci handlowe, dane eksperymentalne, Web, tekst, e_handel według przewidywań internetowego magazynu ZDNET News z 8 lutego 2001 roku eksploracja danych (ang. data mining ) będzie jednym z najbardziej rewolucyjnych osiągnięć następnej dekady. Rzeczywiście MIT Technology

Bardziej szczegółowo

technologii informacyjnych kształtowanie , procesów informacyjnych kreowanie metod dostosowania odpowiednich do tego celu środków technicznych.

technologii informacyjnych kształtowanie , procesów informacyjnych kreowanie metod dostosowania odpowiednich do tego celu środków technicznych. Informatyka Coraz częściej informatykę utoŝsamia się z pojęciem technologii informacyjnych. Za naukową podstawę informatyki uwaŝa się teorię informacji i jej związki z naukami technicznymi, np. elektroniką,

Bardziej szczegółowo

Maciej Oleksy Zenon Matuszyk

Maciej Oleksy Zenon Matuszyk Maciej Oleksy Zenon Matuszyk Jest to proces związany z wytwarzaniem oprogramowania. Jest on jednym z procesów kontroli jakości oprogramowania. Weryfikacja oprogramowania - testowanie zgodności systemu

Bardziej szczegółowo

Architektura Systemu. Architektura systemu umożliwia kontrolowanie iteracyjnego i przyrostowego procesu tworzenia systemu.

Architektura Systemu. Architektura systemu umożliwia kontrolowanie iteracyjnego i przyrostowego procesu tworzenia systemu. Architektura Systemu Architektura systemu umożliwia kontrolowanie iteracyjnego i przyrostowego procesu tworzenia systemu. Architektura jest zbiorem decyzji dotyczących: organizacji systemu komputerowego,

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia oznaczeń w symbolach K przed podkreślnikiem kierunkowe efekty kształcenia W kategoria wiedzy

Objaśnienia oznaczeń w symbolach K przed podkreślnikiem kierunkowe efekty kształcenia W kategoria wiedzy Efekty kształcenia dla kierunku studiów FIZYKA - studia II stopnia, profil ogólnoakademicki - i ich odniesienia do efektów kształcenia w obszarze nauk ścisłych Kierunek studiów fizyka należy do obszaru

Bardziej szczegółowo

Seminarium magisterskie. Dyskusja nad tematem pracy magisterskiej pisanej pod kierunkiem pani Dr hab. Małgorzaty Doman

Seminarium magisterskie. Dyskusja nad tematem pracy magisterskiej pisanej pod kierunkiem pani Dr hab. Małgorzaty Doman Seminarium magisterskie Dyskusja nad tematem pracy magisterskiej pisanej pod kierunkiem pani Dr hab. Małgorzaty Doman Plan wystąpienia Ogólnie o sztucznych sieciach neuronowych Temat pracy magisterskiej

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie kierunku ruchu indeksów giełdowych na podstawie danych historycznych.

Prognozowanie kierunku ruchu indeksów giełdowych na podstawie danych historycznych. Metody Sztucznej Inteligencji 2 Projekt Prognozowanie kierunku ruchu indeksów giełdowych na podstawie danych historycznych. Autorzy: Robert Wojciechowski Michał Denkiewicz Mateusz Gągol Wstęp Celem projektu

Bardziej szczegółowo

Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP.

Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP. Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP. Student Adam Markowski Promotor dr hab. Michał Grabowski Cel pracy Celem pracy było przetestowanie i sprawdzenie przydatności modyfikacji klasycznego

Bardziej szczegółowo

Nowe metody analizy i optymalizacji architektury złożonych sieci telekomunikacyjnych następnej generacji

Nowe metody analizy i optymalizacji architektury złożonych sieci telekomunikacyjnych następnej generacji Nowe metody analizy i optymalizacji architektury złożonych sieci telekomunikacyjnych następnej generacji Raport końcowy z realizacji projektu 1. Zakres przeprowadzonych badań. Celem projektu było opracowanie

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA Pytania ogólne na egzamin dyplomowy

INFORMATYKA Pytania ogólne na egzamin dyplomowy INFORMATYKA Pytania ogólne na egzamin dyplomowy 1. Wyjaśnić pojęcia problem, algorytm. 2. Podać definicję złożoności czasowej. 3. Podać definicję złożoności pamięciowej. 4. Typy danych w języku C. 5. Instrukcja

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR

KARTA PRZEDMIOTU 1/5. Wydział Mechaniczny PWR Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika analityczna Nazwa w języku angielskim: Analytical Mechanics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 4 PRZEDMIOT TEMAT Wybrane zagadnienia z optymalizacji elementów konstrukcji Zastosowanie optymalizacji

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D - 4. Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn

POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN. Ćwiczenie D - 4. Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn POLITECHNIKA ŁÓDZKA INSTYTUT OBRABIAREK I TECHNOLOGII BUDOWY MASZYN Ćwiczenie D - 4 Temat: Zastosowanie teoretycznej analizy modalnej w dynamice maszyn Opracowanie: mgr inż. Sebastian Bojanowski Zatwierdził:

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i schematy blokowe

Algorytmy i schematy blokowe Algorytmy i schematy blokowe Algorytm dokładny przepis podający sposób rozwiązania określonego zadania w skończonej liczbie kroków; zbiór poleceń odnoszących się do pewnych obiektów, ze wskazaniem porządku,

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE SZTUCZNYCH SIECI NEURONOWYCH W PROGNOZOWANIU

WYKORZYSTANIE SZTUCZNYCH SIECI NEURONOWYCH W PROGNOZOWANIU WYKORZYSTANIE SZTUCZNYCH SIECI NEURONOWYCH W PROGNOZOWANIU THE USE OF ARTIFICIAL NEURAL NETWORKS IN FORECASTING Konrad BAJDA, Sebastian PIRÓG Resume Artykuł opisuje wykorzystanie sztucznych sieci neuronowych

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWALNE STEROWNIKI LOGICZNE

PROGRAMOWALNE STEROWNIKI LOGICZNE PROGRAMOWALNE STEROWNIKI LOGICZNE I. Wprowadzenie Klasyczna synteza kombinacyjnych i sekwencyjnych układów sterowania stosowana do automatyzacji dyskretnych procesów produkcyjnych polega na zaprojektowaniu

Bardziej szczegółowo

Sieci neuronowe - dokumentacja projektu

Sieci neuronowe - dokumentacja projektu Sieci neuronowe - dokumentacja projektu Predykcja finansowa, modelowanie wskaźnika kursu spółki KGHM. Piotr Jakubas Artur Kosztyła Marcin Krzych Kraków 2009 1. Sieci neuronowe - dokumentacja projektu...

Bardziej szczegółowo

Inteligentne wydobywanie informacji z internetowych serwisów społecznościowych

Inteligentne wydobywanie informacji z internetowych serwisów społecznościowych Inteligentne wydobywanie informacji z internetowych serwisów społecznościowych AUTOMATYKA INFORMATYKA Technologie Informacyjne Sieć Semantyczna Przetwarzanie Języka Naturalnego Internet Edytor Serii: Zdzisław

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PRAC INŻYNIERSKICH Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności: Komputerowe projektowanie maszyn i urządzeń Rodzaj zajęć:

Bardziej szczegółowo

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 1 4. 4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ 4.1. Elementy trójkątne Do opisywania dwuwymiarowego kontinuum jako jeden z pierwszych elementów

Bardziej szczegółowo

Odniesienie do obszarowych efektów kształcenia 1 2 3. Kierunkowe efekty kształcenia WIEDZA (W)

Odniesienie do obszarowych efektów kształcenia 1 2 3. Kierunkowe efekty kształcenia WIEDZA (W) EFEKTY KSZTAŁCENIA NA KIERUNKU "MECHATRONIKA" nazwa kierunku studiów: Mechatronika poziom kształcenia: studia pierwszego stopnia profil kształcenia: ogólnoakademicki symbol kierunkowych efektów kształcenia

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich)

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich) MATEMATYKA I EKONOMIA PROGRAM STUDIÓW DLA II STOPNIA Data: 2010-11-07 Opracowali: Krzysztof Rykaczewski Paweł Umiński Streszczenie: Poniższe opracowanie przedstawia projekt planu studiów II stopnia na

Bardziej szczegółowo

Sieci neuronowe. - wprowadzenie - Istota inteligencji. WYKŁAD Piotr Ciskowski

Sieci neuronowe. - wprowadzenie - Istota inteligencji. WYKŁAD Piotr Ciskowski Sieci neuronowe - wprowadzenie - Istota inteligencji WYKŁAD Piotr Ciskowski na dobry początek: www.mql4.com - championship 2007 - winners of the ATC 2007 - the ATC 2007 is over forex-pamm.com na dobry

Bardziej szczegółowo

Proces badawczy schemat i zasady realizacji

Proces badawczy schemat i zasady realizacji Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Zaoczne Studia Doktoranckie z Ekonomii Warszawa, 14 grudnia 2014 Metodologia i metoda badawcza Metodologia Zadania metodologii Metodologia nauka

Bardziej szczegółowo

Pytania kierunkowe KIB 10 KEEEIA 5 KMiPKM 5 KIS 4 KPB 4 KTMiM 4 KBEPiM 3 KMRiMB 3 KMiETI 2

Pytania kierunkowe KIB 10 KEEEIA 5 KMiPKM 5 KIS 4 KPB 4 KTMiM 4 KBEPiM 3 KMRiMB 3 KMiETI 2 Kierunek: INŻYNIERIA BEZPIECZEŃSTWA I stopień studiów I. Pytania kierunkowe Pytania kierunkowe KIB 10 KEEEIA 5 KMiPKM 5 KIS 4 KPB 4 KTMiM 4 KBEPiM 3 KMRiMB 3 KMiETI 2 Katedra Budowy, Eksploatacji Pojazdów

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

Narzędzia AI. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl Pokój 312. http://zajecia.jakubw.pl SZTUCZNA INTELIGENCJA (ARTIFICIAL INTELLIGENCE)

Narzędzia AI. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl Pokój 312. http://zajecia.jakubw.pl SZTUCZNA INTELIGENCJA (ARTIFICIAL INTELLIGENCE) Narzędzia AI Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl Pokój 312 http://zajecia.jakubw.pl SZTUCZNA INTELIGENCJA (ARTIFICIAL INTELLIGENCE) Nauka o maszynach realizujących zadania, które wymagają inteligencji

Bardziej szczegółowo

Praca dyplomowa magisterska

Praca dyplomowa magisterska Praca dyplomowa magisterska Implementacja algorytmów filtracji adaptacyjnej o strukturze transwersalnej na platformie CUDA Dyplomant: Jakub Kołakowski Opiekun pracy: dr inż. Michał Meller Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

VI Seminarium Naukowe Tomografia procesowa aplikacje, systemy pomiarowe i algorytmy numeryczne - relacja

VI Seminarium Naukowe Tomografia procesowa aplikacje, systemy pomiarowe i algorytmy numeryczne - relacja VI Seminarium Naukowe Tomografia procesowa aplikacje, systemy pomiarowe i algorytmy numeryczne - relacja W dniu 21.08.2015 odbyło się VI Seminarium Naukowe Tomografia procesowa aplikacje, systemy pomiarowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 8 - Wprowadzenie do automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, 2015. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 8 - Wprowadzenie do automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, 2015. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 8 - Wprowadzenie do automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Literatura Zieliński C.: Podstawy projektowania układów cyfrowych. PWN, Warszawa, 2003 Traczyk W.:

Bardziej szczegółowo

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych

Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie

Bardziej szczegółowo

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014

Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Lista tematów na kolokwium z wykładu z Techniki Cyfrowej w roku ak. 2013/2014 Temat 1. Algebra Boole a i bramki 1). Podać przykład dowolnego prawa lub tożsamości, które jest spełnione w algebrze Boole

Bardziej szczegółowo

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i Spis treści Przedmowa do wydania polskiego - Tadeusz Tyszka Słowo wstępne - Lawrence D. Phillips Przedmowa 1. : rola i zastosowanie analizy decyzyjnej Decyzje złożone Rola analizy decyzyjnej Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Heurystyki. Strategie poszukiwań

Heurystyki. Strategie poszukiwań Sztuczna inteligencja Heurystyki. Strategie poszukiwań Jacek Bartman Zakład Elektrotechniki i Informatyki Instytut Techniki Uniwersytet Rzeszowski DLACZEGO METODY PRZESZUKIWANIA? Sztuczna Inteligencja

Bardziej szczegółowo

1. Metoda komputerowego wspomagania wyznaczania po danego wyposa enia sprz towo-materiałowego Podstawowej Jednostki Organizacyjnej Systemu Bezpiecze

1. Metoda komputerowego wspomagania wyznaczania po danego wyposa enia sprz towo-materiałowego Podstawowej Jednostki Organizacyjnej Systemu Bezpiecze 1. Metoda komputerowego wspomagania wyznaczania pożądanego wyposażenia sprzętowo-materiałowego Podstawowej Jednostki Organizacyjnej Systemu Bezpieczeństwa Kraju 1. Analiza rodzajów i strat powodowanych

Bardziej szczegółowo