Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil

Transkrypt

1 SPIS TREŚCI OBLICZENIA PROCENTOWE... Wartość bezwzględna, wektory, funkcje, własności liczb, geometria analityczna... 6 Planimetria... Stereometria... 5 Funkcja logarytmiczna i wykładnicza... Zadania z parametrem Zbiory punktów Ciągi liczbowe Prawdopodobieństwo Trygonometria Wielomiany Zadania do samodzielnego rozwiązania Statystyka... 8 Pochodna Zadania na dowodzenie Zadania z informatora... 9 ZADANIA DO POWTÓRKI FUNKCJE LICZBY CIĄGI RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA STEREOMETRIA... 0 PLANIMETRIA... 0 GEOMETRIA ANALITYCZNA... 0 RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI, UKŁADY Zadania różne UWAGA!!! Zadania, których numer zapisałem pogrubioną czcionką dotyczą poziomu rozszerzonego, pozostałe poziomu podstawowego. Mirosław Gil

2 OBLICZENIA PROCENTOWE Zad. a lasy państwowe stanowią 78,5% ogólnej powierzchni lasów w Polsce., wynoszącej 8780ha. Jaką powierzchnię mają lasy państwowe? Wynik podaj z dokładnością do 0ha. b sosna i modrzew rosną na powierzchni 6060ha, podczas gdy lasy iglaste zajmują powierzchnię 6780ha. Jaki procent lasów iglastych porastają sosny i modrzewie? Wynik podaj z dokładnością do %. c buki starsze niż 80 lat rosną na powierzchni 0ha, co stanowi 0% lasów bukowych. Jaka jest powierzchnia lasów bukowych? Wynik podaj z dokładnością do ha. Zad. Do egzaminu przystąpiło 5 dziewcząt i 60 chłopców, a zdało go 76% dziewcząt i 6,5% chłopców. Czy egzamin zdało więcej dziewcząt, czy chłopców? Jaki procent przystępujących do egzaminu zdało go? Zad. Gdy w pewnej klasie nieobecnych było 9 uczniów, to frekwencja wynosiła 6%. a Ilu uczniów należy do tej klasy? b Ilu uczniów tej klasy musiałoby być nieobecnych, aby frekwencja wynosiła 88%? Zad. Skuteczność rzutów koszykarza jest wyrażana w procentach stosunkiem liczby celnych rzutów do wszystkich oddanych. W pierwszym meczu skuteczność pewnego koszykarza wyniosła 0%. W drugim meczu ten sam zawodnik trafił do kosza 6 razy na 0 podjętych prób, dzięki czemu jego skuteczność po dwóch meczach wzrosła do 50%. a Jaką skuteczność miał ten zawodnik w drugim meczu? b Ile rzutów oddał w pierwszym meczu? Zad.5 Koncentrat soku zawiera 80% czystego soku. Ile potrzeba tego koncentratu, by otrzymać 5 litrów napoju o zawartości 0% czystego soku? Zad.6 Dwie krawędzie prostopadłościanu wydłużono o 0%. O ile procent wydłużono trzecią krawędź, jeżeli tak otrzymany prostopadłościan ma objętość o 6% większą od początkowego? Zad.7 Cenę towaru obniżono dwukrotnie o 0%. O ile procent obniżona została cena początkowa? O ile procent należy podnieść obecną cenę, by wrócić do ceny początkowej? Zad.8 Na konto o oprocentowaniu 5% w stosunku rocznym wpłacono na dwa lata 800zł i. a Jaki będzie stan konta po upływie tego czasu? b Jakie powinno być oprocentowanie rocznej lokaty, aby po wpłaceniu 800zł i po upływie dwóch lat mieć na koncie 000zł? Odpowiedź podaj z dokładnością do %. c Po upływie dwóch lat od wpłaty stan konta oprocentowanego 0% w stosunku rocznym wynosi 96 zł. Jaka była wysokość wpłaty? Zad.9 Pan Kowalski wpłacił 000zł na pięcioletnią lokatę o oprocentowaniu % w stosunku rocznym. Ile procent wypłaci po pięciu latach bez płacenia 0% odsetek od zysku, a ile po zapłaceniu odsetek? Zad.0 Leszek wpłacił pewną sumę pieniędzy na konto o zmiennym oprocentowaniu. Odsetki wynosiły: za pierwszy rok %, za drugi %, trzeci 0%, czwarty %. Po czterech latach wypłacił cała kwotę. O ile procent wypłacił więcej niż wpłacił na początku? Zad. Pan Kowalski planując wakacje postanowił założyć lokatę, wpłacając do banku 000zł na okres jednego roku. Ma do wyboru trzy rodzaje lokat: A oprocentowanie w stosunku rocznym 5%, kapitalizacja odsetek po roku, B oprocentowanie w stosunku rocznym,8%, kapitalizacja odsetek co pól roku, C oprocentowanie w stosunku rocznym,6%, kapitalizacja odsetek co kwartał. Oceń wykonując odpowiednie obliczenia, która lokata jest najkorzystniejsza. Zad. Pan Oszczędny wpłacił na dwuletnią lokatę 0000 PLN, przy czym na tej lokacie odsetki dopisywane są po każdym roku. Po dwóch latach oszczędzania stan konta wynosi 8, PLN. Ile wynosi oprocentowanie tej lokaty? Zad. W 00 roku zarobki pani Zosi były o 0% niższe od zarobków jej męża, ale w następnym roku Zosia awansowała i zarobki jej męża były o 0% niższe od zarobków pani Zosi. O ile procent wzrosły pani Zosi w stosunku do roku poprzedniego? Mirosław Gil

3 Zad. Litr benzyny kosztuje zł, a litr gazu zł. Można przyjąć, że samochód spala o 50%więcej gazu niż benzyny na 00km. Pan Kowalski postanowił założyć w swoim samochodzie instalację gazową. Koszt założenia wynosi 000zł. Samochód pana Kowalskiego spala 5 litrów benzyny na 00km. a Jaki jest koszt przejechania 0000km, jeżeli silnik pracuje na benzynę, a jaki gdy pracuje na gaz? b Po przejechaniu ilu kilometrów różnica między kosztem jazdy samochodem pracującym na gaz a pracującym na benzynę wyniesie tyle ile kosztuje założenie instalacji gazowej? Zad.5 Abonament miesięczny za telefon wynosi 50zł. Dodatkowo za każdą rozpoczętą minutę należy zapłacić 5 groszy. a Znajdź wzór funkcji, która liczbie minut przyporządkowuje miesięczną opłatę za telefon. b Oblicz po ilu minutach rozmowy opłata za telefon przekroczy 00zł. c Gdyby opłata za minuty rozmowy podrożała o 0%, a abonament o 0%, to o ile minut krócej niż w punkcie a rozmawialibyśmy płacąc 00zł? Zad.6 grudnia wpłacono 5000zł na konto ze stopą procentową 6% rocznie. Odsetki są kapitalizowane co pół roku. Od lipca oprocentowanie konta zmieniło się. Jaka była nowa stopa procentowa, jeżeli stycznia następnego roku klient miał na koncie 57,60zł? Zad.7 Kwotę 0000zł wpłacono na roczną lokatę terminową o stałym oprocentowaniu p%. Po roku od dochodu z lokaty zapłacono 0% podatku i okazało się, że na koncie lokaty jest 000zł. Oblicz p. Zad.8 Pewną kwotę pieniędzy ulokowano w dwóch bankach na rok. Po roku, po odliczeniu 0% podatku od odsetek, odebrano z obu banków 6960zł. Oblicz kwotę każdej lokaty, jeżeli roczna stopa procentowa dla lokat w pierwszym banku była równa 5%, a w drugim % i jeżeli kwota odsetek w pierwszym banku była dwa razy większa niż kwota odsetek w drugim banku. Zad.9 Jeżeli roczna inflacja jest równa i%, to wartość zł po roku jest równa zł. Po roku wartość 000zł była i 00 równa 980zł. Oblicz inflację roczną, wynik podaj z dokładnością do 0,0%. Zad.0 Pewien towar po dwukrotnej podwyżce o 5% kosztuje 88, zł. Ile kosztował ten towar przed podwyżkami? Zad. W stopie do lutowania jest 65% ołowiu i 5% cyny. Do wyprodukowania pewnej ilości stopu zużyto 0 kg więcej ołowiu niż cyny. Ile zużyto ołowiu, a ile cyny? Zad. Planując wakacje rodzina Kowalskich przeznaczyła pewną kwotę na wyżywienie. W pierwszym tygodniu wydano 0% zaplanowanej kwoty, w drugim tygodniu o 60 zł mniej niż w pierwszym, w trzecim połowę reszty pieniędzy. Na czwarty tydzień zostało 70 zł. Oblicz kwotę, którą rodzina Kowalskich przeznaczyła na wyżywienie. Zad. Kaseta kosztowała 0 zł. Po dwukrotnej podwyżce o ten sam procent jej cena wzrosła do 6,0 zł. O Jaki procent dokonywano kolejnych podwyżek ceny kasety? Zad. Wysokość prowizji przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji. Zależność tą przedstawia tabela: Wartość transakcji do 500 zł od 500,0 zł do 000 zł od 000,0 zł do 8000 zł od 8000,0 zł do 5000zł powyżej 5000 zł Wysokość prowizji 5 zł % wartości transakcji + 5 zł,5% wartości transakcji + 0 zł % wartości transakcji + 60 zł 0,7% wartości transakcji + 05 zł Klient zakupił 50 akcji w cenie 5 zł za jedną akcję. Po roku sprzedał kupione akcje po 5 zł za sztukę. Oblicz ile zarobił na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił. Mirosław Gil

4 Zad.5 Na konto państwa Kowalskich wpływa miesięcznie 00 zł. Na diagramie przedstawiono strukturę planowanych miesięcznych wydatków. oblicz ile procent danej kwoty stanowią miesięczne wydatki na wyżywienie oblicz, ile pieniędzy wydają państwo Kowalscy łącznie na gaz i energię oraz na czynsz. czynsz(00 zł gaz i energia(% ubrania(% inne (5% wyżywienie Zad.6 Na poniższej fakturze podatek VAT został naliczony od wartości netto. Uzupełnij tabelę Lp. artykuł J.m. ilość Cena Jednostkowa Bez podatki VAT (zł Wartość Netto (zł Podatek VAT Wartość z Podatkiem (zł Zad.7 Marek wpłacił 000 zł na konto o oprocentowaniu % p.a. Po roku wypłacił 000zł, pozostawiając odsetki. Po kolejnym roku wypłacił kwotę równą pozostawionym uprzednio odsetkom, a na koncie zostawił tylko odsetki od tych odsetek. Ile Marek może zyskać postępując tak dostatecznie Zad.8 Cena akcji pewnej firmy wynosiła początkowo 0zł, a potem spadała o 0% dziennie. Czy 60zł wystarczy na kupowanie dowolnie długo po jednej akcji tej firmy dziennie? Zad.9 Tomek Sawyer pomalował pewnego dnia 5m płotu, a każdego następnego dnia o 0% mniej. Cały płot ma długość 0m. Czy Tomek zdoła go pomalować? % Kwota (zł Szampon szt. 8,85 8,85 Odżywka szt.,0 Konfitura szt. 6,50 9,50 7 czekolada szt. 5 7,05 Razem Mirosław Gil

5 Zad.0 Zmieszano,5 litra roztworu 0-procentowego kwasu solnego z litrami 0-procentowego kwasu solnego. Obliczyć stężenie procentowe mieszaniny. Zad. W jakim stosunku należy zmieszać dwa roztwory cukru o stężeniach 7% i 8%, aby otrzymać roztwór - procentowy? Zad. Cena l paliwa została zmniejszona o 5%. Po dwóch tygodniach dokonano kolejnej zmiany ceny paliwa zwiększając ją o 5%. O ile procent końcowa cena paliwa różni się od początkowej? Zad. Mamy 5 kg kwasu siarkowego o stężeniu 5%. Ile kg kwasu siarkowego o stężeniu 0% należy dolać, aby otrzymać kwas o stężeniu %? Zad. W jednym naczyniu było a litrów p-procentowego kwasu siarkowego, w drugim zaś b litrów q procentowego kwasu siarkowego. Z obu naczyń odlano równe objętości roztworów, a następnie roztwór odlany z drugiego naczynia wlano do pierwszego, a odlany z pierwszego wlano do drugiego. Okazało się, że po wymieszaniu stężenia w obu naczyniach były jednakowe. Jaką ilość roztworu odlano z naczyń. Zad. 5 W dwu naczyniach znajduje się roztwór kwasu siarkowego. W pierwszym naczyniu roztwór jest 5-procentowy, a w drugim0-procentowy. Po ile litrów należy wziąć z każdego naczynia, aby po zmieszaniu pobranych roztworów otrzymać 0 litrów 0-procentowego roztworu? Zad. 6 Zmieszano,5 litra roztworu 0-procentowego kwasu solnego z litrami 0-procentowego kwasu solnego. Obliczyć stężenie procentowe mieszaniny. Zad.7 Koncert paliwowy podnosił dwukrotnie cenę benzyny, pierwszy raz o 0%, a drugi raz 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny kosztuje,6 zł. Jaka była cena benzyny przed omawianymi podwyżkami? Mirosław Gil 5

6 Wartość bezwzględna, wektory, funkcje, własności liczb, geometria analityczna Definicja wartości bezwzględnej Interpretacja wartości bezwzględnej Rozwiąż korzystając z interpretacji : =; - =; + =; - <; + > itp. Rozwiąż algebraicznie : =; - =7; +5 =; -6 <; +7 > Rozwiąż : =0; - =0; + 0; - 0; + >0; + <0 Rozwiąż równania i nierówności : =8; < ; >7; Zapisz za pomocą wartości bezwzględnej następujący przedział (;5; (- ;5> <7; WEKTORY Definicja wektora Działania na wektorach na płaszczyźnie (a+b, a-b, /a+5/7b... Wektor w układzie współrzędnych : współrzędne na osi, w XOY, długość wektora, kąt między wektorami, warunek równoległości i prostopadłości wektorów działania na wektorach dodawanie, odejmowanie, iloczyn przez liczbę, iloczyn skalarny pole trójkąta FUNKCJA LINIOWA Różne postaci funkcji liniowej Związek równania z wektorami : wektor kierunkowy i prostopadły Warunki prostopadłości i równoległości prostych (postać kierunkowa, ogólna Metoda wyznaczników(z trzema niewiadomymi, układ równań z parametrem Zad.8 Dana jest funkcja f( = Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej zbiór wartości. Podaj rozwiązanie nierówności f( > 0. Zad.9 Korzystając tylko z definicji funkcji rosnącej uzasadnij, że funkcja w przedziale (- ; 0. Zad.0 Dana jest funkcja f ( dla dla ; ; a sprawdź, czy liczba a = (0,5-0,5 należy do dziedziny funkcji f( b oblicz f( i f( c sporządź wykres funkcji f( d podaj rozwiązanie równania f( = 0 e zapisz zbiór wartości funkcji f( Zad. Funkcja f jest określona wzorem f( = a + b + dla R. a wyznacz wzór tej funkcji tak, aby f( = i f( = b dla wyznaczonych a i b rozwiąż nierówność f( > f ( jest rosnąca Zad. Dana jest funkcja f określona za pomocą zbioru par uporządkowanych: {(; + : N + i <7} a sporządź wykres tej funkcji i określ jej zbiór wartości b wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 7. Zad. Niech f(= 6 +. Rozwiąż nierówność f( 9 >0. Wyznacz równanie obrazu wykresu funkcji f w symetrii względem prostej o równaniu a = 6; b y = Zad. Funkcja kwadratowa f( = + b + c jest malejąca w przedziale (- ; i rosnąca w przedziale (;, a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi. a Wyznacz współczynniki b i c b nie wyznaczając miejsc zerowych oblicz. Zad.5 Funkcja kwadratowa f( = a + b, gdzie b > 0 posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn wynosi (. Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą (, wyznacz współczynniki a i b oraz miejsca zerowe funkcji. Mirosław Gil 6

7 Zad.6 Sprowadź wyrażenie + + do najprostszej postaci, gdy (0;. Zad.7 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f( = (5 ( w przedziale <0;7>. Zad.8 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f( = ( + ( w przedziale <- ;>. Zad.9 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f. Na podstawie wykresu: a zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiór rozwiązań nierówności f( < b określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale <0;> c zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej Zad.50 Wykres funkcji f( = a + b + c przechodzi przez punkty A(-; 6, B(8; 6, a wierzchołek paraboli będącej wykresem tej funkcji należy do prostej y = - +. a wyznacz współczynniki a, b, c b narysuj wykres funkcji f, która ma dwa miejsca zerowe c odczytaj z wykresu liczbę rozwiązań równania f( = m w zależności od parametru m. Zad.5 Zbadaj monotoniczność funkcji wyrażonej wzorem f ( sgn, gdzie sgn. Zad.5 Rozwiąż równania: a ; b + = 7 +; c + ++7=0; d + + = +; e 5 Zad.5 Wyznacz zbiór A B, jeśli A={R: < } i B={R: 6 < 0 }. dla 0 0 dla 0 dla 0 Zad.5 Narysuj wykres funkcji f( =, a następnie, korzystając z niego podaj wszystkie wartości, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne oraz minima lokalne. Mirosław Gil 7

8 Zad.55 Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi O, wierzchołek D jest punktem przecięcia paraboli o równaniu 6 y z osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej paraboli. Oblicz pole trapezu. Zad.56 Dany jest punkt F = (0; i prosta k o równaniu y =. Aby wyznaczyć równanie postaci y = f(, które spełniają współrzędne punktu M = (;y równoodległego od punktu F i prostej k, postępujemy następująca: zapisujemy odległość MF punktu M od punktu F oraz odległość d(m;k punktu M od prostej k MF 0 y, dm. k y zapisujemy warunek równości tych odległości 0 y y przekształcamy równanie, podnosząc obie strony do kwadratu (obie strony są nieujemne + ( y = (y a następnie do postaci 0 y. Postępując analogicznie, rozwiąż następujące zadanie : Dany jest punkt F = (0; i prosta k o równaniu y =. Wyznacz równanie postaci y = f(, które spełniają współrzędne punktu M = (;y równoodległego od punktu F i prostej k. Zad.57 Wyznacz zbiór punktów osi liczbowej, takich, że suma ich odległości od punktów i jest mniejsza od. u i otrzymano wykres funkcji y = g(. Zad.58 Wykres funkcji f( = przesunięto o wektor ; a Napisz wzór funkcji y = g(. b Wyznacz jej miejsca zerowe. c Zbadaj liczbę rozwiązań równania g( = m w zależności od parametru m. d Narysuj wykres funkcji k k(m, gdzie k oznacz liczbę rozwiązań danego równania. Zad.59 Punkt B = (-; - jest jednym z końców odcinka AB. Punkt M = (; należy do odcinka AB i AM = AB. Oblicz współrzędne punktu A. Zad.60 Narysuj wykres funkcji o własnościach: a dziedziną funkcji jest zbiór < ; 7> b f( = ; f( = f( = 0; f(7 = ; f( = c zbiorem wartości jest przedział < ; > d funkcja jest rosnąca w przedziale(;, malejąca w przedziałach ( ;; (;7 Zad.6 Dana jest funkcja f( = + dla R a wyznacz zbiór wartości funkcji dla ; b naszkicuj wykres funkcji c podaj jej miejsca zerowe d wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f( = m nie ma rozwiązania. Zad.6 Rozwiąż układ równań y 9. y Zad.6 Rozwiąż układ y y. y Zad.6 Rozwiąż układ równań.. y 0 Mirosław Gil 8

9 Zad.65 Dla jakich wartości parametru m układ równań: znakach? m y y Zad.66 Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m ma jedno rozwiązanie będące parą liczb o różnych m y m my m Zad.67 Obwód prostokąta ma 60 cm. Oblicz jego wymiary wiedząc, że prostokąt ten ma maksymalne pole. Zad.68 Dane są funkcje liniowe f( = + i g( = i punkt M( ;.Prosta o równaniu = m przecina wykres tych funkcji odpowiednio w punktach A i B. Wyznacz wartość parametru m tak, aby suma kwadratów odległości punktów A i B od punktu M była najmniejsza. Zad.69 Dla jakich wartości parametru m wektory o współrzędnych [m,] i [m, -8] są a prostopadłe, b równoległe.. Zad.70 Dana jest prosta l o równaniu y oraz punkt A=(-; -. Wykres funkcji liniowej f jest prostopadły do prostej l, punkt A należy do wykresu funkcji f. Wyznacz wzór i miejsce zerowe funkcji f. Zad.7 Dany jest wektor ; wektora v AB. AB oraz punkt A = (; -. Oblicz współrzędne punktu B oraz współrzędne i długość Zad.7 W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj figurę F, gdzie F ; y : R y R y. Oblicz pole figury F. Zad.7 Dane są zbiory A R : 7, B R : 0 oraz zbiór C = B A.. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A, zbiór B Zad.7 Wyznacz A B, A B, B A, jeżeli A R oraz B R : 6 Zad.75 Wyznacz A B, jeżeli :. : n N oraz B ; n A. Zad.76 W układzie współrzędnych dane są punkty A = ( ; i B = (; a wyznacz równanie prostej AB b prosta AB i prosta o równaniu 9 6y 6 = 0 przecinają się w punkcie C. Oblicz współrzędnie punktu C. Zad77 Aby wyznaczyć równanie symetralnej odcinka o końcach A( ; i B(; postępujemy w następujący sposób: - wybieramy dowolny punkt P(;y należący do symetralnej odcinka AB i korzystamy z własności symetralnej odcinka: AP = BP AP = BP - ponieważ AP = (+ + (y oraz BP = ( + (y +, więc (+ + (y = ( + (y + - przekształcamy otrzymane równanie do prostszej postaci i otrzymujemy równanie y + = 0, które jest równaniem symetralnej odcinka AB. Postępując w analogiczny sposób, wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach: C(;6; D(6;. Zad.78 Opisz za pomocą układu nierówności zbiór punktów należących do trójkąta ABC o wierzchołkach A(0;0, B(5;, C(5; Zad.79 Proste o równaniach + y + = 0, y = 0 oraz oś odciętych zawierają boki trójkąta. Oblicz obwód tego trójkąta. Uzasadnij, że trójkąt ten jest prostokątny i oblicz pole koła opisanego na nim koła. Mirosław Gil 9

10 Zad.80 Prosta o równaniu 5 + y 0 = 0 przecina oś O układu współrzędnych w punkcie A oraz oś rzędnych w punkcie B. Oblicz współrzędne wszystkich punktów C leżących na osi O i takich, że trójkąt ABC ma pole równe 5. Zad.8 Okrąg o środku w punkcie S = (; 7 jest styczny do prostej o równaniu y =.. Oblicz współrzędne punktu styczności. (odp. =/5; y=/5 Zad.8 Dany jest punkt C = (; i prosta o równaniu y = 8 będąca symetralną odcinka BC. Wyznacz współrzędne punktu B. Wykonaj obliczenia. Zad.8 W roku 005 na uroczystości urodzin zapytano jubilata, ile ma lat. Jubilat odpowiedział: Jeśli swój wiek sprzed 0 lat pomnożę przez swój wiek za lat, to otrzymam rok mojego urodzenia. Ułóż odpowiednie równanie, rozwiąż je i zapisz w którym roku urodził się jubilat. Zad.8 Rozwiąż równanie 9 = 6 (. Zad.85 Samochód przebył w pewnym czasie 0 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 0 km/h większą to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz z jaką średnią prędkością jechał samochód. Zad.86 Turysta pokonał trasę km, przechodząc każdego dnia tą samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o km mniej. Ile kilometrów dziennie przechodził turysta? (odp. 8km. Zad.87 Ze Szczecina do Częstochowy wyruszyły dwie pielgrzymki: piesza i rowerowa. Pielgrzymka piesza wyruszyła pierwsza, pokonując każdego dnia 6km. Po 8 dniach wyruszyła pielgrzymka rowerowa, pokonując pierwszego dnia 5km, a każdego następnego o km mniej niż poprzedniego. Pielgrzymki spotkały się dopiero na Jasnej Górze. W którym dniu i w jakiej odległości od miejsca wyjazdu pielgrzymka rowerowa dogoniła pielgrzymkę pieszą. (odp. po dniach, 56 km Zad.88 Odległość między dwiema stacjami kolejowymi jest równa 8 km. Pociąg ekspresowy przebywa tę trasę o 6 minut krótszym niż pociąg pospieszny. Średnia prędkość pociągu ekspresowego jest o 6 km/h większa od średniej prędkości pociągu pospiesznego. Oblicz średnią prędkości obu pociągów na tej trasie w km/h. Zad.89 Rozwiąż równanie. Zad.90 Aby uzyskać napój owocowy należy zmieszać syrop z wodą w stosunku :. Ile jest syropu, a ile wody w 0,75 l tego napoju? Zad.9 Wykaż bez użycia kalkulatora i tablic, że jest liczbą całkowitą. Zad.9 Sumę S S sumę zapisujemy w następującej postaci każdy składnik tej sumy przedstawiamy jako różnicę ułamków można obliczyć w następujący sposób: S Stąd więc S , 06 S S Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę Mirosław Gil 0

11 9 Zad.9 Dane są liczby: a i b 7. 5 a przedstaw liczbę a w postaci y, gdzie i y są liczbami wymiernymi b zapisz liczbę b w postaci potęgi liczby o wykładniku ułamkowym c suma liczb a i b stanowi 80% pewnej liczby c. Wyznacz liczbę c. Zad.9 Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby 0 Postępujemy następująca: , zapisujemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość a b 6. Zad.95 Równanie postaci 5 60 F 9 9 C ustala zależność między temperaturą wyrażoną w stopniach Celsjusza (C oraz Fahrenheita (F. a oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita ma woda wrząca w temperaturze 00 0 C b wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita. Zad.96 Suma liczb a i b jest równa 7, a ich różnica wynosi 7. Oblicz wartość wyrażenia a b. Zad.97 Porównaj liczby: a 0, 0, 0 0 ; b 6, 5 6, 9. Zad.98 Rozwiąż równanie 5 5 rozwiązaniem równania. a następnie oblicz wartość wyrażenia m m, gdzie m jest Zad.99 Dane są liczby 5 8; y 5. Sprawdź, czy liczba jest liczbą wymierną. y Zad.00 Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie 5 i opuść wartość bezwzględną Zad.0 Wiedząc, że Zad.0 Oblicz wartość wyrażenia 5 y y, oblicz. y y wiedząc, że. Zad.0 Liczbę przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, aby różnica ich kwadratów była równa 68. Zad.0 Liczbę 005 przedstaw w postaci różnicy dwóch liczb, tak by suma kwadratów tych liczb była najmniejsza. Zad.05 Suma trzech liczb rzeczywistych dodatnich jest równa. Druga liczba jest trzy razy większa od pierwszej. Wyznacz te liczby tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza. Zad.06 Wiadomo, że,589 jest przybliżeniem liczby 0 0, z zaokrągleniem do czterech miejsc po przecinku. Wyznacz 5 przybliżenie liczby 0 z zaokrągleniem do miejsca po przecinku. Mirosław Gil

12 Zad.07 Stosując wzory skróconego mnożenia rozłóż na czynniki wyrażenie a + ab b. 7 ; należą do iloczynu rozwiązań nierówności: Zad.08 Które z liczb ; ;. ;,? 0 < 0 i Zad.09 Dla jakiej wartości parametru m punkty A, B, C są współliniowe, jeżeli A=( ; ; B=(m; m ; C=(8;? Zad.0 Wyznacz zbiór liczb, dla których ma sens wyrażenie: 8. Zad. Dwa pociągi wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 50 km. Pociąg jadący z miasta A wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz z jakimi prędkościami jechały te pociągi. Zad. Pociąg wyruszył w drogę o 6 minut później niż przewidywał rozkład jazdy, po czym na drodze 80 km nadrobił opóźnienie jadąc z prędkością o 0 km/h większą niż przewidywał rozkład jazdy. Jaka była przewidywana prędkość pociągu? Zad. Samochód przejechał 80 km, jadąc ze stałą prędkością. Gdyby jechał z prędkością o 0 km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o godzinę. Z jaką prędkością jechał samochód? Zad. Dwaj rowerzyści wyruszyli jednocześnie w drogę, jeden z A do B, drugi z B do A i spotkali się po jednej godzinie. Pierwszy z nich przebywał w ciągu godziny o km więcej niż drugi i przyjechał do celu o 7 minut wcześniej niż drugi. Jakie były prędkości obu rowerzystów i jaka jest odległość AB? Zad.5 Droga z miasta A do miasta B ma długość 7 km. Samochód jadący z miasta A do miasta B wyrusza godzinę później niż samochód z miasta B do miasta A. Samochody te spotykają się w odległości 00 km od miasta B. Średnia prędkość samochodu, który jechał z miasta A, liczona od chwili wyjazdu z A do momentu spotkania, była o 7 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z B do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania. Zad. 6 Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 6 km. Pierwszy pociąg przebył tą trasę w czasie o 0 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie. Zad. 7 Jaki prostokąt o obwodzie 0 cm ma najkrótszą przekątną? Zad. 8 Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze trójkątem równobocznym. Obwód okna wynosi m. Jaka powinna być długość podstawy prostokąta, aby powierzchnia okna była największa? Zad.9 Właściciel sklepu kupił w hurtowni koszulki płacąc za nie 70 zł. Gdyby każda kosztowała o zł mniej, to za tę samą kwotę mógłby kupić o 5 koszulek więcej. Oblicz ile koszulek kupił właściciel sklepu i po ile płacił za koszulkę. Zad.0 Funkcję f( = przedstaw w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ najmniejszą i największą wartość tej funkcji w przedziale <0; >. Zad. Wykresy funkcji f( = a+b i b g a ( przecinają się w punkcie (-0,5;.Znajdź współczynniki a i b, a następnie narysuj te wykresy i wyznacz współrzędne ich drugiego punktu przecięcia. Zad. Narysuj wykres funkcji f ( odczytaj zbiór rozwiązań nierówności f( >., a następnie rozwiąż równanie f( =. Korzystając z wykresu Mirosław Gil

13 Zad. Dana jest funkcja monotoniczności. f ( dla dla 0 0. Sporządź wykres funkcji, podaj miejsca zerowe i przedziały Zad. Funkcja kwadratowa f ma tylko jedno miejsce zerowe, przyjmuje największą wartość dla argumentu, a do jej wykresu należy punkt A(; -50. Napisz wzór tej funkcji w postaci ogólnej. (odp. y = 6 Zad.5 Dane są zbiory A={ R: > 7}; B={R: > 0}; C=( ; (8; i D=( ; 0. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A, zbiór B oraz zbiór D C. Zad.6 Jeden bok kwadratu zawiera się w prostej o równaniu - y =, a wierzchołkiem jest punkt A = (,5. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków i pole kwadratu. Zad.7 Dane są równania prostych zawierających boki równoległoboku : + 5y - 9 = 0 i - 9y + 5 = 0 oraz równanie prostej zawierającej jedną z jego przekątnych - y - 5 = 0. Znaleźć równanie prostej zawierającej drugą przekątną równoległoboku i obliczyć jego pole. Zad.8 Punkty A(-, ; B(-,-; C(5,-; D(, są wierzchołkami czworokąta. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych tego czworokąta. Zad.9 Na trójkącie o wierzchołkach A=(5,5, B= (-,, C=(-,- opisano okrąg O(S,r. Wyznaczyć równanie okręgu oraz stosunek pola trójkąta ABC do pola koła K(S,r. Zad.0 W okrąg o równaniu +y -=0 wpisany jest kwadrat o wierzchołku A(,. a Napisać równanie przekątnych tego kwadratu. b Obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu. c Napisać równanie okręgu symetrycznego do danego względem prostej +y-9=0. Zad. Dana jest funkcja f ( dla dla aobliczyć miejsca zerowe funkcji f. bwyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale <-;> A B; A B w postaci sumy przedziałów liczbowych. Zad. Dane są zbiory liczb rzeczywistych: A : i B : zaznacz te zbiory na osi liczbowej, przedstaw zbiory m m m ( m ( m w m m m m m Zad. Dla jakich m C wyrażenie Rozwiązanie: w ( m przyjmuje wartości całkowite? dzielnikiem liczby, czyli ( m {-; }. m = lub m = - m = lub m =. Odp. Wyrażenie przyjmuje wartości całkowite dla m = lub m =., aby w C, to (m musi być Korzystając z powyższego rozwiązania i postępując analogicznie, sprawdź dla jakich m C wyrażenie przyjmuje wartości całkowite? 9 Zad. Wyznacz wszystkie liczby całkowite, dla których wartość wyrażenia m w m jest liczbą całkowitą. Mirosław Gil

14 Zad.5 Funkcja f dana jest wzorem f ( współczynnikach całkowitych. Wyznacz współrzędne tych punktów.. Wykaż, że do wykresu funkcji f należą dokładnie punkty o Zad.6 Dane są zbiory: B : R 0 i A : R zaznacz te zbiory na osi liczbowej, przedstaw zbiory A B; A B w postaci sumy przedziałów liczbowych. Zad.7 Dana jest funkcja f ( a przedstaw wzór funkcji f w najprostszej postaci b narysuj wykres funkcji f c narysuj wykres funkcji g( = f( f( i podaj jej zbiór wartości. a Zad.8 Dana jest funkcja h( dla 0. Wiadomo, że do wykresu funkcji h należy punkt P = (; 5. a Oblicz wartość współczynnika a b Ustal, czy liczba h(π h(-π jest dodatnia czy ujemna c Rozwiąż nierówność h( > 5 Zad.9 Dana jest funkcja f (. Oblicz f( + oraz f(f(. Zad.0 Punkty A = ( 7, 7, B = ( 0, 8, C = ( -, wyznaczają trójkąt ABC. a Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie. b Oblicz pole trójkąta ABC. c Czy trójkąt ten jest prostokątny? Zad. Dane są punkty A(6;-, B(; i C(m 8m; m. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których proste AB i AC są prostopadłe. (odp. ; -; -0,5 Zad. Dane są punkty A = (; -, B = (-; 0, C = (; -, D = (; -. Wyznacz takie liczby i aby AB α AC β DC Zad. Wyznacz cosinus kąta między wektorami [-6; 8] i [;]. Zad. Mając dane punkty A =(;, B = (-; -, C = (; a na osi odciętych wyznacz taki punkt P, aby b oblicz pole trójkąta ABC c na prostej + y = 0 wyznacz taki punkt D, aby pole trójkąta ACD było równe 0. d wyznacz równanie symetralnej odcinka AB e wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną do podstawy AB f wyznacz równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka C. PA PB Zad.5 Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A = (;, B = (5;-, C = (7;. Wyznacz taki punkt D, aby punkty ABCD tworzyły równoległobok. Zad.6 Dane są punkty A(,5, B(,- oraz prosta p o równaniu y=. awyznaczyć współrzędne punktu C leżącego na prostej p, równoodległego od punktów A i B. b wyznaczyć współrzędne punktu K leżącego na prostej p, wiedząc, że K jest wierzchołkiem trapezu ABOK (O początek układu współrzędnych. c Obliczyć pole czworokąta, którego wierzchołki leżą na osiach układu współrzędnych i należą do okręgu o średnicy AB. Zad.7 Dane są trzy punkty A(,;B(9,5;C(5,8. a Wyznaczyć współrzędne punktu D tak, aby czworokąt ABCD był trapezem, którego kąt przy wierzchołku A jest prosty. b Wyznaczyć cosinus kąta przy wierzchołku B trapezu ABCD. Mirosław Gil

15 Mirosław Gil 5 c Wyznaczyć współrzędne punktu K tak, aby trapez ABCK (AB CK był równoramienny. Zad.8 Wyznaczyć równanie prostej prostopadłej do danej y = + i leżącej w równej odległości od dwóch danych punktów A(-; i B(;. Sporządzić rysunek. Zad.9 Dane są punkty A(, i B(-,. Wyznaczyć długość rzutu prostokątnego odcinka AB na prostą o równaniu + 5y = 0. Sporządź rysunek. Zad.50 Rozwiąż układ równań y y Zad. 5 W układzie współrzędnych przedstaw zbiór punktów opisany wzorem: - y = ; + y = ; - y = -6 Zad. 5 W układzie współrzędnych przedstaw: 0 6 y g y f y y e y d y c y y y b y y y a Zad. 5 Za pomocą układu nierówności przedstaw wnętrze trójkąta o wierzchołkach A(,; B(5,-; C(5,5. Zad. 5 Krótszą podstawa trapezu jest AB, gdzie A(; i B(6;. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków, jeżeli wiadomo, że dłuższa podstawa ma długość CD=AB i punkt P(; jest środkiem odcinka CD. Zad. 55 Punkty A(; i B(;- są wierzchołkami trójkąta o polu. Środek ciężkości trójkąta należy do osi OX. Wyznacz Współrzędne wierzchołka C. Zad. 56 Oblicz pola kwadratów, których dwa wierzchołki mają współrzędne : (-; i (;. Zad. 57 Niech P będzie środkiem ciężkości trójkąta równobocznego ABC. Wyznacz wektory BP i AP w zależności od wektorów AC i AB Zad. 58 Wyznacz punkt A symetryczny do punktu A(;- względem prostej + y = 0. Zad. 59 Dwie wysokości trójkąta ABC, gdzie A(; zawarte są w prostych o równaniach : 7 - y = i 7y = 6. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta. Zad. 60 Prosta l przechodzi przez punkty P= (-; 9 i S = (;-, prosta k ma równanie -y +m -=0. Znajdź takie wartości parametru m, aby punkt przecięcia prostych l i k należał do wnętrza prostokąta o wierzchołkach A = (;- ; B = ( ;- ; C = ( ; ; D = ( ;. Zad. 6 Prosta o równaniu y 6 = 0 przecina okrąg o środku S=(, w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 0. Wyznacz równanie tego okręgu. Zad. 6 W sali ustawiono krzesła i trzyosobowe ławki. Ogólna liczba tych sprzętów jest równa 68. Do sali weszło 80 osób. Po zajęciu miejsc siedzących stosunek liczby osób stojących do liczby osób siedzących okazał się większy od 60 9, ale mniejszych od 60. Ile ławek i ile krzeseł było na sali? Zad.6 Rozwiąż równania i nierówności: q p o n m l k j i h g f e d c b a

16 Zad.6 Narysuj wykresy funkcji : d y a y 5 dla 0 g y dla 0 b y e y h y 9 5 f y c y 5 Zad.65 Narysuj wykres funkcji f ( Posługując się wykresem funkcji f (, odczytaj liczbę rozwiązań równania f( = m w zależności od parametru m. Zad.66 Boki trójkąta zawarte są w prostych o równaniach : + y =, - = y, - y - = 0. Wyznaczyć : a trójkąt ABC b długość obwodu trójkąta c wartość jego pola d cosinus jednego z kątów tego trójkąta. Zad.67 Dane są okręgi o równaniach K : +y +6+5=0 i K : +y -+8y+7=0 awyznaczyć współrzędne środka i stosunek jednokładności, w której obrazem okręgu K jest okrąg K. bnapisać równania stycznych do okręgu K przechodzących przez początek układu współrzędnych. cokrąg K o środku O przecina oś OX w punktach A i B (OB.>OA. Na prostej O B wyznaczyć punkt P o dodatnich współrzędnych tak, aby pole trójkąta AO P równało się 6. Zad.68 Obliczyć tangens kąta utworzonego przez przekątne czworokąta o wierzchołkach A(,, B(,0, C(,, D(0,6. Rozwiązanie zilustrować rysunkiem. Zad.69 Punkty K(;; L(; ; M(-; są środkami boków trójkąta ABC. Znajdź współrzędne wierzchołków. Zad.70 Przekątne rombu są równoległe do osi układu współrzędnych. Mając dane współrzędne dwóch kolejnych wierzchołków rombu, wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków. Zad.7 Punkty K(; i L(; dzielą odcinek AB na trzy równe odcinki. Oblicz współrzędne punktów A i B. Zad.7 Wyznaczyć i narysować zbiór złożony z punktów (,y płaszczyzny spełniających warunek + y = 8 + y. Zad.7 Wiedząc, że f ( f ( rozwiąż nierówność Zad.7 Dane są punkty A = (-;, B = (-8; 0, C = (-9;, D = (; 8. Wyznacz takie liczby i aby AD α BC β AC Zad.75 Wyznacz sinus kąta między wektorami {; - ] i [; ]. Zad.76 Mając dane punkty A =(-;, B = (5; 0, C = (; -5 a na osi odciętych wyznacz taki punkt P, aby b oblicz pole trójkąta ABC c na prostej - y = 0 wyznacz taki punkt D, aby pole trójkąta ACD było równe 0. d wyznacz równanie symetralnej odcinka AB e wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną do podstawy AB f wyznacz równanie prostej zawierającej środkową poprowadzoną z wierzchołka C. PA PC Zad.77 W czworokącie ABCD dane są wektory AB ; ; BC ; ; CD ;.. Punkty K i M są środkami boków CD oraz AD. Posługując się rachunkiem wektorowym obliczyć pole trójkąta KMB. Wykonać rysunek. Mirosław Gil 6

17 Zad.78 Dany jest okrąg o środku w punkcie (; i promieniu 7. Punkty A i B są punktami przecięcia się okręgu z osią OX. Punkt C leży na prostej y + = 0, a pole trójkąta ABC jest równe. Oblicz współrzędne punktu C. Zad.79 W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A(-;- i C(;. a Na osi OX znaleźć taki punkt P, aby kąt APC był prosty. b Wyznaczyć współrzędne takich punktów B i D, aby czworokąt ABCD był rombem, którego wierzchołek D leży na osi OY. c Na prostej -y-6=0 znaleźć taki punkt E, aby pole trójkąta ACE było równe 7. Zad.80 Dane są punkty A(, i B(-,. Napisz równanie prostej, do której te punkty należą oraz równanie symetralnej odcinka AB. Zad.8 Oblicz pole równoległoboku, którego boki są odcinkami prostych : - 5y - 9 = 0, - 5y + 9 = 0, + y + = 0, + y - 9 = 0. Zad.8 Rozwiąż nierówność -+ - < -. Zad.8 Dane są punkty A(, i B(-6,. Wyznaczyć długość rzutu prostokątnego odcinka AB na prostą o równanie - 5y = 5.Sporządź rysunek. Zad.8 Sporządź wykresy funkcji a y b y y Zad.85 Rozwiąż układ równań y 9 c y d y Zad.86 W układzie współrzędnych wyznacz punkty spełniające układy nierówności y y 0 6 y y y y y 0 y 0 0 y 0 y ( y( y Zad.87 Pole trójkąta ABC jest równe. Dane są punkty A(; i B(;-. Wierzchołek C leży na osi rzędnych (odciętychrozpatrz przypadki. Podaj jego współrzędne. Zad.88 Oblicz pole trójkąta wiedząc, że jego wierzchołki są punktami przecięcia prostych określonych równaniami: + 7y = 0; + y = 0; - + y + = 0. Zad.89 W układzie współrzędnych dane są punkty A(0,-, B(8,, C(,5. a Obliczyć sinus najmniejszego z kątów trójkąta ABC oraz pole tego trójkąta. b Czworokąt ABCD jest trapezem, którego kąt BAD jest prosty. Wyznaczyć współrzędne punktu D. c Punkt E leży na symetralnej odcinka AB i pole trójkąta ABE jest równe 50. Wyznaczyć współrzędne punktu E. Zad.90 Obliczyć tangens kąta utworzonego przez przekątne czworokąta o wierzchołkach A(,, B(,0, C(,, D(0,6. Rozwiązanie zilustrować rysunkiem. Zad.9 Niech A będzie zbiorem wszystkich liczb, które spełniają równość + =. Niech B będzie zbiorem wszystkich punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktów i 6 jest niewiększa niż. Zaznacz na osi liczbowej zbiory A i B oraz wszystkie punkty, które należą jednocześnie do obu zbiorów. Zad.9 Wyznacz przedział otwarty o końcach, których odległość od punktu 0 jest trzy razy większa niż ich odległość od punktu. Zad.9 Rozwiąż graficznie i algebraicznie równanie 9 6 Mirosław Gil 7

18 Zad.9 Stosując odpowiednie podstawienie(w podpunkcie a t 8 a b , dla > 8, rozwiąż równanie Zad.95 Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie + + = p ma dokładnie dwa rozwiązania. Zad.96 Narysuj wykres funkcji, określ dziedzinę i zbiór wartości f ( 6 6 Zad.97 Wykaż, że dla ; a 6a 9 a a a a a zachodzi równość. Zad.98 Wykaż, że jeżeli suma trzech liczb jest podzielna przez, to także suma ich sześcianów jest podzielna przez. Zad.99 W układzie współrzędnych narysuj zbiór punktów: a = y b y + y > c y = + d y = + e y > 8 f 5y 8 y Zad.00 Rozwiąż nierówności a + + <5 b + + < c + < d 7 > + > + Zad.0 Wyznacz zbiór punktów na osi liczbowej, których suma odległości od punktu i punktu jest mniejsza od 6. Zad.0 Rozwiąż algebraicznie i graficznie nierówność a b Zad.0 Dane są punkty A=(; oraz B=(5;. Na prostej y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij. Zad.0 Dane są zbiory A y: 0; y 0 i B ; y ; : y A B A B. wyznacz na płaszczyźnie współrzędnych zbiór oblicz współrzędne środka największego okręgu zawartego w zbiorze Zad.05 Funkcja g jest określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób: jeśli k; k dla pewnej liczby całkowitej k, to g( = k k. a Narysuj wykres funkcji g w przedziale <-; 0 b Uzasadnij, że g nie ma miejsc zerowych c Rozwiąż równanie g( = 00. Zad.06 Funkcja f określona jest wzorem f (. Rozwiąż nierówność f( > f(. Zad.07 Dane są funkcje g( = a + b oraz h( = b + a. Wiadomo, że g jest rosnąca, a h malejąca. a wyznacz pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresów tych funkcji; b oblicz liczby a i b wiedząc, że wykresy funkcji g i h są prostymi prostopadłymi, a punkt ich przecięcia leży na osi odciętych. Zad.08 Dana jest funkcja f( = 0,5. Narysuj w przedziale ( 5; 5 wykres funkcji funkcji g. f ( g(. Zapisz dziedzinę f ( Zad. 09 Znajdź obraz linii a y = b ( + (y = w jednokładności o środku O(0,0 i stosunku k =. Zad.0 Narysuj wykres funkcji f( = a następnie na podstawie wykresu podaj liczbę rozwiązań równania f( = m w zależności od parametru m. Mirosław Gil 8

19 Mirosław Gil 9 Zad. Uprość wyrażenia. :. 6 : : a a a odp a a a a a a a a a a d a odp a a a a a a a a c b ab a b ab a b m m odp m m m m m m m m a Zad. Rozwiąż nierówności: e i d h c g b f a Zad. Oblicz: e d c b a Zad. Punkt B = ( ; 9 należy do okręgu stycznego do osi O w punkcie A = (; 0. Wyznacz równanie tego okręgu. Zad.5 Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do punktu A=( 5; względem prostej o równaniu y = +.

20 Zad.6 Dane są trzy punkty A=(-; -, B=(;, C=(-;. Punkt M jest środkiem odcinka AB. a oblicz współczynnik kierunkowy prostej CM b oblicz długość odcinka CM. Zad.7 Na prostej o równaniu y 6 = 0 znajdź współrzędne takiego punktu, którego suma kwadratów odległości od osi układu współrzędnych jest najmniejsza. Zad.8 Na prostej o równaniu y + = 0 wyznacz punkt, którego odległość od punktu (0; 0 jest najmniejsza. Oblicz tą najmniejszą odległość. Zad.9 W układzie współrzędnych zaznaczono punkty A = (; 0 i B = (; 0. Wyznacz wszystkie możliwe położenia punktu C, dla których trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o polu równym. Zad.0 W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A = ( ; i B = (;. a wyznacz równanie symetralnej odcinka AB b prosta AB i prosta o równaniu y = 0 przecinają się w punkcie C. Wyznacz punkt C. Zad. Dane są punkty: B=(6; ; C=(; 5; D=( ;. Znajdź współrzędne takiego punktu A, że czworokąt ABCD jest trapezem, w którym kąt CBA jest prosty. Oblicz pole trapezu. Zad. Punkty A(,5; B(,; C(, są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz długość odcinka BD. Zad. Punkty A i B są punktami przecięcia się paraboli y = + 5 z prostą + y 8 = 0. Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez A i B, którego środek leży na prostej + y = 0. ( odp. + y + 6 8y 5 = 0 Zad. Dane są punkty A=(; ; B=(; ; C=(0; 5 a opisz trójkąt za pomocą układu nierówności b oblicz pole trójkąta ABC c wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CAB Zad.5 Na płaszczyźnie XOY zilustruj zbiór rozwiązań układu nierówności i wskaż wszystkie pary liczb całkowitych y 0 dodatnich spełniających ten układ y 0. y 0 Zad.6 Dane są współrzędne jednego końca odcinka A=(-; i środek tego odcinka S=(;. Wyznacz współrzędne punktu B oraz równanie prostej przechodzącej przez punkt B i nachylonej do osi odciętych pod kątem Zad.7 Środek S okręgu należy do prostej l o równaniu y + = 0. Punkty A(; 0 i B(-; należą do tego okręgu. Wyznacz równanie okręgu. Wyznacz współrzędne takiego punktu Należącego do danego okręgu, że AC AB AC 0. Wyznacz równania stycznych k i m do danego okręgu takich, że Bk i Am oraz oblicz tangens jednego z kątów, pod jakimi przecinają się te styczne. y Zad.8 Rozwiąż układ równań a następnie podaj interpretację geometryczną tego układu y y 0 i oblicz pole większego z obszarów ograniczonych wykresami tych równań. Zad.9 Dany jest okrąg o równaniu + y + 6y + 5 = 0. Napisz równania stycznych do danego okręgu i prostopadłych do prostej o równaniu y = 0. Oblicz pole trójkąta ABS, gdzie A, B są punktami przecięcia się stycznych z prostą o równaniu y + = 0, a S jest środkiem danego okręgu. Zad.0 Dane są punkty A(6; -, B(0;, C(-8; -. Wyznacz współrzędne punktu D, który należy do prostej o równaniu y = -8 i do okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zad. Napisz równanie okręgu o środku S = (0; stycznego do prostej o równaniu y = 0,75 +. Mirosław Gil 0

21 Zad. Wykaż, że jeśli a b, to równanie y a by 0 jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu. Zad. Określ położenie punktu A( ; względem okręgu + y + 6y = 0. Zad. Określ położenie prostej o równaniu y 7 = 0 i okręgu o równaniu + y y + y 0 = 0. Zad.5 W układzie współrzędnych dane są punkty : A(-9;-, B(;. Wyznacz współrzędne punktu C, leżącego na osi OY, tak że kąt ACB jest kątem prostym. Zad.6 Mając dane A(;, B(; i AC ;6 ab. Oblicz pole trójkąta ABC. Zad.7 Dane są wektory a ; oraz b ; współrzędne i długość wektora w a b. Oblicz pole trójkąta, którego bokami są dane wektory oraz Zad.8 Punkt A(; należy do okręgu o, który jest styczny do prostej y = 0 w punkcie B(;. Napisz równanie okręgu o oraz równania stycznych do tego okręgu, do których należy punkt C(0; 0. Zad.9 Na trójkącie o wierzchołkach A(5; 5, B(-;, C(-; - opisano okrąg. Wyznacz równanie okręgu oraz stosunek pola trójkąta do pola koła opisanego na tym trójkącie. Zad.0 Dane są punkty A(0; -, B(;. Na prostej o równaniu + = 0 wyznacz punkt C tak, aby trójkąt ABC miał najmniejszy obwód. Zad. Napisz równania prostych przechodzących przez początek układu współrzędnych i stycznych do okręgu o równaniu + y + 8y + = 0. Zad. W układzie współrzędnych zaznacz zbiór A B, gdy A a B ; y: R y R y ; y: R y R y A ; y : R y R y b B ; y R y R y 0 figury A B. Zad. Wyznacz równanie okręgu o środku A=(;, stycznego do prostej o równaniu y + = 0. :. Oblicz pole Zad. Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia się prostych o równaniach y = m 6 oraz y = + m + należy do koła o środku S=(9; i promieniu r = 5? Zad.5 Dany jest punkt P=(0; i okrąg o równaniu + y 6 + = 0. Znajdź równania stycznych do tego okręgu i przechodzących przez punkt P oraz miarę kąta ostrego między tymi stycznymi. Zad.6 Dane są punkty A=(;, B=(6;. Na prostej l o równaniu y = 0, wyznacz punkt C, tak aby trójkąt ABC miał najmniejszy obwód. Zad.7 Punkty A= (; ; B= (5; 5; C=(; 5 są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD nie będącego równoległobokiem, w którym AB CD. Wyznacz równanie osi symetrii tego trapezu i oblicz pole trapezu. Zad.8 Wyznacz równanie okręgu o środku A = (;, stycznego do prostej o równaniu y + = 0. Zad.9 Wiadomo, że okrąg jest styczny do prostej o równaniu y = w punkcie A=(; i styczny do prostej y = 0,5 + 9 w punkcie B=( ; 7. Oblicz promień okręgu. Zad.50 Figurę geometryczną F opisaną nierównością + y + y + < 0 odbito symetrycznie względem osi y. Oblicz pole figury będącej sumą figury F i jej obrazu w podanej symetrii. Mirosław Gil

22 Zad.5 Punkty A=(; 7 i B=(8; 5 są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu równym 5. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków. Zad.5 Odcinek o końcach w punktach A=(; - i B=(6; jest podstawą trójkąta równoramiennego, którego jedno z ramion zawiera się w prostej + y 8 = 0. Wyznacz trzeci wierzchołek i pole trójkąta. Zad.5 Rozpatrujemy wszystkie prostokąty o polu równym 6, których dwa sąsiednie boki są zawarte w osiach O i Oy układu współrzędnych. Wyznacz równanie krzywej będącej zbiorem tych wierzchołków rozpatrywanych prostokątów, które nie leżą na żadnej a osi układu współrzędnych. Narysuj tą krzywą. Zad.5 Dane są punkty A=(; - i B=(6;. Na prostej y = znajdź taki punkt C, aby pole trójkąta było równe 8. Zad.55 Dane są punkty A=(-; i B=(-6; 6.Wykaż, że koło o średnicy AB jest zawarte w II ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych. Zad.56 Na prostej AB wyznacz taki punkt C, tak aby AC : BC = :, gdy A=(;, B=(7;. Zad.57 W trójkącie ABC dane są: wierzchołek A = (-; wektor ; AC i środek S ; boku AB. Znajdź współrzędne wierzchołków B i C oraz równanie prostej zawierającej wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C. y y 5 Zad.58 Oblicz pole figury opisanej układem nierówności a y b y 6 y 8y y 5 y y c. Zad.59 Punkty A(;- i B(5;- są końcami podstawy trójkąta równoramiennego ABC, którego pole jest równe 5. a Wyznacz współrzędne wierzchołka C b Oblicz pole koła opisanego na tym trójkącie. Zad.60 Dany jest punkt P(-;0 i prosta l o równaniu y + 5 = 0 a Wyznacz równanie prostej l, która jest obrazem prostej l w symetrii względem punktu P. Oblicz odległość między prostymi l i l. b Okrąg O, którego promień ma długość 0, jest styczny do prostej l i przechodzi przez punkt P. Znajdź równanie okręgu O wiedząc, że jego środek należy do prostej o równaniu y = - +. c Punkt P jest punktem przecięcia się przekątnych rombu ABCD, którego wierzchołki A i B należą do prostej l. Odcięta punktu A jest równa. Oblicz długość boku tego rombu. Zad.6 Punkty A(; i B(5;6 są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD. Pole tego rombu jest równe. a Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu b Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb. Zad.6 Znajdź równanie okręgu, który jest obrazem okręgu o równaniu + y y = 0 w jednokładności o środku O = (0;0 i skali s = -. (odp. ( + + ( y + = 6 a Oba okręgi przecinają się w punktach A i B. Wiedząc, że A = (;-, znajdź współrzędne punktu B. (odp. B = (-0,;,8 b Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki okręgów oraz punkty A i B. (odp. 8 Zad.6 Dany jest punkt A(0;- oraz proste y + 8 = 0 i + y = 0 przecinające się w punkcie B. Dwa boki równoległoboku zawierają się w danych prostych, a jednym z jego wierzchołków jest punkt A. a Napisz równania prostych zawierających pozostałe boki równoległoboku. b Wyznacz współrzędne takiego punktu na osi OX, aby kąt APB był prosty. c Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie, którego wierzchołkami są punkty przecięcia danych prostych z osią OX i punkt B. Mirosław Gil

23 Zad.6 Wyznacz równanie obrazu okręgu o równaniu + y + y + = 0 w: a symetrii względem osi O b symetrii względem osi Oy c symetrii względem punktu A(-; 5 d symetrii względem prostej y = 5 e symetrii względem osi prostej = -5 f prostej o równaniu y = g w jednokładności o środku O(-; i skali k =. Zad.65 Znaleźć równanie obrazu okręgu ( + + (y = w jednokładności o środku S(; i skali k =. Zad.66 Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednokładności o skali k < 0. Wiedząc, że A(-; 0, B(0; -, C(;, D(7; 0 wyznacz: a równanie prostej przechodzącej przez punkt A i jego obraz w tej jednokładności b równanie prostej przechodzącej przez punkt B i jego obraz w tej jednokładności c współrzędne środka tej jednokładności Zad.67 W układzie współrzędnych dany jest punkt A(;. Wyznacz równanie tej cięciwy okręgu o równaniu + y 6y + 0 = 0, której punkt A jest środkiem. a Wyznacz równanie okręgu stycznego do obu osi układu współrzędnych i przechodzącego przez punkt A b Punkt A jest wierzchołkiem rombu ABCD, którego jeden z boków zawiera się w prostej o równaniu y = 0. Wiedząc, że środkiem symetrii rombu jest punkt S(7; 6, obliczyć pole oraz cosinus kąta rozwartego rombu. y y 0 Zad.68 Pary liczb (; y spełniające układ równań są współrzędnymi wierzchołków y 0 czworokąta wypukłego ABCD a wyznacz współrzędne punktów A, B, C, D b wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym c wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD Zad.69 Dany jest układ równań rozwiązań. Odpowiedź uzasadnij. y y 6 y 8 0 y 0. Nie rozwiązując układu, wyznacz liczbę jego Zad.70 Punkty A(7; 8 i B( - ; są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym kąt BCA ma miarę wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX, napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o środku w punkcie P=(; 0 i skali k = -. Zad.7 Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu + y + y = 0 poprowadzonymi przez punkt A=(;0. (odp Mirosław Gil

24 Planimetria Zad.7 Pole prostokąta, w którym jeden bok jest o cm dłuższy od drugiego wynosi 0 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym prostokącie. Wynik podaj z dokładnością do 0,0 cm. (odp.,9 Zad.7 Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu ma długość, a długość okręgu wynosi π. Oblicz pole trapezu. Zad.7 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o cm i od drugiej o cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Zad.75 Wielkość prostokątnego ekranu telewizora określa długość jego przekątnej wyrażona w calach. Oblicz, o ile procent zwiększymy powierzchnię ekranu, jeśli długość przekątnej wynoszącą cali powiększymy do cali, zachowując stosunek długości boków prostokąta. Wynik podaj z dokładnością do 0,%. Zad.76 Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku na planie w skali : 500 jest równa cm i jeden z kątów ma miarę 0 0. W szkółce leśnej zamówiono sadzonki, w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości 0 arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru. Zad.77 Trapez równoramienny o obwodzie równym 0cm jest opisany na okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość cm, oblicz pole tego trapezu. Zad.78 Punk S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC. Zad.79 Dany jest prostokąt o bokach a i b. Zmniejszamy długość boku a o 0% oraz zwiększamy długość boku b o 0%. a ile procent zwiększy się pole prostokąta? b Wyznacz długość boku b, dla której nowy prostokąt będzie miał taki sam obwód jak prostokąt wyjściowy, jeżeli wiadomo, że bok a ma długość 0cm. Zad.80 Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 0% boku b. Oblicz ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d. Zad.8 Okno na strychu ma kształt trójkąta równoramiennego, w którym suma długości podstawy i wysokości opuszczonej na tą podstawę wynosi m. Oblicz jaki obwód musi mieć okno, aby przepuszczało jak najwięcej światła? Zad.8 Czy istnieje czworokąt, którego boki mają długości: a ; ; 0; 5 b ; ; 0; 5 c ; 7; 0; 5 d ; 0; 0; 5? Zad.8 Wyznacz położenie punktów styczności okręgu wpisanego w trójkąt o bokach,,5 do boków tego trójkąta. Zad.8 Dłuższa przekątna rombu ma długość cm, a jego bok ma długość 8cm. Oblicz miarę kąta, jaki tworzy ta przekątna z bokiem. Zad.85 Stosunek długości boków równoległoboku wynosi 0,75, a suma długości obu wysokości wynosi. Wyznacz długości wysokości równoległoboku. Zad.86 Oblicz obwód i pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC =0 i tangens kąta CAB wynosi 0,75. Zad.87 W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych wynosi 0, a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego wynosi 6. Oblicz długości pozostałych boków trójkąta oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. Wyznacz przybliżone miary kątów ostrych trójkąta. Mirosław Gil

25 Zad.88 Obserwator stoi na klifie przy brzegu morza widzi dwie żaglówki płynące w jego kierunku w jednej linii. W momencie, gdy obserwator widzi je pod kątem 0 0 i 0 0 do poziomu widy, odległość między żaglówkami wynosi 00m. oblicz na jakiej wysokości od poziomu wody znajduje się obserwator. Wynik podaj z dokładnością do dziesiątych metra m (odp. 6,8 m Zad.89 Kąty ostre trapezu mają miary α i β. W trapez wpisano okrąg o promieniu r. Oblicz pole i obwód trapezu. (odp. sin sin P r sin sin Zad.90 Trójkąt równoramienny o podstawie 6 i ramionach 7 podzielono odcinkiem równoległym do podstawy na dwie figury o równych polach. Oblicz wysokość powstałego trapezu. Zad.9 W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC = BC =0cm, wysokość poprowadzona z wierzchołka C jest równa 5cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach. Zad.9 Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S, przy czym kąt SAB ma miarę 0 0. Oblicz Mierę kąta CAB. (odp Zad.9 Pole trójkąta jest równe 55 cm, a dwa boki mają długość 0cm i cm. Wyznacz miarę kąta zawartego między tymi bokami. Zad.9 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości cm i 7cm. Wyznacz miary kątów ostrych tego trójkąta. Wynik podaj w zaokrągleniu do pełnych stopni. Zad.95 W kwadracie o boku a umieszczono romb, którego dwa przeciwległe wierzchołki są dwoma przeciwległymi wierzchołkami kwadratu. Pole rombu jest razy mniejsze od pola kwadratu. Jaką długość ma bok rombu? (odp. Zad.96 W trójkąt prostokątny wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki są zawarte w przyprostokątnych, a jeden wierzchołek leży na przeciwprostokątnej. Długości przyprostokątnych wynoszą 5cm i cm. Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby jego pole było największe? Zad.97 Trapez prostokątny, w którym różnica długości podstaw wynosi, opisany jest na okręgu o promieniu. Oblicz odległość środka okręgu od wierzchołków trapezu. Zad.98 Długość boku trójkąta wynosi 5, tangensy kątów przylegających do tego boku są równe / i. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. (odp. P=0, l= Zad.99 W trapezie o podstawach i 8 poprowadzono przekątne przecinające się w punkcie P. Odległość punktu P od krótszej podstawy wynosi. Oblicz pole trapezu. (odp. P=50 Zad.00 Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że CS : SB = : 5. Oblicz długość ramienia tego trapezu oraz cosinus kąta CBD. (odp. Zad.0 Odcinki o długościach: ; ; są bokami trójkąta. a Wyznacz miarę największego kąta tego trójkąta i oblicz długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka tego kąta. b Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. (odp. 0 0 ; Mirosław Gil 5

26 Zad.0 Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R 5, wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 0, zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 8. (odp. 5 0 ; 5 0 ; 60 0 ; 0 0 Zad.0 W trapezie opisanym na okręgu kąty przy podstawie mają miary 0 0 i 60 0, a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź odpowiedni rysunek i oznacz jego elementy. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw. (odp. P-6+ ; a=6+6 ; b=6- Zad.0 Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8cm i cm, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę0 0. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. (odp. Zad.05 Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów i ich wyniki przedstawiono na rysunku (kąt C = 0 0, kąt B = 0 0. Odległość między obiektami B i C jest równa 00m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik z dokładnością do m. (odp. 58m Zad.06 W trójkącie jeden z kątów ma miarę 0 0. Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 0. Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zad.07 Oblicz cosinus kąta między przekątnymi sześcianu. Sporządź rysunek i zaznacz ten kąt. (odp. Zad.08 Średnica koła o promieniu r = 6 jest podstawą trójkąta równobocznego. Wykonaj odpowiedni rysunek. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła. Zad.09 Oblicz pole czworokąta wypukłego ABCD, w którym kąty wewnętrzne mają miary: A = 90 0 ; B = 75 0 ; C = 60 0 ; D = 5 0, a boki AB i AD mają długości cm. (odp. Zad.0 Dany jest trójkąt o bokach długości ;,5;. Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta. (odp. Zad. Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola rombu wynosi. Wyznacz miarę kąta ostrego rombu. 8 Zad. W trójkącie ABC są dane AC = 0; BC = 0. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie R = 0. Oblicz miarę kąta ACB. Mirosław Gil 6

27 Zad. Trójkąt prostokątny ABC, w którym kąt BCA = 90 0 i kąt CAB = 0 0, jest opisany na okręgu o promieniu. Oblicz odległość wierzchołka C od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Zad. Dany jest trapez, w którym podstawy mają długości cm i 0 cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o mierze 0 0 i 5 0. Oblicz wysokość tego trapezu. (odp. Zad.5 Podstawy trapezu równoramiennego mają długości i 0, a jego obwód wynosi 6. Oblicz odległość punktu przecięcia się jego przekątnych od dłuższej podstawy. (odp. Zad.6 Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC, w którym AB = 8 cm i AC = BC. Na wysokości CD poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego wybieramy punkt E, przez który rysujemy prostą równoległą do boku AB. Prosta ta przecina bok AC w punkcie F i bok BC w punkcie G. Wyznacz tak długość odcinka DE, aby pole trójkąta DGF było największe. Zad.7 Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i n > wyraża się wzorem n( n P ( n Wykorzystując ten wzór: a oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym b oblicz ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków c sprawdź, czy prawdziwe jest następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij. Zad.8 Janek przeznaczył na zakup działki 6000zł. Do jednej z ofert dołączono rysunek dwóch przyległych działek w skali : 000. Jeden metr kwadratowy gruntu w tej ofercie kosztuje 5 zł. Oblicz, czy przeznaczona kwota wystarczy na zakup działki P. Zad.9 Szkic przedstawia kanał ciepłowniczy, którego przekrój poprzeczny jest prostokątem. Wewnątrz kanału znajduje się rurociąg składający się z trzech rur, każda o średnicy zewnętrznej m. Oblicz wysokość i szerokość kanału ciepłowniczego. Wysokość zaokrągli do 0,0m. (Odp. m; Mirosław Gil 7

28 Zad.0 Punkty A, B, C należą do okręgu o promieniu 9 cm. Środek tego okręgu należy do odcinka AB i sinus kąta ABC jest równy 0,(5. Oblicz pole trójkąta ABC. Zad. Dwa okręgi o promieniu 8 są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury. (odp. A. B Zad. Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = + 6. Punkt C jest jej wierzchołkiem. A bok AB jest równoległy do osi O. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta. Zad. Dany jest trapez o podstawach a i b, gdzie a > b. Wyznacz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu. Zad. Długości boków prostokąta są równe cm i 5 cm. Oblicz pole prostokąta do niego podobnego o obwodzie 6 cm. (odp. P=0cm Zad.5 Dane są odcinki o długościach a i b (a > b oraz kąt α. Wyprowadź wzór na pole trapezu równoramiennego o podstawach a i b oraz kącie α. Dla jakich α pole trapezu jest równe polu trójkąta o bokach a i b oraz kącie α między tymi bokami, jeżeli a 5 i b? (odp. Zad.6 W kwadrat ABCD wpisano kwadrat EFGH, jak na rysunku. Wiedząc, że AB = oraz tangens kąta AEH równa się 0,. Oblicz pole kwadratu EFGH. (odp. D G C F H A E B Mirosław Gil 8

29 Zad.7 W trójkącie ABC dane są BC = a i cosinus kąta BAC wynosi 0,8. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad.8 Ala i Beata mieszkają przy tej samej ulicy w odległości 750m od siebie. Ulica jest równoległa do ulicy, przy której mieszkają Czarek i Darek. Domy chłopców znajdują się w odległości km od siebie. Czarek ma o,6km dalej do sklepu niż Beata. Ile metrów do sklepu ma Beata? (odp. 960m sklep B A Cz D Zad.9 W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (rys. Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości ( MN MA AB BN oraz ( MN MC CN Po dodaniu równości ( i ( stronami, otrzymujemy ponieważ MC MA MN MA MC AB BN CN MN MA MA AB BN BN oraz MN AB MN AB CN BN, więi Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpretować następująca: odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku. Mirosław Gil 9

30 Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek między wektorami MN oraz AB i DC, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M i N odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (rys.. Podaj interpretację otrzymanego wyniku. Zad.0 Długości boków równoległoboku wynoszą 5 cm i 8 cm, a kąt między nimi ma miarę Oblicz długość dłuższej przekątnej. (odp. d=7 Zad. Jaką długość ma cięciwa okręgu o średnicy 0 cm odpowiadająca kątowi środkowemu 50 0? Zad. Długości boków trójkąta wynoszą 7 cm i 0 cm, a jego pole S = 8 cm. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta. (odp. Zad. Na okręgu o promieni r = opisano trapez, którego ramiona mają długości 8 cm i cm. Oblicz pole trapezu. (odp. P=66 Zad. W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej cm dwusieczna jednego z kątów ostrych dzieli przyprostokątną w stosunku :. Oblicz pole tego trójkąta. (odp. Zad.5 Dwa boki trójkąta mają długości 8 cm i cm. Miara kąta między tymi bokami wynosi 0 0. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. (odp. Zad.6 W trapezie ABCD wpisanym w okrąg o promieniu 6 przekątna AC zawarta jest w dwusiecznej kąta BAD, a długość podstawy AB jest dwa razy większa od długości podstawy CD. Oblicz pole trapezu. (odp. Zad.7 W trójkącie ABC dane są A=(-,, B=(, oraz H=(,;,, gdzie H jest punktem przecięcia prostych zawierających wysokości tego trójkąta. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zad.8 W trójkącie ABC, którego pole wynosi 6, boki AC i BC mają odpowiednio długości 5 i 8. Korzystając z twierdzenia kosinusów, oblicz długość boku AB. (odp. Zad.9 W równoległoboku o polu 7 przekątne mają długości 0 i. Oblicz długość dłuższego boku tego równoległoboku. Zad.0 Podstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 0 oraz tangens kąta ostrego jest równy. Oblicz pole trapezu. Zad. W trójkącie ABC dane są BC = a i cosinus kąta BAC wynosi 0,8. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. (odp. R=a Mirosław Gil 0

31 Zad. W trójkącie ABC dane są AB =, AC =, kąt ACB = 0 0. Na bokach AB, BC, CA dane są odpowiednio punkty M, N, P, środki boków. a oblicz obwody i pola trójkątów ABC i MNP (odp. b oblicz długości środkowych trójkąta ABC oraz MNP c na bokach dowolnego trójkąta ABC dane są odpowiednio punkty M, N, P takie, że AM:MB = BN:NC = CP:PA = k. Wyznacz k, jeżeli pole trójkąta MNP = 0,8 pola trójkąta ABC. Zad. W trójkącie ABC dane są długości boków AB=, AC=6 i długość środkowej AA = 0. Oblicz długość trzeciego boku. Oblicz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. (odp., Zad. Na okręgu o środku w punkcie S opisano trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD i kątach prostych przy wierzchołkach A i D. Odległości SB i SC są równe odpowiednio 8 i. Oblicz pole trapezu. (odp. P=57,6 Zad.5 W trójkącie ABC długości boków mają się do siebie jak :5:6. Udowodnij, że w tym trójkącie cos cos, gdzie, to miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC. BM MC. Zad.6 W trójkącie równobocznym ABC o polu 6 na boku BC obrano punkt M tak, że Oblicz sinus kąta MAB oraz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt MAB. Jakie długości mają odcinki, na które symetralna odcinka AM dzieli bok AB. Zad.7 Wysokość CC trójkąta ABC jest równa i dzieli podstawę AB na dwie części AC i C B takie, że AC : C B =:8. a Obliczyć długości boków trójkąta ABC zakładając, że kąt przy wierzchołku C jest prosty. b Obliczyć tangens kąta przy wierzchołku C, zakładając, że iloczyn tangensów kątów przy wierzchołkach A i B jest równy 8. c Obliczyć długość odcinka równoległego do wysokości CC, dzielącego pole trójkąta ABC na połowy. Zad.8 Środek S okręgu wpisanego w trapez ABCD jest odległy od wierzchołka B o BS =, a krótsze ramię BC ma długość BC = 5. Punkt styczności okręgu z krótszą podstawą dzieli ją w stosunku :. Obliczyć pole tego trapezu. Zad.9 W trójkąt prostokątny wpisano okrąg, a w okrąg ten wpisano podobny trójkąt prostokątny. Wyznaczyć cosinusy kątów ostrych trójkąta, jeśli wiadomo, że stosunek pól obu trójkątów wynosi 9. Zad.50 Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą tworzącą z tym bokiem kąt ostry i dzielącą ten trójkąt na dwie figury, których stosunek pól wynosi :. Wyznacz tg. Zad.5 W trójkącie ABC długości boków wynoszą odpowiednio cm, cm, cm. Oblicz sumę długości wysokości trójkąta ABC oraz stosunek długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zad.5 W trapezie opisanym na okręgu długości boków nierównoległych wynoszą cm i 5 cm, a odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie figury, których stosunek pól wynosi 5:. Oblicz długości podstaw trapezu. Zad.5 Obwód trapezu równoramiennego wynosi 6 cm. Oblicz pole trapezu, jeżeli długości ramienia i podstaw tego trapezu tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny rosnący, a długość odcinka łączącego środki dwóch boków nierównoległych trapezu jest równa cm. Zad.5 Pole trójkąta prostokątnego jest równe 6 cm. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli kąt prosty w stosunku :. Oblicz długości środkowych w tym trójkącie. Zad.55 Miara kąta C w trójkącie ABC wynosi 60 o.dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie takim, że AD = i BD = 6. Wyznacz miary kątów i długości boków tego trójkąta. Zad.56 Długości dwóch boków trójkąta wpisanego w okrąg o promieniu R są odpowiednio równe Oblicz Długość trzeciego boku trójkąta. R oraz R. Mirosław Gil

32 Zad.57 Długości boków trójkąta są odpowiednio równe a i b ( 5 i. Oblicz długość trzeciego boku, jeżeli kąt leżący naprzeciw niego jest razy większy od kąta leżącego naprzeciw boku b. Zad.58 Rozwiąż trójkąt ABC ( wyznacz długości wszystkich boków i miary wszystkich kątów, wiedząc, że kąt C = 60 o i dwusieczna kąta C przecina bok AB w punkcie M takim, że AM = 5 i MB = 0. Zad.59 W trójkącie dane są długości boków b i c oraz jego pole S = 0, bc. Oblicz długość boku a. Zad.60 Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi. Miara największego kąta jest dwa razy większa od miary najmniejszego kąta. Oblicz pole trójkąta. Zad.6 W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w stosunku :. W jakim stosunku wysokość dzieli przeciwprostokątną? Zad.6 W trójkącie ABC dane są AC = 6, BC =, kąt B = Wyznacz miary kątów i długości boków tego trójkąta. Zad. 6 W trójkącie ostrokątnym dane są miary trzech kątów α, β, γ oraz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt r. Oblicz pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu. Zad. 6 W trójkącie równoramiennym suma długości ramienia i wysokości opuszczonej na podstawę wynosi, a kąt przy podstawie równy jest 0 0. Oblicz pole trójkąta. Zad. 65 Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego ramię jest równe, jedna z podstaw jest dwa razy większa od drugiej, a przekątna dzieli kąt przy podstawie na połowy. Zad. 66 Ze środków boków kwadratu o boku długości cm zakreślono okręgi o promieniu cm. Oblicz pole czterolistnej rozety utworzonej przez łuki tych okręgów wewnątrz kwadratu. Zad. 67 Boki równoległe trapezu mają długości a i b. Oblicz długość odcinka równoległego do tych boków, który dzieli pole trapezu na połowy. Zad.68 W trójkącie ABC długości boków AB i BC wynoszą odpowiednio 9 i 9, natomiast miara kąta wewnętrznego przy wierzchołku C wynosi 0 0. Oblicz pole tego trójkąta oraz pole okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt. Zad.69 Trójkącie ABC dane są: a; a długości boków, kąt między nimi γ oraz pole trójkąta długość trzeciego boku trójkąta. P a. Wyznacz Zad.70 W trójkąt równoramienny wpisano okrąg i poprowadzono styczną do okręgu równoległą do podstawy trójkąta. Pole utworzonego w ten sposób trapezu stanowi 0,6 pola trójkąta, Oblicz cosinus kąta pomiędzy ramionami trójkąta. Zad.7 Na okręgu opisano pięciokąt o bokach ; ; 5; 6; 7 (w tej kolejności. Wyznacz położenie punktów styczności okręgu do boków tego trójkąta. Zad.7 Na okręgu opisano pięciokąt o bokach a; b; c; d; e (w tej kolejności. Wykaż, że wówczas b + d < a + c + e. Zad.7 W trójkącie równoramiennym ABC, w którym AC = BC wysokość CE jest dwa razy dłuższa od wysokości AD. Oblicz cosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC. Zad.7 Z punktu A leżącego na okręgu poprowadzono dwie cięciwy równej długości AK i AM. Wiedząc, że KM = i że punkty K i M dzielą okrąg na dwie części w stosunku :5, oblicz pole koła ograniczonego tym okręgiem. (odp.6π Zad.75 Wykaż, że jeżeli w trapez równoramienny można wpisać okrąg, to pole powierzchni tego trapezu wyraża się wzorem P = c sinα, gdzie α jest miarą kąta ostrego trapezu, a c długością ramienia. Zad.76 Oblicz długość pasa transmisyjnego łączącego dwa koła o średnicach 0cm i 0cm. Środki kół są oddalone od siebie o cm. Wynik zaokrąglij do cm. Mirosław Gil

33 Zad.77 Na poniższym rysunku przedstawiony jest trójkąt równoboczny i kwadrat. Oblicz stosunek pola trójkąta do pola kwadratu. (odp. 5 0 Zad.78 W prostokącie ABCD mamy dany stosunek boków AB BC 5 w punkcie O. Oblicz stosunek promieni okręgów wpisanych w trójkąty ABO i BCO.. Przekątne prostokąta przecinają się Zad.79 W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F odpowiednio boków AB i BC, zaś M i N to punkty przecięcia się tych odcinków z przekątną AC (M leży na DE, a N na DF uzasadnij, że odcinki AM, MN, NC są jednakowej długości uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola. Zad.80 Pole wycinka koła o promieniu cm jest równe cm. Oblicz miarę łukową kąta środkowego tego wycinka. Zad.8 Proste zawierające ramiona BC i DA trapezu ABCD przecinają się w punkcie S. Dane są AB = 6; CD = oraz obwód trójkąta SDC jest równy 8. Oblicz obwód trójkąta SAB. Zad.8 W pewnym trapezie kąty przy dwóch przeciwległych wierzchołkach mają miary α oraz α. Jedno z ramion trapezu ma długość t. Wyznacz różnicę długości podstaw trapezu. Zad.8 Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Dane są BC = a; CD = b; kątdab = α Wyznacz długość przekątnej BD. Zad.8 W czworokącie ABCD dane są AB =; BC = tego czworokąta. ; CD = ; DA = ; kątdab = Oblicz pole Zad.85 Punkt D jest punktem wewnętrznym trójkąta ABC. Wykaż, że ( AD + BD + CD > AB + BC + CA. Zad.86 Pole rombu jest równe cm. Jedna z przekątnych jest o cm dłuższa od drugiej. Oblicz pole koła wpisanego w ten romb oraz sinus kąta ostrego rombu. Zad.87 Pole trapezu wynosi 6 trapez., a kąty ostre mają miary 60 0 i 5 0. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten Zad.88 Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i krótszej CD. Punkt styczności K dzieli ramię BC tak, że CK : KB = :. a wyznacz długość ramienia trapezu b oblicz cosinus kąta CBD. Zad.89 Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 i kąt BAC ma miarę 0 0. Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta.( odp.. Zad. 90 W trójkącie dane są kąty: 5 0 ; 60 0 ; Oblicz pole powierzchni tego trójkąta wiedząc, że długość najkrótszego boku wynosi.(odp. Mirosław Gil

34 Zad. 9 Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu R. Wykaż, że r AB CD. (odp. V=00 Zad. 9 Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = 7 i BC = 0. Na boku AB leży punkt D taki, że AD : DB = : oraz DC = 0. Oblicz pole trójkąta ABC. Mirosław Gil

35 Stereometria Zad.9 Podstawą graniastosłupa jest romb o przekątnych 0cm i cm. Krótsza przekątna bryły jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus wynosi V=00cm, P=80cm 5. Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa. (odp. 5 Zad.9 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe 00, a pole ściany bocznej jest równe 65. Oblicz objętość ostrosłupa. Zad.95 W stożek o średnicy podstawy i kącie rozwarcia 90 0 wpisano kulę. Oblicz objętość tej kuli. (odp Zad.96 Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest ćwiartką koła o promieniu 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego stożka. ( V 6 5 cm, P 80cm Zad.97 Podaj wymiary graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o największym polu powierzchni bocznej, jeżeli wiesz, że suma długości wszystkich jego krawędzi wynosi,6m. (odp. a = 0cm; H = 0cm Zad.98 Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości. Oblicz pole trójkąta KLM. (odp. 0,75 Zad.99 Obwód podstawy stożka jest równy 6π cm. Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka. ( Zad.00 W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym przekątna o długości m jest nachylona do podstawy pod kątem α. Wiadomo, że sinα = 0,. Wyznacz objętość i ple powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. ( odp. V m ; P m Zad.0 Prostokąt ABCD obracając się wokół boku AB zakreślił walec w. Ten sam prostokąt obracając się wokół boku AD zakreślił walec w. Otrzymane walce mają równe pola powierzchni całkowitej. Wykaż, że prostokąt ABCD jest kwadratem. Zad.0 Trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej obracamy dookoła prostej zawierającej przeciwprostokątną. Wiedząc, że jeden z kątów ostrych trójkąta ma miarę 0 0, oblicz objętość otrzymanej bryły. (odp. V=08π Zad.0 Trapez prostokątny o podstawach 6 i 9 oraz kącie ostrym 5 0 obraca się wokół krótszej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni otrzymanej bryły. (odp. V=7π; Mirosław Gil 5

36 Zad.0 Rozwinięcie powierzchni bocznej walca jest kwadratem. Oblicz stosunek objętości walca do objętości kuli opisanej na tym walcu. (odp. Zad.05 W stożek o promieniu podstawy i wysokości 9 wpisano walec. Oblicz wymiary walca, wiedząc, że jego objętość jest,5 razy mniejsza od objętości stożka. [odp. (r= i h=6 lub ( ] Zad.06 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Kula wpisana w stożek ma objętość 8cm. Oblicz objętość stożka. (odp. Zad.07 Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeżeli promień okręgu opisanego na jego podstawie wynosi R i ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. (odp. Zad.08 Sześcian podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły, z których jedna ma pięć ścian, a druga sześć. Pole powierzchni całkowitej bryły, która ma 5 ścian jest równe połowie pola powierzchni całkowitej sześcianu. Znajdź tangens kąta nachylenia płaszczyzny przecinającej do płaszczyzny podstawy. (odp. cos α Zad.09 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej jest równe sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. ( odp. Zad.0 Płaszczyzna przechodząca przez przekątną dolnej podstawy i jeden z wierzchołków górnej podstawy graniastosłupa czworokątnego prawidłowego odcina ostrosłup o polu powierzchni całkowitej S. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa, jeżeli kąt przy wierzchołku otrzymanego przekroju jest równy α. ( Zad. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o kącie ostrym α. Krótsza przekątna graniastosłupa jest równa d i tworzy ze ścianą boczną kąt β. Oblicz objętość graniastosłupa. (odp. Zad. Krótsza przekątna graniastosłupa sześciokątnego prawidłowego tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60 o. Przekątna ściany bocznej ma długość 0. Oblicz objętość graniastosłupa oraz cosinus kąta między krótszymi przekątnymi wychodzącymi z jednego wierzchołka. (odp. ; Zad. W graniastosłupie prostym podstawa jest kwadratem o boku a, zaś przekątna graniastosłupa tworzy ze ścianą boczną kąt. Oblicz objętość graniastosłupa. (odp. Zad. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy i wysokość mają długość a. Obliczyć promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. Wykonać odpowiedni rysunek. Zad.5 Czworościan foremny ABCS o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź AB i środek krawędzi nie mającej punktów wspólnych z tą krawędzią. Oblicz pole otrzymanego przekroju. (odp. Zad.6 Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego pole wynosi 6, a kąt między ramionami ma miarę 0. Długość wysokości graniastosłupa stanowi 5% długości obwodu jego podstawy. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości tego graniastosłupa. (odp. Zad.7 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a, zaś krawędź boczna jest trzy razy od niej dłuższa. Wyznaczyć pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. (odp. Zad.8 Ostrosłup z zadania 7 przecięto płaszczyzną zawierającą jego wysokość i krawędź boczną. Wyznaczyć pole otrzymanego przekroju. Wyznaczyć cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne danego ostrosłupa. (odp. Mirosław Gil 6

37 Zad.9 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. a Pole powierzchni całkowitej danego ostrosłupa Pc=86 i pole powierzchni bocznej Pb=50. Obliczyć objętość tego ostrosłupa. (odp. V=96 b Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, a suma długości wszystkich krawędzi danego ostrosłupa jest równa 8. Obliczyć cosinusy kątów dwuściennych tego ostrosłupa. (odp. c Pole powierzchni bocznej danego ostrosłupa jest równe P, zaś kąt ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę α. Wyznaczyć pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa. (odp. Zad.0 Dany jest prawidłowy graniastosłup trójkątny, w którym suma długości wszystkich krawędzi jest równa. a Obliczyć pole powierzchni bocznej i objętość danego graniastosłupa jeśli suma pól obu podstaw tego graniastosłupa jest równa. (odp. P=; b Obliczyć cosinus kąta między przekątną ściany bocznej a sąsiednią ścianą boczną, jeśli krawędź podstawy jest sześć razy krótsza od krawędzi bocznej. (odp. c Obliczyć największą możliwą objętość danego graniastosłupa. (pochodna. (odp. Zad. W stożku dana jest miara kąta rozwarcia α oraz pole przekroju osiowego P aobliczyć objętość kuli wpisanej w ten stożek, jeśli α=60 0 i P= (odp. r = ; bobliczyć objętość i pole powierzchni bocznej stożka (odp. cwiadomo, że =0 0. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy. Obliczyć odległość tej płaszczyzny od wierzchołka stożka wiedząc, że pole otrzymanego przekroju jest równe 75. (odp. 5 Zad Pewien zakład przetwórstwa warzywnego używa do pakowania towaru puszek w kształcie walców dwojakiego rodzaju: jedne mają promień podstawy R=0cm i wysokość H=0cm, a drugie promień podstawy R=,5cm i wysokość H=5cm. Puszki pakowane są w sześcienne kartony o krawędzi 0cm, w jednakowych ilościach w każdym rzędzie. akiedy karton jest lepiej wykorzystany : czy przy pakowaniu puszek większych czy mniejszych? Odpowiedź uzasadnić. bjaka jest różnica kosztów opakowania, w zależności od wielkości puszek, jeżeli cm. kwadratowy blachy kosztuje 0 gr. Obliczenia wykonać dla jednego kartonu i wynik podać z dokładnością do zł. czaprojektować puszkę w kształcie walca, aby przy danej objętości V zużyć do jej produkcji jak najmniej materiału. Zad. Dany jest sześcian o krawędzi a. Jedną z jego krawędzi bocznych przedłużono o odcinek długości a i koniec tego odcinka połączono z wierzchołkami dolnej podstawy sześcianu. Powierzchnia powstałego w ten sposób ostrosłupa o wysokości a wycina z sześcianu ostrosłup ścięty. a Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ściętego. (odp. b Oblicz objętość ostrosłupa ściętego. (odp. Zad. Wyznacz i porównaj pola powierzchni brył obrotowych otrzymanych przez obrót sześciokąta foremnego o boku a dookoła następujących osi: a prostej przechodzącej przez środki przeciwległych boków sześciokąta, b prostej zawierającej dłuższą przekątną sześciokąta, c prostej zawierającej bok sześciokąta. Zad.5 Krawędzie boczne graniastosłupa prostego, którego podstawą jest równoległobok ABCD oznaczono: AA, BB, CC oraz DD. Każda z tych krawędzi ma długość 8 cm. Obwód równoległoboku ABCD wynosi 6 cm. Przekątne graniastosłupa mają długości 8 cm i cm. Oblicz pole równoległoboku ABCD. Mirosław Gil 7

38 Zad.6 Dany jest czworościan foremny ABCD, którego krawędź ma długość a. Punkt K jest środkiem wysokości DD tego czworościanu. a Wyznaczyć miarę kąta AKB. (odp b Wyznaczyć stosunek długości promienia kuli wpisanej w dany czworościan do długości wysokości tego czworościanu. (odp. c Płaszczyzna równoległa do podstawy czworościanu i przechodząca przez punkt K dzieli go na dwie bryły. Obliczyć stosunek objętości otrzymanych brył. (odp. Zad.7 W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie ABCDEF i wierzchołku S dane są: pole ściany bocznej równe 0 cm i cos(<asb=0,6 Oblicz: a objętość ostrosłupa ABCDEFS (odp. b pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa(odp. c odległość spodka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej. (odp. Zad.8 Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym wysokości AA i BB przecinają się w punkcie M, i AA =6 i AMB = 50 o. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót trójkąta AA C dokoła prostej AC. (odp. 7π Zad.9 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku a. Jedna ze ścian bocznych jest trójkątem o ramieniu a i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. a Obliczyć tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. (odp. b Obliczyć pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i środki dwóch krawędzi podstawy, które nie należą do prostopadłej ściany bocznej. (odp. c Obliczyć cosinus kąta między przystającymi ścianami bocznymi. (odp. 0,75 Zad.0 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym, k jest długością krawędzi bocznej, kątem którego ramiona zawierają sąsiednie krawędzie boczne. aobliczyć pole powierzchni tego ostrosłupa (odp. bobliczyć objętość ostrosłupa. (odp. cobliczyć miarę kąta dwuściennego utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne, jeśli =5 0. (odp. Zad. Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest trzy razy dłuższa od promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup. Obliczyć cosinus kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa. (odp. -0,5 Zad. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe S, zaś kąt płaski przy wierzchołku ma miarę α. Oblicz pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez przekątną podstawy i wierzchołek ostrosłupa. (odp. Zad. W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym długość krawędzi bocznej jest równa długości krawędzi podstawy, a pole ściany bocznej jest równe 7. a Oblicz objętość ostrosłupa oraz wyznacz odległość środka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej. (odp. 5 b Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. (odp. Zad. Rysunek przedstawia dach budynku w rzucie poziomym. Każda z płaszczyzn nachylona jest do płaszczyzny poziomej pod kątem 0 o. Długość dachu wynosi 8 m, a szerokość 9 m. Obliczyć pole powierzchni dachu oraz całkowitą kubaturę strychu w tym budynku. Zad.5 Wysokość ostrosłupa trójkątnego prawidłowego wynosi h, a kąt między wysokościami ścian bocznych jest równy α. Obliczyć pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Sporządzić odpowiednie rysunki. (odp. Zad.6 Tworząca stożka ma długość l i widać ją ze środka kuli wpisanej w ten stożek pod kątem α. Obliczyć objętość i kąt rozwarcia stożka. Określić dziedzinę kąta α. (odp. Mirosław Gil 8

39 Zad.7 Krawędzie oraz przekątna prostopadłościanu tworzą cztery kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć sumę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu, jeśli przekątna ma długość 7 cm. (odp. Zad.8 Z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego poprowadzono wysokości dwóch ścian bocznych. Miara kąta między tymi wysokościami jest równa α. Wiedząc, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe S, oblicz jego objętość. Dla jakich α zadanie ma rozwiązanie? (odp. Zad.9 Z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego trójkątnego poprowadzono wysokości dwóch ścian bocznych. Miara kąta. a Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. (odp. b Oblicz pole powierzchni przekroju danego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź jego między tymi wysokościami jest równa 60 o, a krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 0 o. (odp. Zad.0 Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 9 dm. Dwie ściany boczne ostrosłupa są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, a dwie pozostałe są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami 0 0 i Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz na nim dane kąty i oblicz objętość ostrosłupa. (odp. V=9 Zad. Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a sporządź rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości b oblicz ile dachówek należy kupić, aby pokryć dach, wiedząc, że do pokrycia m potrzeba dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas. (odp. 80 Zad. Wysokość walca jest o 6 większa od średnicy jego podstawy, a jego pole powierzchni całkowitej jest równe 78π. Oblicz objętość walca. (odp. 980π Zad. Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się, a pole jego powierzchni bocznej 96. Oblicz objętość tego ostrosłupa. (odp. Zad. Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. (odp. Zad.5 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy równa się a. kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 5 0. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju. (odp. Zad.6 Metalową kulę o promieniu długości 0 cm oraz stożek, w którym średnica i wysokość mają długości odpowiednio 6cm i cm, przetopiono. Z otrzymanego metalu wykonano walec o średnicy tego walca. (odp. h=98 8 cm. Oblicz wysokość Zad.7 W stożku tworząca o długości 5 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem o mierze 0 0. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku. Wynik podaj z dokładnością do 0,00 cm. (odp. 76,50π = Zad.8 Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest równe 6, a pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe. (odp. 0 0 Mirosław Gil 9

40 Zad.9 Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa dm i wysokość ma długość 8 dm oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość dm. Wiedząc, że objętości brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do podstawy. (odp Zad.50 Pole powierzchni całkowitej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zad.5 Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się a 5, gdzie a oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy i oblicz cosinus tego kąta z dokładnością do 0. (odp. Zad.5 Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEFGH o podstawach ABCD i EFGH oraz krawędziach bocznych AE, BF, CG, DH. Podstawa ABCD jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Oblicz objętość tego graniastosłupa. (odp. ; Zad.5 Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika. (odp. Zad.5 Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długości a.oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. (odp. 0,5 Zad.55 W trójkącie ABC dane są AC=8, BC= kąt ACB=60 0. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta ABC dookoła boku BC. (odp. V=8π; Zad.56 Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zad.57 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, o podstawie ABCD i wierzchołku S. Pole trójkąta ABS jest równe 6 dm. punkty E i F są odpowiednio środkami krawędzi AB i BC. Cosinus kąta ESF wynosi 0,75. Oblicz długość wysokości i objętość ostrosłupa ABCDS. Wyznacz tangens kąta nachylenia przekroju ESF do podstawy ostrosłupa. (odp. Zad.58 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. Jakim procentem objętości danego graniastosłupa jest objętość stożka, którego podstawa jest wpisana w jedną z podstaw graniastosłupa, a wierzchołek jest środkiem drugiej podstawy? Zad.59 Dany jest prawidłowy ostrosłup trójkątny o krawędzi bocznej długości cm. Na przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź boczną i wysokość ostrosłupa opisano okrąg długości 6 cm. a oblicz cotangens kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa b wyznacz objętość i pole powierzchni ostrosłupa. Mirosław Gil 0

41 Zad.60 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α. Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej ostrosłupa jest równa d. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zad.6 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem Odległość środka podstawy od krawędzi bocznej wynosi 6 dm. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zad.6 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny jest równy. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem. Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że długość krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 0. Zad.6 Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wpisanej w ten stożek wynosi 0,75. Wykaż, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym. Zad.6 Dany jest stożek obrotowy. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem, w którym kąt przy podstawie ma miarę α, a pole równa się P. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego stożka. Stosunek pola powierzchni bocznej danego stożka do jego powierzchni całkowitej wynosi s. a Oblicz sinus kąta między wysokością stożka a jego tworzącą. Dla jakich wartości s są spełnione warunki zadania? (odp. s sin α s b Dany stożek wpisano w kulę o promieniu R. Wyznacz wymiary stożka o możliwie największej objętości. (pochodna Zad.65 Ostrosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy. Przekrój jest trójkątem równobocznym. Oblicz miarę kąta między płaszczyznami sąsiednich ścian ostrosłupa. ( odp. 0 0 Zad.66 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy α, a krawędź podstawy ma długość a. Przez krawędź podstawy i środki rozłącznych z nią krawędzi bocznych poprowadzono płaszczyznę. Płaszczyzna ta jest nachylona do podstawy pod kątem α. Oblicz pole otrzymanego przekroju. (odp. P a sinα sin α Zad.67 Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, opisanego na kuli o promieniu R. Zad.68 Podstawą graniastosłupa jest równoległobok o bokach długości i oraz dłuższej przekątnej długości 7. Długość krótszej przekątnej bryły wynosi 5. Oblicz objętość graniastosłupa. ( odp. 8 Mirosław Gil

42 Zad.69 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD o boku długości. Odcinek DS jest wysokością ostrosłupa i ma długość 6. Punkt M jest środkiem odcinka DS. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną BCM. Zad.70 Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS. Punkt M jest środkiem boku AB i AM = MC. Odcinek AS jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty. Zad.7 Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, w którym AB =; BC =. Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość. Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa. Zad.7 Podstawą czworościanu ABCS jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej AB = 0cm i przyprostokątnej BC = 6cm. Krawędź CS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i ma długość równą AC. Punkty K,L,M,N są odpowiednio środkami krawędzi AC, BC, BS, AS. Oblicz pole przekroju czworościanu płaszczyzną KLMN. Zad.7 Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długość. Oblicz cosinus i przybliżoną miarę kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa. Zad.7 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość. Kąt nachylenia płaszczyzny podstawy do płaszczyzny przechodzącej przez krawędź podstawy i środek krawędzi bocznej ma 0 0. oblicz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. (odp. 6 sin β Zad.75 Prostokąt o wymiarach 5 i zgięto wzdłuż przekątnej tak, płaszczyzny zawierające obie części prostokąta są prostopadłe. Po zgięciu wierzchołki prostokąta wyznaczają czworościan. Oblicz objętość czworościanu i pole powierzchni kuli opisanej na tym czworościanie. (odp. 600 V ; P 69π Zad.76 Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość a, wysokość ściany bocznej wynosi a. Oblicz pole przekroju ostrosłupa płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i przechodzącą przez środki sąsiednich krawędzi bocznych. (odp.c =,5a; P a 6 a 6 ; h 8. Zad.77 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość d i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącej z tego samego wierzchołka kąt o mierze α. Oblicz objętość tego graniastosłupa. (odp. d a ; H d tg ; V d tg Zad.78 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Przez krawędź podstawy i środek rozłącznej z nią krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zad.79 Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a sporządź rysunek i zaznacz na nim podane wielkości b oblicz ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć dach, wiedząc, ze do pokrycia m potrzebne są dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas. Zad.80 W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym płaszczyzna BFA zawiera przekątne sąsiednich ścian bocznych, wychodzących z tego samego wierzchołka, jest nachylona do podstawy graniastosłupa pod kątem Pole przekroju graniastosłupa tą płaszczyzną wynosi 8. Oblicz objętość graniastosłupa. (odp. a a ; H Mirosław Gil

43 Zad.8 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ACS stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy AC : AS = 6 : 5. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy. (odp. 8 Zad.8 Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 60. Wysokość jest o większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej ścianie, poprowadzono płaszczyznę, Oblicz pole w ten sposób otrzymanego przekroju. Zad.8 Z kwadratu ABCD, o boku długości utworzono siatkę ostrosłupa trójkątnego w sposób pokazany na rysunku. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa. Zad.8 W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa. Zad.85 Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 0 0. Oblicz objętość tego ostrosłupa. (odp. V=8,7 Zad.86 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości jest odległy od wierzchołka podstawy o d, a kąt między wysokością ostrosłupa i krawędzią boczną jest równy α. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa. Zad.87 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, a kąt między przeciwległymi krawędziami bocznymi ma miarę α. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Mirosław Gil

44 Funkcja logarytmiczna i wykładnicza Zad.88 Liczby dodatnie spełniają warunek: log a = log b = log c =. Oblicz abc. Zad.89 Rozwiąż równanie log 5 (log (log = 0 Zad.90 Narysuj wykres funkcji f( = log, a następnie, wykonując odpowiednie przekształcenia geometryczne, narysuj g ( log 9 8. wykres funkcji Zad.9 Logarytm dziesiętny pewnej liczby naturalnej wynosi w przybliżeniu 7,8. Ile cyfr ma ta liczba? Wiedząc, że log = 0,77 oblicz ile cyfr ma liczba 005. (odp. 8 cyfr, 957 cyfr. Zad.9 Funkcja f jest funkcją wykładniczą. Określ liczbę rozwiązań równania f( = m w zależności od parametru m. Odpowiedź uzasadnij. Zad.9 Dane są funkcje większe od wartości funkcji g? f ( 5 i g( 9. Dla jakich argumentów wartości funkcji f są Zad.9 Wyznacz wszystkie wartości, dla których liczby ; log ( ; log ( + 0 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad.95 Wyznacz wszystkie wartości, dla których liczby geometrycznego. Zad.96 Rozwiąż równanie cos. Zad.97 Rozwiąż równanie = 0. 9; ; 9 9 są kolejnymi wyrazami ciągu Zad.98 Wykres funkcji f( = log a przechodzi przez punkt P=(; -. Rozwiąż równanie (f( 6 = 0. Zad.99 Dana jest funkcja f( =( -(-. arozwiązać równanie f(cos=0. brozwiązać nierówność f( < -. cwyznaczyć dziedzinę funkcji g(=log(f( Zad.500 Rozwiąż układ równań log 0 log 0 5 y 5 log log y Zad.50 Znaleźć iloczyn AB zbiorów liczb rzeczywistych A = : +, B = : log ( + 0. Zad.50 Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba n + n + + n n jest wielokrotnością liczby 0. Mirosław Gil

45 Zad.50 Dana jest funkcja Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil f ( log. arozwiązać równanie f ( brozwiązać nierówność f ( 0. cdla jakich wartości k równanie f ( log ( k ma pierwiastki? Zad.50 Dana jest funkcja f(=log. a Rozwiązać równanie f(-- log = log 5 f(+6. b Rozwiązać nierówność f ( + f( > 0. f ( c Naszkicować wykres funkcji g(=. f ( Zad.505 Dane są funkcje f ( = log ( log ( + 6 i g ( = log ( +. a Rozwiązać równanie f ( - g ( = 0. b Wyznaczyć wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od. c Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a, dla których równanie f ( - log (a - = 0 ma dwa różne rozwiązania. Zad.506 Dane są funkcje f( = + k + k oraz g( = + k k a Dla k = 0,5 rozwiązać równanie f( = 9 b Rozwiązać nierówność f( > g( dla k = 0,5 c Wyznaczyć wszystkie wartości k, dla których równanie g( = k ma pierwiastki. Zad.507 Dane są liczby : a 5 0, log, a log, a, a, a5, a6 5 a Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania log +,9 log = 0,? b Uzasadnić, które z podanych liczb są większe od, które mniejsze od, a które równe? c Rozwiązać nierówność ( a ( a ( a ( a 6 0 Zad.508 Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f( = log [m + (m + + ] jest zbiór liczb rzeczywistych? Zad.509 Wyznacz dziedzinę funkcji g log 5 (. Zad.50 Wyznacz dziedzinę funkcji g( log Zad.5 Rozwiąż nierówność log (9 >. Zad.5 Rozwiąż równanie log (log 9 = log 9 (log Zad.5 Dane są funkcje f ( i g ( 6 8 a Rozwiązać równanie: f ( 6 f ( 7. b Sporządzić wykres funkcji h ( f (. Korzystając z wykresu funkcji h wyznaczyć liczbę pierwiastków równania h(=a w zależności od parametru a. c Rozwiązać nierówność f ( < g(.. Mirosław Gil 5

46 Zad.5 Dana jest funkcja Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil f ( log arozwiązać równanie f(+-f (+ =- bwyznaczyć dziedzinę funkcji g ( f cnaszkicować wykres funkcji h(=-f(+. Wymienić, jakie przekształcenia wykresu funkcji f należy kolejno wykonać, aby otrzymać wykres funkcji h. Zad.55 Wyznacz zbiory A, B, A B, gdzie B R : log log log 5 A R : 8 oraz Zad.56 Narysuj wykresy funkcji : a y ; b y = - ; y = - + ; y = log - ; y = log + - ; y = log ( ; y = log ( Zad.57 Wyznacz dziedzinę funkcji ( log Zad.58 Liczby, log f 5 6., log w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz ten ciąg. Oblicz sumę początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych. Zad.59 Dla jakich liczby log 7, log,log w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny? Zad.50 Dla jakich liczby log, log (, log ( + tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny? Zad.5 Dane są log = a, log = b. Wyznacz log 6 oraz log 5 6 za pomocą a i b Zad.5 Rozwiąż nierówność 6 < 6 (8 8 Zad.5 Rozwiąż nierówność log log 5 log Zad.5 Zaznacz na płaszczyźnie zbiór F y: R y R log ; 5 0, y 0. Napisz równanie osi symetrii figury F. m m Zad.55 Dla jakich wartości parametru m równanie log 0,5 0 ma dwa różne dodatnie m pierwiastki? Zad.56 Dane są funkcje: f( = log cos i g( = log sin. a Rozwiąż nierówność f( + g( < 0. b Wyznacz zbiór wartości funkcji g. c Rozwiąż równanie : f( + g( +,5 = 0. 5 log Zad.57 Rozwiąż nierówność. Zad.58 Wyznacz te wartości parametru a, dla których równanie 9 a ma dwa różne rozwiązania. Mirosław Gil 6

47 Zad.59 Dana jest funkcja f( = a rozwiąż równanie 5 log f( = 0 log f 6 b rozwiąż nierówność ( c wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie f( = k k ma dwa pierwiastki różnych znaków. Zad.50 Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m =, gdzie, są różnymi pierwiastkami równania (m + (m + + m + = 0. Zad.5 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( log Zad.5 Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste spełniające równanie 5 Zad.5 Dane są zbiory 6 : R log log 0 oraz B : R A 9 Zapisz zbiory A i B za pomocą przedziałów liczbowych. Zaznacz na osi liczbowej zbiór A B. Zad.5 Dana jest funkcja f ( = cos. a Wyznaczyć zbiór wartości funkcji g ( = + sin - f (. b Rozwiązać równanie f (/ - + f ( - = 0. c Wyznaczyć wszystkie wartości t [ -,], dla których równanie log ( log f (t 0 Zad.55 Dane są funkcje : f( = i h( = a Rozwiązać równanie 9f( = h( b Rozwiąż nierówność f ( 9 f ( c Dla jakich wartości m równanie f( m = f( + ma dwa pierwiastki o różnych znakach?. ma rozwiązanie. Zad.56 W nieskończonym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz a = log oraz iloraz q = log. Znaleźć wszystkie liczby, dla których suma wyrazów tego ciągu jest mniejsza od. Zad.57 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność + log 5 ( + > log 5 (m + + mjest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Zad.58 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla którego równanie log 0,5 m=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zad.59 Podaj liczbę rozwiązań równania ( = log 0,5 m w zależności od parametru m. Zad.50 Wykaż (przyjmując odpowiednie założenia, że log a b + log b a > Zad.5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których każda liczba spełniająca równanie: log log 0 m m jest mniejsza od. Mirosław Gil 7

48 r( 0,5 Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil Zad.5 Rozwiąż równania i nierówności: a b ( -5 - < 0 c 5 + (5-5 (5 +5 ( -5 - > 0. d sin sin = + cos cos. sin sin e 5( f log( 5 log( + = g log 0,5 ( - + log 0,5 ( - < log 0,5 ( + h log ( - = log ( + 55 i log ( + > log ( + 6 j log - 0 k log ( + log ( + = log ( ,5 l log - ( -7 + < m log (,5 ( + log (,5 ( n (log 5 (log 5+ (log 9 8(log > log o plog q log 6 s log log log t log- =00 ( > 0 log5 = log5 + log log( + v log 7 w log log 0 Zad.5 Dane jest równanie zmiennej z parametrem m R, (m + (0,5 m(0,5 + m + = 0. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Zad.5 Dla jakich wartości m, pierwiastki i równania 5 ( + 5 0,5m (m- = 5 5 0,5(m + m + spełniają nierówność > 0. Zad.55 Zaznaczyć na wykresie zbiór punktów (,y płaszczyzny spełniających warunek a blog y y log Zad.56 Rozwiąż równanie. Zad.57 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( log 8 log y y Mirosław Gil 8

49 Zad.58 Dla jakich wartości szósty wyraz rozwinięcia dwumian 0 jest równy, log m 5 log jeżeli wiadomo, że współczynniki drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu rozwinięcia tworzą odpowiednio pierwszy, trzeci i piąty wyraz ciągu arytmetycznego? Zad.59 Dla jakich wartości parametru k równanie log k = log (+ ma dokładnie jedno rozwiązanie? Zad.550 Dla jakich wartości parametru m równanie : ( log 0,5 m + log 0,5 m = 0 ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty? log ( a 7 0. Zad.55 Dane jest równanie Wyznacz wartość a, dla których istnieją rzeczywiste pierwiastki tego równania. Zad.55 Rozwiąż równania i nierówności a 8 0 b log log 9 c 8 5 d log + ( < e log 8 ( + = log 8 ( 0,5 f log ( > g,5 hlog 5 log i 8 log m 5 9 Zad.55 Dla jakich wartości parametru m liczby: m; log ; są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego? Zad.55 Zbadaj ciągłość funkcji określonej wzorem: log dla 0; Zad.555 Wiedząc, że a log = a i log 5 = b oblicz log 6 5 b log = a oblicz log5 oraz log5 c log = b oblicz log 6 6 dla dla 0 Zad.556 Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich i różnych od jedności liczb a i n spełniona jest równość: log a... 55log n a. n log n log n log n a a 0 a Zad.557 Wyznacz wszystkie liczby całkowite k, dla których funkcja f( = k + k +,5 przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej. Zad.558 Do wykresu funkcji wykładniczej f( = a należy punkt (;. Wyznacz wzór tej funkcji i narysuj wykres funkcji g( = f(. Podaj dla jakich wartości parametru m równanie g( = m ma dokładnie jedno rozwiązanie. Zad.559 Oblicz Zad.560 Oblicz wartość wyrażenia W = Zad.56 Oblicz ze wzoru Zad.56 Zapisz w postaci ż. Mirosław Gil 9

50 Zadania z parametrem Zad.56 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie m (m+ + m = 0 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Zad.56 Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n > największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność n + n < 0 o niewiadomej. Wyznacz wzór funkcji f. Zad.565 Zbiór A jest zbiorem tych wartości parametru m, dla których funkcja f( = (m + + m + ma dwa różne miejsca zerowe. Zbiór B jest zbiorem rozwiązań nierówności m + >. Wyznacz A B oraz A B. Zad.566 Dana jest funkcja f( = a + a Wyznacz a, dla której miejscem zerowym funkcji jest liczba. b Wyznacz wartość a, dla której prosta będąca wykresem funkcji f jest nachylona do osi OX pod kątem c Wyznacz wartość a, dla której równanie f( = a + ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zad.567 Dane jest równanie postaci a = + a, w którym niewiadomą jest. Zbadaj liczbę rozwiązań równania, w zależności od parametru a. Zad.568 Wyznacz liczbę rozwiązań równania a + 9 = a 7 w zależności od parametru a. Zad.569 Sporządź wykres funkcji f (, a następnie korzystając z tego wykresu, wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie f( = k, ma dwa rozwiązania, których iloczyn jest liczbą dodatnią. p Zad.570 Funkcja homograficzna f określona jest wzorem za parametrem p: f (, p R i p. p Dla p = zapisz wzór funkcji w postaci m f ( k wartości parametru p, dla których w przedziale (p; + funkcja f jest malejąca., gdzie k i m są liczbami rzeczywistymi. Wyznacz wszystkie Zad.57 Dane są punkty A = (m;, B = (; m, C = (5;, D = (;. Wyznacz wartość parametru m, dla którego wektory AB i CD są prostopadłe, a dla jakiej wartości są równoległe. Zad.57 Dla jakiej wartości parametru m układ równań : - (m - y = i m - y = - jest nieoznaczony? Podać interpretację geometryczną tego układu w zależności od parametru m. Zad.57 Dla jakich wartości α rozwiązaniem układu równań, y spełniająca warunek + y - = 0? sin α - y cos α = oraz cos α + y sin α =0 jest para liczb Zad.57 a Przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań układu równań : (sin α - +y = oraz (-sinα + (sinα +y =sin α, z niewiadomymi,y w zależności od wartości parametru α (0; π b Dla jakich wartości α 0; rozwiązaniem układu jest para liczb ujemnych, a dla jakich α 0; rozwiązaniem układu jest para liczb nieujemnych? Zad.575 Dla jakich wartości parametru m punkt przecięcia się prostych danych równaniami : - y = m + m i + y = m - należy do prostokąta o wierzchołkach : A = ( 0;- ; B = ( 0;- ; C = ( 0; ; D = ( 0;? Zad.576 Para ( ;y jest rozwiązaniem układu równań - y = - m oraz -y = m. Dla jakich wartości parametru m punkt P = ( ;y należy do koła o promieniu r = 5 i środku w początku układu współrzędnych? Zad.577 Wiedząc, że wykres funkcji y = a + b przechodzi przez punkt A=(6;, określ dla jakich wartości parametru a wykresy funkcji y = + 0raz y = a + b nie mają punktów wspólnych. Mirosław Gil 50

51 Zad.578 Naszkicuj wykres funkcji y = 5. Na podstawie wykresu podaj liczbę rozwiązań równania 5 = m w zależności od parametru m. Zad. 579 Rozwiąż układ równań (m + - my = oraz - 5y = m, w którym m jest parametrem, przeprowadź dyskusję istnienia liczby rozwiązań. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu jest para liczb, y, że /y >? Zad. 580 Dla jakich wartości α,gdzie 0;, rozwiązaniem układu równań - y = oraz - y = cos α jest para liczb i y taka, że + y = - tgαctgα? Zad. 58 Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu : + y = m i - y = m - jest taka para liczb ( ;y, że a < 0,5 i y < 0,5 b + y < Zad.58 Dane jest równanie (m + + (m + + = 0 z niewiadomą i parametrem m. Zbadaj liczbę rzeczywistych rozwiązań danego równania w zależności od wartości parametru m, naszkicuj wykres funkcji f, gdzie rozw. f ( m 0 m rozw. m brak rozw. Zad.58 Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m: m y y p 0 a b my py 0 m m y m f m y 6 my c m y m m y m d my m my e m y 0 Zad.58 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rozwiązania układu spełnia warunek > 0 i y < 0, 0 m y cos 0 cos 00 y 0 m m 5 m 5 Zad.585 Dla jakich wartości parametru m nierówność 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste takie, że <. Zad.586 Dla jakich wartości parametru m równanie (m + + m + = 0 ma dwa różne pierwiastki? Zad.587 Dobierz tak wartość parametru m, aby wykresy funkcji f( = + m i g( = + przecinały się w punkcie o odciętej =. Dla wyznaczonej wartości parametru m określ przedział, w którym wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g. Zad.588 Dla jakich wartości parametru b równanie y = 0,5 b + opisuje parabolę, dla której wierzchołek leży nad osią odciętych? Zad.589 Wykaż, że dla m= nierówność + (m + m + 5 > 0 jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste. v i otrzymano parabolę y = ( +. Zad.590 Pewną parabolę y = a + b + c przesunięto o wektor ; 5 Znajdź a,b,c. Zad.59 Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5, maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca to <;. Największa wartość funkcji w przedziale < 8; 7> jest równa (. Wyznacz wzór funkcji i narysuj jej wykres. Mirosław Gil 5

52 Zad.59 Dla jakich wartości parametru m równanie m sin + = m ma rozwiązania? (odp. <;6> Zad.59 Dla jakich wartości parametru m równanie ( m + m - + ( 5-m - 6 = 0 ma dwa różne pierwiastki jednakowych znaków. Zad.59 Dla jakich wartości parametru m rzeczywiste pierwiastki równania - ( m- + m+ = 0 są liczbami ujemnymi? Zad.595 Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania +(m 5 + m 7 = 0 jest najmniejsza? Zad.596 Dla jakich wartości parametru m równanie - + m - m + m - = 0 ma dwa rzeczywiste pierwiastki takie, że ich suma jest o większa od iloczynu? Zad.597 Dla jakich wartości parametru α z przedziału < 0;π > istnieją dwa różne pierwiastki i równania - ( sinα- + sin α - = 0 spełniające warunki : + > - < 0? Zad.598 Funkcja f (= - p + q ma dwa miejsca zerowe, których suma kwadratów równa się 5. Dla = -5 funkcja przyjmuje wartość 5. Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f? Zad.599 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki i + = ( +? równania + m + = 0 spełniają warunek Zad.600 Dla jakiej wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania najmniejsza? + ( k - +k - 5 = 0 jest Zad.60 Zbadaj, dla jakich wartości m równanie ( m - - ( m + + m + =0 ma cztery różne pierwiastki? Zad.60 Dla jakich wartości parametru t pierwiastki równania + / t + t = 0 są odpowiednio równe sinusowi i cosinusowi tego samego kąta ostrego? Zad.60 Dane jest równanie - ( m + +, m = 0 a Dla jakich m jeden pierwiastek tego równania jest równy sinusowi, a drugi cosinusowi tego samego kąta ostrego? b Przy wyznaczonym m podaj miarę kąta ostrego spełniającego warunek zadania. Zad.60 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania + 5m + m + m + = 0 spełniają warunek +? Zad.605 Dla jakich wartości parametru m suma odwrotności pierwiastków równania + ( -m + m - 5m - = 0 mają wartość ujemną? Zad.606 Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania ( m + - ( m + + m + = 0 spełniają warunek >? Zad.607 Dana jest funkcja f(= +(m-+m+. adla jakich wartości m najmniejsza wartość funkcji f jest większa od? bdla jakich wartości parametru m suma kwadratów pierwiastków równania f(=0 jest niewiększa od 8? cdla m=- wyznaczyć zbiór wartości funkcji f oraz sporządzić wykres funkcji y=f(. Zad.608 Dana jest funkcja kwadratowa f(= -k+k -. a Dla k= rozwiązać algebraicznie i graficznie nierówność f(- 0. b Suma kwadratów pierwiastków równania f(=0 jest równa 00. Obliczyć k. c Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których funkcja f ma dwa miejsca zerowe należące do przedziału (-;. Zad.609 Dana jest funkcja f(= +k+9-k a Dla k=0 wyznaczyć najmniejszą `wartość funkcji g(=f(f(. b Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f leży ponad osią odciętych c Suma kwadratów pierwiastków równania f(=0 równa się 6. Wyznaczyć wartość parametru k. Mirosław Gil 5

53 Zad.60 Dana jest funkcja f(=(a+ +(a++-a adla a=, bez obliczania pierwiastków, obliczyć sumę ich kwadratów. bwyznaczyć zbiór wszystkich wartości parametru a, dla których funkcja ta ma miejsce zerowe. cwyznacz zbiór wszystkich wartości parametru a, dla których funkcja f jest dodatnia w całej dziedzinie. Zad.6 Dana jest funkcja f ( = ( a [a ( a -a ]. a Dla a = rozwiązać równanie f ( =. b Dla a = - rozwiązać nierówność f( <-. Zad.6 Znaleźć wszystkie wartości parametru p, dla których równanie p + p + = 0 ma dwa różne rozwiązania. Zad.6 Dany jest układ równań y p( 5 z parametrem p R. 9 0 y 0 y Podaj interpretację geometryczną tego układu oraz liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru p. Zad.6 Dana jest funkcja f( = (m + m + m. a Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f wiedząc, że prosta o równaniu = - jest osią symetrii jej wykresu b Stosując wzory Viete a oblicz sumę sześcianów pierwiastków równania f( = 0 wiedząc, że suma tych pierwiastków równa się /. Zad.65 Napisz równanie stycznej do paraboli : a y = 8 i przechodzącej przez punkt A(-;0 b y = 8 i równoległej do prostej + y 5 = 0 Zad.66 Znaleźć równanie stycznej do elipsy : a 9 + 6y = i równoległej do prostej + y = b 8 + y = 576 w punkcie M = (; Zad.67 Napisz równanie stycznej do hiperboli : a - y = 6 i prostopadłej do prostej + 5y = 0 b - y = i przechodzącej przez punkt A(; Zad.68 Napisz równanie stycznej do paraboli : a y = 6 i przechodzącej przez punkt A(0; b y = 6 i prostopadłej do prostej + y 5 = 0 Zad.69 Wyznaczyć wszystkie wartości parametru rzeczywistego m, dla których osią symetrii wykresu funkcji p( = (m m (m + jest prosta = m. Wykonać rysunek. Zad.60 Rozwiąż graficznie i algebraicznie układy równań: y y 8 y y 8 y 5 y y y 0 y y 0 y y y y y y y y 7 nie rysować y y 5 y 5 5 y Zad.6 Znaleźć punkt należący do paraboli y =, którego odległość od prostej y + = 0 jest najmniejsza. Oblicz tę odległość, a następnie napisać równanie stycznej do tej paraboli, prostopadłej do danej prostej. Wykonać rysunek. Zad.6 Rozwiąż układ równań, podaj interpretację geometryczną tego układu i wykonaj odpowiedni rysunek y 50 y 9 Zad.6 Napisz równanie stycznej do paraboli y = 6 w punkcie (6;-6 Mirosław Gil 5

54 Zad.6 W układzie współrzędnych dana jest prosta l o równaniu + y + = 0 oraz dwa punkty A = (; 0 i B = (-;. a Na symetralnej odcinka AB znaleźć taki punkt C, którego suma odległości od punktów A i B wynosi 0. b Wyznaczyć współrzędna punktu D należącego do prostej l tak, aby pole trójkąta ABD było równe. c Obliczyć długość promienia okręgu stycznego do osi odciętych w punkcie A i stycznego do prostej l. 5 5 (odp. do punktu c : r lub r Zad.65 Dany jest punkt A = (; - Z punktu A poprowadzono styczną do okręgu o równaniu + y + 6 8y = 0. a Oblicz odległość punktu A od punktu styczności. b Dany jest punkt E = (; oraz punkt F, który leży na prostej o równaniu + y = 0. Pole trójkąta AEF jest równe 8. Oblicz współrzędne punktu F. c Wiedząc, że prosta y = 0 zawiera jedną z przekątnych kwadratu ABCD, wyznaczyć współrzędne wierzchołków B, C i D tego kwadratu. Zad.66 Zbadaj jakie jest położenie prostej y 9 = 0 względem elipsy + 6y = Zad.67 Wyznacz zbiór wartości funkcji a b c d e f ( dla f ( log (sin f ( dla ; ( tg f dla ; 6 f ( ; Zad.68 Dane są: punkt A = (; -, punkt B = (-; 0 i prosta k o równaniu y + = 0 a Oblicz cosinus kąta, jaki tworzy prosta k z prostą AB b Czy na prostej k istnieją punkty P takie, że trójkąt ABP jest prostokątny? c Oblicz współrzędne wierzchołków C i D czworokąta ABCD wpisanego w okrąg, dla którego prosta k jest osią symetrii. Zad.69 Wyznacz zbiór wartości funkcji a b c d e f ( 5dla f ( log (cos f ( dla ; ctg f ( dla ; f ( ; Zad.60 Dana jest funkcja f( = (m +. a Dla m = wyznaczyć zbiór wszystkich liczb całkowitych ujemnych spełniających nierówność b f( + 8. c Dla m = rozwiązać równanie f( = 8( +. d Zbadać liczbę pierwiastków równania f( = 0 w zależności od parametru m.(pochodna Zad.6 Dany jest układ równań a 8y a. Dla jakich wartości parametru a rozwiązanie y a (; y tego układu spełnia warunek + y > 0 i ac. Dla a = - rozwiąż ten układ graficznie i algebraicznie. Mirosław Gil 5

55 Zad.6 Dla jakich wartości parametru m nierówność (m + + m + m > 0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej? (odp. m<- lub m> m Zad.6 Dla jakich wartości parametru m nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej? (odp. (-; Zad.6 Dla jakich wartości parametru m równanie (m + m + m + = 0 ma dwa różne pierwiastki dodatnie? (odp. m<- lub m> Zad.65 Dla jakich wartości parametru m równanie m ( m + 9m 8 = 0 ma dwa pierwiastki o jednakowych znakach? (odp.<-0,;0 lub (/; > Zad.66 Dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki rzeczywiste równania m + m = 0 należą do przedziału ( ;? (odp. (-; Zad.67 Dla jakich wartości parametru m równanie + (m m + = 0 ma dwa pierwiastki większe od (? (odp. nie ma takiego m Zad.68 Dla jakich wartości parametru m liczba leży między pierwiastkami równania + m + m = 0? (odp. (-; -/ m m m Zad.69 Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek?(odp. m ; 7 ; 7 Zad.60 Dla jakich wartości parametru m kwadrat różnicy pierwiastków równania + m + 5 = 0 jest równy? Znajdź te pierwiastki. (odp. m= 8, =, =5 lub m=8, =, = 5 Zad.6 Dla jakich wartości parametru m suma sześcianów pierwiastków równania m jest większa od ( 9? (odp. ; m m. Zad.6 Dla jakich m równanie + (m = m na dwa różne pierwiastki, których suma odwrotności jest dodatnia? Zad.6 Dane jest równanie + b + c = 0 z niewiadomą. Wyznacz wartości b i c tak, aby były one rozwiązaniami danego równania. Zad.6 Dane jest równanie + m + m = 0 z niewiadomą. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej m wszystkie rozwiązania tego równania są liczbami całkowitymi. Zad.65 Dany jest trójmian kwadratowy m 0 m 0. Przedstaw iloczyn dwóch różnych pierwiastków tego trójmianu jako funkcję zmiennej m. Narysuj wykres tej funkcji i podaj jej zbiór wartości. 0,5m m (odp. f ( m ; m ; {} Zad.66 Funkcja f(m przyporządkowuje każdej wartości parametru m liczbę rozwiązań równania (m + (m + 5m 6 = 0. Podaj wzór funkcji f(m i narysuj jej wykres. 0 m ; ; (odp. k ( m m{;;} m ; {} Mirosław Gil 55

56 Zad.67 Przedział Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil ; 0 jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności Zad.68 Znajdź liczbę, która spełnia jednocześnie równanie a a >. m z niewiadomą. Oblicz m. lim a i nierówność Zad.69 Wyznacz wartość α, dla których równanie + sinα cosα = 0 ma dwa różne rozwiązania, których suma sześcianów jest równa 0. (odp. α=kπ Mirosław Gil 56

57 Zbiory punktów Zad.650 Znaleźć równania dwusiecznych kąta pomiędzy prostymi + y = 0 oraz 7 y 7 = 0. (odp. 6y + = 0 lub + y 7 = 0 Zad.65 Znaleźć zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu + y = i równocześnie stycznych do prostej y + = 0. Zad.65 Znaleźć równanie zbioru punktów, których odległość od punktu F(;0 jest równa odległości od prostej o równaniu + = 0. Narysuj tą krzywą. (odp. y = Zad.65 Znaleźć zbiór środków wszystkich okręgów stycznych do osi odciętych i do okręgu + y = 9. (odp. y ; y ; y Zad.65 Napisać równanie linii będącej zbiorem wszystkich punktów (;y, których odległości od okręgu + y = 8 i od punktu M(6;0 są równe. Narysuj tę linię. Zad.655 Znajdź zbiór punktów, dla których stosunek odległości od A(-;0 i B(;0 jest równy. Zad.656 Znaleźć zbiór środków wszystkich cięciw okręgu + y = 9 przechodzących przez punkt A(0;-. Zad.657 Znaleźć równanie zbioru punktów, których suma kwadratów odległości od punktów A(;0 i B(0; jest równa kwadratowi odległości między punktami A i B. Zad.658 Znaleźć zbiór środków okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu ( + y = i równocześnie stycznych do prostej osi OX. Zad.659 Znaleźć równanie zbioru punktów, których stosunek odległości od punktu A(;0 i od prostej = 8 wynosi 0,5. Zad.660 Znaleźć równanie zbioru punktów, których suma odległości od danych punktów A(-;0 i B(;0 jest równa 0. Zad.66 Znaleźć zbiór środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu + y +y 60 = 0 i jednocześnie stycznych do prostej y = -6. Sporządź rysunek. Zad.66 Znaleźć zbiór środków wszystkich cięciw elipsy + 9y = 6 przechodzących przez punkt A(0;. Zad.66 Znaleźć równanie linii, której każdy punkt jest jednakowo odległy od osi OX i punktu P(;. Zad.66 Znaleźć równanie zbioru punktów, których suma kwadratów odległości od punktów A(-;0 i B(;0 jest równa 50. Mirosław Gil 57

58 Ciągi liczbowe Zad.665 Sprawdź, czy liczby 8 ; ; są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad.666 Sprawdź, czy liczby 5 ; ; 5 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. 7n n Zad.667 Wyznacz wszystkie wyrazy ciągu a n mniejsze od. Sprawdź, czy istnieje taka liczba, że (a ; ; a jest ciągiem geometrycznym. Zad. Liczby, y, 9 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym + y = 8. Oblicz i y. (odp. =-; y=9. Zad.668 Dany jest ciąg geometryczny, a którym a =, a = 7. a Ile jest ciągów spełniających podane warunki? Odpowiedź uzasadnij. b Oblicz wyraz a 6 tego ciągu, który jest rosnący. Wynik podaj w postaci ułamka dziesiętnego. Zad.669 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 5, a drugi. Wyznacz wzór na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu. Ile początkowych wyrazów ciągu trzeba wziąć, aby otrzymać możliwie największą sumę? Ile wynosi ta suma? Zad.670 Herszt zbójców dzieli złote monety pomiędzy siebie i pięciu kompanów. Najpierw każdemu daje po jednej i sobie bierze jedną. W następnej kolejce znów daje każdemu po jednej, a dla siebie bierze dwie. W następnej kolejce znowu każdemu po jednej, a sobie trzy, itd. Po kilku następnych kolejkach monety kończą się. Herszt zebrał w sumie połowę wszystkich monet. Ile monet było do podziału? Zad.67 Rozwiąż równanie a ( + + ( + + ( ( + 8 = 55. b = 0 Zad.67 Sprawdź, że szereg... a 5 Zad.67 Dla jakich a szereg a 5... jest zbieżny? a 5 jest zbieżny i oblicz jego sumę. Zad.67 Dany jest ciąg (a n określony wzorem a n = n + n. Między którymi kolejnymi wyrazami tego ciągu różnica wynosi 8? Zad.675 Sprawdź, który z podanych niżej sposobów przyznawania kieszonkowego jest korzystniejszy w skali roku. Sposób I: W styczniu dostajesz 50zł, co miesiąc kieszonkowe wzrasta o tę samą kwotę tak, że w grudniu otrzymasz 00zł kieszonkowego. Sposób II: w styczniu dostajesz 0,50zł i co miesiąc kwota się podwaja. Zad.676 poufną wiadomość zna 8 osób. Zakładając, że co kwadrans od każdego z wtajemniczonych osób wiadomość poznają nowe dwie osoby, oblicz: a ile co najmniej kwadransów potrzeba, aby poufną znajomość znało ponad 000 osób? b w którym kwadransie poufną wiadomość poznają dokładnie 89 nowe osoby? Zad.677 Znajdź taką liczbę całkowitą m, dla której szereg (m 7 + (m 7 +(m 7 + jest zbieżny i oblicz jego sumę dla tej liczby. Zad.678 Dany jest ciąg określony wzorem n a n n. Oblicz a i a 5. n Zad.679 Liczbę naturalną t n nazywamy n-tą liczbą trójkątną, jeżeli jest ona sumą n kolejnych początkowych liczb naturalnych. Liczbami trójkątnymi są zatem liczby: t = ; t = + = ; t = + + = 6, t = = 0. a Stosując tą definicję wyznacz liczbę t 7. b Ułóż odpowiednie równanie i zbadaj, czy liczba 767 jest liczbą trójkątną. c Wyznacz największą czterocyfrową liczbę trójkątną. Mirosław Gil 58

59 Zad.680 Dany jest ciąg (a n, gdzie a n 5n 6 dla każdej liczby naturalnej n >. Zbadaj monotoniczność tego ciągu. 0 n Zad.68 Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym a =, a = 7.Wyznacz iloraz tego ciągu. Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz a n. Oblicz wyraz a 6. Zad.68 Zauważ, że = = + + = Stosując wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego uzasadnij, że n = (n + n + (n Zad.68 Dany jest ciąg (a n o wyrazie ogólnym a n 5 n 7, n =,,,... sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Oblicz, dla jakiej wartości liczby a, +, a są kolejnymi wyrazami tego samego ciągu geometrycznego Zad.68 Nieskończony ciąg liczbowy (a n jest określony wzorem a n = n, n =,,,....Wyrazy a k, a k+, a k+ danego ciągu powiększono odpowiednio o, o i o. W ten sposób otrzymano trzy pierwsze wyrazy pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz k oraz czwarty wyraz ciągu geometrycznego. Zad.685 Pożyczkę w wysokości 8700 zł zaciągniętą w banku należy spłacić w ratach, z których każda następna jest mniejsza od poprzedniej o 50 zł. Oblicz wysokość pierwszej i ostatniej raty. Zad.686 Ciąg (a n określony jest wzorem a n = n 0n + n 0. Wiedząc, że a = 0 wyznacz wszystkie pozostałe wyrazy tego ciągu równe zero. Zad.687 Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu rosnącego. Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny, zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz ile wyrazów ma ten ciąg, oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów tego ciągu. Zad.688 Ania przeczytała książkę w ciągu dni., przy czym każdego dnia czytała o taką samą liczbę stron więcej niż w dniu poprzednim. Ile stron miała ta książka, jeżeli wiadomo, że w trzecim dniu przeczytała 8 stron, a w ostatnim 68? Zad.689 Dziesiąty wyraz pewnego ciągu geometrycznego równa się 0. Oblicz iloczyn dziewiętnastu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu. Zad.690 Suma n początkowych, kolejnych wyrazów ciągu (a n jest obliczana ze wzoru S n = n + n, nn +. Wyznacz a n. Wykaż, że ciąg ten jest ciągiem arytmetycznym. Zad.69 W konkursie przyznano nagrody na łączną kwotę 00zł. Najwyższa nagroda wynosiła 600zł, a najniższa 00zł. Wiadomo ponadto, że iloraz wartości dowolnych dwóch kolejnych nagród był taki sam. Ile nagród przyznano? Zad.69 Ciąg liczbowy (a n jest określony dla każdej liczby naturalnej n > wzorem a n = (n ( p, p R. a Wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny. Dla p = oblicz sumę a 0 + a + a +...+a 0 b Wyznacz wszystkie wartości p, dla których ciąg (b n określony wzorem b n = a n pn jest stały. Zad.69 Nieskończony ciąg liczbowy (a n jest określony wzorem a n n, n =,,,.... a Oblicz ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od,975. b Dla pewnej liczby trzywyrazowy ciąg (a ; a 7 ; jest arytmetyczny. Oblicz. Zad.69 Dany jest ciąg (a n,w którym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem S n = n + n wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny. Oblicz a 007. Oblicz a 0 + a + a a 00. Wyznacz liczbę n, dla której a n = 0 Zad.695 Dany jest rosnący ciąg geometryczny w którym a = ; a = i a = y. Oblicz i y, jeżeli wiadomo, że + y = 5. Zad.696 Dany jest ciąg (a n,w którym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem S n = n + n Mirosław Gil 59

60 wykaż, że jest to ciąg arytmetyczny. Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów tego ciągu o numerach parzystych a + a + a a 00. Zad.697 Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a n, w którym a = 6, a =. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz, jeżeli wiadomo, że liczby a + ; 0,5a 5 ; + tworzą ciąg arytmetyczny. Zad.698 Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem. Zad.699 Wyznacz wszystkie wartości kr, dla których pierwiastki wielomianu W( = ( 8 + ( ksą trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Zad.700 W ciągu arytmetycznym suma wyrazu czwartego i ósmego wynosi, a wyraz ósmy jest o 6 większy od wyrazu piątego. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Oblicz sumę a + a + a a. Zad.70 Wykaż, że ciąg określony wzorem a n = 8 -n jest ciągiem geometrycznym. n n 0 Zad.70 Określ, które wyrazy ciągu opisanego wzorem a n są niemniejsze od 0,75. Zad.70 Uczeń przygotowujący się do matury rozwiązał w ciągu tygodnia zadania. W każdym następnym tygodniu rozwiąże o zadania więcej niż w poprzednim. Po ilu tygodniach liczba rozwiązanych zadań przekroczy 000? Zad.70 Wykaż, że jeżeli ciąg (a n jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym, to ciąg (b n o wyrazie ogólnym b n = a n +a n+ + a n+ też jest ciągiem arytmetycznym. Zad.705 Jedno z rozwiązań równania (a b(c + = 0 z niewiadomą wynosi. Liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz jest o 6 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiązanie tego równania. Zad.706 Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 0, różnica r = -, a ostatni wyraz stanowi 0,5 sumy wszystkich poprzednich wyrazów. Znajdź liczbę wyrazów i sumę wyrazów tego ciągu. Oblicz n, dla których suma n początkowych wyrazów ciągu jest dodatnia Zad.707 Wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n spełniają warunki a 5 a = 6 i a 8 = 6. wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu. Rozwiąż równanie S n S 0 = 85. Wyznacz k, dla których wyrazy a k, a k+, a 8k w podanej kolejności są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Zad.708 Iloczyn piątego i jedenastego wyrazu ciągu geometrycznego jest równy. Oblicz iloczyn piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu. Zad.709 Liczby 9; ; są trzema kolejnymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz. n 7 Zad.70 Wyraz ogólny ciągu (a n dany jest wzorem a n n a Który wyraz ciągu (a n równa się 77 / 80? b Ile wyrazów danego ciągu należy do przedziału ( 9 / 5 ; 9 / 0? c Na podstawie definicji wykazać, że granicą ciągu (a n jest liczba. Zad.7 Dana jest funkcja f (= - a Wykazać, że ciąg f (, f(, f (5,...,f(n-...gdzie n N jest ciągiem arytmetycznym. Zbadać monotonność tego ciągu. bwyznaczyć współczynniki a i b funkcji y = a +b, tak aby ciąg f(, f(, f(5,...,f(n-...był ciągiem arytmetycznym o wyrazie pierwszym a =5 i różnicy r= cdla jakich wartości nieskończony ciąg geometryczny o wyrazach, ( -, ( -, ( jest zbieżny? Zad.7 Dany jest ciąg opisany wzorem a n = n-8. awykazać, że (a n jest ciągiem arytmetycznym i obliczyć sumę wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu. bile wyrazów tego ciągu należy do przedziału <-,0. cdla jakiej wartości n wyrazy a n, a n+,a n+ danego ciągu powiększone odpowiednio o, i 9 utworzą kolejne wyrazy ciągu geometrycznego? Mirosław Gil 60

61 Zad.7 Dany jest ciąg (a n o wyrazie ogólnym a n = 5 + ( n-(k-k, gdzie k jest parametrem. awykazać,że (a n jest ciągiem arytmetycznym. Dla jakich wartości k jest on malejący? b dla k = obliczyć sumę wyrazów od dwudziestego do trzydziestego włącznie. c wiadomo, że liczba wyrazów ciągu (a n jest równa 00 i k = 0,5. Dla jakiej wartości m stosunek wyrazu stojącego na miejscu m licząc od początku, do wyrazu stojącego na miejscu m licząc od końca tego ciągu jest równy 09 Zad.7Trzy kolejne początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego (a n spełniają warunek a + a + a =6. a Wyznaczyć ogólny wyraz takiego ciągu, w którym a a a = -0. b Jeżeli do pierwszego wyrazu ciągu (a n dodamy liczbę 5, a do drugiego i trzeciego wyrazu liczbę, to otrzymamy trzy liczby tworzące ciąg geometryczny. Wyznaczyć liczby tworzące ciąg geometryczny. c Wiedząc, że S 0 S 7 = 69,gdzie S n oznacza sumę częściową ciągu (a n.obliczyć a 5 + a 6. Zad.75 Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (b n są dodatnie i spełniony jest warunek b - b = b + b. a Wyznacz iloraz tego ciągu tak, aby suma jego czterech pierwszych wyrazów była największa. Oblicz tę największą sumę. b Wyrazy a,..., a 0 pewnego nieskończonego ciągu (a n spełniają warunki: a + a + a 5 + a 7 + a 9 = 0, a + a + a 6 + a 8 + a 0 = 5. Wiedząc, że nieskończony ciąg (b n określony wzorem wyrazów ciągu b n. bn 5 a n Zad.76 O ciągu ( n dla n wiadomo, że: n a ciąg (a n określony wzorem a dla n jest geometryczny o ilorazie q = 7 b = 5 Oblicz. (odp. n 0. jest ciągiem geometrycznym. Oblicz sumę wszystkich Zad.77 Ciąg (; ; y jest ciągiem geometrycznym malejącym. Ciąg (y; + ; 5 jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz. Zad.78 W ciągu arytmetycznym suma 00 początkowych wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 000, a suma 00 początkowych wyrazów o numerach parzystych jest równa 800.Wyznacz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu. Zad.79 Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Obwód tego trójkąta jest równy, zaś cosinus największego kąta w tym trójkącie wynosi -/0. Wyznacz długości boków tego trójkąta. p n n Zad.70 Wyznacz największą liczbę naturalną p, dla której ciąg (a n dany wzorem a n jest malejący. Zad.7 Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego (a n jest równy 8. Wyznacz iloraz tego ciągu wiedząc, że ciąg (8; a + ; a jest malejącym ciągiem arytmetycznym. a Wyznacz wyrazy ciągu (a n, które mają wartość większą niż : 7 7 Zad.7 Suma n początkowych wyrazów ciągu liczbowego (a n określona jest wzorem S n = n n (n N + obliczyć trzydziesty pierwszy wyraz ciągu (a n a Na podstawie definicji wykazać, że (a n jest ciągiem arytmetycznym b Wyznaczyć trzy kolejne wyrazy tego ciągu, spełniające warunek : kwadrat środkowego wyrazu jest o 8 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących. Zad.7 Suma czterech początkowych wyrazów rosnącego nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n równa się 0, zaś suma kwadratów tych czterech wyrazów wynosi 80. Wyznacz wzór na wyraz ogólny ciągu (a n. Zad.7 Różne od zera liczby a, b, c, d są kolejnymi początkowymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego. a Obliczyć iloraz tego ciągu wiedząc, że suma drugiego i czwartego wyrazu jest trzy razy większa od sumy pierwszego i trzeciego wyrazu. b Dla a=9 i b= obliczyć sumę logarytmów o podstawie dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu. c Obliczyć a, b, c, d, jeśli a+b+c=6, zaś liczby a+, b+ i c- w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Mirosław Gil 6

62 Zad.75 Dany jest ciąg arytmetyczny (a n, w którym a = i r=5. a Suma pewnych trzech kolejnych wyrazów ciągu (a n jest równa 5. które to wyrazy? b Liczby b =a n-, b =a n -, b =a n+ + są wyrazami ciągu geometrycznego (b n. Wyznaczyć b n. c Lewa strona równania a n =08 jest sumą n początkowych kolejnych wyrazów danego ciągu (a n. Wyznaczyć n. Zad.76 Wyraz ogólny ciągu liczbowego (a n jest określony wzorem n bn an, 7... (n a n p p a Wykazać, że ciąg (a n jest ciągiem geometrycznym. b Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu (a n. Wyznaczyć tę sumę. c Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których ciąg (a n jest malejący. Zad.77 Trzy liczby, których suma wynosi 6, tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio, 6,, to nowe liczby utworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby. Zad.78 Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, a miary jego kątów trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz kąty trójkąta. Zad.79 Nieskończony ciąg liczbowy (a n jest określony wzorem : a n = n, n N +. Niech S k oznacza sumę k początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a n. a Wyznaczyć najmniejszą wartość k spełniającą nierówność S k < b Wyznacz wzór ciągu n N c Liczby a n-, a n, (a n+5 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wyznacz ten ciąg geometryczny. k k k k, k, k,..., k R Zad.70 Dany jest nieskończony ciąg geometryczny a Wyznaczyć wszystkie wartości k, dla których dany ciąg jest ciągiem rosnącym. b Pierwszy, drugi i czwarty wyraz danego ciągu, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć k. Zad. 7 Wiedząc, że liczby : -,, - ( tworzą ciąg arytmetyczny, oblicz. Zad.7 Wyrazy ciągu arytmetycznego (a n spełniają warunki : a + a = 8 i a 7 = 6. a Wyznacz wyraz ogólny tego ciągu b Wiadomo, że wyrazy a k, a k+, a k+5 ciągu (a n, wzięte w tej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego. Wyznaczyć k. c Sumy częściowe S 8 i S n tego ciągu spełniają warunek S n - S 8 = 0. Wyznaczyć n. Zad.7 Pierwszy, trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r R - 0 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f określona f( = + m + q osiąga minimum, którego wartość jest większa od (-. Zad.7 Dany jest wielomian W(= Wyznacz wzór na wyraz ogólny rosnącego nieskończonego ciągu arytmetycznego (a n, którego trzema początkowymi wyrazami są pierwiastki wielomianu W( Zad.75 W nieskończonym ciągu geometrycznym zbieżnym suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 6, a suma wyrazów o numerach parzystych wynosi. Wyznacz ten ciąg. Zad.76 Wyznacz wszystkie wartości, dla których liczby: cos; 0,5sin ; sin są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad.77 Trójkąt T ma pole S. Łącząc środki boków trójkąta T otrzymujemy trójkąt T,, łącząc środki boków trójkąta T n otrzymujemy trójkąt T n+.niech ciąg (a n będzie określony jako pole trójkąta T n. Podaj wzór ciągu (a n i uzasadnij go. Zad.78 Boki trójkąta równobocznego o polu S podzielono na trzy równe części i na środkowych z nich zbudowano trójkąty równoboczne, itd. Oblicz sumę pól wszystkich trójkątów. n Mirosław Gil 6

63 Zad.79 Zbadaj monotoniczność oraz oblicz granicę ciągu n! n! a n. Zad.70 Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego wynosi 8.Suma wyrazów ciągu o numerach parzystych wynosi. Wyznacz iloraz oraz pierwszy wyraz ciągu. 9 Zad.7 Rozwiąż równanie a... b log log log c lim cos n cos... cos n log log Zad.7 Wyznacz pierwsze trzy wyrazy ciągu geometrycznego wiedząc, że są one dodatnie, ich suma jest równa oraz suma ich odwrotności jest równa 7. Zad.7 Dane są dwa ciągi a n n oraz b b b n n. Oblicz a b. n bn, dla n Zad.7 Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny wynosi. Jeśli dodamy do nich kolejno ; 5;, to ponownie otrzymamy ciąg geometryczny. Znajdź te liczby. Zad.75 Liczba jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej f( = 5 + b + c. Ciąg (5; b; c jest arytmetyczny. Oblicz współczynniki b i c. Zad.76 Dany jest ciąg a n 5n 6 0( n a udowodnij, ze ten ciąg jest malejący b oblicz granicę tego ciągu c podaj największą liczbę a i najmniejszą b takie, że a < a n < b. Zad.77 Wiedząc, że dla pewnego ciągu geometrycznego (a n o wyrazach dodatnich prawdziwa jest równość S =5S 7, oblicz iloraz tego ciągu. Zad.78 Ciąg geometryczny określony jest wzorem a n = n dla n >. a oblicz iloraz tego ciągu b oblicz log a + log a + log a + + log a 00 Zad.79 Wykaż, że jeżeli b, c, b a są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to liczby ab, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Zad.750 Wykaż, że jeżeli długości boków trójkąta prostokątnego tworzą rosnący ciąg arytmetyczny, to różnica tego ciągu jest równa promieniowi okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zad.75 Ciąg opisany jest wzorem rekurencyjnym: a n a a n n n Zad.75 Suma n początkowych wyrazów pewnego ciągu (a n jest równa a n n n a a a a... n Zad.75 Oblicz: a ; b ( zapisz jako / wartości wyrażenia z punktu a; c (n siódemek d (n jedynek. Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Sn n 5.Wykaż, że Mirosław Gil 6

64 Mirosław Gil 6 Zad.75 Pole kwadratu K jest równe 8. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt C. Następnie połączono środki czworokąta C tworząc czworokąt C. W ten sposób utworzono czworokąty C, C, C 5, Suma pól czworokątów K + C + C + C + + C n jest równa 5,75. Znajdź liczbę n. Zad.755 Oblicz granicę... lim lim n n b n n n n a n n. Zad.756 Wykaż, że trzy wyrażenia 0, ; ; n i n gdzie n n n m n n m n m tworzą ciąg arytmetyczny.

65 Prawdopodobieństwo Zad.757 Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo, że w każdym rzucie liczba oczek będzie większa od numeru rzutu. Zad.758 Ze zbioru liczb {,,,,7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez. Zad.759 W szufladzie znajdują się cztery różne pary rękawiczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że losując dwie rękawiczki nie wylosujemy rękawiczek tej samej pary. Zad.760 W grupie 00 badanych osób 67% czyta tygodnik A, 8% czyta tygodnik B, a 6% czyta oba te tygodniki. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie czyta żadnego z tygodników. Zad.76 W grupie 00 osób 87% zna język angielski, % zna język niemiecki, a 9% zna oba języki. a Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba nie zna żadnego języka b Oblicz średnią liczbę języków znanych przez jedną osobę z tej grupy. Zad.76 W grupie 00 osób 70% czyta tygodnik A, 60% czyta tygodnik B, a 0% czyta oba tygodniki. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba czyta tygodnik A, Jeżeli wiadomo, że nie czyta tygodnika B. Zad.76 W wycieczce bierze udział 6 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy osoby. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród wybranych osób dokładnie dwie znają okolicę. Zad.76 Sześć osób, dwie panie i czterech panów kupiło bilety do tego samego sześcioosobowego przedziału. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie panie będą siedziały naprzeciw siebie. Zad.765 Dane są dwa pojemniki. W pierwszym znajduje się 9 kul: białe, czarne i zielone. W drugim jest 6 kul: białe, czarne i zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru. Zad.766 Strzelając do tarczy pewien strzelec uzyskuje co najmniej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,5, a co najwyżej 9 punktów z prawdopodobieństwem 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że ten strzelec uzyska dokładnie 9 punktów. Zad.767 Z liczb,,,,5 losujemy kolejno bez zwrotu dwie: i y. Układając je w kolejności losowania, tworzymy liczbę dwucyfrową 0 + y. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to liczba podzielna przez? Zad.768 Niech Z będzie zbiorem punktów o współrzędnych całkowitych należących do okręgu + (y = 5. Losujemy dwa różne punkty ze zbioru Z i prowadzimy przez nie prostą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że współczynnik kierunkowy tej prostej będzie równy? Zad.769 Gracz rzuca sześcienną kostką do gry. Jeżeli otrzyma 5 lub 6 oczek to wygrywa. Jeżeli otrzyma mniej, to może rzucić jeszcze raz i wygrywa, jeżeli suma oczek w obu rzutach przekroczy 8. Narysuj odpowiednie drzewko tej gry i oblicz prawdopodobieństwo wygranej. Zad.770 W pojemniku jest k kul, w tym 5 białych. Losujemy jednocześnie dwie kule. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych wynosi. Ile kul znajduje się w pojemniku? Zad.77 W urnie jest kul, 7 białych i 5 czarnych. Losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że : a wylosowano kule tego samego koloru b wylosowano drugą kulę czarną c wylosowano drugą białą pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną Zad.77 Mamy dwie urny, w jednej z nich są dwie kule białe i osiem czarnych, a w drugiej jest osiem białych i trzy czarne. Z losowo wybranej urny wybieramy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że : a wyciągniemy kulę białą b losowano z pierwszej urny, jeżeli otrzymano kulę białą Mirosław Gil 65

66 Zad.77 Trzej strzelcy A, B, C strzelają jednocześnie do tej samej tarczy. Strzelec A trafia z prawdopodobieństwem 0,8; strzelec B 0,6; strzelec C 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo, że : a tarcza zostanie co najmniej raz trafiona b tarcza zostanie dokładnie dwa razy trafiona Zad.77 W windzie znajduje się 0 osób. Na ile sposobów mogą one wysiąść na piętrach? Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda osoba wysiadła na innym piętrze. Zad.775 Z urny zawierającej m kul białych i n kul czarnych wyjęto jedną kulę i odłożono nie oglądając jej. Następnie z urny wylosowano kule. a Dla m = 0 i n = obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania trzech kul białych. b Dla m = 0 i n = obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych i jednej czarnej, jeżeli wyjęta na początku kula była czarna. c Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęta na początku kula była biała, jeżeli wiadomo, że trzy wylosowane kule są białe? Zad.776 Sondaż przeprowadzony w pewnym mieście na temat budowy obwodnicy dał następujące wyniki : 60% badanych wypowiedziało się przeciw tej budowie, a wśród nich 70% handlowców. Natomiast wśród zwolenników tego przedsięwzięcia było 0% handlowców. a Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest handlowcem i zwolennikiem obwodnicy. b Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana w tym mieście osoba jest handlowcem. c Losowo wybrana osoba stwierdziła, że jest handlowcem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że popiera ona budowę obwodnicy. Zad.777 Na ile sposobów można rozmieścić koszule w 6 szufladach? Oblicz prawdopodobieństwo tego, że każda koszula jest w innej szufladzie. Zad.778 Oblicz ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta, a pozostałe nieparzyste. Zad.779 Oblicz ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki. (odp Zad.779 Wykaż, że liczba jest podzielne przez 7. Zad... Oblicz ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz cyfra 5. Zad.,,,, Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60. Zad.780 W urnie jest 6 kul, 0 białych i 6 czarnych. Losujemy bez zwracania dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że : a wylosowano kule różnych kolorów b wylosowano drugą kulę białą c wylosowano drugą czarną pod warunkiem, że za pierwszym razem wylosowano kulę czarną Zad.78 Mamy dwie urny, w jednej z nich są kule białe i 6 czarnych, a w drugiej jest 0 białych i czarne. Z losowo wybranej urny wybieramy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że : a wyciągniemy kulę czarną b losowano z drugiej urny, jeżeli otrzymano kulę czarną Zad.78 Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu parzystej liczby oczek na pierwszej kostce, B zdarzenie polegające na nieparzystej liczby oczek na drugiej kostce, C parzystej liczby oczek na obydwu kostkach. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne? Zad.78 W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyjęto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Mirosław Gil 66

67 Prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosowano dwie skarpetki koloru zielonego jest o prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Ile skarpetek było w szufladzie? mniejsze od Zad.78 Rzucamy trzy razy dwiema symetrycznymi monetami. a oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dwa razy orła na obydwu monetach Zad.785 W pierwszej loterii jest n ( n > losów, w tym jeden los wygrywający. W drugiej loterii n losów, w tym dwa wygrywające. W której loterii należy kupić dwa losy, aby mieć większą szansę wygranej? Odpowiedź uzasadnij. Zad.786 W szkolnej wycieczce bierze udział 6 uczniów, wśród których tylko czworo zna okolicę. Wychowawca chce wybrać w sposób losowy osoby, które mają pójść do sklepu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród trzech wybranych osób będą dokładnie dwie znające okolicę. Zad.787 Niech A, B będą podzbiorami Ω, takimi, że rozłączne. 5 P ( A oraz P( B 7. Zbadaj, czy zdarzenia A i B są Zad.788 Telewizja ma nadać pięć reklam: trzy reklamy różnych proszków oraz dwie reklamy różnych past. Kolejność nadawania reklam jest ustalana losowo. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwie reklamy produktów tego samego rodzaju produktów nie będą nadane jedna po drugiej. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zad.789 Do zawodów zgłosiło się 6 uczniów, wśród których było dwóch faworytów. Organizatorzy zamierzają podzielić zawodników na dwie jednakowo liczna grupy, niebieską i żółtą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że faworyci tych zawodów nie spotkają się w tej samej grupie. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego. Zad.790 Spośród wierzchołków sześcianu wybieramy jednocześnie trzy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy wierzchołki trójkąta równobocznego. Zad.79 Wśród 0 uczniów, dziewięciu obejrzało film. Wychowawca zamierza wylosować czterech uczniów, których zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych uczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał. Zad.79 Na stole leżało banknotów: o nominale 00 zł, o nominale 50 zł i 0 o nominale 0 zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 0 zł. Zad.79 Ze zbioru Z = {,,,..., n + },gdzie n N + wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było większe niż 7. Zad.79 Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Kierowcy A spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów, kierowcy B w 0% jego kursów, a kierowcy C w 50%. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadził kierowca A, dwa razy B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się autobusu w losowo wybrany dzień. Zad.795 Skreślamy w Epres Lotku 5 spośród liczb. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia co najmniej spośród 5 wylosowanych liczb. Wynik podaj z dokładnością do 0,0000. Zad.796 W urnie U jest pięć żetonów o numerach od do 5. W urnie U są cztery żetony o numerach od do. Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą. Gdy dwa razy wypadnie reszka, to wybieramy urnę U, w przeciwnym wypadku urnę U. Z wybranej urny losujemy kolejno ze zwracaniem dwa żetony. Numer pierwszego, to cyfra dziesiątek, numer drugiego cyfra jedności dwucyfrowej liczby. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A liczba jest większa niż 5 oraz B liczba jest podzielna przez 6. Zad.797 W urnie pierwszej znajdują się 6 kul białych i czarnych. W urnie drugiej znajdują się kule białe i 7 czarnych. Marek rzuca kostką do gry i jeśli wyrzucona liczba oczek jest podzielna przez, to losuje dwie kule z urny pierwszej, w przeciwnym razie losuje dwie kule z urny drugiej. Wojtek wrzuca kule z obu urn do pustego pudełka i z niego losuje dwie kule. Który z chłopców z większym prawdopodobieństwem wylosuje dwie kule białe? Mirosław Gil 67

68 Mirosław Gil 68 Zad.798 Z urny zawierającej 0 kul białych i 5 czarnych dwukrotnie losujemy po jednej kuli. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kul o różnych kolorach, a B zdarzenie wylosowane kule są w tym samym kolorze. Oblicz P(A i P(B wiedząc, że losowanie kul odbywa się ze zwracaniem. Ile kul czarnych należy dodać do urny, aby P(A = P(B, gdy losujemy kule bez zwracania? Zad.799 W urnie znajdują się kule białe i czarne. Wszystkich kul jest. Z urny losujemy równocześnie kule. wiadomo, że kul białych jest razy więcej niż czarnych. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul tego samego koloru. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli czarnej wynosi 0. Wyznacz liczbę kul czarnych w urnie. Zad.800 Para (Ω,P jest przestrzenią probabilistyczną, a A Ω i B Ω są zdarzeniami niezależnymi. Wykaż, że jeżeli P(A B =, to jedno z tych zdarzeń jest zdarzeniem pewnym. Zad.80 Przy danych ( ', (, ( 5 (, (, ( A B P B A P B P oblicz B A P B A P A P Zad.80 Przy danych ( ', (, ( 6 5 (, ' (, ' ( A B P B A P B A P oblicz B A P B P A P Zad.80 Przy danych ' (, ( (, (, ( ( B A P B P oblicz B A P B A P A B P B A P Zad.80 Przy danych ' (, ( (, ' ' (, ' ( B A P B P oblicz B A P B A P A P Zad.805 Przy danych ' (, (, (, ( ( A P A P oblicz B A P B A P B P Zad.806 Przy danych (, ( ', ( ' ' (, 5 (, ' ( A B P B A P B P oblicz B A P B A P A P Zad.807 Wykaż, że gdy ( (, (, ( B A P oraz B A P to B P A P Zad.808 Wykaż, że gdy ( (, (, ( B A P oraz B A P to B P A P Zad.809 Wykaż, że gdy ( 0 ( 6, (, ( A B P oraz B A P to B P A P Zad.80 Walczą dwie florecistki: A i B. Zwycięży ta, która jako pierwsza uzyska 5 trafień. Prawdopodobieństwo trafienia przez zawodniczkę A wynosi 5/9, przez B /9. Jakie jest prawdopodobieństwo zwycięstwa florecistki B, jeżeli prowadzi ona :. ( odp. 0,6, skorzystaj z drzewka Zad.8 Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. a oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia trzy razy orła b oblicz najbardziej prawdopodobną liczbę orłów w czterech rzutach Zad.8 Rzucamy trzykrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: A na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek B suma kwadratów licz wyrzuconych oczek będzie podzielna przez.

69 Zad.8 Z szuflady, w której znajduje się 0 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery rękawiczki. Opisz zbiór zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie pary; B - wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para. Zad.8 Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy trzy różne liczby. jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma jest liczbą parzystą? (odp. 0,5 Suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane liczby są parzyste? (odp. 0, Zad.85 Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, że 0 mężczyzn na 000 i kobiety na 500 posiada wadę wymowy. Spośród 0 losowo wybranych osób 0 kobiet i 0 mężczyzn wybrano ( także losowo jedną osobę i okazało się, że nie posiada ona wady wymowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna? (odp. 70/ Zad.86 Ośmioosobową grupę przedszkolaków pani ustawia w sposób losowy w pary (jedna za drugą. Oblicz prawdopodobieństwo, że ustalona dwójka dzieci: a będzie stała ze sobą w jednej parze b nie będzie stała ze sobą w jednej parze Zad.87 Trzyosobowa komisja kwalifikuje pisarzy do finału literackiej nagrody Nike. Pisarz zostaje zakwalifikowany, gdy wszyscy członkowie komisji zgodnie poprą jego kandydaturę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu kandydatów przynajmniej jeden zostanie zakwalifikowany do finału? Zad.88 Za pomocą cyfr,,,,5,6 ułożono wszystkie możliwe liczby sześciocyfrowe o różnych cyfrach. Uzasadnij, że suma tych liczb jest podzielna przez 7. Zad.89 PIN w telefonie to ciąg czterech cyfr. Ile jest wszystkich różnych czterocyfrowych kodów PIN, takich, że trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Zad.80 Ze zbioru liczb {,,,,n+} losujemy dwie liczby. Przez A n oznaczamy takie zdarzenie, że suma wylosowanych liczb jest parzysta. a oblicz prawdopodobieństwo P(A n b oblicz lim P( A n n Zad.8 Ze zbioru liczb {,,,,n+} losujemy dwie liczby. Przez A n oznaczamy takie zdarzenie, że iloczyn wylosowanych liczb jest liczbą parzysta. a oblicz prawdopodobieństwo P(A n b oblicz lim P( A n Zad.8 Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym n 0 n a n dla liczb naturalnych n >. Ze zbioru liczb {a ; a ; a ; ;a } losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowano liczby całkowite będące kolejnymi wyrazami ciągu malejącego. Zad.8 Gracz dysponuje symetrycznymi kostkami sześciennymi, których ścianki są oznaczone cyframi od do 6 i kostkami w kształcie czworościanu foremnego, których ścianki są oznaczone cyframi,,, 6. Wybiera dwie spośród swoich kostek i jeden raz wykonuje nimi rzut. Jakie kostki powinien wybrać gracz, aby prawdopodobieństwo zdarzenia A suma wylosowanych za pomocą obu kostek cyfr jest podzielna przez 6 było największe? Mirosław Gil 69

70 Trygonometria Sposoby rozwiązywania równań trygonometrycznych.. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą rozkładu na czynniki. Przykład: cos cos - cos = 0. Rozwiązanie: cos ( cos - = 0, stąd cos = 0 lub cos = /, co daje odpowiedź: dla k C = / + k lub = /6 + k. lub = - /6 + k.. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych jednorodnych. Przykład: cos + sin = 0. Rozwiązanie: Dzieląc obie strony równania sin = - cos dzieląc równanie przez cos (przy założeniu, że cos 0, otrzymujemy tg = -, stąd = - / + k, a zatem = - / + k /, k C.. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą wprowadzenia pomocniczego argumentu. Przykład: sin + cos = Rozwiązanie: ( / sin + / cos = sin cos / + cos sin / =, a zatem sin( + / =, stąd + / = / + k, czyli = / + k, k C.. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą zamiany sumy funkcji trygonometrycznych na iloczyn. Przykład: cos + sin - sin = 0 Rozwiązanie: cos + ( sin - sin = 0, stąd po zastosowaniu wzoru na sin - sin y, otrzymujemy cos + ( - sin cos = 0, cos ( - sin = 0, cos = 0 lub sin = /, co daje rozwiązania = /6 + k / lub = /6 + k lub = 5 /6 +k, k C. 5. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą zamiany iloczynu funkcji trygonometrycznych na sumę. Przykład: sin 5 cos = sin 6 cos. Rozwiązanie: ( sin 8 + sin = ( sin 8 + sin, stąd sin - sin = 0, - sin cos = 0, otrzymujemy zatem proste do rozwiązania równania: sin = 0 lub cos = 0. = k k k 6 Mirosław Gil 70

71 6. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych podwojonego i potrojonego argumentu. Przykład: sin = cos. Rozwiązanie: sin cos - cos = 0 cos ( sin - = 0, stąd cos = 0 lub sin = /. 7. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych metodą wprowadzenia pomocniczej niewiadomej. Przykład: sin + cos + = 0. Rozwiązanie: sin + - sin + = 0, - sin + sin + = 0, podstawiając sin = t, gdzie t [-, ] otrzymujemy równanie kwadratowe - t + t + = 0, stąd po rozwiązaniu otrzymujemy sin = -. Mirosław Gil 7

72 Zad.8 W pewnym trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa. Oblicz iloczyn sinusów tych kątów. tg ctg Zad.85 Oblicz wartość wyrażenia, jeżeli sin ; 80 0 ; sin cos 5 sin cos Zad. Kąt α jest ostry i. Oblicz wartość wyrażenia sinαcosα. cos sin Zad.86 Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α, wiedząc, że tgα =,. Zad.87 Dany jest kąt α taki, że 0 0 < α < 60 0, sinα < 0 oraz tgα = sin α + cos α.oblicz tgα. Zaznacz w układzie współrzędnych kąt α i podaj współrzędne dowolnego punktu, różnego od początku układu współrzędnych, który leży na ramieniu końcowym tego kąta. Zad.88 Wiedząc, że tgα =, oblicz wartość wyrażenia cos sin cos 5sin. 0 Zad. 89Sprawdź tożsamość tg tg90 tg tg Zad.80 Wykaż, że zachodzi równość tg7 0 tg7 0 = cos cos 6 0 Zad.8 Wyznacz zbiór wartości funkcji f( = 5 sin + cos Zad.8 Znajdź taką liczbę k, aby dla pewnego kąta zachodziło: Zad.8 Narysuj wykres funkcji spełniona jest nierówność f( < 0. k k sin ; cos. 0 0 sin f ( w przedziale <-π; π>. Zapisz dla jakich liczb z tego przedziału sin Zad.8 Dane jest równanie postaci (cos (cos + p + = 0, gdzie p R jest parametrem. Dla p = wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału <0;5>. Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie ma w przedziale <-π; π > trzy rozwiązania. Zad.85 Wiedząc, że tg α = i α (0; π oblicz, bez użycia tablic i kalkulatora wartości sinusa i cosinusa. sin Zad.86 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( dla 0; ; tej funkcji. sin sin Zad.87 Rozwiąż równanie tg (sin cos + cos = 0 w przedziale < ; >. Zad.88 Rozwiąż równanie cos = cos w przedziale < 0; >. Zad.89 Sporządź wykres funkcji Zad.80 Rozwiąż równanie cos + 5 sin = 0. Zad.8 Dane są funkcje : tg ( dla ; tg f. Zad.8 Obliczyć sin, jeżeli sin = 0,8 i (0,π/ Zad.8 Obliczyć ctg 5 o +ctg75 o f ( cos i g(=sin. Rozwiązać równanie f ( g(..narysuj wykres Mirosław Gil 7

73 Zad.8 Wyznacz wszystkie wartości parametru α<0; >, dla których układ równań niewiadomymi i y nie ma rozwiązania. cos y sin 0 y cos z Zad.85 Rozwiąż równania : a sin = sin b tg 5 = tg c cos + cos 9 = 0 d cos ( π/6 cos ( + π/6 = 0 e cos sin = 0 f cos = cos + cos g cos = cos 5 i π π htg + ctg = sin i sin + cos = j cos sin + 0,75 > 0 cos sin cos k 0 0; π l (log cos < log cos ( cos i <0; π> m (log sin + log sin i <0; π> Zad.86 Rozwiąż równania : a cos cos = cos. b cos + sin = 0. c sin + cos = d sin = cos. e sin + cos + = 0. Zad.87 Oblicz sin 5 0, cos,5 0 Zad.88 Oblicz cos 8 Zad.89 Oblicz cos ; tg ; ctg, jeżeli sin,. Zad.850 Nie posługując się tablicami oblicz sin 7,5 o : cos 7,5 o Zad.85 Rozwiąż równania i nierówności a (sin - + (cos - = 8 b sin : cos = c cos (0,5 > d 6 sin + 6 cos e cos = sin f sin sin cos = cos w przedziale <0;π> PODSTAWOWE WZORY sin = sin cos cos = cos sin = cos = sin sin( + y = sin cosy + cos siny sin( y = sin cosy cos siny cos( + y = cos cosy sin siny cos( y = cos cosy + sin siny y y sin sin y sin cos y y sin sin y cos sin y y cos cos y cos cos y y cos cos y sin sin sin sin y cos( y cos( y cos cos y cos( y cos( y sin cos y sin( y sin( y tg tgy tg( y tgtgy ctgctgy ctg ( y ctg ctgy Zad.85 Rozwiązać układ równań tg tgy cos( y cos( y dla, y ; Mirosław Gil 7

74 Zad.85 Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji f ( sin cos Wskazówka Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(=a sin + b cos należy wykonać następujące przekształcenia : f ( a cos( b ; a a b to f ( sin a a b b b ; cos a b a b sin sin cos cos a b cos( ponieważ liczby a,b,c można potraktować jako długości boków trójkąta prostokątnego, gdzie c = a + b, a jednym z kątów ostrych jest kąt. Zad.85 Dana jest funkcja f ( = cos. a Rozwiązać nierówność f ( + f ( - > 0, dla [ 0, ]. b Rozwiązać równanie f ( / - + f ( - = 0. c Wyznaczyć zbiór wartości funkcji g ( = 6 f ( + 6 f ( -. Zad.855 Dla jakich wartości <0; 0,5π liczby cos ; cos + sin ; cos + sin są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego,w którym suma czterech pierwszych kolejnych wyrazów jest równa 6? Zad.856 Dane są funkcje f ( =sin i g( = cos. a W przedziale <- ;0> rozwiązać nierówność f(>0. 0 b Obliczyć wartość funkcji h( =. f( g(, dla argumentu =. c Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k R, dla których równanie ( k 0 Zad.857 Rozwiązać równanie ctg ctg = w przedziale (0,π. Zad.858 Oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania należących do przedziału -,. Zad.859 Narysuj wykresy funkcji: y = sin y = cos0,5 y = sin ( - / y = sin ( + / y = sin y = - ctg y = tg y = sin + sin y = sin + cos y = cos y = sin cos y = sgn ( sin g ma rozwiązanie. cos sin tg tg 0 Zad.860 Rozwiązać układ równań sin cos y y 6 Zad.86 Rozwiązać równanie cos = sin cos (/ + Mirosław Gil 7

75 Zad.86 Znajdź wszystkie rozwiązania równania tg ctg Zad.86 Nie posługując się tablicami wykaż, że tg 8 o 0 tg 7 o 0 = +. Zad.86 Rozwiąż równania i nierówności: a sin + cos = b sin + cos = ( cos -, < 0; π > c ctg - cos = - sin d cos e sin - cos = f sin cos = 0 g sin sin 0 = 0 h tg + ctg = 0 Zad.865 Rozwiąż równanie : cos sin cos sin 0 Zad.866 Narysuj wykres funkcji: a y = cos sin b y = cos + sin sin c y = cos ( - / d y = sgn ( cos e y = int ( sin f y sin Zad.867 Wykazać, że dla każdej wartości parametru R równanie kwadratowe + sin - cos = 0, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczyć te wartości parametru, dla których oba pierwiastki należą do przedziału (0,. Zad.868 Zbadaj, dla jakich wartości parametru k równanie sin Zad.869 Rozwiąż równanie ctg cos 0 Zad.870 Wykaż, że wyrażenie cos tg sin cos tg k k cos k nie jest tożsamością. ma rozwiązanie? Zad.87 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin cos sin cos 0 (wsk. / zapisz jako ½ + i skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia. Zad.87 wiedząc, że sin sin sin,, są kątami trójkąta prostokątnego, oblicz wartość wyrażenia Zad.87 Dane jest równanie sin = m +., z niewiadomą. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie nie ma rozwiązań. Zad.87 Miary pięciu kątów tworzą ciąg arytmetyczny. Drugim wyrazem tego ciągu jest 50 0, a czwartym Oblicz sumę sinusów tych pięciu kątów. Mirosław Gil 75

76 Zad.875 Narysuj wykresy odpowiednich funkcji, a następnie rozwiąż nierówność Zad.876 Rozwiąż równanie sin sin cos 6 Zad.877 Wyznacz wszystkie wartości parametru α<0; >, dla których równanie + cos α + cos α = 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że liczba leży między tymi pierwiastkami. Zad.878 Znajdź dziesięć najmniejszych dodatnich rozwiązań równania tg = sin 8 sin cos y 0 Zad.879 Wyznacz wszystkie rozwiązania układu równań sin cos y ; i y ;. Zad.880 Rozwiąż równania: a cos sin 6 spełniające warunek Zad.88 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (sin cos + m 5 = 0 z niewiadomą ma rozwiązania. Zad.88 Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji y = f(, otrzymanego z wykresu funkcji g( = sin w wyniku odpowiednich przekształceń. Znajdź wzór funkcji f i rozwiąż równanie f (. Mirosław Gil 76

77 Wielomiany Tw. Reszta z dzielenia wielomianu W( przez dwumian ( p wynosi W(p. Tw. Jeżeli = p jest pierwiastkiem wielomianu W(, to W( dzieli się bez reszty przez ( p. (i odwrotnie Tw. Jeżeli liczba p jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu, to jest też pierwiastkiem wszystkich pochodnych wielomianu do stopnia (k. Tw. Każdy wielomian W( można przedstawić w postaci W( = P(Q( + R(, gdzie R( jest resztą z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q i stopień R( jest co najwyżej o jeden niższy niż stopień Q lub R( jest wielomianem zerowym. Tw. 5 Jeżeli istnieją pierwiastki wymierne wielomianu W( = a n n + a n- n- + + a + a 0 to są one ułamkam, których licznik jest podzielnikiem a 0, a mianownik jest podzielnikiem a n. Tw. 6 Suma współczynników wielomianu W( = W( Zad.88 Wielomian czwartego stopnia ma cztery pierwiastki ; ; wielomianu przecina oś rzędnych w punkcie (0; -5. Wyznacz postać ogólną wielomianu. ;. Wykres tego Zad.88 Reszta z dzielenia wielomianu W( = + a + b przez dwumian + jest równa 9, a reszta z dzielenia przez jest równa 6. Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez +. Zad.885 Dany jest wielomian W( = + a + b + 0. a Liczby i są pierwiastkami tego wielomianu. Wyznacz a i b. b Dla a = 5 i b = 7 pierwiastkami wielomianu są liczby i 5. Oblicz trzeci pierwiastek wielomianu. Zad.886 Współczynniki a,b,c wielomianu W( = + a + b + c są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego. Reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian + jest równa, a reszta z dzielenia przez + jest równa. Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez. Zad.887 Znajdź wartości parametrów a i b, dla których pierwiastkiem wielomianu W( = a + b (a + + jest liczba, wiedząc, że przy dzieleniu wielomianu przez dwumian + 6 otrzymasz resztę. Zad.888 Pewien wielomian stopnia czwartego podzielny jest przez +, a jego pierwiastkami są liczby 6 oraz 6. Wiadomo też, że dla = 0 przyjmuje on wartość 0. Podaj wzór tego wielomianu. Zad.889 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( 6 Zad.890 Nie wykonując dzielenia znajdź resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q a W( = Q( = ( -( + b W( = 8 Q( = Zad.89 Dla jakich wartości a wielomian F jest podzielny przez dwumian P, gdy: F( = (a - (a + + (a + (a + 7 i P( = Zad.89 Dla jakich wartości parametrów a,b reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q jest równa R, gdy: a W( = + + a + b; Q( = + ; R( = b W( = a + b + ; Q( = + ; R( = + Zad.89 Dla jakich wartości parametrów a i b liczba jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W( = 5 + a + b 8? Zad.89 Dla jakich wartości parametrów a i b liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W( = 5 + a + b? Zad.895 Wielomian W( = + a + b + c jest podzielny przez trójmian + i przy dzieleniu przez dwumian + daje resztę -. Wyznacz współczynniki a,b,c. Mirosław Gil 77

78 Zad.896 Dla jakich wartości parametru m równanie m (m + + ( m = 0 ma rozwiązania, których suma jest dodatnia? Zad.897 Dla jakich wartości parametru m równanie 5 + ( m + (m = 0 ma :a pięć pierwiastków b dokładnie trzy pierwiastki c tylko jeden pierwiastek 0 Zad.898 Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie m 5 m posiada cztery różne rozwiązania. Zad.899 Dla jakich wartości parametru m zbiór rzeczywistych rozwiązań równania m - (m + + = 0 jest dwuelementowy? Zad.900 Dany jest wielomian W ( = + (a + b. a Dla a = i b = 0 rozwiązać nierówność W ( 0. b Wiedząc, że miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby i (- obliczyć a i b. c Wielomian W ma trzy różne pierwiastki. Jednym z nich jest liczba 0, dla jakich wartości parametrów a i b dwa pozostałe pierwiastki są ujemne? Zad.90 Dany jest wielomian: W(= +(m-6 +(m-7. Dla jakich wartości parametru m należące do zbioru liczb rzeczywistych R [m R] pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny? Zad.90 Dany jest wielomian W(= +k ++p. a Rozwiązać równanie W(=0 jeśli W(=6 i W(=8. b Dla k=p=0 rozwiązać nierówność W(+ 0. c Wyznaczyć wartość parametrów k i p wiedząc, że liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W. Zad.90 Rozwiąż równania a = 0 b = 0 Zad.90 Rozwiąż nierówności a + 0 b Zad.905 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie m 6m + m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste i takie, że ( < 8(m +. (odp. (0; (; Mirosław Gil 78

79 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zad.906 Nie wykonując dzielenia znajdź resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q a W( = Q( = b W( = 6 Q( = ( -( + ( - Zad.907 Dla jakich wartości a wielomian F jest podzielny przez dwumian P, gdy: F( = (a + +,5 + a i P( = Zad.908 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian W( = m + m ma trzy różne pierwiastki. Zad.909 Podaj dla jakiej wartości parametru p proste: y p + = 0 oraz + y p + p + = 0 przecinają się w punkcie należącym do wnętrza prostokąta o wierzchołkach A(; -, B(0; -, C(0;, D(;. Zad.90 Dla jakich wartości parametrów a,b reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q jest równa R, gdy: a W( = a + + (a b + 0; Q( = + 6; R( = + b W( = + (a + b + + (a b 5; Q( = + ; R( = Zad.9 Wyznacz sumę współczynników wielomianu W( = ( 5 + Zad.9 Wielomian W( = + a + b jest równy wielomianowi T( = ( ( c, gdzie c. Wyznacz wartości współczynników a, b, c. Rozwiąż nierówność T( < 0. Zad.9 Jeżeli liczby ;;- są miejscami zerowymi wielomianu W( = a + b + c + d, gdzie a 0 oraz w( =, to współczynnik a można wyznaczyć w następujący sposób: Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej: W( = a(-(-(+ i wykorzystując warunek W( = otrzymujemy równanie = a(-(-(+, stąd a = 0,. Postępując analogicznie, wyznacz współczynnik a wielomianu W( = a + b + c + d, wiedząc, że jego miejsca zerowe to ; ; - oraz W(- =. Zad.9 Dany jest wielomian w( = + a + b. a Dla a = 0 i b = 0 rozwiąż równanie W( = 0 b Dobierz tak wartości a i b, aby wielomian W( był jednocześnie podzielny przez oraz przez +. Zad.95 Poniższy rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji wielomianowej w( stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi są liczby (- i. Wykres przecina oś rzędnych w punkcie (0;. Wyznacz wzór tego wielomianu Zad.96 Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W( = przez dwumian ( +. Mirosław Gil 79

80 Zad.97 Reszta z dzielenia wielomianu W przez trójmian 5 jest równa. Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez dwumian. Zad.98 Dane są zbiory Wyznacz zbiór C A B B A : : R C : R 6 R Zad.99 Wielomian W przy dzieleniu przez,,, daje odpowiednio reszty z dzielenia,,. Wyznacz resztę z dzielenia W przez iloczyn ( -( - ( -. Zad.90 Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q określony wzorem Q( = + + wynosi Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez. Zad.9 Dla jakich wartości parametrów a i b liczba jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W( = a + b? Zad.9 Dla jakich wartości parametru m wielomian W( = m ma pierwiastek trzykrotny? Zad.9 Dla jakich wartości parametru m równanie m + (m + 6m + (m + 6=0 ma trzy różne pierwiastki? Zad.9 Wyznacz liczbę pierwiastków równania ( ((m + 6m + m = 0 w zależności od parametru m. Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania. Zad.95 a Dla jakich wartości parametru m należącego do zbioru liczb rzeczywistych równanie: -6 -m-5=0 jest spełnione przez dokładnie dwie różne liczby rzeczywiste? b Pary (,y liczb całkowitych, spełniające równanie: - y+y-y =5 są współrzędnymi wierzchołków pewnego wielokąta wypukłego. Oblicz pole tego wielokąta. Zad.96 Dany jest wielomian W(= -m+m -m+. Dla jakich wartości parametru m wielomian ten ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest o jeden większa od ich iloczynu? Zad.97 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie ( (k + k k( (k + + k + k = 0 ma trzy różne rozwiązania. Zad.98 Rozwiąż równania a + + = 0 b = 0 Zad.99 Liczby i są pierwiastkami wielomianu W( = + a + b + 0. Wyznacz współczynniki a i b oraz trzeci pierwiastek wielomianu. Zad.90 Rozwiąż nierówności a b Zad.9 Wielomian P( = + 0 rozłóż na czynniki liniowe. Zad.9 Rozwiąż nierówność 9 + < 0 Zad.9 Przedstaw wielomian W( = + w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden. Zad.9 Pierwiastkami równania + p + p są dwie różne liczby,. Stosując wzory Viete a zbadaj, czy istnieje taka wartość p, przy której wyrażenie ( + ( + osiąga wartość. Zad.95 Liczby ; + ; są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz. 0 Mirosław Gil 80

81 Zad.96 Liczby a, b, c są w podanej kolejności wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie równym (-. Wielomian W jest określony wzorem W( = + a + b + c. Wiedząc, że W( = - oblicz resztę z dzielenia wielomianu W( przez dwumian +. Zad.97 Wielomian o współczynnikach całkowitych W zmiennej z parametrami m i n W ( ( m n ( n. Wyznacz wartości m i n, dla których dany wielomian ma dwa różne pierwiastki całkowite. Zad.98 Dla jakich wartości parametru m funkcja f( = ( m m + m 5 przyjmuje wartości ujemne dla wszystkich liczb rzeczywistych? Zad.99 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y = + m jest styczna do okręgu o równaniu + y =. Zad.90 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie + 5 = m ma dokładnie dwa rozwiązania. Zad.9 Podaj wzór oraz sporządź wykres funkcji y = f(m, gdzie f(m oznacza liczbę pierwiastków równania m m 8 m m w zależności od parametru m. 0 Zad.9 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie + ( m + m + m = 0 ma dokładnie trzy rozwiązania. Zad.9 Wielomian f jest określony wzorem f( = a b dla pewnych liczb pierwszych a oraz b. Wiadomo, że jest pierwiastkiem tego wielomianu. Oblicz a i b. Zad.9 Wyznacz dziedzinę funkcji a f ( 6 5 Zad.95 Wykres funkcji wielomianowej czwartego stopnia jest symetryczny względem osi rzędnych i przechodzi przez punkt P = (0;, natomiast styczna do wykresu w punkcie Q = (; 0 jest równoległa do osi odciętych. Znajdź wzór, którym ta funkcja jest określona i naszkicuj jej wykres. Zad.96 Rozwiąż nierówność + 8 < 0 Zad.97 Dla jakich wartości parametru m wielomian W( = ( + ( + m ( + m 5 ma pierwiastek potrójny? Dla najmniejszej z wyznaczonych wartości m rozwiąż nierówność W( < 0. ( odp. -; -; ; 5 Zad.98 Dla jakich m równanie = m ma trzy różne pierwiastki. Zad.99 Dla jakich m jedynym rozwiązaniem równania + m m = 0 jest liczba? (pochodna Mirosław Gil 8

82 liczba uczniów Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil Statystyka Zad.950 Oceny Ewy z dziewięciu obowiązkowych przedmiotów to,5,,,,5,,,5. Gdyby do średniej wliczyć ocenę z języka francuskiego dodatkowego, to średnia ocen wzrosłaby o 0,. Jaką ocenę dostała Ewa z języka francuskiego? Zad.95 Janek ma następujące oceny: 5;5;;;;;. Oblicz średnią ocen, wariancję i odchylenie standardowe. Wyniki podaj z dokładnością do 0,0. Zad.95 Pewną grupę dzieci zapytano o liczbę i płeć ich rodzeństwa. Wyniki przedstawiono w tabeli. Imię Liczba dziecka rodzeństwa Liczba rodzeństwa płci męskiej płci żeńskiej Kasia 0 Gosia 0 Zosia Basia 0 Maciej 0 0 Filip Wojtek 0 0 Bartek a oblicz, ile wynosi średnia liczba dzieci w tych rodzinach b oblicz, ile jest równa średnia liczba chłopców w tych rodzinach c jaki procent wszystkich zapytanych dzieci stanowią jedynacy? d Ile wynosi mediana liczby dzieci w tych ośmiu rodzinach? Zad.95 W konkursie wiedzy o ekologii brało udział 7 uczniów. Maksymalnie można było zdobyć 7 punktów. Na diagramie przedstawiono wyniki 5 uczniów. Popraw diagram tak, aby przedstawiał wyniki wszystkich uczniów. Wiadomo, że wyniki pozostałych uczniów nie zmienią mediany, a średnia arytmetyczna wyników będzie równa oraz, że maksymalną liczbę punktów otrzymało dwóch uczniów. Uzasadnij odpowiedź liczba punktów Zad.95 Mateusz przez 7 dni mierzył temperaturę powietrza i zapisywał wyniki tych pomiarów. Pierwszego dnia zmierzył temperaturę 0 C. Na diagramie przedstaw wynik pierwszego pomiaru. Uzupełnij diagram wiedząc, ze temperatury w kolejnych dniach zmieniały się następująco ( w stosunki do dnia poprzedniego : drugiego dnia temperatura zmalała o wartości, trzeciego zmalała o połowę, czwartego wzrosła o 0 C, piątego ponownie zmalała o wartości, szóstego zmalała o 5% wartości, a siódmego wzrosła czterokrotnie. a oblicz średnią temperaturę zmierzoną przez Mateusza. b oblicz odchylenie standardowe pomiarów Mateusza. Wynik podaj z dokładnością do 0,0. Mirosław Gil 8

83 liczba pracowników Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil Zad.955 W tabeli przedstawiono liczby bramek, które padały w meczach międzyszkolnych w piłce ręcznej: Liczba bramek Liczba meczy a sporządź diagram słupkowy ilustrujący wyniki tych rozgrywek b oblicz średnią liczbę bramek przypadającą na jeden mecz c oblicz odchylenie standardowe liczby bramek w tych rozgrywkach. Wynik podaj z dokładnością do 0,0. Zad.956 W pewnej firmie pracownicy są zaszeregowani do trzech grup uposażeń. Liczbę pracowników i płace(w euro w poszczególnych grupach przedstawia diagram słupkowy. Wyznacz średnią płacę miesięczną w tej firmie płaca(w euro oblicz wariancję i odchylenie standardowe miesięcznej płacy w tej firmie. Odchylenie podaj z dokładnością do 0,. Zad.957 Kostka masła ma nominalną wagę 0 dag. W czasie kontroli zważono 50 kostek. Wyniki przedstawiono w tabeli: Masa kostki[dag] Liczba kostek a Oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła b Kontrola wypada pozytywnie, jeśli średnia masa kostki jest równa masie nominalnej i odchylenie standardowe nie przekracza dag. Czy kontrola wypadła pozytywnie? Odpowiedź uzasadnij. Zad.958 W pewnej szkole po pierwszym półroczu przeprowadzono test. Tabela przedstawia zestawienie wyników tego testu Ocena 5 6 Liczba uczniów a sporządź diagram słupkowy przedstawiający wyniki testu b oblicz średnią uzyskanych ocen c podaj medianę i dominantę d oblicz wariancję i odchylenie standardowe e oblicz ilu uczniów uzyskało ocenę wyższą od średniej oceny. Zad.959 W pewnej szkole przeprowadzono ankietę jak często uczniowie chodzili do teatru. Liczba pobytów 5 6 w teatrze Liczba uczniów 6 7 a sporządź diagram słupkowy przedstawiający te dane b oblicz średnią arytmetyczną pobytów w teatrze przypadającą na jednego ucznia oraz oblicz ile procent uczniów bywa w teatrze rzadziej niż wynosi średnia c podaj medianę i dominantę d oblicz odchylenie standardowe Mirosław Gil 8

84 liczba uczniów Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil Zad.960 W pewnej firmie zatrudniającej 00 osób, zarobki kształtują się następująco: Kwota [zł] Zatrudnieni [%] a jaka jest mediana zarobków w tej firmie? b po zatrudnieniu dwóch nowych pracowników na jednakowo opłacane stanowisko średnia arytmetyczna zarobków w tej firmie zmalała o,6zł. Jakie wynagrodzenie otrzymali nowi pracownicy? Zad.96 Na wykresie przedstawiono, za którym razem uczniowie pewnej klasy maturalnej zdali egzamin na prawo jazdy. Oblicz średnią liczbę prób, wariancję, odchylenie standardowe. Podaj dominantę i medianę liczba prób Mirosław Gil 8

85 Pochodna Zad.96 Dana jest funkcja f ( a zbadaj parzystość funkcji f b podaj równania asymptot wykresu c określ przedziały monotoniczności d wyznacz ekstrema e naszkicuj wykres Zad.96 Ile jest takich stycznych do wykresu funkcji kierunkowy równy 8? Podaj równania tych stycznych. f (, które mają współczynnik Zad.96 Określ przedziały monotoniczności wielomianu W( = + m + m w zależności od parametru m. Zad.965 Dobierz tak współczynniki a,b,c we wzorze funkcji f( = + a + b + c, aby spełnione były jednocześnie dwa warunki: - wykres funkcji f przecina się z wykresem funkcji f w punkcie (-; - najmniejszą wartością funkcji f jest. Zad.966 Mówimy, że wykresy funkcji są styczne, jeżeli mają wspólną styczną w swoim wspólnym punkcie. Narysuj parabole y = 8 7 i y = 0,5 i sprawdź, czy są one styczne. Zad.967 Poprowadzono styczną do krzywej a f (, a > 0 w dowolnym punkcie tej krzywej o dodatniej odciętej. Wykaż, że pole trójkąta ograniczonego tą styczną i osiami układu współrzędnych jest równe 9 dla 0 = a. Zad.968 Wyznacz maksymalne przedziały, w których funkcja przedziale (;? Odpowiedź uzasadnij. Zad.969 Sprawdź, że jeżeli <0; >, to 0 Zad.970 Wykaż, że jeżeli >, to 005 > 005(.. ( 5 f jest malejąca. Czy funkcja jest rosnąca w Zad.97 Wyznacz liczbę ekstremów funkcji f( = a b w zależności od parametrów a i b. Zad.97 Szklanka ma kształt walca o objętości 0, litra. Jakie wymiary powinien mieć ten walec, aby zużyto na walec jak najmniej szkła? Zad.97 Funkcja f ma następujące własności: a jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, b f jest funkcją nieparzystą, c f jest ciągła oraz: d f < 0 dla (-8; - e f > 0 dla (-; - f f < 0 dla (-; 0 g f (- = f (- = 0 h f(-8 = 0 i f(- = - j f(- = 0 k f(- = W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj wykres funkcji f w przedziale <-8; 8>. Mirosław Gil 85

86 Zad.97 Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych o objętości równej m istnieje taki, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Wyznacz długości krawędzi takiego graniastosłupa. Zad.975 Wyznacz współczynniki funkcji y = - + b + c tak, aby funkcja ta dla = - osiągała maksimum o wartości. Zad.976 Dla jakich wartości k funkcja f( = k sin 0,5 cos ma lokalne ekstremum w =/? Zbadaj czy to jest maksimum czy minimum. Zad.977 Zbadaj liczbę rozwiązań równania = m w zależności od parametru m R. Sporządź wykres funkcji k = f(m i zbadaj jej ciągłość: Zad.978 Dla jakich wartości parametru m funkcja f( = + 5m + 5( m + nie ma ekstremum? Zad.979 Dla jakich wartości parametru m funkcja f( jest rosnąca w zbiorze R? m f ( ( m Zad.980 Narysuj wykres dowolnej funkcji w przedziale -; 5, spełniającej warunki :f(- = - ; f(- = ; f (- = 0; f( = - ; f ( 0 dla ( - ; - ; f ( 0 dla ( - ; ; f ( = 0 dla (;5. Zad.98 Dla jakich wartości parametrów m i k funkcja f( jest ciągła w punkcie =? f ( m k dla dla Zad.98 Dla jakich wartości m funkcja f( osiąga ekstremum w punkcie =? Zbadaj, czy to jest maksimum, czy minimum. f ( m Zad.98 Zbadaj ciągłość i różniczkowalność funkcji w zbiorze R f ( dla dla 0; ;0 ; Mirosław Gil 86

87 Zadania na dowodzenie Zad.98 W trójkącie ABC ( BCA = 90 0 dane są długości przyprostokątnych: BC = a i CA = b. Dwusieczna kąta prostego ab a b tego trójkąta przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D. Wykaż, że CD jest równa. Zad.985 Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się. Zad.986 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja f( = ( a( b + ( b( c + ( a( c ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Zad.987 Wykaż, że jeżeli k > 0, to równanie + k( = 0 ma dwa pierwiastki. Zad. 988 Przeprowadź dyskusję istnienia liczby rozwiązań równania : = p p; a + a = a; a + = a; c b = a; a( = b( +. Zad.989 Przeprowadź dyskusję istnienia liczby rozwiązań układu równań: ay ; a y y a ; m y 0 ay. y b Zad.990 Wykaż, że jeżeli > 0 i y > 0 oraz + y = 5, to y < Zad.99 Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wykaż, że SA SD = SB SC. Zad.99 Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że EC = CD i EB = BA. Wykaż, że kąt AED jest prosty. Zad.99 Udowodnij twierdzenie o podziale boku trójkąta dwusieczną kąta wewnętrznego: Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli bok przeciwległy temu kątowi na odcinki proporcjonalne do boków przyległych, czyli (stosując oznaczenia AD AC jak na rysunku. Jeżeli ACD BCD, to. DB CB W dowodzie posłuż się twierdzeniem Talesa, wcześniej jednak przedłuż odcinek AC do punktu przecięcia się z prostą równoległą do półprostej CD i przechodzącą przez punkt B. Zad. 99 Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkt E,F,D, że AE = BF = CD =⅓ AB. a udowodnij, że trójkąt EFD jest równoboczny b udowodnij, że DE AB, EF BC, DF AC. Mirosław Gil 87

88 Zad.995 Prosta k równoległa do boku AB trójkąta ABC przecina boki AC oraz BC odpowiednio w punktach D i E. Wiadomo, że pole trójkąta DEC wynosi cm, zaś pole trapezu ABED jest równe 8 cm. Wykaż, że AD. DC Zad. 996 Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, punkty A, B, C są odpowiednio środkami boków BC, AC, AB, zaś punkty K, L, M środkami odcinków SA, SB, S.C. Wykaż, że trójkąt KLM jest przystający do trójkąta A B C. Zad. 997 W trójkącie ABC dwusieczna kąta B przecina bok AC w punkcie M. Przez punkt M prowadzimy prostą równoległą do BC, przecinającą bok AB w punkcie N. Udowodnij, że MN = BN. Zad. 998 Kąty ABC i DBC są przyległe. Poprowadzono dwusieczne tych kątów oraz prostą równoległą do prostej AD, która przecina te dwusieczne odpowiednio w punktach E i F, zaś ramię BC w punkcie K. Udowodnij, że EK = KF. Zad. 999 W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek B i odłożono taki odcinek BD, że BD = BC. Następnie połączono punkty C i D. Wykaż, że CDA 0, 5CBA. Zad.000 Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono odcinki MD oraz MS, prostopadłe odpowiednio do AC oraz AB. Udowodnij, że MD + MS = AB. Mirosław Gil 88

89 Zad.00 Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego do przeciwprostokątnej BC, poprowadzono DM SM odcinki MD i MS, prostopadłe odpowiednio do AC oraz AB. Udowodnij, że. AB AC Zad.00 W trójkącie prostokątnym ABC Przedłużono przeciwprostokątną AB i tk obrano na przedłużeniach punkty D i E, że AD = AC oraz BE = BC. Udowodnij, że CDA =5 0. Zad.00 Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P. Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej. Zad.00 W okręgu poprowadzono średnicę AB i równoległą do niej cięciwę CD. Udowodnij, że 0 ACD CDA 90. Zad. 005 Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych, z których najmniejszą jest liczba k, gdzie k jest liczbą całkowitą, podzielona przez daje resztę. Zad. 006 Wykaż, że jeśli jest liczbą całkowitą nieparzystą, to liczba postaci 6 + jest podzielna przez. Zad. 007 W trójkącie ABC długości boków wynoszą: AB = c, AC = b, BC = a, gdzie 0 < a < b < c. Pole trójkąta wynosi. Wykaż, że AC 6. Zad.008 W równoległoboku ABCD poprowadzono dwusieczne kątów wewnętrznych BAD i ADC, które przecięły się w punkcie M. Wykaż, że AMD jest prosty. Zad.009 Wykaż, że jeśli a > i b <, to 0,5ab + < b + a. Zad.00 Uzasadnij, że jeżeli a + b = i a + b = 7, to a + b =. Zad.0 Uzasadnij, że jeżeli (a + b (c + d = (ac + bd, to ad = bc. a a c b b c Zad.0 Uzasadnij, że jeżeli a b, a c, b c i a + b = c, to. Mirosław Gil 89

90 Zad.0 Wykaż, że jeżeli i y są liczbami różnymi od zera i y, to = y lub y =. y Zad.0 Wiadomo, że + y + = 0. Udowodnij, że wartość wyrażenia + y + y jest najmniejsza dla = y =. Zad.05 Wykaż, że jeśli > k, to wyrażenie + 5 k 5k przyjmuje tylko wartości dodatnie. Zad.06 Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k 6 k + k jest podzielna przez 6. Zad.07 W trapezie ABCD podstawy mają długości AB = a oraz CD = b, gdzie a > b > 0 oraz BAD ABC Środek M podstawy AB połączono ze środkiem N podstawy DC. Wykaż, że Zad.08 Wykaż, że dla dowolnego kąta α prawdziwa jest nierówność tg α + ctg α >. MN a b. Zad.09 W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD oraz CE, które przecięły się w punkcie M. Wiadomo, że 0 AD CE oraz MAC ACM 60. Wykaż, że pole trójkąta ABC wynosi. Zad.00 Udowodnij, że jeśli + = y + y, to = y lub y =. Zad.0 Wykaż, że jeśli a i b nie są równe zeru i a + b 0 i a a b b, to a b. Zad.0 Udowodnij, że iloczyn cyfr dowolnej liczby czterocyfrowej jest mniejszy od tej liczby. Zad.0 Udowodnij, że zbiór wartości funkcji f ( 8 6, gdzie, jest dwuelementowy. Zad.0 Wykaż, że jeśli a b < 0 i a + b > 0, to a < b. Zad.05 Udowodnij, że jedynym rozwiązaniem równania + y + y + 7 = 0 jest para liczb (6;. Zad.06 Na bokach AC i BC trójkąta ABC tak wybrano punkty M i N, że MN AB oraz k, k 0; k S k trójkąta ABC wynosi S. Wykaż, że pole trójkąta MNC jest równe Zad.07 Wykaż, że dla liczb rzeczywistych a i b, gdzie a 0; b 0 i a + b 0 oraz a ab = ab b, to a b a b lub a b 0 a b. Zad.07 Długość aa boku rombu oraz długości jego przekątnych d i d spełniają warunek d d = a. Udowodnij, że kąt ostry α rombu spełnia warunek 0 < tgα <. Zad.08 W kole o promieniu r zaznaczono kąt środkowy AOB o mierze 0 0. Następnie poprowadzono styczne do okręgu w punktach A i B, które przecięły się w punkcie C. Wykaż, że odległość punktu C od środka O okręgu jest równa długości średnicy okręgu. Zad.09 Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną AB oraz AD = DB. Wykaż, że CDA = NC BN. Pole Mirosław Gil 90

91 Zad.00 Rzucono raz dwiema kostkami do gry. Rozważmy zdarzenia: A na co najmniej jednej kostce wypadło 6 oczek, B na każdej kostce wypadła parzysta liczba oczek. Wykaż, że P(A B = /6. Zad.0 W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC. Wykaż, że AB AC AD. Zad.0 Romb ABCD zawiera się w płaszczyźnie π. Przez środek symetrii rombu prowadzimy prostą p prostopadłą do płaszczyzny π. Na prostej p (poza płaszczyzną π wybieramy punkt M. Wykaż, że punkt m jest równo odległy od boków rombu. Zad.0 Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD. Uzasadnij, że MQ PN. Mirosław Gil 9

92 Zadania z informatora Zad. 0 Rozwiąż: a b c d 6 0 y 5 y Zad. 05 O funkcji liniowej f wiadomo, że f(= oraz, że do wykresu tej funkcji należy punkt P(-;. Wyznacz wzór funkcji f. Zad. 06 Oblicz miejsca zerowe funkcji Zad. 07 Narysuj wykres funkcji dla dla dla dla Zad. 08 Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji f( = 6 + w przedziale <0;>. Zad. 09 Wielomiany W(=a( + b i V(= + + są równe. Oblicz a i b. Zad. 00 Wyrażenie zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Zad. 0 Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = 0 i przechodzącej przez punkt P=(;. Zad. 0 Napisz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt S=(; -5. Zad.0 Wyznacz równanie okręgu o środku S=(; - 5 przechodzącego przez początek układu współrzędnych. Zad. 0 Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty: A(-;-; B(6;; C(7;0. Zad. 05 W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości i, jeden z kątów ostrych ma miarę α. Oblicz sinαcosα. Zad. 06 Kąt α jest ostry i sinα = 0,5. Oblicz + tg α. Zad. 07 Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC = BC. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że AB = AD = CD. Oblicz miary kątów trójkąta ABC. Zad. 08 Oblicz pole trójkąta równoramiennego ABC, w którym AB = i AC = BC =. Zad. 09 Liczby: a ; 0; c b 6; 0; c c c ; c; 5 są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz c. Zad. 050 Liczby 6; 0; c są długościami boków trójkąta prostokątnego. Oblicz c. Zad. 05 Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta ABD jest równy 6 cm, a obwód trójkąta BCD jest równy 6 cm. Oblicz długość przekątnej BD. Mirosław Gil 9

93 częstość Zbiór zadań maturalnych opracował Mirosław Gil Zad. 05 Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (a n określony wzorem a n = n n dla n >? Zad.05 Liczby ; -; 8 są w podanej kolejności pierwszym drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz. Zad.05 Wyrazami ciągu arytmetycznego (a n są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę. Ponadto a =. Oblicz a 5. Zad.055 Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy cyfry parzyste. ( zero jest liczbą parzystą? Zad.056 Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez 5 lub 0? Zad.057 Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o większa od cyfry jedności? Zad. 058 Na jednej prostej zaznaczono punkty, na drugiej cztery punkty. Ile jest trójkątów, których wierzchołkami są zaznaczone punkty? Zad. 059 Średnia arytmetyczna liczb ; ; ; 0; ; 0 jest równa. Oblicz. Zad. 060 Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na diagramie częstości. 50% 5% 0% 5% 0% 5% 0% 5% 0% 5% 0% 0 wartość Zad. 06 Oblicz medianę danych: 0; ; ; ; ; ; ;. Zad. 06 Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności: Wartość 0 liczebność Zad. 06 Ze zbioru liczb {; ; ; ; 5; 6; 7; 8; 9; 0; } wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez lub przez. Zad. 06 Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybierany losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 5. Zad. 065 Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5. Zad. 066 A i B są takimi zdarzeniami losowymi zwartymi w Ω, że Oblicz P( A B. Zad. 067 A i B są takimi zdarzeniami losowymi zwartymi w Ω, że i P(B = 0,7. Oblicz P( B A. A B oraz P(A = 0, i P(B = 0,. A B oraz P(A = 0, Zad. 068 Przekątna sześcianu ma długość 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu. Mirosław Gil 9

94 Zad. 069 Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości. Wysokość stożka jest równa 8. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka. Zad. 070 Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego płaszczyzną podstawy. Zad. 07 Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami. Udowodnij, że BP = DR Zad. 07 Na boku trójkąta ABC wybrano punkt D tak, by Udowodnij, że AC = CE. CAD ABC. Odcinek AE jest dwusieczną kąta DAB. Zad. 07 Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr ze zbioru {0; ; ; }. Zad. 07 Z pojemnika, w którym są dwa losy wygrywające i trzy losy puste, losujemy dwa razy po jednym losie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymamy co najmniej jeden los wygrywający. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego. Zad. 075 Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 8 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do A jedzie ze średnią prędkością mniejszą niż 5 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do B wyjeżdża o jedną godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca 9/ całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi prędkościami jechali rowerzyści? Zad. 076 Uczeń przeczytał książkę liczącą 80 stron, przy czym każdego dnia czytał taką samą liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o dni wcześniej. Ile dni uczeń czytał książkę? Zad. 077 Liczby a; b; c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb wynosi 9. Te same liczby w podanej kolejności są pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz a; b; c. Mirosław Gil 9

95 Zad. 078 Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że sum jego pierwszych pięciu wyrazów jest równa 0, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Zad.079 Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 0 oraz AC : AS = 0:. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zad. 080 Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD, odcinek EF jest wysokości ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że AE =5; BE =7. Zad. 08 Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym BC =0; AC =0; AB =50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM. Zad. 08 Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym ACDE. Punkt H leży na prostej AB i ACB EHA 90. Oblicz pole trójkąt HAE. oraz AC =5 i BC = zbudowano kwadrat Zad. 08 Wykaż, że prawdziwa jest nierówność Zad. 08 Udowodnij, że jeśli a, y są liczbami rzeczywistymi, to + y > y b, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że + y + z =, to + y + z > ⅓. Mirosław Gil 95