FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki"

Transkrypt

1 FUNKCJE ANALITYCZNE WYK LADY DLA SEKCJI TEORETYCZNEJ INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2007 Zbigniew B locki Typeset by AMS-TEX

2 2 ZBIGNIEW B LOCKI Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 1 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych 4 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych 8 4. Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Wzór ca lkowy Cauchy ego Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych Szeregi potegowe Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych, cd Funkcje analityczne Globalne twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Szeregi Laurenta Osobliwości funkcji holomorficznych Twierdzenie o residuach 34 13a. Obliczanie pewnych ca lek rzeczywistych Lokalizowanie zer funkcji holomorficznych Iloczyny nieskończone Funkcja Γ Eulera Funkcja ζ Riemanna Twierdzenie o liczbach pierwszych Aproksymacja funkcji holomorficznych Odwzorowania konforemne Geometria hiperboliczna ko la Funkcje harmoniczne Funkcje subharmoniczne Nakrycia Powierzchnie Riemanna Problem Dirichleta, metoda Perrona Funkcja Greena Ca lkowanie przez cześci Powierzchnie nie-g-hiperboliczne Pewne zastosowania Elementy geometrii riemannowskiej Zespolone metryki zupe lne o sta lej krzywiźnie Iteracja funkcji wymiernych 111 Literatura 115

3 FUNKCJE ANALITYCZNE 1 Wyk lad 1, Podstawowe w lasności liczb zespolonych Liczba zespolona nazywamy pare liczb rzeczywistych, zbiór liczb zespolonych C to zatem dok ladnie zbiór R 2. Element z = (x, y) C zapisujemy w postaci x + iy. Na zbiorze C wprowadzamy mnożenie (zgodnie z regu l a i 2 = 1): (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 2 y 1 + x 1 y 2 ). Można latwo pokazać Ćwiczenie, że C z dodawaniem wektorowym w R 2 oraz tak wprowadzonym mnożeniem jest cia lem. Jeżeli z = x + iy, to x nazywamy cześci a rzeczywista, natomiast y cześci a urojona liczby z; ozn. x = Re z, y = Im z. Każda liczbe zespolona z możemy rówież zapisać przy pomocy wspó lrzednych biegunowych: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = z = x 2 + y 2, zaś ϕ jest katem pomiedzy odcinkami [0, 1] i [0, z] (gdy z 0) - nazywamy go argumentem liczby z. Zachodzi oczywiście nierówność trójkata z + w z + w, z, w C, można również latwo pokazać Ćwiczenie, że zw = z w, z, w C. Chcemy teraz zdefiniować zespolona funkcje wyk ladnicza exp : C C. Dla z = x + iy C oczekujemy, że e z = e x e iy, czyli wystarczy określić e it dla t R. Chcemy by funkcja ta spe lnia la d dt eit = ie it, e 0 = 1, a wiec (oznaczajac e it = A + ib) A = B, B = A, A(0) = 1, B(0) = 0. Jedynym rozwiazaniem tego uk ladu sa funkcje A = cos t, B = sin t. Funkcje wyk ladnicza definiujemy zatem nastepuj aco: e z := e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. Można latwo pokazać Ćwiczenie jej nastepuj ace w lasności e z+w = e z e w, z, w C, d dt etz = ze tz, t R, z C. Z faktu, że e z = e x oraz dzieki temu, że y jest argumentem liczby e z wynika, że funkcja wyk ladnicza proste pionowe x = x 0 odwzorowuje na okregi o promieniu e x 0, natomiast proste poziome y = y 0 na pó lproste otwarte o poczatku w 0 o argumencie y 0.

4 2 ZBIGNIEW B LOCKI Wracajac do wspó lrzednych biegunowych, możemy je teraz zapisać w postaci z = re iϕ. Dla z 0 przez arg z oznaczamy zbiór argumentów liczby z, tzn. arg z := {ϕ R : z = z e iϕ }. Ponieważ e i(ϕ+2π) = e iϕ, dla dowolnego ϕ 0 arg z mamy arg z = {ϕ 0 + 2kπ : k Z}. Dla każdego z C (:= C \ {0}) znajdziemy dok ladnie jeden element arg z należacy do przedzia lu [ π, π). Nazywamy go argumentem g lównym liczby z i oznaczamy Arg z. Funkcja Arg, określona na C, jest nieciag la na pó lprostej (, 0). Możemy teraz podać geometryczna interpretacje mnożenia w C: jeżeli z = re iϕ, w = ρe iψ, to zw = rρe i(ϕ+ψ) ; czyli mnożymy d lugości, a dodajemy argumenty. Możemy stad również wywnioskować wzór de Moivre a: z tego, że (e iϕ ) n = e inϕ otrzymamy (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ), ϕ R, n N. Dla danego z C oraz n N przez pierwiastek z stopnia n rozumiemy zbiór n z := {w C : w n = z}. Zapisujac z i w we wspó lrzednych biegunowych: otrzymamy warunki z = re iϕ, w = ρe iψ, ρ = r 1/n, ψ = ϕ + 2kπ, k Z. n Ponieważ e iψ = e i(ψ+2π), dla k = 0, 1,..., n 1 otrzymamy wszystkie rozwiazania. Zatem n z = { z 1/n e i(ϕ+2kπ)/n : k = 0, 1,..., n 1}. W szczególności, pierwiastek stopnia n z liczby niezerowej jest zawsze zbiorem n elementowym. Ćwiczenie Udowodnić, że rozwiazaniem równania kwadratowego w C: gdzie a C, b, c C, jest az 2 + bz + c = 0, z = b +, 2a gdzie = b 2 4ac, przy czym jest zbiorem dwuelementowym jeżeli 0 - w tym przypadku zawsze otrzymamy dwa rozwiazania (jedno jeżeli = 0). W przypadku wielomianów dowolnego stopnia mamy rezultat niekonstruktywny, tzw. zasadnicze twierdzenie algebry. Twierdzenie 1.1. Każdy niesta ly wielomian zespolony ma pierwiastek.

5 FUNKCJE ANALITYCZNE 3 Powyższy rezultat można udowodnić w sposób elementarny przy pomocy lematu d Alemberta (oryginalny dowód z 1746 r. zawiera l luk e). Lemat 1.2. Za lóżmy, że P jest niesta lym wielomianem zespolonym oraz, że dla pewnego z 0 C mamy P (z 0 ) 0. Wtedy dla każdego otoczenia U punktu z 0 znajdziemy z U takie, że P (z) < P (z 0 ). Dowód. (Argand, 1806) Niech Wtedy P (z) = a 0 + a 1 z + + a n z n. P (z 0 + h) = a 0 + a 1 (z 0 + h) + + a n (z 0 + h) n = P (z 0 ) + A 1 h + + A n h n, gdzie wspó lczynniki A j zależa tylko od P i z 0. Któryś z nich na pewno nie znika, gdyż w przeciwnym wypadku wielomian P by lby sta ly. Niech j bedzie najmniejszym indeksem, dla którego A j 0. Mamy zatem gdzie P (z 0 + h) = P (z 0 ) + A j h j + R(h), R(h) < A j h j, gdy h jest odp. ma le, h 0. Możemy znaleźć h o dowolnie ma lym h, dla którego A j h j ma argument przeciwny do argumentu P (z 0 ). Wtedy P (z 0 + h) P (z 0 ) + A j h j + R(h) = P (z 0 ) A j h j + R(h) < P (z 0 ). Dowód Twierdzenia 1.1. Oznaczajac P jak w dowodzie Lematu 1.2 i zak ladajac, że a n 0, mamy P (z) a n z n a 0 + a 1 z + + a n 1 z n 1 a n z n a 0 a 1 z a n 1 z n 1. Możemy w szczególności znaleźć R > 0 takie, że P (z) > P (0), gdy z = R. Funkcja P jest ciag la na C (bo oczywiste jest, że mnożenie jest odwzorowaniem ciag lym), znajdziemy zatem z 0 K(0, R) takie, że P (z 0 ) = min P. K(0,R) Jeżeli P (z 0 ) 0, to dzi eki Lematowi 1.2 znajdziemy z K(0, R) takie, że P (z) < P (z 0 ) - sprzeczność. Dla z C definiujemy log z := {w C : e w = z} (dla z = 0 ten zbiór jest oczywiście pusty). Jeżeli zapiszemy w = η + iξ, z = re iϕ, to otrzymamy równanie e η e iξ = re iϕ. Zatem η = log r = log z, natomiast ξ = ϕ + 2kπ, k Z. Ostatecznie log z = log z + iarg z.

6 4 ZBIGNIEW B LOCKI Liczb e Log z := log z + iarg z nazywamy logarytmem g lównym z. Przy pomocy logarytmu możemy zdefiniować pot egi zespolone: dla z C, w C k ladziemy z w = e w log z. Zauważmy, że z 1/n = e 1 n (log z +iarg z) = z 1/n e i arg z n, czyli otrzymamy to samo, co przy definicji pierwiastka. Ćwiczenie Obliczyć i i. Przypomnijmy, że e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R. Zespolone funkcje trygonometryczne można latwo wyprowadzić ze wzorów Eulera: Stad e iz = cos z + i sin z, e iz = cos z i sin z. Mamy również cos z := eiz + e iz, 2 sin z := eiz e iz. 2i cosh z := cos(iz) = ez + e z, 2 sinh z := i sin(iz) = ez e z. 2 Ćwiczenie Pokazać, że arccos z = i log(z + z 2 1). Dla liczby zespolonej z = x + iy definiujemy jej sprz eżenie: z := x iy. Natychmiast otrzymujemy, że z 2 = zz. Ćwiczenie Pokazać, że (zw) = z w oraz e z = e z. 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych Oczywiście każde odwzorowanie liniowe C C jest postaci (2.1) C z az C dla pewnego a C. Ponieważ C = R 2, możemy również rozpatrywać równania liniowe w sensie rzeczywistym - bed a one postaci C = R 2 z Az R 2 = C,

7 gdzie ( p q (2.2) A = s t FUNKCJE ANALITYCZNE 5 ), p, q, s, t R. Takie odwzorowania C C bedziemy nazywać R-liniowymi, natomiast odwzorowania postaci (2.1) C-liniowymi. Można latwo sprawdzić, że każde odwzorowanie C-liniowe jest R-liniowe, przy czym A jest postaci ( α β A = β α gdzie a = α + iβ. Z drugiej strony, dane odwzorowanie R-liniowe jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy p = t i q = s w (2.2) ( Ćwiczenie ). Niech f bedzie funkcja o wartościach zespolonych określona w pewnym otoczeniu punktu z 0 C. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym powiemy, że f jest C-różniczkowalna w punkcie z 0, jeżeli istnieje granica ), f(z) f(z 0 ) lim C. z z 0 z z 0 Granice te nazywamy pochodna zespolona funkcji f w z 0 i oznaczamy przez f (z 0 ). Jest oczywiste, że każda funkcja C-różniczkowalna w z 0 jest w ciag la w z 0. W podobny sposób jak w przypadku rzeczywistym dowodzimy podstawowych w lasności funkcji C-różniczkowalnych. Propozycja 2.1. Jeżeli funkcje f, g sa C-różniczkowalne w z 0, to funkcje f ± g, fg oraz f/g (ta ostatnia pod warunkiem, że g(z 0 ) 0) sa C-różniczkowalne w z 0 oraz w z 0 mamy (f ± g) = f ± g, (fg) = f g + fg, ( ) f = f g fg g g 2. Propozycja 2.2. Jeżeli f jest C-różniczkowalna w z 0, zaś g jest C-różniczkowalna w f(z 0 ), to g f jest C-różniczkowalna w z 0 oraz (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ). Przypomnijmy, że funkcja zespolona f jest różniczkowalna w z 0 w klasycznym sensie (b edziemy wtedy mówić, że jest ona R-różniczkowalna), jeżeli istnieje odwzorowanie R-liniowe A takie, że f(z) f(z 0 ) A(z z 0 ) lim = 0. z z 0 z z 0 Jeżeli f = u + iv, gdzie u, v sa funkcjami rzeczywistymi, to ( ) ux (z A = 0 ) u y (z 0 ) v x (z 0 ) v y (z 0 )

8 6 ZBIGNIEW B LOCKI (ozn. u x = u/ x, u y = u/ y). Zauważmy, że każda funkcja C-różniczkowalna jest R-różniczkowalna, przy czym A = ( ) Re f (z 0 ) Im f (z 0 ) Im f (z 0 ) Re f. (z 0 ) Przyk lad. Funkcja f(z) = z, z C, jest R-różniczkowalna w każdym punkcie (jest nawet R-liniowa), ale nigdzie nie jest C-różniczkowalna: zauważmy, że dla t R mamy { z z 0 1, jeżeli z = z0 + t, = z z 0 1, jeżeli z = z 0 + it, czyli odpowiednia granica nie istnieje. Za lóżmy, że f = u + iv jest R-różniczkowalna w z 0. Oznaczajac f x = u x + iv x, f y = u y + iv y mamy Ponieważ f(z) = f(z 0 ) + f x (z 0 )(x x 0 ) + f y (z 0 )(y y 0 ) + o( z z 0 ). (2.3) x = z + z 2, y = z z, 2i otrzymamy f(z) = f(z 0 ) + f x(z 0 ) if y (z 0 ) 2 (z z 0 ) + f x(z 0 ) + if y (z 0 ) (z z 0 ) + o( z z 0 ). 2 Dla funkcji R-różniczkowalnej definiujemy pochodne formalne (2.4) f z (= f z) := 1 ( f 2 f z (= f z) := 1 2 ) x i f, y ( ) f x + i f. y Wyk lad 2, Pochodne czastkowe / z i / z prowadzić możemy również przy pomocy formy df: mamy a stad f x dx + f y dy = df = f z dz + f z dz = f z (dx + idy) + f z (dx idy), (2.5) { fx = f z + f z, f y = i(f z f z ), skad latwo dostaniemy (2.4).

9 FUNKCJE ANALITYCZNE 7 Ćwiczenie Pokazać, że dla dowolnej funkcji R-różniczkowalnej f mamy ( ) f = f z z, ( ) f = f z z. Ćwiczenie Obliczyć f z oraz f z, gdzie f(z) = z 2 Re (z 8 ). Dla funkcji R-różniczkowalnej w z 0 mamy wi ec oraz, dla z z 0, f(z) = f(z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + o( z z 0 ) f(z) f(z 0 ) z z 0 = f z (z 0 ) + f z (z 0 ) z z 0 z z 0 + o( z z 0 ) z z 0. Wspólnie z ostatnim przyk ladem daje to nastepuj ac a charakteryzacje funkcji C- różniczkowalnych. Propozycja 2.3. Funkcja zespolona f = u + iv jest C-różniczkowalna w punkcie z o wtedy i tylko wtedy, gdy f jest R-różniczkowalna w z 0 oraz f z (z 0 ) = 0, tzn. w z 0 spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna: W takiej sytuacji f (z 0 ) = f z (z 0 ). { ux = v y, u y = v x. Powiemy, że funkcja f : Ω C, gdzie Ω jest zbiorem otwartym w C, jest holomorficzna, jeżeli jest ona C-różniczkowalna w każdym punkcie. Zbiór wszystkich funkcji holomorficznych w Ω oznaczamy przez O(Ω), natomiast przez O (Ω) zbiór nigdzie nieznikajacych funkcji holomorficznych. Z Propozycji 2.1 i 2.2 wynika, że suma, iloczyn, iloraz i z lożenie funkcji holomorficznych sa funkcjami holomorficznymi. Jeżeli f = u + iv jest R-różniczkowalna, to f jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna. Ćwiczenie Pokazać, że e z jest jedyna funkcja z O(C) taka, że f = f oraz f(0) = 1. Ćwiczenie Pokazać, że cos, sin, cosh, sinh O(C) oraz obliczyć pochodne zespolone tych funkcji. Propozycja 2.4. Za lóżmy, że f jest holomorficzna i klasy C 1 w pewnym otoczeniu z 0 C oraz f (z 0 ) 0. Wtedy istnieje U - otwarte otoczenie z 0 oraz V - otwarte otoczenie f(z 0 ), t.że f : U V jest bijekcja, f 1 jest holomorficzna oraz (2.6) (f 1 ) (f(z)) = 1 f (z), z U. Dowód. Jeżeli zapiszemy f = u + iv, to rzeczywista różniczka f ma postać ( ) ( ) ux u A := y ux u = y v x v y u y u x

10 8 ZBIGNIEW B LOCKI dzi eki równaniom Cauchy ego-riemanna. Z drugiej strony, wprost z definicji C- różniczkowalności f = f x = u x iu y. Mamy wi ec det A = u 2 x + u 2 y = f 2. Dzieki temu, że f (z 0 ) 0, z rzeczywistego twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie wynika, że istnieja odp. otoczenia U i V, t.że f : U V jest bijekcja klasy C 1 oraz f 1 jest również klasy C 1. Zapiszmy f 1 = α + iβ. Różniczka f 1 jest równa ( ) ( ) αx α y = A 1 1 ux u = y β x β y u 2 x + u 2. y u y u x W szczególności α x = β y, α y = β x, czyli f 1 jest holomorficzna. Formu l e (2.6) dostaniemy różniczkujac wzór f 1 (f(z)) = z, z U. Ćwiczenie Pokazać, że Log z O(C \ (, 0]) oraz (Log z) = 1/z. Podamy teraz formu l e na różniczkowanie z lożenia funkcji zespolonej z krzywa. Za lóżmy, że funkcje f : Ω C oraz γ = (γ 1, γ 2 ) : (a, b) Ω sa różniczkowalne (w klasycznym sensie). Wtedy, korzystajac z (rzeczywistej) formu ly na pochodna z lożenia oraz z (2.3), (2.5), otrzymamy (2.7) d dt f(γ(t)) = f x(γ(t)) γ 1(t) + f y (γ(t)) γ 2(t) = f z (γ(t)) γ (t) + f z (γ(t))γ (t). 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych Niech a, b R, a < b. Funkcje γ : [a, b] C nazywamy droga, jeżeli γ jest ciag la oraz γ jest kawa lkami klasy C 1, tzn. istnieja a = t 0 < t 1 < < t n = b takie, że γ C 1 ([t j, t j+1 ]), j = 0, 1,..., n 1. Punkt γ(a) nazywamy poczatkiem zaś γ(b) końcem drogi γ. Obraz γ bedziemy oznaczać γ. Jeżeli γ(a) = γ(b), to γ nazywamy droga zamkniet a. Za lóżmy, że f : γ([a, b]) C jest funkcja ciag l a. Definiujemy b f(z)dz := f(γ(t))γ (t)dt. γ a (Powyższa definicje otrzymamy także rozpatrujac cześć rzeczywista i urojona formy różniczkowej f dz = (u + iv)(dx + idy).) Zauważmy, że funkcja pod ca lka jest ca lkowalna w sensie Riemanna niezależnie od tego jakie wartości przyjmuje w punktach t j. Ponadto, jeżeli ϕ : [c, d] [a, b] jest dyfeomorfizmem, to γ := γ ϕ jest droga taka, że γ = γ oraz { d f(z)dz = f(γ(ϕ(s)))γ (ϕ(s))ϕ γ (s)ds = f(z)dz, jeżeli ϕ > 0; γ f(z)dz, jeżeli ϕ < 0. γ c

11 FUNKCJE ANALITYCZNE 9 Zatem, jeżeli γ (a,b) jest iniekcja, to f(z)dz zależy tylko od obrazu γ oraz od γ kierunku, w którym ca lkujemy, tzn. od orientacji. W takiej sytuacji bedziemy czesto utożsamiać drogi z ich obrazem oraz odpowiednia orientacja. W szczególności, jeżeli D jest obszarem, którego brzeg można iniektywnie sparametryzować droga zamkniet a, to możemy mówić o dodatniej orientacji D - bedzie nia dowolna parametryzacja o kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Ca lka f(z)dz ma wówczas sens, gdyż nie zależy od wyboru takiej parametryzacji (i jest ona zgodna z ca lka D z formy po krzywej g ladkiej). Bedziemy używać tego oznaczenia przede wszystkim, gdy D jest ko lem lub wnetrzem trójkata. Jeżeli f jest określone w pewnym otoczeniu obrazu drogi γ i ma tam funkcje pierwotna, tzn. istnieje funkcja holomorficzna F taka, że F = f, to z (2.7) otrzymamy (3.1) γ f(z)dz = b a d F (γ(t)) dt = F (γ(b)) F (γ(a)). dt W szczególności, jeżeli γ jest droga zamkniet a, to f(z)dz = 0. γ Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f = u + iv ma pierwotna, to pole wektorowe (v, u) jest potencjalne, tzn. (v, u) = χ dla pewnej funkcji χ. Przyk lad. Dla n Z, z 0 C oraz r > 0 obliczymy K(z 0,r) (z z 0 ) n dz. Odpowiednia parametryzacja tego okregu bedzie Wtedy γ (t) = rie it oraz γ(t) = z 0 + re it, 0 t 2π. (3.2) (z z 0 ) n dz = 2π K(z 0,r) 0 { 0, jeżeli n 1; r n+1 ie (n+1)it dt = 2πi, jeżeli n = 1. Zauważmy, że dla n 1 wynika to również z (3.1), gdyż wtedy funkcja (z z 0 ) n ma pierwotna określona w otoczeniu K(z 0, r). Pokazuje to także, że funkcja 1/(z z 0 ) nie ma pierwotnej w żadnym pierścieniu o środku w z 0. Jeżeli z, w C, to przez [z, w] oznaczamy droge dana przez parametryzacje γ(t) = (1 t)z + tw, t [0, 1]. Ćwiczenie Obliczyć Log z dz. Ćwiczenie Pokazać, że trzema sposobami: [1,i] K(z 0,r) dζ ζ z = 2πi, z K(z 0, r),

12 10 ZBIGNIEW B LOCKI i) wprost z definicji, korzystajac z faktu, że sinus jest funkcja nieparzysta, a cosinus parzysta, wyprowadzić dζ π ζ z = 2i 1 + a cos t 1 + 2a cos t + a 2 dt, K(z 0,r) 0 gdzie a = z z 0 /r < 1 i obliczyć odp. ca lke nieoznaczona; ii) udowodnić, że dla każdej pó lprostej P o poczatku w z funkcja ζ 1/(ζ z) ma pierwotna w C \ P oraz użyć (3.1), (3.2); iii) pokazać, że 1 ζ z = (z z 0 ) n (ζ z 0 ) n+1, z K(z 0, r), ζ K(z 0, r), n=0 przy czym zbieżność jest jednostajna dla ζ K(z 0, r), i użyć (3.2). Zauważmy, że b (3.3) f(z)dz f(γ(t)) γ (t) dt l(γ) max f, γ gdzie jest d lugościa γ. γ a l(γ) := b a γ (t) dt Wyk lad 3, Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Podstawowa w lasnościa geometryczna funkcji holomorficznych jest twierdzenie ca lkowe Cauchy ego. Latwo wynika ono ze wzoru Greena w nastepuj acym przypadku (Cauchy, 1825): za lóżmy, że f jest funkcja holomorficzna klasy C 1 w obszarze Ω, natomiast γ jest droga zamkniet a w Ω, która parametryzuje brzeg klasy C 1 obszaru D Ω. Wtedy f(z)dz = d(fdz) = f z dz dz = 0. γ D G lównym problemem w uogólnieniu tego faktu jest pozbycie sie za lożenia, że f jest klasy C 1. Zosta lo to dokonane przez Goursata w 1900 r. Podstawowym krokiem w dowodzie ogólnej wersji twierdzenia ca lkowego Cauchy ego by lo wykazanie jego wzmocnionej wersji dla brzegu trójkata (sam Goursat rozpatrywa l czworokaty, jak jednak wkrótce zauważy l Pringsheim, naturalnym obiektami metody Goursata by ly trójkaty). Twierdzenie 4.1. Za lóżmy, że f O(Ω \ {z 0 }) C(Ω), gdzie Ω jest otwartym podzbiorem C, zaś z 0 Ω. Wtedy dla dowolnego trójkata T Ω (czyli otoczki wypuk lej trzech niewspó lliniowych punktów) mamy f(z)dz = 0. T D

13 FUNKCJE ANALITYCZNE 11 Dowód. Za lóżmy najpierw, że z 0 / T. Przez z 1, z 2, z 3 oznaczmy wierzcho lki T. Rozpatrujac punkty (z j + z k )/2, j, k = 1, 2, 3, dzielimy trójkat T na cztery trójkaty T 1,..., T 4. Mamy wtedy f(z)dz = 4 T j=1 T j f(z)dz. Wybierajac jako T 1 odpowiedni z trójkatów T 1,..., T 4 otrzymamy f(z)dz T 4 f(z)dz. 1 T Zauważmy także, że l( T 1 ) = l( T )/2. W ten sam sposób wybieramy indukcyjnie trójkaty T n, n = 1, 2,..., tak, że f(z)dz T n 1 4 f(z)dz T n oraz l( T n ) = l( T n 1 )/2. Otrzymaliśmy zatem zstepuj acy ciag trójkatów T n taki, że (4.1) f(z)dz T 4n f(z)dz n oraz T (4.2) diam(t n ) l( T n) 2 Z twierdzenia Cantora wynika, że = l( T ) 2 n+1. T n = { z} n=1 dla pewnego z T. Z C-różniczkowalności f w z mamy gdzie f(z) = f( z) + ( f ( z) + ε(z) ) (z z), lim ε(z) = 0. z z Ponieważ funkcja f( z) + f ( z)(z z) ma pierwotna, z (3.1) i (3.3) wynika, że f(z)dz = ε(z)(z z)dz T n T l( T n)diam(t n ) max ε. T n n Korzystajac z (4.1) i (4.2) otrzymamy dla każdego n T f(z)dz (l( T ))2 2 max ε, T n

14 12 ZBIGNIEW B LOCKI czyli twierdzenie zachodzi przy za lożeniu, że z 0 / T. Jeżeli z 0 T, to dzielac T na trzy (lub dwa) mniejsze trójkaty, których wierzcho lkiem jest z 0 widzimy, że bez straty ogólności możemy za lożyć, że z 0 jest jednym z wierzcho lków T. Jeżeli teraz podzielimy T na trójkat T n o wierzcho lku w z 0 oraz czworokat Q n tak, że l(t n) daży do 0, to z poprzedniej cześci wnioskujemy, że f(z)dz = 0, Q n zatem T f(z)dz = T n f(z)dz l(t n) max f. T Przyk lady. i) Niech f(z) = e z2 i dla R > 0 niech T R bedzie trójkatem o wierzcho lkach 0, R, R + ir. Z Twierdzenia 4.1 mamy f(z)dz = 0. T R Ćwiczenie Wywnioskować stad, że 0 cos t 2 dt = 0 sin t 2 dt = π 8. ii) Ćwiczenie Ca lkujac funkcje e z2 po brzegu prostokata o wierzcho lkach 0, R, R + λi, λi (ponieważ każdy wielokat możemy podzielić na skończona liczbe trójkatów, jest jasne, że Twierdzenie 4.1 zachodzi w przypadku, gdy T jest dowolnym wielokatem) pokazać, że 0 e x2 cos(2λx)dx = π 2 2 e λ, λ R. Nastepnym krokiem jest pokazanie zwiazku twierdzenia ca lkowego Cauchy ego z istnieniem funkcji pierwotnej. Twierdzenie 4.2. Niech Ω bedzie obszarem w C, natomiast f funkcja ciag l a w Ω. Wtedy nastepuj ace warunki sa równoważne i) Istnieje F O(Ω) takie, że F = f; ii) f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamknietej γ w Ω. γ Jeżeli Ω jest obszarem gwiaździstym, to powyższe warunki sa równoważne nastepu- jacej w lasności iii) f(z)dz = 0 dla każdego trójkata T Ω. T Dowód. Implikacja i) ii) wynika natychmiast z (3.1). W celu pokazania implikacji przeciwnej ustalmy z 0 Ω. Dla z Ω niech γ bedzie dowolna droga l acz ac a z 0 oraz z. K ladziemy F (z) := f(ζ)dζ. γ

15 FUNKCJE ANALITYCZNE 13 Dzieki i) widać, że definicja F nie zależy od wyboru γ. Dla odp. ma lych h mamy (4.3) F (z + h) F (z) = f(ζ)dζ, a stad, dzieki (3.3), F (z + h) F (z) f(z) h = 1 h [z,z+h] [z,z+h] (f(ζ) f(z))dζ sup f(ζ) f(z). ζ [z,z+h] Z ciag lości f w z wynika, że ostatnie wyrażenie daży do 0. Otrzymaliśmy zatem, że F O(Ω) oraz F = f. Jeżeli Ω jest gwiaździsty, to implikacja ii) iii) jest trywialna, natomiast, zak ladajac, że zachodzi iii) i że Ω jest gwiaździsty wzgledem z 0, k ladziemy F (z) := f(z)dz, z Ω. [z 0,z] Z iii) wynika, że zachodzi (4.3) i identycznie jak poprzednio dowodzimy, że F = f. Z Twierdzeń 4.1 i 4.2 wynika wersja twierdzenia Cauchy ego dla zbiorów gwiaździstych. Wniosek 4.3. Jeżeli obszar Ω jest gwiaździsty i f O(Ω\{z 0 }) C(Ω) dla pewnego z 0 Ω, to f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamkni etej γ w Ω. γ 5. Wzór ca lkowy Cauchy ego Podstawowa w lasnościa funkcji holomorficznych jest wzór ca lkowy Cauchy ego (1831), który odtwarza dana funkcje wewnatrz ko la z jej wartości na brzegu. Twierdzenie 5.1. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to (5.1) f(z) = 1 f(ζ) 2πi ζ z dζ, z K(z 0, r). K(z 0,r) Co wiecej, f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz f (n) (z) = n! f(ζ) 2πi (ζ z) n+1 dζ, z K(z 0, r), n = 1, 2,... K(z 0,r) Dowód. Niech Ω bedzie gwiaździstym otoczeniem K(z 0, r), w którym funkcja f jest określona. Dla ζ Ω zdefiniujmy f(ζ) f(z), ζ z, g(ζ) := ζ z f (z), ζ = z.

16 14 ZBIGNIEW B LOCKI Wtedy g O(Ω \ {z}) C(Ω), zatem Wniosek 3.3 implikuje, że 0 = K(z 0,r) g(ζ)dζ = K(z 0,r) f(ζ) dζ 2πif(z). ζ z Otrzymaliśmy zatem (5.1). Druga cześć tezy wynika z faktu, że możemy teraz różniczkować pod znakiem ca lki, zauważmy, że ( ) n ( ) 1 =0, z ζ z ( ) n ( ) 1 1 = z ζ z (ζ z) n+1. Druga cz eść Twierdzenia 5.1 jest specjalnym przypadkiem ogólnego rezulatu o holomorficzności funkcji danej wzorem ca lkowym dla dowolnej drogi (nazywanego lematem o produkcji funkcji holomorficznych). Lemat 5.2. Za lóżmy, że γ jest dowolna droga w C, natomiast g funkcja ciag l a na γ. Po lóżmy g(ζ) f(z) := ζ z dζ, z C \ γ. γ Wtedy f O(C \ γ ), f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz dla n = 1, 2,... mamy Ćwiczenie f (n) (z) = n! γ Obliczyć K(0,2) g(ζ) (ζ z) n+1 dζ, z C \ γ. e z (z + 1) 2 dz. Jeżeli rozpatrzymy wzór Cauchy ego dla z = z 0 oraz parametryzacj e ζ = z 0 +re it, 0 t 2π, otrzymamy twierdzenie o wartości średniej. Wniosek 5.3. (Poisson, 1823) Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to f(z 0 ) = 1 2π f(z 0 + re it )dt. 2π 0 Bezpośrednia konsekwecja wzoru Cauchy ego jest także nierówność Cauchy ego (1835). Twierdzenie 5.4. Niech f O(K(z 0, r)) bedzie taka, że f M dla pewnej sta lej M. Wtedy f (n) (z 0 ) n! M, n = 1, 2,... rn Dowód. Wystarczy zastosować wzór Cauchy ego w kole K(z 0, ρ) dla ρ < r oraz (3.3), a nast epnie skorzystać z dowolności ρ.

17 FUNKCJE ANALITYCZNE Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych Udowodnimy teraz szereg w lasności funkcji holomorficznych wynikajacych ze wzoru Cauchy ego. Pokazaliśmy, że każda funkcja holomorficzna jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy. W szczególności, każda funkcja, która lokalnie ma pierwotna jest holomorficzna. Z Twierdzenia 4.2 wynika zatem rezultat odwrotny do twierdzenia ca lkowego Cauchy ego. Twierdzenie 6.1. (Morera, 1886) Za lóżmy, że funkcja f C(Ω) (Ω otwarty w C) spe lnia f(z) dz = 0 dla każdego trójkata T Ω. Wtedy f O(Ω). Ćwiczenie T Pokazać, że jeżeli f C(C) O(C \ R), to f O(C). Przypomnimy teraz regularyzacje funkcji przez splot, która jest przydatna w rozwiazaniu nastepnego ćwiczenia. Niech ρ C (C) bedzie takie, że supp ρ = (ozn. := K(0, 1)), ρ 0, ρ(z) zależy tylko od z oraz ρ dλ = 1. Dla ε > 0 C po lóżmy ρ ε (z) := ε 2 ρ(z/ε), wtedy supp ρ ε = K(0, ε) oraz C ρ ε dλ = 1. Dla f L 1 loc (Ω) i w Ω ε := {z Ω : K(z, ε) Ω} k ladziemy f ε (w) := (f ρ ε )(w) = K(w,ε) f(z)ρ ε (w z)dλ(z) = f(w εz)ρ(z)dλ(z). Wtedy f ε C (Ω ε ) (przy czym D α f ε = f D α ρ ε ), f ε f w L 1 loc (Ω), gdy ε 0, natomiast jeżeli f jest ciag le, to zbieżność jest lokalnie jednostajna. Ćwiczenie Udowodnić twierdzenie Morery dla kó l: jeżeli dla f C(Ω) zachodzi K(z 0,r) f(z) dz = 0 dla każdego ko la K(z 0, r) Ω, to f O(Ω). Funkcje holomorficzna określona na C nazywamy ca lkowita. Twierdzenie 6.2. (Liouville, 1847, Cauchy, 1844) Każda ograniczona funkcja ca lkowita jest sta la. Dowód. Jeżeli f M na C, to z nierówności Cauchy ego wynika, że f (z) M/r dla każdego z C i r > 0. Jeżeli wiec r, to dostaniemy, że f = 0 na C. Ale to oznacza, że również pochodna rzeczywista f wszedzie znika. Wyk lad 4, Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f O(C) jest taka, że Re f M dla pewnej sta lej M, to f jest sta la. Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja ca lkowita f spe lnia f(z) C z n, gdy z R, dla pewnych C, R > 0, to f musi być wielomianem stopnia n.

18 16 ZBIGNIEW B LOCKI Z twierdzenia Liouville a w latwy sposób wynika zasadnicze twierdzenie algebry. Bo jeżeli niesta ly wielomian P nie mia lby pierwiastka, to f := 1/P by loby funkcja ca lkowita. Co wiecej lim f(z) = 0. z W szczególności, f by laby funkcja ograniczona, a wiec na mocy twierdzenia Liouville a otrzymalibyśmy, że P jest sta ly. Nastepnym rezulatem jest zasada maksimum dla funkcji holomorficznych. Twierdzenie 6.3. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w obszarze Ω taka, że f osiaga maksimum w Ω, to f jest sta la. Dowód. Dla K(z 0, r) Ω z twierdzenia o wartości średniej wynika, że f(z 0 ) 1 2π 2π 0 f(z 0 + re it ) dt. Jeśli zatem f f(z 0 ) na K(z 0, r), to z ciag lości f wynika, że f = f(z 0 ) na K(z 0, r), a wobec dowolności r, także w K(z 0, r). Twierdzimy, że jeżeli f = f(z 0 ) w K(z 0, r), to wtedy f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli f(z 0 ) = 0, to jest to oczywiste, możemy wiec za lożyć, że f 0 w K(z 0, r). Mamy 0 = ( f 2 ) z = f z f + (f z )f = f f, a zatem f = 0, wi ec f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Pokazaliśmy wi ec, że jeżeli f(z 0 ), to f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli teraz f osiaga maksimum w z 0 Ω, to k ladziemy Ω := {z Ω : f(z) = f(z 0 )}. max f = K(z 0,r) Zbiór ten jest oczywiście domkniety, natomiast z pierwszej cześci dowodu wynika, że jest on również otwarty, co oznacza, że Ω = Ω. Twierdzenie 6.3 to s laba zasada maksimum (zak ladamy, że maksimum jest globalne), nied lugo pokażemy wzmocnienie Twierdzenia 6.3 (przy za lożeniu, że maksimum jest lokalne). Ćwiczenie Niech wielomian P (z) = a 0 +a 1 z+ +a n z n b edzie taki, że P (z) 1, gdy z = 1. Pokazać, że a j 1, j = 1,..., n. Ćwiczenie Niech f bedzie funkcja holomorficzna w otoczeniu pierścienia {1 z 3} taka, że f 1, gdy z = 1 oraz f 9, gdy z = 3. Pokazać, że f(z) 4, gdy z = 2. Przy pomocy wzoru Cauchy ego możemy też latwo udowodnić dwa twierdzenia dotyczace ciagów funkcji holomorficznych. Twierdzenie 6.4. (Weierstrass, 1841) Jeżeli f n jest ciagiem funkcji holomorficznych w Ω zbieżnym lokalnie jednostajnie do funkcji f, to f jest funkcja holomorficzna oraz dla każdego k = 1, 2,... mamy lokalnie jednostajna zbieżność f n (k) f (k). Dowód. Niech K(z 0, r) Ω. Funkcje f n spe lniaja wzór Cauchy ego (3.6), zatem spe lnia go również f. Z Lematu 4.2 wynika, że f jest holomorficzna w K(z 0, r). Co wiecej, z nierówności Cauchy ego dostaniemy max f n (k) f (k) k! K(z 0,r/2) (r/2) k max f n f. K(z 0,r/2)

19 FUNKCJE ANALITYCZNE 17 Twierdzenie 6.5. (Montel, 1911) Jeżeli f n jest lokalnie jednostajnie ograniczonym ciagiem funkcji holomorficznych na obszarze Ω w C, to istnieje podciag f nk zbieżny lokalnie jednostajnie w Ω. Dowód. Jeżeli K(z 0, r) Ω, to z wzoru Cauchy ego mamy z z 0 f n (ζ) f n (z) f n (z 0 ) = 2πi (ζ z)(ζ z 0 ) dζ K(z 0,r) Mδ r(r δ), gdzie z z 0 δ oraz f n M w K(z 0, r). Wynika stad, że rodzina {f n } jest jednakowo ciag la, tzn. z 0 Ω ε > 0 δ > 0 n : z z 0 δ f n (z) f n (z 0 ) ε. Teza twierdzenia wynika teraz z twierdzenia Arzeli-Ascoliego. Ćwiczenie Korzystajac z twierdzenia Baire a pokazać, że jeżeli f n O(Ω) jest ciagiem zbieżnym punktowo w Ω, to istnieje otwarty, gesty podzbiów Ω w Ω, gdzie ciag f n jest lokalnie jednostajnie ograniczony, skad wynika, że lim f n O(Ω ). 7. Szeregi pot egowe Wyrażenie (7.1) a n (z z 0 ) n, n=0 z C nazywamy szeregiem potegowym o środku w z 0 C i wspó lczynnikach a n C, n = 0, 1,.... Przyk lad. Szereg geometryczny z n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy z < 1. Wynika to ze wzoru Możemy zatem zapisać n=0 1 + z + + z n = 1 zn+1, z 1. 1 z (7.2) n=0 z n = 1, z < 1. 1 z Twierdzenie 7.1. (Cauchy, 1821, Hadamard, 1892) Po lóżmy (7.3) R := 1 n lim sup an. n Wtedy szereg (7.1) jest bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie zbieżny w kole K(z 0, R) oraz rozbieżny dla każdego z C \ K(z 0, R).

20 18 ZBIGNIEW B LOCKI Dowód. Dla z K(z 0, R) niech r i λ bed a takie, że z z 0 r < R oraz r/r < λ < 1. Wtedy dla n odp. dużego mamy n a n λ/r, zatem N 2 N2 a n (z z 0 ) n a n (z z 0 ) n n=n 1 n=n 1 n=n 1 λ n = λn1 1 λ 0, gdy N 1. Z warunku Cauchy ego zbieżności otrzymaliśmy zatem bezwzgledn a i jednostajna zbieżność szeregu na K(z 0, r). Z drugiej strony, jeżeli z z 0 > R, to istnieje podciag a nk taki, że k n ank 1/ z z 0, co oznacza, że a nk (z z 0 ) n k 1, nie jest zatem spe lniony warunek konieczny zbieżności szeregu. Ko lo K(z 0, R) z Twierdzenia 7.1 nazywamy ko lem zbieżności, zaś R promieniem zbieżności szeregu (7.1). Formu la (7.3) na promień zbieżności szeregu potegowego nosi nazwe wzoru Cauchy ego-hadamarda. Zauważmy, że promień zbieżności szeregu (7.1) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje M > 0 takie, że dla n odp. dużego mamy a n M n - wtedy R 1/M. Twierdzenie 7.1 nie rozstrzyga zbieżności szeregu potegowego na brzegu ko la zbieżności. Przyk lady. Ko lem zbieżności każdego z szeregów z n, n=0 z n n, n=1 n=1 z n jest K(0, 1). n2 i) Szereg z n jest rozbieżny we wszystkich punktach z brzegu ko la zbieżności. ii) Szereg z n /n 2 jest zbieżny bezwzgl ednie na brzegu. iii) Szereg z n /n jest rozbieżny w 1 i zbieżny warunkowo na K(0, 1) \ {1} ( Ćwiczenie ). iv) Ćwiczenie Pokazać, że istnieje rosnacy ciag liczb naturalnych p n oraz geste podzbiory A +, A K(0, 1) takie, że z p n = ±1 dla z A ±. Stad szereg z np n /n jest rozbieżny w A + i zbieżny warunkowo w A. Istotna w lasnościa szeregów potegowych jest jednoznaczność ich wspó lczynników. Propozycja 7.2. Za lóżmy, że szeregi potegowe a n (z z 0 ) n oraz b n (z z 0 ) n sa zbieżne do tych samych wartości na zbiorze A takim, że z 0 jest punktem skupienia A. Wtedy a n = b n dla wszystkich n. Dowód. Bez straty ogólności możemy za lożyć, że b n = 0 dla wszystkich n. Przypuśćmy, że a m 0 dla pewnego m i wybierzmy najmniejsze takie m. Wtedy a n (z z 0 ) n = (z z 0 ) m n=0 n=0 a n+m (z z 0 ) n, z z 0. Szereg n=0 a n+m(z z 0 ) n, zbieżny do pewnej funkcji ciag lej w otoczeniu z 0 (dzieki Twierdzeniu 7.1), znika dla z A, zatem znika również w z 0, czyli a m = 0 - sprzeczność. Przyk lad. Rozpatrzmy ciag Fibonacciego (1202): a 0 = 0, a 1 = 1, a n = a n 2 + a n 1, n = 2, 3,...

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści

FUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści FUNKCJE ANALITYCZNE JEDNOSEMESTRALNY WYK LAD DLA SEKCJI NIETEORETYCZNYCH INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2008 Zbigniew B locki Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 2 2. Różniczkowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0

, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0 A. Definicje. z = z z, z = z (cos θ + i sin θ) (argument z - każdy kąt θ spełniający tę równość; każde dwa argumenty z różnią się o całkowitą wielokrotność 2π). Ponadto dla z n z 0 Rez n Rez 0, Imz n Imz

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że

4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że 4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna I Analiza matematyczna I 1 Spis treści 1 Wstep. Ograniczenia i kresy zbiorów. 4 1.1 Oznaczenia..................................... 4 1.2 Zbiory liczbowe................................... 4 1.3 Kwantyfikatory...................................

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus

ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus ANALIZA ZESPOLONA IV semestr 203/4 oprac. Janina Kotus Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str. 6 2. Funkcje zespolone str. 8 2. Granica i ciag lość str.

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1).

n=0 W tym rozdziale, wyposażeni w wiedzę o zbieżności jednostajnej, omówimy ogólne własności funkcji, które można definiować wzorami typu (8.1). Rozdział 8 Szeregi potęgowe Szeregiem potęgowym o środku w punkcie z 0 C i współczynnikach a n C nazywamy szereg a n z z 0 ) n, 8.1) gdzie z C. Z szeregami tego typu mieliśmy już do czynienia, omawiając

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE

ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH LICZBY ZESPOLONE . Oblicyć: ZADANIA Z FUNKCJI ANALITYCZNYCH a) ( 7i) ( 9i); b) (5 i)( + i); c) 4+3i ; LICZBY ZESPOLONE d) 3i 3i ; e) pierwiastki kwadratowe 8 + i.. Narysować biór tych licb espolonych, które spełniają warunek:

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera

Rozdział 8. Analiza fourierowska. 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozdział 8 Analiza fourierowska 8.1 Rozwinięcie w szereg Fouriera Rozważmy funkcję rzeczywistą f określoną na okręgu o promieniu jednostkowym. Parametryzując okrąg przy pomocy kąta φ [, π] otrzymujemy

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

Wyk lady z topologii I

Wyk lady z topologii I Wyk lady z topologii I Wies law Kubiś Akademia Świȩtokrzyska ul. Świȩtokrzyska 15, 25-406 Kielce, Poland E-mail: wkubis@pu.kielce.pl 1 maja 2006 Spis treści 1 Przestrzenie metryczne 3 1.1 Definicje........................................

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Granica funkcji

Wykłady z matematyki - Granica funkcji Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Granica funkcji Otoczenie punktu 0 to przedział ( 0 ɛ, 0 + ɛ) dla każdego ɛ > 0 Sąsiedztwo punktu 0 to jego otoczenie bez punktu 0. Jeżeli funkcja jest określona w

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Kryteria oceniania z matematyki ( poziom rozszerzony) klasa 2 Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Funkcja liniowa Uczeń: - rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru - zna postać ogólną

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA

KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA 1. PROGRAM NAUCZANIA KIERUNEK STUDIÓW: ELEKTROTECHNIKA PRZEDMIOT: MATEMATYKA (Stacjonarne: 105 h wykład, 120 h ćwiczenia rachunkowe) S t u d i a I s t o p n i a semestr: W Ć L P S I 2 E 2 II 3 E 4 III

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017

EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 EGZAMIN LICENCJACKI NA KIERUNKU MATEMATYKA ROK AKADEMICKI 2016/2017 1. Analiza matematyczna 1. Zdefiniuj pojęcia kresów podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. 2. Omów pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4. Grafy skierowane

Wyk lad 4. Grafy skierowane Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G)

Bardziej szczegółowo