Analiza czasów prze ycia w badaniach medycznych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza czasów prze ycia w badaniach medycznych"

Transkrypt

1 Analiza czasów prze ycia w badaniach medycznych Survival analysis in biomedical research Jerzy A. Moczko z Katedry i Zak³adu Informatyki i Statystyki Akademii Medycznej im. K. Marcinkowskiego w Poznaniu kierownik: prof. dr hab. Jerzy Andrzej Moczko Streszczenie Jednym z podstawowych problemów w badaniu efektywnoœci procesu terapeutycznego jest ocena czasu prze ycia pacjentów. Mo na j¹ przeprowadziæ przy u yciu standardowych procedur wchodz¹cych w sk³ad wiêkszoœci zaawansowanych pakietów statystycznych. Zdarzaj¹ siê jednak sytuacje, które wymagaj¹ u ycia procedur dodatkowych, takich jak liniowa lub nieliniowa analiza regresji, metody predykcji szeregów czasowych itp. W pracy omówiono przyk³ad zastosowania modelowania eksponencjalnego do prognozowania czasu prze ycia w przypadku danych uzyskiwanych w nierównych okresach obserwacji. Summary Estimation of patients survival is one of main problems in analysis of treatment efficiency. This estimation may be obtained with some standard procedures which are available in most advanced statistical packages. However, there exist situations where some additional mathematical techniques such as linear or nonlinear regression analysis, time series prediction etc. must be used. In presented paper exponential modeling was used in prognosis of cumulative survival prognosis in comparison of data obtained in periods of different length. S³owa kluczowe: czas prze ycia, statystyka, modelowanie eksponencjalne Key words: survival time, statistics, exponential modeling Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Wstêp Podstawowym pojêciem w zagadnieniach zwi¹zanych z analiz¹ prze ycia jest pojêcie zdarzenia. Przez zdarzenie nale y rozumieæ dowoln¹ zmianê stanu badanej cechy pierwotnej. Zdarzeniem mo e byæ zatem wyzdrowienie, nawrót choroby, œmieræ lub dowolna inna sytuacja bêd¹ca przedmiotem badania. Dla uproszczenia zajmiemy siê wy³¹cznie przyk³adem wyst¹pienia zgonu w procesie leczenia, lecz przez analogiê mo na zastosowaæ prezentowane metody do dowolnych typów zdarzeñ. Przez czas prze ycia bêdziemy rozumieli okres pomiêdzy stanem pocz¹tkowym (pacjent yje) a chwil¹ wyst¹pienia zdarzenia (œmieræ pacjenta). Stan pocz¹tkowy okreœla siê najczêœciej jako datê rozpoczêcia leczenia, datê zakoñczenia leczenia lub datê postawienia diagnozy. Nie zawsze natomiast mo emy œciœle i jednoznacznie zdefiniowaæ chwilê wyst¹pienia zdarzenia. Istnieje wiele przyczyn tego zjawiska. Dla przyk³adu w trakcie prowadzonego badania pewna grupa osób zosta³a usuniêta z powodu silnej reakcji ubocznej na stosowan¹ technikê terapeutyczn¹, z niektórymi pacjentami utraciliœmy kontakt (np. zrezygnowali z terapii lub przenieœli siê do innej miejscowoœci), wreszcie niektórzy z nich nie zmarli do koñca okresu prowadzonego przez nas badania. Takie wartoœci pomiarowe bêdziemy nazywali obserwacjami uciêtymi. Wartoœci pomiarowe z dok³adnie zdefiniowanym czasem prze ycia nazywamy obserwacjami nie uciêtymi. Na rycinie 1 przedstawiono przyk³ady mo liwych sytuacji wystêpuj¹cych w analizie prze ycia. Pacjent A wszed³ do analizy z chwil¹ rozpoczêcia prowadzonego eksperymentu (czas zakoñczenia jego terapii jest zgodny z chwil¹ rozpoczêcia eksperymentu) i pozosta³ przez ca³y czas w grupie a do zakoñczenia badania. Jest to przyk³ad pomiaru uciêtego gdy wiemy, e y³ on co najmniej 8 lat. Pacjent B nale y równie do grupy pomiarów uciêtych - zakoñczy³ terapiê w drugim roku badania i na skutek przeprowadzki do innej miejscowoœci wyszed³ z badanej populacji ( y³ co najmniej 2 lata). Pacjent C wszed³ do grupy badanej w 5 roku eksperymentu, lecz zosta³ z niej usuniêty w nastêpnym roku z powodu z³ej tolerancji terapii (pomiar uciêty). Pacjent D wszed³ do grupy badawczej w szóstym roku eksperymentu i pozosta³ w niej do koñca badania ( y³ co najmniej dwa i pó³ roku) (pomiar uciêty). Pacjent E wszed³ 121

2 podobnie jak pacjent A do badania na samym pocz¹tku eksperymentu, lecz zmar³ po czterech i pó³ latach (pomiar nieuciêty). Pacjent F wszed³ w trzecim roku badania i zmar³ w szóstym roku jego trwania (pomiar nieuciêty). Pacjent G zakoñczy³ terapiê w dniu rozpoczêcia eksperymentu a zmar³ dok³adnie w terminie zakoñczenia przez nas obserwacji (pomiar nieuciêty). Rycina1. Przyk³ady obserwacji uciêtych i nieuciêtych. Wystêpowanie obserwacji uciêtych jest powodem braku mo liwoœci stosowania tradycyjnych metod porównañ lub analizy regresyjnej. Problem badawczy i tablice trwania ycia Z³o one zagadnienie analizy prze ycia spróbujemy zilustrowaæ nastêpuj¹cym przyk³adem. W pewnej klinice prowadzono badanie maj¹ce na celu porównanie skutecznoœci dwóch technik terapeutycznych w leczeniu okreœlonej jednostki chorobowej. Badanie przeprowadzono w okresie od 1 stycznia 1994 do 30 wrzeœnia Za pocz¹tek czasu obserwacji przyjêto czas zakoñczenia leczenia. Dodatkowy problem stanowi fakt, e pocz¹tkowo prowadzono leczenie wy³¹cznie metod¹ A, a wprowadzenie drugiej techniki terapeutycznej B mo liwe by³o dopiero od 16 wrzeœnia Do oszacowania czasu prze ycia i dokonania porównania skutecznoœci stosowanych technik terapeutycznych niezbêdne s¹ nam nastêpuj¹ce dane: 1. data zakoñczenia leczenia DZL 2. data ostatniej kontroli DOK 3. ewentualna data zgonu DZ 4. status obserwacji (uciêta lub nie uciêta) 5. typ stosowanej terapii (A lub B) Czas prze ycia dla obserwacji nie uciêtej obliczamy jako ró nicê DZ - DZL, natomiast dla obserwacji uciêtej jako ró nicê DOK - DZL. Spróbujemy na pocz¹tku wyznaczyæ krzywe prze ycia dla ka dej techniki osobno. W pierwszym kroku pos³u ymy siê tablicami trwania ycia w grupie terapeutycznej A. Mo na je traktowaæ jako rozwiniête tablice rozk³adu czêstotliwoœci, poniewa podstaw¹ ich konstrukcji jest podzia³ osi czasu na przedzia³y o jednakowej szerokoœci. Najd³u szy czas prze ycia wyniós³ 7,72 lat i podzieliliœmy go na 16 równych przedzia³ów ka dy o rozpiêtoœci oko³o 0,5 roku. 1 Dla ka dego przedzia³u wyznaczono miêdzy innymi liczbê i proporcjê pacjentów, którzy weszli jako yj¹cy do danego przedzia³u, jak i liczbê i proporcjê pacjentów, którzy zmarli w czasie zawartym w okreœlonym przedziale. Na podstawie tych wielkoœci mo na obliczyæ funkcjê prze ycia oraz funkcjê ryzyka zgonu (hazardu). Funkcja prze ycia okreœla prawdopodobieñstwo, z jakim pacjent ma szanse do yæ okreœlonego czasu. Funkcja hazardu nie jest prawdopodobieñstwem, lecz prawdopodobieñstwem prawid³owego jednostce czasu, zatem mo e czasami przyjmowaæ wartoœci wiêksze od jednoœci. Podaje ona wartoœæ pojawienia siê zdarzenia (prawid³owego naszym przypadku zgonu) na jednostkê czasu. Dla prawid³owego oszacowania funkcji ryzyka i funkcji prze ycia powinniœmy stosowaæ wielkoœæ próby co najmniej 30 osób. 2 Analiza Kaplana-Meiera Zaprezentowana metoda analizy nie jest optymalna, gdy wymaga ona doœæ kontrowersyjnego niekiedy grupowania czasu obserwacji w przedzia³y o równej d³ugoœci. Wszelkie estymatory oparte o tablice prze ycia œciœle zale ¹ od liczby u ytych przedzia³ów i ich szerokoœci. Dlatego coraz czêœciej wykorzystywana jest metoda Kaplana-Meiera (3), która szacuje funkcjê prze ycia bezpoœrednio na podstawie ci¹g³ych czasów prze- ycia bez jakiejkolwiek arbitralnej tabelaryzacji. Na rycinie 3 prezentowany jest fragment arkusza zawieraj¹cego ocenê skumulowanej krzywej prze ycia. W pierwszej kolumnie zaznaczony jest numer analizowanego pacjenta, w kolejnej czas jego prze ycia, w nastêpnej skumulowana proporcja prze ywaj¹cych pacjentów a do tego okreœlonego w poprzedniej kolumnie czasu prze ycia (np. po zgonie pacjenta nr 111, który nast¹pi³ po oko³o czterech i pó³ miesi¹ca od zakoñczenia terapii (0, roku) z badanej populacji nadal yje 97,92% osób). 1 Wszystkie obliczenia wykonano przy u yciu pakietu Statistica Data Miner StatSoft, Inc. (2003). STATISTICA (data analysis software system), version Innymi s³owy, wartoœæ ta okreœla prawdopodobieñstwo na jednostkê czasu, e pacjent, który prze y³ do pocz¹tku danego przedzia³u umrze w³aœnie w tym przedziale czasu. 122 Neuroskop 2003, tom1, nr 5

3 Rycina 3. Ocena skumulowanej krzywej prze ycia wyznaczonej metod¹ Kaplana-Meiera (znak + pojawiaj¹cy siê przy numerze pacjenta oznacza informacjê uciêt¹). Na rycinie 4 pokazujemy wykres skumulowanej frakcji osób prze ywaj¹cych okreœlony okres czasu oraz percentyle funkcji prze ycia. Jak widaæ, przy leczeniu pacjentów metod¹ A oko³o 25% pacjentów umiera po oko³o pó³tora roku, 50 % zaœ po oko³o piêciu i pó³ latach. Mo na równie zauwa yæ, e pocz¹tkowe silne nachylenie krzywej prze ycia (do oko³o 1,6 roku) ulega nastêpnie sp³aszczeniu, co mo na w naszym przypadku t³umaczyæ, e je eli pacjent prze y³ ponad 1,6 lat po zakoñczeniu leczenia, to jego szanse na prze ycie s¹ lepsze czyli innymi s³owami, pierwsze pó³tora roku po zakoñczeniu terapii stanowi dla pacjenta krytyczny okres. Nale y byæ tutaj jednak bardzo ostro nym w interpretacji tego faktu, gdy mo e siê okazaæ, e najpierw poumierali pacjenci, którzy mieli wy szy status zaawansowania choroby w chwili zakoñczenia leczenia (odpowiada to stromej czêœci krzywej prze ycia), potem zaœ umieraj¹ pacjenci w ni szym stanie zaawansowania choroby. W naszym przypadku efekt ten zosta³ wyeliminowany w prosty sposób poprzez wziêcie pod uwagê jednorodnej grupy pacjentów o tym samym stanie zaawansowania choroby. Rycina 2. Tablica prze ycia dla pacjentów leczonych metod¹ A Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Rycina 4. Wykres czasu prze ycia wzglêdem skumulowanej proporcji prze ywaj¹cych i wartoœci percentyli funkcji prze ycia. Porównywanie dwóch krzywych prze ycia Przedstawione w poprzednim rozdziale wyniki analizy Kaplana-Meiera dotyczy³y grupy pacjentów leczonych metod¹ A. Analogiczne obliczenia nale y przeprowadziæ dla pacjentów leczonych drug¹ metod¹. Kluczowy punkt analizy stanowi jednak wskazanie, czy obie metody daj¹ jednakowe szanse prze ycia dla pacjentów (wtedy nale a³oby wybraæ technikê mniej inwazyjn¹) czy te prze ycia pacjentów w jednej z grup s¹ istotnie statystycznie d³u sze (wtedy nale y stosowaæ tê technikê). Na rycinie 5 przedstawiamy na³o one na 123

4 siebie krzywe prze ycia dla obu technik terapeutycznych. Jak widaæ, ca³y przebieg krzywej odpowiadaj¹cej leczeniu metod¹ B le y powy ej krzywej odpowiadaj¹cej leczeniu metod¹ A. Sama ocena wzrokowa nie jest jednak e wystarczaj¹ca i nale y siê pos³u yæ odpowiednimi testami statystycznymi. adne z ogólnie znanych testów (np. test t-studenta dla zmiennych niepowi¹zanych, test Welcha) nie nadaj¹ siê do dokonania porównañ, gdy czasy prze ycia nie podlegaj¹ rozk³adowi normalnemu (rozk³ady czasu prze ycia s¹ silnie skoœne). Równie nie ma mo liwoœci bezpoœredniego u ycia klasycznych testów nieparametrycznych, takich jak test znaków, test Manna - Whitneya itp. z uwagi na wystêpowanie pomiarów uciêtych. Statystycy opracowali zatem grupê testów specjalnie dedykowanych do rozwi¹zania tego typu problemu i nale ¹ do nich: test Wilcoxona w modyfikacji wg Gehana (2), test Wilcoxona w modyfikacji wg Peto & Peto (4), test F Coxa (1), test log-rank. Najczêœciej stosowanym jest pierwszy z testów, drugi u yjemy gdy chcemy dok³adniej przyjrzeæ siê pocz¹tkowemu odcinkowi krzywych prze ycia. Trzeci test przyk³ada wiêksz¹ wagê dla koñcowego odcinka krzywych prze ycia, zaœ czwarty stosujemy, gdy liczebnoœci grup s¹ mniejsze ni 50 osób. Charakterystyka materia³u badawczego zestawiona w tablicy 1 pozwala na wykluczenie u ycia tego ostatniego testu. Wyniki porównañ zestawione na rycinie 6 pozwalaj¹ jednoznacznie stwierdziæ, i metoda leczenia B daje istotnie czasy prze ycia ni metoda A. Widaæ z nich, e oszacowane wartoœci prawdopodobieñstwa p (odpowiednio , oraz ) wskazuj¹ istotn¹ statystycznie ró nicê w czasach prze ycia przy leczeniu wspomnianymi dwoma metodami, gdy s¹ w ka dym przypadku ni sze od poziomu przyjêtego poziomu istotnoœci a=0.05. Tabela 1. Zestawienie liczebnoœci pomiarów u ytych do porównania czasów prze ycia w badanych grupach leczenia Rycina 5. Porównanie przebiegu krzywych prze ycia w przypadku stosowania metod terapeutycznych A i B. 124 Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Rycina 6. Wyniki analizy porównania czasów prze ycia dla analizowanych metod leczenia przy u yciu testów Wilcoxona w modyfikacji wg Gehana, Wilcoxona w modyfikacji wg Peto & Peto oraz testu log-rank. Zagadnienie predykcji czasu prze ycia Przedstawione na rycinie 5 przebiegi krzywych prze ycia dla wskazuj¹ na ró n¹ d³ugoœæ prowadzonego czasu obserwacji. W istocie, tak jak wspomniano w rozdziale Problem badawczy i tablice trwania ycia, z przyczyn niezale nych od badaczy metoda leczenia B zosta³a wprowadzona po przesz³o czterech latach od rozpoczêcia wyników leczenia metod¹ A. St¹d bierze siê ró nica w d³ugoœci obu krzywych. Karygodnym czynem by³oby ograniczenie badania do wspólnego okresu

5 dla obu metod, gdy stracilibyœmy w ten sposób bezpowrotnie niezwykle cenn¹ informacjê. Dlatego te mo emy pos³u yæ siê technik¹ estymacji nieliniowej i na podstawie uzyskanych wyników dokonaæ predykcji czasu prze ycia dla leczenia metod¹ B. W tym celu dokonamy dopasowania metod¹ najmniejszych kwadratów do czasów prze ycia dla leczenia metod¹ B krzywej wyk³adniczej o ogólnej postaci y = c + exp (b0+b1*x), gdzie zmienna niezale na x jest czasem prze ycia dla pacjentów leczonych metod¹ B, zmienna zale na y jest skumulowan¹ proporcj¹ prze ycia. Na rycinie 7 podajemy wyniki estymowanych parametrów modelu, jak i przebieg dopasowanej do danych doœwiadczalnych krzywej teoretycznej. Jak widaæ, wszystkie estymowane wartoœci sta³e w modelu s¹ istotne statystycznie, co daje ostatecznie model o postaci y= exp( *x). Model ten t³umaczy ponad 93 procent zmiennoœci skumulowanej proporcji prze ycia, przez co mo emy go uznaæ za model wysokiej jakoœci. Rycina 8. Ocena jakoœci dopasowania modelu poprzez ocenê rozk³adu reszt. Rycina 7. Wyniki modelowania eksponencjalnego krzywej prze ycia pacjentów leczonych metod¹ B. Stosuj¹c otrzymany model mo emy dokonaæ ostro - nej ekstrapolacji oceniaj¹c przybli ony rozk³ad krzywej prze ycia w metodzie B w kolejnych latach. Ostateczny wynik porównania obu czasów prze ycia zamieszczony jest na rycinie 9. Neuroskop 2003, tom1, nr 5 Rycina 9. Porównanie rozk³adów prze ycia miêdzy pacjentami leczonymi metodami A i B po uwzglêdnieniu prognozowania ekspotencjalnego. Zakoñczenie Przedstawione w pracy techniki statystyczne nie wyczerpuj¹ w adnym przypadku problemu analizy prze- ywalnoœci. Nie omówiono tu dla przyk³adu jednoczesnego porównania wiêkszej liczby krzywych (odpowiednika aw przypadku danych nie uciêtych testu Kruskala-Wallisa), tworzenia modeli nieparametrycznych (np. modelu proporcjonalnego hazardu wg Coxa) czy te analiz warstwowych. S¹ one jedynie przyk³adem podejœcia do zagadnienia analizy zdarzeñ (jak zaznaczono na wstêpie niekoniecznie zjawiska œmierci pacjenta) w przypadku niejednakowej d³ugoœci obserwacji. 125

6 Piœmiennictwo 1. Cox D. R., Oakes D.: Analysis of survival data. New York: Chapman & Hall, Gehan E. A.: A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily ingly-censored samples. Biometrika 1965, 52, Kaplan E. L., Meier P.: Nonparametric estimation from incomplete observations. J. Am. Stat. Assoc. 1958, 53, Peto R., Peto J.: Asymptotically efficient rank invariant procedures. J. Roy. Stat. Soc. 1972, 135, Adres: Katedra Informatyki i Statystyki AM ul. D¹browskiego Poznañ 126 Neuroskop 2003, tom1, nr 5

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. III. INTERPOLACJA 3.1. Ogólne zadanie interpolacji Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. Definicja 3.1. Zadanie interpolacji polega na okreœleniu parametrów tak, eby dla n +

Bardziej szczegółowo

Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania

Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania GABRIELA MAZUR ZYGMUNT MAZUR MAREK DUDEK Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania 1. Wprowadzenie Badania struktury kosztów logistycznych w wielu krajach wykaza³y, e podstawowym ich

Bardziej szczegółowo

IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH

IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH 4.1. Wprowadzenie Uk³ad równañ liniowych gdzie A oznacza dan¹ macierz o wymiarze n n, a b dany n-elementowy wektor, mo e byæ rozwi¹zany w skoñczonej liczbie kroków za pomoc¹

Bardziej szczegółowo

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem

Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem Analiza I Potrzebujesz pomocy? Wypełnij formularz Dokonamy analizy mającej na celu pokazanie czy płeć jest istotnym czynnikiem różnicującym oglądalność w TV meczów piłkarskich. W tym celu zastosujemy test

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

4. OCENA JAKOŒCI POWIETRZA W AGLOMERACJI GDAÑSKIEJ

4. OCENA JAKOŒCI POWIETRZA W AGLOMERACJI GDAÑSKIEJ 4. OCENA JAKOŒCI POWIETRZA 4.1. Ocena jakoœci powietrza w odniesieniu do norm dyspozycyjnych O jakoœci powietrza na danym obszarze decyduje œredni poziom stê eñ zanieczyszczeñ w okresie doby, sezonu, roku.

Bardziej szczegółowo

Regulator ciœnienia ssania typu KVL

Regulator ciœnienia ssania typu KVL Regulator ciœnienia ssania typu KVL Wprowadzenie jest montowany na przewodzie ssawnym, przed sprê ark¹. KVL zabezpiecza silnik sprê arki przed przeci¹ eniem podczas startu po d³u szym czasie postoju albo

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania

Bardziej szczegółowo

(0) (1) (0) Teoretycznie wystarczy wzi¹æ dowoln¹ macierz M tak¹, by (M) < 1, a nastêpnie obliczyæ wektor (4.17)

(0) (1) (0) Teoretycznie wystarczy wzi¹æ dowoln¹ macierz M tak¹, by (M) < 1, a nastêpnie obliczyæ wektor (4.17) 4.6. Metody iteracyjne 65 Z definicji tej wynika, e istnieje skalar, taki e Av = v. Liczbê nazywamy wartoœci¹ w³asn¹ macierzy A. Wartoœci w³asne macierzy A s¹ pierwiastkami wielomianu charakterystycznego

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno

WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:

Bardziej szczegółowo

ZNAK MARKI ZASADY STOSOWANIA

ZNAK MARKI ZASADY STOSOWANIA ZNAK MARKI ZASADY STOSOWANIA SPIS TREŒCI Elementy bazowe wersja podstawowa 1.00 konstrukcja znaku 1.01 wielkoœæ minimalna 1.02 minimalny obszar ochronny 1.03 nieprawid³owe u ycie znaku 1.04 wersja podstawowa

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH Nazwa w języku angielskim STATISTICAL DATA ANALYSIS Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest

Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest 38 Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest Wniosek 3.2. Jeœli funkcja f ma ci¹g³¹ pochodn¹ rzêdu n + 1 na odcinku [a, b] zawieraj¹cym wêz³y rzeczywiste x i (i = 0, 1,..., k) i punkt x, to istnieje wartoœæ

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Zmienne losowe i teoria prawdopodobieństwa 3. Populacje i próby danych 4. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Przykład 1. (A. Łomnicki)

Przykład 1. (A. Łomnicki) Plan wykładu: 1. Wariancje wewnątrz grup i między grupami do czego prowadzi ich ocena 2. Rozkład F 3. Analiza wariancji jako metoda badań założenia, etapy postępowania 4. Dwie klasyfikacje a dwa modele

Bardziej szczegółowo

Metody analizy funkcji przeżycia

Metody analizy funkcji przeżycia Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia? Jest to analiza czasu trwania, zaprojektowana do analizy tzw.

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia? Jest to analiza czasu trwania, zaprojektowana do analizy tzw. ANALIZA PRZEŻYCIA Analiza przeżycia Czym zajmuje się analiza przeżycia? Jest to analiza czasu trwania, zaprojektowana do analizy tzw. danych uciętych Obserwacja jest nazywana uciętą jeżeli zdarzenie jeszcze

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA

SYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA Górnictwo i Geoin ynieria Rok 29 Zeszyt 4 2005 Ryszard Snopkowski* SYMULACJA STOCHASTYCZNA W ZASTOSOWANIU DO IDENTYFIKACJI FUNKCJI GÊSTOŒCI PRAWDOPODOBIEÑSTWA WYDOBYCIA 1. Wprowadzenie W monografii autora

Bardziej szczegółowo

Doœwiadczalne wyznaczenie wielkoœci (objêtoœci) kropli ró nych substancji, przy u yciu ró - nych zakraplaczy.

Doœwiadczalne wyznaczenie wielkoœci (objêtoœci) kropli ró nych substancji, przy u yciu ró - nych zakraplaczy. 26. OD JAKICH CZYNNIKÓW ZALE Y WIELKOŒÆ KROPLI? 1. Realizowane treœci podstawy programowej Przedmiot Matematyka Fizyka Chemia Realizowana treœæ podstawy programowej Uczeñ: 9.1 interpretuje dane przedstawione

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH

STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 1 13 pa¹dziernik 2014 1 / 49 Plan wykªadu 1. Analizy prze»ycia na przykªadach 2. Podstawowe idee statystyki matematycznej wykorzystywane w analizie

Bardziej szczegółowo

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.),

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.), Istota umów wzajemnych Podstawa prawna: Księga trzecia. Zobowiązania. Dział III Wykonanie i skutki niewykonania zobowiązań z umów wzajemnych. art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

Katowice, dnia 29 wrzeœnia 2006 r. Nr 15 ZARZ DZENIE PREZESA WY SZEGO URZÊDU GÓRNICZEGO

Katowice, dnia 29 wrzeœnia 2006 r. Nr 15 ZARZ DZENIE PREZESA WY SZEGO URZÊDU GÓRNICZEGO DZIENNIK URZÊDOWY WY SZEGO URZÊDU GÓRNICZEGO Katowice, dnia 29 wrzeœnia 2006 r. Nr 15 TREŒÆ: Poz.: ZARZ DZENIE PREZESA WY SZEGO URZÊDU GÓRNICZEGO 81 nr 6 z dnia 29 sierpnia 2006 r. zmieniaj¹ce zarz¹dzenie

Bardziej szczegółowo

Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych

Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych PRACA W GODZINACH NADLICZBOWYCH ART. 151 1 K.P. Praca wykonywana ponad obowiązujące pracownika normy czasu pracy, a także praca wykonywana ponad przedłużony

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkê z kodem szko³y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Przed matur¹ MAJ 2011 r. Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

TEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp

TEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp TEST dla stanowisk robotniczych sprawdzający wiedzę z zakresu bhp 1. Informacja o pracownikach wyznaczonych do udzielania pierwszej pomocy oraz o pracownikach wyznaczonych do wykonywania działań w zakresie

Bardziej szczegółowo

3.2 Warunki meteorologiczne

3.2 Warunki meteorologiczne Fundacja ARMAAG Raport 1999 3.2 Warunki meteorologiczne Pomiary podstawowych elementów meteorologicznych prowadzono we wszystkich stacjach lokalnych sieci ARMAAG, równolegle z pomiarami stê eñ substancji

Bardziej szczegółowo

AUTOR MAGDALENA LACH

AUTOR MAGDALENA LACH PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009

Bardziej szczegółowo

na dostawę licencji na oprogramowanie przeznaczone do prowadzenia zaawansowanej analizy statystycznej

na dostawę licencji na oprogramowanie przeznaczone do prowadzenia zaawansowanej analizy statystycznej Warszawa, dnia 16.10.2015r. ZAPYTANIE OFERTOWE na dostawę licencji na oprogramowanie przeznaczone do prowadzenia zaawansowanej analizy statystycznej Do niniejszego postępowania nie mają zastosowania przepisy

Bardziej szczegółowo

Matematyka na szóstke

Matematyka na szóstke Stanislaw Kalisz Jan Kulbicki Henryk Rudzki Matematyka na szóstke Zadania dla klasy V Opole Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012 Wstêp...5 1. Liczby naturalne...7 Rachunek pamiêciowy...7 1. Dodawanie i odejmowanie...7

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce na naklejkê z kodem (Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MIN-W2A1P-021 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Instrukcja dla zdaj¹cego Czas pracy 120 minut 1. Proszê sprawdziæ, czy

Bardziej szczegółowo

NABYWCY NA POZNAÑSKIM RYNKU NIERUCHOMOŒCI MIESZKANIOWYCH W LATACH 2010 III KW. 2011R. WSTÊPNE WYNIKI BADAÑ

NABYWCY NA POZNAÑSKIM RYNKU NIERUCHOMOŒCI MIESZKANIOWYCH W LATACH 2010 III KW. 2011R. WSTÊPNE WYNIKI BADAÑ NABYWCY NA POZNAÑSKIM RYNKU NIERUCHOMOŒCI MIESZKANIOWYCH W LATACH 2010 III KW. 2011R. WSTÊPNE WYNIKI BADAÑ W artykule podjêto próbê okreœlenia cech nabywcy na poznañskim rynku nieruchomoœci mieszkaniowych.

Bardziej szczegółowo

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH?

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH? 47. CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZI ZAÆ SZYSTKIE UK ADY DÓCH RÓNAÑ LINIOYCH? 1. Realizowane treœci podstawy programowej Przedmiot Matematyka Informatyka Realizowana treœæ podstawy programowej 7. Równania.

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna 2015/2016

Statystyka matematyczna 2015/2016 Statystyka matematyczna 2015/2016 nazwa przedmiotu SYLABUS B. Informacje szczegółowe Elementy składowe Opis sylabusu Nazwa przedmiotu Statystyka matematyczna Kod przedmiotu 0600-FS2-2SM Nazwa jednostki

Bardziej szczegółowo

Instalacja sterowników do urz¹dzeñ wielkoformatowych zainstalowanych w firmie Centrum Ksero STUDIO K2 s.c w Pile

Instalacja sterowników do urz¹dzeñ wielkoformatowych zainstalowanych w firmie Centrum Ksero STUDIO K2 s.c w Pile Instalacja sterowników do urz¹dzeñ wielkoformatowych zainstalowanych w firmie Centrum Ksero STUDIO K2 s.c w Pile sterowniki znajduj¹ siê na stronie www.centrumksero.pl w zak³adce DO POBRANIA/STEROWNIKI

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA dr inż.. ALEKSANDRA ŁUCZAK Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Katedra Finansów w i Rachunkowości ci Zakład Metod Ilościowych Collegium Maximum,, pokój j 617 Tel. (61) 8466091 luczak@up.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Instrukcja sporządzania skonsolidowanego bilansu Miasta Konina

Instrukcja sporządzania skonsolidowanego bilansu Miasta Konina Załącznik Nr 1 Do zarządzenia Nr 92/2012 Prezydenta Miasta Konina z dnia 18.10.2012 r. Instrukcja sporządzania skonsolidowanego bilansu Miasta Konina Jednostką dominującą jest Miasto Konin (Gmina Miejska

Bardziej szczegółowo

3.3.3 Py³ PM10. Tabela 3.3.3.1 Py³ PM10 - stê enia œrednioroczne i œredniookresowe

3.3.3 Py³ PM10. Tabela 3.3.3.1 Py³ PM10 - stê enia œrednioroczne i œredniookresowe Wyniki pomiarów z sieci ARMAAG Fundacja ARMAAG Raport 1999 3.3.3 Py³ PM10 Py³ PM10 mierzony by³ w stacjach ARMAAG dwiema metodami: metod¹ radiometryczn¹ analizatorem firmy Eberline i metod¹ wagow¹, py³omierzem

Bardziej szczegółowo

Wyniki przeszczepiania komórek hematopoetycznych od dawcy niespokrewnionego

Wyniki przeszczepiania komórek hematopoetycznych od dawcy niespokrewnionego Wyniki przeszczepiania komórek hematopoetycznych od dawcy niespokrewnionego W ramach realizacji projektu badawczego w³asnego finansowanego przez Ministerstwo Nauki igrano Szkolnictwa Wy szego (grant nr

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex) Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM TECHNOLOGII NAPRAW WERYFIKACJA TULEJI CYLINDROWYCH SILNIKA SPALINOWEGO

LABORATORIUM TECHNOLOGII NAPRAW WERYFIKACJA TULEJI CYLINDROWYCH SILNIKA SPALINOWEGO LABORATORIUM TECHNOLOGII NAPRAW WERYFIKACJA TULEJI CYLINDROWYCH SILNIKA SPALINOWEGO 2 1. Cel ćwiczenia : Dokonać pomiaru zuŝycia tulei cylindrowej (cylindra) W wyniku opanowania treści ćwiczenia student

Bardziej szczegółowo

Analiza CVP koszty wolumen - zysk

Analiza CVP koszty wolumen - zysk Analiza CVP koszty wolumen - zysk Na podstawie: W.F. Samuelson, S.G. Marks, Ekonomia Menedżerska, PWE, Warszawa 2009 1 Próg rentowności model w ujęciu księgowym 2 Analiza koszty wolumen zysk- CVP Cost

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO I MATEMATYCZNEGO

WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO I MATEMATYCZNEGO Nr ćwiczenia: 101 Prowadzący: Data 21.10.2009 Sprawozdanie z laboratorium Imię i nazwisko: Wydział: Joanna Skotarczyk Informatyki i Zarządzania Semestr: III Grupa: I5.1 Nr lab.: 1 Przygotowanie: Wykonanie:

Bardziej szczegółowo

Krótka informacja o instytucjonalnej obs³udze rynku pracy

Krótka informacja o instytucjonalnej obs³udze rynku pracy Agnieszka Miler Departament Rynku Pracy Ministerstwo Gospodarki, Pracy i Polityki Spo³ecznej Krótka informacja o instytucjonalnej obs³udze rynku pracy W 2000 roku, zosta³o wprowadzone rozporz¹dzeniem Prezesa

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński

PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR Wojciech Zieliński Katedra Ekonometrii i Statystyki SGGW Nowoursynowska 159, PL-02-767 Warszawa wojtek.zielinski@statystyka.info

Bardziej szczegółowo

Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Imię i nazwisko

Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Imię i nazwisko Temat: Czy świetlówki energooszczędne są oszczędne i sprzyjają ochronie środowiska? Karta pracy III.. Imię i nazwisko klasa Celem nauki jest stawianie hipotez, a następnie ich weryfikacja, która w efekcie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce na naklejkê z kodem (Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MIN-W1A1P-021 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Czas pracy 90 minut ARKUSZ I MAJ ROK 2002 Instrukcja dla zdaj¹cego 1.

Bardziej szczegółowo

MIÊDZYNARODOWY STANDARD REWIZJI FINANSOWEJ 520 PROCEDURY ANALITYCZNE SPIS TREŒCI

MIÊDZYNARODOWY STANDARD REWIZJI FINANSOWEJ 520 PROCEDURY ANALITYCZNE SPIS TREŒCI MIÊDZYNARODOWY STANDARD REWIZJI FINANSOWEJ 520 PROCEDURY ANALITYCZNE (Stosuje siê przy badaniu sprawozdañ finansowych sporz¹dzonych za okresy rozpoczynaj¹ce siê 15 grudnia 2009 r. i póÿniej) Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi na pytania zadane do zapytania ofertowego nr EFS/2012/05/01

Odpowiedzi na pytania zadane do zapytania ofertowego nr EFS/2012/05/01 Odpowiedzi na pytania zadane do zapytania ofertowego nr EFS/2012/05/01 1 Pytanie nr 1: Czy oferta powinna zawierać informację o ewentualnych podwykonawcach usług czy też obowiązek uzyskania od Państwa

Bardziej szczegółowo

RUCH KONTROLI WYBORÓW. Tabele pomocnicze w celu szybkiego i dokładnego ustalenia wyników głosowania w referendum w dniu 6 września 2015 r.

RUCH KONTROLI WYBORÓW. Tabele pomocnicze w celu szybkiego i dokładnego ustalenia wyników głosowania w referendum w dniu 6 września 2015 r. RUCH KONTROLI WYBORÓW Tabele pomocnicze w celu szybkiego i dokładnego ustalenia wyników głosowania w referendum w dniu września r. Plik zawiera - dwie tabele pomocnicze do zliczania wyników cząstkowych

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

VRRK. Regulatory przep³ywu CAV

VRRK. Regulatory przep³ywu CAV Regulatory przep³ywu CAV VRRK SMAY Sp. z o.o. / ul. Ciep³ownicza 29 / 1-587 Kraków tel. +48 12 680 20 80 / fax. +48 12 680 20 89 / e-mail: info@smay.eu Przeznaczenie Regulator sta³ego przep³ywu powietrza

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Witold Bednarek. Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam!

Witold Bednarek. Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam! Witold Bednarek Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam! OPOLE Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012 Spis treœci Od autora......................................... 4 Rozgrzewka.......................................

Bardziej szczegółowo

Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych

Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych Statistics for clinical research & post-marketing surveillance część III Program szkolenia część III Model regresji liniowej Współczynnik korelacji

Bardziej szczegółowo

Badania skuteczności działania filtrów piaskowych o przepływie pionowym z dodatkiem węgla aktywowanego w przydomowych oczyszczalniach ścieków

Badania skuteczności działania filtrów piaskowych o przepływie pionowym z dodatkiem węgla aktywowanego w przydomowych oczyszczalniach ścieków Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołł łłątaja w Krakowie, Wydział Inżynierii Środowiska i Geodezji Katedra Inżynierii Sanitarnej i Gospodarki Wodnej K r z y s z t o f C h m i e l o w s k i Badania skuteczności

Bardziej szczegółowo

Spe³nienie wymagañ czasu rzeczywistego w obrêbie rodziny sterowników PLC

Spe³nienie wymagañ czasu rzeczywistego w obrêbie rodziny sterowników PLC AUTOMATYKA 2005 Tom 9 Zeszyt 1 2 Iwona Oprzêdkiewicz Spe³nienie wymagañ czasu rzeczywistego w obrêbie rodziny sterowników PLC 1. Wprowadzenie Systemy sterowania wykorzystuj¹ce sterowniki PLC w przemyœle

Bardziej szczegółowo

Powszechność nauczania języków obcych w roku szkolnym

Powszechność nauczania języków obcych w roku szkolnym Z PRAC INSTYTUTÓW Jadwiga Zarębska Warszawa, CODN Powszechność nauczania języków obcych w roku szkolnym 2000 2001 Ö I. Powszechność nauczania języków obcych w różnych typach szkół Dane przedstawione w

Bardziej szczegółowo

TEORETYCZNA FORMUŁA WYZNACZANIA ODPORNO CI TEKTURY NA ZGNIATANIE KRAW DZIOWE

TEORETYCZNA FORMUŁA WYZNACZANIA ODPORNO CI TEKTURY NA ZGNIATANIE KRAW DZIOWE Ignacy BOMBA, Katarzyna KWIECIE TEORETYCZNA FORMUŁA WYZNACZANIA ODPORNO CI TEKTURY NA ZGNIATANIE KRAW DZIOWE Streszczenie W artykule przedstawiono procedur oraz wyniki poszukiwania teoretycznej formuły

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Zagro enia fizyczne. Zagro enia termiczne. wysoka temperatura ogieñ zimno

Zagro enia fizyczne. Zagro enia termiczne. wysoka temperatura ogieñ zimno Zagro enia, przy których jest wymagane stosowanie œrodków ochrony indywidualnej (1) Zagro enia fizyczne Zagro enia fizyczne Zał. Nr 2 do rozporządzenia MPiPS z dnia 26 września 1997 r. w sprawie ogólnych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

UMOWA PARTNERSKA. z siedzibą w ( - ) przy, wpisanym do prowadzonego przez pod numerem, reprezentowanym przez: - i - Przedmiot umowy

UMOWA PARTNERSKA. z siedzibą w ( - ) przy, wpisanym do prowadzonego przez pod numerem, reprezentowanym przez: - i - Przedmiot umowy UMOWA PARTNERSKA zawarta w Warszawie w dniu r. pomiędzy: Izbą Gospodarki Elektronicznej z siedzibą w Warszawie (00-640) przy ul. Mokotowskiej 1, wpisanej do rejestru stowarzyszeń, innych organizacji społecznych

Bardziej szczegółowo

Akademickie Centrum Informatyki PS. Wydział Informatyki PS

Akademickie Centrum Informatyki PS. Wydział Informatyki PS Akademickie Centrum Informatyki PS Wydział Informatyki PS Wydział Informatyki Sieci komputerowe i Telekomunikacyjne ROUTING Krzysztof Bogusławski tel. 4 333 950 kbogu@man.szczecin.pl 1. Wstęp 2. Tablica

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia?

Analiza przeżycia. Czym zajmuje się analiza przeżycia? ANALIZA PRZEŻYCIA Analiza przeżycia Czym zajmuje się analiza przeżycia? http://www.analyticsvidhya.com/blog/2014/04/survival-analysis-model-you/ Analiza przeżycia Jest to inaczej analiza czasu trwania

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;

Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; LABORATORIUM 4 Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona; dwie zmienne zależne mierzalne małe próby duże próby rozkład normalny

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA OBS UGI KARI WY CZNIK P YWAKOWY

INSTRUKCJA OBS UGI KARI WY CZNIK P YWAKOWY INSTRUKCJA OBS UGI KARI WY CZNIK P YWAKOWY Wydanie paÿdziernik 2004 r PRZEDSIÊBIORSTWO AUTOMATYZACJI I POMIARÓW INTROL Sp. z o.o. ul. Koœciuszki 112, 40-519 Katowice tel. 032/ 78 90 000, fax 032/ 78 90

Bardziej szczegółowo

POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA.

POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. Do pomiaru strumienia przep³ywu w rurach metod¹ zwê kow¹ u ywa siê trzech typów zwê ek pomiarowych. S¹ to kryzy, dysze oraz zwê ki Venturiego. (rysunek

Bardziej szczegółowo

1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości

1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

Koszty obciążenia społeczeństwa. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012

Koszty obciążenia społeczeństwa. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012 Koszty obciążenia społeczeństwa chorobami układu krążenia. Ewa Oćwieja Marta Ryczko Koło Naukowe Ekonomiki Zdrowia IZP UJ CM 2012 Badania kosztów chorób (COI Costof illnessstudies) Ekonomiczny ciężar choroby;

Bardziej szczegółowo

Młodzieńcze spondyloartropatie/zapalenie stawów z towarzyszącym zapaleniem przyczepów ścięgnistych (mspa-era)

Młodzieńcze spondyloartropatie/zapalenie stawów z towarzyszącym zapaleniem przyczepów ścięgnistych (mspa-era) www.printo.it/pediatric-rheumatology/pl/intro Młodzieńcze spondyloartropatie/zapalenie stawów z towarzyszącym zapaleniem przyczepów ścięgnistych (mspa-era) Wersja 2016 1. CZYM SĄ MŁODZIEŃCZE SPONDYLOARTROPATIE/MŁODZIEŃCZE

Bardziej szczegółowo

L A K M A R. Rega³y DE LAKMAR

L A K M A R. Rega³y DE LAKMAR Rega³y DE LAKMAR Strona 2 I. KONSTRUKCJA REGA ÓW 7 1 2 8 3 4 1 5 6 Rys. 1. Rega³ przyœcienny: 1 noga, 2 ty³, 3 wspornik pó³ki, 4pó³ka, 5 stopka, 6 os³ona dolna, 7 zaœlepka, 8 os³ona górna 1 2 3 4 9 8 1

Bardziej szczegółowo

GDYNIA moje miasto. Księga Znaku Promocyjnego

GDYNIA moje miasto. Księga Znaku Promocyjnego GDYNIA moje miasto Księga Znaku Promocyjnego SPIS TREŚCI 01 ELEMENTY BAZOWE 01.01... Znak podstawowy 01.02... Kolorystyka 01.03... Budowa znaku 01.04... Znak w wersjach uproszczonych 01.05... Znak w wersji

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa Zamawiający: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej 00-662 Warszawa, ul. Koszykowa 75 Przedmiot zamówienia: Produkcja Interaktywnej gry matematycznej Nr postępowania: WMiNI-39/44/AM/13

Bardziej szczegółowo

1 Miary asymetrii i koncentracji

1 Miary asymetrii i koncentracji Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŒCI. Przedmowa przewodnicz¹cego Rady Naukowej Czasopisma Aptekarskiego... 13. Od Autora... 15. Rozdzia³ 1

SPIS TREŒCI. Przedmowa przewodnicz¹cego Rady Naukowej Czasopisma Aptekarskiego... 13. Od Autora... 15. Rozdzia³ 1 SPIS TREŒCI Przedmowa przewodnicz¹cego Rady Naukowej Czasopisma Aptekarskiego........................... 13 Od Autora........................................... 15 Rozdzia³ 1 ROLA I ZNACZENIE FARMAKOEKONOMIKI

Bardziej szczegółowo

Wyk³ad INTERPOLACJA.

Wyk³ad INTERPOLACJA. Wyk³ad 1. 3.10.2003 INTERPOLACJA. G³ównym zadaniem interpolacji jest wyznaczenie mo liwie szybki sposób wartoœci funkcji f(x) dla zmiennej niezale nej x, która nie nale y do tablicy danych (x i,y i ).

Bardziej szczegółowo

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 19 MAJA 2015

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 19 MAJA 2015 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI 19 MAJA 2015

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN WYNAGRADZANIA

REGULAMIN WYNAGRADZANIA Za³¹cznik do Zarz¹dzenia Nr 01/2009 Przewodnicz¹cego Zarz¹du KZG z dnia 2 kwietnia 2009 r. REGULAMIN WYNAGRADZANIA pracowników samorz¹dowych zatrudnionych w Komunalnym Zwi¹zku Gmin we W³adys³awowie Regulamin

Bardziej szczegółowo

LOKATY STANDARDOWE O OPROCENTOWANIU ZMIENNYM- POCZTOWE LOKATY, LOKATY W ROR

LOKATY STANDARDOWE O OPROCENTOWANIU ZMIENNYM- POCZTOWE LOKATY, LOKATY W ROR lokat i rachunków bankowych podane jest w skali roku. Lokaty po up³ywie terminu umownego odnawiaj¹ siê na kolejny okres umowny na warunkach i zasadach obowi¹zuj¹cych dla danego rodzaju lokaty w dniu odnowienia

Bardziej szczegółowo