Struktura CW-kompleksu na rozmaitości Grassmanna

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Kozarzewski Nr albumu: Struktura CW-kompleksu na rozmaitości Grassmanna Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem prof. Stefana Jackowskiego Czerwiec 2012

2 Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

3 Streszczenie Początek pracy dotyczy CW-kompleksów. Przedstawiono definicję kompleksu komórkowego, CW-kompleksu, oraz podstawowe przykłady. W dalszej części zdefiniujemy rozmaitości Stiefla, zarówno zwarte, jak i niezwarte, oraz udowodnimy ich najważniejsze własności, które pozwolą nam łatwo przejść do rozmaitości Grassmanna. W dotyczącym ich rozdziale podamy kilka równoważnych definicji, a następnie omówimy najważniejsze własności topologiczne. W ostatnim rozdziale wskażemy konstrukcję CW-kompleksu na grassmannianie. Słowa kluczowe CW-kompleks, kompleks komórkowy, rozmaitość, grassmannian, Grassmann, Stiefel, Schubert, komórka 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) Manifolds and cell complexes Klasyfikacja tematyczna Tytuł pracy w języku angielskim A CW-complex structure on the Grassmann manifolds

4

5 Spis treści Przedmowa Oznaczenia CW-kompleksy Rozmaitości Stiefla Rozmaitości Grassmanna Rozkład komórkowy rozmaitości Grassmanna Bibliografia

6

7 Przedmowa Hermann Grassmann 1 uważany jest powszechnie za twórcę algebry liniowej. Efektem jego ośmioletnich badań była praca Theorie der Ebbe und Flut (Teoria przepływów), która wprowadziła do matematyki tak kluczowe pojęcia jak przestrzeń wektorowa i funkcje wektorowe, a także tak niezbędne dzisiejszej matematyce operacje jak dodawanie wektorów. Dzieło napisane na potrzeby zdania egzaminu nauczycielskiego, jakkolwiek umożliwiło mu nauczanie innych przedmiotów w szczecińskiej szkole, w której pracował, nie zostało wówczas docenione w takim stopniu, na jakie, z punktu widzenia dzisiejszej matematyki, zasługiwało. Prawdziwym przełomem stało się jednak jego dzieło z roku 1843, Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (dosłownie: Nauka o liniowych rozszerzeniach nowa gałąź matematyki), w której algraicznie sformalizował geometrię liniową, wprowadzając reprezentację podprzestrzeni liniowej we współrzędnych odpowiadających współrzędnej na rozmaitości, którą dziś nazywamy grassmannianem. Grassmanniany odgrywają ogromną role w geometrii różniczkowej. Najbardziej znanym ich zastosowaniem jest na przykład uogólnienie odwzorowania Gaussa, przypisującego punktowi hiperpowierzchni zorientowanej wektor normalny w tym punkcie. Aby takie odwzorowanie w sferę było dobrze określone i ciągłe, potrzebujemy ciągłego wyboru wektora normalnego zatem żadne z założeń uczynionych na początku nie może być pominięte wymagamy zarówno orientowalności, jak i kowymiaru 1. Łatwo jednak zauważyć, że możemy zrezygnować z orientowalności, gdybyśmy przypisywali nie wektor normalny, a jego kierunek. Moglibyśmy wreszcie zauważyć, że zamiast jedynego wektora normalnego, możemy brać przestrzeń normalną dla rozmaitości M wymiaru n zanurzonej w przestrzeni euklidesowej wymiaru n + k zdefiniuje to odwzorowanie z M w zbiór podprzestrzeni liniowych wymiaru k w przestrzeni liniowej wymiaru n + k czyli w pewien grassmannian. Podobnie możemy postąpić z przestrzenią styczną i z jej pomocą odwzorować rozmaitość M w zbiór podprzestrzeni liniowych wymiaru n w przestrzeni wymiaru n + k. Pojęcie CW-kompleksu odgrywa z kolei fundamentalną rolę w topologii algebraicznej. Konstrucja Johna Whiteheada 2, wymagająca często nieszczególnie skomplikowanego znalezienia rozkładu komórkowego przestrzeni daje możliwość obliczenia jej charakterystyki Eulera, upraszcza obliczenie grup homologii i badanie typu homotopijnego. Jest też konstrukcją nieporównywalnie oszczędniejszą od kompleksu simplicjalnego, dzięki czemu zadanie struktury kompleksu na wielu przestrzeniach staje się 1 Hermann Günther Grassmann (ur. 15 kwietnia 1809 w Szczecinie, zmarły 23 września 1877 w Szczecinie) był nauczycielem w szczecińskim gimnazjum i cenionym językoznawcą. Obecnie jest jednak pamiętany głównie jako matematyk. 2 John Henry Constantine Whitehead (ur. 11 listopada 1904 w Madras w Indiach, zmarły 8 maja 1960 w Princeton) był brytyjskim matematykiem, współcześnie uważanym za jednego z twórców teorii homotopii. 5

8 zdecydowanie prostsze. Wydaje się zatem rozsądną próba zadania możliwie wygodniej w badaniach struktury komórkowej na tak istotnej przestrzeni, jaką jest grassmannian. Celem pracy będzie wskazanie na grassmannianie komórek i ich funkcji charakterystycznych w taki sposób, aby na podstawie rozkładu komórkowego grassmannianów nad przestrzenią liniową skończonego wymiaru wyprodukować także strukturę CW-kompleksu na zbiorze podprzestrzeni ustalonego wymiaru w przestrzeni liniowej wymiaru nieskończonego. Zmierzając do tego wyniku zbadamy podstawowe własności rozmaitości Grassmanna, a także, pomocniczo, Stiefla 3. Po wprowadzeniu podstawowych oznaczeń wprowadzimy strukturę CW-kompleksu i opiszemy kilka podstawowych przykładów. Po tej analizie zdefiniujemy rozmaitości Stiefla i zbadamy ich podstawowe własności topologiczne. To umożliwi nam wygodne zdefiniowanie grassmannianów i uprości ich zbadanie. W ostatnim rozdziale pracy zajmiemy się wskazaniem komórek i odwzorowań doklejających, zadając w ten sposób strukturę CW-kompleksu na grassmannianie. 3 Eduard L. Stiefel (ur. 21 kwietnia 1909 w Zurychu, zmarły 25 listopada 1978 w Zurychu) był szwajcarskim matematykiem, znanym przede wszystkim z wprowadzenia rozmaitości Stiefla oraz, a być może przede wszystkim, ze swoich badań wiązek wektorowych. 6

9 Rozdział 1 Oznaczenia W tym wstępnym rozdziale wprowadzimy oznaczenia, które będą użyteczne w dalszej części tekstu. Ciało K będzie tu oznaczało R ciało licz rzeczywistych, C zespolonych, lub H ciało nieprzemienne kwaternionów. Oznaczenie 1.1. Zbiory i grupy macierzy - Przez M m k (K) oznaczymy zbiór macierzy nad ciałem K o m wierszach i k kolumnach; - Przez Sym k (K) oznaczymy zbiór macierzy wymiaru k k nad ciałem K takich, że A = A x, gdzie x jest transpozycją dla ciała R i sprzężeniem hermitowskim dla ciała C oraz H; - Przez GL(m, K) oznaczymy grupę automorfizmów przestrzeni K m. Często po wybraniu bazy utożsamimy go z podzbiorem macierzy nieosobliwych w M m m (K); - Przez O(m) oznaczymy grupę izometrii R m. Po wybraniu bazy utożsamimy go z takim podzbiorem GL(m, R), w którym kolumny są ortonormalne; - Przez SO(m) oznaczymy podzbiór O(m), w którym macierze mają wyznacznik równy 1. Czasem będziemy o nim myśleć jak o grupie izometrii zachowujących orientację; - Przez U(m) oznaczymy taki podzbiór GL(m, C), w którym kolumny są ortonormalne, czyli inaczej grupę izometrii C m ; - Przez SU(m) oznaczymy podzbiór U(m), w którym macierze mają wyznacznik równy 1; Oznaczenie 1.2. Domkniętą kulę wymiaru m zawartą w R m, o środku w zerze, oznaczymy przez D m lub B m. Często będziemy ją nazywać dyskiem. Oznaczenie 1.3 (Brzeg zbioru). Dla przestrzeni topologicznej X i dowolnej poprzestrzeni Y X oznaczmy Y = Ȳ \ int Y, gdzie operacje domknięcia i wnętrza są wykonywane w X. W szczególności będziemy korzystać w przypadku Y = D m, X = R m, Y = S m 1. 7

10

11 Rozdział 2 CW-kompleksy W tym rozdziale wprowadzimy pojęcia kompleksu komórkowego i CW-kompleksu. Nadanie przestrzeni topologicznej struktury CW-kompleksu bywa bardzo użyteczne na przykład przy badaniu typu homotopijnego przestrzeni łatwo wyznacza charakterystykę Eulera, znacząco upraszcza policzenie grup homologii. Definicja 2.1 (CW-kompleks). Przestrzeń Y nazwiemy CW-kompleksem, jeśli istnieje jej filtracja Y (0) Y (1).. Y (m).. spełniająca warunki - Y = n Y (n) ; - Y (0) jest dyskretnym zbiorem punktów 0-komórek; - szkielet Y (n) jest przestrzenią ilorazową stworzoną z Y (n 1) α Dn α za pomocą odwzorowań ϕ n α : D n α Y (n 1) i relacji D n α x ϕ n α(x) Y (n 1). Obraz dysku D n α w przekształceniu ilorazowym q n : Y (n 1) α Dn α Y (n) nazwiemy komórką wymiaru n; - na Y zadajemy tak zwaną topologie słabą, to znaczy każdy zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy domknięty jest jego przekrój z każdym szkieletem. Oczywiście dla CW-kompleksu Y, w którym istnieje szkielet maksymalny, trzeci warunek jest spełniony automatycznie. Wprowadzimy też inną definicję CW-kompleksu, która okaże się dla nas wygodniejsza w dalszej części tekstu. W tym celu będziemy potrzebowai jednak dodatkowego, ogólniejszego pojęcia kompleksu komórkowego. Definicja 2.2 (Kompleks komórkowy). Kompleks komórkowy jest przestrzenią topologiczną Y wraz z jej podziałem na {e k α} rozłączne zbiory, zwane dalej komórkami, spełniającym warunki: - dla każdej komórki e k α istnieje ciągła fα k : D k Y taka, że f int D k jest homeomorfizmem na e k α. Często nazywa się fα k odwzorowaniem charakterystycznym, a jej obcięcie fα D k odwzorowaniem doklejającym; k - każdy punkt należący do e k α należy też do pewnej komórki e l θ (tzn. k > l). niższego wymiaru 9

12 Powiemy, że kompleks jest skończony, gdy składa się ze skończenie wielu komórek. Podkompleksem nazwiemy natomiast podzbiór komórek wybrany tak, by sam był kompleksem komórkowym. Definicja 2.3 (CW-kompleks). Przestrzeń ma strukturę CW-kompeksu, gdy jest kompleksem komórkowym ze słabą topologią (nazywaną też czasem topologią Whiteheada), to znaczy zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy domknięte jest jego przecięcie z dowolnym skończonym podkompleksem komórkowym. Takie dwie definicje są w jasny sposób równoważne. Szkielet n-ty możemy stworzyć ze zbiorów komórek wymiaru co najwyżej n, z drugiej strony komórki wymiaru n wspominane w definicji drugiej to składowe spójności przestrzeni Y (n) \ Y (n 1). Różnią się jednak bogactwem struktury druga z nich zadaje nie tylko samą filtrację na szkielety, ale również zestaw komórek. W dalszej części tekstu uda nam się jedna wskazać tę bogatszą strukturę na grassmannianach wskażemy wszystkie komórki i ich odwzorowania charakterystyczne. Zdefiniujemy teraz pojęcie odwzorowania komórkowego, które okaże się bardzo użyteczne w analizie rozmaitych przykładów kompleksów komórkowych. Definicja 2.4 (Odwzorowanie komórkowe). Niech X, Y CW-kompleksy. Powiemy, że f : X Y jest odwzorowaniem komórkowym, gdy dla każdego n zachodzi f(x (n) ) Y (n). Zanim przejdziemy do analizy bardziej skomplikowanych konstrukcji, przyjrzyjmy się kilku prostym przykładom. - Sferę S n skonstruujemy najprościej poprzez doklejenie dysku do punktu, to znaczy posyłając cały brzeg D n w uprzednio zadany punkt x. Mamy zatem {x} = Y (0) = Y (1) =.. = Y (n 1) i doklejenie jedynej komórki wymiaru n odbywa się wzdłuż funkcji stałej, posyłającej brzeg dysku w punkt x; - moglibyśmy skonstruować też sferę inaczej tak, aby Y (i) = S i dla każdego i. W tym celu bierzemy 2 punkty jako szkielet Y (0). Łączymy je dwoma rozłącznymi odcinkami, tworząc okrąg, mając Y (1) = S 1. Okrąg możemy zakleić dwoma dyskami, tworząc sferę. Ogólnie, otrzymawszy Y (i) = S i możemy zakleić dwoma rozłącznymi dyskami wymiaru i + 1, otrzymując Y (i+1) = S i+1. Taka konstrukcja może być interesująca z tego względu, że antypodyzm jest przekształceniem komórkowym indukuje antypodyzmy na szkieletach. W rzeczywistości zatem przeprowadza komórki homeomorficznie na komórki. Podzielenie tak zbudowanej sfery przez relację antypodyzmu zada nam zatem strukturę CW-kompleksu przestrzeni rzutowej; - przestrzeń rzutową wymiaru n otrzymamy przez prosty zabieg. Możemy o niej myśleć, jak o sferze z utożsamieniem antypodycznym, ale także jak o półsferze z utożsamieniem antypodycznym na brzegu. Sam brzeg z takim utożsamieniem to przestrzeń rzutowa wymiaru n 1, widzimy zatem, że możemy indukcyjnie otrzymywać RP n przez doklejenie D n do RP n 1 za pomocą utożsamienia antypodycznego na D n i włożenia go w RP n ; - kontrukcje CW-kompleksu dla płaszczyzny rzutowej, butelki Kleina, torusa, czy g-precli możemy zadać przez przedstawienie ich jako wielokątów z utożsamieniami na bokach. 10

13 W kolejnych częściach pracy będziemy dążyli do przeprowadzenia podobnej struktury na rozmaitościach Grassmanna, co okaże się wyraźnie bardziej wymagające. 11

14

15 Rozdział 3 Rozmaitości Stiefla W tym rozdziale postaramy się zdefiniować rozmaitości Stiefla oraz omówić ich podstawowe własności. Będą nam one potrzebne w dalszej części rozważań do zdefiniowania grassmaniannów i przeprowadzenia na nich rachunku Schuberta. Weźmy V przestrzeń liniowa nad ciałem K, czyli R, C lub H, wymiaru n. Żądamy ponadto, by na przestrzeni V zadany był iloczyn skalarny. Wprowadźmy też na V bazę ortonormalną {u i } n i=1, która okaże się użyteczna przy sprawdzeniu niektórych własności. Definicja 3.1 (Niezwarta rozmaitość Stiefla). Dla k n definiujemy V k (V) jako zbiór ciągów (v 1, v 2,.., v k ) V k takich, że {v 1, v 2,.., v k } tworzą układ niezależny liniowo w V. Innymi słowy, umieszczone w wierszach zapisy kolejnych wektorów v i w wybranej bazie {u i } n i=1 mają tworzyć macierz rzędu k (czyli maksymalnego). Takie podejście pozwoli nam ograniczyć sprawdzanie własności niezwartej rozmaitości Stiefla do V k (K n ), gdzie K = R, C lub H. Definicja 3.2 (Zwarta rozmaitość Stiefla). Dla k n definiujemy V k (V) jako zbiór ciągów (v 1, v 2,.., v k ) V k takich, że {v 1, v 2,.., v k } mają długość 1 i są prostopadłe w V. Warto tu wspomnieć, że w literaturze zwartą rozmaitość Stiefla nazywa się często po prostu rozmaitością Stiefla. Podobnie jak w przypadku niezwartej, możemy myśleć o zwartej rozmaitości Stiefla jak o k-elementowych ciągach ortonormalnych wektorów z K n. Możemy zatem myśleć o zwartej rozmaitość Stiefla również macierzowo. Jest to zbiór takich macierzy A, że A A x = Id K k, gdzie operacja x jest transpozycją dla K = R i sprzężeniem hermitowskim dla K {C, H}. Warto w tym miejscu rozważyć kilka najbardziej podstawowych przykładów. Dla uproszczenia notacji ustalmy, że V jest przestrzenią liniową nad K wymiaru n, V R wymiaru n nad R, zaś V C wymiaru n nad C. Przez d K oznaczymy wymiar ciała K nad R. - V 1 (V) to zbiór wszystkich niezerowych wektorów, odpowiednio w V; - V 1 (V) to zbiór wektorów jednostkowych w V, jest więc homeomorficzny, właściwie nawet izometryczny, z S d Kn 1 ; - V n (V) to, po zapisie każdego elementu w bazie {u i } n i=1, zbiór macierzy nieosobliwych zawarty w M n n (K), jest zatem homeomorficzny z grupą Lie GL(n, K) grupą automorfizmów przestrzeni liniowej K n ; 13

16 - V n 1 (V C ) możemy utożsamić z takim podzbiorem M n 1 n, w którym n 1 wierszy jest ortonormalnych. Weźmy dowolny element S V n 1 (W). Dopełnienie ortogonalne wierszy S do całej przestrzeni C n jest wyznaczone w sposób jednoznaczny, jest jednowymiarowe i zależy w sposób ciągły od S. Weźmy zatem dowolny niezerowy wektor ṽ z tego dopełnienia i dopiszmy do S jako ostatni wiersz, otrzymując macierz kwadratową Ŝ o niezerowym wyznaczniku d. Jeśli zatem zamiast ṽ dopisalibysmy wektor v = ṽ, macierz Ŝ byłaby ortonormalna i miała wyznacznik 1. d Ponadto v jest jedynym wektorem o tej własności i zalezy w sposób ciągły od S. Mamy stąd, że V n 1 (W) jest homeomorficzna z grupą Liego SU(n); - Per analogiam V n 1 (V R ) jest homeomorficzna z grupą SO(n) izometrii R n zachowujących orientację. Po krótkiej analizie kilku charakterystycznych przykładów, możemy przejść do odrobinę bardziej wnikliwej analizy własności rozmaitości Stiefla. Tutaj V traktujmy jako przestrzeń liniową nad dowolnym z ciał R, C, H. Istotną cechą rozmaitości Stiefla oraz użyteczną przy badaniu grassmannianów, są własności działania grupami automorfizmów przestrzeni liniowych na te rozmaitości. Stwierdzenie 3.1. Działanie grupy GL(k, K) na rozmaitość V k (V) przez mnożenie lewostronne macierzy jest dobrze określonym działaniem grupy na zbiór. Podobnie działanie GL(n, K) przez mnożenie prawostronne. W podobny sposób na zwarte rozmaitości Stiefla działają grupy izometrii. Pierwsze z działań zamienia wiersze na ich kombinacje liniowe (ortogolnalne, w przypadku izometrii), nie zmienia zatem przestrzeni rozpiętej przez wiersze. Drugie działanie jest tranzytywne. Dowód. Dowód wynika natychmiast z własności tych grup i łączności mnożenia macierzy. To trywialne stwierdzenie będzie miało istotne konsekwencje i zdecydowanie uprości definiowanie rozmaitości Grassmanna jako przestrzeni ilorazowych. Lemat 3.2. Niezwarta rozmaitość Stiefla V k (V) jest rozmaitością. Dowód. Jest ona podzbiorem otwartym w k-krotnym iloczynie kartezjańskim V.. V, który jest homeomorficzny z K nk. Lemat 3.3. Zwarta rozmaitość Stiefla V k (V) jest rozmaitością. Dowód. Wystarczy pokazać, że funkcja F : M k n (K) Sym k (K) określona wzorem F(A) = A A x przyjmuje Id K k jako wartość regularną. Wówczas V k (V) okaże się włóknem submersji i tym samym rozmaitością wymiaru nk k(k+1) 2 = k 2n k 1 2 dla K = R, 2nk k 2 dla K = C i 4nk ( k(k+1) k(k 1) 2 ) = k(4n 2k + 1) dla K = H. Ogólnie dla d K = dim R K wymiar rozmaitości Stiefla V k (V) wynosi nkd K d KK 2 d K k+2k 2 Niech zatem h M k n. d (A + th) (A + th) x dt( ) = d ( t=0 A A x + ta h x + th A x + t 2 h h x) dt = t=0 = A h x + (A h x ) x Musimy sprawdzić, że dla dowolnej A takiej, że A A x = Id K k i dowolnej macierzy S Sym k (K) istnieje macierz h M k n taka, że A h x + (A h x ) x = S. Rachunek ten 14

17 stanie się prosty, gdy rozbijemy go na dwa etapy. W pierwszym załóżmy że A to macierz jednostkowa k k z dopisanymi zerami z prawej strony. Oznaczmy ją Ã. Dla dowolnej macierzy S znajdujemy h do S dopisujemy zera z prawej strony. Dla dowolnej macierzy A zauważmy, że A = Ã B dla pewnej macierzy B O(n), którą konstruujemy 2 tak, aby jej transpozycja, czy też sprzężenie hermitowskie, interpretowane jako automorfizmy K n, dawały na początkowych wektorach bazy standardowej (czyli wierszach Ã) kolejne wiersze macierzy A. W ten sposób przypadek ogólny sprowadziliśmy do już omówionego. Lemat 3.4. Zwarta rozmaitość Stiefla V k (V) jest zwarta. Dowód. Jest domknięta w k-krotnym iloczynie sfer S nd K 1.. S nd K 1. Tę domkniętość już sprawdziliśmy jest to gładki, a więc i ciągły, przeciwobrazobraz punktu Id k w odwzorowaniu A A x, prowadzącym z iloczynu sfer w Sym k (K). Rozmaitość Stiefla jest zatem domkniętą podprzestrzenią przestrzeni zwartej, jest zatem zwarta. Lemat 3.5. Zwarta rozmaitość Stiefla V k (V) jest silnym retraktem deformacyjnym niezwartej rozmaitości Stiefla V k (V) Dowód. Wypiszemy tę retrakcję explicite. Wprowadźmy najpierw operator rzutu prostopadłego wektora v na wektor u Π u (v) = < u, v > < u, u > u. Zapiszmy teraz wiersze macierzy odpowiadającej punktowi X Vk (V) jako x 1,.., x k. Definiujemy x 1 := x 1, niech x m to m-ty wiersz macierzy r(m 1, X), definiujemy r(t, X) = ( x 1, x 2,.., x i, x i+1 (t i + 1)Σ i j=1π xj ( x i+1 ), x i+2,.., x k ) dla t [i 1, i]. Zauważmy najpierw, że do zdefiniowania przekształcenia r na wektorze x m potrzebujemy wektory x i dla i m 1, które w t = m 1 już znamy, jest to zatem poprawna definicja r dla t [0, k 1]. Wykonaliśmy ortogonalizację ciągu niezależnego liniowo (nie uzyskaliśmy zatem wiersza zerowego), zachowując ponadto przestrzenie rozpinane przez początkowe wiersze. Zdefiniujmy teraz r na odcinku [k 1, k] jako x 1 r(t, (x 1, x 2,.., x k )) = ( (k t) + (t k + 1) x 1,.., x k (k t) + (t k + 1) x k ). Tak zdefiniowane r jest homotopijne z identycznością (wypisaliśmy tę homotopię na odcinku [0, k]) i prowadzi z V k (V) w V k (V), identycznościowe na V k (V). Tak zdefiniowane r(x, k) jest zatem retrakcją deformacyjną niezwartej romzaitości Stiefla identycznościową na V k (V), co konczy dowód. Stwierdzenie 3.6. Rozmaitości Stiefla nad przestrzeniami nad ciałami C i H są spójne łukowo. Rozmaitości Stiefla nad ciałem R są spójne łukowo poza maksymalną, to znaczy dla dim R V = n poza V n (V), która ma dwie składowe spójności. Dowód. Po pierwsze zauważmy, za lematem o retrakcji rozmaitości niezwartych na zwarte, że wystarczy sprawdzać dla zwartych rozmaitości Stiefla, ponieważ niezwarte są równoważne homotopijnie, mają zatem tyle samo składowych spójności. 15

18 Zaczniemy to rozumowanie od spójności grupy SO(n). Rzeczywiście, dowolna izometria z SO(n) jest złożeniem obrotów płaszczyzn niezmienniczych, te obroty zadają krzywą na SO(n) o początku w identyczności i końcu opdpowiadającemu danemu złożeniu obrotów. Per analogiam spójna jest grupa SU(n) przekształcenie z SU(n) ma bazę ortonormalną złożoną z n wektorów własnych o wartościach własnych o module 1. Krzywą łączącą dowolny punkt z identycznścią zbudujemy indukcyjnie. Pierwszy element diagonali cos(θ) + i sin(θ) dzielimy przez cos(t) + i sin(t), od t = 0 do θ. Równocześnie będziemy mnożyć drugi element diagonali przez tę samą liczbę. W t = θ osiągnęlismy jedynkę u szczytu diagonali i pewne przekształcenie z SU(n 1). Indukcyjnie sprowadzamy problem do badania spójności łukowej okręgu. Zadamy teraz homeomorfizm pomiędzy SO(n) a O(n) \ SO(n) polegający na pomnożeniu ostatniej kolumny odpowiadającej przekształceniu macierzy przez 1. Przekształcenie jest oczywiście ciągłe, różnowartościowe i na, samo jest sobie przekształceniem odwrotnym, jest zatem homeomorfizmem. O(n) składa się zatem z dwóch homeomorficznych kopii spójnej SO(n), nie jest natomiast spójna, gdyż jej obrazem przy braniu wyznacznika jest przestrzeń dwupunktowa. O(n), i tym samym V n (R n ) ma zatem dwie składowe spójności, a SO(n), i tym samym V n 1 (R n ) jedną, a dla i 1 V n i (R n ) jest obrazem ciągłym V n 1 (R n ) przy odcięciu odpowiedniej liczby końcowych wierszy. Sprawdziliśmy zatem spójność rzeczywistych rozmaitości Stiefla. Pozostało sprawdzić spójność U(n). Podobnie jak przy badaniu O(n) zadamy homeomorfizm pomiędzy SU(n) a pewnym podzbiorem U(n). Aby go zadać, pomnożymy ostatni wiersz przez liczbę z o module 1. Zatem podzbiór U(n) odpowiadający macierzom o wyznaczniku z jest spójny. Pozostaje wskazać krzywą pomiędzy Id SU(n) a jakimś elementem takiego podzbioru. Ta krzywa może np. odpowiadać mnożeniu ostatniego wiersza przez cos(t) + i sin(t). Inaczej musimy podejść do rozmaitości kwaternionowych, gdyż wyznacznik macierzy nad ciałem nieprzemiennym nie ma tak dobrych własności. Możemy jednak operacjami dodawania krotności wiersza do innego wiersza sprowadzić dowolną macierz z GL(n, H) do postaci jednostkowej poza ostatnim elementem diagonali, na którym pozostanie q. Oczywiście istnieje w H krzywa łącząca q 1 z 1, co daje nam spójność maksymalnej niezwartej, kwaternionowej rozmaitości Stiefla. Inne są ciągłymi obrazami maksymalnej. 16

19 Rozdział 4 Rozmaitości Grassmanna Ten rozdział będzie służył wprowadzeniu definicji rozmaitości Grassmanna i zbadaniu kilku z ich podstawowych własności. Z punktu widzenia późniejszych konstrukcji, które będziemy chcieli na grassmannianach zadać, szczególnie istotne będzie operowanie dwoma różnymi definicjami tej przestrzeni, które będą w dość oczywisty sposób równoważne. Z jednej strony umożliwi nam to uniezależnienie grassmannianu (a w dalszej części jego rozkładu komórkowego) od iloczynu skalarnego na przestrzeni liniowej, z drugiej pozwoli korzystać z bazy ortonormalnej, co umożliwi nam sprawdzenie pewnych własności. Przyjmijmy, że V przestrzeń liniowa wymiaru n nad ciałem K i k n. Definicja 4.1. Grassmannian G k (V) definiujemy jako zbiór k-wymiarowych podprzestrzeni liniowych V z topologią ilorazową zadaną przez q : V k (V) G k (V), gdzie q odwzorowuje k niezależnych liniowo wektorów V w podprzestrzeń liniową przez nie rozpiętą. Zauważmy teraz, że przeciwobrazy podprzestrzeni liniowych w odwzorowaniu q odpowiadają dokładnie orbitom działania GL(k, K), omawianego w rozdziale o rozmaitościach Stiefla. Otrzymujemy zatem inną, równoważną definicję grassmannianu. Definicja 4.2. Grassmannianem G k (V) nazwiemy przestrzeń orbit działania GL(k, K) na V k (V) przez mnożenie z lewej strony. Wprowadźmy teraz na przestrzeni V dowolny iloczyn skalany i zdefiniujmy q = q Vk (V). Z definicji q, q i własności ortogonalizacji Grama-Schmidta (oznaczmy go teraz przez g) widzimy, że q = q g. To indukuje nam kolejne dwie równoważne definicje grassmannianu. Definicja 4.3. Grassmannianem G k (V) nazwiemy zbiór k-wymiarowych podprzestrzeni liniowych V z topologią ilorazową zadaną przez q : V k (V) G k (V). Definicja 4.4. Grassmannianen G k (V) nazwiemy przestrzeń orbit działania na V k (V) grupy izometrii prestrzeni k-wymiarowej przez przyłożenie tej izometrii z lewej strony. 17

20 Przy badaniu rozmaitości Grassmanna warto często myśleć o przekształceniu polegającym na wzięciu przestrzeni prostopadłej. A priori nie jest oczywistym, że takie odwzorowanie jest ciągłe. Choć geometrycznie może się to wydawać oczywiste, warto przedstawić pełny dowód. Lemat 4.1. Odwzorowanie jest homeomorfizmem. : G k (V) G n k (V), X X Dowód. Zauważmy, że wystarczy sprawdzić ciągłość. Wynika to z faktu, że jest bijekcją, której odwrotnośnią jest ona sama (zdefiniowana w drugą stronę). Weźmy zatem punkt X 0 G k (V) i ( x 1, x 2,.., x n k ) ustaloną bazę X0. Weźmy U otoczenie X 0 w którym przestrzenie mają trywialny przekrój z X0. Przypomnijmy teraz, że przez q oznaczaliśmy odwzorowanie ilorazowe zwartej rozmaitości Stiefla w rozmaitość Grassmanna. Zdefiniujemy teraz funkcję g : q 1 U V n k (V), zadając dla dowolnego (y 1,.., y k ) q 1 U ortogonalizację Gramma-Schmidta dla ciągu (y 1,.., y k, x 1, x 2,.., x n k ), a otrzymawszy (y 1, y 2,.., y k, ȳ 1,.., ȳ n k ) definiując g(y 1,.., y k ) = (ȳ 1,.., ȳ n k ). Oczywiście przestrzeń rozpinana przez ciąg wektorów (ȳ 1,.., ȳ n k ) jest prostopadła do lin(y 1,.., y k ), mamy więc równość przkształceń q = q g na zbiorze q 1 U. Zatem q ciągłe. Z definicji topologii ilorazowej mamy zatem, że jest odwzorowaniem ciągłym. Badanie rozmaitości Grassmanna zaczniemy od kilku najbardziej elementarnych przykładów. Załóżmy w nich, że V jest przestrzenią liniową nad wymiaru n nad dowolnym z ciał R, C, H. - Grassmanniany G 0 (V), G n (V) to przestrzenie jednopunktowe; - grassmannian G 1 (V) to przestrzeń prostych w V, możemy ją zatem utożsamić z P (V) przestrzenią rzutową przestrzeni V; - wzięcie przestrzeni prostopadłej zadaje homeomorfizm pomiędzy G k (V) a G n k (V), co pokazaliśmy w poprzednim lemacie. Warto pokazać jeszcze kilka prostych stwierdzeń na temat podstawowych własności topologicznych grassmannianu. W szczególności zmierzamy do dowodu, że jest to rozmaitość i obliczenia jej wymiaru. Niech V przestrzeń wymiaru n nad ciałem R, C lub H. Stwierdzenie 4.2. Grassmanniany są przestrzeniami spójnymi. Dowód. Grassmannian jest ciągłym obrazem rozmaitości Stiefla, która na ogół była spójna. Pozostaje jedynie zatem sprawdzić, że dla ciała rzeczywistego G n (V) = {V} jest spójny, ale jest to przecież przestrzeń jednopunktowa. Stwierdzenie 4.3. Grassmannian G k (V) jest przestrzenią Hausdorffa. 18

21 Dowód. Pokażemy, że dla dowolnych dwóch elementów G k (V) możemy znaleźć funkcję ciągłą f o wartościach rzeczywistych, która na tych elementach przyjmuje rózne wartości. Taka przestrzeń jest Hausdorffa warunek f(x 1 ) = x 1 ; f(x 2 ) = x 2 zada nam rozłączne otoczenia przeciwobrazy zbiorów (, x 1+x 2 ), ( x 1+x 2, + ). 2 2 Weźmy {u X i } k i=1 baza ortonormalna X G k (V), a x jest punktem V. Funkcję f x definiujemy wzorem: f x (X) = Σ k i=1 < x, ux i > 2. Taka funkcja nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni X, gdyż jest to po prostu długość wektora wyznaczonego przez rzut prostopadły punktu x na przestrzeń X. Taka interpretacja gwarantuje nam też jej ciągłość. Dobierzmy teraz punkt x tak, by x X 1 \ X 2, wówczas f x (X 1 ) > f x (X 2 ), co kończy dowód. Udało nam się w szczególności pokazać, że odwzorowanie q : V k (V) G k (V) jest odwzorowaniem ciągłym pomiędzy przestrzeniami Hausdorffa. Wobec faktu, że q jest na, a V k (V) zwarta, otrzymujemy, że grassmanniany są przestrzeniami zwartymi. Stwierdzenie 4.4. Grassmanniany są przestrzeniami zwartymi. Kolejnym naszym celem będzie zadanie gładkiego atlasu na grassmannianie. Pierwszym krokiem jest wybór otoczeń, o których będziemy dowodzić, że są dyfeomorficzne z K j. Wybierzmy bazę ortonormalną przestrzeni V {u j } k j=1. Weźmy I = {i 1,.., i k } {1,.., n}, W I = lin{u j } j I, U I = { W G k (V) W W I = {θ} }. Myślmy teraz o grassmannianach jak o orbitach działania na rozmaitości Stiefla. Możemy dowolną podprzestrzeń wymiaru k utożsamić z reprezentantem jej orbity. Zatem U I to zbiór, w którym każda macierz ma nieosobliwy minor złożony z kolumn o numerach z I gdyby było inaczej, moglibyśmy pewną kombinacją liniową wyzreować pierwszy wiersz tego minora, otrzymując innego reprezentanta, nie należącego już do U I, bo zawierającego pewną nietrywialną kombinację liniową wektorów z W I. Sprowadźmy zatem ten minor do postaci macierzy jednostkowej. Każde uzupełnienie tego minora do pełnej macierzy zadaje pewną podprzestrzeń z U I de facto m-ty wiersz tak uzyskanej macierzy to punkt przecięcia wybranej przestrzeni z przestrzenią W I + tu im. Mamy do wypełnienia nk k 2 = k(n k) miejsc w macierzy. Warunek, że wybrany minor jest macierzą jednostkową, zadaje jedyną reprezentację tej podprzestrzeni. Możemy zatem zadać mapę ϕ I : U I K k(n k) przepisującą te dopisane elementy macierzy. Pokazaliśmy, że jest to odwzorowanie bijektywne, oczywista jest ciągłość zależności rozpinanej przestrzeni od współrzędnych i przeciwnie współrzędnych od rozpinanej przestrzeni. Uzyskaliśmy zatem dowód ważnego faktu. Stwierdzenie 4.5. Grassmannian G k (V) jest rozmaitością topologiczną wymiaru k(n k) nad ciałem, nad którym V jest przestrzenią liniową. Sprawdzimy, że zadany atlas jest gładki (a nawet analityczny) w przypadku rzeczywistym i holomorficzny w przypadku zespolonym. 19

22 Twierdzenie 4.6. Grassmannian G k (V) jest rozmaitością klasy c ω. Dowód. Musimy sprawdzić, że ϕ I ϕ 1 I jest odwzorowaniem analitycznym. Weźmy zatem X U I U I. Nadajmy X reprezentację macierzową (to znaczy wybierzmy jej reprezentanta w orbitach działania grupy GL(k, K) na rozmaitość Stiefla). Przez X I oznaczymy reprezentację, która posiada minor jednostkowy w kolumnach odpowiadających zbiorowi indeksów I. Dolnym indeksem wybierzemy minor w tej reprezentacji, to znaczy przez XI I rozumiemy minor złożony z kolumn o numerach z I wzięty z macierzy odpowiadającej reprezentacji X I. Mamy wtedy X I = (XI I ) 1 X I, co oczywiście zadaje analityczną zależność pomiędzy wszystkimi współczynnikami X I a X I, w szczególności pomiędzy tymi dopisywanymi do wybranego minora. Warto również powiedzieć o innym atlasie na grassmannianach, zwiazanym z ciągłością wyboru przestrzeni prostopadłej. Jakkolwiek niewygodne jest sprawdzanie jego gładkości, dlatego wprowadziliśmy też inny atlas, ten pozwoli geometrycznie zrozumieć przekształcenie lokalnie prostujące grassmannian. Weźmy dowolny punkt X 0 G k (V) i spójrzmy na V jak na X 0 X 0. Jak w lemacie, weźmy U otoczenie X 0, w którym przestrzenie mają pusty przekrój z X 0. Każda przestrzeń Y w tym otoczeniu, w przekształceniu π : X 0 X 0 X 0 będącemu rzutem, przechodzi na X 0, gdyż jest przestrzenią wymiaru k i ma pusty przekrój z jądrem π. Możemy zatem patrzeć na Y jak na wykres odwzorowania liniowego G(Y ) : X 0 X 0. Odwzorowanie G jest zatem bijekcją pomiędzy U a przestrzenią homomorfizmów przestrzeni liniowych X 0 X 0, która z kolei jest homeomorficzna z K k(n k). Pokażemy, że G jest homeomorfizmem. Ustalmy (x 1,.., x k ) bazę ortonormalną X 0. Przestrzeń Y U ma jedyną taką bazę, że π(y i ) = x i. Wybór tej bazy jest ciągły, dla ustalonego Y wskazuje ją odwzorowanie liniowe π 1. Zauważmy teraz tożsamość y i = x i + G(Y )(x i ). Wynika z niej, że obraz dowolnego wektora bazy X 0 zależy w sposób ciągły od wyboru przestrzeni Y. Skoro dla każdego i G(Y )(x i ) zależy w sposób ciągły od Y, to rzeczywiście G(Y ) ciągła. Z drugiej strony wybór y i zależy w sposób ciągły od G(Y ), co wynika znowu z powyższej tożsamości. Zatem i przestrzeń rozpinana przez (y 1,.., y k ), czyli Y, zależy w sposób ciągły od G(Y ). Zatem G 1 jest ciągła. Jak dotąd zajmowaliśmy się jedynie przypadkami V skończenie wymiarowej. Daje się jednak zdefiniować podobną konstrukcję także w przypadku przestrzeni o przeliczalnej bazie. Definicja 4.5. Grassmannianem G k (V), gdzie V jest przestrzenią nieskończonego wymiaru, nazywamy zbiór podprzestrzeni wymiaru k z topologią Whiteheada, ściślej powiemy, że zbiór jest domknięty, jeśli każde jego przecięcie z grassmannianem nad podprzestrzenią skończonego wymiaru jest domknięte. 20

23 Rozdział 5 Rozkład komórkowy rozmaitości Grassmanna Wskażemy sposób znalezienia rozkładu komórkowego grassmannianu G n (V), gdzie V to dowolna przestrzeń liniowa nad ciałem R, C lub H. Wskazanie komórek będzie wymagało wyboru flagi F przestrzeni V. Będzie to jedyna dodatkowa struktura na przestrzeni liniowej, konieczna do opisania rozkładu komórkowego, do sprawdzenia jego własności użyjemy jednak wprowadzonego w dalszej części rozważań iloczynu skalarnego. Dla ustalenia uwagi dim V = m i n m. Rozważmy dowolną flagę F, czyli ciąg wstępujący podprzestrzeni V i przestrzeni V takich że {θ} = V 0 V 1... V m = V, gdzie przez V i rozumiemy podprzestrzeń wymiaru i przestrzeni V. Niech X będzie dowolną podprzestrzenią liniową w V wymiaru n. Rozważmy ciąg niemalejący 0 dim(x V 1 ) dim(x V 2 )... dim(x V m ) = n. Lemat 5.1. Dla dowolnych podprzetrzeni X i X 1 X 2 przestrzeni liniowej Y zachodzi nierówność dim(x 2 X ) dim(x 1 X ) dim(x 2 ) dim(x 1 ). Dowód. Rzeczywiście, przestrzeń liniowa ilorazowa X 2 X /X 1 X zanurza się różnowartościowo w X 2 /X 1. W szczególności zatem dwie kolejne wartości ciągu 0 dim(x V 1 ) dim(x V 2 )... dim(x V m ) nie różnią sie o więcej niż jeden. Definicja 5.1 (Symbol Schuberta 1 ). Symbolem Schuberta typu (n, m) nazwiemy σ = (σ 1, σ 2,.., σ n ) ściśle rosnący ciąg o wyrazach w zbiorze {1,.., m}. 1 Hermann Cäsar Hannibal Schubert (ur. 22 maja 1848 w Poczdamie, zmarły 20 lipca 1911 w Hamburgu) był niemieckim matematykiem, znanym obecnie ze swych prac na temat geometrii kombinatorycznej. 21

24 Oznaczmy zbiór symboli Schuberta typu (n, m) przez S(n, m). Wprowadźmy teraz funkcję jump : G n (V) S(n, m) przypisującą dowolnej przestrzeni X G n (V) skoki, to znaczy te numery j, dla których w ciągu 0 dim(x V 1 ) dim(x V 2 )... dim(x V m ) j-ty wyraz różni się od (j 1)-ego. Oznaczenie 5.1. Przez e(σ) G n (V) oznaczymy zbiór {X G n (V) dim(x V σ i ) = i dim(x V σ i 1 ) = i 1}, czyli dokładnie przeciwobrazy ciągów ze zbioru S. Podział grassmannianu na przeciwobrazy takich ciągów mówi nam, że każda podprzestrzeń X nalezy do dokładnie jednego zbioru postaci e(σ). Warto też w tym miejscu podkreślić, że e(σ), co wynika wprost z jego definicji, zależy jedynie od wybranej flagi. W tym miejscu warto jednak wprowadzić na V dowolny iloczyn skalarny. Po jego wybraniu możemy wybrać {u i } m i=1 bazę ortonormalną flagi F, to znaczy taką, że {u i } j i=1 rozpina Vj. Konstrukcja CW-kompleksu na grassmannianie nie zależy od wyboru iloczynu skalarnego, a jedynie od flagi F. Stanie się to jasne, gdy pokażemy, że zbiory e(σ) to komórki CW-kompleksu. Iloczyn skalarny wprowadzamy w celu sprawdzenia pewnych własności tego rozkładu. Oznaczenie 5.2. Niech H k = {v V v = k i=1 a iu i a k R a k > 0} półprzestrzeń otwarta. Ponadto przez H k oznaczymy półprzestrzeń domkniętą {v V v = k i=1 a iu i a k R a k 0}. Uwaga 5.1. Warunek rzeczywistości k-tej współrzędnej jest oczywiście trywialny dla ciała liczb rzeczywistych. Przy obliczeniu wymiaru komórki zmieni jednak sytuacje ciała zespolonego i kwaternionowego, zmniejszając go odpowiednio o jeden i trzy. Stwierdzenie 5.2. Dla dowolnej podprzestrzeni X e(σ) wtedy i tylko wtedy, gdy posiada bazę {v i } n i=1 spełniającą v i H σ i dla każdego i. Dowód. Oczywiste, że przestrzeń posiadająca taką bazę musi należeć do e(σ). dowodu istnienia takiej bazy przypomnimy, że dla każdedo i Dla dim(x V σ i ) 1 = dim(x V σ i 1 ) = dim(x V σ i 1 ), co daje nam krok indukcyjny w rozumowaniu musimy tylko dobrać wektor o σ i -tej współrzędnej, prostopadły do wybranych uprzednio. Jego istnienie gwarantuje fakt, że X e(σ), musi zatem istnieć w bazie ortonormalnej X wektor o niezerowej σ i -tej współrzędnej, a zatem po ewentualnym wzięciu wektora preciwnego taki o dodatniej. Brakuje nam tylko rozpoczęcia indukcji. Rzeczywiście, jeśli σ 1 = k, to istnieje w X prosta o kierunku o niezerowej k-tej współrzędnej. To proste stwierdzenie musimy wzmocnić. 22

25 Stwierdzenie 5.3. Dla każdego X e(σ) istnieje jedyna baza ortonormalna {v i } n i=1 taka, że dla każdego i v i H σ i. Dowód. Dowód tego wzmocnienia jest niezwykle jasny. Z definicji symbolu Schuberta dim(x V σ 1 ) = 1, weźmy więc dowolny wektor unormowany i podzielmy go przez iloraz jego ostatniej współrzędnej i jej modułu. Otrzymaliśmy wektor, którego współrządna o numerze σ 1 jest dodatnia. Ogólnie k ty wektor konstuowanej bazy musi być wektorem unormowanym, należeć do przestrzeni wymiaru k i być prostopadłym do przestrzeni k 1 wymiarowej rozpiętej przez wcześniej skonstruowane wektory. Postępujemy zatem jak w przypadku jednowymiarowym. Naturalnym wydaje się zatem utożsamienie każdej podprzestrzeni X e(σ) z jej bazą taką, jak w tym stwierdzeniu. Sformalizujmy ten pomysł. Przypomnijmy definicję zwartej rozmaitości Stiefla V k (V) jako zbiór k-tek ortonormalnych wektorów z V, na którym wprowadzamy topologię śladową zk-krotnym iloczynem kartezjańskim V V.. V. Będzie nam ona potrzebna do zdefiniowania zbiorów ε(σ) pewnych podzbiorów zwartej rozmaitości Stiefla, o których pokażemy, że to one (z dokładnością do przypisania każdej bazie podprzestrzeni) są komórkami grassmannianu jako CW-kompleksu. Oznaczenie 5.3. Niech ε(σ) = V n (V) (H σ 1 H σ 2.. H σn ). Jest to zatem n-tka ortonormalnych wektorów {w i } n i=1 takich, że dla każdego i w i H σ i. Per analogiam definiujemy ε(σ) jako ortonormalne n-tki wektorów takich, że dla każdego i w i H σ i. Przypomnijmy też oznaczenie z poprzednich rozdziałów d K = dim R K. Twierdzenie 5.4. Zbiór ε(σ) jest homeomorficzny z komórką domkniętą wymiaru dim(σ) = d K Σ m i=1(σ i i), a przekształcenie ilorazowe q : V n (V) G n (V) po obcięciu zadaje homeomorfim pomiędzy ε(σ) a e(σ). Dowód. Dowód przebiegnie indukcyjnie po n. Dla n = 1 i ciągu σ = (σ 1 ) jednoelementowego, σ 1 ε(σ) = { a i u i : Σ σ 1 i=1 a i 2 = 1 a σ1 R a σ1 0}. i=1 Jest to oczywiście domknięta półsfera, homeomorficzna z dyskiem D d K(σ 1 1). To kończy dowód dla n = 1. Weźmy teraz unormowane i niezależne liniowo wektory i obrót R(u, v) obrót przeprowadzający u na v i identycznościowy na przestrzeni prostopadłej do nich. Jasne, że R, prowadzący w grupę obrotów przestrzeni V zależy w sposób ciągły od wektorów u i v. Widzimy również, że R 1 (u, v) = R(v, u). Weźmy teraz wektory s i = u σi, oczywiście s i H σ i. Mamy stąd, że S = (s 1,.., s n ) ε(σ). Definiujemy dla dowolnej n-tki W = (w 1,.., w n ) ε(σ) R(w 1,.., w n ) = R(s n, w n ) R(s n 1, w n 1 ).. R(s 1, w 1 ), 23

26 R 1 (w 1,.., w n ) = R(w 1, s 1 ) R(w 2, s 2 ).. R(w n, s n ). R przeprowadza W na S. Ściślej początkowe i 1 składowych obrotów R zachowuje wektor s i, i ty przeprowadza go na w i, kolejne zachowują zaś wektor w i. Warto tu także zauważyć, że R jest izometrią przestrzeni V, jako złożenie obrotów. Dla zadanego σ n+1 > σ n rozważmy domkniętą półsferę D zbiór unormowanych wektorów z H σ n+1 prostopadłych do s i dla i n. Oczywiście jej wymiar to σ n+1 n 1. Niech d D. Rozważmy F(w 1,.., w n, d) = (w 1,.., w n, R(w 1,.., w n )d). Obrazem F jest (n+1) tka ortonormalnych wektorów. By to sprawdzić, zauważamy, że dla i n Rd w i = Rd Rs i = d s i = 0, Rd Rd = d d = 1. Z definicji R odczytujemy ponadto, że dla u, v V j R nie zmienia współczynników przy wektorach bazy flagi {u i } m i=1 dalszych niż j-ta. W szczególności zatem R nie zmienił σ n+1 -ej współrzędnej wektora d pozostała ona nieujemna. Możemy zatem napisać, że zdefiniowaliśmy ciągłe odwzorowanie F : ε(σ 1,.., σ n ) D ε(σ 1,.., σ n+1 ). Łatwo możemy też zbudować odwzorowanie odwrotne zadane wzorem F 1 : ε(σ 1,.., σ n+1 ) ε(σ 1,.., σ n ) D F 1 (w 1, w 2,.., w n, w n+1 ) = (w 1,.., w n, R 1 w n+1 ), które jest dobrze określone i ciągłe. Stąd F jest homeomorfizmem. Pozostaje zatem sprawdzić, że q ε(σ) zadaje homeomorfizm pomiędzy ε(σ) a e(σ). Upewnialiśmy się już co do bijektywności tego odwzorowania. Jasna jest też jego ciągłość - jest to obcięcie odwzorowania ilorazowego, które jest ciągłe z definicji. Zauważmy, że q( ε(σ)) e(σ) =. Niech zatem F domknięty w ε(σ), jego domknięcie F w ε(σ) zwarte i jego ciągły obraz q( F ) zwarty, więc domknięty. Ze spostrzeżenia jego przekrój z e(σ) to q( F ) e(σ) = q(z), więc q(z) domknięty w e(σ). Jesteśmy w tej chwili gotowi do wskazania konstrukcji kompleksu komórkowego na grassmannianach. Twierdzenie 5.5. Zbiory e(σ) są komórkami Grassmannianu jako CW-kompleksu. Rozkład grassmannianu G n (V) składa się z ( m n) komórek postaci e(σ). Dowód. Zliczenie ilości komórek to kwestia obliczenia ilości symboli Schuberta. Aby wyjaśnić, że podział rozmaitości Grassmanna na podzbiory e(σ) zadaje strukturę CWkompleksu, potrzebujemy pokazać, że każdy X e(σ) należy do e(ϑ) pewnej komórki niższego wymiaru. Jest to dosyć oczywiste, jeśli odwołać się do homeomerficznej przestrzeni ε(σ). Skoro q 1 (X) ε(σ) to istnieje j takie, że j ty wektor ma σ j tą współrzędną zerową, należy zatem do pewnego ε(ϑ), przy czym wyrazy ciągu ϑ są niewiększe od wyrazów σ, a j ty jest mniejszy. Mniejszy jest też zatem wymiar komórki e(ϑ). 24

27 Uwaga 5.2. Pokazaliśmy w szczególności, że dla przestrzeni liniowych nad ciałem zespolonym lub kwaternionowym grassmannian, rozpatrywany jako rozmaitość rzeczywista, ma jedynie komórki parzystego wymiaru (odpowiednio dla kwaternionów wymiaru podzielnego przez 4). W szczególności zauważmy, że udało nam się skonstruować rozkład komórkowy w taki sposób, że dla wybranej flagi {θ} = V 0 V 1.. V m.. przestrzeni V wymiaru nieskończonego, włożenie G n (V m ) G n (V m+m ) jest komórkowe, co więcej jest homeomorfizmem na obraz, zachowującym komórki. Udało nam się zatem zadać strukturę CW-kompleksu także na nieskończonym grassmannianie G n (V). Warto wspomnieć o kilku własnościach tego rozkładu. Korzystaliśmy już z faktu, że włożenie G n (V m ) G n (V m+n ) przeprowadza komórki homeomorficznie na komórki. Pomija oczywiście dokładnie te, dla których w symbolu Schuberta typu (n, m + N) istnieją wartości większe od m. Możemy też zauważyć, że dowolną flagę F = (F 1 F 2..) możemy reprezentować za pomocą ciągu niezależnych liniowo prostych F 1 dopełniamy przez liniowo niezależny wektor do F 2, tak otrzymany układ dwóch prostych możemy dopełnienić do F 3 i tak dalej. Widzimy ponadto, że w przestrzeniach z iloczynem skalarnym każda flaga ma zatem jedyną taką reprezentację, w której proste te są prostopadłe. Każdy izomorfizm liniowy, poprzez obrazy kolejnych prostych, zadaje zatem flagę na obrazie. Konstrukcja CW-kompleksu na grassmannianie, przedstawiona w tym rozdziale, zależy tylko od flagi, widzimy zatem, że dla izomorficznych przestrzeni liniowych V, W i ustalonych flag F V, F W istnieje izomorfizm liniowy zadający komórkowy homeomorfizm pomiędzy grassmannianami. Zliczenie komórek w tak skontruowanym CW-kompleksie było niezwykle proste. Naturalnym pomysłem wydaje się spróbować zliczyć także komórki określonego wymiaru. Niespodziewanie okazuje się to zadaniem, którego rozwiązanie nie jest w tej chwili znane. Zauważmy jednak, że wymiar komórki e(σ) wynosi n i=1 (σ i i) dla σ symbolu Schuberta typu (n, m). Ciąg σ 2 = (σ i i) n i=1 jest niemalejącym ciągiem o wyrazach w zbiorze {0, 1,.., m n}. Każdy ciąg niemalejący o wyrazach w zbiorze {0, 1,.., m n} może odpowiadać pewnemu symbolowi Schuberta typu (n, m). Z drugiej strony dowolny ciąg σ, którego wyrazy sumują się do k, reprezentuje pewien nieuporządkowany podział liczby k na co najwyżej n składników, z których każdy wynosi co najwyżej m n. Udało nam się zatem wyjasnić, że komórek wymiaru k jest tyle, co podziałów liczby k na co najwyżej n składników ograniczonych przez m n. 2 Zazwyczaj w literaturze to taki ciąg nazywany jest symbolem Schuberta. Jakkolwiek jest to notacja bardziej typowa, w tych rozważaniach byłaby znacznie mniej wygodna. 25

28

29 Bibliografia [1] John W. Milnor, James D. Stasheff: Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974; [2] Phillip Griffiths, Joseph Harris: Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons Inc., 1978; [3] Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002; [4] Emil Artin: Geometric Algebra, Interscience Publishers Inc., 1957; [5] Andrzej Strojnowski: stroa/gal1/gal1.html, stroa/gal2/gal2.html, notatki do wykładów z geometrii z algebrą liniową; [6] Âëàäèìèð Àáðàìîâè Ðîõëèí, Äìèòðèé Áîðèñîâè Ôóêñ: Íà àëüíûé êóðñ òîïîëîãèè, Ãåîìåòðè åñêèå ãëàâû, Íàóêà,