OPRÓśNIANIE DWÓCH SZEREGOWO POŁĄCZONYCH KOMÓR ZBIORNIKA RETENCYJNEGO CIECZY EMPTYING OF TWO CONNECTED IN SERIES CHAMBERS OF A LIQUID CONTAINER

Transkrypt

1 JAKUB KISIEL, ADAM KISIEL OPRÓśNIANIE DWÓCH SZEREGOWO POŁĄCZONYCH KOMÓR ZBIORNIKA RETENCYJNEGO CIECZY EMPTYING O TWO CONNECTED IN SERIES CHAMBERS O A LIQUID CONTAINER S t r e s z c z e n e A b s t r a c t W nnejszym artykule przedstawono problematykę zwązaną z grawtacyjnym opróŝnanem dwukomorowego zbornka, którego komory połączone są szeregowo pod względem hydraulcznym. Przedstawono dwa sposoby matematycznego opsu procesu jednoczesnego grawtacyjnego opróŝnana obu jego komór. Rozwązane numeryczne równań róŝnczkowych jest tu rozwązanem podstawowym, weryfkującym wynk uzyskane na podstawe uproszczonej metody oblczeń, jaka zaprezentowana została w nnejszym artykule. Słowa kluczowe: zbornk kanalzacyjne, procesy opróŝnana komór zbornków The artcle s showng ssues assocated wth gravtatonal emptyng the bcameral contaner of whch chambers are connected n seres under the plumbng account. In the soluton two ways of the mathematcal descrpton of the process of smultaneous gravtatonal emptyng were presented both of hs chambers. Numercal solvng the mathematcal descrpton of ths process n the form of dfferental equatons s a basc answer verfyng results acheved on the bass of the smplfed method of calculatons whch was presented n the present artcle here. Keywords: storage tanks, processes of emptyng chambers of the contaner Dr nŝ. Jakub Ksel, prof. dr hab. nŝ. Adam Ksel, Instytut InŜyner Środowska, Wydzał InŜyner Ochrony Środowska, Poltechnka Częstochowska.

2 7. Wstęp W nnowacyjnych rozwązanach kanalzacyjnych zbornków retencyjnych proces ch grawtacyjnego opróŝnana najczęścej zwązany jest z problematyką neustalonego wypływu z dwóch szeregowo połączonych komór zbornka. Odnos sę to ne tylko do dwukomorowych rozwązań zbornków o grawtacyjnym dzałanu, jak np. zbornk typu Contrack czy Lcet, ale takŝe do zbornków trzykomorowych o dzałanu grawtacyjno- -podcśnenowym, w których grawtacyjny proces opróŝnana komór retencyjnej przepływowej następuje zawsze po opróŝnenu komory podcśnenowej. Do takch rozwązań zalczyć naleŝy zbornk typu: Mrus, Conses oraz Parkus. Szeregowe połączene komór oraz problematyka ch opróŝnana moŝe równeŝ dotyczyć zbornków magazynujących np. płynne palwa.. Hydraulczne podstawy opsu procesu opróŝnana z ceczy dwóch komór zbornka O równoległym lub szeregowym układze hydraulcznym dwóch komór (względne wększej lczbe komór) zbornka decydować będze sposób ch połączena, który powoduje, Ŝe: opróŝnane komór zbornka w układze szeregowym wymusza przepływ strumena z komory poprzednej przez komorę następną w kerunku odpływu, strumene z opróŝnanych komór zbornka w układze równoległym łączą sę w węźle, z którego odprowadzany jest zsumowany odpływ. W szeregowo połączonych dwóch komorach zbornka przepływ tranzytowy Q z komory poprzednej () do komory następnej (0), która w tym wypadku jest równeŝ komorą wylotową, wynos Q = µ f g y x () gdze µ to współczynnk wydatku wyznaczony z równana Bernoullego; np. przy połączenu króćcem rurowym obu komór zbornka jest on równy współczynnkow prędkośc ϕ (wówczas współczynnk kontrakcj ε = ), którego wartość wyznaczana jest z zaleŝnośc w której: f ζ ϕ = + ζ suma wartośc wszystkch współczynnków strat lokalnych na długośc przewodu (króćca) łączącego komory zbornka, pole powerzchn przekroju porzecznego przewodu (króćca) łączącego komory zbornka. Odpływ z wylotowej komory (0) zbornka Q 0 w przyjętym schemace oblczenowym jest wypływem swobodnym w atmosferę wynos Q = µ f gx ()

3 gdze µ 0, f 0 to, odpowedno: współczynnk wydatku powerzchna przekroju przewodu (otworu) wylotowego. 73 (y x) Rys.. Schemat oblczenowy opróŝnana dwóch szeregowo połączonych komór zbornka g.. Computatonal outlne of emptyng two chambers n seres connected of the contaner Odpływ Q 0 jest sumą odpływów z obu komór zbornka, co moŝna zapsać w następujący sposób Q = dy + dx (3) 0 0 gdze: pole powerzchn pozomego przekroju prostopadłoścennej komory (), 0 pole powerzchn pozomego przekroju prostopadłoścennej komory (0). PonewaŜ to równane ma postać Q = Z Q = dy (4) Q Q = dx (5) 0 0 JeŜel przyjmemy następujące oznaczena: dx QZ = 0 jako odpływ opróŝnający komorę wylotową (0) w chwl, dy = jako przepływ z komory () do komory wylotowej (0) w chwl, to równane (3) wyraz blans przepływów Q = Q + Q (6) 0 Z W praktyce najczęścej opróŝnany jest zbornk przy obu komorach całkowce wypełnonych do tego samego pozomu zwercadeł ceczy. OpróŜnane komór takego zbornka charakteryzować będą dwa etapy:

4 74 w perwszym etape następować będze szybke obnŝane sę zwercadła ceczy w komorze wylotowej (0), zaś powolne w komorze poprzednej (). W etape tym róŝnca pozomu zwercadeł ceczy w obu komorach jest welkoścą rosnącą od zera do określonej maksymalnej wartośc H 0P, w etape drugm obnŝane sę zwercadeł ceczy w komorach charakteryzuje sę tym, Ŝe róŝnca ch połoŝeń jest welkoścą malejącą, począwszy od H 0P do zera. W dowolnej chwl róŝnca pozomów zwercadeł ceczy w zbornkach jest pochodną oporów ruchu, jake towarzyszą przepływow tranzytowemu Q z czego wynka, Ŝe y x = g Q µ f Q dy = dx + dq g µ f Na podstawe powyŝszych sformułowań dotyczących obu etapów opróŝnana komór zbornka stwerdza sę, Ŝe: w etape perwszym róŝnca zwercadeł ceczy w obu komorach jest funkcją rosnącą w czase ( x) d y w etape drugm natomast jest funkcją malejącą ( x) d y (7) (8) > 0 (9) < 0 (0) w chwl zmany etapów opróŝnana komór zbornka róŝnca pozomów zwercadeł ceczy osąga maksmum, czego konsekwencją jest ( x) d y = 0 () Wynka z tego, Ŝe w czase t = t, w którym następuje zmana przyrostu funkcj opsującej róŝncę zwercadeł ceczy w obu komorach, wartośc dx = dy są równe, w konsekwencj czego równane (3) moŝna teraz zapsać następująco PonewaŜ + dx = Q () 0 0 Q0 dx = + 0 to moŝna przedstawć następujący zwązek Q oraz = Q0 0 + dx Q = (3) (4)

5 lub naczej a takŝe czyl dla oraz zwązek µ f g y x = µ f gx x µ 0 f0 = = y x + 0 µ f const µ 0 f0 y = + x = ax + µ f µ 0 f0 a = + + µ f µ 0 f0 dy = + dx + µ f 75 (5) (6) (7) (8) 3. Matematyczny model opróŝnana dwóch komór zbornka 3.. Oblczene połoŝena zwercadeł ceczy w obu komorach zbornka po upływe perwszego kroku czasowego równego t Podstawowe równane róŝncowe blansu objętośc w opróŝnanych komorach () (0) przy wypływe (Q 0 ) ceczy ze zbornka w czase t ma następującą postać Q t = µ f gh t = x y (9) Przepływ tranzytowy Q w czase t obnŝy zwercadło ceczy w komorze () o wartość y Q t = y (0) Przy rozwaŝanu superpozycj tego procesu (rys. ) w czase t wypływ ceczy ze zbornka (Q 0 ) przy wstrzymanym tranzytowym dopływe (Q ) z komory () do komory (0) spowoduje obnŝene zwercadła ceczy w komorze (0) o wartość x 0, które wynese Q t = µ f gh t = x (9a) Równocześne przy wstrzymanym w czase t wypływe (Q 0 ) ze zbornka dopływ tranzytowy (Q ) spowoduje podwyŝszene zwercadła ceczy w komorze (0) o wartość x P, które wyznaczone zostane wzorem

6 76 Ponao występują następujące zwązk oraz zwązek geometryczny (rys. ) Q t = 0 x P (0a) Q Q t = x () 0 0 wynkający równeŝ z równań (9) (0) oraz (9a) (0a). x = x0 x P () Rys.. Schemat obnŝena sę zwercadeł ceczy w komorach zbornka w czase t g.. Outlne of lowerng of mrrors of lqud n chambers of the contaner n the tme t Uwzględnając, Ŝe rozpoczęce procesu opróŝnana komór zbornka następuje przy ch napełnenu równym H 0, moŝemy zapsać następujące równośc Po uporządkowanu mamy a po oznaczenu Q t = µ f gh t = x (3) Q t = µ f g x t = y (4) µ f g µ 0 f0 x = H0 x t 0 µ f A0 = µ f g t 0 Rozwązanem równana kwadratowego (5) względem x będze B 0 x = 4 A0 B0 H0 + A 0 (5) µ 0 f0 = (6) µ f (7)

7 Perwszy krok oblczenowy umoŝlw wyznaczene następujących parametrów: napełnene komory wylotowej (0) po perwszym kroku oblczenowym 77 x = H0 x napełnene komory poprzednej () po perwszym kroku oblczenowym dla y = H0 y µ f g x y = t róŝnca pozomów napełneń w komorach zbornka po perwszym kroku oblczenowym h = y x = x y odpływ z komory wylotowej (0) zbornka w czase perwszego kroku oblczenowego Q = µ f gh przepływ mędzy komoram zbornka () (0) w czase perwszego kroku oblczenowego Q = µ f g x 3.. ObnŜene zwercadeł ceczy w komorach zbornka po kolejnym, drugm kroku czasowym W czase kolejnego, drugego kroku czasowego od t do t równana róŝncowe blansu objętośc mają następującą postać Q t = µ f g H x t = x y = x (8) Q t = µ f g x y t = y = x (9) P 0 Równana (8) (9) umoŝlwają równeŝ wyznaczene połoŝeń zwercadeł ceczy w obu komorach zbornka z wykorzystanem jak w perwszym kroku oblczenowym metody superpozycj tego procesu. Z równań (8) (9), a takŝe ze schematu oblczenowego (rys. 3) wynka następująca zaleŝność geometryczna Wyznaczene wartośc x = x0 x P (30) x = B H x x y (3) 0 0 A0

8 78 oraz µ f g x y y = t (3) umoŝlwa oblczene po upływe drugego kroku czasowego zmanę parametrów hydraulczno-geometrycznych zbornka. Rys. 3. Schemat obnŝena sę zwercadeł ceczy w komorach zbornka po upływe czasu t g. 3. Outlne of lowerng of mrrors of lqud n chambers of the contaner after the end of tme t Drug krok oblczenowy umoŝlw zatem wyznaczene następujących parametrów: napełnene komory wylotowej (0) po drugm kroku oblczenowym x = H0 x x napełnene komory poprzednej () po drugm kroku oblczenowym dla y = H0 y y µ f g h µ f g y x y = t = t róŝnca pozomów napełneń w komorach zbornka po drugm kroku oblczenowym h = y x = x + x y + y odpływ z komory wylotowej (0) zbornka w drugm kroku oblczenowym Q = µ f g H x

9 przepływ mędzy komoram zbornka () (0) w drugm kroku oblczenowym Q = µ f g x y 79 W kolejnych krokach oblczenowych dla =, 3,..., n obnŝena pozomów zwercadeł ceczy w komorach zbornka wyznaczane będą wzoram n n n x + = B0 H0 x x y A0 = = = (33) µ f g y x y+ = t (34) KaŜdy kolejny krok oblczenowy umoŝlw wyznaczene następujących parametrów: napełnene komory wylotowej (0) po n-tym kroku oblczenowym x = H x n+ 0 napełnene komory poprzednej () po n-tym kroku oblczenowym n+ 0 n = y = H y róŝnca pozomów napełneń w komorach zbornka po n-tym kroku oblczenowym n n = h = y x = x y n = = n odpływ z komory wylotowej (0) zbornka w n-tym kroku oblczenowym Q = µ f g H x + 0n n przepływ mędzy komoram zbornka () (0) w n-tym kroku oblczenowym Q = µ f g h n Początkowo oblczena numeryczne pownny być prowadzone dla bardzo małych kroków czasowych t aŝ do chwl, gdy wartośc h z rosnących zaczną maleć. Zmana przyrostu róŝncy połoŝeń zwercadeł ceczy h 0 w komorach zbornka z rosnącej na malejącą wyznacza jej wartość maksymalną h(max) = h 0 przy napełnenu komory (0) wynoszącym x = x 0. Począwszy od x = x 0, stosunek napełneń w obu komorach zbornka wartoścą stałą y x = const. n

10 80 4. Uproszczony model matematyczny opróŝnana szeregowo połączonych dwóch komór zbornka Uproszczony model oblczenowy do określena czasu opróŝnana szeregowo połączonych dwóch komór zbornka zakłada dwa etapy tego procesu: w etape perwszym opróŝnana jest tylko komora wylotowa do określonej wartośc róŝncy pozomów napełneń w obu komorach H 0P (rys. 4), w etape drugm opróŝnana zakłada sę jedną komorę o odpowedno zwększonej powerzchn jej pozomego przekroju Z = + + (rys. 5) wraz z określonym początkowym pozomem napełnena tej komory równym x = H0 H0. P P Rys. 4. Perwszy etap opróŝnana dwukomorowego zbornka według uproszczonego schemata oblczeń g. 4. The frst stage of emptyng the bcameral contaner accordng to the smplfed computatonal scheme Rys. 5. Drug etap opróŝnena dwukomorowego zbornka według uproszczonego schematu oblczeń g. 5. Second phase of emptyng the bcameral contaner accordng to the smplfed computatonal scheme

11 Wartość H 0P na podstawe wzoru (7) jest równa 0P 0 P 0 8 a H = H x = H (35) a natomast głębokość obnŝonego napełnena x P w komorze wylotowej (0) zgodne z wzorem wynese gdze x P H0 = (36) a µ 0 f0 a = µ f Czas trwana perwszego etapu będze równy 0 * 0 µ 0 f0 g ( p ) t = H x Z przyrównana objętośc ceczy zawartej w komorach zbornka po zakończenu etapu perwszego do pojemnośc zbornka o zwększonej powerzchn o wartość napełnenu początkowym x P otrzymamy czyl 0 P 0 0 P (37) (38) + + x = H + x (39) H + + = + (40) xp Czas opróŝnana takego zbornka wynese a po uwzględnenu wzoru (39) otrzymamy = a (4) Q = + + dx (4) 0 0 ( ) Q0 = a dx (43) czyl 3 µ 0 f0 Q0 = ( + 0 ) + dx + 0 µ f Czas opróŝnena w drugm etape oblczony zostane wzorem (45) t * µ 0 f0 = + µ 0 f0 g + 0 µ f x P (46)

12 8 Czas (t ) odpowadający opróŝnenu zastępczej pojedynczej ( ) + + komory 0 zbornka z głębokośc jej napełnena x + do głębokośc x w etape drugm wyznaczany jest według formuły t x x µ 0 0 f = + µ 0 f0 g + 0 µ f ( + ) (47) NaleŜy jednak meć na uwadze, Ŝe wraz ze zmaną napełnena w komorze wylotowej (x = h 0 ), równą co do wartośc napełnenu w jednokomorowym zbornku przyjętym w oblczenowym schemace uproszczonym, następuje zmana napełnena ( y = h d ) w komorze poprzednej (np. retencyjnej zbornka) zgodne z uproszczonym schematem oblczenowym po czase etapu perwszego t < t T czyl y h ( t ), czyl począwszy od xp > x = h0 0 dla d = x a h0 = (48) a Oblczena numeryczne umoŝlwają wyznaczene przebegu zman napełneń w obu komorach zbornka w czase oraz określene charakterystycznych parametrów tego procesu: t czas trwana perwszego etapu opróŝnana komór zbornka, x 0 napełnene komory wylotowej po zakończenu perwszego etapu odpowadające mu napełnene w komorze poprzednej, t czas trwana drugego etapu opróŝnana zbornka, T całkowty czas opróŝnena obu komór zbornka (T = t + t ). Analogczne wynk moŝna otrzymać, stosując uproszczony model opróŝnana szeregowo połączonych komór zbornków, przy czym charakterystyczne parametry tego procesu oblczane są w odmenny sposób, manowce wzoram: x P napełnene komory wylotowej po zakończenu perwszego etapu wzorem (36), a odpowadające mu napełnene w komorze poprzednej wzorem (48), t czas trwana perwszego etapu opróŝnana zbornka wzorem (38), t czas trwana drugego etapu opróŝnana zbornka wzorem (46), T całkowty czas opróŝnena obu komór zbornka ( T = t + t ), T wyznaczene przebegu zman napełneń w obu komorach zbornka (x, y ) w czase (t = t + t ) wzoram (47) (48).

13 5. Weryfkacja uproszczonego modelu na podstawe oblczeń numerycznych Przeprowadzono oblczena dla róŝnych wartośc powerzchn przekrojów pozomych <, =, < oraz róŝnych moŝlwych stosunków komór zbornka µ 0 f0 µ 0 f0 µ 0 f0 parametrów <, = oraz >. µ f µ f µ f T a b e l a Model matamatyczny h0 = x [cm] , ,00 H0 = y x [cm] 0,00 6,0 5,3 4, 3,,, 0,5 0,00 P hd = y [cm] ,3 04,5 53, 0, 5, 5,5 0,00 t [s] 0, Model uproszczony h0 = x [cm] ,00 H0 = y x [cm] 0,00 6,0 5,3 4, 3,,, 0,5 0,00 P hd = y [cm] ,3 04, 53, 0, 5, 5,5 0,00 t [s] 0,00, T a b e l a Dane wejścowe Metoda numeryczna Metoda uproszczona 0 = 7,5 m = 50,0 m µ 0 = 0,75 f 0 = 0,05 m µ = 0,90 f = 0, 5 m a = hd / h0 =,0 H0P = 0,06 m x =,94 m P Q0 / Q =,5 T = 0 s 0, mn a0 = hd / h0 =, 0 H 0 = 0,06 m x 0 =,87 m Q0 / Q =,49,5 T = s 0, mn 83 0 = 5,0 m = 50,0 m µ 0 = 0,75 f 0 = 0,05 m µ = 0,90 f = 0, 5 m 0 = 50 m = 50,0 m µ 0 = 0,75 f 0 = 0,05 m µ = 0,90 f = 0, 5 m a = hd / h0 =, 03 H0P = 0,04 m x =,96 m P Q0 / Q =,5 T = 570,3 s 6, mn a = hd / h0 =, 007 H0P = 0,0 m x =,98 m P Q0 / Q =,0 T = 088,8 s 34,8 mn a0 = hd / h0 =,05 H 0 = 0,04 m x 0 =,87 m Q0 / Q =, 49 T = 570, 4 s 6, mn a0 = hd / h0 =,007 H 0 = 0,0 m x 0 =,90 m Q0 / Q =,99, 0 T = 090,0 s 34,8 mn

14 84 Oblczena czasu zman głębokośc napełneń w szeregowo połączonych komorach zbornka podczas ch opróŝnana przeprowadzono metodą przyblŝoną oraz numeryczne. Wynk tych oblczeń przedstawono w tab.. Oblczena numeryczne dla przyjętego zestawu danych wykazały, Ŝe: a = h d /h 0 =,0, H 0 = 0,06 m, Q 0 /Q =,49,5, co jest zgodne z wynkam otrzymanym z oblczeń metodą uproszczoną. Zestawene wybranych wynków oblczeń dla róŝnych przypadków oblczenowych szeregowego połączena dwóch komór zbornka przedstawono w tab.. 6. Uwag końcowe Przeprowadzone lczne oblczena numeryczne dla przykładowych wartośc powerzchn 0, wzajemnej relacj 0 <, 0 = oraz 0 >, a takŝe dla,0 µ 0 f0 µ f wykazały, Ŝe otrzymane wynk są nemal dentyczne z rezultatam uzyskanym na podstawe oblczeń z zastosowanem uproszczonego schematu. Taka zbeŝność wynków wymaga jednak spełnena następującego warunku z którego wynkają zaleŝnośc przy oraz przy µ 0 f0 a = +, 0 + µ f 0,8 0 µ f = µ f µ µ 0 0 f 0 0 f 0,9 = 0 Analza wynków oblczeń dla wszystkch rozwaŝanych przypadków wykazała, Ŝe w początkowym etape nazwanym etapem perwszym opróŝnana z ceczy szeregowo połączonych dwóch komór zbornka obnŝena głębokośc napełneń komór zbornka w kaŝdym kolejnym kroku czasowym spełnają nerówność x > y, co oznacza, Ŝe szybcej opróŝnana jest komora wylotowa (0) nŝ komora poprzedna (), a ponadd( y x) to, Ŝe róŝnca napełneń komór ( h = y x) jest funkcją rosnącą > 0. W chwl zrównana ch wartośc x = y róŝnca pozomów zwercadeł ceczy w obu komorach osąga wartość maksymalną h(max) = h 0. RówneŜ w kaŝdym wypadku, począwszy

15 od chwl, gdy x = y, do końca procesu opróŝnana zbornka, czyl w drugm etape, obnŝena głębokośc napełneń w jego komorach w kaŝdym kroku czasowym spełnają teraz nerówność x < y. Oznacza to, Ŝe róŝnca napełneń komór ( h = y x) d( y x) jest funkcją malejącą < 0. Wartość h n w n-tym kroku oblczenowym drugego etapu opróŝnana szeregowo połączonych dwóch komór zbornka ustalają opory ruchu występujące przy malejącym przepływe tranzytowym (Q n ) z komory poprzednej () do komory wylotowej (0) Q n hn = g µ f Ustalono równeŝ, Ŝe wyznaczona według uproszczonego schematu wartość H 0P, a takŝe parametry a Q 0 /Q są w kaŝdym przypadku równe wartoścom oblczonym numeryczne ( H 0, a 0, Q 0 /Q ), jednak z tą róŝncą, Ŝe występują one w róŝnym czase t < t. Ne ma to Ŝadnego znaczena dla uzyskwanych oblczeń z uŝycem schematu uproszczonego, jeŝel spełnony jest warunek a,, który w praktyce nŝynerskej jest uzyskwany prawe zawsze. Dla tych przypadków, gdy a >,, odpływ ceczy ze zbornka najperw jest nelnowy dopero w dalszej faze opróŝnana, przekraczając znaczne czas (t ), uzyskuje zaleŝność lnową od chwl, dla której a 0 > a. 85 L t e r a t u r a [] K s e l A., Hydraulczna analza dzałana grawtacyjno-podcśnenowych zbornków kanalzacyjnych, Monografa 38, Wyd. Poltechnk Krakowskej, Kraków 998. [] K s e l A., K s e l J., Zbornk retencyjne płynnych neczystośc rekomendowane dla stacj zlewnych, Zeszyty Naukowe Poltechnk Bałostockej, InŜynera Środowska, z. 6/003, t. II, Bałystok 003. [3] K s e l A., M a l m u r R., K s e l J., Badane efektywnośc hydraulcznego dzałana zbornków przerzutowych śceków opadowych oraz podcśnenowych zbornków zrzutu śceków dowoŝonych do oczyszczaln, Projekt badawczy KBN nr 7 T09 D 048 ( r.), Poltechnka Częstochowska, 003. [4] K s e l J., Hydraulczne podstawy współdzałana szeregowo połączonych komór zbornka, XIV Konferencja Naukowa nt. Aktualne problemy gospodark wodno-ścekowej, Ustroń 004. [5] K s e l J., B eń J., Współdzałane retencyjnego zbornka stacj zlewnej z oczyszczalną śceków, materały konferencyjne nt. Zntegrowane, Intelgentne Systemy Wykorzystana Energ Odnawalnej, Podlese k. Częstochowy 005. [6] K s e l J., Hydraulczna analza współdzałana stacj zlewnej z oczyszczalną śceków, praca doktorska, Poltechnka Częstochowska, Częstochowa 006.