Wykłady z Mechaniki Kwantowej
|
|
- Kajetan Olejniczak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykłady z Mechaniki Kwantowej
2
3 Mechanika Kwantowa, Reatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład da doktorantów (017) Wykład 5 Wszystko naeży upraszczać jak tyko można, ae nie bardziej. Marek Zrałek Zakład Teorii Poa i Cząstek Eementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śąski Katowice, 017
4
5 Jak budować matematyczny obraz układu kwantowego??? u Zbudować obraz kasyczny układu mikroskopowego (da układów posiadających anaogie kasyczne) i wyrazić obserwabe jako funkcje położeń (x) i pędów (p). u Zamienić iczby na operatory x Q, p P i nałożyć na te operatory reacje komutacji Heisenberga [Q,P] i u Da układów nie mających kasycznej anaogii całą agebrę obserwabi budujemy od początku.
6 Eksperymentane wykorzystanie postuatów Mechaniki Kwantowej (reacje pomiędzy danymi doświadczanymi a obserwabami Mechaniki Kwantowej) Na przykładzie widma absorpcyjnego tenku węga. Eksperyment bazuje na oryginanym doświadczeniu Francka Hertza z 1914 roku. Źródło strumienia eektronów o okreśonej energii E e e e Gaz CO Mała temperatura Anaizator E e Dokładność pomiaru E eV Detektor Mierzy intensywność eektronów o energii E Widmo zaeży od energii E e i dokładności pomiaru Δ(E e -E e )
7 Natężenie eektronów w detektorze Gdy E e.05ev oraz Δ(E e -E e ) od ev do 0.05 ev Da diaatomowych moekuł E 3 E E 1 E 0 0 ΔE ΔE 3ΔE ΔE 0.6 ev Energia E (E e -E e ) Moekuły CO nie mogą być wzbudzone do dowonej energii. Jedynie dyskretne wartości energii są możiwe, moekuła CO ma dyskretne poziomy energetyczne. Są one prawie równo odegłe. Da daszych inii odegłości się zmniejszają W przybiżeniu układ ten możemy opisać kwantowo-mechanicznym oscyatorem harmonicznym. G.J. Schuz, Phys. Rev. 135, A988 (1964) C O Drgający dipo
8
9 CO çè Przestrzeń stanów zadana przez agebrę trzech operatorów H, P, Q spełniających reacji: [Q,P] i, H P µ + kq, k µω. Mierząc energie ΔE otrzymamy zawsze wartości: 1/hν, 3/hν, 5/hν,... (0, 0.6 ev, 0.5 ev, 0.78 ev,...), a więc wartości własne operatora energii. Przygotowany stan układu (zobaczymy później) n 0 P n n n, dim(φ n )1,. ρ w P n n Prawdopodobieństw, że mierząc energię otrzymamy E n jest równe: p n Tr(ρP n ) w n. w n 1 n
10 Operatory anihiacji i kreacji: a 1 µω Q + i µω P 1 ( Q + i P ) a + 1 µω Q Operator iczby cząstek (wzbudzeń) i reacja komutacji N a + a 1 ω H 1 I aa+ 1 ω H + 1 I [a, a + ] I Istnieje stan podstawowy (stan o najniższej energii) a 0 0 Dowód tego faktu jest następujący: i µω P 1 ( Q ip )
11 Załóżmy, że istnieje chociaż jeden wektor własny operatora N: N λ λ λ Okreśmy nowy wektor a λ : N( a λ ) a + a( a λ ) aa + - I ( λ - 1)a λ λ - 1 Tak więc możemy zapisać: I podobnie: ( ) a + a( a + λ ) a + a a + λ a + N + 1 N a + λ ( ) λ +1 λ + 1 ( ) λ 1 a λ λ 1 ( ) a λ ( ) λ ( ) an - a a m λ λ m ( ) λ λ + 1 ( )a + λ Widzimy więc, że: a + λ λ +1 ( a + ) m λ λ + m
12 Możemy ograniczyć wartości λ oraz m: ( λ m) λ m λ m λ m N λ m λ m a + a λ m ( λ m) a λ m 0 λ m Wynika stąd, że λ musi być całkowitą iczbą dodatnią tak aby zawsze istniała najmniejsza iczba m λ, taka, że λ m 0: a 1 0 a 0 0 N 0 0 W daszym ciągu okreśimy stany unormowane: 0 0) 0 0) 0 ( 0 0 ) 1! " # $# oznaczamy
13 I da koejnych wektorów: 1 c 1 a + 0 ;.....; n c ( n a + ) n 0 Możemy znaeźć teraz współczynniki normaizujące c n : 1 n n c n c n c n 1 ( 0 ( a) n ) a + n 1 aa + n 1 c n (( ) n ) 0 c n c n 1 0 ( 0 ( a) n-1 a) a + a + n 1 N + 1 n 1 c n c n c n 1 n ( ( ) n-1 ) 0 c n 1 n 1 n n 1 n c n Założyiśmy, że stan jest unormowany, tzn: c 0 1, zakładamy poza tym, że c n są rzeczywiste, otrzymamy: c n 1 c 1 c 0 1 1; c c 1 1 ;..... ; c n 1 n!
14 Tak więc mamy: N n n n ; H n E n n ; E n ω n + 1, Gdzie unormowany wektory własne energii mają postać: n n' δ nn' n 1 n! (a+ ) n 0 ; n 1,,... W daszym ciągu będziemy potrzebować: 1 a + n a + n! (a+ ) n 0 n +1 (n +1)n! (a+ ) n+1 0 n +1 n +1 A stąd otrzymamy Czyi: a n 1 a( a + n 1 ) n a n n (aa+ +1) n 1 1 n (N +1) n 1 n n n 1 n n 1
15 Przestrzeń stanów oscyatora harmonicznego Φ: Chcemy bowiem aby nie tyko: ψ ψ α n Ae także: Φ ψ α n n ; α n (n) p < n n Możemy znaeźć postać stanów n ψ N p N p ψ α n ψ Q x x x n x x n * n0 (n) p < < w reprezentacji położeniowej: Musimy więc znaeźć postać wektorów bazy w reprezentacji położeniowej: Zakładamy, że funkcjonał jest zwrotny
16 Najpierw poszukajmy: Q n µω a + a+ ( ) n ( n n 1 + n +1 n +1 ) µω Stąd: Czyi: n Q x x n x ( n n 1 x + n +1 n +1 x ) µω ( n n 1 x + n +1 n +1 x ) µω Abo oznaczając n + 1 m, n m 1 otrzymamy: (*) m m x µω x m 1 x m 1 m x Da: m 1,,3,...
17 Mamy więc rekurencyjny związek na znaezienie stanów własnych operatora energii w reprezentacji położeniowej. Musimy znać 0 x : Da m 0 mamy: Stąd otrzymamy: Q 0 1 x µω µω 1 0 Q x µω x 0 x Daej wprowadzimy oznaczenia: bezwymiarowe y µω x oraz f n (y) n n! n x 0 x Podzieimy równanie (*) przez 0 x, otrzymamy: m m x 0 x µω x m 1 x 0 x m 1 m x 0 x
18 Wstawiając teraz: otrzymamy: m m x 0 x 1 m (m)! f m(y) m x 0 x m 1 x 0 x 1 m (m )! f m (y) 1 m m! f (y) m µω x 1 m 1 (m 1)! f (y) m 1 1 m 1 (m 1)! f m 1(y) m 1 1 m (m )! f (y) m f m (y) µω x m (m 1)! m 1 (m 1)! f (y) m 1 m 1 m (m 1)! m (m )! f (y) m f m (y) y f m 1 (y) (m 1) f m (y) Równanie rekurencyjne da wieomiany Hermite a.
19 Z definicji z poprzedniej strony: f 0 (y) 1 1 x 0 x y f 1 (y) 1 x 0 x y Można sprawdzić, że wieomiany Hermite a da się zapisać w postaci: f n (y) H n (y) ( 1) n e y d n (e y dy n ) Wektory bazy w reprezentacji położeniowej mają więc postać: n x 1 n n! 0 x H ( µω n x), da - < x < + Dobieramy aby całość miał normę 1
20 Chcemy aby: δ nm n m dx n x x m Jako wektory własne operatora hermitowskiego są ortogonane, ae unormować musimy. Skorzystamy z własności: Chcemy więc aby: n x ( x n ) * Wiemy, że: δ nm δ nm µω n m n!m! dy 0 µω y 1 n n! π dy e y H n (y) H m (y) 0 H n (y) H m (y) µω y µω π e y
21 Formanie znajdujemy wartość funkcjonału x da wektora n : n x µω π! n n! H n( µω! x) e ( Wieomiany Hermite'a µω! )x x n Podobnie można znaeźć stan własnego n w reprezentacji p P p p p ; n p. Teraz także: n p ( p n ) *
22 Można znaeźć stan własny operatora energii w reprezentacji pędowe: 1 n p i n π!µω n n! H n ( 1!µω p!µω p) e p n dx p x x n znamy p x e ipx/ π ( x p ) * znamy x n dp x p p n
23
24 Układ kwantowy będzie pozostawać w stanie stacjonarnym tak długo jak nie działają na niego siły zewnętrzne. Pod działaniem tych sił układ się zmienia. W praktyce jakikowiek układ kwantowy podega działaniu sił zewnętrznych ( słabe poe eektromagnetyczne, poe wewnętrzne powstające na skutek ruchu ładunków). Takie słabe oddziaływanie nie zmieni w znaczący sposób stanów układu ae powoduje przejścia pomiędzy nimi (rachunek zaburzeń, rachunek zaburzeń zaeżny od czasu). Znając oddziaływanie możemy znaeźć prawdopodobieństwa przejść i reguły wyboru. W układzie mogą nastąpić przejścia pomiędzy stanami energetycznymi pierwotnego układu. Układ może pochłonąć ub wypromieniować faę eektromagnetyczną o częstości: ν nm E n E h Prawdopodobieństwo przejścia jest równe: Nasza moekuła dwuatomowa: --!! d! m m V n + D + q x Oscyujące ładunki promieniują +q faę eektromagnetyczną D 0! -q! D! q d
25 WIBRATOR P mn! m D n Jednowymiarowo m Q n D q Q, a więc ( n m n 1 + n +1 m n +1 ) mω Mamy więc regułę wyboru: n-m 1 i mamy przejścia jak w oscyatorze harmonicznym ν nm ω π const ν ΔE h sek -1 Na ćwiczeniach Da moekuły CO: ΔE 0.65 ev stąd: λ c ν 4.68 µ (1µ 10 4 cm) W spektroskopii częstotiwość nie podaje się w odwrotnościach sekundy, podaje się w (ν/c 1/λ) w 1/cm (iość fa na cm). ν 140 cm -1 (137.37cm 1 ) Widmo wibrującej moekuły CO to pojedyncza inia (w pobiżu promieniowania podczerwonego) Podobnie da innych moekuł dwuatomowych np. HC λ.46 µ, Brak widma da np. O, N, H
26 REALISTYCZNY WIBRATOR + ROTATOR SZTYWNY Zwiększając grubość absorbentu gazowego pojawiają się następne inie absorpcyjne: ω ν nm k; k 1,,3,4,5 π Oscyator nie może być dobry ( n - m, 3, 4,... Intensywność pozostałych inii jest znacznie mniejsza F ), siły nieharmoniczne: Gdy obserwujemy inie widmowe za pomocą spektrometru o znacznie epszej zdoności rozdzieczej inia ν 140/cm rozszczepia się na dużą iość indywiduanych inii: Absorbcja Gałąź R Gałąź P /cm
27 Struktura widma HC ( A. Bohm, Quantum Mechanics 3 wyd., str.13 Po zwiększeniu grubości absorbenta Struktura widma CO po zwiększeniu rozdzieczości (from A. Bohm, Quantum Mechanics 3 wyd., str.15 Wibracyjno-rotacyjne spektrum da tenku węga (struktura rotacyjno-wibracyjna)
28 OSCYLATOR I SZTYWNY ROTATOR O OSCYLACJE OBROTY C OSCYLACJE
29 Gdy energia << 0.6 ev Sztywny rotator 1 r 1 p 1 r p r1 m 1 R CM r r m V d R dt v d r dt L R P r p R 1 M (m r +m 1 r1 ) r r - r 1 M m 1 +m P M V m m 1 m M p m v L Na ćwiczenia W układzie CM: R 0 L 0 ; 1 +
30 Energia kinetyczna: E 1 m v ; Energia kinetyczna wyrażona przez częstotiwość obrotów i moment bezwładności ciała: ω v r E 1 m r ω 1 I ω I m r Moment pędu wyrażony przez moment bezwładności i częstotiwość r p m ( r v) m r r v r m v r r v v r m r ( nω ) I ω r ω ω I E I n r r v v
31 E CM P M ; E p m ; E 1 p 1 m 1 ; E p m. Wtedy: E CM + E E 1 + E Na ćwiczenia W układzie CM mamy: R 0; Da oscyacji: E 1 1 P 0; E CM 0; E E 1 + E ; L 0; 1 + I 1 ; E I ; E Stąd mamy nowy kwantowy - układ oscyujący: H I I ; I 1 m 1 r 1 ; I m r ; I mr I I 1 +I Na ćwiczenia
32 Agebra rotatora sztywnego: 1,, 3 ; ; H I Z kanonicznych reacji komutacji Heisenberga: Otrzymamy: [Q i,p k ] iδ ik [ i, k ] iε ikm m [, i ] 0 [H, i ] 0
33 " z,m!,m (! m,m ; + 1),m ; 0,1,,3,... m -, - + 1,... -1, Udowodnić, że da orbitanego momentu pędu jest całkowite Operator statystyczny w podprzestrzeni wartości własnej ( R ) ρ m m -,m + 1,m Podprzestrzenie R nie są niezmiennicze przy działaniu operatorów Q j oraz P k, zachodzi bowiem: [ ] i,q j i! ε ijmq m; [ ] i,pj i! ε ijmpm ; [ ",Q ] i! ε ( Q + Q ) 0; j ijm Agebra operatorów momentu pędu posiada niezmiennicze podprzestrzenie R Agebra rotatora zawiera operatory k, Q i oraz P m, stąd przestrzeń stanów fizycznych kwantowo mechanicznego rotatora jest sumą prostą przestrzeni: i m m i Na ćwiczenia R 0 R
34 Agebrą wibratora z rotatorem jest zbiór sześciu operatorów spełniających reacje komutacji (agebra E 3 ): [ ] i,k i! εikn [,Q ] i Q ; n i j! ε ijm m [ Q,Q ] 0 ;. i k Widmo operatora energii E 4 E 3 E E E! ( + 1) I! 1 - E ( + 1) I + E 1 E 0
35 Natężenie emitowanego przez rotator promieniowania jest proporcjonane do modułu do kwadratu eementu macierzowego operatora momentu dipoowego (zakładamy, że dipo eektryczny rotuje) : ' ', m Qi Spełniona jest reguła wyboru: ',m ' Q i,m,m ' 0 gdy ± 1 Δ ±1 Będą więc przejścia kwantowe z różnym n oraz oraz z tym samym n. Częstotiwość takich przejść, z tym samym n, jest zadana: E ' - E! ( + 1)( + ) ( + 1) ν ' B( + 1); π! c I π! c h 8π ci B
36 Struktura rotacyjna widma CO (A. Bohm, Quantum Mechanics 3 wyd., str.17
37 Pokazać, że ',m ' Q i,m 0 gdy ' ± 1 Wynika to z twierdzenie: WIGNERA - ECKARTA, udowodnić to twierdzenie
38 Różnica częstości pomiędzy koejnymi iniami jest stała Δν ν + 1, ν, 1 B[( + 1) - ] B Np. da HC pierwsze 11 poziomów ma stałe Δν z fitu otrzymamy: B h HC 8 ci π HC 10.35cm Zgodność nie jest dobra da wyższych poziomów, epiej będzie da: 3 ν + 1, b( + 1) 4d( + 1) a to odpowiada poziomom energetycznym: E [b( +1) d ( +1) ]πc -1 Na ćwiczenia Można to dość prosto wyjaśnić. HC nie jest sztywnym rotatorem. Odegłość pomiędzy H i C zmienia się bowiem moment bezwładności jest proporcjonany do x i kasycznie mamy: E mx + k(x-x 0 )
39 Spektrum absorpcyjne da HC (A. Bohm, Quantum Mechanic,1979, str.109
40 W fizyce kasycznej taka sytuacja ma miejsce gdy: 1 x 1 x 0 (1- x-x 0 x 0 ) Wtedy: 1 x 1! x kmx 0 k (x-x 0 ) mv x (x-x 0 ) kmx 3 E kin x mx 3 E mx + 1 k(x-x 0) mx - ( ) 0 km x k kmx 0 3 mx - ( ) 0 km 6 x 0 W przypadku kwantowym: H mx - ( ) 0 km 6 x 0
41 I otrzymujemy spektrum energii w postaci: gdzie: E hc[b ( + 1) - d ( + 1) ]; hcb mx ; hcd 4 0 m kx. 6 0 Połączenie rotatora i wibratora - moekuła jako rotujący oscyator R 1 przestrzeń stanów oscyatora, R przestrzeń stanów rotatora. R R 1 R Ioczyn skaarny: Baza w R: u,v aij ui v j ; i,j * u',v' u,v ' a ij u k i,j,k, b k u',v' u i (1) i,j i j i j (1) () (1) () k, v ' b k u k ' v j () v ' AA A Ai,j (A A)(i j ) A i A j (1) () (1) ()
42 Ioczyn operatorów: Dowony operator działający w R: (A1 A )(B1 B ) A1B1 A B A A A i (i) (i) 1 Postuat VII da moekuły dwuatomowej Φ przestrzeń stanów oscyatora harmonicznego: n; n1,,3... R przestrzeń stanów rotatora:,m ; 0,1,,3,...; m,...+ Przestrzeń stanów moekuły: Operator w GΦ R : Baza w GΦ R : GΦ R A A A ; i (i) oscy n,,m n,m (i) rotator Gdy nie ma koreacji sztywny rotator i oscyator.
43 Operator energii: H I + I H osc rot gdzie: H osc ω N + 1 I oraz H rot I Gdy zaniedbamy oddziaływanie, widmo operatora energii ma postać: (z regułą wyboru): ν ν E n ω n I ( +1) Eksperyment pokazuje, że E - E + B+B, da Δ + 1 π hc n+1,+1 n, R ν0 E - E - B, da Δ 1 π hc n+1,-1 n, P ν0 Δn ±1; Δ ±1. ω I ; (000 cm 1, 4 cm 1 ) ν gdzie: 0 ; B ω π c 4πcI
44 Poziomy energetyczne wibrującego rotatora (A. Bohm, Quantum Mechanic,,3 wyd., str.149
45 Pełne spektrum wibracyjno - rotacyjne (A. Bohm, Quantum Mechanic,,3 wyd., str.150 Uwzgędnienie oddziaływania rotacyjnych i wibracyjnych stopni swobody- znacznie epsza zgodność z eksperymentem Bez oddziaływania wibracyjnych i rotacyjnych stopni swobody
46 W środku pasma jest przerwa bo brak przejścia Δ0. Jest zgodność z danymi ae nie oszałamiająca, rozbieżność spowodowana oddziaływaniem oscyacyjnych i rotacyjnych stopni swobody. Spróbujmy uwzgędnić koreacje i przejmijmy: H g H H int osc rot HHosc I + I H rot + g Hosc Hrot Hn,,mE n n,,m Wtedy otrzymamy: E n ω n I ( +1) + gω (n +1/ )( +1) I A więc: ν n E n πc ν 0 n (B e α e (n +1/ ))( +1) ω gdzie: ν 0 ; B e ;. π c 4πcI α gν e 0 I
47 Gdyby sparametryzować: E n ω n ( +1) I n Wtedy: I n I e 1+ gω(n +1/ ) I n Da ujemnych g Częstości przejść w serii R i P będą równe: n ν ν ν ν R ' '' 0(n n ) + B ' +(3B ' B '') + (B ' B '') ' '' n + 1 n n n n n n ν ν ν ν P ' '' 0(n n ) + (B ' + B '') + (B ' B '') ' '' n + 1 n n n n n Bardzo dobra zgodność, ae: anharmoniczność nie uwzgędniona, B n zmiana momentu bezwładności I z x nie do końca widoczna, 4πcI n wibrujący rotator dobry da małych energii, później wzbudzenia atomowe.
48 Zupełny układ komutujących obserwabi (zuko) (iczby kwantowe): ważny da okreśenia bazy stanów, a więc przestrzeni stanów Φ da danego układu fizycznego, istotny da okreśenia stanu czystego (daczego?), pytanie o zuko to pytanie doświadczane, mając eksperymentane spektra proponujemy agebrę a więc także zuko, odpowiedź na pytanie jakie jest zuko zaeży od dostępnych energii oraz zdoności rozdzieczej aparatury (gdy E< 10 - tyko stany rotacyjne, wtedy, z, gdy energia rośnie dochodzi n, daej ze wzrostem energii dochodzą poziomy atomowe, itd.
49 Dziękuję za uwagę 49
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoOptyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017
Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne
Bardziej szczegółowoθ = 0 lub = = g l dw dt Przykłady drgań: Wahadło matematyczne (małe wychylenia): Inaczej: m l(1-cosθ) Drgania i fale II rok Fizyki BC
Przykłady drgań: Wahadło ateatyczne (ałe wychyenia): θ ( sinθ) M g && θ gsinθ && θ gθ (1-cosθ) && g θ + θ g g naczej: υ T V W & 1 g T θ υ 1 ( cosθ ) + V & θ dw dt &&& θθ + g & θ sinθ θ ub && g θ + sinθ
Bardziej szczegółowoLaboratorium Dynamiki Maszyn
Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab.
WYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab. Halina Abramczyk POLITECHNIKA ŁÓDZKA Wydział Chemiczny
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.
Bardziej szczegółowoAtom wodoropodobny. Biegunowy układ współrzędnych. współrzędne w układzie. kartezjańskim. współrzędne w układzie. (x,y,z) biegunowym.
Atom wodoropodobny z współrzędne w układzie kartezjańskim r sinθ cosφ x r cosθ φ θ r r sinθ (x,y,z) r sinθ sinφ Biegunowy układ współrzędnych y funkcja faowa współrzędne w układzie biegunowym ( ) r,θ,φ
Bardziej szczegółowoW przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:
Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)
Bardziej szczegółowoDiagnostyka plazmy - spektroskopia molekularna. Ewa Pawelec wykład dla pracowni specjalistycznej
Diagnostyka plazmy - spektroskopia molekularna Ewa Pawelec wykład dla pracowni specjalistycznej Plazma Różne rodzaje plazmy: http://www.ipp.cas.cz/mi/index.html http://www.pro-fusiononline.com/welding/plasma.htm
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoCZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)
CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina
Bardziej szczegółowoWykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego
Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego W5. Energia molekuł Przemieszczanie się całych molekuł w przestrzeni - Ruch translacyjny - Odbywa się w fazie gazowej i ciekłej, w fazie stałej
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA
Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu
Bardziej szczegółowoTeorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały
WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe
Bardziej szczegółowoPodczerwień bliska: cm -1 (0,7-2,5 µm) Podczerwień właściwa: cm -1 (2,5-14,3 µm) Podczerwień daleka: cm -1 (14,3-50 µm)
SPEKTROSKOPIA W PODCZERWIENI Podczerwień bliska: 14300-4000 cm -1 (0,7-2,5 µm) Podczerwień właściwa: 4000-700 cm -1 (2,5-14,3 µm) Podczerwień daleka: 700-200 cm -1 (14,3-50 µm) WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCE
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg
Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(
Bardziej szczegółowoPrawo Coulomba. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Prawo Couomba Autorzy: Zbigniew Kąko Kami Kutorasiński 2019 Prawo Couomba Autorzy: Zbigniew Kąko, Kami Kutorasiński Siłę wzajemnego oddziaływania dwóch naładowanych punktów materianych (ładunków punktowych)
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowogęstością prawdopodobieństwa
Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoOGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII
WYKŁAD 8 OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII E E0 sn( ωt kx) ; k π ; ω πν ; λ T ν E (m c 4 p c ) / E +, dla fotonu m 0 p c p hk Rozkład energ w stane równowag: ROZKŁAD BOLTZMANA!!!!! P(E) e E / kt N E N E/
Bardziej szczegółowoSPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE
SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE Promieniowanie o długości fali 2-50 μm nazywamy promieniowaniem podczerwonym. Absorpcja lub emisja promieniowania z tego zakresu jest
Bardziej szczegółowoUk lady modelowe II - oscylator
Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0 Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoPoczątek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy
Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy
Bardziej szczegółowox = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać
3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoRównanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.
Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)
Bardziej szczegółowoSPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE
1 SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE 2 Promieniowanie o długości fali 2-50 μm nazywamy promieniowaniem podczerwonym. Absorpcja lub emisja promieniowania z tego zakresu jest
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoV. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ
V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoFALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że
FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11
Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna / Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc ; z jęz. ros. tł. Ludwik Dobrzyński, Andrzej Pindor. - Wyd. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa redaktora do wydania
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoPodstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 2, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek
Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 2, 17.02.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Równania Maxwella r-nie falowe
Bardziej szczegółowoFizyka 3.3 WYKŁAD II
Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ
ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 2 : Badanie licznika proporcjonalnego fotonów X
Ćwiczenie nr 2 : Badanie licznika proporcjonalnego fotonów X Oskar Gawlik, Jacek Grela 16 lutego 2009 1 Podstawy teoretyczne 1.1 Liczniki proporcjonalne Wydajność detekcji promieniowania elektromagnetycznego
Bardziej szczegółowoAtom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:
ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowoI. PROMIENIOWANIE CIEPLNE
I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?
Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoSymetrie i prawa zachowania Wykład 6
Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoZad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.
Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx
Bardziej szczegółowoPrawa ruchu: dynamika
Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoChemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.
1 Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 21/211: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny - interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest licza
Bardziej szczegółowoSPEKTROSKOPIA RAMANA. Laboratorium Laserowej Spektroskopii Molekularnej PŁ
SPEKTROSKOPIA RAMANA Laboratorium Laserowej Spektroskopii Molekularnej PŁ WIDMO OSCYLACYJNE Zręby atomowe w molekule wykonują oscylacje wokół położenia równowagi. Ruch ten można rozłożyć na 3n-6 w przypadku
Bardziej szczegółowoVII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Bardziej szczegółowoRozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoWstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej
Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 10 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS
ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS LABORATORIUM - MBS 1. ROZWIĄZYWANIE WIDM kolokwium NMR 25 kwietnia 2016 IR 30 maja 2016 złożone 13 czerwca 2016 wtorek 6.04 13.04 20.04 11.05 18.05 1.06 8.06 coll coll
Bardziej szczegółowoRzadkie gazy bozonów
Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni
Bardziej szczegółowoFIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań
FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B
Bardziej szczegółowoOptyczna spektroskopia oscylacyjna. w badaniach powierzchni
Optyczna spektroskopia oscylacyjna w badaniach powierzchni Zalety oscylacyjnej spektroskopii optycznej uŝycie fotonów jako cząsteczek wzbudzających i rejestrowanych nie wymaga uŝycia próŝni (moŝliwość
Bardziej szczegółowon n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A / B 2 1 hν exp( ) 1 kt (24)
n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A 1 2 / B hν exp( ) 1 kt (24) Powyższe równanie określające gęstość widmową energii promieniowania
Bardziej szczegółowoI.4 Promieniowanie rentgenowskie. Efekt Comptona. Otrzymywanie promieniowania X Pochłanianie X przez materię Efekt Comptona
r. akad. 004/005 I.4 Promieniowanie rentgenowskie. Efekt Comptona Otrzymywanie promieniowania X Pochłanianie X przez materię Efekt Comptona Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 r. akad. 004/005 0.01 nm=0.1 A
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18
Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe
Bardziej szczegółowoWstęp do astrofizyki I
Wstęp do astrofizyki I Wykład 13 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, OA UAM Wstęp do astrofizyki I, Wykład
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoEfekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach
Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów
Bardziej szczegółowo(U.6) Oscylator harmoniczny
3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Podstawy fizyki kwantowej Nazwa w języku angielskim Fundamental of Quantum Physics Kierunek studiów (jeśli
Bardziej szczegółowoobrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a
Wykład II.1 25 Obroty układu kwantowego Interpretacja aktywna i pasywna. Macierz obrotu w trzech wymiarach a operator obrotu w przestrzeni stanów. Reprezentacja obrotu w przestrzeni funkcji falowych. Transformacje
Bardziej szczegółowoZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE
ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE Źródła światła Prawo promieniowania Kirchhoffa Ciało doskonale czarne Promieniowanie ciała doskonale czarnego Prawo promieniowania Plancka Prawo Stefana-Boltzmanna Prawo przesunięć
Bardziej szczegółowoIV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)
IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913) Bohr zastanawiał się, jak wyjaśnić strukturę widm liniowych. Elektron musi krążyć, aby zrównoważyć siłę Coulomba (przyciągającą). Skoro krąży to doznaje przyspieszenia
Bardziej szczegółowoFizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe
Fizyka dr Bohdan Bieg p. 36A wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Literatura Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers, Cengage Learning D. Halliday, D.
Bardziej szczegółowoFizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika
Fizyka 3 Konsultacje: p. 39, Mechatronika marzan@mech.pw.edu.pl Zaliczenie: 1 sprawdzian 30 pkt 15.1 18 3.0 18.1 1 3.5 1.1 4 4.0 4.1 7 4.5 7.1 30 5.0 http:\\adam.mech.pw.edu.pl\~marzan Program: - elementy
Bardziej szczegółowoModele atomu wodoru. Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a
Modele atomu wodoru Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a Demokryt: V w. p.n.e najmniejszy, niepodzielny metodami chemicznymi składnik materii. atomos - niepodzielny Co to jest atom? trochę
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ
PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w Instytucie Fizyki Uniwersytetu Berlińskiego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoII.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym
II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 II.4.1 Ogólne własności wektora kwantowego momentu pędu Podane poniżej własności kwantowych wektorów
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoFaculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów
Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni
Bardziej szczegółowoChemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki
dr ab. Wacław Makowski Cemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki 1. Kwantowanie. Atom wodoru 3. Atomy wieloelektronowe 4. Termy atomowe 5. Cząsteczki dwuatomowe 6. Hybrydyzacja 7. Orbitale zdelokalizowane
Bardziej szczegółowoWykład Budowa atomu 3
Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowo