Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykłady z Mechaniki Kwantowej"

Transkrypt

1 Wykłady z Mechaniki Kwantowej

2

3 Mechanika Kwantowa, Reatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład da doktorantów (017) Wykład 5 Wszystko naeży upraszczać jak tyko można, ae nie bardziej. Marek Zrałek Zakład Teorii Poa i Cząstek Eementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śąski Katowice, 017

4

5 Jak budować matematyczny obraz układu kwantowego??? u Zbudować obraz kasyczny układu mikroskopowego (da układów posiadających anaogie kasyczne) i wyrazić obserwabe jako funkcje położeń (x) i pędów (p). u Zamienić iczby na operatory x Q, p P i nałożyć na te operatory reacje komutacji Heisenberga [Q,P] i u Da układów nie mających kasycznej anaogii całą agebrę obserwabi budujemy od początku.

6 Eksperymentane wykorzystanie postuatów Mechaniki Kwantowej (reacje pomiędzy danymi doświadczanymi a obserwabami Mechaniki Kwantowej) Na przykładzie widma absorpcyjnego tenku węga. Eksperyment bazuje na oryginanym doświadczeniu Francka Hertza z 1914 roku. Źródło strumienia eektronów o okreśonej energii E e e e Gaz CO Mała temperatura Anaizator E e Dokładność pomiaru E eV Detektor Mierzy intensywność eektronów o energii E Widmo zaeży od energii E e i dokładności pomiaru Δ(E e -E e )

7 Natężenie eektronów w detektorze Gdy E e.05ev oraz Δ(E e -E e ) od ev do 0.05 ev Da diaatomowych moekuł E 3 E E 1 E 0 0 ΔE ΔE 3ΔE ΔE 0.6 ev Energia E (E e -E e ) Moekuły CO nie mogą być wzbudzone do dowonej energii. Jedynie dyskretne wartości energii są możiwe, moekuła CO ma dyskretne poziomy energetyczne. Są one prawie równo odegłe. Da daszych inii odegłości się zmniejszają W przybiżeniu układ ten możemy opisać kwantowo-mechanicznym oscyatorem harmonicznym. G.J. Schuz, Phys. Rev. 135, A988 (1964) C O Drgający dipo

8

9 CO çè Przestrzeń stanów zadana przez agebrę trzech operatorów H, P, Q spełniających reacji: [Q,P] i, H P µ + kq, k µω. Mierząc energie ΔE otrzymamy zawsze wartości: 1/hν, 3/hν, 5/hν,... (0, 0.6 ev, 0.5 ev, 0.78 ev,...), a więc wartości własne operatora energii. Przygotowany stan układu (zobaczymy później) n 0 P n n n, dim(φ n )1,. ρ w P n n Prawdopodobieństw, że mierząc energię otrzymamy E n jest równe: p n Tr(ρP n ) w n. w n 1 n

10 Operatory anihiacji i kreacji: a 1 µω Q + i µω P 1 ( Q + i P ) a + 1 µω Q Operator iczby cząstek (wzbudzeń) i reacja komutacji N a + a 1 ω H 1 I aa+ 1 ω H + 1 I [a, a + ] I Istnieje stan podstawowy (stan o najniższej energii) a 0 0 Dowód tego faktu jest następujący: i µω P 1 ( Q ip )

11 Załóżmy, że istnieje chociaż jeden wektor własny operatora N: N λ λ λ Okreśmy nowy wektor a λ : N( a λ ) a + a( a λ ) aa + - I ( λ - 1)a λ λ - 1 Tak więc możemy zapisać: I podobnie: ( ) a + a( a + λ ) a + a a + λ a + N + 1 N a + λ ( ) λ +1 λ + 1 ( ) λ 1 a λ λ 1 ( ) a λ ( ) λ ( ) an - a a m λ λ m ( ) λ λ + 1 ( )a + λ Widzimy więc, że: a + λ λ +1 ( a + ) m λ λ + m

12 Możemy ograniczyć wartości λ oraz m: ( λ m) λ m λ m λ m N λ m λ m a + a λ m ( λ m) a λ m 0 λ m Wynika stąd, że λ musi być całkowitą iczbą dodatnią tak aby zawsze istniała najmniejsza iczba m λ, taka, że λ m 0: a 1 0 a 0 0 N 0 0 W daszym ciągu okreśimy stany unormowane: 0 0) 0 0) 0 ( 0 0 ) 1! " # $# oznaczamy

13 I da koejnych wektorów: 1 c 1 a + 0 ;.....; n c ( n a + ) n 0 Możemy znaeźć teraz współczynniki normaizujące c n : 1 n n c n c n c n 1 ( 0 ( a) n ) a + n 1 aa + n 1 c n (( ) n ) 0 c n c n 1 0 ( 0 ( a) n-1 a) a + a + n 1 N + 1 n 1 c n c n c n 1 n ( ( ) n-1 ) 0 c n 1 n 1 n n 1 n c n Założyiśmy, że stan jest unormowany, tzn: c 0 1, zakładamy poza tym, że c n są rzeczywiste, otrzymamy: c n 1 c 1 c 0 1 1; c c 1 1 ;..... ; c n 1 n!

14 Tak więc mamy: N n n n ; H n E n n ; E n ω n + 1, Gdzie unormowany wektory własne energii mają postać: n n' δ nn' n 1 n! (a+ ) n 0 ; n 1,,... W daszym ciągu będziemy potrzebować: 1 a + n a + n! (a+ ) n 0 n +1 (n +1)n! (a+ ) n+1 0 n +1 n +1 A stąd otrzymamy Czyi: a n 1 a( a + n 1 ) n a n n (aa+ +1) n 1 1 n (N +1) n 1 n n n 1 n n 1

15 Przestrzeń stanów oscyatora harmonicznego Φ: Chcemy bowiem aby nie tyko: ψ ψ α n Ae także: Φ ψ α n n ; α n (n) p < n n Możemy znaeźć postać stanów n ψ N p N p ψ α n ψ Q x x x n x x n * n0 (n) p < < w reprezentacji położeniowej: Musimy więc znaeźć postać wektorów bazy w reprezentacji położeniowej: Zakładamy, że funkcjonał jest zwrotny

16 Najpierw poszukajmy: Q n µω a + a+ ( ) n ( n n 1 + n +1 n +1 ) µω Stąd: Czyi: n Q x x n x ( n n 1 x + n +1 n +1 x ) µω ( n n 1 x + n +1 n +1 x ) µω Abo oznaczając n + 1 m, n m 1 otrzymamy: (*) m m x µω x m 1 x m 1 m x Da: m 1,,3,...

17 Mamy więc rekurencyjny związek na znaezienie stanów własnych operatora energii w reprezentacji położeniowej. Musimy znać 0 x : Da m 0 mamy: Stąd otrzymamy: Q 0 1 x µω µω 1 0 Q x µω x 0 x Daej wprowadzimy oznaczenia: bezwymiarowe y µω x oraz f n (y) n n! n x 0 x Podzieimy równanie (*) przez 0 x, otrzymamy: m m x 0 x µω x m 1 x 0 x m 1 m x 0 x

18 Wstawiając teraz: otrzymamy: m m x 0 x 1 m (m)! f m(y) m x 0 x m 1 x 0 x 1 m (m )! f m (y) 1 m m! f (y) m µω x 1 m 1 (m 1)! f (y) m 1 1 m 1 (m 1)! f m 1(y) m 1 1 m (m )! f (y) m f m (y) µω x m (m 1)! m 1 (m 1)! f (y) m 1 m 1 m (m 1)! m (m )! f (y) m f m (y) y f m 1 (y) (m 1) f m (y) Równanie rekurencyjne da wieomiany Hermite a.

19 Z definicji z poprzedniej strony: f 0 (y) 1 1 x 0 x y f 1 (y) 1 x 0 x y Można sprawdzić, że wieomiany Hermite a da się zapisać w postaci: f n (y) H n (y) ( 1) n e y d n (e y dy n ) Wektory bazy w reprezentacji położeniowej mają więc postać: n x 1 n n! 0 x H ( µω n x), da - < x < + Dobieramy aby całość miał normę 1

20 Chcemy aby: δ nm n m dx n x x m Jako wektory własne operatora hermitowskiego są ortogonane, ae unormować musimy. Skorzystamy z własności: Chcemy więc aby: n x ( x n ) * Wiemy, że: δ nm δ nm µω n m n!m! dy 0 µω y 1 n n! π dy e y H n (y) H m (y) 0 H n (y) H m (y) µω y µω π e y

21 Formanie znajdujemy wartość funkcjonału x da wektora n : n x µω π! n n! H n( µω! x) e ( Wieomiany Hermite'a µω! )x x n Podobnie można znaeźć stan własnego n w reprezentacji p P p p p ; n p. Teraz także: n p ( p n ) *

22 Można znaeźć stan własny operatora energii w reprezentacji pędowe: 1 n p i n π!µω n n! H n ( 1!µω p!µω p) e p n dx p x x n znamy p x e ipx/ π ( x p ) * znamy x n dp x p p n

23

24 Układ kwantowy będzie pozostawać w stanie stacjonarnym tak długo jak nie działają na niego siły zewnętrzne. Pod działaniem tych sił układ się zmienia. W praktyce jakikowiek układ kwantowy podega działaniu sił zewnętrznych ( słabe poe eektromagnetyczne, poe wewnętrzne powstające na skutek ruchu ładunków). Takie słabe oddziaływanie nie zmieni w znaczący sposób stanów układu ae powoduje przejścia pomiędzy nimi (rachunek zaburzeń, rachunek zaburzeń zaeżny od czasu). Znając oddziaływanie możemy znaeźć prawdopodobieństwa przejść i reguły wyboru. W układzie mogą nastąpić przejścia pomiędzy stanami energetycznymi pierwotnego układu. Układ może pochłonąć ub wypromieniować faę eektromagnetyczną o częstości: ν nm E n E h Prawdopodobieństwo przejścia jest równe: Nasza moekuła dwuatomowa: --!! d! m m V n + D + q x Oscyujące ładunki promieniują +q faę eektromagnetyczną D 0! -q! D! q d

25 WIBRATOR P mn! m D n Jednowymiarowo m Q n D q Q, a więc ( n m n 1 + n +1 m n +1 ) mω Mamy więc regułę wyboru: n-m 1 i mamy przejścia jak w oscyatorze harmonicznym ν nm ω π const ν ΔE h sek -1 Na ćwiczeniach Da moekuły CO: ΔE 0.65 ev stąd: λ c ν 4.68 µ (1µ 10 4 cm) W spektroskopii częstotiwość nie podaje się w odwrotnościach sekundy, podaje się w (ν/c 1/λ) w 1/cm (iość fa na cm). ν 140 cm -1 (137.37cm 1 ) Widmo wibrującej moekuły CO to pojedyncza inia (w pobiżu promieniowania podczerwonego) Podobnie da innych moekuł dwuatomowych np. HC λ.46 µ, Brak widma da np. O, N, H

26 REALISTYCZNY WIBRATOR + ROTATOR SZTYWNY Zwiększając grubość absorbentu gazowego pojawiają się następne inie absorpcyjne: ω ν nm k; k 1,,3,4,5 π Oscyator nie może być dobry ( n - m, 3, 4,... Intensywność pozostałych inii jest znacznie mniejsza F ), siły nieharmoniczne: Gdy obserwujemy inie widmowe za pomocą spektrometru o znacznie epszej zdoności rozdzieczej inia ν 140/cm rozszczepia się na dużą iość indywiduanych inii: Absorbcja Gałąź R Gałąź P /cm

27 Struktura widma HC ( A. Bohm, Quantum Mechanics 3 wyd., str.13 Po zwiększeniu grubości absorbenta Struktura widma CO po zwiększeniu rozdzieczości (from A. Bohm, Quantum Mechanics 3 wyd., str.15 Wibracyjno-rotacyjne spektrum da tenku węga (struktura rotacyjno-wibracyjna)

28 OSCYLATOR I SZTYWNY ROTATOR O OSCYLACJE OBROTY C OSCYLACJE

29 Gdy energia << 0.6 ev Sztywny rotator 1 r 1 p 1 r p r1 m 1 R CM r r m V d R dt v d r dt L R P r p R 1 M (m r +m 1 r1 ) r r - r 1 M m 1 +m P M V m m 1 m M p m v L Na ćwiczenia W układzie CM: R 0 L 0 ; 1 +

30 Energia kinetyczna: E 1 m v ; Energia kinetyczna wyrażona przez częstotiwość obrotów i moment bezwładności ciała: ω v r E 1 m r ω 1 I ω I m r Moment pędu wyrażony przez moment bezwładności i częstotiwość r p m ( r v) m r r v r m v r r v v r m r ( nω ) I ω r ω ω I E I n r r v v

31 E CM P M ; E p m ; E 1 p 1 m 1 ; E p m. Wtedy: E CM + E E 1 + E Na ćwiczenia W układzie CM mamy: R 0; Da oscyacji: E 1 1 P 0; E CM 0; E E 1 + E ; L 0; 1 + I 1 ; E I ; E Stąd mamy nowy kwantowy - układ oscyujący: H I I ; I 1 m 1 r 1 ; I m r ; I mr I I 1 +I Na ćwiczenia

32 Agebra rotatora sztywnego: 1,, 3 ; ; H I Z kanonicznych reacji komutacji Heisenberga: Otrzymamy: [Q i,p k ] iδ ik [ i, k ] iε ikm m [, i ] 0 [H, i ] 0

33 " z,m!,m (! m,m ; + 1),m ; 0,1,,3,... m -, - + 1,... -1, Udowodnić, że da orbitanego momentu pędu jest całkowite Operator statystyczny w podprzestrzeni wartości własnej ( R ) ρ m m -,m + 1,m Podprzestrzenie R nie są niezmiennicze przy działaniu operatorów Q j oraz P k, zachodzi bowiem: [ ] i,q j i! ε ijmq m; [ ] i,pj i! ε ijmpm ; [ ",Q ] i! ε ( Q + Q ) 0; j ijm Agebra operatorów momentu pędu posiada niezmiennicze podprzestrzenie R Agebra rotatora zawiera operatory k, Q i oraz P m, stąd przestrzeń stanów fizycznych kwantowo mechanicznego rotatora jest sumą prostą przestrzeni: i m m i Na ćwiczenia R 0 R

34 Agebrą wibratora z rotatorem jest zbiór sześciu operatorów spełniających reacje komutacji (agebra E 3 ): [ ] i,k i! εikn [,Q ] i Q ; n i j! ε ijm m [ Q,Q ] 0 ;. i k Widmo operatora energii E 4 E 3 E E E! ( + 1) I! 1 - E ( + 1) I + E 1 E 0

35 Natężenie emitowanego przez rotator promieniowania jest proporcjonane do modułu do kwadratu eementu macierzowego operatora momentu dipoowego (zakładamy, że dipo eektryczny rotuje) : ' ', m Qi Spełniona jest reguła wyboru: ',m ' Q i,m,m ' 0 gdy ± 1 Δ ±1 Będą więc przejścia kwantowe z różnym n oraz oraz z tym samym n. Częstotiwość takich przejść, z tym samym n, jest zadana: E ' - E! ( + 1)( + ) ( + 1) ν ' B( + 1); π! c I π! c h 8π ci B

36 Struktura rotacyjna widma CO (A. Bohm, Quantum Mechanics 3 wyd., str.17

37 Pokazać, że ',m ' Q i,m 0 gdy ' ± 1 Wynika to z twierdzenie: WIGNERA - ECKARTA, udowodnić to twierdzenie

38 Różnica częstości pomiędzy koejnymi iniami jest stała Δν ν + 1, ν, 1 B[( + 1) - ] B Np. da HC pierwsze 11 poziomów ma stałe Δν z fitu otrzymamy: B h HC 8 ci π HC 10.35cm Zgodność nie jest dobra da wyższych poziomów, epiej będzie da: 3 ν + 1, b( + 1) 4d( + 1) a to odpowiada poziomom energetycznym: E [b( +1) d ( +1) ]πc -1 Na ćwiczenia Można to dość prosto wyjaśnić. HC nie jest sztywnym rotatorem. Odegłość pomiędzy H i C zmienia się bowiem moment bezwładności jest proporcjonany do x i kasycznie mamy: E mx + k(x-x 0 )

39 Spektrum absorpcyjne da HC (A. Bohm, Quantum Mechanic,1979, str.109

40 W fizyce kasycznej taka sytuacja ma miejsce gdy: 1 x 1 x 0 (1- x-x 0 x 0 ) Wtedy: 1 x 1! x kmx 0 k (x-x 0 ) mv x (x-x 0 ) kmx 3 E kin x mx 3 E mx + 1 k(x-x 0) mx - ( ) 0 km x k kmx 0 3 mx - ( ) 0 km 6 x 0 W przypadku kwantowym: H mx - ( ) 0 km 6 x 0

41 I otrzymujemy spektrum energii w postaci: gdzie: E hc[b ( + 1) - d ( + 1) ]; hcb mx ; hcd 4 0 m kx. 6 0 Połączenie rotatora i wibratora - moekuła jako rotujący oscyator R 1 przestrzeń stanów oscyatora, R przestrzeń stanów rotatora. R R 1 R Ioczyn skaarny: Baza w R: u,v aij ui v j ; i,j * u',v' u,v ' a ij u k i,j,k, b k u',v' u i (1) i,j i j i j (1) () (1) () k, v ' b k u k ' v j () v ' AA A Ai,j (A A)(i j ) A i A j (1) () (1) ()

42 Ioczyn operatorów: Dowony operator działający w R: (A1 A )(B1 B ) A1B1 A B A A A i (i) (i) 1 Postuat VII da moekuły dwuatomowej Φ przestrzeń stanów oscyatora harmonicznego: n; n1,,3... R przestrzeń stanów rotatora:,m ; 0,1,,3,...; m,...+ Przestrzeń stanów moekuły: Operator w GΦ R : Baza w GΦ R : GΦ R A A A ; i (i) oscy n,,m n,m (i) rotator Gdy nie ma koreacji sztywny rotator i oscyator.

43 Operator energii: H I + I H osc rot gdzie: H osc ω N + 1 I oraz H rot I Gdy zaniedbamy oddziaływanie, widmo operatora energii ma postać: (z regułą wyboru): ν ν E n ω n I ( +1) Eksperyment pokazuje, że E - E + B+B, da Δ + 1 π hc n+1,+1 n, R ν0 E - E - B, da Δ 1 π hc n+1,-1 n, P ν0 Δn ±1; Δ ±1. ω I ; (000 cm 1, 4 cm 1 ) ν gdzie: 0 ; B ω π c 4πcI

44 Poziomy energetyczne wibrującego rotatora (A. Bohm, Quantum Mechanic,,3 wyd., str.149

45 Pełne spektrum wibracyjno - rotacyjne (A. Bohm, Quantum Mechanic,,3 wyd., str.150 Uwzgędnienie oddziaływania rotacyjnych i wibracyjnych stopni swobody- znacznie epsza zgodność z eksperymentem Bez oddziaływania wibracyjnych i rotacyjnych stopni swobody

46 W środku pasma jest przerwa bo brak przejścia Δ0. Jest zgodność z danymi ae nie oszałamiająca, rozbieżność spowodowana oddziaływaniem oscyacyjnych i rotacyjnych stopni swobody. Spróbujmy uwzgędnić koreacje i przejmijmy: H g H H int osc rot HHosc I + I H rot + g Hosc Hrot Hn,,mE n n,,m Wtedy otrzymamy: E n ω n I ( +1) + gω (n +1/ )( +1) I A więc: ν n E n πc ν 0 n (B e α e (n +1/ ))( +1) ω gdzie: ν 0 ; B e ;. π c 4πcI α gν e 0 I

47 Gdyby sparametryzować: E n ω n ( +1) I n Wtedy: I n I e 1+ gω(n +1/ ) I n Da ujemnych g Częstości przejść w serii R i P będą równe: n ν ν ν ν R ' '' 0(n n ) + B ' +(3B ' B '') + (B ' B '') ' '' n + 1 n n n n n n ν ν ν ν P ' '' 0(n n ) + (B ' + B '') + (B ' B '') ' '' n + 1 n n n n n Bardzo dobra zgodność, ae: anharmoniczność nie uwzgędniona, B n zmiana momentu bezwładności I z x nie do końca widoczna, 4πcI n wibrujący rotator dobry da małych energii, później wzbudzenia atomowe.

48 Zupełny układ komutujących obserwabi (zuko) (iczby kwantowe): ważny da okreśenia bazy stanów, a więc przestrzeni stanów Φ da danego układu fizycznego, istotny da okreśenia stanu czystego (daczego?), pytanie o zuko to pytanie doświadczane, mając eksperymentane spektra proponujemy agebrę a więc także zuko, odpowiedź na pytanie jakie jest zuko zaeży od dostępnych energii oraz zdoności rozdzieczej aparatury (gdy E< 10 - tyko stany rotacyjne, wtedy, z, gdy energia rośnie dochodzi n, daej ze wzrostem energii dochodzą poziomy atomowe, itd.

49 Dziękuję za uwagę 49

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

θ = 0 lub = = g l dw dt Przykłady drgań: Wahadło matematyczne (małe wychylenia): Inaczej: m l(1-cosθ) Drgania i fale II rok Fizyki BC

θ = 0 lub = = g l dw dt Przykłady drgań: Wahadło matematyczne (małe wychylenia): Inaczej: m l(1-cosθ) Drgania i fale II rok Fizyki BC Przykłady drgań: Wahadło ateatyczne (ałe wychyenia): θ ( sinθ) M g && θ gsinθ && θ gθ (1-cosθ) && g θ + θ g g naczej: υ T V W & 1 g T θ υ 1 ( cosθ ) + V & θ dw dt &&& θθ + g & θ sinθ θ ub && g θ + sinθ

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab.

WYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab. WYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab. Halina Abramczyk POLITECHNIKA ŁÓDZKA Wydział Chemiczny

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.

Bardziej szczegółowo

Atom wodoropodobny. Biegunowy układ współrzędnych. współrzędne w układzie. kartezjańskim. współrzędne w układzie. (x,y,z) biegunowym.

Atom wodoropodobny. Biegunowy układ współrzędnych. współrzędne w układzie. kartezjańskim. współrzędne w układzie. (x,y,z) biegunowym. Atom wodoropodobny z współrzędne w układzie kartezjańskim r sinθ cosφ x r cosθ φ θ r r sinθ (x,y,z) r sinθ sinφ Biegunowy układ współrzędnych y funkcja faowa współrzędne w układzie biegunowym ( ) r,θ,φ

Bardziej szczegółowo

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę: Układy funkcji ortogonanych Ioczyn skaarny w przestrzeniach funkcji ciągłych W przestrzeni iniowej funkcji ciągłych na przedziae [a, b] można okreśić ioczyn skaarny jako następującą całkę: f, g = b a f(x)g(x)w(x)

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka plazmy - spektroskopia molekularna. Ewa Pawelec wykład dla pracowni specjalistycznej

Diagnostyka plazmy - spektroskopia molekularna. Ewa Pawelec wykład dla pracowni specjalistycznej Diagnostyka plazmy - spektroskopia molekularna Ewa Pawelec wykład dla pracowni specjalistycznej Plazma Różne rodzaje plazmy: http://www.ipp.cas.cz/mi/index.html http://www.pro-fusiononline.com/welding/plasma.htm

Bardziej szczegółowo

Wielomiany Legendre a, itp.

Wielomiany Legendre a, itp. 3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa Schrödingera

Mechanika kwantowa Schrödingera Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego

Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego W5. Energia molekuł Przemieszczanie się całych molekuł w przestrzeni - Ruch translacyjny - Odbywa się w fazie gazowej i ciekłej, w fazie stałej

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu

Bardziej szczegółowo

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały WYKŁAD 1 Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały sformułowanie praw fizyki kwantowej: promieniowanie katodowe

Bardziej szczegółowo

Podczerwień bliska: cm -1 (0,7-2,5 µm) Podczerwień właściwa: cm -1 (2,5-14,3 µm) Podczerwień daleka: cm -1 (14,3-50 µm)

Podczerwień bliska: cm -1 (0,7-2,5 µm) Podczerwień właściwa: cm -1 (2,5-14,3 µm) Podczerwień daleka: cm -1 (14,3-50 µm) SPEKTROSKOPIA W PODCZERWIENI Podczerwień bliska: 14300-4000 cm -1 (0,7-2,5 µm) Podczerwień właściwa: 4000-700 cm -1 (2,5-14,3 µm) Podczerwień daleka: 700-200 cm -1 (14,3-50 µm) WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCE

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(

Bardziej szczegółowo

Prawo Coulomba. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Prawo Coulomba. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński Prawo Couomba Autorzy: Zbigniew Kąko Kami Kutorasiński 2019 Prawo Couomba Autorzy: Zbigniew Kąko, Kami Kutorasiński Siłę wzajemnego oddziaływania dwóch naładowanych punktów materianych (ładunków punktowych)

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

gęstością prawdopodobieństwa

gęstością prawdopodobieństwa Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII

OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII WYKŁAD 8 OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII E E0 sn( ωt kx) ; k π ; ω πν ; λ T ν E (m c 4 p c ) / E +, dla fotonu m 0 p c p hk Rozkład energ w stane równowag: ROZKŁAD BOLTZMANA!!!!! P(E) e E / kt N E N E/

Bardziej szczegółowo

SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE

SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE Promieniowanie o długości fali 2-50 μm nazywamy promieniowaniem podczerwonym. Absorpcja lub emisja promieniowania z tego zakresu jest

Bardziej szczegółowo

Uk lady modelowe II - oscylator

Uk lady modelowe II - oscylator Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0 Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Początek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy

Początek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy

Bardziej szczegółowo

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać 3.. Zaeżność od kąta θ Aby rozwiązać równanie 3.9) da dowonego ν m, rozważymy przypadek z m 0, a potem pokażemy jak z tego rozwiązania przez wieokrotne różniczkowanie wygenerować rozwiązanie da dowonego

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.

Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x. Równanie falowe Schrödingera h Ψ( x, t) + V( x, t) Ψ( x, t) W jednym wymiarze ( ) ( ) gdy V x, t = V x x Ψ = ih t Gdy V(x,t)=V =const cząstka swobodna, na którą nie działa siła Fala biegnąca Ψ s ( x, t)

Bardziej szczegółowo

SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE

SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE 1 SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE 2 Promieniowanie o długości fali 2-50 μm nazywamy promieniowaniem podczerwonym. Absorpcja lub emisja promieniowania z tego zakresu jest

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ 1 1 Postulaty mechaniki kwantowej Istota teorii kwantowej może być sformułowana za pomocą postulatów, których spełnienie postulujemy i których nie można wyprowadzić z żadnych

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11 Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna / Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc ; z jęz. ros. tł. Ludwik Dobrzyński, Andrzej Pindor. - Wyd. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa redaktora do wydania

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. 1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład

Bardziej szczegółowo

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 2, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 2, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej wykład 2, 17.02.2012 wykład: pokazy: ćwiczenia: Czesław Radzewicz Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek Ernest Grodner Równania Maxwella r-nie falowe

Bardziej szczegółowo

Fizyka 3.3 WYKŁAD II

Fizyka 3.3 WYKŁAD II Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ ĆWICZENIE 12 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ Cel ćwiczenia: Wyznaczanie modułu sztywności drutu metodą sprężystych drgań obrotowych. Zagadnienia: sprężystość, naprężenie ścinające, prawo

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 2 : Badanie licznika proporcjonalnego fotonów X

Ćwiczenie nr 2 : Badanie licznika proporcjonalnego fotonów X Ćwiczenie nr 2 : Badanie licznika proporcjonalnego fotonów X Oskar Gawlik, Jacek Grela 16 lutego 2009 1 Podstawy teoretyczne 1.1 Liczniki proporcjonalne Wydajność detekcji promieniowania elektromagnetycznego

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:

Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 ) Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze

Bardziej szczegółowo

Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6

Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29 Rola symetrii Największym

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx

Bardziej szczegółowo

Prawa ruchu: dynamika

Prawa ruchu: dynamika Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada

Bardziej szczegółowo

Rozkłady wielu zmiennych

Rozkłady wielu zmiennych Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz

Bardziej szczegółowo

Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6

Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki

Bardziej szczegółowo

Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.

Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 1 Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 21/211: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej. 2. Efekt fotoelektryczny - interpretacja Einsteina. 3. Efekt fotoelektryczny: jak skorelowana jest licza

Bardziej szczegółowo

SPEKTROSKOPIA RAMANA. Laboratorium Laserowej Spektroskopii Molekularnej PŁ

SPEKTROSKOPIA RAMANA. Laboratorium Laserowej Spektroskopii Molekularnej PŁ SPEKTROSKOPIA RAMANA Laboratorium Laserowej Spektroskopii Molekularnej PŁ WIDMO OSCYLACYJNE Zręby atomowe w molekule wykonują oscylacje wokół położenia równowagi. Ruch ten można rozłożyć na 3n-6 w przypadku

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa

5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 10 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS

ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS ZASADY ZALICZENIA PRZEDMIOTU MBS LABORATORIUM - MBS 1. ROZWIĄZYWANIE WIDM kolokwium NMR 25 kwietnia 2016 IR 30 maja 2016 złożone 13 czerwca 2016 wtorek 6.04 13.04 20.04 11.05 18.05 1.06 8.06 coll coll

Bardziej szczegółowo

Rzadkie gazy bozonów

Rzadkie gazy bozonów Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B

Bardziej szczegółowo

Optyczna spektroskopia oscylacyjna. w badaniach powierzchni

Optyczna spektroskopia oscylacyjna. w badaniach powierzchni Optyczna spektroskopia oscylacyjna w badaniach powierzchni Zalety oscylacyjnej spektroskopii optycznej uŝycie fotonów jako cząsteczek wzbudzających i rejestrowanych nie wymaga uŝycia próŝni (moŝliwość

Bardziej szczegółowo

n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A / B 2 1 hν exp( ) 1 kt (24)

n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A / B 2 1 hν exp( ) 1 kt (24) n n 1 2 = exp( ε ε ) 1 / kt = exp( hν / kt) (23) 2 to wzór (22) przejdzie w następującą równość: ρ (ν) = B B A 1 2 / B hν exp( ) 1 kt (24) Powyższe równanie określające gęstość widmową energii promieniowania

Bardziej szczegółowo

I.4 Promieniowanie rentgenowskie. Efekt Comptona. Otrzymywanie promieniowania X Pochłanianie X przez materię Efekt Comptona

I.4 Promieniowanie rentgenowskie. Efekt Comptona. Otrzymywanie promieniowania X Pochłanianie X przez materię Efekt Comptona r. akad. 004/005 I.4 Promieniowanie rentgenowskie. Efekt Comptona Otrzymywanie promieniowania X Pochłanianie X przez materię Efekt Comptona Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 r. akad. 004/005 0.01 nm=0.1 A

Bardziej szczegółowo

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Siły zachowawcze i energia potencjalna Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18 Polecana literatura John R Taylor, Mechanika klasyczna, tom1 Wydawnictwo Naukowe

Bardziej szczegółowo

Wstęp do astrofizyki I

Wstęp do astrofizyki I Wstęp do astrofizyki I Wykład 13 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, OA UAM Wstęp do astrofizyki I, Wykład

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów

Bardziej szczegółowo

(U.6) Oscylator harmoniczny

(U.6) Oscylator harmoniczny 3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30 Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Podstawy fizyki kwantowej Nazwa w języku angielskim Fundamental of Quantum Physics Kierunek studiów (jeśli

Bardziej szczegółowo

obrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a

obrotów. Funkcje falowe cząstki ze spinem - spinory. Wykład II.3 29 Pierwsza konwencja Condona-Shortley a Wykład II.1 25 Obroty układu kwantowego Interpretacja aktywna i pasywna. Macierz obrotu w trzech wymiarach a operator obrotu w przestrzeni stanów. Reprezentacja obrotu w przestrzeni funkcji falowych. Transformacje

Bardziej szczegółowo

ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE

ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE ZJAWISKA KWANTOWO-OPTYCZNE Źródła światła Prawo promieniowania Kirchhoffa Ciało doskonale czarne Promieniowanie ciała doskonale czarnego Prawo promieniowania Plancka Prawo Stefana-Boltzmanna Prawo przesunięć

Bardziej szczegółowo

IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)

IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913) IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913) Bohr zastanawiał się, jak wyjaśnić strukturę widm liniowych. Elektron musi krążyć, aby zrównoważyć siłę Coulomba (przyciągającą). Skoro krąży to doznaje przyspieszenia

Bardziej szczegółowo

Fizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe

Fizyka. dr Bohdan Bieg p. 36A. wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Fizyka dr Bohdan Bieg p. 36A wykład ćwiczenia laboratoryjne ćwiczenia rachunkowe Literatura Raymond A. Serway, John W. Jewett, Jr. Physics for Scientists and Engineers, Cengage Learning D. Halliday, D.

Bardziej szczegółowo

Fizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika

Fizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika Fizyka 3 Konsultacje: p. 39, Mechatronika marzan@mech.pw.edu.pl Zaliczenie: 1 sprawdzian 30 pkt 15.1 18 3.0 18.1 1 3.5 1.1 4 4.0 4.1 7 4.5 7.1 30 5.0 http:\\adam.mech.pw.edu.pl\~marzan Program: - elementy

Bardziej szczegółowo

Modele atomu wodoru. Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a

Modele atomu wodoru. Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a Modele atomu wodoru Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a Demokryt: V w. p.n.e najmniejszy, niepodzielny metodami chemicznymi składnik materii. atomos - niepodzielny Co to jest atom? trochę

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w Instytucie Fizyki Uniwersytetu Berlińskiego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym

II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym Jan Królikowski Fizyka IVBC 1 II.4.1 Ogólne własności wektora kwantowego momentu pędu Podane poniżej własności kwantowych wektorów

Bardziej szczegółowo

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów Nazwa i kod przedmiotu Kierunek studiów Mechanika kwantowa, NAN1B0051 Nanotechnologia Poziom studiów I stopnia - inżynierskie Typ przedmiotu obowiąkowy Forma studiów stacjonarne Sposób realizacji na uczelni

Bardziej szczegółowo

Chemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki

Chemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki dr ab. Wacław Makowski Cemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki 1. Kwantowanie. Atom wodoru 3. Atomy wieloelektronowe 4. Termy atomowe 5. Cząsteczki dwuatomowe 6. Hybrydyzacja 7. Orbitale zdelokalizowane

Bardziej szczegółowo

Wykład Budowa atomu 3

Wykład Budowa atomu 3 Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo