PORADNIK METODYCZNY. dla nauczyciela. Urszula ¹czyñska

Transkrypt

1 Urszula ¹czyñska PORADNIK METODYCZNY dla nauczyciela do podrêczników Matematyka dla ka dego 1 i Matematyka dla ka dego 2 oraz Zbioru zadañ dla uczniów zasadniczej szko³y zawodowej 1 i Zbioru zadañ dla uczniów zasadniczej szko³y zawodowej 2

2 Projekt ok³adki: Joanna Plakiewicz Ilustracje: Marek ukasik Redakcja: Barbara Gers Redaktor prowadz¹cy: Stanis³aw Grzybek Wydawnictwo REA s.j Warszawa, ul. Kolejowa 9/11 tel./fax: (022) , Wydawnictwo REA s.j., Warszawa 2004 ISBN Wykorzystanie tekstów i ilustracji, równie fragmentaryczne, bez zezwolenia jest zabronione. Dotyczy to tak e powielania, filmowania i opracowania w systemach elektronicznych. Sk³ad i ³amanie: ANTER Warszawa, ul. Tamka 4 m. 12 Druk:

3 Per aspera ad astra. Wstêp Niniejsza publikacja jest autorskim komentarzem metodycznym do podrêczników Matematyka dla ka dego 1 i Matematyka dla ka dego 2 oraz Zbioru zadañ dla uczniów zasadniczej szko³y zawodowej 1 i Zbioru zadañ dla uczniów zasadniczej szko³y zawodowej 2. Ma ona pomóc nauczycielom matematyki w prowadzeniu zajêæ w zasadniczej szkole zawodowej. Poradnik sk³ada siê z trzech czêœci. W pierwszej czêœci znajduje siê ramowy i szczegó³owy rozk³ad materia³u z matematyki dostosowany do programu nauczania Matematyka dla ka dego, przy czym ramowy rozk³ad materia³u uwzglêdnia podzia³ na cykl kszta³cenia dwuletni i trzyletni. W szczegó³owym rozk³adzie materia³u podane zosta³y tematy kolejnych zajêæ, liczba godzin przewidziana na ich realizacjê oraz wykaz oczekiwanych umiejêtnoœci, które uczniowie powinni nabyæ w wyniku przeprowadzonych zajêæ. Wypunktowanie umiejêtnoœci ma zwróciæ szczególn¹ uwagê nauczyciela na istotne elementy przy realizacji treœci danej jednostki tematycznej. Czêœæ druga poradnika obejmuje prace klasowe i sprawdziany powtórzeniowe. Zamieszczono 10 propozycji prac klasowych po kolejnych dzia³ach tematycznych oraz 4 sprawdziany powtórzeniowe po klasie pierwszej, drugiej i trzeciej w rozró nieniu na cykl kszta³cenia dwuletni i trzyletni, obejmuj¹ce ca³oœæ zrealizowanego materia³u w danej klasie. Prace klasowe przewidziane s¹ na 45 minut, a sprawdziany na 90 minut. S¹ one przygotowane w dwóch zestawach: grupa I i grupa II. Nauczyciel mo e wyd³u yæ lub skróciæ czas ich pisania w zale noœci od poziomu klasy. Ma mo liwoœæ tak e wykorzystaæ je jako prace domowe przygotowuj¹ce uczniów do zaplanowanej przez nauczyciela pracy kontrolnej. Trzecia czêœæ poradnika obejmuje siedem przyk³adowych scenariuszy lekcji, ka dy z wykorzystaniem prezentacji multimedialnej. Nale y podkreœliæ fakt, i lekcja przeprowadzona przy u yciu komputera jest bardziej ekscytuj¹ca dla ka dego ucznia, a przecie obowi¹zkiem nauczyciela jest zachêciæ ucznia do nauki, zaciekawiæ go tematem lekcji

4 i rozbudziæ zainteresowania matematyk¹. Tempem prezentacji steruje nauczyciel. Przez naciœniêcie klawisza spacji uruchamia kolejne slajdy. Prowadz¹cy zajêcia powinien zadbaæ o to, aby w pierwszej kolejnoœci uczniowie spróbowali samodzielnie wykonywaæ polecenia zawarte w zadaniu, a dopiero póÿniej prezentowaæ im slajd z rozwi¹zaniem. Mam nadziejê, e przedstawione przeze mnie prace klasowe i scenariusze zajêæ oka ¹ siê pomocne w pracy z uczniami, a ponadto zainspiruj¹ Pañstwa do tworzenia w³asnych autorskich projektów. Z yczeniami sukcesów w pracy dydaktycznej Urszula ¹czyñska

5 SPIS TREŒCI Wstêp Rozdzia³ I. ROZK AD MATERIA U Ramowy rozk³ad materia³u Szczegó³owy rozk³ad materia³u Rozdzia³ II. PRACE KLASOWE I SPRAWDZIANY Praca klasowa Nr 1 Liczby i wyra enia Praca klasowa Nr 2 Funkcja liniowa Praca klasowa Nr 3 Planimetria Twierdzenie Pitagorasa, pola i obwody figur p³askich Praca klasowa Nr 4 Planimetria Twierdzenie Talesa, skala i plan Praca klasowa Nr 5 Praktyczne zastosowanie statystyki Praca klasowa Nr 6 Funkcja kwadratowa postaæ ogólna, kanoniczna i iloczynowa trójmianu kwadratowego, równania kwadratowe Praca klasowa Nr 7 Funkcja kwadratowa nierównoœci kwadratowe, wzory Viete a 50 Praca klasowa Nr 8 Wielomiany Praca klasowa Nr 9 Stereometria graniastos³upy i ostros³upy Praca klasowa Nr 10 Stereometria bry³y obrotowe Sprawdzian powtórzeniowy po klasie I dla dwuletniej i trzyletniej zasadniczej szko³y zawodowej Sprawdzian powtórzeniowy po klasie II dla dwuletniej zasadniczej szko³y zawodowej Sprawdzian powtórzeniowy po klasie II dla trzyletniej zasadniczej szko³y zawodowej Sprawdzian powtórzeniowy po klasie III dla trzyletniej zasadniczej szko³y zawodowej Rozdzia³ III. SCENARIUSZE ZAJÊÆ Scenariusz I. Dzia³ania na przedzia³ach liczbowych Scenariusz II. Pojêcie funkcji, ró ne sposoby przedstawiania funkcji Scenariusz III. Rodzaje czworok¹tów i ich w³asnoœci, wielok¹ty foremne Scenariusz IV. Æwiczenie umiejêtnoœci odczytywania i analizowania danych statystycznych przedstawionych w ró nych postaciach Scenariusz V. Wykres funkcji y = a(x p) 2 + q Scenariusz VI. Nierównoœæ trzeciego stopnia z jedn¹ niewiadom¹ Scenariusz VII. K¹t nachylenia prostej do p³aszczyzny, k¹t dwuœcienny

6

7 7 Rozdzia³ I ROZK AD MATERIA U 1. RAMOWY ROZK AD MATERIA U Ramowy rozk³ad materia³u z matematyki w dwuletniej zasadniczej szkole zawodowej (2 2 godziny). Klasa I 1. Liczby i wyra enia 15 godzin 2. Funkcja liniowa 15 godzin 3. Planimetria 25 godzin 4. Praktyczne zastosowanie statystyki 10 godzin 5. Godziny do dyspozycji nauczyciela 5 godzin Razem 70 godzin Klasa II 1. Funkcja kwadratowa 22 godziny 2. Wielomiany 15 godzin 3. Stereometria 26 godzin 4. Godziny do dyspozycji nauczyciela 7 godzin Razem 70 godzin Ramowy rozk³ad materia³u z matematyki w trzyletniej zasadniczej szkole zawodowej (1 2 godziny, 2 1 godzina). Klasa I 1. Liczby i wyra enia 15 godzin 2. Funkcja liniowa 15 godzin 3. Planimetria 25 godzin 4. Praktyczne zastosowanie statystyki 10 godzin 5. Godziny do dyspozycji nauczyciela 5 godzin Razem 70 godzin

8 8 ROZK AD MATERIA U Klasa II 1. Funkcja kwadratowa 22 godziny 2. Stereometria czêœæ I 10 godzin 3. Godziny do dyspozycji nauczyciela 3 godziny Razem 35 godzin Klasa III 1. Wielomiany 15 godzin 2. Stereometria czêœæ II 16 godzin 3. Godziny do dyspozycji nauczyciela 4 godziny Razem 35 godzin Lp. Temat zajêæ 2. SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Liczba godzin Wykaz oczekiwanych umiejêtnoœci nabytych przez uczniów w wyniku przeprowadzonych zajêæ. Uczeñ potrafi: LICZBY I WYRA ENIA 1. W³asnoœci czterech podstawowych dzia³añ w zbiorze liczb rzeczywistych, wartoœæ bezwzglêdna liczby rzeczywistej 1 wskazaæ liczbê naturaln¹, ca³kowit¹, wymiern¹ i niewymiern¹ rozpoznaæ liczby naturalne, ca³kowite, wymierne i niewymierne zapisane w ró - nych postaciach podaæ wartoœæ bezwzglêdn¹ wskazanej liczby rzeczywistej zastosowaæ w³asnoœci czterech podstawowych dzia³añ w zbiorze liczb rzeczywistych do uproszczenia obliczeñ przy wykonywaniu obliczeñ zastosowaæ w³aœciw¹ kolejnoœæ dzia³añ rozwi¹zywaæ praktyczne problemy z zastosowaniem dzia³añ na u³amkach zwyk³ych i dziesiêtnych, wykorzystuj¹c przy tym kalkulator

9 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Dzia³ania na potêgach o wyk³adniku naturalnym i ca³kowitym ujemnym 1 obliczyæ potêgê o wyk³adniku naturalnym i ca³kowitym obliczyæ iloczyn i iloraz potêg o tych samych podstawach lub o tym samym wyk³adniku obliczyæ potêgê potêgi zapisaæ liczbê przedstawion¹ w notacji wyk³adniczej zapisaæ potêgê o wyk³adniku ca³kowitym ujemnym za pomoc¹ potêgi o wyk³adniku naturalnym zapisaæ potêgê o wyk³adniku naturalnym za pomoc¹ potêgi o wyk³adniku ca³kowitym ujemnym 3. Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej 1 obliczyæ pierwiastek kwadratowy z liczby bêd¹cej kwadratem pewnej liczby naturalnej wy³¹czyæ czynnik przed znak pierwiastka w³¹czyæ czynnik pod znak pierwiastka oszacowaæ wartoœæ pierwiastka 4. Dzia³ania w zbiorze pierwiastków kwadratowych 1 obliczyæ sumê i ró nicê pierwiastków kwadratowych obliczyæ iloczyn kilku pierwiastków kwadratowych obliczyæ iloraz dwóch pierwiastków kwadratowych z mianownika u³amka usun¹æ niewymiernoœæ typu c oraz typu a+b c 5. Pierwiastki arytmetyczne wy - szych stopni 1 wy³¹czyæ czynnik przed znak pierwiastka w³¹czyæ czynnik pod znak pierwiastka dodawaæ, odejmowaæ, mno yæ i dzieliæ pierwiastki tego samego stopnia uproœciæ wyra enie zawieraj¹ce pierwiastki oszacowaæ wartoœæ pierwiastka

10 10 ROZK AD MATERIA U Dzia³ania na potêgach o wyk³adniku wymiernym 1 zapisaæ potêgê o wyk³adniku wymiernym za pomoc¹ symbolu pierwiastka zapisaæ pierwiastek za pomoc¹ potêgi o wyk³adniku wymiernym wykonywaæ dzia³ania na potêgach o wyk³adniku wymiernym z wykorzystaniem wzorów na: iloczyn i iloraz potêg o tych samych podstawach, potêgê iloczynu i ilorazu, potêgê potêgi 7. Przybli enie dziesiêtne liczby rzeczywistej 1 zapisaæ liczbê wymiern¹ w postaci rozwiniêcia dziesiêtnego skoñczonego lub nieskoñczonego okresowego wyznaczyæ okres rozwiniêcia dziesiêtnego liczby wymiernej na podstawie podanego rozwiniêcia dziesiêtnego okreœliæ, czy jest to rozwiniêcie dziesiêtne liczby wymiernej, czy niewymiernej podaæ przybli enie liczby z zadan¹ dok³adnoœci¹ oszacowaæ wynik dzia³ania, wykorzystuj¹c do obliczeñ kalkulator 8. Przedzia³y liczbowe 1 zaznaczyæ na osi liczbowej przedzia³: domkniêty, otwarty, lewostronnie otwarty, prawostronnie otwarty, nieograniczony odczytaæ i zapisaæ przedzia³ przedstawiony na osi liczbowej zapisaæ warunki typu: x < a, x a, x >a, x a, a < x < b, a x < b, a x b, a < x b z wykorzystaniem przedzia³ów i zaznaczyæ je na osi liczbowej 9. Dzia³ania na przedzia³ach liczbowych 1 odczytaæ iloczyn i sumê przedzia³ów liczbowych przedstawionych na osi liczbowej zilustrowaæ na osi liczbowej iloczyn i sumê podanych przedzia³ów liczbowych,

11 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U a nastêpnie, jeœli to mo liwe, otrzymany wynik zapisaæ za pomoc¹ przedzia³u liczbowego wskazaæ liczby ca³kowite nale ¹ce do iloczynu lub sumy przedzia³ów liczbowych 10. Pojêcie procentu 1 zamieniæ procent na u³amek zamieniæ u³amek na procent obliczyæ procent danej liczby obliczyæ liczbê maj¹c dany jej procent obliczyæ, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba 11. Obliczenia procentowe 1 obliczyæ cenê towaru po obni ce lub w yciu codziennym podwy ce o dany procent obliczyæ, o ile procent wzros³a lub zmala- ³a cena towaru obliczyæ odsetki od lokaty bankowej obliczyæ stan konta po up³ywie terminu lokaty bankowej obliczyæ oprocentowanie lokaty bankowej obliczyæ zni ki procentowe przy zakupach hurtowych 12. Rozwi¹zywanie 1 wykorzystaæ znajomoœæ procentu do obliczenia ró nych problemów praktycznych z wykorzystaniem obliczeñ procentowych np.: stê enia procentowego roz- tworu, sk³adu stopów, amortyzacji, wysokoœci rat kredytu itp. 13. Przekszta³canie 1 dokonaæ redukcji jednomianów podobnych, wyra eñ algebraicznych z wykorzystaniem wzorów skróconego mno enia a nastêpnie obliczyæ wartoœæ wyra e- nia algebraicznego dla podanych danych dodawaæ, odejmowaæ i mno yæ wyra enia algebraiczne podzieliæ wyra enie algebraiczne przez jednomian

12 12 ROZK AD MATERIA U stosowaæ wzory skróconego mno enia do przekszta³cania wyra eñ algebraicznych i wykonywania obliczeñ w pamiêci roz³o yæ sumê jednomianów na czynniki wykorzystuj¹c przy tym wzory skróconego mno enia wyznaczyæ zadan¹ zmienn¹ z podanej zale noœci opisaæ za pomoc¹ wyra enia algebraicznego ró ne sytuacje praktyczne 14. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 1 z zakresu Liczby i wyra enia 15. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- i umiejêtnoœci z zakresu Liczby i wyra e- sowej nr 1 nia FUNKCJA LINIOWA 1. Pojêcie funkcji, ró ne sposoby przedstawiania funkcji 1 rozpoznaæ, czy podane przyporz¹dkowanie jest funkcj¹ wskazaæ przyk³ad przyporz¹dkowania (równie z ycia codziennego), które jest funkcj¹ wskazaæ przyk³ad przyporz¹dkowania (równie z ycia codziennego), które nie jest funkcj¹ podaæ przyk³ad funkcji okreœlonej opisem s³ownym, za pomoc¹ grafu, tabelki lub wzoru, a nastêpnie okreœliæ jej dziedzinê i zbiór wartoœci zapisaæ wzorem funkcjê okreœlon¹ opisem s³ownym narysowaæ wykres funkcji przedstawionej za pomoc¹ wzoru, grafu, tabelki lub okreœlonej opisem s³ownym

13 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U W³asnoœci funkcji: 1 okreœliæ dziedzinê funkcji zadanej wzorem dziedzina, obliczyæ wartoœæ funkcji dla wskazanego zbiór wartoœci argumentu funkcji, miejsca sprawdziæ rachunkowo, czy podany punkt zerowe i monotonicznoœæ nale y do wykresu funkcji funk- obliczyæ miejsce zerowe funkcji cji okreœliæ zbiór wartoœci oraz monotonicznoœæ funkcji na podstawie jej wykresu 3. Odczytywanie w³asnoœci funkcji na podstawie jej wykresu 1 maj¹c dany wykres funkcji wskazaæ jej miejsce zerowe na podstawie wykresu okreœliæ dziedzinê funkcji i podaæ jej zbiór wartoœci odczytaæ z wykresu przedzia³y monotonicznoœci funkcji odczytaæ z wykresu, jak¹ wartoœæ przyjmuje funkcja dla wskazanego argumentu odczytaæ z wykresu, dla jakich argumentów funkcja osi¹ga podan¹ wartoœæ odczytaæ z wykresu, dla jakiego argumentu funkcja osi¹ga wartoœæ najwiêksz¹, a dla jakiego najmniejsz¹ odczytaæ z wykresu, dla jakich argumentów funkcja osi¹ga wartoœci dodatnie, a dla jakich ujemne 4. Odczytywanie danych dotycz¹cych sytuacji z ycia codziennego przedstawionych za pomoc¹ wykresu funkcji 1 udzieliæ odpowiedzi na pytania dotycz¹ce tematyki przedstawionej na wykresie funkcji, np.: jak zmienia³o siê ciœnienie atmosferyczne, kiedy kurs dolara by³ najni szy a kiedy najwy szy, w jakim okresie cena benzyny by³a sta³a itp. 5. Definicja, wykres 1 wskazaæ wzór funkcji liniowej spoœród i w³asnoœci funkcji podanych ró nych wzorów funkcji liniowej narysowaæ wykres funkcji liniowej

14 14 ROZK AD MATERIA U omówiæ w³asnoœci funkcji liniowej na podstawie jej wykresu podaæ przyk³ad funkcji liniowej rosn¹cej, malej¹cej i sta³ej okreœliæ monotonicznoœæ funkcji liniowej, maj¹c podany jej wzór podaæ wzór na miejsce zerowe funkcji obliczyæ miejsce zerowe funkcji liniowej sprawdziæ algebraicznie, czy podany punkt nale y do wykresu danej funkcji liniowej obliczyæ wartoœæ funkcji liniowej dla podanego argumentu podaæ argument, dla którego funkcja przyjmuje wskazan¹ wartoœæ 6. Warunek równoleg³oœci i prostopad³oœci wykresów funkcji liniowych 1 na podstawie podanych wzorów funkcji liniowych okreœliæ wzajemne po³o enie ich wykresów napisaæ wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoleg³y do wykresu podanej funkcji liniowej i przechodzi przez dany punkt napisaæ wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopad³y do wykresu podanej funkcji liniowej i przechodzi przez dany punkt wykazaæ, e wykresy podanych dwóch funkcji liniowych s¹ do siebie równoleg³e lub prostopad³e 7. Rozwi¹zywanie równañ i nierównoœci liniowych 1 sprawdziæ, czy podana liczba jest rozwi¹zaniem równania liniowego sprawdziæ, czy podana liczba nale y do zbioru rozwi¹zañ nierównoœci liniowej rozwi¹zaæ równanie liniowe, wykorzystuj¹c w³asnoœci równañ równowa nych

15 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U rozwi¹zaæ nierównoœæ liniow¹, wykorzystuj¹c w³asnoœci nierównoœci równowa - nych przedstawiæ zbiór rozwi¹zañ nierównoœci liniowej na osi liczbowej i odpowiedÿ zapisaæ z wykorzystaniem przedzia³ów liczbowych wskazaæ najwiêksz¹ lub najmniejsz¹ liczbê ca³kowit¹ spe³niaj¹c¹ podan¹ nierównoœæ 8. Zastosowanie równañ i nierównoœci liniowych do rozwi¹zywania problemów praktycznych 1 u³o yæ, a nastêpnie rozwi¹zaæ równanie lub nierównoœæ, prowadz¹c¹ do rozwi¹zania poruszanego problemu matematycznego, dotycz¹cego sytuacji z ycia codziennego sprawdziæ otrzymany wynik z warunkami zadania i znaleÿæ ewentualny b³¹d 9. Zastosowanie równañ i nierównoœci liniowych do badania w³asnoœci funkcji liniowych. 1 obliczyæ, dla jakiego argumentu dwie ró - ne funkcje liniowe przyjmuj¹ tê sam¹ wartoœæ obliczyæ, dla jakich argumentów funkcja liniowa przyjmuje wartoœci ujemne, nieujemne, dodatnie, niedodatnie obliczyæ, dla jakich argumentów funkcja liniowa przyjmuje wartoœci wiêksze lub mniejsze od wskazanej liczby obliczyæ, dla jakich argumentów wartoœci jednej funkcji liniowej s¹ wiêksze lub mniejsze od wartoœci drugiej funkcji liniowej

16 16 ROZK AD MATERIA U Uk³ad równañ 1 sprawdziæ, czy podana para liczb jest rozwi¹zaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi uk³ad oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny uk³adu narysowaæ prost¹ o równaniu x = const. oraz y = const. na podstawie interpretacji geometrycznej okreœliæ rodzaj uk³adu i odczytaæ, je eli istnieje, jego rozwi¹zanie 11. Æwiczenia w rozwi¹zywaniu 1 rozwi¹zaæ dany uk³ad równañ metod¹ uk³a- dów równañ pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metod¹ podstawiania, metod¹ przeciwnych wspó³czynników i metod¹ graficzn¹ graficzn¹, metod¹ przeciwnych wspó³czynników i metod¹ podstawiania 12. Rozwi¹zywanie 1 obliczyæ wyznaczniki W, W x, W y i na podstawie uk³adów równañ pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metod¹ wyznaczników otrzymanych wyników okreœliæ, czy uk³ad jest oznaczony, nieoznaczony, czy sprzeczny rozwi¹zaæ uk³ad równañ metod¹ wyznaczników 13. Wykorzystanie 1 u³o yæ i rozwi¹zaæ uk³ad równañ opisuj¹cy uk³adów równañ pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwi¹zywania problemów praktycznych rozwa any problem z ycia codzien- nego po rozwi¹zaniu uk³adu równañ sprawdziæ, czy otrzymane wyniki spe³niaj¹ warunki zadania

17 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 2 z zakresu Funkcja liniowa 15. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- i umiejêtnoœci z zakresu Funkcja liniowa sowej nr 2 PLANIMETRIA 1. Trójk¹ty i ich rodzaje 1 narysowaæ trójk¹t rozwartok¹tny, ostrok¹tny, prostok¹tny i wskazaæ w ka dym z nich wszystkie trzy wysokoœci dokonaæ podzia³u trójk¹tów ze wzglêdu na k¹ty dokonaæ podzia³u trójk¹tów ze wzglêdu na d³ugoœci boków wykorzystaæ nierównoœæ trójk¹ta do zbadania, czy z podanych trzech odcinków mo na zbudowaæ trójk¹t zastosowaæ twierdzenie o sumie miar k¹tów wewnêtrznych trójk¹ta do zbadania, czy k¹ty o podanych miarach mog¹ byæ k¹tami trójk¹ta obliczenia miar k¹tów wskazanego trójk¹ta podaæ w³asnoœci trójk¹ta równobocznego i równoramiennego podaæ w³asnoœci trójk¹ta prostok¹tnego równoramiennego podaæ w³asnoœci trójk¹ta prostok¹tnego, w którym k¹ty maj¹ miarê 30 i Rodzaje czworok¹tów i ich w³asnoœci, wielok¹ty foremne 1 rozró niæ poszczególne rodzaje czworok¹tów podaæ w³asnoœci kwadratu, prostok¹ta, rombu, równoleg³oboku i trapezu wskazaæ trójk¹t foremny i czworok¹t foremny oraz podaæ ich inne nazwy

18 18 ROZK AD MATERIA U zastosowaæ twierdzenie o sumie miar k¹tów wewnêtrznych czworok¹ta do obliczenia miar k¹tów wskazanego czworok¹ta wykorzystaæ w³asnoœci czworok¹tów do rozwi¹zywania zadañ zbadaæ, czy wielok¹t jest foremny obliczyæ miary k¹tów wewnêtrznych wielok¹ta foremnego 3. Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa 1 obliczyæ d³ugoœæ wskazanego boku trójk¹ta prostok¹tnego maj¹c dane d³ugoœci pozosta³ych dwóch boków zastosowaæ twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa do zbadania, czy podany trójk¹t jest trójk¹tem prostok¹tnym 4. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia d³ugoœci ró nych odcinków 1 zastosowaæ twierdzenie Pitagorasa do obliczenia d³ugoœci przek¹tnej kwadratu o boku d³ugoœci a przek¹tnej prostok¹ta o bokach d³ugoœci a i b wysokoœci trójk¹ta równobocznego o boku d³ugoœci a dwóch boków trójk¹ta prostok¹tnego równoramiennego, w którym dana jest d³ugoœæ trzeciego boku dwóch boków trójk¹ta prostok¹tnego, w którym dana jest d³ugoœæ trzeciego boku oraz miary k¹tów ostrych 30 lub Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do rozwi¹zywania problemów praktycznych 1 zastosowaæ twierdzenie Pitagorasa do rozwi¹zywania problemów z ycia codziennego, np.: obliczyæ d³ugoœæ drabiny, wysokoœæ strychu domu, d³ugoœæ masztu, d³ugoœæ smyczy, wysokoœæ œciany itp.

19 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do rozwi¹zywania zadañ konstrukcyjnych 1 skonstruowaæ odcinek, którego d³ugoœæ wyra a siê liczb¹ niewymiern¹ zaznaczyæ na osi liczbowej liczbê niewymiern¹ 7. Jednostki pola i ich zamiana 1 zamieniæ jeden rodzaj jednostki pola na inn¹ jednostkê ze szczególnym uwzglêdnieniem jednostek stosowanych w praktyce, tj. ar i hektar 8. Pole i obwód wielok¹ta 1 obliczyæ pole i obwód trójk¹ta, w tym pole trójk¹ta równobocznego obliczyæ pole i obwód kwadratu, prostok¹ta, trapezu i szeœciok¹ta foremnego obliczyæ pole i obwód rombu, równoleg³oboku, deltoidu 9. Pole ko³a i d³ugoœæ 1 obliczyæ d³ugoœæ okrêgu i pó³okrêgu okrêgu obliczyæ pole ko³a i pó³kola 10. Rozwi¹zywanie 2 zastosowaæ wzory na pola i obwody ró - zadañ, dotycz¹cych sytuacji z ycia codziennego, z wykorzystaniem wzorów na pole i obwód figur p³askich nych figur p³askich, które wystêpuj¹ w sytuacjach ycia codziennego, obliczyæ np.: powierzchniê rabaty kwiatowej w kszta³cie ko³a lub szeœciok¹ta foremnego; ile centymetrów taœmy potrzeba na obszycie obrusu; jaki procent powierzchni dzia³ki stanowi¹ zabudowania itp. 11. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 3 z zakresu Planimetria twierdzenie Pitagorasa, pola i obwody figur p³askich 12. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- sowej nr 3 i umiejêtnoœci z zakresu Planimetria twierdzenie Pitagorasa, pola i obwody figur p³askich

20 20 ROZK AD MATERIA U K¹t wpisany i k¹t 1 okreœliæ rodzaje k¹tów œrodkowy. Twierdzenie o k¹tach w okrêgu wskazaæ k¹t œrodkowy i k¹t wpisany podaæ miary k¹tów wpisanych opartych na tym samym ³uku obliczyæ miarê k¹ta œrodkowego znaj¹c miarê k¹ta wpisanego opartego na tym samym ³uku, co k¹t œrodkowy obliczyæ miarê k¹ta wpisanego, znaj¹c miarê k¹ta œrodkowego opartego na tym samym ³uku, co k¹t wpisany okreœliæ miarê k¹ta wpisanego opartego na pó³okrêgu okreœliæ, jak¹ czêœæ okrêgu stanowi ³uk, na którym opiera siê k¹t wpisany lub k¹t œrodkowy o podanej mierze obliczyæ miarê k¹ta œrodkowego i wpisanego maj¹c podan¹ zale noœæ miêdzy ich miarami 14. Twierdzenie Talesa 1 obliczyæ d³ugoœæ jednego z czterech odcinków, maj¹c dane d³ugoœci pozosta- ³ych trzech wyznaczonych przez przeciêcie ramion k¹ta par¹ prostych równoleg³ych za pomoc¹ twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa sprawdziæ, czy proste s¹ równoleg³e, maj¹c dane d³ugoœci odpowiednich odcinków dokonaæ podzia³u odcinka na czêœci 15. Zastosowanie 1 wykorzystaæ twierdzenie Talesa do obliczenia twierdzenia Talesa do rozwi¹zywania problemów praktycznycj¹ d³ugoœci odcinków, które wystêpu- w yciu codziennym

21 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Konstrukcja symetralnej 1 skonstruowaæ symetraln¹ odcinka odcin- ka i okrêgu opisanego na wielok¹cie skonstruowaæ okr¹g opisany na trójk¹cie, kwadracie, prostok¹cie, trapezie równoramiennym i szeœciok¹cie foremnym sprawdziæ algebraicznie i graficznie, czy na wskazanym trapezie mo na opisaæ okr¹g 17. Konstrukcja 1 skonstruowaæ dwusieczn¹ k¹ta dwusiecznej k¹ta i okrêgu wpisanego w wielok¹t skonstruowaæ okr¹g wpisany w trójk¹t, kwadrat i szeœciok¹t foremny sprawdziæ algebraicznie i graficznie, czy we wskazany trapez mo na wpisaæ okr¹g 18. Konstrukcja prostych 1 skonstruowaæ proste równoleg³e i proste równole- g³ych i prostych prostopad³ych, konstrukcje wielok¹tów prostopad³e skonstruowaæ kwadrat i prostok¹t skonstruowaæ trójk¹t równoboczny o danym boku skonstruowaæ trójk¹t o podanych bokach skonstruowaæ romb maj¹c dany bok i k¹t skonstruowaæ równoleg³obok maj¹c dany k¹t i oba boki skonstruowaæ szeœciok¹t foremny o danym boku 19. Skala i plan 2 naszkicowaæ obiekt w zadanej skali naszkicowaæ plan mieszkania lub okolicy w zadanej skali podaæ rzeczywiste wymiary figury przedstawionej w danej skali okreœliæ skalê, w jakiej zosta³ wykonany rysunek 20. Æwiczenia w zakresie 2 obliczyæ rzeczywist¹ odleg³oœæ miêdzy sprawnego pos³ugiwania siê planem lub map¹ wskazanymi punktami na mapie, znaj¹c skalê, w jakiej zosta³a wykonana mapa

22 22 ROZK AD MATERIA U na podstawie podzia³ki liniowej umieszczonej na planie miasta obliczyæ rzeczywist¹ odleg³oœæ miêdzy wskazanymi punktami okreœliæ skalê, w jakiej wykonano mapê, pod któr¹ widnieje podzia³ka liniowa narysowaæ podzia³kê liniow¹, jaka powinna widnieæ pod map¹ wykonan¹ w zadanej skali obliczyæ rzeczywist¹ powierzchniê dzia³ki przedstawionej na planie 21. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 4 z zakresu Planimetria twierdzenie Talesa, skala i plan 22. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- sowej nr 4 i umiejêtnoœci z zakresu Planimetria twierdzenie Talesa, skala i plan PRAKTYCZNE ZASTOSOWANIE STATYSTYKI 1. Przedstawianie danych statystycznych w postaci tabelarycznej lub za pomoc¹ wykresu liniowego i punktowego 1 zebraæ i uporz¹dkowaæ dane statystyczne przedstawiæ w tabeli zebrane dane statystyczne zilustrowaæ zebrane dane statystyczne na wykresie liniowym lub punktowym 2. Przedstawianie danych empirycznych zaprezentowanych za pomoc¹ diagramu ko³owego, s³upkowego lub kolumnowego 1 zilustrowaæ dane empiryczne za pomoc¹ diagramu kolumnowego zilustrowaæ dane empiryczne za pomoc¹ diagramu ko³owego zilustrowaæ dane empiryczne za pomoc¹ diagramu s³upkowego

23 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Ilustrowanie za pomoc¹ diagramu kolumnowego danych przedstawionych na diagramie ko³owym 1 przeliczyæ dane empiryczne ujête w diagramie ko³owym tak, aby zilustrowaæ je na diagramie kolumnowym 4. Ilustrowanie za pomoc¹ diagramu ko³owego danych przedstawionych tabelarycznie lub na diagramie kolumnowym 1 przeliczyæ dane empiryczne ujête w tabeli na procenty i zilustrowaæ je na diagramie ko³owym przeliczyæ dane empiryczne przedstawione za pomoc¹ diagramu kolumnowego na procenty i zilustrowaæ je na diagramie ko³owym 5. Œrednia arytmetyczna liczb 1 wyliczyæ œredni¹ arytmetyczn¹ liczb wystêpuj¹cych w ró nych sytuacjach ycia codziennego, np.: œredni¹ ocen, œredni¹ temperatur, œrednie opady deszczu lub œniegu itp. 6. Odczytywanie i analizowanie danych statystycznych przedstawionych w postaci tabelarycznej, za pomoc¹ wykresu punktowego lub liniowego 1 odczytaæ informacje iloœciowe z tabel, wykresów i diagramów odczytaæ informacje jakoœciowe z tabel, wykresów i diagramów dokonaæ analizy i porównañ zebranych danych statystycznych

24 24 ROZK AD MATERIA U Odczytywanie i analizowanie danych empirycznych przedstawionych za pomoc¹ diagramu ko³owego, kolumnowego lub s³upkowego 1 odczytaæ informacje przedstawione na diagramie ko³owym, kolumnowym lub s³upkowym udzieliæ odpowiedzi na pytania dotycz¹ce zebranych danych empirycznych dokonaæ analizy i porównañ zebranych danych 8. Æwiczenie umiejêtnoœci odczytywania i analizowania danych statystycznych przedstawionych w ró nych postaciach 1 odczytaæ informacje iloœciowe z tabel, wykresów i diagramów odczytaæ informacje jakoœciowe z tabel, wykresów i diagramów dokonaæ analizy i porównañ zebranych danych statystycznych 9. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 5 z zakresu Praktyczne zastosowanie statystyki 10. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- sowej nr 5 i umiejêtnoœci z zakresu Praktyczne zastosowanie statystyki FUNKCJA KWADRATOWA 1. Jednomian kwadratowy, jego wykres i w³asnoœci 1 narysowaæ wykres funkcji postaci y = ax 2, gdzie a 0 okreœliæ kierunek ramion paraboli bez rysowania wykresu jednomianu kwadratowego okreœliæ monotonicznoœæ jednomianu kwadratowego podaæ dziedzinê i zbiór wartoœci jednomianu kwadratowego

25 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Wykres funkcji y = a(x p) 2 +q 1 okreœliæ, o jaki wektor nale y przesun¹æ wykres jednomianu y = ax 2, aby otrzymaæ wykres funkcji y = ax 2 +q narysowaæ wykres funkcji y = ax 2 +q, wykorzystuj¹c do tego celu wykres jednomianu y = ax 2 okreœliæ, o jaki wektor nale y przesun¹æ wykres jednomianu y = ax 2, aby otrzymaæ wykres funkcji y = a(x p) 2 narysowaæ wykres funkcji y = a(x p) 2, wykorzystuj¹c do tego celu wykres jednomianu y = ax 2 okreœliæ, o jaki wektor nale y przesun¹æ wykres jednomianu y = ax 2, aby otrzymaæ wykres funkcji y = a(x p) 2 +q wskazaæ jednomian, którego wykres nale- y przesun¹æ, aby otrzymaæ wykres funkcji y = a(x p) 2 +q narysowaæ wykres funkcji y = a(x p) 2 +q 3. Postaæ ogólna i kanoniczna trójmianu kwadratowego 1 wskazaæ wspó³czynniki a, b, c w postaci ogólnej trójmianu kwadratowego wyliczyæ wspó³rzêdne wierzcho³ka paraboli bêd¹cej wykresem danego trójmianu kwadratowego sprowadziæ trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej podaæ postaæ ogóln¹ trójmianu kwadratowego zapisanego w postaci kanonicznej 4. Pierwiastki trójmianu kwadratowego 2 obliczyæ wyró nik trójmianu kwadratowego okreœliæ liczbê pierwiastków trójmianu kwadratowego wyznaczyæ pierwiastki trójmianu kwadratowego, jeœli istniej¹

26 26 ROZK AD MATERIA U Postaæ iloczynowa trójmianu kwadratowego 1 zbadaæ, czy dany trójmian kwadratowy mo na przedstawiæ w postaci iloczynowej przedstawiæ trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej, jeœli jest to mo liwe 6. W³asnoœci trójmianu kwadratowego rozwi¹zywanie zadañ 1 wykorzystaæ umiejêtnoœæ obliczania wspó³rzêdnych wierzcho³ka paraboli i miejsc zerowych trójmianu kwadratowego w celu narysowania wykresu funkcji y = ax 2 +bx+c na podstawie wykonanego wykresu trójmianu kwadratowego okreœliæ jego dziedzinê, zbiór wartoœci i monotonicznoœæ 7. Równanie kwadratowe z jedn¹ niewiadom¹ 1 okreœliæ liczbê pierwiastków równania kwadratowego obliczyæ pierwiastki równania kwadratowego, je eli istniej¹ 8. Równanie kwadratowe niezupe³ne 1 doprowadziæ równanie do postaci iloczynowej wykorzystuj¹c przy tym wzory skróconego mno enia lub wy³¹czaj¹c wspólny czynnik przed nawias obliczyæ pierwiastki równania kwadratowego bez wyliczania wyró nika trójmianu kwadratowego 9. Zastosowanie równañ kwadratowych z jedn¹ niewiadom¹ do rozwi¹zywania problemów praktycznych 1 wykorzystaæ umiejêtnoœæ obliczania pierwiastków równania kwadratowego do rozwi¹zywania zadañ dotycz¹cych problemów z ycia codziennego 10. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 6 z zakresu Funkcja kwadratowa postaæ ogólna, kanoniczna i iloczynowa trójmianu kwadratowego, równania kwadratowe

27 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- sowej nr 6 i umiejêtnoœci z zakresu Funkcja kwadratowa postaæ ogólna, kanoniczna i iloczynowa trójmianu kwadratowego, równania kwadratowe 12. Nierównoœæ kwadratowa 1 narysowaæ schematyczny wykres trójmianu z jedn¹ niewiadom¹ kwadratowego w zale noœci od znaku wspó³czynnika a i delty rozwi¹zaæ nierównoœæ kwadratow¹ z jedn¹ niewiadom¹ 13. Rozwi¹zywanie 1 rozwi¹zaæ nierównoœæ kwadratow¹ z jedn¹ nierównoœci kwadratowych z jedn¹ niewiadom¹ niewiadom¹ wykorzystuj¹c do tego ce- lu wzory skróconego mno enia lub wy³¹czaj¹c wspólny czynnik przed nawias rozwi¹zaæ nierównoœæ kwadratow¹ z jedn¹ niewiadom¹ dowoln¹ metod¹ 14. Zastosowanie 2 u³o yæ, a nastêpnie rozwi¹zaæ nierównoœæ nierównoœci kwadratowych z jedn¹ niewiadom¹ do badania w³asnoœci funkcji kwadratow¹ opisuj¹c¹ zale noœæ okreœlon¹ w zadaniu, obliczyæ np.: dla jakich argumentów funkcja kwadratowa przyjmuje wartoœci dodatnie, niedodatnie, ujemne lub nieujemne; dla jakiego parametru funkcja kwadratowa (okreœlona z wykorzystaniem parametru) ma dwa pierwiastki lub nie ma adnego pierwiastka; dla jakiego parametru funkcja kwadratowa przyjmuje tylko wartoœci dodatnie lub ujemne itp. 15. Wzory Viete a 1 podaæ wzór na sumê i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego zastosowaæ wzory Viete a do obliczenia sumy i iloczynu pierwiastków wskazaæ sytuacjê, gdy nie mo na zastosowaæ wzorów Viete a

28 28 ROZK AD MATERIA U Zastosowanie 1 na podstawie obliczonego iloczynu pierwiastków wzorów Viete a do okreœlania znaków pierwiastków trójmianu kwadratowego okreœliæ, czy pierwiastki s¹ jed- nakowych, czy ró nych znaków na podstawie obliczonego iloczynu i sumy pierwiastków okreœliæ, czy pierwiastki s¹ dodatnie, czy ujemne bez obliczania pierwiastków trójmianu kwadratowego okreœliæ ich znaki 17. Wykorzystanie 1 zapisaæ zale noœæ miêdzy pierwiastkami wzorów Viete a do obliczania wartoœci wyra eñ zawieraj¹cych pierwiastki trójmianu kwadratowego trójmianu kwadratowego przy wykorzystaniu wzorów Viete a, np.: x 2 1 +x 2 2 ; ; (x 1 +x 2 ) 2 ; 2x 1 x 2 +3(x 1 +x 2 ) x 1 x 2 zastosowaæ wzory Viete a do obliczenia zale noœci miêdzy pierwiastkami 18. Podsumowanie 1 usystematyzowaæ zdobyte wiadomoœci wiadomoœci o funkcji kwadratowej z zakresu funkcji kwadratowej i wykorzystaæ nabyte umiejêtnoœci do rozwi¹zywania ró nych problemów 19. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 7 z zakresu Funkcja kwadratowa nierównoœci kwadratowe, wzory Viete a 20. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- sowej nr 7 i umiejêtnoœci z zakresu Funkcja kwadratowa nierównoœci kwadratowe, wzory Viete a WIELOMIANY 1. Jednomian jednej zmiennej, dzia³ania w zbiorze jednomianów jednej zmiennej 1 wskazaæ jednomian jednej zmiennej, podaæ jego stopieñ i wspó³czynnik obliczyæ wartoœæ jednomianu dla podanego argumentu wskazaæ jednomiany podobne

29 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U znaleÿæ sumê i ró nicê jednomianów podobnych znaleÿæ iloczyn i iloraz jednomianów podobnych, wykorzystuj¹c do tego celu wzór na iloczyn i iloraz potêg o tych samych podstawach znaleÿæ iloczyn i iloraz dowolnych jednomianów 2. Wielomian jednej zmiennej, wielomiany równe 1 podaæ przyk³ad wielomianu jednej zmiennej okreœliæ stopieñ wskazanego wielomianu obliczyæ wartoœæ wielomianu dla podanego argumentu uporz¹dkowaæ wielomian jednej zmiennej zbadaæ, czy wielomiany s¹ równe okreœliæ wartoœæ wspó³czynników dwóch wielomianów tak, aby wielomiany by³y równe 3. Dodawanie, odejmowanie i mno enie wielomianów jednej zmiennej 1 wykonaæ dodawanie, odejmowanie i mno enie dwóch wielomianów wykorzystaæ wzory skróconego mno enia do obliczenia iloczynu wielomianów 4. Dzielenie wielomianu jednej zmiennej przez jednomian i dwumian 1 wykonaæ dzielenie wielomianu przez jednomian wykonaæ dzielenie wielomianu przez dwumian wskazaæ resztê z wykonanego dzielenia po wykonaniu dzielenia okreœliæ, czy wielomian jest podzielny przez jednomian lub dwumian 5. Dzielenie wielomianów 1 podzieliæ wielomian przez wielomian jednej wskazaæ resztê z wykonanego dzielenia zmiennej

30 30 ROZK AD MATERIA U Pierwiastek wielomianu 1 sprawdziæ, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu wyznaczyæ pierwiastki wielomianu przedstawionego w postaci iloczynowej 7. Rozk³ad wielomianu na czynniki 1 wykorzystaæ wzory skróconego mno enia w celu przedstawienia wielomianu w postaci iloczynowej roz³o yæ wielomian na czynniki stosuj¹c metodê grupowania wyrazów i wy³¹czania wspólnego czynnika przed nawias 8. Twierdzenie Bezout 1 sprawdziæ bez wykonywania dzielenia, czy wielomian jest podzielny przez wskazany dwumian sprawdziæ dwoma sposobami, czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu znaj¹c jeden pierwiastek wielomianu, wyznaczyæ pozosta³e jego pierwiastki znaj¹c dwa pierwiastki wielomianu, wyznaczyæ trzeci pierwiastek tego wielomianu 9. Równanie trzeciego stopnia z jedn¹ niewiadom¹ 1 rozwi¹zaæ równanie postaci W(x) = 0, gdzie wielomian W jest przedstawiony w postaci iloczynowej rozwi¹zaæ równanie W(x) = 0 rozk³adaj¹c wielomian W na czynniki rozwi¹zaæ równanie wykorzystuj¹c do tego celu wzory skróconego mno enia 10. Rozwi¹zywanie 1 zastosowaæ twierdzenie Bezout do rozwi¹zania równañ trzeciego stopnia z wykorzystaniem twierdzenia Bezout równania, gdy znany jest jeden z pierwiastków tego równania zastosowaæ twierdzenie Bezout do rozwi¹zania równania, gdy znane s¹ dwa pierwiastki tego równania

31 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U Nierównoœæ trzeciego 1 rozwi¹zaæ nierównoœæ postaci W(x)< 0, stopnia z jedn¹ niewiadom¹ W(x) > 0, W(x) 0, W(x) 0, gdzie wielomian W jest przedstawiony w postaci iloczynowej rozwi¹zaæ nierównoœæ trzeciego stopnia z jedn¹ niewiadom¹ wykorzystuj¹c do tego celu wzory skróconego mno enia rozwi¹zaæ nierównoœæ trzeciego stopnia z jedn¹ niewiadom¹ wykorzystuj¹c do tego celu ró ne metody rozk³adu wielomianu na czynniki 12. Rozwi¹zywanie 1 rozwi¹zaæ równanie wybran¹ przez siebie równañ i nierównoœci trzeciego stopnia z jedn¹ niewiadom¹ metod¹ rozwi¹zaæ nierównoœæ wybran¹ przez siebie metod¹ 13. Utrwalenie wiadomoœci 1 usystematyzowaæ zdobyte wiadomoœci o wielo- o wielomianach i wykorzystaæ nabyte umie- mianach jêtnoœci do rozwi¹zywania ró nych zadañ 14. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 8 z zakresu Wielomiany 15. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- i umiejêtnoœci z zakresu Wielomiany sowej nr 8 STEREOMETRIA CZÊŒÆ I GRANIASTOS UPY I OSTROS UPY 1. Wzajemne po³o- enie prostych i p³aszczyzn w przestrzeni 1 wskazaæ na podanym modelu proste równoleg³e, proste prostopad³e i proste skoœne okreœliæ wzajemne po³o enie wskazanych prostych wskazaæ p³aszczyzny równoleg³e i prostopad³e okreœliæ wzajemne po³o enie p³aszczyzn

32 32 ROZK AD MATERIA U K¹t nachylenia prostej do p³aszczyzny, k¹t dwuœcienny 1 wskazaæ: k¹t miêdzy krawêdzi¹ boczn¹ ostros³upa, a p³aszczyzn¹ jego podstawy k¹t miêdzy wysokoœci¹, a p³aszczyzn¹ œciany bocznej ostros³upa k¹t nachylenia przek¹tnej prostopad³oœcianu do p³aszczyzny podstawy prostopad³oœcianu k¹t nachylenia przek¹tnej prostopad³oœcianu do p³aszczyzny œciany bocznej k¹t, jaki tworzy przek¹tna przekroju osiowego walca z p³aszczyzn¹ podstawy walca k¹t nachylenia tworz¹cej sto ka do p³aszczyzny podstawy sto ka k¹t dwuœcienny miêdzy dwiema s¹siednimi œcianami bocznymi ostros³upa lub graniastos³upa oraz zaznaczyæ k¹t liniowy k¹ta dwuœciennego 3. Podstawowe wieloœciany i bry³y obrotowe 1 rozpoznaæ wœród ró nych modeli bry³ model graniastos³upa, ostros³upa, walca, sto ka, kuli i pó³kuli poprawnie nazwaæ wskazane modele bry³ wskazaæ i poprawnie nazwaæ model graniastos³upa prawid³owego oraz ostros³upa prawid³owego, a w szczególnoœci szeœcianu, prostopad³oœcianu i czworoœcianu foremnego obliczyæ liczbê wierzcho³ków, krawêdzi bocznych i krawêdzi podstawy wskazanego graniastos³upa i ostros³upa 4. Pole powierzchni bocznej i ca³kowitej graniastos³upa 1 okreœliæ rodzaj graniastos³upa wykonaæ siatkê graniastos³upa podaæ wzór na pole powierzchni bocznej i ca³kowitej szeœcianu i prostopad³oœcianu

33 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U podaæ wzór na pole powierzchni ca³kowitej graniastos³upa obliczyæ pole powierzchni bocznej i ca³kowitej graniastos³upa, a w szczególnoœci szeœcianu, prostopad³oœcianu, graniastos³upa prawid³owego trójk¹tnego i graniastos³upa prawid³owego szeœciok¹tnego 5. Pole powierzchni bocznej i ca³kowitej ostros³upa 1 okreœliæ rodzaj ostros³upa wykonaæ siatkê ostros³upa podaæ wzór na pole powierzchni ca³kowitej ostros³upa obliczyæ pole powierzchni bocznej i ca³kowitej ostros³upa, a w szczególnoœci: czworoœcianu foremnego, ostros³upa prawid³owego trójk¹tnego, ostros³upa prawid³owego czworok¹tnego i ostros³upa prawid³owego szeœciok¹tnego 6. Rozwi¹zywanie zadañ dotycz¹cych sytuacji z ycia codziennego z wykorzystaniem wzorów na pole powierzchni bocznej i ca³kowitej graniastos³upa i ostros³upa 1 rozwi¹zaæ problem praktyczny wykorzystuj¹c w tym celu w³aœciwy wzór do obliczenia pola powierzchni bocznej i ca³kowitej graniastos³upa lub ostros³upa, np.: ile potrzeba farby lub tapety, aby odnowiæ mieszkanie, ile potrzeba papieru ozdobnego na oklejenie pude³ka w kszta³cie graniastos³upa lub ostros³upa itp. 7. Jednostki objêtoœci i ich zamiana 1 p³ynnie dokonywaæ zamiany jednostek objêtoœci w zale noœci od potrzeby porównaæ objêtoœci bry³ wyra one w ró - nych jednostkach 8. Objêtoœæ graniastos³upa 1 podaæ wzór na objêtoœæ szeœcianu i prostopad³oœcianu

34 34 ROZK AD MATERIA U podaæ wzór na objêtoœæ graniastos³upa obliczyæ objêtoœæ graniastos³upa, a w szczególnoœci szeœcianu, prostopad³oœcianu, graniastos³upa prawid³owego trójk¹tnego i graniastos³upa prawid³owego szeœciok¹tnego 9. Objêtoœæ ostros³upa 1 podaæ wzór na objêtoœæ ostros³upa obliczyæ objêtoœæ ostros³upa prawid³owego trójk¹tnego, a w szczególnoœci czworoœcianu foremnego, ostros³upa prawid³owego czworok¹tnego i ostros³upa prawid³owego szeœciok¹tnego 10. Rozwi¹zywanie 2 rozwi¹zaæ problem praktyczny wykorzystuj¹c zadañ dotycz¹cych sytuacji z ycia codziennego z wykorzystaniem wzorów na objêtoœæ graniastos³upa i ostros³upa w tym celu w³aœciwy wzór do obli- czenia objêtoœci graniastos³upa i ostros³upa, np.: które ze wskazanych naczyñ ma najwiêksz¹ pojemnoœæ; o ile wiêcej p³ynu zmieœci siê w naczyniu w kszta³cie graniastos³upa prawid³owego trójk¹tnego ni w naczyniu w kszta³cie prostopad³oœcianu itp. 11. Podsumowanie 1 rozwi¹zaæ problem praktyczny wykorzystuj¹c wiadomoœci o graniastos³upach i ostros³upach w tym celu w³aœciwy wzór na pole powierzchni lub objêtoœæ graniastos³upa i ostros³upa 12. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami nr 9 z zakresu Stereometria graniastos³upy i ostros³upy 13. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- i umiejêtnoœci z zakresu Stereometria sowej nr 9 graniastos³upy i ostros³upy

35 SZCZEGÓ OWY ROZK AD MATERIA U STEREOMETRIA CZÊŒÆ II BRY Y OBROTOWE 14. Pole powierzchni 1 narysowaæ siatkê walca bocznej i ca³kowitej walca podaæ wzór na pole powierzchni bocznej i ca³kowitej walca obliczyæ pole powierzchni bocznej i ca³kowitej walca, a nastêpnie podaæ wynik dok³adny oraz przybli ony z zadan¹ dok³adnoœci¹ 15. Pole powierzchni 1 narysowaæ siatkê sto ka bocznej i ca³kowitej sto ka podaæ wzór na pole powierzchni bocznej i ca³kowitej sto ka obliczyæ pole powierzchni bocznej i ca³kowitej sto ka, a nastêpnie podaæ wynik dok³adny oraz przybli ony z zadan¹ dok³adnoœci¹ 16. Rozwi¹zywanie 2 rozwi¹zaæ problem praktyczny wykorzystuj¹c zadañ dotycz¹cych sytuacji z ycia codziennego z wykorzystaniem wzorów na pole powierzchni bocznej i ca³kowitej walca i sto ka w tym celu w³aœciwy wzór do obli- czenia pola powierzchni bocznej i ca³kowitej walca i sto ka, np.: ile papieru zu yto na czapkê w kszta³cie walca lub sto ka; ile potrzeba farby na pomalowanie pojemnika w kszta³cie walca lub sto ka itp. 17. Objêtoœæ walca 1 podaæ wzór na objêtoœæ walca obliczyæ objêtoœæ walca, a nastêpnie podaæ wynik dok³adny oraz przybli ony z zadan¹ dok³adnoœci¹ 18. Objêtoœæ sto ka 1 podaæ wzór na objêtoœæ sto ka obliczyæ objêtoœæ sto ka, a nastêpnie podaæ wynik dok³adny oraz przybli ony z zadan¹ dok³adnoœci¹

36 36 ROZK AD MATERIA U Rozwi¹zywanie 2 rozwi¹zaæ problem praktyczny wykorzystuj¹c zadañ dotycz¹cych sytuacji z ycia codziennego z wykorzystaniem wzorów na objêtoœæ walca i sto ka w tym celu w³aœciwy wzór do obli- czenia objêtoœci walca i sto ka, np.: ile wa y drewniany klocek w kszta³cie walca; ile mililitrów soku zmieœci siê w lampce maj¹cej kszta³t sto ka; o ile wiêksza jest pojemnoœæ naczynia w kszta³cie walca ni sto ka itp. 20. Objêtoœæ i pole 1 podaæ wzór na pole powierzchni kuli powierzchni kuli podaæ wzór na objêtoœæ kuli obliczyæ pole powierzchni kuli i jej objêtoœæ, a wynik podaæ w postaci dok³adnej i przybli onej z zadan¹ dok³adnoœci¹ 21. Objêtoœæ i pole 1 podaæ wzór na pole powierzchni pó³kuli powierzchni pó³kuli podaæ wzór na objêtoœæ pó³kuli obliczyæ pole powierzchni pó³kuli i jej objêtoœæ, a wynik podaæ w postaci dok³adnej i przybli onej z zadan¹ dok³adnoœci¹ 22. Rozwi¹zywanie 2 rozwi¹zaæ problem praktyczny wykorzystuj¹c zadañ dotycz¹cych sytuacji z ycia codziennego z wykorzystaniem wzorów na objêtoœæ i pole powierzchni bry³ obrotowych w tym celu w³aœciwy wzór do obli- czenia pola powierzchni lub objêtoœci bry³ obrotowych, np.: ile powietrza mieœci siê w pi³ce; jaka jest pojemnoœæ beczki maj¹cej kszta³t walca itp. 23. Praca klasowa 1 wykazaæ siê wiedz¹ i umiejêtnoœciami z zakresu nr 10 Stereometria bry³y obrotowe 24. Omówienie i poprawa 1 oceniæ stan posiadanych wiadomoœci pracy kla- i umiejêtnoœci z zakresu Stereometria sowej nr 10 bry³y obrotowe

37 Rozdzia³ II PRACE KLASOWE I SPRAWDZIANY W tej czêœci poradnika zaprezentowane zosta³y propozycje ró nych prac klasowych. Mo na w nich dokonaæ korekty w zale noœci od potrzeb. Prace klasowe nr 1 10 przewidziane s¹ na jedn¹ godzinê lekcyjn¹, natomiast sprawdziany powtórzeniowe na dwie godziny lekcyjne. Przedstawione zestawy zawieraj¹ od 5 do 6 zadañ, wœród których znajduje siê zadanie oznaczone *, jako trudniejsze od pozosta³ych. Rozwi¹zanie zadania wyró nionego * umo liwia uczniowi otrzymanie oceny celuj¹cej pod warunkiem, e z pozosta³ych zadañ zgodnie z punktacj¹ uczeñ uzyska ocenê bardzo dobr¹. Przyjmuj¹c, e za ka de rozwi¹zane prawid³owo zadanie uczeñ mo e maksymalnie uzyskaæ 4 pkt, proponujê nastêpuj¹cy system przeliczania zdobytych punktów na oceny szkolne. Punktacja do prac klasowych z³o onych z 4 zadañ i zadania z *: 0 5 pkt ocena niedostateczna 6 8 pkt ocena dopuszczaj¹ca 9 11 pkt ocena dostateczna pkt ocena dobra pkt ocena bardzo dobra ocena bdb i zadanie z * ocena celuj¹ca Punktacja do prac klasowych z³o onych z 5 zadañ i zadania z *: 0 7 pkt ocena niedostateczna 8 10 pkt ocena dopuszczaj¹ca pkt ocena dostateczna pkt ocena dobra pkt ocena bardzo dobra ocena bdb i zadanie z * ocena celuj¹ca Pozwolê sobie podkreœliæ, i mog¹ Pañstwo dla w³asnych potrzeb zmodyfikowaæ przedstawion¹ przeze mnie propozycjê przeliczania uzyskanych punktów na oceny szkolne.

38 38 PRACE KLASOWE I SPRAWDZIANY Praca klasowa nr 1 LICZBY I WYRA ENIA Grupa I 1.DoprowadŸ podane wyra enie (x y) (x+y)+(2x 1) 2 do najprostszej postaci, a nastêpnie oblicz jego wartoœæ liczbow¹ dla x = 1 2 i y = 1. 2.Podane liczby 25; 3 8; ( 1) 2 ; ; ( 3 2 ) 2 ; ( 2) 3 ; 5 1 ustaw w kolejnoœci od najmniejszej do najwiêkszej. 3.Cena netto pewnego towaru wynosi 90 z³. Jaka jest cena brutto tego towaru, jeœli do ceny netto naliczany jest podatek VAT w wysokoœci 22%? 4. A to zbiór liczb ca³kowitych nale ¹cych do przedzia³u domkniêtego 1; 5. B to zbiór liczb naturalnych nale ¹cych do przedzia³u otwartego ( 3; 3). a) Wypisz wszystkie elementy zbioru A i zbioru B. b) Zilustruj na osi liczbowej sumê i iloczyn podanych przedzia³ów liczbowych, a nastêpnie uzupe³nij zapis 1; 5 ( 3; 3) = 1; 5 ( 3; 3) = 5.Jedna ma³a koperta na list kosztuje 8 gr.przy zakupie powy ej 100 kopert przys³uguje rabat w wysokoœci 5%. Ile zap³aci kupuj¹cy za 660 ma³ych kopert? 6.* Uproœciæ wyra enie Grupa II 1.DoprowadŸ podane wyra enie (a 2b) 2 +(a 2) (a+2) do najprostszej postaci, a nastêpnie oblicz jego wartoœæ liczbow¹ dla a = 3 i b= Podane liczby ( 4 3 ) 1 ; ( 3) 3 ; 16; ; 3 27; ( 1) 4 ; 4 1 od najmniejszej do najwiêkszej. ustaw w kolejnoœci 3.Cena netto pewnego towaru wynosi 120 z³.jaka jest cena brutto tego towaru, jeœli do ceny netto naliczany jest podatek VAT w wysokoœci 7%?

39 FUNKCJA LINIOWA 4. A to zbiór liczb ca³kowitych nale ¹cych do przedzia³u domkniêtego 3; 2. B to zbiór liczb naturalnych nale ¹cych do przedzia³u otwartego ( 2; 4). a) Wypisz wszystkie elementy zbioru A i zbioru B. b) Zilustruj na osi liczbowej sumê i iloczyn podanych przedzia³ów liczbowych, a nastêpnie uzupe³nij zapis 3; 2 ( 2; 4) = 3; 2 ( 2; 4) = 5.Jedna du a koperta na list kosztuje 15 gr.przy zakupie powy ej 100 kopert przys³uguje rabat w wysokoœci 8%. Ile zap³aci kupuj¹cy za 540 du- ych kopert? 6.* Uproœæ wyra enie Grupa I Praca klasowa nr 2 FUNKCJA LINIOWA 1.a) Okreœl monotonicznoœæ funkcji: y = x 1, y = 5 x, y = 2. b) SprawdŸ, który z punktów A (1, 0), B ( 3 1 2, 1 3 ) nale y do wykresu funkcji f(x) = 2x Rozwi¹ nierównoœæ 3(x+ 1 ) 2(x 1) 7x 1,5. Nastêpnie zilustruj zbiór 2 rozwi¹zañ na osi liczbowej i odpowiedÿ zapisz za pomoc¹ przedzia³u liczbowego. 3.Trzy paczki wa ¹ razem 22 kg. Druga paczka jest dwa razy ciê sza od pierwszej, zaœ trzecia o 2 kg l ejsza od pierwszej. Ile wa y ka da paczka? 4.Rozwi¹ uk³ad równañ dowoln¹ metod¹. x 3y = 7 { 2x+4y = 6

40 40 PRACE KLASOWE I SPRAWDZIANY 5.Na podstawie przedstawionego na rysunku obok wykresu funkcji y = f (x) udziel odpowiedzi na nastêpuj¹ce pytania: a) Jak¹ wartoœæ przyjmuje funkcja f dla argumentu x = 0? b) Dla jakich argumentów funkcja f jest rosn¹ca? c) Dla jakich argumentów spe³niona jest nierównoœæ f (x) 0? 6.* Dla jakich wartoœci parametru m uk³ad równañ mx+2y = m { 2x+my = 2 jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny? Grupa II 1.a) Okreœl monotonicznoœæ funkcji: y = 3+x, y = 5x+1, y = 1. b) SprawdŸ, który z punktów A (0, 3), B (2 1, 1 ) nale y do wykresu funkcji 3 2 f (x) = 3x Rozwi¹ nierównoœæ 2x 5 < 7(x 1 ) 3(x+4). Nastêpnie zilustruj zbiór 7 rozwi¹zañ na osi liczbowej i odpowiedÿ zapisz za pomoc¹ przedzia³u liczbowego. 3.Trzy worki wa ¹ razem 40 kg.drugi worek jest trzy razy l ejszy od pierwszego, zaœ trzeci o 5 kg ciê szy od pierwszego. Ile wa y ka dy worek? 4.Rozwi¹ uk³ad równañ dowoln¹ metod¹. 2x+y = 1 { 3x+4y = 6

41 PLANIMETRIA TWIERDZENIE PITAGORASA, POLA I OBWODY FIGUR P ASKICH 5.Na podstawie przedstawionego na rysunku obok wykresu funkcji y = f(x) udziel odpowiedzi na nastêpuj¹ce pytania: a) Jak¹ wartoœæ przyjmuje funkcja f dla argumentu x = 0? b) Dla jakich argumentów funkcja f jest malej¹ca? c) Dla jakich argumentów spe³niona jest nierównoœæ f(x) 0? 41 6.* Dla jakich wartoœci parametru m uk³ad równañ 3x + my = 3 { mx+3y = m jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny? Praca klasowa nr 3 PLANIMETRIA TWIERDZENIE PITAGORASA, POLA I OBWODY FIGUR P ASKICH Grupa I 1.Oblicz d³ugoœæ przek¹tnej, obwód i pole prostok¹ta przedstawionego na rysunku obok. 9 2.a) Podaj w centymetrach d³ugoœæ boku kwadratu o polu dm b) Jak¹ wysokoœæ ma trójk¹t równoboczny o boku a = 4 cm? Wynik podaj w dwóch postaciach: dok³adny i przybli ony z dok³adnoœci¹ do 0,1 cm.