Ekonometria Bayesowska
|
|
- Radosław Piątkowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Ekonometria Bayesowska Wykªad 1: Twierdzenie Bayesa, rozkªad a priori i a posteriori (1) Ekonometria Bayesowska 1 / 35
2 Plan wykªadu 1 Przykªad UEFA Euro Podstawowe poj cia ekonometrii bayesowskiej 3 Rozkªady a priori i a posteriori 4 O ekonometrii bayesowskiej ogólnie (1) Ekonometria Bayesowska 2 / 35
3 Plan prezentacji 1 Przykªad UEFA Euro Podstawowe poj cia ekonometrii bayesowskiej 3 Rozkªady a priori i a posteriori 4 O ekonometrii bayesowskiej ogólnie (1) Ekonometria Bayesowska 3 / 35
4 Polska na Euro 2016 Euro 2016: ocena szans Polaków Reprezentacja Polski rozpoczynaªa turniej jako jedna ze sªabszych dru»yn. Jej szanse oceniano raczej skromnie. Jednak trzy kolejne sukcesy w meczach grupowych sprawiaªy,»e ocena szans Polaków stopniowo rosªa. Po wyj±ciu z grupy, do ka»dego meczu przyst powano w Polsce z ogromnymi oczekiwaniami. Prze±led¹my, jak zmieniªa si ocena szans Polaków po fazie grupowej. Taka zmiana postrzegania to kwintensencja bayesowskiego podej±cia do ekonometrii! (1) Ekonometria Bayesowska 4 / 35
5 Polska na Euro 2016 Euro 2016: ocena szans Polaków Reprezentacja Polski rozpoczynaªa turniej jako jedna ze sªabszych dru»yn. Jej szanse oceniano raczej skromnie. Jednak trzy kolejne sukcesy w meczach grupowych sprawiaªy,»e ocena szans Polaków stopniowo rosªa. Po wyj±ciu z grupy, do ka»dego meczu przyst powano w Polsce z ogromnymi oczekiwaniami. Prze±led¹my, jak zmieniªa si ocena szans Polaków po fazie grupowej. Taka zmiana postrzegania to kwintensencja bayesowskiego podej±cia do ekonometrii! (1) Ekonometria Bayesowska 4 / 35
6 Polska na Euro 2016 Euro 2016: ocena szans Polaków Reprezentacja Polski rozpoczynaªa turniej jako jedna ze sªabszych dru»yn. Jej szanse oceniano raczej skromnie. Jednak trzy kolejne sukcesy w meczach grupowych sprawiaªy,»e ocena szans Polaków stopniowo rosªa. Po wyj±ciu z grupy, do ka»dego meczu przyst powano w Polsce z ogromnymi oczekiwaniami. Prze±led¹my, jak zmieniªa si ocena szans Polaków po fazie grupowej. Taka zmiana postrzegania to kwintensencja bayesowskiego podej±cia do ekonometrii! (1) Ekonometria Bayesowska 4 / 35
7 Polska na Euro 2016 Forma Polaków oceniana z góry a priori (1) (1) Ekonometria Bayesowska 5 / 35
8 Dla niezorientowanych w piªce no»nej... W Mistrzostwach Europy w 2016 r. graªy 24 zespoªy. Ranking FIFA to najcz ±ciej cytowany w mediach ranking sportowej siªy zespoªów (obejmuje wyniki za ostatnie 4 lata). Pierwsz faz byªy rozgrywki grupowe: 6 grup, 4 zespoªy w ka»dej grupie, wewn trz grup ka»dy gra z ka»dym, zdobywaj c punkty za zwyci stwa (3) i remisy (1). Dlatego faza grupowa skªada si z trzech meczów (n = 3). Do drugiej fazy przechodzi 16 zespoªów: z pierwszych, drugich oraz wi kszo±ci trzecich miejsc w grupach. W tym systemie zwyci stwo i remis s w zasadzie równoznaczne dlatego skupiamy si na prawdopodobie«stwie,»e nie przegra si meczu (a nie prawdopodobie«stwie,»e si go wygra). W drugiej fazie nieprzegranie meczu nie oznacza awansu. W przypadku remisu, o awansie rozstrzyga dogrywka lub rzuty karne.
9 Ocena formy Polaków: przed faz grupow Forma Polaków oceniana z góry a priori (2) Oceniamy polsk dru»yn parametrem p prawdopodobie«stwem przegrania pojedynczego meczu z losowo dobranym przeciwnikiem z grona 23 pozostaªych nalistów. Przed rozpocz ciem ME mamy pewne wyobra»enie na temat p: skoro w rankingu FIFA 16 z 23 potencjalnych rywali jest wy»ej, to prawdopodobie«stwo pora»ki oceniamy jako 16 = 0, Mo»emy oczywi±cie traa na ró»nych przeciwników sªabszych lub mocniejszych, co b dzie zmienia nasz percepcj p w zale»no±ci od meczu. Nie mamy te» przekonania,»e ranking FIFA w adekwatny sposób odzwierciedla sportow siª dru»yn w dniu meczu. Dlatego parametr p potraktujemy jako zmienn losow. Jej warto± oczekiwan ustalimy oczywi±cie na poziomie E (p) = 0, 696, ale dopu±cimy pewn wariancj dookoªa tego poziomu. Opiszemy to rozkªadem beta o warto±ci oczekiwanej p i odchyleniu standardowym, które dobrze opisze skal naszych w tpliwo±ci (powiedzmy 0, 15). (1) Ekonometria Bayesowska 7 / 35
10 Ocena formy Polaków: przed faz grupow Forma Polaków oceniana z góry a priori (2) Oceniamy polsk dru»yn parametrem p prawdopodobie«stwem przegrania pojedynczego meczu z losowo dobranym przeciwnikiem z grona 23 pozostaªych nalistów. Przed rozpocz ciem ME mamy pewne wyobra»enie na temat p: skoro w rankingu FIFA 16 z 23 potencjalnych rywali jest wy»ej, to prawdopodobie«stwo pora»ki oceniamy jako 16 = 0, Mo»emy oczywi±cie traa na ró»nych przeciwników sªabszych lub mocniejszych, co b dzie zmienia nasz percepcj p w zale»no±ci od meczu. Nie mamy te» przekonania,»e ranking FIFA w adekwatny sposób odzwierciedla sportow siª dru»yn w dniu meczu. Dlatego parametr p potraktujemy jako zmienn losow. Jej warto± oczekiwan ustalimy oczywi±cie na poziomie E (p) = 0, 696, ale dopu±cimy pewn wariancj dookoªa tego poziomu. Opiszemy to rozkªadem beta o warto±ci oczekiwanej p i odchyleniu standardowym, które dobrze opisze skal naszych w tpliwo±ci (powiedzmy 0, 15). (1) Ekonometria Bayesowska 7 / 35
11 Ocena formy Polaków: przed faz grupow Forma Polaków oceniana z góry a priori (2) Oceniamy polsk dru»yn parametrem p prawdopodobie«stwem przegrania pojedynczego meczu z losowo dobranym przeciwnikiem z grona 23 pozostaªych nalistów. Przed rozpocz ciem ME mamy pewne wyobra»enie na temat p: skoro w rankingu FIFA 16 z 23 potencjalnych rywali jest wy»ej, to prawdopodobie«stwo pora»ki oceniamy jako 16 = 0, Mo»emy oczywi±cie traa na ró»nych przeciwników sªabszych lub mocniejszych, co b dzie zmienia nasz percepcj p w zale»no±ci od meczu. Nie mamy te» przekonania,»e ranking FIFA w adekwatny sposób odzwierciedla sportow siª dru»yn w dniu meczu. Dlatego parametr p potraktujemy jako zmienn losow. Jej warto± oczekiwan ustalimy oczywi±cie na poziomie E (p) = 0, 696, ale dopu±cimy pewn wariancj dookoªa tego poziomu. Opiszemy to rozkªadem beta o warto±ci oczekiwanej p i odchyleniu standardowym, które dobrze opisze skal naszych w tpliwo±ci (powiedzmy 0, 15). (1) Ekonometria Bayesowska 7 / 35
12 Ocena formy Polaków: przed faz grupow Forma Polaków oceniana z góry a priori (2) Oceniamy polsk dru»yn parametrem p prawdopodobie«stwem przegrania pojedynczego meczu z losowo dobranym przeciwnikiem z grona 23 pozostaªych nalistów. Przed rozpocz ciem ME mamy pewne wyobra»enie na temat p: skoro w rankingu FIFA 16 z 23 potencjalnych rywali jest wy»ej, to prawdopodobie«stwo pora»ki oceniamy jako 16 = 0, Mo»emy oczywi±cie traa na ró»nych przeciwników sªabszych lub mocniejszych, co b dzie zmienia nasz percepcj p w zale»no±ci od meczu. Nie mamy te» przekonania,»e ranking FIFA w adekwatny sposób odzwierciedla sportow siª dru»yn w dniu meczu. Dlatego parametr p potraktujemy jako zmienn losow. Jej warto± oczekiwan ustalimy oczywi±cie na poziomie E (p) = 0, 696, ale dopu±cimy pewn wariancj dookoªa tego poziomu. Opiszemy to rozkªadem beta o warto±ci oczekiwanej p i odchyleniu standardowym, które dobrze opisze skal naszych w tpliwo±ci (powiedzmy 0, 15). (1) Ekonometria Bayesowska 7 / 35
13 Ocena formy Polaków: przed faz grupow Forma Polaków oceniana z góry a priori (3) (1) Ekonometria Bayesowska 8 / 35
14 Ocena formy Polaków: przed faz grupow Rozkªad beta Dotyczy zmiennych losowych z przedziaªu [0; 1] (np. frakcje, prawdopodobie«stwa...). Opisuj go dwa parametry: α i β. Funkcja g sto±ci: f (x) = ι [0;1](x) B(α,β) x α 1 (1 x) β 1 ι [0;1] (x) = 1 je»eli x [0; 1] i zero w przeciwnym przypadku (funkcja indykatorowa) B (α, β) funkcja beta (szczegóªy pó¹niej) Warto± oczekiwana: α α+β (1) Ekonometria Bayesowska 9 / 35
15 Ocena formy Polaków: po fazie grupowej Dane Bior c pod uwag nasz uprzedni ocen p, jakie jest prawdopodobie«stwo,»e przegramy k z 3 meczów grupowych? Šatwo policzy,»e stosunkowo wysokie... P (X = k) = ( 3 k ) p k (1 p) 3 k A jednak nie przegrali±my»adnego meczu grupowego! Po fakcie wiemy wi c,»e k = 0. Prawdopodobie«stwa takiego zdarzenia nie oceniali±my wysoko, bior c pod uwag,»e ponad 2/3 przeciwników traktowali±my jako lepszych. Dla ka»dego p (0, 1) mo»emy policzy warto± funkcji wiarygodno±ci dla naszych danych (k = 0). Najwy»sza b dzie dla p = 0 (w ko«cu Polska ani razu nie przegraªa!). (1) Ekonometria Bayesowska 10 / 35
16 Ocena formy Polaków: po fazie grupowej Dane Bior c pod uwag nasz uprzedni ocen p, jakie jest prawdopodobie«stwo,»e przegramy k z 3 meczów grupowych? Šatwo policzy,»e stosunkowo wysokie... P (X = k) = ( 3 k ) p k (1 p) 3 k A jednak nie przegrali±my»adnego meczu grupowego! Po fakcie wiemy wi c,»e k = 0. Prawdopodobie«stwa takiego zdarzenia nie oceniali±my wysoko, bior c pod uwag,»e ponad 2/3 przeciwników traktowali±my jako lepszych. Dla ka»dego p (0, 1) mo»emy policzy warto± funkcji wiarygodno±ci dla naszych danych (k = 0). Najwy»sza b dzie dla p = 0 (w ko«cu Polska ani razu nie przegraªa!). (1) Ekonometria Bayesowska 10 / 35
17 Ocena formy Polaków: po fazie grupowej Dane Bior c pod uwag nasz uprzedni ocen p, jakie jest prawdopodobie«stwo,»e przegramy k z 3 meczów grupowych? Šatwo policzy,»e stosunkowo wysokie... P (X = k) = ( 3 k ) p k (1 p) 3 k A jednak nie przegrali±my»adnego meczu grupowego! Po fakcie wiemy wi c,»e k = 0. Prawdopodobie«stwa takiego zdarzenia nie oceniali±my wysoko, bior c pod uwag,»e ponad 2/3 przeciwników traktowali±my jako lepszych. Dla ka»dego p (0, 1) mo»emy policzy warto± funkcji wiarygodno±ci dla naszych danych (k = 0). Najwy»sza b dzie dla p = 0 (w ko«cu Polska ani razu nie przegraªa!). (1) Ekonometria Bayesowska 10 / 35
18 Ocena formy Polaków: po fazie grupowej Ocena Polaków po fazie grupowej a posteriori (1) Przed drug faz musieli±my zaktualizowa nasze wyobra»enie o p. Mogli±my to zrobi na dwa sposoby: Wnioskowa na podstawie tego, co zaobserwowali±my: trzy mecze bez pora»ki, a wi c p = 1. Tak post piliby±my w ±wiecie ekonometrii klasycznej. Ale przecie» trzy mecze to bardzo maªo! Równocze±nie miejsce w rankingu FIFA (4 lata!) mo»e nie± ze sob wiele cennych informacji, które w fazie grupowej (2 tygodnie!) mogªy si nie ujawni. Najlepiej byªoby wi c wzi pod uwag oba ¹ródªa informacji. Ranking FIFA (a priori): powinien znaczy tym wi cej, im bardziej byli±my pewni jego adekwatno±ci (tj. im ni»sz wariancj p ustalili±my przed faz grupow ). Dotychczasowe mecze (dane): powinny wa»y tym wi cej, im wi cej meczów si ju» odbyªo. (1) Ekonometria Bayesowska 11 / 35
19 Ocena formy Polaków: po fazie grupowej Ocena Polaków po fazie grupowej a posteriori (1) Przed drug faz musieli±my zaktualizowa nasze wyobra»enie o p. Mogli±my to zrobi na dwa sposoby: Wnioskowa na podstawie tego, co zaobserwowali±my: trzy mecze bez pora»ki, a wi c p = 1. Tak post piliby±my w ±wiecie ekonometrii klasycznej. Ale przecie» trzy mecze to bardzo maªo! Równocze±nie miejsce w rankingu FIFA (4 lata!) mo»e nie± ze sob wiele cennych informacji, które w fazie grupowej (2 tygodnie!) mogªy si nie ujawni. Najlepiej byªoby wi c wzi pod uwag oba ¹ródªa informacji. Ranking FIFA (a priori): powinien znaczy tym wi cej, im bardziej byli±my pewni jego adekwatno±ci (tj. im ni»sz wariancj p ustalili±my przed faz grupow ). Dotychczasowe mecze (dane): powinny wa»y tym wi cej, im wi cej meczów si ju» odbyªo. (1) Ekonometria Bayesowska 11 / 35
20 Ocena formy Polaków: po fazie grupowej Ocena Polaków po fazie grupowej a posteriori (2) Udana faza grupowa przesun ªa nasze postrzeganie prawdpodobie«stwa pora»ki Polaków ku ni»szym warto±ciom. Jak to zadziaªaªo? (1) Ekonometria Bayesowska 12 / 35
21 Plan prezentacji 1 Przykªad UEFA Euro Podstawowe poj cia ekonometrii bayesowskiej 3 Rozkªady a priori i a posteriori 4 O ekonometrii bayesowskiej ogólnie (1) Ekonometria Bayesowska 13 / 35
22 Prawdopodobie«stwo ª czne i warunkowe Prawdopodobie«stwo ª czne i warunkowe Prawdopodobie«stwo zdarzenia A: P (A) Prawdopodobie«stwo ª czne zdarze«a i B (tj.»e zdarzy si jedno i drugie): P (A B) Prawdopodobie«stwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem B (tj.»e zdarzy si A, gdy wiemy,»e B si ju» zdarzyªo): P (A B) = P (A B) P (B) (1) Ekonometria Bayesowska 14 / 35
23 Twierdzenie Bayesa Twierdzenie Bayesa Twierdzenie Bayesa P (A B) = P (B A) P (A) P (B) Dowód: P (A B) = P(A B) P(B) P (B A) = P(A B) P(A) P (A B) P (B) = P (B A) P (A) P (A B) = P(B A) P(A) P(B) = P (A B) = P (A B) P (B) = P (A B) = P (B A) P (A) (1) Ekonometria Bayesowska 15 / 35
24 Twierdzenie Bayesa Twierdzenie Bayesa wersja zmodykowana A jest zdarzeniem pewnym, ale mo»e wyst pi w n rozª cznych wariantach, czyli A = A 1 A 2... A n, przy czym A i A j = dla dowolnego i j. Chcemy wyznaczy prawdopodobie«stwo i-tego wariantu warunkowe wzgl dem zdarzenia B: Twierdzenie Bayesa wersja zmodykowana P (A i B) = P (B A i ) P (A i ) P (B A 1) P (A 1) + P (B A 2) P (A 2) P (B A n) P (A n) Je»eli wariantów zdarzenia A jest nieprzeliczalnie wiele (i I ) -- np. polega ono na wyst pieniu pewnej warto±ci z rozkªadu ci gªego wówczas zast pujemy poj cie prawdopodobie«stwa g sto±ci (ozn. f ), a powy»szy wzór: f (A i B) = f (B A i) f (A i ) f (B A i ) f (A i ) di I (1) Ekonometria Bayesowska 16 / 35
25 Rozkªad a priori i a posteriori Twierdzenie Bayesa zastosowanie w ekonometrii f (A i B) = f (B A i) f (A i ) f (B A i ) f (A i ) di I f (X θ) f (θ) f (θ X ) = f (X θ) f (θ) dθ Jako zdarzenia A i rozpatrzymy przyj cie przez parametr θ ró»nych mo»liwych warto±ci (θ 1,θ 2,...). Parametr θ musi przyjmowa jak ± warto±, wi c prawdopodobie«stwa tych zdarze«sumuj si do 1 (w rozkªadzie dyskretnym) albo g sto± prawdopodobie«stwa tych zdarze«caªkuje si do 1 (przy uwzgl dnieniu wszystkich mo»liwych warto±ci θ). Zdarzenie B polega na tym,»e zaobserwowali±my okre±lony zestaw danych X. P (θ X ) wyznaczany rozkªad a posteriori, tj. warunkowy wzgl dem zaobserwowanych danych P (θ) rozkªad a priori P (X θ) rozkªa próbkowych danych X, przy zaªo»eniu parametru o warto±ci θ (to»samy z funkcj wiarygodno±ci) mianownik nie zale»y od θ i peªni rol staªej skaluj cej (1) Ekonometria Bayesowska 17 / 35 I
26 Plan prezentacji 1 Przykªad UEFA Euro Podstawowe poj cia ekonometrii bayesowskiej 3 Rozkªady a priori i a posteriori 4 O ekonometrii bayesowskiej ogólnie (1) Ekonometria Bayesowska 18 / 35
27 Przykªad: sformuªowanie rozkªadu a priori Rozkªad a priori: rozkªad beta Wspominali±my ju»,»e dla nieznanego parametru p (prawdopodobie«stwa,»e Polska nie przegra meczu) wyznaczyli±my rozkªad a priori typu beta: przy czym: ι [0;1] (x) = Funkcja beta: B (α, β) = f (p) = ι [0;1] (p) B (α, β) pα 1 (1 p) β 1 { 1 x [0; 1] 0 x / [0; 1]. 1 0 t α 1 (1 t) β 1 dt. (1) Ekonometria Bayesowska 19 / 35
28 Przykªad: sformuªowanie rozkªadu a priori Warto± oczekiwana i wariancja w rozkªadzie a priori Mo»na pokaza,»e w rozkªadzie beta: D 2 (p) = 1 0 E (p) = 1 0 p f (p) dp = [p E (p)] 2 f (p) dp = α α+β αβ (α+β) 2 (α+β+1) Przyj li±my,»e E (p) = 0, 696 oraz»e D 2 (p) = (0, 15) 2. Rozwi zuj c nast puj cy ukªad równa«: α α+β = 0, 696 αβ = (0, (α+β) 2 15)2 (α+β+1) mo»emy okre±li nasz rozkªad a priori w kategoriach parametrów α i β. (Doln lini b dziemy od tej pory oznacza parametry i funkcje a priori, górn a posteriori). (1) Ekonometria Bayesowska 20 / 35
29 Przykªad: sformuªowanie rozkªadu a priori Warto± oczekiwana i wariancja w rozkªadzie a priori Mo»na pokaza,»e w rozkªadzie beta: D 2 (p) = 1 0 E (p) = 1 0 p f (p) dp = [p E (p)] 2 f (p) dp = α α+β αβ (α+β) 2 (α+β+1) Przyj li±my,»e E (p) = 0, 696 oraz»e D 2 (p) = (0, 15) 2. Rozwi zuj c nast puj cy ukªad równa«: α α+β = 0, 696 αβ = (0, (α+β) 2 15)2 (α+β+1) mo»emy okre±li nasz rozkªad a priori w kategoriach parametrów α i β. (Doln lini b dziemy od tej pory oznacza parametry i funkcje a priori, górn a posteriori). (1) Ekonometria Bayesowska 20 / 35
30 Przykªad: sformuªowanie rozkªadu a priori Rozkªad a priori (przed faz grupow ) przypomnijmy... (1) Ekonometria Bayesowska 21 / 35
31 Przykªad: wyznaczenie rozkªadu a posteriori Rozkªad a posteriori (1) W naszym przypadku nieznanym parametrem jest p (prawdopodobie«stwo pora»ki Polski w pojedynczym meczu), a informacj z próby k (liczba pora»ek w fazie grupowej). f (p k) = f (k p) f (p) 1 0 f (k p)f (p)dp f (p) = ι [0;1] (p) B ( α, β )pα 1 (1 p) β 1 f (k p) = ( 3 k ) p k (1 p) 3 k (1) Ekonometria Bayesowska 22 / 35
32 Przykªad: wyznaczenie rozkªadu a posteriori Rozkªad a posteriori (2) f (p k) = 3 k k p k ι[0;1] (p) (1 p) 3 k B(α,β) pα 1 (1 p) β 1 p k ι[0;1] (p) (1 p) 3 k B(α,β) pα 1 (1 p) β 1 dp = pk (1 p) 3 k ι [0;1] (p)p α 1 (1 p) β p k (1 p) 3 k p α 1 (1 p) β 1 dp = pk+α 1 (1 p) 3 k+β 1 ι [0;1] (p) 1 0 p k+α 1 (1 p) 3 k+β 1 dp = ι [0;1](p) B(α,β) pα 1 (1 p) β 1 = = = pk+α 1 (1 p) 3 k+β 1 ι [0;1] (p) B(α+k,β k+3) = (1) Ekonometria Bayesowska 23 / 35
33 Przykªad: wyznaczenie rozkªadu a posteriori Rozkªad a posteriori (3) f (p k) = ι [0;1] (p) B ( α, β )pα 1 (1 p) β 1 Rozkªad a posteriori równie» jest rozkªadem beta o parametrach: α = α + k β = β k + 3 (1) Ekonometria Bayesowska 24 / 35
34 Przykªad: wyznaczenie rozkªadu a posteriori Warto± oczekiwana w rozkªadzie a posteriori E (p) = α = = α+k = α+β α+k+β k+3 α + β α + β + 3 }{{} waga 1 α α + β }{{} E(p) + 3 α + β + 3 }{{} waga 2 k 3 }{{} frakcja z danych W naszym przypadku warto± oczekiwana a posteriori jest ±redni wa»on : warto±ci oczekiwanej a priori (wa»y tym wi cej, im mniejsza wariancja a priori) frakcji zdarze«z danych (wa»y tym wi cej, im dªu»sza próba) Polacy nie przegrali w grupie przy k = 0 z pewno±ci E (p) < E (p). (1) Ekonometria Bayesowska 25 / 35
35 Przykªad: wyznaczenie rozkªadu a posteriori Rozkªad a posteriori (4) Znany ju» rozkªad a posteriori przy E(p) = 0, 696 i D 2 (p) = (0, 15) 2 dla przypomnienia: (1) Ekonometria Bayesowska 26 / 35
36 Analiza wra»liwo±ci na rozkªad a priori Wra»liwo± na rozkªad a priori (1) Gdyby±my byli mniej pewni naszych przekona«a priori, wówczas dane bardziej poci gn rozkªad w prawo: D 2 (p) = (0, 2) 2... (1) Ekonometria Bayesowska 27 / 35
37 Analiza wra»liwo±ci na rozkªad a priori Wra»liwo± na rozkªad a priori (2)...w przeciwnym razie: D 2 (p) = (0, 1) 2 rozkªad a priori mocniej trzyma wyniki z prawej strony. (1) Ekonometria Bayesowska 28 / 35
38 Analiza wra»liwo±ci na rozkªad a priori Wra»liwo± na rozkªad a priori (3) Przy E (p) = 0, 8 rozkªad a posteriori przesuwa si umiarkowanie w prawo, ale nie zmienia ksztaªtu. (1) Ekonometria Bayesowska 29 / 35
39 Analiza wra»liwo±ci na rozkªad a priori Wra»liwo± na rozkªad a priori (4) Przy E (p) = 0, 6 warto± oczekiwana a posteriori przesuwa si lewo, cho mniej, ni» E (p). (1) Ekonometria Bayesowska 30 / 35
40 Plan prezentacji 1 Przykªad UEFA Euro Podstawowe poj cia ekonometrii bayesowskiej 3 Rozkªady a priori i a posteriori 4 O ekonometrii bayesowskiej ogólnie (1) Ekonometria Bayesowska 31 / 35
41 O ekonometrii bayesowskiej 1. Parametry traktujemy jako zmienne losowe Zaªo»yli±my,»e parametr p jest zmienn losow. To fundamentalna ró»nica w porównaniu do klasycznej ekonometrii, gdzie zakªadali±my istnienie prawdziwej, nieznanej warto±ci parametru w procesie generuj cym dane / populacji. Pewne elementy my±lenia w kategoriach rozkªadów (np. przedziaª ufno±ci) wi zaªy si wyª cznie z faktem,»e estymatory z próby s zmiennymi losowymi ze wzgl du na losowy dobór próby. Nigdy jednak nie dotyczyªo to prawdziwych parametrów. Takie zaªo»enie odzwierciedla fundamentaln ró»nic mi dzy bayesistami a klasykami w rozumieniu poj cia prawdopodobie«stwa. Klasycy posªuguj si cz sto±ciow interpretacj prawdopodobie«stwa uwa»aj,»e nale»y si tym poj ciem posªugiwa wyª cznie w celu opisania, jak cz sto zachodzi okre±lone zdarzenie (dlatego bayesi±ci okre±laj ich jako frequentists). Bayesi±ci posªuguj si dodatkowo subiektywistyczn interpretacj prawdopodobie«stwa, która pozwala im okre±li rozkªach ich przekona«co do nieznanej warto±ci parametru p (np.»e na 90% jest wy»szy od 0, 4). (1) Ekonometria Bayesowska 32 / 35
42 O ekonometrii bayesowskiej 1. Parametry traktujemy jako zmienne losowe Zaªo»yli±my,»e parametr p jest zmienn losow. To fundamentalna ró»nica w porównaniu do klasycznej ekonometrii, gdzie zakªadali±my istnienie prawdziwej, nieznanej warto±ci parametru w procesie generuj cym dane / populacji. Pewne elementy my±lenia w kategoriach rozkªadów (np. przedziaª ufno±ci) wi zaªy si wyª cznie z faktem,»e estymatory z próby s zmiennymi losowymi ze wzgl du na losowy dobór próby. Nigdy jednak nie dotyczyªo to prawdziwych parametrów. Takie zaªo»enie odzwierciedla fundamentaln ró»nic mi dzy bayesistami a klasykami w rozumieniu poj cia prawdopodobie«stwa. Klasycy posªuguj si cz sto±ciow interpretacj prawdopodobie«stwa uwa»aj,»e nale»y si tym poj ciem posªugiwa wyª cznie w celu opisania, jak cz sto zachodzi okre±lone zdarzenie (dlatego bayesi±ci okre±laj ich jako frequentists). Bayesi±ci posªuguj si dodatkowo subiektywistyczn interpretacj prawdopodobie«stwa, która pozwala im okre±li rozkªach ich przekona«co do nieznanej warto±ci parametru p (np.»e na 90% jest wy»szy od 0, 4). (1) Ekonometria Bayesowska 32 / 35
43 O ekonometrii bayesowskiej 2. Do procesu estymacji wprowadzamy wiedz spoza próby Sformuªowali±my rozkªad a priori parametru p. Zobaczyli±my,»e mo»e on znacz co rzutowa na uzyskane wyniki. Miar sukcesu w ekonometrii bayesowskiej jest doprowadzenie do zaw»enia (ang. shrinkage) rozkªadu a priori czyli precyzyjniejszej wiedzy o parametrze po konfrontacji z danymi ni» przed. Nie musi to oznacza przesuni cia warto±ci oczekiwanej, chodzi o zmniejszenie wariancji. Je»eli rozkªad a posteriori niemal pokrywa si z rozkªadem a priori, to oznacza pora»k w analizie empirycznej dane niczego nie wniosªy do naszej wiedzy o parametrze. wiczenie Jakie byªoby postrzeganie a posteriori prawdopodobie«stwa pora»ki Polaków, gdyby w grupie przegrali 2 mecze i nie przegrali trzeciego (k = 2)? (1) Ekonometria Bayesowska 33 / 35
44 O ekonometrii bayesowskiej 3. Modele mog mie ró»ny poziom komplikacji Rozwa»yli±my prosty model statystyczny, wnioskuj c o jednym parametrze p przy pewnych zaªo»eniach o rozkªadzie danych (ci g niezale»nych pora»ek i nie-pora»ek). W ekonometrycznych analizach regresji b dziemy przyjmowali zaªo»enia na temat rozkªadu skªadnika losowego. Zwykle b dzie to rozkªad normalny, ale narz dzia ekonometrii bayesowskiej pozwalaj analizowa inne rozkªady. Przy wi kszej liczbie parametrów otrzymamy ª czny rozkªad a posteriori, z którego niewiele wywnioskujemy wprost (przy 3 lub wi cej parametrach trudno nawet o wizualizacj ). B d potrzebne rozkªady brzegowe poszczególnych parametrów (czyli rozkªad ª czny scaªkowany po pozostaªych parametrach). Nie znaj c parametrów rozkªadów a priori, cz sto opisujemy je... kolejnymi rozkªadami! Takie konstrukcje nazywami modelami hierarchicznymi. (1) Ekonometria Bayesowska 34 / 35
45 O ekonometrii bayesowskiej 3. Modele mog mie ró»ny poziom komplikacji Rozwa»yli±my prosty model statystyczny, wnioskuj c o jednym parametrze p przy pewnych zaªo»eniach o rozkªadzie danych (ci g niezale»nych pora»ek i nie-pora»ek). W ekonometrycznych analizach regresji b dziemy przyjmowali zaªo»enia na temat rozkªadu skªadnika losowego. Zwykle b dzie to rozkªad normalny, ale narz dzia ekonometrii bayesowskiej pozwalaj analizowa inne rozkªady. Przy wi kszej liczbie parametrów otrzymamy ª czny rozkªad a posteriori, z którego niewiele wywnioskujemy wprost (przy 3 lub wi cej parametrach trudno nawet o wizualizacj ). B d potrzebne rozkªady brzegowe poszczególnych parametrów (czyli rozkªad ª czny scaªkowany po pozostaªych parametrach). Nie znaj c parametrów rozkªadów a priori, cz sto opisujemy je... kolejnymi rozkªadami! Takie konstrukcje nazywami modelami hierarchicznymi. (1) Ekonometria Bayesowska 34 / 35
46 O ekonometrii bayesowskiej 3. Modele mog mie ró»ny poziom komplikacji Rozwa»yli±my prosty model statystyczny, wnioskuj c o jednym parametrze p przy pewnych zaªo»eniach o rozkªadzie danych (ci g niezale»nych pora»ek i nie-pora»ek). W ekonometrycznych analizach regresji b dziemy przyjmowali zaªo»enia na temat rozkªadu skªadnika losowego. Zwykle b dzie to rozkªad normalny, ale narz dzia ekonometrii bayesowskiej pozwalaj analizowa inne rozkªady. Przy wi kszej liczbie parametrów otrzymamy ª czny rozkªad a posteriori, z którego niewiele wywnioskujemy wprost (przy 3 lub wi cej parametrach trudno nawet o wizualizacj ). B d potrzebne rozkªady brzegowe poszczególnych parametrów (czyli rozkªad ª czny scaªkowany po pozostaªych parametrach). Nie znaj c parametrów rozkªadów a priori, cz sto opisujemy je... kolejnymi rozkªadami! Takie konstrukcje nazywami modelami hierarchicznymi. (1) Ekonometria Bayesowska 34 / 35
47 O ekonometrii bayesowskiej 3. Modele mog mie ró»ny poziom komplikacji Rozwa»yli±my prosty model statystyczny, wnioskuj c o jednym parametrze p przy pewnych zaªo»eniach o rozkªadzie danych (ci g niezale»nych pora»ek i nie-pora»ek). W ekonometrycznych analizach regresji b dziemy przyjmowali zaªo»enia na temat rozkªadu skªadnika losowego. Zwykle b dzie to rozkªad normalny, ale narz dzia ekonometrii bayesowskiej pozwalaj analizowa inne rozkªady. Przy wi kszej liczbie parametrów otrzymamy ª czny rozkªad a posteriori, z którego niewiele wywnioskujemy wprost (przy 3 lub wi cej parametrach trudno nawet o wizualizacj ). B d potrzebne rozkªady brzegowe poszczególnych parametrów (czyli rozkªad ª czny scaªkowany po pozostaªych parametrach). Nie znaj c parametrów rozkªadów a priori, cz sto opisujemy je... kolejnymi rozkªadami! Takie konstrukcje nazywami modelami hierarchicznymi. (1) Ekonometria Bayesowska 34 / 35
48 O ekonometrii bayesowskiej 4. Caªkowanie nie zawsze jest tak proste Korzystaj c ze wzoru Bayesa, przeprowadzili±my obliczenia, z których wynikaªo,»e rozkªad a posteriori dla p te» jest rozkªadem beta (podobnie jak a priori). W takiej sytuacji mówimy,»e rozkªad a priori jest sprz»ony (ang. conjugate prior) z rozkªadem danych (w tym przypadku dwumianowym). W ten sposób, wprost ze wzoru, odczytali±my parametry a posteriori ᾱ i β. To pozwoliªo natychmiast wyznaczy E (p). Wszystko udaªo si zrobi analitycznie. Zwykle nie idzie tak ªatwo... Cz sto nie jeste±my w stanie dostrzec konkretnej postaci funkcyjnej ani ªatwo jej caªkowa w celu wyznaczenia warto±ci oczekiwanej. Wówczas: przybli»amy g sto± (brzegow ) a posteriori za pomoc metod symulacyjnych numerycznych próbników, otrzymuj c histogram; numerycznie caªkujemy (poznamy odpowiednie metody), by otrzyma miar warto±ci oczekiwanej a posteriori. (1) Ekonometria Bayesowska 35 / 35
49 O ekonometrii bayesowskiej 4. Caªkowanie nie zawsze jest tak proste Korzystaj c ze wzoru Bayesa, przeprowadzili±my obliczenia, z których wynikaªo,»e rozkªad a posteriori dla p te» jest rozkªadem beta (podobnie jak a priori). W takiej sytuacji mówimy,»e rozkªad a priori jest sprz»ony (ang. conjugate prior) z rozkªadem danych (w tym przypadku dwumianowym). W ten sposób, wprost ze wzoru, odczytali±my parametry a posteriori ᾱ i β. To pozwoliªo natychmiast wyznaczy E (p). Wszystko udaªo si zrobi analitycznie. Zwykle nie idzie tak ªatwo... Cz sto nie jeste±my w stanie dostrzec konkretnej postaci funkcyjnej ani ªatwo jej caªkowa w celu wyznaczenia warto±ci oczekiwanej. Wówczas: przybli»amy g sto± (brzegow ) a posteriori za pomoc metod symulacyjnych numerycznych próbników, otrzymuj c histogram; numerycznie caªkujemy (poznamy odpowiednie metody), by otrzyma miar warto±ci oczekiwanej a posteriori. (1) Ekonometria Bayesowska 35 / 35
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 1: Twierdzenie Bayesa, rozkªad a priori i a posteriori Andrzej Torój 1 / 35 Plan wykªadu 1 Przykªad UEFA Euro 2016 2 3 4 2 / 35 Plan prezentacji Polska na Euro 2016 Ocena
Bardziej szczegółowoEkonometria bayesowska: szybki start
Ekonometria bayesowska: szybki start Wprowadzenie do reguª wnioskowania i oblicze«w R SKN Ekonometrii 12.12.2016 r. Andrzej Torój 1 / 23 Plan wykªadu 1 Podstawowe zasady wnioskowania bayesowskiego 2 3
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 4: Wprowadzenie do ekonometrii bayesowskiej (4) WdE II 1 / 41 Plan wykªadu 1 Podstawowe zasady wnioskowania bayesowskiego 2 Zastosowania ekonometrii bayesowskiej 3 Metody
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Bardziej szczegółowoIn»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 8: Restrykcje na parametry w postaci nierówno±ci: analiza bayesowska (8) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Restrykcje nierówno±ciowe: podej±cie klasyczne a bayesowskie
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoInformatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 5: Narz dzia wnioskowania w ekonometrii bayesowskiej (5) Ekonometria Bayesowska 1 / 8 Plan wykªadu 1 Przedziaªy ufno±ci HPDI Werykacja hipotez podej±cie bayesowskie 3 Werykacja
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoRozkªady i warto± oczekiwana
Rozkªady i warto± oczekiwana Piotr Wilkin Zmienne losowe i rozkªady. Wst p Zmienn losow nazywamy zmienn X przyjmuj c dowolne warto±ci z pewnego zbioru D, która speªnia wªasno± y D P (X = y) = (innymi sªowy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoWykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 4 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 4 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R Andrzej Torój 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 3 4 2 / 23 Plan prezentacji 1 Przykªad: model
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowoEkonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 10: Symulacje a posteriori w R (10) Ekonometria Bayesowska 1 / 23 Plan wykªadu 1 Przykªad: model ze skªadnikiem losowym o grubych ogonach 2 Wykorzystanie pakietu rjags 3 Diagnostyka
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 4: Model autoregresji przestrzennej. Dane GIS: punkty i siatki (4) Ekonometria Przestrzenna 1 / 24 Plan wykªadu 1 Model czystej autoregresji przestrzennej (pure SAR) Specykacja
Bardziej szczegółowoStatystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 4 Prognozowanie. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 4 Prognozowanie (4) Ekonometria 1 / 18 Plan wicze«1 Prognoza punktowa i przedziaªowa 2 Ocena prognozy ex post 3 Stabilno± i sezonowo± Sezonowo± zadanie (4) Ekonometria 2 / 18 Plan
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoMODELE LINIOWE i MIESZANE
MODELE LINIOWE i MIESZANE WYKŠAD 5 13 kwiecie«2018 1 / 48 Plan wykªadu 1. Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 2. Pakiet R 2 / 48 Metody Monte Carlo we wnioskowaniu statystycznym 3 / 48 Zaªó»my,»e
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoModele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
Bardziej szczegółowoMetody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 5 i 6 Modelowanie szeregów czasowych (5-6) Ekonometria 1 / 30 Plan prezentacji 1 Regresja pozorna 2 Testowanie stopnia zintegrowania szeregu 3 Kointegracja 4 Modele dynamiczne (5-6)
Bardziej szczegółowoPodstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 2 Zwi zki mi dzy klasami Asocjacja (ang. Associations) Uogólnienie, dziedziczenie (ang.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 3 29 pa¹dziernik 2015 1 / 39 Plan wykªadu 1. Test log-rank dla wi cej ni» dwóch grup 2. Test Mantela-Haenszela dla wi cej ni» dwóch grup 3. Wst p do
Bardziej szczegółowoKLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Bardziej szczegółowoStacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowo2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 7 Modele nieliniowe. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 7 Modele nieliniowe (7) Ekonometria 1 / 19 Plan wicze«1 Nieliniowo± : co to zmienia? 2 Funkcja produkcji Cobba-Douglasa 3 Nieliniowa MNK (7) Ekonometria 2 / 19 Plan prezentacji 1 Nieliniowo±
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowowiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoPrawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±
Bardziej szczegółowoRozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Bardziej szczegółowoElementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance)
Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 16 kwietnia 2016 Elementarna statystyka Test Istotno±ci (Tests of Signicance) 16 kwietnia 2016 1 /
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami
Bardziej szczegółowoE. Sadowska-Owczorz Statystyka i probabilistyka - zadania kwiecie«2018
1. Jest 50 pyta«egzaminacyjnych. Na ka»dej wylosowanej przez zdaj cego kartce napisane s trzy pytania. (a) Ile mo»e by ró»nych kartek? (b) Oblicz prawdopodobie«stwo,»e zdajacy odpowie co najmniej na jedno
Bardziej szczegółowoSTATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Bardziej szczegółowoMatematyka z elementami statystyki
Matematyka z elementami statystyki Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Korelacja Zale»no± funkcyjna wraz ze wzrostem jednej zmiennej nast puje ±ci±le okre±lona zmiana druiej zmiennej.
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 3 Racjonalne oczekiwania i krytyka Lucasa MZ 1 / 15 Plan wicze«1 Racjonalne oczekiwania 2 Krytyka Lucasa 3 Zadanie MZ 2 / 15 Plan prezentacji 1 Racjonalne oczekiwania
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 8: w modelach przestrzennych (8) Ekonometria Przestrzenna 1 / 23 Plan wykªadu 1 Modele proste Modele zªo»one 2 Wnioskowanie statystyczne dla mno»ników przestrzennych i ±rednich
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoMODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH Urszula Fory± Zakªad Biomatematyki i Teorii Gier, Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydziaª
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Bardziej szczegółowoWst p do ekonometrii II
Wst p do ekonometrii II Wykªad 1: Modele ADL. Analiza COMFAC. Uogólniona MNK (1) WdE II 1 / 36 Plan wykªadu 1 Restrykcje COMFAC w modelach ADL ADL(1,1) ADL(2,2) 2 Uogólniona MNK Idea UMNK Znajdowanie macierzy
Bardziej szczegółowoEkonometria Przestrzenna
Ekonometria Przestrzenna Wykªad 6: Zªo»one modele regresji przestrzennej (6) Ekonometria Przestrzenna 1 / 21 Plan wykªadu 1 Modele zªo»one 2 Model SARAR 3 Model SDM (Durbina) 4 Model SDEM 5 Zadania (6)
Bardziej szczegółowoWFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska
WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska Temat wiczenia: Wyznaczanie stosunku przekrojów czynnych na aktywacj neutronami termicznymi
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 1 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 1 1 / 28 Kontakt Dr Šukasz
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoczyli: Rynek nansowy znajduje si w równowadze popyt na pieni dz równy jest poda»y pieni dza (L = M).
akroekonomia I, wiczenia 8-9 Jan Hagemejer odel IS-L Wst p Do tej pory analiza polityki gospodarczej abstraowaªa od sfery monetarnej. Analizowali±my wyª cznie polityk skaln. Co wi cej, uznawali±my,»e wszystkie
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Bardziej szczegółowoWnioskowanie bayesowskie
Wnioskowanie bayesowskie W podejściu klasycznym wnioskowanie statystyczne oparte jest wyłącznie na podstawie pobranej próby losowej. Możemy np. estymować punktowo lub przedziałowo nieznane parametry rozkładów,
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowoCaªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych
Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja
Bardziej szczegółowoProgramowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach. a) (6 pkt.) oblicz intensywno± pªaconych skªadek;
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2019r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Dwa niezale»ne portfele S 1, S 2 maj zªo»one rozkªady Poissona. S 1 CP oisson(2, F ), S 2 CP oisson(2, G), gdzie
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 14 18 stycznia 2010 Model statystyczny ROZKŁAD DWUMIANOWY ( ) {0, 1,, n}, {P θ, θ (0, 1)}, n ustalone P θ {K = k} = ( ) n θ k (1 θ) n k, k k = 0, 1,, n Geneza: Rozkład Bernoulliego
Bardziej szczegółowo