Hamiltonowski opis kwarków efektywnych w QCD

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Hamiltonowski opis kwarków efektywnych w QCD"

Transkrypt

1 Hamiltonowski opis kwarków efektywnych w QCD Jakub Nar ebski praca magisterska napisana pod kierunkiem dra hab. Stanis lawa G lazka w Instytucie Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa, 2000

2 Streszczenie Wyrażamy w drugim rzedzie rachunku zaburzeń hamiltonian QCD w bazie czastek efektywnych, używajac grupy renormalizacji przez podobieństwo dla operatorów. Uzyskane czastki efektywne pozwalaja opisywać hadrony jako stany zwiazane kilku kwarków. Obliczamy efektywne masy kwarków i oddzia lywania miedzy nimi w przybliżeniu nierelatywistycznym (dla cieżkich kwarków). Wykorzystujac mechanizm redukcji przestrzeni Focka do sektora kwark antykwark zaproponowany w pierwotnej wersji przez przez Perry ego otrzymujemy logarytmiczny potencja l uwiezienia. Ważna role pe lni skracanie sie rozbieżności w obszarze ma lych pedów pomiedzy efektywnymi masami fermionów i potencja lem, zapewniajace ograniczenie przestrzeni stanów fizycznych do stanów bed acych singletami kolorowymi. Otrzymujemy kolorowe si ly van der Waalsa, których ilościowe porównanie z danymi doświadczalnymi wymaga rozwiazania dynamiki efektywnej, co wychodzi poza zakres tej pracy.

3 Spis treści 1 Wst ep 3 2 Metoda obliczeń Hamiltonian kanoniczny QCD Regularyzacja Kontrcz lony Renormalizacja w podejściu Wilsona Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa Zastosowanie Efektywny wyraz masowy dla fermionu Efektywne oddzia lywanie fermion antyfermion Potencja ly efektywne w przybliżeniu nierelatywistycznym Problem uwiezienia Fenomenologiczny model potencjalny i si ly van der Waalsa Fenomenologiczny model potencjalny Kolorowe si ly van der Waalsa Podsumowanie 40 A Dodatki 42 A.1 Konwencje frontu świetlnego A.2 Rozwiazania swobodnego równania Diraca na froncie świetlnym 42 A.3 W lasności macierzy Diraca

4 1. Wst ep 3 1 Wst ep Praca ta dotyczy metody opisu hadronów za pomoca kilku efektywnych kwarków. Transformacje do kwarków efektywnych oraz oddzia lywania mie- dzy nimi wyliczamy renormalizujac hamiltonian QCD za pomoca transformacji podobieństwa. Wyniki porównujemy z w laściwościami fenomenologicznego modelu potencjalnego. Fundamentalna teoria oddzia lywań silnych jest chromodynamika kwantowa (QCD), kwantowa teoria pola z nieabelowa grupa cechowania. Z niezmienniczości wzgledem cechowania wynika, że gluony sa w niej bezmasowe. Ponieważ efektywna sta la sprzeżenia maleje wraz ze wzrostem przekazu pedu, za pomoca rachunku zaburzeń potrafimy opisywać procesy charakteryzuja- ce sie dużymi przekazami pedu. Podstawa opisu hadronów w perturbacyjnej QCD jest model partonowy, w którym hadrony opisuje sie za pomoca wielkiej ilości kwarków i gluonów. Wzrost sta lej sprzeżenia dla dużych odleg lości (rozmiary hadronu sa duże) powoduje produkcje par kwark antykwark oraz miekkich gluonów, co wyklucza opis hadronów za pomoca niewielkiej ilości sk ladników w ramach kanonicznej QCD. Struktura próżni jest skomplikowana. Hadrony w QCD opisujemy jako skomplikowana strukture sk ladajac a sie z wielu czastek. W modelu kwarkowym hadrony opisywane sa jako stany zwiazane kilku kwarków sk ladnikowych. Powsta l on w celu wyjaśnienia systematyki hadronów, zanim powsta la QCD, i pos luguje sie minimalna ilościa czastek potrzebnych by opisać niskoenergetyczne w lasności hadronów. Kwarki w tym modelu maja duże masy, rzedu po lowy masy mezonów. Oddzia lywania mie- dzy kwarkami opisujemy za pomoca danego ad hoc potencja lu, dobranego by dać uwiezienie. Strukture kolorowa potencja lu wybieramy zgodna ze struktura kolorowa wymiany pojedynczego gluonu. Gluonów w tym modelu nie ma. Przy ich uwzglednianiu potrzeba nadać im wysokie masy efektywne. Model ten opisuje bardzo dobrze zachowanie hadronów przy niskich energiach. Trudno jednak wprowadzać do niego poprawki kwantowe, gdyż brakuje mu po- l aczenia z teoria fundamentalna. Nie możemy stosować perturbacyjnej QCD do opisu stanów zwiazanych, gdyż przy ma lych energiach efektywna sta la sprzeżenia staje sie bardzo duża. Mówimy, że próżnia w tym modelu jest trywialna, gdyż nie ma potrzeby uwzgledniania efektów próżniowych. Model kwarków konstytuentnych podpowiada nam, że opis za pomoca kilku czastek jest w stanie dobrze opisywać w laściwości hadronów. W QCD hadrony opisujemy jako stany zwiazane wielu czastek. Musimy uwzglednić w opisie wszystkie sektory Focka. Ponadto mamy skomplikowana próżnie. Trudno jest w takim opisie wyznaczać w lasności hadronów. Powstaje pytanie, jak to możliwe, że QCD redukuje sie do modelu niewielu oddzia lujacych

5 1. Wst ep 4 czastek efektywnych. Do wyprowadzenia czastek efektywnych i oddzia lywań miedzy nimi w QCD bedziemy używać grupy renormalizacji w nowym uje- ciu [1]. Aby dostać prosty opis struktury hadronów, podobny do tego w modelu kwarków konstytuentnych, musimy odciać sie od problemu próżni, by mieć prosty stan podstawowy teorii. W tym celu stosujemy kwantyzacje na froncie świetlnym. Dzieki temu, że pod lużna sk ladowa pedu jest nieujemna, zaś próżnia musi mieć ped ca lkowity równy zeru, proste obciecie k + > δ + wycina diagramy próżniowe, czyniac próżnie trywialna. Zależność teorii od parametru δ obciecia pedów pod lużnych może prowadzić do efektów, które w normalnym sformu lowaniu wiaże sie z w lasnościami próżni. Za zastosowaniem dynamiki na froncie świetlnym przemawia ponadto fakt, że pchniecia Lorentza w tym sformu lowaniu sa transformacjami kinematycznymi, tzn. nie zależa od oddzia lywania. Dla modelu partonowego naturalnym uk ladem odniesienia jest uk lad nieskończonego pedu, który stosujemy w rachunkach QCD. Z kolei statyczne w lasności hadronów zazwyczaj rozważamy w uk ladzie ich środka masy. Uk lad środka masy jest naturalnym uk ladem dla modelu kwarkowego. Niezmienniczość frontu świetlnego wzgledem pchnieć pozwala po l aczyć opis w uk ladzie środka masy z opisem w uk ladzie nieskończonego pedu. Naturalnym sposobem opisu stanów zwiazanych jest ujecie hamiltonowskie. Chcemy opisać hadrony przy pomocy niewielkiej ilości czastek. Równanie w lasne daje stany zawierajace nieskończona liczbe sektorów Focka, o dowolnych energiach kinetycznych. Rozwiazywanie zagadnienia w lasnego gdy hamiltonian l aczy wiele stanów o dowolnych różnicach energii jest trudne. Żadamy wiec by hamiltonian wyrażony w bazie czastek efektywnych mia l skończona skale energii. Macierz hamiltonianu w tej bazie powinna być wiec przydiagonalna. Ponieważ zmiana bazy jest transformacja unitarna, wiec hamiltonian kanoniczny i hamiltonian efektywny powiazane sa ze soba transformacja podobieństwa. Wskutek eliminacji oddzia lywań miedzy stanami o dużo różniacych sie energiach kinetycznych, w hamiltonianie pojawiaja sie nowe cz lony oddzia- lywania typu oddzia lywania potencjalnego. Jeśli szerokość macierzy hamiltonianu w bazie czastek efektywnych jest dostatecznie ma la, a czastki przenoszace oddzia lywanie sa masywne, to oddzia lywanie odbywa sie g lównie za pomoca tych w laśnie potencja lów. W rozdziale pierwszym przedstawiamy metode wyprowadzenia efektywnych czastek i efektywnego hamiltonianu z hamiltonianu QCD. Aby dostać skończone wyniki regularyzujemy hamiltonian i znajdujemy kontrcz lony. Hamiltonian efektywny wyprowadzamy przez odca lkowanie równań różniczko-

6 2. Metoda obliczeń 5 wych dla grupy renormalizacji przez podobieństwo. W rozdziale drugim stosujemy metode z rozdzia lu pierwszego do wyliczenia efektywnych oddzia lywań miedzy efektywnymi kwarkami w mezonie. Dostajemy potencja l sk ladajacy sie z cześci coulombowskiej oraz potencja- lu wiaż acego. Potencja l wiaż acy obliczony do drugiego rzedu nie ma symetrii obrotowej, zaś dla dużych odleg lości zachowuje sie jak potencja l logarytmiczny. Ważna role odgrywa upraszczanie sie rozbieżności podczerwonych miedzy efektywnym wyrazem masowym dla fermionu, a potencja lem wiaż acym. Nastepnie, w rozdziale trzecim analizujemy efektywne potencja ly wewnatrz mezonów oraz oddzia lywania van der Waalsa miedzy dwoma mezonami. Podsumowania wyników dokonujemy w rozdziale czwartym. 2 Metoda obliczeń 2.1 Hamiltonian kanoniczny QCD Oprócz standardowej, równoczasowej formy dynamiki, gdzie ewoluujemy stany od jednej podprzestrzeni ustalonego czasu do drugiej, można stosować dynamike na froncie świetlnym. Potrzebe jej stosowania wyjaśniliśmy we wstepie. W dynamice na froncie świetlnym role podprzestrzeni ustalonego czasu przejmuje powierzchnia styczna do stożka świetlnego, a role czasu pe lni x + = x 0 +x 3. Ta forma dynamiki zosta la wprowadzona przez Diraca [2], omówienie jej znajdziemy także w przegladowej pracy [3]. Z lagranżjanu QCD L QCD = 1 4 Ga µνg a µν + ψ(i /D m)ψ (2.1) możemy wyprowadzić kanoniczny hamiltonian QCD w tym sformu lowaniu dynamiki. Używamy cechowania na froncie świetlnym, t.j. A + 1A 2 = 0, gdzie A ± = A 0 ± A 3 (z czego wynika, że A + = 0). Równanie Diraca na froncie świetlnym (patrz dodatek A.2) w tym cechowaniu pozwala wyrazić dynamicznie zależne stopnie swobody przez niezależne zmienne, i wyeliminować je z hamiltonianu. Eliminacja zależnych stopni swobody prowadzi do cz lonów typu oddzia lywania natychmiastowego. Zależne stopnie swobody dla gluonów wyrażamy przez niezależne za pomoca kolorowego analogu prawa Gaussa. Hamiltonian QCD na froncie świetlnym ma zatem postać H = H 0 + V 1 + V 2 + V 3 + V 4, (2.2) gdzie H 0 oznacza cześć swobodna hamiltonianu, V 1 oddzia lywanie trójczast- kowe, V 2 wierzcho lek czterogluonowy (teoria nieabelowa), V 3 cz lon z wymiana

7 2.1. Hamiltonian kanoniczny QCD 6 natychmiastowego gluonu (eliminacja zależnych stopni swobody za pomoca równania Gaussa), zaś V 4 to cz lon powsta ly z wyeliminowania zależnych stopni swobody fermionów. Zgodnie z [3] można te cz lony zapisać jako: H 0 = 1 d 3 x ( + ψγ m2 + (i ) 2 ψ + à aµ (i ) 2 ) 2 i + i + Ãa µ, (2.3a) V 1 = g d 3 x J a µ Ãa µ, (2.3b) V 2 = g2 d 3 µν x B a B µν a 4, (2.3c) V 3 = g2 d 3 x 2 J a + 1 (i + ) J + 2 a, (2.3d) V 4 = g2 d 3 x ψγ µ T a à a γ + µ 2 i + (γν T b à b ψ), ν (2.3e) gdzie prad J jest zdefiniowany jako J ν a = j ν a + χ ν a, j ν a = ψγ ν T a ψ, (2.4a) (2.4b) zaś B µν oraz χ ν dane sa wzorami B a µν = f abc A µ b Aν c, (2.5a) χ ν a = f abc ν A ν b Ac ν. (2.5b) Dostaliśmy hamiltonian wyrażony za pomoca operatorów pola. Rozpisujemy je zgodnie ze wzorami ψ αcf (x) = [ p ] ( b(p)uα (p, λ) e ipx + d (p)v α (p, λ) e +ipx), (2.6a) λ à a µ (x) = [ p ] ( ã(p)t a ɛ µ (p, λ) e ipx + ã (p)t a ɛ µ (p, λ) e+ipx). (2.6b) λ Korzystajac z kanonicznych regu l komutacyjnych wyrażamy hamiltonian za pomoca odpowiednich operatorów kreacji i anihilacji. Ma on bardzo skomplikowana strukture. Bedziemy wypisywać tylko te cz lony w hamiltonianie, które bed a nam potrzebne. Pe lna liste wyrazów można znaleźć m.in. w [3].

8 2.2. Regularyzacja Regularyzacja Hamiltonian kanoniczny jest operatorem źle zdefiniowanym. Dzia lajac na stany z przestrzeni Hilberta, hamiltonian wyprowadza je z tej przestrzeni. Objawia sie to miedzy innymi przy obliczaniu operatora ewolucji. Napotykamy na problem już przy wyliczaniu przy H 2, które okazuje sie nieskończone. Zatem exp( ihx + /2) rozbiega. Przy obliczaniu wielkości fizycznych, np. przy rozwiazywaniu zagadnienia w lasnego pojawiaja sie nieskończoności wynikajace z tego, że stany pośrednie moga mieć dowolnie wysoka energie. Nieskończoności pojawiaja sie także przy wyliczaniu efektywnego hamiltonianu. Problem jest jeszcze poważniejszy niż nieskończony zakres energii oddzia- lywań: w go lej, kanonicznej QCD oddzia lywanie rośnie, gdy rośnie różnica energii miedzy oddzia lujacymi czastkami. Potrzebne jest zatem wprowadzenie czynników regularyzujacych. Aby ograniczyć oddzia lywania, żadamy by przekazy pedów w wierzcho lkach by ly ograniczone. Robimy to wprowadzajac wierzcho lkowe czynniki regularyzuja- ce zwiazane z operatorami kreacji i anihilacji. Dla każdego operatora kreacji i anihilacji wprowadzamy czynnik ograniczajacy ped poprzeczny albo (co wygodniejsze w obliczeniach) energie czastki w danym wierzcho lku zwiazanej z tym operatorem. Zamiast czastek swobodnych pos lugujemy sie zatem czast- kami obcietymi, które nie oddzia luja, gdy energia stanu bioracego udzia l w oddzia lywaniu jest dużo wieksza od arbitralnie ustalonej skali. Regulator powinniśmy wybrać tak, by dawa l ograniczenie wy l acznie na pedy wzgledne. Dzieki temu nie naruszamy niezmienniczości dynamiki na froncie świetlnym wzgledem pchnieć. Do celów regularyzacji nadfioletowej użyjemy funkcji wyk ladniczej t lumiacej oddzia lywania dla wysokich energii. Z każdym operatorem kreacji i anihilacji czastki wchodzacej do oddzia lywania zwiazujemy energie określona wzorem e i = κ2 i x i, (2.7) gdzie κ i oraz x oznaczaja odpowiednie pedy wzgledne dla danego wierzcho lka oddzia lywania. Wprowadzajac czynnik regularyzujacy postaci exp( e i / 2 ) dostajemy dla wierzcho lka, w którym czastki 1 i 2 zamieniaja sie z czastk a 3 (lub odwrotnie), czynniki postaci: ( ) ( ) r (12, 3) = exp κ2 1 exp κ2 2 x 1 x 2 ( ) ( ) (2.8) = exp κ = exp M2 12 x(1 x) 2 2

9 2.3. Kontrcz lony 8 Wprowadziliśmy tutaj oznaczenie na mase niezmiennicza M 2 12 = (p 1 + p 2 ) 2, gdzie p i = p i p + i 2 (2.9) Ponieważ QCD jest teoria z cechowaniem, zawierajac a czastki bezmasowe, wiec pojawiaja sie rozbieżności dla ma lych pedów pod lużnych. Odwrotności k + pojawiaja sie w wektorach polaryzacji gluonów oraz w cz lonach oddzia lywania natychmiastowego, powsta lych z wyeliminowania niefizycznych stopni swobody. Potrzebny jest zatem dodatkowy czynnik regularyzujacy. Dla każdej czastki wchodzacej do oddzia lywania wprowadzamy ( ) ( regulator ) x1 x2 obcinajacy pedy pod lużne, na przyk lad w postaci Θ δ Θ δ x 3 x 3 oznaczaja odpowied- dla wierzcho lka typu 12 3, gdzie x 1 = p+ 1 x 3 p +, x 2 = p+ 2 3 x 3 p + 3 nie u lamki (frakcje) pedu pod lużnego (+) czastki Kontrcz lony Dzieki wprowadzeniu regularyzacji otrzymujemy skończone wyniki. Jednak aby zregularyzowany hamiltonian opisywa l ta sama teorie co hamiltonian wyjściowy nie wystarczy samo wprowadzenie obcieć. W wyniku eliminacji stanów o energii wiekszej niż w hamiltonianie zregularyzowanym pojawiaja sie kontrcz lony: H eff = H +X. Wyznaczamy je przez żadanie, by wyniki fizyczne, np. elementy macierzowe hamiltonianu nie zależa ly od regularyzacji. 2.4 Renormalizacja w podejściu Wilsona [4] Zależność hamiltonianu od obciecia (regularyzacji) możemy przeanalizować badajac co sie dzieje przy zmianie parametru obciecia. Aby móc rozwiazać problem stanu zwiazanego musimy sprowadzić zagadnienie do zagadnienia niskich energii i niewielu czastek. W tym celu musimy umieć wyrażać wyjściowe zagadnienie w ten sposób, by energie cza- stek/oddzia lywań by ly ograniczone. Idea renormalizacji Wilsona polega na obniżaniu obciecia od skali do pewnej skończonej skali λ. Podejście to wiaże sie z eliminacja stopni swobody. W procesie renormalizacji do hamiltonianu wprowadzane sa efektywne oddzia lywania kompensujace zmiane skali w ten sposób, że najniższe wartości w lasne hamiltonianu efektywnego (obcietego) sa takie same jak hamiltonianu pe lnego. Transformacje przeprowadzajac a hamiltonian do hamiltonianu efektywnego znajdujemy w rachunku zaburzeń. W pobliżu granicy energii

10 2.5. Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy 9 λ 0 0 R S λ 0 λ Rysunek 1: Porównanie renormalizacji Wilsona i renormalizacji przez podobieństwo pojawia sie problem ma lych mianowników energetycznych. Ponadto w kwantowej teorii pola mamy wysoka degeneracje stanów, wiec potrzebowalibyśmy rachunku zaburzeń dla stanów zdegenerowanych, co wymaga rozwiazania zagadnienia z uwzglednieniem stanów wysokoenergetycznych. Metoda ta ma zatem ograniczone zastosowania w kwantowej teorii pola. 2.5 Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy [5] Musimy zatem zastosować inne podejście. Zamiast eliminować stany o energiach wiekszych niż parametr λ, możemy zażadać, by znika ly elementy macierzowe hamiltonianu miedzy stanami różniacymi sie bardziej niż λ energia kinetyczna. Dostajemy macierz hamiltonianu, która ma znikajace wyrazy poza elementami przydiagonalnymi. Postać ta ma te zalete, że jest niewrażliwa na obciecie w rachunku zaburzeń dla wartości w lasnych lub amplitud przejścia aż do rzedu n /(2λ), ponieważ osiagni ecie skali wymaga wielu oddzia lywań. Przy obliczaniu hamiltonianu efektywnego o szerokości λ nie eliminujemy żadnych stopni swobody. Dobierajac odpowiednio czynnik podobieństwa możemy spowodować, że nie bedziemy mieli problemów z ma lymi mianownikami energetycznymi. W renormalizacji tej wyrażamy ten sam hamiltonian za po-

11 2.6. Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek 10 moca innych stopni swobody. Hamiltonian waski i hamiltonian wyjściowy sa wiec powiazane ze soba transformacja podobieństwa. Kontrcz lony w tym podejściu wyznaczamy, żadaj ac, by elementy macierzowe hamiltonianu efektywnego H λ by ly niezależne od obciecia. Ponieważ transformacje podobieństwa wyliczamy zazwyczaj w rachunku zaburzeń, nie możemy uczynić szerokości hamiltonianu λ dowolnie ma l a. Przestrzeń stanów swobodnych i stanów bed acych ścis lym rozwiazaniem zagadnienia w lasnego sa powiazane zależnościa nieperturbacyjna. Wiemy też, że efektywna sta la sprzeżenia g λ rośnie w QCD, gdy λ 0 i rachunek zaburzeń stosować można tylko dla λ wiekszych niż pewna skala nieperturbacyjna. 2.6 Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek [1] Metoda renormalizacji za pomoca transformacji podobieństwa, ponieważ podlega na wyrażaniu tego samego hamiltonianu w innej bazie stanów, pozwala nam zatem zdefiniować czastki efektywne o skończonej szerokości, które moga wymieniać ped tylko ograniczony przez λ. Szerokość hamiltonianu w ujeciu macierzowym przechodzi w odpowiedni czynnik wierzcho lkowy w hamiltonianie oddzia lywania czastek efektywnych. Żadamy, aby oddzia lywania miedzy czastkami efektywnymi z wiekszym przekazem energii kinetycznej niż λ by ly zaniedbywalne. Dla każdego wierzcho lka oddzia lywania wprowadzamy czynnik, który nam to zapewnia. Przy obliczaniu transformacji podobieństwa za pomoca równania różniczkowego grupy renormalizacji czynnik podobieństwa powinien być funkcja g ladka. Powinien on także zachowywać symetrie frontu świetlnego, wiec należy wyrazić go za pomoca niezmienników lorentzowskich. Aby w rachunku zaburzeń nie pojawia ly sie ma le mianowniki energetyczne zarówno 1 f λ, jak i df λ /dλ powinny zanikać szybciej niż liniowo w różnicy energii. W naszej pracy przyjmiemy czynnik podobieństwa dany przez czynnik wyk ladniczy zanikajacy jak kwadrat różnicy mas inwariantnych czastek przed i po oddzia lywaniu [7]: f λ (u, v) = exp [ (M2 uv ] M2 vu )2, (2.10) λ 4 gdzie M 2 uv oznacza mase niezmiennicz a uk ladu czastek u bioracych udzia l w oddzia lywaniu z uk ladem czastek v: [ ] 2 M 2 uv = k i. (2.11) i u(v) Dla skrócenia zapisu b edziemy pisali uv = M 2 uv M2 vu, oraz wprowadzimy f uv jako oznaczanie na f λ (u, v)

12 2.6. Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek 11 W renormalizacji za pomoca transformacji podobieństwa zak ladamy, że czastki efektywne maja te same liczby kwantowe co czastki go le (wystepu- jace w hamiltonianie wyjściowym). Za lożenie to oparte jest na tym, że kwarki w lagranżjanie QCD i kwarki w modelu kwarków sk ladnikowych sa opisane przez te same liczby kwantowe. Transformacja podobieństwa zmienia operatory kreacji i anihilacji go lych czastek w operatory kreacji i anihilacji czastek efektywnych odpowiadajacych szerokości λ (t.j. oddzia lujacych ze soba tylko dla różnic energii mniejszych od λ). Mamy q λ = U λ q U λ, (2.12) gdzie q oznacza odpowiedni operator kreacji lub anihilacji. Transformacja U λ, jako operacja zmiany bazy, jest unitarna z konstrukcji. Przepisanie hamiltonianu za pomoca innych stopni swobody nie zmienia go, zatem hamiltoniany wyjściowy (wyrażony za pomoca czastek go lych), i hamiltonian waski (wyrażony za pomoca czastek efektywnych) sa sobie równe jako operatory: H λ (q λ ) = H (q ). Zak ladajac, ze hamiltonian zawiera tylko skończone iloczyny operatorów kreacji i anihilacji, możemy wprowadzić operator H λ H λ (q λ ) = U λ H (q )U λ, który ma takie same wspó lczynniki przed iloczynami q, jak H λ przed iloczynami q λ. Różniczkujac wyrażenie na H λ dostajemy d dλ H λ = [ ] T λ, H λ, T λ = U d λ dλ U λ. (2.13a) (2.13b) Hamiltonian efektywny dany jest przez cześć diagonalna pewnego operatora G λ tzn. H λ = F λ [G λ ]. Operator F λ odpowiedzialny jest za to, by hamiltonian H λ by l waski. Wprowadza on odpowiedni czynnik podobieństwa do operatora G λ. Jego dzia lanie dane jest wzorem F λ [G λ ] uv = f uv g uv, gdzie f uv jest dane wzorem (2.10). Wprowadzamy oznaczenie G λ = U λ G λu λ, i analogiczne dla innych operatorów. Równanie na operator T λ, generujacy transformacje podobieństwa, zapisuje sie nastepuj aco: [ Tλ, H 0λ ] = d dλ (1 F λ)[g λ ] (2.14) Struktura komutatorowa zapewnia, że hamiltonian efektywny zawiera tylko oddzia lywania po l aczone, spe lniajac warunek rozk ladu gronowego [1].

13 2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa 12 Dzielimy operator G λ na dwie cześci: cześć swobodna i cześć oddzia lywania. G λ = G 0 + G Iλ. G Iλ spe lnia nastepuj ace równanie różniczkowe [ { d d dλ G [ ] } ] Iλ = fg Iλ, (1 f)giλ (2.15) dλ G0 gdzie wprowadziliśmy oznaczenie A = {B} C [A, C] = B (2.16) Hamiltonian efektywny liczymy w rachunku zaburzeń. Zapisujemy G Iλ jako G I = τ n (2.17) n=1 gdzie τ n oznacza wszystkie operatory rzedu n w wybranej sta lej sprzeżenia, w G I. Z równania (2.15) dostajemy wyrażenie na G Iλ rzad po rzedzie w rachunku zaburzeń: τ 1 = 0, τ 2 = [ {f τ 1 }, fτ 1 ],... (2.18a) (2.18b) n 1 [ τ n = τk, {(1 f)τ n k } ]. (2.18c) k=1 Pierwsze równanie (2.18a) oznacza, że τ 1 jest niezależne od λ, zatem τ λ1 = τ 1. Zatem wyrazy pierwszego rzedu w hamiltonianie efektywnym dostajemy mnożac odpowiednie wyrazy w hamiltonianie wyjściowym przez czynnik podobieństwa i zastepuj ac operatory kreacji i anihilacji czastek go- lych przez efektywne. 2.7 Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa Ponieważ interesować nas bed a g lównie oddzia lywania w sektorze kwark antykwark, które sa dosyć z lożone, wprowadzamy wiec pewien sposób oznaczania cz lonów w hamiltonianie. W wyniku stosowania procedury renormalizacji, w hamiltonianie powstaja nowe cz lony w stosunku do hamiltonianu wyjściowego. Dla uproszczenia bedziemy oznaczać je w sposób dobrze zilustrowany przyk ladem: f (2) 121,301 bedzie oznaczać cz lon 2 go rzedu w sta lej sprzeżenia, z 1 operatorem kreacji fermionu, 2 operatorami kreacji antyfermionu, 1 operatorem kreacji gluonu. Liczby na prawo od przecinka oznaczaja

14 2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa 13 liczbe operatorów anihilacji, w tym samym porzadku, tzn. 3 anihilatory fermionowe, 0 antyfermionowych i 1 bozonu cechowania. Rozważany przez nas hamiltonian QCD ma skomplikowana strukture. Podzielmy go na cześci dzia lajace w określonych sektorach Focka H = H 0 + H qgg + H qqqq +..., gdzie (pamietaj ac o cz lonach oddzia lywania natychmiastowego powsta lych z eliminacji zależnych stopni swobody) H 0 = H 100,100 + H 010,010 + H 001,001 H qgg = H 101,100 + H 100, H 011,010 + H 010, H 001,110 + H 110,001 H qqqq = H 200,200 + H 020,020 + H 110,110 Podobny podzia l (ze wzgledu na liczbe operatorów kreacji i anihilacji) możemy wprowadzić w operatorach τ i. Należy pamietać o tym, że obliczenie τ 2 bedzie wymaga lo obliczenia kontrcz lonów. Interesujace nas czynniki w τ 1 i τ 2 maja strukture τ 1 = α 101,100 + α 100,101 + α 011,010 + α 010, τ 2 = β 200,200 + β 020,020 + β 110,110 + β 100,100 + β 010, (2.19a) (2.19b) gdzie przez α oznaczyliśmy cz lony pierwszego rzedu stojace przy odpowiednich operatorach, zaś przez β odpowiednie cz lony drugiego rzedu. Równania (2.18) i struktura hamiltonianu QCD implikuja, że β 200,200 = f 2 [α 100,101 α 101,100 ] 200,200 β 020,020 = f 2 [α 010,011 α 011,010 ] 020,020 β 110,110 = f 2 [α 110,001 α 001,110 + (2.20a) (2.20b) + α 100,101 α 011,010 + (2.20c) + α 010,011 α 101,100 ] 110,110 β 100,100 = f 2[α 100,101 α 101,100 ] 100,100 β 010,010 = f 2[α 010,011 α 011,010 ] 010,010 (2.20d) (2.20e) Nawiasy kwadratowe oznaczaja zastapienie odpowiednich iloczynów a i a j przez komutatory [a i, a j ]. Indeks dolny przy zamykaj acym nawiasie kwadratowym oznacza, że bierzemy tylko cz lony odpowiedniej postaci, t.j. o określonej ilości operatorów danego rodzaju. Czynnik f 2, pojawiajacy sie pod ca lka

15 2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa 14 po p edach, pochodzi od funkcji podobieństwa i wynosi f 2 = {f }f f{f }, ( f f 2 uv = uπ f πv + f uπ f πv E π E u E π E v ). (2.21) gdzie π oznacza stan pośredni, zaś f pochodna po parametrze λ. Czynnik f 2 jest jedynym czynnikiem zależnym od λ po prawej stronie równań (2.20). Możemy zatem w prosty sposób odca lkować te równania po parametrze λ. Uwzgledniaj ac wszystkie czynniki rzedu g oraz rzedu g 2 o odpowiedniej strukturze w wyjściowym hamiltonianie (w l aczaj ac w to cz lony natychmiastowe) dostajemy nastepuj ace rozwiazania: β λ200,200 = F λ2 [α 100,101 α 101,100 ] 200,200 + β 200,200 β λ020,020 = F λ2 [α 010,011 α 011,010 ] 020,020 + β 020,020 β λ110,110 = F λ2 [α 110,001 α 001,110 + (2.22a) (2.22b) + α 100,101 α 011,010 + (2.22c) + α 010,011 α 101,100 ] 110,110 + β 110,110 β λ100,100 = F λ2 [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 + β 100,100 + x 100,100 β λ010,010 = F λ2 [α 010,011 α 011,010 ] 010,010 + β 010,010 + x 100,100 (2.22d) (2.22e) gdzie przez x 100,100 oznaczyliśmy odpowiednie kontrcz lony. Potrzebujemy zatem wyliczyć ile wynosi czynnik F 2λ = λ f 2, który nazywamy wewnetrznym czynnikiem podobieństwa. Zgodnie ze wzorem (2.21) na f 2, oraz definicja funkcji podobieństwa (2.10), czynnik F 2λ dany jest przez nastepuj ace wyrażenie [7]. F 2λ (a, b, c) = P + ba ba + P + bc bc (ba) 2 + (bc) 2 (f λ(a, b)f λ (b, c) 1), (2.23) gdzie argumenty a, b, c oznaczaja kolejne konfiguracje pedu pojawiajace sie w nawiasach w wyrażeniu (2.20). Konfiguracja b odpowiada konfiguracji pośredniej. Wprowadziliśmy oznaczenie P uv + na ped rodzica dla ca lej po l aczonej sekwencji oddzia lywań miedzy uk ladami u i v (sume pedów wszystkich czastek bioracych udzia l w oddzia lywaniu podzielona przez 2). Symbole ba oznaczaja odpowiednie różnice mas inwariantnych, jak w oznaczeniach we wzorze (2.10) na f ba.

16 3. Zastosowanie 15 3 Zastosowanie: opis ci eżkich mezonów przy pomocy kwarków efektywnych Zastosujmy teraz powyższa metode do hamiltonianu QCD, podanego w rozdziale 2.1. Interesować nas bed a oddzia lywania wewnatrz mezonu oraz miedzy dwoma mezonami. Potrzebna nam wiec bedzie postać oddzia lywania w sektorze dwuczastkowym (kwark antykwark), a dla wyliczania oddzia- lywań van der Waalsa w sektorze dwumezonowym. Możemy zatem pominać wszelkie cz lony z gluonami w stanie końcowym lub poczatkowym, tzn. wszystkie wyrażenia z operatorami kreacji badź anihilacji gluonu. 3.1 Efektywny wyraz masowy dla fermionu Jednym z ważnych wyrazów w hamiltonianie, istotnym dla struktury mezonów, jest wyraz masowy dla kwarków. Obok cz lonu pochodzacego z hamiltonianu swobodnego, pojawia sie cz lon uwzgledniaj acy efekty wyeliminowania oddzia lywań miedzy czastkami o różnicy energii wiekszej niż λ. Przy renormalizacji wyrazu masowego pojawia sie potrzeba uwzglednienia kontrcz lonu, gdyż te efekty sa czu le na regularyzacje wyjściowego hamiltonianu. k 2 ; 1 x p 2 p 1 k 1 ; x Rysunek 2: Kinematyka dla poprawki do masy fermionu Oznaczmy przez k 1 odpowiedni p ed fermionu, zaś przez k 2 p ed gluonu. Z zasady zachowania p edu dostajemy, że p 1 + p 2 = k 1 + k 2 := P dla sk ladowych + i Możemy zatem pedy k 1 i k 2 rozpisać za pomoca pedów wzglednych (pedów

17 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 16 Jacobiego na froncie świetlnym): k + 1 = xp +, (3.1a) k 1 = κ + xp ; (3.1b) k + 2 = (1 x)p +, (3.1c) k 1 = κ + (1 x)p, (3.1d) Niezmienniczość wzgledem pchnieć Lorentza pozwala nam po lożyć w tych wzorach P = 0, nie zmniejszajac ogólności rozumowania. Zewnetrzny czynnik podobieństwa f ac dla wyrazu masowego w efektywnym hamiltonianie jest tożsamościowo równy 1 z powodu zachowania pedu. Pozostaje wiec obliczyć wewnetrzny czynnik podobieństwa. a b c Rysunek 3: Energia w lasna fermionu Dzieki temu, że konfiguracje poczatkowa i końcowa sa identyczne, możemy w prosty sposób znaleźć wewnetrzny czynnik podobieństwa dla cz lonu masowego. Nie potrzebujemy korzystać z ogólnego wzoru na F λ. Ze wzoru na transformacje podobieństwa [ { d d dλ G Iλ = fg Iλ, (1 f)giλ dλ[ ]} ] (3.2) G 0 dostajemy nastepuj acy wzór na wyrazy drugiego rzedu w G I : τ 2 = [ ] {f τ 1 }, fτ 1 (3.3) (gdzie τ 2 jest wyrazem drugiego rzedu w G I, zgodnie ze wzorem (2.17)). Dla wyrazu drugiego rzedu bed acego poprawka do masy fermionu, zauwa-

18 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 17 żajac że stany wejściowy i wyjściowy sa takie same, dostajemy β 100,100 = [ {f τ 1 }, fτ 1 ]100,100 = ( {f }f f{f } ) [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 = = (f 2 ) ( {}1 1{} ) [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 = [ ] = (f 2 ) [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 = E k E i E i E k = (f 2 ) 2[α 100,101α 101,100 ] 100,100 E k E i (3.4) Ponieważ wyrazy pierwszego rzedu τ 1 nie zależa od λ, a zależa od niej tylko funkcje f ab, zatem możemy latwo odca lkować to równanie różniczkowe na mase efektywna β λ 100,100 = β 100,100 + λ ds 2(f 2 s ) M ba M ab = (3.5) = β 100, (f 2 λ 1) M ba M ab Z faktu iż stany końcowy i poczatkowy sa identyczne wynika, że ba = bc (patrz oznaczenia z rysunku 3). Obliczmy różnice mas inwariantnych ba dla tego przypadku: ba = (k 1 + k 2 ) 2 p 2 1 = (k 1 + k 2 p 1 ) p + 1 [ ] κ 2 = + m 2 κ 2 + P + m 2 xp + (1 x)p + Skorzystaliśmy tutaj z tego, że k +, 1 + k +, 2 = p +, 1, oraz ze wzoru, że p = k 2 +m2 k +.

19 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 18 Możemy ten wzór zapisać w innej postaci: [ ] κ 2 + m 2 + κ2 m 2 κ 2 = x (1 x) x(1 x) + m2 x m2 = κ 2 = x(1 x) + m2 (1 x) x Oznaczmy mase niezmiennicza stanu pośredniego z lożonego z fermionu i gluonu (k 1 + k 2 ) p + 1 = κ2 +m 2 jako x(1 x) M2. Wypiszmy za jej pomoca funkcje podobieństwa dla cz lonu masowego: ] ] f ab = exp [ (ab)2 = exp [ (M2 m 2 ) 2 (3.6) λ 4 Cz lon dajacy wk lad do masy efektywnej dany jest wzorem ) G 1,1 = [ P ] β 100,100 (b P b P + d P d P Czynnik β 100,100 otrzymujemy w nastepuj acej postaci G 1,1 = [ k ] k2 + ( ) m2 λ b k + k b k + d k d k. Wspó lczynnik β 100,100 spe lnia równanie grupy renormalizacji (3.4). Zapiszmy równanie na G 1,1 korzystajac z równania na β 100,100 i oznaczajac kontrcz lon (ca lke z β 100,100 ) przez X (2) 1,1 (k): G 1,1 = [ p 1 p 2 ] a p 1 a p2 [ k 1 k 2 ] δ(p 1 k 1 k 2 ) δ(k 1 + k 2 p 1 ) 2g2 (fab 2 1) k1 + k 2 ū/ε a p 1 u 2ū 2 /ε a 1 u r (ab)r (bc)rδ σ 1 σ 2 + [ k ] X 1,1(k)a (2) k a k = 1 = [ P ] P + a P a P [g 2 1 2(fab 2 [ xκ ] 1) P + k1 + k 2 p 1 ] (ū/ε a σ ( /k 1 + m)/ε a σ u) r 2 r2 δ + P + X (2) 1,1 (P ) σ Obliczajac G 1,1 skorzystaliśmy z zachowania pedu P = p 1 = p 2, wyrażajac pedy za pomoca pedów wzglednych (pedów Jacobiego), oraz skorzystaliśmy ze wzoru spin uū = /p + m. λ 4

20 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 19 Zatem z postaci G 1,1 widzimy, że zrenormalizowana masa fermionu dana jest wzorem: m 2 λ = m2 + g2 [ xκ ] exp [ 2(M2 m 2 ) 2 /λ 4 ] 1 r M 2 m 2 2 r2 δ ū/ε a (/k 1 + m)/ε a u a gdzie m 2 (wyraz dla λ równego nieskończoności) zawiera kontrcz lon masowy. Suma po polaryzacjach gluonów daje znane wyrażenie zaś czynnik spinorowy wynosi ɛ µ (k, ς)ɛ ν (k, ς) = g µν + kµ g +ν + g +µ k ν, (3.7) k + ς ū mσp γ α (/k 1m + m) γ β u mσp [ = 2 x g αβ + kα 2 g+β + g +α k β 2 [(1 x) 2 m 2 + κ x2 (1 x) 2 k + 2 ]. ] (3.8) Korzystajac z tych wzorów dostajemy nastepuj ace równanie na efektywna mase fermionu m 2 λ = m 2 + g2 C 2 (F ) dx d 2 κ exp [ 2(M 2 m 2 ) 2 /λ 4] 1 2(2π) 3 x(1 x) M 2 m 2 2 [(1 x) 2 m 2 + κ ] (3.9) x2 r 2 x (1 x) 2 r2 δ gdzie δ ij C 2 (F ) = Tik a T kj a ) jest odpowiednim operatorem Casimira. Bedziemy go oznaczać dla skrócenia zapisu przez C F C 2 (F ). Niech m 2 λ = m2 +δm 2 + δm 2 λ. Zak ladajac regularyzacje nadfioletowa za pomoca czynnika (2.8), oraz przeprowadzajac odpowiednia zamiane zmiennych, dostajemy, że ca lka ta dzieli sie na dwie cześci: jedna gdzie odca lkowujemy funkcje typu e z i druga gdzie mamy ca lke typu 1 z e z. Rozpatrzmy najpierw przypadek masy fermionu równej zero, dla której wszystkie ca lki daje sie wykonać analitycznie. Dzieki rozpatrzeniu tego przypadku poznamy strukture cz lonu masowego. Dostajemy nastepuj ace równanie na poprawke do wyrazu masowego [ δm 2 λ = g2 C F d 2 2 κ κ dx exp 2 x(1 x) 2(2π) 3 x(1 x) κ 2 x(1 x) ] 2 / λ 4 1 κ x 2 x(1 x) (1 x) e 2κ 2 x(1 x) 2 r 2 δ (3.10)

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014) Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( )

Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( ) Lucja Sławianowska 7 grudnia 2001 Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( ) macierz opisuje łamanie CP i niezachowanie zapachu w Modelu Standardowym jest to jedyne

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1).

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1). kwiecień 9 Ćwiczenia IV Zadania Zadanie Obliczyć kanoniczna sum e statystyczna funkcj e podzia lu, energi e swobodna i ciep lo w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly Rozwiazanie :

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B.

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B. kwiecień 009 Ćwiczenia III Zadania Zadanie 1 Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B Udowodnić że jeżeli ln Ω A (E A < ln Ω B(E B E A E B to energia przep lynie z uk

Bardziej szczegółowo

Fizyka laboratorium 1

Fizyka laboratorium 1 Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej

Bardziej szczegółowo

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r= Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Krzysztof Makarski 29 Wymiana Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego wyizolowanego

Bardziej szczegółowo

LHC i po co nam On. Piotr Traczyk CERN

LHC i po co nam On. Piotr Traczyk CERN LHC i po co nam On Piotr Traczyk CERN LHC: po co nam On Piotr Traczyk CERN Detektory przy LHC Planowane są 4(+2) eksperymenty na LHC ATLAS ALICE CMS LHCb 5 Program fizyczny LHC 6 Program fizyczny LHC

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Wszechświat cząstek elementarnych WYKŁAD 5

Wszechświat cząstek elementarnych WYKŁAD 5 Wszechświat cząstek elementarnych WYKŁAD 5 Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 17.III.2010 Oddziaływania: elektromagnetyczne i grawitacyjne elektromagnetyczne i silne (kolorowe) Biegnące stałe sprzężenia:

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

Algorytm określania symetrii czasteczek

Algorytm określania symetrii czasteczek O czym to b Podzi 21 września 2007 O czym to b O czym to b Podzi 1 2 3 O czym to b Podzi W lasności symetrii hamiltonianu: zmniejszenie z lożoności obliczeń i wymagań pami eciowych, utrzymanie tożsamościowych

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Keplera F 12 F 21

Zagadnienie Keplera F 12 F 21 Zagadnienie Keplera To zagadnienie bedzie potraktowane bardzo skrótowo i planuje podanie w tym miejscu jedynie podstawowych informacji. Zagadnienie Keplera jest dyskutowane w każdym podreczniku mechaniki.

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4. Grafy skierowane

Wyk lad 4. Grafy skierowane Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G)

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do oddziaływań hadronów

Wstęp do oddziaływań hadronów Wstęp do oddziaływań hadronów Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia GórniczoHutnicza Wykład 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Wstęp do oddziaływań hadronów Wykład 3 1 / 16 Diaramy

Bardziej szczegółowo

Struktura protonu. Elementy fizyki czastek elementarnych. Wykład V. spin protonu struktura fotonu

Struktura protonu. Elementy fizyki czastek elementarnych. Wykład V. spin protonu struktura fotonu Struktura protonu Wykład V równania ewolucji QCD spin protonu struktura fotonu Elementy fizyki czastek elementarnych Funkcja struktury Różniczkowy przekrój czynny na NC DIS elektron proton: d 2 σ dx dq

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

punktów 0 2 punktów oznaczenie i wyskalowanie osi wykresu narysowanie odcinka łączącego punkty o współrzędnych (0 m; 0 J) i (31,25 m; J)

punktów 0 2 punktów oznaczenie i wyskalowanie osi wykresu narysowanie odcinka łączącego punkty o współrzędnych (0 m; 0 J) i (31,25 m; J) Egzamin gimnazjalny cz. matematyczno-przyrodnicza ROZWIAZANIA I SCHEMAT PUNKTACJI Zadania zamknięte 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 A A C B C B D C C D C D C A B A B C D C C D D

Bardziej szczegółowo

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową

Bardziej szczegółowo

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych

Przejścia optyczne w strukturach niskowymiarowych Współczynnik absorpcji w układzie dwuwymiarowym można opisać wyrażeniem: E E gdzie i oraz f są energiami stanu początkowego i końcowego elektronu, zapełnienie tych stanów opisane jest funkcją rozkładu

Bardziej szczegółowo

Symetria w obliczeniach molekularnych

Symetria w obliczeniach molekularnych Zak lad Metod Obliczeniowych Chemii UJ 15 marca 2005 1 2 Możliwości przyspieszenia obliczeń 3 GAMESS 2004 4 Zastosowania symetrii Zmniejszenie zapotrzebowania na zasoby (procesor, pami eć, dysk) Utrzymanie

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Metody symulacji w nanotechnologii

Metody symulacji w nanotechnologii Metody symulacji w nanotechnologii Jan Iwaniszewski A. Formalizm operatorowy Załóżmy, że nasz układ kwantowy posiada dyskretny zbiór funkcji własnych ϕ k, k =,,.... Tworzą one bazę w całej przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga

1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga . Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Druga Piotr Szańkowski I. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA Kolejnym punktem naszej jest ogólna struktura matematyczna mechaniki kwantowej, która jest strukturą przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺady nr. 12 i 13; 25 stycznia 2006) 8 Konstrukcja drzew filogenetycznych

ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺady nr. 12 i 13; 25 stycznia 2006) 8 Konstrukcja drzew filogenetycznych Wst ep do obliczeniowej biologii molekularnej (J. Tiuryn, wykĺady nr. 2 i 3; 25 stycznia 2006) Spis treści 8 Konstrukcja drzew filogenetycznych 82 8. Metoda UPGMA......................... 82 8.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Roman Lewandowski Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2006 Książka jest przeznaczona dla studentów wydziałów budownictwa oraz inżynierów budowlanych zainteresowanych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI

ROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI ROZWIĄZUJEMY ZADANIA Z FIZYKI Rozwiązując zadnia otwarte PAMIĘTAJ o: wypisaniu danych i szukanych, zamianie jednostek na podstawowe, wypisaniu potrzebnych wzorów, w razie potrzeby przekształceniu wzorów,

Bardziej szczegółowo

Rozpraszanie elektron-proton

Rozpraszanie elektron-proton Rozpraszanie elektron-proton V Badania struktury atomu - rozpraszanie Rutherforda. Rozpraszanie elastyczne elektronu na punktowym protonie. Rozpraszanie elastyczne elektronu na protonie o skończonych wymiarach.

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Czego brakuje w Modelu Standardowym

Czego brakuje w Modelu Standardowym Czego brakuje w Modelu Standardowym What is missing in the Standard Model concepts and ideas Instytut Problemów Jądrowych im. A. Sołtana w Świerku 1 Plan Równania Maxwella droga do QED Symetria cechowania

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 7. Wszechświat cząstek elementarnych. Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW

WYKŁAD 7. Wszechświat cząstek elementarnych. Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW Wszechświat cząstek elementarnych WYKŁAD 7 Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW Siły: porównania oddziaływań stałe sprzężenia Diagramy Feynmana Oddziaływania: elektromagnetyczne i grawitacyjne elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 19 kwietnia 2011 Testy dla dwóch grup 1 Analiza danych dla dwóch grup: test t-studenta dla dwóch grup sparowanych; test t-studenta dla dwóch grup niezależnych (jednakowe wariancje) test Z dla dwóch grup

Bardziej szczegółowo