Hamiltonowski opis kwarków efektywnych w QCD

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Hamiltonowski opis kwarków efektywnych w QCD"

Transkrypt

1 Hamiltonowski opis kwarków efektywnych w QCD Jakub Nar ebski praca magisterska napisana pod kierunkiem dra hab. Stanis lawa G lazka w Instytucie Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego Warszawa, 2000

2 Streszczenie Wyrażamy w drugim rzedzie rachunku zaburzeń hamiltonian QCD w bazie czastek efektywnych, używajac grupy renormalizacji przez podobieństwo dla operatorów. Uzyskane czastki efektywne pozwalaja opisywać hadrony jako stany zwiazane kilku kwarków. Obliczamy efektywne masy kwarków i oddzia lywania miedzy nimi w przybliżeniu nierelatywistycznym (dla cieżkich kwarków). Wykorzystujac mechanizm redukcji przestrzeni Focka do sektora kwark antykwark zaproponowany w pierwotnej wersji przez przez Perry ego otrzymujemy logarytmiczny potencja l uwiezienia. Ważna role pe lni skracanie sie rozbieżności w obszarze ma lych pedów pomiedzy efektywnymi masami fermionów i potencja lem, zapewniajace ograniczenie przestrzeni stanów fizycznych do stanów bed acych singletami kolorowymi. Otrzymujemy kolorowe si ly van der Waalsa, których ilościowe porównanie z danymi doświadczalnymi wymaga rozwiazania dynamiki efektywnej, co wychodzi poza zakres tej pracy.

3 Spis treści 1 Wst ep 3 2 Metoda obliczeń Hamiltonian kanoniczny QCD Regularyzacja Kontrcz lony Renormalizacja w podejściu Wilsona Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa Zastosowanie Efektywny wyraz masowy dla fermionu Efektywne oddzia lywanie fermion antyfermion Potencja ly efektywne w przybliżeniu nierelatywistycznym Problem uwiezienia Fenomenologiczny model potencjalny i si ly van der Waalsa Fenomenologiczny model potencjalny Kolorowe si ly van der Waalsa Podsumowanie 40 A Dodatki 42 A.1 Konwencje frontu świetlnego A.2 Rozwiazania swobodnego równania Diraca na froncie świetlnym 42 A.3 W lasności macierzy Diraca

4 1. Wst ep 3 1 Wst ep Praca ta dotyczy metody opisu hadronów za pomoca kilku efektywnych kwarków. Transformacje do kwarków efektywnych oraz oddzia lywania mie- dzy nimi wyliczamy renormalizujac hamiltonian QCD za pomoca transformacji podobieństwa. Wyniki porównujemy z w laściwościami fenomenologicznego modelu potencjalnego. Fundamentalna teoria oddzia lywań silnych jest chromodynamika kwantowa (QCD), kwantowa teoria pola z nieabelowa grupa cechowania. Z niezmienniczości wzgledem cechowania wynika, że gluony sa w niej bezmasowe. Ponieważ efektywna sta la sprzeżenia maleje wraz ze wzrostem przekazu pedu, za pomoca rachunku zaburzeń potrafimy opisywać procesy charakteryzuja- ce sie dużymi przekazami pedu. Podstawa opisu hadronów w perturbacyjnej QCD jest model partonowy, w którym hadrony opisuje sie za pomoca wielkiej ilości kwarków i gluonów. Wzrost sta lej sprzeżenia dla dużych odleg lości (rozmiary hadronu sa duże) powoduje produkcje par kwark antykwark oraz miekkich gluonów, co wyklucza opis hadronów za pomoca niewielkiej ilości sk ladników w ramach kanonicznej QCD. Struktura próżni jest skomplikowana. Hadrony w QCD opisujemy jako skomplikowana strukture sk ladajac a sie z wielu czastek. W modelu kwarkowym hadrony opisywane sa jako stany zwiazane kilku kwarków sk ladnikowych. Powsta l on w celu wyjaśnienia systematyki hadronów, zanim powsta la QCD, i pos luguje sie minimalna ilościa czastek potrzebnych by opisać niskoenergetyczne w lasności hadronów. Kwarki w tym modelu maja duże masy, rzedu po lowy masy mezonów. Oddzia lywania mie- dzy kwarkami opisujemy za pomoca danego ad hoc potencja lu, dobranego by dać uwiezienie. Strukture kolorowa potencja lu wybieramy zgodna ze struktura kolorowa wymiany pojedynczego gluonu. Gluonów w tym modelu nie ma. Przy ich uwzglednianiu potrzeba nadać im wysokie masy efektywne. Model ten opisuje bardzo dobrze zachowanie hadronów przy niskich energiach. Trudno jednak wprowadzać do niego poprawki kwantowe, gdyż brakuje mu po- l aczenia z teoria fundamentalna. Nie możemy stosować perturbacyjnej QCD do opisu stanów zwiazanych, gdyż przy ma lych energiach efektywna sta la sprzeżenia staje sie bardzo duża. Mówimy, że próżnia w tym modelu jest trywialna, gdyż nie ma potrzeby uwzgledniania efektów próżniowych. Model kwarków konstytuentnych podpowiada nam, że opis za pomoca kilku czastek jest w stanie dobrze opisywać w laściwości hadronów. W QCD hadrony opisujemy jako stany zwiazane wielu czastek. Musimy uwzglednić w opisie wszystkie sektory Focka. Ponadto mamy skomplikowana próżnie. Trudno jest w takim opisie wyznaczać w lasności hadronów. Powstaje pytanie, jak to możliwe, że QCD redukuje sie do modelu niewielu oddzia lujacych

5 1. Wst ep 4 czastek efektywnych. Do wyprowadzenia czastek efektywnych i oddzia lywań miedzy nimi w QCD bedziemy używać grupy renormalizacji w nowym uje- ciu [1]. Aby dostać prosty opis struktury hadronów, podobny do tego w modelu kwarków konstytuentnych, musimy odciać sie od problemu próżni, by mieć prosty stan podstawowy teorii. W tym celu stosujemy kwantyzacje na froncie świetlnym. Dzieki temu, że pod lużna sk ladowa pedu jest nieujemna, zaś próżnia musi mieć ped ca lkowity równy zeru, proste obciecie k + > δ + wycina diagramy próżniowe, czyniac próżnie trywialna. Zależność teorii od parametru δ obciecia pedów pod lużnych może prowadzić do efektów, które w normalnym sformu lowaniu wiaże sie z w lasnościami próżni. Za zastosowaniem dynamiki na froncie świetlnym przemawia ponadto fakt, że pchniecia Lorentza w tym sformu lowaniu sa transformacjami kinematycznymi, tzn. nie zależa od oddzia lywania. Dla modelu partonowego naturalnym uk ladem odniesienia jest uk lad nieskończonego pedu, który stosujemy w rachunkach QCD. Z kolei statyczne w lasności hadronów zazwyczaj rozważamy w uk ladzie ich środka masy. Uk lad środka masy jest naturalnym uk ladem dla modelu kwarkowego. Niezmienniczość frontu świetlnego wzgledem pchnieć pozwala po l aczyć opis w uk ladzie środka masy z opisem w uk ladzie nieskończonego pedu. Naturalnym sposobem opisu stanów zwiazanych jest ujecie hamiltonowskie. Chcemy opisać hadrony przy pomocy niewielkiej ilości czastek. Równanie w lasne daje stany zawierajace nieskończona liczbe sektorów Focka, o dowolnych energiach kinetycznych. Rozwiazywanie zagadnienia w lasnego gdy hamiltonian l aczy wiele stanów o dowolnych różnicach energii jest trudne. Żadamy wiec by hamiltonian wyrażony w bazie czastek efektywnych mia l skończona skale energii. Macierz hamiltonianu w tej bazie powinna być wiec przydiagonalna. Ponieważ zmiana bazy jest transformacja unitarna, wiec hamiltonian kanoniczny i hamiltonian efektywny powiazane sa ze soba transformacja podobieństwa. Wskutek eliminacji oddzia lywań miedzy stanami o dużo różniacych sie energiach kinetycznych, w hamiltonianie pojawiaja sie nowe cz lony oddzia- lywania typu oddzia lywania potencjalnego. Jeśli szerokość macierzy hamiltonianu w bazie czastek efektywnych jest dostatecznie ma la, a czastki przenoszace oddzia lywanie sa masywne, to oddzia lywanie odbywa sie g lównie za pomoca tych w laśnie potencja lów. W rozdziale pierwszym przedstawiamy metode wyprowadzenia efektywnych czastek i efektywnego hamiltonianu z hamiltonianu QCD. Aby dostać skończone wyniki regularyzujemy hamiltonian i znajdujemy kontrcz lony. Hamiltonian efektywny wyprowadzamy przez odca lkowanie równań różniczko-

6 2. Metoda obliczeń 5 wych dla grupy renormalizacji przez podobieństwo. W rozdziale drugim stosujemy metode z rozdzia lu pierwszego do wyliczenia efektywnych oddzia lywań miedzy efektywnymi kwarkami w mezonie. Dostajemy potencja l sk ladajacy sie z cześci coulombowskiej oraz potencja- lu wiaż acego. Potencja l wiaż acy obliczony do drugiego rzedu nie ma symetrii obrotowej, zaś dla dużych odleg lości zachowuje sie jak potencja l logarytmiczny. Ważna role odgrywa upraszczanie sie rozbieżności podczerwonych miedzy efektywnym wyrazem masowym dla fermionu, a potencja lem wiaż acym. Nastepnie, w rozdziale trzecim analizujemy efektywne potencja ly wewnatrz mezonów oraz oddzia lywania van der Waalsa miedzy dwoma mezonami. Podsumowania wyników dokonujemy w rozdziale czwartym. 2 Metoda obliczeń 2.1 Hamiltonian kanoniczny QCD Oprócz standardowej, równoczasowej formy dynamiki, gdzie ewoluujemy stany od jednej podprzestrzeni ustalonego czasu do drugiej, można stosować dynamike na froncie świetlnym. Potrzebe jej stosowania wyjaśniliśmy we wstepie. W dynamice na froncie świetlnym role podprzestrzeni ustalonego czasu przejmuje powierzchnia styczna do stożka świetlnego, a role czasu pe lni x + = x 0 +x 3. Ta forma dynamiki zosta la wprowadzona przez Diraca [2], omówienie jej znajdziemy także w przegladowej pracy [3]. Z lagranżjanu QCD L QCD = 1 4 Ga µνg a µν + ψ(i /D m)ψ (2.1) możemy wyprowadzić kanoniczny hamiltonian QCD w tym sformu lowaniu dynamiki. Używamy cechowania na froncie świetlnym, t.j. A + 1A 2 = 0, gdzie A ± = A 0 ± A 3 (z czego wynika, że A + = 0). Równanie Diraca na froncie świetlnym (patrz dodatek A.2) w tym cechowaniu pozwala wyrazić dynamicznie zależne stopnie swobody przez niezależne zmienne, i wyeliminować je z hamiltonianu. Eliminacja zależnych stopni swobody prowadzi do cz lonów typu oddzia lywania natychmiastowego. Zależne stopnie swobody dla gluonów wyrażamy przez niezależne za pomoca kolorowego analogu prawa Gaussa. Hamiltonian QCD na froncie świetlnym ma zatem postać H = H 0 + V 1 + V 2 + V 3 + V 4, (2.2) gdzie H 0 oznacza cześć swobodna hamiltonianu, V 1 oddzia lywanie trójczast- kowe, V 2 wierzcho lek czterogluonowy (teoria nieabelowa), V 3 cz lon z wymiana

7 2.1. Hamiltonian kanoniczny QCD 6 natychmiastowego gluonu (eliminacja zależnych stopni swobody za pomoca równania Gaussa), zaś V 4 to cz lon powsta ly z wyeliminowania zależnych stopni swobody fermionów. Zgodnie z [3] można te cz lony zapisać jako: H 0 = 1 d 3 x ( + ψγ m2 + (i ) 2 ψ + à aµ (i ) 2 ) 2 i + i + Ãa µ, (2.3a) V 1 = g d 3 x J a µ Ãa µ, (2.3b) V 2 = g2 d 3 µν x B a B µν a 4, (2.3c) V 3 = g2 d 3 x 2 J a + 1 (i + ) J + 2 a, (2.3d) V 4 = g2 d 3 x ψγ µ T a à a γ + µ 2 i + (γν T b à b ψ), ν (2.3e) gdzie prad J jest zdefiniowany jako J ν a = j ν a + χ ν a, j ν a = ψγ ν T a ψ, (2.4a) (2.4b) zaś B µν oraz χ ν dane sa wzorami B a µν = f abc A µ b Aν c, (2.5a) χ ν a = f abc ν A ν b Ac ν. (2.5b) Dostaliśmy hamiltonian wyrażony za pomoca operatorów pola. Rozpisujemy je zgodnie ze wzorami ψ αcf (x) = [ p ] ( b(p)uα (p, λ) e ipx + d (p)v α (p, λ) e +ipx), (2.6a) λ à a µ (x) = [ p ] ( ã(p)t a ɛ µ (p, λ) e ipx + ã (p)t a ɛ µ (p, λ) e+ipx). (2.6b) λ Korzystajac z kanonicznych regu l komutacyjnych wyrażamy hamiltonian za pomoca odpowiednich operatorów kreacji i anihilacji. Ma on bardzo skomplikowana strukture. Bedziemy wypisywać tylko te cz lony w hamiltonianie, które bed a nam potrzebne. Pe lna liste wyrazów można znaleźć m.in. w [3].

8 2.2. Regularyzacja Regularyzacja Hamiltonian kanoniczny jest operatorem źle zdefiniowanym. Dzia lajac na stany z przestrzeni Hilberta, hamiltonian wyprowadza je z tej przestrzeni. Objawia sie to miedzy innymi przy obliczaniu operatora ewolucji. Napotykamy na problem już przy wyliczaniu przy H 2, które okazuje sie nieskończone. Zatem exp( ihx + /2) rozbiega. Przy obliczaniu wielkości fizycznych, np. przy rozwiazywaniu zagadnienia w lasnego pojawiaja sie nieskończoności wynikajace z tego, że stany pośrednie moga mieć dowolnie wysoka energie. Nieskończoności pojawiaja sie także przy wyliczaniu efektywnego hamiltonianu. Problem jest jeszcze poważniejszy niż nieskończony zakres energii oddzia- lywań: w go lej, kanonicznej QCD oddzia lywanie rośnie, gdy rośnie różnica energii miedzy oddzia lujacymi czastkami. Potrzebne jest zatem wprowadzenie czynników regularyzujacych. Aby ograniczyć oddzia lywania, żadamy by przekazy pedów w wierzcho lkach by ly ograniczone. Robimy to wprowadzajac wierzcho lkowe czynniki regularyzuja- ce zwiazane z operatorami kreacji i anihilacji. Dla każdego operatora kreacji i anihilacji wprowadzamy czynnik ograniczajacy ped poprzeczny albo (co wygodniejsze w obliczeniach) energie czastki w danym wierzcho lku zwiazanej z tym operatorem. Zamiast czastek swobodnych pos lugujemy sie zatem czast- kami obcietymi, które nie oddzia luja, gdy energia stanu bioracego udzia l w oddzia lywaniu jest dużo wieksza od arbitralnie ustalonej skali. Regulator powinniśmy wybrać tak, by dawa l ograniczenie wy l acznie na pedy wzgledne. Dzieki temu nie naruszamy niezmienniczości dynamiki na froncie świetlnym wzgledem pchnieć. Do celów regularyzacji nadfioletowej użyjemy funkcji wyk ladniczej t lumiacej oddzia lywania dla wysokich energii. Z każdym operatorem kreacji i anihilacji czastki wchodzacej do oddzia lywania zwiazujemy energie określona wzorem e i = κ2 i x i, (2.7) gdzie κ i oraz x oznaczaja odpowiednie pedy wzgledne dla danego wierzcho lka oddzia lywania. Wprowadzajac czynnik regularyzujacy postaci exp( e i / 2 ) dostajemy dla wierzcho lka, w którym czastki 1 i 2 zamieniaja sie z czastk a 3 (lub odwrotnie), czynniki postaci: ( ) ( ) r (12, 3) = exp κ2 1 exp κ2 2 x 1 x 2 ( ) ( ) (2.8) = exp κ = exp M2 12 x(1 x) 2 2

9 2.3. Kontrcz lony 8 Wprowadziliśmy tutaj oznaczenie na mase niezmiennicza M 2 12 = (p 1 + p 2 ) 2, gdzie p i = p i p + i 2 (2.9) Ponieważ QCD jest teoria z cechowaniem, zawierajac a czastki bezmasowe, wiec pojawiaja sie rozbieżności dla ma lych pedów pod lużnych. Odwrotności k + pojawiaja sie w wektorach polaryzacji gluonów oraz w cz lonach oddzia lywania natychmiastowego, powsta lych z wyeliminowania niefizycznych stopni swobody. Potrzebny jest zatem dodatkowy czynnik regularyzujacy. Dla każdej czastki wchodzacej do oddzia lywania wprowadzamy ( ) ( regulator ) x1 x2 obcinajacy pedy pod lużne, na przyk lad w postaci Θ δ Θ δ x 3 x 3 oznaczaja odpowied- dla wierzcho lka typu 12 3, gdzie x 1 = p+ 1 x 3 p +, x 2 = p+ 2 3 x 3 p + 3 nie u lamki (frakcje) pedu pod lużnego (+) czastki Kontrcz lony Dzieki wprowadzeniu regularyzacji otrzymujemy skończone wyniki. Jednak aby zregularyzowany hamiltonian opisywa l ta sama teorie co hamiltonian wyjściowy nie wystarczy samo wprowadzenie obcieć. W wyniku eliminacji stanów o energii wiekszej niż w hamiltonianie zregularyzowanym pojawiaja sie kontrcz lony: H eff = H +X. Wyznaczamy je przez żadanie, by wyniki fizyczne, np. elementy macierzowe hamiltonianu nie zależa ly od regularyzacji. 2.4 Renormalizacja w podejściu Wilsona [4] Zależność hamiltonianu od obciecia (regularyzacji) możemy przeanalizować badajac co sie dzieje przy zmianie parametru obciecia. Aby móc rozwiazać problem stanu zwiazanego musimy sprowadzić zagadnienie do zagadnienia niskich energii i niewielu czastek. W tym celu musimy umieć wyrażać wyjściowe zagadnienie w ten sposób, by energie cza- stek/oddzia lywań by ly ograniczone. Idea renormalizacji Wilsona polega na obniżaniu obciecia od skali do pewnej skończonej skali λ. Podejście to wiaże sie z eliminacja stopni swobody. W procesie renormalizacji do hamiltonianu wprowadzane sa efektywne oddzia lywania kompensujace zmiane skali w ten sposób, że najniższe wartości w lasne hamiltonianu efektywnego (obcietego) sa takie same jak hamiltonianu pe lnego. Transformacje przeprowadzajac a hamiltonian do hamiltonianu efektywnego znajdujemy w rachunku zaburzeń. W pobliżu granicy energii

10 2.5. Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy 9 λ 0 0 R S λ 0 λ Rysunek 1: Porównanie renormalizacji Wilsona i renormalizacji przez podobieństwo pojawia sie problem ma lych mianowników energetycznych. Ponadto w kwantowej teorii pola mamy wysoka degeneracje stanów, wiec potrzebowalibyśmy rachunku zaburzeń dla stanów zdegenerowanych, co wymaga rozwiazania zagadnienia z uwzglednieniem stanów wysokoenergetycznych. Metoda ta ma zatem ograniczone zastosowania w kwantowej teorii pola. 2.5 Renormalizacja przez podobieństwo dla macierzy [5] Musimy zatem zastosować inne podejście. Zamiast eliminować stany o energiach wiekszych niż parametr λ, możemy zażadać, by znika ly elementy macierzowe hamiltonianu miedzy stanami różniacymi sie bardziej niż λ energia kinetyczna. Dostajemy macierz hamiltonianu, która ma znikajace wyrazy poza elementami przydiagonalnymi. Postać ta ma te zalete, że jest niewrażliwa na obciecie w rachunku zaburzeń dla wartości w lasnych lub amplitud przejścia aż do rzedu n /(2λ), ponieważ osiagni ecie skali wymaga wielu oddzia lywań. Przy obliczaniu hamiltonianu efektywnego o szerokości λ nie eliminujemy żadnych stopni swobody. Dobierajac odpowiednio czynnik podobieństwa możemy spowodować, że nie bedziemy mieli problemów z ma lymi mianownikami energetycznymi. W renormalizacji tej wyrażamy ten sam hamiltonian za po-

11 2.6. Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek 10 moca innych stopni swobody. Hamiltonian waski i hamiltonian wyjściowy sa wiec powiazane ze soba transformacja podobieństwa. Kontrcz lony w tym podejściu wyznaczamy, żadaj ac, by elementy macierzowe hamiltonianu efektywnego H λ by ly niezależne od obciecia. Ponieważ transformacje podobieństwa wyliczamy zazwyczaj w rachunku zaburzeń, nie możemy uczynić szerokości hamiltonianu λ dowolnie ma l a. Przestrzeń stanów swobodnych i stanów bed acych ścis lym rozwiazaniem zagadnienia w lasnego sa powiazane zależnościa nieperturbacyjna. Wiemy też, że efektywna sta la sprzeżenia g λ rośnie w QCD, gdy λ 0 i rachunek zaburzeń stosować można tylko dla λ wiekszych niż pewna skala nieperturbacyjna. 2.6 Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek [1] Metoda renormalizacji za pomoca transformacji podobieństwa, ponieważ podlega na wyrażaniu tego samego hamiltonianu w innej bazie stanów, pozwala nam zatem zdefiniować czastki efektywne o skończonej szerokości, które moga wymieniać ped tylko ograniczony przez λ. Szerokość hamiltonianu w ujeciu macierzowym przechodzi w odpowiedni czynnik wierzcho lkowy w hamiltonianie oddzia lywania czastek efektywnych. Żadamy, aby oddzia lywania miedzy czastkami efektywnymi z wiekszym przekazem energii kinetycznej niż λ by ly zaniedbywalne. Dla każdego wierzcho lka oddzia lywania wprowadzamy czynnik, który nam to zapewnia. Przy obliczaniu transformacji podobieństwa za pomoca równania różniczkowego grupy renormalizacji czynnik podobieństwa powinien być funkcja g ladka. Powinien on także zachowywać symetrie frontu świetlnego, wiec należy wyrazić go za pomoca niezmienników lorentzowskich. Aby w rachunku zaburzeń nie pojawia ly sie ma le mianowniki energetyczne zarówno 1 f λ, jak i df λ /dλ powinny zanikać szybciej niż liniowo w różnicy energii. W naszej pracy przyjmiemy czynnik podobieństwa dany przez czynnik wyk ladniczy zanikajacy jak kwadrat różnicy mas inwariantnych czastek przed i po oddzia lywaniu [7]: f λ (u, v) = exp [ (M2 uv ] M2 vu )2, (2.10) λ 4 gdzie M 2 uv oznacza mase niezmiennicz a uk ladu czastek u bioracych udzia l w oddzia lywaniu z uk ladem czastek v: [ ] 2 M 2 uv = k i. (2.11) i u(v) Dla skrócenia zapisu b edziemy pisali uv = M 2 uv M2 vu, oraz wprowadzimy f uv jako oznaczanie na f λ (u, v)

12 2.6. Renormalizacja przez podobieństwo dla czastek 11 W renormalizacji za pomoca transformacji podobieństwa zak ladamy, że czastki efektywne maja te same liczby kwantowe co czastki go le (wystepu- jace w hamiltonianie wyjściowym). Za lożenie to oparte jest na tym, że kwarki w lagranżjanie QCD i kwarki w modelu kwarków sk ladnikowych sa opisane przez te same liczby kwantowe. Transformacja podobieństwa zmienia operatory kreacji i anihilacji go lych czastek w operatory kreacji i anihilacji czastek efektywnych odpowiadajacych szerokości λ (t.j. oddzia lujacych ze soba tylko dla różnic energii mniejszych od λ). Mamy q λ = U λ q U λ, (2.12) gdzie q oznacza odpowiedni operator kreacji lub anihilacji. Transformacja U λ, jako operacja zmiany bazy, jest unitarna z konstrukcji. Przepisanie hamiltonianu za pomoca innych stopni swobody nie zmienia go, zatem hamiltoniany wyjściowy (wyrażony za pomoca czastek go lych), i hamiltonian waski (wyrażony za pomoca czastek efektywnych) sa sobie równe jako operatory: H λ (q λ ) = H (q ). Zak ladajac, ze hamiltonian zawiera tylko skończone iloczyny operatorów kreacji i anihilacji, możemy wprowadzić operator H λ H λ (q λ ) = U λ H (q )U λ, który ma takie same wspó lczynniki przed iloczynami q, jak H λ przed iloczynami q λ. Różniczkujac wyrażenie na H λ dostajemy d dλ H λ = [ ] T λ, H λ, T λ = U d λ dλ U λ. (2.13a) (2.13b) Hamiltonian efektywny dany jest przez cześć diagonalna pewnego operatora G λ tzn. H λ = F λ [G λ ]. Operator F λ odpowiedzialny jest za to, by hamiltonian H λ by l waski. Wprowadza on odpowiedni czynnik podobieństwa do operatora G λ. Jego dzia lanie dane jest wzorem F λ [G λ ] uv = f uv g uv, gdzie f uv jest dane wzorem (2.10). Wprowadzamy oznaczenie G λ = U λ G λu λ, i analogiczne dla innych operatorów. Równanie na operator T λ, generujacy transformacje podobieństwa, zapisuje sie nastepuj aco: [ Tλ, H 0λ ] = d dλ (1 F λ)[g λ ] (2.14) Struktura komutatorowa zapewnia, że hamiltonian efektywny zawiera tylko oddzia lywania po l aczone, spe lniajac warunek rozk ladu gronowego [1].

13 2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa 12 Dzielimy operator G λ na dwie cześci: cześć swobodna i cześć oddzia lywania. G λ = G 0 + G Iλ. G Iλ spe lnia nastepuj ace równanie różniczkowe [ { d d dλ G [ ] } ] Iλ = fg Iλ, (1 f)giλ (2.15) dλ G0 gdzie wprowadziliśmy oznaczenie A = {B} C [A, C] = B (2.16) Hamiltonian efektywny liczymy w rachunku zaburzeń. Zapisujemy G Iλ jako G I = τ n (2.17) n=1 gdzie τ n oznacza wszystkie operatory rzedu n w wybranej sta lej sprzeżenia, w G I. Z równania (2.15) dostajemy wyrażenie na G Iλ rzad po rzedzie w rachunku zaburzeń: τ 1 = 0, τ 2 = [ {f τ 1 }, fτ 1 ],... (2.18a) (2.18b) n 1 [ τ n = τk, {(1 f)τ n k } ]. (2.18c) k=1 Pierwsze równanie (2.18a) oznacza, że τ 1 jest niezależne od λ, zatem τ λ1 = τ 1. Zatem wyrazy pierwszego rzedu w hamiltonianie efektywnym dostajemy mnożac odpowiednie wyrazy w hamiltonianie wyjściowym przez czynnik podobieństwa i zastepuj ac operatory kreacji i anihilacji czastek go- lych przez efektywne. 2.7 Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa Ponieważ interesować nas bed a g lównie oddzia lywania w sektorze kwark antykwark, które sa dosyć z lożone, wprowadzamy wiec pewien sposób oznaczania cz lonów w hamiltonianie. W wyniku stosowania procedury renormalizacji, w hamiltonianie powstaja nowe cz lony w stosunku do hamiltonianu wyjściowego. Dla uproszczenia bedziemy oznaczać je w sposób dobrze zilustrowany przyk ladem: f (2) 121,301 bedzie oznaczać cz lon 2 go rzedu w sta lej sprzeżenia, z 1 operatorem kreacji fermionu, 2 operatorami kreacji antyfermionu, 1 operatorem kreacji gluonu. Liczby na prawo od przecinka oznaczaja

14 2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa 13 liczbe operatorów anihilacji, w tym samym porzadku, tzn. 3 anihilatory fermionowe, 0 antyfermionowych i 1 bozonu cechowania. Rozważany przez nas hamiltonian QCD ma skomplikowana strukture. Podzielmy go na cześci dzia lajace w określonych sektorach Focka H = H 0 + H qgg + H qqqq +..., gdzie (pamietaj ac o cz lonach oddzia lywania natychmiastowego powsta lych z eliminacji zależnych stopni swobody) H 0 = H 100,100 + H 010,010 + H 001,001 H qgg = H 101,100 + H 100, H 011,010 + H 010, H 001,110 + H 110,001 H qqqq = H 200,200 + H 020,020 + H 110,110 Podobny podzia l (ze wzgledu na liczbe operatorów kreacji i anihilacji) możemy wprowadzić w operatorach τ i. Należy pamietać o tym, że obliczenie τ 2 bedzie wymaga lo obliczenia kontrcz lonów. Interesujace nas czynniki w τ 1 i τ 2 maja strukture τ 1 = α 101,100 + α 100,101 + α 011,010 + α 010, τ 2 = β 200,200 + β 020,020 + β 110,110 + β 100,100 + β 010, (2.19a) (2.19b) gdzie przez α oznaczyliśmy cz lony pierwszego rzedu stojace przy odpowiednich operatorach, zaś przez β odpowiednie cz lony drugiego rzedu. Równania (2.18) i struktura hamiltonianu QCD implikuja, że β 200,200 = f 2 [α 100,101 α 101,100 ] 200,200 β 020,020 = f 2 [α 010,011 α 011,010 ] 020,020 β 110,110 = f 2 [α 110,001 α 001,110 + (2.20a) (2.20b) + α 100,101 α 011,010 + (2.20c) + α 010,011 α 101,100 ] 110,110 β 100,100 = f 2[α 100,101 α 101,100 ] 100,100 β 010,010 = f 2[α 010,011 α 011,010 ] 010,010 (2.20d) (2.20e) Nawiasy kwadratowe oznaczaja zastapienie odpowiednich iloczynów a i a j przez komutatory [a i, a j ]. Indeks dolny przy zamykaj acym nawiasie kwadratowym oznacza, że bierzemy tylko cz lony odpowiedniej postaci, t.j. o określonej ilości operatorów danego rodzaju. Czynnik f 2, pojawiajacy sie pod ca lka

15 2.7. Rodzaje wyrazów w transformacji podobieństwa 14 po p edach, pochodzi od funkcji podobieństwa i wynosi f 2 = {f }f f{f }, ( f f 2 uv = uπ f πv + f uπ f πv E π E u E π E v ). (2.21) gdzie π oznacza stan pośredni, zaś f pochodna po parametrze λ. Czynnik f 2 jest jedynym czynnikiem zależnym od λ po prawej stronie równań (2.20). Możemy zatem w prosty sposób odca lkować te równania po parametrze λ. Uwzgledniaj ac wszystkie czynniki rzedu g oraz rzedu g 2 o odpowiedniej strukturze w wyjściowym hamiltonianie (w l aczaj ac w to cz lony natychmiastowe) dostajemy nastepuj ace rozwiazania: β λ200,200 = F λ2 [α 100,101 α 101,100 ] 200,200 + β 200,200 β λ020,020 = F λ2 [α 010,011 α 011,010 ] 020,020 + β 020,020 β λ110,110 = F λ2 [α 110,001 α 001,110 + (2.22a) (2.22b) + α 100,101 α 011,010 + (2.22c) + α 010,011 α 101,100 ] 110,110 + β 110,110 β λ100,100 = F λ2 [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 + β 100,100 + x 100,100 β λ010,010 = F λ2 [α 010,011 α 011,010 ] 010,010 + β 010,010 + x 100,100 (2.22d) (2.22e) gdzie przez x 100,100 oznaczyliśmy odpowiednie kontrcz lony. Potrzebujemy zatem wyliczyć ile wynosi czynnik F 2λ = λ f 2, który nazywamy wewnetrznym czynnikiem podobieństwa. Zgodnie ze wzorem (2.21) na f 2, oraz definicja funkcji podobieństwa (2.10), czynnik F 2λ dany jest przez nastepuj ace wyrażenie [7]. F 2λ (a, b, c) = P + ba ba + P + bc bc (ba) 2 + (bc) 2 (f λ(a, b)f λ (b, c) 1), (2.23) gdzie argumenty a, b, c oznaczaja kolejne konfiguracje pedu pojawiajace sie w nawiasach w wyrażeniu (2.20). Konfiguracja b odpowiada konfiguracji pośredniej. Wprowadziliśmy oznaczenie P uv + na ped rodzica dla ca lej po l aczonej sekwencji oddzia lywań miedzy uk ladami u i v (sume pedów wszystkich czastek bioracych udzia l w oddzia lywaniu podzielona przez 2). Symbole ba oznaczaja odpowiednie różnice mas inwariantnych, jak w oznaczeniach we wzorze (2.10) na f ba.

16 3. Zastosowanie 15 3 Zastosowanie: opis ci eżkich mezonów przy pomocy kwarków efektywnych Zastosujmy teraz powyższa metode do hamiltonianu QCD, podanego w rozdziale 2.1. Interesować nas bed a oddzia lywania wewnatrz mezonu oraz miedzy dwoma mezonami. Potrzebna nam wiec bedzie postać oddzia lywania w sektorze dwuczastkowym (kwark antykwark), a dla wyliczania oddzia- lywań van der Waalsa w sektorze dwumezonowym. Możemy zatem pominać wszelkie cz lony z gluonami w stanie końcowym lub poczatkowym, tzn. wszystkie wyrażenia z operatorami kreacji badź anihilacji gluonu. 3.1 Efektywny wyraz masowy dla fermionu Jednym z ważnych wyrazów w hamiltonianie, istotnym dla struktury mezonów, jest wyraz masowy dla kwarków. Obok cz lonu pochodzacego z hamiltonianu swobodnego, pojawia sie cz lon uwzgledniaj acy efekty wyeliminowania oddzia lywań miedzy czastkami o różnicy energii wiekszej niż λ. Przy renormalizacji wyrazu masowego pojawia sie potrzeba uwzglednienia kontrcz lonu, gdyż te efekty sa czu le na regularyzacje wyjściowego hamiltonianu. k 2 ; 1 x p 2 p 1 k 1 ; x Rysunek 2: Kinematyka dla poprawki do masy fermionu Oznaczmy przez k 1 odpowiedni p ed fermionu, zaś przez k 2 p ed gluonu. Z zasady zachowania p edu dostajemy, że p 1 + p 2 = k 1 + k 2 := P dla sk ladowych + i Możemy zatem pedy k 1 i k 2 rozpisać za pomoca pedów wzglednych (pedów

17 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 16 Jacobiego na froncie świetlnym): k + 1 = xp +, (3.1a) k 1 = κ + xp ; (3.1b) k + 2 = (1 x)p +, (3.1c) k 1 = κ + (1 x)p, (3.1d) Niezmienniczość wzgledem pchnieć Lorentza pozwala nam po lożyć w tych wzorach P = 0, nie zmniejszajac ogólności rozumowania. Zewnetrzny czynnik podobieństwa f ac dla wyrazu masowego w efektywnym hamiltonianie jest tożsamościowo równy 1 z powodu zachowania pedu. Pozostaje wiec obliczyć wewnetrzny czynnik podobieństwa. a b c Rysunek 3: Energia w lasna fermionu Dzieki temu, że konfiguracje poczatkowa i końcowa sa identyczne, możemy w prosty sposób znaleźć wewnetrzny czynnik podobieństwa dla cz lonu masowego. Nie potrzebujemy korzystać z ogólnego wzoru na F λ. Ze wzoru na transformacje podobieństwa [ { d d dλ G Iλ = fg Iλ, (1 f)giλ dλ[ ]} ] (3.2) G 0 dostajemy nastepuj acy wzór na wyrazy drugiego rzedu w G I : τ 2 = [ ] {f τ 1 }, fτ 1 (3.3) (gdzie τ 2 jest wyrazem drugiego rzedu w G I, zgodnie ze wzorem (2.17)). Dla wyrazu drugiego rzedu bed acego poprawka do masy fermionu, zauwa-

18 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 17 żajac że stany wejściowy i wyjściowy sa takie same, dostajemy β 100,100 = [ {f τ 1 }, fτ 1 ]100,100 = ( {f }f f{f } ) [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 = = (f 2 ) ( {}1 1{} ) [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 = [ ] = (f 2 ) [α 100,101 α 101,100 ] 100,100 = E k E i E i E k = (f 2 ) 2[α 100,101α 101,100 ] 100,100 E k E i (3.4) Ponieważ wyrazy pierwszego rzedu τ 1 nie zależa od λ, a zależa od niej tylko funkcje f ab, zatem możemy latwo odca lkować to równanie różniczkowe na mase efektywna β λ 100,100 = β 100,100 + λ ds 2(f 2 s ) M ba M ab = (3.5) = β 100, (f 2 λ 1) M ba M ab Z faktu iż stany końcowy i poczatkowy sa identyczne wynika, że ba = bc (patrz oznaczenia z rysunku 3). Obliczmy różnice mas inwariantnych ba dla tego przypadku: ba = (k 1 + k 2 ) 2 p 2 1 = (k 1 + k 2 p 1 ) p + 1 [ ] κ 2 = + m 2 κ 2 + P + m 2 xp + (1 x)p + Skorzystaliśmy tutaj z tego, że k +, 1 + k +, 2 = p +, 1, oraz ze wzoru, że p = k 2 +m2 k +.

19 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 18 Możemy ten wzór zapisać w innej postaci: [ ] κ 2 + m 2 + κ2 m 2 κ 2 = x (1 x) x(1 x) + m2 x m2 = κ 2 = x(1 x) + m2 (1 x) x Oznaczmy mase niezmiennicza stanu pośredniego z lożonego z fermionu i gluonu (k 1 + k 2 ) p + 1 = κ2 +m 2 jako x(1 x) M2. Wypiszmy za jej pomoca funkcje podobieństwa dla cz lonu masowego: ] ] f ab = exp [ (ab)2 = exp [ (M2 m 2 ) 2 (3.6) λ 4 Cz lon dajacy wk lad do masy efektywnej dany jest wzorem ) G 1,1 = [ P ] β 100,100 (b P b P + d P d P Czynnik β 100,100 otrzymujemy w nastepuj acej postaci G 1,1 = [ k ] k2 + ( ) m2 λ b k + k b k + d k d k. Wspó lczynnik β 100,100 spe lnia równanie grupy renormalizacji (3.4). Zapiszmy równanie na G 1,1 korzystajac z równania na β 100,100 i oznaczajac kontrcz lon (ca lke z β 100,100 ) przez X (2) 1,1 (k): G 1,1 = [ p 1 p 2 ] a p 1 a p2 [ k 1 k 2 ] δ(p 1 k 1 k 2 ) δ(k 1 + k 2 p 1 ) 2g2 (fab 2 1) k1 + k 2 ū/ε a p 1 u 2ū 2 /ε a 1 u r (ab)r (bc)rδ σ 1 σ 2 + [ k ] X 1,1(k)a (2) k a k = 1 = [ P ] P + a P a P [g 2 1 2(fab 2 [ xκ ] 1) P + k1 + k 2 p 1 ] (ū/ε a σ ( /k 1 + m)/ε a σ u) r 2 r2 δ + P + X (2) 1,1 (P ) σ Obliczajac G 1,1 skorzystaliśmy z zachowania pedu P = p 1 = p 2, wyrażajac pedy za pomoca pedów wzglednych (pedów Jacobiego), oraz skorzystaliśmy ze wzoru spin uū = /p + m. λ 4

20 3.1. Efektywny wyraz masowy dla fermionu 19 Zatem z postaci G 1,1 widzimy, że zrenormalizowana masa fermionu dana jest wzorem: m 2 λ = m2 + g2 [ xκ ] exp [ 2(M2 m 2 ) 2 /λ 4 ] 1 r M 2 m 2 2 r2 δ ū/ε a (/k 1 + m)/ε a u a gdzie m 2 (wyraz dla λ równego nieskończoności) zawiera kontrcz lon masowy. Suma po polaryzacjach gluonów daje znane wyrażenie zaś czynnik spinorowy wynosi ɛ µ (k, ς)ɛ ν (k, ς) = g µν + kµ g +ν + g +µ k ν, (3.7) k + ς ū mσp γ α (/k 1m + m) γ β u mσp [ = 2 x g αβ + kα 2 g+β + g +α k β 2 [(1 x) 2 m 2 + κ x2 (1 x) 2 k + 2 ]. ] (3.8) Korzystajac z tych wzorów dostajemy nastepuj ace równanie na efektywna mase fermionu m 2 λ = m 2 + g2 C 2 (F ) dx d 2 κ exp [ 2(M 2 m 2 ) 2 /λ 4] 1 2(2π) 3 x(1 x) M 2 m 2 2 [(1 x) 2 m 2 + κ ] (3.9) x2 r 2 x (1 x) 2 r2 δ gdzie δ ij C 2 (F ) = Tik a T kj a ) jest odpowiednim operatorem Casimira. Bedziemy go oznaczać dla skrócenia zapisu przez C F C 2 (F ). Niech m 2 λ = m2 +δm 2 + δm 2 λ. Zak ladajac regularyzacje nadfioletowa za pomoca czynnika (2.8), oraz przeprowadzajac odpowiednia zamiane zmiennych, dostajemy, że ca lka ta dzieli sie na dwie cześci: jedna gdzie odca lkowujemy funkcje typu e z i druga gdzie mamy ca lke typu 1 z e z. Rozpatrzmy najpierw przypadek masy fermionu równej zero, dla której wszystkie ca lki daje sie wykonać analitycznie. Dzieki rozpatrzeniu tego przypadku poznamy strukture cz lonu masowego. Dostajemy nastepuj ace równanie na poprawke do wyrazu masowego [ δm 2 λ = g2 C F d 2 2 κ κ dx exp 2 x(1 x) 2(2π) 3 x(1 x) κ 2 x(1 x) ] 2 / λ 4 1 κ x 2 x(1 x) (1 x) e 2κ 2 x(1 x) 2 r 2 δ (3.10)

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r

{E n ( k 0 ) + h2 2m (k2 k 2 0 )}δ nn + h m ( k k 0 ) p nn. c nn = E n ( k)c nn (1) gdzie ( r)d 3 r to w pobliżu dna (lub szczytu) pasma (k k 0 ) zależność E(k) jest paraboliczna ale z mas a m m 0 Jeśli pasma nie s a energetycznie dobrze separowalne lub energetycznie zdegenerowane (kwazizdegenerowane)

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium

Zastosowanie Robotów. Ćwiczenie 6. Mariusz Janusz-Bielecki. laboratorium Zastosowanie Robotów laboratorium Ćwiczenie 6 Mariusz Janusz-Bielecki Zak lad Informatyki i Robotyki Wersja 0.002.01, 7 Listopada, 2005 Wst ep Do zadań inżynierów robotyków należa wszelkie dzia lania

Bardziej szczegółowo

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV

Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Analiza zrekonstruowanych śladów w danych pp 13 TeV Odtwarzanie rozk ladów za pomoc a danych Monte Carlo Jakub Cholewiński, pod opiek a dr hab. Krzysztofa Woźniaka 31 lipca 2015 r. Jakub Cholewiński, pod

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l

TEORIA FUNKCJONA LÓW. (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l TEORIA FUNKCJONA LÓW GȨSTOŚCI (Density Functional Theory - DFT) Monika Musia l PRZEDMIOT BADAŃ Uk lad N elektronów + K j ader atomowych Przybliżenie Borna-Oppenheimera Zamiast funkcji falowej Ψ(r 1,σ 1,r

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014)

Notatki do wyk ladu IV (z 27.10.2014) Dla orbitalnego momentu p edu (L): Notatki do wyk ladu IV (z 7.10.014) ˆL ψ nlm = l(l + 1) ψ nlm (1) ˆL z ψ nlm = m ψ nlm () l + 1 możliwych wartości rzutu L z na wyróżniony kierunek w przestrzeni (l -liczba

Bardziej szczegółowo

Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie

Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie Transformacja Lorentza - Wyprowadzenie Rozważmy obserwatorów zwiazanych z różnymi inercjalnymi uk ladami odniesienia, S i S. Odpowiednie osie uk ladów S i S sa równoleg le, przy czym uk lad S porusza sie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak

w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika cząstek o spinie 1/2

Elektrodynamika cząstek o spinie 1/2 Elektrodynamika cząstek o spinie 1/2 Dodatkowa gama^0, aby mieć odpowiedniość z oddziaływaniem nierelatywistycznym dla składowych, gdy A^mu=A^0 Tak powstają tzw. Reguły Feynmana Przykłady Spiny Spiny s,s'

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. Michał Praszałowicz, pok. 438. michal@if.uj.edu.pl strona www: th-www.if.uj.edu.pl/~michal wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max. 10 stron na jeden z listy tematów + rozmowa USOS! 1 Model

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza

Bardziej szczegółowo

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI.

Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. Micha l Ramsza Szko la G lówna Handlowa Micha l Ramsza (Szko la G lówna Handlowa) Jeden przyk lad... czyli dlaczego warto wybrać MIESI. 1 / 13 Dlaczego

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( )

Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( ) Lucja Sławianowska 7 grudnia 2001 Motywacja do dokładnego wyznaczania elementów macierzy Cabbibo-Kobayashi-Maskawy ( ) macierz opisuje łamanie CP i niezachowanie zapachu w Modelu Standardowym jest to jedyne

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Kondensacja Bosego-Einsteina

Kondensacja Bosego-Einsteina Kondensacja Bosego-Einsteina W opisie kwantowo-mechanicznym stan konkretnego uk ladu fizycznego jest określony poprzez funkcje falowa ψ r, r 2,...), gdzie r i oznaczaja po lożenia poszczególnych cza stek.

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych

Bardziej szczegółowo

2. Równania nieliniowe i ich uk lady

2. Równania nieliniowe i ich uk lady Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia?

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy

POCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:

JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych: do wyk ladu z 1.10.13 Atom wodoru i jon wodoropodobny Ze - ladunek jadra, e - ladunek elektronu, µ - masa zredukowana µ = mem j m e+m j ( µ m e ) M j - masa jadra, m e - masa elektronu, ε 0 - przenikalność

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm

CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA. Ćwiczenia. http://zcht.mfc.us.edu.pl/ mm CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L METODA HÜCKLA Ćwiczenia Zwi azki organiczne zawieraj ace uk lady π-elektronowe Sprzȩżony uk lad wi azań podwójnych: -C=C-C=C-C=C-C=C- Skumulowany uk lad wi azań podwójnych:

Bardziej szczegółowo

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Uzgadnianie wyrażeń rachunku predykatów. Adam i orzeszki. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 Instytut Informatyki Poznań, rok akademicki 2009/2010 1 Podstawienia Motywacja Podstawienie 2 Sk ladanie podstawień Motywacja Z lożenie podstawień

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1).

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia IV. w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly. Rozwiazanie E JM = 2 J(J + 1). kwiecień 9 Ćwiczenia IV Zadania Zadanie Obliczyć kanoniczna sum e statystyczna funkcj e podzia lu, energi e swobodna i ciep lo w laściwe dla rotatora sztywnego hetoronuklearnej moleku ly Rozwiazanie :

Bardziej szczegółowo

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r= Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B.

Zadania. kwiecień 2009. Ćwiczenia III. Zadanie 1. Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B. kwiecień 009 Ćwiczenia III Zadania Zadanie 1 Uk lad A o energii E A skontaktowano termicznie z uk ladem B o energii E B Udowodnić że jeżeli ln Ω A (E A < ln Ω B(E B E A E B to energia przep lynie z uk

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Notatki do wyk ladu V (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka)

Notatki do wyk ladu V (z ) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Notatki do wyk ladu V (z 03.11.014) Metoda Hartree-Focka (Hartree ego-focka) Metoda wariacyjna, w której przyjmuje sie, że przybliżona funkcja falowa, opisujaca stan uk ladu n-elektronowego ma postać wyznacznika

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c r. akad. 005/ 006 V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c 1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu. Relatywistyczna energia kinetyczna 3. Relatywistyczna energia całkowita i energia

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

LHC i po co nam On. Piotr Traczyk CERN

LHC i po co nam On. Piotr Traczyk CERN LHC i po co nam On Piotr Traczyk CERN LHC: po co nam On Piotr Traczyk CERN Detektory przy LHC Planowane są 4(+2) eksperymenty na LHC ATLAS ALICE CMS LHCb 5 Program fizyczny LHC 6 Program fizyczny LHC

Bardziej szczegółowo

Fizyka laboratorium 1

Fizyka laboratorium 1 Rozdzia l Fizyka laboratorium.. Elementy analizy matematycznej Funkcje Zmienna y nazywa sie zmienna zależna albo funkcja zmiennej x, jeżeli przyjmuje ona określone wartości dla każdej wartości zmiennej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami

Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność

Bardziej szczegółowo

Wszechświat cząstek elementarnych WYKŁAD 5

Wszechświat cząstek elementarnych WYKŁAD 5 Wszechświat cząstek elementarnych WYKŁAD 5 Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 17.III.2010 Oddziaływania: elektromagnetyczne i grawitacyjne elektromagnetyczne i silne (kolorowe) Biegnące stałe sprzężenia:

Bardziej szczegółowo

Galilean Electrodynamics

Galilean Electrodynamics 22 maja 2015 r. Galilean Electrodynamics Nierelatywistyczne przybliżenia elektrodynamiki klasycznej Seminarium IF WIMiM ZUT Dlaczego elektrodynamika klasyczna NIE JEST niezmiennicza względem transformacji

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji

Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Mikro II: Wymiana i Asymetria Informacji Krzysztof Makarski 29 Wymiana Wst ep. Do tej pory zajmowaliśmy sie g lównie analiza pojedynczych rynków. Analiza w równowadze czastkowej - teoria jednego wyizolowanego

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego

Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Mikro II: Popyt, Preferencje Ujawnione i Równanie S luckiego Krzysztof Makarski 6 Popyt Wstep Przypomnijmy: Podstawy teoria konsumenta. Zastosowanie wszedzie. W szczególności poszukiwanie informacji zawartych

Bardziej szczegółowo

Bozon Higgsa prawda czy kolejny fakt prasowy?

Bozon Higgsa prawda czy kolejny fakt prasowy? Bozon Higgsa prawda czy kolejny fakt prasowy? Sławomir Stachniewicz, IF PK 1. Standardowy model cząstek elementarnych Model Standardowy to obecnie obowiązująca teoria cząstek elementarnych, które są składnikami

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

Algorytm określania symetrii czasteczek

Algorytm określania symetrii czasteczek O czym to b Podzi 21 września 2007 O czym to b O czym to b Podzi 1 2 3 O czym to b Podzi W lasności symetrii hamiltonianu: zmniejszenie z lożoności obliczeń i wymagań pami eciowych, utrzymanie tożsamościowych

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji

Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 sem zim.2010/11

WYKŁAD 5 sem zim.2010/11 Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników WYKŁAD 5 sem zim.2010/11 Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW Siły: porównania oddziaływań stałe sprzężenia Diagramy Feynmana Oddziaływania: elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 21 marca 2011 Zmienna losowa wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być na

Bardziej szczegółowo