Sterowanie nieholonomicznym manipulatorem z zastosowaniem funkcji transwersalnych

Transkrypt

1 Steowanie nieholonomicznym manipulatoem z zastosowaniem funkcji tanswesalnych Batłomiej Kysiak Paweł Szulczyński Kzysztof Kozłowski Steszczenie Paca pezentuje zastosowanie funkcji tanswesalnych w pawie steowania nieholonomicznym płaskim manipulatoem o tzech ogniwach Tudność w steowaniu badanym manipulatoem nieholonomicznym wynika z zastosowania w nim nieholonomicznych pzekładni któe wpowadzają niecałkowalne oganiczenia Zastosowanie takiego ozwiązania pozwala na steowanie tzema zmiennymi konfiguacyjnymi za pomocą tylko dwóch napędów Zostało zapezentowane pawo steowania waz z wynikami badań symulacyjnych WSTĘP Układy nieholonomiczne czyli takie któe chaakteyzują się niecałkowalnymi więzami kinematycznymi wykazują znaczne tudności w osiąganiu poszczególnych punktów pzestzeni konfiguacyjnej pomimo pełnej ich steowalności Źódłem oganiczeń nieholonomicznych jest zazwyczaj stuktua kinematyczna danego systemu Dla pzykładu kołowe układy jezdne nie mają moŝliwości pouszania się w popzek osi kół Innymi źódłami oganiczeń nieholonomicznych są inteakcje tych układów z otoczeniem zewnętznym (poślizg tacie) Zgodnie z postulatem Bocketta systemy z oganiczeniami nieholonomicznymi nie są stabilizowane za pomocą statycznego spzęŝenia zwotnego zaleŝnego od stanu Układy nieholonomiczne zazwyczaj moŝna modelować w postaci bezdyfowych systemów afinicznych jednak występuje w nich poblem niedosteowania polegający na tym Ŝe liczba steowań jest mniejsza niŝ liczba zmiennych stanu Dla zadań śledzenia i stabilizacji takich bezdyfowych systemów dynamicznych w któych występują nieholonomiczne oganiczenia w pacach J B Pometa i E W Diona zapoponowano óŝne algoytmy steujące ze spzęŝeniem zwotnym zaleŝnym bezpośednio od czasu Nie zapewniają one zeowego błędu egulacji i odtwazania tajektoii ale teoetycznie gwaantują ozwiązanie zadania steowania z dowolnie małym oganiczonym błędem Paca finansowana z działań statutowych 9/6/8 DS Kateda Steowania i InŜynieii Systemów Politechnika Poznańska ul Piotowo a Poznań KzysztofKozlowski@putpoznanpl PawelSzulczynski@doctoateputpoznanpl BatłomiejKysiak@doctoateputpoznanpl

2 B Kysiak P Szulczyński K Kozłowski Podstawą do pzepowadzonej w tej pacy analizy algoytmu steowania są pace opublikowane pzez P Moina i C Samsona ([] [4]) Zapoponowali oni steowanie któe zapewnia stabilizację bezdyfowego nieliniowego systemu w opaciu o skończone wymiaowo gupy Liego Jest ono opate na koncepcji wykozystania oganiczonych funkcji tanswesalnych i pozwala na paktyczną stabilizację dowolnej tajektoii Jedną z zalet tego steowania jest kozyść z wybou stuktuy gupy Liego do celów steowania Dzięki temu uzyskujemy moŝliwość lokalnej apoksymacji dowolnego ciągłego bezdyfowego systemu popzez homogeniczny bezdyfowy system któy moŝna pzedstawić jako odpowiedni system zdefiniowany w opaciu o gupę Liego Pozwala to w sposób ciągły steować układami z niecałkowalnymi oganiczeniami pędkościowymi Ponadto podejście Moina i Samsona umoŝliwia steowanie układami któych m pzestzeń steowań U R jest mniejsza od pzestzeni konfiguacyjnej tego n układu Q R dla ( n > m) NaleŜy podkeślić Ŝe zaletą algoytmu opacowanego pzez wyŝej wymienionych autoów jest moŝliwość ciągłego steowania układami z oganiczeniami nieholonomicznymi któe zapewnia stabilność paktyczną W niniejszej pacy pawo steowania opacowane pzez P Moina i C Samsona zostało ozwinięte dla systemu któy składa się z nieholonomicznego manipulatoa Do tego celu wykozystano pzekształcenie ównań kinematyki do nieliniowej pzestzeni pomocniczej i pzekształcenie dyfeomoficzne pzestzeni zmiennych stanu Paca została podzielona na pięć ozdziałów W ozdziale została pzedstawiona stuktua kinematyczna manipulatoa nieholonomicznego Rozdział ten został podzielony na podozdziały: nieholonomiczna pzekładnia kulowa konstukcja amienia i tansmisja napędu oaz model kinematyczny W ozdziale pzedstawione zostało pawo steowania Jego opis został podzielony na tzy podozdziały: zadanie steowania tansfomacja do układu łańcuchowego oaz steowanie z wykozystaniem funkcji tanswesalnych Wyniki symulacji zostały pzedstawione w ozdziale 4 STRUKTURA MANIPULATORA Badany płaski manipulato składa się z tzech ogniw i opisany jest za pomocą tzech zmiennych konfiguacyjnych Są one steowane za pomocą dwóch napędów zlokalizowanych pzy podstawie manipulatoa W celu uzyskania pzeniesienia napędu popzez kolejne pasywne złącza nieholonomicznego manipulatoa konieczne jest zastosowanie nieliniowego mechanizmu Mechanizm ten musi pozwolić na jednoczesną tansmisję napędu do kolejnego złącza oaz steowanie zmienną konfiguacyjną któa jest pzypisana do pzegubu w któym on się znajduje ([][5] [6] [9]) Rys pzedstawia nieholonomiczną pzekładnię któa spełnia te waunki

3 Steowanie nieholonomicznym manipulatoem z zastosowaniem Nieholonomiczna pzekładnia kulowa a) b) Rys Kulowa pzekładnia nieholonomiczna a) widok D b) widok z góy WI koło wejściowe WO WO koła wyjściowe WS WS koła wspieające Podstawowymi elementami kulowej pzekładni są: kula koło wejściowe WI dwa koła wyjściowe WO i WO i koła wspieające WS i WS Nieholonomiczne oganiczenia dotyczą tylko miejsc kontaktu kuli z kołem wejściowym i kołami wyjściowymi [5] Koło WI znajduje się na biegunie północnym kuli i obaca się z pędkością kątową ρ Zakłada się Ŝe kontakt pomiędzy kołami a kulą jest punktowy i nie występuje poślizg Pzy takich załoŝeniach kieunek obotu kuli jest wyznaczony pzez kieunek obotu koła WI któy z kolei jest okeślony pzez kąt Kula jest więc napędzana pzez koło WI i pzekazuje napęd na dwa koła wyjściowe WO i WO znajdujące się na ówniku kuli w taki sposób Ŝe ich osie leŝą na płaszczyźnie ównika Kontakt kuli z kołami powoduje Ŝe jej obót zdeteminowany jest pzez dwie płaszczyzny oganiczeń W ten sposób stopień swobody kuli zostaje zedukowany do jednego wymiau Jeśli koło WI obaca się z pędkością kątową ρ to pędkość kontową kuli Ω okeśla zaleŝność () gdzie ω i ω oznaczają pędkości obotowe kół WO i WO według następujących wzoów: I Ω O R R ; ω Ω cos ; ω Ω sin O O () Konstukcja amienia i tansmisja napędu Ramię manipulatoa zbudowane jest z tzech ogniw Aby steować tzema zmiennymi konfiguacyjnymi za pomocą dwóch napędów konieczne jest zastosowanie dwóch pzekładni kulowych Rozmieszczenie pzekładni pokazane jest na Rysa Sygnałem steującym U jest zadana pędkość kątowa któa ealizuje zmianę kąta popzez pzekładnię PZ (Rys b)

4 B Kysiak P Szulczyński K Kozłowski a) b) c) Rys Stuktua mechaniczna obota manipulacyjnego: a) spzęgło kulowe b) ogólna budowa c) stuktua mechaniczna manipulatoa z tansmisją napędu P podstawa Mn manipulato S S spzęgła kulowe manipulatoa PZ pzekładnia zębata U U napędy (steowanie) zmienne konfiguacyjne Sygnał steujący U stanowi pędkość koła wejściowego (WI) któe napędza kulę Ona z kolei napędza koła wyjściowe z któych WO słuŝy do pzeniesienia napędu na kulę w spzęgle S (Rys c) a WO steuje kątem Model kinematyczny Model kinematyczny pzy załoŝeniu jednostkowych watości dla postać: & & u & + sin u cos cos Ω R ma O I ()

5 Steowanie nieholonomicznym manipulatoem z zastosowaniem q q T T q q Φ R gdzie [ ] [ ] to zmienne konfiguacyjne a u u U R to sygnały steujące Badany model óŝni się od modeli najczęściej ozwaŝanych w liteatuze ([] [] [] [4] [5] [9]) Wpowadzona modyfikacja została ozwaŝona w [6] gdzie wykazano Ŝe zmiana połoŝenia układu olek pzekazujących napęd powadzi do popawy stanów pzejściowych RozwaŜany model naleŝy do klasy bezdyfowych układów nieholonomicznych opisanych zaleŝnością: q & gu + g q) u ( () Opisany system jest w pełni steowalny w całej pzestzeni konfiguacyjnej Φ R lecz nie wszystkie pędkości q& są dostępne podczas steowania co bezpośednio wynika z oganiczeń nieholonomicznych Pzy załoŝeniu Ŝe t π π ( t) ( ) (4) unikamy punktów osobliwych STEROWANIE Dla ozwaŝenia zadania stabilizacji definiujemy wekto błędu: e ( t) e( t) ( ) e t q e ( t) q( t) ( t) ( t) ( t) (5) q T R to połoŝenie odniesienia manipulatoa gdzie [ ] natomiast q ( t) R okeśla aktualne połoŝenie manipulatoa Zadanie steowania Zapoponowane pawo steowania pozwala na paktyczną stabilizację systemu nieholonomicznego opisanego zaleŝnością () Zadaniem steowania jest wyznaczenie steowań u ( t) u ( t) dla modelu () takich by dla kaŝdych waunków początkowych e () noma błędu (5) zmiezała do okeślenie małej watości ε tj tak by lim e( t) t ε

6 B Kysiak P Szulczyński K Kozłowski Tansfomacja do układu łańcuchowego Z uwagi na to Ŝe zastosowane pawo steowania zostało opacowane dla układów łańcuchowych kinematyka manipulatoa nieholonomicznego zostanie tansfomowana do takiej postaci: & & & v v z v (6) gdzie R to wekto stanu a v R to wekto wejścia Tansfomacja zmiennych stanu dla układu () na podstawie pac ([5] [6]) ma następującą postać: q L( q) tan q sin q u T ( q) v T ( q) cos q cos q cos q (7) (8) gdzie L( q) R stanowi tansfomację współzędnych a u T ( q) v jest tansfomatą steowania Tansfomata współzędnych jest dobze okeślona gdy zmienne q i q są oganiczone [6] W wyniku tej tansfomacji system () został pzekształcony do postaci (6) i dla niego pzedstawiono pawo steowania Steowanie z wykozystaniem funkcji tanswesalnych Zanim zapoponujemy pawo steowania konieczne jest zdefiniowane niezmienniczej opeacji na gupie Liego G okeślonej dla układu łańcuchowego piewszego zędu ([4] [6]) (opeacja ta posłuŝy później do zdefiniowania zmiennej z G ) Ao B A + B B B + A T ΛB A A B A B B Λ (9) gdzie [ ] T [ ] T A A A A B B B B i A B G Wykozystując niezmienniczą opeację gupową (9) definiujemy z G :

7 Steowanie nieholonomicznym manipulatoem z zastosowaniem z z ( ) z o f Θ z z z z t z t o m t t m t z z z m m m f f ( Θ) f f ( Θ) ( Θ) ( Θ) () () gdzie R jest tansfomowaną (7) pozycją odniesienia t z R to wynik działania opeacji gupowej (9) pzedstawiony w () m R to tansfomowane f Θ to oganiczone funkcje tanswesalne zmienne konfiguacyjne a ( ) R Oznaczenie a G okeśla element odwotny do a któy spełnia waunek a o a e gdzie e to element natualny gupy G Na podstawie pac ([4] [7]) pzyjęto szczególną postać funkcji tanswesalnych dla systemu łańcuchowego: f ( Θ) ε sin Θ ε cos Θ T ε sin Θ 4 () gdzie Θ stanowi dodatkową witualną zmienną zawieającą sinusoidalne wymuszenie z okeśloną i wystaczająco wysoką częstotliwością tak by zapewnić śledzenie z załoŝonym maksymalnym błędem W pacach ([4] [6] [8]) pokazano Ŝe częstotliwość steowania moŝe zmiezać do zea nawet gdy tajektoia odniesienia nie jest ozwiązaniem systemu steowanego Noma Euklidesowa funkcji f (Θ) jest oganiczona pzez wielkość wpost popocjonalną do stałej ε i jednostajnie zmieza do zea ównocześnie gdy ε zmieza do zea MoŜliwe jest więc załoŝenie stałego współczynnika ε o małej watości JednakŜe dopowadzi to do wysokiej częstotliwości pzebiegów funkcji f ( Θ) gdy zmienna z osiąga duŝe watości Rozwiązaniem tego poblemu jest popozycja skalowania współczynnika ε w czasie [6] według wzou: ε ( t ) ψ ep t + ε ( ψ ) () gdzie ψ ψ i ε to stałe dodatnie współczynniki Z uwagi na to Ŝe det H ( Θ) ε / Θ dla H (Θ) zdefiniowanego jako: f ( Θ) H ( Θ) X ( f ( Θ)) X Θ (4)

8 B Kysiak P Szulczyński K Kozłowski f ( Θ) i pzy załoŝeniu Ŝe ε pola wektoowe X ( f ( Θ)) X i stanowią Θ bazę o wymiaze R gdzie maciez H (Θ) jest odwacalna dla kaŝdego Θ Τ [7] Stąd wynika Ŝe gadient funkcji f (Θ) jest tanswesalny do kieunku pola wyznaczonego pzez pola wektoowe X i X Zapoponowane podejście spowadza się do asymptotycznej stabilizacji z do watości z za pomocą zmiennych u u i Θ Pzy okeślonych funkcjach tanswesalnych () i poszezonym wektoze staowania v [ v v Θ& ] T o dodatkową zmienną witualną Θ i bioąc pod uwagę układ (6) moŝemy stwiedzić Ŝe: z & Hv (5) gdzie H AH ( f (Θ) z) a A z f Poponując steowanie: v H Kz (6) uzyskujemy pzekształcenie zaleŝności (4) w posty odspzęŝony system liniowy z& Kz (7) gdzie K jest dobieana tak aby była stabilną maciez Huwitza 4 WYNIKI SYMULACJI Dla potzeb symulacji paamety układu zostały dobane następująco: K 5I I maciez jednostkowa ε ψ 5 ψ i ε Robot ozpoczyna uch w punkcie q ) [ ] T q [ ] T ( a pozycją końcową jest Rysunki a 4a i 5a pzedstawiają symulację pzepowadzoną dla stałego współczynnika ε a ysunki b 4b i 5b dla zmiennego współczynnika ε (t)

9 Steowanie nieholonomicznym manipulatoem z zastosowaniem a) b) Rys Błąd stabilizacji e e e : a dla stałego ε b dla zmiennego ε (t) a) b) Rys 4 Steowanie u u u Θ : a dla stałego ε b dla zmiennego ε (t) & a) b) Rys 5 Pozycja manipulatoa w pzestzeni zadania: a) dla stałego ε b) dla zmiennego ε (t) W obu pzypadkach uzyskaliśmy zbieŝność błędu śledzenia do watości stałej bliskiej zeu (Rys ab) W pzypadku a pojawiają się oscylacje chaakteystyczne dla tego steowania Częstotliwość tych oscylacji jest duŝa i stanowi zjawisko niepoŝądane Zmniejszenie oscylacyjnego zachowania układu zostało uzyskane popzez wpowadzenie zmiennego w czasie współczynnika ε (t) W początkowej fazie symulacji ε (t) jest duŝe co pozwala manipulatoowi bez

10 B Kysiak P Szulczyński K Kozłowski znaczących oscylacji pzemieścić się do połoŝenia q W celu dokładnego osiągnięcia połoŝenia q współczynnik ε (t) zostaje spowadzony do watości ε Dalsze pace będą się skupiały na modyfikacji ε (t) tak by uzyskać łagodniejsze pzeoientowanie manipulatoa oaz na analizie wpływu óŝnych postaci funcki f (Θ) na jakość steowania LITERATURA [] P Matin and P Rouchon Feedback lineaization of diftless systems Math Contol Sig Syst 994 vol 7 s 5 54 [] A Mazu K Aent Tajectoy Tacking Contol fo Nonholonomic Mobile Manipulatos K Kozłowski (Ed): Robot Motion and Contol London Spinge 6 LNCIS 5 s 55-7 [] P Moin C Samson Eponential stabilization of nonlinea diftless systems with obustness to unmodelled dynamics Contol Optim Calculus Va 999 vol 4 s 6 [4] P Moin C Samson Pactical Stabilization of Diftless Systems on Lie Goups: The Tansvese Function Appoach IEEE Tansactions on Automatic Contol Septembe vol 48 no 9 s [5] Y Nakamua W Chung O J Sodalen Design and Contol of the Nonholonomic Manipulato IEEE Tansactions on Robotics And Automation Vol 7 No Feb s [6] D Pazdeski K Kozłowski Steowanie nieholonomicznym obotem mobilnym z wykozystaniem oscylatoa kinematycznego Studia z Automatyki i Infomatyki tom 7 Poznań s 7-98 [7] P Szulczyński B Kysiak K Kozłowski Zastosowanie funkcji tanswesalnych w steowaniu Postępy Robotyki Steowanie pecepcja i komunikacja Waszawa 6 s [8] B Kysiak K Kozłowski Układy steowania dla obota mobilnego IV Sympozjum Modelowanie i Symulacja Komputeowa w Technice Łódź 5 s [9] K Tchoń J Jakubiak K Zadanowska Double nonholonomic mobile manipulatos IEEE IntConf on Robotics and Automation Poeedings New Oleans 4 s CONTROL OF NONHOLONOMIC MANIPULATOR WITH TRANSVERSE FUNCTION APPROACH The pape pesents tansvese function appoach fo contol of a -link nonholonomic plana manipulato The difficulty of contol of this system comes fom adaptation of nonholonomic ball gea in it which implies nonintegable motion constains The poposed solution allows to contol a nonholonomic system with eos which can be made abitay small Contol law has been pesented and illustated by simulation esults