WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRĘŻYSTE WPROWADZENIE

Transkrypt

1 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 1 WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRĘŻYSTE WPROWADZENIE Mechanika nieliniowa zajmuje się problemami w których zależności między naprężeniami lub siłami a wielkościami kinematycznymi są nieliniowe. Rozróżniamy dwa zasadnicze rodzaje nieliniowości: kinematyczną (tj. geometryczną) i fizyczną. Nieliniowość kinematyczna pojawia się wtedy gdy rozważany obiekt wykazuje duże odkształcenia albo duże przemieszczenia albo duże odkształcenia i duże przemieszczenia jednocześnie (np. konstrukcje cięgnowe pneumatyczne). Nieliniowość fizyczna wynika z fizycznych własności materiału lub konstrukcji i objawia się wówczas gdy związki konstytutywne są nieliniowe. Są to np. materiały nieliniowo-sprężyste lub plastyczne. Szczególnego typu nieliniowość fizyczną w zakresie małych przemieszczeń wykazują również konstrukcje wykonane z materiału liniowo-sprężystego ale nie spełniające postulatów Clapeyrona. Mamy tu na myśli tzw. konstrukcje luzowe czyli konstrukcje wykazujące niewielkie luzy w połączeniach elementów. W skali makro (na poziomie całej konstrukcji) obecność luzów jest przyczyną zakleszczania się (ang. locking) tzn. wzrostu sztywności w miarę wzrostu obciążenia. Zakleszczanie się oprócz sprężystości i plastyczności można uważać za kolejny prototyp nieliniowego prawa fizycznego. Jest oczywiste że występują również przypadki bardziej złożone w których rozważany obiekt wykazuje zarówno nieliniowość kinematyczną jak i fizyczną. Dla wszystkich zadań nieliniowych charakterystyczne jest to że nie obowiązuje zasada superpozycji skutków. Do konstrukcji niesprężystych zaliczamy takie których materiał poza cechami sprężystymi wykazuje inne cechy np. lepkość. Należą do nich konstrukcje (materiały) lepko-sprężyste. Gdy zależność pomiędzy naprężeniem a prędkością odkształceń jest liniowa to obowiązuje zasada superpozycji względem cykli naprężeń i odkształceń jako funkcji czasu. W odróżnieniu od procesów sprężystych są to jednak procesy w których obserwujemy dyssypację energii. W kolejnych rozdziałach tej części podręcznika przedstawimy specyfikę zadań nieliniowych i niesprężystych. Na początku omówimy konstrukcje prętowe wykonane z materiału liniowo-sprężystego wykazujące jednak cechy nieliniowe (w tym konstrukcję luzową). Dalej przedstawimy problematykę prętów wykonanych z materiałów fizycznie nieliniowych lub materiałów wykazujących cechy niesprężyste. Na koniec omówimy problemy stateczności. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

2 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 17 NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI WYKONANYCH Z MATERIAŁU LINIOWO-SPRĘŻYSTEGO RAMA Z LUZAMI KĄTOWYMI NA PODPORACH Omówimy efekty zastosowania podpory przegubowej z ograniczeniem kąta obrotu. Jest to tzw. podpora luzowa. Model takiej podpory ilustruje rysunek 17.1a. Rys Jeśli kąt obrotu pręta jest zawarty w przedziale ( Φ Φ + ) to mamy do czynienia ze zwykłą podporą przegubową. Dla wartości granicznych Φ = Φ + lub Φ = Φ podpora przybiera cechy utwierdzenia *). Charakterystykę fizyczną takiej podpory przedstawiają rysunek 17.1b oraz zależności (17.1): + M = Φ < Φ < Φ + M Φ = Φ M Φ = Φ. (17.1) Zachowanie omawianej podpory jest wobec tego nieliniowe. Zastosowanie podpór luzowych zilustrujemy na przykładzie ramy portalowej wykonanej z materiału liniowo-sprężystego. Całość rozważań odniesiemy do zakresu małych przemieszczeń. Obciążenie ramy stanowią dwie siły: P x = p x P oraz P y = p y P przy czym p x oraz p y są bezwymiarowymi intensywnościami obciążeń a P oznacza pewną stałą o wymiarze siły. Zadanie objaśnia rys. 17.a. *) Problem ten należy do mechaniki układów z więzami jednostronnymi. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

3 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 3 Rys. 17. Wszystkie możliwe warianty schematów statycznych ramy luzowej przedstawiają rys. 17.c d e f przy czym dodatnie zwroty momentów podporowych zaznaczono na rys. 17.b. Przyjęcie podpór nieliniowych sprawia że schemat statyczny ramy zmienia się wskutek narastania obciążeń. Jest to zatem konstrukcja która nie spełnia postulatów Clapeyrona; wykresy obciążenie - przemieszczenie są liniami łamanymi tzn. są nieliniowe. Racjonalne obranie wartości + kątów Φ i Φ daje efekt dostosowania się schematu statycznego do intensywności i charakteru obciążenia. Wymienione cechy konstrukcji nie są bez znaczenia dla praktyki projektowej oraz analizy wpływu luzów podporowych na zachowanie się konstrukcji. Do obliczenia ramy zastosowano metodę sił. Przy wyznaczaniu przemieszczeń uwzględniono jedynie wpływ zmiany krzywizn osi prętów. Przyjęto że układ podstawowy jest ramą trójprzegubową (rys. 17.3a) a wszystkie pomocnicze wykresy momentów zginających obrazują kolejne rysunku Punktem wyjścia są równania kanoniczne metody sił: (a) gdzie X1 11+ X 1 + X3 13 = 1p X1 1+ X + X3 3 = p X1 31+ X 3 + X3 33 = 3p Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

4 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 4 (b) EA 11 l n EJ 1 EJ = ( + ) = = ln 6 1 EJ EJ 33 l n EJ 3 l n = = ( + ) = ( ) 1 EJ 1p = Pl ( 3+ n) py 6 1 h EJ p Pl = n py + 3n px 1 ( ) l 1 h EJ 3p = Pl n py + + 3n px 1 ( ) l h J n = 1 ik = ki. l Jh Rys Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

5 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 5 Kąty obrotu na podporach określają zależności (c) ΦA = ( p + X1 1 + X + X3 3) ΦB = ( 3 p + X X 3 + X3 33). O sztywności ramy decydują wartości przemieszczeń x i y. Przemieszczenia te obliczymy ze wzorów: (d) gdzie x = x + X1 x1+ X x + X3 x3 y = y + X1 y1+ X y + X3 y3 Mx M My M = ds y = ds EJ EJ x s s MxM M i ymi xi = ds yi = ds i EJ ; = 13. EJ s s Momenty M w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym pochodzą od obciążenia zewnętrznego a M x i M y są wywołane odpowiednio siłami P x = 1 (rys. 17.3c) i P y = 1 (rys. 17.3d). Po wykonaniu całkowania otrzymujemy: EJ P l n h p EJ EJ EJ l n h x = 1+ x x1 x x3 3 (e) 6 l ( ) ; = ; = = ( + ) 1 l ; 1 EJ y Pl 3 1 n py EJ y1 Pl 1 = 1+ = 3+ n EJ y = EJ y3 = l n ( ) ; ( ); Wzory (c) i (d) są słuszne dla każdego z czterech schematów statycznych przedstawionych na rysunkach 17.c d e f pod warunkiem podstawienia odpowiednich wartości momentów nadliczbowych X 1 X X 3. Równania kanoniczne (a) po podstawieniu zależności (b) można doprowadzić do postaci: 43 ( + n) X1+ nx + nx3 = Pl ( 3+ n) py 1 (f) nx1+ ( 1+ 4n) X ( 1+ n) X3 = Pl[ npy ( + 3n)( h/ l) px] 1 1 ( 1+ ) + ( 1+ 4 ) 3 = [ + ( + 3 )( / ) ]. nx n X n X P l npy n h l py Dla poszczególnych schematów statycznych otrzymujemy następujące rozwiązania tego układu równań: (g) gdzie schemat I X1 = Plb 1 py X = X3 = schemat II X1 = Pl ( a px + b py) X = X3 = Pl ( c px + d py) schemat III X1 = Pl ( a px + b py) X = Pl( c px + d py) X3 = schemat IV X1 = Plb 3 py X = Pl ( c3 px + d3 py) X3 = Plc ( 3 px + d3 py). Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

6 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 6 (h) 3+ n n + 3n h 6 8n 15n b1 = a = b n 43+ n n l = ( ) ( ) ( ) 1 ( + 5n+ 15n ) 3 ( + n)( + 3n) h 3n c = d n n l = 1 + 5n+ 15n + n + 3n h b3 = c3 = 4+ n 41+ 3n ( ) ( ) ( ) l 1 3 = 4 ( + n). Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniach (c) otrzymujemy wzory na kąty obrotu na podporach w schematach I III: schemat I ϕa = α px + β py ϕb = α px + β p y schemat II (i) ϕa = α px + β py ϕb = schemat III ϕa = ϕb = α px + β py. gdzie: (j) EJ EJ ϕa = ΦA ϕb = ΦB Pl Pl n h n α = + 3 β 1 1 = 1 l 8( 3 + n) n( 4+ n)( + 3n) h n j n α = β + n+ n ( + 3 ) =. l 1 ( 5 15 ) 1 + 5n+ 15n Pl Według równań (d) obliczono przemieszczenia x = δ x 3 Pl oraz y = δ y 3 : EJ EJ (k) schemat I: δx = A1 px; δy = D1 py schemat II: δx = A px B py; δy = B px + D py schemat III: δx = A px + B py; δy = B px + D py schemat IV: δx = A4 px; δy = D4 py przy czym (l) j n h 3 4n A1 = + D1 6 + = l 4( 3 + n) n( n+ 3n h n 3n h A = B n n l ( + ) = 41+ 5n+ 15n ( ( ) l n( 4+ 3n) h 3 16n 15n A4 = D D n l = = ( ) 61 ( + 5n+ 15n ) 1+ n 64 ( + n) Ustalimy teraz warunki w których realizują się poszczególne schematy statyczne. Schemat I stosownie do rys. 17.c realizuje się wówczas gdy są spełnione nierówności: (m) γ ϕ < ϕ A < ϕ γ ϕ < ϕb < ϕ gdzie ϕ = EJ γ ϕ = EJ Φ Φ Pl Pl. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

7 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 7 W nierównościach tych wyrazimy kąty ϕ A i ϕ B przez parametry obciążeń p x i p y. Ostatecznie otrzymujemy cztery nierówności: (n) p p p p x y x y + < 1 + < 1 ϕ ϕ ϕ ϕ α1 β1 α1 β1 p p p p x y x y + < + < γ ϕ γ ϕ 1 γ ϕ γ ϕ 1. α1 β1 α1 β1 Granica obszaru wyznaczonego tymi nierównościami jest równoległobokiem zaznaczonym na rys gdzie przyjęto że γ > 1. (o) Dla schematu II obowiązują nierówności: Rys ϕa < ϕ ; ϕa > γ ϕ przy czym ϕb = ϕ gdy MB lub ϕb = γ ϕ gdy MB. Rozważymy najpierw przypadek taki że ϕ < ϕ ϕ = ϕ. Kąt ϕ A jest sumą dwóch wartości ϕ A1 i A B ϕa. Wartość ϕ A1 jest kątem obrotu lewej podpory w chwili gdy kąt ϕ B osiąga wartość ϕ. Obciążenia p x i p y przyjmują wówczas wartość p x1 i p y1 oraz odpowiadają pewnemu punktowi leżącemu na granicy obszaru w którym realizuje się schemat I (por. rys. 17.4). Wynika stąd że ϕa1 = α1 px1+ β1 py1 ϕb = ϕ = α1 px1+ β1 py1. Kąt ϕa realizuje się już w schemacie II. Wobec tego ϕ = ϕ + = α p + β p α ( p p ) + β ( p p ) < ϕ A A1 ϕ 1 x1 1 y1 x x1 y y1 A Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

8 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 8 skąd α px + β py < ϕ + px1( α1 α) py1( β1 β). Ponieważ ϕb = ϕ więc α α αβ α p + β < 1 α + 1 x py 1px1 py 1. α1 α1 α Uwzględniwszy wzory (j) stwierdzamy że (p) co prowadzi do nierówności: lub po przekształceniu (r) α1 β α α 1 = β α α α p + β < 1 x py ϕ α1 p p x y + < 1. α 1 α ϕ ϕ α1 α β1 1 W analogiczny sposób analizujemy drugi przypadek: ϕ A > γϕ oraz ϕb > ϕ. Otrzymujemy wtedy nierówność: ϕ = ϕ + = α p + β p α ( p p ) + β ( p p ) > γϕ A A1 ϕa 1 x1 1 y1 x x1 y y1 którą można przedstawić w postaci: α px + β py > γ ϕ + px1( α1 α) py1( β1 β). Ponieważ β1 py1 = ϕo α1 px 1 więc skąd α α α p + β > γ ϕ ϕ + 1 x py ( α1 px1+ β1 py1) α1 α α α p + β > ϕ γ + = γ x py 1 1 α α ϕ. 1 1 Ostatecznie dla γ > 1 α α1 otrzymujemy: (s) p p x y + α 1 α 1 γ ϕ / α γ ϕ / β α1 α1 < 1. Nierówności (r) i (s) wyznaczają obszar w którym realizuje się schemat II. Obszar ten oraz wyniki analizy pozostałych przypadków zobrazowano na rys Efekty ilościowe oraz dalsze efekty jakościowe pokażemy na przykładzie ramy przedstawionej na rys Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

9 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 9 Rys Pręty ramy są wykonane ze stalowych dwuteowników równoległościennych IPE ( E = 1 kn / m J = 771 m ). Obciążenia P x i P y zmieniają się w granicach: 4kN P x 4kN 4kN P y 4kN. Siła P y = 4 kn symbolizuje obciążenia stałe pochodzące od ciężaru własnego konstrukcji. Jeżeli przyjmiemy że P = 4 kn to na płaszczyźnie obciążeń p x i p y punkt A o współrzędnych p x = i p y = 1 odpowiada obciążeniu ciężarem własnym. Dla obciążeń zmiennych mamy: 1 px 1 1 py 6. Własności podpór charakteryzują wartości γ = oraz ϕ = 75 rad. Oznacza to że kąt Φ = a kąt Φ + Pl = ϕ 4 4 = = rad. EJ 77 Z wymiarów geometrycznych prętów ramy wynika że n = h/l = 75. Na podstawie wzorów (h) (j) i (l) obliczono: b1 = 3 a = 11 b = 981 c = 4 d = 3788 b3 = 89 c3 = 45 d3 = 153 α1 = 656 β1 = 5 α = 955 β = 411 A1 = 1641 A = 57 A4 = 338 D1 = 6667 B = 16 D = 657 D4 = 614. Na rysunku 17.6 przedstawiono obszar obciążeń zewnętrznych oraz obszary poszczególnych schematów statycznych. Rama wykazuje cechy konstrukcji fizycznie nieliniowej i wzmacnia się w miarę wzrostu obciążenia. Każdemu punktowi przestrzeni obciążeń p x p y można przypisać odpowiednie bezwymiarowe przemieszczenia δx i δy. Obliczymy przykładowo przemieszczenia stowarzyszone z punktami A K L i G: punkt A ( px = py = 1 ): δ x = δ = = 667. y punkt K ( px = 179 py = ): δx = = 99 δ y = ( ) 6667 = 193. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

10 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 1 punkt L ( px = 7488 py = ): δx = 99 + ( ) 57 ( ) 16 = 59 δy = 193 ( ) 16 + ( ) 657 = 37. punkt G ( px = 1 py = 6 ): δ = 59 + ( ) 338 = 338 x δ y = 37 + ( ) 614 = 384. Rys Rezultaty dla pozostałych punktów zestawiono niżej: B( 9411 ; ): C( 3557 ; 1): D(; 1 1): E(; 1 3): 5 F(; ): G(; 1 6): δx = 1544 δx = 341 δx = 519 δx = 519 δx = 338 δx = 338 δy = 667 δy = 693 δy = 693 δy = 8 δy = 343 δy = 384 H(; 6): δx = I(; 3): δ = δ =. x δ y = 384 Widzimy zatem że między punktami przestrzeni obciążeń a punktami przestrzeni przemieszczeń istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie. Własność ta pozwala na graficzne przedstawienie poszczególnych dróg obciążenia i schematów statycznych w przestrzeni przemieszczeń δx i δy. W rozważanym zadaniu ilustruje to rys Prostokątnemu obszarowi obciążeń odpowiada wielobok y Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

11 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 11 ABCDEFGH w przestrzeni przemieszczeń. Dla porównania zaznaczono prostokąty A'D'G'H' i A''D''G''H'' które otrzymujemy odpowiednio dla schematu I i schematu IV. Na zakończenie omówimy jeszcze zmiany energii sprężystej występujące w zamkniętym cyklu obciążenia na drodze ABCDEFGHIA. Energię te obliczymy z zależności: Pl Pl ( ) pd pd 3 3 δ δ Lc = Lx + Ly = Px d x + Py d y = ( x x + y y) = ( lx + ly). EJ EJ Rys Aktualna wartość energii sprężystej L c jest zatem sumą pól zawartych pod wykresami Px( x) i Py( y). Wykresy te podano na rys Jak widać linie obciążeń i odciążeń na obu wykresach nie pokrywają się. Dla rozważanego cyklu obciążenia w płaszczyźnie P x x obserwujemy produkcję energii a na płaszczyźnie P y y dyssypację energii. Ponieważ jednak rozważany proces jest sprężysty suma produkcji i dyssypacji energii jest równa zeru. Łatwo to sprawdzić rachunkowo. Dla poszczególnych punktów obliczono: A: l x = ly = 333 l c = 333 B: l x = 7 ly = 333 l c = 34 C: l x = 41 ly = 353 l c = 394 D: l x = 189 ly = 353 l c = 54 E: l x = 189 ly = 3818 l c = 47 F: l x = 5 ly = 9118 l c = 913 G: l x = 5 ly = l c = H: l x = 164 ly = l c = 1 77 I: l x = 164 ly = 3164 l c = 3 A: l x = 164 ly = 164 l c =. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

12 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 1 Rys Największa energia sprężysta występuje w punkcie Gl ( c = ). Gdyby założyć że w całym zakresie obciążeń realizuje się schemat I to energia ta l c = 18 a gdy realizuje się tylko schemat IV to l c = 11. Widzimy zatem że energia sprężysta może być pewną miarą podatności konstrukcji. Im większa energia sprężysta tym większa podatność. Fakt ten wykorzystuje się czasem do oszacowania globalnej sztywności konstrukcji. W podsumowaniu warto zwrócić uwagę na to że problemy nieliniowe są z reguły bardzo skomplikowane i wymagają do żmudnych rachunków. Przekonywującym potwierdzeniem tego wniosku jest przedstawiony wyżej problem ramy na nieliniowych podporach KRATOWNICA MISESA Wprowadzenie Nazwa kratownica Misesa odnosi się do kratownicy dwuprętowej przedstawiona na rys Zbadamy zachowanie się układu pod wpływem symetrycznego obciążenia pionowego siłą P zaczepioną w węźle środkowym. Rys Jeżeli wyniosłość kratownicy mierzona stosunkiem H /L jest mała to prawidłowy opis deformacji kratownicy wymaga odstąpienia od zasady zesztywnienia. Innymi słowy równania równowagi trzeba układać dla konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). Otrzymujemy zatem problem kinematycznie (geometrycznie) nieliniowy. W celu zilustrowania powyższych stwierdzeń zadanie rozwiążemy w dwóch wariantach: liniowym (przy akceptacji zasady zesztywnienia) i nieliniowym. Geometrię odkształcenia opiszemy pionowym przemieszczeniem v punktu przyłożenia obciążenia przy założeniu że deformacja konstrukcji jest symetryczna. Przyjmiemy nadto że odkształcenia liniowe prętów są małe a materiał prętów kratownicy jest liniowo-sprężysty. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

13 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 13 Zależność między siłą P a przemieszczeniem v ustalimy na podstawie twierdzenia o minimum energii potencjalnej (por. p ). Pokażemy że równowaga układu ma miejsce dla takiej wartości v która ekstremalizuje energię potencjalną Π ( v ) określoną wzorem (14.11). Wzór ten w naszym zadaniu przybiera postać: (a) Π = 1 EAλ ds P v s gdzie λ = L/ L i oznacza wydłużenie względne osi prętów a L= L /(sin α ) Zadanie kinematycznie liniowe W zakresie małych przemieszczeń zależność między zmianą długości prętów L i przemieszczeniem v jest liniowa (por. rys. 17.1b): (b) L= v cos α. Rys Wobec tego (c) a energia potencjalna cosα λ = v sin α L l 1 EA (d) Π( v) = λea dx P v= EAλL Pv= cosα sin v P v. α L Ekstremum funkcji Π ( v ) zachodzi jeżeli Π v = : (e) Π EA = cos α sin α v P =. v L Łatwo zauważyć że druga pochodna energii potencjalnej względem przemieszczenia v jest zawsze większa od zera: Π v > więc stan równowagi określony zależnością (e) odpowiada minimum energii Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

14 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 14 potencjalnej. Zależność (e) można uzyskać także z równania równowagi zapisanego w konfiguracji pierwotnej. Z rysunku 17.1c wynika bowiem następujące równanie równowagi: Ponieważ jednak więc (f) P= Ncos α. N EA EA L EA = λ= = cosα sin α v L L EA P = cos α sin α v. L Wzór (f) pokrywa się z zależnością (e) uzyskaną metodą energetycznej Zadanie kinematycznie nieliniowe Gdy uwzględnimy zmiany geometrii układu wówczas zależność L( v) jest bardziej złożona. Ze wzoru Pitagorasa otrzymujemy (rys. 17.9): L = L + H = L L+ L = L /sin α + ( H v) skąd L L + ( H v) L + H (g) λ = = sin α. L L Wobec powyższego energia potencjalna układu L EA (h) Π ()= v 1 EAλ dx Pv= L + ( H v) L + H sin α Pv. L Warunek ekstremum funkcji Π(v) prowadzi do zależności: Π EA L + ( H v) L + H = sinα ( H v) P= v L L + ( H v) skąd (i) v 1 Pv ( ) = EA ctgα sin α. L v 1+ ctgα L Identyczny wynik otrzymujemy z równania równowagi sił w konfiguracji aktualnej (ryz ). Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

15 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 15 Rys Zależność P(v) może odpowiadać równowadze statecznej ( P v = P v > ) lub niestatecznej ( P v < ). Z budowy zależności (i) wnioskujemy że pochodna P v jest równa drugiej pochodnej energii potencjalnej. Równowaga stateczna występuje zatem wówczas gdy energia potencjalna osiąga minimum tzn. gdy Π v = Π v > natomiast równowaga jest niestateczna gdy energia potencjalna osiąga maksimum: Π v = Π v <. Problem stateczności równowagi zilustrujemy również w przykładzie liczbowym Przykład liczbowy *) Obliczenia wykonano dla następujących danych: L = 1 m E = 1 1 kn/m A= 1 m ctgα = 1 P= 4 kn. 8 3 W zadaniu liniowym stosownie do wzoru (d) otrzymano: Π ( v) = 69 v P v Warunek równowagi Π v = prowadzi do zależności: Pv ( ) = 4138 v. Gdy P = 4 kn Przemieszczenie pionowe wynosi v = v* = 967 m. Dla zadania nieliniowego obliczono (wzór (h)): Π ( v) = ( v) Pv Równowaga występuje gdy Π v = : Π = v 1 ( 1 v) P =. 1+ ( 1 v) Po podstawieniu P= 4 kn otrzymujemy v = v* = 1159 m. Zależność Pv ( ) odpowiadająca równowadze przybiera postać: *) Obliczenia do tego przykładu wykonał W. Czarnecki. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

16 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 16 Pv ( ) = ( 1 v). 1+ ( 1 v) O stateczności równowagi mówi znak drugiej pochodnej energii potencjalnej: dp Π 11 = = dv v 1+ ( 1 v) + 11 ( 1 v) 3. / [ 1+ ( 1 v) ] Rys Wykresy funkcji Π(v) dla zadania liniowego i zadania nieliniowego zestawiono na rys. 17.1a. Dla siły P = 4 kn minimum funkcji Π(v) odpowiada równowadze statecznej. Odpowiednie wykresy funkcji Pv ( ) dla umiarkowanych wartości przemieszczeń podano na rys. 17.1b. Wyraźne różnice jakościowe uwidaczniają się dopiero przy większych wartościach przemieszczeń. Ilustruje to rys W zadaniu nieliniowym siła P rośnie do punktu A kiedy dp v = Π v. W punkcie tym zwanym punktem granicznym funkcja Pv ( ) osiąga lokalne maksimum: dp v = Π v =. Przy dalszym powiększaniu siły P obserwujemy zjawisko tzw. przeskoku (ang. snap-through) i ustalenie się nowego położenia równowagi. Na wykresie Pv ( ) odpowiada to przeskokowi z punktu A do punktu C. Opisane zjawisko umyka uwadze jeżeli stosujemy podejście liniowe. Przeskok obserwujemy tylko wówczas gdy czynnikiem sterującym jest obciążenie P. Jeżeli będziemy powiększać przemieszczenie v (sterowanie przemieszczeniem) to zaobserwujemy zmniejszenie reakcji pionowej węzła środkowego zgodnie z przebiegiem krzywej AB: dp v = Π v <. Począwszy od punktu B dalszemu wzrostowi przemieszczenia v towarzyszy wzrost reakcji węzła środkowego (krzywa B C D: dp v = Π v > ). Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

17 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 17 Rys Zjawisko przeskoku ma bardzo duże znaczenie w praktyce inżynierskiej. Najczęściej problem ten pojawia się w konstrukcjach powłokowych. Przykład kratownicy Misesa dowodzi że opis niektórych zjawisk występujących w mechanice wymaga odejścia od zasady zesztywnienia CIĘGNO OBCIĄŻONE SIŁĄ SKUPIONĄ Cięgno jest prętem mającym jedynie sztywność rozciągania. Cechy cięgna wykazują np. cienkie druty i liny. Zależność między siłą normalną a odkształceniem osi cięgna charakteryzuje rys Dla ujemnych odkształceń liniowych (tzn. skróceń) siła normalna jest równa zeru *). Podczas rozciągania cięgno może zachowywać się nieliniowo (rys a) lub liniowo (rys b). W obu przypadkach mamy jednak do czynienia z fizyczną nieliniowością gdyż funkcję odcinkowo liniową z rys b też zaliczamy do zależności nieliniowych. Wykresy podane na rys nawiązują do odkształcenia zdefiniowanego jako stosunek wydłużenia cięgna do jego pierwotnej długości L λ = L/ L. Sposób definiowania odkształcenia jest istotny jeżeli wydłużenia cięgna są bardzo duże. Rys W dalszym ciągu rozważania ograniczymy do cięgien o liniowej charakterystyce podczas rozciągania. Związek fizyczny stosownie do rys b można zapisać następująco: kλ λ N = λ < gdzie k oznacza sztywność rozciągania cięgna. (17.) *) Cięgno jest układem z więzami jednostronnymi. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

18 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 18 Materiałowi cięgna przypisuje się zazwyczaj cechy sprężystości liniowej co pozwala przyjąć że k = EA = const. Dla bardzo dużych odkształceń cięgna oznaczałoby to że moduł sprężystości musi wzrastać bo przekrój cięgna ulega zmniejszeniu. W zadaniach praktycznych wartości odkształceń są na tyle małe że założenie stałej sztywności cięgna jest usprawiedliwione. Przyjęciu obciążeń przez układ cięgnowy towarzyszą na ogół duże przemieszczenia. Z tego powodu problemy mechaniki cięgien są z natury rzeczy również geometrycznie nieliniowe. Zasadniczym mankamentem konstrukcji cięgnowych jest ich mała sztywność. Dlatego przed przyłożeniem obciążenia zewnętrznego poszczególne cięgna są poddawane wstępnemu naciągowi. Wpływ naciągu na sztywność układu cięgnowego objaśnimy na przykładzie. Rozważymy nieważkie cięgno o długości swobodnej L. Zamocujemy je na nieprzesuwnych podporach A i B usytuowanych w odległościach L> L (rys a). Rys Zamocowanie wymaga wstępnego wydłużenia o wartość L = L L co odpowiada odkształceniu wstępnemu λ = ( L/ L ) 1 i wstępnemu naciągowi N = k λ (rys b). Po zamocowaniu cięgna na podporach przyłożymy zewnętrzną siłę skupioną P w połowie rozpiętości. W miarę wzrostu obciążenia cięgno wydłuża się a gdy siła P osiągnie swą wartość końcową układ przyjmie konfigurację aktualną przedstawioną na rys c. Zadaniem naszym jest ustalenie zależności P( ) przy czym jest pionowym przemieszczeniem punktu przyłożenia siły. Do dyspozycji mamy: równanie równowagi (a) P= Nsin α = sin α = L+ L równanie geometryczne (b) ( L+ L) = + L równanie fizyczne L (c) N = k ( λ + λ) λ =. L Z równania (b) otrzymujemy związek: Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

19 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 19 L= L + L L = ( 1 λ ) 1 1 L z którego po wykorzystaniu równań (a) i (c) wynikają zależności: ( L) (d) P = N 1+ ( ) L N = k + + ( 1 λ ) 1 1 L oraz poszukiwany funkcję P( ): (e) ( L) ( ) ( ) P( ) = k. 1+ λ 1+ 1 L 1+ L Wzory (d) i (e) można zapisać w postaci bezwymiarowej: (f) n = ( 1+ λ ) 1+ δ 1 + ( 1 λ ) 1+ δ 1 p = δ 1+ δ gdzie n= N / k p= P/ k δ = / L. Jeżeli wartość δ jest mała w porównaniu z jednością to poprzestając tylko na dwóch wyrazach rozwinięcia w szereg potęgowy otrzymujemy w przybliżeniu: δ + δ δ. 1+ δ Wówczas wzory (f) upraszczają się do postaci: (g) 1 1 n λ + δ ( 1+ λ ) λ + δ 1 p + + δ λ δ ( ) δ δ λ δ. Miarą sztywności konstrukcji jest pochodna dp / dδ. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

20 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S (h) dp dδ. = λ + 3δ Widzimy zatem że wstępny naciąg mierzony wartością odkształcenia λ w istotny sposób powiększa początkową sztywność układu cięgnowego. Dla obliczeń numerycznych bardzo korzystne jest również to że sztywność ta jest różna od zera na początku procesu obciążenia gdy p =. Zależność między bezwymiarowymi wartościami siły normalnej n i obciążenia p a ugięciem δ ilustruje rys W celu porównania załączono wykresy dla λ = 1 i dla λ =. Z rysunku widać wyraźnie że w układach cięgnowych nie obowiązuje zasada superpozycji gdyż wykresy n( δ ) i p( δ ) są nieliniowe. Rys W obliczeniach konstrukcji cięgnowych wykazujących umiarkowane odkształcenia wstępne ( λ << 1) stosuje się uproszczenie polegające na tym że odkształcenia względne odnosi się na ogół nie do długości swobodnej L lecz do aktualnej długości cięgna wydłużonego. Oznacza to że stosujemy przybliżenie: L L L L ( 1+ λ ). (17.3) Zilustrujemy teraz wpływ nieliniowości fizycznej układu cięgnowego na zachowanie się układu w procesie odciążenia cięgna. Rozważymy układ złożony z trzech wstępnie napiętych cięgien (rys a). Między siłami wstępnego naciągu występuje zależność wynikająca z równania równowagi węzła C: 1 N sin α = N. Jeżeli przyjmiemy że sztywności cięgien AC i CB są równe i wynoszą k 1 a sztywność cięgna CD wynosi k to podany wyżej warunek równowagi prowadzi do zależności: (i) λ k = 1 λ 1 f k gdzie λ 1 oraz λ oznaczają odpowiednio wstępne wydłużenie względne cięgien AC i CB oraz CD zaś f F L = /. 1 Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

21 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 1 Rys Jak widać wstępne wydłużenia cięgien nie mogą być zupełnie dowolne co sprawia że ustalenie konfiguracji wstępnej w bardziej rozbudowanych układach stanowi problem sam dla siebie. Uwaga ta nabiera ostrości jeśli się zważyć że w praktyce wymagamy dodatkowo spełnienia warunku naprężeniowego ( σ σ dop ). Rozważany układ obciążymy pionową siłą skupioną (rys b). Z symetrii obciążenia wnioskujemy że punkt C ulegnie tylko przemieszczeniu pionowemu. Konfigurację aktualną można wyznaczyć tak samo jak w zadaniu poprzednim. Tym razem zastosujemy twierdzenie o minimum energii potencjalnej. Jeśli przyjmiemy przybliżenie (17.3) to wartość całkowita energia potencjalna układu (j) Π( ) = Π N λ L N λ L k L λ + klλ P gdzie Π oznacza energię potencjalną wstępnego naciągu a λ 1 oraz λ wydłużenia cięgien AC i CB oraz CD. Pochodzenie składników Ni λ ili + kili λ i / wynika Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

22 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S Rys wprost z rys Składniki te wyrażają zmianę energii zmagazynowanej w cięgnach w czasie przejścia z konfiguracji pierwotnej do konfiguracji aktualnej. Zmiana ta jest równa polu zakreskowanego trapezu (zbudowanego z trójkąta i prostokąta) na wykresie Ni( Li). Warunkiem ekstremum energii Π jako funkcji przemieszczenia jest znikanie pierwszej pochodnej tzn. Π = : (k) 1 λ1 1 λ N L N L k 1 1L1λ λ 1 klλ λ P =. Równanie (k) ma sens równania równowagi (sumy rzutów sił na kierunek przemieszczenia ) i jest poszukiwaną zależnością P( ). Jeśli uwzględnimy że siły wstępnego naciągu Ni = kiλ i to równanie (k) można przedstawić następująco: λ (l) P= L k Lk λ ( λ λ ) ( λ + λ ). Z rysunku 17.17b wynikają zależności geometryczne: L1 1 B F ( 1+ λ ) = + ( + ) ; λ = L skąd po uwzględnieniu że L1 = B + F dostajemy: (m) 1 λ1 = 1+ fδ + δ 1 fδ + δ L λ = δ 1 L gdzie δ = / L1 f = F / L1. Po podstawieniu tych zależności do równania (l) otrzymujemy ostatecznie: (n) gdzie p = P/ k1. 1 k L L ( λ 1 + fδ + δ )( f + δ) λ δ λ δ 1 > k1 L L P( δ ) = 1 L ( λ + fδ + δ )( f + δ) λ δ 1 1 L Funkcja P( δ ) jest opisana dwoma wzorami. Pierwszy dotyczy przypadku gdy cięgno CD jest jeszcze napięte tzn. gdy λ + λ. Drugi odpowiada sytuacji gdy cięgno napinające CD jest już luźne. Wyłączenie się cięgna CD powoduje bardzo wyraźne zmniejszenie sztywności układu. Zjawisko to ilustruje rys na którym zamieszczono wykres p( δ ) opisany zależnością (n). Na uwagę zasługuje fakt że przemieszczenia badanej konstrukcji cięgnowej są tak małe iż wpływ zmian geometrii jest prawie niezauważalny. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

23 Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 3 Rys Omówione wyżej zadania pod względem rachunkowym są elementarne. Obliczenia komplikują się gdy węzły układu mają większą liczbę stopni swobody. Wystarcza na przykład by obciążenie węzła C było niesymetryczne. Pojawiają się wówczas niewiadome przemieszczenia 1 i które trzeba obliczyć z układu równań nieliniowych. Przypadek taki przedstawiono na rys c. Wyrażenie na energię potencjalną układu przybiera wtedy postać: Π( ) = Π + N λ L + N λ L + N λ L k λ L + k λl + k1λ 3L1 P1 1 P. Z warunków ekstremum funkcji Π( 1 ) otrzymujemy (c) Π λ λ λ λ λ λ λ λ λ = ; kl( + ) + kl( + ) + kl( + 3) P1 = Π = ; kl λ λ λ λ λ λ λ λ λ 1 1( ) + kl ( + ) + kl 1 1( ) P =. Związki geometryczne wynikają z rys c: skąd ( L1+ L1) = ( B+ 1 ) + ( F + ) ( L + L) = 1 + ( L ) ( L1+ L3) = ( B 1 ) + ( F + ) Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.

24 (p) Część NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S 4 ( ) λ 1 δ1 δ δ1 δ δ1 δ 1 ( ) = 1+ b + f + + 1= bδ1+ fδ + δ1 + δ λ δ1 δ 1 1 ( ) = 1 1 ηδ η ( δ1 δ ) L L λ δ1 δ 1 δ1 δ δ1 δ 1 ( ) = b + f bδ1+ fδ + δ1 + δ 3 ( ) gdzie η = LL b= B/ L f = F/ L δ = L δ = L Po uwzględnieniu zależności (p) w równaniach (o) uzyskujemy poszukiwany układ dwóch nieliniowych równań algebraicznych ze względu na bezwymiarowe przemieszczenia δ 1 i δ : (r) δ1 λ1 δ δ1 δ k 1 η ληδ η δ1 δ + b + f ( ) p = k ( f + δ)( λ1 + fδ + δ1 + δ ) + k 1 ηδ ληδ η δ1 + δ ( ) k1 ( ) p =. Budowa tego układu zniechęca do poszukiwania rozwiązania ścisłego. W praktyce liczba stopni swobody jest na ogół duża i dlatego stosuje się metody przybliżone ukierunkowane na wykorzystanie komputera. Najczęściej stosuje się wówczas metodę Newtona-Raphsona opisaną w dodatku. Ręczne rozwiązanie układu tą metodą pozostawimy najbardziej wytrwałym Czytelnikom. W trakcie obliczeń należy zwrócić uwagę że wyłączenie danego cięgna występuje w momencie gdy całkowite wydłużenie cięgna jest równe zeru. Powoduje to odpowiednią modyfikację układu równań (r). Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 3r.