Języki Modelowania i Symulacji

Transkrypt

1 Języki Modelowania i Symulacji Podstawowe Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki WETI, Politechnika Gdańska 13 października 211

2 Literatura: 1. D. Kincaid, W. Cheney: Analiza numeryczna, Wydawnictwo Naukowo Techniczne, P. Davis, W.: Differential Equations - Modelling with MATLAB, Prentice Hall, Dokumentacja MATLABA i SIMULINKA. 4. B.Mrozek, Z. Mrozek: MATLAB Uniwersalne środowisko do obliczeń naukowo-technicznych, Kraków T.P. Zieliński: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów - Od teori do zastosowań, Warszawa 29.

3 O czym będziemy dziś mówili?

4 FFT Funkcje fft(x) i ifft(x) (Fast Fourier Transform) impementuja prosta i odwrotna transformatę gdzie w N = e (2πi)/N X(k) = x(j) = 1 N N j=1 N k=1 x(j)w (j 1)(k 1) N X(k)w (j 1)(k 1) N

5 FFT Sygnał y(t) Fs=1; T = 1/Fs; L= 1; t= (:L-1).*T; f1=2; f2=5; f3=1; y= sin(2*pi*f1.*t)+sin(2*pi*f2.*t)+sin(2*pi*f3.*t); plot(t,y)

6 1 Widmo amplitudowe FFT Y(f) Częstotliwość (Hz) NFFT = 2^nextpow2(L); Y = fft(y,nfft)/l; f = Fs/2*linspace(,1,NFFT/2+1); plot(f,2*abs(y(1:nfft/2+1))) set(gca,'fontname', 'Times New Roman CE', 'FontSize',16) title('widmo amplitudowe') xlabel('częstotliwość (Hz)') ylabel(' Y(f) ')

7 FFT Sygnał y(t) Fs=1; T = 1/Fs; L= 1; t= (:L-1).*T; f1=2; f2=5; f3=1; y= sin(2*pi*f1.*t)+sin(2*pi*f2.*t)+sin(2*pi*f3.*t); y = y +.625*randn(size(t)); plot(t,y)

8 FFT Y(f) Widmo amplitudowe Częstotliwość (Hz)

9 IFFT 2 x Różnica sygnału oryginalnego z sygnałem otrzymanym po odwrotnej transformacie. Czy bład jest akceptowalny?

10 rand Funkcja gęstości rozkładu równomiernego (prostokatnego) w przedziale (a, b), gdzie h = b a { 1/h dla x (a, b) p(x) = dla x / (a, b) Funkcja MATLAB-a p = a + (b a). rand(n, 1)

11 rand równomiernym a = ; b = 1; n = 1; x = a + (b-a).* rand(n,1); plot(x)

12 hist równomiernym hist(x)

13 zadanie Jak wygenerować sygnał losowy, który przyjmuje stan wysoki(h = 1) z prawdopodobieństwem.2 oraz stan niski (L = ) z prawdopodobieństwem.8? Sygnał losowy

14 find Sygnał losowy a = ; b = 1; n = 1; x = a + (b-a).*rand(n,1); ii = find(x>=.8); length(ii) ans = 19 y = zeros(n,1); y(ii)=1; stairs(y) axis([ n ])

15 randn Funkcja gęstości rozkładu normalnego (gaussowskiego) ze średnia µ i odchyleniem standardowym σ φ µ,σ (x) = 1 ( ) (x µ) 2 σ 2π exp 2σ 2 Funkcja MATLAB-a p = µ + σ. randn(n, 1)

16 randn mi =.5; xs = ; n = 1; x = xs + mi.*randn(n,1); plot(x) mean(x) >> ans = e-4 std(x) >> ans =.51 var(x) >> ans =.2511

17 hist h = -2:.1:2; hist(x,h)

18 cov P jest uogólnieniem pojęcia wariancji na przypadek wielowymiarowy. taka dla macierzy X = (x 1, x 2,..., x n ) ma postać: P = cov(x) σ 2 1 σ σ 1n σ 21 σ σ 2n P = σ n1 σ n2... σn 2 P jest symetryczna i dodatnio określona

19 cov x1 = [1 2 3]'; x2 = [4 2 6]'; A = [6 2 3; 6 5 6; 9 8 9]; cov(x1) >> ans = 1 cov(x1,x2) >> ans = [1 1; 1 4] cov(a) >> ans = [ ; ; ] v = diag(cov(a))' >> ans =???

20 xcorr Funkcja korelacji wzajemnej w MATLAB-ie c = xcorr(x,y, option ) ˆR xy (m) = biased - obciażony N m n=1 x(n)y(n m) R xy (m) = 1 N R xy(m) unbiased - nieobciażony R xy (m) = 1 N m R xy(m)

21 xcorr Funkcja korelacji wzajemnej c = xcorr(x,y, option ) x = [ ]'; y = [ ]'; xcorr(x,y) ans = xcorr(y,x) ans = xcorr(x,x) ans =

22 xcorr y(t)=sin(2πft) xcorr(y,y,'unbiased') xcorr(y,y,'biased') xcorr(y,y) Funkcja autokorelacji sygnału y(t)

23 xcorr Fragment sygnału mowy dźwięcznej x 1-3 xcorr(y,y,'unbiased') x 1-3 xcorr(y,y,'biased') xcorr(y,y)

24 xcorr Fragment sygnału mowy bezdźwięcznej x 1-3 xcorr(y,y,'unbiased') x 1-3 xcorr(y,y,'biased') xcorr(y,y)

25 xcorr Funkcja autokorelacji szumu o Dla jakiego przesunięcia szum jest skorelowany sam ze soba?

26 sygnał Sygnał składa się z części deterministycznej oraz części losowej. Przykład: model autoregresyjny y(t) = r a i y(t i) + n(t) i=1 y(t) - bieżace wyjście modelu r - rzad modelu a i - współczynniki autoregresji n(t) - szum gaussowski o zerowej wartości średniej i wariancji σn 2 Aby model był stabilny pierwiastki wielomianu charakterystycznego W(z) musza leżeć wewnatrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z. W (z) = 1 a 1 z 1 a r z z r

27 pierwiastki Określakac wartości pierwiastków wewnatrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie zespolonej z można otrzymać poszukiwany wektor współczynników Im ZERA i BIEGUNY Re re = [ ]'; im = [ ]'; NP = 1; fi=2*pi*(:1:np-1)/np; s=sin(fi); c=cos(fi); plot(s,c,'-k',re,im,'r*'); title('zera i BIEGUNY'); xlabel('re') ylabel('im') grid;

28 poly Funkcja MATLABA-a zwraca współczynniki wielomianu c = poly(p) gdzie p to wektor pierwiastków naszego wielomianu W(z) p = [ ]'; r = poly(p) ans>> p = roots(r) ans>> a = -r(2:4) ans>>

29 generowanie sygnału Autoregresyjny model sygnału, gdzie zakładamy σn 2 = 1 r y(t) = a i y(t i) + n(t) i= Wygenerowany sygnał dla obliczonych współczynników

30 generowanie sygnału N = 1; r = 3; a = [ ]'; sr = ; war = 1; odch = sqrt(war); n = sr + odch.*randn(n,1); y=zeros(n,1); for t=1:n if t < r + 1 y(t)= ; else fi = y(t-1:-1:t-r); y(t)= fi'*a+n(t); end end plot(y)

31 Jak filtrujemy sygnał? (z ang. finite impulse response ) filtr FIR H(z 1 ) = b + b 1 z b n z n

32 Własności filtrów FIR: Zalety: liniowy przebieg fazy filtr stabilny względnie łatwe procedury projektowania filtrów łatwość implemaentacji hardware owej wpływ warunków poczatkowych jest zawsze skończony Wady: duży wymagany rz ad filtru (większy niż odpowiednich filtrów IIR) większe opóźnienie w torach sygnałowych

33 Idelana charakterystyka amplitudowa filtru idealny filr odpowiedź impulsowa tego filtru h(n) = 1 2π π π H(ω)e jωn dω = 1 2π ωo ω o e jωn dω = = ω o π sinc(ω on π ) Co powiesz o odpowiedzi impulsowej idealnego filtru FIR?

34 sinc Idelana charakterystyka amplitudowa filtru obcięta za pomoca okna prostokatnego Ile wynosi częstotliwość odcięcia? b =.4*sinc(.4.*(-25:25)); stem(.4.*(-25:25),b)

35 Jak można ograniczyć ten efekt? efekt Gibbsa Efekt obcinania metodą okna prostokątnego Fp = 2; %Hz n = 512; [H,w]=freqz(b,1,n,Fp); plot(w,abs(h)) set(gca,'fontname', 'Times New Roman CE', 'FontSize',16) title('efekt obcinania metodą okna prostokątnego') xlabel('rad/sek')

36 Co się poprawiło, a co się pogorszyło? hamming Zastosowanie okna Hamminga rad/sek Fp = 2; %Hz n = 512; b=b.*hamming(51)'; [H,w]=freqz(b,1,512,2); plot(w,abs(h)) set(gca,'fontname', 'Times New Roman CE', 'FontSize',16) title('zastosowanie okna Hamminga') xlabel('rad/sek')

37 Co się poprawiło, a co się pogorszyło? Porównanie obu okien hamming prostokątne hamming rad/sek

38 w[k] = bartlett { 2(k 1) n 1 dla 1 k n (k 1) n 1 dla n+1 2 k n Okno Bartletta w3 = bartlett(51); stem(-25:25,w3)

39 blackman ( w[k] =.42.5 cos 2π k 1 ) ( +.8 cos 4π k 1 ) n 1 n 1 k = 1,..., n Okno Blackmana w3 = blackman(51); stem(-25:25,w3)

40 Okno prostokatne w = boxcar(n) Okno prostokątne boxcar w3 = boxcar(51); stem(-25:25,w3)

41 Okno Czebyszewa w = chebwin(n,r) Okno Czebyszewa chebwin n=51; r=1;%db w3 = chebwin(n,r); h=stem(-25:25,w3)

42 Okno Czebyszewa w = chebwin(n,r) chebwin n - punktowe okno dla n nieparzystego (n + 1) - punktowe okno dla n parzystego r - wielkość tłumienia zafalowań poza pasmem przenoszenia w [db] Amplitude Time domain Magnitude (db) Frequency domain Samples Normalized Frequency ( π rad/sample) n=51; r=1;%db wvtool(chebwin(n,r))

43 ( w[k] = cos 2π k ) n Okno Hamminga hamming k =,..., n w3 = hamming(51); stem(-25:25,w3)

44 ( w[k] =.5(1 cos 2π k ) n Okno Hanninga hanning k = 1,..., n w3 = hanning(51); stem(-25:25,w3)

45 Okno Kaisera w = kaiser(n,β) kaiser β - współczynnik odpowiedzialny za tłumienie listków bocznych α - [db] tłumienie listków bocznych.112(α 8.7) dla α 5 β =.5842(α 21) (α.21) dla 5 α 21 dla α 21 zwiększajac β uzyskuje się: poszerzenie listka głównego zwiększenie tłumienia listków bocznych n α gdzie [rad/s] pasmo 2.285

46 kaiser 1.8 Time domain Frequency domain Amplitude Magnitude (db) Samples Normalized Frequency ( π rad/sample) n=54; beta = ; alpha = 1;%dB wvtool(kaiser(n,beta))

47 triang Okno trójkatne n - nieparzyste n - parzyste w[k] = w[k] = { 2k w = triang(n) n+1 dla 1 k n+1 2 2(n k+1) n+1 dla n+1 2 k n { 2k 1 n+1 dla 1 k n 2 2(n k+1) n dla n+2 2 k n

48 triang 1.8 Time domain Frequency domain Amplitude Samples Magnitude (db) Normalized Frequency ( π rad/sample) n=54; wvtool(triang(n))

49 kaiser Magnitude (db) and Phase Responses.313 Magnitude (db) Phase (radians) Normalized Frequency ( π rad/sample) b = fir1(8,.5,kaiser(81,8)); hd = dfilt.dffir(b); freqz(hd);

50 wymnażanie okien w[n] - okno 1 n N h[n] - odpowiedź impulsowa idealnego filtru ( prototypu ), czyli odwrotna transformata idealnej charakterystyki częstotliwościowej zatem b[n] = w[n]h[n] 1 n N

51 fir1 Klasyczna metoda syntezy filtru FIR-owego o liniowej fazie b = fir1(n,wn, ftype, window ) b(z 1 ) = b(1) + b(2)z b(n + 1)z n n - rzad filtru W n [, 1] - wektor unormowanych pulsacji (1 - odpowiada pulsacji Nyquista) ftype - high, stop window - typ okna poprawjajacego charakterystykę filtru (domyślnie window = hamming )

52 fir1 F p, f g1, f g2, w 1 = 2f g1 F p, w 2 = 2f g2 F p filtr dolnopasmowy b = fir1(n,w1) filtr górnopasmowy (n - parzyste!) filtr pasmowoprzepustowy b = fir1(n, high,w1, hann ) b = fir1(n,[w1 w2], bartlett ) filtr pasmowozaporowy (n - parzyste!) b = fir1(n, stop,[w1 w2], boxcar )

53 F p = 1Hz, f 1 = 5Hz, f 2 = 4Hz, f g = 2Hz, w 1 = 2fg F p fir1(n,w1) Sygnal filtrowany fir Odp impulsowa filtru FIR

54 fir1 N = 64; fpr=1; fx1=5; fx2=4; nx = :N-1; dt = 1/fpr; t = dt*nx; x1 = cos(2*pi*fx1*t); x2 = cos(2*pi*fx2*t); x = x1 + x2; M = 7; fg = 2; h = fir1(m-1,2*fg/fpr,boxcar(m)) >>ans = subplot(211); stem(x,'filled'); grid; title('sygnał filtrowany'); subplot(212); stem(h,'filled'); grid; title('odp impulsowa filtru FIR');

55 conv Funkcja MATLAB-a pozwala w łatwy sposób dokonać splotu dwóch wektorów conv(x,h) sygnal po filtracji sygnal x 1 o f 1 = 5Hz

56 Funkcja splotu realizowana przez MATLAB-a conv % odwróć kolejność próbek h = h(m:-1:1); % uzupełnij sygnał M-1 zerami po obu stronach xe = [zeros(1,m-1) x zeros(1,m-1)]; % sygnał wyjściowy ye = zeros(1,n+2*(m-1)); subplot(311); stem(xe,'filled'); title('we'); pause % liczba próbek niezerowych for n = 1 : N+(M-1) % przesuń (ustaw) odp impulsową he = [zeros(1,n-1) h zeros(1,(n-1)+(m-1)-(n-1))]; % wymnóż x i przesunięte h y(n) = sum( xe.* he ); ye((m-1)+n)=y(n); % narysuj przesunięte h subplot(312); stem(he,'filled'); title('odp impuls'); % narysuj aktualne wyjście subplot(313); stem(ye,'filled'); title('wy'); pause end subplot(111); plot(t,x1,'r',t,y(1:n),'b'); grid; title('we (R) i Wy (B)');

57 splot bezpośredni % długość sygnałów z dodanymi zerami K = N+M-1; % dodaj zera jeśli krótszy xz=[x zeros(1,k-n)]; % odwróć kolejność próbek hh = h(m:-1:1); % bufor na próbki wejściowe bx = zeros(1,m); % wyzeruj sygnał wyjściowy y = []; % pętla po próbkach for n = 1 : K % przesuń próbki w buforze o jedną do tyłu, bx(1)=x(n); bx = [xz(n) bx(1:m-1)]; % filtracja; inaczej (szybciej): y(n)=bx*h' y(n) = sum(bx.*hh); end

58 szybki splot % znajdź dłuższy NM = max(n,m); % dodaj zera, jeśli krótszy xz=[x zeros(1,nm-n)]; % dodaj zera, jeśli krótszy hz=[h zeros(1,nm-m)]; X = fft(xz); H=fft(hz); Y = X.* H; yfft = ifft(y); y1 = real(yfft);

59 splot liniowy % długość sygnałów z dodanymi zerami K = N+M-1; % dodaj zera, jeśli krótszy xz=[x zeros(1,k-n)]; % dodaj zera, jeśli krótszy hz=[h zeros(1,k-m)]; X = fft(xz); H=fft(hz); Y = X.* H; yfft = ifft(y); y2 = real(yfft);