w matematyce i jej konsekwencjach

Transkrypt

1 Onieskończoności w matematyce i jej konsekwencjach Ryszard Rȩbowski Wydzia l Nauk Technicznych i Ekonomicznych Państwowej Wyższej Szko ly Zawodowej im. Witelona w Legnicy rebowskir@pwsz-legnica.eu 25 marca Wprowadzenie Zapewne wszyscy z nas widzieliśmy oraz pos lugiwaliśmy siȩ symbolem ipotrafimygonazwać. Oczywiście chodzi o termin nieskończoność. Cóż on oznacza na co dzień? Jedna z odpowiedzi może brzmieć nastȩpuj aco: wszystko co nie ma charakteru skończonego nazywane jest nieskończoności a, bowiem termin nieskończoność jest tutaj dope lnieniem terminu skończoność. Dlatego wypowiedź wszystko jest skończone albo nieskończone, zgodnie ze znan a zasad a wy l aczonego środka użyta w powyższym kontekście powinna oznaczać zawszeprawdȩ. Oczywiście wyjaśnienie to w żadnym wypadku nie stanowi definicji pojȩcia nieskończoności, a przecież takiej definicji oczekujemy. Umówimy siȩ, że nie bȩdziemy próbowali szukać takiej definicji w obszarze filozofii czy metafizyki a nawet fizyki, aczkolwiek historia nauki dobrze pokazuje, że w każdej epoce cywilizacja ludzka t a tematyk a próbowa la zajmować siȩ. Wśród licznych źróde l odsy lam Państwadozasobów internetowych YouTube: wyk lad na Uniwersytecie III Wieku, sesja wyjazdowa w Jaworze 1

2 2 ASPEKT MNOGOŚCIOWY Zachȩcam również do studiowania literatury, której wykaz zamieści lem na końcu. Jak spróbujȩpaństwu pokazać, w matematyce sytuacja dotycz aca nieskończoności jest o wiele bardziej z lożona i wymaga wieloaspektowego spojrzenia na sprawȩ. 2 Aspekt mnogościowy W matematyce kluczowym pojȩciem jest zbiór, czyli mnogość. Rola zbioru jest na tyle ważna, że ma on rangȩ pojȩcia pierwotnego i jako takie nie jest definiowane. Mówi siȩ, że mamy dany zbiór A, odnosz ac siȩ wtensposób do jego nazwy. Przez to rozumiemy, że istnieje co najmniej jeden obiekt a, nazywany elementem zbioru A, co zapisujemy symbolicznie a A. W takiej sytuacji mówimy też, że zbiór A jest niepusty, cozapisujemya. W przeciwnym razie mamy do czynienia ze zbiorem pustym i piszemy A =. Jeśli znamy wszystkie elementy, z których sk lada siȩnaszzbiór, wtedy możemy odwo laćsiȩ do niego poprzez jego treść, co zapisujemy nastȩpuj aco {a, b, c}. Oznacza to, że zbiór ten sk lada siȩ dok ladnie z trzech elementów: a, b, i c. Ztego powodu bȩdziemy mówili, że jest zbiorem skończonym. Opiszemy to dok ladniej. Wyobraźmy sobie, że wziȩliśmy pod uwagȩ wszystkiemożliwe zbiory z lożone z trzech elementów. Wtedy o każdych takich dwóch zbiorach powiemy, że s a równoliczne, a liczbȩ 3 nazwiemy moc a każdego z nich lub liczb a kardynaln a, co zapiszemy {a, b, c} = 3. I ogólnie, dla każdego zbioru skończonego A istnieje liczba kardynalna n, która jest jedn a z liczb ca lkowitych nieujemnych taka, że n = A, gdzie 0 =. Tymczasem doskonale zdajemy sobie z faktu, że jeśli na liczby naturalne spojrzymy globalnie, to zbiór ten oznaczany przez N nie może być skończony, bowiem dla każdej n N, liczba n + 1 N. Cowiȩcej, zbiór ten nie może być równoliczny z żadnym zbiorem skończonym! Oznacza to, że żadna z liczb n N nie może spe lniać równości N = n. Używaj ac sformu lowań twierdz acych, moglibyśmy powiedzić, że zbiór liczb naturalnych jest przyk ladem zbioru nieskończonego, a moc jego nazwać nieskończoności a zapisuj ac N =. 2

3 2 ASPEKT MNOGOŚCIOWY Zauważmy jednak, że to nie za latwia sprawy. Z racji tej, że N nie jest zbiorem skończonym, nie można zapisać go w konwencji {...}, poprzez przedstawienie jego zawartości. Oznacza to, że podejście ilościowe do opisu zbioru w takim przypadku zawodzi! Problem ten matematyka rozwi aza la dopiero na prze lomie XIX i XX wieku, kiedy to niemiecki matematyk Georg Cantor ( ) zaproponowa l odmienne podejście do opisu zbioru jakościowe. Polega ono na tym, że nie treść determinuje zbiór, a kryterium przynależności jakie musi spe lniać jegoelement. Wyjaśnimytonaprzyk ladzie zbioru N. Liczby naturalne to szczególne liczby rzeczywiste. Oznacza to, że zbiór N powstaje w wyniku wyboru ich ze zbioru liczb rzeczywistych R, wed lug określonego kryterium. Formalnie zapisujemy to nastȩpuj aco N = {r R: ϕ(r)}, gdzie symbol ϕ reprezentuje kryterium wyboru i wygl ada nastȩpuj aco ϕ(r) = r = 1 i r R r N r + 1 N. Sprawdźmy, czy to dzia la. Treść kryterium wyboru mówi, że liczba 4 bȩdzie liczb a naturaln a, jeśli bȩdzie ni a liczba 3. Z kolei ta bȩdzie, jeśli bȩdzie ni a liczba 2. Ale ta jest, bowiem z za lożenia jest ni a liczba 1 oraz 2 = Zatem4 N. Aby pokazać kolejny problem zwi azany z efektem nieskończonej mocy zbioru, wybierzmy ze zbioru liczb naturalnych zbiór z lożonych ze wszystkich liczb podzielnych przez 2, czyli z liczb parzystych. Oznaczaj ac ten zbiór przez N o,wykorzystuj ac koncepcjȩ Cantora, możemy zapisać N o = {n N: n = 2k, k N}. Jasne jest, że zbiór N o nie jest skończony. Ponadto, każdej liczbie naturalnej n możemy przyporz adkować dok ladnie jedn a liczbȩ parzyst a postaci2n, i na odwrót, każda liczba parzysta powstaje dok ladnie w ten sposób. Oznaczać to może tylko jedno zbiory N i N o s a równoliczne, a wiȩc tej samej mocy. Z drugiej strony N o jest zbiorem mniejszym od N. Zgodzimy siȩ, że k lóci to siȩ z intuicyjnym rozumieniem pojȩcia wielkości, bowiem w przypadku zbiorów skończonych mamy A B i A B A < B. Ale to nie koniec! Najciekawsze przed nami. Weźmy teraz znany nam ze szko ly jednostkowy przedzia l liczbowy [0, 1], czyli w opisie metod a Cantora [0, 1] ={r R: 0 r 1}. Zauważmy, że zbiór ten nie jest skończony, bowiem r [0, 1], o ile r [0, 1]. 2 Ponadto Cantor zauważy l, że liczb z odcinka [0, 1] niemożna ponumerować liczbami naturalnymi. W takim razie przedzia l ten jest przyk ladem nieskończonego zbioru, który nie jest równoliczny ze zbiorem N. Z tego powodu nazywany jest zbiorem nieprzeliczalnym. Dlatego jego moc (liczba kardynalna) musi być inna aniżeli! 3

4 2 ASPEKT MNOGOŚCIOWY Prowadzi to do nastȩpuj acego stwierdzenia: w sensie ilościowym nie ma jednej nieskończoności. Co wiȩcej, w rozważanej powyżej sytuacji mamy N = ℵ o (alef zero), [0, 1] = c (kontinuum) oraz ℵ o < c. Jakie to ma konsekwencje? Już zdecydowaliśmy, obiekt ℵ o nazwaliśmy przecież liczb a. Skoro tak, to powinna ona nadawać siȩ do celu wykonywania arytmetyki. Zacznijmy od pocz atku i spróbujmy wykonać dzia lanie ℵ o + 1. Dzia lanie to oznacza, że mamy zbiór N ipowiȩkszamy go o jeden element nie należ acy do niego. Wyobraźmy sobie, że tym elementem jest liczba 0. Parujemy teraz elementy zbioru N i otrzymanego: 0 1, 1 2,...,n n + 1. Oznacza to, że s a onerównoliczne, a jako takie maj a tȩsam amoc,dlatego ℵ o + 1 = ℵ o. Zaskoczenie? Na pewno tak, bowiem w arytmetyce skończonej nigdy równość n + 1 = n nie zachodzi! Powtarzaj ac ostatnie rozumowanie widzimy, że dla każdej liczby naturalnej n ℵ o + n = ℵ o. A teraz najważniejszy przypadek mamy dwa równoliczne nieskończone i przeliczalne zbiory A i B z lożonezróżnych elementów. Bierzemy zbiór C z lożony ze wszystkich elementów, czyli C = ℵ o + ℵ o. Czego możemy oczekiwać od wyniku tego dzia lania? Na pierwszy rzut oka sytuacja nie jest oczywista różni siȩ wsposób zasadniczy od przedstawionej wyżej. Do opisania jej musimy zmienić rozumowanie, zaprezentowane po raz pierwszy przez Cantora. Przede wszystkim za lóżmy, że A = {a n, n N}, B = {b m, m N}. Przez A B oznaczmy zbiór, którego elementy s a parami (a n, a m ). Zauważmy, że zbiór C jest równoliczny ze zbiorem A B. Pokażemy teraz, że N jest równoliczny z A B. Wyjaśnia to dobrze poniższy rysunek, gdzie elementy zbioru A B utożsamiane s a zwȩz lami siatki. Zasada przyporz adkowania zaznaczona zosta la na rysunku strza lkami. Na przyk lad 1 (b 1, a 1 ), 2 (b 2, a 1 ), 3 (b 2, a 2 ), 4 (b 1, a 2 ), itd. 4

5 2 ASPEKT MNOGOŚCIOWY a1 a2 a3 b1 b2 b3 Rysunek 1: Ilustracja metody Cantora Zauważmy, że każdej liczbie naturalnej odpowiada dok ladnie jedna para i na odwrót, każdej parze dok ladnie jedna liczba naturalna, co oznacza równoliczność tych zbiorów. Dlatego ℵ o + ℵ o = ℵ o. Arytmetyka przedstawiona wyżej doczeka la siȩ swojej s lynnej już ilustracji, zwi azanej z Dawidem Hilbertem ( ), która do literatury przedmiotu przesz la pod nazw a Hotelu Hilberta. Zainteresowanych odsy lam do licznych źróde l internetowych isch&imgil=8ja6mdmjcsh6bm 5

6 3 ASPEKT ODLEG LOŚCIOWY 3 Aspekt odleg lościowy Zajmiemy siȩ teraz problemem, który w swoim sformu lowaniu wykorzystuje zwrot nieskończenie blisko. Przypuśćmy, że mamy zbiór przeliczalny A. Jakwiemy, wtedy jego elementy możemy ponumerować, czyli ustawić wkolejności. Mówimy wtedy, że mamy do czynienia z ci agiem liczbowym, cozapisujemy nastȩpuj aco (a n ) n N0, gdzie N 0 oznacza podzbiór N. Wtedy a n nazywamy n tym wyrazem tego ci agu. W takim razie ci agi mog a być skończone albo nieskończone. Zjawisko, na które pragniemy zwrócić uwagȩ wymaga abyśmy dalej za lożyli, że ci ag (a n )jestnieskończony, np. a n = 1 dla n n N. Interesuj a nas jego asymptotyczne w lasności, czyli zachowanie siȩniejego pocz atkowych wyrazów, a końcowych. Dok ladniej wyrazy te s a postaci a n, dla n n o dla pewnej liczby n o > 1 ibȩdziemy nazywali je ogonem ci agu. Na przyk lad 1 dla n jest n ogonem ci agu ( 1). n Aby zdefiniować tȩ asymptotykȩ potrzebujemy pojȩcia odleg lości, w matematyce nazywanej metryk a. Dla uproszczenia bȩdziemy mówili tylko o odleg lości pomiȩdzy liczbami rzeczywistymi. Z definicji przyjmiemy, że jest to d lugość odcinka, którego końce wyznaczone s a przez te liczby. Bȩdziemy wtedy pisali d(r 1, r 2 )= r 1 r 2, gdzie r 1, r 2 oznaczaj a końce tego odcinka. Jeśli dla ci agu (a n ) istnieje taka liczba g, że dla pewnego ogona tego ci agu wszystkie wyrazy s a tak bliskie liczby g jak chcemy, to bȩdziemy mówili, że ci ag zachowuje siȩ asymptotycznie stabilnie. Oznaczymy przez ε>0 miarȩ tejodleg lości. Jeśli dla wszystkich n n o, d(a n, g) <ε (czyli dla pewnego ogona), to ci ag (a n ) jest asymptotycznie stabilny. Wtedy zachowanie takie symbolicznie bȩdziemy oznaczali przez a n g ibȩdziemy mówili, że ci ag ten jest zbieżny. Liczbȩ g bȩdziemy nazywali jego granic a. Zauważmy, że dla ci agu ( 1 ) taka liczba istnieje i jest równa 0. Bior ac bowiem n 1 dowolne ε>0 (np. ε = ), rozwi azaniem nierówności ( 1 ) d n, 0 = 1 0 <ε n jest zbiór liczb naturalnych postaci n > 1, czyli np. n > , codok ladnie ε oznacza, że zawsze taki ogon istnieje. Dlatego możemy napisać 1 0. n Zjawisko asymptotycznej stabilności ci agu ilustruje efekt tzw. nieskończonego zbliżania siȩ wyrazów ci agu do jego granicy. Starożytni zjawiska tego nie dostrzegali i wcale nie dlatego, że do niczego nie by lo to im potrzebne jak wiemy 6

7 4 ASPEKT ARYTMETYCZNY rozważane przez nich zagadnienia mog lyby być rozwi azane lepiej gdyby tak nie by lo. Dopiero dociekania sir Isaaca Newtona nad problemem ruchu w kontekście prȩdkości i przyspieszenia chwilowego sprowadzi ly jego rozważania do problemu zjawiska nieskończenie bliskich sobie wielkości. Pozwoli lo to Newtonowi odkryć podstawy rachunku różniczkowego i ca lkowego, co umożliwi lo skierowanie matematyki na w laściw a ścieżkȩ rozwoju. Co wiȩcej, bez tych odkryć rozwój ten nigdy nie móg lby być możliwy! 4 Aspekt arytmetyczny Ze szko ly dobrze wiemy, że jeśli mamy skończony zbiór liczb, to za pomoc a dzia lania artymetycznego dodawania możemy te liczby zsumować. Dok ladniej, jeśli A = {a 1, a 2,...,a n } R, to a 1 + a a n = n a j. j=1 Co wiȩcej, dzia lanie to możliwe jest do wykonania tylko w sytuacji kiedy dany zbiór jest skończony! A co w sytuacji kiedy zbiór A jest nieskończony? Zaczniemy najpierw od przypadku kiedy A jest przeliczalny. Jak wiemy mamy wtedy nieskończony ci ag liczbowy (a n ), np. a n = 1. Na pewno umiemy obliczyć 2 n sumȩ jegopocz atkowych wyrazów S n,gdzie n S n = a j, dla n 2. j=1 Oczywiście nie jest to rozwi azaniem naszego problemu, aledaje nam narzȩdzie, które problem pozwala rozwi azać. Mianowicie to, że nie można zsumować nieskończonej ilości liczb używaj ac dodawania arytmetycznego nie wyklucza sytuacji, że istnieje liczba rzeczywista, któr a można dowolnie przybliżać arytmetycznymi sumami typu S n. Oczywiście termin przybliżać rozumiany jest tylko w jeden sposób w sensie odleg lości. W takim razie, oznaczaj ac tȩ liczbȩ przez S, oczekujemy, że S n S. Ponieważ S n = n j=1 a j, liczba S jest wynikiem dwóch operacji: 1. sumowania arytmetycznego 2. granicy ci agu. Dlatego oznaczaj ac te dwa dzia lania w postaci n 1 a n otrzymamy S = n 1 a n. 7

8 4 ASPEKT ARYTMETYCZNY Dalej liczbȩ S bȩdziemy nazywali sum a szeregu liczbowego, który jest ci agiem (S n ), a jego wyrazy nazywamy n tymi sumami czȩściowymi. Na przyk lad dla ci agu a n = 1 2 n mamy: S n = n = n = n, idlategos n 1. Dlatego ( Bior ac jednak ci ag 1 n n n = 1. ) można pokazać, że nie istnieje liczba, któr a można by z dowoln a dok ladności a przybliżać sumami pocz atkowych wyrazów tego ci agu. Proszȩ spróbować dociec co jest tego przyczyn a. Na koniec zauważmy jeszcze, że sum a szeregu powsta lego z ci agu o wyrazach równych zero jest zero. Przejdziemy teraz do przypadku zbioru nieskończonego, ale nieprzeliczalnego. Weźmy ponownie odcinek jednostkowy [0, 1]. Jego d lugość równa jest oczywiście jeden. Spójrzmy teraz na ten zbiór inaczej. Sk lada siȩ on z liczb, które przedstawiaj a tzw. odcinki zdegenerowane, czyli o jednakowych końcach. Zatem każdy znichmad lugość równo zero. W rozważanym przypadku widzimy, że suma zer równa jest jeden! Z punktu widzenia pojȩcia szeregu rozumiemy przyczynȩ takiego stanu rzeczy - próbujemy sumować elementy zbioru nieprzeliczalnego metod a, której zakres stosowania kończy siȩ na przypadku zbiorów przeliczalnych. Aby sumowanie to przeprowadzić poprawnie potrzebny jest adekwatny do sytuacji sposób. Odkry l go, jak wspomnieliśmy wcześniej sir Isaac Newton jest nim rachunek ca lkowy. W przypadku omawianym wyżej zasada sumowania przebiega wed lug s lynnego podstawowego twierdzenia rachunku ca lkowego, twierdzenia Riemanna Cauchy ego Newtona Leibniza dx = x] 1 0 = 1 0 = 1, [0,1] gdzie jest symbolem ca lki. Należy zauważyć, że symbol ten powsta l wwyniku rozci agniȩcia symbolu sumowania. Oczywiście teraz wynik sumowania jest już poprawny. 8

9 5 PODSUMOWANIE 5 Podsumowanie Traktuj ac termin nieskończoność jako pretekst do dyskusji spróbowa lem Państwu pokazać trzy kluczowe idee, które w sposób zasadniczy wp lynȩ ly na rozwój matematyki. Oczywiście musia lo to teżmieć prze lożenie na rozwój cywilizacji ludzkiej. Przypomnijmy te koncepcje: liczba kardynalna jako uogólnienie liczebności zbioru skończonego; pojȩcie granicy ci agu jako sprecyzowanie wielkości nieskończenie bliskich; zasada sumowania elementów zbioru przeliczalnego, jako uogólnienie sumy arytmetycznej. Każda z tych idei ma swoj a historiȩ i wymaga la d lugiego czasu jej wdrażania. By ly to przedsiȩwziȩcia wielopokoleniowe i nie sposób wymienić wszystkich, którzy przyczynili siȩ do ich powstania. Niech mi jednak wolno bȩdzie, w ujȩciu chronologicznym, przypomnieć tych najważniejszych, którzy dost apili zaszczytu zasiadania w Areopagu Matematyków: Rysunek 2: I. Newton ( ) G.W. Leibniz ( ) 9

10 5 PODSUMOWANIE Rysunek 3: L. Euler ( ) J.R. d Alembert ( ) Rysunek 4: J.L. Lagrange ( ) G.F. Gauss ( ) 10

11 5 PODSUMOWANIE Rysunek 5: A.L. Cauchy ( ) K. Weierstrass ( ) Rysunek 6: P.G.L. Dirichlet ( B. Riemann ( ) 11

12 5 PODSUMOWANIE Rysunek 7: J.W.R. Dedekind ( ) G. Cantor ( ) Rysunek 8: D. Hilbert ( ) E. Zermelo ( ) 12

13 5 PODSUMOWANIE Rysunek 9: Hotel Hilberta 13

14 LITERATURA LITERATURA Literatura [1] Amir D. Aczel, Wielkie Twierdzenie Fermata Prószyński i S ka, Warszawa [2] C.B. Boyer, Historia rachunku różniczkowego i ca lkowego i rozwój jego pojȩć, Warszawa [3] C.B. Boyer, U.C. Merzbuch, A history of mathematics, John Wiley & Sons, INC [4] D.M. Burton, The History of Mathematics: An Introduction, Sixth Edition, McCraw Hill Primis, [5] R. Courant, H. Robbins, Co to jest Matematyka?, PWN, Warszawa [6] T. Crilly, 50 mathematical ideas you really need to know, Quercus Publishing Plc [7] J.W. Dauben, Georg Cantor His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton Univeristy Press, [8] H. Eves, Great moments in mathematics (before 1650), Dolciani Mathematical Expositions Series [9] H. Eves, Great moments in mathematics (after 1650), Dolciani Mathematical Expositions Series [10] W.B. Ewald, From Kant to Hilbert, A source Book in the Foundations of Mathematics, vol. 1, CLavendor Press, Oxford [11] W.B. Ewald, From Kant to Hilbert, A source Book in the Foundations of Mathematics, vol. 2, CLavendor Press, Oxford [12] T.G. Faticoni, The mathematics of infinity, A Guide to Great Ideas, Wiley Interscience, [13] E. Gregersen, The Britannica Guide to The History of Mathematics, Britannica Educational Publishing [14] M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times vol3, Oxford University Press, [15] K. Kuratowski, Wstȩp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa [16] M. Livio, Is GOD a mathematicien? Simon & Schuster,

15 LITERATURA LITERATURA [17] J.R. Newman, The World of Mathematics vol. 1 4, Simon and Schuster New York [18] H. Rademacher, O. Toeplitz, The enjoyment of mathematics, Princeton, [19] C. Reid, Hilbert Courant, Springer Verlag [20] C. Reid, From zero to infinity, what makes numbers interesting, A.K.Peters, Ltd. Wellesley [21] C. Reid, A long way from Euclid, Thomas Y. Crowell Company, New York [22] R. Rȩbowski, Matematyka dyskretna dla informatyków, Seria Wydawnicza Państwowej Wyższej Szko ly Zawodowej im. Witelona w Legnicy, [23] E. Robson, J. Stedall, The Oxford Handbook of The History of Mathematics, Oxford University Press [24] B. Russell, Principles of Mathematics, Taylor & Francis e Library, [25] J.D. Stein, Cosmic Numbers The Numbers That Define Our Universe, Basic Books, New York [26] I. Stewart, Visions of infinity, Basic Books, New York [27] M.B.W. Tent, Gotfried Wilhelm Leibniz The Polymath Who Brought US Calculus, CRC Press, [28] M.B.W. Tent, The Prince of Mathematics Carl Fredrich Gauss, A K Peters, Ltd. Wellesley,