Ryzyko inwestycji na rynku kawy i kakao. Optymalny portfel ze wzgl du na VAR i ES. Joanna Dunaj

Transkrypt

1 Ryzyko inwestycji na rynku kawy i kakao. Optymalny portfel ze wzgl du na VAR i ES. Joanna Dunaj 22 czerwca 2015

2 Spis tre±ci Wst p 4 1 Analiza danych Informacje o surowcach Stopy strat Statystyka opisowa Analiza rozkªadu Ryzyko inwestycji Miary ryzyka Koherentne miary ryzyka Value-at-Risk Expected Shortfall Kopuªy 20 4 Portfele inwestycyjne Inwestycje pojedyncze Inwestycja ª czna Porównanie Podsumowanie 31 Bibliograa 32 Spis rysunków 33 Spis tablic 34 Zaª czniki 35 Dodatek Kod

3 Wst p Gªównym celem pracy jest przedstawienie sposobów mierzenia ryzyka oraz dobór odpowiedniej dywersykacji portfela inwestycyjnego, przy której ryzyko inwestycji b dzie minimalne. Ca- ªo± rozwa»a«podzielona jest na cztery rozdziaªy. Pierwszy rozdziaª pracy zawiera opis przedmiotów inwestycji, czyli dwóch surowców - kawy i kakao. Ponadto znajduj si w nim historyczne notowania tych surowców na otwarcie i zamkni cie miesi ca z lat Oprócz tego w rozdziale tym wyliczone s warto±ci stóp strat dla obu aktyw, ich podstawowe statystyki opisowe oraz analiza rozkªadu. Kolejny rozdziaª przedstawia informacje dotycz ce miar ryzyka. Na pocz tku opisane s wªasno±ci miar koherentnych, a nast pnie dwie najcz ±ciej stosowane miary ryzyka, czyli Value-at-Risk i Expected Shortfall. Rozdziaª trzeci zawiera teori dotycz c funkcji ª cz cej. Omówione s twierdzenia, które s wykorzystywane przy analizie inwestycji ª cznej oraz przedstawiony jest podstawowy podziaª kopuª. Ostatni rozdziaª zawiera analiz inwestycji pojedynczych i ª cznych. Na pocz tku wyznaczone s warto±ci miar Value-at-Risk i Expected Shortfall dla portfeli jednoskªadnikowych. Oprócz tego w rozdziale tym przedstawiona jest procedura wyznaczania warto±ci miar ryzyka dla inwestycji ª cznych, która nast pnie zostaªa wykorzystana do obliczenia ryzyka dla portfeli zdywersykowanych. Rozdziaª ko«czy si porównaniem wybranych portfeli w celu znalezienia tego o najmniejszym ryzyku. Praca ko«czy si podsumowaniem wszystkich rozwa»a«. Na samym ko«cu zamieszczone s zaª czniki. Pierwszy z nich zawiera wyja±nienie dodatkowych denicji wykorzystanych w pracy. Natomiast w kolejnym zaª czniku znajduj si kody do programu SAS9.4, dzi ki którym zostaªy przeprowadzone obliczenia. 4

4 Rozdziaª 1 Analiza danych 1.1 Informacje o surowcach Kawa i kakao nale» do rynku tzw. soft commodities (surowców mi kkich), który odgrywa wa»n rol w rynku kontraktów terminowych. Poni»ej podano podstawowe informacje na temat tych surowców. Kawa [2] Kawa jest jednym z podstawowych artykuªów spo»ywczych, obecnym w codziennym»yciu niemal ka»dego dorosªego czªowieka. Otrzymywana jest z pestkowych krzewów lub maªych drzewek kawowca. Owoce s zbli»one wygl dem do wi±ni, jednak w ka»dym z nich mo»na znale¹ zazwyczaj dwa ziarenka. Zbiory odbywaj si od jednego do nawet trzech razy w ci gu roku. Jest to zale»ne od miejsca upraw i gatunku. Produkcja kawy jest jednak bardzo zmienna. Wpªyw na ni maj zmiany klimatu i pogody, kl ski»ywioªowe, a tak»e polityka pa«stw, które s najwi kszymi producentami tego surowca. Najwi ksi ±wiatowi dostawcy kawy to Brazylia, Wietnam, Indonezja i Kolumbia. Pozostaªa produkcja odbywa si w krajach Ameryki Šaci«skiej i ±rodkowej Afryki. W obrocie handlowym mo»na rozró»ni dwa gªówne gatunki kawy: Arabica i Robusta. Pierwsza z nich jest ªagodniejsza w smaku i dro»sza w porówaniu do drugiej, któr gªównie wykorzystuje si w produktach typu instant. Od 1962 roku rynek kawy jest regulowany. Od tego czasu Mi dzynarodowa Organizacja Kawy (ang. International Coee Organization, w skrócie ICO) publikuje wska¹nik cen kawy, który ª czy ceny Robusty i Arabiki. Gªówn gieªd na której odbywa si handel kaw jest Nowojorska Gieªda Kawy i Cukru, która wchodzi w skªad Intercontinental Exchange (ICE). Kontrakt futures notowany na tych gieªdach opiewa na funtów kawy, czyli okoªo 17 ton. Transakcje kontraktami terminowymi na kaw odbywaj si gªównie przez sieciowy handel elektroniczny. 5

5 Rysunek 1.1: Wykres notowa«(na zamkni ciu) kawy w latach Na Rysunku 1.1 przedstawiono wykres notowa«kawy z okresu pi ciu lat. Cena kawy jest podana w centach dolara ameryka«skiego na funt. W ci gu badanego okresu najwy»sze ceny kawy byªy w kwietniu 2011 roku. Powodem wzrostu cen byªy obawy dotycz ce poda»y w zwi zku ze zª pogod oraz nisk produkcj w Kolumbii (trzeci rok z rz du), a tak»e kapitaª spekulacyjny wniesiony przez fundusze hedgingowe. Pó¹niej nast piªa fala spadków, która osi gn ªa minimum w pa¹dzierniku 2013 roku. Za ten spadek odpowiadaªy fundusze hedgingowe, które zrealizowaªy swoje zyski. W roku 2014 wyst piª kolejny wzrost cen kawy, który spowodowany byª dªugotrwaª susz w Brazyli, przez któr zbiory byªy znacznie mniejsze. Kakao [3] Kakao jest kolejnym podstawowym produktem spo»ywczym, który wyst puje w diecie czªowieka, a zwªaszcza w diecie ªasucha. Kakao to proszek uzyskiwany z suszonych nasion z owoców kakaowca. Jest on gªównym skªadnikiem wielu wyrobów cukierniczych: czekolady, polew, cukierków i mas czekoladowych. Drzewo kakaowca jest specyczn ro±lin, która wymaga szczególnych warunków klimatycznych. Z tego powodu uprawa tego surowca mo»liwa jest tylko w krajach ze strefy okoªorównikowej. Najwi kszym producentem jest Wybrze»e Ko±ci Sªoniowej, które odpowiada za okoªo 38% ±wiatowej produkcji. Inne kraje, w których uprawia si na du» skal drzewa kakaowe to: Ghana, Indonezja, Nigeria, Brazylia i Ekwador. Cena kakao w danym roku mo»e zmienia si diametralnie, gdy» poda» tego surowca cz sto ulega wahaniom. Wpªyw na to maj warunki pogodowe w krajach producentów, w których mog wyst powa dªugotrwaªe susze lub ulewne deszcze. S to anomalie pogodowe, które niszcz wra»liwe drzewa kakaowe. Kolejnym czynnikiem jaki ma wpªyw na poda» kakao jest niestabilna sytuacja polityczna w pa«stwach produkuj cych ten surowiec, a zwªasza w krajach afryka«skich. Wyst puj ce tam problemy, np. niepokoje spoªeczne, cz sto powoduj gwaªtowne wzrosty cen tego surowca. Handel kakao odbywa si gªównie na gieªdzie Intercontinental Exchange w Nowym Jorku, gdzie jeden kontrakt opiewa na 10 ton kakao. O cenie ziaren kakaowca decyduje kierunek jego importu i sposób w jaki zostaªy przetworzone. Najwa»niejsz organizacj, która publikuje raporty dotycz ce rynku kakao, jest International Cocoa Organization (ICCO). 6

6 Rysunek 1.2: Wykres notowa«(na zamkni ciu) kakao w latach Na Rysunku 1.2 przedstawiono wykres notowa«kakao z okresu pi ciu lat. Cena tego surowca jest podana w dolarach ameryka«skich na ton. Najwi ksze ceny kakao zostaªy odnotowane na pocz tku 2011 roku. Jednym z gªównych powodów wzrostu cen tego surowca byªy obawy o zakªócenie produkcji i dostaw kakao z Wybrze»a Ko±ci Sªoniowej. Doszªo tam do zamieszek zwi zanych z wyborami prezydenckimi i z powodów politycznych wprowadzono embargo na eksport kakao. Kolejnymi czynnikami, które miaªy wpªyw na wzrost cen byªy: wzrost popytu na ten surowiec oraz spekulacje na gieªdach. Po zako«czeniu koniktu nast piª spadek cen kakao. Powodem tego byªy: wi ksza poda» oraz stabilny popyt. Kolejny wyra¹ny wzrost cen rozpocz ª si od poªowy roku 2013, a osi gn ª szczyt w pa¹dzierniku w kolejnym roku. Za wzrost notowa«odpowiadaªy zniszczone przez anomalie pogodowe plony kakao w Afryce Zachodniej. Zwi kszenie popytu na produkty zawieraj ce kakao miaªo tak»e po±redni wpªyw na wzrost cen tego surowca. 1.2 Stopy strat W niniejszej pracy do analizy wykorzystano notowania kawy i kakao w latach Dane pochodz z [1] i s pokazane w uj ciu miesi cznym. Jednak do obliczenia ryzyka inwestycji potrzebne s warto±ci stóp strat. W tym celu wyliczono je na podstawie nast puj cego wzoru: gdzie: L - stopa straty (wyra»ona w %), W O - warto± notowania na otwarciu W Z - warto± notowania na zamkni ciu. L = W O W Z W O 100% (1.1) Notowania i wyliczone stopy strat zostaªy przedstawione w Tabeli

7 Tablica 1.1: Notowania oraz stopy strat kawy i kakao. KAWA KAKAO L.p. Data W o W z Stopa straty W o W z Stopa straty ,73 131,65 3, , ,58 130,83 0, , ,85 136,18-4, , ,10 135,25 0, , ,93 134,25 0, , ,00 165,45-23, , ,85 175,03-6, , ,43 179,28-2, , ,60 182,58-1, , ,30 201,98-10, , ,98 200,60 0, , ,07 238,40-18, , ,60 245,30-2, , ,70 271,70-10, , ,20 265,10 2, , ,25 299,15-12, , ,80 264,00 11, , ,10 264,40-0, , ,15 239,28 9, ,5 5, ,70 286,82-19, ,5-5, ,77 228,78 20, , ,45 227,38 0, ,5 2691,5-3, ,90 236,43-4, ,5 13, ,78 226,75 3, ,5 2108,5 8, ,53 214,65 5, , ,75 202,97 5, , , ,88 182,32 10, , ,10 179,45 1, , ,22 160,65 10, , ,45 170,85-6, , ,85 174,75-2, ,63 164,45 5, ,5-10, ,85 172,95-4, , , ,32 154,70 10, ,5 4, ,57 149,88 3, ,5-4, ,75 143,95 4, , ,20 147,12-1, ,5 2, ,10 143,07 2, , , ,25 136,47 4, , , ,97 135,43 1, , ,50 126,92 6, , ,85 120,45 5, , ,12 118,47 1, ,5 2297,5-6,0956 8

8 KAWA KAKAO L.p. Data W o W z Stopa straty W o W z Stopa straty ,67 116,35 1, , ,40 113,95 2, ,5 2634,5-8, ,00 105,28 7, ,5 2666,5-1, ,38 111,08-5, , , ,90 110,62 0, ,5 2707,5 3, ,20 125,47-12, ,5 2893,5-7, ,53 180,38-43, ,5 2943,5-1, ,50 177,12 1, ,5 2947,5-0, ,80 205,12-16, , , ,55 177,43 13, ,5 3059,5-3, ,93 174,57 1, , ,25 196,07-11, , , ,78 200,57-2, ,5-0, ,65 194,25 4, , , ,00 188,28 2, , , ,00 187,47 0, , , ,15 168,07 10, ,5-2,2958 Jak wynika ze wzoru 1.1 ujemna warto± oznacza procentowy zysk w danym miesi cu, za± dodatnia - strat. W tabeli kolorem czerwony zostaªy zaznaczone straty. W przypadku kawy odnotowano 37 strat, natomiast dla kakao byªo ich 24. W dalszych cz ±ciach pracy, stopa strat dla kawy b dzie oznaczana przez L kawa, za± dla kakao przez L kakao. 1.3 Statystyka opisowa Statystyka opisowa jest jednym z pierwszych kroków, jaki nale»y podj przy analizie zebranych danych. Dlatego te», ocena ryzyka inwestycji zostanie rozpocz ta od wyznaczenia charakterystyk liczbowych dla omawianych stóp strat. Przedstawione denicje zostaªy opracowane na podstawie ksi»ki [4]. Przez X oznaczono badan cech populacji. Niech EX < oraz niech X 1,, X n oznacza n-elementow prób prost pobran z populacji. Denicja (Estymator warto±ci przeci tnej [4]). Estymatorem warto±ci przeci tnej (oczekiwanej) µ = E(X) jest liczba X okre±lona wzorem: X = 1 n Denicja (Estymator mediany [4]). Miediana jest to kwantyl rz du 0, 5. Zachodzi: gdzie m e jest median próbki. n X i. i=1 ˆq 0,5 (X) = m e, 9

9 Denicja (Estymator wariancji σ 2 [4]). Zgodnym i nieobci»onym estymatorem wariancji jest: ˆσ 2 = 1 n 1 n (X i X) 2. Denicja (Estymator odchylenia standardowego σ [4]). Zgodnym estymatorem odchylenia standardowego jest: ˆσ = ˆσ 2 = 1 n (X i X) n 1 2. Denicja (Estymator sko±no±ci [4]). Estymator sko±no±ci jest wyra»ony nastepuj cym wzorem: 1 n n i=1 Â = (X i X) 3 ˆσ 3. i=1 Sko±no±, czyli wspóªczynnik asymetrii, przyjmuje warto± zero dla rozkªadu symetrycznego, warto±ci ujemne dla rozkªadów o lewostronnej asymetrii i warto±ci dodatnie dla rozkªadów o prawostronnej asymetrii. Denicja (Estymator kurtozy [4]). Estymator kurtozy jest nast puj cej postaci: ˆK = 1 n i=1 n i=1 (X i X) 4 ˆσ 4 3. Kurtoza, czyli wspóªczynnik spªaszczenia, przyjmuje warto± zero dla rozkªadu normalnego. Warto±ci ujemne kurtozy ±wiadcz o wi kszym spªaszczeniu rozkªadu ni» w przypadku rozkªadu normalnego, natomiast dodatnie mówi o wi kszym skupieniu warto±ci wokóª ±redniej. Momenty Kawa Kakao N rednia -0, , Mediana 0,9669-1,098 Wariancja 99, , Odchylenie standardowe 9, , Sko±no± -1, , Kurtoza 5, , Tablica 1.2: Charakterystyki liczbowe kawy i kakao wyestymowane za pomoc programu SAS 9.4. W tabeli 1.2 zamieszczono wyestymowane warto±ci charakterystyk liczbowych, a ich interpretacja jest nast puj ca. W przypadku obu surowców ±rednia arytmetyczna jest ujemna, co oznacza,»e ±rednio ka»da z inwestycji przynosi zyski. Dodatnia warto± mediany dla kawy wskazuje,»e odnotowano wi cej strat ni» zysków, natomiast ujemna warto± dla kakao jest interpretowana odwrotnie. Odchylenie standardowe dla kawy wynosi prawie 10, a dla kakao okoªo 7, co znaczy,»e w obu przypadkach cz ± danych odstaje od ±redniej. Ujemna sko±no± dla kawy 10

10 ±wiadczy o lewostronnej asymetrii (wi cej danych byªo powy»ej ±redniej). Natomiast dla kakao warto± sko±no±ci jest dodatnia, czyli wyst puje prawostronna asymetria. Dodatnia kurtoza dla kawy oznacza,»e rozkªad danych tej próbki jest bardziej smukªy ni» w przypadku rozkªadu normalnego. Dla kakao kurtoza wyszªa bliska zeru, wi c rozkªad danych jest zbli»ony do rozkªadu normalnego. Kod u»yty do wyznaczenia charakterystyk liczbowych zamieszczono w Kod Analiza rozkªadu Po wyznaczeniu charakterystyk liczbowych kolejnym krokiem przy analizie danych jest analiza rozkªadu. Do jej przeprowadzenia wykorzystano testy dopasowania dost pne w programie SAS9.4. Na pocz tku zakªadanym rozkªadem teoretycznym jest rozkªad normalny. Postawion hipotez zerow H 0 jest,»e dane pochodz z tego rozkªadu, wobec hipotezy alternatywnej H A,»e dane takiego rozkªadu nie maj. Przyj tym poziomem istotno±ci jest α = 0, 05. Jest to maksymalne dopuszczalne prawdopodobie«stwo popeªnienia bª du I rodzaju, czyli odrzucenia hipotezy zerowej, która w rzeczywisto±ci jest prawdziwa. Warto± zaªo»onego poziomu istotno±ci α jest porównywana z wyliczon z testu statystycznego warto±ci p. Porównanie warto±ci p z poziomem istotno±ci odbywa si w nast puj cy sposób: je»eli warto± p jest wi ksza od zadanego poziomu istotno±ci α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, w przeciwnym razie odrzuca si hipotez zerow na rzecz hipotezy alternatywnej. Tabele 1.3 i 1.4 prezentuj uzyskane wyniki testów normalno±ci. Testy normalno±ci Test Statystyka Warto± p Shapiro-Wilka W 0, Pr.<W < 0, 0001 Koªmogorowa-Smirnowa D 0, Pr.>D < 0, 0100 Tablica 1.3: Testy normalno±ci dla kawy. Testy normalno±ci Test Statystyka Warto± p Shapiro-Wilka W 0, Pr.<W 0,1787 Koªmogorowa-Smirnowa D 0,10182 Pr.>D 0,1229 Tablica 1.4: Testy normalno±ci dla kakao. Otrzymane wyniki wskazuj,»e w przypadku kawy warto± p dla obu testów jest mniejsza ni» zadany poziom istotno±ci α = 0, 05. W zwi zku z czym, odrzuca si hipotez zerow na rzecz hipotezy alternatywnej i wnioskuje si,»e stopy strat kawy nie pochodz z rozkªadu normalnego. Natomiast dla próbki kakao warto±ci p dla wszystkich testów s wi ksze ni» przyj ty poziom istotno±ci. Bior c to pod uwag, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, wi c mo»na przyj,»e dane te maj empiryczny rozkªad normalny. 11

11 (a) kawa (b) kakao Rysunek 1.3: Histogramy dla danych Rysunek 1.3 przedstawia histogramy stóp strat wraz z naniesion krzyw dopasowania rozkªadu normalnego. Potwierdzaj one wyniki otrzymane w podrozdziale 1.3 oraz wyniki testów normalno±ci. Bior c pod uwag powy»sz analiz mo»na zaªo»y,»e stopa strat L kakao ma rozkªad normalny, gdzie za parametry rozkªadu przyj to ±redni i odchylenie standardowe wyliczone z próby, czyli L kakao N ( 0, 1667; 7, ). Natomiast w przypadku stopy strat L kawa nie mo»na dokona takiego zaªo»enia. Dokonano, wi c wielu prób dopasowania tych danych do ró»nych rozkªadów dost pnych w progamie SAS 9.4. Przeprowadzona analiza wykazaªa,»e stopa strat L kawa ma nast puj cy trzyparametrowy rozkªad Weibulla L kawa W(28; 218, 4529; 215), gdzie pierwszy parametr odpowiada za ksztaªt, drugi za skal, a ostatni wyznacza próg. Testy dopasowania dla rozkªadu Weibulla Test Statystyka Warto± p Cramer-von Mises W-kwadr. 0, Pr.>W-kwadr. 0,157 Anderson-Darling A-kwadr. 0, Pr.>A-kwadr. 0,216 Tablica 1.5: Test dopasowania stóp strat kawy do rozkªadu Weibulla W tabeli 1.5 przedstawiono wyniki testów dopasowania stopy strat L kawa do rozkªadu Weibulla, natomiast rysunek 1.4 ukazuje histogram tych danych wraz z naniesion krzyw dopasowania. 12

12 Rysunek 1.4: Histogram stóp strat kawy wraz z naniesiona krzyw dopasowania do rozkªadu Weibulla Kod u»yty do przeprowadzenia testów dopasowania rozkªadów i utworzenia histogramów zamieszczono w Kod

13 Rozdziaª 2 Ryzyko inwestycji Poj cie ryzyka jest zazwyczaj zwi zane z potencjalnymi stratami inwestycji. W szeroko rozumianych nansach mo»na wyró»ni wiele rodzai ryzyka, natomiast w pracy skupiono si na ryzyku zwi zanym z cenami surowców. W rozdziale tym przedstawiono miary ryzka Value-at-Risk oraz Expected Shortfall, które odgrywaj istotn rol w ocenie ryzyka nansowego. 2.1 Miary ryzyka W niniejszym podrozdziale opisano czym s miary ryzyka i co oznacza,»e miara ryzyka jest koherentna. Natomiast w punktach tego podrozdziaªu 2.3 i 2.4 przedstawiono dwie wybrane miary ryzyka: Value-at-Risk i Expected Shortfall. Niech (Ω, F, P ) b dzie ustalon przestrzeni probabilistyczn, a okre±lonym przedziaªem czasowym. Natomiast przez L 0 (Ω, F, P ) oznaczono zbiór zmiennych losowych sko«czonych prawie wsz dzie. Denicja (Sto»ek wypukªy [5]). Zbiór zmiennych losowych M L 0 (Ω, F, P ) jest sto»kiem wypukªym, je»eli speªnia nast puj ce warunki: staªe nale» do M, L 1, L 2 M L 1 + L 2 M, λ > 0 i L M λl M. Poniewa» w pracy jest omawiane ryzyko rynkowe, wi c elementami zbioru M s portfele inwestycyjne generuj ce losow strat. Denicja (Miara ryzyka [5]). Niech M b dzie sto»kiem. Wtedy funkcj ρ : M R nazywamy miar ryzyka. 2.2 Koherentne miary ryzyka Po zdeniowaniu miary ryzyka warto zastanowi si jakie wªasno±ci powinna posiada dobra miara ryzyka. Poni»sze aksjomaty zostaªy zaproponowane w zbiorowej pracy Artznera i innych autorów [6] w 1999 roku. 14

14 Aksjomat 1 (Niezmienniczo± na translacj ). L M l R ρ(l + l) = ρ(l) + l (2.1) Aksjomat 1 mówi,»e przy dodaniu pewnej straty l do losowej straty L, warto± ryzyka zmieni si o warto± l. Aksjomat 2 (Subaddytywno± ). L1,L 2 M ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) (2.2) Je±li miara jest subaddytywna, to suma ryzyk poszczególnych inwestycji daje oszacowanie z góry dla ª cznego ryzyka. Aksjomat 3 (Dodatnia homogeniczno± ). λ>0 L R ρ(λl) = λρ(l) (2.3) Przy λ-krotnym zwi kszeniu pozycji w portfelu, ryzyko inwestycji zwrasta rownie» λ-krotnie. Aksjomat 4 (Monotoniczno± ). L1,L 2 M L 1 L 2 ρ(l 1 ) = ρ(l 2 ) (2.4) Je±li potencjalna strata L 1 jest mniejsza ni» strata L 2, to zale»no± ta zachowana jest tak»e pomi dzy ryzykami. Denicja (Koherentna miara ryzyka [6]). Miara ryzyka jest koherentna, je»eli speªnia aksjomaty Value-at-Risk Ten rozdziaª po±wi cony jest jednej z najcz ±ciej stosowanych miar ryzyka, czyli Value-at-Risk (warto± zagro»ona), w skrócie VaR. VaR udziela odpowiedzi na pytania typu: Ile mo»na straci w ci gu okre±lonego przedziaªu czasowego? Jak du»e jest ryzyko dla okre±lonego portfela?. Do formalnego okre±lenia tej miary nale»y najpierw przytoczy kilka potrzebnych denicji. Denicja (Uogólniona funkcja odwrotna [5]). Niech T: R R bedzie niemalej c funkcj. Uogólniona funkcja odwrotna do funkcji T jest nast puj ca: T (y) := inf{x R : T (x) y}, przy czym inf{ } =. Denicja (Kwantyl funkcji [5]). Niech F b dzie dystrybuant funkcji. Kwantylem funkcji F nazywamy uogólnion funkcj odwrotn F. Dla α (0, 1) kwantyl funkcji rz du α ma posta : q α (F ) := F (α) = inf{x R : F (x) α}. Je±li funkcja F jest ci gªa i ±ci±le rosn ca to q α (F ) = F 1 (α), gdzie F 1 jest funkcj odwrotn do F. 15

15 Lemat [5] Je±li F = F X jest dystrybuant zmiennej losowej X, to P (F (X) F (x)) = P (X x) = F (x). Niech F L (x) oznacza dystrybuant zmiennej losowej, która ±wiadczy o stracie. Rozwa»aniom podlega portfel inwestycyjny w pewnym horyzoncie czasowym. Denicja (Value-at-Risk [5]). Niech α (0, 1) b dzie ustalonym poziomem ufno±ci, a L zmienn losow. Wówczas warto±ci zagro»on nazywamy: V ar α (L) = q α (L) = inf{x R : F L (x) α} = inf{x R : P (L > x) 1 α}. (2.5) W potocznym znaczeniu VaR na poziomie ufno±ci α oznacza maksymaln strat jak mo»na ponie±, przy zadanym przedziale czasowym w α przypadków. Najcz ±ciej przyjmuje si,»e poziom ufno±ci równa si 0, 95 lub 0, 99. VaR jest jedn z najbardziej popularnych miar ryzyka m.in. dzi ki swojej prostocie. Nie oznacza to jednak,»e jest ona idealn miar. Pierwsz wad jak nale»y wspomnie jest,»e VaR nie okre±la, ile mo»na straci na inwestycji w 1 α przypadków. Mo»e to powodowa,»e je±li wyst pi niespodziewane wydarzenia, rzeczywista strata mo»e by znacznie wi ksza ni» ta wyznaczona przez VaR. Jednak najwi ksz wad, jak zarzuca si warto±ci zagro»onej jest to,»e nie jest miar koherentn. Poni»ej przedstawiono,»e VaR speªnia Aksjomaty 1, 3 i 4, natomiast nie speªnia Aksjomatu 2. A1 Niezmienniczo± na translacj L M l R V ar α (L + l) = V ar α (L) + l Dowód. V ar α (L + l)=inf{x R : P (L + l > x) 1 α} = =inf{x R : F L+l (x) α} = inf{x R : P (L + l x) α} = =inf{x R : P (L x l) α} = =inf{y + l R : P (L y) α} = =inf{y + l R : F L (y) α} = inf{y R : F L (y) α} + l = =V ar α (L) + l A3 Dodatnia jednorodno± λ>0 L M V ar α (λl) = λv ar α (L) Dowód. Niech λ > 0. V ar α (λl)=inf{x R : P (λl x) α} = inf{x R : P (L x λ ) α} = =inf{λy R : P (L y) α} = inf{λy R : F L (y) α} = =λ inf{y R : F L (y) α} = λv ar α (L) 16

16 A4 Monotoniczno± L1,L 2 M L 1 L 2 V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ) prawie wsz dzie Dowód. Niech L 1 L 2 i x R. St d zachodzi L 2 x L 1 x {ω Ω : L 2 x} {ω Ω : L 1 x} P (L 2 x) P (L 1 x). Niech P (L 2 x) α. St d i z powy»szego otrzymuje si P (L 2 x) α P (L 1 x) α {x R : P (L 2 x) α} {x R : P (L 1 x) α} inf{x R : P (L 2 x) α} inf{x R : P (L 1 x) α} V ar α (L 2 ) V ar α (L 1 ) Przykªad (Brak subaddytywno±ci VaR [8]). Rozwa»aniom podlega 100 ró»nych akcji, których stopy strat s niezale»ne oraz takie,»e stopa straty przyjmuje warto±ci: 5 z prawdopodobie«stwem 0, 99 oraz 100 z prawdopodobie«stwem 0, 01. Porównuje si ryzyko dwóch portfeli mierzone warto±ci zagro»on. Pierwszy portfel (A) skªada si ze 100 akcji, po jednej sztuce ka»dej akcji, czyli jest zdywersykowany. Natomiast drugi (B) to 100 sztuk wybranej akcji. Funkcja straty okre±lona jest w nast puj cy sposób: L i = 100Y i 5(1 Y i ), gdzie i oznacza i-t akcj. Przez Y i oznaczono zmienn binarn tak,»e Y i = 0 L i = 5, Y i = 1 L i = 100. Wyznaczaj c V ar α przy α uzyskano: A) L A = 100 i=1 L i = 100 i=1 [100Y i 5(1 Y i )] = i=1 Y i 500, st d V ar 0,95 (L A ) = 105q 0,95 ( 100 i=1 Y i) 500 = = 185, poniewa» ( 100 i=1 Y i) ma rozkªad dwumianowy B(100; 0, 01), to q 0,95 ( 100 i=1 Y i) = 3. B) L B = 100L 1, wi c 100 V ar 0,95 (L B ) = V ar 0,95 (100L 1 ) = 100V ar 0,95 (L i ) = [V ar 0,95 (L i )] = = 100 ( 5) = 500. Z powy»szego wynika,»e portfel pierwszy jest bardziej ryzykowny ni» drugi. St d VaR w ogólno±ci nie speªnia aksjomatu subaddytywno±ci. i=1 17

17 2.4 Expected Shortfall Kolejn miar ryzyka, która zostanie przedstawiona jest Expected Shortfall, w skrócie ES. Wyra»a ona jak wysoka mo»e by strata, je»eli poziom strat przekroczy VaR. Miara ta estymuje ±redni start w 1 α najgorszych przypadkach i w pewnym sensie mo»na traktowa j jako uzupeªnienie VaR. Denicja (Warto± oczekiwana [4]). Niech zmienna losowa X o warto±ciach w R jest caªkowalna, czyli X dp <. Ω Wtedy warto±ci oczekiwan zmiennej losowej X nazywa si liczb EX = XdP. Ω Denicja (Expected Shortfall [5]). Niech L b dzie zmienn losow oznaczaj c strat tak,»e E L <. Wówczas Expected Shortfall (u±redniona warto± zagro»ona) na poziomie ufno±ci α jest zdeniowana nast puj co ES α (L) = 1 1 α 1 α q u (F L )du = 1 1 α 1 α V ar u (L)du, gdzie F L oznacza dystrybuant zmiennej losowej L, a q u jest kwantylem funkcji F L. Jak wynika z denicji u±redniona warto± zagro»ona jest ±ci±le zwi zana z VaR. Jednak w przeciwie«stwie do niej uwzgl dnia informacje o grubo±ci ogonów rozkªadu i w peªni informuje o charakterze ponoszonego ryzyka ([7]). Najwa»niejsz zalet ES jest jej koherentno±. Speªnienie przez ni aksjomatów o niezmienniczno±ci ze wzgl du na translacj, dodatniej jednorodno±ci i vmonotoniczno±ci wynika z wªasno±ci Value-at-Risk. Do udowodnienia pozostaje tylko aksjomat subaddytywno±ci. Do przeprowadzenia dowodu nale»y posªu»y si nast puj cym twierdzeniem. Twierdzenie [5] Niech L 1, L 2, b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie F L. Wówczas lim n n(1 α) 1 n(1 α) j=1 L j;n = ES α (L) prawie wsz dzie, gdzie L 1;1 L n;n oznaczaj statystyki pozycyjne dla L 1, L 2,, L n oraz n(1 α) oznacza najwi ksz liczb caªkowit mniejsz od n(1 α). Twierdzenie Expected Shortfall jest subaddytywn miar ryzyka, czyli zachodzi L1,L 2 M ES α (L 1 + L 2 ) ES α (L 1 ) + ES α (L 2 ). Dowód. Niech L 1, L 2,, L n b dzie ci giem zmiennych losowych, a L 1;1 L n;n jego uporz dkowaniem. Dla wybranego m takiego,»e 1 m n zachodzi: m L j;n = sup{l j1 + + L jm : 1 j 1 j m m}. j=1 18

18 Niech L i L b d dwoma wybranymi zmiennymi losowymi z ustalonym ª cznym rozkªadem F, a (L 1, L 1 ),, (L n, L n ) ci giem niezale»nych wektorów losowych o jednakowym rozkªadzie F. Zastosowano oznaczenia (L + L) j := L j + L j oraz (L + L) j;n dla uporz dkowanych wektorów (L 1, L 1 ) 1,, (L n, L n ) n. Zachodzi wtedy m (L + L) j;n = sup{(l 1 + L 1 ) j1,, (L n + L n ) jm : 1 j 1 j m m} j=1 sup{l j1 + + L jm : 1 j 1 j m m} +sup{ L j1 + + L jm : 1 j 1 j m m} m m = L j;n + L j;n. j=1 j=1 Przechodz c do granicy dla m = n(1 α) i n oraz korzystaj c z Twierdzenia 2.4.3, otrzymuje si subaddytywno± Expected Shortfall na poziomie ufno±ci α (0, 1). 19

19 Rozdziaª 3 Kopuªy Pocz tkiem teorii kopuª byªo szukanie odpowiedzi na nast puj ce pytanie: Czy jest mo»- liwe skonstruowanie, a je»eli tak to pod jakimi warunkami i w jaki sposób, dystrybuanty ª cznej znaj c dystrybuanty brzegowe?. Funkcje kopuªy (funkcje poª cze«, copule) daj tak mo»- liwo±. Przedstawiaj rozkªad wielowymiarowy poprzez rozkªady brzegowe i funkcj ª cz c. Niestety otrzymanie pewnych wyników na drodze analitycznej jest bardzo skomplikowane b d¹ niemo»liwe. Jednak obecnie teoria kopuª prze»ywa dynamiczny rozwój, dzi ki post powi technologicznemu i mo»liwo±ci korzystania z symulacji komputerowych (m.in. z symulacji Monte Carlo). Teoria kopuª jest wykorzystywana m.in. w szeroko rozumianych nansach. Stosowana jest np. do okre±lenia stopnia skorelowania instrumentów nansowych czy te» do oceny ryzyka rynkowego. Rozwa»ania prowadzone w niniejszym rozdziale opieraj si na nast puj cych pozycjach literatury [9] i [10]. W kolejnym rozdziale omawiany b dzie dwuwymiarowy rozkªad inwestycji ª cznej. W zwi zku z tym wszystkie denicje i twierdzenia zwi zane z kopuªami, równie» zostan podane w przypadku dwuwymiarowym. Denicja (Kopuªa [10]). Kopuª dwuwymiarow nazywa si funkcj C : [0, 1] 2 [0, 1], C(u, v) o jednostajnych rozkªadach brzegowych, która speªnia nastepuj ce warunki: 1. jest niemalej ca dla ka»dego argumentu, 2. je»eli jedno ze zdarze«zachodzi z prawdopodobie«stwem zero to prawdopodobie«stwo ªaczne powinno znika, co zapisuje si nast puj cymi podwójnymi równo±ciami (które nazywa si przyziemieniami) C(u = 0, v) = C(u, v = 0) = 0, 3. je»eli jedno ze zdarze«wyst puje z caª pewno±ci to dystrybuanta ª czna powinna redukowa si do dystrybuanty drugiego zdarzenia, czyli C(u = 1, v) = v, C(u, v = 1) = u, 4. funkcja poª czenia powinna by podwójnie niemalej ca, co mo»na zapisa nast puj co: je»eli u 1 u 2 oraz v 1 v 2 to C(u 2, v 2 ) C(u 1, v 2 ) C(u 2, v 1 ) + C(u 1, v 1 ) 0. 20

20 Nastepuj ce twierdzenie umo»liwiªo rozwój teorii kopuª oraz jej ro»norakie zastosowanie. Twierdzenie (Sklara [9]). I) Niech F b dzie dystrybuant ªaczn o rozkªadach brzegowych F 1, F 2. Wówczas istnieje kopuªa C : [0, 1] 2 [0, 1] taka,»e (x1,x 2) R 2 F (x 1, x 2 ) = C(F 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )). (3.1) Co wi cej, je±li rozkªady brzegowe s ci gªe wtedy kopuªa C jest okre±lona jednoznacznie. II) Je»eli C jest kopuª oraz F 1, F 2 s dystrybuantami, wtedy funkcja F zdeniowana równaniem 3.1 jest dystrybuant ª czn posiadaj c rozkªady brzegowe F 1, F 2. Bior c pod uwag pytanie postawione na pocz tku rozdziaªu, dla rozwa»a«przeprowadzonych w pracy wa»niejszym punktem w twierdzeniu jest punkt II). W teorii kopuª zachodzi nast puj ce twierdzenie, które uªatwia prac z kopuªami. Twierdzenie (Ograniczenia Frécheta [10]). Dowolna kopuªa C(u,v) speªnia nast puj c, podwójn nierówno± : max{u + v 1, 0} C(u, v) min{u, v}. (3.2) Dowód. Niech C b dzie dwuwymiarow kopuª dla pary (U,V), gdzie U i V s zmiennymi losowymi losowymi o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Wówczas zachodzi St d oraz ({U u} {V v}) {U u} i ({U u} {V v}) {V v}. C(u, v) = P (U u, V v) P (U u) = C(u, 1) = u C(u, v) = P (U u, V v) P (V v) = C(1, v) = v. Z powy»szego zachodzi druga nierówno± twierdzenia C(u, v) = min{u, v}. Ponadto P (U u, V v) = P (U u) + P (V v) + P (U > u, V > v) 1. Poniewa» P (U > u, V > v) 0 to zachodzi co oznacza,»e P (U u) + P (V v) 1 P (U u) + P (V v) + P (U > u, V > v) 1, P (U u) + P (V v) 1 P (U u, V v). Zatem C(u, v) = P (U u, V v) P (U u) + P (V v) 1 = u + v 1. Poniewa» funkcja kopuªa jest funkcj nieujemn zachodzi C(u, v) = P (U u, V v) max{p (U u) + P (V v) 1, 0} = max{u + v 1, 0}. 21

21 Uwaga Korzystaj c z twierdzenia Sklara 3.0.6, nierówno±ci Frécheta 3.2 dla dowolnej dystrybuanty F X wektora losowego X = (X 1, X 2 ) mo»na wyrazi w postaci nierówno±ci Frécheta-Hoedinga: max{f 1 (x 1 ) + F 2 (x 2 ) 1, 0} F X (x 1, x 2 ) min{f 1 (x 1 ), F 2 (x 2 )}. Poni»ej podano najwa»niejsze rodziny kopuª. Kopuªy fundamentalne - komotoniczna, kontramonotoniczna oraz multiplikatywna. Denicja [10] Komotoniczna (maksymalna) kopuªa dwuwymiarowa jest nast puj cej postaci C + (u, v) = min{u, v}. Kopuªa ta jest górnym ograniczeniem Frécheta i odpowiada dodatniej zale»no±ci mi dzy skªadowymi wektora losowego. Denicja [10] Kontramonotoniczna (minimalna) kopuªa dwuwymiarowa jest nast puj cej postaci C (u, v) = max{u + v 1, 0}. Kopuªa ta jest dolnym ograniczeniem Frécheta i okre±la idealn ujemn zale»no± skªadowych wektora losowego. Denicja [10] Dwuwymiarowa kopuªa multipikatywna (iloczynowa) jest postaci C (u, v) = uv. Jest to najprostsza ze znanych kopuª i zwi zana jest z niezale»nymi zmiennymi losowymi. Wy»ej wymienione kopuªy przedstawiono w postaci gracznej na Rysunku 3.1. (a) kontramonotoniczna (b) multiplikatywna (c) komotoniczna Rysunek 3.1: Kopuªy fundamentalne 22

22 Kopuªy eliptyczne Do kopuª eliptycznych zalicza si nast puj ce kopuªy: normalna i t-studenta. Denicja (Kopuªa normalna [9]). Dwuwymiarowa kopuªa normalna (Gaussa) jest zale»na odparametru ρ (Dodatek 4.3.1) i denuje si j za pomoc caªki podwójnej: przy czym Φ ρ ( Φ 1 (u), Φ 1 (v) ) = C Ga ρ (u, v) = Φ ρ ( Φ 1 (u), Φ 1 (v) ), Φ 1 (u) Φ 1 (v) 1 2π 1 ρ 2 exp ( (s 2 2ρst + t 2 ) 2(1 ρ 2 ) ) ds dt oraz gdzie Φ jest dystrybuant standardowego rozkªadu normalnego, Φ 1 - funkcj odwrotn do tej dystrybuanty, a Φ ρ - dystrybuant dwuwymiarowego rozkªadu normalnego. Niech t k b dzie dystrybuant jednowymiarowego rozkªadu t-studenta o k stopniach swobody wyra»on wzorem: x ( ) k+1 Γ((k + 1)/2) t k (x) = 1 + s2 2 ds, πkγ(k/2) k gdzie Γ oznacza funkcj Eulera. Niech ρ [ 1, 1], a t ρ,k b dzie dystrybuant dwuwymiarowego rozkªadu t-studenta o k stopniach swobody i wspóªczynniku korelacji ρ wyra»on wzorem: Wówczas: t ρ,k (x, y) = x y 1 2π 1 ρ 2 Denicja (Kopuªa t-studenta [9]). Dwuwymiarow kopuª t-studenta denuje si jako Cρ,k(u, t ( k) = t ρ,k t 1 (u), t 1 (v)) ( 1 + s2 + t 2 ) k+2 2 2ρst k(1 ρ 2 ds dt. ) k Z powy»szego wynika,»e kopuªa t-studenta zale»y od dwóch parametrów: od ρ i od liczby stopni swobody k. k Kopuªy archimedejskie Do opisu kopuª archimedejskich potrzebne b d nast puj ce denicje. Denicja (Generator [9]). Niech φ : I = [0, 1] [0, ] b dzie ciagª, rosn c i wypukª funkcj tak,»e φ(1) = 0. Wtedy funkcj φ nazywa si generatorem. Natomiast je±li φ(0) = to generator jest ±cisªy. Denicja (Funkcja pseudo-odwrotna [9]). Niech φ b dzie generatorem. Funkcj pseudo-odwrotn do φ denuje si nast puj co { φ [ 1] φ (v) = 1 (v) 0 v φ(0) 0 φ(0) v. 23

23 Denicja (Kopuªy archimedejskie [9]). Niech φ b dzie generatorem, a φ [ 1] jego funkcj pseudo-odwrotn. Kopuªa archimedejska C A jest generowana w nast puj cy sposób C A (u, v) = φ [ 1] (φ(u) + φ(v)). Je±li generator jest ±cisªy to kopuªa C A nazywana jest ±cisª kopuª archimedejsk. W±ród kopuª archimedejskich mo»na w szczególno±ci wyró»ni te jednoparametryczne, do których konstrukcji wykorzystuje si generator φ θ (t), indeksowany przez parametr θ. Poprzez wybór generatora uzyskuje si podklasy lub rodziny kopuª Archimedesa. Poni»ej opisano najbardziej znane rodziny oraz ich generatory [9]. kopuªa Gumbela φ θ (t) = ( lnt) θ, θ [1, ) Cθ Gu (u, v) = exp ( [ ( lnu) θ + ( lnv) θ] ) 1/θ kopuªa Claytona φ θ (t) = 1 θ (t θ 1), θ [ 1, 0) (0, ) Cθ Cl(u, v) = max [ (u θ + v θ 1) 1/θ, 0 ] kopuªa Franka φ θ (t) = ln exp( θt) 1 exp( θ) 1, θ (, 0) (0, ) ( ) Cθ F r(u, v) = 1 θ ln 1 + (exp( θu) 1)(exp( θv) 1) exp( θ) 1 Poni»ej przedstawiono zachowania graniczne rozdzin kopuª archimedejskich oraz ich szczególne postacie przy danym doborze parametru θ [9]. kopuªa Gumbela C Gu θ=1(u, v) = C (u, v) lim θ CGu θ (u, v) = C + (u, v) kopuªa Claytona C Cl θ= 1(u, v) = C (u, v) lim θ 0 CCl θ (u, v) = C (u, v) lim θ CCl θ (u, v) = C + (u, v) kopuªa Franka lim θ CF θ r (u, v) = C (u, v) lim θ 0 CF θ r (u, v) = C (u, v) lim θ CF θ r (u, v) = C + (u, v) 24

24 Rozdziaª 4 Portfele inwestycyjne W tym rodziale zostan policzone miary ryzyka dla inwestycji w pojedyncze aktywa oraz w przypadku inwestycji ª cznej z okre±lonymi wagami dla ka»dego skªadnika. Do przeprowadzenia oblicze«zostan wykorzystane informacje opisane w poprzednich rozdziaªach. Przeprowadzona analiza pozwoli na wybranie najbardziej optymalnego portfela, dla którego warto± ryzyka b dzie najmniejsza. Inwestycje b d na okres jednego miesi ca, a przedziaª ufno±ci jaki ustalono to 0, Inwestycje pojedyncze Rozwa»aniom podlegaj dwa jednoskªadnikowe portfele inwestycyjne. Pierwszy z nich skªada si tylko z akcji w kaw, a skªadnikiem drugiego s akcje w kakao. Value-at-Risk Jak wynika z denicji 2.3.4, miar Value-at-Risk mo»na obliczy jako kwantyl dystrybuanty przy zadanym poziomie ufno±ci. W SAS-ie jego warto± generuje procedura UNIVARIATE, która oblicza go na podstawie danych empirycznych. Kwantyl wyliczony w ten sposób nosi nazw kwantyla obserwowanego (Dodatek 4.3.2). Warto±ci kwantyli dla danych empirycznych (L kawa, L kakao pochodz ce z Tabeli 1.1) wyliczone przez program SAS9.4 przedstawia Tabela 4.1. Kwantyl Kawa Kakao 0,95 11, ,14835 Tablica 4.1: Kwantyle rz du 0, 95 dla rozkªadu stóp strat Na podstawie wyników zawartych w Tabeli 4.1 mo»na zapisa,»e V ar 0,95 (L kawa ) = 11, 1515 [%] V ar 0,95 (L kakao ) = 12, [%]. St d mo»na stwierdzi,»e w przypadku portfela skªadaj cego si z akcji kawy jest nie wi cej ni» 5% szansy na strat 11, 1515% warto±ci portfela. Natomiast dla akcji kakao warto± mo»liwej straty jest wi ksza i wynosi okoªo 12, 15%. 25

25 Expected Shortfall Do obliczenia warto±ci Expected Shortfall dla danych empirycznych wykorzystano twierdzenie 2.4.3, z którego wynika,»e nale»y zsumowa n(1 α) najwi kszych strat i policzy z nich ±redni. Stopy strat kawy i kakao skªadaj si z 60 obserwacji, wi c przy obliczaniu ES dla tych danych, pod uwag wzi to 60 (1 0, 95) = 3 najwi ksze straty. Warto±ci jakie otrzymano to: ES 0,95 (L kawa ) = 15, 1405 [%] ES 0,95 (L kakao ) = [%]. St d wynika,»e w 5% najgorszych przypadków mo»na straci okoªo 15, 14% warto±ci portfela przy inwestycji w kaw oraz okoªo 16, 62% w przypadku, gdy portfel skªada si z akcji kakao. Kod wykorzystany do wyliczenia miar ryzyka dla pojedynczych inwestycji zostaª umieszczony w Kod 1. i Kod Inwestycja ª czna Rozwa»aniom podlegaj dwuskªadnikowe portfele P β = β L kakao + (1 β) L kawa, (4.1) gdzie β = 0, 1; 0, 2; ; 0, 9. Miary ryzyka dla portfeli 4.1 zostan oszacowane metod symulacji z zastosowaniem kopuª archimedejskich. Dopasowanie najlepszej funkcji poª cze«i symulacja danych z kopuªy W tej procedurze mo»na wyró»ni cztery etapy: 1. Wyestymowanie parametrów rozkªadów brzegowych. 2. Dopasowanie kopuªy do danych empirycznych i wyestymowanie parametru kopuªy θ. 3. Symulacja danych z kopuªy. 4. Transformacja jednostajnych rozkªadów brzegowych do rozkªadów brzegowych przyj tych w punkcie 1. poprzez zastosowanie dystrybuanty odwrotnej dla ka»dego skªadnika. Pierwszy etap zostaª ju» przeprowadzony w podrozdziale 1.4. St d dane s ju» dystrybuanty zmiennych losowych L kakao, L kawa odpowiednio F kakao, F kawa. Dla przypomnienia, rozkªady stóp strat L kakao, L kawa s postaci: L kakao N ( 0, 1667; 7, ) L kawa W(28; 218, 4529; 215) Kolejny etap polega na oszacowaniu parametru θ dla danej kopuªy. Program SAS9.4 wylicza go przy pomocy procedury COPULA oraz u»yciu semiparametrycznej metody najwi kszej wiarygodno±ci (CML Canonical Maximum Likelihood, Dodatek 4.3.3), a funkcja poª cze«jest dopasowywana do danych empirycznych. Dodatkowo program wy±wietla warto±ci podstawowych kryteriów dopasowania kopuª do danych. S nimi: Log Likelihood (LOG), 26

26 kryterium informacyjne Akaike (AIC), kryterium Schwarza (SBC). Najlepiej dopasowan kopuª jest ta, która ma najwi ksz warto± LOG i najmniejsze warto±ci AIC oraz SBC. Trzecim etapem procedury jest generowanie 1000 punktów (u, v) z kopuªy C w przypadku gdy dane s jednostajne rozkªady brzegowe. Ostatecznie, aby uzyska dane z zaªo»onych rozkªadów brzegowych, nale»y skorzysta z twierdzenia i dokona transformacji punktów (u, v) przy u»yciu dystrybuant odwrotnych. St d L kakao = F 1 kakao (u) oraz L kawa = F 1 kawa (v). Po przeprowadzeniu powy»szej procedury zostan oszacowane miary ryzyka dla portfeli 4.1. Poni»ej przedstawiono wyniki dopasowania kopuª archimedejskich do danych stóp strat kawy i kakao, natomiast kod generuj cy parametry dopasowania umieszczono w Kod 4.. Kopuªa Claytona θ 0, LOG 2,58365 AIC -3,16729 SBC -1,07295 Tablica 4.2: Kopuªa Claytona - parametr i kryteria dopasowania Rysunek 4.1: Š czna dystrybuanta okre- ±lona kopuª Claytona 27

27 Kopuªa Franka θ 2, LOG 3,65892 AIC -5,31784 SBC -3,22349 Tablica 4.3: Kopuªa Franka - parametr i kryteria dopasowania Rysunek 4.2: Š czna dystrybuanta okre- ±lona kopuª Franka Kopuªa Gumbela θ 1, LOG 4,00377 AIC -6,00754 SBC -3,91319 Tablica 4.4: Kopuªa Gumbela - parametr i kryteria dopasowania. Powy»sze wyniki przedstawiono zbiorczo w tabeli 4.5. Clayton Frank Gumbel θ 0, , , LOG 2, , ,00377 AIC -3, , ,00754 SBC -1, , ,91319 Rysunek 4.3: Š czna dystrybuanta okre- ±lona przez kopuª Gumbela Tablica 4.5: Kopuªy archimedejskie - wyestymowany parametr i kryteria dopasowania Jak ju» zostaªo wcze±niej wspomniane wybór najlepszej kopuªy opiera si na porównaniu warto±ci kryteriów dopasowania - LOG, AIC i SBC. Na podstawie wyników zawartych w tabeli 28

28 4.5 wynika,»e najlepiej dopasowan funkcj poª cze«jest kopuªa Gumbela. To w jej przypadku warto± parametru LOG jest najwi ksza i jednocze±nie kryteria AIC oraz SBC przyjmuj najmniejsze warto±ci. Rysunek 4.4 przedstawia wygenerowane 1000 punktów (u,v) z kopuªy Gumbela. Mo»na zauwa»y,»e najwi ksze zag szczenie punktów jest wokóª prz k tnej. Symulacj punktów przeprowadzono za pomoc kodu zamieszczonego w Kod 5.. Rysunek 4.4: Punkty (u,v) odlosowane z kopuly Gumbela Po transformacji tych punktów za pomoc procedury QUANTILE, uzyskano warto±ci stóp strat dla kakao i kawy (Kod 6.), które zwizualizowano na rysunku 4.5 za pomoc kodu zamieszczonego w Kod 8.. (a) w dwuwymiarze (b) w trójwymiarze Rysunek 4.5: Wyestymowane warto±ci stóp strat dla inwestycji ª cznej 29

29 Nast pnie warto±ci te wykorzystano do oszacowania miar ryzyka portfeli 4.1. Uzyskane wyniki przedstawia tabela 4.6. β V ar 0,95 (P β ) ES 0,95 (P β ) 0,1 11, , ,2 11, , ,3 10, , ,4 10, , ,5 10, , ,6 10, , ,7 10, , ,8 10, , ,9 10, , Tablica 4.6: Warto±ci miar ryzyka dla portfeli 4.1 Na podstawie wyników zawartych w tabeli 4.6 nie mo»na wybra jednego portfela, dla którego warto±ci obu miar ryzyka s jednocze±nie najmniejsze. W przypadku Value-at-Risk najmniejsza warto± tej miary jest gdy β = 0, 6, natomiast Expected Shortfall osi ga minimaln warto± gdy β = 0, 5. W zwi zku z tym, oba te portfele zostan porównane z inwestycjami pojedynczymi. Kod wyliczaj cy warto±ci miar ryzyka przedstawiono w Kod Porównanie W tym podrozdziale dokonano porównania wcze±niej analizowanych portfeli inwestycyjnych. W tabeli 4.7 zestawiono warto±ci Value-at-Risk i Expected Shortfall dla portfeli jednoskªadnikowych, których warto±ci zostaªy wyliczone w podrozdziale 4.1 oraz dla dwóch wybranych portfeli dwuskªadnikowych P 0,5 = 0, 5 L kakao + 0, 5 L kawa i P 0,6 = 0, 6 L kakao + 0, 4 L kawa z podrozdziaªu 4.2, dla których uzyskano najmniejsze warto±ci miar ryzyka. Kakao Kawa P 0,5 P 0,6 V ar 0,95 12, , , , ES 0, , , , Tablica 4.7: Porównanie miar ryzyka dla wybranych portfeli Mo»na zauwa»y,»e dzi ki dywersykacji portfela inwestycyjnego osi gni to mniejsze warto- ±ci ryzyka, ni» w przypadku inwestycji w pojedyncze aktywa. Na podstawie wyników z tabeli 4.7, nie mo»na podj jednoznacznej decycji co do portfela o najmniejszym ryzyku. Portfel P 0,5 jest bardziej ryzykowny ni» portfel P 0,6 je±li chodzi o miar Value-at-Risk, natomiast jest mniej ryzykowny przy braniu pod uwag miary Expected Shortfall. Mo»na przypuszcza,»e dla pewnego β (0, 5; 0, 6) jest mo»liwy wybór takiego portfela inwestycyjnego, dla którego obie miary ryzyka b d miaªy najmniejsze warto±ci. 30

30 Podsumowanie W pracy dokonano analizy portfeli jedno- i dwuskªadnikowych, które zªo»one byªy z akcji w kaw i kakao. Inwestycje ª czne polegaªy na ró»nym udziale tych aktywów w portfelu. Poprzedzaj c porównanie portfeli wyznaczono podstawowe statystyki opisowe dla stóp strat omawianych aktyw. Dokonano równie» analizy rozkªadów tych zmiennych losowych i uzyskano,»e w przypadku kakao stopa strat ma rozkªad normalny, za± w przypadku kawy - trzyparametrowy rozkªad Weibulla. Znajomo± tych rozkªadów wykorzystano pó¹niej przy wyznaczaniu miar ryzyka dla inwestycji ª cznej. Aby dokona porównania inwestycji, przedstawiono podstawow teori na temat miar ryzyka. Do zmierzenia warto±ci ryzyka posªu»ono si miarami Value-at-Risk oraz Expected Shortfall. Przyj ty poziom ufno±ci wynosiª 0, 95. Dodatkowo przy analizie portfeli zªo»onych wykorzystano funkcj ª cz c oraz jedno z wa»niejszych twierdze«w teorii kopuª, czyli twierdzenie Sklara. Na podstawie oblicze«przeprowadzonych w programie SAS9.4, wybrano najlepiej dopasowan do analizowanych danych kopuª archimedejsk. Okazaªa si ni kopuªa Gumbela, wi c do wyliczenia warto±ci ryzyka dla inwestycji ª cznych posªu»ono si wªa±nie t kopuª. W ostatniej cz ±ci pracy wyznaczono warto±ci miar ryzyka dla omawianych portfeli, a nast pnie dokonano ich porównania. Nie uzyskano jednak jednoznacznej odpowiedzi, który z portfeli ma najmniejsze ryzyko. Z punktu widzenia miary Value-at-Risk najmniej ryzykown inwestycj okazaªa si inwestycja ª czna z udziaªem 60% kakao i 40% kawy. Natomiast pod wzgl dem miary Expected Shortfall byªa ni inwestycja z równym udziaªem obu aktyw. Mo»na przypuszcza,»e dla innych proporcji, obie miary ryzyka uzyskaªyby jednocze±nie najmniejsze warto±ci. Porównanie inwestycji pojedynczych i zªo»onych potwierdziªo jednak teori,»e dywersykacja portfela zmniejsza warto± ryzyka inwestycyjnego. 31

31 Bibliograa [1] (data dost pu r.) [2] (data dost pu r.) [3] (data dost pu r.) [4] Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M.: Rachunek prawdopodobie«stwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Cz ± II. Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1999 [5] McNeil A., Frey R., Embrechts P.: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools, Princeton University Press, 2005 [6] Artzner. P, Dalbean F., Eber J.-M., Heath.D.: Coherent Measures of Risk, Mathematical Finance, nr 9, 1999 [7] Uniejewski P,: Koherentne miary ryzyka, Wrocªaw, 2004 [8] Trzpiot G.: O wybranych wªasno±ciach miar ryzyka, Badania Operacyjne i Decyzje, nr 3 4, 2004 [9] Cherubini U., Luciano E., Vecchiato W.: Copula Methods in Finance, John Wiley & Sons, 2004 [10] Kutner R.: Wybrane zastosowania teorii kopuª w nansach. Symulacje Monte Carlo, Warszawa, 2009 [11] (data dost pu r.) 32

32 Spis rysunków 1.1 Wykres notowa«(na zamkni ciu) kawy w latach Wykres notowa«(na zamkni ciu) kakao w latach Histogramy dla danych Histogram stóp strat kawy wraz z naniesiona krzyw dopasowania do rozkªadu Weibulla Kopuªy fundamentalne Š czna dystrybuanta okre±lona kopuª Claytona Š czna dystrybuanta okre±lona kopuª Franka Š czna dystrybuanta okre±lona przez kopuª Gumbela Punkty (u,v) odlosowane z kopuly Gumbela Wyestymowane warto±ci stóp strat dla inwestycji ª cznej

33 Spis tablic 1.1 Notowania oraz stopy strat kawy i kakao Charakterystyki liczbowe kawy i kakao wyestymowane za pomoc programu SAS Testy normalno±ci dla kawy Testy normalno±ci dla kakao Test dopasowania stóp strat kawy do rozkªadu Weibulla Kwantyle rz du 0, 95 dla rozkªadu stóp strat Kopuªa Claytona - parametr i kryteria dopasowania Kopuªa Franka - parametr i kryteria dopasowania Kopuªa Gumbela - parametr i kryteria dopasowania Kopuªy archimedejskie - wyestymowany parametr i kryteria dopasowania Warto±ci miar ryzyka dla portfeli Porównanie miar ryzyka dla wybranych portfeli

34 Zaª czniki Dodatek Denicja (Wspóªczynnik korelacji [4]). Wspóªczynnik korelacji liniowej ρ mi dzy zmiennymi losowymi X i Y w dwuwymiarowym rozkªadzie okre±lony jest wzorem ρ = cov(x, Y ) σ X σ Y. Denicja (Kwantyl obserwowany [11]). Niech n b dzie liczb niebrakuj cych warto±ci zmiennej oraz niech ci g x 1, x 2,, x n przedstawia uporz dkowane warto±ci zmiennej. Niech y oznacza kwantyl rz du p oraz niech np = j + g, gdzie j jest cz ±ci caªkowit liczby np, a g jest jej cz ±ci uªamkow. Wówczas { 1 y = 2 (x j + x j+1 ) je±li g = 0 x j+1 je±li g > 0. Kwantyl obserwowany obliczony jest przy u»yciu empirycznej dystrybuanty z u±rednieniem. Denicja (Metoda CML [9]). Metoda CML (Canonical Maximum Likelihood ) polega na przeksztaªceniu danych {x 1t, x 2t } T t=1 do zmiennych jednostajnych {u 1t, u 2t } T t=1, a nast pnie wyestymowaniu parametru kopuªy. Mo»na rozró»ni w niej dwa etapy: 1. Wyestymowanie parametrów rozkªadów brzegowych z wykorzystaniem dystrybuanty empirycznej, to jest ˆF 1 (x 1t ), ˆF 2 (x 2t ). 2. Wyestymowanie parametru kopuªy ˆθ = arg max T ln c( ˆF 1 (x 1t ), ˆF 2 (x 2t ); θ), t=1 gdzie c(u, v) = C(u,v) u v jest g sto±ci szacowanej kopuªy. 35

35 Kod Kod 1. Kod, za pomoc którego wyliczono stopy strat dla kakao i kawy. data praca.kakao1; set praca.kakao; L_kakao=round(((kakao_o-kakao_z)/kakao_o)*100,0.0001); data praca.kawa1; set praca.kawa; L_kawa=round(((kawa_o-kawa_z)/kawa_o)*100,0.0001); Kod 2. Kod generuj cy statystyki opisowe, wyniki dopasowania rozkªadów, histogramy oraz warto±ci kwantyli dla stóp strat kakao i kawy. proc univariate data=praca.kakao1; var L_kakao; histogram L_kakao/normal; proc univariate data=praca.kawa1; var L_kawa; histogram L_kawa/normal; proc univariate data=praca.kawa1; var L_kawa; histogram L_kawa/weibull(theta=-215,c=28); Kod 3. Kod, którym posªu»ono si do wyliczenia warto±ci Expected Shortfall dla stóp strat kakao i kawy. proc sort data=praca.kakao1 out=praca.kakao_sort; by descending L_kakao; proc means data=praca.kakao_sort (obs=3) mean; var L_kakao; proc sort data=praca.kawa1 out=praca.kawa_sort; by descending L_kawa; proc means data=praca.kawa_sort (obs=3) mean; var L_kawa; 36