PODSTAWY LOGISTYKI Literatura

Transkrypt

1 PODSTAWY LOGISTYKI dr inż. Paweł Gomoliński p A Literatura 1. M. Siudak, Badania operacyjne, OWPW, H. Wagner, Badania operacyjne, PWE, F. Hillier, G. Lieberman, Introduction to Operations Research, McGraw-Hill International Editions

2 Warunki zaliczenia 2 prace kontrolne: 1. Analiza sieciowa 30 pkt. (min. 16 pkt.) 2. Programowanie liniowe, modele decyzyjne 60 pkt. (min. 31 pkt.) Σ 90 pkt , , , , ,0 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

3 Logistyka rys historyczny Korzenie etymologiczne pojęcia logistyka sięgają języka greckiego, w którym występują m.in. słowa: Logos słowo, mowa, myśl, rachunek; Logike logika; Logistike sztuka liczenia, sztuka kalkulowania. Początkowo termin logistyka używany był w obszarze militarnym. Obejmował wszystkie działania służące zaopatrzeniu oddziałów, takie jak: planowanie dróg i magazynów wojskowych, transport osób i sprzętu, dostawa zaopatrzenia i części zamiennych. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

4 Pierwsze zastosowania logistyki Działania wojskowe: - Cesarz Leon VI ( n.e.) - Baron de Jomini (1837 r.) Gospodarka: - USA (1955 r.) Logistyka występowała pod nazwą bussines logistics, a jej celem było osiągnięcie optymalnej koordynacji przepływu materiałów, surowców, czynności związanych z ich magazynowaniem, czynności manipulacyjnych towarów, problemów dotyczących opakowania, magazynowania i przepływu wyrobów gotowych do ich ostatecznych odbiorców - Europa RFN (1970 r.) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

5 Przyczyny rozwoju logistyki recesja w USA (1950) wysoki poziom wydajności produkcji wzrost kosztów transportu zmiana filozofii podejścia do klienta rozwój techniki komputerowej rozwój telekomunikacji Obecne zastosowania logistyki wojsko gospodarka służba zdrowia (szpitale) turystyka... Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

6 Definicja logistyki Obecnie logistyka pojmowana jest jako: Zintegrowane zarządzanie, planowanie i sterowanie przepływem materiałów i informacji, mające na celu optymalne tworzenie i transformację wartości (dóbr). Cele logistyki Ekonomiczne (tj. przy minimalnych kosztach) dostarczanie: właściwego dobra (materiały, wyroby, informacje, usługi, energia), we właściwej ilości, o właściwej jakości, z właściwą informacją (nie więcej niż potrzeba!), o właściwym czasie, do właściwego miejsca. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

7 Logistyka jest obecnie dziedziną wiedzy dążącą do integracji przedsiębiorstw w celu optymalnego kształtowania łańcuchów zaopatrzeniowych dóbr od momentu pozyskania surowców, poprzez wytworzenie produktu, aż po jego dystrybucję do ostatecznego nabywcy. Logistyka wykorzystuje i integruje wiedzę z zakresu informatyki, techniki i komercji, stawiając za cel badanie i opis związków, których znajomość umożliwia analizę strat i zysków, i które stanowią bazę do podejmowania decyzji w ramach strategicznego planowania działań przedsiębiorstwa. W obecnych czasach warunkiem przetrwania dla przedsiębiorstw uczestniczących w wytwarzaniu wszelkiego rodzaju dóbr i usług jest konieczność produkcji wyrobów o możliwie wysokiej jakości i funkcjonalności, przy minimalnym koszcie zarówno wytwarzania, jak i dystrybucji. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

8 Interdyscyplinarny charakter logistyki Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

9 Schemat strukturalny logistyki i poziomy jej działania Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

10 Podział logistyki ze względu na obszar funkcjonowania Logistyka zaopatrzenia Logistyka magazynowania Logistyka produkcji (wytwarzania) Logistyka dystrybucji Logistyka transportu... Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

11 Logistyka produkcji Naczelną ideą logistyki produkcji jest zasada Just-In-Time (dokładnie na czas), wywodząca się z japońskiej metody planowania procesu produkcyjnego, zwanej Kanban. Realizacja tej zasady pozwala do minimum ograniczyć koszty magazynowania. Warunkiem jest synchronizacja procesów produkcyjnych, ale przede wszystkim przedprodukcyjnych (szczególnie w sferze zaopatrzenia i kooperacji) i poprodukcyjnych (odbiór, dystrybucja), aby wyeliminować lub do minimum ograniczyć zakłócenia. Wdrożenie zasady Just-In-Time umożliwia zmniejszenie poziomu zapasów nawet o połowę, co jest o tyle istotne, że 90% czasu pozostawania materiału w przedsiębiorstwie dotyczy różnego rodzaju magazynowania. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

12 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

13 Podstawa logistyki myślenie systemowe Analiza (i optymalizacja) całego systemu logistycznego, a nie jego podsystemów (kompromis) Globalne ujęcie kosztów funkcjonowania systemu logistycznego Optymalizacja w logistyce Oczekiwane efekty: - poprawa organizacji systemu logistycznego - spadek kosztów magazynowania - skrócenie czasu realizacji zamówienia -... Kryterium: Stosunek wydajności do kosztów Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

14 Przykład Logistyka porozumień handlowych: realizacja kontraktu w przedsiębiorstwie przy minimalnych kosztach. Inaczej mówiąc, jest to spełnienie oczekiwań klienta przy równoczesnym zapewnieniu odpowiedniej rentowności przedsięwzięcia. Ważnym atutem rynkowym jest szybkość realizacji zamówień, jednak może to wiązać się z koniecznością utrzymywania wysokiego poziomu zapasów magazynowych. Zadaniem logistyki jest tu znalezienie kompromisu pomiędzy możliwościami technicznymi, poziomem zapasów i terminem realizacji zamówienia. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

15 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

16 Metody optymalizacji i planowania w logistyce rachunek różniczkowy programowanie liniowe i nieliniowe drzewo decyzyjne heurystyka teoria kolejek symulacja Poziomy optymalizacji systemu logistycznego: Optymalizacja wyboru środków transportu (struktura środków transportu) Optymalizacja kosztów dla każdego środka transportu (organizacja, redundancja) Optymalizacja konstrukcji maszyny jako ogniwa systemu logistycznego (trwałość, wydajność, sprawność, efektywność, gotowość) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

17 Przykład: optymalizacja kosztów Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

18 Typowe problemy w logistyce Klasyczny problem transportu Jednakowe towary od pewnej liczby dostawców muszą być dostarczane do różnych miejsc przeznaczenia (odbiorców). Dostawcy dysponują określonymi zapasami, zaś odbiorcy mają określone zapotrzebowania. Należy tak sporządzić plan transportu (dostaw), aby zadanie zrealizować przy najniższych kosztach. Zakłada się przy tym, że koszty transportu są proporcjonalne do ilości towarów i długości trasy, i że w rozpatrywanym czasie są stałe. Problem skąpej przestrzeni W tym przypadku chodzi o optymalne wypełnienie pewnej ograniczonej przestrzeni towarami, które mogą mieć różne wymiary lub przynosić różne korzyści. Do tych problemów należą takie zagadnienia, jak: najlepsze rozplanowanie wykrojów z blachy (minimalizacja odpadów), optymalne wypełnienie skrzyni ładunkowej samochodu, palety, przestrzeni magazynowej itp. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

19 Problem przyporządkowania Poszukuje się najkorzystniejszego przyporządkowania określonych ilości różnych elementów, np.: personelu dla maszyn, przedmiotów obrabianych do maszyn, środków transportu do towarów, pomocniczych środków transportu do towarów. Znane są przy tym koszty wszystkich możliwych par przyporządkowania. Koszty te są wzajemnie niezależne. Problem przepływu materiału Zadanie polega na przetransportowaniu przy pomocy istniejącego systemu transportu maksymalnej ilości towarów z miejsca nadania do miejsca przeznaczenia poprzez zadaną sieć dróg, przy czym znane są długości oraz przepustowości wszystkich tras. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

20 Problem akwizytora (Traveling salesman problem) Zadanie polega na takim zaplanowaniu trasy z miejsca startu do miejsca przeznaczenia poprzez różne punkty pośrednie, które będzie optymalne pod względem: czasu, długości trasy i/lub kosztów. W zależności od postawionego celu, znane są: czasy transportu, odległości lub koszty transportu pomiędzy wszystkimi stacjami itd. Przykładem może tu być optymalizacja trasy układnicy w magazynie wysokiego składowania przy realizacji zamówienia. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

21 Systemy i procesy logistyczne Systemy logistyczne: systemy uczestniczące w czasowoprzestrzennej transformacji dóbr. Procesy logistyczne: procesy dokonujące się w systemach logistycznych. Realizuje się w nich przepływ dóbr oraz towarzyszących im informacji i wartości pomiędzy systemami wytworzenia i użytkowania. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

22 System logistyczny przedsiębiorstwa Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

23 Podstawowe struktury systemów logistycznych System jednostopniowy (przepływ bezpośredni) Punkt nadania Punkt odbioru System wielostopniowy z dekoncentracją (przepływ pośredni) Punkt nadania Punkt dekoncentracji Punkty odbioru System wielostopniowy z koncentracją (przepływ pośredni) Punkt koncentracji Punkt odbioru Punkty nadania Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

24 System kombinowany (przepływ bezpośredni i pośredni) Punkt nadania Punkt dekoncentracji Punkty odbioru Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

25 Część I: Sieciowe modele decyzyjne Analiza sieciowa elementy teorii grafów Modele sieciowe procesów Metoda ścieżki krytycznej minimalizacja czasu realizacji przedsięwzięcia Optymalizacja kosztów przedsięwzięcia Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

26 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

27 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

28 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

29 1. Problem najmniejszego rozpięcia drzewa Zadanie polega na stworzeniu sieci w postaci drzewa, które połączy wszystkie węzły przy najkrótszej sumie połączeń. Problem ten może mieć zastosowanie przy planowaniu: sieci komunikacyjnych i telekomunikacyjnych sieci komputerowych sieci dystrybucji (połączenie magazynów, punktów sprzedaży) pokładowej sieci CAN pojazdu Algorytm rozwiązania Poszukiwanie najkrótszego połączenia od dotychczas wybranego (wybranych) węzła (węzłów) do kolejnych, jeszcze nie połączonych węzłów. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

30 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

31 Przykład 1 Zużywając jak najmniej przewodu sieciowego połączyć serwer komputerowy z terminalami tak, aby każdy łączył się z nim bezpośrednio lub pośrednio. Dane: Odległości pomiędzy poszczególnymi stanowiskami roboczymi: S K1 K2 K3 K4 K5 S K K K K K Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

32 Rozwiązanie: Algorytm: 1. Wybranie węzła początkowego (S). 2. Wybranie węzła, którego odległość od węzła początkowego jest najmniejsza. 3. Wybranie kolejnego, jeszcze nie wybranego węzła, którego odległość od jednego z wcześniej wybranych węzłów jest najmniejsza. 4. Powtarzanie kroku 3. aż do zrównania liczby wybranych węzłów z liczbą węzłów sieci. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

33 S K1 K2 K3 K4 K5 S (1) K (2) (3) K2 70 (1) 100 (2) (5) 220 K (4) K (5) K (3) (4) 310 1) S S K2 70 2) S, K2 K2 K ) S, K1, K2 K1 K5 50 4) S, K1, K2, K5 K5 K3 80 5) S, K1, K2, K3, K5 K2 K S K2 K1 K5 K3 K4 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

34 Graf K1 100 K2 K S K4 140 K3 K1 100 K2 K S K K3 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

35 K1 100 K2 K S K4 140 K3 K1 100 K2 K S K K3 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

36 K1 100 K2 K S K4 140 K3 K1 100 K2 K S K K3 Σ = 420 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

37 2. Problem najkrótszej trasy przejazdu Przykład 1 O A 1 2 B D T C 4 E Dane: Sieć połączeń Czasy przejazdu wzdłuż każdej drogi Wyznaczyć: Najkrótszą trasę z punktu O do T. Komentarz: 1. Boki grafu mogą reprezentować koszty określonej działalności. Wówczas zadanie polega na minimalizacji kosztów całkowitych. 2. Boki grafu mogą reprezentować czasy trwania określonych działań. Wówczas zadanie polega na minimalizacji czasu trwania przedsięwzięcia. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

38 Algorytm rozwiązania: Kaskadowe poszukiwanie najkrótszych dróg, zaczynając od punktu startowego i kolejno poprzez wszystkie możliwe połączenia. Uwagi do algorytmu: W każdym kolejnym kroku iteracyjnym uwzględniane są oprócz pozycji nowych również pozycje odrzucone w kroku poprzednim. W ten sposób algorytm pozwala uniknąć ryzyka odrzucenia trasy, która początkowo prowadzi do celu odcinkami dłuższymi, ale w ostatecznym rozrachunku może okazać się najkrótsza. Prezentowany algorytm pozwala przy okazji znaleźć najkrótsze trasy wiodące od punktu startowego do wszystkich punktów węzłowych sieci dróg. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

39 Rozwiązanie: Krok iteracji Wybrane węzły 1 O O O 2 O O A A 3 A B B C 4 A B E E 5 D E Sąsiednie węzły nie wybrane wcześniej A B C B C B D D D E E D D D T T T Łączna odległość do rozpatrywanego węzła = = = = = = = = Następny najbliższy węzeł Najkrótsza odległość (od startu) Ostatnie połączenie A 2 OA C B 4 4 OC AB E 7 BE D D 8 8 BD ED T 13 DT Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

40 Rozwiązanie cd. (ostateczne wskazanie najkrótszej trasy): Krok iteracji Wybrane węzły 1 O O O 2 O O A A 3 A B B C 4 A B E E 5 D E Sąsiednie węzły nie wybrane wcześniej A B C B C B D D D E E D D D T T T Łączna odległość do rozpatrywanego węzła = = = = = = = = Następny najbliższy węzeł Najkrótsza odległość (od startu) Ostatnie połączenie A 2 OA C B 4 4 OC AB E 7 BE D D 8 8 BD ED T 13 DT Wynik znajduje się od końca: 1. T-D-E-B-A-O (= 13) lub 2. T-D-B-A-O (= 13) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

41 O A 1 2 B D T C T-D-E-B-A-O (13) 4 E O A 1 2 B D T C 4 E T-D-B-A-O (13) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

42 Przykład 2 A 6 D O 1 C 3 E 3 T B 7 F Wyznaczyć najkrótszą trasę z punktu O do T. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

43 Krok iteracji Wybrane węzły 1 O O 2 O A A A 3 A A B B 4 A B C C C 5 C D D F F 6 D E F Sąsiednie węzły nie wybrane wcześniej A B B B C D C D C F D F D E F E E T E T T T T Łączna odległość do rozpatrywanego węzła = = = = = = = = = = = = = Następny najbliższy węzeł Najkrótsza odległość (od startu) Ostatnie połączenie A 3 OA B B 4 4 OB AB C 6 BC D F 8 8 CD CF E 9 CE T 12 ET O-A-B-C-E-T lub O-B-C-E-T (= 12) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

44 3. Problem maksymalnego przepływu (przepustowości sieci) Zadanie polega na takim zorganizowaniu tras przejazdów, aby uzyskać maksymalną ilość przejazdów w ciągu dnia. Należy przy tym uwzględnić ograniczenia przejazdów wzdłuż poszczególnych boków grafu. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

45 Algorytm rozwiązania polega na realizacji następujących kroków: 1. Znaleźć dowolną, wcześniej nie wybraną, trasę od punktu startowego do punktu końcowego o dodatniej przepustowości. (Jeżeli taka nie istnieje koniec iteracji.) 2. Znaleźć na tej trasie drogę o minimalnej przepustowości (c min ) i o tę liczbę powiększyć dotychczasową wartość przepustowości całej sieci. (Początkowa wartość przepustowości sieci = 0). 3. Pomniejszyć przepustowość wszystkich dróg wybranej trasy o wartość c min. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

46 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

47 Twierdzenie teorii sieci o optymalności rozwiązania problemu maksymalnego przepływu ( max-flow min-cut ): Maksymalna przepustowość każdej sieci z jednym punktem startowym i jednym punktem końcowym równa jest najmniejszej sumie przepustowości dróg z wszystkich przecięć. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

48 Modele sieciowe procesów nieregularnych Proces nieregularny jest to przedsięwzięcie wieloczynnościowe (na ogół jednorazowe), o nietypowej strukturze i przebiegu. Przykłady: procesy technicznego przygotowania produkcji przedsięwzięcia badawczo-rozwojowe modernizacja zakładu przemysłowego przedsięwzięcia inwestycyjne lub organizacyjne (niektóre) produkcja na zamówienie (jednostkowa) Opisu struktury procesu nieregularnego dokonuje się za pomocą modelu sieciowego, zwanego siecią czynności. Sieć stanowi połączenie grafu ze zbiorem funkcji określonych na zbiorze jego wierzchołków i zbiorze jego gałęzi. Model sieciowy pozwala na rozwiązywanie różnorodnych problemów decyzyjnych za pomocą odpowiednich metod analizy. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

49 Sieć czynności Model sieciowy do opisu struktury procesów nieregularnych. Jest to graf przedstawiający strukturę kolejności realizacji poszczególnych czynności. i wierzchołek bok j wierzchołek boki wierzchołki czynności (procesy) zdarzenia (stany realizacji przedsięwzięcia) Boki są skierowane (czynność <i, j>) Zdarzenie j zaistnieje w momencie zakończenia czynności <i, j>. Rozpoczęcie czynności <j, k> jest możliwe z chwilą zajścia zdarzenia j. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

50 Porządek czynności zależy od następujących ograniczeń: technologicznych wynikających z technologii procesu; czasowych gdy dana czynność musi zostać rozpoczęta lub zakończona w określonym momencie; wynikających z niepodzielności zasobów np. 1 koparka i kilka wykopów do wykonania narzuca konieczność realizacji czynności szeregowo (a nie równolegle); wynikających z wielkości zasobów np. ograniczona ilość siły roboczej, która musi być dzielona pomiędzy czynności (fronty czynności). Zbudowanie sieci czynności wymaga znajomości listy czynności oraz odwzorowania powyższych ograniczeń. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

51 Czynności fikcyjne Określenie relacji chronologicznych w sieci, wynikających z wymogów np. technologicznych, wymaga niekiedy wprowadzenia czynności fikcyjnych (pozornych). Określają one jedynie następstwa czynności w przypadku działań realizowanych równolegle, lecz w określonej chronologii. Ich czas realizacji jest zerowy. Przykład: Czynność <3, 4> nie może się rozpocząć przed zakończeniem czynności <1, 2> (oraz czynności <1, 3>). Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

52 Przykład Sieć czynności ujmująca ograniczenia technologiczne i czasowe pewnego przedsięwzięcia [1]: <1, 3> badanie popytu <1, 2> nabycie surowców na prototypy <3, 4> wyprodukowanie prototypów i ocena ich jakości <4, 6> nabycie surowców do produkcji <4, 5> wybór opakowań <5, 9> nabycie opakowań <6, 7> analiza kosztów produkcji <6, 10> reklama, zbieranie zamówień <7, 8> analiza ekonomiczna <8, 9> proces produkcji wyrobu <9, 10> pakowanie wyrobu gotowego <10, 11> dystrybucja do handlu Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

53 Uporządkowanie zdarzeń w sieci tak, aby dla każdego <i, j> i < j (odzwierciedlenie następstwa w czasie) Porządkowanie warstwowe Podział zdarzeń na warstwy: W 0 zdarzenia bez poprzedników; W k zdarzenia, dla których poprzedniki należą do warstw W 0,..., W k-1. Algorytm porządkowania warstwowego: 1. Zbudowanie binarnej macierzy przejść P b. 2. Przyporządkowanie warstwie W 0 zdarzeń odpowiadających zerowym kolumnom macierzy przejść. (Ponieważ sieć czynności nie może zawierać pętli, zawsze musi istnieć co najmniej jedna kolumna zerowa.) 3. Wykreślenie z macierzy P b kolumn zerowych, a następnie wierszy o tych samych numerach, co wykreślone kolumny. 4. Przyporządkowanie warstwie W 1 zdarzeń odpowiadających zerowym kolumnom zredukowanej macierzy przejść. 5. Powtarzanie czynności 3. i 4. aż do wyczerpania zbioru zdarzeń. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

54 Przykład Binarna macierz przejść P b : i j Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

55 i j W0 i j W W0 i j W W W W0 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

56 W0 W1 W2 W3 W0 5 W1 1 W2 2, 3 W3 4 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

57 Metoda ścieżki krytycznej (CPM Critical Path Method) Historycznie najwcześniejsza metoda analizy sieciowej. Umożliwia takie zaplanowanie harmonogramu przedsięwzięcia, aby czas realizacji był najkrótszy. Wymaga uprzedniego określenia sieci czynności (zdeterminowania struktury) oraz określenia czasów realizacji czynności t ij (zdeterminowania czasów). Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

58 i t ij j i zdarzenie poprzedzające j zdarzenie następujące t ij czas realizacji czynności <i, j> t ij = 0 czynność pozorna (najpierw musi zajść zdarzenie i) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

59 Z kolei czasy realizacji czynności determinują: Tw i Tp i najwcześniejszy możliwy termin wystąpienia zdarzenia i najpóźniejszy dopuszczalny termin wystąpienia zdarzenia i i Tw i Tp i t ij j Tw j Tp j Tw j = max {Tw i + t ij } Tp i = min {Tp j - t ij } (j = 2, 3,..., n; i = j-1) (i = n-1, n-2,..., 1; j = i+1) 1 Tw 1 Tp 1 t 1,4 i 2 Tw 2 Tp 2 t 2,4 4 Tw 4 Tp 4 t 3,4 3 Tw 3 Tp 3 t 3,5 5 Tw 5 Tp 5 j Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

60 Najwcześniejszy możliwy termin wystąpienia zdarzenia j (zdarzenie j może zajść wtedy, gdy zakończą się wszystkie czynności, dla których jest ono zdarzeniem końcowym) Tw j = max {Tw i + t ij } j = 2, 3,..., n (następniki) i = 1, 2,..., n-1 (poprzedniki) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

61 Najpóźniejszy dopuszczalny termin wystąpienia zdarzenia i Tp i = min {Tp j - t ij } i = n-1, n-2,..., 1 j = n, n-1, n-2,..., Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

62 Przykład obliczania czasów Tw j i Tp i : i Tw i Tp i t ij j Tw j Tp j Tw j = max {Tw i + t ij } Tp i = min {Tp j t ij } (j = 2, 3,..., n; i = j-1) (i = n-1, n-2,..., 1; j = i+1) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

63 i Tw i t ij j Tw j Tw j = max {Tw i + t ij } Tw 1 = 0 Tw 2 = max {0+5} = 5 i {1} Tw 3 = max {0+9} = 9 i {1} Tw 4 = max {0+12} = 12 i {1} Tw 5 = max {5+2, 9+0} = 9 i {2, 3} Tw 6 = max {9+2} = 11 i {3} Tw 7 = max {12+3, 11+2, 9+7} = 16 i {4, 5, 6} Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

64 i Tp i t ij j Tp j Tp i = min {Tp j t ij } Tp 7 = Tw 7 = 16 Tp 6 = min {16-2} = 14 j {7} Tp 5 = min {16-7} = 9 j {7} Tp 4 = min {16-3} = 13 j {7} Tp 3 = min {9-0, 14-2} = 9 j {5, 6} Tp 2 = min {9-2} = 7 j {5} Tp 1 = Tw 1 = 0 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

65 Ścieżka krytyczna Definicje Luz zdarzenia zapas czasu pomiędzy najwcześniejszym i najpóźniejszym terminem jego wystąpienia. L i = Tp i Tw i Zdarzenie krytyczne zdarzenie, dla którego luz jest równy zeru, czyli: Tp i = Tw i Przykład: Zdarzenia krytyczne: 3, 5 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

66 Zapas całkowity czasu dopuszczalne opóźnienie rozpoczęcia czynności <i, j> bez zmiany najpóźniejszego terminu wystąpienia zdarzenia j, tzn. bez naruszenia Tp j. Zc ij = Tp j Tw i t ij Zapas swobodny czasu dopuszczalne opóźnienie rozpoczęcia czynności <i, j> bez zmiany najwcześniejszego terminu wystąpienia zdarzenia j, tzn. bez naruszenia Tw j. Zs ij = Tw j Tw i t ij Zapas niezależny czasu dopuszczalne opóźnienie czynności <i, j> w przypadku, gdy zdarzenie i zaistniałoby w terminie najpóźniejszym, a zdarzenie j powinno rozpocząć się w terminie najwcześniejszym. (Inaczej: o ile można wydłużyć czynność <i, j>, jeśli nawet wydłuży się do maksimum czynności poprzedzające.) Zn ij = Tw j Tp i t ij Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

67 Ścieżka krytyczna jest to droga łącząca zdarzenie początkowe ze zdarzeniem końcowym, dla której sumaryczny czas realizacji jest najdłuższy. W danej sieci może istnieć jedna lub więcej ścieżek krytycznych. Czynności leżące na ścieżce krytycznej są czynnościami krytycznymi. Czynności krytyczne wyznaczają najkrótszy możliwy cykl realizacji przedsięwzięcia, tzn. nie można go zakończyć wcześniej, niż w czasie: τ = Tw n = Tp n Zdarzenia leżące na ścieżce krytycznej są zdarzeniami krytycznymi. Jednak ciąg zdarzeń krytycznych nie wyznacza jednoznacznie ścieżki krytycznej (zdarzenia te mogą również występować poza ścieżką krytyczną). Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

68 Twierdzenie Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby czynność <i, j> była czynnością krytyczną, jest zerowa wartość zapasu całkowitego Zc ij. Dowód: Jeżeli <i, j> jest czynnością krytyczną i Zc ij > 0, tzn.: Tp j Tw i t ij > 0 [1] Natomiast z założenia, że <i, j> jest czynnością krytyczną wynika, że zdarzenia i oraz j są krytyczne, czyli: Tp j = Tw j Wstawiając tę równość do [1], otrzymujemy: Tw j Tw i t ij > 0 czyli Tw j > (Tw i + t ij ) co pozostaje w sprzeczności z definicją Tw j : Tw j = max {Tw i + t ij } c.b.d.o. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

69 Przykłady wyznaczania ścieżki krytycznej i Tw i Tp i t ij, Zc ij j Tw j Tp j Zc ij = Tp j Tw i t ij Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

70 , ,2 7, ,0 12, ,3 3, , Zc 12 = Tp 2 Tw 1 t 12 = = 2 Zc 13 = Tp 3 Tw 1 t 13 = = 0 Zc 14 = Tp 4 Tw 1 t 14 = = 1 Zc 25 = Tp 5 Tw 2 t 25 = = 2 Zc 36 = Tp 6 Tw 3 t 36 = = 3 Zc 47 = Tp 7 Tw 4 t 47 = = 1 Zc 57 = Tp 7 Tw 5 t 57 = = 0 Zc 67 = Tp 7 Tw 6 t 67 = = 3 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

71 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

72 8, ,0 4, , , ,13 5,0 5, , , , ,0 4, ,0 5, , Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

73 Harmonogram realizacji przedsięwzięcia Znajomość najwcześniejszych i najpóźniejszych terminów wystąpienia zdarzeń jest niezbędna w celu wyznaczenia ścieżki krytycznej. Natomiast z punktu widzenia planowania harmonogramu przedsięwzięcia istotna jest również znajomość odpowiednich terminów odnoszących się do czynności: Pw ij najwcześniejszy możliwy termin rozpoczęcia czynności <i, j>, Pp ij najpóźniejszy dopuszczalny termin rozpoczęcia czynności <i, j>, Kw ij najwcześniejszy możliwy termin zakończenia czynności <i, j>, Kp ij najpóźniejszy dopuszczalny termin zakończenia czynności <i, j>. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

74 Terminy rozpoczęcia czynności Najwcześniejszy Pw ij = Tw i Najpóźniejszy Pp ij = Tp j - t ij Terminy zakończenia czynności Najwcześniejszy Kw ij = Tw i + t ij Najpóźniejszy Kp ij = Tp j i Tw i Tp i t ij j Tw j Tp j Pw ij = Tw i t ij Kw ij = Tw i + t ij t ij Pp ij = Tp j - t ij Kp ij = Tp j Zc ij Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

75 Parametry czasowe realizacji przedsięwzięcia 2, ,3 4, , ,0 4, ,2 5, , Tw i Tp j - t ij Tw i +t ij Tp j Czynność <i, j> t ij Pw ij Pp ij Kw ij Kp ij Zc ij Zs ij Zn ij 1, , , , , , , 5 0 4, , 6 0 5, , Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

76 Harmonogram czynności [jednostki czasu] <i, j> t ij , , , , , , , 5 0 4, , 6 0 5, , najwcześniejsze terminy rozpoczęcia i zakończenia najpóźniejsze terminy rozpoczęcia i zakończenia Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

77 Optymalizacja harmonogramu czynności 2, ,3 4, , ,0 4, ,2 5, , Skrócenie <5, 7> kosztem <6, 7> 2, ,3 4, , ,0 4, ,0 6, , Pojawiają się nowe czynności krytyczne i pozostają jeszcze rezerwy czasowe dla czynności <1, 3>, <3, 4> i <3, 5>. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

78 2, ,3 4, , ,0 4, ,2 5, , , ,0 (+2) 4, ,0 (-2) ,0 (-1) 4, ,0 6,0 (+1) , Nie ma już dalszych możliwości optymalizacji czasowej Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

79 Optymalizacja kosztów realizacji przedsięwzięcia metoda CPM-MCX Kryteria optymalizacji harmonogramu przedsięwzięcia: Czas realizacji (metoda CPM ścieżka krytyczna) Analiza czasowo-kosztowa (metoda CPM-MCX ścieżka krytyczna z minimalizacją nakładów finansowych) Analiza czasowo-kosztowa harmonogramu realizacji przedsięwzięcia Na całkowity koszt realizacji przedsięwzięcia składają się dwa rodzaje kosztów, powiązane z czasem: Koszty bezpośrednie Koszty pośrednie Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

80 Koszty bezpośrednie dotyczą każdej czynności oddzielnie (koszty robocizny, materiałów itp.): K B = Σ K ij gdzie K ij koszt bezpośredni czynności <i, j>. Koszty pośrednie dotyczą całości przedsięwzięcia (koszty administracyjne, zamrożenia kapitału itp.): K P = α T = α Tw n gdzie: α koszt pośredni na jednostkę czasu, T czas realizacji przedsięwzięcia (dla którego zdarzenie n jest końcowe). 2, ,3 4, ,0 Tw n ,0 4, ,2 5, , Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

81 Koszty bezpośrednie K B związane są zależnością odwrotną z czasem realizacji poszczególnych czynności. Angażując dodatkowe środki produkcji, maszyny, siły robocze itd., można skracać czas t ij, ale powoduje to przyrost kosztu K B : K ij t ij Koszt pośredni K P całości przedsięwzięcia jest wprost proporcjonalny do czasu jego realizacji (T): K p T Zatem skracanie czasu realizacji przedsięwzięcia powoduje: wzrost kosztów bezpośrednich K B spadek kosztów pośrednich K P Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

82 Należy tak dobierać czasy t ij, aby łączne koszty realizacji przedsięwzięcia były jak najniższe. K = K B + K P = min Koszty K K P K B τ opt Czas realizacji przedsięwzięcia Dla kosztów bezpośrednich ścisła zależność pomiędzy t ij i K ij jest nieznana. Z racji jednorazowości rozpatrywanego przedsięwzięcia (proces nieregularny), nie istnieje też możliwość empirycznego określenia tej zależności. Można jednak aproksymować przebieg krzywej zależności kosztów bezpośrednich od czasu za pomocą interpolacji liniowej. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

83 Warunkiem jest znajomość dwóch punktów tej krzywej: normalnego N i granicznego G, które dla specjalisty-technologa nie są trudne do wyznaczenia. K ij G K ij Punkt graniczny ( t N ij, N K ij N K ij G t ij ) punkt normalny; N t ij Punkt normalny t ij N K ij minimalny koszt bezpośredni realizacji czynności <i, j>, zwany kosztem normalnym; (np. zaangażowana jedna maszyna/operator/linia itp.) N t ij czas normalny realizacji dla czynności <i, j>, będący najkrótszym możliwym przy koszcie N K ij ; ( t G ij, G K ij ) punkt graniczny; G t ij czas graniczny realizacji czynności <i, j>, będący najkrótszym możliwym do uzyskania (ze względów technologicznych) bez względu na koszty; (np. zaangażowane wszystkie maszyny/operatorzy/linie itp.) G K ij koszt bezpośredni realizacji czynności <i, j> w czasie granicznym. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

84 Rzeczywisty czas realizacji czynności <i, j> zawiera się w przedziale: t t ij t N G ij ij Znając współrzędne punktów N i G można aproksymować przebieg zależności kosztów bezpośrednich od czasu: K ij G K ij N K ij G t ij N t ij t ij G N K ij - K ij a ij = N t ij - t G ij gdzie a ij wyraża współczynnik przyrostu kosztów bezpośrednich czynności <i, j> przy skróceniu czasu realizacji czynności o jednostkę. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

85 K ij G K ij G N K ij - K ij a ij = N t ij - t G ij K ij N K ij G t ij t ij N t ij t ij Stąd koszt bezpośredni czynności <i, j>: K ij = K + a ij ( t N - t ij ) = N ij ij N K ij + a N ij t ij - a ij t ij zaś całkowity koszt bezpośredni przedsięwzięcia: N K B = Σ K ij = Σ [ K ij + a N N ij t ij - a ij t ij ] = Σ [ K ij + a N ij t ij ] - Σ a ij t ij K B = K - Σ a ij t ij gdzie K jest wielkością stałą, niezależną od zmiennych t ij. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

86 Minimum kosztów łącznych K = K P + K B : (min) K = (min) α T + K - Σ a ij t ij K jest wielkością stałą, stąd: (min) K = (min) α T - Σ a ij t ij dla warunków ograniczających: t t ij t N (maks. i min. możliwy czas realizacji czynności) G ij ij t ij Tp j - Tw i (maksymalny czas, który nie zwiększy T) Jest to model liniowy, w którym niewiadome są t ij, Tw i, Tp i oraz T. W praktyce zadanie to rozwiązuje się za pomocą postępowania heurystycznego, metodą MCX (Minimum Cost Expediting skracanie minimalnym kosztem). Jest to modyfikacja metody CPM, dlatego najczęściej określana jest jako CPM-MCX. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

87 Algorytm rozwiązania Dane: Dla danej sieci czynności znane są parametry: N K ij, a stąd również a ij. N t ij, G ij t, G K ij, Znany jest również współczynnik α kosztów pośrednich na jednostkę czasu. Rozwiązanie: Rozwiązanie polega na iteracyjnym skracaniu czynności na ścieżce krytycznej. W każdej iteracji następuje określone skrócenie czasu realizacji przedsięwzięcia. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

88 Krok 1 Wyznaczamy T = Tw n, przyjmując t ij = N t ij. Koszt całkowity wynosi: K = Σ K + α T N ij Krok 2 Skrócenie czasu realizacji przedsięwzięcia jest możliwe przez skrócenie czasów realizacji czynności krytycznych t kl. Jednak jest to opłacalne jedynie wówczas, gdy: a kl < α Tylko wtedy spadek kosztów pośrednich jest większy od przyrostu kosztów bezpośrednich: K' = K + K B - K P K' = K + ε A - ε α K' = K - K gdzie: ε = t kl - t' kl A = Σ a kl (skrócenie czasu realizacji czynności krytycznej <k, l>) (suma współczynników a ij dla czynności krytycznych, które uległy skróceniu o ε) Warunek opłacalności: A < α ( K B < K P ) K = K P - K B = ε (α - A) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

89 Ograniczenia: Czynność można skrócić tylko o wartość ε, spełniającą następujący warunek:. ε = min {tkl t G kl; Zc il ; Zc kj } i Γ -1 {k} j Γ -1 {l} i t G ij - t ij, Zc ij a ij j i k , , , , 5 1 l j 8 Tw8 Tp 8 Ścieżka krytyczna (k, l): <6, 7> Skrócenie: ε = min {4; 3; 4; 5} = 3 t 67 - t G 67; Zc 47 ; Zc 57 ; Zc , ścieżki krytyczne: <4, 7> i <6, 7> , , , Tw8 Tp 8 Obie trzeba skracać równolegle, o tę samą wielkość: ε = min {3; 1; 1; 2} = 1 t 47 - t G 47; t 67 - t G 67; Zc 57 ; Zc 68 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

90 Krok 3 Koniec iteracji, gdy: a) K B > K P Wartość współczynnika A dla wszystkich potencjalnie możliwych do skrócenia czynności krytycznych (lub ich grup gdy wymagają jednoczesnego skracania) jest większa od α. W takiej sytuacji skracanie T przestaje być opłacalne, ponieważ wzrost kosztów bezpośrednich nie jest rekompensowany spadkiem kosztów pośrednich. b) Osiągnięto czas graniczny dla czynności na ścieżce krytycznej (tzn. dalsze skracanie czasu nie jest możliwe ze względów technologicznych). Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

91 Przykład Dane: T = Tw 7 = 16 α = 5 K p K P1 K P2 K P α = T T 2 T 1 T Graf czynności: 1-2, , , , , , , , , i t G ij - t ij, Zc ij a ij j Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

92 1. Obliczamy składowe koszty bezpośrednie i koszt całkowity. i t G ij - t ij, Zc ij (K N ij) a ij j 1-2,1 (6) ,3 (4) 2 1-4,1 (20) ,0 (27) ,0 (12) 4 1-4,0 (24) ,3 (25) ,2 (28) 4 2-5,3 (15) Σ K N ij K = Σ a ij t ij + α T α T K = <1, 2> <1, 3> <2, 4> <3, 4> <2, 5> <3, 6> <4, 7> <5, 7> <6, 7> K = = 241 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

93 2. Skracamy czynność <5, 7> na ścieżce krytycznej a 57 = 3 < α (= 5) (kryterium zysku bezwzględnego) oraz a 57 = min {a kl } (kryterium minimalnego kosztu) ε = min {t kl - t G kl; Zc il ; Zc kj } 9 4 ε = min {t 57 - t G 57; Zc 47 ; Zc 67 } = min {5; 2; 3} = 2 K = ε (α - a 57 ) = 2 (5-3) = 4 K' = K - K = = , , , , , , , , , T = 14 Pojawiła się nowa ścieżka krytyczna: Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

94 3. Skracamy czynność <1, 3> na ścieżce krytycznej a 13 = 4 < α (= 5) (kryterium zysku bezwzględnego) oraz a 13 = min { a 13 ; a 34 ; a 57 + a 47 } (kryterium minimalnego kosztu) podwójna ścieżka krytyczna ε = min {t kl - t G kl; Zc il ; Zc kj } 3 1 ε = min {t 13 - t G 13; Zc 12 } = min {2; 1} = 1 K = ε (α - a 13 ) = 5-4 = 1 K' = K - K = = , , , , , , , , , T = 13 Pojawiła się kolejna ścieżka krytyczna: Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

95 W przypadku równoległych ścieżek krytycznych, skracanie czynności na jednej z nich wymaga analogicznego skracania odpowiednich czynności na pozostałych ścieżkach. Inaczej nie uzyskamy zamierzonego efektu w postaci skrócenia czasu realizacji przedsięwzięcia (=Tw 7 ). Pozostały do rozważenia następujące możliwości skracania: 1) <1, 2> wraz z <1, 3> A = a 12 + a 13 = = 7 2) <1, 2> wraz z <3, 4> A = a 12 + a 34 = = 9 3) <1, 3> wraz z <2, 5> A = a 13 + a 25 = = 9 4) <2, 5> wraz z <3, 4> A = a 25 + a 34 = = 11 5) <4, 7> wraz z <5, 7> A = a 47 + a 57 = = 7 Ponieważ α = 5, żadna z powyższych operacji skrócenia nie jest opłacalna. Tym samym oznacza to koniec iteracji. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

96 Część II: Liniowe modele decyzyjne Sytuacje decyzyjne ogół czynników, które wyznaczają w sposób bezpośredni postępowanie decyzyjne podmiotu podejmującego decyzję ( decydenta ). Decydent Zbiór możliwych decyzji Sytuacja decyzyjna Okoliczności przyczynowe sytuacji Kryteria wyboru decyzji Model decyzyjny sformułowanie problemu decyzyjnego, pozwalające rozwiązać go metodami badań operacyjnych. Na przykład ustalenie programu produkcyjnego przedsiębiorstwa musi uwzględniać m.in.: popyt, dostępność surowców i półfabrykatów, moce produkcyjne, ograniczenia technologiczne itd., itp. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

97 Proces rozwiązywania problemu decyzyjnego Rozpoznanie sytuacji decyzyjnej i wynikającego z niej problemu decyzyjnego Budowa modelu decyzyjnego Rozwiązanie zadania decyzyjnego Ocena poprawności i realności uzyskanych rozwiązań Ostateczna decyzja Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

98 1. Rozpoznanie sytuacji decyzyjnej i wynikającego z niej problemu decyzyjnego Rozpoznanie wszystkich uwarunkowań Rozpoznanie wszystkich elementów sytuacji decyzyjnej 2. Budowa modelu decyzyjnego Matematyczne sformułowanie zadania decyzyjnego Model decyzyjny powinien uwzględniać wszystkie istotne dla podejmowanej decyzji aspekty 3. Rozwiązanie zadania decyzyjnego Metody badań operacyjnych i programowania matematycznego: - Programowanie liniowe - Metoda simpleks - Modelowanie sieciowe (CPM, CPM-MCX) itd. 4 Ocena poprawności i realności uzyskanych rozwiązań Analiza wpływu aspektów nie uwzględnionych w modelu decyzyjnym Ewentualna korekta modelu decyzyjnego 5 Ostateczna decyzja Uwzględnienie dodatkowych uwarunkowań Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

99 Terminologia i definicje Model matematyczny idealizowane odtworzenie rzeczywistości Optimum najlepsze możliwe rozwiązanie problemu Suboptimum poszukuje się, gdy: - problem jest zbyt złożony i można rozwiązać jedynie zadanie częściowe, - występuje jednocześnie wiele optimów, - nie ma ścisłych metod rozwiązania problemu i przyjmuje się rozwiązanie metodami przybliżonymi. Rozwój modelu model prosty udoskonalanie Analizy postoptymalizacyjne analiza czułości Poszukiwanie parametrów krytycznych (w największym stopniu decydujących o wyniku), które muszą być przygotowane najdokładniej. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

100 Budowa modelu decyzyjnego Model decyzyjny zawiera tzw. parametry modelu. Są to wielkości, na które decydent nie ma wpływu, określające uwarunkowania zewnętrzne, np. zysk jednostkowy z produkcji określonego wyrobu. Postać sformułowanego modelu determinuje możliwości efektywnego rozwiązania zadania optymalizacyjnego. Należy dobierać taką postać modelu, która pozwoli uzyskać rozwiązanie przy rozsądnym nakładzie czasu i kosztów. MOTTO: Nie należy poszukiwać rozwiązania optymalnego za wszelką cenę lecz rozwiązania zadowalającego przy optymalnym sposobie rozwiązania. (Herbert Simon) Nie ma dotychczas teorii, które pozwoliłyby w jednoznaczny sposób determinować sposób budowania modelu decyzyjnego. Opracowano jedynie szereg ogólnych reguł postępowania. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

101 Postać matematyczna modelu decyzyjnego: Z = f(x 1, x 2,..., x n ) gdzie: x 1, x 2,..., x n zmienne decyzyjne, określające alternatywne sposoby działania, zależne od decyzji decydenta (np. wielkości produkcji poszczególnych wyrobów); f funkcja celu (odwzorowanie zależności pomiędzy zmiennymi decyzyjnymi, a miarą oceny Z); Z miara oceny podjętej decyzji. Na ogół podejmowanie decyzji przebiega w warunkach pewnych ograniczeń, określających zbiór dopuszczalnych rozwiązań. g i (x 1, x 2,..., x n ) 0 (i = 1, 2,...m) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

102 Poszukiwanie rozwiązania optymalnego polega na maksymalizacji bądź minimalizacji funkcji celu: lub (max) Z = f(x 1, x 2,..., x n ) (min) Z = f(x 1, x 2,..., x n ) przy warunkach ograniczających: g i (x 1, x 2,..., x n ) 0 (i = 1, 2,...m) Model wielokryterialny zadanie optymalizacyjne z wieloma funkcjami celu (np. gdy jest kilka różnych miar oceny decyzji) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

103 W przypadku liniowego modelu decyzyjnego, funkcja celu i ograniczenia mają postać liniową. Zatem matematyczny zapis liniowego modelu decyzyjnego ma postać: lub (max) Z = Σ c j x j (min) Z = Σ c j x j przy warunkach ograniczających: Σ a ij x j b i (i = 1, 2,...m) a ij, b i, c j parametry. Przykład modelu liniowego: Z = 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 gdzie: 3, 2, 5 parametry x 1, x 2, x 3 zmienne decyzyjne Ograniczenia: 3x 1 + 2x 1 x 2 + 5x 3 12 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

104 Liniowe modele decyzyjne rozwiązuje się za pomocą metod tzw. programowania liniowego. Zastosowanie tych metod do procesów wymaga spełnienia dwóch podstawowych aksjomatów liniowości modelu decyzyjnego: 1. Aksjomat podzielności Wielkość nakładu i odpowiadający mu efekt są wzajemnie proporcjonalne. Innymi słowy x-krotne zwiększenie nakładu powoduje x-krotne zwiększenie efektów (x może mieć również wartość ułamkową). 2. Aksjomat addytywności Ogólna wielkość nakładu (wyniku) dla całego przedsięwzięcia jest sumą nakładów (wyników) dla poszczególnych procesów składowych. Spełnienie tych aksjomatów warunkuje możliwość sformułowania modelu decyzyjnego w postaci zależności liniowych. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

105 PROGRAMOWANIE LINIOWE Metody programowania liniowego służą do rozwiązywania liniowych zagadnień optymalizacyjnych. Programowanie liniowe = planowanie działalności Zastosowania Problem alokacji ograniczonych zasobów na konkurujące działania. Poszukuje się max (Z), np.: Ustalenie odpowiedniego programu produkcji Problemy transportu Podział budżetu... Problem substytucji jednych składników innymi dla uzyskania określonego efektu. Poszukuje się min (Z), np.: Ustalenie odpowiedniego składu benzyny Ustalenie diety... Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

106 Przykład wprowadzający Firma produkująca drzwi i okna dysponuje 3 zakładami, w których realizowane są następujące zadania: Zakład nr 1: Zakład nr 2: Zakład nr 3: Produkcja ram aluminiowych i okuć. Produkcja ram drewnianych. Produkcja szyb + montaż. Dział marketingu żąda wprowadzenia 2 nowych produktów: 1. Drzwi aluminiowo-szklanych 2. Dużych okien drewnianych Zapotrzebowanie rynku jest duże i najlepiej by było doprowadzić do jak największej produkcji obu tych wyrobów (z zachowaniem jednak określonego poziomu produkcji wyrobów dotychczasowych). Istotnym ograniczeniem są możliwości montażu gotowych wyrobów (szklenie + montaż okuć), ponieważ jest tylko jedna linia montażowa w zakładzie nr 3. Z punktu widzenia rentowności przedsięwzięcia konieczne zatem jest ustalenie, jaka wielkość produkcji obu nowych wyrobów będzie najkorzystniejsza. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

107 Sformułowanie zadania W pierwszej kolejności niezbędne jest zebranie następujących danych: 1. Zasoby produkcyjne każdej fabryki, które mogą zostać przeznaczone dla nowych wyrobów. Zasoby te wyrażone są np. udziałami procentowymi w stosunku do pełnej zdolności produkcyjnej zakładu. 2. Jednostkowe zapotrzebowanie zasobów produkcyjnych dla nowych wyrobów w odniesieniu do każdego zakładu. 3. Zysk jednostkowy dla nowych wyrobów. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

108 Zakład Produkt 1 2 Możliwości produkcyjne (zasoby) Zysk jednostkowy 3 5 Jest to klasyczne zagadnienie produkcji mieszanej, w którym należy ustalić optymalny program produkcji. Matematyczne sformułowanie problemu Funkcja celu (max zysk) Z = 3x 1 + 5x 2 gdzie: x 1, x 2 liczba jednostek produktu 1 i produktu 2 wytwarzanych w jednostce czasu. Z wielkość zysku na jednostkę czasu Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

109 Ograniczenia x 1 4 (wytworzenie jednostki produktu 1 na jednostkę czasu angażuje 1%, a dostępnych jest 4% mocy produkcyjnych zakładu 1) 2x 2 12 (wytworzenie jednostki produktu 2 na jednostkę czasu angażuje 2%, a dostępnych jest 12% mocy produkcyjnych zakładu 2) 3x 1 + 2x 2 18 (wytworzenie jednostki produktu 1 na jednostkę czasu angażuje 3%, wytworzenie jednostki produktu 2 na jednostkę czasu angażuje 2%, a dostępnych jest 18% mocy produkcyjnych zakładu 3) oraz x 1 0, x 2 0 (wielkość produkcji nie może być ujemna) Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

110 Zatem poszukujemy: (max) Z = 3x 1 + 5x 2 przy ograniczeniach: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0 Ponieważ są tylko dwie zmienne decyzyjne, można posłużyć się metodami wykreślnymi. Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

111 Krok 1: Określenie obszaru dopuszczalnego. x x 1 0 x 2 0 x x x x 1 + 2x 2 = 18 x 1 = x 2 = 12 x 1 0 x 2 0 x 1 4 2x x 1 + 2x x 1 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

112 Krok 2: Znalezienie punktu obszaru dopuszczalnego, w którym funkcja celu osiąga wartość maksymalną Z = 10 = 3x 1 + 5x 2 x x 1 x Z = 20 = 3x 1 + 5x 2 4 Z = 10 = 3x 1 + 5x x 1 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

113 x Z = 36 = 3x 1 + 5x (2; 6) 5 Z = 20 = 3x 1 + 5x 2 4 Z = 10 = 3x 1 + 5x x 1 Z max = 36 dla x 1 = 2; x 2 = 6 Wnioski: Maksymalny zysk, w wysokości 36 zł na jednostkę czasu, będzie generowany przy wytwarzaniu następujących ilości produktów: produkt 1 2 sztuki na jednostkę czasu produkt 2 6 sztuk na jednostkę czasu Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

114 Przykład 2 Firma przewozowa dysponuje samochodami ciężarowymi z przyczepami, które mają następujące parametry: Środek transportu Ładowność [t] Pojemność skrzyni ładunkowej [m 3 ] Samochód Przyczepa Do przewiezienia są następujące towary: Towar Objętość jednostkowa [m 3 /t] Zysk jednostkowy [zł/t] Należy ustalić najbardziej rentowny sposób załadunku środka transportu w postaci samochodu z przyczepą (traktowanych łącznie). Innymi słowy: w jakich proporcjach należy zabierać oba rodzaje towarów, aby zysk z transportu był maksymalny? Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

115 Rozwiązanie: x i masa towaru i załadowanego na samochód z przyczepą Funkcja celu (max zysk) Z = 50x x 2 Ograniczenia x 1 + x 2 22 (tony) 2x 1 + 6x 2 90 (m 3 ) x 1 0, x 2 0 x x 1 x 1 + x 2 = 22 2x 1 + 6x 2 = 90 Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki

116 x Z=1445=50x 1 +80x 2 20 Z=500=50x 1 +80x ; x 1 x 1 + x 2 = 22 2x 1 + 6x 2 = 90 Z max = 1445 dla x 1 = 10.5; x 2 = 11.5 Maksymalny zysk, w wysokości 1445 zł, będzie generowany przy następującym sposobie załadunku: Towar 1 Towar t 11.5 t Paweł Gomoliński, Podstawy logistyki