Przykłady zastosowań trygonometrii w sytuacjach praktycznych
|
|
- Krzysztof Kowalewski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Przykłady zastosowań trygonometrii w sytuacjach praktycznych Przypomnijmy najważniejsze informacje o funkcjach trygonometrycznych, które w dalszym ciągu będziemy wykorzystywać: funkcje trygonometryczne są stosunkami długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego, np.: tg α długość przyprostokątnej leżącej na przeciw kąta α / długość drugiej przyprostokątnej (podaj pozostałe definicje), funkcje trygonometryczne tego samego kąta są ze sobą powiązane (znając wartość jednej funkcji łatwo można policzyć wartości pozostałych funkcji) np.: sin α + cos α (podaj pozostałe związki między funkcjami) znamy dokładne wartości funkcji trygonometrycznych niektórych często spotykanych kątów np.: sin 3, sin 45, 3 sin 6, (podaj wartości pozostałych funkcji dla tych kątów). Wartości funkcji dla innych katów są stablicowane i podane jako przybliżenia wymierne na końcu podręcznika. Trygonometria wyrosła z potrzeb praktycznych. Najważniejsze zadania, które wiążą się z trygonometrią odwołują się do mierzenia i obliczania rzeczywistych wielkości. Matematyka upraszcza te pomiary i sprowadza je zwykle do zadań geometrycznych, których przykłady podajemy poniżej. Przykład Chcemy znaleźć szerokość rzeki mając do dyspozycji taśmę mierniczą i przyrząd do mierzenia kątów. Rzeka jest na tyle szeroka, że nie sposób dokonać tego pomiaru bezpośrednio. Spójrzmy na rysunek. W istocie jest to zadanie geometryczne, w którym mając długość AB a oraz kąt β, chcemy policzyć długość AC x. Zauważmy, że długość AB mierzona jest prostopadle do długości szukanej AC. Rys. Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymamy: AC x tg β x a tgβ AB a
2 Dla przykładowych wartości a m, β 55, odnajdujemy w tablicach trygonometrycznych wartość tg55,48 i wyliczamy x,48 7, 4 [m]. Zauważmy, że w identyczny sposób można zmierzyć wysokość drzewa, słupa, wieży itp. Wystarczy wyznaczyć kąt pod którym widzimy dany obiekt i odległość do podstawy obiektu z miejsca, w którym stoimy. Bardzo ważne jest aby trójkąt, którym się posługujemy był prostokątny, w przeciwnym razie nie możemy skorzystać z definicji funkcji trygonometrycznych. Jako ćwiczenie na podstawie danych z rysunku, policz wysokość drzewa. Odp. h 9,33 [m] Rys. Przykład Dwóch kolegów oddalonych od siebie o m. obserwuje latawiec. Jacek widzi latawiec pod kątem 33 o, Placek widzi ten sam latawiec pod kątem 56 o. Na jakiej wysokości znajduje się latawiec? Rys. 3 Po naszkicowaniu problemu rysunek 3. Widać, że wysokość x, której szukamy jest wysokością trójkąta, wyznaczonego przez Jacka, Placka i latawiec. Wysokość ta zarazem dzieli trójkąt, o którym mowa na dwa trójkąty prostokątne w stosunku do których można wykorzystać funkcje trygonometryczne. Mamy zatem:
3 x tg 33 a x tg 55 b a + b x x a tg33,6494 x x b tg55,48 Zauważmy, że tym razem wygodniej jest wyznaczyć z definicji funkcji tangens odległości a i b, następnie podstawić te wartości do ostatniego równania. Ze względu na uproszczenie obliczeń odczytane z tablic wartości funkcji tangens zaokrąglijmy do dwóch miejsc po przecinku, podobnie postąpmy z wynikiem. x + x,65,43,65,43,43 x +,65 x 85,9,8 x 85,9 x 89, 38 [m] Czy nasze rozumowanie i sposób wyliczeń byłyby słuszne w przypadku, gdyby Placek widział latawiec bezpośredni nad sobą (odpowiedź uzasadnij)? Powyższą metodę można także wykorzystać do pomiaru odległości w sytuacji gdy punkt, którego odległość chcemy ustalić możemy zobaczyć pod dwoma kątami. Załóżmy, że chcemy obliczyć odległość do skały, przy czym pomiędzy skałą, nami a rosnącym niedaleko nas drzewem jest kąt 7 o. Zaznaczamy miejsce gdzie stoimy, mierzymy odległość tego miejsca do drzewa równą 85 m., mierzymy kąt pomiędzy skałą, drzewem a zaznaczonym miejscem 44 o. Biorąc pod uwagę te pomiary, pomagając sobie odpowiednim rysunkiem, dokonaj obliczeń. Zauważ, że tak policzona odległość jest odległością skały od linii: miejsce gdzie staliśmy wykorzystane do pomiarów drzewo. Zaproponuj metodę, która umożliwi pomiar odległości pomiędzy skałą a drzewem (np. korzystając dodatkowo z definicji funkcji sinus). Odp. Odległość od linii 6,95 [m], odległość skały od drzewa 84,65 [m]. Przykład 3 Rozważmy teraz problem odwrotny. Znamy odległości a chcemy policzyć kąt. Opieramy drabinę o długości 4 metrów o ścianę, w taki sposób, że jej koniec jest na wysokości 3 metrów nad ziemią. Pod jakim kątem do podłoża stoi drabina? Jak daleko od ściany znajduje się punkt podparcia drabiny o podłoże? Rys.4 3
4 Z warunków zadania, rysunek 4, mamy AC 3, CB 4. Wykorzystując definicję funkcji sinus otrzymamy: AC 3 sin β,75 CB 4 Odnajdujemy w tablicach trygonometrycznych, w kolumnie funkcji sinus, liczbę najbliższą wyznaczonej. Mamy dwie bliskie wartości:,743 dla kąta 48 o oraz,7547 dla kąta 49 o. Chcąc podać najdokładniejszy wynik weźmy kąt pośredni β48 ο 3'. Odległość x policzymy wykorzystując funkcję cosinus. Mamy: x cos β x cos β CB,66 4, 64 [m] CB Zauważmy, że tu również wzięto wartość pośrednią, leżącą w kolumnie cosinusa pomiędzy kątami 48 o a 49 o. Spróbuj bez obliczeń pisemnych odpowiedzieć na pytanie pod jakim kątem i w jakiej odległości będzie stała drabina, która sięga na wysokość m.? Odp. 45 o. Przykład 4 Tym razem rozważmy przykład czysto geometryczny. W trapezie ABCD, rysunek 5. Przekątna AC ma długość 4 cm, kąty ABC oraz DAC są równe 3 o. Przedłużenia boków nierównoległych przecinają się pod katem prostym. Oblicz pole tego trapezu. Rys. 5 Nie znamy długości podstaw trapezu dlatego nie możemy wykorzystać do policzenia pola a + b znanego dla trapezu wzoru S h. Zauważmy, że pole, które chcemy znaleźć jest sumą pól dwóch trójkątów: ABC i ACD. Przyjrzyjmy się bliżej tym trójkątom. Kąt o wierzchołku E jest z warunków zadania kątem prostym, zatem suma katów EAB+ABE równa jest 9 o (suma kątów trójkąta ABE równa jest 8 o ). Skoro kąty ABC oraz DAC są równe po 3 o, kąt CAB musi mieć także 3 o. Tym samym pokazaliśmy, że trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie po 3 o. Kąty BAC i ACD jako naprzemianległe są sobie równe, zatem trójkąt ACD również jest trójkątem równoramiennym o kątach przy podstawie równych po 3 o. 4
5 Nasze zadanie sprowadza się więc do policzenia pola trójkąta równoramiennego o kątach przy podstawie równych po 3 o, raz w przypadku gdy dany jest bok tego trójkąta, drugi raz w przypadku gdy dana jest podstawa tego trójkąta. Pokazano to na rysunku 6. Rys. 6 Pole trójkąta policzymy ze znanego wzory S a h. Dla trójkąta gdzie dany jest bok o dłu- gości 4 (lewa część rysunku 6) otrzymamy: 3 a 4 cos [cm] h 4 sin 3 4 [cm] S [cm ] Dal trójkąta gdzie dana jest podstawa o długości 4 (prawa część rysunku 6) otrzymamy: h 3 3 tg h tg3 [cm] S 4 [cm ] 3 3 Szukane pole trapezu równe jest zatem [cm ]. 3 3 Powyższe przykłady nie wyczerpują różnych sposobów wykorzystania trygonometrii do zadań geometrycznych. Wszystkie one maja wspólną cechę, aby je rozwiązać należy zobaczyć w szkicu do zadania trójkąt prostokątny w stosunku do którego można zastosować jedną bądź kilka funkcji trygonometrycznych, których wartości na ogół odczytujemy z tablic. Warto zatem przyjrzeć się tablicą wartości funkcji trygonometrycznych aby w razie potrzeby szybko i bezbłędnie odnaleźć w nich potrzebne informacje. Przykład 5 Należy zmierzyć wysokość góry (patrz rysunek 3), oczywiście nie można tego zrobić bezpośrednio. Nie można też bezpośrednio policzyć odległości od miejsca, w którym się znajdujemy A, do rzutu wierzchołka góry na podstawę C (gdyby taki pomiar był możliwy, wystarczyłoby zmierzyć kąt α i skorzystać z definicji funkcji tangens). 5
6 Rys. 3 Do rozwiązania tego zadania (wyliczenia h) wystarczą trzy pomiary: kątów α, β oraz długości a. Oznaczmy długość AC przez x. Z definicji funkcji tangens mamy: h tgβ x a h tgα x Otrzymaliśmy układ równań, w którym niewiadomymi są x i h. Niewiadoma x jest pomocnicza, nam zależy na rozwiązaniu tego układu względem h. Wyznaczamy z drugiego równania x i podstawiając do równania pierwszego otrzymamy: tgβ h h a tgα Aby wyznaczyć z tego równania h mnożymy obie strony przez mianownik, wynik mnożymy przez tg α, grupujemy wyrazy z h po jednej stronie, wyciągamy h przed nawias i ostatecznie wyliczamy: tgβ a tgα tgβ h a tgβ tgβ tgα tgα Podstawmy konkretne wartości. Dla α 38, β 46 i a 3 m. wysokość wynosi:,78,4 h 3 99,84 [m],4,78 Aby ułatwić rachunki, wartości funkcji zostały zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku. Zauważmy, że powyższą metodę można zastosować do obliczenia odległości od jakiegoś punktu. Wystarczy w tym celu położyć rysunek i wysokość h zamieni się w odległość, należy przy tym pamiętać, że wyliczymy odległość od prostej AC, stosując do niej funkcję sinus kąta α łatwo możemy zamienić ją na odległość do punktu A. 6
7 Przykład 6 (Triangulacja) Triangulacja jest to sposób pomiaru powierzchni przy użyciu metod trygonometrycznych, dokładnie sieci trójkątów, którymi pokrywa się mierzoną powierzchnie. Metoda ta do niedawna była podstawowa metodą mierniczą, obecnie wyparły triangulację urządzenia GPS, które zresztą w swoim oprogramowaniu wykorzystują algorytmy bazujące na tej metodzie. Sieć trójkątów nazywała się siatką triangulacyjną. Trójkąty w siatce miały boki długości kilkunastu kilometrów (przy pomiarze większych obszarów). Za wierzchołki tych trójkątów przyjmowano charakterystyczne elementy terenu np. wieże kościołów, bądź też wznosiło się takie wieże specjalnie. Jeszcze obecnie spotkać można w terenie stare, charakterystyczne wieże, które temu celowi miały służyć. Metoda triangulacji polegała na tym, że po pokryciu obszaru siecią trójkątów bardzo dokładnie mierzono bok jednego z nich, bok ten nazywano bazą. Mierzono też kąty wszystkich trójkątów (wystarczą po dwa kąty dla każdego trójkąta). Mając daną bazę i kąty, wszystkie trójkąty rozwiązywano tzn. wyliczano ich boki i powierzchnie. Metodę pokażemy w praktyce wyliczając powierzchnię sieci z rysunku 4. Rys. 4 Bazą jest tu odcinek AB. Rozwiążmy trójkąt ABF, policzmy jego pole i bok BF, który wykorzystamy do dalszych obliczeń. Bok BF wyliczymy korzystając z twierdzenia sinusów: BF sin 66 sin 5 stąd BF 4, 8 [km] Mając bok BF wyliczamy pole trójkąta ABF: S sin 64 ABF AB BF 4,8,9 76,5 [km ] Analogicznie rozwiązujemy trójkąt BCF, wyliczając w pierwszej kolejności bok CF: CF 4,8 stąd CF, 8 [km] sin5 sin 38 S 4,8,8 sin 7 66,39 BCF [km ] 7
8 Kolejnym trójkątem do rozwiązania jest CEF: CE,8 stąd CE 4, 5 [km] sin 4 sin 73 S,8 4,5 sin 65 37,48 CEF [km ] Ostatni trójkąt to CDE: CD 4,5 stąd CD 9, 48 [km] sin 38 sin 7 S 4,5 9,48 sin 7 64,7 CDE [km ] Łączne pole siatki triangulacyjnej wynosi: S 76,5 + 66, , ,7 345, 9 [km ] Co należy zapamiętać? Rozwiązując zadanie geometryczne, w którym wykorzystujemy funkcje trygonometryczne należy w szkicu do zadania dopatrzeć się trójkątów prostokątnych. Wartości funkcji trygonometrycznych dla podstawowych kątów znamy dokładnie, dla kątów pozostałych odnajdujemy wartości przybliżone w tablicach funkcji trygonometrycznych. Aby policzyć pole wielokąta np. trapezu czasami wygodnie jest podzielić go na trójkąty i sumować pola poszczególnych trójkątów. Do obliczenia pola trójkąta równoramiennego wystarczy jeden z boków i jeden z kątów (obmyśl metodę, którą można zastosować w przypadku gdy dany jest kąt przy wierzchołku i podstawa lub bok). Co ponadto warto wiedzieć? Słowo trygonometria jest pochodzenia greckiego i oznacza dział matematyki zajmujący się rozwiązywaniem trójkątów to znaczy obliczaniem boków, kątów, pewnych odcinków specjalnych (np. wysokości) ponadto pól i obwodów trójkątów na podstawie informacji cząstkowych. Przykłady, które powyżej były przedstawione są w istocie rozwiązywaniem trójkątów. Trygonometria wyrosła z potrzeb praktycznych, miernictwa, astronomii, nawigacji. Szczególnie ważnym praktycznym zastosowaniem trygonometrii jest triangulacja. Triangulacja to sposób mierzenia powierzchni stosowany przez geodetów, który polega na tym, że mierzony obszar pokrywa się siecią trójkątów. Bardzo dokładnie mierzy się bok jednego z tych trójkątów tzw. bazę oraz ich kąty i na tej podstawie wylicza (rozwiązuje) pozostałe trójkąty a więc i cały pokryty nimi obszar. Będąc na wycieczce jeszcze można spotkać, drewniane wieże z żerdzi. Są to tzw. wieże triangulacyjne, które do niedawna służyły do oznaczania wierzchołków trójkątów, którymi geodeci pokrywali mierzony obszar. Wszelkich pomiarów wysokości i odległości niedostępnych punktów (wierzchołków gór, szerokości rzek, odległości) pierwotnie dokonano metodami trygonometrycznymi. Dopiero w ostatnich latach używa się do tego celu urządzeń laserowych 8
9 czy urządzeń GPS, które w istocie też wykorzystują trygonometrię w oprogramowaniu, które nimi steruje. Słowniczek Triangulację po raz pierwszy do pomiarów zastosował Willebrord Snellius (58 66), holenderski astronom i matematyk. Posługując się metodą triangulacji powinniśmy zdawać sobie sprawę, że rzeczywiste siatki budowane są nie na płaszczyźnie tylko na powierzchni sferycznej (kulistość Ziemi) w związku z czym rozwiązujemy trójkąty sferyczne, których suma kątów nie wynosi 8 o. Jednak dla trójkątów o powierzchni do km różnica sumy kątów wewnętrznych pomiędzy trójkątem płaskim a sferycznym na Ziemi, nie przekracza sekundy łuku, można ją zatem zaniedbać. W praktyce (np. ustawiając antenę satelitarną) możesz spotkać się z pojęciami wywodzącymi się wprost z trygonometrii, są to: kąt elewacji kąt do obserwowanego przedmiotu o wierzchołkach: rzut przedmiotu na linię horyzontu, oko obserwatora, przedmiot, kąt depresji podobnie jak kąt elewacji z tym, że obserwowany przedmiot znajduje się pod horyzontem (np. patrzymy z wieży na samolot znajdujący się na pasie lotniska, horyzont jest na wysokości naszych oczu, przedmiot poniżej), azymut kąt pomiędzy kierunkiem północnym a kierunkiem wyznaczonym przez przedmiot, teodolit jeden z najważniejszych instrumentów geodezyjnych, przeznaczony jest do pomiaru kątów w płaszczyźnie poziomej i pionowej (na rysunku obok teodolit firmy Otto, Fenel, Sohne, Kassel, lata 3. XX w.). Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania. Jak długi cień rzuca drzewo o wysokości 5 m., jeżeli promienie słońca padają pod kątem 4 o.. Pod jakim kątem wznosi się droga mająca 5% spadku? (Spadek drogi jest to stosunek różnicy wysokości do długości dla, której tę różnicę zmierzono, długość mierzymy wzdłuż drogi). 3. Na ścianie zaznaczono dwa punkty leżące na jednej linii pionowej w odległości 3 m. od siebie. Punkt dolny widzimy pod katem o, punkt górny pod kątem 4 o. W jakiej odległości od ściany stoimy? 4. Drzewo przełamało się na wysokości m. w taki sposób, że jego czubek dotyka ziemi pod kątem 35 o. Jaka była wysokość drzewa przed przełamaniem? 5. Jak długi cień będzie rzucała osoba o wzroście 8 cm stojąca,5 m. od ulicznej latarni o wysokości 4 m.? 6. Dwóch kolegów oddalonych od siebie o m. obserwuje latawiec. Jacek widzi latawiec pod kątem 33 o, Placek widzi ten sam latawiec pod kątem 56 o. Na jakiej wysokości znajduje się latawiec? 7. W okręgu o promieniu poprowadzono cięciwę w odległości 5 od środka. Jaka jest długość tej cięciwy? Pod jakim kątem widać ją ze środka okręgu? 9
10 8. Ze szczytu wzniesionego m. nad poziom jeziora widać bliższy brzeg jeziora pod kątem 44 o, dalszy brzeg pod katem 8 o. Jaka jest szerokość jeziora w tym kierunku? 9. Na przeciwległych brzegach rzeki zmierzono dwa równe i równoległe odcinki AB a i CD a. Oblicz szerokość rzeki, jeżeli odcinek AB widzimy z punktów C i D pod kątami odpowiednio α, β.. (Zagadnienie Snelliusa). Znając wzajemne położenia trzech punktów A, B, C (tzn. znając ich wzajemne odległości i kąty trójkąta, którego są wierzchołkami) znaleźć odległości czwartego punku P od pozostałych mierząc tylko kąty w punkcie P.. Jak długi cień rzuca drzewo o wysokości 5 m., jeżeli promienie słońca padają pod kątem 4 o.. Pod jakim kątem wznosi się droga mająca 5% spadku? (Spadek drogi jest to stosunek różnicy wysokości do długości dla, której tę różnicę zmierzono, długość mierzymy wzdłuż drogi). 3. Na ścianie zaznaczono dwa punkty leżące na jednej linii pionowej w odległości 3 m. od siebie. Punkt dolny widzimy pod katem o, punkt górny pod kątem 4 o. W jakiej odległości od ściany stoimy? 4. Drzewo przełamało się na wysokości m. w taki sposób, że jego czubek dotyka ziemi pod kątem 35 o. Jaka była wysokość drzewa przed przełamaniem? 5. Jak długi cień będzie rzucała osoba o wzroście 8 cm stojąca,5 m. od ulicznej latarni o wysokości 4 m.?
Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do
Bardziej szczegółowo2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx
ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:
Bardziej szczegółowoKLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:
KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)
Bardziej szczegółowo? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowoPOWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII
Zad.1 Rozwiąż trójkąt prostokątny: a) a 4, 0 b) b 8, c 1 POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad. Oblicz wartość wyrażenia cos 0 cos 45 cos0 cos 45. Zad.4 Wyznacz długości przyprostokątnych trójkąta
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM
Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna
Bardziej szczegółowoKURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowotrygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.
Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego.
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria
1 Pomimo, że ten dział, to typowa geometria wydawałoby się trudny dział to paradoksalnie troszkę tu odpoczniemy, jeśli chodzi o teorię. Dlaczego? Otóż jak zapewne doskonale wiesz, na maturze otrzymasz
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 Ekonomik w Zielonej Górze KLASA III fl POZIOM PODSTAWOWY I. Funkcja kwadratowa narysować wykres funkcji
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH
Bardziej szczegółowoDefinicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy, klasa 3 ZSZ
Plan wynikowy, klasa 3 ZSZ Nazwa działu Temat Liczba godzin 1. Trójkąty prostokątne powtórzenie 1. Trygonometria (10 h) 2. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 3. 4. Trygonometria zastosowania 5. 6. Związki
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoSkrypt 22. Planimetria
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 22 Planimetria 10. Trójkąty
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowo2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoBank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x
Bardziej szczegółowoSkrypt 33. Powtórzenie do matury:
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoI. Funkcja kwadratowa
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas III w roku szkolnym 2017/2018 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Dla każdej klasy 3 obowiązuje taka ilość poniższego
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 2, ZAKRES PODSTAWOWY
1 Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań na oceny 2 Trygonometria Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 3-4 Trygonometria Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoZadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1
Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoSkrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Trygonometria: 9. Proste
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2019
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna
Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem
Bardziej szczegółowoGeometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoUwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoGeometria w praktyce, cz. 1. Dach pulpitowy i dwuspadowy
Geometria w praktyce, cz. 1. Dach pulpitowy i dwuspadowy wego czasu, ucząc młodzież matematyki słyszałam wielokrotnie narzekania, że to czego uczą w szkole, nijak się ma do rzeczywistości i jest nieprzydatne.
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 013/014 WIELOMIANY Tematyka: Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Dodawanie, odejmowanie
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowona postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.
Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
Bardziej szczegółowoProjekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Zadanie 14 15 16 17 18
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2016
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdajcego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1
KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 000r 1. Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 040. Jeśli pierwszy wyraz tego ciągu zmniejszymy o 17, a jego
Bardziej szczegółowoSkrypt 28. Przygotowanie do egzaminu Podstawowe figury geometryczne. 1. Przypomnienie i utrwalenie wiadomości dotyczących rodzajów i własności kątów
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 28 Przygotowanie do egzaminu Podstawowe figury
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3
DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy
Bardziej szczegółowoSprawdzian 2. MATEMATYKA. Przed próbną maturą. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 26. Imię i nazwisko ...
MATEMATYKA Przed próbną maturą Sprawdzian. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 6 Imię i nazwisko... Liczba punktów Procent Przed próbną maturą. Sprawdzian. Zadanie 1. (0
Bardziej szczegółowoZagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania
Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były
Bardziej szczegółowoMini tablice matematyczne. Figury geometryczne
Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasy 2 a BS i 2 b BS
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasy 2 a BS i 2 b BS Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum
Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum I. POTĘGI I PIERWIASTKI oblicza wartości potęg o wykładnikach całkowitych liczb różnych od zera zapisuje liczbę
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A05 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Ułamek 5+2 5 2 ma wartość: A.
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY
Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 9 Karta pracy: podzielność przez 9 Niektóre są dobre, z drobnymi usterkami. Największy błąd: nie ma sformułowanej
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Arkusz II 5 LISTOPADA 007 Instrukcja dla zdającego Czas pracy
Bardziej szczegółowoGeometria w praktyce, cz. 2. Dach czterospadowy i kopertowy
Geometria w praktyce, cz. 2. Dach czterospadowy i kopertowy Rys. 1. Dach kopertowy z połaciami nachylonymi pod tym samym kątem Lekcja 4: koperta Dach kopertowy, po dachu pulpitowym i dwuspadowym stanowi
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1
1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 1 MAJ 2016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoPlanimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie
Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoTematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki
Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Zadanie Rozwiąż nierówność: [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] ++ + [ + log 0, ( x- )] Zadanie Odcinek AB, gdzie A = (,
Bardziej szczegółowo