Zadania z gwiazdką - seria I, szkice rozwiązań
|
|
- Fabian Jóźwiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z giazdką - seria I, szkice roziązań 1. Rozstrzygnij, czy język L = { {a, b, c} = v oraz # a () + # b () = # b (v) + # c (v)} jest reglarny. Szkic roziązania Język L nie jest reglarny, ykażemy, że relacja L ma nieskończenie iele klas abstrakcji. Niech n = a n, pokażemy, że i L j dla i j. Rozażmy słoo = bc i. Nietrdno spradzić, że i = a i bc i L, ale j = a j bc i L, co kończy doód. (W realnym roziązani oczekiałbym spradzenia tego należenia). 2. Niech F to najmniejsza klasa zaierająca szystkie języki skończone nad szystkimi skończonymi alfabetami, która jest zamknięta na: skończoną smę, dopełnienie i konkatenację; skończoną smę, dopełnienie, konkatenację i rztoanie. W ob przypadkach rozstrzygnij, czy klasa F jest róna językom reglarnym. Uaga: Przez rztoanie języka L Σ na peien podalfabet Γ Σ rozmiemy zbiór słó, które postały ze słó z języka L poprzez snięcie szystkich liter z Σ \ Γ. Uaga 2: Przez zamknięcie na dopełnienie rozmiemy fakt, że jeśli L Σ należy do F, to rónież Σ \ L należy do F. W szczególności dla stalonego L można stosoać tę regłę dla różnych alfabetó Σ takich, że L Σ. Szkic roziązania Na początek zaażmy, że klasa językó reglarnych zaiera szystkie języki skończone oraz jest zamknięta na smę, dopełnienie i konkatenację. Łato rónież pokazać, że jest ona zamknięta na rztoanie. W tym cel rozażmy język reglarny L i jego atomat A. Aby otrzymać atomat A dla języka będącego rztem L na podalfabet Γ modyfikjemy tranzycje A zamieniając etykiety z podalfabet Σ \ Γ na ε. To doodzi, że zaróno klasa z pnkt 1) jak i z pnkt 2) jest zaarta klasie językó reglarnych. Pnkt 1. Pokażemy teraz, że klasa z pnkt 1) jest istotnie mniejsza niż języki reglarne. Niech klasa F to języki z F, które zaierają się {a}. Każdy taki język postaje za pomocą skończonej liczby operacji: sma, dopełnienie, konkatenacja z językó skończonych. Co ięcej szystkie żyte języki są rónież z F. Pokażemy, że F zaiera tylko języki skończone oraz koskończone (takie, że ich dopełnienia są skończone). Zrobimy to przez indkcję po bdoie ich yproadzenia. Załóżmy, że K, L F, czyli są skończone lb koskończone. Wóczas: Język K L jest rónież skończony lb koskończony. Istotnie, jeśli oba K i L są skończone, to K L jest skończony. Jeśli natomiast jeden z K lb L jest koskończony, to K L zaiera go i jest też koskończony. 1
2 Język L jest rónież skończony lb koskończony. Istotnie, jeśli L jest skończony, to L jest koskończony, a jeśli L jest koskończony, to L jest skończony. Język KL jest rónież skończony lb koskończony. Istotnie, jeśli oba K i L są skończone, to KL jest skończony. Niech co najmniej jeden z K, L będzie koskończony, poiedzmy K. A ięc K zaiera szystkie słoa dłższe niż n, dla penego n N. Jeśli drgi z nich, tym ypadk L, jest psty, to KL jest psty. Jeśli natomiast L jest niepsty, to zaiera pene słoo a k. Zatem KL zaiera szystkie słoa dłższe niż k + n, czyli jest koskończony. A zatem istotnie F zaiera tylko języki skończone lb koskończone. Jednak język słó dłgości parzystej nad {a} jest reglarny, ale nie jest skończony ani koskończony. Czyli F, a ięc rónież F nie zaiera szystkich językó reglarnych. Pnkt 2. Teraz pokażemy, że klasa z pnkt 2) zaiera szystkie języki reglarne. Wystarczy pokazać, że jest ona zamknięta na operację giazdki Kleene go. Wóczas F zaiera szystkie języki skończone i jest zamknięta na smę, konkatenację i giazdkę, czyli zaiera szystkie języki reglarne. Niech L Σ należy do F. Niech # Σ. Niech Σ # = Σ {#}. Zaażmy, że Σ # należy do F, gdyż jest postaci Σ # \. Rozażmy język L = (Σ # {#} L {#}Σ #) (Σ # {#} L) ( L {#}Σ #) L. Po piersze L F jako sma konkatenacji kilk językó z F. Język L zaiera szystkie słoa nad Σ # takie, że istnieje maksymalny blok liter z Σ (czyli bez #), który torzy słoo spoza L. Rozażmy język L F. On zaiera szystkie słoa nad Σ # takie, że każdy maksymalny blok liter z Σ należy do L. A ięc rztoanie tego języka na Σ to dokładnie język L +. A zatem istotnie L = L + {ε} F, co kończy roziązanie. 3. Dla języka L Σ niech jego gęstość to fnkcja g L : N N taka, że dla każdego n N artość g(n) to liczba słó dłgości n należących do L. Rozstrzygnij, czy istnieje język reglarny L taki, że jego gęstość g L jest ponad ielomianoa, ale podykładnicza, czyli dla każdych c, k > 1 zachodzi f = Ω(n k ), ale f = o(c n ). Szkic roziązania Nie istnieje taki język. Rozażmy język reglarny i peien atomat deterministyczny A akceptjący L. Rozpatrzymy da przypadki. Przypadek 1. Istnieje peien stan q osiągalny ze stan początkoego q 0, z którego można osiągnąć peien stan końcoy f taki, że istnieją da różne cykle proste z q do q. Niech q 0 q, q v1 q, q, v2 q f będą spomnianymi ścieżkami i cyklami. Załóżmy bez straty ogólności, że v 1 v 2. Dodatkoo v 1 nie jest prefiksem v 2, gdyż przecinym ypadk cykl q v2 q byłby róny cykloi q v1 q, jako, że A jest deterministyczny. Zaażmy, że v 1 v 2 v 2 v 1, gdyż mają inny prefiks dłgości v 1. A ięc L zaiera przynajmniej 2 n słó dłgości + n( v 1 + v 2 ) +, gdyż każde słoo postaci s 1 s n, gdzie s i {v 1 v 2, v 2 v 1 } należy do L. Zatem gęstość L jest ykładnicza. 2
3 Przypadek 2. Wszystkie stany osiągalne ze stanó początkoych i osiągające stan końcoy należą do co najyżej jednego cykl prostego. Pokażemy, że tym przypadk gęstość L jest ielomianoa. Rozażmy doolny bieg akceptjący atomat A i doolny stan q. Jeśli jest on odiedzany iele razy na bieg, to znaczy, że pomiędzy odiedzeniami bieg pętli się na jedynym cykl prostym przechodzącym przez q. A zatem bieg można zdekomponoać na cykle proste oraz ścieżkę prostą (pozostającą po snięci cykló prostych). Taki bieg ygląda ięc następjąco: q 1 s 0 1 q1 q 2 s 1 s 2 k 1 q2 q 2 q k 1 q k k 1 qk, gdzie 1 k składają się na etykietoanie ścieżki prostej, a s i to etykietoania cykli. Zaażmy, że atomacie jest skończenie iele ścieżek prostych, ięc ystarczy pokazać, że dla każdej z nich gęstość odpoiadającego jej języka jest ielomianoa. Pytamy ięc ile może być słó postaci 1 (s 1 ) 2 (s 2 ) (s k 1 ) k dłgości n. Nietrdno zaażyć, że jest to nie iększe niż liczba yboró 2k 2 pnktó podział słoa dłgości n (granic kaałkó), a ięc nie iększe niż ( n+1 2k 2) = O(n 2k 2 ). Jest to zresztą bardzo grbe oszacoanie. A ięc istotnie gęstość L jest ielomianoa. 4. Niedeterministyczny atomat jednolicznikoy A nad alfabetem Σ składa się ze zbior stanó Q, zbior stanó początkoych I Q, końcoych F Q oraz zbior tranzycji δ Q Σ { 1, 0, 1} Q. Konfigracja atomat A to para ze zbior Q N, czyli innymi słoy atomat może przyjmoać tylko niejemne artości licznika. Bieg atomat po słoie = a 1 a n to ciąg konfigracji (q 0, c 0 ),..., (q n, c n ) takich, że dla każdego i {1,..., n} mamy (q i 1, a i, c i c i 1, q i ) δ oraz oczyiście c i 0. Bieg jest akceptjacy gdy q 0 I, c 0 = 0 oraz q n F. Słoo jest akceptoane jeśli istnieje bieg akceptjący po nim, a język atomat L(A) to zbiór szystkich słó akceptoanych. Zaprojektj algorytm, który dla danego niedeterministycznego atomat jednolicznikoego A odpoiada na pytanie, czy L(A) = Σ. Szkic roziązania Porządek (X, ) naziemy WQO (od ang. ell-qasiorder) jeśli dla doolnego nieskończonego ciąg x 1, x 2,... elementó X istnieją indeksy i < j takie, że x i x j. Dla x N d niech x[i] oznacza artość na i-tej spółrzędnej ektora x. Przez oznaczmy porządek na N d, gdzie x y o ile x[i] y[i] dla każdej spółrzędnej i {1,..., d}. Lemat 1 (Lemat Dicksona). Porządek (N d, ) jest WQO. Doód. Wykażemy to przez indkcję po d. Dla d = 1 jest to oczyiste. Załóżmy, że teza lemat jest pradzia dla d, pokażemy ją dla d + 1. Niech x 1, x 2,... to nieskończony ciąg elementó N d+1. Rozażmy spółrzędną d + 1-szą tych ektoró. Jeśli jest ona ograniczona, to możemy znaleźć podciąg stały, jeśli natomiast jest ona nieograniczona, to możemy znaleźć podciąg rosnący. W ob ypadkach znajdjemy peien podciąg x i1, x i2,... taki, że d+1-sza spółrzędna jest niemalejąca. Z tezy dla d otrzymjemy, że istnieją pene da elementy tego podciąg takie, że j < k oraz x ij x ik po ograniczeni do pierszych d spółrzędnych. Jednak x ij [d + 1] x ik [d + 1], ięc mamy x ij x ik, co kończy doód lemat. 3
4 Uaga: Analogicznie doodzi się, że porządek ((N { 1}) d, ) jest WQO, będziemy się na to rónież poołyali jako na lemat Dicskona. Niech A będzie atomatem jednolicznikoym nad Σ o d stanach. Przez p(i) oznaczamy konfigrację: stan p, artość licznika i. Przez p(i) q(j) będziemy oznaczać, że z konfigracji p(i) atomat A może dojść po słoie do konfigracji q(j). Niech S = {p(i) q 0 (0) p(i)} będzie zbiorem szystkich konfigracji, do których można dojść po słoie z konfigracji początkoej q 0 (0). Zaażmy, że jeśli q(i) r(k), to dla j > i rónież q(j) r(k + j i). A ięc istotne są jedynie konfigracje o najiększej możliej artości danym stanie. Niech Q = {q 1,..., q d }. Niech profil słoa Σ, prof() (N { 1}) d, będzie zdefinioany następjąco: prof()[i] to najiększa możlia artość j taka, że q i (j) S, oraz 1 jeśli dla żadnego j N konfigracja q i (j) nie należy do zbior S. Lemat 2. Jeśli prof() prof(v), to óczas dla doolnego Σ takiego, że L mamy rónież v L. Istotnie, jeśli L, to q 0 (0) q(i) f(k). Jednak skoro prof() v v prof(v), to istnieje bieg q 0 (0) q(j) dla penego j i. A ięc q 0 (0) q(j) f(k + j i), czyli v L. Przypśćmy teraz, że L Σ. Niech to najkrótsze słoo nie należące do L, niech jego dłgość to n. Spójrzmy teraz na prefiksy słoa : 0 = ε, 1 = [1..1], 2 = [1..2],..., n = [1..n] =. Z penością nie jest pradą, że prof( i ) prof( j ) dla penych i < j. Istotnie, przypśćmy, że tak jest. Mamy tedy, że [1..i] [j + 1..n] L, jako, że jest to słoo krótsze niż. Jednak prof( i ) prof( j ), ięc z lemat 2 mamy, że rónież = [1..j] [j +1..n] L, sprzeczność. Jesteśmy jż gotoi do zaprezentoania algorytm. Będziemy szkać potencjalnego słoa L. W tym cel bdjemy drzeo słó. Każde słoo jest ierzchołkiem, jego rodzicem drzeie jest jego prefiks bez ostatniej litery. Czyli korzeniem drzea jest słoo ε, jego dziećmi słoa dłgości 1, potem słoa dłgości 2 itd. W każdym krok bdjemy noy poziom drzea, potencjalnie nieskończonego oraz obliczamy profil noych słó. Jeśli dla penego ierzchołka drzea, odpoiadającem sło mamy prof() prof( i ) dla penego prefiks i słoa, to obcinamy drzeo na tym poziomie i przestajemy przedłżać tę część drzea, gdyż (jak pokazaliśmy cześniej) najkrótsze słoo nie należące do L na peno t nie leży. Jeśli penym momencie znajdziemy słoo, które nie należy do L, to odpoiadamy oczyiście, że L Σ. Jeśli natomiast penym momencie jż szystkie kaałki drzea zostaną obcięte i nie będzie nic do rozażania, to odpoiadamy, że L = Σ Należy pokazać die rzeczy. Po piersze dlaczego ten algorytm zasze się kończy, a po drgie dlaczego zraca popraną odpoiedź. Jeśli L Σ, to istotnie kiedyś znajdziemy słoo, które nie należy do L i zakończymy algorytm z dobrą odpoiedzią, ten przypadek jest prosty. Załóżmy ięc, że L = Σ. Zaażmy, że na każdej nieskończonej ścieżce z drzeie: 0, 1,..., gdzie każde następne słoo postało przez dodanie litery do poprzedniego mamy ciąg prof( 0 ), prof( 1 ),... (N { 1}) d. Z lemat Dicksona otrzymjemy, że dla penych i < j mamy prof( i ) prof( j ), a ięc na tej ścieżce drzeo kiedyś zostanie obcięte. Należy teraz pokazać, że jeśli każda ścieżka została kiedyś obcięta, 4
5 to penym poziomie jż szystkie ścieżki zostały obcięte. Rozażmy drzeo po ykonani szystkich obcięć, chcemy pokazać, że jest skończone. Wynika to z lemat Königa, który mói, że każde drzeo nieskończone o skończonym rozgałęzieni ma nieskończoną ścieżkę. Nasze drzeo ma skończone rozgałęzienie, tzn. każdy ierzchołek ma skończenie iele dzieci, dokładnie rzecz biorąc Σ. Lemat Königa można doodnić następjąco: korzeń ma nieskończone poddrzeo, skoro ma skończenie iele dzieci, to któreś z dzieci ma nieskończone poddrzeo, ięc któreś z jego dzieci ma nieskończone poddrzeo itd., ten sposób skonstrjemy nieskończoną ścieżkę. A zatem skoro naszym drzeie po obcięciach nie ma nieskończonej ścieżki (bo każda została obcięta), to drzeo jest skończone, którym momencie szystko obetniemy. Jeśli szystko obcięliśmy, to faktycznie nie ma szans na znalezienie najkrótszego słoa spoza L, czyli L = Σ, co kończy doód. 5. Pokaż, że jeśli zaróno L jak i Σ \ L są rozpoznaane przez pene niedeterministyczne atomaty jednolicznikoe, to tedy L jest reglarny. Szkic roziązania Będziemy żyali podobnych pojęć co szkic roziązania zadania 4. Niech L będzie rozpoznaany przez atomat A do a stanach, a L przez atomat B o b stanach. Dla słoa Σ niech prof A () (N { 1}) a będzie jego profilem zględem atomat A, natomiast prof B () (N { 1}) b będzie jego profilem zględem atomat B. Niech prof() = (prof A (), prof B ()) (N { 1}) a+b. Pokażemy teraz, że L jest reglarny. Przypśćmy przecinie, óczas ma on nieskończenie iele klas abstrakcji relacji Myhilla-Neroda, niech reprezentanci tych klas to 1, 2,.... Z lemat Dicksona ( zadani 4) otrzymjemy, że istnieją indeksy i < j takie, że prof( i ) prof( j ). To oznacza szczególności, że prof A ( i ) prof A ( j ) oraz prof B ( i ) prof B ( j ). A zatem, z lemat 2 zaaplikoanego do atomat A ynika, że jeśli i L, to j L, natomiast zaaplikoanego do atomat B ynika, że jeśli i L, to j L. A zatem otrzymjemy, że i L j L, czyli i L j. Sprzeczność z założeniem, że i oraz j są reprezentantami różnych klas abstrakcji relacji L. 5
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 9: Własności języków bezkontekstowych Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 27 kwietnia 2016 Plan 1 Pompowanie języków bezkontekstowych 2 Własności domknięcia 3 Obrazy
Bardziej szczegółowoProblemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych
Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowo10110 =
1. (6 punktów) Niedeterministyczny automat skończony nazwiemy jednoznacznym, jeśli dla każdego akceptowanego słowa istnieje dokładnie jeden bieg akceptujący. Napisać algorytm sprawdzający, czy niedeterministyczny
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 7
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Automaty... 2 Cechy automatów... 4 Łączenie automatów... 4 Konwersja automatu do wyrażenia
Bardziej szczegółowoRozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Bardziej szczegółowoImię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Bardziej szczegółowo1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Bardziej szczegółowo(j, k) jeśli k j w przeciwnym przypadku.
Zadanie 1. (6 punktów) Rozważmy język słów nad alfabetem {1, 2, 3}, w których podciąg z pozycji parzystych i podciąg z pozycji nieparzystych są oba niemalejące. Na przykład 121333 należy do języka, a 2111
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoDopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:
1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie
Bardziej szczegółowoJaki język zrozumie automat?
Jaki język zrozumie automat? Wojciech Dzik Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Katowice wojciech.dzik@us.edu.pl 7. Forum Matematyków Polskich, 12-17 września 2016, Olsztyn Prosty Automat do kawy Przemawiamy
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoJęzyki i operacje na językach. Teoria automatów i języków formalnych. Definicja języka
Języki i operacje na językach Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Definicja języka Definicja języka Niech Σ będzie alfabetem, Σ* - zbiorem wszystkich łańcuchów
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoJAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2. JAO - Języki, Automaty i Obliczenia - Wykład 2
Dowodzenie nieregularności języka [lemat o pompowaniu] Jeśli L regularny to istnieje stała c spełniająca : jeżeli z L, z c to istnieje dekompozycja w = u v x tak, że uv i x L dla każdego i 0 [lemat o skończonej
Bardziej szczegółowozłożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa
Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowo5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych.
5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych. Przeprowadzimy obecnie skróconą klasyfikację skończonych grup prostych. 5.1.
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 13
Spis treści Podstaoe struktury algebraiczne Grupa, pierścień, ciało Grupy permutacji 4 3 Pierścień ielomianó, algorytm Euklidesa, najiększy spólny dzielnik 6 4 Zadania 7 Rachunek macierzoy, metoda eliminacji
Bardziej szczegółowoJęzyki regularne, rozpoznawanie wzorców regularnych, automaty skończone, wyrażenia regularne
Języki regularne, rozpoznawanie wzorców regularnych, automaty skończone, wyrażenia regularne Automat skończony (AS), ang. Finite Automaton (FA) Automat skończony (automat czytający, maszyna Rabina-Scotta)
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też. A = (A, Q, q I, F, δ)
Zadanie 1. Czy prawdziwa jest następująca implikacja? Jeśli L A jest językiem regularnym, to regularnym językiem jest też L = {vw : vuw L dla pewnego u A takiego, że u = v + w } Rozwiązanie. Niech A =
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech
Zadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech anagram(l) = {w : w jest anagaramem v dla pewnego v L}. (a) Czy jeśli L jest
Bardziej szczegółowoWykład 9. Stateczność prętów. Wyboczenie sprężyste
Wykład 9. Stateczność prętó. Wyoczenie sprężyste 1. Siła ytyczna pręta podpartego soodnie Dla pręta jak na rysunku 9.1 eźmiemy pod uagę możliość ygięcia się pręta z osi podczas ściskania. jest modułem
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra linioa semestr letni 208 Teoria oraz iększość zadań niniejszym skrypcie zostały opracoane na podstaie książek:. G. Banaszak, W. Gajda, Elementy algebry linioej cz. I, Wydanicto Naukoo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoWyrażenia regularne.
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład : Wyrażenia regularne. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs.2.202 Wyrażenia regularne Wyrażenia regularne (ang. regular expressions) stanowią algebraiczny sposób definiowania
Bardziej szczegółowoZAWARTOŚĆ CEL GRY. v v v v. v w. u v. w Budynek ukończony Budynek w budowie. 40 monet. Przykład karty Robotnika:
Celem gry jest zdobycie jak najiększej liczby pnktó zycięsta poprzez znoszenie starożytnych bdoli. 37 prostokątnych kart ( tym 18 Robotnikó, 6 Więźnió, 4 Narzędzia, 4 Pożyczki, 4 Uniersytety i 1 karta
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 9
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoRozwiązania części z około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego
Rozwiązania części z około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 23 marca 2017 Zadania, które zrobiliśmy
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoElementy izometrii dla architektów
POLITECHNIK WROCŁWSK Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Instytt Matematyki i Informatyki Elementy izometrii dla architektów Dorota Jacak, Monika Jacak Wrocław 2013 Spis treści 1 Wprowadzenie 1 1.1
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Matematyczne G i m n a z j a l i s t ó w Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 10 szkice rozwiazań zadań 1. Rozwiąż układ równań: (x+y)(x+y +z) = 72 (y +z)(x+y +z) = 120 (z +x)(x+y
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach uwikłanych i odwracaniu funkcji
Tierdzenia o funkcjach uikłanych i odracaniu funkcji Ostatnio popraiłem 6 grudnia 2014 r. Duża cz eść zadań pochodzi od dr Marcina Kuczmy Definicja 3.1 przestrzeni metrycznej zupełnej Przestrzeń metryczna
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5
Algorytmiczne aspekty teorii gier: Wykład 5 Wykład prowadził dr hab. Igor Walukiewicz Notatki przygotował Dymitr Pszenicyn 02-04-2003 1 Spis treści 1 Przypomnienie 3 1.1
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoAndrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowo1. Pierwsza zasada termodynamiki Matematyczna forma I zasady termodynamiki, czyli zasady zachowania energii
. Piersza zasaa termoynamiki Matematyczna forma I zasay termoynamiki, czyli zasay zachoania energii E J E E (.) E E E (.a) E E E (.b) konc pocz gzie: E energia oproazona o kła [J], E energia yproazona
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW RELACJE MIEDZY KLASAMI ZŁOŻONOŚCI Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 KLASY ZŁOŻONOŚCI KLASE ZŁOŻONOŚCI OPISUJE SIE PODAJAC: Model
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 1
Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoJAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowy
JAO - lematy o pompowaniu dla jezykow bezkontekstowych Postać normalna Chomsky ego Gramatyka G ze zbiorem nieterminali N i zbiorem terminali T jest w postaci normalnej Chomsky ego wtw gdy każda produkcja
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 10: Opis wzorców - wyrażenia regularne. http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Wyrażenia regularne Wyrażenia
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoNotatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowoMetoda Tablic Semantycznych
Procedura Plan Reguły Algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Plan Procedura Reguły 1 Procedura decyzyjna Logiczna równoważność formuł Logiczna konsekwencja Procedura decyzyjna 2 Reguły α, β,
Bardziej szczegółowojest przemienny. h f J.
12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja 12.1. Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoZłożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys
Złożoność informacyjna Kołmogorowa Paweł Parys Serock 2012 niektóre liczby łatwiej zapamiętać niż inne... (to zależy nie tylko od wielkości liczby) 100...0 100 100... 100 100 100 25839496603316858921 31415926535897932384
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowo2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
Bardziej szczegółowoEgzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoGramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoSymbol, alfabet, łańcuch
Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowoMinimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych
Szczepan Hummel Minimalizacja automatów niedeterministycznych na słowach skończonych i nieskończonych 24.11.2005 1. Minimalizacja automatów deterministycznych na słowach skończonych (DFA) [HU] relacja
Bardziej szczegółowoMetody programowania sieciowego w zarządzaniu przedsięwzięciami
Metody programoania siecioego zarządzaniu przedsięzięciami Programoanie siecioe stanoi specyficzną grupę zagadnień programoania matematycznego. Zagadnienia siecioe - zagadnienia, których ilustrację graficzną
Bardziej szczegółowoprocesów Współbieżność i synchronizacja procesów Wykład prowadzą: Jerzy Brzeziński Dariusz Wawrzyniak
Wykład prowadzą: Jerzy Brzeziński Dariusz Wawrzyniak Plan wykładu Abstrakcja programowania współbieżnego Instrukcje atomowe i ich przeplot Istota synchronizacji Kryteria poprawności programów współbieżnych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoWykład 6. Wyszukiwanie wzorca w tekście
Wykład 6 Wyszukiwanie wzorca w tekście 1 Wyszukiwanie wzorca (przegląd) Porównywanie łańcuchów Algorytm podstawowy siłowy (naive algorithm) Jak go zrealizować? Algorytm Rabina-Karpa Inteligentne wykorzystanie
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoKATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204
Opracował: prof. dr hab. inż. Jan Kazimierczak KATEDA INFOMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 204 Temat: Hardware'owa implementacja automatu skończonego pełniącego
Bardziej szczegółowoSystemy obsługi ze wspólną pamięcią
Systemy obsłgi ze wspólną pamięcią dr Marcin Ziółkowski 14 listopada 2014 r. SCHEMAT DZIAŁANIA SYSTEMU OBSŁUGI ZGŁOSZEŃ NIEJEDNORODNYCH Rysnek: Schemat działania system obsłgi zgłoszeń niejednorodnych
Bardziej szczegółowo- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Bardziej szczegółowo