BADANIE PRĘTÓW NA WYBOCZENIE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BADANIE PRĘTÓW NA WYBOCZENIE"

Transkrypt

1 Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Wydział Mechaniczny Technoogiczny oitechnika Śąska LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE

2 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 1. CEL ĆWICZENIA Doświadczane wyznaczenie zaeżności strzałki ugięcia pręta wyboczonego od wiekości przyłożonej siły i przedstawienie jej na wyesie. d Wyznaczenie wartości siły ytycznej da danego pręta korzystając z danych doświadczanych przy różnych sposobach mocowania pręta. Obiczenie modułu Younga E na podstawie wyników doświadczanych i porównania tej wartości z danymi z tabic materiałowych. Obiczenie siły ytycznej ze wzoru Euera. Obiczenie błędu wzgędnego pomiarów.. WROWADZENIE Równowaga ciał może być stateczna, niestateczna ub obojętna. Równowagą stateczną (stałą, stabiną, trwałą) nazywamy taką formę równowagi, w której ciało wychyone z położenia pierwotnego z powrotem do niego powraca (rys. 1a). Inaczej mówiąc, ruch ciała jest taki, że wychyenia dowonego punktu ciała są nie większe od początkowych. O równowadze niestatecznej (chwiejnej) mówimy wówczas, gdy ciało wychyone z położenia pierwotnego nie powraca do tego położenia, ae przechodzi do innego (rys. 1b). Jeśi ciało znajduje się w potencjanym pou sił, wówczas położeniu równowagi statecznej odpowiada minimum energii potencjanej, zaś równowadze niestatecznej odpowiada maksimum energii potencjanej. Szczegóny przypadek, gdy przy dowonie małym wychyeniu wartość energii potencjanej nie zmienia się, nazywamy równowagą obojętną (rys. 1c). g b) a) c) Rys. 1. Rodzaje równowagi ciała: a) stateczna; b) niestateczna; c) obojętna Żadne ciało praktycznie nie może pozostawać w położeniu równowagi niestatecznej, będącej stanem granicznym. Ciało przechodzi do innego możiwego położenia. rzejście to może charakteryzować się dużymi przemieszczeniami, powstaniem pastycznych odkształceń, zniszczeniem układu itp. Taką formę przejścia z jednego położenia równowagi do drugiego nazywamy utratą stateczności. W praktyce często mamy do czynienia ze zjawiskiem, gdy do przeprowadzenia układu w stan równowagi chwiejnej potrzebna jest na tye mała iość energii, że w danych warunkach może ona być dostarczona zupełnie przypadkowo (rys. ). Wówczas mówi się, że stateczność układu jest niewystarczająca.

3 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 3 g Rys.. Układ o małej stateczności Stateczność układu może zaeżeć nie tyko od jego geometrycznej postaci, ae i od wiekości działających sił. Jeśi np. siła obciążająca układ będzie mniejsza od pewnej charakterystycznej wartości, to stateczność będzie zachowana; przy sie większej układ znajdzie się w położeniu równowagi niestatecznej. rzejście siły przez tę szczegóną wartość powoduje zmianę równowagi układu ze statecznej na niestateczną. Tę charakterystyczną wartość siły obciążającej oeśamy mianem siły ytycznej. Obecnie w wieu konstrukcjach zasadniczymi eementami decydującymi o ich wytrzymałości są pręty ściskane siłami osiowymi, datego też zagadnienie wyboczenia pręta stanowi ważną część obiczeń inżynierskich. Wyboczenie niekoniecznie musi prowadzić do zniszczenia pręta, ae utrata stateczności najczęściej prowadzi do utraty nośności całej konstrukcji. onadto w praktyce nie przeprowadza się anaizy stanu równowagi układu po utracie stateczności i uważa się obciążenie ytyczne za szczegónie niebezpieczne. Niebezpieczeństwo utraty stateczności jest tym większe, im konstrukcja jest żejsza. Zagadnienie to jest o tye istotne i ważne, że utrata stateczności następuje nage, bez widocznych objawów poprzedzających niebezpieczny stan konstrukcji. Datego przedstawienie eksperymentanego sposobu oeśenia siły ytycznej przy wyboczeniu sprężystym i porównanie z wynikiem uzyskanym anaitycznie (wzór Euera) pozwaa na szersze rozeznanie w zagadnieniach stateczności prętów ściskanych. 3. ODSTAWY TEORETYCZNE 3.1 Utrata stateczności prętów ściskanych W przeciwieństwie do układów sztywnych w układach odkształcanych wartości występujących sił mają wpływ na rodzaj równowagi. Rozpatrywany jest nieważki pręt AB ściskany siłą osiową (rys. 3a) na tye małą, że oś pręta pozostaje prosta. Jeśi na pręt zadziała się statycznie siłą Q prostopadłą do osi pręta, to siła ta spowoduje ugięcie pręta. o cofnięciu siły Q pręt powraca do swej początkowej (prostej) postaci. Jeśi działanie siłą Q będzie działaniem dynamicznym, wówczas wywoła ona drgania pręta wokół prostej osi. Zwiększenie wartości siły powoduje początkowo jedynie wzrost oesu drgań. Jednakże po przeoczeniu pewnej charakterystycznej wartości siły, zwanej siłą ytyczną, pręt po chwiowym zadziałaniu siły Q nie powróci do swej pierwotnej postaci. o przeoczeniu przez siłę wartości ytycznej pręt znajdzie się w równowadze chwiejnej i gwałtownie przybierze nową postać równowagi stałej o osi wygiętej. Towarzyszy temu nagły wzrost przemieszczeń końca B pręta. Wygięcie pręta spowodowane przeoczeniem przez siłę ściskającą wartości ytycznej nazywamy wyboczeniem.

4 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 4 B B Q M 1 3 A R = a) b) Rys. 3. a) Nieważki pręt ściskany osiowo; b) zaeżność u- Rysunek 3b przedstawia zaeżność pomiędzy przemieszczeniem u końca B pręta AB a wartością siły ściskającej. rosta 1 odpowiada sytuacji, gdy pręt prosty jest wyłącznie ściskany. o osiągnięciu przez siłę wartości ytycznej charakterystyka rozdwaja się w punkcie M. unkt ten zwany jest punktem bifurkacji (rozdwojenia). Zwiększenie wartości siły ściskającej powyżej wartości spowoduje bądź równowagę niestateczną pręta, który pozostanie nada prosty (prosta 1), bądź równowagę stateczną pręt o osi wygiętej (zywa ). Linia 0-M- zwana jest ścieżką równowagi. Założenie całkowicie osiowego ściskania jest oczywiście ideaizacją w praktyce zawsze ma się do czynienia z pewnym mimośrodem. Krzywa 3 na wyesie jest wyesem zaeżności u- przy założeniu istnienia małego początkowego mimośrodu. Im mimośród jest mniejszy, tym zywa początkowo dokładniej poywa się z prostą 1, by później uec gwałtowniejszemu zazywieniu (gwałtowniejszy wzrost przemieszczeń). 0 u 3. Sprężyste wyboczenie pręta Wyboczeniem sprężystym nazywać będziemy taki przypadek utraty stateczności, w którym siła ytyczna spowoduje powstanie naprężeń normanych mniejszych od granicy proporcjonaności R H. odstawy teoretyczne sprężystego wyboczenia prętów prostych dał Euer wyprowadzając wzór na siłę ytyczną (wyboczeniową) przy ściskaniu pręta prostego podpartego dwustronnie przegubowo (rys. 4). Jako że warunki podparcia nie oeśają uprzywiejowanego kierunku wygięcia pręta, zatem wygięcie nastąpi w płaszczyźnie najmniejszej sztywności na zginanie. W stanie równowagi w postaci wygiętej pojawia się dodatkowo moment gnący, którego wartość w dowonym przeoju wynosi: Równanie osi ugiętej ma postać: Mg = y (1) d y M g dx = ()

5 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 5 y x y Stąd można zapisać: x Rys. 4. ręt prosty ściskany osiowo rzekształcając powyższą zaeżność otrzymuje się: ub gdzie d y y dx = (3) d y 0 y dx + = (4) d y k y 0 dx + =, (5) k = (6) Otrzymano równanie różniczkowe iniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach, da którego poszukuje się rozwiązania w postaci: y = C sin kx + D cos kx (7) Uwzgędniamy warunki brzegowe w miejscach podparcia pręta w postaci: y ( x = 0) = 0 (8) y ( x = ) = 0 (9) Z warunku (8) wynika, iż D = 0. Równanie osi ugiętej przyjmuje postać: odstawiając warunek brzegowy (9) otrzymuje się: y = C sin kx (10) C sin k = 0 (11) Równanie powyższe jest spełnione w następujących przypadkach: a) C = 0, wówczas da każdego x otrzymuje się y = 0 wyboczenie nie występuje, a pręt pozostaje prosty (przypadek trywiany); b) sink = 0, co jest spełnione, gdy k = nπ, n = 0, 1,,...

6 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 6 Z warunku b) otrzymuje się: Wyznaczając z powyższego równania siłę uzyskuje się: k = = nπ (1) n π = (13) Da n = 0 otrzymuje się = 0. Z koei podstawiając n = 1 obicza się maksymaną wartość siły ściskającej, da której możiwe jest zachowanie równowagi pręta w postaci wygiętej jest to tzw. euerowska siła ytyczna: π = (14) Da tej wartości siły ytycznej równanie różniczkowe osi ugiętej przyjmuje postać: π y = C sin x (15) Tak więc oś ugięta jest sinusoidą, przy czym C = y Jeśi za k podstawi się dasze wartości (k = π, k = 3π itd.), wówczas otrzymuje się: 4π k = π = 9π k = 3 π = itd. Oś ugięta przyjmuje wówczas postać dwu, trzech ub więcej sinusoidanych półfa (rys. 5). Te większe wartości siły ytycznej nie mają praktycznego znaczenia, gdyż już po osiągnięciu pierwszej wartości ytycznej (da n = 1) siła powoduje wygięcie pręta w kształcie jednej półfai i nie jest możiwa zmiana tego kształtu. (16) (17) a) Rys. 5. ostaci wyboczenia da a) n = ; b) n = 3 b)

7 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 7 W ogónym przypadku podaje się zaeżność uwzgędniającą różne sposoby podparcia: gdzie: w = µ długość wyboczeniowa pręta; π =, (18) min w µ współczynnik zaeżny od sposobu mocowania pręta (np. da mocowania dwustronnie przegubowego µ = 1). Jeżei chce się wyznaczyć naprężenia ytyczne, to siłę ytyczną naeży podzieić przez poe przeoju poprzecznego pręta A. Uzyskuje się wtedy zaeżność: gdzie: π π Ei σ = =, (19) min min Aw w I i = promień bezwładności przeoju poprzecznego pręta. A Inaczej można zapisać zaeżność (19) w postaci: gdzie: λ smukłość pręta: σ π E =, (0) λ λ = w (1) i Graficzną interpretacją wzoru (0) jest hiperboa Euera przedstawiona na rys. 6. Na rysunku tym przedstawiono również zaes stosowaności wzoru Euera. Wzór ten może być stosowany wyłącznie w zaesie sprężystym (da σ σ H ), czemu odpowiadają wartości smukłości λ λ. gr σ zywa doświadczana zywa Johnsona-Ostenfeda prosta Tetmajera-Jasińskiego σ H zywa Euera λ gr λ Rys. 6. Zaeżność naprężeń ytycznych od smukłości pręta uegającego wyboczeniu Wartość graniczną smukłości wyznacza się z zaeżności: E = () λgr π σ H

8 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 8 W zaesie sprężysto-pastycznym (posprężystym) stosuje się przeważnie jedną z dwóch aproksymacji: 1) prostą Tetmajera-Jasińskiego: ) paraboą Johnsona-Ostenfeda: σ = A Bλ (3) = λ (4) σ a b Współczynniki materiałowe A i B oraz a i b wyznacza się da danego materiału pręta odpowiednio z zaeżności: A = R Re RH RH B = π E a = R e e R b = 4Eπ W iteraturze można spotkać gotowe tabice współczynników A, B oraz a i b da różnych materiałów. W przypadku obiczeń wytrzymałościowych na wyboczenie naeży zawsze sprawdzić, w jakim przedziae mieści się smukłość pręta λ i w zaeżności od tego stosować odpowiednie wzory. Jeżei λ λ gr, to można stosować wzór Euera (18) na siłę ytyczną. Jeżei λ < λ gr, to naeży stosować wzory do wyboczenia sprężysto-pastycznego, czyi odpowiednio: aproksymację prostą Tetmajera-Jasińskiego (3) ub paraboą Johnsona-Ostenfeda (4). Naeży ponadto zwrócić uwagę, że smukłość pręta λ zaeży tyko od wiekości geometrycznych pręta (1), zaś smukłość graniczna λ gr zaeży tyko od własności materiałowych (). e (5) 3.3 Wyboczenie pręta o wstępnej zywiźnie Rozważany jest pręt zamocowany obustronnie przegubowo jak na rys. 7. x y y y 1 y 0 x Rys. 7. Wyboczenie pręta o wstępnej zywiźnie

9 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 9 Zakłada się, że pręt (np. na skutek wieootnego przeprowadzania na nim doświadczenia) nie jest prosty, ecz posiada pewną niewieką zywiznę. Niech oś tego pręta przed przyłożeniem siły będzie zywą, którą można opisać równaniem: ( ) y0 = y0 x, x 0, (6) rzyłożenie do pręta osiowej siły spowoduje, że każdy punkt osi o współrzędnej x przemieści się o wiekość y 1 (x). Tak więc zywą będącą teraz osią pręta można zapisać w postaci: Równanie osi ugiętej beki ma postać: gdzie: czyi: ( ) ( ) ( ) y x = y x + y x (7) 1 0 d y M g dx =, (8) M = y = ( y + y ), (9) g 1 0 d y 1 0 dx = (30) y y o podzieeniu obu stron przez i uporządkowaniu otrzymuje się: gdzie: d y K y 1 K y0 dx + =, (31) K = (3) Zajmijmy się obecnie osią pręta przed odkształceniem. Wiadomo, że oś pręta wyboczonego można opisać równaniem: π y0 = C sin x, (33) gdzie: C = y = y (34) 0 W pręcie pierwotnie prostym wskutek wieootnego przeprowadzania na nim doświadczenia, podczas którego jego oś wyginała się zgodnie z równaniem (33), powstały pewne niewiekie odkształcenia trwałe. Jest zatem uzasadnione przyjąć, że po pewnym czasie oś prosta stała się zywą o równaniu (33) oczywiście y 0 jest bardzo małe. odstawiając zaeżność (33) do równania (31) otrzymuje się: π x + = (35) d y K y 1 K y0 sin dx Zgodnie z metodą przewidywań da zwyczajnych niejednorodnych równań różniczkowych o stałych współczynnikach rozwiązania równania (35) poszukuje się w postaci anaogicznej do jego prawej strony. Rozwiązanie to powinno spełniać ponadto warunki brzegowe, które w tym przypadku przyjmują postać: y 0 = y = 0 (36) ( ) ( ) 1 1

10 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 10 Łatwo sprawdzić, że funkcja oeśona równaniem: ( ) sin π y x 1 x = c (37) spełnia warunki (36). Wystarczy zatem dobrać parametr c tak, aby spełniała ona również równanie (35). odstawiając (37) do (35) otrzymuje się po uporządkowaniu: c K π x x π π sin = K y 0 sin Aby równanie powyższe było tożsamością, musi być spełniony warunek: Wprowadza się oznaczenie: c = = K K K y0 y0 π π 1 (38) (39) β = = = = K π π π (40) Uwzgędniając powyższe oznaczenie w równaniu (39) otrzymuje się: c β y 1 β Tak więc rozwiązaniem równania (35) jest funkcja: rzyrost strzałki ugięcia wynosi: 0 = (41) β sin π x y1 = y0 (4) 1 β β y x = = y = y 1 β Całkowitą strzałkę ugięcia można oeśić z zaeżności: β y0 y = y0 + y1 = y0 + y0 = 1 β 1 β Uwzgędniając oznaczenie (40) w powyższej zaeżności otrzymuje się: ub y y0 + y = 0 1 (43) (44) (45) y1 y1 = y0 (46) y1 Równanie to jest iniowe ze wzgędu na zmienne y 1 oraz, co można przedstawić na wyesie (rys. 8). Tangens kąta nachyenia prostej na wyesie jest równy : q tgγ = = (47) p

11 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 11 y 1 q γ p y 1 Rys. 8. Graficzne przedstawienie zaeżności (46) 4. RZEBIEG ĆWICZENIA Sposób przeprowadzenia ćwiczenia zostanie przedstawiony w trakcie zajęć aboratoryjnych. 5. ORACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SRAWOZDANIA Sprawozdanie powinno zawierać: I. Ce ćwiczenia II. Wstęp teoretyczny III. Rysunek i opis stanowiska pomiarowego IV. Część obiczeniową, w której naeży zawrzeć eementy podane przez prowadzącego na zajęciach V. Wnioski z ćwiczenia. 6. RZYKŁADOWE YTANIA KONTROLNE 1. Omów rodzaje równowagi.. Co to jest: stateczność, utrata stateczności, siła ytyczna? 3. Co nazywamy wyboczeniem (sprężystym) pręta? 4. Co to jest siła ytyczna? 5. Omów wzór Euera na siłę ytyczną. 6. Jak jest zaes stosowania wzoru Euera? 7. Jak można wyiczyć siłę ytyczną w zaesie posprężystym? 8. Co to jest smukłość pręta? Jak wyznacza się smukłość graniczną?

12 BADANIE RĘTÓW NA WYBOCZENIE 1 7. LITERATURA 1. Beuch W., Burczyński T., Fedeiński., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wyd. oitechniki Śąskiej, Sypt nr 85, Giwice, 00.. Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z eementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa Dyąg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów, t. I-II, WNT, Warszawa Timoshenko S..: Teoria stateczności prętów, Arkady 1961.

Badanie prętów na wyboczenie

Badanie prętów na wyboczenie Instytut Mechaniki i Inżynierii Obiczeniowej Wydział Mechaniczny Technoogiczny oitechnika Śąska www.imio.pos.p fb.com/imiopos twitter.com/imiopos LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badanie prętów na

Bardziej szczegółowo

Badanie prętów na wyboczenie

Badanie prętów na wyboczenie Instytut Mechaniki i Inżynierii Obiczeniowej Wydział Mechaniczny Technoogiczny oitechnika Śąska www.imio.pos.p fb.com/imiopos twitter.com/imiopos LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Badanie prętów na

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia

LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH Cel ćwiczenia LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Ćwiczenie 8 WYBOCZENIE RĘTÓW ŚCISKANYCH 8.1. Ce ćwiczenia Ceem ćwiczenia jest doświadczane wyznaczenie siły krytycznej pręta ściskanego podpartego przegubowo na obu

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów. Wyboczenie

Laboratorium Wytrzymałości Materiałów. Wyboczenie KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Laboratorium Wytrzymałości Materiałów Wyboczenie Opracował : dr inż. Leus Mariusz Szczecin 014 r. 1. Cel ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Wyboczenie ściskanego pręta

Wyboczenie ściskanego pręta Wszelkie prawa zastrzeżone Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: 1. Wstęp Wyboczenie ściskanego pręta oprac. dr inż. Ludomir J. Jankowski Zagadnienie wyboczenia

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 5 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów Wytrzymałość Materiałów Stateczność prętów prostych Równowaga, utrata stateczności, siła krytyczna, wyboczenie w zakresie liniowo sprężystym i poza liniowo sprężystym, projektowanie elementów konstrukcyjnych

Bardziej szczegółowo

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego. Metody obiczeniowe w biomechanice UTRATA STATECZNOŚCI STATECZNOŚĆ odpornośćna małe zaburzenia. Układ stabiny po małym odchyeniu od stanu równowagi powrót do pierwotnego położenia. Układ niestabiny po małym

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA Ćwiczenie WYZNACZANIE MOUŁU SZTYWNOŚCI METOĄ YNAMICZNĄ GAUSSA.1. Wiadomości ogóne Pod wpływem sił zewnętrznych ciała stałe uegają odkształceniom tzn. zmieniają swoje wymiary oraz kształt. Jeżei po usunięciu

Bardziej szczegółowo

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano) 23 Przykłady (twierdzenie A. Castigiano) Zadanie 8.4.1 Obiczyć maksymane ugięcie beki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obiczeń przyjąć następujące dane: q = 1 kn m, = 1 [m], E = 2 17 [Pa], d = 4 [cm],

Bardziej szczegółowo

NOŚNOŚĆ GRANICZNA

NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4. 4. NOŚNOŚĆ GRANICZNA 4.. Wstęp Nośność graniczna wartość obciążenia, przy którym konstrukcja traci zdoność do jego przenoszenia i staje się układem geometrycznie zmiennym. Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium Dynamiki Maszyn Laboratorium nr 5 Temat: Badania eksperymentane drgań wzdłużnych i giętnych układów mechanicznych Ce ćwiczenia:. Zbudować mode o jednym stopniu swobody da zadanego układu mechanicznego.

Bardziej szczegółowo

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ 11. WŁANOŚCI PRĘŻYTE CIAŁ Efektem działania siły może być przyspieszanie ciała, ae może być także jego deformacja. Przykładami tego ostatniego są np.: rozciąganie gumy a także zginanie ub rozciąganie pręta.

Bardziej szczegółowo

Wykresy momentów gnących: belki i proste ramy płaskie Praca domowa

Wykresy momentów gnących: belki i proste ramy płaskie Praca domowa ODSTAWY WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW (OWYM) Wykresy momentów gnących: beki i proste ramy płaskie raca domowa Automatyka i Robotyka, sem. 3. Dr inŝ.. Anna Dąbrowska-Tkaczyk LITERATURA 1. Lewiński J., Wiczyński

Bardziej szczegółowo

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:

Bardziej szczegółowo

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie Rozciąganie lub ściskanie Zginanie Skręcanie Ścinanie 1. Pręt rozciągany lub ściskany

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

Integralność konstrukcji

Integralność konstrukcji 1 Integraność konstrukcji Wykład Nr 2 Inżynierska i rzeczywista krzywa rozciągania Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji http://zwmik.imir.agh.edu.p/dydaktyka/imir/index.htm

Bardziej szczegółowo

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III

Al.Politechniki 6, Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) Mechanika Budowli. Inżynieria Środowiska, sem. III KATEDRA MECHANIKI MATERIAŁÓW POLITECHNIKA ŁÓDZKA DEPARTMENT OF MECHANICS OF MATERIALS TECHNICAL UNIVERSITY OF ŁÓDŹ Al.Politechniki 6, 93-590 Łódź, Poland, Tel/Fax (48) (42) 631 35 51 Mechanika Budowli

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów Strength of materials

Wytrzymałość materiałów Strength of materials KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/201 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE MODUŁU W

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia Wytrzymałość materiałów dział mechaniki obejmujący badania teoretyczne i doświadczalne procesów odkształceń i niszczenia ciał pod wpływem różnego rodzaju oddziaływań (obciążeń) Podstawowe pojęcia wytrzymałości

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach

Bardziej szczegółowo

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku

Bardziej szczegółowo

Zginanie proste belek

Zginanie proste belek Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2

Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normalne, przemieszczenia 2 Rozciąganie i ściskanie prętów naprężenia normane, przemieszczenia W przypadku rozciągania/ściskania pręta jego obciążenie stanowi zbiór sił czynnych wzdłuż osi pręta (oś x ). a rys..a przedstawiono przykład

Bardziej szczegółowo

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Przykład.. eka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami Narysować wykresy sił przekrojowych da poniższej beki. α Rozwiązanie Rozwiązywanie zadania rozpocząć naeży od oznaczenia punktów charakterystycznych, składowych

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Semestr IV. Laboratorium

Materiały dydaktyczne. Semestr IV. Laboratorium Materiały dydaktyczne Wytrzymałość materiałów Semestr IV Laboratorium 1 Temat: Statyczna zwykła próba rozciągania metali. Praktyczne przeprowadzenie statycznej próby rozciągania metali, oraz zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie stateczności ramy MES

Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiązanie stateczności ramy MES Rozwiążemy stateczność ramy pokazanej na Rys.. λkn EA24.5 kn EI4kNm 2 d 5,r 5 d 6,r 6 2 d 4,r 4 4.m e e2 d 3,r 3 d,r X d 9,r 9 3 d 7,r 7 3.m d 2,r 2 d 8,r 8 Y Rysunek

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials

Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego

2ql [cm] Przykład Obliczenie wartości obciażenia granicznego układu belkowo-słupowego Przykład 10.. Obiczenie wartości obciażenia granicznego układu bekowo-słupowego Obiczyć wartość obciążenia granicznego gr działającego na poniższy układ. 1 1 σ p = 00 MPa = m 1-1 - - 1 8 1 [cm] Do obiczeń

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Próba skręcania pręta o przekroju okrągłym Numer ćwiczenia: 4 Laboratorium z

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia

Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia Ćwiczenie M12 Wyznaczanie modułu Younga metodą strzałki ugięcia M12.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu Younga różnych materiałów poprzez badanie strzałki ugięcia wykonanych

Bardziej szczegółowo

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki

Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki Zestaw pytań z konstrukcji i mechaniki 1. Układ sił na przedstawionym rysunku a) jest w równowadze b) jest w równowadze jeśli jest to układ dowolny c) nie jest w równowadze d) na podstawie tego rysunku

Bardziej szczegółowo

Z-LOGN Wytrzymałość materiałów Strength of materials

Z-LOGN Wytrzymałość materiałów Strength of materials KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOGN1-0133 Wytrzymałość materiałów Strength of materials A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji

Politechnika Białostocka INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH. Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Politechnika Białostocka Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Temat ćwiczenia: Doświadczalne sprawdzenie zasady superpozycji Numer ćwiczenia: 8 Laboratorium

Bardziej szczegółowo

Ćw. 4. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia

Ćw. 4. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia KATEDRA FIZYKI STOSOWANEJ P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw.. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia Wprowadzenie Ze wzgędu na budowę struktury cząsteczkowej, ciała stałe możemy podzieić na amorficzne oraz

Bardziej szczegółowo

AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials

AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 013/014 AiR_WM_3/11 Wytrzymałość Materiałów Strength of Materials A. USYTUOWANIE

Bardziej szczegółowo

Politechnika Białostocka

Politechnika Białostocka Politechnika Białostocka WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA Katedra Geotechniki i Mechaniki Konstrukcji Wytrzymałość Materiałów Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Ćwiczenie nr 6 Temat ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 INTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5 Temat ćwiczenia: tatyczna próba ściskania materiałów kruchych Celem ćwiczenia jest wykonanie próby statycznego ściskania materiałów kruchych, na podstawie której można określić

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Jerzy Wyrwał Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron) Uwaga. Załączone materiały są pomyślane jako pomoc do zrozumienia informacji podawanych na wykładzie. Zatem ich

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej. Część 1 Odwzorowanie drgań oscylatora liniowego na płaszczyźnie fazowej

Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej. Część 1 Odwzorowanie drgań oscylatora liniowego na płaszczyźnie fazowej WYKŁAD 5 Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej Część 1 Odwzorowanie drgań oscyatora iniowego na płaszczyźnie fazowej 3.1. Płaszczyzna fazowa, trajektoria fazowa, obraz fazowy

Bardziej szczegółowo

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie

Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie Wytrzymałość Materiałów II 2016 1 Przykładowe tematy egzaminacyjne kursu Wytrzymałość Materiałów II Temat: Mimośrodowe ściskanie i rozciąganie 1. Dany jest pręt obciążony mimośrodowo siłą P. Oblicz naprężenia

Bardziej szczegółowo

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i

Bardziej szczegółowo

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%:

700 [kg/m 3 ] * 0,012 [m] = 8,4. Suma (g): 0,138 Ze względu na ciężar wykończenia obciążenie stałe powiększono o 1%: Producent: Ryterna modul Typ: Moduł kontenerowy PB1 (długość: 6058 mm, szerokość: 2438 mm, wysokość: 2800 mm) Autor opracowania: inż. Radosław Noga (na podstawie opracowań producenta) 1. Stan graniczny

Bardziej szczegółowo

Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego

Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego Mechanika i wytrzymałość materiałów instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego Cel ćwiczenia STATYCZNA PRÓBA ŚCISKANIA autor: dr inż. Marta Kozuń, dr inż. Ludomir Jankowski 1. Zapoznanie się ze sposobem przeprowadzania

Bardziej szczegółowo

Defi f nicja n aprę r żeń

Defi f nicja n aprę r żeń Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych

Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych Przedmiot: Mechanika stosowana Liczba godzin zajęć dydaktycznych: Politechnika Śląska w Gliwicach Wydział Organizacji i Zarządzania Katedra Podstaw Systemów Technicznych Studia magisterskie: wykład 30

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej

Bardziej szczegółowo

POMIAR STRZAŁKI UGIĘCIA DŹWIGARA NOŚNEGO SUWNICY JEDNODŹWIGAROWEJ

POMIAR STRZAŁKI UGIĘCIA DŹWIGARA NOŚNEGO SUWNICY JEDNODŹWIGAROWEJ INSTYTUT KONSTRUKCJI MASZYN KIERUNEK: TRANSPORT SPECJALNOŚĆ: SYSTEMY I URZĄDZENIA TRANSPORTOWE PRZEDMIOT: SYSTEMU I URZĄDZENIA TRANSPORTU BLISKIEGO LABORATORIUM POMIAR STRZAŁKI UGIĘCIA DŹWIGARA NOŚNEGO

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

2P 2P 5P. 2 l 2 l 2 2l 2l

2P 2P 5P. 2 l 2 l 2 2l 2l Przykład 10.. Obiczenie obciażenia granicznego Obiczyć obciążenie graniczne P gr da poniższej beki. Przekrój poprzeczny i granica pastyczności są stałe. Graniczny moment pastyczny, przy którym następuje

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów. Budowa i eksploatacja maszyn I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Wytrzymałość materiałów. Budowa i eksploatacja maszyn I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../2 z dnia.... 202r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu (taki jak w USOS) Nazwa modułu Wytrzymałość materiałów Nazwa modułu w języku angielskim Strength

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między

Bardziej szczegółowo

2.0. Dach drewniany, płatwiowo-kleszczowy.

2.0. Dach drewniany, płatwiowo-kleszczowy. .0. Dach drewniany, płatwiowo-kleszczowy..1. Szkic.. Charakterystyki przekrojów Własności techniczne drewna: Czas działania obciążeń: ormalny. Klasa warunków wilgotnościowych: 1 - Wilg. 60% (

Bardziej szczegółowo

Mechanika i wytrzymałość materiałów Kod przedmiotu

Mechanika i wytrzymałość materiałów Kod przedmiotu Mechanika i wytrzymałość materiałów - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Mechanika i wytrzymałość materiałów Kod przedmiotu 06.9-WM-IB-P-22_15W_pNadGenRDG4C Wydział Kierunek Wydział Mechaniczny

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Mechanika Analityczna i Drgania

Mechanika Analityczna i Drgania Mechanika naityczna i rgania Zasada prac przygotowanych dr inż. Sebastian akuła Wydział nżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Mechaniki i Wibroakustyki mai: spakua@agh.edu.p dr inż. Sebastian akuła

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE

KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WBiIŚ KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAJĘCIA 5 KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE Mgr inż. Julita Krassowska 1 CHARAKTERYSTYKI MATERIAŁOWE drewno lite sosnowe klasy C35: - f m,k =

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów Strength of materials

Wytrzymałość materiałów Strength of materials Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu (taki jak w USOS) Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości 4. lementy liniowej Teorii Sprężystości 4.1. Podstawowe założenia i hipotezy liniowej TS. 4.2. Stan naprężenia w punkcie 4.3. Równania równowagi stanu naprężenia 4.4. Stan odkształcenia w punkcie 4.5.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie

Przykład 9.2. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w fundamencie rzykład 9.. Wyboczenie słupa o dwóch przęsłach utwierdzonego w undamencie Wyznaczyć wartość krytyczną siły obciążającej głowicę słupa, dla słupa przebiegającego w sposób ciągły przez dwie kondygnacje budynku.

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa

Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa Ćwiczenie M13 Wyznaczanie modułu sztywności metodą Gaussa M13.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości modułu sztywności stali metodą dynamiczną Gaussa. M13.2. Zagadnienia związane z

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH

PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1 Przedmowa Okładka CZĘŚĆ PIERWSZA. SPIS PODSTAWY MECHANIKI OŚRODKÓW CIĄGŁYCH 1. STAN NAPRĘŻENIA 1.1. SIŁY POWIERZCHNIOWE I OBJĘTOŚCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRĘŻENIA 1.3. STAN NAPRĘŻENIA W PUNKCIE 1.4. RÓWNANIA

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI

WSTĘP DO TEORII PLASTYCZNOŚCI 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 1 13. 13. WSTĘP DO TORII PLASTYCZNOŚCI 13.1. TORIA PLASTYCZNOŚCI Teoria plastyczności zajmuje się analizą stanów naprężeń ciał, w których w wyniku działania obciążeń powstają

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający

Bardziej szczegółowo

Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali

Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali Temat 2 (2 godziny) : Próba statyczna ściskania metali 2.1. Wstęp Próba statyczna ściskania jest podstawowym sposobem badania materiałów kruchych takich jak żeliwo czy beton, które mają znacznie lepsze

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej

Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Wyznaczenie reakcji belki statycznie niewyznaczalnej Opracował : dr inż. Konrad Konowalski Szczecin 2015 r *) opracowano na podstawie skryptu [1] 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest sprawdzenie doświadczalne

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY.

SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY. ĆWICZENIE 5 SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY. Wprowadzenie Odkształcenie, którego doznaje ciało pod działaniem

Bardziej szczegółowo

Wytrzymałość materiałów. Wzornictwo przemysłowe I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Wytrzymałość materiałów. Wzornictwo przemysłowe I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../1 z dnia.... 01r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu (taki jak w USOS) Nazwa modułu Wytrzymałość materiałów Nazwa modułu w języku angielskim Strength

Bardziej szczegółowo

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

LABORATORIUM Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Praca zbiorowa pod redakcją: Tadeusza BURCZYŃSKIEGO, Witolda BELUCHA, Antoniego JOHNA LABORATORIUM Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Autorzy: Witold Beluch, Tadeusz Burczyński, Piotr Fedeliński, Antoni John,

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE ĆWICZENIE 4 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA PRZEZ ZGINANIE Wprowadzenie Pręt umocowany na końcach pod wpływem obciążeniem ulega wygięciu. własnego ciężaru lub pod Rys. 4.1. W górnej warstwie pręta następuje

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Doświadczalne

Bardziej szczegółowo

5. Indeksy materiałowe

5. Indeksy materiałowe 5. Indeksy materiałowe 5.1. Obciążenia i odkształcenia Na poprzednich zajęciach poznaliśmy różne możliwe typy obciążenia materiału. Na bieżących, skupimy się na zagadnieniu projektowania materiałów tak,

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.

Bardziej szczegółowo

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ

8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:

Bardziej szczegółowo

Konstrukcje metalowe Wykład VI Stateczność

Konstrukcje metalowe Wykład VI Stateczność Konstrukcje metalowe Wykład VI Stateczność Spis treści Wprowadzenie #t / 3 Wyboczenie giętne #t / 15 Przykład 1 #t / 45 Zwichrzenie #t / 56 Przykład 2 #t / 83 Niestateczność lokalna #t / 88 Zapobieganie

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Wytrzymałość materiałów Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych,

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 4

Ć w i c z e n i e K 4 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Stateczność ramy - wersja komputerowa

Stateczność ramy - wersja komputerowa Stateczność ramy - wersja komputerowa Cel ćwiczenia : - Obliczenie wartości obciążenia krytycznego i narysowanie postaci wyboczenia. utraty stateczności - Obliczenie przemieszczenia i sił przekrojowych

Bardziej szczegółowo

Należy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t,

Należy zwrócić uwagę, względem której zmiennej wykonujemy różniczkowanie. Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami: pochodne po czasie t, Część 2 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 1 14. 14. DRGANIA PRĘTÓW PROSTYCH O CIĄGŁYM ROZKŁADZIE MASY 14.1. Drgania poprzeczne pręta pryzmatycznego pręta. Drgania poprzeczne są to takie

Bardziej szczegółowo

CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE

CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE CIENKOŚCIENNE KONSTRUKCJE METALOWE Wykład 6: Wymiarowanie elementów cienkościennych o przekroju w ujęciu teorii Własowa INFORMACJE OGÓLNE Ścianki rozważanych elementów, w zależności od smukłości pod naprężeniami

Bardziej szczegółowo

PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA

PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI PROJEKT NR 2 STATECZNOŚĆ RAM WERSJA KOMPUTEROWA Dla zadanego układu należy 1) Dowolną metodą znaleźć rozkład sił normalnych

Bardziej szczegółowo

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją

( ) Płaskie ramy i łuki paraboliczne. η =. Rozważania ograniczymy do łuków o osi parabolicznej, opisanej funkcją ..7. Płaskie ramy i łuki paraboiczne Wstęp W bieżącym podpunkcie omówimy kika przykładów zastosowania metody sił do obiczeń sił wewnętrznych w płaskich ramach i łukach paraboicznych statycznie niewyznaczanych,

Bardziej szczegółowo