Wyznaczanie orientacji obiektu w przestrzeni z wykorzystaniem naiwnego filtru Kalmana

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyznaczanie orientacji obiektu w przestrzeni z wykorzystaniem naiwnego filtru Kalmana"

Transkrypt

1 Robert BIEDA, Rafał RYIEL Politechnia Śląsa w liwicach Wyznaczanie orientacji obietu w przestrzeni z wyorzystaniem naiwnego filtru Kalmana Streszczenie. W pracy zaprezentowano sposób estymacji orientacji obietu, w postaci ątów Eulera, w przestrzeni 3D z wyorzystaniem naiwnego filtru Kalmana. Wyorzystując założenie z systemów lasyfiacji bayesowsiej, że wetor pomiarowy prędości ątowej modelujący pewne zdarzenie może być rozpatrywany jao zbiór trzech niezależnych zdarzeń, doonano syntezy niezależnych filtrów Kalmana dla ażdej z osi uładu współrzędnych. Zaprezentowano fuzję danych z rzeczywistego czujnia IMU integrującą dane pomiarowe z trójosiowych żyrosopów, acelerometrów oraz magnetometrów. Abstract. In the paper naive Kalman filter is presented for estimating orientation in 3D space. Using the assumption of Bayesian classification systems, the angular velocity vector is treated as three separate events. herefore, tree independent Kalman filter are used to estimate Euler angles for each coordinate system. Data fusion is presented for real IMU sensor which integrated data from triaxial gyroscope, accelerometer and magnetometer. (3D object orientation with naive Kalman filter) Słowa luczowe: orientacja 3D, IMU, filtr Kalmana. Keywords: 3D orientation, IMU, Kalman filter. doi: /pe Wstęp Znajomość orientacji w przestrzeni jest niezbędną informacją podczas sterowania obietami doznającymi ruchu obrotowego, oceny ruchliwości ludzich ończyn czy wizualizacji położenia segmentów ciała ludziego w świecie wirtualnym. Orientacja zdefiniowana jest jao ąty Eulera: przechylenia, pochylenia oraz odchylenia (ang. R-roll, P- pitch i Y-yaw) woół osi związanych z obietem. Do estymacji ątów Eulera wyorzystuje się ideę fuzji sensorycznej, w tórej w jednym algorytmie integruje się dane pomiarowe z różnych czujniów. Kąty wyznaczyć można bowiem z żyrosopów, poprzez macierzowe całowanie prędości ątowych [5,11], oraz z acelerometrów i magnetometrów, wyorzystując zależności algebraiczne [7,19,0]. W literaturze do oceny orientacji wyorzystywane są różne metody oraz narzędzia matematyczne ja na przyład rachune waternionów, filtry omplementarne oraz filtr Kalmana. Filtr Kalman wymaga zapisania dla procesu jego modelu, tóry w przeważających przypadach bazuje na nieliniowych równaniach inematyi ruchu obrotowego bryły sztywnej. Wyorzystanie tego opisu wymaga zlinearyzowania tego modelu. Podejście to jest prawidłowe, jednaże bywa bardzo sompliowane pojęciowo, obliczeniowo oraz implementacyjnie. W pracach nad problemem wyznaczania orientacji autorzy poszuiwali ja najprostszego algorytmu realizującego wyznaczanie orientacji. Chcąc wyorzystać do tego celu lasyczny filtr Klaman poszuiwano liniowego opisu procesu. łówna teza pracy brzmi, iż można wyznaczać orientację (ąty Eulera) na drodze niezależnego przetwarzania w filtrach Kalmana wsazań żyrosopów w trzech niezależnych osiach uładu związanego z obietem. Jaolwie teza ta wydaje się błędna to prezentowane przyłady pratyczne potwierdzają słuszność rozwiązania. Na pewno jedna nie pozwalają odrzucić taiej hipotezy jao całowicie nieprawdziwej. W pracy zaprezentowano pełny opis uładu sensorów, sposób wyznaczania z nich ątów oraz dwa podejścia do modelowania fuzji sensorycznej. Poprawność proponowanego rozwiązania potwierdzają wyznaczone orientacje. Do przeprowadzonych esperymentów wyorzystane zostały pomiary uzysane z czujnia IMU (rys. 1) będącego wyniiem prac zespołu badawczego Instytutu Automatyi w Politechnice Śląsiej w liwicach. Rys. 1. Czujni IMU Uład odniesienia W problemach wyznaczania orientacji obietu w przestrzeni 3D wyorzystywane są różne ułady odniesienia związane z przestrzenią, w tórej odbywa się ruch. Definiuje się ułady bazowe oraz związane z obietem. Uład referencyjny (bazowy) definiowany jest jao nieruchomy uład przestrzeni nawigacyjnej (ang. n- frame; navigation-frame) [5,11] np.: ECI, ECEF, LP w tym: ENU oraz NED [6,5]. Druga grupa uładów są to ułady związane z obietem (ang. b-frame; body-frame) [1,11] lub uładem pomiarowym umieszczonym na nim (ang. s-frame; sensor-frame) [8]. W analizowanym problemie jao uład referencyjny (ang. n-frame) zaproponowana została onstrucja o struturze (ang. North-West-Up) (rys. ). Jao uład przestrzeni ruchomej, dla tórej wyznaczana jest orientacja względem uładu referencyjnego, przyjęta została postać często wyorzystywana w nawigacji i umożliwiająca oreślenie ąta obrotu woół trzech osi R-P-Y (ang. Roll-Pitch-Yaw). Przyjęto też, że uład związany z obietem (ang. b-frame) jest tożsamy z uładem pomiarowym sensorów IMU (ang. s-frame). W badaniach na potrzeby oreślenia orientacji obietu estymuje się ąty przechylenia (ang. Roll), pochylenia (ang. Pitch) oraz odchylenia (ang. Yaw) oznaczane w pracy odpowiednio jao,,. Macierz transformacji Przeształcenie R definiuje macierz rotacji oreślającą transformację obrotu w przestrzeni trójwymiarowej jednego uładu względem drugiego. W nawigacji inercyjnej, szczególnie w lotnictwie, macierz przeształcenia jednorodnego odpowiadająca obrotom o ąty Y-P-R [15] 34 PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014

2 (odpowiednio o ąty R-P-Y względem pierwotnego/bazowego uładu odniesienia ) może zostać zdefiniowana z wyorzystaniem elementarnych macierzy obrotów woół poszczególnych osi (1) [4,5,7,8]. Macierz rotacji oreślająca transformację przejścia z uładu bazowego (nieruchomego) do uładu ulegającego rotacji zdefiniowana jest następująco [5,4,11]: (1) cc ssc cs csc ss R cs sss cc css sc s sc cc c cos, sin s A a ax ay az z uwzględnieniem rzutów wetora przyspieszenia na osie uładu pomiarowego w przestrzeni [15]: A (5) a R a g gdzie a oraz g 0 0 g to odpowiednio wetor przyspieszenia obietu oraz wetor przyspieszenia ziemsiego (g 9,81[m/s ]) (rys. ) wyrażone w uładzie odniesienia. Pozwala ona na oreślenie orientacji obietu w uładzie bazowym na podstawie znajomości wartości ątów R- P-Y oraz informacji o obiecie wyrażonej w uładzie pomiarowym IMU. Natomiast przeształcenie odwrotne rotacji, w notacji ątów Eulera XYZ (), można zdefiniować jao obroty w przeciwnym (odwrotnym) ierunu woół osi Z-Y-X uładu pierwotnego/ruchomego związanego z uładem pomiarowym IMU: () cc cs s R s sc cs sss cc sc csc ss css sc cc c cos, sin s Powyższe transformacje (1) i () często oreślane są jao macierze osinusów ierunowych DCM (Direction Cosine Matrix) [6,3,11], powiązane są ze sobą w następującej zależności: cnr cnp cny 1 N R 1R 1P 1Y cwr cwp c WY 1W (3) c UR cup cuy 1U R N W U gdzie 1 i to wersor i-tej osi uładu danej przestrzeni, natomiast współczynnii macierzy DCM cij 1i 1 j cos oreślają osinus ąta pomiędzy osią i uładu bazowego oraz osią j uładu pomiarowego. Orientacja obietu Uład pomiarowy IMU zbudowany został z wyorzystaniem technologii MEMS [5,3]. Wyposażony został w trzy trójosiowe ułady pomiarowe zdefiniowane w onfiguracji uładu odniesienia związanego z uładem bazowym Ziemi. Acelerometry Model sygnału mierzonego przyspieszenia przez uład acelerometrów definiowany jest jao suma rzeczywistej wartości przyspieszenia obietu a, wetora grawitacji g oraz sładowej w a modelującej załócenie w postaci białego szumu gaussowsiego [8,10]: (4) a a g wa Rozpatrując przypade idealny (bez załóceń) uład trójosiowego acelerometru mierzy wartość przyspieszenia Rys.. Położenie wetorów przyspieszenia ziemsiego g oraz pola magnetycznego Ziemi b w uładzie odniesienia Przyjmując, że wartość przyspieszenia związanego z ruchem obietu jest pomijalnie mała ( a 0 ) [7] można w przybliżeniu założyć, że uład acelerometrów mierzy wartości rzutów stałego wetora przyspieszenia ziemsiego wyrażonego w uładzie pomiarowym IMU. Założenie taie może zostać poczynione w przypadu gdy ruch obietu i związanego z nim czujnia IMU jest zbliżony do ruchu pozbawionego nagłych i gwałtownych zmian. Jest to poprawne założenie często czynione w przypadu obietów o dużej masie i bezwładności, dla tórych gwałtowna zmiana prędości oraz duże i długotrwałe przyspieszenia linowe nie są możliwe. Oczywiście założenie taie jest niepoprawne w przypadach gwałtownych ruchów ja np. przy pomiarach orientacji ruchu ramienia ludziego w testach medycznych [8,10]. Uwzględnienie taich zmian wiąże się jedna z potrzebą estymacji wetora przyspieszenia i uwzględnienia tej wielości w wetorze pomiarowym uładu acelerometrów. Mimo, iż w prezentowanej pracy taimi problemami nie zajmowano się to proponowane rozwiązanie można w prosty sposób rozszerzyć uwzględniając wartość przyspieszenia liniowego obietu. Wyorzystując więc powyższe założenie oraz operator rotacji R można wetor przyspieszenia ziemsiego g wyrazić w uładzie : (6) s g a x scg ay ccg a z R g a Wyorzystując zależność (6) można, w oparciu o uzysany A pomiar a z czujniów przyspieszenia liniowego [7,9], wyznaczyć wartości ątów rotacji obietu (7) oraz (8): scg a (7) y a tan y a arctan y ccg az a z a z A PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014 35

3 ax ax x arcsin g g (8) s g a sin Uwzględniając zares zmienności poszczególnych ątów zapewniający jednoznaczność rozwiązania [4] ( ~,, ~ ~ ) w procesie wyznaczania wartości ąta wyorzystana została definicja funcji arctan(y,x) (arcustangens dwuargumentowy) zwracającej wartość ąta w zaresie ±π: a (9) arctan y ~ arctan ay, az a z Analiza zależności wartości zwracanych przez uład acelerometrów nie umożliwia wyznaczenia wszystich trzech wartości ątów rotacji. W celu wyznaczenia wartości ąta odchylenia wymagane jest zastosowane uładu ompasu magnetycznego realizowanego przez trójosiowy uład magnetometrów. Magnetometry Sygnał mierzony przez uład magnetometrów modelowany jest jao suma wetora natężenia pola magnetycznego Ziemi b oraz wetora w m modelującego szum pomiarowy [8]: (10) m b wm Zastosowany w IMU trójosiowy uład magnetometrów mierzy rozład wetora pola magnetycznego Ziemi b Bcos 0 Bsin w uładzie obietu. Kąt γ definiuje odchylenie (inlinację) wetora pola magnetycznego od płaszczyzny XY uładu odniesienia. Wartość tego ąta zmienia się w zależności od szeroości geograficznej od 0 na równiu do 90 na biegunach magnetycznych. Podobnie wartość natężenia pola magnetycznego B zależna jest od szeroości geograficznej. W celu uniezależnienia uładu pomiarowego magnetometrów od natężenia pola magnetycznego Ziemi w procesie alibracji wartość natężenia wetora pola b magnetycznego została znormalizowana b 1 B [10]. Budowa czujnia magnetometrów uładu IMU jest zgodna z onfiguracją uładu bazowego Ziemi (rys. 1). rójosiowy magnetometr mierzy więc wartości M rzutów m mx my mz znormalizowanego wetora pola magnetycznego b cos 0 sin [15] w uładzie [8]: (11) M m R b Przeształcając powyższą zależność otrzymano [1]: M R R m R b Y X Z cm x ssm y csm z cc (1) cm y sm z sc sm s x scm y ccm z R to odpowiednio elementarna macierze rotacji gdzie K woół osi K X,Y,Z o ąt,,. Z przyrównania odpowiednich wartości sładowych wetorów wyniowych [9] otrzymano zależność na wartość ąta obrotu odchylenia [1]: cc cm ssm csm x y z sc cm y sm z (13) tan cm y sm z cm ssm csm x y z sm z cm y arctan cm x ssm y csm z Podobnie ja w przypadu zależności oreślającej wartość ąta przechylenia (7) w procesie wyznaczania wartości ąta odchylenia wyorzystana została funcja arcustangens dwuargumentowy: (14) sm z cm y arctan ~ cm x ssm y csm z arctan, sm z cm y cm x ssm y csm z Ze względu na pojawiające się załócenia w uładzie pomiarowym acelerometrów (4) oraz magnetometrów (10) wartości wyznaczonych ątów rotacji,, charateryzują się gwałtownymi, szybozmiennymi oraz rótotrwałymi zmianami wartości w czasie. Z tego powodu ta wyznaczone wartości ątów rotacji często są poddawane filtracji dolnoprzepustowej mającej na celu eliminację załóceń będących efetem pojawiającego się szumu w sygnałach mierzonych w uładzie IMU. Cechy tej nie posiadają wartości ątów rotacji wyznaczone w procesie całowania sygnału z żyrosopów. Żyrosopy rzecim uładem czujniów wyorzystywanym w IMU jest trójosiowy uład żyrosopów. Sygnał mierzony przez uład żyrosopów modelowany jest jao suma wetora prędości ątowych ω, wetora wartości podporowych (biasu) β oraz białego szumu gaussowsiego w [8,15]: (15) ω ω βw W przypadu idealnym (bez biasu oraz załóceń) uład ten, sonfigurowany zgodnie z uładem bazowym, zwraca informację o zmianie ąta obrotu woół danej osi uładu obracanego. W rezultacie sygnał z uładu żyrosopów można zdefiniować jao wetor prędości ątowych ω x y z poszczególnych osi uładu pomiarowego IMU. Wyorzystując informację o macierzy przeształcenia jednorodnego R (1): (16) cc ssc cs csc ss r11 r1 r13 cs sss cc css sc r1 r r 3 s sc cc r31 r3 r33 36 PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014

4 można wyznaczyć, z porównania odpowiednich elementów (wiersz,olumna) macierzy (16), wartości ątów rotacji obietu:,, [5]. Odpowiednio z porównania elementów (3,) oraz (3,3) otrzymano wartość ąta : sc r 3 r 3 r arctan 3 cc r 33 r33 r33 (17) tan Z porównania elementu (3,1) można wyznaczyć wartość ąta : (18) s r sin r arcsin r Wartość ąta otrzymano z porównania elementów (1,1) oraz (,1): cs r r r cc r r r (19) tan 1 1 arctan Uwzględniając, podobnie ja dla rozwiązania uzysiwanego z uładu acelerometrów i magnetometrów, zares zmienności poszczególnych ątów zapewniający jednoznaczność rozwiązania [4] w procesie wyznaczania wartości ąta oraz wyorzystana została funcja arctan(y,x) (arcustangens dwuargumentowy) zwracająca wartość ąta w zaresie ±π: r r r arctan 1 ~ arctan r11 r, r (0) arctan 3 ~ arctan r, r (1) 1 11 Równanie ruchu rotacji Powyższe zależności definiujące ąty możliwe są do wyznaczenia pod waruniem znajomości macierzy rotacji R (3). Wyorzystując wetor prędości ątowych ω, zwracanych przez uład pomiarowy trójosiowego żyrosopu, można go tratować jao pseudowetor rotacji [6], woół tórego obrócony zostaje uład przestrzeni związany z uładem IMU. W taim przypadu macierz rotacji R oraz związane z nią wartości ątów,, można wyznaczyć rozwiązując poniższe równanie różniczowe generujące rotację [10]: d () R R ω gdzie ω jest macierzą sośnie-symetryczną [13] (operatorem iloczynu wetorowego). Załadając, że wetor pseudorotacji jest równy wetorowi prędości ątowych mierzonych przez uład żyrosopów: ω x y z, wówczas tensor sośniesymetryczny o wetorze osiowym ω [13] zdefiniowany jest następująco [5,6,3,14]: (3) ω 0 z y z 0 x y x 0 Jedną z możliwości rozwiązania równania różniczowego () jest zdefiniowanie, w oparciu o różniczowe równanie generujące rotację, rozwiązania przybliżonego [14] bazującego na zastąpieniu operacji różniczowania operacją różnicową dla sończonego oresu czasu Δt [5,11]: d R (4) R t ttr t t Analizując zależność (4) można wyprowadzić iteracyjne równanie umożliwiające wyznaczanie macierzy R t w olejnych chwilach czasu: d t t t t t (5) R R R gdzie Δt jest oresem pomiędzy dysretnymi chwilami czasu (jest oresem próbowania w uładzie IMU). Dla małych wartości ątów rotacji {,, } można przyjąć, że sin( ) oraz cos( ) 1 [14]. W rezultacie macierz rotacji R (3) można przybliżyć w następujący sposób [5,1,11]: 1 (6) R t 1 1 W oparciu o przybliżoną postać macierzy rotacji (6), można równanie generujące rotację () przedstawić w następującej postaci [11]: d (7) R t R t Wyorzystując powyższe przybliżenie (7), oraz uwzględniając zależność: d t tt t t (8) t t t można sładową uatualniającą rozwiązanie w równaniu (5) przedstawić w postaci [5]: (9) d R 0 t t R t 0 0 R ω t R A t t gdzie A jest macierzą sośnie-symetryczną: 0 z t y t A ω t z t 0 x t y t x t 0 (30) Wyorzystując powyższe zależności oraz informację pozysaną z uładu pomiarowego żyrosopów można PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014 37

5 zależność (5), definiującą macierz rotacji przedstawić w postaci [8]: (31) t t t gdzie: R R B (3) B I A 1 z t y t z t 1 x t y t x t 1 R, Na sute operacji całowania, w procesie wyznaczania macierzy R, wyznaczone na jej podstawie wartości ątów rotacji,, pozbawione są efetu gwałtownych zmian będących sutiem pojawiającego się szumu w w wetorze prędości ątowych ω (15). W odróżnieniu od wartości ątów rotacji wyznaczonych z sygnałów uładu acelerometrów i magnetometrów ąty wyznaczone z sygnałów uładu żyrosopów pozbawione są elementu nerwowości w przebiegach czasowych. Jedna ze względu na pojawiający się stały czynni (bias) β (15), w sygnale otrzymywanym z uładu żyrosopów, w procesie całowania wartość ta ulega sumulowaniu co objawia się powolną lecz ciągłą zmianą wartości wyznaczonych ątów rotacji. Efetem zaistniałego zjawisa jest dryft wartości wyznaczonych wielości. W rezultacie zarówno wartości ątów wyznaczone z pomiarów uładu żyrosopów ja i uładów acelerometrów i magnetometrów posiadają charaterystyczne, dla danych uładów pomiarowych, błędy. Jednym ze sposobów orygowania wyznaczonych wielości ątów rotacji jest wyorzystanie tzw. filtrów omplementarnych [15]. Często jedna proces orecji realizowany jest jao fuzja sygnałów niosących informacje o orientacji z różnych źródeł pomiarowych. Proces ten realizowany jest z wyorzystaniem filtru Kalmana, pozwalającego na estymowanie wielości niemierzalnych na podstawie dostępnych sygnałów oraz modelu procesu. Naiwny filtr Kalmana Fuzja sensoryczna integruje w spójną całość informacje pochodzące z różnych, na ogół fizycznie odseparowanych i niezależnych źródeł. W przypadu rozpatrywanej estymacji orientacji, fuzja dotyczy integracji informacji z acelerometrów, żyrosopów i magnetometrów. W pracy wyorzystano do tego celu algorytm filtru Kalmana, tóry wymaga znajomości dysretnego liniowego modelu procesu: (33) x Fx u Qw y Hx r 1 Załada się, że dane z czujniów (rys. 1) pobierane są w równo odległych chwilach czasu z oresem próbowania t. Należy zatem stworzyć model procesu wyznaczania orientacji w przestrzeni z trzech niezależnych anałów pomiarowych. Podobne modele znaleźć można w literaturze [1] jednaże dotyczą one opisu obrotu woół jednej osi. Inne podejścia uwzględniają nieliniowe równania inematyi ruchu obrotowego bryły sztywnej, tóre należy linearyzować. Pomiar prędości ątowej z żyrosopu obarczony jest błędem biasu (zera) oraz dodatowym załóceniem stochastycznym modelowanym w postaci dysretnego białego szumu gaussowsiego o zerowej wartości oczeiwanej oraz wariancji : (34) w, Błąd zera zaliczany jest do załócenia nisoczęstotliwościowego i można go zamodelować w postaci realizacji procesu Marowa pierwszego rzędu wraz z losowym białym szumem o rozładzie E 0;E : (35) 1 W celu wyznaczenia ąta ze zmierzonej prędości ątowej wyorzystano dysretne całowanie zgodnie z zależnością (8). Uwzględnienie zależności (35) w całowanym równaniu (34) prowadzi do modelu: (36) 1 w, t t ttw, Agregując opis modelu (36) oraz równania (35) do równań stanu (33) otrzymuje się następujące macierze i wetory: (37) 1 t t t 0 F ; ; 1 0 ; ; H Q 0 1 x gdzie w, ; u ; y ; ; r r w r jest szumem pomiarowym Er 0;E r ąta wyznaczonego z wyorzystaniem uładu acelerometrów i magnetometrów. Model (33) zdefiniowany przez elementy (37) posiada wejście sterujące u(t) w postaci prędości ątowej. Podejście to wydaje się być niewłaściwe bo sygnał u(t), zgodnie z założeniami czynionymi podczas wyprowadzania filtru Klamana, powinien być sygnałem deterministycznym. Jednaże z puntu widzenia modelowania podejście to jest prawidłowe. W celu pozbycia się wejścia sterującego, z modelu wyznaczającego ąt z żyrosopu, prędość ątową włączono do wetora stanu. Proces można teraz zapisać następującymi macierzami: 1 t t t F ; ; 1 0 H ; Q (38) w, r x ; y ; ; w r r Model (33) opisany przez macierze (38) nie zawiera sygnału sterującego ale wyjście stanowią dwa sygnały: ąt oraz prędość ątowa. W proponowanym rozwiązaniu model zapisany dla jednego ąta (osi) został zastosowany do pozostałych dwóch ątów. Rozszerzenie proponowanego podejścia na wszystie trzy ąty obrotu było możliwe przy założeniu o niezależności poszczególnych sładowych wetora prędości ątowych podobnie ja w systemach lasyfiacji bayesowsiej [16,17]. Definiuje się w nich onstrucje tzw. naiwnego lasyfiatora. Bazuje on na założeniu, że 38 PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014

6 prawdopodobieństwo wystąpienia wetora zdarzeń (wielowymiarowej zmiennej losowej) w analizowanym procesie jest równe iloczynowi prawdopodobieństw wystąpienia zdarzeń elementarnych. Konsewencje te wyniają z założenia o niezależności zdarzeń elementarnych definiujących wielowymiarową zmienną losową. a więc, dla analizowanego przypadu poczynione zostało założenie, że wetor prędości ątowej ω modelujący zdarzenie losowe, może być analizowany jao sładający się z trzech zdarzeń niezależnych. Bazując na taim założeniu można powyższe podejścia (37) oraz (38) rozszerzyć na przypade trójwymiarowy definiując model naiwnego filtru Kalmana. Syntetyzując model wyznaczania orientacji z fuzji sensorycznej dla filtru Kalmana rozważono dwa warianty. W pierwszym podejściu zastosowano model z wejściem sterującym 0 i otrzymano opis: (39) x Fx u Qw 1 α1 I33 t I3 3α t I3 3 ω β1 033 I3 3 β 03 3 t I 0 w y Hx r α I 33 33, 03 3 I3 3 ε α r β gdzie wetory ątów, biasów w odpowiednich osiach, oraz prędości ątowych zdefiniowano następująco: (40) x, y, z, x, y, z, Macierze Inn, 0 nn to odpowiednio macierz jednostowa i zerowa o wymiarach n n. Wyjściami z modelu, w fazie orecji, będą ąty wyznaczone z acelerometrów oraz magnetometrów: (41) α =. Wariant drugi modelu z włączeniem prędości ątowej do wetora stanu prowadzi do opisu: (4) x Fx Qw ω I ω β I 33 β t I w, I ε 0 33 I3 3 α I t I t I α α ω y Hx r I ω 033 I r β α 0 r W modelu tym wetor wyjścia rozszerza się o pomiar z żyrosopu. Dla modelu opisanego uładem równań (33) filtr Kalmana [1] zdefiniowany jest etapem predycji (43) xˆ ˆ 1 Fx u oraz filtracji: P FP F QWQ 1 xˆ xˆ K y H xˆ K 1 P 1 H HP 1 H R P I K H P (44) o następujących rozładach stochastycznych załócenia oraz szumu pomiarowego w modelu: E x ˆ ˆ 0 1x 0 1 X0, E w w W, E r r R. Przedstawiony opis modelu procesu w dwóch wariantach (39) i (4) może zostać zdeomponowany na trzy niezależne podproblemy, dla ażdej z osi (ąta). Ideę wyorzystania naiwnego filtru Kalmana, w trzech niezależnych anałach przedstawiono na rysunu 3. Deompozycja ta upraszcza implementację filtru Kalmana na urządzeniu docelowym. Rys. 3. Idea implementacji naiwnego filtru Kalmana. Przyładowe esperymenty W tracie analizy algorytmu naiwnego filtru Kalmana przeprowadzono badania suteczności tego rozwiązania w procesie estymacji orientacji obietu w przestrzeni. Jednym z głównych problemów jest oreślenie referencyjnej, doładnej orientacji obietu. W tym celu wyorzystać można inne rozwiązania AHRS ja na przyład bazujące na filtrach omplementarnych lub rozszerzonych (nieliniowych) filtrach Kalmana. Wyorzystać można taże inny czujni o oreślonej doładności na przyład rozwiązanie omercyjne w postaci modułu Xsens Mi. Jednaże, najprostszym rozwiązaniem, dla oreślenia orientacji w stanie ustalonym jest wyorzystanie acelerometrów i magnetometrów. W przyładach zaprezentowano taże orientacje wyznaczone z równania ruchu rotacji. Wyorzystując czujni IMU z rys. 1 przeprowadzono liczne esperymenty. Na rysunach 4-6 zaprezentowano przyładowe przebiegi czasowe. Jao parametr strojenia filtrów Kalmana przyjęto wariancje załócenia stanu W oraz wariancję szumu pomiarowego R w postaci macierzy jednostowej z odpowiednim mnożniiem. Należy podreślić iż oreślenie wariancji błędów, i nie jest jednoznaczne. W literaturze [18] proponuje się różne metody szacowania tych wielości. Korzystając z omercyjnych rozwiązań IMU można bazować na wartościach podanych w doumentacji technicznej. W pracy założono jednostową macierz owariancji szumu pomiarowego R oraz dobierano ta macierz owariancji 1 PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014 39

7 załócenia W aby zbadać wzajemny stosune tych wielości na jaość i doładność estymacji. Na rysunach 4-6 zaprezentowano ąty wyznaczone z wyorzystaniem: acelerometrów i magnetometrów (z zależności (8), (9) i (14) ); F.K.1 filtru Kalmana o modelu z wejściem sterującym (39); F.K. filtru Kalmana z modelem bez sterowania (4) oraz macierzy (1) i algorytmu całowania bezardanowego (ang. strapdown integration) (31) za pomocą wzorów (18), (0) i (1). Z przeprowadzonych badań wynia iż filtry Kalmana z liniowymi modelami (39) i (4) prawidłowo estymują ąty R-P-Y realizując zadanie filtracji oraz fuzji danych z niezależnych anałów. Ja wynia z rysunu 4 i rysunu 5 ąty wyznaczone z modelów procesów (39) i (4) pratycznie nie różnią się między sobą. W rezultacie przebiegi czasowe oznaczone jao F.K.1 i F.K. prawie porywają się. Estymaty ątów z acelerometrów i magnetometrów () charateryzują się więszą wariancją zmienności. Algorytm całowania (31) macierzy rotacji (przebieg na rysunu 4b)) błędnie wylicza ąty a wynii obarczone są błędem w stanie ustalonym. Spowodowane jest to między innymi błędem biasu. Na jaość filtracji, wariancję otrzymywanego sygnału ąta, istotny wpływ ma wzajemny stosune wariancji załócenia, do szumu pomiarowego. W przypadu gdy różnica między wariancją załócenia a wariancją szumu pomiarowego jest znaczna wówczas przebiegi są bardziej wygładzone (rys. 7), jedna doładność wyznaczania ąta maleje. Ponao, dostrzega się wówczas pewne różnice w wartościach ątów uzysanych z modelowania zjawisa z wejściem sterującym (39) oraz bez wejścia sterującego (4). a) Rys. 5. Przebiegi czasowe estymowanych ątów Eulera przy W I 0,001 i R I w odniesieniu do ątów uzysanych z acelerometrów i magnetometrów (). b) Rys. 6. Przebiegi czasowe estymowanych ątów Eulera przy W I 0,0001 i R I w odniesieniu do ątów uzysanych z acelerometrów i magnetometrów (). Rys. 4. Przebiegi czasowe estymowanych ątów Eulera przy W I0,1 i R I w odniesieniu do ątów uzysanych z a) acelerometrów i magnetometrów () oraz b) całowania macierzy rotacji (). 40 PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014

8 a) b) Rys. 7. Przybliżenie przebiegu czasowego ąta dla a) W I 0,1 i b) W I0,0001 oraz R I w odniesieniu do ątów uzysanych z acelerometrów i magnetometrów (). Podsumowanie W pracy, orzystając z idei onstrucji tzw. naiwnego lasyfiatora zaproponowano algorytm estymacji orientacji w przestrzeni 3D wyorzystujący do tego celu trzy niezależne filtry Kalmana. Założono bowiem, że prędość ątowa ω oreśla pewien wetor sładający się z trzech niezależnych zdarzeń. Podejście to umożliwiło zbudowanie dla ażdej z osi R-P-Y niezależnego filtru Kalmana, tóry wyorzystując pomiary z żyrosopu oraz acelerometrów i magnetometrów wyznacza odpowiednie ąty Eulera. Pomimo zastosowania, wydawać by się mogło, błędnego podejścia z przeprowadzonych esperymentów można wniosować o poprawności zaproponowanego rozwiązania. Ponieważ filtry Kalmana syntetyzuje się niezależnie dla ażdego z ątów rotacji oraz wyorzystuje się bezpośrednio pomiary z żyrosopów problem fuzji można zdeomponować na trzy niezależne podproblemy. Ułatwia to implementację algorytmu w docelowym urządzeniu pomiarowym. Modelowanie procesu, w postaci dysretnego całowania, wyonać można wyorzystując model z wejściem lub bez wejścia sterującego. Zaproponowane filtry Kalmana poza orientacją wyznaczają taże błędy zera żyrosopów. Odpowiednie sparametryzowanie modelu pozwala uzysać przebiegi czasowe estymowanych ątów o pożądanej wariancji oraz precyzji i szybości uzysania stanu ustalonego. Publiacja powstała w ramach projetu: Kostium do awizycji ruchu człowiea oparty na sensorach IMU z oprogramowaniem gromadzenia, wizualizacji oraz analizy danych. Projet dofinansowany w ramach I Programu Badań Stosowanych przez Narodowe Centrum Badań i Rozwoju.(projet ID ścieża A) LIERAURA [1] J. S. Medith, Estymacja i sterowanie statystycznie optymalne w uładach liniowych, WN, Warszawa (1975). [] M. Haid, J. Breitenbach, Low cost inertial orientation tracing with Kalman filter, Applied Mathematics and Computation 153 (004) [3] ucma M., Montewa J., Podstawy morsiej nawigacji inercyjnej, Aademia Morsa w Szczecinie, Szczecin (006) [4] LaValle S.M, Planning algorithms, Cambridge University Press, (006) [5] itterton D.H., Weston J.L., Strapdown Inertial Navigation echnology - nd Ed., he Institution of Electrical Engineers, (004) [6] rewal M.S., Weill L.R., Andrews A.P, lobal Positioning Systems, Inertial Navigation, and Integration, John Wiley & Sons, (001) [7] Pedley M., ilt Sensing Using a hree-axis Accelerometer, Freescale Semiconductor Application Note, (013), n.an3461 [8] Roetenberg D, Inertial and Magnetic Sensing of Human Motion, PhD hesis, University of wente, (006) [9] Kim K., Par C.., A New Initial Alignment Algorithm for Strapdown Inertial Navigation System Using Sensor Output, Proceedings of the 17th World Congress he International Federation of Automatic Control (IFAC), (008), [10] Roetenberg D., Hen J. Luinge H.J., Chris. M. Baten Ch..M, Veltin P.H, Compensation of Magnetic Disturbances Improves Inertial and Magnetic Sensing of Human Body Segment Orientation, IEEE ransactions On Neural Systems And Rehabilitation Engineering, 13, (005), 3, [11] Pusa J., Strapdown inertial navigation system aiding with nonholonomic constraints using indirect Kalman filtering, MSc hesis, ampere University of echnology, (009) [1] alat Ozyagcilar, Implementing a ilt-compensated ecompass using Accelerometer and Magnetometer Sensors, Freescale Semiconductor Application Note, (01), n.an448 [13] Sadłowsi P., Parametryzacje rotacji i algorytmy rozwiązywania równań dynamii z rotacyjnymi stopniami swobody, Praca dotorsa, Polsa Aademia Nau, (007) [14] Woodman O.J., An introduction to inertial navigation, echnical Report 696, University of Cambridge, (007) [15] Fux S., Development of a planar low cost Inertial Measurement Unit for UAVs and MAVs, MSc hesis, Eidgenössische echnische Hochschule Zürich, (008) [16] heodoridis S., Koutroumbas K., Pattern Recognition, 3rd edition, Academic Press, Elsevier, (006) [17] Koronaci J., Ćwi J., Statystyczne systemy uczące się, wydanie drugie, Aademica Oficyna Wydawnicza EXI, Warszawa, (008) [18] Peter Haywood King, Low Cost Localization Solution Using a Kalman Filter for Data Fusion, Praca magistersa, April 9, 008, Blacsburg, Virginia ech, (008) [19] Songlai Han and Jinling Wang A Novel Method to Integrate IMU and Magnetometers in Attitude and Heading Reference Systems. Journal of Navigation, 64, (011), pp [0] Michael J. Caruso, Applications of Magnetoresistive Sensors in Navigation Systems, Honeywell Inc, (1998) Autorzy: Ph.D. Robert Bieda, Ph.D. Rafał rygiel, Instytut Automatyi, Politechnia Śląsa w liwicach ul. Aademica A, liwice, Polsa, robert.bieda@polsl.pl rafal.grygiel@polsl.pl. PRZELĄD ELEKROECHNICZNY, ISSN , R. 90 NR 1/014 41

Filtracja pomiarów z głowic laserowych

Filtracja pomiarów z głowic laserowych dr inż. st. of. Paweł Zalewsi Filtracja pomiarów z głowic laserowych słowa luczowe: filtracja pomiaru odległości, PNDS Założenia filtracji pomiaru odległości. Problem wyznaczenia odległości i parametrów

Bardziej szczegółowo

Metody wyznaczania kątów z żyroskopów dla filtru komplementarnego na potrzeby określania orientacji IMU

Metody wyznaczania kątów z żyroskopów dla filtru komplementarnego na potrzeby określania orientacji IMU Rafał RYIEL, Robert BIEDA, Konrad WOJCIECHOWSKI 2 Politechnia Śląsa w liwicach (), Polso-Japońsa Wyższa Szoła echni Komputerowych (2) Metody wyznaczania ątów z żyrosopów dla filtru omplementarnego na potrzeby

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH

DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Dr inż. Andrzej Polka Katedra Dynamiki Maszyn Politechnika Łódzka RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA Streszczenie: W pracy opisano wzajemne położenie płaszczyzny parasola

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne

Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Wydział PRACOWNA FZYCZNA WFi AGH mię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne Cel

Bardziej szczegółowo

4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)

4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19) 256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE POŁOŻENIA GŁOWICY OPTOELEKTRONICZNEJ Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW MEMS

WYZNACZANIE POŁOŻENIA GŁOWICY OPTOELEKTRONICZNEJ Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKÓW MEMS Justyna SOKOŁOWSKA Janusz BŁASZCZYK Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych PRACE NAUKOWE ITWL Zeszyt 36, s. 131 138, 2015 r. 10.1515/afit-2015-0019 WYZNACZANIE POŁOŻENIA GŁOWICY OPTOELEKTRONICZNEJ Z WYKORZYSTANIEM

Bardziej szczegółowo

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu

Bardziej szczegółowo

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych.

REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzeki z wykorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. REFERAT PRACY MAGISTERSKIEJ Symulacja estymacji stanu zanieczyszczeń rzei z wyorzystaniem sztucznych sieci neuronowych. Godło autora pracy: EwGron. Wprowadzenie. O poziomie cywilizacyjnym raju, obo wielu

Bardziej szczegółowo

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016 Aplikacje Systemów Wbudowanych Nawigacja inercyjna Gdańsk, 2016 Klasyfikacja systemów inercyjnych 2 Nawigacja inercyjna Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji inercyjnej (INS ang.

Bardziej szczegółowo

Koła rowerowe malują fraktale

Koła rowerowe malują fraktale Koła rowerowe malują fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Rozważmy urządzenie sładającego się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi prędościami. Na obręczy danego oła, obracającego

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12

Bardziej szczegółowo

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH

MODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci

Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

A. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna

A. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów

Bardziej szczegółowo

Restauracja a poprawa jakości obrazów

Restauracja a poprawa jakości obrazów Restauracja obrazów Zadaniem metod restauracji obrazu jest taie jego przeształcenie aby zmniejszyć (usunąć) znieształcenia obrazu powstające przy jego rejestracji. Suteczność metod restauracji obrazu zależy

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)

Wykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07) Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski

Metody numeryczne. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytet Zielonogórski Metody numeryczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Wydział Eletrotechnii, Informatyi i Teleomuniacji Uniwersytet Zielonogórsi Eletrotechnia stacjonarne-dzienne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera

Bardziej szczegółowo

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWEJ RBF W REGULATORZE KURSU STATKU

ZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWEJ RBF W REGULATORZE KURSU STATKU Mirosław Tomera Aademia Morsa w Gdyni Wydział Eletryczny Katedra Automatyi Orętowej ZASTOSOWANIE SIECI NEURONOWEJ RBF W REGULATORZE KURSU STATKU W pracy przedstawiona została implementacja sieci neuronowej

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM

Podstawy Automatyki Zbiór zadań dla studentów II roku AiR oraz MiBM Aademia GórniczoHutnicza im. St. Staszica w Kraowie Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyi Katedra Automatyzacji Procesów Podstawy Automatyi Zbiór zadań dla studentów II rou AiR oraz MiBM Tomasz Łuomsi

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIŁ INŻYNIERII MECHNICZNEJ INSTYTUT EKSPLOTCJI MSZYN I TRNSPORTU ZKŁD STEROWNI ELEKTROTECHNIK I ELEKTRONIK ĆWICZENIE: E2 POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE AKCELEROMETRU I ŻYROSKOPU MEMS DO POMIARU DRGAŃ W NAPĘDZIE BEZPOŚREDNIM O ZŁOŻONEJ STRUKTURZE MECHANICZNEJ

WYKORZYSTANIE AKCELEROMETRU I ŻYROSKOPU MEMS DO POMIARU DRGAŃ W NAPĘDZIE BEZPOŚREDNIM O ZŁOŻONEJ STRUKTURZE MECHANICZNEJ POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 87 Electrical Engineering 2016 Tomasz KULCZAK* Bartosz SZCZERBO* Stefan BROCK* WYKORZYSTANIE AKCELEROMETRU I ŻYROSKOPU MEMS DO POMIARU DRGAŃ W NAPĘDZIE

Bardziej szczegółowo

Koła rowerowe kreślą fraktale

Koła rowerowe kreślą fraktale 26 FOTON 114, Jesień 2011 Koła rowerowe reślą fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Od Redacji: Fratalom poświęcamy ostatnio dużo uwagi. W Fotonach 111 i 112 uazały się na ten temat artyuły Marcina

Bardziej szczegółowo

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ

METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1

Prognozowanie notowań pakietów akcji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych 1 Prognozowanie notowań paietów acji poprzez ortogonalizację szeregów czasowych Andrzej Kasprzyci. WSĘP Dynamię rynu finansowego opisuje się indesami agregatowymi: cen, ilości i wartości. Indes giełdowy

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

Mobilne Aplikacje Multimedialne

Mobilne Aplikacje Multimedialne Mobilne Aplikacje Multimedialne Rozszerzona rzeczywistość (AR, Augmented Reality) w Systemie Android Cz.1 Krzysztof Bruniecki Podstawy Algebra liniowa, operacje na wektorach, macierzach, iloczyn skalarny

Bardziej szczegółowo

Analiza rozkładu sił reakcji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego

Analiza rozkładu sił reakcji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego Pomiary Automatya obotya 7-8/2009 Analiza rozładu sił reacji podłoża podczas dynamicznie stabilnego chodu robota dwunożnego Teresa Zielińsa Maciej T. Trojnaci Praca stanowi ontynuację badań opisanych w

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spektrometru siatkowego

Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spektrometru siatkowego Politechnia Łódza FTIMS Kierune: Informatya ro aademici: 2008/2009 sem. 2. Termin: 16 III 2009 Nr. ćwiczenia: 413 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie długości fali świetlnej za pomocą spetrometru siatowego Nr.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne

Modelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut

Bardziej szczegółowo

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)

Wykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony) Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia

Bardziej szczegółowo

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 3.10.2004 24. (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Założenia wstępne

Bardziej szczegółowo

Pomiary napięć przemiennych

Pomiary napięć przemiennych LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki dr inż. Marek Wojtyra Instytut Techniki Lotniczej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

(u) y(i) f 1. (u) H(z -1 )

(u) y(i) f 1. (u) H(z -1 ) IDETYFIKACJA MODELI WIEERA METODAMI CZĘSTOTLIWOŚCIOWYMI Opracowanie: Anna Zamora Promotor: dr hab. inż. Jarosław Figwer Prof. Pol. Śl. MODELE WIEERA MODELE WIEERA Modele obietów nieliniowych Modele nierozłączne

Bardziej szczegółowo

SZYBKI ALGORYTM ESTYMACJI PRĘDKOŚCI WZNOSZENIA CZTEROWIRNIKOWEGO MIKROWIROPŁATA Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKA PRZYSPIESZENIA

SZYBKI ALGORYTM ESTYMACJI PRĘDKOŚCI WZNOSZENIA CZTEROWIRNIKOWEGO MIKROWIROPŁATA Z WYKORZYSTANIEM CZUJNIKA PRZYSPIESZENIA MODELOWANE NŻYNERSKE SSN 896-77X 44, s. 25-30, Gliwice 202 SZYBK ALGORYTM ESTYMACJ PRĘDKOŚC WZNOSZENA CZTEROWRNKOWEGO MKROWROPŁATA Z WYKORZYSTANEM CZUJNKA PRZYSPESZENA MARCN KMECK, KRZYSZTOF SBLSK nstytut

Bardziej szczegółowo

POZYCYJNE STEROWANIE RUCHEM STATKU Z RÓŻNYMI TYPAMI OBSERWATORÓW. BADANIA SYMULACYJNE

POZYCYJNE STEROWANIE RUCHEM STATKU Z RÓŻNYMI TYPAMI OBSERWATORÓW. BADANIA SYMULACYJNE Mirosław omera Aademia Morsa w Gdyni POZYCYJNE SEROWANIE RUCHEM SAKU Z RÓŻNYMI YPAMI OBSERWAORÓW. BADANIA SYMULACYJNE W pracy przedstawiono wynii badań symulacyjnych uładu sterowania wielowymiarowego ruchem

Bardziej szczegółowo

Kalibracja kamery. Kalibracja kamery

Kalibracja kamery. Kalibracja kamery Cel kalibracji Celem kalibracji jest wyznaczenie parametrów określających zaleŝności między układem podstawowym a układem związanym z kamerą, które występują łącznie z transformacją perspektywy oraz parametrów

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)

Bardziej szczegółowo

Sterowanie Ciągłe. Używając Simulink a w pakiecie MATLAB, zasymulować układ z rysunku 7.1. Rys.7.1. Schemat blokowy układu regulacji.

Sterowanie Ciągłe. Używając Simulink a w pakiecie MATLAB, zasymulować układ z rysunku 7.1. Rys.7.1. Schemat blokowy układu regulacji. emat ćwiczenia nr 7: Synteza parametryczna uładów regulacji. Sterowanie Ciągłe Celem ćwiczenia jest orecja zadanego uładu regulacji wyorzystując następujące metody: ryterium amplitudy rezonansowej i metodę

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie

Bardziej szczegółowo

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) . Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń

Bardziej szczegółowo

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów Wybrane zagadnienia implementacji i wykorzystania

Estymacja parametrów Wybrane zagadnienia implementacji i wykorzystania Estymacja parametrów Wybrane zagadnienia implementacji i wykorzystania Wykład w ramach przedmiotu Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji Plan wykładu Potrzeba estymacji parametrów Estymacja

Bardziej szczegółowo

Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym

Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości

3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości 3. Kinematya odstawowe ojęcia i wielości Kinematya zajmuje się oisem ruchu ciał. Ruch ciała oisujemy w ten sosób, że odajemy ołożenie tego ciała w ażdej chwili względem wybranego uładu wsółrzędnych. Porawny

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* Zał. nr do ZW /01 WYDZIAŁ / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Identyfikacja systemów Nazwa w języku angielskim System identification Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria Systemów

Bardziej szczegółowo

Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska

Podstawy robotyki. Wykład II. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Podstawy robotyki Wykład II Ruch ciała sztywnego w przestrzeni euklidesowej Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Preliminaria matematyczne

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Liczby zmiennoprzecinkowe i błędy

Liczby zmiennoprzecinkowe i błędy i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania:

Q strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania: Filtracja to zjawiso przepływu płynu przez ośrode porowaty (np. wody przez grunt). W więszości przypadów przepływ odbywa się ruchem laminarnym, wyjątiem może być przepływ przez połady grubego żwiru lub

Bardziej szczegółowo

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym

Wpływ zamiany typów elektrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Wpływ zamiany typów eletrowni wiatrowych o porównywalnych parametrach na współpracę z węzłem sieciowym Grzegorz Barzy Paweł Szwed Instytut Eletrotechnii Politechnia Szczecińsa 1. Wstęp Ostatnie ila lat,

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie nawigacja pilotowa jest to lokalna nawigacja wodna z uwzględnieniem znaków nawigacyjnych znajdujących się na danym akwenie i terenach

Wprowadzenie nawigacja pilotowa jest to lokalna nawigacja wodna z uwzględnieniem znaków nawigacyjnych znajdujących się na danym akwenie i terenach Wprowadzenie W zależności od stosowanych urządzeń, nawigację można podzielić na następujące działy: nawigacja astronomiczna, astronawigacja jest to nawigacja oparta na obserwacji ciał niebieskich, przy

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 10 Stanisław Cichoci Natalia Nehrebeca Wyład 10 1 1. Testowanie hipotez prostych Rozład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyi t Przedziały ufności Badamy czy hipotezy teoretyczne

Bardziej szczegółowo

Pattern Classification

Pattern Classification Pattern Classification All materials in these slides were taken from Pattern Classification (2nd ed) by R. O. Duda, P. E. Hart and D. G. Stork, John Wiley & Sons, 2000 with the permission of the authors

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Symulacje komputerowe

Symulacje komputerowe Fizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowych Jacek Matulewski (e-mail: jacek@fizyka.umk.pl) http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/modsym/ Symulacje komputerowe Dynamika bryły sztywnej Wersja: 8

Bardziej szczegółowo

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB Kocurek Łukasz, mgr inż. email: kocurek.lukasz@gmail.com Góra Marta, dr inż. email: mgora@mech.pk.edu.pl Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. RACHUNEK WEKTOROWY

1. RACHUNEK WEKTOROWY 1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe

Bardziej szczegółowo

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1

Relaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1 Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Rozkłady wielu zmiennych

Rozkłady wielu zmiennych Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki

Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO

BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO ĆWICZENIE 36 BADANIE DRGAŃ TŁUMIONYCH WAHADŁA FIZYCZNEGO Cel ćwiczenia: Wyznaczenie podstawowych parametrów drgań tłumionych: okresu (T), częstotliwości (f), częstotliwości kołowej (ω), współczynnika tłumienia

Bardziej szczegółowo

Sygnały stochastyczne

Sygnały stochastyczne Sygnały stochastyczne Zmienne losowe E zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór możliwych wyniów esperymentu) e E zdarzenie elementarne (wyni esperymentu) B zbiór wybranych podzbiorów zbioru E β B zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,

Bardziej szczegółowo

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 5. Przemysław Korohoda, KE, AGH

DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 5. Przemysław Korohoda, KE, AGH DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH Instrucja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 5 Wybrane właściwości Dysretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość

Bardziej szczegółowo

9. Sprzężenie zwrotne własności

9. Sprzężenie zwrotne własności 9. Sprzężenie zwrotne własności 9.. Wprowadzenie Sprzężenie zwrotne w uładzie eletronicznym realizuje się przez sumowanie części sygnału wyjściowego z sygnałem wejściowym i użycie zmodyiowanego w ten sposób

Bardziej szczegółowo

Filtr Kalmana. Struktury i Algorytmy Sterowania Wykład 1-2. prof. dr hab. inż. Mieczysław A. Brdyś mgr inż. Tomasz Zubowicz

Filtr Kalmana. Struktury i Algorytmy Sterowania Wykład 1-2. prof. dr hab. inż. Mieczysław A. Brdyś mgr inż. Tomasz Zubowicz Filtr Kalmana Struktury i Algorytmy Sterowania Wykład 1-2 prof. dr hab. inż. Mieczysław A. Brdyś mgr inż. Tomasz Zubowicz Politechnika Gdańska, Wydział Elektortechniki i Automatyki 2013-10-09, Gdańsk Założenia

Bardziej szczegółowo

A4: Filtry aktywne rzędu II i IV

A4: Filtry aktywne rzędu II i IV A4: Filtry atywne rzędu II i IV Jace Grela, Radosław Strzała 3 maja 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, tórych używaliśmy w obliczeniach: 1. Związe między stałą czasową

Bardziej szczegółowo

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy 3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 5

Zadania do rozdziału 5 Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia

Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Wykład 2 Układ współrzędnych, system i układ odniesienia Prof. dr hab. Adam Łyszkowicz Katedra Geodezji Szczegółowej UWM w Olsztynie adaml@uwm.edu.pl Heweliusza 12, pokój 04 Spis treści Układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d

Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja krzywoliniowych obiektów 3d Komputerowa reprezentacja oraz prezentacja i graficzna edycja rzywoliniowych obietów 3d Jan Prusaowsi 1), Ryszard Winiarczy 1,2), Krzysztof Sabe 2) 1) Politechnia Śląsa w Gliwicach, 2) Instytut Informatyi

Bardziej szczegółowo

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 )

Metoda rozwiązywania układu równań liniowych z symetryczną, nieokreśloną macierzą współczynników ( 0 ) MATEMATYKA STOSOWANA 7, 2006 Izabella Czochralsa (Warszawa) Metoda rozwiązywania uładu równań liniowych z symetryczną, nieoreśloną macierzą współczynniów ( 0 ) Streszczenie. W pracy zaadaptowano opracowaną

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI

WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Dr inż. Jacek WARCHULSKI Dr inż. Marcin WARCHULSKI Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskowa Akademia Techniczna SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Streszczenie: W referacie przedstawiono możliwości

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Wykład 4

Metody numeryczne Wykład 4 Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ Mgr inż. Kamil DZIĘGIELEWSKI Wojskowa Akademia Techniczna DOI: 10.17814/mechanik.2015.7.232 MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ Streszczenie: W niniejszym referacie zaprezentowano stanowisko

Bardziej szczegółowo