Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej
|
|
- Jan Chrzanowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej Wykład dla stypendystów Krajowego Funduszu na Rzecz Dzieci, Toruń, 1-3 grudnia 2006 roku 1. Przestrzeń probabilistyczna Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, F, P ). Ω to przestrzeń zdarzeń elementarnych, czyli zbiór możliwych wyników badanego doświadczenia losowego; zakładamy, że jest to zbiór niepusty. Przykłady: dla rzutu monetą Ω = {O, R}, gdzie O oznacza orła, a R reszkę, dla rzutu kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dla rzutu dwiema kostkami Ω = {(ω 1, ω 2 ); ω 1, ω 2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, dla spóźnienia się ucznia na 45-minutową lekcję Ω = [0, 45], dla rzutu lotką do tarczy o promieniu 30 cm Ω = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 900}. F to pewna rodzina zdarzeń, czyli podzbiorów przestrzeni Ω, o której zakładamy, że tworzy σ-algebrę, czyli spełnia warunki: i Ω należą do F, jeśli A jest zdarzeniem (czyli A należy do F), to jego dopełnienie A także jest zdarzeniem (czyli A należy do F), jeśli A 1, A 2,... F, to także A 1 A 2... F. Warunki te gwarantują, że jeśli A i B są zdarzeniami, to zdarzeniami będą też nie zaszło zdarzenie A (A ), zaszły jednocześnie A i B (A B), zaszło przynajmniej jedno ze zdarzeń A, B (A B), zaszło zdarzenie A, a nie zaszło B (A\B). Z drugiej strony warunki te pozwalają pozbyć się pewnych niedobrych zbiorów, dla których byłby kłopot z określeniem prawdopodobieństwa (patrz J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, str ). Uwaga: Najczęściej przyjmuje się, że jeśli Ω jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to F jest po prostu rodziną wszystkich podzbiorów przestrzeni Ω. Jeśli Ω = R lub Ω = R 2, to F = B(R) lub F = B(R 2 ), czyli jest tzw. σ-algebrą zbiorów borelowskich. Na R zbiory borelowskie to wszystkie odcinki i zbiory z nich powstałe poprzez przeliczalne stosowanie działań takich jak suma, przekrój, różnica i dopełnienie. Na R 2 to wszystkie zbiory otwarte i zbiory z nich utworzone poprzez przeliczalne stosowanie wspomnianych działań. 1
2 P jest prawdopodobieństwem, czyli funkcją, która zdarzeniom z σ-algebry F przyporządkowuje pewne liczby rzeczywiste, które będziemy rozumieć jako szanse zajścia poszczególnych zdarzeń. P spełnia warunki: P ( ) = 0, P (Ω) = 1, dla każdego A F mamy 0 P (A) 1, jeśli A 1, A 2,... są zdarzeniami rozłącznymi, to P (A 1 A 2...) = P (A 1 ) P (A 2 )... Prawdopodobieństwo jest szczególnym przykładem miary. Mierzy częstości pojawiania się pewnych zdarzeń. Przykłady: dla rzutu monetą P ({O}) = P ({R}) = 1/2, dla rzutu kostką P ({3, 6}) = 1/3, dla rzutu dwiema kostkami P ({(ω 1, ω 2 ); ω 1 = ω 2 }) = 6/36, dla rzutu lotką w tarczę o promieniu 30 cm P ({(x, y); x 2 + y 2 10}) nie jest jednoznacznie określone, tzn. dla początkującego gracza prawdopodobieństwo trafienia w każdy punkt tarczy jest jednakowe, więc P ({(x, y); x 2 + y 2 10}) = π102 π30 2 = 1 9, ale rzuty dobrego gracza są już bardziej skoncentrowane wokół środka, a rzadziej trafiają blisko brzegu, tak więc to prawdopodobieństwo będzie zależało od pewnej funkcji trafień. 2. Zmienne losowe Często nie interesuje nas wynik doświadczenia losowego jako taki, ale pewna charakterystyka liczbowa z nim związana. Przykłady: a) wygrana w rzucie monetą, jeśli wiemy, że za orła dostajemy 2 zł, a za reszkę 1 zł, b) liczba oczek w rzucie kostką, c) suma oczek lub większy z dwóch wyników w rzucie dwiema kostkami, d) odległość od środka tarczy punktu, w który trafiliśmy rzucając lotką. 2
3 Przyporządkowujemy więc zdarzeniom elementarnym ω pewne wartości liczbowe, otrzymując funkcję X : Ω R. Będziemy pytać o szanse przyjęcia przez taką funkcję pewnego wyniku, czyli dobrze by było, gdyby zbiór {ω; a X(ω) b} był zdarzeniem. Definicja: Zmienną losową nazywamy funkcję X : Ω R taką, że dla każdych a, b R X 1 (ω) = {ω; a X(ω) b} F. (O takiej funkcji mówimy, że jest mierzalna). Uwaga: Zgodnie z treścią poprzedniej uwagi na przestrzeni Ω skończonej lub przeliczalnej wszystkie funkcje X : Ω R są zmiennymi losowymi. Przykłady: 2, jeśli ω = O a) X(ω) = 1, jeśli ω = R, b) X(ω) = ω, c) X((ω 1, ω 2 )) = ω 1 + ω 2 lub X((ω 1, ω 2 )) = max{ω 1, ω 2 }, d) X((ω 1, ω 2 )) = ω ω 2 2. Przykład: Niech Ω = {O, R}. Rozważmy zmienne losowe X i Y : Wtedy 0, jeśli ω = R X(ω) = 1, jeśli ω = O, Y (ω) = 0, jeśli ω = O 1, jeśli ω = R. k 0 1 P (X(ω) = k) 1/2 1/2 k 0 1 P (Y (ω) = k) 1/2 1/2 Mówimy, że zmienne X i Y mają taki sam rozkład, czyli przyjmują takie same wartości z takimi samymi prawdopodobieństwami. Rozważając zmienne losowe zwracamy uwagę nie na wzór, ale na wartości, jakie może przyjmować zmienna losowa i prawdopodobieństwa, z którymi wartości te są przyjmowane. W związku z tym często nie pisze się X(ω) tylko X. 3
4 Dwa podstawowe typy zmiennych losowych: zmienne o rozkładach dyskretnych przyjmują skończenie lub przeliczalnie wiele wartości, ich rozkład zadaje się podając jakie wartości są przyjmowane i z jakimi prawdopodobieństwami, zmienne o rozkładach (absolutnie) ciągłych przyjmują wartości z pewnego przedziału, ich rozkład opisuje pewna funkcja zwana gęstością. 3. Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) Rozważamy schemat n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p, czyli powtarzamy w sposób niezależny n razy doświadczenie losowe, w wyniku którego otrzymujemy dwa możliwe wyniki: 1 (sukces) i 0 (porażka), przy czym prawdopodobieństwo otrzymania sukcesu jest równe p, a porażki 1 p. Definiujemy zmienną losową X jako liczbę sukcesów w tym schemacie. Tak więc X może przyjąć jedną z wartości k = 0, 1, 2,..., n. Jakie jest prawdopodobieństwo, że X = k? k sukcesów na n miejscach można rozmieścić na ( ) n k sposobów. Każde rozmieszczenie to konkretny ciąg o prawdopodobieństwie p k (1 p) n k, tak więc P (X = k) = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0, 1, 2,..., n. k Przykład: Rzucamy 3 razy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy 0, 1, 2, 3 szóstki? Mamy tu schemat 3 prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p =
5 4. Rozkład Poissona ( ) (1 ( ) P (X = 0) = = 1 0 6) = , ( ) (1 ( ) P (X = 1) = = 3 1 6) = , ( ) (1 ( ) P (X = 2) = = 3 2 6) = , ( ) (1 ( ) P (X = 3) = = 1 3 6) = Definicja: Liczba e jest definiowana jako granica ciągu ( n) n, tzn. ( ) 1 = 2, ( ) 2 = 9 ( 2 4, ) 3 = 64 (1 3 27,..., + 1 ) n,... e. n Inaczej Ogólnie e = ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! +... e x = x0 0! + x1 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! xn n! +... Liczba e jest niewymierna i w przybliżeniu jest równa 2, Definicja: Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami k = 0, 1, 2,... λ λk P (X = k) = e k!. Definicja: Dla rozkładów dyskretnych wartość oczekiwaną (średnią) EX zmiennej X definiujemy jako EX = k k P (X = k). 5
6 Wniosek: Wartość oczekiwana dla rozkładu Poissona jest równa λ. EX = k=0 λ λk k e k! = λ λ0 λ1 λ2 λ3 λ4 = 0 e + 1 e λ + 2 e λ + 3 e λ + 4 e λ 0! 1! 2! 3! 4! +... = = e λ (0 + λ1 0! + λ2 1! + λ3 2! + λ4 3! +...) = = λe λ ( λ0 0! + λ1 1! + λ2 2! + λ3 3! +...) = = λe λ e λ = λ. 5. Rozkład Bernoulliego a rozkład Poissona Jeśli n jest duże, to obliczenie prawdopodobieństwa osiągnięcia k sukcesów w n próbach Bernoulliego ( ) n P (X = k) = p k (1 p) n k k jest kłopotliwe. Dlatego przydatne jest twierdzenie, które mówi, że rozkład Bernoulliego może być przybliżony rozkładem Poissona. Twierdzenie Poissona: Jeśli n, p n 0 i np n λ > 0, to ( ) n p k k n(1 p n ) n k λk e λ n k!. Można pokazać, że ( ) n p k (1 p) n k λ λk e k k! λ2 n. 6
7 Przykład: W tabeli przedstawiono prawdopodobieństwa uzyskania k =, 0, 1,..., 10 sukcesów w n próbach Bernoulliego z takim prawdopodobieństwem, żeby np = 2, oraz prawdopodobieństwa otrzymane dla rozkładu Poissona z parametrem λ = 2. n = 10 n = 20 n = 50 n = 100 n = 200 k p = 0, 2 p = 0, 1 p = 0, 04 p = 0, 02 p = 0, 01 λ = 2 0 0,1074 0,1216 0,1299 0,1326 0,1340 0, ,2684 0,2702 0,2706 0,2707 0,2707 0, ,3020 0,2852 0,2762 0,2734 0,2720 0, ,2013 0,1901 0,1842 0,1823 0,1814 0, ,0881 0,0898 0,0902 0,0902 0,0902 0, ,0264 0,0319 0,0346 0,0353 0,0357 0, ,0055 0,0089 0,0108 0,0114 0,0117 0, ,0008 0,0020 0,0028 0,0031 0,0033 0, ,0001 0,0004 0,0006 0,0007 0,0008 0, ,0000 0,0001 0,0001 0,0002 0,0002 0,0002 Uwaga: Zaleca się stosowanie przybliżenia Poissona przy założeniu, że spełnione są warunki p 0, 1, np(1 p) 9. Przykład: Prawdopodobieństwo trafienia szóstki w Toto-Lotku jest równe 1 ( 49 6 ) = Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie w ogóle szóstek lub, że będzie tylko jedna, jeśli grający wypełniają kupony losowo i niezależnie od siebie, a kuponów jest 10 mln? Mamy n = 10 mln, p = 1/ Stąd np 0, 7151 i np(1 p) < 9. Rozkład Bernoulliego 10 mln prób z prawdopodobieństwem sukcesu p = 1/ można przybliżyć rozkładem Poissona z parametrem λ = np 0, Stąd prawdopodobieństwo, że nie będzie w ogóle szóstek jest równe 0,4891, a że będzie dokładnie jedna to 0,3498. Błąd przybliżenia nie przekracza λ 2 /n Uwaga: Rozkład Poissona nazywa się rozkładem zdarzeń rzadkich. Mogą to być pożary, wypadki, główne nagrody w grach losowych itp. Przykład: Dane Władysława Bortkiewicza (Ladislaus von Bortkiewicz ( )) Statystyki zgonów na skutek kopnięcia przez konia w 10 korpusach armii pruskiej w latach obejmują 191 korpuso-lat. W tym czasie zdarzyły się 122 wypadki, czyli średnio 122/191 = 0, 6387 wypadku w każdym korpusie rocznie. Można się zatem spodziewać, że liczba wypadków w korpusie w ciągu roku będzie zmienną X o rozkładzie Poissona z parametrem λ = 0, Możemy porównać przewidywania teoretyczne ze stanem faktycznym. 7
8 k P (X = k) n P (X = k) n k 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,000 Przykład: Doświadczenie Rutherforda zliczania rozpadów atomów w n = przedziałach czasu, każdy o długości 7,5 sekundy - patrz: W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, rozdz. VI.7. Przykład: Pączek zawiera średnio dwa rodzynki. Jaka jest szansa, że zawiera choć jeden? Możemy przyjąć, że liczba rodzynków w pączku ma rozkład Poissona z parametrem λ. Dlaczego? Bo ciasto na pączki miało objętość V i zostało podzielone na pączki o objętości v. Próby Bernoulliego polegają na trafianiu kolejnych rodzynków do konkretnego pączka. Szansa trafienia rodzynka do pączka jest równa p = v/v, a np = 2. Tak więc P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 e 2 = 1 0, = 0, Ta sama argumentacja stosuje się do trafień pocisków V2 w Londyn (patrz: Feller), rozkładu gwiazd w przestrzeni, czy rozkładu wypadków w pewnym okresie czasu. Mamy tu do czynienia z losowym rozkładem punktów na płaszczyźnie, w przestrzeni i na odcinku. 6. Miary punktowe Rozważamy cząstki lub obiekty, które pojawiły się w pewnej przestrzeni S (np. pod mikroskopem lub na ekranie). Obserwujemy podzbiór (obszar) D przestrzeni S. Załóżmy, że w wyniku naszego doświadczenia pojawiły się punkty x 1, x 2, x 3,... (skończenie lub przeliczalnie wiele punktów) i nie mamy punktów wielokrotnych. Rozważamy zbiory 8
9 {x i ; i I}, gdzie I N. Opisu takiego zbioru dokonujemy wyznaczając dla każdego dobrego ( dobry znaczy należący do σ-algebry F, w którą wyposażona jest przestrzeń S) podzbioru B obszaru D liczbę punktów, które znalazły się w zbiorze B: ({x i ; i I} B). Definicja: Miarą Diraca nazywamy funkcję δ x : F [0, + ) taką, że 1, jeśli x A δ x (A) = 0, jeśli x / A. Liczbę punktów x i należących do zbioru B możemy teraz zapisać jako ({x i ; i I} B) = δ xi (B). i I Definicja: Funkcja µ : F [0, + ) { } µ(b) = δ xi (B) i I jest miarą. Nazywamy ją miarą punktową. Uwaga: Wykorzystanie miar punktowych pozwala nam na rozważanie także sytuacji z pojawiającymi się punktami wielokrotnymi. Miara bez punktów wielokrotnych jest nazywana prostą. 7. Procesy punktowe Załóżmy teraz, że liczba i położenie punktów mogą być losowe. Jeśli prawdopodobieństwo, że obiekt znajdzie się w zbiorze D jest małe, to mówimy o zdarzeniach rzadkich. Definicja: Procesem punktowym nazywamy losową miarę punktową N, czyli taką miarę, że dla każdego zbioru B F liczba punktów N(B), które znalazły się w tym zbiorze jest zmienną losową. Uwaga: N(S) jest liczbą wszystkich punktów x i, które pojawiły się na przestrzeni S. Przykład: Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, tzn. dla każdego zbioru B F prawdopodobieństwa P (X i B) są równe. Niech n N n = δ Xi. 9
10 N n jest procesem punktowym, bo dla każdego B F n N n (B) = δ Xi (B) jest zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego (bo zlicza sukcesy polegające na trafieniu w zbiór B w n próbach z prawdopodobieństwem sukcesu p = P (X i B)). Proces ten nazywamy procesem empirycznym. Przykład: Mieszanym procesem empirycznym nazywamy proces empiryczny z losowym rozmiarem próbki, tzn. proces ζ N n = δ Xi, gdzie ζ jest zmienną losową niezależną od X 1, X 2,..., X n. Definicja: Miarą intensywności procesu punktowego N nazywamy miarę ν, która dla każdego zbioru B F jest równa ν(b) = EN(B), czyli jest średnią (oczekiwaną) liczbą punktów, które znajdą się w zbiorze B. Przykład: Dla procesu empirycznego miara intensywności jest równa n n n ν(b) = EN n (B) = E δ Xi (B) = Eδ Xi (B) = P (X i B) = n P (X 1 B). 8. Proces Poissona ze skończoną miarą intensywności Niech ν będzie miarą skończoną, tzn. ν(s) < +. Definicja: Proces punktowy N jest procesem Poissona, jeśli dla każdego zbioru B F liczba punktów N(B), które znajdą się w zbiorze B ma rozkład Poissona z parametrem λ = ν(b), N(B 1 ), N(B 2 ),..., N(B k ) są niezależnymi zmiennymi losowymi dla każdego naturalnego k i dowolnych parami rozłącznych B 1, B 2,..., B k F. Uwaga: ν jest miarą intensywności procesu Poissona, bo N(B) jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem ν(b), a rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą ν(b). Twierdzenie: Niech ν będzie miarą skończoną. Wówczas 10
11 proces τ N = δ Xi, gdzie τ, X 1, X 2,..., X n są niezależne, τ ma rozkład Poissona z parametrem ν(s), a rozkład losowych punktów X i jest zadany wzorem P (X i B) = ν(b)/ν(s) dla każdego B F, jest procesem Poissona z miarą intensywności ν; procesy Poissona o takiej samej mierze intensywności są równe. Przykład: Rozmieszczenie roślin lub zwierząt na pewnym terenie (J. G. Skellam, Studies in statistical ecology) Rozważmy rozległy otwarty teren jednorodny ze względu na swój charakter, taki jak na przykład błotniste koryto osuszonego płytkiego jeziora i położenie niezależnie rozsianych przez wiatr nasion jednego z gatunków roślin, które kolonizują ten obszar. Liczba nasion, które spadna na metr kwadratowy powierzchni jest zmienna o rozkładzie Poissona, co wynika z faktu, że jest wiele takich nasion, każde z bardzo małym prawdopodobieństwem trafienia w wyznaczony kwadrat. Fakt: Jeśli cząstki są rozmieszczone na płaszczyźnie zgodnie z Procesem Poissona o średniej ν na powierzchni jednostkowej i T jest odległością pomiędzy konkretną cząstką a najbliższym jej sąsiadem, to πt 2 ma rozkład wykładniczy z parametrem nu, czyli P (πt 2 > y) = νe νy dla y > 0. Jeśli cząstki są rozmieszczone w przestrzeni to 4πT 3 ma rozkład wykładniczy z parametrem ν, czyli ( ) 4 3 P 3 πt 3 > y = νe νy dla y > 0. Literatura: J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego, W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, E. Parzen, Stochastic Processes, R.-D. Reiss, A Course on Point Processes. 11
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoLista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadania na zastosowanie nierównosci Markowa i Czebyszewa. Zadanie 1. Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 1]. Korzystając z nierówności Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO
STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO dla studiów magisterskich kierunku ogrodnictwo Wykład 1 Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Słowo statystyka pochodzi
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem
Bardziej szczegółowoWykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej
Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
21 marca 2011 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoWykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowo3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
10 marca 2014 Zmienna losowa - wst ep Przeprowadzane w praktyce badania i eksperymenty maja bardzo różnorodny charakter, niemniej jednak wiaż a sie one z rejestracja jakiś sygna lów (danych). Moga to być
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoPROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)
PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych Zadania
Podstawy metod probabilistycznych Zadania 25 marca 2009 Zadanie 1 Czy jest możliwe, by P(A B) = 0, 9, P(A) = 0, 8, P(B) = 0, 3, i zdarzenia A i B były niezależne. Zadanie 2 Zdarzenia A i B są niezależne
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWykład 4. Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym. 2. Rozkłady próbkowe. 3. Centralne twierdzenie graniczne
Wykład 4 Plan: 1. Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym 2. Rozkłady próbkowe 3. Centralne twierdzenie graniczne Przybliżenie rozkładu dwumianowego rozkładem normalnym Niech Y ma rozkład
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowo