Metoda wyprowadzania licznych dynamik w Szczególnej Teorii Względności

Transkrypt

1 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Karol Szostek, Roan Szostek Politehnika Rzeszowska, Katedra Terodynaiki i Mehaniki Płynów, Rzeszów, Polska kszostek@rz.edu.l Politehnika Rzeszowska, Katedra Metod Ilośiowyh, Rzeszów, Polska rszostek@rz.edu.l Streszzenie: W artykule rzedstawiliśy naszą nowatorską etodę wyrowadzania dynaik w Szzególnej Torii Względnośi. Metoda ta ozwala na wyrowadzenie w ehanie relatywistyznej nieskońzenie wielu dynaik. Pokazaliśy ięć rzykładów takih wyrowadzeń. Wykazaliśy w ten sosób, że dynaika znana dzisiaj jako dynaika Szzególnej Teorii Względnośi jest tylko jedną z nieskońzenie wielu ożliwyh. Nie a także żadnej odstawy, aby tą obowiązująą dynaikę relatywistyzną traktować jako wyjątkową, ani z owodów ekseryentalnyh, ani z owodów teoretyznyh. W związku z ty rozstrzygnięie, która z ożliwyh dynaik ehaniki relatywistyznej jest rawidłowy odele rzezywistośi ozostaje otwarty roblee fizyki.. Wrowadzenie Kineatyka zajuje się ruhe iał bez uwzględniania ih eh fizyznyh. Podstawowe ojęia kineatyki to: zas, ołożenie, transforaja, rędkość i rzysieszenie. Dynaika zajuje się ruhe iał aterialnyh od działanie sił. Podstawowe ojęia dynaiki to: asa bezwładnośi, siła, ęd i energia kinetyzna. Kineatyka i dynaika składają się na ehanikę. W artykule zajujey się ehaniką relatywistyzną, zyli Szzególną Teorią Względnośi, która w odróżnieniu do ehaniki klasyznej dotyzy także dużyh rędkośi. Obenie znana jest tylko jedna dynaika Szzególnej Teorii Względnośi. W artykule rzedstawiliśy autorską etodę wyrowadzania liznyh dynaik dla tej teorii. Dynaikę relatywistyzną wyrowadza się na odstawie kineatyki relatywistyznej oraz jednego dodatkowego założenia, które ozwala wrowadzić do teorii ojęia: asy, ędu oraz energii kinetyznej.. Założenia kineatyki Szzególnej Teorii Względnośi Kineatyka Szzególnej Teorii Względnośi oarta jest na nastęująyh założeniah: I. Wszystkie układy inerjalne są równoważne. Założenie to oznaza, że nie a takiego zjawiska fizyznego, które wyróżnia jakiś układ inerjalny. W szzególny rzyadku oznaza ono, że nie a takiego zjawiska, do którego wyjaśnienia otrzebne jest ojęie bezwzględnego sozynku. Mateatyznie z założenia tego wynika, że transforaja zasu i wsółrzędnej ołożenia oiędzy dowolnyi dwoa

2 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan układai inerjalnyi a identyzną ostać, zależną jedynie od względnej rędkośi tyh inerjalnyh układów. II. Prędkość światła w różni jest taka saa w każdy kierunku oraz w każdy układzie inerjalny. III. Transforaja zasu i wsółrzędnyh ołożenia oiędzy układai inerjalnyi jest liniowa. Często założenia te są zaisywane w innyh równoważnyh ostaiah. Na odstawie wyienionyh założeń ożna wyrowadzić transforaję Lorentza, na której oiera się Szzególne Teoria Względnośi. Istnieje wiele różnyh wyrowadzeń tej transforaji. Dwa wyrowadzenia zostały rzedstawione w onografii [3]. Dla naszyh otrzeb wygodne będą oznazenia rzyjęte na rysunku. Układy inerjalne oruszają się wzdłuż swoih osi. Prędkość jest rędkośią układu U ierzoną rzez obserwatora z układu U. Prędkość / jest rędkośią układu U ierzoną rzez obserwatora z układu U. W Szzególnej Teorii Względnośi zahodzi, że / Rys.. Względny ruh układów inerjalnyh U oraz U ( /. Transforaja Lorentza z układu U do układu U a ostać t ( t+ ( ( / ( t + ( ( / y (3 y, z z Transforaja Lorentza z układu U do układu U a ostać t t / t ( t+ (4 ( / / ( / t+ (5 ( / / y (6 y, z z Transforaja (-(3, a także (4-(6, zawiera ełną inforaję o kineatye relatywistyznej. / U U 3. Wybrane własnośi kineatyki relatywistyznej Przy wyrowadzaniu dynaik otrzebne na będą dwa wzory z kineatyki, zyli ( oraz (3. Wyrowadziy je z transforaji (-(3.

3 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan 3.. Transforaja rędkośi Wyznazyy różnizki z transforaji (-(3 ( + d (7 ( / d ( + d (8 ( / dy (9 dy, dz dz Z układu inerjalnego U oraz układu inerjalnego U obserwowane jest oruszająe się iało U 3. W układzie U a ono rędkość 3/, natoiast w układzie U a rędkość 3/. Składowe tyh rędkośi zostały rzedstawione na rysunku. y U y 3/ 3/ y t t y 3/ 3/ z 3/ 3/ z z U z 3/ 3/ Rys.. Ruh iała widziany z dwóh układów inerjalnyh U oraz U. U Prędkość iała U 3 w układzie inerjalny U a nastęująe składowe d dy y z 3 /, 3/, 3/ ( Prędkość iała U 3 w układzie inerjalny U a nastęująe składowe d dy y z 3 /, 3/, 3/ ( Gdy do równań ( wstawiay różnizki (7-(9 wtedy otrzyay Czyli 3/ y 3/ z 3/ dz dz ( + d ( / ( + d ( / dy ( + d ( / dz ( + d ( / ( 3

4 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan 3/ y 3/ z 3/ + d/ + ( d/ dy/ ( / + ( d/ dz/ ( / + ( d/ (3 Na odstawie ( otrzyujey szukaną transforaję rędkośi z układu U do układu U 3/ y 3/ z 3/ + 3/ 3/ + ( ( / / + + y 3/ 3/ z 3/ 3/ W szzególny rzyadku, gdy iało U 3 orusza się równolegle do osi zahodzi (4 y z, (5 3 / 3/, 3/ 3/ Wtedy transforaja rędkośi (4 rzyjuje ostać wzoru na suowanie rędkośi równoległyh + 3/ 3/ (6 3/ Ziana rędkośi widziana z różnyh układów inerjalnyh Ciało znajduje się nieruhoo w układzie U 3 i wykonuje hwilowe rzyśieszenie do układu U 3'. Ruh tego iała jest obserwowany z układów U oraz U. Prędkośi układów inerjalnyh są do siebie równoległe. Przyjujey oznazenia okazane na rysunku 3. d 3/ 3'/ 3/ d 3/ 3'/ 3/ 3'/ 3' U 3' d 3/ d 3/ d 3/3 3'/3 3/ 3 U 3 3'/ 3/ U 3'/ 3/ onstans U Rys. 3. Przyrosty rędkośi widziane w układah inerjalnyh U oraz U. Wyznazyy różnizki z wzoru (6 4

5 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan d d + 3/ 3/ + ( 3/ + + ( 3/ / 3/ d3/ d 3/ (7 d3/ 3/ + d 3/ d 3/ (8 3/ + Jeżeli układ U 3 jest układe U wtedy należy indeks 3 zaienić indekse. Otrzyujey d d, d d (9 3 / 3/ /, Na tej odstawie wzór (8 rzyjuje ostać d d 3/ / / ( ( / Zależność ( wiąże ze sobą zianę rędkośi iała widzianą w układzie inerjalny U, w który znajduje się iało (d /, oraz zianę rędkośi widzianą z innego układu inerjalnego U (d Dylataja zasu Jeżeli w układzie U znajduje się nieruhoo iało, wtedy dla jego wsółrzędnyh zahodzi d Na odstawie transforaji zasu (7 otrzyujey ( d / (+ ( d ( Na tej odstawie otrzyujey wzór na dylataję zasu dla iała nieruhoego względe układu U d ( / / ( (3 4. Dynaiki w Szzególnej Teorii Względnośi Wszystkie rozważania będą rowadzone tylko dla odelu jednowyiarowego, zyli wszystkie analizowane wielkośi wektorowe będą równoległe do osi. Każdą wyrowadzoną dynaikę ożna łatwo uogólnić na rzyadki trójwyiarowe. Aby w Szzególnej Teorii Względnośi wyrowadzić dynaikę koniezne jest rzyjęie dodatkowego założenia, które ozwala wrowadzić do teorii ojęia: asy, energii kinetyznej oraz ędu. W zależnośi od rzyjętego założenia otrzyuje się różne dynaiki iał. Masę bezwładnośi iała sozywająego w inerjalny układzie odniesienia oznazyy rzez (asa sozynkowa. Masę bezwładnośi iała nieruhoego w układzie U, widzianą z układu U oznazyy rzez (asa relatywistyzna. Warto zwróić uwagę, że asa 5

6 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan relatywistyzna jest w ty rzyadku asą bezwładnośi wystęująą w II zasadzie dynaiki Newtona, a nie asą wystęująą we wzorze na ęd, jak rzyjęto w Szzególnej Teorii Względnośi. W ten sosób rzyjęliśy inną definiję asy relatywistyznej niż ta, jaką rzyjęto w Szzególnej Teorii Względnośi. Taka definija asy relatywistyznej jest wygodniejsza rzy wyrowadzaniu dynaik. Dla siły, ędu oraz energii kinetyznej rzyjujey definije identyzne jak w ehanie klasyznej. Ciało o asie znajduje się w układzie U. Działa na nie siła / owodująa rzyśieszenie d / /. Stąd dla obserwatora z układu U II zasada dynaiki Newtona a ostać d / / a/ (4 Dla obserwatora z układu U asa tego saego iała wynosi. Dla tego obserwatora na iało działa siła owodująa rzyśieszenie d /. Stąd dla obserwatora z układu U II zasada dynaiki Newtona a ostać d a (5 Dla obserwatora z układu U zianę ędu tego iała ożna zaisać w ostaiah d d (6 / / / a/ d/ Dla obserwatora z układu U zianę ędu tego iała ożna zaisać w ostaiah d d (7 a d gdzie: - d / jest zianą ędu iała o asie sozynkowej znajdująego się w układzie inerjalny U, jaką ierzy obserwator z tego saego układu inerjalnego U, - d jest zianą ędu iała znajdująego się w układzie inerjalny U, jaką ierzy obserwator z układu inerjalnego U. nergia kinetyzna iała jest równa włożonej ray do jego rzyśieszania. Dla obserwatora z układu U ziana energii kinetyznej tego iała wynosi d d d (8 d a d d d d gdzie: - d jest zianą energii kinetyznej iała znajdująego się w układzie inerjalny U, jaką ierzy obserwator z układu inerjalnego U. 4.. Dynaika STW ze stałą siłą, zyli STW/ W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że siła rzyśieszająa iało (równoległa do osi jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie Masa relatywistyzna w STW/ W odelu STW/ rzyjujey założenie, że 6

7 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Po odstawieniu (4 oraz (5 otrzyay (9 d Na odstawie ( oraz (3 otrzyujey d / d / (3 d (3 ( / ( / Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (9, wyraża się wzore 3/ (3 ( / 4... Pęd w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (3 do (7 d 3/ 3 d d d 3/ (33 ( / ( Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli Z ray [] (wzór 7, s.67 ożna odzytać, że 3 d 3/ (34 ( d, a 3/ a a a ( Po zastosowaniu ałki (35 do (34 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai (35 3 (36 ( / Wzór ten jest identyzny jak wzór na ęd znany ze Szzególnej Teorii Względnośi. Jest tak dlatego, że dynaika znana ze Szzególnej Teorii Względnośi jest wyrowadzona właśnie rzy założeniu (9. Zostało ono rzyjęte nieświadoie, gdyż uważano, że jest ono koniezne. Świadoość tego założenia ozwala na jego zianę i wyrowadzenie innyh dynaik. Jak już zostało wsoniane wześniej, rzyjęta rzez nas definija asy relatywistyznej jest inna niż definija rzyjęta w Szzególnej Teorii Względnośi. W naszy rzyadku asa relatywistyzna jest tą, która wystęuje w II zasada dynaiki Newtona (5. W ty konkretny rzyadku wyraża się ona zależnośią (3. W Szzególnej Teorii Względnośi asa relatywistyzna jest tą, która wystęuje we wzorze (36 na ęd. 7

8 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Pęd w STW/ dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi ęd (36 srowadza się do ędu z ehaniki klasyznej, gdyż ( nergia kinetyzna w STW/ Wyznazyy wzór na energię kinetyzna. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (3 d 3/ 3 d d d 3/ (38 ( / ( nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli 3 ( Z ray [] (wzór 74, s.67 ożna odzytać, że d 3/ (39 d (4 a 3/ ( a Po zastosowaniu ałki (4 do (39 otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai 3 3 (4 ( / Wzór ten jest identyzny jak wzór na energię kinetyzną znana ze Szzególnej Teorii Względnośi, z takih sayh owodów jak w rzyadku ędu ( nergia kinetyzna w STW/ dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi energia kinetyzna (4 srowadza się do energii kinetyznej z ehaniki klasyznej, gdyż ( / + ( / (4 ( / + ( / Na tej odstawie dla ałyh wartośi otrzyujey (43 + (

9 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Siła w STW/ Ze względu na założenie (9 oiar wartośi tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów jest identyzny. 4.. Dynaika STW ze stałą zianą ędu, zyli STW/ W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że ziana ędu iała (równoległa do osi jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie. Ta dynaika wydaje się szzególnie interesująa, onieważ rawo zahowania ędu jest rawe fundaentalny. Założenie, że ziana ędu iała jest taka saa dla każdego obserwatora wydaje się być naturalny rozszerzenie tego rawa. W odelu ST/ zakładay, że 4... Masa relatywistyzna w STW/ d Po odstawieniu (6 oraz (7 otrzyay Na odstawie ( otrzyujey d/ d d d/ d ( / Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (45, wyraża się wzore ( / 4... Pęd w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (48 do (7 d d ( / d Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli Z ray [] (wzór 5, s.6 ożna odzytać, że d (45 (46 (47 (48 (49 d (5 d a+ ln, a a a a (5 9

10 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Po zastosowaniu ałki (5 do (5 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai + + ln ln ( Pęd w STW/ dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi ęd (5 srowadza się do ędu z ehaniki klasyznej, gdyż / + + ( / ln ln (53 / ( / / + / ln / (54 / Na tej odstawie dla ałyh wartośi otrzyujey e / e / ln ln( e nergia kinetyzna w STW/ Wyznazyy wzór na energię kinetyzna. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (48 d d ( / d nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli Z ray [] (wzór 56, s.6 ożna odzytać, że d lna a Po zastosowaniu ałki (58 do (57 otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai d d (55 (56 (57 (58 ln ln( ln( + ln ln ( / (59 (6

11 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan nergia kinetyzna w STW/ dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi energia kinetyzna (6 srowadza się do energii kinetyznej z ehaniki klasyznej, gdyż ln ln ( / ( / [ ( / ] ln ( / ( / Na tej odstawie dla ałyh wartośi otrzyujey / ln / e / (6 (6 ( Siła w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzyśieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzyśieszająa a zgodnie z (4 wartość d / / (64 Dla obserwatora z układu U siła rzyśieszająa a zgodnie z (5 wartość d (65 Jeżeli odzieliy stronai równanie (65 rzez (64, to na odstawie ( i (3 otrzyay d / 3/ ( ( / / d/ Na odstawie (48 uzyskay związek oiędzy oiarai tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów (66 iało. / ( / Największa wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się / ( Dynaika STW ze stałą asą, zyli STW/ W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że asa iała jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie. W odelu ST/ zakładay, że Masa relatywistyzna w STW/

12 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan (68 Z tego względu dla obserwatora z układu inerjalnego U asa iała znajdująego się w układzie U, jest taka saa jak asa sozynkowa Pęd w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (68 do (7 d d d (69 Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli d (7 W tej dynaie relatywistyznej ęd wyraża się taki say wzore jak w ehanie klasyznej nergia kinetyzna w STW/ Wyznazyy wzór na energię kinetyzna. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (68 d d d (7 nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli d (7 W tej dynaie relatywistyznej energia kinetyzna wyraża się taki say wzore jak w ehanie klasyznej Siła w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzyśieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzyśieszająa a zgodnie z (4 wartość d / / (73 Dla obserwatora z układu U siła rzyśieszająa a zgodnie z (5 wartość d d (74 Jeżeli odzieliy stronai równanie (74 rzez (73, to na odstawie ( i (3 otrzyay

13 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan iało. Czyli / d 3/ ( ( / / d/ (75 3/ / ( / ( (76 Największa wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się / Dyskusja na teat dynaiki STW/ Uzyskanie dynaiki relatywistyznej, w której nie wystęuje asa relatywistyzna oraz wzory na ęd i energię kinetyzną są identyzne jak w ehanie klasyznej oże być zaskakująe, onieważ w ehanie relatywistyznej uważa się, że rozędzane iało oże uzyskać aksyalnie rędkość. Jednak ta dynaika jest foralnie orawna. Jeżeli rędkość iała zbliża się do wartośi, wtedy zgodnie z (76 3/ (77 ( / W układzie inerjalny U, w który znajduje się iało, oże na nie działać siła rzyśieszająa / o dowolnej, ale skońzonej wartośi. Jednak z ersektywy układu inerjalnego U, względe którego iało a rędkość, ta saa siła a wartość zerową. Oznaza to, że z ersektywy układu U nie jest ożliwe wykonanie nad iałe ray, która będzie zwiększała jego energię kinetyzną w nieskońzoność. Z zależnośi (7 wynika, że aksyalna energia kinetyzna jaką oże osiadać iało o asie wynosi a ( Dynaika STW ze stałą siłą na zas jej działania, zyli STW// W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że siła rzyśieszająa iało (równoległa do osi jest na jednostkę zasu jej działania taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia Masa relatywistyzna w ST// W odelu STW// rzyjujey założenie, że / Po odstawieniu (4 oraz (5 otrzyay d / t Na odstawie ( oraz (3 otrzyujey / d / (79 (8 3

14 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan d / d ( / t ( ( / Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (79, wyraża się wzore (8 / t (8 ( / Pęd w STW// Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (8 do (7 d / / d ( / d Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli Z ray [] (wzór 54, s.6 ożna odzytać, że 4 ( d (83 / 4 d (84 ( d a+ + ln, a 3 ( a a ( a 4a a Po zastosowaniu ałki (85 do (84 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai (85 / 4 ( ( ln ( + (86 / ( + + ln ( 4 ( / ( Pęd w STW// dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi ęd (87 srowadza się do ędu z ehaniki klasyznej, gdyż / / (+ / + ln / (88 ( ( / 4 ( / / + / / + ln / (89 ( ( / 4 / 4

15 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Na tej odstawie dla ałyh wartośi otrzyujey e 4 / e 4 / / + ln + ln( e ( nergia kinetyzna w STW// Wyznazyy wzór na energię kinetyzna. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (8 d / / d ( / d nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli / 4 ( Z ray [] (wzór 58, s.6 ożna odzytać, że d 4 ( d (9 (9 d (93 ( a ( a Po zastosowaniu ałki (93 do (9 otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai / 4 ( 4 ( 4 (94 / ( / ( / Wzór na energię kinetyzną (95 został wyrowadzony w ray [], dzięki teu, że autor rzyjął ta inne założenie niż to, na który oarta została dynaika znana ze Szzególnej Teorii Względnośi. ( nergia kinetyzna w STW// dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi energia kinetyzna (95 srowadza się do energii kinetyznej z ehaniki klasyznej, gdyż / ( Siła w STW// Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzyśieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzyśieszająa a zgodnie z (4 wartość 5

16 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan d / / (97 Dla obserwatora z układu U siła rzyśieszająa a zgodnie z (5 wartość d / t / (98 Jeżeli odzieliy stronai równanie (65 rzez (64, to na odstawie ( i (3 otrzyay d / / / / 3/ ( ( / / d/ Na odstawie (8 uzyskay związek oiędzy oiarai tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów iało. / ( / / (99 ( Najniejszą wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się 4.5. Dynaika STW ze stałą zianą ędu, zyli STW// W ty odrozdziale zostanie wyrowadzony odel dynaiki iał oarty na założeniu, że asa iała odzielona rzez uływ zasu w układzie obserwatora jest taka saa dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia (stąd oznazenie /. W odelu ST// zakładay, że Na odstawie (3 otrzyujey Masa relatywistyzna w STW// / t / t ( / ( ( Stąd asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (, wyraża się wzore / t ( / ( Pęd w STW// Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Aby wyznazyć ęd tego iała względe układu U odstawiay (3 do (7 6

17 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan d / / d ( / d d (4 Pęd iała jest suą rzyrostów jego ędu, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli Z ray [] (wzór 7, s.67 ożna odzytać, że / d (5 a d arsin, a a> (6 Po zastosowaniu ałki (6 do (5 otrzyujey wzór na ęd iała znajdująego się w układzie U i ierzony rzez obserwatora z układu U w ostai / / arsin arsin ( Pęd w STW// dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi ęd (7 srowadza się do ędu z ehaniki klasyznej, gdyż / arsin Na tej odstawie dla ałyh wartośi otrzyujey / nergia kinetyzna w STW// (8 (9 Wyznazyy wzór na energię kinetyzna. Do wzoru (8 odstawiay zależność na asę relatywistyzną odaną w (3 d / / d ( / d d ( nergia kinetyzna iała jest suą rzyrostów jego energii kinetyznej, gdy iało jest rzyśieszane z układu inerjalnego U (iało a rędkość do układu inerjalnego U (iało a rędkość, zyli / Z ray [] (wzór 73, s.67 ożna odzytać, że a d a d ( ( 7

18 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Po zastosowaniu ałki ( do ( otrzyujey wzór na energię kinetyzną iała znajdująego się w układzie U i ierzoną rzez obserwatora z układu U w ostai / + (3 ( ( / / ( nergia kinetyzna w STW// dla ałyh rędkośi Dla ałej rędkośi energia kinetyzna (6 srowadza się do energii kinetyznej z ehaniki klasyznej, gdyż / ( ( / (+ + ( / ( / (5 / ( ( / + ( / + ( / (6 Na tej odstawie dla ałyh wartośi otrzyujey / ( Siła w STW/ Ciało o asie sozynkowej jest związane z układe U. Działa na nie siła owodująa rzyśieszenie. Dla obserwatora z tego układu siła rzyśieszająa a zgodnie z (4 wartość d / / (8 Dla obserwatora z układu U siła rzyśieszająa a zgodnie z (5 wartość d / t / (9 Jeżeli odzieliy stronai równanie (65 rzez (64, to na odstawie ( i (3 otrzyay d / / / / 3/ ( ( / / d/ ( Na odstawie (3 uzyskay związek oiędzy oiarai tej saej siły rzez dwóh różnyh obserwatorów iało. / / ( / ( / ( Największa wartość siły ierzy obserwator z układu inerjalnego, w który znajduje się 8

19 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan 5. Ogólna ostać dynaiki W rzedstawionyh rzykładah rzyjęte zostały założenia, które ożna zaisać w ostaiah (3, (46, (68 oraz (8. Na tej odstawie widać, że założenie dla dynaiki relatywistyznej a ostać Na odstawie ( oraz (3 otrzyujey Przyjujey oznazenia a a { a, b} d d / /, a, b R b ( b { a, b} d a b a d a ( ( / (3 b/ ( ( / b { } { a, b} a+ R (4 Teraz na odstawie (3 asa relatywistyzna iała znajdująego się w układzie U, widziana z układu U, gdy sełnione jest założenie (, wyraża się w dynaie {} wzore { } ( / b (5 Każda taka asa definiuje inną dynaikę relatywistyzną. Zgodnie z rzedstawionyi rzykładai ęd w dynaie {} wyraża się wzore (na odstawie foruł (7 oraz (5 { } { } { } d d d (6 ( / { } d (7 ( Zgodnie z rzedstawionyi rzykładai energia kinetyzna w dynaie {} wyraża się wzore (na odstawie foruł (8 oraz (5 { } { } { } d d d (8 ( / { } d (9 ( Zgodnie z rzedstawionyi rzykładai zależność oiędzy siłai w dynaie {} wyraża się wzore (na odstawie foruł (4, (5 oraz (, (3 { } { } { } { } / 3/ ( ( / d / / d ( / ( / d d (3 9

20 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Na odstawie (5 otrzyujey { } ( / ( ( / 3/ ( / 3 / (3 6. Zestawienie wyrowadzonyh dynaik Zestawienie wyrowadzonyh wzorów na ęd oraz energię kinetyzną: Dynaika (3 (33 Dynaika / / / arsin ( ( / / (34 (35 Dynaika + ln (36 ln ( / (37 Dynaika 3/ (uznawana obenie dynaika STW (38 ( / (39 ( / Dynaika / ( + + ln ( 4 ( / (4 / ( / (4

21 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Na rysunku 4 zostały zestawione ędy z wyrowadzonyh dynaik. / [ 8 /s] Rys. 4. Moduł ędu w dynaikah: STW/ (, STW// (/, STW/ (, STW/ (3/ oraz STW// (. Na rysunku 5 zostały zestawione energie kinetyzne z wyrowadzonyh dynaik. / [ 7 J/kg] Rys. 5. nergie kinetyzne w dynaikah: STW/ (, STW// (/, STW/ (, STW/ (3/ oraz STW// (. Na rysunku 6 zostały zestawione zależnośi oiędzy siłai z wyrowadzonyh dynaik. / / STW/ STW// STW/ STW// STW/ STW/ STW// STW/ STW// STW/ STW/ STW// STW/ STW// / 3/ / 3/ / STW/ 3/ [ 8 /s] [ 8 /s] [ 8 /s] Rys. 6. Związki oiędzy siłai w dynaikah: STW/ (, STW// (/, STW/ (, STW/ (3/ oraz STW// (.

22 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan 7. Jeszze ogólniejsza ostać dynaiki Zależność (5 na asę relatywistyzną ożna jeszze bardziej uogólnić. W ogólny rzyadku ożna bowie rzyjąć, że asa relatywistyzna wyraża się wzore f( (4 { } f / Gdzie f ( jest dowolną funkją iągłą o nastęująyh własnośiah f f ( (43 / f ( (44 ( / f( (45 Każda funkja f ( definiuje inną dynaikę Szzególnej Teorii Względnośi. 8. Wnioski końowe W artykule rzedstawiona została nasza autorska etoda wyrowadzania dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi. Pokazanyh zostało ięć rzykładów takiego wyrowadzenia. Wyrowadzenie dynaiki oiera się na dwóh wzorah obowiązująyh w kineatye STW, zyli ( oraz (3. Aby wyrowadzić dynaikę STW koniezne jest rzyjęie do kineatyki dodatkowego założenia, które ozwala wrowadzić do teorii ojęia: asy, energii kinetyznej oraz ędu. Dynaika STW/ jest obenie uznawaną dynaiką Szzególnej Teorii Względnośi. Oiera się ona na założeniu, że każda siły równoległa do osi a taką saą wartość dla obserwatora z każdego inerjalnego układu odniesienia. Możliwe są jednak inne dynaiki zgodne z kineatyką Szzególnej Teorii Względnośi. Aby je wyrowadzić należy orzeć sie na inny założeniu. Rozstrzygnięie, która ze wszystkih ożliwyh dynaik Szzególnej Teorii Względnośi jest rawidłowy odele rzezywistyh roesów owinno być jedny z ważniejszyh zadań rzyszłej fizyki. Do weryfikaji różnyh dynaik użytezny oże być kaloryetr. Urządzenie to uożliwia oiar ilośi ieła wydzielanego odzas zatrzyania ząstek rozędzonyh do dużyh rędkośi. Na tej odstawie ożna wyznazyć wykresy energii kinetyznej rozędzonyh ząstek w funkji ih rędkośi, analogizne do tyh okazanyh na rysunku 5. Na tej odstawie ożna wskazać dynaikę, w której energia kinetyzna ząstek jest zgodna z ekseryentai. akt, że w raah Szzególnej Teorii Względnośi ożna wyrowadzić lizne dynaiki bardzo odważa rawdziwość wzoru. Według naszyh badań na odstawie ehaniki relatywistyznej nie ożna wyrowadzić wzoru wyrażająego energię wewnętrzną aterii [4]. Wszystkie wyrowadzenia tego wzoru są błędne. Związek oiędzy asą oraz energią ( ożna wrowadzić do STW jako niezależne założenie, ale nie wynika on z transforaji Lorentza, ani z założenia (9, na który oarta jest dynaika STW. Wtedy jednak istnieje otrzeba ekseryentalnego wykazania, jaka dokładnie jest ostać takiej zależnośi (n. dlazego nie / oraz ekseryentalnego zbadania zy zasai ostać takiej zależnośi nie zależy od rodzaju aterii, której ten wzór dotyzy. Przedstawiona etoda wyrowadzania dynaik oże zostać wykorzystana także w innyh teoriah kineatyki iał. W onografii [3] wykorzystaliśy ją do wyrowadzania ztereh dynaik w Szzególnej Teorii teru.

23 Metoda wyrowadzania liznyh dynaik w Szzególnej Teorii Względnośi Szostek Karol & Szostek Roan Bibliografia [] Воднев Владимир, Наумович Адольф и Наумович Нил. Основные математические формулы. Справочник. Минск, Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета БССР, 988, ISBN [] Osiak Zbigniew, nergia w Szzególnej Teorii Względnośi (język olski, ebook, ISBN Osiak Zbigniew, nergy in Seial Relatiity (język angielski. ebook, ISBN [3] Szostek Karol, Szostek Roan, Szzególna Teoria teru (w języku olski. Wydawnitwo Aelia, Rzeszów, Polska, 5, ( ISBN Szostek Karol, Szostek Roan, Seial Theory of ther (w języku angielski. Publishing house AMLIA, Rzeszów, Poland, 5, ( ISBN [4] Szostek Karol, Szostek Roan, jako składowa energii kinetyznej w rawie dla energii kinetyznej, 44 Zjazd izyków Polskih, Uniwersytet Wroławski, Wroław, -5 września