Kompakt Banacha-Mazura

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kompakt Banacha-Mazura"

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Łukasz Kidziński Nr albumu: Kompakt Banacha-Mazura Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem dr hab. Rafała Latały Instytut Matematyki Wrzesień 2008

2 Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora autorów) pracy

3 Streszczenie Wypukłym ciałem środkowo-symetrycznym nazywamy zwarty zbiór wypukły K R n o niepustym wnętrzu taki, { że K = K. Na zbiorze takich ciał wprowadzamy odległość } d BM K, L) = inf b a : ak T L bk, dla pewnego T LRn, R n ), a, b R + zwaną odległością Banacha-Mazura. Funkcja ρk, L) = ln d BM K, L) jest metryką po utożsamieniu ciał dla których d BM K, L) = 1. Zbiór klas abstrakcji tego utożsamienia wraz z opisaną powyżej metryką tworzy przestrzeń zwartą C n, ρ) zwaną kompaktem Banacha-Mazura. W pracy udowodnimy podstawowe własności tej przestrzeni. Dzięki twierdzeniu Johna wsakażemy ograniczenie górne odległości d BM, a twierdzenie Gluskina pozwoli nam wskazać dolne ograniczenie na średnicę C n. Słowa kluczowe odległość Banacha-Mazura, twierdzenie Johna, twierdzenie Gluskina, kompakt Banacha-Mazura 11.1 Matematyka Dziedzina pracy kody wg programu Socrates-Erasmus) Klasyfikacja tematyczna Geometria wypukła i dyskretna Wypukłość Skończenie wymiarowe przestrzenie Banacha AMS: 52A21) Analiza funkcjonalna Unormowane przestrzenie liniowe i przestrzenie Banacha Geometria i struktura unormowanych przestrzeni liniowych AMS: 46B20) Banach-Mazur compactum Tytuł pracy w języku angielskim

4

5 Spis treści Wprowadzenie Odległość Banacha-Mazura Twierdzenie Johna Twierdzenie Gluskina

6

7 Wprowadzenie W niniejszej pracy rozpatrzymy rodzinę C n składającą się ze środkowo-symetrycznych ciał wypukłych w R n tj. zwartych i wypukłych podzbiorów K R n o niepustym wnętrzu takich, że K = K). Utożsamimy ciała liniowo-izomorficzne, a następnie wprowadzimy odległość mierzącą jak bardzo należy zdeformować jedno ciało by otrzymać drugie. Zdefiniujemy ją jako d BM K, L) = inf { b a : ak T L bk, dla pewnego T LRn, R n ), a, b R + }. Pokażemy podstawowe własności opisanej powyżej przestrzeni C n, d BM K, L)) zwanej dalej kompaktem Banacha-Mazura. Każde ciało K indukuję normę x K := inf{t : x tk} i jest kulą jednostkową w tej normie, a zatem wzajemnie jednoznacznie określa ono przestrzeń X K = R n, K ). Odległość Banacha-Mazura dostarcza nam zatem kolejnego sposobu klasyfikacji n-wymiarowych przestrzeni liniowych. W pierwszym rozdziale pracy skupimy się na podstawowych własnościach przestrzeni C n, d BM K, L)). Pokażemy, że odległość Banacha-Mazura spełnia multiplikatywną nierówność trójkąta, a zatem jej logarytm okaże się normą. Na zakończenie udowodnimy, że kompakt Banacha-Mazura jest przestrzenią zwartą. W kolejnych dwóch rozdziałach zaprezentowane zostaną bardziej szczegółowe wyniki badań. Udowodnimy twierdzenie Fritza Johna, niemieckiego matematyka, który w 1948 pokazał, iż odległość pomiędzy dwoma dowolnymi ciałami jest mniejsza niż n. W ostatnim rozdziale pokażemy twierdzenie Efima D. Gluskina, które pozwala asymptotycznie oszacować z dołu średnicę C n. Udowodnimy, że dla każdego n istnieją ciała wypukłe K, L R n, takie, że d BM K, L) cn gdzie c jest uniwersalną stałą niezależną od wymiaru. W dowodzie wykorzystamy metody probabilistyczne - losując ciała specjalnej klasy wykażemy, że zdarzenie d BM K, L) cn ma dodatnie prawdopodobieństwo. 5

8

9 Rozdział 1 Odległość Banacha-Mazura Definicja 1. Zbiór K R n nazywamy ciałem wypukłym jeśli K jest zwarty, wypukły oraz IntK Ø. Mówimy, że K jest środkowo symetryczny jeśli x K x K. Rodzinę środkowo-symetrycznych ciał wypukłych w zbiorze R n będziemy oznaczać symbolem B n. Definicja 2. Mówimy, że ciała K i L B n są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm liniowy T taki, że T K = L. Piszemy wtedy K L. Fakt 3. Relacja jest relacją równoważności. Dowód. 1. K = I n K, gdzie I n oznacza odwzorowanie identycznościowe na R n. 2. T K = L K = T 1 L. 3. T, S LR n, R n ), T K = L oraz SL = M. Wtedy oczywiście ST )K = M, więc ST jest szukanym izomorfizmem. Definicja 4. Odległością Banacha-Mazura, pomiędzy dwoma ciałami nazywamy funkcję d BM : B n B n [1, + ) określoną wzorem d BM K, L) = inf Uwaga 5. Zachodzi d BM K, L) 1. { b a : ak T L bk, dla pewnego T LRn, R n ), a, b R + }. Dowód. Przypuśćmy, że K,L d BM K, L) < 1, wtedy z definicji d BM zachodzi ak bk dla pewnych a, b takich, że b a < 1, zatem K ) b b 2 K K... a) a a ponieważ K jest ograniczone to ) b n K lim K = {0}, a czyli IntK = Ø i otrzymujemy sprzeczność z K B n. Zatem d BM 1. 7

10 Fakt 6. Dla dowolnych ciał K, L B n zachodzi d BM K, L) = 1 K L. Dowód. Jeśli K L, to dla pewnego izomorfizmu T LR n, R n ) zachodzi L T K L, czyli d BM K, L) 1. Mamy jednak d BM 1, więc d BM K, L) = 1. Pozostało pokazać d BM K, L) = 1 K L. Ponieważ d BM K, L) = 1, istnieje ciąg liczb c n [1, 2], takich, że dla pewnych izomorfizmów T n LR n, R n ) K T n L c n K oraz lim n c n = 1. Pokażemy, że ciąg T n ma podciąg zbieżny. Operatory T n LR n, R n ) możemy utożsamić z macierzami n n. Oznaczmy te macierze przez T n. Ciała K i L są ograniczone i mają niepuste wnętrza, więc dla pewnych r, R > 0 i dostatecznie dużych n zachodzi K B 2 0, R) L B 2 0, r) T n e i 2 c n R r 2R r, a w związku z tym wyrazy macierzy T n są ograniczone. Istnieje zatem podciąg zbieżny T nk, a graniczny operator T spełnia nierówność Zatem K = T L, co kończy dowód. K T L K. W ogólności nie jest prawdą, że cały ciąg T n ma granicę. Dla przykładu wystarczy wziąć przestrzeń R 2, kwadrat o środku w punkcie 0, 0) i bokach równoległych do osi oraz operatory T 2n = [ Fakt 7. Dla dowolnych ciał K, L B n zachodzi ], T 2n+1 = [ d BM K, L) = d BM L, K). Dowód. Zauważmy, że dla wszystkich a, b > 0 i T LR n, R n ) mamy ak T L bk T L b a ak b a T L al abt 1 K bl, czyli nierówność z definicji odległości d BM jest spełniona dla operatora abt 1, a w związku z tym zbiory po których bierzemy infimum są sobie równe. ]. Zmierzamy do tego, by pokazać, że d BM metryki: spełnia warunki podobne do tych z definicji 1. d BM L, K) 1 oraz d BM L, K) = 1 K L 2. d BM L, K) = d BM K, L) 8

11 3. d BM L, K) d BM L, M)d BM M, K) Warunki te implikują, że ρk, L) = ln d BM K, L) będzie metryką po utożsamieniu ciał izomorficznych. Zanim to udowodnimy, pokażemy, że d BM faktycznie spełnia warunek 3, zwany czasem multiplikatywną nierównością trójkąta. Fakt 8. Dla dowolnych ciał K, L B n zachodzi d BM L, K) d BM L, M)d BM M, K). Dowód. Niech λ 1 > d BM L, M) i λ 2 > d BM M, K). Wówczas istnieją a 1, a 2, b 1, b 2 takie, że a 1 b 1 < λ 1 i a 2 b 2 < λ 2 oraz izomorfizmy S, T takie, że Zachodzi wtedy czyli a 1 M T L b 1 M oraz a 2 K SM b 2 K. L b 1 T 1 M b 1 b 2 T 1 S 1 K b 1b 2 a 2 T 1 S 1 SM b 1b 2 a 1 a 2 L, L b 1 b 2 ST ) 1 K b 1b 2 a 1 a 2 L. Zatem izomorfizm b 1 b 2 ST ) 1 i stałe a = 1, b = b 1b 2 a 1 a 2, spełniają warunki z definicji d BM, czyli d BM L, K) b 1b 2 a 1 a 2 < λ 1 λ 2. Mamy już funkcję przypominającego metrykę oraz relację równoważności, która dzieli rodzinę B n na klasy abstrakcji w ten sposób, że dimk, L) = 1 K L. Pozostało udowodnić, że odległość pomiędzy różnymi elementami danych klas abstrakcji jest stała. Fakt 9. Dla dowolnych ciał K 1 K 2 i L 1 L 2 zachodzi d BM K 1, L 1 ) = d BM K 2, L 2 ). Dowód. Skorzystamy dwukrotnie z udowodnionej wcześniej multiplikatywnej nierówności trójkąta i faktu, że odległość jest równa 1 dla ciał izomorficznych Analogicznie otrzymujemy co kończy dowód. d BM K 1, L 1 ) d BM K 1, L 2 )d BM L 2, L 1 ) = d BM K 1, L 2 ) d BM K 1, K 2 )d BM K 2, L 2 ) = d BM K 2, L 2 ). d BM K 2, L 2 ) d BM K 1, L 1 ), Powyższe pięć faktów pozwala zdefiniować przestrzeń metryczną. Definicja 10. Niech B n będzie rodziną ciał symetrycznych, a relacją równoważności względem izomorfizmu. Rodzinę klas abstrakcji relacji w zbiorze B n nazywamy kompaktem Banacha- Mazura i oznaczamy C n. 9

12 Twierdzenie 11. Rodzina C n wraz z metryką ρ[k], [L]) = ln d BM K, L), gdzie K, L C n, a [K] oznacza klasę abstrakcji elementu K, jest przestrzenią metryczną. Dowód. Własności metryki bezpośrednio wynikają z faktów udowodnionych powyżej. Zanim przejdziemy do własności kompaktu Banacha-Mazura, wprowadzimy równoważną definicję metryki. Zdefiniujmy najpierw kulę jednostkową. Definicja 12. Kulą jednostkową w przestrzeni X, X ) nazywamy zbiór B X = {x X : x 1}. W szczególności kulę w przestrzeni R n, p ) oznaczamy B n p = {x R n : n x p 1}. Przy czym dla uproszczenia notacji indeks n będziemy czasem pomijać. Zauważmy, że dla dowolnego K C n, biorąc x K = inf{ε : x εk} otrzymujemy normę na R n. Łatwo pokazać, że dla dowolnej normy, kula jednostkowa w przestrzeni R n, ) jest ciałem wypukłym. W związku z tym d BM zadaje również odległość pomiędzy przestrzeniami unormowanymi po utożsamieniu przestrzeni których kule są izomorficzne). Pokażemy równoważną definicję metryki w której nie korzystamy bezpośrednio z pojęcia ciał wypukłych, a operujemy tylko na unormowanych przestrzeniach R n. Skorzystamy z następującego lematu Lemat 13. Niech T : X Y będzie operatorem liniowym. Wówczas zachodzi k=1 T X Y λ T B X λb Y. Dowód. Zacznijmy od implikacji w prawą stronę. T x T x zatem x B X T x T B Y λb Y. W celu udowodnienia drugiej implikacji zauważmy, że jeśli x B X T x λ. Zatem T = sup T x λ. x B X to T x λb Y, czyli Twierdzenie 14. Niech X, X ), Y, Y ) będą n-wymiarowymi unormowanymi przestrzeniami wektorowymi. Przez B X i B Y oznaczmy kule jednostkowe tych przestrzeni. Wtedy { } d BM B X, B Y ) = inf T T 1 : T izomorfizm X Y. Dowód. { Niech: } A = b a : ab Y T B X bb Y, dla pewnego T LR n, R n ), a, b R + B = { T T 1 : T LX, Y ) }. Pokażemy, że zachodzą dwie nierówności. 1 inf A inf B. Weźmy ciąg operatorów T n taki, że lim n T n T n 1 = inf B. Chcemy pokazać, że T n T n 1 10

13 A. Wystarczy by po podstawieniu w definicji zbioru A wartości a = 1 T n 1, b = T n i T = T n spełniony był warunek 1 T n 1 B Y T n B X T n B Y. Z Lematu 13 mamy T n B X T n B Y. W celu udowodnienia lewej nierówności mnożymy obie strony przez T 1 n Tn 1, otrzymując równoważną postać T 1 n B Y T 1 n B X, a następnie ponownie stosujmy Lemat inf B inf A. Dla każdego c A, wykażemy istnienie operatora T c, takiego, że T c LX, Y ) oraz T c T c 1 c. Ponieważ c A, istnieją pewne stałe b a = c oraz operator T c, takie, że ab Y T c B X bb Y. 1.1) Skoro T c B X bb Y to zgodnie z Lematem 13 zachodzi T c b. Podobnie z Tc 1 B Y 1 a B X, otrzymujemy Tc 1 1 a. Zatem T c T c 1 b a = c. W nowej definicji interesują nas tylko normy operatorów. To podejście czasem ułatwia rachunki - będziemy z niego korzystać niejednokrotnie. Przejdźmy teraz do kluczowej własności kompaktu Banacha-Mazura. Nazwa kompakt wzięła się od angielskiego słowa compactum oznaczającego przestrzeń zwartą. Dowód tego, że rozważana przestrzeń rzeczywiście jest zwarta przebiegnie w dwóch krokach. Skorzystamy z następującego twierdzenia Twierdzenie 15. Przestrzeń metryczna X, d) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona tj. dla każdego ε > 0 można ją pokryć skończoną liczbą kul o średnicach mniejszych od ε). Twierdzenie to pozostawiamy bez dowodu. Można go znaleźć w [2]. Lemat 16. Przestrzeń C n, ρ) jest zupełna. Dowód. Niech L n będzie ciągiem Cauchy ego. Wtedy istnieje podciąg n k, taki, że ) 1 2k+2 d BM L nk, L nk+1 ) Zdefiniujmy ciąg L n w następujący sposób: L 0 = L n0 L k = T k L nk, 11

14 gdzie T k jest operatorem spełniającym ) 1 2k L k 1 T k L nk 1 + L k 1. 2) Wtedy L k L nk, czyli rozpatrujemy elementy tej samej klasy. Szukanym ciałem granicznym jest ) 1 2l L = 1 + L k. 2) Zauważmy bowiem, że lim k l=k k=1 l=k ) ) 2l wszystkie czynniki są malejącymi liczbami z przedziału 1, 2). = 1, gdyż iloczyn dla k = 0 jest skończony, a Lemat 17. Przestrzeń C n, ρ) jest całkowicie ograniczona. Dowód. Ustalmy ε > 0. Skorzystamy z twierdzenia Johna udowodnionego w kolejnym rozdziale. Dla dowolnego ciała L C n istnieje taki izomorfizm T, że ciało K = T L spełnia B 2 K nb 2. Niech N ε/2 będzie ε 2 siecią w kuli nb 2. Rozpatrzmy zbiór i niech M K,ε = { x i N ε/2 : dist x i, K) ε } 2 K = conv ±M K,ε ) + ε 2 B ) Zauważmy, że zbiór K jest zwarty, środkowosymetryczny, wypukły jako suma Minkowskiego zbiorów wypukłych) i ma niepuste wnętrze, a zatem K C n. Zachodzi Pokażemy, że K K K K + ε 2 Bn 2 + ε 2 Bn 2 = K + εb 2 K + εk = 1 + ε)k. x K y Nε/2 x y ε 2 Ostatecznie otrzymaliśmy y MK,ε x y ε 2 x M K,ε + ε 2 Bn 2 K. K K 1 + ε) K, czyli d BM K, K) 1 + ε). Tymczasem jest skończenie wiele podzbiorów zbioru N ε/2, a zatem jest tylko skończenie wiele ciał postaci 1.2). Dla η = ln 1 + ε) przestrzeń C n, ρ) jest η-ograniczona, co wobec dowolności ε dowodzi tezy. Twierdzenie 18. Przestrzeń C n, ρ) jest zwarta. 12

15 Dowód. Wynika to z poprzednich dwóch lematów i Twierdzenia 15. Rozdział zakończymy przykładem w którym policzymy odległość pomiędzy dwiema bryłami. Przykład 19. d BM B n 2, B n p ) = n 1/2 1/p Dowód. Skorzystamy z Twierdzenia 14. Za X weźmy przestrzeń R n z normą 2, a za Y przestrzeń R n z normą p. Rozpatrzmy dwa przypadki 1 p 2 Zauważmy, że dla niezależnych zmiennych losowych ε i o rozkładach Pε i = 1) = Pε i = 1) = 1 2, zachodzi Weźmy wektor losowy e = n ε i e i. Zachodzi a zatem mamy również i=1 n n E ε i x i 2 2 = x i ) i=1 i=1 e p = n 1 p, E ε i e i 2 p = n 2 p. 1.4) Rozpatrzmy operator T : lp n l2 n. Korzystając z 1.3) i z definicji normy otrzymujemy Z drugiej strony E ε i T e i 2 2 = T e i 2 2 T 2 e i 2 p T 2 n. 1.5) E ε i T e i 2 2 = E T ε i e i ) ) gdzie 1.6) wynika z liniowości T. W 1.7) korzystamy z tego, że E T 1 2 ε i e i 2 p 1.7) = T 1 2 n 2 p, 1.8) x p = T 1 T x p T 1 T x 2, czyli a równość 1.8) wynika z 1.4). Ostatecznie z 1.5) i 1.8) mamy 1 T 1 x p T x 2, T 2 n T 1 2 n 2 p, czyli T 1 T n 1 p ) 13

16 Do udowodnienia nierówności w drugą stronę za T weźmiemy przekształcenie identycznościowe I n : l p l 2. Mamy x 2 x p I n 1. Z kolei z nierówności Höldera otrzymujemy x p p = xi p 1) xi p ) 2/p) p/2 1 ) 1 p 2 = x p/2 2 n 1 p 2. Zatem czyli x p n 1 p 1 2 x 2, I 1 n n 1 p p > 2 Zauważmy, że skoro S : l2 n ln p, to S : lq n l2 n, gdzie q spełnia 1 p + 1 q q 2 i korzystając z 1.9) mamy = 1. Wtedy oczywiście S S 1 = S ) 1 S n 1 q 1 2 = n p. Analogicznie dowodzimy, że identyczność I n : l n 2 ln p spełnia I 1 I n p. 14

17 Rozdział 2 Twierdzenie Johna W tym paragrafie pokażemy, że dla dowolnych ciał K, L C n zachodzi d BM K, L) n. Zacznijmy od wprowadzenia oznaczeń Definicja 20. Elipsoidą w przestrzeni R n nazywamy zbiór postaci D = {x : T x, x 1 dla pewnego przekształcenia liniowego T }. Można wykazać, że dla każdej elipsy D istnieje przekształcenie ortogonalne S takie, że SD ma następującą postać { } SD = x R n : x2 1 a 2 + x2 2 1 a x2 n 2 a 2 n 1, dla pewnych a i R. 2.1) Będziemy również korzystać z pojęcia objętości. Wykorzystamy n-wymiarową miarę Lebesgue a. Nie jest jednak ważne jak unormujemy miarę - istotny będzie jedynie stosunek objętości, dlatego wygodnie będzie nam przyjąć, że kula jednostkowa ma miarę równą 1. Definicja 21. Objętością ciała K C n nazywamy liczbę volk) = 1 λ nb n) λ nk), gdzie λ n to n-wymiarowa miara Lebesgue a. Uwaga 22. Niech D R n będzie elipsoidą postaci 2.1). Wtedy, korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych otrzymujemy λ n D) = a 1 a 2...a n. W dowodzie twierdzenia Johna skorzystamy z następującego lematu Lemat 23. Niech d > n i K = conv B n, ±d, 0, 0,..., 0)). Wtedy jeśli a > d i zachodzi warunek a 2 d ) d 2 b 2 1, to elipsoida jest podzbiorem K. E = { x R n : x2 n 1 a 2 + x 2 } i b 2 1 Dowód. Pokażemy, że brzeg zbioru E jest zawarty w zbiorze K. Z wypukłości E i K będzie zachodzić E K. Bez straty ogólności przyjmijmy, że x bde to punkt spełniający x i 0, dla i = 1, 2,..., n. Rozpatrzmy dowolny dwuwymiarowy przekrój przechodzący przez punkty 0 = 0, 0,...0), p = i=2 15

18 d, 0,..., 0). Dla ustalenia uwagi przejdźmy do współrzędnych dwuwymiarowych. Niech b będzie takim punktem o dodatnich wspórzędnych, że styczna do B n poprowadzona przez ten punkt przecina oś X w p zgodnie z rysunkiem). Przedłużmy prostą łączącą p z b, tak by przecinała oś pionową. Policzmy współrzędne punktu przecięcia na rzucie. Z przystawania trójkątów o wierzchołkach 0, b, p i b, c, 0, gdzie c to szukany punkt przecięcia wynika, że c = 0, ) d. d 2 1 Wystarczy pokazać, że brzeg elipsy leżący w pierwszej ćwiartce jest zawarty w trójkącie o wierzchołkach c, 0, p. Weźmy takie przekształcenie liniowe, by obrazem odcinka [c, p] był odcinek łączący punkty 0, 1) i 1, 0). Niech T x 1, x 2 ) = x 1 d, x 2 d d 2 1 Przy tym przekształceniu obrazem przekroju elipsy E jest { } E = x R 2 : x2 1 d2 a 2 + x2 2 d 2 b 2 1 d 2 1) { = x R 2 : x2 1 d2 a 2 + x2 2 d 2 } b 2 d Brzeg otrzymanej elipsy możemy sparametryzować w następujący sposób: x 1 = a d cos t, x 2 = b d 2 1 sin t. 2.2) d Ponieważ wciąż rozpatrujemy punkt o dodatnich współrzędnych, wystarczy już tylko pokazać, że x 1 + x 2 1. Rozpatrzmy dwie liczby zespolone. z 1 = a d + ib d 2 1, z 2 = cos t i sin t. 2.3) d 16

19 zauważmy, że z 2 = 1 i zgodnie z warunkiem z twierdzenia mamy z 1 1. Zatem z 1 z 2 1 oraz Rez 1 z 2 ) 1. Mamy więc Rez 1 z 2 ) = a d cos t + b d 2 1 d sin t 1, czyli x 1 + x 2 1. Lemat 24 o istnieniu elipsoidy o największej objętości). Niech K C n. Wówczas w K można wpisać elipsoidę D o największej objętości. Dowód. Niech M = {T M n n : T B 2 K}. Zbiór M jest domkniętą i ograniczoną podprzestrzenią R n2. M jest zatem zbiorem zwartym. Weźmy funkcję T det T. Ponieważ jest ona ciągła i określona na zbiorze zwartym, to osiąga maksimum w pewnym T 0 M. Szukaną elipsoidą jest zbiór T 0 B 2. W niektórych zastosowaniach przydatna może okazać się jednoznaczność maksymalnej elipsoidy. Prawdziwa jest następująca Uwaga 25. Dla każdego ciała K C n istnieje dokładnie jedna elipsoida o największej objętości. W dowodzie twierdzenia Johna jednoznaczność nie będzie nam potrzebna, dlatego dowód powyższej uwagi pomijamy. Można go znaleźć w [4]. Twierdzenie 26 Fritz John). Niech K C n, a zbiór D będzie elipsoidą o największej objętości, wpisaną w K. Zachodzi wtedy D K nd. Dowód. Niech D K, X = R n, ) i Y = R n, D ) będą przestrzeniami z normami indukowanymi odpowiednio przez zbiory K i D, tzn. x = inf{t > 0 : x tk}. Ponieważ D jest wpisany w zbiór K, to x x D. Chcemy pokazać, że K nd. Bez straty ogólności możemy założyć, że D ma postać 2.1). Izomorfizm x 1,..., x n ) 1 a 1 x 1,..., 1 a n x n ) przekształca D na euklidesową kulę jednostkową. Możemy zatem zakładać, że n D = {x R n : x 2 i 1}, a wtedy D indukuje normę euklidesową. Przypuśćmy, że K nd. Wtedy istnieje p K taki, że p 2 > n. Ponieważ D K i zbiór K jest wypukły to L = convd {±p}) K. Pokażemy, że w zbiorze L a zatem także w zbiorze K) zawarta jest elipsoida o większej objętości niż D. Znów bez straty ogólności możemy założyć, że p = d, 0, 0,..., 0), gdzie d > n - wystarczy wziąć odpowiednie przekształcenie liniowe. i=1 17

20 Drogą do znalezienia elipsoidy o większej objętości będzie rozszerzenie kuli D wzdłuż pierwszej osi, odpowiednio zmniejszając pozostałe współrzędne. Zgodnie z Uwagą 22, ma objętość a b n 1. Zauważmy, że para E = {x R n : x2 1 a 2 + n a = d n, b = i=2 x 2 i b 2 1} 1 1/n 1 1/d 2 spełnia założenia Lematu 23, zatem E L. Pozostało pokazać, że vole) > vold). W tym celu udowodnimy, nierówność a b n 1 > 1. Niech d 2 = cn, gdzie c > 1. Zachodzi wtedy b 2 = 1 1/n 1 1/cn = cn c cn 1 = 1 c 1 cn 1. Ponieważ c jest ostro większe od 1, to na podstawie ostrej nierówności Bernoulliego b 2) n 1 = 1 c 1 ) n 1 > 1 c 1 c 1 n 1) > 1 cn 1 cn 1 cn 1) n 1) = 1 c = 1 a 2. Po pomnożeniu obu stron przez a 2 i wzięciu pierwiastka otrzymujemy szukaną nierówność. Zatem vole) > vold), a w związku z tym założenie L nd prowadzi do sprzeczności z maksymalnością D. 18

21 Rozdział 3 Twierdzenie Gluskina Zajmiemy się teraz dolnym ograniczeniem na średnicę kompaktu Banacha-Mazura. W 1981 roku Efim D. Gluskin [3] pokazał, że diam C n cn, gdzie c > 0 jest pewną uniwersalną stałą, niezależną od wymiaru przestrzeni. Udowodnimy następujące Twierdzenie 27. Istnieje stała c > 0 taka, że dla każdaj liczby naturalnej n istnieją ciała wypukłe K, L C n takie, że d BM K, L) > cn. Wprowadzimy specjalną klasę n-wymiarowych ciał wypukłych. Rozpatrzymy takie, które mają co najwyżej 2n + 2m wierzchołków z których 2n to wersory i ich odbicia względem 0, a pozostałe 2m to symetryczne pary punktów losowo wybranych ze sfery euklidesowej. Na zbiorze tych ciał wprowadzimy miarę probabilistyczną - będzie to po prostu produkt m unormowanych miar na sferze wybór m punktów sfery zadaje ciało powyższej klasy). W dowodzie pokażemy, że zbiór par ciał których odległość jest większa od cn ma dodatnią miarę. Zacznijmy od ustalenia oznaczeń: M n n - grupa odwracalnych macierzy n n o współczynnikach rzeczywistych. λ ) - znormalizowana miara Haara podzbiorów sfery S n 1 niezmiennicza ze względu na grupę obrotów) vol ) - miara Lebesgue a przestrzeni R n Zbiór z którego będziemy losować opisane powyżej przestrzenie zdefiniujemy jako A m := S m n 1, gdzie S n 1 to sfera w R n. Produktową miarę probabilistyczną na A m oznaczymy przez λ m) ). Dla każdego elementu f j ) m i=1 A m określamy jednoznacznie przestrzeń Banacha E, której kula B E jest kombinacją wypukłą wektorów jednostkowych i współrzędnych A m, tzn. B E := conv {±e i, ±f j : i = 1,..., n; j = 1,..., m}. Zauważmy, że dla zbioru B należącego do σ-ciała borelowskich podzbiorów sfery n wymiarowej, miara λb) jest równoważna mierze wycinków kuli zdefiniowanej jako µb) := vol{tx : t 0,1) x B}) vols n 1 ). Wynika to z jednoznaczności miary Haara obie miary są niezmiennicze ze względu na obroty i unormowane - są zatem tożsame). W dowodzie twierdzenia skorzystamy z dwóch lematów. Pierwszy z nich Lemat 32) udowodnimy w kilku krokach - wykorzystamy następujący fakt, pomocny w liczeniu objętości dowolnej kuli w R n. 19

22 Fakt 28. Niech będzie normą na przestrzeni R n, B kulą w tej normie, a B 2 i S 2 odpowiednio jednostkową euklidesową kulą i sferą. Zachodzi wtedy volb) volb 2 ) = S 2 1 x n dx. Dowód. Niech rθ) oznacza promień kuli B w kierunku θ S 2. Zauważmy, że volb = 1 B x)dx = R n = S n 1 0 = volb 2 0 S n 1 1 B sθ)s n 1 dθds 3.1) 1 B sθ)nvolb 2 )s n 1 dsdλθ) 3.2) S n 1 rθ) 0 ns n 1 dsdλθ) = volb 2 S n 1 rθ) n dλθ), gdzie dθ w 3.1) oznacza miarę powierzchniową na sferze jednostkowej. Równość 3.2) wynika z unormowania miary dθ względem miary Lebesgue a. Cała sfera jednostkowa ma bowiem miarę nvolb 2 aby to udowodnić wystarczy za B wziąć B 2 i skorzystać z 3.1)). Zauważmy, że rθ) = 1 θ. Dzieląc obie strony równości przez volb 2 otrzymujemy tezę. Drugim potrzebnym faktem jest nierówność Cheveta, która pozwala nam oszacować wartość oczekiwaną kwadratu normy losowej macierzy gaussowskiej. Fakt 29 Nierówność Cheveta). Niech G = g ij ) 1 i,j n będzie macierzą losową, której wyrazy są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N 0, 1). Przez op oznaczmy normę operatorową w Ll2 n, ln 2 ). Istnieje stała c niezależna od n, taka, że Ω [g ij ω)] 2 op dµω)) 1/2 c n. Dowód. Z definicji normy i z faktu, że x 2 = sup{ x i y i : y 2 i Zauważmy, że Gx, y = G op = sup { Gx 2 : x 2 1} { = sup Gx, y : x 2 i 1, } yj 2 1. i,j n g ij x i y j ma rozkład N 0, i,j n x 2 i y2 j ). 1} mamy Oszacujemy P G op > t). W tym celu weźmy zbiór M będący maksymalnym podzbiorem B 2, takim, że elementy M są oddalone od siebie o co najmniej 1 2 w normie 2. Zbiór ten tworzy 1 2 -sieć. Rozpatrzmy kule euklidesowe o promieniach 1 4 i o środkach w punktach ze zbioru M. Zachodzi x + 1 ) 4 B ) B 2. 4 x M Ponieważ kule są rozłączne mamy ) 1 n ) 5 n M volb 2 volb 2,

23 czyli M 5 n. Zachodzi również sup x,y B n 2 Gx, y 2 sup Gx, y 4 sup Gx, y. 3.3) x B2 n,y M x,y M Do udowodnienia pierwszej równości w 3.3) weźmy y = y 0 M taki, że y y Wtedy czyli Gx Gx 2 Gx 2 = Gx, y = Gx, y 0 + Gx, y y 0 Gx, y 0 + Gx 2 y y 0 2 Gx, y Gx, y, 2 Gx, y 2 Gx, y 0. wybijający supremum oraz Drugą nierówność w 3.3) dowodzimy analogicznie. W rezultacie otrzymujemy ) ) P sup Gx, y t x,y B2 n P sup x,y M x,y M x,y M P 25 n exp Gx, y t 4 Gx, y t ) 4 ) 2 /2) exp t 4 ) t2 32 Mając powyższe oszacowanie możemy już łatwo uzyskać tezę lematu. Zachodzi bowiem E G 2 op = 2 tp G op t) dt 2 0 c n 0 tdt + c n ) 25 n exp t2 dt. 32 Drugą całkę szacujemy podstawiając t = sc n, wtedy dla dostatecznie dużych c zachodzi ) 25 n exp t2 dt = exp n ln 25 nc2 s 2 ) ds c n 1 = c n 1 exp ln 25 c2 s 2 )) n ds 32 = c n25 n exp nc2 s 2 ) ds 32 1 c ) ) n25 n exp s nc2 ds = c n25 exp nc2 n nc c n 1/2 25 n ) ) = D, exp c exp c c

24 gdzie D nie zależy od n. Zachodzi wtedy E G 2 op c 2 n + D c n. Fakt 30. Niech G = [g ij ] 1 i,j n będzie macierzą losową, gdzie g ij są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N 0, 1). Zachodzi wtedy ) 1/2 x 2 opdλx) = 1 1/2 [g ij ω)] 2 S n opdµω)), 3.4) Ω Dowód. Zauważmy, że jeśli g 1,..., g m, są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie N 0, 1) to dla wektora g = g 1,..., g m ) mamy g = g g 2, g 2 g gdzie g 2 i g 2 są niezależne. Ponieważ rozkład g 2 jest miarą na sferze S m 1 niezmienniczą g na obroty, to z jednoznaczności miary Haara g 2 λ m. Dla dowolnej normy na R m mamy zatem E g 2 g ) 2 = E g 2 g 2 2 = E g 2 E g 2 g 2 2 = x 2 dλx) m S m 1 Po podzieleniu przez m, podstawieniu m = n 2 i wzięciu pierwiastka kwadratowego otrzymujemy tezę. Dzięki powyższym faktom jesteśmy gotowi do udowodnienia pierwszego z dwóch lematów Lemat 31. Niech op i HS oznaczają normy na przestrzeni R n2 = M n n indukowane przez normę operatorową Ll2 n, ln 2 ) i normę Hilberta-Schmidta tj. dla A M n n mamy A 2 = i I Ae i 2) 1/2 ). Niech Uop i U HS oznaczają odpowiednio kule jednostkowe w tych normach. Zachodzi wtedy vol U op cn) n2 /2, vol U HS gdzie c jest pewną stałą niezależną od wymiaru. Dowód. Zauważmy, że U HS jest po prostu kulą euklidesową w przestrzeni R n2. Korzystając z Faktu 28 otrzymujemy vol U op = x n2 op dλx), vol U HS bd U HS gdzie λ = λ n 2 1 jest miarą Haara na brzegu U HS, czyli na sferze jednostkowej S n 2 1. Oznaczmy tę sferę przez S. Nierówność Höldera daje nam ) 1/2 ) 1/2 1 = 1dλx) x 2 opdλx) x 2 op dλx) S S S x 2 opdλx) g S ) 1/2 S ) 1/n 2 x n2 op dλx). 22

25 Zatem Korzystając z Faktu 30 mamy S ) vol U n 2 op x 2 /2 vol U opdλx). 3.5) HS S ) 1/2 x 2 opdλx) = 1 1/2 [g ij ω)] 2 n opdµω)), 3.6) Ω gdzie {g ij } są niezależnymi zmiennymi o standardowym rozkładzie Gaussa na przestrzeni probabilistycznej Ω, µ). Z nierówności Cheveta otrzymujemy [g ij ω)] 2 opµω) cn, Ω gdzie c jest stałą niezależną od n. To oszacowanie wraz z 3.5) i 3.6) daje tezę ze stałą c 1 ) ) vol U op 1 n 2 vol U HS n 2 [g ij ω)] 2 /2 ) 1 n 2 /2 n opdµω) Ω n 2 cn = c n) 1 2 /2. Lemat 32. Niech α = 6 e3 π )1/2. Dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych m, jeśli T LR n, R n ) ma wyznacznik 1 i jeśli B A m, to dla każdego 0 < ρ < 1 zachodzi } n 3/2 λ {A m) A m : T : E A E B ρ αm + n) gdzie λ m) oznacza produkt m miar Haara na S n 1 ) m = A m. ρ nm, Dowód. Niech B = {y i } będzie wektorem z A m, a B odpowiadającym mu ciałem wypukłym B = conv{±e i, ±y j : i = 1,..., n; j = 1,..., m}. Ustalmy T LR n, R n ) taki, że dett = 1 oraz 0 < ρ < 1. Zauważmy, że jeśli dla A = {f j } A m mamy n 3/2 T : E A E B ρ αm + n) dla pewnego α > 0, to każdy f j musi być zawarty w zbiorze { n 3/2 x S n 1 : T x EB ρ αm + n) Zatem λ {A m) n 3/2 } { n 3/2 }) m A m : T : E A E B ρ λ x S n 1 : T x EB ρ. αm + n) αm + n) 3.7) Ustalmy r = ρn 3/2 /αm + n). Wtedy { λ n 3/2 x S n 1 : T x EB ρ αm + n) } }. = λ{x S n 1 : x rt 1 B)} = λrt 1 B) S n 1 ). 23

26 Niech B 2 oznacza kulę jednostkową w l2 n i niech W Rn będzie zbiorem wypukłym takim, że 0 W. Niech { } x W 1 = x B 2 : W. x 2 Wtedy W 1 W, bo Zachodzi więc a z tego wynika, że x x W x = x x 2 )0 W. x 2 x 2 λw S n 1 ) = volw 1 volb 2 volw volb 2, Szacując ostatnią wielkość przypomnijmy, że volb 2 = również volrt 1 B)) = r n vol B. Zachodzi λrt 1 B) S n 1 ) volrt 1 B)) volb ) B conv{0, x 1,..., x n }, πn/2 Γn/2+1). Ponieważ dett = 1, mamy gdzie sumowanie przebiaga wszystkie wybory n punktów x i ze zbioru {±e i, ±g j }. Mamy zatem nierówność vol B volconv0, x 1,..., x n )) Zauważmy, że objętość sympleksu conv0, x 1,..., x n ) jest równa volconv0, e 1,..., e n ))det[x 1...x n )]. Skorzystamy z nierówności Hadamarda [5, s ]. Ponieważ x i S n 1 dla i = 1,..., n zachodzi n n ) 1/2 det[x 1,..., x n )] x i k) 2 1. Zatem i=1 Nierówność 3.9) wynika z oszacowania k! Mamy bowiem 1 k! ) e k k oraz n) k n k k! n e k W tym celu udowodnimy, że k=1 vol B) volconv0, x 1,..., x n )) ) 2m + n) volconv0, e 1,..., e n )) n ) 2m + n) 1 n n! 2e 2 m + n ) n n ) k e Γn/2 + 1) ) k będącego wnioskiem ze wzoru Stirlinga. ) k. Na koniec oszacujmy jeszcze wartość 1 volb 2. ) 3n n/2. 2e Łatwo sprawdzić, że nierówność jest spełniona dla n 2, a dalej korzystamy z indukcji zwiększając n o 2. Mamy wtedy ) ) ) n + 2 n n Γ Γ ) ) n 3n n/ e 24 ) ) 3n + 2) 3n + 2) n/2. 2e 2e

27 Zatem 1 Γn/2 + 1) = volb 2 π n/2 3n)n/2 2πe) n/2 Pozostało wstawić otrzymane oszacowania do 3.8) by uzyskać λrt 1 B) n vol B S n 1 ) r volb 2 ) 6e 3 1/2 n rm + n) π n 3/2 = ρ n. Wstawiając tę nierówność do 3.7) otrzymujemy tezę. W następnym lemacie wyznaczymy ε-sieć w pewnej klasie operatorów. Z definicji wynika, że w każdej z rozpatrywanych przez nas przestrzeni E A, dla A A n, kula jednostkowa zawiera wektory {e i }. Dlatego każdy operator T, taki, że T e i EB > n dla pewnego i spełnia również T : E A E B > n, dla wszystkich A A m. W związku z tym operatory te będą spełniały żądaną nierówność a priori. Dla zbioru pozostałych operatorów mamy następujący lemat Lemat 33. Istnieje stała a > 1 taka, że jeśli B A m i jeśli M B = { T LR n, R n ) : det T = 1 i T e i EB n dla i = 1,..., n }, to dla wszystkich ε > 0 istnieje ε-sieć NB ε zbioru M B w normie operatorów Ll2 n, ln 2 ), taka, że NB ε M B i card N B a m + n mε Dowód. Ustalmy B A m i niech B będzie ciałem wypukłym zadanym przez B tj. uwypukleniem punktów z ±B i ±e i ). Utożsamiamy LR n, R n ) z M n n biorąc izomorfizm: T T e i ) R n dla T LR n, R n ). W szczególności utożsamiamy M B z podzbiorem M B zbioru M n n, tj. definiujemy M B = { A M n n : deta = 1 oraz Ae i n B } dla wszystkich i = 1,..., n. Niech op będzie normą na M n n indukowaną przez normę operatorową na Ll n 2, ln 2 ) i niech U op M n n będzie odpowiednią kulą jednostkową. Niech ε > 0 i niech N ε B będzie maksymalnym zbiorem elementów M B takich, że poszczególne punkty są od siebie odległe o ε w normie op. Zbiór ten jest ε-siecią elementów, bo gdyby istniał element odseparowany od pozostałych o ε to otrzymalibyśmy sprzeczność z maksymalnością M B. Dla ξ N ε B kule ξ + ε/2)u op, są rozłączne. Zauważmy też, że ) n 2 T e i EB T e i l n 1 n T e i l n 2 n T : l n 2 l n 2. Wobec tego U op M B, a zatem kule ξ + ε/2)u op są zawarte w 1 + ε 2 )M B. Ponieważ rozpatrywane przestrzenie są izometryczne to odpowiedni zbiór NB ε też tworzy ε-sieć w M B. Liczbę K = card NB ε elementów otrzymanej ε-sieci oszacujemy porównując 25.

28 objętości zbioru M B oraz K kulek zawartych w M B. ε n 2 K vol U op = vol 2) ξ N ε B ξ + ε 2 U op) vol 1 + ε ) ) M B ε ) n 2 vol M B 2 Dzieląc obie strony przez ε 2) n 2 vol Uop otrzymujemy nierówność K ) n 2 vol M B. ε vol U op Pozostało znaleźć górne ograniczenie dla vol M B i dolne ograniczenie dla vol U op. Zauważmy, że M B { A M n n : Ae i n) B } dla wszystkich i = 1,..., n = [ n B] n M n n. Korzystając z 3.9) powyższa nierówność daje nam następujące ograniczenie vol M B [ vol n B ] n 2e 2 m + n ) n 2 n 3/2. Drugie ograniczenie wynika bezpośrednio z Lematu 31. Zachodzi card N B = K ) n ) ε 2e 2 m+n n2 n 3/2 cn) n2 /2 π n2 /2 a m + n εn Γn 2 /2+1) ) n 2 Jesteśmy wreszcie gotowi, by udowodnić twierdzenie Gluskina. Dowód Twierdzenia 27. Niech m = 2n i niech α, a będą stałymi z Lematu 32 i 33 odpowiednio. Ustalmy ρ < 1 18aα. Zauważmy, że dla każdego ε > 0 zachodzi ρ 3εα > 2 3aρ2, ε możemy zatem tak dobrać ε > 0 by zachodziło Ustalmy B A 2n i rozważmy zbiór ρ 3εα > 1 oraz 1 2 > 3aρ2 /ε. { ) ρ n B = A A 2n : T : E A E B < 3α ε } dla pewnego T LR n, R n ) o wyznaczniku 1. 26

29 ) Chcemy pokazać, że λ 2n B ) 3aρ 2 ε < 1 2 )n2. Będzie to w szczególności oznaczało, że dopełnienie zbioru B ma miarę dodatnią. Wtedy istnieje taka przestrzeń B, że dla wszystkich przekształceń T : E A E B o wyznaczniku 1 zachodzi T ρ 3α ε) n. Niech NB ε = {T }K k=1 będzie ε-siecią o mocy K 3a ε )n2 skonstruowaną w Lemacie 33. Niech A B i niech T LR n, R n ) o wyznaczniku równym 1 spełnia T : E A E B < ρ 3α ε) n. Zauważmy, że ρ 3α ε < ρ 3α < 9aαρ < 1 zatem T M B. Niech T k NB ε spełnia T T k) : l2 n ln 2 ε. Dla każdego operatora S LR n, R n ) zachodzi S : E A E B n S : l2 n ln 2, więc korzystając z nierówności trójkąta dla operatora T k otrzymujemy nierówność ) ρ n. T k : E A E B T : E A E B + T T k ) : E A E B 3α Zachodzi zatem B K k=1 { ) } ρ n A A 2n : T k : E A E B <. 3α Zgodnie z Lematem 32 mamy λ 2n) B ) K λ 2n) { A A 2n : T k : E A E B < ρ/3α) n } k=1 K k=1 3a ρ 2n2 ε ) n 2 ρ 2n2 = 3aρ 2 ε ) n 2 1 n 2 <. 3.10) 2) Rozważmy ostatecznie zbiór G A 2n A 2n zdefiniowany w następujący sposób { G = A, B) A 2n A 2n : T : E A E B < ) ) ρ n T : E B E A < 3α ε } o wyznaczniku równym 1. Z twierdzenia Fubiniego i 3.10) mamy λ 2n) λ 2n)) 1 n 2 G) < ) ρ 3α ε ) n ) lub dla pewnego T LR n, R n ) W związku z tym dopełnienie G jest dodatniej miary. Niech A, B) G. Z definicji zbioru G mamy T : E A E B ρ 3α ε) n oraz T : E B E A ρ 3α ε) n dla wszystkich operatorów T o wyznaczniku równym 1. Zatem d BM E A, E B ) cn, dla c = ρ 3α ε)2. 27

30

31 Bibliografia [1] Keith M. Ball, An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry, Cambridge University Press 1997, [2] Stanisław Betley, Józef Chaber, Elzbieta Pol i Roman Pol, Topologia I, betley/wyklad1/skrypt.pdf. [3] Efim D. Gluskin, The diameter of the Minkowski compactum is roughly equal to n., Functional Anal. Appl., ), [4] Ralph Howard, The John ellipsoid theorem, howard/notes/john.pdf. [5] Andrzej Mostowski, Marceli Stark, Elementy algebry wyższej, Wydawnictwo Naukowe PWN [6] Walter Rudin, Analiza funkcjonalna, Wydawnictwo Naukowe PWN [7] Nicole Tomczak-Jaegermann, Banach-Mazur distances and finite-dimensional operator ideals, Longman

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka

Liga zadaniowa Seria I, 2014/2015, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Seria I, 04/05, Piotr Nayar, Marta Strzelecka Pytania dotyczące zadań prosimy kierować do Piotra Nayara na adres: nayar@mimuw.edu.pl. Rozwiązania można przesyłać Marcie Strzeleckiej na adres martast@mimuw.edu.pl,

Bardziej szczegółowo

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.

7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. 7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Zastosowania twierdzeń o punktach stałych

Zastosowania twierdzeń o punktach stałych 16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2

Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na

Bardziej szczegółowo

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym

Bardziej szczegółowo

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych

W poszukiwaniu kszta ltów kulistych W poszukiwaniu kszta ltów kulistych Piotr Mankiewicz April 4, 2005 Konwersatorium dla doktorantów Notacje 1 Cia lo wypuk le - wypuk ly, domkniȩty podzbiór ograniczony w R n. Odleg lość geometryczna dwóch

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo