Ω = n i wszystkie zdarzenia elementarne s jednakowo moliwe, wtedy przyjmujemy prawdopodobiestwo (albo funkcje prawdopodobiestwa) wzorem:

Transkrypt

1 ojm wotym w to wdoodostw jst zdz lmt. Odwołmy s do tuj dz to jd z molwy wyów wgo dowdz, l t wy wgo omu zyzgo, wy gy losowj, gl losowgo wyou z zdzm losowym mmy do zy, gdy wy dzł jst oloy jdozz. Zó wszyst molwy wyów zdz lmty ozzmy Ω. zyłdy: Dowdz olg zu mot Ω O, R}, Dowdz olg zu ost Ω,,,,5,6}, logz j, tylo, mmy wyow ost, gdz zmst 6 jst dug 5. Ω,,,,5}. Rozwmy zó Ω usty sozoy. W tym zydu dowoly odzó Ω zywmy zdzm losowym. W szzgólo: φ jst zdzm losowym zdz molw Ω jst zdzm losowym zdz w } dowol zdz lmt zywmy zdzm losowym. D. wdoodostwm zywmy uj olo o wto ly do,, słj sjomty: Ω o l φ zdz s wyluzj zyd I Ω jst sozoy, usty. Szs uzys dgo wyu z zou Ω jst t sm. Ω wszyst zdz lmt s jdowo molw, wtdy zyjmujmy wdoodostwo lo uj wdoodostw wzom: Ω Swdzmy, t olo uj sł sjomty Ω Ω Ω Rozwmy Ω Ω t, Φ. Z w sumy Ω Ω Ω Ω Os tu sytuj m zstosow w zyłd. Roztzmy zyłd : Dj lsyz m zstosow zyd II Ω jst sozoy, usty, l szs uzys oszzgóly wyów dowdz s ów. zyłd : Rzumy mot t długo, uzysmy oł. Ω O, RO, RRO, RRRO}. Ω jst sozo, zlzl } } }

2 Zuwmy, : Olzy wdoodostwo, wyomy ojwyj 5 zutów: Ω,,,, } Olzy wdoodostwo, wyoujmy zyst lo zutów Ω,,,, } 6 8 zyłd 5: Gow z omo omut lzy z zdzłu,. Zdzm lmtym jst dowol lz z od,. Ω jst zom sozoym zlzlym. zyłd t ly do mtmty dystj. zyłd 6: Dw osoy umówły s mdzy,. Osoy zyodz zl od s losowo. Zdzm lmtym jst lz godz z zdzłu,. D. Jl Ω jst zom zlzlym sozoym lu ówolzym z zom lz tuly, l złdmy, wszyst zdz mj jdow szs to olmy g lzowy o stujy włso:,. dujmy dl dowolgo Ω : : Uwg : Zuwmy, Ω d zyłd 5: Ω,,,,,, C. N tym zyłdz Ω jst sozoym odzom ostj wdoodostwo Ω olmy:, gdz - długo od wdoodostwo gomtyz Ω d zyłd 6: Czmy utous. Zstwmy s, j jst szs, zs ozw zozy mut. Wym szgo dowdz jst zs: t,, Ω, - sozoy, zlzly, ogzoy. Jst tuyj js, utous w omly wu ojw s z l mut. W zwstw do ozdgo zyłdu m owodu zyuszz, wdoodostwo jst ozłoo jdostj. N m j molwo zd szsy j d sttystyz. Dw ostt modl dotyz tzw. wdoodostw tyu głgo. odsumowuj sz ozw wszyst tyów Ω : D. Kołmogoow Ω jst zom dowolym, ustym. δ-łm zywmy odz odzoów Ωϑ słjy wu: I φ ϑ II ϑ to Ω\ ϑ

3 III,,, zyłd : Ω - dowol ust I ϑ Ω,φ} II φ Ω ϑ, Ω φ ϑ ϑ to Ω ϑ ϑ III zyłd : Ω,, ϑ φ, Ω,,/, /, }. zyłd : Rodz wszyst odzoów Ω. W to wdoodostw lmty δ-ł zywmy zdzm losowym. W szzgólo zdzm losowym s wszyst odzoy Ω. D. wdoodostwm zywmy uj : ϑ, słj stuj wu Ω o l φ, gdy j j Lz dl ϑ zywmy wdoodostwm zdz. Twdz włso wdoodostw Jl Ω - dowoly usty zó, ϑ- zstz olstyz, δ-ło, - wdoodostwo, to: w φ w, ϑ φ dl j w w w5, j sozo ddytywo -, ϑ -- to mootozo w6 w7 ϑ Dowody: w8 lm g wstujy ϑ lm g zstujy w φ φ φ φ, z sjomtu : φ φ φ φ φ z dj wdoodostw:. Ztm φ w w Olmy φ, φ Ogól dl : φ. Wtdy Otzymujmy:, ' Ω ' φ z w mmy: ' '

4 w w5 z dugj stoy: ' Ω oówuj otzymujmy: ', zyl ', ϑ \ \ φ Z d. δ-ł \ ϑ Z w: \\ std: \ - \ - z d. wdoodostw \ zyl -, std: w6 Olmy, td. Ogól: Zuwmy, : * φ, gdy j ** j *** z w5. z ** * *** w7 Jl, to lm Ozzmy,, td. Ogól: Zuwmy, : j φ dl j,, lm lm w w8 Ozzmy zz - g zstujy lm, ozzm zz ' Ω \ z włso zoów mmy, : ' ' ' ' ' w lm Ztm g doł jst gm wstujym. Do tgo gu zstosujmy w7 ' lm '. Z jdj stoy: ', zyl lm ' lm lm zuwmy, z zło z w5 g wdoodostw gdz,.. jst gm mootozym ogzoym, ztm zym, o ozz, owysz g stj Z dugj stoy z w d Mog: ' ' w ' ' ' oówuj dw wlo otzymujmy: lm ', zyl tz.

5 wdoodostwo wuow: wdoodostwo dowolgo zdz mo s zm, gdy uzysmy dodtow omj. zy zu wdłow ost do gy: Ω,,,,5,6}, Ω gdz wyzu 6, /6, l gdy wmy, wydł lz zyst: Ω Ω,,6} gdz -zó wyzzoy zz dodtow omj. Ztm wdoodostw zj zdz od wum wys /. T t zsujmy: lu. D. zy złou, > olmy wdoodostwo wuow w stujy sosó: Uwg : Ozyw wdoodostwo lzow lzo jst wg tgo wzou. Ω Uwg : Ω, C C C Uwg : C φ, C d* C C ddytywo d*: zuwmy, C C z zło Cφ: C C C φ φ Mo to uogól sum zlzl zdz: N moy uwg momy uw wdoodostwo wuow jo uj wdoodostw zstz zdz lmty Uwg : wdoodostwo wuow momy uw jo zwył wdoodostwo, l j zstz zmjszoj. zyłd: Rzumy dwm ostm: zlo zwo. Ozzmy zz zdz, lz oz ost zloj jst mjsz od oz zz C lz oz ost zwoj jst mjsz ów. Zdz lmt jst os zz uozdow lz, zy tm os wszyst zdz lmt mj t sm szs momy stosow d. lsyz Ω, l :, l,6}}, Ω 6. Olzmy: /6, C/, C/6. W tym zyłdz C. Ozz to, zj zdz C wływ wdoodostwo zj zdz. O t dwó zdz mówmy, s zl: z wuu C zy złou, C> wy, : C moymy stom zz C C C C. D. Mówmy, zdz s zl, gdy: C C. Uwg : Czy stj zdz zl od s? Od: t gdy lu Rozwmy tzy zdz, C. Mówmy, zdz s m zl, gdy d dw z ty zdz s zl. Mówmy, zdz, C s zl zsołowo twoz ułd zdz zly, gdy s zl m oz C C zyłd: Rzumy zto ost, tój y omlow s : zloo, zwoo, so w s: so-zloozwo. Ozzmy: zdz olgj tym, ozł s olo zloy, - zdz olgj tym, ojwł s olo zwoy, C- zdz olgj tym, ojwł s olo s. /, /, C/. ^/, ^C/, ^C/, ^^C/ Ztm zdz, C s m zl, l s zl zsołowo. Ogól: Mówmy, zdz twoz ułd zuły zdz, gdy: > dl, φ gdy j j Ω oj to momy uogól sozoy g zdz.

6 Tw. o wdoodostw łowtym Jl zdz twoz zuły ułd zdz to dl dowolgo zdz : Dowód: z > Ω Ztm z włso zoów: Ω * odto z : dl j φ φ j j ** Z włso wdoodostw sozo ddytywo: *** Z wzou wdoodostwo wuow wo zło mmy: zyl:, odstwj to do *** otzymujmy tz. Tw. ys Jl zdz, twoz ułd zuły zdz oz >, to: Dowód: Z zło : o zstosowu twdz o wdoodostw łowtym mmy dug z wzou. zyłd: zdsostwo oduuj 5% w m, % w m % w m C. Zuwoo, w m jst % ów, w % ów, w C % ów. Zuoy tow ozł s wyowy. Olzy wdoodostwo, oodz o z my. Rozwz: Ozzmy zd losowo wyy tow jst z my, losowo wyy tow jst z my, C- losowo wyy tow jst z my C. /, /, C/5 Wu jst słoy, z wuów zd φ, C φ, C φ, w. oz C Ω. Tz,,C twoz ułd zuły zdz. Ozzmy W losowo zuoy tow jst wyowy. W/, W/, WC/ zy t ozz mmy olzy stosuj tw. ys: 5,,,,,5,,5 C W C W W W W

7 Zm losow: zstz olstyz Ω, ϑ, ϑ zdz losow zyszmy zdzu lmtmu w lz zzywst. Ztm ozw dzmy uj o wto zzywsty. D. Zm losow zywmy uj olo zstz zdz lmty o wto zzywsty t, dl dowoly R : } ϑ Zm losow tdyyj ozzmy duym ltm:, Y, l ów ξ, η. Czsto w tym zs omjmy szmy. zy η Wu, tóy somułowlmy w dj ozwl m olz wdoodostw zdz t j. : < }, : 5} td. zyłd : Rzumy symtyz mot: Ω O, R} modl lsyzy : Ω -> R gdy gdy R Olzmy: : < }, : < }, : > } zyłd : Rzumy dwm ostm. Zm losow zyjmuj wto ów sum wyzuoy oz. Ol zó wto losowj, olzy wdoodostwo < }, > } : Ω, l :, l,,..,6}}, - dowoly odzó Ω. Zdz s jdowo molw. Modl lsyzy.,ll; Zó wto Ω,} 6 < },}, > 5},5,,6,,6,5,6,6} 6 6 zyłd :Rzumy dwm ostm zwo zlo olmy: wy zwoj, Y wy zloj osy j wyj 6}, } } 6} 6 Y 6}, Y } Y } Y 6} 6 O zm losow zyjmuj t sm wto z tym smym wdoodostwm, o osuj sytuj wyjow. D. Zm losow zywmy dyst soow, jl jj zó wto jst zlzly sozoy lu ówolzy z zom lz tuly Uwg Wszyst zm losow olo zstz zdz lmty sozoj lu zlzlj s dyst. Uwg Jl jst dyst zm losow to wszyst omj o j mo uzys zj wdoodostwo : } gdz R oz Ω wszyst molw wto zmj losowj 6 6 D. Fuj olo zoz lz zzywsty oloo wzom : } zywmy ozłdm wdoodostw zmj losowj zyłd : Rzumy ost. Zm losow zyjmuj wto ów lo wyzuoy oz.,..6 6 R \,..6} Iomj t to omj o zoz wto zmj losowj oz o wdoodostw, z jm zyjmuj t wto. zyłd : Rzumy -ot symtyz mot. Zdz lmt jst os zz g długo złooy z symol O R. OOROOROORRRR wszyst t zdz mj jdow szs: Ω ; Stosujmy dj lsyz. } dl dowolgo. Ozzmy zz zm losow, tó zyjmuj wto jl w -tym zu ojw s ozł oz wto gdy w -tym zu ojw s szt gdz Zm losow m ozłd: R \,} Rozwmy tz zm losow tj smj zstz: S osuj lz ołów w gu -lmtowym

8 Ozyw S,} dyst zm losow. S : } dl,.., Rozłd wdoodostw zmj losowj,,.., S ozostly Rozłd osy w tym zyłdz zywmy ozłdm dwumowym ullgo. Dołdj jst to ozłd dwumowy z mtm:,5 D. Mówmy, zm losow Y olo tj smj Ω s zl, gdy dl dowoly zdz losowy z zou lz zzywsty: : Y } : } : Y } w zydu dysty zmy losowy: : Y y } } Y y } gdz Ω Y Ω j j zyłd: Rzumy symtyz mot do momtu, gdy wyd ozł. Ω- zó zdz jst sozoy zlzly. Olmy zm losow: T zs ozw ojw s oł. T TO}, T TR,O} Zjdujmy ozłd tj zmj losowj dyst zm losow. : T },.. T Wygod jst t t ozs w ost tl: T / / /8 zyłd: Wymy losow lz z od <,. Zm losow zyjmuj wto ów wyj lz. U, gdz <, zgod z umow : U <,}, gdz W szzgólo : : U } : U <, > } Zuwmy, w tym zydu zó wszyst wto zmj losowj jst zdzłm od do, zyl zom sozoym zlzlym jst to w dyst zm losow. J ozlmy ozdo ozłd wdoodostw zyos m dj omj. Uwg: owyszy zyłd ozuj, ozłd wdoodostw olmy tylo dl zmj losowj dystj. D. Dystyut zmj losowj zywmy uj F : R ->, olo wzom : F : < }. Uwg: Dl dystj zmj losowj mmy : F : } zyłd: Zjdmy dystyut dl zmj losowj z ozdgo zyłdu: F U : U < } : < } < > Włso dystyuty. Jst uj mlj < > F F Dowód: z zło < mmy:,, < z włso uj wdoodostw mootozo W5 mmy: y j

9 : < } : < } z dj dystyuty: F F. jst lwosto gł tz. : lm F F Dowód: < << << Ozzm: : < }, : < } td. zy t ozz otzymujmy g wstujy: : < } : < } Z włso wdoodostw gło W7 lm, ztm: : < } lm : < } Z dj dystyuty otzymujmy: F lm F - z ozd ozz: gdy,. lm lm F F F. Ztm otzymujmy tz: lm F F Dowód: dowód wuu lm jst logzy do ozdgo. Rozwmy g < << < gdz zy ozz : < },.., mmy, twoz g wstujy zdz oz Ω, ztm. logz z włso 7 mmy: Ω lm lm : < } lm F lm F Osttz z dowolo gu mmy tz : dystyuty lm F. dl wyz wuu duggo ozwmy dowoly g lzowy > > > > > gdz. zy ty smy ozz mmy Zdz losow twoz g zdz zstujy odto: d φ. Z włso 8 wdoodostw mmy, φ lm lm : < } lm F lm F. Z dowolo gu mmy tz dystyuty lm F. mty ozłdu zmj losowj: zyłd: Rzumy symtyz ost. Zm losow zyjmuj wto ów lo wyzuoy oz. / 6,6} Jst to zyłd ozłdu jdostjgo. Momy olzy, tzw. d wy,5. zy wlootym zu ost mo s sodzw, d z uzysy wyów dz ls,5. Lz t w tym zydu dz to t zw wto zt wto ozw, dzj mtmtyz zmj losowj. D. ogól: Wto ozw zmj losowj oloj zstz Ω zywmy lz E Ω Uwg : Jl wy s jdowo molw to wto ozw jst ów t j w owyszym zyłdz dj ytmtyzj. Uwg : E : } zyl : R Ztm jl R ly do wto zmj losowj to E : } Tw. Włso wto ozwj Rozwmy dw zm losow,y olo tj smj Ω. W: E Y E EY W: E E W: E,gdz ly do R Dowód: d

10 W: E Y } } } Y Y Ω Ω Ω EEY W: dowodzmy logz j W wyłzj stł zd z sumy. W: E tz. wto ozw zmj losowj zyl m ozłd } :. Rozłd t zywmy jdoutowym suoym w u. Olzmy: E Ω }. Iym mtm ozłdu zmj losowj jst wj. D. Wj zmj losowj zywmy w lz D E- Uwg: D o wy z dj, D gdy zm losow m ozłd jdoutowy. } :, ow mog ol mt odyl stddow. D. Wy δ D zywmy odylm stddowym. Uwg: D E - Uzsd: wls wls wls d E E E E E E E E D E E E E zgod z zyjtym ozzm E Włso wj: D D D D D Y D D Y wtdy gdy,y s zl tw. odwot jst wdzw d. D E - - gdz zgod z zyjtym ozzm EE Ztm : D E E E D d. E E E E E E D D E E E Rozłd dwumowy: Wzj oztywlmy -oty zut mot oz zm losow S osuj lz ołów w -zut. Zm t m ozłd: S } :, gdz,, Momy to uogól zyd, gdy zumy mot symtyz tz. gdy wdoodostwo wyzu sz wyos -. Wtdy zm losow os logz jo lz ołów m ozłd. }, Dl tgo ozłdu olzmy wto ozw E zuwmy, wszy słd jst ówy zo. omy ws sumow wzo Nwto w myl szy ozz w szzgólo dl symtyzj moty wyos /. Dl olz wj sozystmy z szj uwg: D E- E z ozdzlo mo wzo Nwto

11 - D do owyszy ów od zm ówo ozz zuwmy, wszy słd sumy jst, od zm ówo ozz omy ws sumy Rozłd wdoodostw zmj losowj dystj w sosó uoszzoy dzmy zsyw: },.. ozostł wto zyłdy ozłdów dysty Rozłd jdoutowy, mtm jst lz zzywst. }. ozdo olzlmy, E, wj jst ów. Dystyut: > < F } : Rozłd zojdyowy z mtm logz j w t mmy do zy z jdomtow odz ozłdów }, }- E D E > < F Rozłd dwumowy omówoy wyj Rozłd gomtyzy mt },, gdz,, Zm losow zyjmuj sozo lo wto. Swdmy zy ozłd jst doz oloy. zyl } Wto ozw dl tgo gu gomtyzgo: } : E Olzmy sum tgo szgu. Zuwmy, dl <: oz, ' z twdz dot. zo szgów uyjy dot. tgo, momy wyzy szgu ózow wyz o wyz : * Ztm * E 5 Rozłd osso, jdomtowy z > }, gdz,,.. } E z dj : dl R, ztm E E E D } E

12 Ztm: D E Fuj twoz dl gów Rozwmy g S, S,,S, tógo lmtm s uj olo wym wsólym zoz D. Cg t zywmy gm uyjym. Zo utow. Dl dgo D lm stj jst ów S to mówmy, g jst zy utowo. Szg: S Zo jdostj D. Rozwmy szg, tógo lmtm s uj olo wsólym zdzl D dl dgo ustlogo D otzymujmy szg lzowy. Zo tgo szgu uyjgo ozz st gy gu sum zowy S, S,,S gdz S. Momy ztm mów o zo utowj szgu uyjgo lu o zo jdostjj szgu uyjgo. zyłd : Cg uyjy S, gdz DR Kd z ty uj jst uj gł. Dl dgo zzywstgo g stj wyos lm S wos: g jst utowo zy zyłd : Rozwmy szg uyjy szg gomtyzy dl < : wos szg t jst zy utowo dl -, Fuj gz gu lu szgu uyjgo mus y uj gł, mmo, wszyst uj w tym gu s ujm głym. Tw. Jl szg jst jdostj zy w zoz D uj s gł w u D to sum szgu S lm S jst uj gł w u. Kytum zo jdostjj Wstss. Szg jst jdostj zy w zoz D, jl w zoz D wdzw jst ówo: zyłd: s jst zy. s. Jl jst zwzgld zy to szg uyjy moy ytum Wstss jst jdostj zy. W szzgólo s W szzgólo ozwmy szg otgow: s to szg uyj ost zyłdm tgo szgu jst Tw. Jl szg otgowy ost., tóy jst zy dl dgo -, do uj, gdz,.. s lzm zzywstym. w u / o dl g jst ów jst zy zwzgld to jst zy utowo wwtz zdzłu -ρ,ρ, gdz ρ jdostj zy w dym zdzl domtym <-θρ,θρ> gdz <θ< Dowód zowdzmy w ou o ytum Wstss. Z zło szg lzowy jst zy. Z wuu ozgo zo dl szgów lzowy mmy, lm, to z dj gy ozz, o

13 Dl dgo ε> stj t, dl dgo > <ε, l g zy jst ogzoy, zyl stj t M dl tógo <M, dl wszyst. Ztm stosuj ytum Wstss otzymujmy: < M dl t, θ < < Mmy < M Mθ oz, θ jst gomtyzy θ< zyl zym. Ztm zy ozd ozz < ρ mmy jdostj zo w zdzl <-θρ,θρ>. Wyzlmy, dy ut zo szgu otgowgo jst om wgo zdzłu zo -ρ,ρ. Zodz dw zyd: Szg jst zy dl wszyst R Wód zdzłów -ρ,ρ stj jwszy, tóy ozzmy -, zywmy zdzłm zo szgu otgowgo. Izj jst sm góym t ρ, dl tóy szg otgowy jst zy w zdzl -ρ,ρ. Ozyw zwtz tgo zdzłu szg jst ozy. D. Lz zywmy omm zo szgu otgowgo. Dodtowo zyjmujmy gdy szg jst zy tylo w u oz jl szg jst zy dl wszyst zzywsty om zo wyzzoy odstw twdz:, gdz lm zyjmujmy: gdy oz gdy, gdz lm Szg oody: Zuwmy, zyjmujmy: gdy oz gdy Dy jst g lz zzywsty ' m t sm om zo o szg woty jgo sum w zdzl -, jst ów S S, ztm dl szgu oody S ' D. Zwył uj twoz óto uj twoz zywmy szg Uwg : uj twoz mj ost szgu otgowgo Uwg : Dl dgo tgo szgu olmy om zo. Wówzs dl < szg jst zwzgld zy mo go ózow wyz o wyz D. Wyłdz uj twoz dl gu zywmy szg zyłd: Ozzmy zz lz wszyst uj z zou -lmtowgo w s. Ozyw. Fuj twoz dl tgo gu: dl tógo ; Wyłdz uj twoz dl tgo gu:. Rozwmy : Wos: / Wyłdz uj twoz stosuj s ogół w zydu o tóym wmy lu sodzwmy s, o szyj wyłdzo:. dy ozz lo wj lu omj: -, gdz, - uj twoz : dl < -, gdz,, - uj twoz:

14 Ztm dwum Nwto jst zwył uj twoz gu oljgo lz -wyzowy omj zou - lmtowgo. l z dugj stoy gdz ozz lz -wyzowy wj z owtóz zou - lmtowgo. Ztm dwum Nwto jst wyłdz uj twoz gu. - g oljy lz -wyzowy wj z owtózm zou -lmtowgo. Jgo wyłdz uj twoz m ost: W owyszy zyłd złdmy wszdz, <. zyłd : Rozwmy -lmtow mutj zou -lmtowgo. Olmy t lo mtod uj. lo -lmtowy mutj:, ; - * - *-* zyłd : N ozz lz oszów tó dzl łszzyz -osty z tóy d dw s ówolgł d tzy zj s w dym u.,, - Zjdujmy wzó ogóly: - - / y udowod wzó ogóly stosujmy zsd duj. Wu oztowy: I Zło:, Tz, Dowód Iduyjy: z zło uyjgo z tójt sl. Otzymlmy tz. Zstosujmy uj twoz: d zyłd : olmy wyłdz uj twoz o z tgo otzymujmy: * - /- z dugj stoy dl < z oów ty dwó szgów mmy:, w d zyłd : Twozymy zwył uj twoz dl. Zuwmy, jst zwzgld zy momy ózow wyz o wyz odstwj owysz otzymujmy: /-. Wyzzmy z tgo : Zuwmy, :

15 , ' ' odstwj dl <, zyłd : Il odzoów zou,..} wlzj zó usty zw ssd lz? Ozzmy zz szu lz. Zuwmy, lz t zly od Ztm,. Mo wyzzy wz, - - Otzymlmy dj uyj gu.,. R - - dl > Dl t dj uyjy odstw odowd twdz, momy wyzzy wzó ogóly. logz j dl gu Fogo z ym w. oztowym. Ztm: 5 5, gdz stł wyzzmy z wuów oztowy. Zztujmy mtod wyzz wzou ogólgo mtod uj twozy Zuwmy,. odstwj do wzou otzymujmy: Z ówo tj mmy: wyzzmy wst tójmu wdtowgo: 5, 5 Ztm: o wyzzu wz stły d z ty uj zsujmy w ost szgu gomtyzgo odzytujmy wsółzy. Wzó Tylo: Dl dowolj lzy zzywstj mmy :, gdz Jst to uogól wzou Nwto. W szzgólo: 5 zyłd: N l sosoów mo wstw --y wsów olj oljo mo w lozy * * **,, złdmy, z s wyzy,,,, - Olmy wymy jd lz zzyj od, oz -. * * ** ** Zgod z zyjtym ozzm: * * **, ** - t w :, dl >

16 R Zuwmy,, t w: omtz oygly Wolsj zuwmy, t jst Zgod z wzom Tylo:, zuwmy, oz, : 5,5, std: 5 5,5 Wos: - Lz Ctlo Ró uj w szzgólo gów: D jst uj y olo zdzl,. Ozzmy zyost gumtów: zywmy wsz ó uj w u - z owyszgo mmy, : -, gdz ly do, -, gdz ly do, td Dug ó uj ozzmy jo olmy moy dj jo ó wszj óy. Ztm: Uwg : logz - D. -t ó uj w u - Uwg : Dowód duyjy: Wu oztowy swdzoy tz uwg Z: Uwg T: Dowód duyjy: d wyozystjmy zło duyj } } m z włso symolu Nwto:, otzymujmy ztm: - zyl tz. N moy duj mtmtyzj wzó jst wdzwy dl dowolgo lgo do tuly.

17 Uwg : Zuwmy, wu oztowy jst słoy Dowód logzy do dowodu Uwg. Wyzzy z ów Uwg zy Ozzmy:. logz ozzmy ozostł wzoy. Uwg : Wzoy ó s logz do wzoów zy ózowu Tw. ** stot: -- /- g /- g dowód zz guow wyzów *g* gg* Dowód: *g*g-*g*g-*g*g-*g * gg* v stj o l g g wy s wzom: g g g g g g Dl ułtw olz momy zudow tl óow zyłd: Stwozy tl óow olzy dl: Olzmy ozystj z wzou: Zstosow Otzymujmy wlom sto - logz ó dz wlomm sto -, ó wlomm sto -, -t ó dz wlomm sto.

18 W szzgólo ozwy dl : ozwl to zudow z omo dodw lgoytmy otg. Zuwmy, : Rów óow Rów ost * F,,, gdz F jst d, jst szu zywmy ówm óowym zdu -tgo o jdj wdomj uj. Rozwz t ów to ozyw zl t uj, tó sł to ów. Uwzgldj wzoy z wszj z wyłdu dl.. mo zdstw zz uj, td. wówzs ów * m ost * G ;, zyłd - ów sto zyjmjmy * -- Uwg: Jl otzym w t sosó ów zw wyzu to odstwmy w mjs. Gdy otzym ów zw wyzów to odstwmy w mjs td. Ztm -> ->, ów m ost: -- * ów to jst ówm zdu, ówm zdu tzgo. Rów óow mo m, w ost *, *, * Rozwzm ów * zywmy d, tó swdz ozw ów. Ogólym ozwzm ów óowgo -tgo zdu zywmy, d ów ost ** ; ; ; -, gdz ; ; - to stł. Uwg :,, - to mty. Ztm wzó ** jst jd uj, l -mtow odz uj. Rozwzm szzgólym ów óowgo zywmy d ozwz otzym z ozwz ogólgo zz wyzz stły -. Dl oloy stły wystzy z -oztowy wuów.,.. - Odwot: Jl d jst odz uj ; ; ; -, gdz ost dl..- wówzs odstwj oljo wto, otzymujmy ułd wuów,,, -,,,, -,,,, -, z tógo to ułdu o wyugowu stły otzymujmy ów zl od,... Z uwg, tó ozylmy to jst to ów óow ost * zyłd: odz uj dwumtow, gdz,,-osts ów óow, j otzymmy dz duggo zdu: odstwmy: z wszgo ów wyzzmy,

19 Wyzzmy z duggo ów Wstwj do tzgo ów otzymujmy: Rówm óowym lowym zdu wszgo zywmy ów ost *Q gdz, Q s dym ujm. Rozómy dw zyd: I. ów óow low jdood gdy Q jst tosmoowo ów II. ów óow low jdood w ozostły zyd d I * lu *- -* ogzmy s tylo do łowty. Koljo otzymujmy: -* -* --*- mo stom otzymujmy: ****-*-** --****- gdyy zyj, to szt jst zm jl to wtdy: -*-** --* Uwg: Rów w zydu, gdy gdz,- zyjmuj wto zo. Wtdy uj dl > d II ów óow low jdood ozwzujmy wg smtu: odstwmy u*v, gdz u v s wlowo dowol mmy - u*vu* vv* u zgod z wzjszym twdzm otzymujmy ztm: u* vv* u*u*vq o zsztłu mmy: u* vv* u*uq domy uj u t, y wy u*u uj t zjdujmy ozwzuj owysz ów jdood low. Z ozd ozw mmy, u, gdz ost u. Dl t doj uj u mmy: u* vq zyl vq/u zy złou, u Q u Q v Zjdujmy v w stujy sosó: z dj óy vv-v vv-v v-v-v- Dodj stom otzymujmy: v v v, zyl v v, gdz v

20 Osttz Q v } Q v u Q } zyłd dl wgo > u*v u u, z wz wmy, u K u Q v z wzou ogólgo mmy: K v y olzy t sum ozzmy g zy ty ozz: gg-g- oz wz /- dl gg* * g wyzzmy z tgo ów g* g* g*-* g dl dowolgo : z g g g g C Rów óow low zdu duggo: * * *Q, gdz,, Q zm. gdy Q jst tosmoowo ów to mówmy o ówu jdoodym w ozostły zyd mmy do zy z ówm jdoodym. stosuj wzó: - gdz ly do łowty dodt, - Sytuj, tó omwmy gdy, s stłym, Q jst to uogólm zgo m ów uyjgo. Rozwzujmy j ozz ów tystyz. - - Wzó ogóly: * * *, gdz s stłym wyzzoym z wuów oztowy. owj do sty ozz mmy: * Odwot: mj ów odzy zywy zly od dwó mtów momy s ów óow zdu duggo, tógo ozwzm ogólym jst t odz zywy. zyłd: * *5, gdz, to mty. Z owyszgo ** *5*5 * * *5 *5 Uzyslmy ułd tz ów. Wyzzmy wsółzy

21 5, o wstwu do duggo ów, wyzzmy z go 5 t wyzzo odstwmy do ów tzgo. Otzymujmy: Tw. Jl, s ozwzm ów lowgo jdoodgo to uj γ, l do R jst t ozwzm tgo ów. Dowód: odstwmy γ do * γ γ γ * * * * * * * * * * * * * * * * o z zło * * * *, w ów sowdz s do * *, to w ozywsty sosó jst ów / Tw. Rozwz ogól ów jdoodgo ów s sum ozwz szzgólgo ozwz ogólgo, l ów jdoodgo tj smj ost z tm smym ujm. Dowód Ozzmy zz * ozwz szzgól ów jdoodgo, zz γ ozwz ogól ów jdoodgo. * * * Q, γ γ γ Dodj stom otzymujmy tz. Tz. * γ jst ozwzm ów jdoodgo. W szzgólo momy ozw ów low zdu -go o stły wsółzy, gdz, l do R, tó ozwzujmy, zy złou, zm ly do łowty. Rozwz tgo ów olg zstosowu twdz dot. ów uyjy.